Leon Antonio - El Fin Del Infinito

Antonio Leon

El fin del infinito

Seleccion de argumentos sobre el infinito matematico

Antonio Leon

El fin del infinito

Seleccion de argumentos sobre el infinito matematico

Segunda edicion.Interciencia, Salamanca. 2014

Impreso en Espana / Printed in SpainPrinted by Bubok Publishing S.L.

Registro legal S.C. Cod. 1401099791982Todos los derechos reservados. Ninguna parte de este libro se puede reproducir, almacenar o

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Indice general

1. Introduccion 1

2. Convenciones 5

Parte I: El escenario infinitista

3 El infinito actual 6Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Infinito actual y potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8El axioma del infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Cardinales y ordinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4. Reinterpretacion de las paradojas de la reflexividad 17Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17¿Paradojas o contradicciones? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5. Extension de la Paradoja de Cantor 23Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23La paradoja de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Una extension de la Paradoja de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Parte II: Argumentos

6 El siguiente racional 27Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Discusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

7. La lampara de Thomson 33Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33La lampara de Thomson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34La maquina de contar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

8. Revision del argumento de Cantor de 1874 41Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Argumento de Cantor de 1874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Version racional del argumento de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Una variante del argumento de Cantor de 1874 . . . . . . . . . . . . . . . . 46

9. Intercambios numericos 49ω -Intercambios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Argumento de la supertarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Argumento Modus Tollens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51La alternativa del infinito potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

10.La diagonal de Cantor 53Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

iii

iv —— Indice general

Teorema del n-esimo decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53Cantor contra Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54Antidiagonales racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Un nota final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

11.Intervalos racionales 61Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Una particion cantoriana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Un intervalo racional menguante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Discusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

12.Particiones no contables 67Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67La prueba de Cantor de 1885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Particiones en la recta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

13.Cajas y conjuntos 73Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Vaciando cajas y conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Capturando una falacia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Magia infinitista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

14.Una fuente irracional de numeros racionales 79Numeros n-expofactoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79Una fuente irracional de numeros racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Discusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Epılogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

15.Substraccion de cardinales 87Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Problemas con la sustraccion de cardinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88El argumento de Faticoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

16.Alef-cero 93Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93El menor cardinal transfinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

17.Singularidades aritmeticas de ℵo 97Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97¿Es ℵo un numero primo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Alef-cero y la potencia del continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

18.Reinterpretacion del teorema de la reordenacion de Riemann 107Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107Discusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

19.Inconsistencia de los conjuntos anidados 109Teorema de la interseccion vacıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109Inconsistencia de los conjuntos anidados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

20.Dicotomıas de Zenon 115Definiciones introductorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115Dicotomıa II de Zenon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117Dicotomıa I de Zenon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

21.La maquina de Hilbert 121El Hotel de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122La contradiccion de la maquina de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123Discusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Indice general —— v

22.Curvas de Jordan infinitas 127Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127Particion infinita de una curva de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

23.Infinito uno a uno 131El sistema de numeracion unario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131La tabla monaria de los numeros naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

24.Temporizando el infinito 139Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Definiciones recursivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Una definicion conflictiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

25.Divisibilidad del espaciotiempo 143El menor ordinal infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143Dicotomıas del espaciotiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145Divisibilidad del espaciotiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Apendices

A. El problema del cambio 151Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151El problema del cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153Un modelo discreto: automatas celulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

B. Sugerencias para una teorıa natural de conjuntos 159Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159Una definicion natural de conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159Conjuntos y numeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162Conjuntos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165Conjuntos potencialmente infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

C. Platonismo y biologıa 169Los seres vivos como objetos extravagantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169Conocimiento abstracto y biologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

Referencias 182

Indice alfabetico 187

1.-Introduccion

Algunos de los problemas mas relevantes de la filosofıa contemporanea fue-ron ya planteados por los filosofos presocraticos en el siglo VII a.C. (en partequiza sugeridos o directamente tomados de los precedentes culturales desarro-lladas en las culturas neolıticas fluviales.1) Entre esos problemas, hay tres quemerecen especial consideracion: el problema del cambio, el infinito, y la auto-rreferencia. El primero de ellos es sin duda el mas difıcil, y al mismo tiempoel mas relevante, de los problemas planteados por el hombre. Resulta por esosorprendente la poca atencion que se presta en la actualidad a ese fascinanteproblema, especialmente si se la compara con la atencion prestada a los otrosdos.

Despues de mas de veinte siete siglos, el problema del cambio sigue sin resol-verse. A pesar de su aparente simplicidad, nadie ha sido capaz de explicar,por ejemplo, como se realiza un simple cambio de posicion. La fısica, la cien-cia del cambio (la ciencia de la sucesion regular de eventos, como Maxwell lallamo [127, pag. 98]) parece haber olvidado su problema mas fundamental. Asu vez, algunos filosofos como Hegel2 defendieron que el cambio es un conceptoinconsistente; mientras que otros, como McTaggart, llegaron a la misma con-clusion que Parmenides [147] sobre la imposibilidad de cambio [132]. Quizasla (aparente) insolubilidad del problema del cambio tenga que ver con el con-tinuum espaciotiempo donde todas las soluciones han sido buscadas. Como semuestra en el Apendice A, el problema del cambio podrıa encontrar una solu-cion en el marco de un espaciotiempo discreto.

Mientras que el cambio es una caracterıstica evidente de nuestro universo encontinua evolucion, tanto el infinito como la autorreferencia son nociones teori-cas, sin relacion aparente con el mundo natural. Cantor y Godel (los prınci-pes del infinito y la autorreferencia respectivamente) fueron dos entusiastasplatonicos de escasa devocion a las ciencias naturales y de enorme influenciaen las matematicas contemporaneas.3 Para ilustrar las profundas conviccionesteoplatonicas de Cantor, recordemos algunas de sus palabras:

. . . en mi opinion la realidad y absoluta legalidad de los numeros enteros

1[21], [169], [144], [183]2[96], [98], [133], [146], [158], [196]3Para el caso de Cantor vease [56], [134], [42, pag. 141]; para el de Godel [81, pags. 235-236],[83, pag. 359], [73], [58] [140], [100], [85]

1

2 —— Introduccion

es mucho mayor que la del mundo sensorial. El que ası sea, tiene unaunica y muy simple razon, a saber, que los numeros enteros existen en elgrado sumo de realidad, tanto separados como en su totalidad actualmenteinfinita, en la forma de ideas eternas in Intellectus Divinus. ([134]; citadoen [76])

. . . yo solo soy un instrumento al servicio del altısimo, un instrumento queseguira actuando mucho despues de mı, de la misma forma que ya lo hizoantes hace miles de anos con Euclides y Arquımedes. . . . ([41, pp 104-105])

. . . No puedo referirme a ellos [los atomos] como existentes, ya sea en con-cepto o en realidad, no importa cuantas cosas hasta cierto punto utiles sehayan logrado mediante esa ficcion. ([40, p 78], traduccion inglesa [33])

Veintisiete siglos de debates no fueron suficientes para probar la consistencia(o la inconsistencia) de la hipotesis del infinito actual, que finalmente tuvo queser legitimada por la vıa expeditiva de los axiomas.4 Las matematicas contem-poraneas estan fundadas en la creencia de que los conjuntos infinitos existencomo totalidades completas.5

La teorıa de conjuntos es una teorıa estrictamente infinitista, una teorıa basadaen, e inspirada por, la hipotesis del infinito actual. Para Georg Cantor, uno desus mas relevantes fundadores, el infinito actual no era una simple hipotesis sinouna firme conviccion platonica.6 La teorıa de conjuntos contiene, sin embargo,los instrumentos apropiados para poner en cuestion la consistencia formal dela hipotesis del infinito actual. Aunque hasta ahora nunca han sido utilizadoscon esas intenciones crıticas. Como veremos aquı, ese es el caso de ω, el menorde los ordinales infinitos, y de las sucesiones y los conjuntos ω−ordenados. Eneste libro haremos un uso extensivo de ellos.

La auto-referencia en el lenguaje formal y coloquial es tambien una nocionteorica sobre la que no hay acuerdo general.7 Las paradojas de la autorrefe-rencia han sido y siguen siendo una fuente interminable de discusiones. Unade esas paradojas, la paradoja del mentiroso,8 conduce (vıa Paradoja de Ri-chard, como el propio Godel reconocio [82, p. 56]) al celebre primer teoremade incompletitud de Godel. Muchos logicos lo consideran como el teorema masimportante de todos los tiempos. Desde nuestra perspectiva de las ciencias na-turales eso suena algo exagerado.

Por decirlo en pocas palabras, heredamos de los presocraticos, entre otras cosas,un desafıo prometedor (el problema del cambio) y dos conceptos cuestionables(la autorreferencia y el infinito actual). Con el paso del tiempo hemos ido ol-

4Axioma del Infinito en las modernas teorıas de conjunto, que, en pocas palabras, establece laexistencia de un conjunto infinito numerable.

5Por ejemplo, la lista ordenada de los numeros naturales existirıa como una totalidad completaa pesar de que ningun ultimo numero la complete.

6Tan firme como una roca en las propias palabras de Cantor (carta de Cantor a Heman, 21de Junio de 1888)

7Ademas de lenguaje y metalenguaje (lenguaje sobre el lenguaje) tendrıamos tambien auto-lenguaje, el lenguaje hablando autonomamente de sı mismo.

8En terminos informales: Esta frase es falsa.

Introduccion —— 3

vidando el desafıo y convirtiendo al infinito y a la autorreferencia en pilaresfundamentales e incuestionables de la logica y de las matematicas contem-poraneas. No todo el mundo esta de acuerdo con esa eleccion, aunque la crıticamilitante es casi inexistente. Este libro esta principalmente dedicado a poneren cuestion el mas molesto de esos conceptos: el infinito actual.

Debemos recordar en este momento que la ciencia es excesivamente autoreve-rente y escasamente autocrıtica. Poner las convicciones y los intereses persona-les en frente del conocimiento objetivo de la realidad resulta mas frecuente delo que se podrıa esperar. En esas condiciones, no es facil poner en cuestion unsupuesto fundamental bien asentado, incluso si ese supuesto es sospechoso deser inconsistente. En mi opinion el Axioma del Infinito es uno de esos supuestosfundacionales inconsistentes.

