MeetKunde

1.1 Meetkundige begrippen

1 Deelverzamelingen van de ruimte > 18 2 Meten van lijnstukken > 20 3 Midden van een lijnstuk > 21 4 Samenvatting > 22 5 Oefeningen > 23

1.2 Onderlinge ligging van rechten

1 Evenwijdige en snijdende rechten > 24 2 Loodrechte stand > 25 3 Tekenmateriaal > 25 4 Evenwijdige rechten tekenen > 26 5 Loodrechten tekenen > 27 6 Eigenschappen > 28 7 Middelloodlijn van een lijnstuk > 29 8 Constructie van de middelloodlijn > 29 9 Afstand punt-rechte > 29 10 Samenvatting > 30 11 Oefeningen > 31

1

Basisbegrippen van de meetkunde

1.3 Hoeken

1 Begrippen > 33 2 Hoeken meten > 33 3 Hoeken tekenen > 35 4 Bijzondere hoeken > 36 5 Rekenen met hoeken > 37 6 Complementaire en

supplementaire hoeken > 38 7 Overstaande, aanliggende

en nevenhoeken > 38 8 Deellijn van een hoek > 39 9 Samenvatting > 40 10 Oefeningen > 41

17

Algebraïsch rekenen

17

18

1.1 Meetkundige begrippen

1) Deelverzamelingen van de ruimte

Meetkunde kunnen we vergelijken met een spel: dammen, stratego of schaken. Laten we even de

vergelijking maken met schaken.

SCHAKEN MEETKUNDE

kamer waar het schaakbord zich bevindt

de ruimte

schaakbord het vlak π

pion, loper, toren, … punt, lijnstuk, rechte, …

Een toren mag zich alleenhorizontaal of verticaal verplaatsen

Door 2 verschillende puntenkan men slechts één rechte tekenen

… …

De werkverzameling van de vlakke meetkunde is het vlak π (lees: pi).

Het vlak π (het vlak van het bord, het vlak van je blad of je werktafel) is een oneindige verzameling

van punten. Het is onbegrensd en beperkt zich niet tot datgene wat je ziet van bijvoorbeeld het

bord. Het loopt oneindig verder naar boven, onder, links en rechts. In de ruimte kun je werken met

meerdere vlakken.

Een punt stellen we voor door een stip en benoemen we met een hoofdletter.

A•

D•

π

B•

G•

H•

C•E•

F•

Vermits π een verzameling punten is, is elk punt een element van het vlak.

notatie:

A ∈ π B ∈ πC ∈ π D ∈ π

vlak π

oneindige verzameling

punt

19

DEEL 1 Basisbegrippen van de meetkunde

Een rechte is een verzameling punten en dus een deelverzameling van het vlak.

Een rechte is onbegrensd.

We duiden een rechte aan met een kleine letter, of met twee punten die op deze rechte liggen.

Voorbeeld: rechte AB

of rechte a (a G π)

Vermits elke rechte een verzameling pun-

ten is, is elk punt (al dan niet) een element

van deze rechte.

notatie:

A ∈ a B ∈ a

C ∉ a D ∉ a

A•

•D•C

a

B•

Door een punt A gaan oneindig veel rechten.

•A c

a b

de

Door twee verschillende punten A en B gaat er juist één rechte.

B•

A•

a

Punten die op eenzelfde rechte liggen noemen we collineaire punten.

Collineaire punten zijn punten die op eenzelfde rechte liggen.

Voorbeeld:

A, B en D zijn collineair

C en F zijn collineair

A, B en C zijn niet collineair

A•

B•D•

• C

• F

Collineair

Het woord collineair hebben de wiskundigen van het Latijnse woord “collineare” afgeleid. Dat betekent in rechte lijn sturen.

