Modelleren van niet-holonome mechanische systemen

Modelleren van niet-holonome mechanische systemenModelleren van niet-holonome
Scriptie ingediend tot het behalen van de academische graad van
Burgerlijk Natuurkundig Ingenieur
Academiejaar 2006–2007
Modelleren van niet-holonome
Voorwoord
Graag had ik langs deze weg enkele mensen bedankt. Jan Das die met een grote gedre-
venheid de professionele figuren leverde, Ingrid Telen die mijn verre van foutloos Engels
schrijven verbeterde en mijn ouders die ik om de haverklap print- en kopieerwerkjes liet
uitvoeren. Een speciaal dankwoordje gaat uit naar mijn promoter Willy Sarlet die mijn
vreemde hersenkronkels wist recht te trekken, steeds met raad en daad klaarstond en
verscheidene malen deze scriptie van voor naar achter en terug naar voren las op zoek
naar fouten.
Toelating tot bruikleen
“De auteur geeft de toelating deze scriptie voor consultatie beschikbaar te stellen
en delen van de scriptie te kopieren voor persoonlijk gebruik.
Elk ander gebruik valt onder de beperkingen van het auteursrecht, in het bijzonder
met betrekking tot de verplichting de bron uitdrukkelijk te vermelden bij het
aanhalen van resultaten uit deze scriptie.”
Koen Salvo, augustus 2007
Koen Salvo
Onderzoeksgroep Theoretische Mechanica
Samenvatting
Eerst worden de vergelijkingen van Lagrange en Hamilton binnen het kader van de varia-
tierekening afgeleid. Vervolgens worden de nodige differentiaalmeetkundige ‘tools’ aange-
reikt om deze vergelijkingen op een intrinsieke, coordinaatonafhankelijke wijze te formule-
ren. Gewapend met deze kennis worden oplossingsstrategieen voor systemen onderworpen
aan niet-holonome bindingen —die restricties aan de mogelijke snelheden opleggen— be-
sproken. Ook wordt er aandacht geschonken aan niet-lineaire niet-holonome sytemen en
hun praktische uitvoering.
d’Alembert, Niet-Holonome bindingen, Regel van Chetaev
Modeling of nonholonomic mechanical systems Koen Salvo
Supervisor(s): Willy Sarlet
Abstract— Firstly the equations of Lagrange will be derived in an analytical setting. Thereupon these equations will be formulated in an intrinsic manner using basic notions of differential geometry. Armed with this knowledge systems subjected tot nonholonomic constraints —restricting the admissible kinematical states rather than the geometrical ones— will be discussed for linear as well as nonlinear constraints in the velocities. Fi- nally, attention will be given to their practical realization.
Keywords— Intrinsic formulation of dynamics, nonholonomic constraints, Chetaev’s rule
I. INTRODUCTION
THE formalism created by Lagrange in 1788 or in a similar manner by Hamilton is inappropriate to derive the equa-
tions of motion for systems subjected to nonholonomic constraints. Classical variational principles cannot be used and al- ternatives have to be proposed. A keystone in this discussion is the question of how the definition of d’Alembert’s principle of zero virtual work for ideal constraint forces can be extended to nonholonomic systems. Because of the indefiniteness of the constraint forces, this is needed in order to obtain a fully de- termined set of equations. For nonholonomic constraints affine in the velocities this generalization is somewhat clear, contrary to nonclassical kinematic —nonlinear, nonholonomic— constraints. For such systems, the rule of Chetaev can be used (which amounts to a local linearization), but this use is subject to discussion. Under impulse of W. Tulczyjew geometry made its way to mechanics, it turned out that this allow one to formulate the equations of motion in an intrinsic —coordinate independent— manner.
II. ANALYTICAL DESCRIPTION OF DYNAMICS
Newton’s equations of motion
mkrk = F k + Rk, k = 1, . . . , N (1)
with F k the active, and Rk the constraint forces for a system consisting of N point masses subjected to holonomical constraints Gα=1,...,m (q, t) = 0 can be modified by writing the positions in function of the n = 3N − m generalized coordinates q = (q1, . . . , qn). Summing (1) and multiplying by ∂rk
∂qi , k = 1, . . . , N respectively, gives
N∑ k=1
∂qi , i = 1, . . . , n.
(2) By means of the Lagrangian L (q, q), the generalized components of the nonconservative force Qi =
∑N k=1 F k · ∂rk
∂qi
K. Salvo is with the Faculty of Engineering, Ghent University (UGent), Gent, Belgium. E-mail: [email protected] .
and the generalized components of the constraint force fi =∑N k=1 Rk · ∂rk
∂qi analogously, this leads to
d dt
∂qi = Qi + fi, i = 1, . . . , n. (3)
Because f = (f1, . . . , fn) is unknown, these equations are un- derdetermined. Using d’Alembert’s principle the equations (3) become well-defined.
Theorem 1 (d’Alembert’s principle) The virtual work done by the constraint forces of an ideal constraint vanishes for any infinitesimal virtual displacement compatible with the constraint frozen at time t. When there are no extra nonholonomic constraints, these virtual displacements simply coincide with ∂rk
∂qi , i = 1, . . . , n and the
fi’s become zero.
A. Classical kinematic constraints
When the system is also subjected to classical kinematic — affine, nonholonomic— constraints
n∑ i=1
aβ,i(q, t)qi + bβ(q, t) = 0, β = 1, . . . , ` < n (4)
not all the virtual displacements δi=1,...,nq are permitted. It is stated that the virtual displacements have to meet the additional requirements
n∑ i=1
aβ,i(q, t)δqi = 0, β = 1, . . . , ` < n (5)
which defines a (n− `)-dimensional surface in IRn. According to theorem (1) , the generalized constraint force has to lie in the `-dimensional space perpendicular to this surface. Because this space is generated by the rows aβ of a, there have to exist coefficients λβ=1,...,` (t), called Lagrangemultipliers, so
f = ∑ β=1
λβaβ . (6)
Together with (3) and (4) this forms a well-defined set of equations.
B. Nonclassical kinematic constraints
Gβ(q, q, t) = 0, β = 1, . . . , ` (7)
Chetaev proposed to linearize these equations in the velocities so one obtains
n∑ i=1
instead of (5) . By replacing aβ,i by ∂Gβ
∂qi in (6) , the same set
of equations (3) , (4) and (6) can be used.
III. GEOMETRICAL SETTING
We assume that the reader is familiar with basic differential geometry and their applications to mechanics. We shall denote the smooth n-dimensional, time independent manifold Q by the configuration space with coordinates q =
( q1, . . . , qn
) ,
the tangent bundle TQ by the space of kinematic states and the the cotangent bundle T ∗Q by the phase space. Furthermore L : TQ → T ∗Q will be the Legendre transformation
L : ( qi, vi
) . (9)
In this section we will extend the intrinsic formulation of the dynamics of conservative, holonomic systems
iXL ωL = −d (H L) (10a)
iXH ω = −dH (10b)
in Lagrange’s, respectively Hamilton’s formalism to nonconservative and nonholonomic ones. Herein XL plays the role of the Lagrangian vector field, XH is the Hamiltonian vector field, ωL
is the Poincare 2-form and ω is the canonical symplectic 2-form.
A. Lagrange’s formalism
Imposing nonholonomic constraints means that for every ξ ∈ Q not all the velocities vξ ∈ TξQ are possible but only a sub- space Cξ of it. We will assume that Cξ is defined throughout Q and is of constant dimension. Considering whole Q, the velocities compatible with the nonholonomic constraints have to be elements of the constraint manifold
C = ξ∈Q
) . (11)
In accordance with the rule of Chetaev, the space of admissible infinitesimal virtual displacements for every vξ ∈ Cξ is the cotangent space Tvξ
C. Mathematically generalized forces are described by elements of T ∗Q so theorem (1) gives rise to the condition fξ ∈
( Tvξ
C, defined by( Tvξ
} . (12)
Let c(t) a smooth curve on Q represent the motion of the system and YL the associated vector field
dc (t) dt
) . (13)
The extension of (10a) to nonholonomic systems with nonconservative forces Q =
∑n i=1 Qidqi and reaction forces f =∑n
i=1 fidqi is
Moreover fc(t) ∈ ( T dc
have to be fulfilled.
B. Hamilton’s formalism
In Hamilton’s formalism, c(t) = L dc(t) dt on T ∗Q represents
the motion of the system and let YH be the associated vector field
dc (t) dt
) . (15)
Hence the constraint equation becomes dc dt ∈ D = L (C). Let
the pull-back of the inverse of L act on (14) , with L∗YH = YL
and L∗ω = ωL, then one obtains
iYH ω = −dH + (L∗)−1 (Q+ f) (16)
and it can be proved that (L∗)−1 (Q+ f) = i(QH+fH)ω wherein QH and fH are vertical vector fields on T ∗Q
fH = n∑
i=1
∂pi (17a)
QH = n∑
i=1
∂pi . (17b)
i(YH−QH−fH)ω = −dH. (18)
The rule of Chetaev states that for every pξ ∈ D, fH,ξ has to be an element of Wξ defined by
Wξ = {
fξ , fξ ∈ ( Tvξ
IV. PRACTICAL REALIZATION OF NONCLASSICAL SYSTEMS
Practical realization of systems subjected to nonclassical constraints is rather difficult. Appell’s machine [1, p. 223–233] and Benenti’s construction [2] are such attempts but they are obtained by a limit process. Such systems consist of 2 subsys- tems S1 and S2 and as a whole they are classical but after ne- glecting the masses of S2 and eliminating the coordinates of S2, S1 becomes a nonclassical system S′1. Delassus proved that the equations of motion for S1 do not converge towards the equations which would be obtained by applying Chetaev’s rule to S′1 only, therefore these type of nonclassical systems are not totally satisfactory. Another possibility was given by Marle [3], he sug- gested the use of servomechanisms. But also this is disputable.
ACKNOWLEDGMENTS
The author would like to acknowledge the suggestions of his supervisor, Prof. Dr. W. Sarlet.
REFERENCES
[1] N. A. Fufaev and Ju. I. Neimark, Dynamics of Nonholonomic Systems, vol. 33 of Translations of Mathematical Monographs, American Mathe- matical Society Providence, 1972.
[2] S. Benenti, “Geometrical aspects of the dynamics of non-holonomic systems,” in Journees relativistes, Chambery, May 1987.
[3] C.-M. Marle, “Various approaches to conservative and nonconservative nonholonomic systems,” Reports on Matheamtical Physics, vol. 42, pp. 211–229, 1998.
[4] C.-M. Marle and P. Libermann, Symplectic Geometry and Analytical Me- chanics, D. Reidel Publishing Company, Dordrecht, 1987.
Inhoudsopgave
1.1 Van Newton naar Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Veralgemeende coordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Principe van Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Conservatief systeem met holonome bindingen . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Niet-conservatief systeem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Geometrische beschrijving van de mechanica 10
2.1 De configuratie- en faseruimte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.1 De configuratieruimte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.2 De raakruimte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.3 De co-raakruimte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.1 Natuurlijke projecties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.2 De raakafbeelding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.2 Enkele bewerkingen op tensorvelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4 De Hamiltoniaan in de geometrische beschrijving . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.1 Vectorvelden en differentiaalvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.2 De co-raakbundel als symplectische varieteit . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.3 Hamiltoniaanse vectorvelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5 De Lagrangiaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1.2 Het principe van d’Alembert verder uitgediept . . . . . . . . . . . 43
