I Wat is niet-Euclidische Meetkunde

De Geometria non-

Euclides liber

Pascal Wissink & Jelmer Mulder

2

I Wat is niet-Euclidische Meetkunde?

Om uit te leggen wat niet-Euclidische meetkunde, een specifieke tak in de wiskunde, precies

inhoudt is het nodig om eerst te definiëren wat dan wel Euclidische meetkunde is. Immers is

de Euclidische meetkunde al veel ouder dan de niet-Euclidische meetkunde en kan deze

laatste vorm van meetkunde worden opgevat als een speciale tak van geometrie in

tegenstelling tot de Euclidische, alledaagse meetkunde. Eerst zullen we dan ook een reisje

maken door de geschiedenis van de Euclidische meetkunde met zijn eigenschappen voordat

we ons überhaupt met niet-Euclidische meetkunde gaan bezig houden. Vervolgens zullen we

de grondleggers en de geschiedenis van de niet-Euclidische meetkunde bespreken en

bekijken hoe deze interessante vorm van wiskunde nou eigenlijk is ontstaan en wat deze

precies inhoudt.

I.1 Euclidische meetkunde

I.1.1 Euclides & zijn werken

Euclidische meetkunde is de meetkunde zoals beschreven door Euclides. Euclides (Grieks:

was een Griekse wiskundige die leefde circa 300 voor Christus. Hij was leraar in

Alexandrië waar hij werkte aan het door Ptolemaeus I gestichte museum. Vandaag de dag

wordt hij als een van de grondleggers van de hedendaagse meetkunde beschouwd, omdat hij

de eerste was die de meet- en rekenkundige kennis van zijn tijd systematiseerde in dertien

boeken, de zogenaamde Elementen (Stoicheia, Gr.: ). Naast deze boeken heeft hij

tevens andere boeken geschreven waaronder Optica (een scriptie die betrekking heeft tot

perspectief), Data, de Verdeling van figuren en een monochord-indeling (een wiskundige

theorie). Echter is het voorgaand

beschreven boek, de Elementen, toch

wel te beschouwen als zijn magnum

opus. In dit boek staat een collectie van

axioma‟s, theorieën, postulaten en

bewijzen met betrekking tot

vierkanten, cirkels, scherpe hoeken,

gelijkbenige driehoeken en dergelijke;

er wordt respectievelijk een

voorstelling gegeven van vlakke

meetkunde (boek 1-6), rekenkunde

(boek 7-10) en de ruimtemeetkunde

(boek 11-13). In het laatste boek, boek

13, construeert hij de vijf bekende

regelmatige veelvlakken tetraëder,

kubus, oktaëder, dodecaëder en

icosaëder (zie nevenstaande figuur) en

bewijst ook dat er geen andere bestaan.

Veel van de door hem geformuleerde theorieën in dit boek worden nog steeds dezer dagen

onderwezen aan leerlingen en studenten overal ter wereld – sinds menselijk heugenis is het

boek als een standaard gaan gelden en is sinds zijn uitgave een ongekend succes. Echter

behoefte de hedendaagse wiskunde meer precisie, wat Euclides‟ methodologie niet bood;

3

daarom gaat de moderne axiomatische behandeling van de meetkunde terug op David Hilbert

in 1899. Zijn gehele werk (als de volgende titel al doet vermoeden) is heruitgegeven in Opera

omnia door H. Menge en J.L. Heiberg (in acht delen, geschreven 1883 – 1916 met

aanvullingen van 1899). De eerste druk van de Elementen stamt echter al uit 1482,

voorafgaand door vele handgeschreven kopieën. Een ander noemenswaardig en amusant

feitje is dat Euclides de alom bekende term bestaande uit de woorden quod erat

demonstrandum (q.e.d., “wat bewezen moest worden”) voor het eerst geïntroduceerd heeft

(evenals de minder bekende quod erat faciendum (q.e.f., “wat te construeren was”)) die

teneinde van zijn bewijzen bij wijze van slotwoord waren vernoemd en hedendaags worden

gebruikt om aan te geven dat een bewijs beëindigd is. (q.e.f. wordt overigens gebruikt om aan

te geven dat een wiskundig vraagstuk is opgelost). Dit terzijde, laten we in de volgende

paragraaf verder ingaan op zijn meesterwerk “de Elementen”.

Figuur 2: Euclides

I.1.2 De Elementen: de vijf axioma’s, 23 definities en vijf postulaten

In Euclides‟ boek de Elementen worden verscheidene basisconcepten van de huidige

wiskunde beschreven. In zijn eerste boek worden 23 definities1, vijf axioma‟s2 en vijf

postulaten3 weergegeven. Uit elk van deze worden zogenaamde proposities4 afgeleid.

Figuur 3: de eerste pagina van Euclides‟ Elementen

1 Definitie: een nauwkeurige omschrijving van een begrip

2 Axioma: niet bewezen en naar men aanneemt geen bewijs behoevende uitspraak of eigenschap, a priori als

waarheid aangenomen 3 Postulaat: aan te nemen grondstelling: basisaanname; werkhypothese

4 Propositie: stelling

4

Euclides‟ axioma‟s, ondersteund door voorbeelden luiden als volgt:

1. Dingen die gelijk zijn aan hetzelfde zijn ook gelijk aan elkaar.

V.b.: a=c, b=c a=b

2. Als je bij gelijke dingen gelijke voegt, dan zijn de totalen gelijk

V.b.: a=b

a+c=d

b+c=e

3. Als je van gelijke dingen gelijke afneemt, dan zijn de resten gelijk

V.b.: a=b

a-c=d

b-c=e

4. Dingen, die op elkaar passen, zijn gelijk

V.b.:

5. Het geheel is groter dan het deel

V.b.: a,b is een getal a met een fractioneel deel b a > b

In dit boek beschreef hij, zoals bovenstaand vermeld, tevens een aantal definities. Je zou

kunnen zeggen dat deze definities nodig waren om in de wiskunde basisvormen te kunnen

omschrijven; dat betekend dat een bepaalde definitie een bepaalde omschrijving hoort en we

zo allen over hetzelfde geometrische verschijnsel (met bijbehorende eigenschappen) spreken

als we een voorwerp benoemen. Er zijn 23 definities beschreven in zijn boek, mede

noodzakelijk om een bepaling te geven aan de postulaten (z.o.z.); enkelen hiervan zijn:

o Een punt is, wat geen deel heeft.

o Een lijn is een breedteloze lengte.

o De uiteinden van een lijnstuk zijn punten.

o Een rechte lijn is een lijn die gelijk ligt met de punten erop.

o Parallel zijn lijnen die in hetzelfde vlak gelegen zijn en die, wanneer naar weerszijden

tot in het oneindige verlengd, elkaar aan geen van beide zijden snijden.

Naast deze axioma‟s en definities heeft Euclides ook in zijn eerste boek vijf postulaten

opgesteld. De eerste vier spreken voor zichzelf, echter de laatste staat in schril contrast met

zijn voorgangers. Hierover later meer. Onthoudt dat, volgens Euclides, geen van alle

postulaten kunnen worden bewezen en ook geen bewijs behoeven (net als de eerder

beschreven axioma‟s) omdat ze als zodanig worden beschouwd in de wereld waarin wij

leven. Het zijn uitgangspunten waarop de meetkunde (althans, de Euclidische) is gebaseerd.

Velen dachten hier echter anders over bij het zien van het vijfde postulaat…

}d = e

}d = e

5

1. Van een punt naar een ander punt kun je een rechte lijn trekken.

V.b.:

2. Je kunt een lijnstuk verlengen tot een rechte lijn.

V.b.:

3. Je kunt een cirkel tekenen met een gegeven straal en middelpunt.

V.b.:

4. Alle rechte hoeken zijn aan elkaar gelijk.

V.b.:

5. Als bij een rechte lijn, die twee rechte lijnen snijdt, de som van de binnenhoeken aan

dezelfde kant, kleiner is dan de som van twee rechte hoeken, dan zullen de twee

rechte lijnen tot in het oneindige verlengd elkaar ontmoeten aan de kant, waar de

hoeken zijn, waarvan de som kleiner is dan twee rechte hoeken.

In moderne bewoordingen:

Als twee rechte lijnen k en m gesneden worden door een derde rechte lijn l, en de

binnenhoeken A en Baan één kant van l samen minder zijn dan 180º, dan snijden k en

m elkaar aan diezelfde kant van l.

V.b.:

Postulaten 1 en 3 zijn niks anders dan het standaard fundament van elke geometrische

constructie, tot het midden van de 19e eeuw. Men kan beweren dat deze simpelweg zijn

gebaseerd op praktische menselijke ervaringen. Het tweede postulaat laat zien dat elke rechte

lijn niet terminaal is en de ruimte ervan onbegrensd is. In zijn tiende definitie beschrijft

Euclides dat een hoek “recht” is als deze gelijkt aan zijn aanliggende hoek. Dus beschrijft het

vierde postulaat de homogeniteit van het vlak: in welke richtingen en door welke punten twee

loodlijnen ook worden getrokken, de hoek die ze vormen is gelijk en wordt “recht” genoemd.

Ook over dit postulaat kan worden beweerd dat het gebaseerd is op alledaagse ervaringen.

Zoals je wellicht hebt vernomen en zoals eerder vermeldt wijkt het vijfde postulaat enigszins

af van de voorgaande vier: terwijl de eerste twee paren postulaten heldere beschrijvingen zijn

van aannemelijke basisprincipes die geen bewijs behoeven, is de laatste een uitzondering op

deze regel. We gaan op dit postulaat dan ook verder in.

A+B < 2 x 90 lijnen k & m zullen, in het oneindig

verlengd, elkaar ooit snijden aan de rechterkant van l.

6

I.1.3 Het parallellenpostulaat

Het vijfde postulaat, ook wel het parallellenpostulaat genoemd, trok ook de aandacht van

andere wiskundigen, wat leidde tot verwoedde discussies; indien je dit postulaat namelijk

anders kiest krijg je, zoals later zou blijken, een geheel ander soort meetkunde. De Griekse

commentator Proclus Diadochus (410 – 485 voor Christus) vertelt ons dat het postulaat al

vanaf het begin werd aangevallen. Proclus schreef een commentaar op de elementen en

bespreekt hierin een aantal pogingen om het vijfde postulaat uit de eerste vier af te leiden. Hij

bekritiseerde in het bijzonder Ptolemeus‟ afleiding, die naar zijn zeggen incorrect was... en

vervolgens geeft hij echter zelf ook een incorrecte afleiding! Verder schreef hij over het

befaamde postulaat: “Dit postulaat lijkt te zijn doorgehaald uit de gezamenlijke postulaten;

dit omdat het slechts een theorie is...”.

Ook Euclides zelf had gemengde gevoelens over het postulaat. Dit blijkt uit het feit dat hij

niet eerder van dit postulaat gebruik maakte tot Propositie I. 29. De bewering lijkt immers

ook meer op een propositie dan op een werkelijk postulaat. Het vermoeden ontwikkelde zich

dat het vijfde postulaat overbodig is doordat deze uit de vier voorgaande postulaten af te

leiden zou zijn of te vervangen is door een eenvoudiger postulaat dat tot dezelfde meetkunde

leidt. Er zijn talloze pogingen gedaan om het postulaat te herformuleren, doch leverde dit

geen nieuwe waarheden op maar slechts verklaringen die lijken op het postulaat zelf. Enkele

van deze formuleringen zijn:

o Er bestaat een paar niet congruente driehoeken.

o Er bestaat een paar rechte lijnen dat overal gelijke afstanden van elkaar heeft.

o Voor elke drie niet op een lineaire lijn liggende punten bestaat er een doorkruisende

cirkel.

o Als drie hoeken van een vierhoek rechte hoeken zijn, is de vierde hoek ook een rechte

hoek.

o Als een rechte lijn een van twee parallelle lijnen snijdt, zal hij ook de andere snijden.

o Twee rechte lijnen die beiden parallel zijn aan een derde zijn ook parallel aan elkaar.

o Twee rechte lijnen die elkaar snijden kunnen niet beiden parallel zijn aan een derde.

o Er is geen maximum limiet voor de oppervlakte van een driehoek.

Allen zijn slechts intuïtieve formuleringen die het originele vijfde postulaat niet hebben

kunnen vervangen, ondanks ze naar zeggen zijn afgeleid uit de vier voorgaande postulaten.

Nu weten we dat het echter onmogelijk is om het vijfde postulaat af te leiden uit de eerste

vier. In een doorbraak in de moeilijkheid met betrekking tot het vijfde postulaat lost de

Engels wiskundige John Playfair het probleem op door het vijfde postulaat te herformuleren,

nadat een dergelijke versie eerder was vermeldt door de eerder beschreven Proclus. Deze

formulering die stamt uit 1795 en bekend staat als “Playfairs axioma” (voor het eerst

beschreven door Playfair in een commentaar op de Elementen) luidt als volgt:

“Door een gegeven punt buiten een rechte lijn gaat precies één rechte die evenwijdig is aan

die lijn.”

Deze formulering volgt uit Euclides‟ vijfde postulaat en kwam tot stand door gebruik te

maken van de eerder beschreven definitie van Euclides over parallelle lijnen (zie ook pagina

3):

“Parallel zijn lijnen die in hetzelfde vlak gelegen zijn en die, wanneer aan weerszijden tot in

het oneindige verlengd, elkaar aan geen van beide zijden snijden.”

7

Met behulp van Playfair‟s herformulering bleek wel te bewijzen dat twee niet parallelle lijnen

die gesneden worden door een andere rechte lijn elkaar (indien oneindig verlengd) zullen

snijden. Het bewijs voor Propositie I.29, waarbij gebruik wordt gemaakt van dit axioma, zal

verderop worden gegeven. We zullen zien dat dit bewijs een beter inzicht geeft in zowel het

axioma als het parallellenpostulaat. Maar eerst vragen we ons af waarom de herformulering

van Playfair zoveel betekent in de wiskunde, en waarom Euclides‟ specifieke vijfde postulaat

zó‟n belangrijke rol speelt in onze wiskunde dat het de consternatie begrijpelijk maakt. Want,

zoals zal blijken:

I.1.4 De stelling van Pythagoras behoeft het parallellenpostulaat

Dit is een van de theorieën die volgt uit de herformulering van het parallellenpostulaat, en

laat zien waarom de herformulering zo belangrijk was. We onderscheiden hierin een aantal

punten. We hebben ten eerste Playfairs axioma, die noodzakelijk is om de stelling van

Pythagoras te kunnen bewijzen:

1. Door een gegeven punt buiten een rechte lijn gaat precies één rechte die evenwijdig is

aan die lijn.

En de stelling van Pythagoras, die als volgt luidt:

2. In een rechthoekige driehoek geldt dat het kwadraat van de hypotenusa gelijk is aan

de som van de kwadraten van de twee andere zijden.

De bewijzen voor de stelling van Pythagoras hebben eigenschappen waaruit blijkt dat

nummer 2, de stelling van Pythagoras, nummer 1, Playfair‟s axioma (of een gelijke), behoeft.

Immers hebben de drie hoofdvormen van gebruikte bewijzen voor Pythagoras allemaal

elementen waarbij gebruik wordt gemaakt van het axioma. Een van deze bewijzen maakt

gebruik van de theorie dat de oppervlakten van parallellogrammen (of driehoeken) met

gelijke bases en gelijke hoogten gelijk zijn. Een andere maakt gebruik van de theorie van

gelijkheid die op zijn beurt weer gebruik maakt van de proporties van de zijden van

gelijkende driehoeken. Weer een andere maakt gebruik van de theorie dat de twee scherpe

hoeken van een rechthoekige driehoek complementair zijn. We zullen op deze bewijzen niet

verder ingaan omdat deze niet direct te maken hebben met het besproken onderwerp, maar

we zullen wel in de volgende paragrafen bewijzen waarom de stelling van Pythagoras het

parallellenpostulaat behoeft en waarom we dus kunnen zeggen dat stelling nummer 2 te allen

tijde nummer 1 insluit.

Er zijn er meerdere stellingen en theorieën, waaronder ook enkele zeer bekenden, die

uiteindelijk ook het vijfde postulaat nodig hebben. De stelling van Pythagoras wordt namelijk

terug geleidt naar het parallellenpostulaat om hun waarheid aan te kunnen tonen. Enkelen

hiervan zijn:

3. In elke driehoek zijn de som van de hoeken gelijk aan de som van twee rechte hoeken.

V.b.:

A+ B+ C = 2x90º (=180º)

8

4. In een driehoek is elke externe hoek gelijk aan de som van de hoeken van de twee

overstaande interne hoeken.

5. Als twee parallellen worden gesneden door een transversaal, zijn de overstaande

interne hoeken gelijk, evenals de corresponderende externe hoeken (Z-hoeken).

Om een voorbeeld te geven, zullen we in de volgende paragraaf onder meer nummer 3

bespreken. Want ook de wiskundige A.M. Legendre (1753 – 1833), die meer dan 40 jaar aan

het bewijzen van het vijfde postulaat besteedde (maar faalde), begreep dat er stellingen waren

die direct het parallellenpostulaat behoefden om bewezen te kunnen worden.

I.1.5 De stellingen van Legendre

De stellingen van Legendre zijn stellingen die ogenschijnlijk niet zo algemeen, hoewel

voorzichtiger en zwakker geformuleerd zijn dan de bovenstaande stellingen. Deze stellingen

die volgens Legendre het parallellenpostulaat zowel indirect als direct behoeven omdat

meerderen elkander nodig hebben luiden als volgt:

6. Er bestaat een driehoek wiens drie hoeken de som is van twee rechte hoeken

7. Er bestaat een gelijkbenige rechthoekige driehoek wiens drie hoeken de som is van

twee rechte hoeken

8. Er bestaat een willekeurig grote gelijkbenige rechthoekige driehoek wiens hoeken de

som is van twee rechte hoeken

9. De som van de hoeken van elke driehoek is gelijk aan de som van twee rechte hoeken.

Legendre beweert vervolgens dat:

o Stelling 6 behoeft stelling 7




Als additionele bewering, om te bewijzen dat de stelling van Pythagoras (nummer 2, zie

vorige paragraaf) ook het parallellenpostulaat nodigt heeft, voegen we toe dat:


Bij het bewijzen van deze beweringen kunnen we alleen gebruik maken van de stellingen die

op geen enkele wijze verbonden zijn met het parallellenpostulaat, om te laten zien dat we

uiteindelijk toch echt wel deze stelling nodig hebben om het gehele bewijs compleet te

A+ C = D

A = C; B = D

9

b² + c² = a²

x² + h² = b²

h² + y² = c²

kunnen maken. Enkel en alleen mogen we bekende hoeken en segmenten kopiëren, de

congruente driehoek stellingen toepassen en de buitenstaande hoekstelling gebruiken.

I.1.6 2 behoeft 8

Om te laten zien dat onze additionele bewering klopt, moeten we het volgende aantonen:

“Als, in elke rechthoekige driehoek, het kwadraat van de hypotenusa gelijk is aan de som van

het kwadraat van de twee andere zijden, dan bestaat er een willekeurige grote gelijkbenige

rechthoekige driehoek wiens drie hoeken gelijk zijn aan twee rechte hoeken.”

Laten we er een ietwat sterkere stelling van maken door de vorige stelling te herformuleren.

Gegeven:

Een driehoek ABC met een rechte hoek A en zijden a, b en c.

Te bewijzen:

“Als, in elke rechthoekige driehoek, het kwadraat van de hypotenusa gelijk is aan de som van

het kwadraat van de twee andere zijden, dan is de som van de drie hoeken in elke

rechthoekige driehoek gelijk aan twee rechte hoeken

Bewijs:

1. Teken de hoogtelijn h vanuit A

loodrecht op BC en noem het punt

D, zo dat ADC= ADB en beide

rechte hoeken zijn. Benoem

vervolgens CD=x en BD=y.

2. Nu zijn ADC, BDA en BAC

rechthoekige driehoeken en kunnen

we de stelling van Pythagoras drie

keer toepassen:

3. a² = x² + h² + h² + y² = x² + 2h² + y²

a² = (x + y) ² = x² + y² + 2xy (rechte lijn)

4. 2h² = 2xy

h² = h · h = xy

h/x = y/h

5. Laten we deze ratio, h/x = y/h, benoemen met de letter k:

h/x = y/h = k h = kx; y = kh en dus:

h² = (kx)²

y² = (kh)²

c² = h² + y² (zie 2)

6. c² = k²(x²+h²)

b² = x² + h² (zie 2)

}

}…3

}c² = (kx)² + (kh)² = k²(x²+h²)

ab + ac = a(b+c)

(kx)² + (kh)² = k²x² + k²h² = k²(x²+h²)

(binnen haakjes halen)

} c² = k²b²

c = kb

c/b = k = h/x = y/h

x² + 2h² + y² = x² + y² + 2xy

2h² = 2xy

(kruislings vermenigvuldigen)

10

7. Op dezelfde wijze kunnen we aantonen dat c/a = h/b = y/c.

Dus staan de corresponderende zijden van de twee kleine driehoeken in verhouding

met elkaar, net als de corresponderende zijden van de originele driehoek en de zijden

van de kleine driehoeken zelf.

Het is nu verleidelijk om te concluderen dat, omdat de corresponderende zijden van

de driehoeken in verhouding staan, de corresponderende hoeken gelijk zijn. Deze

gedachte is echter een gevolg van het parallellenpostulaat en geld niet in het

algemeen. Echter, in het speciale geval van een gelijkbenige rechthoekige driehoek,

kunnen we als volgt verder redeneren (zie onderstaande figuur):

D

Omdat b = c, en omdat b/c = x/h (zie 6), betekent

dat x = h; eveneens betekent dat h = y.

Dus zijn de driehoeken CDA en BDA eveneens

gelijkbenige driehoeken, en zijn hun basishoeken

DCA, CAD, DBA en BAD allemaal gelijk aan

elkaar (ZZZ congruentiekenmerken). Omdat

BDA en CDA rechte hoeken zijn, kunnen we

concluderen dat driehoek CDA en BDA gelijke hoeken hebben, net als driehoek

BAC.

Maar je weet ook dat hoek BAD en CAD opgeteld ook een rechte hoek zijn, en wel

hoek BAC. Daarom zijn de gelijke hoeken ABD en ACD ook gezamenlijk een rechte

hoek (ABD=ACD = BAD = CAD BAD + CAD = BAC = ABD + ACD), en zijn de

hoeken van de originele driehoek ABC opgeteld twee rechte hoeken (=180º)!