Las consecuencias de las matematicas infinitistas son desastrosas porque pro-mueven un modelo analogico, y por tanto continuo, del mundo fısico queesta claramente en conflicto con la naturaleza digital revelada hasta ahorapor todas las observaciones fısicas: materia ordinaria, partıculas elementales,energıa, cargas electricas y no electricas, parecen ser todas ellas entidades dis-cretas con mınimos indivisibles. Es sorprendente la guerra de los fısicos contralos infinitos. Pagan un alto precio en la forma de interminables y tediosos calcu-los para conseguir librarse de ellos. Mientras que, por otra parte, no dedicanni un solo minuto de su tiempo a poner en cuestion la consistencia formal dela hipotesis del infinito actual que los fundamenta.

Gracias a la supuesta existencia del infinito actual, las ciencias experimentalesse ven obligadas a explicar un realidad que parece ser esencialmente discre-ta por medio de matematicas indiscretas. Una tarea que podrıa ser imposibleen ciertos niveles basicos donde la discrecion resulta esencial, como es el casodel nivel cuantico. La tragedia del infinito es que no hemos desarrollado unasmatematicas discretas adecuadas para explicar un mundo que parece ser esen-cialmente discreto. Incluso las matematicas discretas que hemos desarrolladose han desarrollado en terminos de matematicas indiscretas. Aparte de ciertasaplicaciones particulares, las matematicas discretas suelen interpretarse comomeras aproximaciones del verdadero mundo continuo de las matematicas infi-nitistas. El problema es que no parece existir ningun mundo continuo.

En cualquier caso, la hipotesis del infinito actual es solo una hipotesis, y unotiene el derecho y el deber de ponerla en cuestion. Ese es el objetivo princi-pal de este libro. Una coleccion de argumentos crıticos sobre la hipotesis delinfinito actual desarrollados durante los ultimos dieciocho anos. Cada capıtuloconsta de un argumento completo e independiente, por lo que pueden ser leıdosen cualquier orden.9 Incluye tambien tres apendices, el primero trata sobre elproblema del cambio para ilustrar las consecuencias de asumir la existencia delcontinuum espaciotiempo. El segundo introduce una alternativa no platonica

9Obviamente, la independencia de los capıtulos tiene un coste narrativo en terminos de unexcesivo numero de repeticiones en el texto, por las que pido disculpas.

4 —— Introduccion

a las actuales teorıas de conjuntos. El tercero es una breve crıtica del esencia-lismo platonico (la cuna del infinito actual) desde la perspectiva de la biologıacontemporanea.

Aunque las discusiones sobre el infinito matematico pueden parecer intimidan-tes al lector no especializado, este libro es cualquier cosa menos intimidante.Es un libro de ciencia basica. La ciencia que se aprende y se ensena en el bachi-llerato y primeros cursos de la Universidad. El problema es que se aprende y seensena como una especie de catecismo libre de toda crıtica. La ciencia basicararamente se pone en tela de juicio porque los cientıficos trabajan algunos pa-sos mas alla. Pero la ciencia basica tambien debe ser, al menos periodicamente,cuestionada. Como ya se ha indicado, aquı cuestionamos una de sus hipotesisbasicas, la hipotesis del infinito actual.

En la mayorıa de los capıtulos, el infinito en cuestion sera el infinito numerable(el mas pequeno de los infinitos10) subsumido en el Axioma del Infinito. Perotambien el infinito que legitima las sucesiones de infinitos crecientes11. Por lotanto, demostrar la inconsistencia del menor de los infinitos implica la invali-dacion de todos los demas.

Existe un acuerdo general en que una contradiccion es suficiente para demostrarla inconsistencia de la hipotesis de la que se deducen los resultados contradicto-rios. Excepto en el caso del infinito actual. Y esto no es una broma: en palabrasde Cantor, algunas totalidades infinitas son inconsistentes debido a su excesivainfinitud [33]. Una razon adicional para tratar exclusivamente con el menor delos infinitos.

10El infinito del conjunto de los numeros naturales.11La sucesion de los alefs: ℵo, ℵ1, ℵ2 . . . , y la de las potencias ℵo, 2

ℵo , 22ℵo

. . .

2.-Convenciones

1 Para facilitar las discusiones, todos los parrafos de este libro aparecerannumerados consecutivamente (como este mismo). Los parrafos seran referidosmediante sus correspondientes numeros sin parentesis, tal como aparecen alprincipio de cada parrafo. Por la misma razon todas las ecuaciones seran nu-meradas consecutivamente dentro de cada capıtulo, aunque en este caso losnumeros iran entre parentesis y a la derecha de cada ecuacion. Para referirnosa las ecuaciones usaremos sus correspondientes numeros entre parentesis.

2 Los teoremas, definiciones, conclusiones, etc seran numerados con el mismonumero del parrafo en el que son enunciados. Por ejemplo, si un teorema seenuncia en el parrafo 153 nos referimos a el como Teorema 153.

3 La mayorıa de las sucesiones y conjuntos que usaremos seran ω−ordena-dos (como la sucesion 1,2,3, . . . de los numeros naturales en su orden naturalde precedencia). En unos pocos casos seran ω∗−ordenados (como la sucesioncreciente de los enteros negativos . . . -3, -2, -1). En muchos argumentos tambienharemos uso de sucesiones de instantes dentro de intervalos finitos de tiempo,esas sucesiones seran siempre estrictamente crecientes y convergentes, siendosiempre el lımite de la sucesion el extremo derecho del correspondiente intervalode tiempo.

4 En la mayorıa de los casos se utilizara la palabra ’numerable’ para referirnosa la infinitud del conjunto N de los numeros naturales y a la de cualquier otroconjunto o sucesion que se puede ponerse en correspondencia uno a uno conN. Las palabras ’enumerable’ o ’numerable’ tambien se pueden utilizar con elmismo significado. Aunque la palabra ’contable’ tambien se utiliza para refe-rirse a conjuntos finitos o infinitos numerable no la utilizaremos aquı con el finde evitar confusiones. Por ultimo, los terminos ’no-contable’ o ’no-numerable’se utilizaran para referirse a los infinitos mayores que el infinito numerable.

5 En todos las discusiones y argumentos, el tiempo y la distancia se supondraneuclıdeas.

6 Huelga decir que todos los argumentos de este libro son de caracter con-ceptual, incluso cuando hagan uso de artefactos materiales como maquinas,cajas, bolas y cosas similares, todas las cuales deberan ser entendidas comodispositivos teoricos para facilitar las discusiones.

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3.-El infinito actual

Introduccion7 Este libro se ocupa exclusivamente del infinito actual, aunque algunas refe-rencias al infinito potencial seran inevitables. Empezaremos entonces introdu-ciendo la distincion entre el infinito actual y el potencial. Una vez introducida,definiremos el infinito actual en terminos conjuntistas y la distincion entre car-dinales y ordinales infinitos. Eso es todo lo que necesitamos para seguir losargumentos sobre la hipotesis de infinito actual que se exponen en el resto dellibro. La mayorıa de esos argumentos estan relacionados con ω, el menor delos ordinales infinitos; el ordinal del conjunto N de los numeros naturales en suorden natural de precedencia: N ={1, 2, 3, . . . } (vease mas abajo).

8 ’Infinito’ es una palabra comun que usamos para referirnos a la calidad deser enorme, inmenso, ilimitado etc. En este sentido, y de acuerdo con Gauss1

el infinito es una manera de hablar. Pero la palabra ’infinito’ tambien tiene unsignificado matematico preciso: un conjunto es infinito si se puede poner encorrespondencia uno a uno con alguno de sus subconjuntos propios. Esta es laconocida definicion de Dedekind que, junto con los trabajos de Cantor sobre losnumeros transfinitos, inauguraron la moderna matematica transfinita a finalesdel siglo XIX. Aunque la historia del infinito matematico habıa comenzadoveintisiete siglos antes.

9 Afortunadamente existe una excelente literatura sobre la historia del infi-nito,2. No dare ni siquiera un sumario de esa historia, aunque podrıamos ele-gir arbitrariamente tres de sus protagonistas mas relevantes como referenciashistoricas:

1. Zenon de Elea (490-430 A.C.), filosofo presocratico que utilizo por prime-ra vez el infinito matematico para defender la tesis de Parmenides sobre laimposibilidad de cambio. Sabemos del trabajo de Zenon (cerca de cuaren-ta argumentos, incluyendo sus famosas paradojas contra la posibilidad decambio [2], [51]) a traves de su doxografos (Platon, Aristoteles, DiogenesLaertius o Simplicius [51]). El infinito en los argumentos de Zenon pareceser el infinito actual y contable, aunque obviamente Zenon no esta ha-

1C.F. Gauss, carta al astronomo H.C. Shumacher, 12 de julio de 18312Por ejemplo: [208], [124], [171], [22], [163], [50], [116], [135], [138], [110], [111], [1], [136], [49],[197], [14].

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8 —— El infinito actual

ciendo matematicas infinitistas sino argumentaciones logicas en las queaparecen colecciones infinitas de puntos y de instantes. Los argumentos deZenon funcionan correctamente solo si esas colecciones se consideran comototalidades infinitas completas (vease el Capıtulo 20 sobre las Dicotomıasde Zenon).

2. Aristoteles (384-322 A.C.), uno de los pensadores mas influyentes en lacultura occidental. Filosofo y naturalista, introdujo la nocion de corres-pondencia uno a uno precisamente cuando trataba de resolver algunas delas paradojas de Zenon. Luego introdujo la distincion fundamental entreel infinito potencial y el infinito actual, que aquı analizaremos en terminosconjuntistas en la siguiente seccion.

3. Georg Cantor (1845-1918), matematico aleman cofundador, junto con R.Dedekind y G. Frege, de la teorıa de conjuntos. Su trabajo sobre los nume-ros transfinitos (cardinales y ordinales) sento las bases de las modernasmatematicas transfinitas. Cantor inauguro el llamado paraıso del infinitoactual en el que, segun D. Hilbert, los infinitistas habitaran para siempre.

10 De Zenon a Aristoteles el unico infinito fue el infinito actual, aunque esanocion estaba lejos de ser claramente establecida. De Aristoteles a Cantor en-contramos defensores de ambos tipos de infinitos (actual y potencial) aunquecon una cierta hegemonıa del infinito potencial, particularmente desde el sigloXIII, una vez que Aristoteles fue ’cristianizado’ por los escolasticos medieva-les. En esos tiempos preinfinitistas, se podıan utilizar los mismos argumentosen apoyo de una o de la otra hipotesis (por ejemplo los argumentos basadosen la correspondencia entre los puntos de una circunferencia y los puntos deuno de sus diametros). Pero no hay todavıa una teorıa del infinito matemati-co propiamente dicha. La primera teorıa matematica del infinito propiamentedicha aparece al final del siglo XIX, siendo Dedekind, Bolzano y, especialmen-te, Cantor, sus creadores mas relevantes. Desde Cantor hasta la actualidad lahegemonıa del infinito actual ha sido casi absoluta y, ademas, libre de crıticasserias.