3.2 Analytische beschrijving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.2 Methode van Caplygin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.3 Regel van Chetaev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3 Geometrische beschrijving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4.1 Appells machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.4.3 Servomechanismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4 Conclusie 76
πM natuurlijke projectie T ∗M → M
θ canonische 1-vorm
ω canonische 2-vorm
XH Hamiltoniaans vectorveld
C kinematische bundel
Herformulering Newtons wetten
Wanneer de bewegingsvergelijkingen van Newton voor een stelsel van N massapunten
moeten opgelost worden, brengt dit enkele moeilijkheden met zich mee. Het probleem zit
hem in de reactiekrachten die t.g.v. bindingen tussen de massapunten optreden. Enerzijds
zijn deze a priori niet gekend en dienen ze samen met het oplossen van het vraagstuk
bepaald te worden. Anderzijds is de oplossing niet steeds uniek bepaald, m.a.w. er zijn nog
extra verbanden nodig waaraan de reactiekrachten moeten voldoen. Een herformulering
van de bewegingsvergelijkingen van Newton dringt zich op.
1.1 Van Newton naar Lagrange
1.1.1 Veralgemeende coordinaten
In het Newtonformalisme wordt de beweging van een stelsel van N massapunten beschre-
ven d.m.v. 3N cartesische coordinaten rk, k = 1, . . . , N . In het algemeen is dit stelsel
nog onderworpen aan bindingen die beschreven worden door bindingsvergelijkingen van
de vorm
fα(rk, t) = 0, α = 1, . . . ,m (1.1)
waarbij er enkel holonome bindingen beschouwd worden. Dit zijn zijn bindingen waarbij
de corresponderende bindingsvergelijking geen rk-afhankelijkheden vertonen. De plaat-
sen rk zijn nu niet meer als onafhankelijke coordinaten op te vatten daar er nu slechts
3N − m = n vrijheidgraden overblijven. Er kan dan overgegaan worden op n-aantal
1
nieuwe veralgemeende coordinaten qi die impliciet met de bindingen rekening houden. De
bindingsvergelijkingen leveren dan een stel identiteiten op
fα ( rk (q, t) , t
) ≡ 0, α = 1, . . . ,m (1.2)
met q = (q1, . . . , qn).
1.1.2 Principe van d’Alembert
Het principe van d’Alembert vergt de kennis van virtuele snelheden ‘wk’. Dit zijn bewe-
gingen die op het begintijdstip t0 voldoen aan
fα ( rk(t0), t0
wk ·∇kfα ( rk(t0), t0
) = 0, α = 1, . . . ,m.
Anders gezegd, het zijn bewegingen vanuit een mogelijke beginstand met de bindingen
zoals ze op t0 waren. Dit omdat een mogelijke beginsnelheid ‘vk’ moet voldoen aan
dfα dt
) = 0, α = 1, . . . ,m (1.3)
waarbij rekening gehouden wordt met het feit dat de bindingen in de tijd kunnen evolue-
ren. Wanneer de bindingsvergelijkingen niet expliciet van de tijd afhangen, is de laatste
term in (1.3) nul en is er geen onderscheid tussen virtuele en mogelijke snelheden. Door
de bindingsvergelijkingen (1.2) af te leiden naar de veralgemeende coordinaten
∂fα ∂qi
·∇kfα = 0, α = 1, . . . ,m
blijkt dat ∂rk/∂qi, i = 1, . . . , n een stel virtuele snelheden vormt. Nu zijn alle ingredienten
aanwezig om het principe van d’Alembert te formuleren.
Hoofdstuk 1. Herformulering Newtons wetten 3
Definitie 1.1 (Principe van d’Alembert) Het principe van d’Alembert zegt dat het
totaal virtueel vermogen van de reactiekrachten nul is.
N∑ k=1
Met Rk de reactiekracht die op het massapunt ‘k’ inwerkt.
1.1.3 De vergelijkingen van Lagrange
Uit de bewegingsvergelijkingen
mkrk = F k + Rk, k = 1, . . . , N (1.5)
met F k de uitwendige kracht inwerkend op massapunt ‘k’, bekomt men m.b.v. het principe
van d’Alembert (1.4)
d’Alembert bewees bovendien dat ook in omgekeerde richting de bewegingsvergelijkingen
van Newton uit vergelijkingen (1.6) volgen, waarmee de equivalentie tussen beide aange-
toond werd. In een laatste stap worden deze vergelijkingen in een bruikbare vorm gegoten
wat met ‘T ’ de kinetische energie van het stelsel
T = N∑ k=1
Qi = N∑ k=1
F k · ∂rk ∂qi
, i = 1, . . . , n (1.7)
d
dt
( ∂T
∂qi
) − ∂T
∂qi = Qi, i = 1, . . . , n. (1.8)
De kinetische energie dient nog wel in functie van de veralgemeende coordinaten geschre-
ven te worden. Indien de uitwendige krachten conservatief zijn, bestaat er een globale
potentiele functie ‘V ’ zodat
waaruit volgt
Qi = −∂V
∂qi , i = 1, . . . , n.
Met L = T − V de Lagrangiaan worden dan de vergelijkingen van Lagrange van de 2e
soort gevonden. d
1.2 Principe van Hamilton
In het Newtonformalisme wordt de versnelling van een deeltje op een bepaalde plaats en
tijdstip aangewend om zijn beweging juist na dit moment en in de onmiddellijke omgeving
van zijn positie te bepalen, het is m.a.w. een locale beschrijving van beweging. Er blijkt
echter ook een globale aanpak mogelijk waarbij de beweging in zijn geheel beschouwd
wordt. Hierbij wordt geponeerd dat beweging een type van verandering is en dat die
verandering minimaal dient te zijn. Bertrand Russel verwoordde het als ‘the law of cosmic
laziness’. Maar welk grootheid beschrijft verandering? Het kostte wetenschappers bijna 2
eeuwen om deze vraag te beantwoorden. Het bleek dat verandering door een enkel getal
—de actie ‘S’— gekarakteriseerd kan worden. De volgende argumenten
Veel beweging betekent veel actie.
Hoe meer arbeid de uitwendige krachten leveren, hoe meer actie.
Indien beweging in potentiele energie getransformeerd wordt, betekent dit een klei-
nere actie.
De actie van een systeem is gelijk aan de som van de acties van zijn subsystemen.
Actie kan zowel toe- als afnemen in de tijd.
rechtvaardigen de keuze van actie als het gemiddelde verschil tussen de kinetische en
potentiele energie vermenigvuldigt met de verstreken tijd.
S = (T − V ) (t2 − t1) =
∫ t2
t1
(T − V ) dt (1.10)
Bij het zoeken van het extremum van S dienen verschillende gevallen beschouwd te worden.
Bij de definitie van S werd impliciet aangenomen dat er een globale potentiaalfunctie
bestaat. Voor een niet conservatief systeem —wanneer dit niet het geval is— zal de
definitie moeten uitgebreid worden.
Het zoeken naar het extremum van S is een variationeel vraagstuk dat naargelang
het systeem aan holonome of niet-holonome bindingen onderworpen is, een andere
oplossingsstrategie zal vergen.
1.2.1 Conservatief systeem met holonome bindingen
Voor een conservatief systeem kan de Langrangiaan L = T − V uit vergelijking (1.9)
gebruikt worden zodat het principe van kleinste actie —wat in wat volgt het ‘principe
van Hamilton’ zal genoemd worden— als volgt geformuleerd kan worden [15§6.1.2].
Definitie 1.2 (Principe van Hamilton) De baan qi(t), i = 1, . . . , n die het systeem
met Lagrangiaan L (q (t) , q (t) , t) tussen twee tijdstippen t1 en t2 beschrijft, is een extre-
maal van de fuctionaal
) dt (1.11)
t.o.v. alle mogelijke variaties met vaste eindpunten.
Om het extremum te vinden, wordt de volgende strategie toegepast. Stel dat de qi (t) , i =
1, . . . , n de oplossingen zijn van het vraagstuk en op elke qi een ‘variatie’ aangebracht wordt
van de vorm
q (v) i (t) = qi (t) + εfi (t) , i = 1, . . . , n
waarbij bovendien geldt dat fi(t1) = fi(t2) = 0, i = 1, . . . , n zodat inderdaad van variaties
met vaste eindpunten kan gesproken worden. Met deze ‘verstoorde’ banen wordt
Sv(q) =
∫ t2
t1
dSv dε
ε=0
nul moet zijn. Met de gebruikelijke notaties van de variatierekening
δS = dSv dε
en fi(t1) = fi(t2) = 0, i = 1, . . . , n bekomt men finaal
δS =
∫ t2
t1
] dt = 0. (1.13)
Omdat alle variaties δqi onafhankelijk van elkaar zijn, volgen hier de vergelijkingen van
Lagrange van de 2e soort (1.9) uit.
1.2.2 Niet-conservatief systeem
Wanneer er niet-conservatieve krachten op het systeem inwerken, kan er geen Lagrangiaan
en daarmee geen actie gedefinieerd worden. Desalniettemin kan er een soortgelijk principe
geformuleerd worden [15§6.2.1].
Definitie 1.3 (Principe Hamilton niet-conservatieve systemen) De baan qi(t),
i = 1, . . . , n die het systeem tussen twee tijdstippen t1 en t2 beschrijft, is zodanig dat
∫ t2
t1
( q(t), q(t), t
)] dt = 0 (1.14)
voor alle mogelijke variaties met vaste eindpunten. Waarin W (v) de variatie op de arbeid
voorstelt en gegeven is door
W (v) = N∑ k=1
F k
) · δrk (t)
) δqi (t) (1.15)
met Qi de veralgemeende krachtcomponenten.
Omdat er geen functie kan gevonden worden waarvan W (v) de variatie is, bestaat er
geen functionaal meer. Het principe van Hamilton kan dan ook niet meer in die hoeda-
nigheid gedefinieerd worden. Voor conservatieve krachten is W (v) = −δV waarmee de
oude vertrouwde vergelijkingen van Lagrange van de 2e soort teruggevonden worden. Na
substitutie van (1.15) in (1.14) bekomt men
∫ t2
t1
∂qi δqi
t2 t1
= 0. (1.16)
Daar er gewerkt wordt met variaties met vaste eindpunten, is de laatste som nul. Samen
met de wetenschap dat alle variaties δqi onafhankelijk zijn, bekomt men de vergelijkingen
van Lagrange van de 1e soort (1.8) . Er dient opgemerkt te worden dat indien er ook con-
servatieve krachten aanwezig zijn, deze ondergebracht kunnen worden in een (onvolledige)
Lagrangiaan wat de vergelijkingen van Lagrange van de 3e soort oplevert.
d
dt
( ∂L
∂qi
) − ∂L
1.3 Van Lagrange naar Hamilton
Vooraleer over te gaan naar de geometrische beschrijving van de mechanica, worden eerst
nog de vergelijkingen van Hamilton uit die van Lagrange afgeleid. Stel dat het me-
chanische systeem gekarakteriseerd wordt door een Lagrangiaan L(q, q, t). Met elke qi
correspondeert dan een toegevoegd moment pi gegeven door
pi = ∂L
∂qi . (1.18)
Er geldt dus pi = pi(q, q, t), i = 1, . . . , n. Vervolgens kan bewezen worden dat deze relaties
genverteerd kunnen worden naar qi = qi(q, p, t), i = 1, . . . , n waarmee de Hamiltoniaan
kan opgesteld worden.
Definitie 1.4 (Hamiltoniaan) De Hamiltoniaan H(q, p, t) wordt gedefinieerd door in
n∑ i=1
H(q, p, t) = n∑ i=1
qi(q, p, t)pi − L ( q, q(q, p, t), t
) (1.19)
Deze overgang van coordinaten (q, q, t) naar coordinaten (q, p, t) wordt de Legendretrans-
formatie genoemd. Uit het linkerlid van (1.19) volgt dat
dH(q, p, t) = n∑ i=1
( ∂H
( ∂L
oplevert. Hierbij is in de laatste stap gebruik gemaakt van (1.17)
∂L
∂qi =
d
dt
( ∂L
∂qi
Gelijkstellen van de overeenkomstige coefficienten geeft —afgezien van ∂H/∂t =
−∂L/∂t— de canonische vergelijkingen van Hamilton.
qi = + ∂H
∂pi (1.20a)
pi = −∂H
Wat een stelsel van 2n differentiaalvergelijkingen van eerste orde is.
Hoofdstuk 2
In dit hoofdstuk worden de configuratie- en faseruimte in een differentiaalmeetkundige
context gedefinieerd. Vervolgens wordt een beknopte kennis van tensorvelden en de be-
werkingen die hierop ageren meegegeven om dan tot het begrip symplectische varieteiten
te komen. Gebruik makend van de speciale structuur van een symplectische varieteit wordt
er met elke Hamiltoniaan een Hamiltoniaans vectorveld geassocieerd dat de canonische
vergelijkingen van Hamilton (1.20) genereert. Belangrijk is dat in deze beschrijving de
vergelijkingen van Hamilton op een intrinsieke wijze geformuleerd worden, zonder in een
bepaald coordinatenstelsel te werken. Tenslotte worden ook de vergelijkingen van Lagran-
ge afgeleid. Er is gepoogd de abstracte begrippen die de geometrische beschrijving met