I.1.7 Theorie over de stellingen van Legendre

Nu hebben we laten zien dat de stelling van Pythagoras de eigenschap van een hoekensom

gelijkend aan 180º in een gelijkbenige driehoek behoeft. Maar, om uiteindelijk bij het

parallellenpostulaat uit te kunnen komen door te laten zien dat die stelling op zijn beurt weer

een andere stelling behoeft enzovoort, moeten we ook nog de andere stellingen van Legendre

bewijzen. Echter voordat we dit doen, zullen we eerst wat van zijn theorie moeten bespreken

alvorens we in staat zijn dit te doen. Deze theorieën van Legendre zijn weergegeven in

zogenaamde Lemmata5 (enkelvoud: Lemma), die in de komende drie paragrafen en een

volgende zullen worden besproken.

I.1.8 Lemma 1

“In een driehoek is de som van twee hoeken minder dan de som van twee rechte hoeken.”

In een ABC, beschouw de som van de hoeken CAB

en ABC. Beschouw de buitenstaande hoek DAB

tegengesteld aan CAB. De som van de hoeken DAB en

CAB zijn twee rechte hoeken, omdat ze samen een

gestrekte hoek vormen. De buitenstaande hoekstelling

5 Lemma: voorlopige hulpstelling

Stel a = b = 3

a = c 3 = c 1 = c c = d

b d 3 d d

11

stelt dat hoek ABC, tegengesteld aan de hoek CAB, minder is dan hoek DAB. Daarom is de

som van de twee interne hoeken CAB en ABC minder dan twee rechte hoeken.

I.1.9 Lemma 2

“In elke driehoek is de som van de drie hoeken minder dan of gelijk aan twee rechte

hoeken.”

In ABC, beschouw dat de som van de drie

hoeken ABC, BCA en CAB de som van twee

rechte hoeken overschrijdt met een aantal a.

Beschouw dat ABC ≤ BCA, en dat AD een

bissectrice is uit CAB is die CB in D snijdt.

Verleng AD tot E zo, dat AD = DE. Dat

betekend dat CAD = BED ACD =

EBD en CAD = BED (immers: zandloperfiguur met HZH en ZHH congruentie-

kenmerken). Daarom is de som van de drie hoeken van ABC de som van de drie hoeken

van ABE.

Omdat ABC ≤ BCA, AC ≤ AB en dus EB ≤ AB. Dus EAB ≤ AEB. Maar BAC =

EAB + DAC = EAB + AEB. Daaruit volgt dat EAB ≤ ½ CAB. Daarom hebben we

dus een driehoek, ABE, wiens drie hoeken opgeteld hetzelfde zijn als onze originele ABC,

maar waarvan een hoek tenminste de helft van een van de hoeken in de originele driehoek is.

Dit proces kan zovaak nodig worden herhaald, totdat we een driehoek krijgen wiens hoeken

minder zijn dan a, het teveel aan de som van de hoeken van de originele driehoek ten

opzichte van twee rechte hoeken, en wiens totale hoeksom gelijk is aan die van de originele

driehoek. Maar dat betekend dat de som van de twee overgebleven hoeken meer moet zijn

dan twee rechte hoeken, wat in tegenspraak is met Lemma 1.

Dat betekent dat de som van de hoeken van de originele driehoek niet meer kan zijn dan twee

rechte hoeken.

I.1.10 Lemma 3

“Als de hoekensom van een driehoek gelijk is aan twee rechte hoeken, en als een lijnstuk

vervolgens wordt getrokken van een hoekpunt naar de andere zijde zo dat de driehoek in twee

kleinere driehoeken wordt verdeeld, dan is de som van elk van deze twee driehoeken ook

gelijk aan twee rechte hoeken.”

Laten we de hoeken van de eerste kleine driehoek gezamenlijk S1

noemen, en deze van de tweede S2. Dat betekent dat de hoeken

van de originele driehoek opgeteld S1+S2 min twee rechte hoeken

zijn. Als S1 minder is dan twee rechte hoeken, dan moet S2 groter

zijn dan twee rechte hoeken om ervoor te zorgen dat de som van

de originele driehoek gelijk blijft aan twee rechte hoeken. Maar

dit zou echter in tegenspraak zijn met Lemma 2.

ABC = A1 + A2 + B1 + C

ABE = A2 + B1 + B2 + E

A1 ( CAD) = E ( BED)

B2 ( EBD) = C ( ACD) }

ABC = A1 + A2 + B1 + C

= E + A2 + B1 + B2

= ABE

12

I.1.11 6 behoeft 7

Terug naar de stellingen van Legendre; nummer 6 behoeft 7:

“Als er een driehoek bestaat wiens hoeksom gelijk is aan de som van twee rechte hoeken, dan

bestaat er een gelijkbenige rechthoekige driehoek wiens hoeken gelijk zijn aan twee

gelijkbenige rechthoekige driehoeken.”

Stel dat in ABC, wiens hoeksom de som is van twee

rechte hoeken, zijde BC de kortste is. Kies E op AB zo,

dat EB = BC. Teken CE; dan is volgens Lemma 3 de

som van BCE gelijk aan twee rechte hoeken. Teken

zwaartelijn BD. Dan is BDE rechthoekig, en is zijn

hoeksom gelijk aan de som van twee rechte hoeken. Als

DE ≤ DB, kies F op DB zo dat DF = DE. Dan is DFE

een rechthoekige gelijkbenige driehoek wiens hoeken

gelijk is aan de som van twee rechte hoeken. Als DE > DB, kies F zo op DE dat DF = DB;

dan is DFB wederom gelijk aan wat werd gevraagd.

I.1.12 7 behoeft 8

“Als er een gelijkbenige rechthoekige driehoek bestaat wiens hoeken opgeteld de som van

twee rechte hoeken zijn, dan bestaat er een willekeurig grote gelijkbenige rechthoekige

driehoek wiens hoeken gelijk zijn aan de som van twee rechte hoeken.”

Wanneer je twee dezelfde driehoeken van de gelijkbenige rechthoekige driehoek waarvan de

som gelijk is aan twee rechte hoeken tegen elkaar plaatst, hypotenusa tegen hypotenusa, krijg

je een vierhoek met vier gelijke zijden en vier gelijke hoeken. Als je vier van zulke

vierkanten tegen elkaar zet krijg je een vierkant wiens zijden twee keer zo groot zijn. Als je

dit proces zo vaak herhaald als nodig is, krijg je een vierkant wiens zijden oneindig groot

kunnen zijn. Elke diagonaal die je vervolgens trekt verdeelt dit vierkant in twee gelijkbenige

rechthoekige driehoeken wiens hoeksom de som is van twee rechte hoeken, zoals gevraagd.

I.1.13 8 behoeft 9

“Als de hoeken van een willekeurig grote gelijkbenige rechthoekige driehoek opgeteld gelijk

zijn aan de som van twee rechte hoeken, dan zijn de hoekensommen van elke rechthoekige

driehoek gelijk aan de som van twee rechte hoeken.

We hebben een rechthoekige ABC, met een rechte hoek C. De

benen kunnen worden doorgetrokken naar respectievelijk D en E

zo, dat DCE een gelijkbenige rechthoekige driehoek is wiens

drie hoeken opgeteld gelijk zijn aan de som van twee rechte

hoeken. Dan kunnen we Lemma 3 toepassen om te concluderen

dat de hoeksom van EAC gelijk is aan twee rechte hoeken, en

kunnen we opnieuw het Lemma toepassen om te concluderen dat

de hoeksom van ABC tevens gelijk is aan twee rechte hoeken.

I.1.14 Gevolgtrekking

Als elke van de stellingen 6, 7, 8 of 9 tot stand blijven, betekent het dat de som van elke

gegeven driehoek gelijk is aan de som van twee rechte hoeken. De stellingen behoeven

immers allemaal elkaar want elke driehoek kan worden verdeeld op de manier zoals

beschreven in Lemma 3 in twee rechthoekige driehoeken.

13

I.1.15 Lemma 4

“ Gegeven een lijn en een bepaald punt niet op die lijn, kan er een lijn worden getrokken

door dat punt die de lijn zo doorsnijdt dat de gevormde hoek minder is dan elke eerder

toegewezen hoek.”

Teken de loodlijn PQ van het

punt P tot de lijn; kies R zo op de

lijn dat PQ = QR. Teken PR, en

kies S zo op de lijn (met R tussen

Q en S) dat PR = RS. Dan, omdat

QRP plus PRS gelijk zijn aan

twee rechte hoeken (gestrekte

hoek), maar (volgens Lemma 2)

de som van de hoeken PRS, RPS en RSP tenminste twee rechte hoeken zijn, volgt hieruit dat

de som van de hoeken RPS en RSP op z‟n minst zo groot is als PRQ. Omdat RPS een

gelijkbenige driehoek is, zijn de hoeken RPS en RSP gelijk, en daarom elke tenminste zo

groot is als ½ PRQ.

Door dit proces zo vaak te herhalen als nodig is, verkrijgen we een hoek minder dan elke

eerder toegewezen grootte.

I.1.16 9 behoeft 1

“Als de drie hoeken van elke driehoek opgeteld gelijk zijn aan de som van twee rechte

hoeken, dan kan, door een gegeven punt slechts een lijn worden getrokken parallel aan een

gegeven lijn.”

Teken de loodlijn PQ van het punt P naar de gegeven lijn l. Construeer de lijn r door P,

loodrecht op PQ. Dan is r een parallel van (en betekent het dat deze niet snijdt met) lijn l,

want een driehoek met twee rechte hoeken zou Lemma 1 weerleggen. Stel je voor dat er een

andere lijn s is door P parallel met lijn l. Omdat lijn s anders is dan lijn r, kunnen we een punt

T op s zo kiezen dat hoek TPQ minder is dan een rechte hoek. We duiden het verschil met

een rechte hoek aan met a.

Gebruik nu Lemma 4 om een lijn door P te construeren die l snijdt in een punt U, zo dat hoek

PUQ minder is dan a. Benoem een punt V op r aan dezelfde kant van PQ als U.

14

Nu, omdat PQU recht is, zijn de sommen van de hoeken van PQU gelijk aan de som van

twee rechte hoeken, en de sommen van de hoeken QUP en QPU ook een enkele rechte hoek

vormen. Maar QPV, de som van de hoeken QPU en UPV is ook recht. Daaruit volgt dat de

hoeken QUP en UPV gelijk zijn. Dit betekent dat hoek UPV minder is dan a. Omdat TPV

gelijk is aan a, moet het lijnstuk PT in de hoek van QPU liggen, en moet daarom

noodzakelijk lijn l snijden (ergens tussen Q en U). Dit weerlegt de veronderstelling dat lijn s

parallel is aan lijn l, en kunnen we concluderen dat de parallelle lijn r door P uniek is.

Uiteindelijk kunnen we door de bovenstaande bewijzen concluderen dat de stelling van

Pythagoras het parallellenpostulaat behoefd!

I.1.17 Het bewijs voor Propositie I.29

Zoals eerder vermeldt, was de eerste propositie waarbij Euclides van zijn parallellenpostulaat

gebruik maakte, Propositie I.29. Om de essentie van deze propositie weer te geven en om het

parallellenpostulaat beter te doen begrijpen, zullen wij hier Propositie I.29 bewijzen.

Te bewijzen:

“Een rechte (lijn), die parallelle rechten (parallelle rechte lijnen) treft, maakt de

verwisselende binnenhoeken aan elkaar gelijk en den buitenhoek gelijk aan den afgelegen

binnenhoek en de binnenhoeken aan den zelfden kant gelijk aan twee rechte (hoeken).”

Een visualisatie van wat te bewijzen, om een beter

beeld te krijgen:

de twee rechte en parallelle lijnen l en m worden

beiden gesneden door een andere rechte lijn k. De

snijpunten met de lijnen zijn A en B. Vervolgens

wordt gezegd (en moet bewezen worden) dat (o.a.)

de hoeken A3 en B1 gelijk zijn, hoek A1 gelijk is aan

hoek B1 en elke binnenhoeken aan dezelfde zijde

samen (bijvoorbeeld A2 en B1) twee rechte hoeken

opgeteld zijn (180º).

Bewijs:

Stel: hoek A3 en B1 zijn ongelijk aan elkaar (A3≠B1). Dan moet

een van deze twee wel groter zijn: laat dat, in ons voorbeeld, hoek

A3 zijn (A3>B1). Vervolgens tellen we bij beide hoeken, zowel bij

hoek A3 als bij B1 dus, de hoek A2 op. Dan is (A3 + A2) dus groter

dan (B1 + A2) ((A3+A2) > (B1 + A2)). Maar verder weten we ook

dat de hoeken A3 en A2 samen gelijk zijn aan twee rechte hoeken

(A3 + A2 = 180º). (Dit werd overigens ook bewezen in Euclides‟

Propositie I.13 – nevenhoeken, maar spreekt ook voor zich omdat

A3 en A2 beiden aan dezelfde kant van lijn l liggen en elk punt op

een rechte lijn (dus ook punt A) uiteraard een hoek heeft van

180º). Dit betekent dan tevens dat hoek (A2 + B1) kleiner is dan

180 º ((A2 + B1) < 180º).

Verder stelt het parallellenpostulaat dat twee rechte parallelle

lijnen, tot in het oneindige verlengd, elkaar nooit zullen snijden –

dat betekent dus ook dat de binnenhoeken aan dezelfde kant van

Stel: A3≠B1 met A3

> B1

A3 + A2 > B1 + A2.

A3 +A2 > B1 + A2

A3 + A2 = 180º

B1 + A2 < 180º

}

15

de lijn die de parallellen snijdt samen 180º moeten zijn. Echter

hebben we net gezegd dat (A2 + B1) < 180º. Dan betekent dat de

lijnen l en m elkaar, wanneer tot in het oneindige verlengd, elkaar

moeten snijden. Echter doen ze dit niet, omdat dit in tegenspraak

is met het gegeven dat de lijnen l en m parallel zijn en deze dus

volgens het vijfde postulaat elkaar nooit zullen snijden.

Hieruit volgt dat hoek A3 niet ongelijk is aan hoek B1 ; ze zijn dus

gelijk aan elkaar (A3 = B1).

Nu kunnen we als volgt verder redeneren: hoek A3 = A1

(nevenstaande hoeken, Propositie I.15). Omdat hoek A3 = B1, ook

A1 = B1 (ook: F-hoeken). Tel wederom hoek A2 bij beiden op: dan

is (A2 + B1) = (A2 + A1). Wederom gebruik makend van Propositie

I.13 kunnen we nu stellen dat, omdat (A2 + A1) = 180º

(nevenhoeken), zijn tevens de twee binnenhoeken aan dezelfde

zijde van de rechte lijn (A2 + B1) ook gelijk aan twee rechte

hoeken (180º)!

Q.E.D.

I.1.18 Uit Playfair’s axioma volgt het parallellenpostulaat

Om te laten zien dat Playfair het bij het rechte eind had met zijn herformulering van het

postulaat, gaan we bewijzen wat de titel van deze paragraaf al beschrijft.

Gegeven:

Zie nevenstaande figuur. Gegeven zijn

de rechte lijnen l en m en een

willekeurig punt A op m. Op m vanuit

punt A is lijn AB getrokken: transversaal

n. De gegeven hoeken A1 en B2 maken

samen een hoek kleiner dan twee rechte

hoeken.

Te bewijzen:

Uit Playfair‟s axioma volgt het parallellenpostulaat: lijnen m en l zullen snijden aan kant A1

en B2.

Bewijs:

Trek lijn k door A die een hoek maakt met n waarbij hoek A1 + A4 = B1. Dan zijn de lijnen

k en l volgens Propositie I.27 parallel. Omdat lijn m volgens Playfair‟s axioma dan niet

parallel is aan lijn l (er kan volgens het axioma immers maar één rechte lijn door een punt

worden getrokken parallel aan een andere lijn, en lijn k≠m), moet lijn m lijn l treffen in een

van de richtingen wanneer tot in het oneindige verlengd.

Omdat m en l elkaar zullen snijden, zal er een driehoek ontstaan met transversaal n. Echter

zijn in elke driehoek twee hoeken opgeteld samen telkens kleiner dan twee rechte hoeken.

Daarom zijn de hoeken A1 en B2 de hoeken van de driehoek en niet de hoeken A2 en B1,

omdat A1 en B2 samen kleiner zijn dan twee rechte hoeken (gevolg van Propositie I.13 –

overstaande hoeken).

Tegenspraak.

A3 = B1

A3 = A1 A1 = B1

A3 = B1

A2 + B1 = A2 + A1

A2 + A1 = 180º

A2 + B1 = 180º

}

}

16

Dus zullen de lijnen m en l elkaar snijden aan de kant van A2 en B2, oftewel aan de kant van

lijn n waar de hoeken kleiner zijn dan twee rechte hoeken, zoals het parallellenpostulaat stelt.

Q.E.D.

I.2 Een aanloop naar en de grondleggers van de

niet-Euclidische meetkunde

I.2.1 John Wallis (1616 – 1703)

In tegenstelling tot veel van zijn voorgangers, waaronder de eerder genoemde Proclus,

probeerde in de zeventiende eeuw de uit Engeland afkomstige wiskundige John Wallis niet

het parallellenpostulaat uit de eerste vier postulaten af te leiden, maar in plaats daarvan

probeerde hij een postulaat aan te nemen dat volgens hem waarschijnlijker is dan het

parallellenpostulaat. Zijn uiteindelijke nieuwe „postulaat‟ staat bekend onder het axioma van

Wallis en is equivalent aan het vijfde postulaat. Vervolgens probeerde hij uit de eerste vier

postulaten en dit nieuwe postulaat het parallellenpostulaat af te leiden. Laten we het axioma

bestuderen en een bewijs geven.

I.2.2 Het axioma van Wallis Het axioma luidt als volgt:

“Bij een gegeven (willekeurige) driehoek ABC en een gegeven lijnstuk DE bestaat een

driehoek DEF (waarvan dus DE een zijde is) die gelijkvormig is met driehoek ABC.”

Gegeven:

Een lijn l en een punt A niet op die lijn

Te bewijzen:

k is de enige lijn door A evenwijdig aan l

Bewijs:

Teken een loodlijn AB op l te en vervolgens wederom een loodlijn k loodrecht op AB. Teken

een andere lijn m door P.

Toon nu aan dat lijn m lijn l zal snijden.

17

m ligt tussen lijn k en AB in – voor elk punt C op dit lijnstuk m kunnen we een loodlijn CD

trekken van die lijn m naar lijnstuk AB. (Merk op, dat we kunnen aantonen dat CD uniek is).

Vervolgens kunnen we het axioma van Wallis toepassen op ADC en lijnstuk AB. Hieruit

volgt dat er een punt E is zodat ADC ≈ ABE.

Stel dat E aan dezelfde kant ligt van AB als C. Dan is, door de gelijkvormigheid van de

driehoeken, EAB = CAD. Omdat beide hoeken lijnstuk AB als been hebben en E aan

dezelfde kant van AB ligt als C, moet E wel op lijn m liggen.

Daaruit volgt dat ook ABE = ADC, en is ABE een rechte hoek.

Doordat ABE een rechte hoek is, en tevens omdat E op lijn m ligt, kun je concluderen dat E

dan ook op lijn l ligt en dus dat de lijnen l en m snijden elkaar in E; dat betekent dat lijn k de

enige lijn is die A snijdt en die evenwijdig is aan lijn l!

Het bovenstaande bewijs is, hoewel correct, niet gelijk aannemelijker dan het

parallellenpostulaat; het is slechts equivalent, net als Playfair‟s axioma, maar heeft nooit de

positie van het originele parallellenpostulaat kunnen innemen.

I.2.3 Giovanni Gerolamo Saccheri (1667 – 1733)

Saccheri, een Italiaanse theoloog, filosoof en wiskundige, heeft enkele opmerkenswaardige

werken gepubliceerd met betrekking tot het parallellenpostulaat. Giovanni Saccheri was lid

van de orde van de Jezuïeten, en was tijdens zijn studie filosofie en theologie aan het

Jezuïetencollege door Tommaso Ceva geïnteresseerd geraakt in de wiskunde. Na zijn studie

en priesterwijding heeft hij als docent zijn initiële studiekeuzes onderwezen op diverse

Jezuïetencolleges door Italië, maar werd in 1699 ook hoogleraar in de wiskunde.

Hij schreef verscheidene werken met betrekking tot de wiskunde, waaronder Quaesita

geometrica (i.s.m. Tomasso Ceva), Logica Demonstrativa (over logica, geschreven in de stijl

van Euclides‟ Elementen) en Neo-statica (over statica).

Verder schreef hij in het jaar van zijn overlijden, wat als zijn meesterwerk wordt beschouwd,

een boek met de titel Euclides ab Omni Naevo Vindicatus („Euclides van elke blaam

gezuiverd‟). In dit boek sloeg hij een nieuwe weg in, vergeleken met de wiskundigen die hem

voorgingen, betreffende de afleiding van het vijfde postulaat uit de eerste vier. Hij maakte

gebruik van een zogenaamd reductio ad absurdum (bewijs uit het ongerijmde), een methode

waarmee enkele van de voorgaande stellingen al mee zijn bewezen. Saccheri gaat als volgt te

werk: in tegenstelling het vijfde postulaat trachten af te leiden en het bestaan van een

dergelijke propositie of een dergelijk postulaat te erkennen, verwerpt hij het

parallellenpostulaat en maakt slechts gebruik van de eerste vier postulaten alsmede de eerste

18

28 proposities. Vervolgens onderzocht hij de gevolgtrekkingen ervan, in de hoop zo op

onmogelijkheden te stuiten. Dit werk wordt, hoewel hij het zelf niet zo ziet, beschouwt als de

eerste publicatie over niet-Euclidische wiskunde en krijgt veel aandacht van de andere

wiskundigen van zijn tijd, wiens interesse voor het parallellenpostulaat ten tijde erg groot

was.

Intuïtief en door zijn overtuiging van het bestaan van parallellenpostulaat en het geloof in

Euclidische meetkunde, besluit hij uiteindelijk zijn resultaten te verwerpen als ongerijmd en

is er daardoor van overtuigt het parallellenpostulaat te hebben bewezen.

Enkelen denken echter dat Saccheri wel degelijk het bestaan van een niet-Euclidische

meetkunde heeft ingezien, gezien de voortreffelijkheid van zijn laatste schrijven, maar deze

niet durfde te publiceren uit angst voor eventuele vervolging.

