ENSINO MÉDIOMATEMÁTICA 1º ANO PROF. EMERSON MARÃO

PROF. LEANDRO ANJOS

PLANO DIDÁTICO PEDAGÓGICO

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Unidade IIFunção Quadrática e Função Exponencial

CONTEÚDOS E HABILIDADES

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Aula 11ConteúdosMódulo de um número real e equações modularesFunção modular

CONTEÚDOS E HABILIDADES

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HabilidadesDefinir módulo de um número e resolver equações modulares.Definir função modular e compreender os seus gráficos.

AULA

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Módulo de um número real e equações modulares Definição de módulo: módulo ou valor absoluto de um número estão associados à sua distância do ponto de origem, observe a representação a seguir:

-4 0 +4

4 4

AULA

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Percebemos que a distância entre os números é a mesma, dessa forma dizemos que o valor absoluto dos números – 4 e + 4, indicados por |– 4| e |+ 4|, será 4.

x, → x ≥ 0X = - x, → x < 0

AULA

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Exemplos a) |+3| = 3 e |–3| = –(–3) = 3

b) |10| = 10 e |–10| = –(–10) = 10

c) |x – 4| = x – 4, se x – 4 ≥ 0, ou seja, x ≥ 4 – (x – 4), se x – 4 < 0, ou seja, x < 4

AULA

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Equações Modulares Chamamos de equações modulares as equações em que aparecem módulos de expressões que contêm incógnita. Exemplos de equações modulares:

|x| = 7 |x + 6| = x + 6 |x – 3| + 4x = 7 |x + 2| = 4

AULA

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Resolução de equações modularesExemplo 1 |x + 2| = 4 Condições: x + 2 = 4 ou x + 2 = – 4 Resolução: x + 2 = 4 → x = 4 – 2 → x = 2 x + 2 = – 4 → x = – 4 – 2 → x = – 6 S = {–6; 2}

AULA

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Exemplo 2 |4x – 8| = x + 1 Condições: |4x – 8| ≥ 0, dessa forma a equação só é possível se x + 1 ≥ 0, x ≥ –1.

|4x – 8| = x + 1 4x – 8 = x + 1 ou 4x – 8 = – (x + 1)

AULA

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Resolução: 4x – 8 = x + 1 → 4x – x = 1 + 8 → 3x = 9 → x = 9 → x = 3

4x – 8 = – (x + 1) → 4x – 8 = – x – 1 → 4x + x = – 1 + 8 → 5x = 7 → x = 7

Verifique que x = 3 e x = 7/5, satisfazem a condição x ≥ – 1, portanto o conjunto solução é 7 ; 3

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3

5

AULA

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Exemplo 3|x + 1| = |x – 3|

x + 1 = x – 3 → x – x = – 3 – 1 → 0x = – 4 (impossível)

x + 1 = – (x – 3) → x + 1 = – x +3 → x + x = 3 – 1 → 2x = 2 → x = 1

Solução: {1}

AULA

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Exemplo 4|x² – 5x + 6| = 2

x² – 5x + 6 = 2 → x² – 5x + 6 – 2 = 0 → x² – 5x + 4 = 0 (Bhaskara: possui duas raízes reais) x’ = 1 e x” = 4

x² – 5x + 6 = – 2 → x² – 5x + 6 + 2 = 0 → x² – 5x + 8 = 0 (Bhaskara: não possui raízes reais)

Solução: {1,4}

DINÂMICA LOCAL INTERATIVA

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1. Encontre a solução da equação |x – 4| = 1

2. Resolva a seguinte equação modular |x2 -3x |= 4

AULA

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Função ModularFunção é uma lei ou regra que associa cada elemento de um conjunto A a um único elemento de um conjunto B. O conjunto A é chamado de domínio da função e o conjunto B de contradomínio. A função modular é uma função que apresenta o módulo na sua lei de formação.

AULA

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De maneira mais formal, podemos definir função modular como:

f(x) = |x| ou y = |x|A função f(x) = |x| apresenta as seguintes características:f(x) = x, se x≥ 0ouf(x) = – x, se x < 0Essas características decorrem da definição de módulo.

AULA

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Exemplo 1Construa o gráfico da função f(x) = | –x|

Solução: primeiro vamos analisar o gráfico da função acima sem a utilização do módulo na sua lei de formação, ou seja, vamos fazer o gráfico de g(x) = – x

AULA

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O módulo presente na lei da função faz com que a parte do gráfico que se localiza abaixo do eixo x “reflita” no momento em que toca o eixo x. Mas por quê? Simples, a parte do gráfico abaixo do eixo x representa os valores negativos de y e, como o módulo de um número é sempre um valor positivo, o gráfico de f(x) = |– x| fica:

AULA

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Exemplo 2Construa o gráfico da função f(x) = |x2 – 3x|Solução: pela definição de módulo, temos que:f(x) = x2 – 3x, se x≥ 0 ef(x) = – (x2 – 3x), se x<0 Daí, segue que:x2 – 3x = 0x = 0 ou x = 3, logo:

AULA

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A parte do gráfico que está amarelo é a parte que sofreu ação do módulo.

Temos também que:– (x2 – 3x) = 0x = 0 ou x = 3

Daí, segue que:

AULA

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Unindo as partes dos dois gráficos que se encontram acima do eixo x, teremos o gráfico da função f(x) = |x2 – 3x|

DINÂMICA LOCAL INTERATIVA

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Construa o gráfico da função modular f(x) = 2 + |x – 1|.