zich meebrengt op een intutieve manier aan te brengen, zonder een rigoureuze wiskundige
aanpak te hanteren. Inspiratie werd uit [3, 13, 14, 16] geput.
2.1 De configuratie- en faseruimte
2.1.1 De configuratieruimte
De configuratie van een systeem kan gekarakteriseerd worden d.m.v. een punt in zijn
configuratieruimte. Voor een systeem met N massapunten zonder bindingen is dit de
lineaire vectorruimte IR3N . Wanneer er bindingen optreden, zullen de toegelaten punten
10
Hoofdstuk 2. Geometrische beschrijving van de mechanica 11
slechts een deelruimte van IR3N vormen dat intutief als een oppervlak ingebed in IR3N kan
opgevat worden. Met m bindingen zal de configuratieruimte 3N − m = n dimensionaal
zijn. Nemen we als voorbeeld een massapunt verbonden via een massaloze staaf met lengte
1 aan een sferisch scharnier. De configuratieruimte is dan de eenheidsbol ‘S2’ ingebed in
de driedimensionale ruimte. We zoeken een gepast stel coordinaten voor de punten op S2
en denken hierbij aan de klassieke sferische coordinaten (θ, φ). D.m.v.
−1 1 :
z = cos θ
(2.1)
wordt elk punt van de rechthoek U ′ 1 = {(θ, φ) : 0 < θ < π, 0 < φ < 2π} ⊂ IR2 op U1 =
S2 \ {NV Z} afgebeeld. Het koppel (U1, 1) wordt een lokale kaart van S2 genoemd.
Essentieel daarbij is dat —naast het feit dat U1 een open deelverzameling van S2 is—
1 een homeomorfisme moet zijn, wat betekent dat zowel 1 als −1 1 continu zijn. Dit
verklaart waarom de polen N en Z niet in U1 opgenomen zijn, met θ = 0, π en elke 0 < φ <
π correspondeert namelijk N, respectievelijk Z. Om heel S2 van coordinaten te voorzien,
zal een tweede stel coordinaten moeten ingevoerd worden. Kiezen we bijvoorbeeld de
coordinaten (θ′, φ′) zoals gedefinieerd in figuur (2.1) .
Figuur 2.1: Coordinaten (θ′, φ′) op S2.
Hier komt de lokale kaart (U2, 2) mee overeen met U2 = S2 \ {OAW} en
−1 2 :
y = cos θ′
(2.2)
Samen bedekken ze heel het boloppervlak S2 en waar ze overlappen —U1 ∩ U2 =
S2 \ ({NV Z} ∪ {OAW})— bestaat er een C∞-diffeomorfisme 12 = 2 −1 1
U1∩U2
(zowel 21 als −1 21 zijn van orde C∞) tussen beide coordinaatsystemen. Men zegt dat
{(U1, 1), (U2, 2)} een C∞-atlas voor S2 vormt. Een expliciete uitdrukking van 12 kan
uit (2.1) en (2.2) gevonden worden wat voor θ′
θ′ = arccos (sin φ sin θ)
en φ′ de iets ingewikkeldere relatie
φ′ =
− arctan (cos φ tan θ) ; x < 0, z > 0
2π − arctan (cos φ tan θ) ; x < 0, z < 0
oplevert. In figuur (2.2) is het overlappen van lokale kaarten voor een willekeurig
oppervlak M afgebeeld. In het algemeen is een C∞-atlas van M een familie {(Ui, i) | i ∈
I} van lokale kaarten die voldoen aan
(i) M = i∈I Ui
(ii) bij overlappen van Ui en Uj bestaat er een C∞-diffeomorfisme ij = j −1 i
Ui∩Uj
Dit volstaat om een heuristische definitie van een differentieerbare varieteit te geven.
Definitie 2.1 Een C∞-differentieerbare varieteit M is een n-dimensionaal oppervlak te-
zamen met een C∞-atlas.
Figuur 2.2: Overlappen van lokale kaarten.
2.1.2 De raakruimte
In de vorige paragraaf werd de varieteit als een wiskundig instrument gentroduceerd om
de configuratie van een mechanisch systeem te beschrijven, in deze paragraaf wordt uit de
doeken gedaan hoe de veralgemeende snelheid zijn weg vindt in de differentiaalmeetkunde
door het begrip raakruimte in te voeren.
Nemen we figuur (2.3) in gedachten, de evolutie van de configuratie wordt beschreven
door de kromme c(t) op de varieteit ‘Q’ en de raakvector ‘vξ’ aan c(t) in ξ = c(0) stelt de
veralgemeende snelheid op tijdstip t = 0 voor. Nemen we voor de eenvoud aan dat gans
c(t) d.m.v. een enkele kaart (U,) kan ‘uitgelezen’ worden in IRn. Met vξ correspondeert
een raakvector aan de kromme c(t) = ( q1(t), . . . , qn(t)
) in het punt (ξ) = q0, zijn
componenten duiden we aan met ( v1 ξ , . . . , v
n ξ
) . (2.3)
In de differentiaalmeetkunde echter, wordt vξ niet louter als de raakvector aan een kromme
gedefinieerd, maar als een afleidingsoperator die inwerkt op functies f : Q → IR. Met
Figuur 2.3: Raakvector aan c(t) in c(0) = ξ.
Q = IRn, valt dit samen met het begrip richtingsafgeleide en kan men
vξ(f) = d
t=0
schrijven. Indien Q 6= IRn, is bovenstaande uitdrukking niet meer bruikbaar omdat vξ /∈ Q
en f(ξ + vξ · t) dus geen betekenis meer heeft. Door vξ(f) te definieren als
vξ(f) = d
(2.4)
is hier een mouw aan gepast. Dit kan verder uitgewerkt worden door gebruik te maken
van de kettingregel.
) t=0
∂
vξ = n∑ i=1
ξ , i = 1, . . . , n een stel basisvectoren vormen voor
de raakruimte aan Q in ξ die ‘TξQ’ wordt gedoopt, zie figuur (2.4) . Deze basisvectoren
Figuur 2.4: ∂ ∂qi
ξ , i = 1, . . . , n als basis voor de raakruimte TξQ aan Q in ξ.
volgen op een natuurlijke, canonische wijze uit de basis voor IRn. Stel dat de basisvectoren
van IRn gegeven worden door ei, i = 1, . . . , n en hiermee de curves ci : t → −1 [q0 + t · ei]
geconstrueerd worden, men vindt dan de ∂ ∂qi
ξ ’s terug door deze ci’s in vergelijking (2.4)
in te vullen.
In een laatste stap, wordt het punt ξ ‘losgelaten’, waarmee de componenten viξ alsook de
basisvectoren plaatsafhankelijk worden. Vergelijking (2.7) wordt daarmee
v = n∑ i=1
∂qi (2.8)
waarmee aan elk punt (binnen een zelfde kaart) van Q een afleidingsoperator gehecht is.
Het begrip raakruimte kan evenzeer uitgebreid worden door de unie van de raakruimtes
over alle punten van Q te nemen, wat ons bij de raakbundel ‘TQ’ van Q brengt.
TQ = ξ∈Q
) .
Een punt van TQ heeft (q, v) als coordinaten. De raakbundel zal dan ook het instrument
bij uitstek zijn om de configuratie en de snelheid van het systeem te karakteriseren.
2.1.3 De co-raakruimte
Het Hamiltonformalisme vergt nog de invoering van een ruimte waarin de toegevoegde
momenten kunnen beschreven worden. Het zal blijken dat dit de co-raakbundel ‘T ∗Q’ is.
Om dit te verantwoorden moeten eerst de begrippen duale ruimte en co- en contravariante
vectoren aangebracht worden.
Duale ruimte
Definitie 2.2 De duale ruimte E∗ van een eindig dimensionale vectorruimte E is de
ruimte van lineaire afbeeldingen van E naar IR. Met (e1, . . . , en) de basis van E wordt de
duale basis (α1, . . . , αn) van E∗ geconstrueerd volgens het voorschrift
αj (ei) = δji . (2.9)
Uit de lineariteit van de afbeelding volgt met x = n∑ i=1
xiei dat
xiδji = xj.
Hieruit volgt dat we de α’s kunnen opvatten als een stel ‘basisfuncties’ die een x ∈ E op
zijn coordinaten projecteert. Een y ∈ E∗
y = n∑ i=1
y (x) = n∑ i=1
yiα i (x) =
n∑ i=1
yix i
wat ook als y, x = x, y genoteerd wordt. Deze laatste notatie suggereert dat ook
omgekeerd x y op IR afbeeldt, wat inderdaad zo is.
De duale ruimte van TQ
We zijn nu klaar om de co-raakruimte aan Q in ξ ‘T ∗ ξ Q’ als de duale vectorruimte van
TξQ te introduceren. De co-raakbundel bekomt men dan door de unie te nemen van alle
co-raakruimtes aan Q.
( {ξ} × T ∗
ξ Q )
Dan rest nog de vraag hoe er een gepaste basis kan geconstrueerd worden. Om dit te be-
antwoorden, introduceren we de differentiaal ‘df ’ van een functie f : Q → IR gedefinieerd
door
df(v) = v(f) (2.10)
met v gegeven door (2.8) . Door nu de functies qi, i = 1, . . . , n —die een ξ ∈ Q op zijn
coordinaten afbeeldt— voor f en ∂ ∂qj voor v te kiezen, krijgen we
dqi( ∂
∂qj ) =
∂qi
wat voldoet aan (2.9) . Hiermee is de duale basis (dq1, . . . , dqn) van ( ∂ ∂q1
, . . . , ∂ ∂qn ) gevon-
df = n∑ i=1
αidqi
met voorlopig nog onbekende αi’s. Deze bepalen we door gebruik te maken (2.10)
n∑ i=1
n∑ i=1
df = n∑ i=1
∂qi dqi. (2.11)
df komt dus overeen met ons intutief begrip van een differentiaal van een functie.
Algemeen ziet een αξ ∈ T ∗ ξ Q er als volgt uit
αξ = n∑ i=1
(2.12)
die ook over heel Q (binnen een zelfde kaart) kan gedefinieerd worden
α = n∑ i=1
αi(q)dqi. (2.13)
Met vξ ∈ TξQ en αξ ∈ T ∗ ξ Q zal vξ, αξ een element van IR en daarmee v, α een reele
functie voorstellen.
v, α : Q → IR (2.14)
v krijgt dus niet alleen de interpretatie van afleidingsoperator, maar ook als afbeelding
van T ∗Q naar IR. In paragraaf §2.3.1 zullen we nog een 3e interpretatie ontmoeten.
Co- en contravariante vectoren
Co- en contravariante vectoren verschillen in de wijze hoe ze transformeren bij een verande-
ring van basis. Stel dat in E van basis (e1, . . . , en) wordt overgegaan op basis (e′1, . . . , e ′ n).
Deze zijn met elkaar verbonden via het voorschrift e′j = n∑ i=1
Aijei. Omgekeerd is dan
ej = n∑ i=1
Bije ′ i met B = A−1. Door x ∈ E uit te drukken in de verschillende basissen,
bekomen we n∑
i=1
Bjix i, j = 1, . . . , n. (2.15)
De componenten van x veranderen bij een overgang op een nieuwe basis m.a.w. volgens
A−1, wat de naam contravariant verklaart. Volgens de conventie worden de componenten
van een contravariante vector met een superscript geschreven.
Anders is het met y ∈ E∗
n∑ j=1
n∑ i=1
y′j = n∑ i=1
Aijyi, j = 1, . . . , n (2.16)
wat een covariante vector wordt genoemd. Deze worden met een subscript aangeduid.
Het toegevoegde moment als co-variante vector
Passen we het bovenstaande toe op de raakruimte TξQ waarin wordt overgegaan op een
nieuwe basis ∂
∂q′j
Aij ∂
∂qi
ξ
(2.17)
dan kan vjξ analoog aan (2.15) in functie van v′ξ geschreven worden.
vjξ = n∑ i=1
Waaruit de voor ons bruikbare formule volgt
∂vjξ ∂v′iξ
= Aji , i, j = 1, . . . , n. (2.19)
Keren we nu terug naar het Lagrangeformalisme. Bij overgang op een nieuw stel veralge-
meende coordinaten, krijgen we een nieuwe Lagrangiaan
L′ ( q′, v′, t
p′i = ∂L′
n∑ j=1
p′i = n∑ j=1
Ajipj.
Het toegevoegde moment gedraagt zich dus inderdaad als een co-variante vector wat
verantwoordt dat deze de elementen van de co-raakruimtes vormen. Een punt van de
co-raakbundel heeft dan de 2n coordinaten (q, p) en T ∗Q stelt dus de faseruimte van het
systeem voor.
Tot slot van deze paragraaf stellen we ons tot doel de gedaante van de coefficienten Aij te
achterhalen. Hernemen we figuur (2.2) en associeren we het coordinatenstelsel q met 1,
q′ met 2 en q (q′) dus met 21 = 1 −1 2 . Dan kan door formule (2.5) te herschrijven
als
1 21 2 c(t) ) t=0
het verband tussen de vjξ en v′iξ ’s achterhaald worden. Toepassen van de kettingregel geeft
vξ(f) = n∑ j=1
waarin f −1 1 = f1 , 21 = q (q′), 1 (ξ) = q0 en 2 (ξ) = q′0 gebruikt is. Samen met
(2.6) en q′i (0) = v′iξ bekomt men dan
vξ(f) = n∑ j=1
q′=q′0
· v′iξ (2.20)
gevonden wordt. Vergelijken van (2.20) met (2.18) levert ons tenslotte het gezochte
verband.
2.2 Afbeeldingen tussen varieteiten
Hierna zullen we afbeeldingen f : M → N beschouwen, afhankelijk van de gekozen kaart
zal f onder een andere gedaante voorkomen. Neem bijvoorbeeld voor M het boloppervlak
uit paragraaf §2.1.1 en de functie f : M → IR (IR is ook een varieteit) die met elk punt
m ∈ M zijn hoogte associeert. Hiermee wordt f gelijk aan ‘cos θ’ in de ene en ‘sin θ′ cos φ′’
in de andere basis. In wat volgt zal geen onderscheid gemaakt worden tussen de begrippen
‘afbeelding’ (f) en ‘coordinaatuitdrukking van een afbeelding’ (fψ) —zie figuur (2.5) —,
wat in een rigoureuze behandeling wel dient te gebeuren.
2.2.1 Natuurlijke projecties
Tussen een raakbundel TM en zijn onderliggende varieteit M bestaat de natuurlijke pro-
jectie
τM : TM → M (2.22)
zodanig dat ∀ vm ∈ TmM : τM(vm) = m. Volledig analoog hebben we de natuurlijke
projectie
πM : T ∗M → M (2.23)
die alle αm ∈ T ∗ mM afbeeldt op m. Het is duidelijk dat deze projecties een intrinsieke
betekenis hebben.
Figuur 2.5: ‘Afbeelding’ (f) versus ‘coordinaatuitdrukking van een afbeelding’ (fψ).
2.2.2 De raakafbeelding
Elke afbeelding tussen varieteiten f : M → N induceert een aanverwante raakafbeelding