Infinito actual y potencial11 La distincion entre el infinito actual y el infinito potencial la propusoAristoteles [11], [10]. La explicaremos a continuacion, aunque en los terminosmas modernos de la teorıa de conjuntos. Huelga decir que el unico infinito de lasmatematicas transfinitas contemporaneas, incluyendo la definicion fundacionalde Dedekind de los conjuntos infinitos, es el infinito actual.

12 Considerese la lista ordenada de los numeros naturales en su orden naturalde precedencia: 1, 2, 3, . . . De acuerdo con la hipotesis del infinito actual esa listaexiste como una totalidad completa, es decir como una totalidad que contieneen el acto a todos los numeros naturales. La elipsis en:

N = {1, 2, 3, . . . } (1)

representa a todos los numeros naturales. Notese que la lista ordenada de los

Infinito actual y potencial —— 9

numeros naturales existe como una totalidad completa a pesar de que no existeun ultimo numero que complete la lista.

13 Para subrayar ese sentido de completitud consideremos la tarea de contarlos numeros naturales 1, 2, 3, . . . De acuerdo con la hipotesis del infinito actuales posible contar todos los numeros naturales en un tiempo finito realizando lasiguiente supertarea:3

Cuentese cada uno de los sucesivos numeros naturales 1, 2, 3, . . . encada uno de los sucesivos instantes t1, t2, t3, . . . de una sucesion es-trictamente creciente de instantes en el intervalo finito (ta, tb), siendotb el lımite de la sucesion. Por ejemplo la sucesion clasica:

tn = ta + (tb − ta)2n − 1

2n(2)

En esas condiciones, en el instante tb se habran contado todos los numerosnaturales. ¡Todos!

14 La tarea anterior de contar todos los numeros naturales es un ejemplo desupertarea. Se discutiran mas adelante en este libro. Mientras tanto, notese queel hecho de emparejar los elementos de dos sucesiones infinitas no prueba queambas sucesiones existan como totalidades completas. Las sucesiones podrıanser tambien potencialmente infinitas.

15 La alternativa a la hipotesis del infinito actual es la hipotesis del infinitopotencial, que rechaza la existencia de totalidades infinitas completas y portanto la posibilidad de contar todos los numeros naturales. Desde esa pers-pectiva, los numeros naturales resultan del proceso interminable de contar:siempre es posible contar numeros mayores que cualquier otro numero dado.Pero es imposible completar el proceso de contarlos todos, de modo que la listacompleta de numeros naturales no tiene sentido alguno.

16 En resumen, la hipotesis del infinito actual establece que las totalidadesinfinitas son totalidades completas, incluso sin que exista un ultimo elementoque las complete, como es el caso de la lista ordenada de los numeros naturales.Desde esta perspectiva, es posible completar una sucesion de pasos en los queno existe un ultimo paso que complete la sucesion, o incluso sin un primerpaso que la inicie, como en el caso de las sucesiones ω∗−ordenadas (vease masabajo), por ejemplo la sucesion creciente de los enteros negativos . . . , -3, -2, -1.Desde la perspectiva del infinito potencial ambas posibilidades son imposibles.Desde esta perspectiva, las unicas totalidades completas son las totalidadesfinitas. Tan grandes como se quiera, pero siempre finitas.

17 El infinito potencial (el infinito ’impropio’ ’o no genuino’, como Cantor lollamaba [40, p. 70]) nunca ha merecido la atencion de los matematicos contem-poraneos. El infinito en la definicion de Dedekind de los conjuntos infinitos es

3Un resumen de la nocion de supertarea puede verse, por ejemplo, en [154]. Vease tambien elcapıtulo sobre la Lampara de Thomson en este libro.


el infinito actual. Los infinitos elementos de un conjunto infinito existen todosa la vez, como una totalidad completa. La definicion de Dedekind esta, portanto, basado en la violacion del viejo axioma euclıdeo del todo y la parte [71].La teorıa de conjuntos se ha construido sobre esa violacion.

18 La hegemonıa del infinito actual en las matematicas contemporaneas escasi absoluta. Tan absoluta como la sumision de la fısica a las matematicas infi-nitistas. Tengo la impresion de que un numero significativo de fısicos creen quese ha demostrado formalmente la existencia de totalidades infinitas completas.Obviamente, si ese fuera el caso no serıa necesario el Axioma del Infinito paralegitimar esas totalidades (vease mas abajo). La hipotesis del infinito actual essolo una hipotesis.

19 Las tres pruebas mas influyentes sobre la existencia de totalidades infinitasactuales (las de Bolzano, Dedekind y Cantor) son ilustrativas de lo que podrıallamarse infinitismo naif. Tambien explican por que las matematicas infinitis-tas tuvieron finalmente que establecer la existencia de los conjuntos infinitosactuales en terminos axiomaticos.

20 La prueba de Bolzano es como sigue (tomada de [136, p 112]):Una verdad es la proposicion: Platon era griego. Llamese a esta proposicionp1. Pero hay otra verdad p2, a saber, que la proposicion p1 es verdadera[Pero hay otra verdad p3, a saber, que la proposicion p2 es verdadera]. Yası ad infinitum. Por lo tanto, el conjunto de las verdades es infinito.

El problema aquı es que la existencia de un proceso sin fin (p1 es verdadera,por tanto p2 es verdadera, por tanto p3 es verdadera, por tanto . . . ) de ningunamanera prueba la existencia de su resultado final como una totalidad completa.

21 La prueba de Dedekind es muy parecida (tomada de [136, p 113]):Dado algun pensamiento arbitrario s1, hay un pensamiento independientes2, a saber que s1 puede ser objeto del pensamiento [hay un pensamientoindependiente s3, a saber, que s2 puede ser objeto del pensamiento ]. Yası ad infinitum. Por tanto el conjunto de pensamientos es infinito.

El comentario anterior a la prueba de Bolzano es tambien aplicable aquı. Dede-kind dio otra prueba algo mas detallada, aunque con el mismo defecto formalque la se acaba de citar, basada en su definicion de conjunto infinito [59, p.112].

22 Y finalmente la ’prueba’ de Cantor ([95, p 25], [136, p. 117]):Cada infinito potencial presupone un infinito actual.

O bien ([38, p. 404] traduccion inglesa [164, p. 3]):... en verdad el infinito potencial tiene solo una realidad prestada [derivada],en tanto que como tal concepto de infinito potencial siempre senala a unconcepto previo y superior de infinito actual, de cuya existencia depende.

Queda claro ahora por que la existencia de un conjunto infinito actual tuvoque ser finalmente establecida por medio de un axioma.

El axioma del infinito —— 11

El axioma del infinito23 Nada en la naturaleza parece ser realmente infinito. Hasta ahora, todas lascosas que hemos sido capaces de observar y medir han sido finitas. Veintisietesiglos de discusiones, por otra arte, no fueron suficientes para probar la existen-cia de infinitos actuales. De modo que, finalmente, los infinitistas no tuvieronmas remedio que declarar su existencia en terminos axiomaticos mediante elllamado Axioma del Infinito, uno de los axiomas fundacionales en todas lasteorıas axiomaticas de conjuntos (vease mas abajo). La teorıa de conjuntos esentonces la puerta de entrada del infinito en las matematicas contemporaneas.

24 Puesto que los conjuntos estaran presentes en casi todos nuestros argu-mentos, parece conveniente hacer la siguiente consideracion sobre las diferentesformas en las que un elemento puede pertenecer a un conjunto. Solemos asumirque un determinado elemento pertenece o no pertenece a un conjunto deter-minado, aunque tambien podrıamos considerar los llamados conjuntos difusos[205], [64], cuyos elementos pueden tener diferentes grados de pertenencia. Eneste libro, sin embargo, trataremos exclusivamente con la pertenencia completa,i.e con conjuntos cuyos elementos le pertenecen de forma completa.

25 Dicho lo cual, recordemos que el Axioma del Infinito establece:

∃N(∅ ∈ N ∧ ∀x ∈ N(x ∪ {x} ∈ N)) (3)

que se lee: existe un conjunto N tal que ∅ pertenece a N y para todo elementox de N el elemento x ∪ {x} tambien pertenece a N . De una forma menosabstracta tambien se podrıa escribir:

∃N(0 ∈ N ∧ ∀x ∈ N(s(x) ∈ N)) (4)

donde s(x) es el sucesor de x. En terminos aritmeticos podrıamos escribir:

s(0) = 1; s(1) = 2; s(2) = 3; . . . (5)

De modo que, puesto en terminos informales, el Axioma del Infinito dice: existeun conjunto infinito numerable, donde numerable significa que se puede poneren correspondencia uno a uno con el conjunto N = {1, 2, 3 . . . } de los nume-ros naturales,4 e infinito significa infinito actual: todos los elementos de eseconjunto existen en el acto.

26 Por innecesario que pueda parecer, debemos recordar que un axioma essolo un axioma. Es decir, un enunciado que se puede aceptar o rechazar. Aun-que la eleccion tendra consecuencias significativas en la teorıa resultante. En elcaso de la hipotesis del infinito actual algunos autores relevantes como Kronec-ker, Poincare, Brouwer, Wittgenstein, Kleene, entre otros, la rechazaron. Otracosa es la crıtica contra el infinito actual una vez que la teorıa de conjuntosquedo axiomaticamente establecida y formalmente desarrollada. Esa crıtica ha

4De dos conjuntos que se pueden poner en correspondencia uno a uno se dice que son equipo-tentes.


sido basicamente inexistente durante los ultimos sesenta anos, y los pocos in-tentos que se hicieron fueron siempre ingenuos y frecuentemente basados enconcepciones equivocadas de los numeros transfinitos.