Het voorzetsel co (of col/con/com/cor) duidt erop dat hetgeen volgt, gemeenschappelijk is. Denk maar aan woorden zoals co-

productie, collega, collage, collectie, combinatie, compagnie … Het woord lineair vinden we ook terug in o.a. liniaal, (ligne betekent in

het Frans lijn) wat synoniem is voor je meetlat. Die kan je gebruiken om een rechte te tekenen.

rechte

collineaire punten

20

Als we de schaar in onderstaande rechte zetten, hebben we plots twee halfrechten. Een halfrechte

is aan één kant begrensd.

notatie:

rechte a of AB

_ halfrechte a of [AB

=

halfrechte a of [AC

C•

A•

B• a

C•

A•

B• a_

a

C•

A•

B• a=a

✂

We noemen de rechte a de drager van deze halfrechten.

Een lijnstuk is aan twee kanten begrensd. Ook hier is de rechte a de drager van het lijnstuk.

notatie:

lijnstuk [AB] C•

A•

B• a

2) Meten van lijnstukken

Doordat een lijnstuk begrensd is, kunnen we dit lijnstuk meten.

Meten is eigenlijk bepalen hoe dikwijls een basiseenheid (m, °C, m2 …) in een gegeven grootheid

(lengte, temperatuur, oppervlakte …) gaat.

Meten is in het dagelijks leven een belangrijke activiteit. Als

we willen behangen, moeten we meten hoe hoog en hoe

breed de muren zijn.

Als we een nieuw pak willen kopen, neemt de verkoopster de maten.

Daarvoor gebruikt ze een lintmeter.

Als we een nieuwe eetkamer willen kopen, moeten we eerst

de living goed opmeten om te weten hoe lang, hoe hoog en hoe

breed de meubels mogen zijn. Hiervoor gebruiken we

een plooimeter of een rolmeter.

In de meetkunde (= de kunde van het meten) gebruiken we een meetlat.

Nauwkeurig meten is belangrijk.

Ook de keuze van de meeteenheid is belangrijk.

In Europa wordt meestal gemeten in meter (m).

Van deze eenheid zijn volgende eenheden afgeleid:

1000 m 100 m 10 m eenheid 0,1 m 0,01 m 0,001 m

1 km 1 hm 1 dam 1 m 1 dm 1 cm 1 mm

De lengte van dit lijnstuk [AB] is 4 cm.

notatie:

|AB| = 4 cm

A•

B•

Hierbij noemen we • 4 het maatgetal

• cm de eenheid

halfrechte

drager

lijnstuk

meten

grootheid

meeteenheid

meter

lengte

maatgetal

eenheid

21


Herkomst van de meter

De “meter” werd gedefinieerd ten tijde van Napoleon. Hij liet een metalen staaf aanmaken, zei dat dit vanaf nu één

meter was en liet zo’n metalen staaf brengen naar alle steden van zijn rijk. Hij liet ook de meter in 10 verdelen en

daarna nog eens in 10. Hij had een naam voor tien meter en tien keer tien meter. Nu nog kun je deze eerste “meter”

gaan bezichtigen in een museum in Parijs, onder glas. Want Napoleon was één ding vergeten: metaal zet uit met de

warmte, en daarmee was de meter iets langer in de zomer …

In landen waar Napoleon niets te zeggen had, zoals in Engeland, Amerika en Australië werden andere lengtematen

gebruikt. Daar werd en wordt gerekend in o.a. mijlen, duimen en voeten. Een mijl komt overeen met ongeveer

1,61 kilometer, een voet is ongeveer 30,47 cm lang en een duim 2,54 cm.

Om aan te duiden dat lijnstukken even lang zijn, gebruiken we eenzelfde merkteken:

XYD

C

V WB A

|XY| = |CD|

|VW| = |AB|

In een cirkel zijn alle stralen even lang.

|MA| = |MB| = r

M A

B

Opmerking: |AB| kun je ook lezen als ‘de afstand tussen de punten A en B’.

3) Midden van een lijnstuk

Proberen we op volgende figuur een aantal punten te vinden,

zodat de afstand van dit punt tot A gelijk is aan de afstand van

dit punt tot B.

We vinden niet één punt, maar wel oneindig veel punten die

samen een rechte vormen. Deze rechte gaat loodrecht door het

midden van het lijnstuk: de middelloodlijn.

