Matemática I

Prof. Laurence D. Hoffmann. Prof. GeraLd L. Bradley

Professora. Patrícia Carly

Limite de uma função Se f(x) tende a um número L quando x tende a

um número c tanto pela esquerda como pela direita, L é limite de f(x) quando x tende a c, o que, em notação matemática, é escrito como:

Lim f(x)= L x c

Para as três funçoes , o limite de f(x) quando x tende

Para as três funções, o limite de f(x) quando x tende a 3 é igual a 4.

F(c)=4

F ( c)=é diferente de 4

F(c)= não é definido

Propriedade algébrica dos limites:se lim f(x) e lim g(x) existem x c x c

Limite de duas funções lineares Para qualquer constante k.

Lim k = k e lim x = c x c x c

O limite de uma constante é a própria constante.

o limite de f(x)=x quando x tende a c é c.

Limite de duas funções lineares

Y=k

x c x

(c,k )

x x

yy

(c,c)

x c x

c

Lim k = k lim x = c

x c x c

Calcule o limite A)Lim 2 x 1

B) lim x x 2

Solução

Y=2

x 1 x

(1,2 )

x x

yy

(2,2)

x 2 x

2

Lim k = k lim x = c

x c x c

A)Lim 2

x 1B) lim x

x 2

Calcule lim (3x³-4x +8) x -1 Solução: Usando a propriedade e limite

p lim (3x³-4x +8)= 3(lim x)³- 4(lim x) + lim 8p x -1 x -1 x -1 x -1

p = 3(-1) ³ - 4(-1) + 8 = 9

Calcule lim (2x³+4x +7) x -1

Calcule lim (2x³+4x +7) x -1 Solução: Usando a propriedade e limite

p lim (2x³+4x +7)= 2(lim x)³+ 4(lim x) + lim 7p x -1 x -1 x -1 x -1

p = 2(-1) ³ + 4(-1) + 7= 1

Calcule lim 3x³ -8/ x-2 x 1

Lim (x-2)= o X 1

Lim 3x³ -8 = 3( lim x)³ -lim 8 x 1 x – 2 x 1 x 1 =3-8 / 1-2 = 5 lim x - lim 2 x 1 x 1

Calcule lim 3x³ -8/ x-3 x 2

solução

Lim (x-3)= o X 2

Lim 3x³ -8 = 3( lim x)³ -lim 8 x 2 x – 3 x 2 x 2 =24-8 / 2-3 = 16/-1=- 16 lim x - lim3 x 2 x 2

Limite de Polinômio e funções Racionais Se p(x) e q(x) são polinômios, Lim p(x)=p(c ) X c

Lim p(x) = p(c ) x c q(x) q(c ) se q( c) = 0

Calcule lim x+1 x 2 x-2 Solução A regra do quociente não se aplica, neste

caso, o limite do denominador é lim(x-2)=0 X 2

O limite do numerador é lim(x+1) =3 X 2

Que é diferente de zero, chegamos à conclusão que o limite não existe.

Calcule lim x²-1 x 1 x²-3x+2 Solução Tanto o numerador quanto o denominador

de uma fração dada tende a zero. Quando isso acontece, muitas vezes é possível simplificar algebricamente a fração para obter o limite desejado.

solução Calcule lim x²-1

x 1 x²-3x+2 =(x-1)(x+1) x=1 (x-1)(x-2)

=lim(x+1) x 1 lim (X-2) x 1 =2/-1=-2

2

12

2

2

4

24

24

2

b b acx

ab b ac

xa

b b acx

a

21 2( )( )ax bx c a x x x x

Método para determinar o Limite no Infinito de f(x) =p(x) /q(x) 1 passo: divida todos os termos de f(x)

pela maior potência de x que aparece no polinômio do denominador, q(x).

2 passo: calcule lim f(x) ou lim f(x) x +∞ x -∞

usando as propriedades algébricas dos limites e as regras das potências inversas.