Tf : TM → TN .
Definitie 2.3 De raakafbeelding Tmf : TmM → Tf(m)N geassocieerd met een C∞−afbeelding
f : M → N is de afbeelding bepaald door
Tmf(vm)(g) = vm(g f) (2.24)
met vm ∈ TmM en g een C∞-functie N → IR.
Een andere interpretatie bestaat erin Tmf als de afbeelding te beschouwen die een raak-
vector vm aan een kromme c : IR → M in m omzet in de raakvector Tmf(vm) aan de
kromme f c : IR → N in f(m), zie figuur (2.6) . We zoeken de coordinatenuitdrukking
van Tmf . Stel dat ∂ ∂xi
m
, i = 1, . . . , k een basis voor TmM vormt en f : x → y door de
functies yj(x), j = 1, . . . , ` wordt voorgesteld. Dan volgt uit (2.24) met toepassing van
de kettingregel en f(x) = y(x)
Tmf(vm)(g) = k∑ i=1
vim ∂ (g f)
∂yj
f(m)
(g) .
Door identificatie van de termen en de raakafbeelding binnen heel de kaart te definieren,
bekomen we tenslotte
Waarin de transformatie van een partiele afleidingsoperator kan herkend worden.
Figuur 2.6: De raakafbeelding Tmf : TmM → Tf(m)N geassocieerd met f : M → N .
2.3 Vector- en tensorvelden
Om het Hamiltonformalisme in te bedden in de wereld van de differentiaalmeetkunde, zal
het nodig zijn om het over tensorvelden op varieteiten te hebben. De varieteit duiden we
met M , en haar coordinaten met (x1, . . . , xn) aan.
2.3.1 Types van tensorvelden
Eerst wordt een algemene definitie van een tensorveld gegeven waarna kort de belangrijk-
ste types besproken worden.
Definitie 2.4 (Tensorveld) Een (r, s)-tensorveld op M is een voorschrift dat op dif-
ferentieerbare wijze met elk punt m van een varietiet M een tensor associeert over de
raakruimte TmM in m.
m → t(m) = tm
tm : (T ∗M)r × (TM)s → IR.
C∞-functies op M
De C∞-functies of tensorvelden van type (0, 0) worden genoteerd als f : M → IR en
vormen de verzameling F(M).
X : M → TM
m → X(m) = Xm
zodat Xm overeenkomt met de reeds ingevoerde begrippen (2.7) en (2.14) . Alle
mogelijke vectorvelden op M vormen de verzameling X (M). Uitgedrukt in coordinaten
geeft
Co-vectorvelden of 1-vormen
α : M → T ∗M
m → α(m) = αm
zodat αm een co-raakvector voorstelt zoals in (2.12) . Ze vormen de verzameling X ∗(M)
en in coordinaten uitgedrukt geeft dit
α = n∑ i=1
αi (x) dxi (2.27)
Differentiaal k-vormen
Een differentiaal k-vorm of kortweg k-vorm ‘ω’ is een tensorveld van type (0, k)
ω : M → k(M) ⊂ T 0 k (M) = (T ∗M)k
m → ω(m) = ωm
ωm ( Xσ(1)m , . . . , Xσ(k)m
) = sign(σ) ·ωm (X1m , . . . , Xkm) , ∀ σ ∈ Sk (2.28)
voor elke m ∈ M en waar Sk de groep van alle permutaties van (1, . . . , k) voorstelt met
sign(σ) = +1 of −1 naargelang de permutatie even of oneven is. Dit betekent dat ωm
antisymmetrisch in zijn argumenten is. De verzameling van alle k-vormen over M stellen
we voor door Λk(M). Merk ook op dat F(M) = Λ0(M) en X ∗(M) = Λ1(M).
Voorbeeld 2.1 Stel k = 3, dan is σ = (1, 3, 2) een oneven permutatie van (1, 2, 3) zodat
sign(σ) = −1 is. Voor een 3-vorm moet dan gelden dat
ωm (X1m , X3m , X2m) = −ωm (X1m , X2m , X3m) . (2)
We zoeken nu een coordinaatuitdrukking van k-vormen. Algemeen is
ω (X1, . . . , Xk) = ω
ω (X1, . . . , Xk) = n∑
k ω
) voor te stellen als ωi1...ik en gebruik te maken van
X i ` = dxi(X`) verkrijgen we
ω (X1, . . . , Xk) = n∑
ωi1...ikdxi1 (X1) . . . dxik (Xk). (2.29)
Hierin is nog geen rekening gehouden met de antisymmetrie van ω. Uit (2.28) met
sign(σ)2 = 1 en k! het aantal mogelijke permutaties volgt dat aan de identiteit
ω (X1, . . . , Xk) ≡ 1
) . (2.30)
is voldaan. Door in deze laatste formule ω ( Xσ(1), . . . , Xσ(k)
) te herschrijven d.m.v. (2.29)
) . . . dxik
( Xσ(k)
) . (2.31)
Met behulp van het uitwendig product zal dit in een elegante vorm kunnen gegoten
worden.
Definitie 2.5 (Uitwendig product) Het uitwendig product van een k-vorm ω en een
`-vorm ρ is
k!`!
) ρ ( Xσ(`), . . . , Xσ(k+`)
Men kan bewijzen dat voldaan is aan de volgende eigenschappen.
Stelling 2.1 Zij ω ∈ Λk(M), ρ ∈ Λ`(M) en µ ∈ Λm(M).
(i) ω ∧ ρ = (−1)k`ρ ∧ ω
(ii) ω ∧ (ρ ∧ µ) = (ω ∧ ρ) ∧ µ = ω ∧ ρ ∧ µ
Steunend op de associatieve eigenschap volgt voor het uitwendig product van de 1-vormen
dxi` , ` = 1, . . . , k dat
sign (σ) dxi1 ( Xσ(1)
ω = 1
ω = 1
2.3.2 Enkele bewerkingen op tensorvelden
De uitwendige afgeleide van k-vormen
In paragraaf §2.1.3 hebben we de differentiaal df van een functie f ∈ F(M) ingevoerd
a.d.h.v.
df(X) = X(f)
met X ∈ X (M). Met de net ingevoerde notaties echter, kan d genterpreteerd worden als
een afleidingsoperator die met een 0-vorm ( ∈ F(M) = Λ0(M)
) een 1-vorm
( X ∗(M) =
Λ1(M) )
associeert.
f → df
We zullen dit veralgemenen voor willekeurige k-vormen. Definieren we eerst een aflei-
dingsoperator van graad r.
Definitie 2.6 Een afbeelding D noemen we een afleidingsoperator van graad r, indien
(i) D(Λk(M)) ⊂ Λk+r(M)
(ii) D(ω + aρ) = D(ω) + aD(ρ), ω, ρ ∈ Λk(M) en a ∈ IR
(iii) D(ω ∧ ρ) = D(ω) ∧ ρ + (−1)krω ∧D(ρ), met ω ∈ Λk(M).
Er kan bewezen worden dat er een unieke afleidingsoperator van graad 1 bestaat waarvoor
d2 = d d = 0 en voor 0-vormen f ∈ Λ0(M) samenvalt met de differentiaal df van f .
Deze operator d wordt de uitwendige afgeleide van k-vormen genoemd. Het is belangrijk
op te merken dat dit een intrinsieke operator is, dat hij niet afhangt van de keuze van
coordinaten. Met (2.34) de coordinaatuitdrukking van een k-vorm, geeft dω per definitie:
dω = 1
i=1 αidxi hebben we
dα = n∑
i,j=1
∂αj ∂xj
De contractie van k-vormen met vectorvelden
Definitie 2.7 De contractie van een (k+1)-vorm ω ∈ Λk+1(M) met een vectorveld X ∈
X (M) —ook het inwendig product van X en ω genoemd— is de k-vorm iXω bepaald door
iXω (X1, . . . , Xk) = ω (X, X1, . . . , Xk) , ∀ X1, . . . , Xk ∈ X (M). (2.39)
Voor f ∈ Λ0(M) stellen we iXf = 0.
Er kan bewezen worden dat iX een afleidingsoperator van graad −1 is. Vermelden we hier
enkel nog dat voor een 1-vorm α geldt dat
iXα = X,α
De pull-back van een 1-vorm
Stel dat men beschikt over een 1-vorm α ∈ X ∗(N) en een C∞-afbeelding f : M → N .
We zouden graag α d.m.v. f ∗ ‘terugvoeren’ naar M zodat we een 1-vorm f ∗α ∈ X ∗(M)
bekomen, zie figuur (2.7) .
Definitie 2.8 (Pull-back van een 1-vorm) Zij α ∈ X ∗(N) en f een C∞-afbeelding
f : M → N , dan wordt hiermee de pull-back f ∗α ∈ X ∗(M) geassocieerd, bepaald door:
(f ∗α) (m) (vm) = α ( f (m)
)( Tmf (vm)
) ∀ m ∈ M, ∀ vm ∈ TmM. (2.41)
Deze voorwaarde kan ook kort als (f ∗α)m , vm = ⟨ αf(m), Tmf (vm)
⟩ geschreven worden.
Gaan we op zoek naar de coordinatenuitdrukking van (f ∗α)m. Stel dat dim(M) = k,
dim(N) = ` en f : x → y door de functies yj=1,...,`(x) wordt voorgesteld, dan hebben we
(i) vm ∈ TmM ⇒ vm = ∑k
i=1 vim ∂ ∂xi
Figuur 2.7: De pull-back van een 1-vorm onder f .
(iii) (f ∗α)m ∈ T ∗ mM ⇒ (f ∗α)m =
∑k i=1 µi,m dxi|m
met vim, αj,f(m) willekeurig en µi,m nog te bepalen. Samen met de raakafbeelding
Tmf (vm) = k∑ i=1
∑ j=1
vim ∂yj
k∑ i=1
⟩ =
∂xi
m
) vim
op. Gelijkstellen van de overeenkomstige termen en (f ∗α)m binnen heel de kaart definieren
geeft finaal
∑ j=1
∂xi dxi. (2.42)
Wat een analoge uitdrukking als de raakafbeelding oplevert. Tot slot noteren we hier
enkele eigenschappen van de pull-back die later van pas zullen komen, zonder ze evenwel
te bewijzen.
Stelling 2.2 (Eigenschappen pull-back) Zij f : M → N , g ∈ F(N), α ∈ X ∗(N) en
Y ∈ X (N), dan geldt:
(i) pull-back van een C∞-afbeelding g: f ∗ (g) = g f ,
(ii) pull-back van een 2-vorm dα: f ∗ (dα) = d (f ∗α),
(iii) pull-back van een contractie van dα met Y : f ∗ (iY dα) = if∗Y (f ∗dα).
In de laatste eigenschap duikt ook de pull-back van een vectorveld ‘f ∗Y ’ op, deze is enkel
gedefinieerd wanneer ook f−1 bestaat of f m.a.w. een diffeomorfisme is. We laten f ∗Y
verder ongespecificeerd maar het is wel duidelijk dat f ∗Y ∈ X (M).
2.4 De Hamiltoniaan in de geometrische beschrijving
De Hamiltoniaan is een functie van de veralgemeende coordinaten en hun toegevoegde
momenten wat in de analytische beschrijving H ∈ F(IR2n) en voor de geometrische be-
schrijving H ∈ F(T ∗Q) geeft (in §2.1.3 werd aangetoond dat met Q de configuratieruimte
van het systeem, T ∗Q de faseruimte voorstelt). In de analytische beschrijving is het
niet mogelijk om H los van zijn coordinaten te zien. Anders is het met de geometrische
beschrijving. Hierin is een coordinatensystemen slechts een uitdrukking van dezelfde, on-
derliggende varieteit en die varieteit heeft betekenis ook zonder die coordinaten. Net zoals
het voorbeeld aangehaald in §2.2 waar de hoogte van een punt op een boloppervlak een
intrinsieke betekenis heeft, heeft de Hamiltoniaan dit ook. Het heeft m.a.w. zin over een
Hamiltoniaan te spreken, ook zonder het coordinatensysteem te specificeren.
Deze paragraaf is gewijd aan de vertaling van de canonische vergelijkingen van Hamilton in
de analytische naar de geometrische beschrijving. Eerst wordt getoond hoe een vectorveld
een stelsel differentiaalvergelijkingen van 1e orde genereert, dan hoe een vectorveld op
intrinsieke, eenduidige wijze met een Hamiltoniaan verbonden is. De hierbij gevolgde
strategie is genspireerd door de speciale structuur die de canonische vergelijkingen van
Hamilton herbergen. Hernemen we nog eens vergelijkingen (1.20) voor een conservatief
systeem
∂qi .
en schrijven we dit in matrixvorm door (q, p) als een stel coordinaten te behandelen.
d
dt
Dan blijkt hier een anti-symmetrische matrix in op te duiken.
2.4.1 Vectorvelden en differentiaalvergelijkingen
beginnen met volgende definitie.
Definitie 2.9 (Integraalkromme) Een C∞-kromme γ : ]a, b[ → M noemen we een
integraalkromme van X ∈ X (M) als de raakvector in elk punt m van de kromme γ sa-
menvalt met Xm.
In §2.2.2 werd geopperd dat de raakafbeelding Tf de afbeelding is die een raakvector aan
een kromme c afbeeldt op de raakvector aan de kromme f c. De raakvector aan γ in M
kan dus gevonden worden door de raakvector in IR af te beelden d.m.v. Tγ. Met γ een
integraalkromme geldt dan per definitie
Tγ
( d
dt
t0
) = X
( γ(t0)
Neem x(t) als de voorstelling van γ in coordinaten, met toepassing van (2.25) krijgen
we n∑ i=1
van 1e orde oplevert.
Een vectorveld induceert m.a.w. een stelsel differentiaalvergelijkingen van 1e orde waar-
van de integraalkrommes oplossingen zijn. Nu is een vectorveld over heel de varieteit
gedefinieerd en een integraalkromme slechts over een deelverzameling ervan. Daar kan
echter een mouw aan gepast worden. Stel dat we beschikken over een integraalkromme
γm van X die door een punt m ∈ M gaat. Zonder verlies van algemeenheid kunnen we
stellen dat 0 ∈ ]a(m), b(m)[ en γm(0) = m. Volgens de existentie- en eenduidigheidsstel-
ling is er steeds zo een kromme te vinden. Bovendien zal γm op een continue manier van
de beginvoorwaarde afhangen, wat toelaat de flow ‘φ’ van een vectorveld in te voeren.
Deze heeft de beginwaarde m als een extra variabele —naast de tijd— en associeert met
elk punt m ∈ M een integraalkromme aan X met γm(0) = m, m.a.w.:
φ(t,m) = γm(t). (2.45)
Er kan de volgende belangrijke stelling bewezen worden.
Stelling 2.3 (Existentie- en eenduidigheidsstelling) Zij X ∈ X (M) een zacht ver-
lopend vectorveld. Voor elke m ∈ M bestaat er een maximaal open interval Im =
]a(m), b(m)[ van 0 en een zacht verlopende kromme φm : Im → M die voldoet aan
dφm dt
(t) = X ( φm(t)
) , ∀ t ∈ Im (2.46a)
φm(0) = m, (2.46b)
op continue wijze afhankelijk is van de beginwaarde m en uniek bepaald is op het overeen-
komstige interval Im
2.4.2 De co-raakbundel als symplectische varieteit
In deze paragraaf zetten we eerst uiteen wat een symplectische varieteit is en tonen dan aan