I.2.4 De vierhoek van Saccheri

Saccheri kon bij zijn bewijzen alleen gebruik

maken van de eerste vier postulaten – om de

gevolgen van deze meetkunde te bestuderen,

probeerde hij tevens een aantal

veronderstellingen deels nogmaals te bewijzen

die normalitair enkel en alleen met behulp van

het parallellenpostulaat konden worden

bewezen. Hij bestudeerde onder andere

vierhoeken waarvan de basishoeken rechte

hoeken zijn en de opstaande zijden gelijk, zoals

de bovenstaande vierhoek – deze vierhoeken worden ook wel Saccheri vierhoeken genoemd.

Welnu, in de bovenstaande balk kan men niet bewijzen zonder hulp van het

parallellenpostulaat dat, omdat zowel hoek A en B rechte hoeken zijn, ook de hoeken C en D

rechte hoeken zijn. Echter, het is wel mogelijk om te bewijzen – zonder gebruik te maken van

het vijfde postulaat – dat de hoeken C en D gelijk aan elkaar zijn. Het bewijs is niet erg

moeilijk en gaat als volgt:

Figuur 4: Titelpagina van

Euclides ab Omni Naevo

Vindicatus

19

DAB = ABC (gegeven: rechte hoeken, postulaat IV)

AD = BC (gegeven) ABD BAC (ZZR)

AB = AB

ABD BAC AC = BD

AD = BD (gegeven) CAD DBC (ZZZ) ADC = BCD

CD = CD D = C

I.2.5 De Vierhoek van Saccheri & het parallellenpostulaat

Het is natuurlijk een stap in de goede richting nu we hebben bewezen dat de hoeken C en D

gelijk zijn, maar pas als we hebben bewezen dat de hoeken C en D beide ook rechte hoeken

zijn kunnen we pas iets zeggen over de noodzakelijkheid van het parallellenpostulaat.

Waarom dit zo is zullen we later bekijken. Op dit moment bestaan er drie hypothesen over de

hoeken C en D:

1. Hoeken C en D zijn rechte hoeken

2. Hoeken C en D zijn stompe hoeken

3. Hoeken C en D zijn scherpe hoeken

Geheel volgens Saccheri gaan we verder, en zullen alles bewijzen vanuit het ongerijmde met

behulp van enkel de eerste vier postulaten en de meetkunde die daaruit volgt – we nemen

hypothesen twee en drie aan, en kijken of er een tegenspraak ontstaat. Als dit in beide daar tot

toe leidt, zullen we kunnen concluderen dat hypothese één bevestigd is.

Immers, vervolgend op de eerste alinea, beweert Saccheri dat uit de hypothese van de rechte

hoek het parallellenpostulaat is af te leiden. Zoals we eerder hebben gezien kunnen we dit

doen door te laten zien dat de hoeken van de driehoek samen 180º zijn – immers behoefde

deze stelling het parallellenpostulaat (zie I.1.16).

Een volgende bewijs kan worden gegeven (zie onderstaande figuur):

Gegeven:

Vierhoek ABEF met de rechte hoeken E en

F. H is het midden van AC en G het midden

van BC. Loodrecht op EF door C is lijnstuk

CD, met D op EF. E, F en D zijn de

voetpunten van de loodlijnen vanuit

respectievelijk B, A en C.

Te bewijzen:

De hoekensom van ABC is gelijk aan 180º

Bewijs:

H1 = H2 (Propositie I.13

– overstaande hoeken)

F = D (Postulaat IV)

AH = CH (gegeven)

}

}

} FHA DHC

(ZHH)

20

Op eenzelfde manier kan worden bewezen dat ook EGB DGC (ZHH):

G1 = G2 (Propositie I.13 – overstaande hoeken)

E = D (Postulaat IV)

BG = GC (gegeven)

FHA DHC AF = CD

EGB DGC BE = CD AF = BE

Omdat E en F op dezelfde lijn EF rechte hoeken zijn en omdat AF en BE (loodrecht op F en

E) gelijk zijn, is vierhoek ABEF is een vierhoek van Saccheri.

Verder geldt dat de hoekensom S van ABC = A1 + B1 + C1 + C2. Dan kunnen we

verder redeneren:

Omdat we net hebben gezegd dat FHA DHC A2 = C1

en EGB DGC B2 = C2

S = A1 + B1 + C1 + C2

S = A1 + B1 + C1 + C2 = S = A12 + B12

Omdat A = B = 90º ( F en E waren immers voetpunten van de loodlijnen ( loodlijn =

90º) vanuit A en B), is S = A + B = 180º!

Q.E.D.

I.2.6 De Vierhoek van Saccheri & de stellingen van Legendre

Herinner je je nog Lemma 2 van Legendre (zie I.1.19)? Deze stelling beweerde dat de

hoekensom van een driehoek groter of gelijk is aan 180º, zonder hierbij gebruik te maken van

het parallellenpostulaat. Herlees eventueel het lemma om wederom een beter inzicht in de

zaak te krijgen. Er werd uiteindelijk bewezen dat een zekere driehoek ABC een gelijke

hoekensom heeft als de hoekensom van een andere driehoek ABE, en waarvan tenminste één

hoek de helft van een van de hoeken in de originele driehoek ABC is.

Ook werd gezegd dat deze stap zovaak kon worden herhaald als mogelijk; hierbij kregen we

een nieuwe driehoek met dezelfde hoekensom 180º + a, maar waarin één hoek ten hoogste aº

is. Dat betekent dan dat de som van de twee andere hoeken gelijk of groter is dan 180º. En

dat leidt tot een tegenspraak met de stelling die zegt dat de som van twee willekeurige hoeken

in een driehoek kleiner is dan 180º, en wel lemma 1. Hierbij is, zoals eerder vermeldt,

bewezen dat de som van twee willekeurige hoeken in een driehoek kleiner is dan 180º.

Van deze stelling heeft Saccheri dus op een dergelijk manier gebruik kunnen maken dat de

hypothese van een stompe hoek tot een tegenspraak leidt.

Ook denkt Saccheri, zonder gebruik te maken van het parallellenpostulaat, uiteindelijk te

hebben bewezen dat tevens de hypothese van een scherpe hoek tot een tegenspraak leidt –

echter blijkt dit bewijs niet geheel te kloppen. Hij trekt een verkeerde conclusie, door zijn

grote overtuiging van de waarheid van het parallellenpostulaat.

}

EGB DGC (ZHH) }

} S = A1 + B1 + A2

+ B2

21

I.2.7 Jean François Moufot (1784 – 1842)

Jean Moufot, een Fransman geboren in Normandië, heeft ook bijgedragen aan de

hedendaagse wiskunde onder andere met enkele stellingen hedendaags bekend onder de

stellingen van Moufot. Betreffende de niet-Euclidische meetkunde was zijn aandeel echter

klein, mede omdat hij zijn vindingen betreffende deze meetkunde nooit heeft gepubliceerd.

Dat is dan ook de reden dat hij nauwelijks genoemd wordt in de reeks van grondleggers van

deze meetkunde.

Moufot was een erg filosofisch ingestelde wiskundige, die zijn studie

aan de École Polytechnique voortijdig afbrak om zich geheel in deze

filosofie te verdiepen. Hij hield van simpliciteit mede doordat hij erg

beïnvloed was door het werk van Rene Descartes (1596 – 1650), de

filosoof die onder meer bekend is van zijn wereldwijd beroemde

uitspraak Cogito ergo sum (“Ik denk dus ik ben”). Ook was Moufot,

mede vanwege zijn simplistisch ingestelde denkwijze, al vanaf jonge

leeftijd gefascineerd door de eerste vier eenvoudige postulaten van

Euclides waarop de gehele wiskunde is gebaseerd. In navolging van

Euclides publiceerde hij tevens een tweetal eenvoudige stellingen (de

stellingen van Moufot), waarbij we even stil zullen staan maar niet

verder zullen uitlichten omdat deze geen betrekking hebben op het

onderwerp en ook niet van belang zijn.

De eerste stelling van Moufot luidt als volgt:

Gegeven:

Een willekeurige driehoek, met een vierkant daaromheen.

Stelling:

Alle zijden van het vierkant zijn even lang, ongeacht de afmetingen

van de driehoek.

Zijn tweede stelling:

Gegeven:

Een willekeurige cirkel met daaromheen een

willekeurig vierkant en een hoek met de

horizontaal en dit vierkant

Stelling:

Het middelpunt van de cirkel ligt binnen het

vierkant.

Hij voegde hier graag aan toe dat deze stelling

juist was ongeacht de vorm van de cirkel of de

grootte van hoek

Deze stellingen lijken heel erg logisch, maar als iemand dat als respons bij het zien van de

stellingen zou verklaren in de aanwezigheid van J. Moufot, antwoordde hij steevast: “dat

denk je maar…”. Dit antwoord past, bij nader inzien, immers ook geheel in de wereld van

Descartes die met zijn bovenstaand geciteerde Cogito ergo sum tevens impliceerde dat men

aan alles kan twijfelen behalve de twijfel zelf (omdat dit een denkactiviteit is).

Figuur 5:

Jean Moufot

22

Figuur 6:

Lobačevskiĭ

Zijn passie voor simpliciteit leidde dan ook tot twijfel bij het zien van het

parallellenpostulaat, en vermoedde dan ook, net als andere grote groepen wiskundigen van

zijn tijd, dat deze kon worden afgeleidt uit de eerste vier. Evenals Saccheri verwierp hij het

parallellenpostulaat om te ondervinden wat de gevolgen hiervan waren door enkel gebruik te

maken van de eerste vier postulaten. Zijn studies leidden, bij de verwerping van het vijfde

postulaat, tot een volledig consistente meetkunde; hij was een van de eersten die tot dit

inzicht kwam. Doordat geen van zijn werken ooit gepubliceerd zijn is hem nooit de eer van

de ontdekking van de niet-Euclidische meetkunde toegekomen, en is deze eer voorbijgegaan

naar andere wiskundigen – die overigens hun werken slechts 15 tot 20 jaar na zijn

bevindingen publiceerden – en die in de volgende paragrafen zullen worden besproken.

I.2.8 Nikolai Ivanovich Lobačevskiĭ (1792 – 1856)

Nadat Lobačevskiĭ, woonachtig vanaf 1801 in Kazan, zijn studie aan het stedelijk gymnasium

had afgerond, besloot hij natuur- en wiskunde studeren aan de universiteit ter plaatse. Hij

raakte door zijn Duitse professor Martin Bartels, die bevriend was met Gauss (die we zoeven

zullen bespreken), geïnteresseerd in de wiskunde – met name in Euclides‟ postulaten. Toen

hij afstudeerde, werd hij zelf professor aan de universiteit en later ook rector van de

universiteit.

Lobačevskiĭ beweerde, nadat hij een aantal studies had voltooid, dat het

parallellenpostulaat niet bewezen kan worden en zegt daarmee ook dat

deze niet uit de vier voorgaande postulaten kan worden afgeleid. Hij

vervangt het parallellenpostulaat door een ander postulaat en

ontwikkelt een ander soort meetkunde waarbij dit postulaat niet van

toepassing is, een niet-Euclidische meetkunde. Dit terwijl andere

wiskundigen nog druk bezig zijn het parallellenpostulaat af te leiden uit

de vier andere postulaten van Euclides. Zijn ideeën over een algemene

niet-Euclidische meetkunde werden voor het gepresenteerd op 11

februari 1826 voor de afdeling natuur- en wiskunde op de universiteit

van Kazan, en dit werk gold tevens als de basis voor zijn in 1829

gepubliceerde werk over hyperbolische meetkunde in het Russische

tijdschrift Kazan Boodschapper. In 1840 in Berlijn publiceerde Lobačevskiĭ een

samenvatting van zijn meetkunde om zijn ondervindingen ook buiten Rusland bekend te

maken in Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien.

In de 19e eeuw blijkt dat het parallellenpostulaat onmogelijk is te bewijzen door het werk van

onder meer Lobačevskiĭ, maar tevens door een andere onderzoeker, János Bolyai. Zij werkten

onafhankelijk van elkaar een meetkunde uit waarbij het vijfde postulaat werd genegeerd en

dus een nieuwe tak van wiskunde ontstond: de niet-Euclidische meetkunde.

Merk dus op dat niet-Euclidische meetkunde niet „non Euclidische meetkunde‟ is, in de zin

dat – hoewel het parallellenpostulaat buiten beschouwing wordt gelaten in deze meetkunde –

er nog steeds gebruik wordt gemaakt van de eerste vier postulaten van Euclides als basis voor

deze meetkunde. Een veelgebruikte omschrijving van niet-Euclidische meetkunde is dan ook

dat niet-Euclidische meetkunde een meetkunde is waarbij het parallellenpostulaat als onwaar

wordt beschouwd.

Doordat uit Lobačevskiĭ‟s en Bolyai‟s vindingen bleek dat zich een geheel nieuwe

meetkunde kan ontwikkelen door het vijfde postulaat te ontkennen, kwamen zij tot de

conclusie dat het onmogelijk is om het parallellenpostulaat te bewijzen uit de eerste vier.

Immers, als dit wel mogelijk zou zijn geweest, zou de ontkenning van dit postulaat tot

23

eenzelfde meetkunde moeten leiden als wanneer deze niet ontkend werd, wat klaarblijkelijk

niet het geval is.

Wanneer in 1860 een brief gepubliceerd wordt door Carl Gauss, degene met wie de eerder

genoemde professor Bartels correspondeerde, wordt ook het belang en de betekenis van de

vindingen duidelijk voor andere wiskundigen – hieruit bleek dat overigens de (ten tijde al

befaamde) Gauss al langere tijd van een bestaan van de niet-Euclidische meetkunde is

overtuigt en zelf ook al een aantal belangrijke – echter ongepubliceerde – vindingen heeft

gedaan.

We zullen Gauss en zijn resultaten verderop bekijken, maar laten we eerst Bolyai en zijn

bijdrage nader bekijken.

I.2.9 János Bolyai (1802 – 1860)

De uit Hongarije afkomstige János Bolyai was een bijzonder intelligente

man, en wordt, naast Lobačevskiĭ, Gauss en Riemann als een van de

grondleggers van de niet-Euclidische meetkunde beschouwd. Zijn vader,

Farkas Bolyai, is natuur-, wis- en scheikunde leraar en van plan om van

zijn zoon een groot wiskundige te maken. Om dit te bereiken, schreef

Farkas een brief naar zijn vriend Gauss om deze zijn opvoeding en

opleiding van hem over te nemen, maar Gauss weigerde dit voorstel.

János gaat vervolgens aan de militaire acedemie in Wenen studeren, waar

hij zijn studie in vier jaar in plaats van de gebruikelijke zeven jaar afrond.

Net als zijn vader probeert János tevens, mede geleid door zijn grote

belangstelling voor het parallellenpostulaat, dit vijfde postulaat af te leiden uit de eerste vier

maar komt net als Lobačevskiĭ (NB.: zij werkten onafhankelijk van elkaar) tot de conclusie

dat dit onmogelijk is omdat zich een consistente niet-Euclidische meetkunde kan ontwikkelen

bij het weglaten van het postulaat. Vijf jaar na 1820 – 1820 is zowel het jaar van zijn

voorgenoemde vinding als het jaar van zijn gehele studie met betrekking tot dit postulaat –

presenteert hij zijn vindingen aan zijn vader, die zich er ogenschijnlijk niet erg enthousiast

over was. J. Boylai publiceert zijn werk in 1832 in een appendix bij een werk van zijn vader,

maar komt voor de uitgave al tot de conclusie dat Gauss de bevindingen die János heeft

beschreven al eerder had gedaan maar nog nooit gepubliceerd had uit angst voor publieke

opinie. János gelooft in een complot tussen Gauss en zijn vader, waarbij de laatstgenoemde

zijn bevindingen aan Gauss zou hebben doorgespeeld. Hij leidt vanaf 1833 een meer

teruggetrokken leven, en komt in 1848 tot de ontdekking dat Lobačevskiĭ een soortgelijke

bevindingen heeft gedaan als die hij heeft beschreven, maar al had uitgegeven in 1829, drie

jaar vóór de uitgave van zijn werk.

Hij geraakt in een diepe depressie en heeft geen van zijn latere bevindingen ooit nog

gepubliceerd. János Bolyai liet wel bij zijn dood meer dan 20.000 pagina‟s met

aantekeningen achter, grotendeels met betrekking op wiskundige onderwerpen, waaruit later

bleek dat hij op sommige punten zijn tijd ver vooruit was.

I.2.10 Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855)

Carl Friedrich Gauss was een Duits wiskundige, astronoom en fysicus. Net als J. Boylai was

Gauss tevens een bijzonder pientere leerling, die al voordat hij ging studeren de kwadratische

reciprociteitswet herontdekt en bewezen en de priemgetalstelling vermoed. Als student loste

hij een tweeduizend jaar oud probleem op en wel de voorwaarden en noodzakelijkheden

opdat een regelmatige veelhoek met passer en liniaal kon worden geconstrueerd. Hij besloot

Figuur 7: Bolyai

24

na zijn succes van deze vinding wiskunde te gaan studeren en promoveerde in 1799, na een

eerste strenge bewijs van de hoofdstelling van de algebra te geven. Twee jaar later kwam hem

de titel van Princeps Mathematicorum (“De voornaamste van de wiskundigen”) hem

voorgoed toe na de publicatie van Disquisitiones arithmeticae (“Onderzoeken naar

rekenkunde”), wat de grondslag van de getallentheorie vormt.

In een periode vanaf 1807 hield hij zich onder meer tevens met astronomische zaken bezig,

maar legde zich ook tot 1818 zichzelf geheel toe op de wiskunde, onder andere op de niet-

Euclidische meetkunde. Vanaf het begin van de negentiende eeuw stelde hij zichzelf namelijk

al enige vragen met betrekking tot het parallellenpostulaat, door een

soortgelijke weg te volgen als enkele voorgenoemde wiskundigen van

zijn tijd door te kijken of zich een nieuwe meetkunde zou ontwikkelen

(waarin de stellingen niet in tegenspraak met elkaar zijn) bij het nemen

van een ander postulaat dan dit vijfde postulaat van Euclides. Hij

communiceerde met János en Farkas Boylai over het onderwerp, maar

desondanks publiceerde lange tijd (zelfs niet in de periode tot 1818

toen hij artikelen over de hypergeometrische reeks, bikwadratische

reciprociteitswet en wederom over de hoofdstelling van de algebra

publiceerde) geen van zijn bevindingen.

Toen hij vanaf 1818 tot 1825 aan actief veldwerk voor de triangulatie6 van het koninkrijk van

Hannover deelnam, raakte hij geïnspireerd voor theorieën over gebogen oppervlakten,

differentiaalmeetkunde en waarnemingsrekening. Hij heeft echter nooit iets gepubliceerd

over de niet-Euclidische meetkunde, maar uit zijn 7000 correspondentiebrieven met onder

andere Boylai en uit notities bleek tijdens zijn overlijden dat hij de niet-Euclidische

meetkunde decennia voor is geweest en dus wel degelijk tot de ontdekkers van deze tak van

de wiskunde behoort.

In 1825 raakte Gauss geïnteresseerd in de natuurkunde en publiceerde nauwelijks meer

wiskundige werken. In de natuurkunde heeft hij ook veel vooruitgang geboekt; de eenheid

van de magnetische inductie is onder andere naar hem vernoemd. Naast dit onderwerp die

behoort tot de aardmagnetica, bestudeerde en publiceerde hij ook werken over de mechanica,

capillariteit, variatierekening, optica en kristallografie.

I.2.11 De bevindingen van de grondleggers van de niet-Euclidische meetkunde

Na jarenlange studies en de publicaties over de niet-Euclidische meetkunde van Lobačevskiĭ,

J. Bolyai en Gauss, begon deze nieuwe tak van wiskunde vorm aan te nemen. De tak van

wiskunde blijkt ruwweg onder te zijn verdelen in elliptische en hyperbolische meetkunde. In

delen II en III zullen deze onderwerpen verder worden uitgediept; maar laten we alvast kijken

hoe deze typen meetkunde zich onderscheiden van de Euclidische meetkunde, met name van

het parallellenpostulaat.

In de hyperbolische meetkunde worden door Bolyai en Lobačevskiĭ, de ontwikkelaars van de

niet-Euclidische meetkunde, het parallellenpostulaat vervangen door het volgende postulaat:

“Er zijn meerdere evenwijdige lijnen aan een lijn l door een punt P niet op l.”

6 Triangulatie: driehoeksmeting op het terrein ten behoeve van de cartografie

Figuur 8: Gauss

25

Natuurlijk lijken, in het platte vlak, geen van de bovenstaande lijnen door P evenwijdig te

zijn aan lijn l, maar zoals later zal blijken zal in een bepaald ruimtelijk figuur (een

hyperbolisch model) dit wel het geval zijn.

Tenslotte hebben we ook nog de elliptische meetkunde, waarin het vijfde postulaat van

Euclides door het volgende kan worden vervangen:

“Er zijn geen evenwijdige lijnen aan een lijn l door een punt P niet op l.”

Ook deze stelling lijkt vreemd, maar zoals in het volgende deel over elliptische meetkunde

zal blijken zal deze bewering je hopelijk wèl duidelijk worden.

Voor nu is de bespreking van de Euclidische meetkunde dan ook klaar en kunnen we voor

wat ons betreft naar andere, op dagelijkse basis voor ons onbekende, zaken kijken.

26

II Elliptische meetkunde

II.1 Inleiding in elliptische meetkunde en bolmeetkunde

II.1.1 Wat is elliptische meetkunde? Elliptische meetkunde is een tak van de meetkunde waarbinnen het 5

e postulaat van Euclides

niet geldt, maar in plaats daarvan stelt:

“Er zijn geen evenwijdige lijnen aan een lijn l door een punt P niet op l.”

De elliptische meetkunde werd, later dan de hyperbolische meetkunde, in 1854

geïntroduceerd door Bernhard Riemann, als onderdeel van een grotere meetkunde; De

Riemann-meetkunde. Deze meetkunde is de basis geworden van de relativiteitstheorie,

waarmee Albert Einstein aan het begin van de twintigste eeuw de natuurkunde op zijn kop

zette. De beste manier om je de elliptische meetkunde voor te stellen is door te kijken naar

een bol. We zullen ons daarom in dit deel van het verslag focussen op de bolmeetkunde. Dit

is een iets vereenvoudigde vorm van elliptische meetkunde, en daarom beter te begrijpen.

In de vlakke meetkunde bestuderen we punten, lijnen, driehoeken, veelhoeken, en ga zo maar

door. Op een bol hebben we punten, maar geen rechte lijnen, tenminste niet wat wij ons bij

een rechte lijn voorstellen. In de bolmeetkunde zijn deze lijnen vervangen door grootcirkels.