Cardinales y ordinales27 Por la misma razon que necesitamos axiomas y leyes fundamentales enla ciencia,5 tambien necesitamos conceptos primitivos en el lenguaje, es decir,conceptos que no pueden ser definidos en terminos de otros conceptos, sincaer en definiciones circulares (los diccionarios son finitos). La mayorıa de losconceptos matematicos basicos pertenecen a esta categorıa: numero, punto,lınea, plano, conjunto, y algunos otros. Por lo tanto, decir que el cardinal deun conjunto es el numero de sus elementos es no decir nada. No obstante, todoel mundo sabe lo que queremos decir cuando decimos que el conjunto {a, b, c}tiene tres elementos, o que su cardinal es tres. Incluso lo que queremos decircuando decimos que el cardinal de un conjunto numerable, como el conjuntoN de los numeros naturales, es ℵo ( Alef-cero).

28 Aunque en terminos informales, diremos que el cardinal C de un conjuntoX es el numero de sus elementos; en sımbolos C = |X|. Por razones obvias,los cardinales de los conjuntos finitos se llaman finitos, y los cardinales de con-juntos infinitos se denominan infinitos. Aunque no lo haremos aquı, se puededemostrar facilmente que el numero de subconjuntos de un conjunto cuyo car-dinal es C, es precisamente 2C (incluyendo el propio conjunto y el conjuntovacıo).

29 Cantor dio por sentada la existencia de la totalidad de los cardinales finitos(numeros naturales) [39, pgs. 103-104]:

El primer ejemplo de un agregado transfinito viene dado por la totalidad delos numeros cardinales finitos v; llamamos a su numero cardinal ’Alef-cero’denotado por ℵo, definimos pues:

ℵo = {v}

donde {v} es la notacion de Cantor para el cardinal del conjunto {v} de todoslos cardinales finitos (|N| en notacion moderna). Obviamente ℵo es un cardi-nal infinito. Cantor demostro que es el menor cardinal mayor que todos loscardinales finitos [39, § 6].

30 los sucesivos numeros naturales 1, 2, 3, . . . se pueden definir como los car-dinales de los sucesivos conjuntos finitos de la sucesion de conjuntos S = {0},{0, 1}, {0, 1, 2}, . . . , o como los cardinales de cualquier sucesion de conjuntosfinitos cuyos sucesivos terminos sean equipotentes con los sucesivos terminos deS (vease la definicion operacional de Von Neumann de los numeros naturalesen el Apendice B). Los numeros naturales se pueden seguir usando en termi-

5La aristotelica regresion infinita de argumentos [9].

Cardinales y ordinales —— 13

nos informales como los numeros de contar 1, 2, 3,. . . Al fin y al cabo decimosque el cardinal finito de un conjunto es n despues de contar sus elementos, odespues de emparejarlos con los elementos de un conjunto que han sido pre-viamente contados, o sucesivamente considerados de alguna manera, o inclusoaritmeticamente calculados o procesados.

31 Todos los conjuntos numerables, por otra parte, tienen el mismo cardinalℵo. Ası, como ya se ha indicado, el cardinal del conjunto N de los numerosnaturales es ℵo. El cardinal del conjunto potencia P (N), el conjunto de todoslos subconjuntos de N (incluyendo N y el conjunto vacıo), no es ℵo sino 2ℵo ,que es tambien el cardinal del conjunto R de los numeros reales. El cardinal del

conjunto P (P (N)) de todos los subconjuntos de P (N) no es 2ℵo sino 22ℵo. Lo

mismo vale para el conjunto P (P (P (N))) de todos los subconjuntos de P (P (N))y ası sucesivamente. Tenemos entonces una sucesion creciente de cardinalesinfinitos:

ℵo < 2ℵo < 22ℵo

< 222ℵo

< . . . (6)

En este libro trataremos exclusivamente con ℵo, excepto en un pequeno nume-ro de argumentos en el que aparecera el cardinal 2ℵo , llamado potencia delcontinuo.

32 Los numeros ordinales son algo mas sutiles. Un ordinal es el tipo de or-den de un conjunto bien ordenado.6 Todos los conjuntos finitos con el mismonumero de elementos tienen el mismo ordinal, por ejemplo, el ordinal del con-junto {a, b, c} es el mismo que el ordinal del conjunto {2, 3, 1} debido a quesus elementos solo pueden ordenarse como primero, segundo y tercero (inde-pendientemente de que elemento es el primero, el segundo y el tercero). Y lomismo se aplica a cualquier conjunto finito de n elementos. Los cardinales y or-dinales de los sucesivos conjuntos finitos estan representados por los siguientesnumerales (sımbolos):

{} : Cardinal 0 Ordinal 0{0} : Cardinal 1 Ordinal 1

{0, 1} : Cardinal 2 Ordinal 2{0, 1, 2} : Cardinal 3 Ordinal 3

......

...

Esta es una caracterıstica importante de los conjuntos finitos: tienen un solocardinal y un solo ordinal, y usamos el mismo sımbolo (numeral) para ambos.De acuerdo con la terminologıa de Cantor los ordinales finitos son llamadosordinales de la primera clase.

33 Las cosas son muy diferentes con los conjuntos infinitos. Todos los con-juntos numerables, por ejemplo, tienen el mismo cardinal ℵo, pero pueden ser

6Un conjunto con una relacion de orden total entre sus elementos y de tal manera que todossus subconjuntos tiene un primer elemento.


bien-ordenados de infinitas maneras diferentes:

{1, 2, 3, . . . } Ordinal ω{2, 3, 4, . . . 1} Ordinal ω + 1

{3, 4, 5, . . . 1, 2} Ordinal ω + 2{1, 3, 5, . . . 2, 4, 6, . . . } Ordinal ω2

{1, 4, 7, . . . , 2, 5, 8, . . . 3, 6, 9 . . . } Ordinal ω3...

...

siendo ω < ω + 1 < ω + 2 < . . .< ω2 < ω2 + 1 < . . .< ω3 < . . .

34 Los numeros ordinales de los conjuntos numerables se denominan ordinalesde la segunda clase. Hay dos tipos de numeros ordinales de la segunda clase:

1. Ordinales de la primera especie: ordinales α que tienen un predecesorinmediato α′ tal que α = α′ + 1, donde ’1’ es el primer ordinal finito.Todos los ordinales de la primera especie pueden escribirse, por tanto, enla forma α+ n, siendo α infinito y n finito.

2. Ordinales de la segunda especie: estos ordinales son lımites de sucesionesinfinitas de ordinales finitos o de ordinales infinitos de la primera especie.Por ejemplo:

ω = lımn(n); n = 1, 2, 3, . . . (7)

ω2 = lımn(ω + n); n = 1, 2, 3, . . . (8)

ω7 = lımn(ω6 + n); n = 1, 2, 3, . . . (9)

Casi todos los argumentos de este libro seran argumentos sobre ω, el primerordinal de la segunda clase, segunda especie; el mas pequeno de los numerosordinales infinitos.

35 Por claridad y sencillez, en el resto del libro, diremos que un conjunto,o una sucesion, es α-ordenada para expresar que se trata de un conjunto (osucesion) bien ordenado, cuyo ordinal es α, siendo α algun ordinal transfinito,que casi siempre sera ω.

36 Los ordinales de la segunda clase definen un conjunto nuevo: el conjuntode todos los ordinales de la segunda clase (o conjunto de todos los ordinalescuyos conjuntos tienen el mismo cardinal ℵo), cuyo cardinal es ℵ1 [39, Teorema16-F]. A su vez, el conjunto de todos los ordinales cuyos conjuntos tienen elmismo cardinal ℵ1 es otro conjunto cuyo cardinal es ℵ2. El conjunto de todoslos ordinales cuyos conjuntos tienen el mismo cardinal ℵ2 es otro conjunto cuyocardinal es ℵ3. Y ası sucesivamente. De acuerdo con Cantor, existen entoncesdos sucesiones crecientes de cardinales infinitos:

ℵo < 2ℵo < 22ℵo

< 222ℵo

< . . . (Sucesion de las potencias)

Cardinales y ordinales —— 15

ℵo < ℵ1 < ℵ2 < ℵ3 < . . . (Sucesion de los alefs)

La famosa (y aun no resuelta) hipotesis del continuum afirma: ℵ1 = 2ℵo . Laversion generalizada afirma que, para todo i, el i-esimo termino de la prime-ra sucesion es igual al i-esimo termino de la segunda. Afortunadamente notendremos que abordar esa cuestion en este libro.

37 Obviamente esto no es mas que una breve y esquematica introducciona la teorıa de Cantor de los numeros transfinitos [39]. Pero es todo lo quenecesitamos saber para seguir los argumentos de este libro. Como se senalo an-teriormente, nuestra atencion se centrara de forma casi exclusiva en los objetosω−ordenados (conjuntos y sucesiones), es decir en objetos cuyos elementos seordenan de la misma manera que los numeros naturales en su orden naturalde precedencia. Objetos como, por ejemplo, la sucesion a1 a2 a3, . . . Este tipode orden (ω−orden de ahora en adelante) se caracteriza por:

1. Existe un primer elemento a1.

2. Cada elemento an tiene un predecesor inmediato an−1, excepto el primeroa1.

3. Cada elemento an tiene un sucesor inmediato an+1.

4. No existe ultimo elemento, a pesar de lo cual los objetos ω−ordenados seconsideran totalidades completas.

38 Ocasionalmente, tambien trataremos con objetos ω∗−ordenados, objetoscuyos elementos se ordenan de la misma forma que la sucesion creciente delos numeros enteros negativos: . . . , -3, -2, -1. Este tipo de orden usaremos lanotacion an∗ para referirnos al n-esimo elemento por la cola. El ω∗−orden secaracteriza por:

1. Existe un ultimo elemento a1∗.

2. Cada elemento an∗ tiene un sucesor inmediato a(n−1)∗, excepto el ultimoa1∗.

3. Cada elemento an∗ tiene un predecesor inmediato a(n+1)∗.

4. No existe primer elemento, a pesar de lo cual los objetos ω∗−ordenadosse consideran totalidades completas.

39 Como ya se ha indicado, todos los numeros transfinitos (cardinales y or-dinales) se basan en la suposicion de que existe un conjunto numerable ω−or-denado. Por eso, casi todos los argumentos que siguen se ocuparan unicamentede objetos ω−ordenados. Si se demostrara que esa hipotesis infinitista es in-consistente, todo el edificio de las matematicas transfinitas se vendrıa abajocomo un castillo de naipes.