dat de co-raakbundel T ∗Q op een intrinsieke wijze uitgerust is met zo een symplectische
structuur.
Symplectische varieteit
Definitie 2.10 Een symplectische varieteit is een koppel (M, ω) met ω een niet-ontaarde
gesloten 2-vorm op de varieteit M.
Waarbij nog gespecificeerd dient te worden wat een niet-ontaarde gesloten 2-vorm bete-
kent. Het geloten zijn van ω wil zeggen dat dω = 0. Merken we nu reeds op dat indien ω
als de uitwendig afgeleide van een 1-vorm ω = dα te schrijven is, uit d2 = d d = 0 volgt
dat ω dan zeker gesloten is. Het niet-ontaard is als volgt gedefinieerd.
Definitie 2.11 ω ∈ Λ2(M) heet niet-ontaard indien ω(X, Y ) = 0,∀X ∈ X (M) ⇒ Y = 0.
Wat equivalent is met de voorwaarde dat de determinant van de coefficientenmatrix
det(ωij) verschillend is van nul.
De canonische 1-vorm
Een 1-vorm θ op M = T ∗Q is een co-vectorveld dat met elk punt m ∈ M een afbeelding
θm : Tm (T ∗M) → IR associeert. Nu zouden we graag een canonische 1-vorm vinden, een
die een intrinsieke betekenis heeft. Omdat we op een co-raakbundel werken, beschikken
we alvast over de natuurlijke afbeelding πQ : T ∗Q → Q. Deze heeft een intrinsieke
betekenis dus als we er in slagen uit πQ een 1-vorm af te leiden, is de klus geklaard.
Neem figuur (2.8) in gedachten. Hier is op onorthodoxe wijze getracht een voorstelling
te geven van TπQ(m)M en T ∗ πQ(m)M in πQ(m) gehecht aan Q. Bovendien is gellustreerd
hoe een vm ∈ Tm(T ∗Q) door de raakafbeelding TπQ op TπQ(m)Q wordt afgebeeld.Omdat
m en TπQ(vm) in elkaars duale ruimte liggen, is m,TπQ(vm) ∈ IR. Idem dito voor
θm ∈ T ∗ m(T ∗Q) en vm. Nu zijn alle ingredienten aanwezig om θ te definieren.
Figuur 2.8: Constructie canonische 1-vorm.
Definitie 2.12 De fundamentele of canonische 1-vorm op T ∗Q is de 1-vorm θ bepaald
door
∀ vm ∈ Tm (T ∗Q) : θm (vm) = vm, θm = TπQ (vm) , m . (2.47)
Rest nu nog de coordinatenuitdrukking te zoeken. Stellen we voor de eenvoud van notatie
πQ(m) = ξ, dan hebben we alvast
(i) m ∈ T ∗ ξ Q ⇒ m = αξ =
∑n i=1 pi dqi|ξ
(ii) vm ∈ Tm(T ∗Q) ⇒ vm = ∑n
i=1
( µi dqi|m + νi dpi|m
) met ai, bi, pi willekeurig, en µi, νi nog te bepalen. De natuurlijke projectie in coordinaten
uitgedrukt geeft
TπQ(vm) = n∑ i=1
n∑ i=1
n∑ i=1
aipi
volgt µi = pi en νi = 0, i = 1, . . . , n. Waarmee de coordinatenuitdrukking van θm bepaald
is.
θ = n∑ i=1
De canonische 2-vorm
Door de uitwendige afgeleide (2.38) van θ te nemen, bekomen we de canonische 2-vorm
ω = dθ = n∑ i=1
dpi ∧ dqi (2.49)
die al zeker gesloten is. We herschrijven bovenstaande formule door de coordinaten
(x1, . . . , x2n) = (q1, . . . , qn, p1, . . . , pn) van M = T ∗Q te gebruiken
ω = n∑ i=1
∂ ∂xj ) gegeven is door
wat dezelfde coefficientenmatrix geeft als de vergelijkingen van Hamilton in matrixvorm
(2.43) . Bovendien is det(ωij) 6= 0 zodat ω niet-ontaard is.
2.4.3 Hamiltoniaanse vectorvelden
We zullen aantonen dat er met elke Hamiltoniaan H ∈ F(T ∗Q) op eenduidige wijze een
vectorveld XH ∈ X (T ∗Q) kan geassocieerd worden.
Definitie 2.13 Het Hamiltoniaans vectorveld XH , corresponderend met de Hamiltoniaan
H ∈ F(T ∗Q), is het vectorveld bepaald door de relatie
iXH ω = −dH (2.50)
met ω de canonische 2-vorm op T ∗Q.
XH kunnen we als volgt bepalen, met XH ∈ X (T ∗Q) krijgen we
XH = n∑ i=1
) , µi, νi ∈ F(T ∗Q)
waarbij µi(q, p) en νi(q, p) nog te bepalen functies zijn. Hiermee is, steunend op vergelij-
kingen (2.39) en (2.33) ,
dH = n∑ i=1
) (2.52)
oplevert. Gelijkstellen van de overeenkomstige termen in (2.51) en (2.52) geeft dan
uiteindelijk
qi = + ∂H
geassocieerd is.
Opmerking 2.1 Bij de afleiding van (2.51) is nog iets over het hoofd gezien. Indien
det(ωij) = 0, bestaat er een Y ∈ X (T ∗Q) waarvoor ω(Y, · ) = 0. Zodus zou XH + aY ,
a ∈ F(T ∗Q) ook een oplossing zijn van (2.50) . Het niet-ontaard zijn van ω garandeert
m.a.w. het enig zijn van XH .
2.5 De Lagrangiaan
Steunend op de resultaten bekomen uit de vorige paragraaf, worden de vergelijkingen van
Lagrange afgeleid. In hoofdstuk 1 was de Lagrangiaan een functie van de posities en hun
snelheden, logischerwijs kan hier de Lagrangiaan als een C∞-functie L ∈ F(TQ) ingevoerd
worden. Bovendien kwam in paragraaf §1.3 reeds de Legendretransformatie ter sprake als
de overgang van coordinaten (q, q, t) naar coordinaten (q, p, t) via pi = ∂L ∂qi . Beschouwen
we hier enkel bindingen die niet expliciet van de tijd afhangen, de Legendretransformatie
in de geometrische beschrijving is daarmee een afbeelding L : TQ → T ∗Q geassocieerd
met de Lagrangiaan L : TQ → IR. Uitgedrukt in coordinaten geeft dit
L : (q, v) → L (q, v) =
( q1, . . . , qn; p1 =
∂L
∂vn
) . (2.54)
We stellen nu als doel de vergelijkingen van Lagrange (1.9) uit vergelijking (2.50) af te
leiden [13, p. 77–81]. Hiertoe maken we gebruik van de pull-back onder L waarmee dH
terug gevoerd kan worden naar X ∗(TQ). Nemen we de pull-back van vergelijking (2.50)
onder L
L∗ (iXH ω) = L∗ (−dH)
en maken we gebruik van de eigenschappen (2.2) , dan volgt met ω = dθ
iL∗XH d (L∗θ) = −d (H L) . (2.55)
Stellen we hierin L∗XH = XL het Lagrangeiaans vectorveld en lossen we bovenstaande
vergelijking hiernaar op. Omdat XL ∈ X (TQ), kan XL als
XL = n∑ i=n
∂vi (2.56)
geschreven worden met µi en νi onbekend. Nemen we eerst het linkerlid onderhanden.
Met θ = ∑n
i=1 pidqi volgt uit (2.42) de pull-back van θ onder L
L∗θ = n∑ i=1
∂L
[ n∑ j=1
∧ dqi (2.57)
waarin de uitwendige afgeleide van een 1-vorm (2.37) gebruikt is. L∗θ wordt ook wel de
,
H L = n∑ i=1
vi ∂L(q, v)
−d (H L) = n∑ j=1
[ ∂
) dvj
] . (2.60)
Gelijkstellen van de overeenkomstige termen in (2.58) en (2.60) —wetende dat de
indices (i, j) mogen verwisseld worden omdat de sommatie over i, j = 1, . . . , n loopt—
levert de voorwaarden
n∑ i=1
∂vj∂vi (2.61b)
op voor j = 1, . . . , n. Indien L regulier verondersteld wordt, is
det
( ∂2L
) 6= 0 (2.62)
en XL daarmee uniek bepaald. In paragraaf §2.4.1 werd uit de doeken gedaan hoe een een
vectorveld een stelsel differentiaalvergelijkingen van 1e orde induceert, volgens vergelijking
(2.46a) voldoen de componenten van XL dus aan
qi = µi, i = 1, . . . , n (2.63a)
vi = νi, i = 1, . . . , n. (2.63b)
Uit vergelijking (2.61b) volgt samen met (2.62) dat µi = vi, i = 1, . . . , n. Dit samen
met de verbanden (2.63) ingevuld in (2.61a) geeft
n∑ i=1
waaruit de vergelijkingen van Lagrange volgen.
d
dt
( ∂L
∂vj
) − ∂L
Opmerking 2.2 De Lagrangiaan werd d.m.v. vergelijking (2.59) op een coordinaataf-
hankelijke wijze in het verhaal betrokken. In [14, p. 144] echter, wordt het Liouvillevec-
torveld ‘Z’ op intrinsieke wijze gedefinieerd en de coordinaatuitdrukking ‘Z = ∑n
i=1 vi ∂ ∂vi ’
afgeleid. Zodoende vindt men
H L = iZdL− L (2.64)
waarin we er aan herinneren dat iZdL = dL (Z) = Z (L), zie vergelijking (2.40) .
Hoofdstuk 3
Mechanische bindingen
Waar in de vorige hoofdstukken enkel holonome bindingen beschouwd werden en het prin-
cipe van d’Alembert (1.4) gehanteerd werd om de bewegingsvergelijkingen af te leiden, zal
hier het principe van d’Alembert onder de loep genomen worden en de nodige analytische
en differentiaalmeetkundige ‘tools’ aangereikt worden om ook niet-holonome bindingen
te modelleren. Eerst zullen niet-holonome bindingsvergelijkingen die affien in de snel-
heden zijn aan bod komen, nadien worden ook algemene besproken. Voor de eenvoud
behandelen we enkel mechanische systemen met een gladde, n-dimensionale configuratie-
ruimte ‘Q’ die niet van de tijd afhangt. De conventie volgend, zullen de coordinaten in de
analytische beschrijving door qi, qi en pi gegeven worden, in een differentiaalmeetkundige
context gebruiken we qi, vi en pi.
3.1 Voorbespreking
3.1.1 Holonome versus niet-holonome bindingen
Toen Joseph Louis Lagrange in 1788 zijn ‘Mecanique Analytique’ publiceerde en daarmee
de grondslag legde voor alle verdere ontwikkelingen in de theoretische mechanica, was hij
nog niet op de hoogte van het bestaan van niet-holonome bindingen. Het zou nog meer
dan 100 jaar duren aleer Heinrich Rudolf Hertz in 1894 het onderscheid tussen holono-
me en niet-holonome mechanische bindingen aankaartte. Holonome —of geometrische—
bindingsvergelijkingen leggen restricties op aan de mogelijke geometrische posities van de
41
individuele delen van het systeem. Niet-holonome —of kinematische— bindingsvergelij-
kingen daarentegen beperken de mogelijke snelheden. Belangrijk hierbij is in te zien dat
geometrische bindingen ter zelfdertijd aanleiding geven tot kinematische bindingen. Zo zal
het opleggen van |r| = ` aan een massapunt impliceren dat —in sferische coordinaten—
de radiale snelheid nul zal moeten zijn. Omgekeerd echter, beperken kinematische bindin-
gen in het algemeen de mogelijke posities niet. Illustreren we dit a.d.h.v. het voorbeeld
van een rollende, verticale, homogene schijf met straal r uit figuur (3.1) [4, p. 3–5].
06/01/2004 2.6 Constraints in mechanics 109
z
y
x
φr
θ
Figure 2.9 A rolling disk
The example is a disk rolling upright on a flat surface as shown in Figure 2.9. The configuration space for the disk is Q = R
2 × T 2, where R
2 gives the point where the disk touches the plane and where the angles in T
2 describe the two angles of rotation, “roll” and “spin.” For coordinates on Q, we shall take (x, y, θ, φ) as shown in Figure 2.9.
We suppose the disk to have a uniform mass distribution with support in a vertical plane. Thus its inertia tensor has two equal eigenvalues as seen in Proposition 1.5.9. We denote the inertia for the “spin” motion by J and the inertia for the “roll” motion by I. The mass of the body we denote by m. The kinetic energy for the disk is then
K = 1
g = m(dx ⊗ dx + dy ⊗ dy) + Idθ ⊗ dθ + Jdφ ⊗ dφ.
We suppose the system to be without potential, which will be the case if gravity acts in the z-direction in Figure 2.9.
Now let us describe the constraints. We ask that the disk roll without slipping on the plane. This will place constraints on the velocities allowed to us, as we shall now see. In Figure 2.10, we view the disk from directly above. A little thought with this picture, and
θ (x, y)
Figure 2.10 The rolling disk from above
one realises that the condition that the disk roll without slipping may be expressed as the
110 2 Lagrangian mechanics 06/01/2004
condition x = r cos θφ, y = r sin θφ,
where r is the radius of the disk. This means that the points (x, y, θ, φ, vx, vy, vθ, vφ) in TQ which are allowed by the constraints must satisfy
vx − r cos θvφ = 0, vy − r sin θvφ = 0.
We now must put this into the form we have given for a constraint. That is, we must write down the set of allowable velocities at each configuration (x, y, θ, φ). We shall do this by writing down vector fields on Q which span the linear part of the constraint distribution at each point. To do this, we note that a vector field X given by
X = Xx ∂
∂x + Xy
∂φ
will satisfy the constraints if and only if the vector (Xx, Xy, Xθ, Xφ) lies in the kernel of the matrix [
] .
X1 = r cos θ ∂
∂x + r sin θ
We therefore have
C(x,y,θ,φ) = span R {X1(x, y, θ, φ), X2(x, y, θ, φ)} .
We note that this is therefore a linear constraint.
2.6.2 Holonomic and nonholonomic constraints We have already seen that a constraint is linear when Cq = (Cq) for each q ∈ Q. Linear constraints are by far the predom- inant type, although others certainly occur. Within the set of linear constraints, however, there is an important distinction which can be made. Let q0 ∈ Q. Denote by Mq0 the set of points q ∈ Q for which there exists a piecewise differentiable curve c : [0, 1] → Q, satisfying the constraints, with the property that c(0) = q0 and c(1) = q. Thus Mq0 is the set of points reachable from q0 with curves which satisfy the constraint. The set of points Mq0