Kenmerkend voor rechte lijnen bij de vlakke meetkunde is dat ze de kortste verbinding

vormen tussen 2 punten. Grootcirkels vervullen bij de bolmeetkunde deze rol. Als we

grootcirkels zien als de vervangers van rechte lijnen kunnen we gaan kijken naar driehoeken

naar driehoeken veelhoeken en andere geometrische vormen óp de bol. Dit zullen we

verderop natuurlijk gaan doen, en aan de hand van die resultaten zullen we uiteindelijk

Ook zullen we de theorie van Girard bewijzen, die een formule geeft voor de som van de

hoeken in een driehoek op een bol. Uiteindelijk zal ook Euler‟s beroemde formule

V - E + F = 2 aan bod komen; het bewijs zal worden geleverd met behulp van

bolmeetkunde.

II.1.2 Definities op een bol Omdat de definities voor punten, lijnen en objecten bij bolmeetkunde verschillen van de

reguliere meekunde bekijken we eerst wat ze bij de bolmeetkunde inhouden. Een bol is een

verzameling van punten in een driedimensionale ruimte die allemaal even ver van één ander

punt, het centrum van de bol, liggen. De afstand van het centrum tot de punten op de bol

noemen we de straal of radius. Bij bolmeetkunde focust op de oppervlakte van de bol. Het

oppervlak van de aarde heeft ook alle eigenschappen van een bol, wat een van de redenen is

om bolmeetkunde als een interessante tak van de meetkunde te beschouwen, die je zeker niet

als onbelangrijk kunt afdoen.

Als je een willekeurige lijn en een bol neemt in een driedimensionale wereld dan kunnen er

drie dingen gebeuren. Ten eerste kunnen de lijn en bol langs elkaar heen gaan en elkaar dus

niet raken. (1e plaatje op de volgende pagina) Dit geval is niet erg interessant. In het tweede

geval raakt de lijn de bol in één punt; het raakpunt. (2e plaatje op de volgende pagina) Als

laatste kan de lijn de bol snijden in precies twee punten. Het meest interessant is als die dat

doet door het centrum van de bol. De twee snijpunten liggen dan tegenover elkaar en heten

antipoden. (3e plaatje op de volgende pagina). Het bekendste voorbeeld van een

antipodenpaar is de noorden zuidpool op de aarde.

27

Laten we nu eens kijken naar een vlak en een bol. Ook nu

kunnen er weer verschillende dingen gebeuren. Ze

kunnen elkaar natuurlijk weer missen of raken. In het

geval dat ze elkaar raken zijn er twee mogelijkheden. Ze

kunnen elkaar ontmoeten in één punt. In dat geval raakt

het vlak de bol in het raakpunt. In het andere geval

ontmoeten vlak en bol elkaar in een cirkel. Aan de

nevenstaande afbeelding is duidelijk te zien dat die cirkel

het grootst is als het vlak precies door het middelpunt van

de bol gaat. Zo‟n cirkel noemen we een grootcirkel. Een

geografisch voorbeeld van een grootcirkel is de evenaar.

De meridianen vormen precies een halve grootcirkel.

Alle breedtecirkels behalve de evenaar zijn kleine cirkels.

Het belang van grootcirkels blijkt wel uit het volgende:

De kortste afstand tussen 2 punten op een bol is die over

een deel van de grootcirkel die door beide punten gaat.

We hebben nu een begin gemaakt met meetkunde op de bol. In de gewone meetkunde zijn de

basis uitgangspunten punten en lijnen. In de bolmeetkunde we hebben zoals eerder al kort

vermeld natuurlijk wel punten, maar geen lijnen zoals bij reguliere meetkunde. Deze lijnen

zijn in bolmeetkunde vervangen door grootcirkels. Immers waar een lijn in de reguliere

meetkunde de kortste verbinding is tussen punten is een grootcirkel dat voor punten op een

bol.

Stel, we hebben 2 verschillende punten A en B op een bol. Samen met punt C, het centrum

van de bol, hebben we nu 3 punten in de ruimte. Nu zijn er twee mogelijkheden. A en B

vormen een antipodenpaar of ze vormen dat níet. In het tweede geval liggen de punten A, B

en C niet op 1 lijn. Daardoor is er slecht 1 uniek vlak wat door alle 3 de punten gaat. Doordat

dit vlak door C gaat definieert het automatisch een unieke grootcirkel door A en B.

Als A en B echter een antipodenpaar vormen, dan liggen A, B en C wél op 1 lijn. In dit geval

definieert elk vlak dat die lijn bevat een grootcirkel die wel de punten A en B moet bevatten.

We kunnen hieruit concluderen:

Gegeven: punten A en B op de bol en het middelpunt C van de bol. Als A en B geen

antipodenpaar vormen is er één unieke grootcirkel die door beide punten gaat. Als A en B

een antipodenpaar vormen zijn er oneindig veel grootcirkels die door beide punten gaan.

In het volgende geval gaan we uit van 2 verschillende grootcirkels op een bol. Elk van deze

grootcirkels is de snijlijn van een vlak door het centrum van de bol. De twee grootcirkels

snijden elkaar dus in de 2 punten van een antipodenpaar.

Twee verschillende willekeurige grootcirkels van een bol ontmoeten elkaar in de twee punten

van een antipodenpaar. Dit verklaard waarom er in de elliptische meetkunde geen

evenwijdige lijnen bestaan.

Afbeelding 9: lijnen in een bol

28

II.1.3 Hoeken, afstanden en lunen. Als A en B twee punten op de cirkel zijn dan is de afstand tussen

die twee punten de afstand over de grootcirkel die hen met elkaar

verbindt. Omdat deze grootcirkel in 1 vlak ligt kunnen we deze in

een platte afbeelding weergeven (figuur hiernaast). Als we de

hoek ACB hoek α noemen, en R de straal van de bol is kunnen we

de afstand tussen A en B als volgt berekenen:

(Hoek α in radialen:)

d(A,B) = R.α

(Hoek α in graden:)

d(A,B) = R.απ/180

Je zult wel weten dat de meest eenvoudige veelhoek een driehoek is. Er zijn in de reguliere

meetkunde namelijk geen veelhoeken met maar 2 hoeken. Dit is anders bij bolmeetkunde.

Twee grootcirkels snijden elkaar zoals al gezegd in de twee punten

van een antipodenpaar. Ze delen de bol zo op in 4 gebieden die elk

2 zijden hebben (delen van de 2 grootcirkels). We noemen zo‟n

gebied een lune. Deze naam komt van het latijnse woord „luna‟, wat

maan betekend. Denk maar aan het deel van de maan dat vanaf de

aarde te zien is. Dit deel moet in de halve bol verlicht door de zon

liggen, én in de halve bol die op dat moment zichtbaar is vanaf de

aarde. Het deel wat aan deze voorwaarden voldoet is precies een

lune. De hoekpunten van een lune zijn dus de punten van een

antipodenpaar. Tevens zijn de twee hoeken van een lune even groot.

Omdat de bogen op een cirkel niet in een plat vlak liggen zullen we ons moeten afvragen wat

een hoek op een bol nu precies is, en hoe we die hoek meten. De lijnen die rakend zijn aan de

twee snijdende curven liggen echter allebei wél in het vlak dat de bol raakt in het snijpunt

van die curven. We definiëren de hoek tussen de twee curven dan ook als de hoek tussen de

rakende lijnen van die curven in hun snijpunt.

II.2 Oppervlakten en hoeken op een bol

II.2.1 Oppervlakten op een bol

De oppervlakte van een bol met straal R is 4πR2

Een grootcirkel verdeeld de bol in 2 even

grote helften met een oppervlakte van 2πR2. Een tweede grootcirkel die de andere snijd in

een rechte hoek verdeeld de bol zo in 4 lunen met oppervlakte πR2

. We kunnen dit proces

weer herhalen door elk van deze lunen weer in 2 gelijke delen op te delen door de hoeken

door 2 te delen. We krijgen nu 8 gelijke lunen met een oppervlakte van elk πR2/2. De hoek

voor elke lune is dan 2π/8 = π/4 radialen, oftewel 45 graden.

Stel dat we een halve bol in q gelijke lunen verdelen. De hoek van elke lune is dan π/q

radialen, en de oppervlakte 2πR2/q. Als we een aantal P van deze lunen verenigen tot één

nieuwe lune heeft deze hieruit volgend een hoek van pπ/q en een oppervlakte van 2pπR2/q.

Dus als we lunehoek α schrijven als α=pπ/q dan is het oppervlakte van de lune 2R2α

Hieruit volgt: Opp(lune) = 2R2.lunehoek

Als we dezelfde formule willen opstellen maar dan met de hoek in graden gemeten, en we

nemen in acht dat 1 radiaal gelijk is aan 180/π graden en 1 graad gelijk is aan π/180 radialen,

krijgen we: oppervlakte (Lα)= 2R2 x α x π/180 = π R

2/90 x α

29

Figuur 10:

Blauwe lunen Lb en Lb‟

II.2.2 De oppervlakte van een driehoek op een bol: Girard’s theorie

Een driehoek op een bol word op precies dezelfde manier

gedefinieerd als een driehoek in een plat vlak. De driehoek bestaat

uit 3 punten die we de hoekpunten noemen, 3 delen van grootcirkels

die de drie punten verenigen genaamd de zijden, en het gebied dat

door die zijden word ingesloten. Dit lijkt simpel, maar als je er wat

beter over nadenkt zul je zien dat dit toch niet zo simpel is als dat het

lijkt. Zo doet er zich meteen al het probleem voor dat er 2 delen van

een grootcirkel zijn die beide punten verenigen. We moeten

beslissen welk deel te gebruiken. Als we dat hebben gekozen kan

elke lijn de zijde zijn van het gebied aan zijn ene of andere kant . We hebben daarom

eigenlijk te maken met 8 driehoeken die de drie gegeven punten als hoekpunten hebben.

Omdat dit een nogal ingewikkelde situatie is, gaan we uit van de kleine driehoek met als

zijden de korte gedeeltes van de grootcirkels. (zie plaatje hier rechtsboven) We kiezen drie

hoekpunten allemaal op één helft van de bol, en bekijken de driehoek die ook op die helft van

de bol ligt.

Laten we eens kijken naar de hier linksboven afgebeelde driehoek, de zwarte driehoek T op

een bol. We zullen nu een formule gaan afleiden voor het oppervlakte van deze driehoek. De

hoekpunten van T noemen we R, G en B, en de corresponderende waarde van die hoeken r, g

en b. Zoals duidelijk moge zijn staan deze letters voor rood

groen en blauw. Hierbij is R het hoekpunt waar T tegenover

een rode driehoek staat. R is in dit geval tevens een hoekpunt

van twee congruente lunen waarvan de ene bestaat uit een

rode driehoek en T en de andere uit de andere rode driehoek

en de grijze driehoek. We noemen deze lunen voor het

gemak „rode lunen‟ We noemen de rode lune die T niet bevat

Lr‟ en de rode lune die T wel bevat Lr (lune met lunehoek r).

Op dezelfde manier zien we dat G het hoekpunt is van twee

congruente „groene lunen‟ - Lg die T wel bevat en Lg‟ die T

niet bevat. B is tenslotte het hoekpunt van twee congruente

„blauwe lunen‟ Lb die T wel bevat en Lb‟ die T niet bevat.

Als je de afbeeldingen goed bekijkt zul je hopelijk zien dat de

grijze driehoek op dezelfde plek als T aan de andere kant van

de bol, gelijk is aan T. Dit is dus de antipodale driehoek T‟. Zijn hoekpunten, respectievelijk

R‟ B‟ en G‟ zijn ook antipodaal met hoekpunten R G en B. T‟ heeft hetzelfde oppervlakte als

T.

30

Samengevat:

Driehoek T zit in lune Lr, Lg, Lb en in geen anderen.

Driehoek T‟ zit in lune Lr‟, Lg‟ en Lb‟ en in geen anderen.

Elk punt dat op de bol dat niet in driehoek T of T‟ ligt, ligt in één enkele lune.

We kunnen nu de conclusie trekken dat de oppervlakte van de 6 lunen opgeteld gelijk is aan

de oppervlakte van de gehele bol + 2 keer de oppervlakte van T + 2 keer de oppervlakte van

T‟

Opp(Lr) + Opp(Lg) + Opp(Lb) + Opp(L‟r) + Opp(L‟g) + Opp(L‟b) =

Opp(bol) + 2 Opp(T) + 2 Opp(T‟)

We kunnen nu deze formules vervangen met de formules voor het oppervlakte van een lune.

Uitgaande van een bol met straal R, en het feit dat de oppervlaktes van T en T‟ gelijk zijn

kunnen we de volgende formule afleiden:

2R2r + 2R

2g + 2R

2b + 2R

2r + 2R

2g + 2R

2b = 4πR

2 + 4 Opp(T)

Opp(T) = ¼ (2R2 (2r + 2g + 2b) - 4πR

2)

Opp(T) = R2 (r + b + g) – πR

2

Opp(T) = R2 (r + b + g – π)

Deze laatste formule noemen we de formule van Girard.

Hierboven wilden we de formule afleiden voor de oppervlakte van de driehoek We kunnen

ons echter ook concentreren met de som van de hoeken als uitgangspunt; Deze is namelijk

altijd groter dan 180 graden.

r + b + g = π + (1/R2)Opp(T)

Met deze formule kunnen we zo dus precies berekenen hoeveel de som van de hoeken in een

bepaalde driehoek op een bol de som van 2 rechte hoeken (π radialen) overschrijd.

Toen we deze formule zagen waren er drie dingen die ons opvielen:

er bestaan geen gelijkvormige driehoeken bestaan op een bol! Immers, driehoeken

met dezelfde hoeken hebben volgens de formule ook dezelfde oppervlakte.

De som van kleine driehoeken op grote bollen zijn moeilijk te onderscheiden van 180

graden. Immers, als R heel groot is en het oppervlakte van de driehoek heel klein, dan

ligt r + b + g heel dicht bij π radialen = 180 graden. Neem bijvoorbeeld een driehoek

van 1 vierkante kilometer op de aarde. De som van de hoeken wijkt dan een bijna

onmeetbaar klein beetje af van 180 graden.

Ook lazen we op onze zoektocht naar informatie op internet iets over een ideale

landkaart. Deze landkaart moet voldoen aan 2 eisen: Het moet grootcirkels weer

kunnen geven als rechte lijnen, en de hoeken moeten plat afgebeeld dezelfde waarde

behouden. Omdat uit Girard‟s theorie volgt dat de som van de hoeken van een

driehoek op een bol altijd meer dan 180 graden is, en in de vlakke meetkunde zoals op

de kaart wordt gebruikt precies 180 graden, kunnen we concluderen dat dé ideale

landkaart niet bestaat.

31

II.2.3 Veelhoeken op een bol; Euler’s formule Girard‟s theorie kan makkelijk zo worden aangepast dat hij ook geldt voor veelhoeken op een

bol. Met een veelhoek op een bol bedoelen we weer een figuur waarvan de zijden bestaan uit

delen van grootcirkels.

Er zijn meerdere bewijzen te vinden voor Euler‟s formule, maar hier gaan we het bewijs

leveren met behulp van een stukje bolmeetkunde. We gebruiken Girard‟s theorie en zijn

uitbreiding naar veelhoeken.

Theorie: Als P een hoekige ruimtefiguur is met V hoekpunten, E ribben en F vlakken dan

geld: V – E + F = 2.Om te beginnen kiezen we een punt C in P. Vervolgens kiezen we straal

R zo groot dat een bol met als centrum eveneens punt C en straal R ruimtefiguur P volledig

bevat. We zullen nu de ruimtefiguur P vanuit punt C op de

bol projecteren. Dit klinkt redelijk ingewikkeld, maar

eigenlijk komt het er op neer dat we voor elk punt op de

ruimtefiguur P een lijn vanuit punt C trekken door dat punt

en die lijn doortrekken zodat hij de bol snijd op een

projectiepunt. Zie ook de nevenstaande figuur. De

ruimtefiguur is rood getekend, de blauwe lijnen geven aan

hoe de hoekpunten op de bol zijn „geprojecteerd‟. De zwarte

lijnen zijn twee grootcirkels ter referentie, en de paarse lijnen

vormen samen de geprojecteerde ruimtefiguur. Eigenlijk kun

je de projectie vergelijken met de schaduw die op de bol zou

vallen als je de bol vanuit het centrum zou verlichten. Het is

van belang om je te realiseren wat er met een ribbe van de

ruimtefiguur gebeurd bij deze projectie. Een ribbe is een deel

van een lijn. Deze lijn en het centrum bepalen een uniek vlak.

Elk lijndeel vanuit C naar een willekeurig punt op de ribbe

ligt in ditzelfde vlak. Dit vlak snijdt de bol in een grootcirkel.

Dus de projectie van een ribbe op een bol is een deel van een

grootcirkel op die bol. Dit betekent tegelijkertijd ook dat elke

zijde van de ruimtefiguur word geprojecteerd als een

veelhoek op de bol, en de ruimtefiguur als een ruimtefiguur

op de bol, welke eigenlijk gewoon een gecurvede kopie is

van het origineel. De ruimtefiguur op de bol heeft weer V

hoekpunten, E ribben en F vlakken, net als P. Omdat het

centrum van de bol in P is gekozen, bedekt de

„geprojecteerde‟ ruimtefiguur de hele bol. De ruimtefiguur

op de bol verdeeld de bol zo in F veelhoeken, die we Q1...,QF noemen.

We kunnen nu de eerder bewezen theorie van Girard, som hoeken veelhoek = (n - 2)π +

1/R2Opp(P), toepassen op veelhoek Qi. Als ei het aantal zijden van Qi weergeeft dan geld dus:

Som van hoeken van Qi = (ei - 2) π + Opp(Qi)/R2. Als we dit nu voor alle vlakken van de

ruimtefiguur samen willen doen, gebruik makend van sommen, komen we op de volgende

formule:

We zullen nu elk van de drie sommen apart gaan bekijken.

1. De eerste som lijkt misschien ingewikkeld, maar is eigenlijk gewoon de som van al de

hoeken in de ruimtefiguur op de bol. Omdat de ruimtefiguur de hele bol bedekt,

32

bestaat elk hoekpunt uit een aantal hoeken die samen een volledige „hoek‟ van 2π

radialen (=360 graden) zorgen. Dus is de som van de hoeken in de ruimtefiguur

eigenlijk gewoon gelijk aan 2π keer het aantal hoekpunten, oftewel 2π V.

2. We splitsen de tweede som in twee delen:

De eerste som is niets anders dan π keer het totale aantal zijden van alle vlakken. We

moeten opmerken dat elke ribbe van de ruimtefiguur op de bol twee vlakken van

elkaar scheid. Omdat we de som nemen van elke zijde van elk vlak tellen we elke

ribbe dus precies twee keer. Daarom geldt:

Het tweede deel van de som is simpel: 2π maal het aantal vlakken van de ruimtefiguur

3. Omdat de veelhoeken op de bol samen de hele bol bedekken is de som van de

oppervlakten van de veelhoeken op de bol gelijk aan het oppervlakte van de bol zelf.

We krijgen dus de volgende derde som:

Als we dit allemaal samen nemen krijgen we de volgende formule:

2 V = 2 E - 2 F + 4 .

Vervolgens delen we door 2π en halen we enkele termen naar voren, en zie hier:

V - E + F = 2.

Euler‟s Formule!

Hier volgen een paar voorbeelden die je correctheid van Euler‟s formule illustreren; Het zijn

enkele van de figuren die op de allereerste pagina van dit verslag ook al zijn beschreven.

V = aantal hoekpunten, E = aantal ribben, F = aantal vlakken

Tetraëder

V = 4

E = 6

F = 4

4 – 6 + 4 = 2

Octaëder

V = 6

E = 12

F = 8

6 – 12 + 8 = 2

Dodecaëder

V = 20

E = 30

F = 12

20 – 30 + 12 = 2

Icosaëder

V = 12

E = 30

F = 20

12 – 30 + 20 = 2

33

II.2.4 Elliptische meetkunde; nuttige meetkunde Tot zover een kleine inzage in de fascinerende wereld van de bolmeetkunde.

We hopen dat de lezer nu weet wat begrippen als grootcirkels, lunen en antipodenparen

inhouden, en een basiskennis heeft van het berekenen van oppervlakten op een bol.

Het zal je waarschijnlijk wel opvallen dat deel II van dit verslag beknopter is dan de andere

delen. Dit betekent echter niet dat de Elliptische meetkunde minder belangrijk is, integendeel;

er zijn vele praktische doeleinden voor deze vorm van meetkunde. Tegenwoordig wordt

bolmeetkunde nog altijd iedere dag gebruikt door piloten en scheepvaarders als ze met

duizenden tegelijk navigeren over de aarde waarop wij leven. Het werken met elliptische

meetkunde kan soms resultaten teweegbrengen die je van te voren nooit had verwacht! Zo is

de kortste vliegafstand van Florida naar de Filippijnen een route over Alaska. De Filippijnen

liggen ten zuiden van Florida, dus het is gek waarom over Alaska naar het noorden vliegen

korter zou zijn. Dit komt echter doordat Florida, Alaska en de Filippijnen in de bolmeetkunde

op één grootcirkel liggen. En wees niet getreurd; dit is slechts één van de vele verrassingen

die bolmeetkunde met zich mee brengt.

34

III Hyperbolische meetkunde

Naast de elliptische meetkunde is er nog een niet-Euclidische meetkunde, en wel de

hyperbolische meetkunde. In dit deel proberen we deze speciale meetkunde te introduceren

en deze zo goed mogelijk uit te leggen. Door de (nog steeds groeiende) omvangrijkheid van

deze meetkunde is het niet mogelijk om alles tot in de puntjes te beschrijven, maar dat is dan

ook niet ons doel; ons doel is dat je tegen het einde van dit deel weet wat hyperbolische

meetkunde nou precies is en een basische kennis hebt over de wiskundige mogelijkheden in

deze meetkunde.

III.1 Een inleiding tot hyperbolische meetkunde

III.1.1 Het hyperbolische postulaat Zoals beschreven in paragraaf I.2.11 bestaat er in de hyperbolische meetkunde niet, in

tegenstelling tot de Euclidische meetkunde, slechts één rechte lijn door een gegeven punt P

buiten een rechte lijn l die parallel hieraan is, maar bestaan er wonderbaarlijk meerdere (lees:

oneindig veel) parallelle lijnen. Om dit concept duidelijk te maken, zullen we eerst de

meetkunde van Lobačevskiĭ en Bolyai moeten verduidelijken. Vooral Lobačevskiĭ had een

gedetailleerd en begrijpelijk werk geschreven (vrij van vaktaal) in tegenstelling tot Bolyai

die, mede door de beknoptheid van zijn werk, van veel meer onbekende notaties gebruik

maakte. Laten we het hyperbolisch postulaat herformuleren en deze verduidelijken.