A BM

N

BQ

Eén punt is wel zeer bijzonder. Het ligt op het lijnstuk en even ver van A en B.

We noemen dit punt het midden van het lijnstuk.

M is het midden van het lijnstuk [AB] F |AM| = |MB| en M ∈ [AB]

daarna nog eens in 10. Hij had een naam voor tien meter en tien keer tien meter. Nu nog kun je deze eerste “meter”

4) Samenvatting

NAAM VOORSTELLING NOTATIE

vlak

••

•

•

•

•

• E

D

AB

•

•

•

•• π

punt • A A

rechte

A•

B•

Y• X

• a

AB

of

a

halfrechte

A•

B•

•_a

[AB

of

a_

lijnstuk

lengte van een lijnstuk

B•A

•

[AB]

|AB| = 2 cm

• Je weet dat

- … door een punt oneindig veel rechten gaan.

- … door 2 verschillende punten juist één rechte gaat.

- … een rechte onbegrensd is.

- … een halfrechte aan één kant begrensd is.

- … een lijnstuk begrensd is.

- … het vlak een oneindige verzameling van punten is.

- … een rechte een deelverzameling van het vlak is.

• Je weet dat elk lijnstuk precies één midden heeft.

M is het midden van [AB] omdat |AM| = |MB| en M behoort tot [AB]

A•

M•

B•

• Je weet dat punten op eenzelfde rechte collineaire punten worden genoemd.

22

5) Oefeningen

1 A en B zijn twee verschillende punten van π. Wat stelt elk van de volgende notaties voor?

a AB

b [BA

c [AB]

d |AB|

2 Vul in met C, Ç, = of ≠ zodat je een ware uitspraak krijgt.

D

CB

a

b

A

a A AB

b D π c a AB

d D [CA

e a [BA

f AC b

g C b

h C π i BD AC

3 Meet volgende lijnstukken (tot op 1 mm nauwkeurig).

B

E

C

A

S

D

a [AB]

b [BC]

c [BE]

d [AD]

e [BS]

f [SE]

g [AS]

h [SD]

23


4 X en Y zijn twee verschillende punten van het vlak π.

a Teken alle punten die op 3 cm van X liggen.

b Teken alle punten die op 2 cm van Y liggen.

c Hoeveel punten zijn er die op 4 cm van X en op 2 cm van Y liggen?

• X

• Y

5 •A

•B

•C

a Is [CB = [CA ? Verklaar.

b Is [CB = [BA ? Verklaar.

24

c Is [CB = [BC ? Verklaar.

6 De punten A, B en C zijn collineair. |AB| = 2 cm en |AC| = 8 cm. Hoe groot is |BC|?

Geef alle oplossingen en maak telkens een duidelijke tekening.

7 Om zeer nauwkeurige metingen uit te voeren, gebruikt men soms een schuifpasser. Er bestaan nu

al digitaal afleesbare schuifpassers (tot op 0,01 mm nauwkeurig). Zoek in de handel hierover meer

informatie.

25


26

1.2 Onderlinge ligging van rechten in het vlak

1) Evenwijdige en snijdende rechten

EVENWIJDIGE RECHTEN: A // B SNIJDENDE RECHTEN: A //\ B

a en b zijn samenvallend

B•

a = b

A•

a = b

a en b zijn disjunct of strikt evenwijdig

A•

B•

a

b

a ∩ b = ∅

a en b zijn snijdend

a

bB•

S•A

•

a snijdt b het gemeenschappelijk punt S noemen we het snijpunt van de rechten a en ba ∩ b = {S}

Twee rechten a en b zijn evenwijdig als en slechts als ze samenvallen of geen enkel punt gemeenschappelijk hebben.

a // b F a = b of a D b = O

Twee rechten a en b snijden elkaar als en slechts als ze juist één punt gemeenachappelijk hebben.

a //\ b F a D B = {S}

Evenwijdig of parallel

Het woord “evenwijdig” spreekt voor zich: twee rechten zijn evenwijdig als ze overal “even wijd” of even ver van elkaar liggen.