will typically be some smooth surface in Q running through the point q0, and so Mq0 will have a well-defined dimension. We shall suppose that this dimension is independent of the point q0, something which is frequently true. A linear constraint C is holonomic if the dim(Mq0) = rank(C). A constraint which is not holonomic is called nonholonomic. Thus, the idea with an holonomic constraint is that one can only access as many dimensions in configuration space as directions are allowed by the constraints. Perhaps a newcomer would expect that this would always be the case. But the fact of the matter is that many linear constraints are in fact nonholonomic. If this were not so, you would not be able to park your car. Indeed, your car can be thought of as having a configuration space of dimension 5 (at least for present purposes): (1) 3 dimensions for the position and orientation of the car (say (x, y, θ)); (2) 1 dimension for the steering wheel angle; (3) 1 dimension for the drive wheel angle i.e., what makes the car move forward. However, you have direct access to only 2 of the 5 directions, one via the steering angle, and the other via the drive wheel angle.
Figuur 3.1: Rollende schijf [8, p. 109].
Zij θ de hoek die het vlak van de schijf met het (x, z)-vlak maakt, φ de hoek beschreven
door een vaste straal van de schijf en de horizontale, en (x, y) de coordinaten van het
massacentrum C. De configuratieruimte is dan Q = IR2 × T2 met T2 = S1 × S1 de 2-
dimensionale torus en S1 de eendimensionale bol (of cirkel). Als bijkomende voorwaarde
wordt opgelegd dat de schijf moet rollen zonder glijden. Per definitie betekent dit dat de
ogenblikkelijke snelheid van het raakpunt ‘A’ van de schijf met het raakvlak nul moet zijn
of
vC = vA + ω ×AC = ω ×AC (3.1)
met ω de ogenblikkelijke rotatievector. Uitgedrukt in coordinaten levert dit 2 niet-
Hoofdstuk 3. Mechanische bindingen 43
holonome bindingen op
y − (r sin θ) φ = 0. (3.2)
Hierdoor blijven er slechts 4 − 2 = 2 vrijheidsgraden voor de snelheden over. Daar
tegenover staat dat vanuit een gegeven beginpositie (x0, y0, θ0, φ0) elke configuratie
(x1, y1, θ1, φ1) kan bereikt worden door de schijf vanuit (x0, y0) langsheen een curve met
lengte r (φ1 − φ0 + 2πk) —k ∈ N0— naar (x1, y1) te rollen en dan te roteren tot in θ = θ1.
De rolvoorwaarden beperken de te bereiken posities dus niet.
3.1.2 Het principe van d’Alembert verder uitgediept
Doen we de berekeningen die leiden tot de vergelijkingen van Lagrange (1.9) nog eens over
voor een stelsel van N massapunten onderworpen aan m holonome bindingen, maar zonder
gebruik te maken van het principe van d’Alembert (1.4) . Uit de bewegingsvergelijkingen
(1.5)
bekomt men
= N∑ k=1
Rk · ∂rk ∂qi
, i = 1, . . . , n.
waarin het rechterlid nu niet gelijk aan nul genomen is. Het linkerlid kan —zie paragraaf
§1.1.3— m.b.v. de Lagrangiaan herwerkt worden en de som in het rechterlid schrijven we
kortweg als fi(q, q).
= Qi + fi (q, q) , i = 1, . . . , n (3.3)
Zodoende bekomt men n 2e orde differentiaalvergelijkingen in de n onbekenden qi=1,...,n (t).
Om dit op te lossen, dienen de fi’s echter wel in functie van (q, q) gekend te zijn en hiervoor
zal men veronderstellingen moeten maken in overeenstemming met fysische eigenschappen
van de binding. Voor een massapunt, bewegend op Q = IR2, zou men bijvoorbeeld een
van de volgende modellen kunnen hanteren.
1. Visceuze (natte) wrijving wordt gekarakteriseerd door een kracht in de zelfde richting
als de verplaatsing maar met tegengestelde zin. Ze is een lineaire functie van de
snelheden. In cartesische coordinaten, met r = x1x + y1y, geeft dit
RV isceus = −µV (x1x + y1y)
waarin µV een positieve viscositeitscoefficient voorstelt. In dit eenvoudige voorbeeld
is fx = −µV x en fy = −µV y.
2. Stick-slip treedt op wanneer de kracht nodig om de wrijving te overwinnen bij stil-
stand groter is dan bij beweging.
RStick−slip =
−µS (x1x + y1y) ; elders
Ze is discontinu en de statische component moet begrepen worden als zijnde een
minimum die een uitwendige kracht dient uit te oefenen alvorens het object in
beweging treedt.
3. Rolweerstand is de weerstand ondervonden wanneer een oppervlak vervormd wordt
bij het rollen zonder glijden over een ander oppervlak.
RRol =
− µr√ x2+y2
(x1x + y1y) ; elders
Deze is onafhankelijk van de grootte van de snelheid, in cartesische coordinaten
geldt immers
y = µ2 r
De wrijvingscoefficienten in deze modellen kunnen uit het experiment bepaald worden
en houden verband met de grootte en aard van het contactoppervlak, elasticiteit van de
objecten, grootte van de normale component van de reactiekracht, . . . Men kan zich dan
afvragen hoe een ideale binding zich dient te gedragen. Omdat wrijvingskrachten dissi-
patief zijn, is het geen gek idee te stellen dat ideale bindingen geen (negatief) vermogen
mogen leveren. Deze voorwaarde gaat niet meer op wanneer de bindingen expliciet van
de tijd afhangen. Neem het eenvoudige voorbeeld van een massapunt in het xy-vlak. Om
geen vermogen te leveren zal de reactiekracht volgens de z-as moeten gericht zijn. Wan-
neer het bewegingsvlak zelf een functie van de tijd is echter —en een snelheidscomponent
volgens de z-as heeft— is het vermogen geleverd door de reactiekracht niet meer nul, al-
hoewel het nog steeds over dezelfde gladde, wrijvingsloze binding gaat. Door niet te eisen
dat het geleverde vermogen, maar het geleverde virtueel vermogen van de reactiekrachten
nul moet zijn, is hier een mouw aan gepast. Virtuele snelheden —i.p.v. mogelijke snelhe-
den aangewend om het vermogen van de reactiekrachten te berekenen— bevatten immers
niet de snelheidscomponenten geassocieerd met de tijdsafhankelijkheid van de bindingen,
zie vergelijking (1.3) .
Het principe van d’Alembert vertaalt het ‘ideaal’ zijn van de bindingen in formulevorm en
heeft bovendien de leuke mathematische eigenschap dat het stelsel vergelijkingen (3.3) nu
zonder verdere a priori informatie over de reactiekrachten volledig bepaald is. Wanneer er
niet-holonome bindingen op het toneel verschijnen, is het niet zonder meer duidelijk hoe
virtuele snelheden en daarmee virtueel vermogen moet gedefinieerd worden. Een alles-
omvattende aanpak bestaat er niet en men moet zijn toevlucht nemen tot op hypotheses
gestoelde resultaten die slechts beperkt toepasbaar zijn. In dit hoofdstuk wordt getracht
enkele van deze initiatieven te duiden en hun sterktes en zwaktes toe te lichten.
3.2 Analytische beschrijving
Eerst behandelen we de methodes van de Lagrangemultiplicatoren en van Caplygin die
enkel op systemen onderworpen aan niet-holonome bindingen, affien in de snelheden
toepasbaar zijn. Vervolgens bespreken we ook een algemene oplossingsstrategie.
Starten we met niet-holonome bindingsvergelijkingen affien in de veralgemeende snelhe-
den van de vorm
aβ,i(q, t)qi + bβ(q, t) = 0, β = 1, . . . , ` < n (3.4)
waarbij nog wordt geeist dat de (`× n)- matrix a van maximale rang ` is. Anders zou
er immers een lineaire combinatie van het linkerlid bestaan die nulrijen voor de gemodifi-
ceerde a oplevert. De bindingsvergelijking horende bij deze rij zou dan onafhankelijk van
de veralgemeende snelheden zijn en dus geen niet-holonome binding voorstellen.
Hernemen we (1.16) waarin ‘T ’ reeds met de conservatieve krachten is aangevuld tot ‘L’
∫ t2
t1
] dt = 0. (3.5)
Om tot de Lagrangevergelijkingen van de 3e soort (1.17) te komen, werd gesteld dat de
variaties δqi=1,...,n allen onafhankelijk waren, dit geldt nu omwille van (3.4) duidelijk niet
meer. Men werpt de hypothese op dat de variaties nu via
n∑ i=1
aβ,i(q, t)δqi = 0, β = 1, . . . , ` < n (3.6)
met elkaar verbonden zijn, dus zonder de coefficienten bβ. Een waterdichte verantwoording
hiervoor kan er niet gegeven worden al komt dit niet helemaal uit de lucht gevallen.
Wanneer de bijkomende bindingen van het holonome type zijn
Gβ(q, t) = 0, β = 1, . . . , ` < n (3.7)
induceren deze de lineaire condities
dGβ
dt =
∂t = 0, β = 1, . . . , ` < n
van dezelfde vorm als (3.4) . Voorts leggen de holonome bindingen (3.7) de voorwaarden
δGβ = dGβ
voor de variaties op. Identificatie van ∂Gβ
∂qi met aβ,i verantwoordt dan (3.6) .
Opmerking 3.1 Er is echter nog een manier om dit in te zien. Stel dat de schijf uit
figuur (3.1) rolt zonder glijden op een vlak dat een constante snelheid vB heeft, dan is
dit te interpreteren al is de bindingsvergelijking expliciet van de tijd afhankelijk want de
positie van het grondvlak is een functie van de tijd. Zoals reeds op het einde van paragraaf
§3.1.2 beredeneerd, zal vB geen bijdrage tot de virtuele snelheden mogen leveren. En nu
blijkt dat —tenminste in dit voorbeeld— de componenten van vB door de coefficienten
bβ=1,...,` worden gegeven. De voorwaarde voor rollen zonder glijden is nu immers vA = vB
en er geldt dus
of in coordinaten uitgedrukt, afgezien van z − vBz = 0,
x− (r cos θ) φ− vBx = 0
y − (r sin θ) φ− vBy = 0. (3.8)
Het ontbreken van de bβ’s in (3.6) heeft m.a.w. zijn oorsprong in het weren van vB —of
algemeen de expliciete tijdsafhankelijkheid van de bindingsvergelijkingen— uit de virtuele
snelheden.
3.2.1 Methode van de Lagrangemultiplicatoren
Om (3.5) verder op te lossen, wordt de hulp van Lagrange-mutiplicatoren ‘λβ=1,...,`(t)’
ingeroepen. Vermenigvuldigen van deze —voorlopig onbekende— continue functies met
de respectievelijke vergelijkingen ∑n
i=1 aβ,i(q, t)δqi = 0, β = 1, . . . , ` geeft na lid aan lid
optellen van al deze termen en integratie
∫ t2
t1
∫ t2
t1
] dt = 0.
Hierin zijn slechts n− ` variaties δqi onafhankelijk van elkaar zodat enkel voor die termen
mag gesteld worden dat de corresponderende term nul moet zijn. Maar door de invoering
van de Lagrange-multiplicatoren kunnen de λβ zo gekozen worden dat de overige ` termen
ook nul worden. Dat zo’n λβ’s bestaan , volgt uit het van maximale rang zijn van de matrix
a. Uiteindelijk bekomt men dan een goed gedefinieerd stelsel vergelijkingen [15§6.2.2]
n∑ i=1
d
dt
( ∂L
∂qi
) − ∂L
in de n + ` onbekenden (qi=1,...,n, λβ=1,...,`).
Wanneer we (3.9b) met (3.3) vergelijken, blijkt dat ∑`
β=1 λβaβ,i de taak van de veralge-
meende krachtcomponenten van de reacties fi=1,...,n op zich neemt. Dit kan ook als volgt
begrepen worden. De niet-holonome bindingen (3.6) definieren een (n−`)-dimensionaal
vlak waarin de variaties moeten liggen. De `-dimensionale ruimte hier loodrecht op wordt
door de rijen aβ = [aβ,1 . . . aβ,n] , β = 1, . . . , ` opgespannen. En we weten dat voor een
reactiekracht die geen vermogen levert moet gelden dat
N∑ k=1
Rk · δrk = 0.
( N∑ k=1
Rk · ∂rk ∂qi
) δqi = 0. (3.10)
k=1 Rk · ∂rk
∂qi ligt dus in de ruimte
loodrecht op het (n− `)-dimensionaal vlak van de variaties. Omdat die door de rijen van
a wordt opgespannen, moeten er coefficienten λβ=1,...,` bestaan zodat
f = ∑ β=1
λβaβ,i i = 1, . . . , n
en dit zijn nu net de termen die in (3.9b) opduiken.
Voorbeeld 3.1 (Rollende schijf) Nemen we figuur (3.1) in gedachten en zij ‘m’ de
massa van de schijf en ‘IC ’ en ‘ID’ zijn traagheidsmomenten, de Lagrangiaan is daarmee
L = T = m
1 0 −r cos θ 0
0 1 −r sin θ 0