Zie bovenstaande figuur. Beschouw een lijn l en een punt P buiten die lijn l (maar wel in

hetzelfde vlak). Vanuit P loodrecht op l is een lijn AP getrokken, waarbij A het punt op lijn l

is. Door P is loodrecht op AP een lijn k getrokken. Het hyperbolische postulaat luidt

vervolgens:

“Er zijn meerdere evenwijdige lijnen aan een lijn l door een punt P niet op l”

In de Euclidische meetkunde zal lijn k de enige lijn evenwijdig aan lijn l zijn, als eerder

beschreven in deel I.

35

In de meetkunde van Lobačevskiĭ en Boylai, echter, zijn er meerdere lijnen die door P

kunnen worden getrokken en die lijn l niet zullen snijden: deze lijnen worden van de wel

snijdende lijnen gescheiden van zogenaamde grensparallellen of hyperparallelle lijnen. Stel

dat dat in onze afbeeldingen de lijnen x en y zijn: de lijn x maakt een hoek (thèta) met AP

(bij punt P) tegen de klok in, en de lijn y maakt tevens een hoek met AP met de klok mee.

Alle andere lijnen door P met een hoek groter dan hoek met AP en die tevens lijn l niet

zullen snijden, heten ultraparallelle lijnen. Merk op dat er een oneindig groot aantal

ultraparallelle lijnen bestaan tussen hoek en 90° (lijn k), en slechts twee grensparalellen. De

ultraparallelle lijnen worden dus gescheiden van de niet-parallelle lijnen aan l door de

grensparallellen, die elk een bepaalde „richting van evenwijdigheid‟ hebben volgens

Lobačevskiĭ.

Hoek wordt overigens de parallelhoek genoemd, die afhankelijk is van de lengte van AD.

Hoe groter AD wordt en de lengte ervan naar oneindig gaat, des te kleiner de afstand wordt

tussen de grenshoeken en hoek naar 0 gaat. Als de lengte van AD zich naar 0 beweegt,

wordt de hoek juist groter en gaat

naar 90°. Nota bene: de afstand en

hoek tussen de hyperparallelle lijnen

gaan niet naar 0 als de afstand van AD

naar oneindig beweegt.

Lobačevskiĭ beschreef deze functie

waarbij er een omgekeerd evenredig

verband bestaat tussen en de lengte

van een lijn a (in ons bovengenoemde

voorbeeld was dit lijn AD) met Π(a).

Dus, in de Euclidische meetkunde geldt

altijd Π(a) = 90°. Als algemene

formule in de hyperbolische geometrie

zou je dan kunnen stellen dat Π(a) =

III.1.2 De verschillende hyperbolische modellen

Met een hyperbolisch model bedoelen we niet een bloedmooi topmodel uit de modewereld;

neen, het begrip is helaas geheel aan de wiskunde gerelateerd. Het is zelfs zo belangrijk, dat

hyperbolische meetkunde niet eens mogelijk is zonder een dergelijk model. Simpelweg is een

hyperbolisch model een systeem waarin hyperbolische meetkunde gevisualiseerd kan

worden, en waarin de meetkunde zoals beschreven in de vorige paragraaf kan worden

uitgewerkt. Het precieze concept van hyperbolische modellen, d.w.z. de uitleg met

betrekking tot de inhoud van deze modellen, zal later worden bekeken. Maar het is misschien

wel functioneel om vast te bekijken welke modellen er bestaan om je vast te introduceren aan

het hyperbolisch model waar we verderop van gebruik kunnen maken; totdat het precieze

concept van hyperbolische modellen wordt geïntroduceerd kan worden volstaan met wat

algemene informatie over deze modellen en enige algemene informatie over hyperbolische

meetkunde op zichzelf.

We onderscheiden vier bekende hyperbolische modellen: de meest bekende daarvan is de

Poincaré-schijf (of: de schijf van Poincaré). Verder hebben we nog het Beltrami-Klein model

(of simpelweg: Klein model), de halve schijf van Poincaré, en het Lorenz model (of:

hyperbolisch model). Ook bestaat er een natuurkundig model van hyperbolische meetkunde

36

door gebruik te maken van Einstein‟s speciale relativiteitstheorie. Hier gaan we echter niet

verder op in. Laten we de andere vier allemaal even kort beschrijven.

Het Beltrami-Klein model gebruikt het binnenste van een cirkel als hyperbolisch vlak

en de koorden van de cirkel als lijnen. Het is een erg simpel model, maar heeft als

nadeel dat hoeken in dit hyperbolische model worden vervormd.

De schijf van Poincaré, de meest bekende van allen, gebruikt ook het inwendige van

een cirkel, maar lijnen worden gerepresenteerd door de cirkelbogen van cirkels die

orthogonaal7 staan op de grenscirkel (zie onderstaande figuur), evenals hun

diameters. Dit model zal in volgende paragrafen verder worden beschreven, dus geen

nood indien de descriptie nog ietwat vaag is.

Figuur 11: Cirkel d staat orthogonaal op cirkel c.

De halve schijf van Poincaré neemt, zoals de titel al vermeldt, de helft van de schijf

van Poincaré, en de andere helft van het model bestaat uit een normaal Euclidisch

vlak.

Het Lorenz model gebruikt een tweedimensionale hyperbolische vorm in het

driedimensionale ruimte-continuüm van Minkowski.

Hoewel de andere modellen om een hyperbolische meetkunde te visualiseren ook heel

interessant kunnen zijn, zullen wij ons slechts beperken tot de Poincaré-schijf. Dit doen we

niet alleen omdat deze het meest gebruikt wordt, maar ook een aantal voordelen biedt ten

opzichte van de anderen. Het is immers eerst zaak om een hyperbolisch model überhaupt te

kunnen begrijpen – en dat kan uitstekend aan de hand van dit model – die meest functioneel

voor onze doeleinden blijkt te zijn.

7 Orthogonaal: rechthoekig, met loodrecht op elkaar staande ribben, snijlijnen enz.

Figuur 12: Een voorbeeld van een

bepaalde vorm in de schijf van

Poincaré.

37

III.1.3 Jules-Henri Poincaré (1854 – 1912)

Jules-Henri Poincaré was een Frans wiskundige, astronoom en natuurfilosoof en was neef

van de destijds (1913 – 1920) Franse president Raymond Nicolas Landry Poincaré. Hij

doceerde net als Moufot, na benoemd te zijn tot hoogleraar van verscheidene vakgebieden,

aan de École Politechnique.

Poincaré heeft enkele zeer noemenswaardig werk op zijn naam staan, waaronder een bijdrage

aan de theorie van de functies van Fuchs, de groepentheorie, de topologie van

differentiaalvergelijkingen, onderzoek naar het drielichamenprobleem en het zoeken naar een

oorzaak van de crisis van de paradoxen in de zogenaamde predicatieve definities.

Zijn werk bestaat tevens uit een boek geschreven onder de titel La science et l‟hypothese uit

1906, waarin een model voor de hyperbolische meetkunde wordt beschreven. Dit model,

bekend als de eerder beschreven Poincaré-schijf, is een zeer geschikt model om

hyperbolische meetkunde te presenteren en wordt bij conventie voor de meeste doeleinden

gebruikt waar dit mogelijk is. Het Beltrami model – naar de gelijknamige uitvinder – die later

is verbeterd door Klein en vanaf toen bekend stond als het Beltrami-Klein model, waren de

eerste twee versies van een hyperbolisch model. De Poincaré-schijf was het derde

hyperbolische model die grote publieke belangstelling trok sinds de ontdekking van deze

vorm van geometrie in de niet-Euclidische meetkunde, en heeft vrijwel het gehele Beltrami-

Klein model vervangen voor de meeste hyperbolische doeleinden door de onvolledigheid van

dit authentieke model.

Overigens kan ook de uitvinding van de halve schijf van Poincaré worden toegeschreven aan

Jules-Henri, net als dikwijls gesuggereerd wordt dat hij de uitvinder is van het Lorentz

model. Echter stellen anderen juist dat deze laatstgenoemde uitvinding niet terecht aan hem

kan worden toegeschreven, omdat de wiskundigen Wilhelm Killing en Karl Weierstrass een

dergelijk model al vanaf 1872 gebruikten.

III.1.4 Hyperbolische ruimte

Voordat we de schijf van Poincaré tot in de details kunnen bespreken, zullen we eerst een

beter inzicht proberen te krijgen in wat voor ruimte zich deze meetkunde zich afspeelt. Zoals

je eerder hebt gezien is bolmeetkunde, de geometrie van een bol, een belangrijk onderdeel

van elliptische meetkunde en heeft deze meetkunde betrekking op elke vorm van wiskunde

die zich op een bol kan voordoen. Nu kun je je dan afvragen: in wat voor ruimte speelt

hyperbolische meetkunde zich af?

Een kort antwoord op deze vraag is dat hyperbolische meetkunde zich voltrekt in een

hyperbolische ruimte. Maar gelijk doemt de volgende vraag alweer op, en wel de vraag wat

deze hyperbolische ruimte nu precies inhoudt. Laat me het je duidelijk maken.

De wetten van Newton stellen onder andere dat kracht gelijk is aan massa vermenigvuldigt

met de valversnelling (die hier op aarde in het algemeen gelijk is, wanneer de wrijving wordt

verwaarloosd, aan de gravitatie). Of, in symbolen, F=m·a a = F / M. Ook stelde Newton in

zijn wetten dat elke actie een gelijke en tegengestelde reactie tot gevolg had en dat een deeltje

waarop geen kracht wordt uitgeoefend eenparig en rechtlijnig voortbeweegt. Al deze

natuurkunde volgt uit de door Euclides eerder opgestelde meetkunde. Echter bleek, en had

Newton dit zelf ook door, dat zijn wetten een aantal gebreken vertoonden; waaronder het feit

dat er volgens Newton een kracht op afstand moet worden ingeroepen om gravitationele

wisselwerkingen te kunnen verklaren. Ook Einstein wees op een onduidelijkheid in de

formule, en wel het concept van de tijd die een bepaalde kracht nodig heeft om op een

38

bewegend voorwerp in te werken, en bewees vervolgens dat een preciezere methode voor het

berekenen van een valversnelling a niet F / M is, maar dat a = F/M(1- v²/c²)3/2

. Kortweg wil

ik hiermee duidelijk maken dat de wetten van Newton, en dus ook de Euclidische meetkunde,

slechts in bepaalde Euclidische omgevingen gelden (zoals je overigens voor een deel bij

elliptische meetkunde hebt gezien), en dat door onder andere de gravitatiewisselwerking van

bepaalde objecten onder bepaalde omstandigheden deze wetten van Newton en deze

meetkunde niet (geheel) opgaan. Hyperbolische ruimte is tevens een ruimte die om onder

andere de gravitatiewisselwerking van bepaalde objecten ook niet de regels van de aan ons

bekende Euclidische meetkunde aanneemt, omdat deze zich dus blijkbaar in een andere soort

ruimte afspelen; deze ruimte speelt zich in een ander soort meetkundig stelsel af die we je nu

proberen duidelijk te maken.

Neem nou nogmaals ons, zoals die aan ons bekend is en zoals wij die interpreteren. Wij

ervaren, in ons dagelijks leven althans (wie weet wat je allemaal in je dromen ziet), slechts

drie waarneembare dimensies: breedte, lengte en diepte. En eventueel voor aanhangers van de

vierde dimensie: (in het algemeen) tijd. Maar stel je nu eens voor dat er nóg een meetkundige

dimensie is, naast de aan ons bekende drie of vier dimensies, en wel een vierde of vijfde

dimensie, waar onze derde dimensie zich als ware in buigt.

Omdat dit concept erg moeilijk is om te begrijpen, proberen we het duidelijker te maken aan

de hand van een voorbeeld die werd gebruikt in Edwin Abott‟s Flatland (lett: “(het) platte

land”).

In Flatland zijn er slechts twee dimensies: breedte en lengte. Inwoners leven op een plat vlak,

waarin andere dimensies onbekend zijn en niet kunnen worden afgebeeld. Twee van deze

inwoners zijn het vierkant en de driehoek, die gezellig in hun huisje zitten als plotseling een

stem uit niks komt; het is – voor hun waarnemingen – een cirkel. Echter is dit niet echt een

cirkel, maar een bol die hen komt leren over de derde dimensie.

Zie het linker plaatje van de

nevenstaande afbeelding. De bol vertelt

dat de vierkant en de driehoek hem een

cirkel mogen noemen, maar dat hij dat in

werkelijkheid niet is. Hij probeert het

vierkant en de driehoek duidelijk te

maken dat hij eigenlijk uit een oneindig aantal opeengestapelde cirkels bestaat met een

variërende diameter, waarvan zij er slechts één zien. Als de bol zich met het oppervlakte

snijdt, zal deze een vorm in het oppervlak vormen die aan het vierkant en de driehoek bekend

is als zijnde een cirkel (zie plaatje twee). Hoewel de bol echter geen cirkel is, maar een

ruimtelijk figuur met een bepaalde inhoud blijft, kan hij niet anders dan zichzelf voordoen in

een tweedimensionale wereld als een cirkel, hoe hard hij het ook probeert uit te legggen.

Stel je nu eens een soortgelijk concept voor van een vierde dimensie. Dan kunnen we een

stapje verder: stel nou, dat deze vierde dimensie zich in de derde buigt, zoals een tweede

dimensie zich in een ruimtelijke derde kan buigen (zie afbeelding op volgende pagina).

39

Voor de tweedimensionale viervlakken op de in de derde dimensie gebogen ruimte lijkt hun

leefomgeving nog steeds vlak; voor iemand die een derde dimensie kan waarnemen is het pas

logisch dat een lagere dimensie zich in een hogere kan buigen. Zo kan een derde dimensie

zich tevens in een vierde buigen; op een bepaalde, kleine schaal kan dit bijvoorbeeld

gebeuren door middel van de eerder genoemde gravitatiewisselwerking die voor een buiging

van onze dimensie zorgt. Op een grote schaal gebeurt dit tevens door middel van iets anders,

en wel door de buiging die wordt veroorzaakt door de algehele buiging van ons heelal, ons

universum. De ruimte waarin zich deze buiging voltrekt wordt ook wel hyperbolische ruimte

genoemd. In deze hyperbolische ruimte geldt dan ook een andere meetkunde, die afwijkt van

onze alledaagse Euclidische, en wel hyperbolische meetkunde. In het kort bestaat ons

universum dus uit driedimensionale hyperbolische ruimte, die gebogen is in de vierde

dimensie.

Op kleine schaal (denk aan kleine afstanden in het universum, bijvoorbeeld de afstand van de

aarde tot de zon), is deze buiging nauwelijks waarneembaar; hier geldt dan vrijwel in z‟n

geheel de Euclidische meetkunde. Maar onze zon produceert tevens, op zeer kleine schaal,

een „miniatuur‟ buiging van de ruimte rondom zich heen – een zeer kleine ring van

hyperbolische ruimte. Onder andere de beweging van Mercurius om de zon (immers is

Mercurius de planeet die zich het dichtst bij de zon bevindt) ondervindt een zekere buiging

door de aanwezigheid van deze hyperbolische ruimte. Daarom is de afstand van de baan

waarmee Mercurius zich om de zon beweegt een paar fracties nauwkeuriger te berekenen met

behulp van hyperbolische meetkunde in vergelijking met Euclidische meetkunde. Dus als je

ooit van plan bent naar Mercurius te vliegen om deze hyperbolische ruimte zelf te ervaren,

houd dan rekening met enkele van deze hyperbolische factoren (en de warmte van de zon,

natuurlijk). Aangezien we net zo‟n vlucht naar Mercurius geboekt hebben nodigen we je uit

om mee te gaan en je welkom te mogen heten in de fascinerende wereld van hyperbolische

meetkunde!

III.1.5 De pseudosfeer, hyperbolische modellen en een inleiding tot de Poincaré-schijf Om de driedimensionale hyperbolische ruimte goed te kunnen visualiseren, moeten we deze

ruimte eerst weten te vangen in een soort tweedimensionale weergave opdat wij er

berekeningen mee kunnen uitvoeren, en opdat het geheel een goed voor te stellen visualisatie

van de hyperbolische ruime is. Deze tweedimensionale ruimte waarin wij hyperbolische

ruimte kunnen voorstellen, is voor deze meetkunde het oppervlak van een pseudosfeer, net

als voor de visualisatie van elliptische geometrie een bepaald tweedimensionaal model van

een sfeer8 kan worden gebruikt. Hoewel het oppervlakte van een wegbuigende sfeer eindig is,

is dit niet het geval voor een pseudo (=vals, onecht) sfeer, net als dit het geval is bij

Euclidische meetkunde. Ook kunnen we verder stellen dat hyperbolische ruimte meer ruimte

inneemt dan de ruimte van een Euclidisch vlak. Hoewel beiden oneindig groot zijn, neemt

een hyperbolische ruimte toch meer ruimte in dan een Euclidisch vlak.

De tweedimensionale weergave van een deel van een oneindige pseudosfeer kan worden

gevangen in een model: een hyperbolisch model. Een van deze modellen is, zoals eerder

besproken, de Poincaré-schijf. Een aantal eigenschappen van een dergelijk model van een

pseudosfeer worden duidelijk gemaakt aan de hand van een afbeelding ervan met enkele

geometrische bewerkingen.

8 Sfeer: bol, vooral: hemel- of wereldbol

40

Zie bovenstaande afbeelding.

In deze afbeelding zullen we eerst een onderscheid maken tussen de horizon en de

schijf (of: disk): zoals je misschien wel kunt raden is de horizon ook werkelijk de

„horizon‟, oftewel grens, van de cirkel, met als binnengebied (dikwijls aangegeven

met de letter D) de schijf zelf.

Verder geldt dat punt A het d-centrum is, oftewel het middelpunt van de schijf; dit

hoewel het, net als bij een Euclidisch vlak, eigenlijk irrationeel lijkt een middelpunt te

benoemen in een oneindig groot vlak.

De lijn door B en door C is een lijn met een oneindig grote lengte; denk er aan dat,

omdat de hyperbolische ruimte oneindig groot is, de ruimten bij de horizon tevens

naar oneindig lopen. Ook de lengte tussen twee punten wordt dan dus groter naarmate

deze zich dichter bij de horizon bevindt. Een lijn die vervolgens over de lengte wordt

getrokken naar de horizon van de schijf heeft dan ook een lengte van een oneindige

grootte.

Punten in een hyperbolisch model worden d-punten genoemd; op hun beurt worden

lijnstukken tussen twee punten d-lijnstukken genoemd en worden de uiteinden van de

lijnstukken (de verbindingspunten van het lijnstuk) ook wel eindpunten genoemd.

41

Omdat, zoals bleek uit het vorige item betreffende lijn BC, de horizon tot oneindig

loopt, worden de afstanden van bepaalde lijnstukken vanuit het d-centrum groter

naarmate het andere punt van het lijnstuk zich verder verwijderd van dit centrum. Dit

kan worden weergegeven met de zogenaamde d-lijnstukken van d-centrum A naar de

d-punten H tot en met Q. Lijnstuk AH is ontzettend groot, omdat punt H zich aan de

rand van de horizon, oftewel dicht bij het oneindige, bevindt. Lijnstuk AI is al een

stuk kleiner dan AH, omdat punt I zich een stuk verder van de horizon heeft

verwijderd (en daarmee van het oneindige) dan punt H; hoewel het een beetje raar is

voor te stellen heeft d-lijnstuk AI zelfs de halve lengte van lijnstuk AH! Op zijn beurt

is de lengte van AJ de helft van de lengte van AI. Omdat het ene eindpunt zich steeds

verder verwijderd van de horizon, wordt het lengteverschil tussen twee lijnstukken

dramatisch kleiner bij elke kortere millimeter. Echter heeft, vanwege deze eigenschap,

het d-lijnstuk AK niet de helft van de lengte van AJ – de lengteverschillen worden per

interval kleiner naarmate deze zich dichter bij het middelpunt bevinden. Dus is niet de

lengte van AK maar de lengte van AL de helft van de lengte van AJ. Op zijn beurt is

AO tevens ongeveer de helft van AN, en AQ vrijwel precies de helft van AP, wat de

indruk wekt dat er een steeds consistentere Euclidische meetkunde aanwezig is

rondom het middelpunt.

Figuur X: deze curve

geeft de verhouding aan

tussen de afstand van

het d-centrum en de

lengte van het d-

lijnstuk. In eerste

instantie is er een recht

evenredig verband, wat

de zojuist besproken

Euclidische verhou-

dingen weergeeft. Deze

afbeelding is tevens een

goede verklaring voor

de naam „hyperbolische

meetkunde‟

Figuur 13: Rondom het centrum van de schijf lijkt

zich een steeds consistentere Euclidische

meetkunde voor te doen.

Een denkertje: waarom is de baan van Mercurius, hoewel deze het dichtst van alle

planeten bij de miniatuurversie van de hyperbolische kracht van de zon bevindt, dan

toch nauwkeuriger te berekenen met behulp van hyperbolische geometrie terwijl dit

niet het geval is bij het berekenen van de banen van de overige planeten?

42

Antwoord:

De zon heeft, zoals overigens al eerder is vermeld, een dermate klein hyperbolisch

effect dat deze geen invloed meer heeft op de planeten die veel verder verwijderd

staan dan Mercurius (0,39 AE9) van de zon, en hier dus eenvoudigweg de regels van

de Euclidische meetkunde kunnen worden toegepast. Bedenk ook, dat op een komeet

die zich veel dichter bij de zon bevindt (en dus bij het d-centrum) dan Mercurius het

hyperbolisch effect tevens een veel kleiner lijkende invloed heeft dan op Mercurius,

omdat deze een dermate kleine hyperbolische ruimte inneemt dat deze als Euclidisch

is te beschouwen; net als in een zeer klein deel van onze ruimte, zoals de afstand van

de aarde tot de zon, de geometrische wisselwerking ook als Euclidisch is te

beschouwen.

Figuur X (niet op schaal): Stel dat f de zon

is met d-centrum A, g een komeet die om de

zon draait, h Mercurius, en i de aarde.