Verderop zal je zien dat de afstand tussen twee evenwijdigen inderdaad overal gelijk is.

Een synoniem voor evenwijdig is parallel. Van dit woord is dan weer “parallellogram” afgeleid: een vierhoek met twee paar

evenwijdige of parallelle zijden.

evenwijdig

snijdend

samenvallend

disjunct

parallel

27


2) Loodrechte stand

Teken op een blad een rechte a met daarop een punt A. Vouw je blad zo, dat de vouwlijn door het

punt A gaat en de twee halfrechten van a samenvallen.

Je bekomt dan volgende figuur.

Loodrecht

Als je een draad of touw verzwaart met een loden gewicht, dan bekom je een

schietlood, een instrument dat o.a. bouwvakkers gebruiken om na te gaan of een

muur verticaal staat. Het woord “loodrecht” is waarschijnlijk daarvan afgeleid: zo

recht als het schietlood aangeeft. De verticale stand van het schietlood staat immers

loodrecht op de horizontale grond.

Noem de vouwlijn b. Je merkt dat b loodrecht staat op de rechte a. We noteren dat als volgt:

b ⊥ a

We duiden dat op de tekening aan door bij het punt A het teken te plaatsen.

3) Tekenmateriaal

Als tekenmateriaal kan je gebruik maken van een …

a tekendriehoek

Een driehoek waarbij twee zijden loodrecht op elkaar staan.

b passer

Een instrument dat het mogelijk maakt om afstanden

af te passen en cirkels of cirkelbogen te tekenen.

c rollat

Een lat, voorzien van een rolmechanisme om de lat mooi evenwijdig te verschuiven.

d geodriehoek

Een rechthoekige driehoek met twee gelijke zijden, waarbij op de driehoek enkele rechten zijn

getekend, evenwijdig met de schuine zijde. De rechte, neergelaten uit de top, staat loodrecht op de

schuine zijde. Ook een gradenboog staat op de geodriehoek gedrukt.

Geodriehoek

In het woord geodriehoek herken je het woordje “geo”. Hiermee bedoelt men de geometrie, een ander (Grieks) woord voor meet-

kunde. Een geodriehoek is dus een “geometrische driehoek”. Je kunt er allerhande meetkundige constructies mee uitvoeren: even-

wijdige en loodrechte rechten construeren, maar ook hoeken tekenen en meten.

loodrecht

a

A•

b

L

aA

d geodriehoek

Een rechthoekige driehoek met twee gelijke zijden, waarbij op de driehoek enkele rechten zijn

getekend, evenwijdig met de schuine zijde. De rechte, neergelaten uit de top, staat loodrecht op de

schuine zijde. Ook een gradenboog staat op de geodriehoek gedrukt.

1020

3040

50

60

70

80908070

6050

40

30

20

10

012345678910

11

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

28

4) Evenwijdige rechten tekenen

De beginsituatie is vier keer dezelfde:

Teken door het punt B de rechte b,

zodat b evenwijdig is met de rechte a.

a met de tekendriehoek

BASIS meetkundig-illustratief BAS04

a

B

a

B

a

B

b met de rollata

B

a

B

a

B

c met de passer

B B a

a

X Y

B

b bX Y

B

X Y

C B

X Y

C

a

b

d met de geodriehoek

a

B

a

B

a

B

b

a

B•

29


5) Loodrechten tekenen

Ook hier starten we met telkens dezelfde beginsituatie. Teken door het punt A de loodlijn b op de

rechte a.

a met de tekendriehoek

- Plaats de tekendriehoek met

de rechthoekszijde op de

rechte a en met de andere

rechthoekszijde door het punt A.

- Teken volgens deze laatste

rechthoekszijde de rechte b.

A

a

b

c met de passer

- Teken met de passerpunt in A een boog

die a snijdt in B en C.

- Teken met de passerpunt in B daarna in C,

twee boogjes die elkaar snijden in D.

Opgelet: de passeropening is groter dan

de helft van de afstand tussen B en C.

- Teken door D en A de rechte b.