(3.9b) worden daarmee [15, p. 153–155]
d
dt
( ∂T
∂x
) − ∂T
∂x =
d
dt
( ∂T
∂y
) − ∂T
∂y =
d
dt
( ∂T
∂φ
) − ∂T
∂φ =
2∑ β=1
λβaβ,3 ⇒ IC φ = −rλ1 (t) cos θ − rλ2 (t) sin θ (3.13c)
d
dt
( ∂T
∂θ
) − ∂T
∂θ =
IC φ = −mr (x cos θ + y sin θ) (3.14)
en afleiden van de bindingsvergelijkingen (3.2) leert dat
x = (r cos θ) φ− (r sin θ) θφ
y = (r sin θ) φ + (r cos θ) θφ. (3.15)
Na vermenigvuldiging met cos θ, respectievelijk sin θ, en lid aan lid opgeteld, geeft (3.15)
als rechterlid ‘rφ’ en als linkerlid —op de term ‘−mr’ na— (3.14) . Zodus bekomt men
het eenvoudig stelsel differentiaalvergelijkingen
(IC + mr2) φ = 0
IDθ = 0. (3.16)
Tot slot berekenen we de veralgemeende krachtcomponenten van de reacties t.g.v. de
niet-holonome bindingen. Uit (3.13) volgt: fx = mx, fy = my en fφ = fθ = 0. Deze
kunnen i.f.v. de veralgemeende snelheden geschreven worden door op te merken dat met
φ = 0 ingevuld in (3.15) en rekeninghoudend met (3.2) volgt dat
x = − (r sin θ) θφ = −yφ
y = + (r cos θ) θφ = +xφ. (3.17)
De veralgemeende reactiekracht staat daarmee loodrecht op de beweging van het massa-
middelpunt want ‘fxx + fyy’ is gelijk aan nul. 2
3.2.2 Methode van Caplygin
In vele praktische toepassingen kunnen de laatste ` veralgemeende coordinaten van de
eerste n − ` gescheiden worden. Dit is het geval wanneer de Lagrangiaan niet afhan-
kelijk is van de laatste ` veralgemeende coordinaten en de bindingsvergelijkingen (3.4)
herschreven kunnen worden als
aβ,j (q) qj + bβ (q), β = 1, . . . , ` (3.18)
waarin q = (q1, . . . , qn−`) gesteld is. Caplygin leidde hieruit in 1897 een stelsel vergelij-
kingen in slechts n− ` onbekenden mee af (tegenover n + ` in het geval van de methode
van de Lagrangemultiplicatoren). Om deze vergelijkingen te bekomen, vertrekken we van
δqn−`+β = n−∑ i=1
aβ,i (q) δqi, β = 1, . . . , `. (3.19)
analoog aan (3.6) . Door verder de som in vergelijking (3.5) —toegepast op een
conservatief systeem— te splitsen in i = 1, . . . , n− ` en β = 1, . . . , ` en gebruik te maken
van (3.19) en ∂L/∂qn−`+β = 0, β = 1, . . . , `, verkrijgen we
δS =
∫ t2
t1
] dt = 0. (3.20)
waar nu elke term horende bij een δqi=1,...,n−` nul dient te zijn. Voorts kunnen de veral-
gemeende snelheden qn−`+β, β = 1, . . . , n in de Lagrangiaan m.b.v (3.18) geelimineerd
worden
) zodat
∂L
∂qi =
∂L
d
dt
( ∂L
∂qi
) − ∂L
∂qi =
d
dt
( ∂L
∂qi
) − ∂L
∂qi
Invullen in (3.20) tenslotte, levert de vergelijkingen van Caplygin [4, p. 100–110]
d
dt
( ∂L
∂qi
) − ∂L
)] = 0 (3.23)
op voor i = 1, . . . , n− ` en waarin met ‘ |∗’ bedoeld wordt dat na het partieel afleiden, de
relaties (3.18) in de Lagrangiaan moeten gesubstitueerd worden. Omdat de term in de
som over j voor j = i steeds nul is, sluiten we, om het rekenwerk te verlichten, deze term
uit. Bekijken we enkele voorbeelden.
Voorbeeld 3.2 (Rollende schijf) Hernemen we voorbeeld (3.1) , maar lossen we het
nu d.m.v. de vergelijkingen van Caplygin op [4, p. 101]. De bindingsvergelijkingen (3.2)
ingevuld in (3.11) geven
∂a1,1
∂a2,1
∂θ = r cos θ (3.25)
en de rest van de afgeleiden —alsook bβ=1,2— nul zijn. Substitueren van (3.24) en (3.25)
in (3.23) leveren de vergelijkingen van Caplygin voor φ
d
dt
( ∂L
∂φ
) − 0 +
∂L
∂x
) = 0 (3.27)
op. Met deze methode bekomt men de vergelijkingen (3.16) dus meteen, in tegenstelling
tot de methode van de Lagrangemultiplicatoren waarbij nog enkele tussenstappen nodig
waren. Langs de andere kant laat de methode van Caplygin niet toe om de veralgemeende
krachtcomponenten van de reacties te bepalen. 2
Voorbeeld 3.3 (Schaats op een hellend vlak) Beschouw het systeem uit figuur
(3.2) [4, p. 108]. Een voorwerp schuift d.m.v. een schaats ter hoogte van zijn massacen-
Figuur 3.2: Schaats op een hellend vlak.
trum ‘C’ op een hellend vlak. Zij de hoek die de lengteas van de schaats met de x-as
maakt en (x, y) de cartesische coordinaten van het massacentrum, de configuratieruimte
is dan Q = IR2 × S. De Lagrangiaan is met ‘m’ de massa van het object en ‘I’ zijn
traagheidsmoment gegeven door
2 I2 + mgx sin α. (3.28)
Voorts duikt in dit voorbeeld een nieuw type niet-holonome binding op. T.g.v. de schaats
moet C zich in de richting van de lengteas van de schaats voortbewegen
(x, y) = vC = (vC cos , vC sin ) (3.29)
waarmee
Hieruit volgt dat afgezien van ∂a1,1
∂ = 2
tan
cos2 (3.31)
al de afgeleiden nul worden. De bindingsvoorwaarde (3.30) ingevuld in (3.28) geeft
L = m
waaruit de vergelijkingen van Caplygin volgen voor x
d
dt
( ∂L
∂x
) − ∂L
∂x +
∂L
∂y
∂
)
] = 0
x + x tan − g sin α cos2 = 0 (3.33)
en
slechts 2 onbekenden x(t) en (t). 2
3.2.3 Regel