4.-Reinterpretacion de las paradojas de la reflexividad

Introduccion40 Si despues de emparejar cada elemento de un conjunto A con un elementodiferente de otro conjunto B todos los elementos de B resultan emparejados,decimos que ambos conjuntos tienen la misma cardinalidad (el mismo numerode elementos). Pero si uno o mas elementos de B resultan no emparejados yB es infinito, no se nos permite afirmar que ambos conjuntos tienen diferentecardinalidad. En este capıtulo se discute por que no se nos permite hacerlo.Como veremos, la existencia de inyecciones1 exhaustivas y no exhaustivas entredos conjuntos infinitos podrıa estar indicando que ambos conjuntos tienen yno tienen la misma cardinalidad. Ası, la distincion arbitraria de las inyeccionesexhaustivas en detrimento de las no exhaustivas podrıa estar ocultando unacontradiccion fundamental en la teorıa de conjuntos.

41 La mayorıa de las paradojas relacionadas con el infinito resultan de laviolacion del Axioma euclıdeo del Todo y la Parte,2 entre ellas las llamadasparadojas de la reflexividad, en las que los elementos de un todo son empa-rejados con los de una de sus partes propias.3 La paradoja de Galileo4 es unejemplo muy conocido de paradoja reflexiva. Autores como Proclus, J. Filopon,Thabit ibn Qurra al-Harani, R. Grosseteste, G. de Rimini, W. of Ockham etc.encontraron otros muchos ejemplos [171].

42 La estrategia de emparejar los elementos de dos conjuntos no es precisa-mente una invencion moderna, Aristoteles ya la uso para tratar de resolver laDicotomıa de Zenon (en sus dos variantes).5 Y desde entonces ha sido usada deforma extensiva por numerosos autores con diferentes propositos discursivos,aunque antes de Dedekind y Cantor (incluyendo el caso de Bolzano [25]) nunca

1Una inyeccion es una correspondencia entre los elementos de dos conjuntos A y B de talmanera que todos y cada uno de los elementos de A se emparejan con un elemento diferentede B.

2La hipotesis de que el todo es mas que la parte es una de las nociones comunes que aparecenen el primer libro de los Elementos de Euclides [71, pag. 19].

3[171], [62].4Los elementos del conjunto de los numeros naturales se pueden emparejar con los elementosde uno de sus subconjuntos propios: el subconjunto de sus cuadrados: 1 ↔ 12, 2 ↔ 22, 3 ↔ 32,4 ↔ 42, 5 ↔ 52. . . [78].

5Aristoteles acabo rechazando el metodo de los emparejamientos, proponiendo la distincionentre infinito potencial e infinito actual [11], [10].

17

18 —— Reinterpretacion de las paradojas de la reflexividad

se usaron como un instrumento para consumar la violacion del viejo axiomaeuclıdeo. Por supuesto, la existencia de una biyeccion entre dos conjuntos infi-nitos no prueba que ambos conjuntos sean infinitos actuales, porque tambienpodrıan ser infinitos potenciales.

43 Las cosas empezaron a cambiar con Dedekind, que establecio la definicionde conjunto infinito precisamente sobre la base de esa violacion: un conjuntoes infinito si sus elementos se pueden emparejar con los elementos de algunode sus subconjuntos propios [59]. Dedekind y Cantor inauguraron el llamadoparaıso del infinito actual, en el que las inyecciones exhaustivas (biyecciones ocorrespondencias uno a uno) juegan un papel capital.

¿Paradojas o contradicciones?44 Una inyeccion exhaustiva entre dos conjuntos A y B es una correspon-dencia entre los elementos de ambos conjuntos en la cual cada elemento de Aqueda emparejado con un elemento diferente de B, y todos los elementos deA y B resultan emparejados. Cuando al menos un elemento de B resulta noemparejado la inyeccion se llama no exhaustiva. Las inyecciones exhaustivas yno exhaustivas pueden usarse para comparar la cardinalidad de los conjuntosfinitos. Pero si los conjuntos comparados son infinitos entonces solo se permitenlas inyecciones exhaustivas. Ninguna razon ha sido dada nunca para justificaresa arbitraria distincion (vease mas abajo 47-50) salvo que, por definicion, losconjuntos infinitos violan el axioma euclıdeo.

45 Pero, puesto que las definiciones tambien pueden ser inconsistentes,6 losconjuntos infinitos podrıan haber sido definidos de manera inconsistente sobrela base de uno de los terminos de una contradiccion: existe una inyeccion ex-haustiva entre un conjunto infinito y una de sus subconjuntos propios. La otraparte de la contradiccion serıa: existe una inyeccion no exhaustiva entre el con-junto y el mismo subconjunto propio. Nadie ha explicado nunca por que teneruna inyeccion exhaustiva con un subconjunto propio y al mismo tiempo teneruna inyeccion no exhaustiva con el mismo subconjunto propio no es contradic-torio. Simplemente se ha ignorado el problema y sobre la base de esa ignoranciase ha construido la teorıa de conjuntos.

46 Si la nocion de conjunto es primitiva (como parece ser) entonces solopodrıamos realizar definiciones operativas de conjunto. Y si los conjuntos pue-den tener diferentes cardinalidades, deberıamos establecer un metodo basicoadecuado para comparar cardinalidades antes de definir los tipos de conjuntosque podrıan definirse en funcion de sus cardinales, especialmente si el meto-do de comparacion forma parte de la propia definicion, como es el caso de ladefinicion de conjunto infinito. Emparejar los elementos de dos conjuntos es elunico metodo conocido para lograr este objetivo, antes de poder definir cual-

6Especialmente cuando la definicion esta basada en la violacion de un axioma basico, como esel caso de la definicion de conjunto infinito de Dedekind.

¿Paradojas o contradicciones? —— 19

quier otra operacion aritmetica o conjuntista. Es en este nivel fundamental dela teorıa de conjuntos donde vamos a discutir si las inyecciones exhaustivas yno exhaustivas son metodos apropiadas para sacar conclusiones sobre la car-dinalidad de dos conjuntos cualesquiera. Por lo tanto, dilucidar esta cuestiondeberıa ser un requisito necesario antes de intentar cualquier definicion queimplique cardinalidades, como la definicion de conjunto infinito.

47 Parece razonable asumir que si despues de emparejar cada elemento de unconjunto A con un elemento diferente de un conjunto B todos los elementos deB resultan emparejados, entonces A y B tienen el mismo numero de elementos.Pero tambien parece razonable asumir, y por las mismas razones elementales,que si despues de emparejar cada elemento de A con un elemento diferente deB uno o mas elementos del conjunto B quedan sin emparejar, entonces A y Bno tienen el mismo numero de elementos. Es destacable que las inyecciones ex-haustivas y las no exhaustivas hacen uso del mismo metodo basico de emparejarelementos, sin llevar a cabo ninguna operacion aritmetica finita o transfinita.No estamos contando sino emparejando elementos, estamos discutiendo en elnivel fundacional mas basico de la teorıa de conjuntos.

48 Conviene recordar en este punto que las singularidades aritmeticas de loscardinales infinitos como ℵo = ℵo + ℵo y cosas por el estilo, se derivan todasellas de la hipotetica existencia (Axioma del Infinito) de los conjuntos infinitos,cuyos elementos, por definicion, se pueden emparejar con los elementos dealguno de sus subconjuntos propios. Ası, y bajo pena de razonamiento circular,de la existencia deducida de esas ’peculiaridades’ aritmeticas (que podrıan serusadas para justificar la existencia de inyecciones exhaustivas y no exhaustivasentre un conjunto infinito y alguno de sus subconjuntos infinitos), no podemosinferir la existencia de los conjuntos que permiten deducir esas peculiaridadesaritmeticas de los cardinales infinitos. Aquı estamos simplemente discutiendosi el metodo de emparejar los elementos de dos conjuntos es apropiado paracomparar sus respectivas cardinalidades; y si lo es, por que las inyecciones noexhaustivas son rechazadas, porque ese rechazo podrıa estar ocultando unacontradiccion fundamental.

49 Las inyecciones exhaustivas y no exhaustivas deberıan tener la mismavalidez como instrumentos para comparar la cardinalidad de los conjuntos in-finitos porque ambas usan exactamente el mismo metodo de comparacion. Sinembargo, solo las inyecciones exhaustivas pueden usarse con ese proposito. Elproblema aquı es que la existencia de inyecciones exhaustivas y no exhausti-vas entre dos conjuntos infinitos podrıa estar indicando la existencia de unacontradiccion elemental (que ambos conjuntos tienen y no tienen la mismacardinalidad), en ese caso la distincion de las inyecciones exhaustivas serıa ladistincion de un termino de una contradiccion en detrimento del otro.

50 Como mınimo, la alternativa de considerar inconsistente a un conjuntoporque existen inyecciones exhaustivas y no exhaustivas con los elementos delmismo subconjunto propio es tan legıtima como la alternativa de considerarconsistente a ese conjunto. Como mınimo, la seleccion arbitraria de una alter-


nativa deberıa declararse explıcitamente en el nivel fundacional de la teorıa,lo que no es el caso en las actuales teorıas de conjuntos. En esas teorıas seignora sistematicamente la primera alternativa. Se podrıa argumentar que ladefinicion de Dedekind implica asumir la existencia de conjuntos para los cua-les existen inyecciones exhaustivas y no exhaustivas con al menos uno de sussubconjuntos propios, pero una simple definicion no garantiza que el objetodefinido sea consistente, y entonces la alternativa de la inconsistencia ha de sertambien considerada. La propuesta de esa consideracion es el principal objeti-vo de esta discusion. Una consideracion que, hasta donde yo se, nunca ha sidoseriamente planteada.

Figura 4.1: El sospechoso poder de la elipsis: los conjunto S y N tienen (izquierda) y notienen (derecha) el mismo numero de elemento.

51 Supongase, solo por un momento, que las inyecciones exhaustivas y noexhaustivas fueran instrumentos validos para comparar la cardinalidad de dosconjuntos cualesquiera. En esas condiciones, sea B un conjunto infinito. Pordefinicion, existe un subconjunto propio A de B y una inyeccion exhaustivaf de A en B que prueba que ambos conjuntos tienen el mismo numero deelementos. Considerese ahora la inyeccion g de A en B definida por:

g(x) = x, ∀x ∈ A (1)

que, evidentemente, no es exhaustiva (los elementos del conjunto no vacıo B-Aquedan sin emparejar). Las inyecciones f y g estarıan demostrando que A y Btienen (f) y no tienen (g) el mismo numero de elementos, i.e. que los conjuntosinfinitos son inconsistentes.