C A B a

b

D

b met de geodriehoek

- Plaats de geodriehoek zo, dat de

loodlijn, neergelaten uit de top,

samenvalt met a.

- Verplaats de geodriehoek, totdat

de schuine zijde door A gaat.

- Teken volgens deze schuine zijde,

de rechte b.

A

a

b

C B

A

D

b

a

Als het punt A op de rechte a zelf ligt, voer je

de constructies op dezelfde wijze uit.

Let op:

de rechte b is de middelloodlijn van [BC]

30

6) Eigenschappen

Nu je weet hoe je een evenwijdige rechte aan een gegeven rechte kunt tekenen, zal je ook wel

kunnen achterhalen hoeveel evenwijdigen je zo kan tekenen.

Bekijken we even de tekening.

Hoeveel verschillende evenwijdigen met a kunnen

we tekenen door het punt A?

Zelfde vraag, maar nu door het punt B.

a

B• A

•

Door elk punt van het vlak kunnen we precies één rechte tekenen die evenwijdig is met een

gegeven rechte.

In het geval van punt B is deze evenwijdige de rechte a zelf.

We gaan nu eenzelfde conclusie proberen te formuleren voor loodrechten.

We starten met dezelfde beginsituatie, maar de

vraag luidt nu hoeveel verschillende loodlijnen

op a we kunnen tekenen door A. En hoeveel door B? aB•

•A

Door elk punt van het vlak gaat precies één rechte die loodrecht staat op een gegeven rechte.

Verder onderzoek leidt tot volgende eigenschappen:

Als twee rechten evenwijdig zijn met

eenzelfde derde rechte, dan zijn deze

twee rechten onderling ook evenwijdig.

Als een rechte één van twee evenwijdi-

gen snijdt, dan snijdt ze ook de andere

evenwijdige.

a

cb

en dan

a

cb a

cb

a // b en a //\ c dan c //\ b

a b c

en dan

a b c a b c

a // b en b // c dan a // c

Als twee rechten loodrecht staan op

eenzelfde derde rechte, dan zijn deze

rechten onderling evenwijdig.

Als een rechte loodrecht staat op één

van twee evenwijdige rechten, dan

staat ze ook loodrecht op de andere.a

c

b en dan

a

c

b

a

c

b

a ⊥ b en b // c dan a ⊥ c

ac

b ac

b ac

b

en dan

a ⊥ c en b ⊥ c dan a // b

Het axioma of postulaat van Euclides

Door een punt gaat precies één rechte die evenwijdig is met een gegeven rechte. Tot die vaststelling kwam ook reeds Euclides (ca. 300

voor Christus) in het Oude Griekenland. Merkwaardig was dat deze vaststelling niet kon bewezen worden. Het was dus geen eigenschap

of stelling! Men moest deze uitspraak voor waar aannemen en noemde daarom de uitspraak het “postulaat” (Latijn) of het “axioma”

(Grieks) van Euclides. Dit axioma is in feite de basis van de vlakke meetkunde (die ook wel de euclidische meetkunde wordt genoemd).

Eeuwenlang zochten wiskundigen een manier om dit axioma toch te bewijzen, maar men kwam tot de vaststelling dat dat onmogelijk was.

Nog later (begin 19e eeuw) onderzochten wiskundigen (o.a. Gauss, Lobatsjevski en Bolyai) wat er zou gebeuren mocht men dit axioma

vervangen door een ander. Men stelde vast dat er op die manier andere meetkundige systemen ontstonden. Deze werden niet-euclidi-

sche meetkunde genoemd (bv. de bolmeetkunde).

31


7) Middelloodlijn van een lijnstuk

De middelloodlijn van een lijnstuk [AB] is de rechte m die door het midden van dit lijnstuk gaat

en loodrecht staat op de drager van dit lijnstuk.

Zoals we al op blz. 21 ontdekten hebben de punten

op de middelloodlijn wel iets heel bijzonders.

Ze liggen namelijk allemaal even ver van beide grenspunten.

De punten van de middelloodlijn m van [AB] liggen even ver van A als van B.