Lijnstuk AC geeft de totale hyperbolische

ruimte weer waarop de zon effect heeft; CE

is het lijnstuk met de ruimte waarop het d-

centrum van de zon geen effect meer heeft

en er dus geen hyperbolische ruimte meer

aanwezig is: hier geldt Euclidische

meetkunde (zon – aarde). Bij C zal er een

soort overgangsgebied bestaan waarbij de

ene meetkunde langzaam de overhand zal

krijgen ten opzichte van de andere. Verder

hebben we een lijnstuk AB; omdat deze

komeet erg dicht bij de zon ligt zal hier ook

vrijwel Euclidische meetkunde gelden: het

is net als een punt dicht bij het d-centrum

op een hyperbolisch model van de

pseudosfeer, die dus een erg klein deel van

de hyperbolische ruimte inneemt. Verder bestaat er dus, net als bij C maar niet op de manier

zoals bij C gebeurt, bij B een transitiegebied tussen de twee typen meetkunde (maar

waarbinnen de Euclidische meetkunde nooit helemaal zal gelden) zoals die tevens dicht bij

een model van de pseudosfeer bestaat. Lijnstuk BD is het lijnstuk waarop de hyperbolische

ruimte wel een merkbaar effect heeft, met Mercurius als voorbeeld.

Nota bene: hoewel we een komeet als voorbeeld hebben gebruikt ter visualisatie van de

theorie, is dit natuurlijk in werkelijkheid totale nonsens. Ten eerste omdat door de hitte van

de zon de komeet al lang – ruim voor het de benodigde afstand tot het d-centrum heeft bereikt

– is verbrand, en ten tweede omdat de hyperbolische ruimte waar een vrijwel Euclidische

meetkunde geldt veel dichter bij het d-centrum ligt dan een komeet kan rondvliegen. De

vrijwel Euclidische ruimte binnen het hyperbolisch gebied zal in werkelijkheid binnen de

korst of misschien wel enkele centimeters verwijderd van de kern van de zon liggen, en dus in

geen geval een plaats kan zijn waar een komeet kan rondvliegen.

9 AE: Astronomische Eenheid; 1 AE = 150 miljoen kilometer.

43

Terug naar de eerder afgebeelde pseudosfeer. Omdat lijnstukken worden verbogen

binnen het hyperbolisch model wanneer zij niet naar het d-centrum worden getrokken,

zijn loodrechte lijnen ook niet werkelijk loodrecht in een dergelijk model. Zo zijn

zowel de d-lijnstukken GF en DE loodrechte lijnen door de oneindige lijn door BC.

Een cirkel wordt vanwege de verbuigingen ook anders weergegeven: cirkel S ziet er

als een gewone Euclidische cirkel uit, totdat men tot de realisatie komt dat het

middelpunt ervan punt R is.

Ook de driehoek UVT verschilt erg van de bij ons bekende driehoek. Wanneer je dan

ook een, in werkelijkheid zeer grote, willekeurige driehoek zal tekenen in een

hyperbolisch model zal je dan ook tot de conclusie komen dat de hoekensom niet 180º

is, maar bijvoorbeeld (zoals in ons voorbeeld) slechts 130º! Bedenk dus dat, wanneer

je ooit een ontzettende grote driehoeksformatie wilt tekenen in ons heelal, deze nooit

het normale Euclidische resultaat van de hoekensom als eigenschap bij zich zal

dragen.

Zoals bleek uit de lijnen vanuit het d-centrum, gelden er hele andere

afstandsverhoudingen dan je gewend bent. Maar natuurlijk geldt dit ook voor

lijnstukken naar een d-punt verder weg van het d-centrum. De afstandsverschillen zijn

dan zelfs zo drastisch, dat het zelfs onmogelijk lijkt. Het zal je misschien niet zo

verbazen dat XW dubbel zo groot is als XY, maar wel wanneer de lengte van XY net

zo groot is als die van XZ!

A1 en B1 zijn eindpunten van d-lijnstuk A1B1 – neen, het is dus geen (hoewel het in

de Euclidische meetkunde wel zo is) cirkelboog. In de Euclidische meetkunde geldt

zelfs dat, zoals eerder beschreven, dat cirkelboog A1B1 een deel is van een cirkel die

orthogonaal op de horizon staat. De boog wordt overigens een drager genoemd. De

punten A1B1, die op de horizon staan, worden om die eigenschap ook wel

oneigenlijke punten genoemd.

Het hyperbolische model die is besproken staat bekend als de Poincaré schijf. Een

driedimensionale weergave voor lengteafstanden in dit model is hieronder afgebeeld; niet

ontoevallig is de driedimensionale weergave van een pseudosfeer ook een hyperbool die

ruimtelijk om de x-as is gedraaid (zie ook: afbeelding X-2)

Figuur 14: de driedimensionale visualisatie voor lengteafstanden in een pseudosfeer. De top

is het d-centrum. Nota bene: de uiteinden van het hyperbolische „kegelmodel‟ lopen

natuurlijk uit tot in het oneindige.

44

III.1.6 De Euclidische vorm van hyperbolische ruimte Aangezien ons heelal oneindig groot is en er geen algemeen aantoonbare vorm is aan te

geven voor de buiging die erdoor wordt veroorzaakt, kan er toch een soort model worden

gemaakt die kan worden weergegeven in Euclidische meetkunde en die deze vorm

desondanks zo goed mogelijk weergeeft.

Immers heeft de eerder besproken schijf van Poincaré, waarbij er een (zoals de naam al doet

vermoeden) schijfje uit de pseudosfeer is genomen, niet werkelijk de vorm van een om zijn

as gedraaide hyperbool zoals op de vorige figuur is afgebeeld die enkel diende ter visualisatie

van afstanden binnen een dergelijk model. In werkelijkheid heeft de schijf van Poincaré de

vorm van een zadel; daarom wordt (bij gebruik van onder andere de Poincaré-schijf) de

hyperbolische meetkunde ook wel zadelmeetkunde genoemd. Een dergelijk zadelmodel is

onderstaand afgebeeld; de negatieve kromming is overigens kenmerkend voor de

hyperbolische meetkunde, dat het onder andere mogelijk maakt meerdere parallellen te

vormen aan een andere lijn (zie III.1.1: hyperbolisch postulaat). Een overzicht van de drie

krommingen die in onze meetkunde bekend zijn en tot nu toe zijn besproken worden tevens

onderstaand afgebeeld in figuur 16.

Figuur 15: een schijf uit de pseudosfeer, de zgn. Poincaré-schijf kan worden gevisualiseerd

met een zadelvormig figuur. De uiteinden horen tot in het uiteinde door te lopen.

Figuur 16: De krommingen van de drie soorten meetkunde op een rij: respectievelijk (v. l. n.

r.) horen de krommingen bij Euclidische meetkunde, elliptische meetkunde en hyperbolische

meetkunde.

III.1.7 De kunst van Maurits Cornelis Escher (1898 – 1972)

Zoals wel duidelijk mogen zijn, kunnen zich op de schijf van Poincaré enkele zeer

interessante vormen voordoen. Sterker nog, kunst op een hyperbolisch model heeft zich

ontwikkeld tot een heuse wijze van kunst.

M.C. Escher, wie in zijn indrukwekkende kunst bekend stond om zijn spel met de twee- en

driedimensionale wereld en om zijn vlakken met tot in het oneindig herhaalde figuren, heeft

tevens enkele boeiende werken gemaakt waarbij gebruik is gemaakt van een hyperbolisch

model. Zijn wiskundige kunstcreaties zijn befaamd over de hele wereld, en zijn zeker waard

45

te bekijken. Een dergelijk interessant kunstwerk waarbij Escher gebruik heeft gemaakt van

een hyperbolisch model is op de volgende pagina afgebeeld. Overigens bestaan er meerdere

van zulke soortgelijke kunstwerken, die allemaal gemakkelijk op het internet of in musea

kunnen worden gevonden.

Figuur 17: Eschers Cirkellimiet III

III.1.8 Het hyperbolische postulaat uitgewerkt

Herinner je nog Euclides‟ definitie van parallelle lijnen uit deel 1?

“Parallel zijn lijnen die in hetzelfde vlak gelegen zijn en die, wanneer naar weerszijden tot in

het oneindige verlengd, elkaar aan geen van beide zijden snijden.”

En zoals in de eerste paragraaf besproken, het hyperbolische model?

“Er zijn meerdere evenwijdige lijnen aan een lijn l door een punt P niet op l”

46

Nu we de Poincaré-schijf hebben uitgewerkt kunnen we de bovenstaande stelling beter

bekijken; onthoud dat het hyperbolische postulaat voor alsnog een postulaat is, en dat deze

geen bewijs behoeft (en dat al van het onderstaande dan ook geen bewijs is).

Zie nevenstaande afbeelding. Er zijn in deze

afbeelding de oneindige lijnen AB, BC en

DE getekend. De lijn BC snijdt lijn AB;

volgens Euclides‟ definitie zijn deze dan ook

niet parallel. AB is echter wel parallel aan

DE, omdat deze lijnen elkaar niet snijden,

wanneer tot in het oneindige verlengd.

Maar, omdat BC niet DE snijdt, betekent dat

dat tevens BC en DE parallel zijn. Zie hier,

een lijn DE die zowel parallel is aan BC als

aan AB, terwijl de ene parallel AB niet gelijk

is aan BC omdat deze twee niet parallel aan

elkaar zijn.

Maar hoe weten we dat bijvoorbeeld AB

nimmer lijn DE zal raken, zelfs wanneer tot

in het oneindige verlengd?

Immers, wanneer men oneindige lijnen

maakt met de horizon bestaat er de

mogelijkheid dat de cirkels waaruit ze

bestaan (zie tweede nevenstaande

afbeelding) elkaar weliswaar niet in de schijf

snijden , maar wellicht wel buiten deze schijf

(zoals in de onderstaande figuur cirkels c en

d elkaar buiten schijf s snijden, maar niet

binnen deze schijf).

We moeten dan even herzien wat de definitie van oneindige lijnen binnen de schijf ook al

weer inhoudt. Want, met oneindige lijnen bedoelen we niet zozeer lijnen die we tot in het

oneindige kunnen doortrekken zoals dat is gebeurt met cirkels in de vorige figuur, maar dat

dit lijnen zijn zonder eindpunten. Dat wil zeggen dat in de bovenstaande afbeelding de punten

waarmee de lijn de horizon lijkt te snijden, deze eigenlijk de horizon eigenlijk helemaal niet

snijdt; omdat ze geen eindpunten hebben kunnen ze tot in het oneindige, i.e. binnen de

horizon in de schijf, worden doorgetrokken, en niet erbuiten. De punten van de cirkel die zich

47

dicht bij de horizon bevinden zijn dus eigenlijk oneindig lange lijnen, iets wat men zal

kunnen aantreffen wanneer men oneindig aantal keren inzoomed op het Euclidische snijpunt

tussen de cirkel en de schijf.

De moraal van het verhaal: hoewel hyperbolische ruimte met Euclidische geometrie kan

worden gevisualiseerd en de eigenschappen van deze meetkunde soms binnen de schijf

kunnen worden gebruikt (zoals in de volgende paragraaf zal blijken), blijven daarentegen de

hyperbolische eigenschappen te allen tijde strikt gescheiden door de horizon van de

Euclidische wereld (en is overigens de horizon, inclusief de punten die hier eventueel op

liggen, geen onderdeel van de hyperbolische ruimte).

III.2 De hoekensom van een d-driehoek

III.2.1 Een korte inleiding tot de hoekensom van een d-driehoek

Een driehoek in een hyperbolisch model krijgt, net als andere geometrische vormen, een d

voorvoegsel: de d-driehoek. Deze interessante hyperbolische vorm zullen we in dit hoofdstuk

grotere details bespreken en we zullen zien waarom deze afwijkt van een Euclidische

driehoek.

We hebben immers al gezien dat de vorm van een dergelijke driehoek verschilt omdat de d-

lijnen waaruit deze bestaat bepaalde kromtrekkingen vertonen. Ook heb je al een driehoek

gezien waarvan de hoekensom minder was dan 180º. Waarom dit zo is, kun je misschien al

vermoeden; maar wij zullen een stapje verder gaan en dit bewijzen. Alvorens we dit doen,

moeten we eerst bekend worden met enige geometrische bewerkingen in de Poincaré-schijf,

en hieraan zullen we de komende paragrafen wijden. Langzaam maar zeker zullen we naar

het bewijs betreffende de hoekensom van een d-driehoek toewerken, waarna deze uiteindelijk

ook kan worden gegeven.

III.2.2 De hoekensom in een Euclidische driehoek Ons vergelijkingsobject, waar we de hoekensom van een d-driehoek mee gaan vergelijken, is

natuurlijk een Euclidische driehoek. Nu weten we allemaal dat de hoekensom van een

driehoek 180º is en ook hebben we hiervoor al een bewijs in deel I gegeven; deze kan

weliswaar nog wat vaag zijn. Laten we het simpele bewijs nogmaals geven, waarbij we

overigens gebruik maken van het Euclidische parallellenpostulaat.

Gegeven:

Een driehoek ABC met een onbekende hoekensom.

Te bewijzen:

De hoekensom van driehoek ABC is gelijk aan 180º.

Bewijs:

Teken een lijn door een van de hoekpunten die evenwijdig is aan het overstaande been van de

driehoek ten opzichte van het hoekpunt. In onze tekening hebben we een lijn door C die

evenwijdig is aan AB. We weten, zoals gedefinieerd is als regel in de Euclidische meetkunde,

dat een gestrekte hoek gelijk is aan 180º. Ook kunnen we gebruik maken van zogenaamde Z-

hoeken, die we ook al in deel I zijn tegengekomen.

Met behulp van deze Z hoeken en de bovenstaande beweringen kunnen we concluderen dat:

48

C1 = A (Z-hoek)

C2 = C2 (Z-hoek)

C3 = B (Z-hoek)

C1 + C2 + C3 = 180º (gestrekte hoek)

III.2.3 Orthogonale cirkels

In deze paragraaf zullen we twee simpele feitjes over orthogonale cirkels bewijzen, als

aanloop naar het bewijs van de hoekensom van een d-driehoek en ter verschaffing van enige

basisinformatie over geometrische vormen in een hyperbolisch model.

Ten eerste:

Gegeven:

Een cirkel c met centrum M die

orthogonaal staat op cirkel d met

centrum P.

Te bewijzen:

Als een cirkel c met een centrum M

orthogonaal staat ten opzichte van

cirkel d met centrum P, dan ligt M

buiten cirkel d en P buiten cirkel c.

Bewijs:

Trek een raaklijn k aan cirkel c zo, dat

deze door een punt A gaat waar beide

cirkels elkaar snijden, en teken een

raaklijn m aan cirkel d zo, dat deze tevens door het punt A gaat waar beide cirkels elkaar

snijden.

Nu kunnen we zeggen dat, omdat c orthogonaal op d staat, k loodrecht op m staat. Tevens

kunnen we dan zeggen dat m loodrecht op k staat, die de raaklijn is van cirkel c in punt A, en

lijn m dus door middelpunt M gaat. Dat betekent dat M buiten cirkel d ligt. Wanneer we de

stappen herhalen kunnen we tevens tot de conclusie komen dat P buiten c ligt.

} A + C2 + B = C1 + C2 + C3

= 180º

49

Ten tweede:

Gegeven:

Een cirkel c met een centrum M

en een punt P buiten cirkel c.

Te bewijzen:

Als P een punt is buiten cirkel c,

dan is er een unieke cirkel met dit

punt P als centrum, die

orthogonaal staat op c.

Bewijs:

Trek een lijn van M naar P, zodat

er een diameter ontstaat voor een

nieuwe cirkel met middelpunt O.

Teken vervolgens de cirkel; omdat P buiten cirkel c ligt en de cirkel met centrum O door dit

punt gaat, moet de cirkel twee snijpunten hebben met cirkel c, en wel A en B.

Vervolgens is het mogelijk om een lijn te trekken AP, die kan fungeren als straal van een

cirkel d met middelpunt P, en waarbij AP een raaklijn is van cirkel c. Omdat A het snijpunt is

van beide cirkels, kunnen we zeggen dat (zie ook vorige bewijs) dat de straal AM van cirkel c

loodrecht op AP staat en een raaklijn is van d, en dus dat de cirkels c en d orthogonaal staan

op elkaar.

Deze orthogonale cirkels zijn zonder twijfel uniek, omdat er maar een paar loodlijnen bestaan

in een punt A die tevens raaklijnen zijn van beiden zodat c en d orthogonaal zijn.

III.2.4 Regels en eigenschappen in het hyperbolische model

Net als in de Euclidische meetkunde bestaan er in de hyperbolische meetkunde een aantal

postulaten, definities en axioma‟s waarop vervolgens bepaalde stellingen zijn gebaseerd en

dus de fundering vormen van de hyperbolische meetkunde. Van een aantal van deze

„conventionele regels‟ bestaat er een soortgelijke tegenhanger in de Euclidische meetkunde;

echter zijn een aantal ook uniek voor de hyperbolische meetkunde, d.w.z. dat ze alleen in het

hyperbolisch model geldig zijn. In deze paragraaf zullen we een aantal van deze regels nader

bekijken.

Een aantal stellingen waarvan je een soortgelijke kunt zijn tegengekomen in de Euclidische

meetkunde zijn:

In hyperbolische meetkunde is er, net als in de Euclidische meetkunde, maar één d-

lijn die de kortste weg is om twee punten met elkaar te verbinden.

Er bestaat maar één unieke d-lijn door twee punten; d.w.z. dat er door elke twee

punten een lijn kan worden getrokken en dat er geen tweede lijn door exact dezelfde

punten bestaat die niet gelijk is aan de andere.

In zowel Euclidische als hyperbolische meetkunde reist licht in een vacuüm ruimte

langs een (d-)lijn.

Twee verschillende d-lijnen zullen elkaar maximaal één keer snijden.

50

Tevens bestaan er een aantal unieke regels en afwijkende eigenschappen die alleen kunnen

voorkomen in het hyperbolisch model:

Een lijn die parallel is aan een andere lijn hoeft niet te allen tijde zich met een gelijke

afstand van de andere te bevinden.

Twee verschillende d-lijnen kunnen maximaal één gemeenschappelijk grenspunt bij

de horizon hebben.

Door een gegeven punt bestaan er meerdere rechte lijnen die parallel zijn aan een

andere rechte lijn. Zoals eerder besproken maar niet eerder in het hyperbolische vlak

gevisualiseerd bestaan er (zie onderstaande figuur):

- Snijdende lijnen (zoals AC en DE)

- Ultraparallelle lijnen (zoals FG en CE, FG en AD of FG en AB)

- (hyper)parallelle lijnen (die één gemeenschappelijk grenspunt op de horizon

hebben, zoals AB en AD)

Een d-lijn die door het d-centrum van de schijf gaat, is een Euclidische lijn, en wel de

diameter van de schijf..

(Deze regel is niet van toepassing in Euclidische meetkunde omdat, hoewel een lijn

door het centrum van een cirkel een diameter vormt van de cirkel, deze niet

noodzakelijkerwijs bij de rand van de cirkel hoeft te stoppen; een lijn kan langer zijn

en doorgaan buiten de cirkel zodat deze groter is dan de diameter. In hyperbolische

meetkunde echter, als we het hebben over een d-lijn (en dus niet d-lijnstuk), hebben

we het over een lijn die oneindig ver doorloopt en wel gelijkmatig aan de lengte van

de oneindige schijf zodat deze tevens de diameter vormt van de schijf.)

Wanneer een hoekpunt van een willekeurige driehoek zich dichtbij het d-centrum

bevindt, zullen de aanliggende benen van die driehoek bijna recht zijn. (Dit is dan ook

de reden waarom de eerder besproken komeet die dicht bij het d-centrum staat vrijwel

Euclidische banen lijkt te vormen.) Te allen tijde lijkt de hoekensom minder te zijn

dan n, de hoekensom van een Euclidische driehoek.

III.2.5 Hyperbolische inversie

Hoewel inversie veel lijkt op spiegelen, is het dat niet. In deze paragraaf proberen we uit te

leggen wat inversie precies inhoudt.

Stel je zelf een punt O voor, en een getal m die ongelijk is aan 0.

Trek vervolgens vanuit O een lijn en teken op deze lijn een punt P:

51

Als je vervolgens een inversie wilt hebben van P, een punt Pi of P‟, moet je deze zo op de lijn

vanuit O kiezen, dat OP · OP‟ = m

Overigens wordt meestal de zogenaamde macht van inversie |m| niet voorgesteld als een

normaal getal, maar als een kwadraat: k² = m = OP · OP‟. Meestal wordt met k de lengte van

een lijnstuk veronderstelt.

Als m kleiner is dan 0, dan ligt P‟ aan de andere kant van centrum O, en spreken we van

negatieve inversie. Omdat vervolgens geldt dat m = k² < 0, geldt er dat er gerekend kan

worden met complexe getallen. Wij houden ons echter alleen bezig met positieve absolute

waarden (met uitzondering van 0), d.w.z. getallen waarbij m > 0: |m| met uitzondering van 0.

We hebben, naast de |m| tussen de zogenaamde absoluutstrepen (m wordt zodoende ook een

absoluut getal genoemd), nog een aantal notaties, onder andere voor de inversie van k: deze

kan worden genoteerd als (O, k2) ook wel Ok

2 of Om. Het beeld van een punt P geven we ook

wel aan met Om(P) = P‟ (=Pi).

Ook stellen we de volgende definitie:

De cirkel met middelpunt O, waarvan het kwadraat van de straal (r²) gelijk is aan de absolute

waarde van de macht van de inversie (ofwel |m|, die dus gelijk was aan OP · OP‟) heet de

grondcirkel of inversiecirkel.

Simpeler:

Als van een cirkel met middelpunt O zijn r² = |m|, heet deze een grondcirkel of inversiecirkel.

We zullen in een moment een bewijs geven waarin dit concept wordt verduidelijkt, maar

laten we eerst kijken hoe dit concept tevens toe te passen is in de schijf van Poincaré.

Herinner je je nog uit de vorige paragraaf dat, als regel in de hyperbolische meetkunde, geldt

dat een d-lijn die door het d-centrum loopt gelijk is aan een Euclidische lijn? Hierin geldt dan

dat O = P = 0, wat betekent dat het een ongeldige bewerking is omdat m te allen tijde groter

moet zijn dan 0 (zoals bovenstaand werd gesteld) of te allen tijde kleiner dan 0 om een

inversie te krijgen aan de andere kant van O ten opzichte van P, met behulp van complexe

getallen.

Maar stel nu dat we een inversie willen hebben van een willekeurig punt P in het

hyperbolisch model die niet gelijk is aan O. Bedenk nu, omdat we door elk willekeurig punt

een d-lijn kunnen trekken, we deze ook met behulp van de Euclidische cirkel die zich hier

doorheen kan vormen deze op een gemakkelijke, Euclidische manier kunnen spiegelen. We

kunnen zelfs beweren dat we van elk punt P binnen de hyperbolische schijf bij de toepassing

van inversie een beeld P‟ kunnen creëren die samenvalt met het d-centrum en vice versa!