52 Hemos de decidir, por tanto, si las inyecciones exhaustivas y no exhausti-vas tienen la misma validez como instrumentos para comparar la cardinalidadde dos conjuntos cualesquiera. Si la tienen, entonces los conjuntos infinitos soninconsistentes. Si no la tienen, se deberıa dar alguna razon (no circular) paraexplicar por que no la tienen. Y si no se pude dar ninguna razon, entonces ladistincion arbitraria a favor de las inyecciones exhaustivas deberıa ser declaradaarbitrariamente por un nuevo axioma ad hoc. Hasta entonces, la fundamenta-

¿Paradojas o contradicciones? —— 21

cion de la teorıa de conjuntos descansa sobre la base de uno de los terminos deuna posible contradiccion.7

53 Como cabrıa esperar de una teorıa con tales fundamentos, las inconsisten-cias aparecieron nada mas iniciarse el desarrollo de la teorıa: se demostro queel conjunto de todos los ordinales (Burali-Forti) [28] y el conjunto de todoslos cardinales (Cantor) eran inconsistentes. Segun Cantor esos conjuntos eraninconsistentes por su excesiva infinitud.8. Se puede ser infinito, pero solo dentrode cierto lımites. Mediante las restricciones axiomaticas apropiadas, fue final-mente establecido que ciertas totalidades infinitas, como la totalidad de loscardinales o la de los ordinales, no existen porque conducen a contradicciones.Es facil probar, como se vera en el capıtulo siguiente, que en una teorıa infi-nitista e informal (sin restricciones axiomaticas) de conjuntos, como la teorıade conjuntos de Cantor, cada conjunto de cardinalidad C origina nada menosque 2C totalidades inconsistentes.

54 En el Capıtulo 18 veremos que el teorema de la reordenacion de Riemanntambien puede ser reinterpretado como una prueba de la inconsistencia de lahipotesis del infinito actual. En el resto del libro se desarrollan mas de veinteargumentos, todos ellos sugiriendo la misma conclusion.

7Por increıble que pueda parecer, la fundamentacion axiomatica de la teorıa de conjuntos haignorado siempre este problema.

8Carta a Dedekind citada en [56, pag. 245], [79], [75].

5.-Extension de la Paradoja de Cantor

Introduccion55 La paradoja de Cantor no es una paradoja sino una verdadera inconsis-tencia relacionada con el conjunto de todos los cardinales. Por esta razon, eseconjunto se rechaza de manera explıcita en las modernas teorıas axiomaticasde conjuntos. La siguiente discusion demuestra, sin embargo, que no solo elconjunto de todos los cardinales es inconsistente, prueba que en la teorıa infor-mal de conjuntos de Cantor (naive set theory) cada conjunto de cardinalidadC origina por lo menos 2C conjuntos inconsistentes (cada uno de sus subcon-juntos origina una totalidad inconsistente en ese marco no axiomatizado de lateorıa primitiva de conjuntos).

56 Aunque Burali-Forti fue el primero en publicar [27], [79] la prueba de unainconsistencia derivada de la existencia de un conjunto infinito, Cantor fue elprimero en descubrir una de esas inconsistencias infinitistas: la paradoja delmaximo cardinal [79], [56]. No hay acuerdo sobre la fecha en la que Cantordescubrio su paradoja [79] (el rango de fechas propuesto va desde 1883 [156] a1896 [87]). La paradoja (inconsistencia) de Burali-Forti del conjunto de todoslos ordinales y la de Cantor del conjunto de todos los cardinales estan relacio-nadas con el tamano de las totalidades consideradas, tal vez demasiado grandespara ser consistentes segun Cantor. Parece algo ironico que un conjunto infi-nito puede ser inconsistente precisamente por su excesivo tamano. Por cierto,notese el eufemismo de llamar paradoja a lo que realmente es una inconsisten-cia, es decir, un par de resultados contradictorios que seguramente derivan deuna suposicion precedente comun. ¿De que suposicion? nos podrıamos tambienpreguntar. ¿Tal vez de la hipotesis de que los conjuntos infinitos existen comototalidades completas?

57 En efecto, la explicacion mas simple para ambas paradojas es que seanrealmente inconsistencias derivadas de la hipotesis del infinito actual, es decirde asumir la existencia de conjuntos infinitos como totalidades completas. Peronadie se ha atrevido a analizar esta alternativa. Finalmente fue aceptado queexisten algunas totalidades infinitas (como la totalidad de los numeros reales)mientras que otras (como la totalidad de los cardinales, o la totalidad de losordinales, o el conjunto todos los conjuntos) no existen porque conducen acontradicciones.

23

24 —— Extension de la Paradoja de Cantor

La paradoja de Cantor58 La version mas sencilla y breve de la paradoja1 de Cantor es la siguiente:Sea a U el conjunto de todos los conjuntos, el llamado conjunto universal2 yP (U) su conjunto potencia, el conjunto de todos sus subconjuntos. Denotemospor |U | y |P (U)| sus respectivos cardinales. Siendo U el conjunto de todos losconjuntos debe contener a todos los conjuntos, podemos, pues, escribir:

|U | ≥ |P (U)| (1)

Por otra parte, y teniendo en cuenta el teorema de Cantor sobre el conjuntopotencia [35], se verifica:

|U | < |P (U)| (2)

lo que contradice (1). Esta es la inconsistencia o paradoja de Cantor.

59 Como es bien sabido, Cantor no le dio importancia [75] a su paradoja yzanjo la cuestion asumiendo la existencia de dos tipos de totalidades infinitas,las consistentes y las inconsistentes [33]. Como se indico mas arriba, en opi-nion de Cantor la inconsistencia de esas totalidades infinitas serıa debida a suexcesivo tamano. Estarıamos ante la madre de todos los infinitos, el infinitoabsoluto que, segun Cantor, conduce directamente a Dios, siendo precisamentela naturaleza divina de esa infinitud absoluta lo que la hace inconsistente paranuestras pobres mentes humanas [33].

60 Como veremos de inmediato, es posible extender la paradoja de Cantor aotros conjuntos mucho mas modestos que el conjunto de todos los conjuntos.Pero ni Cantor ni sus sucesores consideraron tal posibilidad. Lo haremos aquı.Ese es precisamente el objetivo de la discusion que sigue. Una discusion que sellevara a cabo en el marco de la teorıa informal, y por tanto no axiomatizada,de conjuntos de Cantor.

Una extension de la Paradoja de Cantor61 Puesto que los elementos de un conjunto en la teorıa informal de conjuntospueden ser conjuntos, conjuntos de conjuntos, conjuntos de conjuntos de con-juntos y ası sucesivamente, vamos a comenzar por definir la siguiente relacionbinaria R entre dos conjuntos: diremos que el conjunto A esta R-relacionadocon el conjunto B, escrito ARB, si B contiene al menos un elemento que formaparte de la definicion de al menos un elemento de A. Por ejemplo, si:

A = { {{a, {b}}}, {c}, d, {{{{e}}}}, f} (3)

B = {1, 2, b} (4)

C = {1, 2, 3} (5)

1Para un analisis detallado vease [79, pp. 66-74]. Por muy usual que pueda ser, la expresion’Paradoja de Cantor’ es como mınimo confusa, puesto que no es una paradoja sino unaverdadera contradiccion.

2La teorıa informal de conjuntos (como la teorıa de Cantor) admite conjuntos como el conjuntouniversal U que estan prohibidos en las teorıas axiomaticas modernas.

Una extension de la Paradoja de Cantor —— 25

entonces A esta R-relacionado con B porque el elemento b de B forma parte dela definicion del elemento {{a, {b}}} de A, pero A no esta R-relacionado conC porque ningun elemento de C interviene en la definicion de los elementos deA.

62 En esas condiciones sea X un conjunto cualquiera no vacıo, e Y uno desus subconjuntos. A partir de Y se define el conjunto TY de acuerdo con:

TY = {Z |¬∃V (V ∩ Y 6= ∅ ∧ ZRV )} (6)

TY es, por tanto, el conjunto de todos los conjuntos Z que no estanR-relacionadoscon conjuntos V que contengan uno o mas elementos del conjunto Y . Noteseque si Y = ∅ entonces TY es el inconsistente conjunto universal.

63 Sea ahora el conjunto P (TY ), el conjunto potencia de TY . Los elementos deP (TY ) son todos ellos subconjuntos de TY y por tanto conjuntos de conjuntosque no estan R-relacionados con conjuntos que contengan algun elemento delconjunto Y :

∀D ∈ P (TY ) : ¬∃V (V ∩ Y 6= ∅ ∧DRV ) (7)

Consecuentemente, se verifica:

∀D ∈ P (TY ) : D ∈ TY (8)

Y entonces:P (TY ) ⊆ TY (9)

Podemos, pues, escribir:|P (TY )| ≤ |TY | (10)

64 Por otro lado, y de acuerdo con el teorema de Cantor, tenemos:

|P (TY )| > |TY | (11)

Nuevamente una contradiccion. Pero ahora X es cualquier conjunto no vacıo, eY uno cualquiera de sus subconjuntos. Hemos probado, por tanto, el siguiente:

Teorema 64 (de la Paradoja de Cantor).-En la teorıa de conjuntosde Cantor, cada conjunto de cardinal C da lugar a por lo menos 2C

totalidades inconsistentes

donde 2C es el numero de subconjuntos de un conjunto con C elementos.

65 El argumento anterior no solo demuestra que el numero de totalidades infi-nitas inconsistentes es mucho mayor que el numero de las consistentes, tambiensugiere que el tamano excesivo de los conjuntos podrıa no ser la causa de la in-consistencia. Consideremos, por ejemplo, el conjunto X de todos los conjuntoscuyos elementos se definen exclusivamente por medio del numero natural 1:

X = {1, {1}, {1, {1}, {1, {1}}}, {{{1}}}, {{ 1, {1} }} . . . } (12)


Un argumento similar a 62/64 probarıa que es una totalidad inconsistente, aun-que en comparacion con el conjunto universal es una totalidad insignificante.3

66 Notese que los conjuntos como el conjunto X definido en (12) son inconsis-tentes solo cuando se los considera desde el punto de vista del infinito actual.Es decir, cuando se los considera como totalidades completas. Y recuerdeseque, desde el punto de vista del infinito potencial, estos conjuntos no tienensentido porque desde esta perspectiva las unicas totalidades completas son lastotalidades finitas, tan grandes como se quiera, pero siempre finitas.