In symbolen: ∀ C ∈ m: |CA| = |CB|

Ook het omgekeerde van deze eigenschap is waar.

Als een punt C even ver van A als van B ligt, dan ligt dit punt C op de middelloodlijn van [AB].

8) Constructie van de middelloodlijn

a met passer

Zet je passerpunt in A en teken 2 boogjes

(straal cirkel groter dan de helft van |AB|)

b met geodriehoek

Neem eerst het midden van [AB].

Teken nadien in M de loodlijn op [AB].

Zet je passerpunt in B en teken met dezelfde

passeropening 2 boogjes. Noem de snijpunten

van de boogjes S en T.

ST is dan de middelloodlijn.

9) Afstand punt-rechte

Gegeven is de rechte a en het punt A.

Teken door A de loodlijn k op a.

Noem S het snijpunt van k met a.

|AS| wordt de afstand van A tot a genoemd.

S wordt het voetpunt van de loodlijn uit A op a genoemd.

De afstand van een punt A tot een rechte a is de afstand tussen dit punt A tot het voetpunt van

de loodlijn uit dit punt op de rechte.

Opmerkingen:

- |AS’| > |AS| en ook: |AS”| > |AS|

|AS| is de “kleinste” afstand van A tot een punt van de rechte a en wordt daarom de afstand van

A tot a genoemd.

- De afstand van een punt tot een rechte wordt dus steeds loodrecht op de rechte gemeten.

- De afstand tussen twee evenwijdigen is de afstand tussen

één punt van de ene rechte, tot de andere rechte.

middelloodlijn

afstand

voetpunt

Basis tot limiet B001

A

B

T

M

S

S

S'

S''

A

ka

aa b

De punten van de middelloodlijn m van [AB] liggen even ver van A als van B.

m

AB

C

32

10) Samenvatting

• Snijdende rechten:

- Je weet dat snijdende rechten juist één punt gemeenschappelijk hebben.

- In symbolen: a //\ b ⇔ a ∩ b = {S}

• Evenwijdige rechten:

- Je weet dat evenwijdige rechten geen punten gemeenschappelijk hebben, of samenvallen.

- In symbolen: a // b ⇔ a ∩ b = ∅ of a = b

a ∩ b = ∅ of a = b

- Je weet dat door elk punt van het vlak precies één rechte getekend kan worden die

evenwijdig is met een gegeven rechte.

- Eigenschappen:

1 Als twee rechten evenwijdig zijn met eenzelfde derde rechte, dan zijn deze twee

rechten onderling ook evenwijdig.

2 Als een rechte één van twee evenwijdigen snijdt, dan snijdt ze ook de andere even-

wijdige.

• Loodrechte rechten:

- Je kent de notatie voor loodrechte rechten:

a ⊥ b

- Je weet dat door elk punt van het vlak precies één rechte gaat die loodrecht staat op

een gegeven rechte.

- Eigenschappen:

1 Als twee rechten loodrecht staan op eenzelfde derde rechte, dan zijn deze rechten

onderling evenwijdig.

2 Als een rechte loodrecht staat op één van twee evenwijdige rechten, dan staat ze

ook loodrecht op de andere.

• Je kunt evenwijdige en loodrechte rechten construeren met behulp van tekenmateriaal (te-

kendriehoek, passer, geodriehoek, rollat).

• Je weet dat de middelloodlijn van een lijnstuk [AB] de rechte

is die door het midden van dit lijnstuk gaat en loodrecht staat

op de drager van dit lijnstuk.

• Je kunt de middelloodlijn van een lijnstuk construeren met behulp van tekenmateriaal.

• Je kunt de afstand van een punt tot een rechte bepalen.

Het is de afstand tussen het punt en het voetpunt van de loodlijn uit dit punt op de rechte.

• Je kunt de afstand tussen twee evenwijdigen bepalen.

Het is de afstand van één punt van de ene rechte tot de andere rechte.

aS•

b

a

a = bb

b

a

L

A

BL•

•

MeetKunde

Documents

Transcript of MeetKunde