Laten we dit bewijzen; gaandeweg zal je het concept van de inversiecirkel duidelijk worden

gemaakt.

Gegeven:

Een cirkel c met een middelpunt O en een punt P binnen cirkel c. We zullen later een

inversiecirkel d tekenen.

Te bewijzen:

Voor een punt P bestaat een inversie P‟ die samenvalt met O.

52

Bewijs:

Zie bovenstaande figuur.

Om hetgeen te bewijzen, tekenen we een cirkel d orthogonaal op cirkel c die als

inversiecirkel laten gelden, zodat we een inversie kunnen maken van P die met

respectievelijk O samenvalt. Hiervoor moet P zowel in de inversiecirkel d als in c liggen. Dan

moeten we kunnen zeggen, omdat d een inversiecirkel is, dat r² van d gelijk moet zijn aan de

lijn vanuit zijn middelpunt door P vermenigvuldigd met de inversie van P aan de andere kant

van d.

We gaan als volgt te werk:

We tekenen een lijn door OP (en trekken deze ietwat door). Dan tekenen we op OP door P

een lijn PR loodrecht op cirkel c: het punt waar deze lijn cirkel c snijdt heet R. Vervolgens

trekken we een straal OR van c, en tekenen door R loodrecht op straal OR een lijn die we

doortrekken totdat deze de doorgetrokken lijn van OP snijdt; het snijpunt noemen we Q.

Vanuit P trekken we een cirkel d door R; we kunnen nu zeggen dat, omdat OR loodrecht op

QR staat (die dus ook een raaklijn is van cirkel c) dat deze orthogonaal staat op c.

Omdat we loodlijnen hebben getrokken, zijn er rechte hoeken aanwezig, en wel hoek OPR en

hoek QRO. Ook hebben de driehoeken QRO en ORQ beiden hoek Q gemeenschappelijk;

omdat er twee hoeken gelijk zijn, kunnen we stellen dat beide driehoeken gelijkvormig zijn:

QPR ~ QRO

QP = QR

QR QO en QR · QR = QP · QO.

Omdat QR · QR = QR² en QR = r, is QR² = r². En dus r² = QP · QO. Dat betekent dat het

beeld van P samenvalt met O!

Overigens kunnen we ook iets zeggen over de inversiecirkel. Want, zoals we weten, worden

zogenaamde d-lijnen gevormd door cirkels die orthogonaal staan ten opzichte van de

Poincaré schijf: dus is de boog RS die cirkel c snijdt, niet alleen een deel van de

inversiecirkel, maar tevens een d-lijn! Dus kunnen we stellen in het vervolg, als mooier

bewijs zonder in directe zin last te hebben van Euclidische meetkunde, dat voor elk punt P in

de Poincaré-schijf een inversie bestaat die samenvalt met O wanneer deze wordt gespiegeld

in een d-lijn.

53

Overigens, als een punt P niet links maar rechts ligt van O, mag dit natuurlijk niks uitmaken;

een dergelijke inversiecirkel kan tevens worden geconstrueerd aan de linkerkant van de

Poincaré-schijf.

Tevens geldt natuurlijk dat, wanneer O een inversie is van P, P ook een inversie is van O.

(Immers is 2 · 3 = 3 · 2, net als QP · QO = QO · PQ).

Nu zijn we klaar om het laatste deel te bespreken waar we naar toe hebben gewerkt: de

hoekensom van een d-driehoek.

III.2.6 Het bewijs voor de hoekensom van een d-driehoek

In zowel deel I als in paragraaf III.2.2 hebben we kunnen zien dat een driehoek in het

Euclidische vlak altijd een hoekensom heeft van 180°, en hebben we dit ook bewezen. Als

aansluiting daarop zullen we nu een regel proberen te vinden voor de hoekensom van een d-

driehoek, een driehoek in het hyperbolische ruimte. Als vermoeden hebben we dat deze

kleiner is dan 180°; dit hebben we namelijk kunnen zien in eerdere afbeeldingen van d-

driehoeken in het hyperbolische model.

Als laatste informatie die we moeten verschaffen alvorens we een bewijs kunnen geven,

moeten we nog een tweetal simpele hyperbolische definities geven.

Ten eerste is volgens de regels van de hyperbolische meetkunde gedefinieerd dat een

hoek tussen twee snijdende d-lijnen in een hyperbolisch model kan worden gemeten

door de hoek te meten tussen de raaklijnen van die twee d-lijnen in het snijpunt.

Ten tweede is gedefinieerd dat, net als in Euclidische meetkunde, de hoek tussen twee

parallelle lijnen 0º is.

Dat is alles tot nu toe: de informatie tot nu toe verschaft in de voorgaande paragrafen van dit

hoofdstuk moet voldoende zijn het volgende bewijs te kunnen begrijpen.

Gegeven:

Een willekeurige driehoek ABC

in de Poincaré schijf met een

onbekende hoekensom.

Te bewijzen:

De hoekensom van de d-driehoek

ABC is kleiner dan180º.

Bewijs:

Zie nevenstaande figuur. Ten

eerste passen we inversie toe bij

het hoekpunt C van de d-driehoek

ABC in de Poincaré-schijf, en

noemen het beeld V.

Dit doen we eenvoudigweg als

we in de vorige paragraaf ook

hebben gedaan: We tekenen een

lijn door zowel het middelpunt O van de schijf als door C, en tekenen door C loodrecht op

OC een lijn CS waarbij S het snijpunt is met de schijf. We trekken de lijn OS, dat de straal is,

en vervolgens loodrecht hierop een lijn SV waarbij V het snijpunt is met de doorgetrokken

54

lijn van OC. V is het beeld

van C bij de inversie. We

weten ook dat, wanneer we

een cirkel trekken met

middelpunt V door S (waarbij

de straal VS dus de raaklijn

is), deze cirkel orthogonaal op

de schijf staat. Ook hebben

we bewezen in de vorige

paragraaf dat, wanneer de

orthogonale cirkel met

middelpunt V – die inversie is

van een willekeurig punt

binnen de schijf – de inversie

van C in deze cirkel

samenvalt met O.

Nu kunnen we eenvoudig ook de andere punten A en B van de driehoek spiegelen in de

inversiecirkel.

We kunnen dit op verschillende manieren doen, waaronder een geometrische oplossing.

Echter, omdat we al genoeg geometrisch doen kan een andere manier ook wel eens

interessant zijn: dit is een eenvoudige algebrarische vergelijking.

We meten SV = r, en we trekken een lijn VA. Vervolgens kunnen we de inversie van punt A

berekenen door r te kwadrateren en deze te delen door de lengte van VA. Het antwoord is een

lengteafstand die we kunnen tekenen op VA.

Voorbeeld: stel SV = 3 en AV = 4. Dan geldt:

r² = SV = 3² = 9

r² = AV · A‟V

A‟V = r² = 9 = 2¼

AV 4

Vervolgens kunnen we op de lijn AV een punt meten met een afstand 2¼ van V. Een

soortgelijke methode is mogelijk om het beeld van B te bepalen.

We krijgen dan een figuur zoals in de

nevenstaande afbeelding. (Merk op dat het beeld

van C samenvalt met O, het d-centrum).

We kunnen vervolgens door A‟ en B‟ lijnen

trekken vanuit de horizon naar het middelpunt C‟:

deze lijnen vormen de benen van de nieuwe

driehoek en zijn, zoals eerder gevonden is in de

regels van de hyperbolische meetkunde,

Euclidische lijnen omdat ze d-lijnen zijn door het

d-centrum. Tevens kunnen we een d-lijn trekken

A‟B‟ die de inversie is van AB. Omdat dit een

conforme inversie is, d.w.z. dat deze om bepaalde

redenen mag worden voltrokken in de schijf zonder daarbij eigenschappen worden geschaad,

is de hoekensom van driehoek ABC gelijk aan de hoekensom van driehoek A‟B‟C‟.

55

Nu hebben we een driehoek die gelijkt op de driehoek in

de nevenstaande afbeelding; de cirkel die de d-lijn A‟B‟

vormt is ook getekend. Omdat deze cirkel orthogonaal

staat ten opzichte van de schijf, ligt het middelpunt M te

allen tijde buiten de schijf zoals is bewezen in paragraaf

III.2.2. Dat betekent tevens dat de boog A‟B‟ convex10

is

ten opzichte van C. De som van de hoeken van A‟B‟ is,

zoals blijkt uit de snijdende raaklijnen in de figuur

rechtsonder, minder dan de som van de twee hoeken van

de Euclidische driehoek A‟B‟. (Dit is natuurlijk omdat

de som van twee erg scherpe hoeken minder is dan de

som van twee minder scherpe hoeken.) Verder weten we

uit deel I dat de totale hoekensom van een Euclidische

driehoek, zoals linksonder is getoont, 180º is, en dat

beide driehoeken de gelijke hoek C delen. Uit deze

laatste punten en uit het feit dat in een d-driehoek de

andere twee hoeken samen minder zijn dan deze hoeken

in een Euclidische driehoek, kunnen we concluderen dat

de hoekensom in een d-driehoek minder is dan 180º!

Q.E.D.

III.3 Enkele geometrische en reken-

kundige bewerkingen in de Poincaré-schijf

III.3.1 Het coördinatensysteem in de Poincaré-schijf

Net als in de Euclidische meetkunde, waar we een cartesisch of cartesiaans coördinatenstelsel

gebruiken (vernoemd naar Renatus Cartesius ofwel de eerder genoemde filosoof René

Descartes), bestaat er tevens een dergelijk coördinatenstelsel in de schijf van Poincaré om

punten aan te geven. Het aangeven van punten in een hyperbolische ruimte gebeurt echter

ietwat anders dan in een cartesiaans coördinatenstelsel, vandaar dat we er in deze paragraaf

even bij stil zullen staan.

Zoals in een Euclidisch vlak, bestaan er tevens in de Poincaré-schijf een x en een y-as; deze

worden getrokken loodrecht op elkaar vanuit het d-centrum of ook wel de oorsprong O. Zie

het gegeven figuur linksonder: hier is X het d-centrum, net als in het cartesiaanse

coördinatenstelsel (linksboven) tevens een punt X zich in de oorsprong kan bevinden.

Vervolgens zijn er telkens met een interval van 0,5 vanuit de oorsprong op beide assen

loodrecht lijnen getrokken, net als voor ieder punt in het cartesiaanse assenstelsel op beide

10

Convex: bolrond

56

assen loodrechte lijnen kunnen worden getrokken. Vervolgens kunnen de punten A, B, S en T

respectievelijk aan worden gegeven met respectievelijk de coördinaten (0,5 ; 0), (1 , 0), (0 ;

0,5) en (0 , 1).

Wanneer we vervolgens een punt (1 , 1) willen

aangeven in het Euclidisch vlak, is het simpelweg

een kwestie van de loodlijnen uit het

coördinatenstelsel te volgen: in de afbeelding

links kan de loodlijn die B aangeeft (op (1 , 0))

gewoon worden gevolgd, en vervolgens de

loodlijn vanuit T (0 , 1). Het snijpunt van beide

loodlijnen is punt P op (1,1). Wanneer we dit

zelfde trucje proberen toe te passen in de

Poincaré-schijf, komen we al snel tot de conclusie

dat er helemaal geen punt op de schijf is waar

zowel de loodlijnen vanuit B als die vanuit T

elkaar snijden. Toch bestaat er een punt (1 , 1), en

wel de P die op het linkerplaatje van het figuur

rechtsonder is weergegeven.

Hoe is dit punt gedefinieerd? Wel,

punt P is precies 1 van de x-as

verwijderd, net als punt P precies 1

van de y-as is verwijderd. Net als het

geval is in het cartesiaanse

coördinatenstelsel. De twee loodlijnen

snijden elkaar daar niet, simpelweg

omdat beide loodlijnen zich steeds

verder van het d-centrum verwijderen

waardoor de afstand van de loodlijnen meer naar oneindig gaat. De snijpunten geven

daardoor ook een grotere afstandscoördinaat weer vanaf de assen dan wanneer deze in een

Euclidisch vlak zouden snijden. Desalniettemin is het punt P gewoon te construeren, en wel

door de coördinaten van het punt P te meten door van beiden assen een afstand 1 te nemen.

III.3.2 Hyperbolische spiegeling Nu we de assen in een hyperbolisch model hebben gedefinieerd, moet het (vanzelfsprekend)

ook mogelijk zijn punten te spiegelen in de assen of in andere punten. Omdat we te maken

hebben met een hyperbolisch model en niet met een bekend Euclidisch model, gebeurd dit

iets (niet heel veel) anders. In deze paragraaf zullen we het concept van hyperbolische

spiegeling zo goed mogelijk proberen uit te leggen.

Het is eigenlijk heel simpel. Zie nevenstaande afbeelding

bijvoorbeeld. Hierin is P‟ het beeld van P bij de spiegeling in

S‟ (een zogenaamde puntenspiegeling). Een dergelijke

spiegeling is eenvoudig, op een vrijwel Euclidische wijze, te

construeren: trek een d-lijn van het punt P door het

spiegelobject S‟. Vervolgens ligt het beeld P‟ op een gelijke

afstand van S‟ als P van S‟ ligt: houdt er rekening mee dat

het vooralsnog een hyperbolisch model is, en dat dus de

afstanden van de punten die dichter bij de horizon staan (de

horizon gaat naar oneindig) kleiner lijken. Voor het

57

hyperbolische model met zijn d-afstanden mag dit niet boeien: PS‟ = P‟S‟.

Ook de spiegeling in lijnen of in assen is eenvoudig. In de Euclidische meetkunde gebeurt dit

met behulp van een middelloodlijn, net als in de hyperbolische meetkunde. Zo is in de

bovenstaande afbeelding P‟‟ het beeld van P bij spiegeling in de lijn m. De constructie is

wederom eenvoudig, en is gelijkt gedeeltelijk op een dergelijke spiegeling in een Euclidisch

model. Ten eerste wordt er een loodlijn vanuit P op lijn m getrokken, de lijn waarin we willen

spiegelen. Het snijpunt van de loodlijn en lijn m noemen we S‟‟. De tweede stap is eenvoudig

het voorgaand beschreven proces van de puntenspiegeling herhalen: een punt P‟‟ zo kiezen,

dat PS‟‟ = P‟‟S‟‟. Wederom moet er rekening mee worden gehouden dat we spiegelen in een

hyperbolisch model en dus te maken hebben met hyperbolische afstanden.

III.3.3 D-afstanden

Als verdere uitdieping van de hyperbolische geometrie zullen we het bovengenoemde

onderwerp bespreken – hoewel we geen bewijs zullen leveren, hopen we toch dat het je de

mogelijkheden laat inzien van bewerkingen in het hyperbolisch model.

Laten we eerst beginnen door te stellen dat een afstand tussen twee punten in een Euclidisch

vlak kan eenvoudig worden gemeten of berekend. In een coördinatenstelsel kan deze simpel

worden berekend door optellen of aftrekken, of door gebruik te maken van de stelling van

Pythagoras. Maar, zoals we inmiddels weten, zijn de lijnen die tussen twee d-punten kunnen

worden getrokken, en dus de afstand tussen die twee punten, nou niet bepaald rechte

Euclidische lijnen; met uitzondering natuurlijk van de lijnen door het d-centrum. Toch is het

soms handig om afstanden te berekenen tussen twee gegeven punten in het hyperbolische

model. Dit gebeurt met behulp van het natuurlijke logaritme.

Zie onderstaand model:

Bij het berekenen van de d-afstand, d.w.z. hyperbolische afstand, van punt P naar Q, hebben

we een aantal Euclidische afstanden nodig van de cirkel. Overigens wordt, voor het

berekenen van een afstand tussen de twee punten P en Q, niet gewoonweg PQ gebruikt, maar

d(P, Q). Om de afstand te berekenen tussen de twee punten doen we hetzelfde als we zouden

doen als in het geval van twee Euclidische punten: we trekken een lijn tussen de punten, dat

58

is dus in dit geval een d-lijn. Om vervolgens de afstand tussen P en Q te kunnen berekenen,

teken we ten eerste de Euclidische punten A en B, die de snijpunten zijn van de d-lijn door P

en Q met de horizon. De benodigdheden zijn de Euclidische afstanden AP, BP, AQ en BQ.

De hyperbolische afstand van lijnstuk PQ is dan te berekenen met behulp van de formule:

In ons geval betekent dat, dat dit het volgende voorstelt:

d(P,Q) = ( | ln (1,67 / 3,73) | ) + ( | ln ( 3,83 / 1,55) | )

= ( | ln 0,44772 | ) + ( | ln 2,47097 | )

= ( | -0,80358 | ) + ( | 0,90461 | )

= 0,80358 + 0,90461

= 1,70819 ≈ 1,71

III.3.4 De oppervlakte van een d-driehoek

Nu we hyperbolische afstanden kunnen berekenen, zou het volgens de theorie van de

Euclidische meetkunde nu ook eenvoudig zijn andere geometrische bewerkingen in het

model te maken, waaronder het berekenen van de hypotenusa van een driehoek met behulp

van de stelling van Pythagoras of de oppervlakte van een willekeurig ruimtefiguur met

behulp van algemene Euclidische stellingen.

Helaas is dit alles niet het geval en zijn dergelijke bewerkingen helemaal niet zo eenvoudig

als moge lijken. Om dit concept duidelijk te maken, zullen we de oppervlakte van een d-

driehoek bekijken.

Zie nevenstaande d-driehoek: dit is een relatief eenvoudige d-

driehoek in het hyperbolische model, mede omdat twee van de

benen geen d-lijnen zijn, maar gewone Euclidische lijnen daar

deze door het d-centrum lopen. Echter is de derde lijn een d-

lijn, en kan de oppervlakte niet worden uitgerekend met de

voor ons bekende Euclidische geometrie (ook niet wanneer we

het hele zooitje omrekenen naar d-afstanden, zie vorige

paragraaf).

Zie ter verduidelijking de tweede nevenstaande afbeelding.

Nota bene: de lengten van de benen zijn niet alleen

in d-afstanden, maar ook slechts representatief en

volstrekt willekeurig gekozen.

In de Euclidische meetkunde zou de oppervlakte

van de driehoek gewoon te berekenen zijn met

behulp van de Euclidische ½ · basis · hoogte

formule: Opp. = ½ · 3 · 4 = 6. Maar, zoals je kunt

zien in de afbeelding, beslaat de oppervlakte van

een dergelijke driehoek de helft van een Euclidische

vierhoek, d.w.z. dat er geen rekening is gehouden

met schuine zijden wanneer we enkel Euclidisch willen berekenen. Hoewel dus de

Euclidische driehoek zowel het donker- als lichtgrijze deel beslaat, beslaat de d-driehoek

alleen de donkergrijze driehoek (deze heeft een schuine zijde) en heeft dus een aanzienlijk

59

kleinere oppervlakte. Deze is dan ook niet te berekenen met ½ · basis · hoogte, maar er zal

van deze uitkomst een zeker aantal moeten worden afgetrokken om de nauwkeurige

oppervlakte voor een d-driehoek te verkrijgen.

Zoals je misschien wel kunt raden, komt de oppervlakte van deze driehoek die nog twee

Euclidische benen heeft van de drie, nog het best in de buurt van een echte Euclidische

driehoek wanneer men de Euclidische oppervlakteformule voor driehoeken toepast. Door de

eigenschappen van het hyperbolisch model en zijn eerder behandelde assenstelsel is het ook

niet mogelijk om een volledig Euclidische driehoek te vormen in het hyperbolische model.

(Maar wel een vrijwel Euclidische driehoek, herinner je je de komeet rond de zon?). Dat

betekent dat geen enkele driehoek in het hyperbolische model is te berekenen met ½ · basis ·

hoogte en dus dat elke d-driehoek die kan worden getrokken tussen drie punten een kleinere

oppervlakte heeft dan de Euclidische driehoek die kan worden gevormd door lijnen te trekken

tussen dezelfde drie punten. Zodoende heeft dus elke d-driehoek een zogenaamd tekort.

Omdat we nu niet simpel een oppervlakte van een d-driehoek kunnen uitrekenen met behulp

van een Euclidische formule, moeten we verder bouwen met de stenen die we hebben om wel

tot een bepaalde algemene formule te komen. We kunnen immers al wel de volgende

conclusies doen over figuren en hun eigenschappen in de hyperbolische meetkunde:

Het moet mogelijk zijn de oppervlakte van elke veelhoek te berekenen.

Elk oppervlakte van een veelhoek moet een reëel nummer zijn en groter dan nul.

Net als in de Euclidische meetkunde, als twee driehoeken congruent zijn hebben ze

dezelfde oppervlakte.

Als twee veelhoeken alleen elkaar snijden met hun zijden, benen of helemaal niet

snijden, dan is de oppervlakte van de veelhoek die kan worden gevormd uit de

gemeenschappelijke figuren de som van de twee oorspronkelijke veelhoeken; de

oppervlakte moet additief zijn.

Als een gelegen d-driehoek gelegen is binnen een andere d-driehoek, dan moet de

oppervlakte kleiner zijn.

De oppervlakte van een tweevoudig-asymptotische d-driehoek (zie onderstaande

afbeelding) is alleen afhankelijk van de tophoek (d.w.z. de hoek die niet met de

horizon snijdt).

De hoekensom van een drievoudig-asymptotische (zie onderstaande afbeelding) d-

driehoek is eindig.

Figuur 18: de typen d-driehoeken. Respectievelijk een enkel(voudig)-asymptotische d-

driehoek, een dubbel-asymptotische d-driehoek en een drievoudig-asymptotische d-

driehoek.

60

Uit deze (overigens allemaal te bewijzen) beweringen en het eerder genoemde „tekort‟ van

een d-driehoek kunnen we stellen dat de oppervlakte van elke d-driehoek te berekenen is met

behulp van een bepaalde formule die een voor elke d-driehoek gelijke constante

vermenigvuldigd met het tekort van de hoeken: A = K · tekort.

We kunnen deze formule iets preciezer formuleren, door het „tekort‟ te vervangen. Deze

formule staat bekend onder de zogenaamde Stelling van Gauss:

De oppervlakte van een d-driehoek ABC met de hoeken A, B en C is gelijk aan K(π-A-B-C).

(Overigens, net als aan de formule valt af te leiden, rekenen we in radialen wanneer we kijken

naar de hoeken).

Laten we dit bewijzen.