67 Si hubieramos sabido de la existencia de tantas totalidades infinitas incon-sistentes y no necesariamente tan enormes como el infinito absoluto, tal vez lateorıa transfinita de Cantor habrıa sido recibida de una manera diferente. Talvez la nocion de infinito actual habrıa sido puesta en cuestion en terminos dela teorıa de conjuntos; y quizas habrıamos descubierto la manera de probar suinconsistencia. Pero, como sabemos, ese no fue el caso.

68 La historia de la recepcion de la teorıa de conjuntos y la manera de tratarsus inconsistencias (todas ellos derivadas de la hipotesis de infinito actual y dela autorreferencia) es bien conocida. Desde los inicios del siglo XX se ha venidorealizando un gran esfuerzo para fundar la teorıa de conjuntos sobre una baseformal libre de inconsistencias. Aunque el objetivo solo pudo alcanzarse con laayuda del adecuado parcheo axiomatico. Desde entonces se han desarrolladoal menos media docena de teorıas axiomaticas de conjuntos.4 Varios cientos depaginas son necesarios para explicar en detalle todas las restricciones axiomati-cas de las modernas teorıas axiomaticas de conjuntos. Justo lo contrario de loque cabrıa esperar de la fundamentacion axiomatica de una ciencia formal.

69 Como se senalo anteriormente, la explicacion mas simple de las incon-sistencias de Cantor y de Burali-Forti es que sean verdaderas contradiccionesderivadas de la inconsistencia de la hipotesis del infinito actual. Lo mismo seaplica al conjunto de todos los conjuntos y al el conjunto de todos los conjun-tos que no son miembros de sı mismos (paradoja de Russell), aunque en estecaso hay una causa adicional de inconsistencia relacionada con la autorreferen-cia. Todos los conjuntos involucrados en las paradojas de la teorıa informal deconjuntos fueron eliminados de la teorıa mediante las oportunas restriccionesaxiomaticas. Nadie se atrevio ni siquiera a sugerir la posibilidad de que esasparadojas fueran contradicciones derivadas de la hipotesis del infinito actual; esdecir, derivadas de asumir la existencia de conjuntos infinitos como totalidadescompletas.

70 Lo cierto es que conjunto de Cantor de todos cardinales, el conjunto deBurali-Forti de todos los ordinales, el conjunto de todos los conjuntos y el con-

3Recordemos, por ejemplo, que entre dos numeros reales cualesquiera existe un numero infinitono numerable (2ℵo) de otros numeros reales diferentes. Lo que, como seguramente se dirıaWittgenstein, llega a marear [202]

4Se han producido tambien algunos intentos contemporaneos por recuperar la teorıa informalde conjuntos [104].

Una extension de la Paradoja de Cantor —— 27

junto de Russell de todos los conjuntos que no son miembros de sı mismos, sontodos ellos totalidades inconsistentes cuando se les considera desde la perspec-tiva de la hipotesis del infinito actual. Incluso el famoso problema de la paradade Turing esta relacionada con la hipotesis del infinito actual porque tambiense asume aquı la existencia de todos los pares (programas, inputs) como unatotalidad infinita completa [192]. Bajo la hipotesis del infinito potencial, porotro lado, ninguno de esas totalidades tiene sentido porque desde esa perspec-tiva solo se pueden considerar totalidades finitas, indefinidamente extensibles,pero siempre finitas.

6.-El siguiente racional

Introduccion71 El conjunto Q de los numeros racionales, en su ordenamiento natural,esta densamente ordenado: entre cada dos numeros racionales existe un numeroinfinito de otros numeros racionales diferentes. Pero siendo numerable [31],tambien puede ser ω−ordenado: entre cada dos racionales sucesivos no existeningun otro racional. El argumento que sigue se aprovecha de esta especie deesquizofrenia numerica.

Discusion

Figura 6.1: ω -Ordenamiento de larecta racional positiva.

72 Por sencillez trataremos con el conjuntoQ+ de los racionales positivos mayores que ce-ro, que tambien es numerable y densamenteordenado. Sea entonces f una corresponden-cia biunıvoca entre el conjunto N de los nume-ros naturales y el conjunto Q+. Evidentemente,f origina un ω-ordenamiento en Q+, de modoque el conjunto de todos los racionales posi-tivos se puede escribir {q1, q2, q3, . . . }, siendoqi = f(i), ∀i ∈ N.

73 Sea ahora x una variable racional cuyodominio es el intervalo racional (0, 1) y cuyovalor inicial c es cualquier elemento de (0, 1). Considerese la siguiente sucesion〈Di(x)〉 de (re)definiciones de x:

i = 1, 2, 3, . . .

{Si |qi+1 − q1| < x entonces Di(x) : x = |qi+1 − q1|

Si |qi+1 − q1| ≥ x entonces Di(x) : x no cambia(1)

donde |qi+1 − q1| es el valor absoluto de qi+1 − q1, y ’<’ el orden denso usualde Q. Las sucesivas definiciones Di(x) definen a la variable x como |qi+1 − q1|si |qi+1 − q1| es menor que el valor actual de x, en otro caso x no cambia.

74 Las definiciones, procedimientos y pruebas de infinitos pasos sucesivos,

29

30 —— El siguiente racional

como la definicion (13), son usuales en las matematicas infinitistas (veanse,por ejemplo, el argumento de Cantor de 1874 y el argumento de la diagonalde Cantor, mas adelante en este libro). Por innecesaria que pueda parecer,impondremos a las sucesivas definiciones Di(x) la siguiente:

Restriccion 74.-Cada definicion sucesiva Di(x) se llevara a cabo si,y solo si, deja a x definida como un numero racional de su dominio(0, 1).

75 Es inmediato probar, por induccion, que para todo numero natural v, lasprimeras v definiciones sucesivas D1...v(x) se pueden realizar. Evidentementela primera definicion D1(x) se puede realizar porque deja a x definida comoel racional positivo |q2 − q1| si |q2 − q1| es menor que c, o como c si no loes, siendo el resultado de cada alternativa un elemento de su dominio (0, 1).Supongamos que, siendo n cualquier numero natural, se pueden realizar lasprimeras n definiciones sucesivas D1...n(x), lo que significa que x esta definidacon un cierto valor de su dominio (0, 1). Puesto que |qn+2 − q1| es un numeroracional positivo bien definido, sera, o no, menor que el valor racional actualde x; consecuentemente x podrıa ser definida como |qn+2 − q1| si este numeroes menor que su valor actual o mantener su valor actual si su valor actual esmenor que |qn+2−q1|. En cualquier caso quedara definida dentro de su dominio(0, 1). Por tanto, las primeras (n+1) sucesivas definiciones D1...n+1(x) tambiense puede llevar a cabo. Acabamos de probar entonces que la primera definicionD1(x) se puede realizar y que si para cualquier numero natural n las primerasn definiciones sucesivas D1...n(x) se pueden realizar, tambien se pueden rea-lizar las primeran (n + 1) definiciones sucesivas D1...n+1(x). En consecuencia,para cualquier numero natural v, es posible realizar las primeras v definicionessucesivas D1...v(x).

76 Empezaremos probando que una vez realizadas todas las posibles defini-ciones sucesivas Di(x), el numero racional q1+x no es el menor racional mayorque q1. Ası es, cualquiera que sea el valor de x una vez realizadas todas lasposibles definiciones sucesivas Di(x), el numero racional q1+0,1x, por ejemplo,es mayor que q1 y menor que q1 + x. Notese que que este argumento es unaconsecuencia del orden denso de Q+.

77 Probaremos ahora, sin embargo, que una vez realizadas todas las posiblesdefiniciones Di(x) el numero racional q1 + x es el menor racional mayor queq1. Veamos que ası ha de ser. Supongamos que mientras sea posible realizarlas sucesivas definiciones Di(x) que cumplen la Restriccion 74, esas sucesivasdefiniciones se realizan.1 Supongamos que una vez realizadas todas las posiblesdefiniciones sucesivas Di(x) el numero racional q1 + x no es el menor racionalmayor que q1. En tal caso habrıa un numero racional qv mayor que q1 y menorque q1 + x:

q1 < qv < q1 + x (2)

1Notese que si no fuera posible realizar todas las posibles definiciones sucesivas Di(x), es-tarıamos ante la contradiccion elemental de una imposible posibilidad.

Discusion —— 31

Por tanto, si restamos q1:0 < qv − q1 < x (3)

lo que es imposible porque:

1. El ındice v de qv es un numero natural.

2. De acuerdo con 75, es posible realizar las primeras v definiciones sucesivasD1...v(x).

3. Todas las posibles definiciones sucesivas Di(x) se han realizado.

4. Por tanto, al menos las primeras v definiciones sucesivas D1...v(x) se hanrealizado.

5. Como consecuencia de la (v− 1)-esima definicion Dv−1(x), podemos afir-mar que x ≤ qv − q1.

6. Es imposible entonces que x > qv − q1.

Por tanto nuestra hipotesis inicial ha de ser falsa y q1 + x es el menor racionalmayor que q1. Notese que este argumento es una consecuencia del ω−ordende Q+ inducido por la biyeccion f definida en 72, que hace posible considerarsucesivamente a todos los elementos de Q+.

78 Una vez completada la sucesion de definiciones 〈Di(x)〉, la variable defini-da x podrıa haber sido redefinida un numero infinito de veces sin una ultimadefinicion. Por esa razon es imposible conocer el valor actual de x una vezcompletada la sucesion definiciones 〈Di(x)〉. Pero, en cualquier caso, x conti-nuara siendo una variable racional cuyo dominio es (0, 1), y una que ha sidoredefinida un cierto numero de veces siempre dentro de su dominio. Por lotanto, por muy indeterminable que pueda ser su valor actual, x seguira siendouna variable racional apropiadamente definida en su dominio (0, 1). Y eso estodo lo que necesitamos para que el argumento anterior sea conclusivo.

79 En caso contrario, si despues de completar la sucesion de definiciones〈Di(x)〉, la variable racional x hubiera perdido su condicion de variable ra-cional apropiadamente definida dentro de su dominio (0, 1), tendrıamos queadmitir que la complecion de una sucesion infinita de definiciones tiene efec-tos arbitrarios adicionales sobre el objeto definido. Pero si ese fuera el caso,los mismos efectos arbitrarios adicionales se podrıan esperar de cualquier otradefinicion, procedimiento o prueba consistente en un numero infinito de pa-sos sucesivos, y entonces cualquier cosa podrıa esperarse de las matematicasinfinitistas.