Solução: A maior potência de x no denominador é

x². dividindo o numerador e denominador por x², obtemos:

Calcule lim 2x²+3x+1 x +∞ 3x²-5x+2

Solução: A maior potência de x no denominador é

x², obtemos:

Calcule lim 2x²+3x+1 x +∞ 3x²-5x+2

lim 2x²+3x+1 x +∞ 3x²-5x+2

=lim 2x²/x²+3x/x²+1/x² x +∞ 3x²/x²-5x/x²+2/x²

=2/3

Limite Infinito Dizemos que lim f(x) é um um

limite infinito se f(x) aumenta ou diminui sem limite quando x c. escrevemos

Se f(x) aumenta sem limite quando x c e

Se f(x) diminui sem limite quando x c

Lim f(x) =+ ∞X c

Lim f(x) =- ∞X c

Exemplo calcule lim - x³+2x+1 x +∞ x-3 lim - x³+2x+1 x +∞ x-3

= lim - x³/x+2x/x+1/x x +∞ x/x-3/x

= lim - x²x+2+1/x x +∞ 1-3/x

=- ∞

lim - 1 -3/x

x +∞

=1

lim - x³+2x+1 x +∞ x-3 =- ∞

Limites unilaterais e continuidade Limites Unilateria Se f(x) tende a L quando x tende a c

pela esquerda (x<c), escrevemos lim f(x)=L x c -

Se f(x) tende a M quando x tende a c pela direita (x>c), escrevemos

lim f(x)=M x c +

Exemplo limite uniliterais envolvendo um estoque just in time.

Lim I(t)= L2 e lim I(t) =L1

t t1- t t2+

Exemplo de limite unilaterias F(x) = 1-x² para 0≤x <2 2x+ para x≥2 Determine os limites lim f(x) e lim f(x) x 2‾ x 2†

solução f(x)= 1-x² para 0≤x <2 temos:

lim f(x) = lim (1-x²) = 1-4 = -3 x 2‾ x 2‾

Como f(x)=2x+1 para x≥2, temos:

lim f(x) = lim (2x+1)= 4+1 =5 x 2† x 2†

y

x

1 2

3

5

Existência de um limite O limite limf(x) existe se e apenas se os limites

uniliterais lim f(x) e lim f(x) existem e são iguais,caso que x c‾ x c†

Lim f(x) = lim f(x) = lim f(x) X c x c ‾ x c†

Exemplo determine se lim f(x) existe, onde x 1

F(x) = x+1 para x<1 -x²+4x -1 para x≥1

Solução calculando os limites unilateria em x=1 F(x)= x+1 x<1 lim f(x) = lim (x+1) =1+1=2 x 1‾ x 1‾ F(x) = -x²+4x-1 x≥1 Lim f(x) =lim (-x²+4x-1)=-(-1)²+4(-1)-1=2 x 1† x 1†

Lim f(x) = lim f(x)= lim f(x)=2 X 1 x 1 ‾ x 1†

Exercício determine se lim f(x) existe, onde x 3

F(x) = x²+1 para x≤3 2x+4 para x>3

solução Lim (x²+1)=9+1=10 x 3

Lim (2x+4)=6+4=10 x 3

10

1

4

3

x²+1

2x+4

Continuidade: Uma função f é continua no Ponto c se três condições são satisfeitas.

A) f(c ) é definida. B) Lim f(x)=f(c ) x c C) lim f(x) existe x c Se f(x) não é contínua no ponto c, dizemos que o ponto c é um

ponto de descontinuidade.

exempo: mostre que a função racional f(x)=(x+1)/(x-2) é continua em x=3

Solução: f(x)=(x+1)/(x-2) é continua em x=3 Observe que

f(3)=(3+1)/(3-2)=4 Com lim (x-2)=0

)3(41

4

)2(

)1(

lim

lim)(lim

0)2(lim

4)23(

)13(

3

3

3

3

3

)(lim

fx

xxf

x

x

x

x

x

x

xf