Gegeven:

Een willekeurige d-driehoek ABC met de hoeken A,B en C

Te bewijzen:


(Stelling van Gauss)

Bewijs:

1. Eerst verlengen we de zijden van de d-driehoek tot de horizon: zowel AB, BC als CA.

Ook verlengen we AC.

61

2. Als we een aantal punten van de horizon nu met elkaar verbinden, krijgen we enkele

driehoeken waarmee om praktische redenen makkelijker mee is te rekenen. We geven

de snijpunten met de horizon de namen D, E, F en X.

3. Omdat we hebben gedefinieerd dat de oppervlakten van een tweevoudig-

asymptotische d-driehoek alleen afhankelijk is van de tophoek, kunnen we dus zeggen

dat bijvoorbeeld driehoek ADF afhankelijk is van π-A en dus ook vanA. Deze

bewering komt mede tot stand doordat we eerder het vermoeden hebben gesteld dat

de oppervlakte van een d-driehoek afhankelijk is van de hoekensom. Dat betekent ook

dat we een functie kunnen beschrijven van de oppervlakte van de d-driehoek in

combinatie met deze hoek: O(ADF) = f(A).

4. We hebben ook zijde AC niet voor niets doorgetrokken tot een punt X. Je kunt nu

immers zien dat er een drievoudig-asymptotische d-driehoek DXF is ontstaan, die op

zijn beurt weer bestaat uit twee tweevoudig-asymptotische d-driehoeken. Omdat we

weten dat oppervlakten additief zijn, betekent dat dat O(ADF) + O(DXA) = O(DXF).

We weten tevens, omdat een tweevoudig-asymptotische d-driehoek afhankelijk is van

zijn tophoek dat O(ADF) = f(A) en dus dat O(ADX) = f(π – A). (We rekenen met

radialen, en aangezien een gestrekte lijn, net als in de Euclidische meetkunde, hoek π

heeft, heeft een d-lijn (dus ook hoek π) minus een hoek A een hoek π – A; FX is

immers een gestrekte d-lijn die in A twee hoeken maakt).

Omdat we deze beide dingen veilig kunnen definiëren, kunnen we tevens zeggen dat

dus O(DFX) = f(A) + f(π – A). Laten we voor de handigheid, daar we weten dat de

hoekensom van een drievoudig-asymptotische d-driehoek eindig is (zoals eerder

gedefinieerd), deze benoemen met de letter k: k = f(A) + f(π – A).

5. Omdat de oppervlakte van een drievoudig-asymptotische d-driehoek die uit twee

tweevoudig-asymptotische d-driehoeken afhankelijk is van een functie van de hoeken

van deze twee d-driehoeken, kunnen we tevens zeggen dat een drievoudig-

asymptotische d-driehoek die uit drie tweevoudig-asymptotische d-driehoeken bestaat

afhankelijk is van een functie van de hoeken van deze drie d-driehoeken. In de tweede

figuur op de volgende pagina met de tophoeken π – A, π – B en A + B geldt dan dus

dat k = f(A) + f(B) + f( - (A+B)). (Als je niet helemaal het concept van A+B begrijpt,

zie dan in dat je een been zo kunt doortrekken dat A en B twee gescheiden vlakken

worden (zie de eerste van beide onderstaande figuren). Hierin is π – A + A = π = B +

62

π - B = gestrekte hoek. Nemen we A en B samen, krijgen we A+B, en een driedeling

wat mogelijk is in elke mogelijke d-driehoek die we kunnen maken. In de eerste

afbeelding, net als in de tweede, geldt dan ook dat k = f(A) + f(B) + f( - A) + f( - B)

= f(A) + f(B) + f( - (A+B).

6. Nu hebben we dus k = f(A) + f(B) + f( - (A+B)). Maar, zoals ook gezien in punt 4,

bestaat er wederom een tweevoudig-asymptotische d-driehoek DE(A+B) met de

tophoek A+B. Omdat we dus hebben gezien dat in een dergelijke driehoek dan geldt,

zoals in punt 4, dat k = f(A) + f(π – A), betekent dat ook dat k - f(A) = f(π – A). Nu we

een tophoek hebben van A+B, betekent dat, dat k - f(A + B) = f(π – (A+B)). Laat de

laatste achter het “= teken” van deze twee nu ook voorkomen in de eerstgenoemde

formule in dit punt, zodat we kunnen stellen dat k = f(A) + f(B) + k - f(A + B).

7. In deze formule, k = f(A) + f(B) + k - f(A + B), kunnen we vervolgens gemakkelijk de

termen zo verschuiven dat f(A) + f(B) = f(A + B). Omdat deze A en B additief zijn,

betekent dat dus dat f een eenvoudige lineaire functie is. Over het algemeen geldt dat

een lineaire functie eruit ziet als f(x) = ax, en dus geldt dat f(A) = pA (waarbij p een

constante is).

8. Als we even terugkeren naar punt 4: k = f(A) + f(π – A). Door hetgeen wat we in het

vorige punt hebben gesteld, kunnen we deze formule vervangen door

k = pA + p(π – A) dat we kunnen herleiden:

k = pA + pπ – pA

k = pπ

p = k / π

9. Omdat we in punt 7 hebben gezegd dat de functie f(A) = pA, en net hebben gezegd

dat p = k / π, kunnen we de formule f(A) eenvoudig zo vervangen dat f(A) = kA / π.

10. Laten we nogmaals naar de eerdere afbeelding kijken (zie afbeelding op de volgende

pagina). In deze figuur geldt (mede omdat we hebben gesteld dat de oppervlakten van

bepaalde d-driehoeken additief zijn), dat O(ABC) = O(DEF) – O(DAF) – O(DEB) –

O(ECF).

63

11. Zo kunnen we beweren dat O(ABC) = k – (f(A) + f(B) + f(C)). Uit punt 9 kunnen we

deze formule herleiden tot:

Die op zijn beurt buiten haakjes is te halen:

Nu hebben we, op k zelf na, allemaal de gemeenschappelijke factor k/π. We kunnen k

nu ook simpel in een dergelijke vorm omtoveren. Immers weten we dat

x y = x y = x k = k π

y y en dus dat π zodat we de formule krijgen:

Waarbij we nu de gemeenschappelijke factor (k/π) gemakkelijk binnen haakjes

kunnen halen zodat:

Omdat we kunnen stellen dat K = k / π, kunnen we een formule krijgen als:

O(ABC) = K(π – A – B – C)

Dat dus de stelling van Gauss is!

Q.E.D.

Stellen we K op 1 (wat gebruikelijk is), houden we de formule

O(ABC) = π – A – B – C

over. Deze formule is niet erg moeilijk te interpreteren: een lineaire formule, waarbij

O(ABC) = 0 als de hoekensom gelijk is aan 180° (alleen in een Poincaré-schijf mogelijk

wanneer de drie punten op één lijn liggen (en deze dus eigenlijk geen driehoek is, omdat elke

d-driehoek een oppervlakte heeft)) en O(ABC) = π als de hoekensom gelijk is aan 0°

(wanneer alle punten van de d-driehoek oneigenlijke punten zijn, d.w.z. als de punten op de

horizon liggen).

64

Conclusie van dit alles? Het is belangrijk in te zien dat de hyperbolische meetkunde, hoewel

deze in sommige opzichten erg veel lijkt op de Euclidische meetkunde zoals we eerder

hebben gezien in dit deel, desondanks in vele punten erg verschilt van de alledaagse

Euclidische meetkunde.

III.3.5 Slotwoord

Zoals je hebt mogen zien in deze praktische opdracht, is niet-Euclidische meetkunde, hoewel

erg interessant, tevens erg verschillend van de Euclidische meetkunde. Niet voor te stellen

driehoeken met rare oppervlakteberekeningen en onmogelijke hoekensommen van 270

graden komen allemaal voor, net als science-fiction-achtige taferelen met vierde dimensies en

onnatuurlijke gravitationele wisselwerkingen.

Maar wat nou, als we nóg een Euclidisch‟ postulaat, of wellicht een ander postulaat die aan

de basis van onze wiskunde ligt, weghalen? Wat nou, als er vijfde, zesde, of misschien wel

zevende dimensies bestaan? Tot welke “waarheden” zal dit leiden, en wat voor effect heeft

dat op de hedendaagse inzichten met betrekking tot de wis- en natuurkunde?

Wij weten het niet, en denken dat het vragen zullen zijn die waarschijnlijk nog wel enige tijd

– zo niet voor altijd – open en onbeantwoord blijven. Immers is er nauwelijks aandacht voor

dergelijke haast irrealistisch alsmede onwetenschappelijke ideeën; een aandacht die ook de

niet-Euclidische meetkunde nooit goed is toegekomen, hoewel de fascinerende inzichten van

deze wiskunde nog iedere dag een dergelijke aandacht verdienen.

65

Appendix A: Bronnenlijst

De bronnen in de lijst hieronder zijn in willekeurige volgorde geplaatst. Er moet bij worden

vermeld dat deze bronnenlijst niet volledig is: hoewel alle belangrijke bronnen wel zijn

vermeld, kan niet worden gegarandeerd dat de bron van elke externe afbeelding die in dit

verslag is gebruikt in de onderstaande lijst staat vermeldt. Desondanks is deze lijst zo

volledig en gedetailleerd mogelijk voor een scriptie van dergelijke omvang.

Nota bene: vrijwel elk van deze bovengenoemde bronnen heeft natuurlijk ook zelf vele

bronnen gebruikt voor het schrijven van het betreffende artikel. Deze subbronnen kunnen

vrijwel allemaal worden gevonden in een bronnenlijst bij de bovengenoemde bron zelf.

Titel/URL http://mathworld.wolfram.com/Pseudosphere.html

Schrijver Eric W. Weisstein

Instelling, organisatie

en/of uitgever

MathWorld

(Wolfram Research Inc.)

Onderwerp Pseudosfeer

Doeleinde(n) Hyperbolische meetkunde (hyperbolisch model)

Titel/URL http://graphics.stanford.edu/papers/h3/html.nosplit/

Schrijver Tamara Munzer


en/of uitgever

Stanford University

Onderwerp Hyperbolische ruimte

Doeleinde(n) Hyperbolische meetkunde (hyperbolische ruimte)

Titel/URL http://www.maths.gla.ac.uk/~wws/cabripages/hyperbolic/hyperbolic

0.html

Schrijver Onbekend


en/of uitgever

University of Glasgow: Department of Mathematics

Onderwerp Hyperbolische meetkunde

Doeleinde(n) Hyperbolische meetkunde ((o.a.) hyperbolische inversie)

Titel/URL http://www.kubrussel.ac.be/WSetew/kosmos/kosmostekst.html

Schrijver Stefan Haesen

Instelling,

organisatie en/of

uitgever

Katholieke Universiteit Brussel (KUBrussel)

Onderwerp Een inleiding in de hedendaagse kosmologie

Doeleinde(n) Hyperbolische meetkunde (hyperbolische ruimte)

66

Titel/URL http://www.pandd.demon.nl/propI27.htm

Schrijver Dick Klingens


en/of uitgever

PandD

Onderwerp Euclides‟ proposities, het parallellenpostulaat en Playfair‟s axioma

Doeleinde(n) Euclidische meetkunde (Prop. I.29, par.postulaat, Playfair‟s axioma)

Titel/URL http://www.dinx.nl/euclid/index.html

Schrijver Onbekend


en/of uitgever

Dinx

Onderwerp Wiskundigen en de niet-Euclidische meetkunde

Doeleinde(n) Euclidische meetkunde (geschiedenis, biografieën)

Titel/URL http://www.pandd.demon.nl/hypm0.htm



en/of uitgever

PandD

Onderwerp Hyperbolische meetkunde

Doeleinde(n) Hyperbolische meetkunde ((o.a.)oppervlakte d-driehoek,

hyperbolische spiegeling)

Titel/URL http://www.pandd.demon.nl/inversie.htm



en/of uitgever

PandD

Onderwerp Inversie

Doeleinde(n) Hyperbolische meetkunde (inversie)

Titel/URL http://www.math.rug.nl/didactiek/NietEuclides/beginnen.htm

Schrijver Onbekend

Instelling,

organisatie en/of

uitgever

Rijksuniversiteit Groningen: (faculteit) Mathematics and Computing

Science)

Onderwerp Inleiding tot de niet-Euclidische geometrie

Doeleinde(n) Euclidische meetkunde (algemeen)

Titel/URL http://www.cs.unm.edu/~joel/NonEuclid/

Schrijver Joel Castellanos


en/of uitgever

University of New Mexico: (faculteit) Computer Sciences

Onderwerp Niet-Euclidische geometrie

Doeleinde(n) Hyperbolische meetkunde (algemene basische informatie m.b.t.

hyperbolische meetkunde)

67

Titel/URL http://www.kennislink.nl/web/show?id=114010

Schrijver Klaas Pieter Hart


en/of uitgever

Kennislink

Origineel: Pythagoras (KWG)

Onderwerp Het vijfde postulaat

Doeleinde(n) Euclidische meetkunde ((o.a.)parallellenpostulaat)

Titel/URL http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_geometry

Schrijver Onbekend


en/of uitgever

Wikipedia (De vrije enclyclopedie)

Onderwerp Hyperbolische geometrie

Doeleinde(n) Hyperbolische meetkunde ((o.a.) schijfmodellen, inleidende

informatie m.b.t. de hyperbolische meetkunde)

Titel/URL Standaard woordenboek Nederlands – Latijn

Schrijver Dr. J.F. Aerts, K. Vangenechten (e.a.)


en/of uitgever

Standaard Uitgeverij, Antwerpen

Sdu uitgevers, Den Haag (19999)

Onderwerp n.v.t.

Doeleinde(n) Enkele Latijnse woorden voor de spreuken

Titel/URL Woordenboek Latijn – Nederlands

Schrijver Prof. Dr. Harm Priksten


en/of uitgever

Amsterdam University Press, Amsterdam(19981)

Onderwerp n.v.t.

Doeleinde(n) Grammaticacontrole Latijnse spreuken

Titel/URL Prisma woordenboek Engels - Nederlands

Schrijver Drs. A.F.M. de Knegt


en/of uitgever

Het Sprectrum, Amsterdam (199631

)

Onderwerp n.v.t.

Doeleinde(n) Hulp bij vertaling van enkele Engelse woorden in andere bronnen

Titel/URL Winkler Prins 2005 – (Digitaal) Woordenboek (Nederlands)

Schrijver Onbekend


en/of uitgever

Winkler Prins

Onderwerp n.v.t.

Doeleinde(n) Uitleg van enkele begrippen in de voetnoten

68

Titel/URL Geschiedenis van de niet-Euclidische meetkunde

Schrijver I. van Gulik-Gulikers


en/of uitgever

Epsilon Uitgaven (nr. 21), Zwolle, i.s.m. de NVvW (20051)

Onderwerp Zie titel

Doeleinde(n) Euclidische meetkunde (vrijwel een groot deel van de informatie

over de bewijzen e.d.), Elliptische meetkunde (inleiding, postulaat),

Hyperbolische meetkunde (inleiding, schijvenmodel, postulaat)

Titel/URL Microsoft Encarta 2005

Schrijver n.v.t.


en/of uitgever

Winkler Prins

Onderwerp Gebruikte zoektermen (o.a.):

- Euclides

- Q.E.D.

- Gauss

- Niet-Euclidische meetkunde

- Meetkunde

- Descartes, René

Doeleinde(n) Verschillende doeleinden (met name biografieën en algemene

informatie)

Titel/URL Einstein voor beginners

Schrijver Joseph Schwartz


en/of uitgever

Van Gennep, Amsterdam (1981)

Onderwerp Zie titel

Doeleinde(n) Hyperbolische meetkunde (hyperbolische ruimte, vierdimensionale

wereld, formule gravitationele wisselwerkingen)

Titel/URL http://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_geometry

Schrijver Meerdere Personen


en/of uitgever

Wikipedia

Onderwerp Bolmeetkunde

Doeleinde(n) Elliptische meetkunde (korte uitleg wat het begrip bolmeetkunde

inhoudt.)

Titel/URL http://math.rice.edu/~pcmi/sphere/

Schrijver John C. Polking


en/of uitgever

Faculteit Mathematica aan de Rice University, Houston (VS)


Doeleinde(n) Elliptische meetkunde (Oppervlakten op een bol berekenen, Inzicht

verwerven in theorieën van Girard en Euler.)

69

Titel/URL http://www.math.uncc.edu/~droyster/math3181/notes/hyprgeom/nod

e5.html

Schrijver K. Droyster


en/of uitgever

Faculteit Mathematica en Statistiek aan de University of North-

Carolina at Charlotte. (VS)


Doeleinde(n) Elliptische meetkunde (Definities grootcirkels, lunen en oppervlakte

van bol)

Titel/URL http://www.geocities.com/CapeCanaveral/7997/noneuclid.html

Schrijver E. Saltsman


en/of uitgever

The Fourth Dimension

Onderwerp Niet-euclidische meetkunde

Doeleinde(n) Elliptische meetkunde (Oriënteren op verschillende soorten van niet-

euclidische meetkunde: de hyperbolische en elliptische meetkunde.)

Titel/URL http://nrich.maths.org/mathsf/journalf/may02/art2/index.html

Schrijver K. Droyster


en/of uitgever

Mathematics Nrichment (University of Cambridge)


Doeleinde(n) Elliptische meetkunde (Hoeksom van een driehoek op bol en lunen.)

70

Appendix B: Formules, Stellingen, e.d.

Hieronder staan de meest belangrijke stellingen, axioma‟s, postulaten en formules nog een

keer vermeldt, opdat je ze allemaal gemakkelijk in één oogopslag kunt herzien.

Euclides axioma’s

1. Dingen die gelijk zijn aan hetzelfde zijn ook gelijk aan elkaar.

2. Als je bij gelijke dingen gelijke voegt, dan zijn de totalen gelijk.

3. Als je van gelijke dingen gelijke afneemt, dan zijn de resten gelijk

4. Dingen, die op elkaar passen, zijn gelijk

5. Het geheel is groter dan het deel

Euclides postulaten

1. Van een punt naar een ander punt kun je een rechte lijn trekken

2. Je kunt een lijnstuk verlengen tot een rechte lijn.

3. Je kunt een cirkel tekenen met een gegeven straal en middelpunt.

4. Alle rechte hoeken zijn aan elkaar gelijk.

5. Als bij een rechte lijn, die twee rechte lijnen snijdt, de som van de binnenhoeken aan

dezelfde kant, kleiner is dan de som van twee rechte hoeken, dan zullen de twee

rechte lijnen tot in het oneindige verlengd elkaar ontmoeten aan de kant, waar de

hoeken zijn, waarvan de som kleiner is dan twee rechte hoeken.

Euclides definitie van parallelle lijnen

Parallel zijn lijnen die in hetzelfde vlak gelegen zijn en die, wanneer aan weerszijden tot in

het oneindige verlengd, elkaar aan geen van beide zijden snijden.

Euclides’ Propositie I.29

Een rechte (lijn), die parallelle rechten (parallelle rechte lijnen) treft, maakt de verwisselende

binnenhoeken aan elkaar gelijk en den buitenhoek gelijk aan den afgelegen binnenhoek en

de binnenhoeken aan den zelfden kant gelijk aan twee rechte (hoeken).

Playfair’s axioma

Door een gegeven punt buiten een rechte lijn gaat precies één rechte die evenwijdig is aan die

lijn.

Stelling van Pythagoras In een rechthoekige driehoek geldt dat het kwadraat van de hypotenusa gelijk is aan de som

van de kwadraten van de twee andere zijden.

Stellingen van Legendre

1. Er bestaat een driehoek wiens drie hoeken de som is van twee rechte hoeken

2. Er bestaat een gelijkbenige rechthoekige driehoek wiens drie hoeken de som is van

twee rechte hoeken

3. Er bestaat een willekeurig grote gelijkbenige rechthoekige driehoek wiens hoeken de

som is van twee rechte hoeken

4. De som van de hoeken van elke driehoek is gelijk aan de som van twee rechte hoeken.

71

Legendre’s Lemma’s

1. In een driehoek is de som van twee hoeken minder dan de som van twee rechte

hoeken.

2. In elke driehoek is de som van de drie hoeken minder dan of gelijk aan twee rechte

hoeken.

3. Als de hoekensom van een driehoek gelijk is aan twee rechte hoeken, en als een

lijnstuk vervolgens wordt getrokken van een hoekpunt naar de andere zijde zo dat de

driehoek in twee kleinere driehoeken wordt verdeeld, dan is de som van elk van deze

twee driehoeken ook gelijk aan twee rechte hoeken.

Axioma van Wallis

Bij een gegeven (willekeurige) driehoek ABC en een gegeven lijnstuk DE bestaat een

driehoek DEF (waarvan dus DE een zijde is) die gelijkvormig is met driehoek ABC.

De vierhoek van Saccheri Als in een willekeurige vierhoek geldt dat twee overstaande zijden gelijk zijn en dat de twee

hoeken van een van de twee aanliggende zijde rechte hoeken zijn, geldt dat de andere twee

hoeken van de vierhoek gelijk aan elkaar zijn.

Stellingen van Moufot

1. Als een willekeurige driehoek binnen een vierkant ligt, zijn alle zijden van een

vierkant zijn even lang, ongeacht de afmetingen van de driehoek.

Als een willekeurige cirkel binnen een willekeurig vierkant ligt die een hoek maakt

met de horizontaal en dit vierkant, dan ligt het middelpunt van de cirkel ligt binnen

het vierkant. Hij voegde hier aan toe dat deze stelling juist was ongeacht de vorm van

de cirkel of de grootte van hoek

Hyperbolisch postulaat

Er zijn meerdere evenwijdige lijnen aan een lijn l door een punt P niet op l.

Elliptisch postulaat

Er zijn geen evenwijdige lijnen aan een lijn l door een punt P niet op l.

Afstanden in het elliptisch model

d(A,B) = R.α (Hoek α in radialen)

d(A,B) = R.απ/180 (Hoek α in graden)

Oppervlakte van een bol

De oppervlakte van een bol met straal R is 4πR2

Oppervlakte van een lune

Opp(lune) = 2R2 ▪

lunehoek

Formule van Girard

Opp(T) = R2 (r + b + g – π)

Euler’s formule V – E + F = 2

72

Functie van Lobačevskiĭ

Π(a) =

Newton’s wet van de zwaartekracht

a = F / M

Einstein’s formule voor gravitationele wisselwerkingen

a = F / M(1- v²/c²)3/2

D-afstanden

Stelling van Gauss


I Wat is niet-Euclidische Meetkunde

Documents

Transcript of I Wat is niet-Euclidische Meetkunde