Modelleren van niet-holonome mechanische systemen

Documents

Transcript of Modelleren van niet-holonome mechanische systemen

Meten modelleren en beleving III v5x - nag-acoustics.nl€¦ · 9 Meten, modelleren en beleving III | NAG 21 juni 2017. Overzicht alle onderdelen 1. Beheer en onderhoud RMV’s 2.

Modelleren van baggerpluimen - Central Dredging Association€¦ · Modelleren van baggerpluimen - PhD study L. de Wit 5 | 19 Introductie Baggerpluimen •Beinvloeden troebelheid

Modelleren B

Dienst Elektronische en Mechanische Ontwikkeling · Dienst Elektronische en Mechanische Ontwikkeling The Electronic and Mechanical Support Division . 2 ... PowerPoint-presentatie

DSD-NL 2015 - Geo Klantendag - Numeriek modelleren van zettingsvloeiingen - Alex Rohe

Inleiding Meten en Modelleren 8C120

MODELLEREN VAN VISPASSAGES

Tsunami Jan Brekelmans & Yous van Halder Modelleren B Barry Koren.

Modelleren als organiserende activiteit in het wiskunde- onderwijs · 2020. 3. 21. · Modelleren als organiserende activiteit 41 Het probleem is, volgens Kaput, de kloof tussen het

Computergestuurde mechanische productietechnieken

Het modelleren van keuzes voor strategie en …lib.ugent.be/fulltxt/RUG01/001/459/659/RUG01-001459659... · 2011. 2. 19. · Het modelleren van keuzes voor strategie en organisatieontwikkeling

Modelleren van CMS based WebApplicaties

Eenpijpscombinatie - comap.be€¦ · 8 Eenpijpscombinatie Mechanische aansluitkoppeling voor PEX-buis M22 835P 16x1.5 835561 20x2 835601 Mechanische aansluitkoppeling MultiSKIN

Rekenen, denken, modelleren Bert Zwaneveld Studiedag NVORWO Pagina 1.

MECHANISCHE TECHNIEKEN

112 maart 2013 Wiskunde bij het modelleren van luchtverontreiniging numerieke advectieschema's.

Track and Trace en Tijdregistratie-systemen en Systemen voor ...

C-metals tweedehandsmachines mechanische constructies ...

BIM Modelleren ER 1213 v01

Morphodynamic modelling of estuarine channel-shoal systems ... · Morphodynamic modelling of estuarine channel-shoal systems Morfodynamisch modelleren van estuarine plaat-geul systemen.