80 Podrıamos incluso temporizar la sucesion de definiciones 〈Di(x)〉 realizan-do cada definicion Di(x) en el preciso instante ti de una sucesion ω−ordenaday estrictamente creciente 〈tn〉 = t1, t2, t3. . . dentro del intervalo finito (ta, tb),cuyo lımite es tb. En estas condiciones, x solo podrıa perder su condicion devariable racional apropiadamente definida en su dominio (0, 1) en el precisoinstante tb, el primer instante despues de haber completado la sucesion dedefiniciones 〈Di(x)〉. En efecto, siendo tb el lımite de 〈tn〉 tendremos:

∀t ∈ [ta, tb) : (4)

32 —— El siguiente racional

∃v : tv ≤ t < tv+1 (5)

∴ en el instante t x esta bien definida por Dv(x) (6)

y por tanto en cualquier instante t de [ta, tb) x es una variable racional biendefinida en el intervalo (0, 1). Por consiguiente, solo en el preciso instante tbpodrıa x haber perdido su condicion de variable racional apropiadamente de-finida en su dominio (0, 1). En consecuencia, tendrıamos que admitir no soloque completar una sucesion infinita de redefiniciones tiene efectos adicionalesarbitrarios sobre el objeto redefinido, sino que ademas esos efectos apareceninesperadamente despues de completar la sucesion de redefiniciones. Y lo mis-mo se aplicarıa a cualquier otra definicion, definicion recursiva, procedimientoo prueba compuesta por una sucesion infinita de pasos.

7.-La lampara de Thomson

Introduccion81 Aunque la crıtica de Benacerraf al argumento de la lampara de Thom-son esta bien fundada (vease mas abajo), queda muy lejos de ser completa.Como veremos aquı, es posible considerar una nueva lınea argumental, soloincidentalmente considerada por Benacerraf, que se basa exclusivamente en ladefinicion formal de la lampara. Esa lınea argumental conduce a un resultadocontradictorio que compromete la consistencia formal del ω−orden involucradoen todas las ω-supertareas.

Figura 7.1: Dios realzando la supertarea de Gre-gory.

82 Realizar una ω-supertarea (su-pertarea a partir de ahora) significarealizar una sucesion ω−ordenada deacciones (tareas) en un tiempo finito.Las supertareas son artefactos teori-cos de cierta utilidad en la filosofıade las matematicas, particularmenteen la discusiones formales de ciertosproblemas relacionados con el infini-to.1 Aunque sus posibilidades e im-plicaciones fısicas tambien han sidodiscutidas.2 Aquı solo trataremos consupertareas conceptuales.

83 Gregory of Rimini fue probablemente el primero en proponer como sepodrıa realizar una supertarea ([136], p. 53):

Si Dios quisiera hacer crecer una piedra anadiendole sucesivos metros cubi-cos de piedra -lo que el sı puede hacer- podrıa crear una piedra infinitamen-te grande. Para ello solo necesita agregar un pie cubico en algun instante,otro pie cubico media hora mas tarde, otro un cuarto de hora mas tarde, yası sucesivamente ad infinitum. Entonces tendrıa ante el una piedra infinitaal final de una hora.

1[191], [26], [48], [154], [18], [200], [154]2[149], [150], [154], [165], [92], [94], [93], [150], [151], [152], [68], [153], [143], [5], [6], [155] [200],[103], [66], [67], [143], [65], [174]

33

34 —— La lampara de Thomson

Pero el termino ’supertarea’ fue introducido por J. F. Thomson en su seminalartıculo de 1954 [191]. El artıculo de Thomson fue motivado por el argumentode Black [23] sobre la imposibilidad de realizar infinitas acciones sucesivas y porlas subsiguientes discusiones sobre ese argumento realizadas por R. Taylor [190]y J. Watling [198]. En su artıculo, Thomson intento probar la imposibilidadde realizar supertareas. El argumento de Thomson fue, a su vez, criticado enotro artıculo seminal, en este caso de P. Benacerraf [17]. El exito de la crıticade Benacerraf finalmente motivo la creacion de una nueva teorıa infinitistaindependiente de la teorıa de conjuntos: la teorıa de supertareas.

84 Las posibilidades de realizar una infinidad no contable de acciones fue-ron examinadas, y descartadas, por P. Clark y S. Read [48]. Las supertareashan sido tambien consideradas desde la perspectiva del analisis no estandar,3

aunque las posibilidades de realizar una hipertarea durante un intervalo hi-perreal de tiempo no han sido discutidas, a pesar de que los intervalos finitoshiperreales se pueden dividir en una infinidad hipercontable de intervalos infi-nitesimales (particiones hiperfinitas).4 Pero la mayorıa de las supertareas sonω -supertareas, i.e. sucesiones ω−ordenadas de acciones realizadas durante unintervalo finito (o percibido como finito) de tiempo.

85 La idea basica de la crıtica Benacerraf contra el argumento de Thomsones la imposibilidad de derivar consecuencias formales sobre el estado final dela supermaquina que realiza la supertarea, a partir de la sucesion de estadosque la maquina atraviesa como consecuencia de la ejecucion de la supertarea.Pero, como veremos, el analisis de Benacerraf del argumento de la lampara deThomson es incompleto.

86 En efecto, si el mundo continua siendo el mismo mundo que era antes dela ejecucion de una supertarea, y si se sigue permitiendo pensar en terminosracionales en el mismo marco de las leyes de la logica, entonces el argumentode Thomson se pueden reorientar hacia la definicion formal de la maquina querealiza la supertarea. Una definicion que no depende del numero de tareas rea-lizadas con esa maquina, una definicion que, por consiguiente, tiene la mismavalidez antes durante y despues de realizar la supertarea, siempre que la ejecu-cion de una supertarea no cambie de forma arbitraria una definicion legıtimapreviamente establecida.

La lampara de Thomson87 Como hizo Thomson en 1954, en la siguiente discusion usaremos una deesas:

... lamparas de lectura que tienen un boton en la base. Si la lampara esta apagaday se presione el boton, la lampara se enciende, y si la lampara esta encendida yse presione su boton la lampara se apaga. ([191], p. 5).

Completemos la definicion con las dos siguientes condiciones sobre el funcio-namiento teorico de la lampara:

3[131], [130], [4], [119]4[187], [84], [107], [99], etc.

La lampara de Thomson —— 35

1. La lampara de Thomson solo tiene dos estados: on/off

2. El estado de la lampara (encendida/apagada) cambia si, y solo si, se pulsasu boton.

3. Cada cambio de estado tiene lugar en un determinado y preciso instante.

4. La pulsacion del boton y el correspondiente cambio de estado (encendi-da/apagada) de la lampara son sucesos instantaneos y simultaneos.

Figura 7.2: La lamparade Thomson.

88 Supongamos ahora que se pulsa el boton de la lampa-ra en cada uno de los infinitos instantes sucesivos ti, ysolo en ellos, de una sucesion estrictamente creciente yω−ordenada de instantes 〈tn〉 definidos dentro de un in-tervalo finito de tiempo (ta, tb), siendo tb el lımite de lasucesion 〈tn〉. En el instante tb se habra completado unasucesion ω−ordenada 〈pn〉 de pulsaciones del boton de lalampara (cada pulsacion pi ejecutada en el instante ti), ypor tanto se habra completado una sucesion ω−ordenada de cambios de esta-do de la lampara. O con otras palabras, en el instante tb se habra completadola supertarea de Thomson. Recuerdese que esto es un argumento puramenteconceptual, de modo que no nos preocupan los detalles fısicos.

89 Thomson intento derivar una contradiccion de su supertarea especulandosobre el estado final de la lampara en el instante tb en terminos de la sucesionde pulsaciones del boton de la lampara completada a lo largo de la supertarea([191], p. 5):

[La lampara] no puede estar encendida, porque nunca la encendı sin volverlaa apagar. No puede estar apagada porque la encendı la primera vez y luegonunca la apague sin volverla a encender. Pero la lampara debe estar oencendida o apagada. Esto es una contradiccion.

90 Es importante senalar que Thomson baso su argumento en la sucesionde acciones llevadas a cabo con la lampara: nunca fue encendida sin apagarladespues, y viceversa. Lo que Thomson intentaba hacer es derivar el estadofinal de la lampara, el estado de la lampara en el instante tb, de la sucesionde estados sufridos por la lampara durante la supertarea: la razon por la quela lampara no puede estar encendida es porque siempre fue apagada despuesde encenderla. Y por la misma razon no puede estar apagada. Esta manera deargumentar fue severamente criticada por Benacerraf.

91 La crıtica de Benacerraf al argumento de Thomson es la siguiente: ([17],p. 768):

Las unicas razones que Thomson da para suponer que su lampara no es-tara apagada en el instante tb [= 1 p.m.] valen solo para los instantesde tiempo anteriores a tb. Simplemente, las instrucciones de Thomson nocubren el estado de la lampara en el instante tb, aunque nos dicen cualdebera ser su estado en cada uno de los instantes entre ta y tb (incluyendota). Ciertamente, la lampara debe estar encendida o apagada (siempre queno haya desaparecido en una bocanada de humo metafısico), pero nada delo que se nos dice implica cual ha de ser ese estado. El argumento de que


no puede estar en ninguno de ellos no viene al caso. Suponer que sı viene essuponer que una descripcion del estado fısico de la lampara en el instantetb (con respecto a la propiedad de estar encendida o apagada) es una con-secuencia logica de la descripcion de su estado (con respecto a la mismapropiedad) en instantes anteriores a tb.(ta y tb aparecen respectivamentecomo t0 y t1 en el artıculo de Benacerraf).

92 En resumen, segun Benacerraf, el problema planteado por Thomson noesta suficientemente descrito porque nada se indica sobre lo que sucede entb [3]. Pero lo unico que ha de ocurrir en tb es que la lampara de Thomsonsiga siendo la lampara de Thomson. O con otras palabras, que la ejecucion deuna supertarea no cambie las definiciones formales de los artefactos teoricosimplicados en ella. Como veremos, el estado de la lampara en el instante tb noes una ’consecuencia logica de la descripcion de su estado (con respecto a lamisma propiedad) en instantes anteriores a tb,’ es una consecuencia logica deser una lampara de Thomson. Esa sera la clave de la argumentacion que sigue.

93 Considerese el instante tb, el lımite de la sucesion 〈tn〉 de instantes en losque se llevan a cabo la sucesion de pulsaciones 〈pn〉 del boton de la lampara queconstituyen la supertarea. Ese instante es, por tanto, el primer instante despuesde completar la sucesion de encendidos y apagados de la lampara. El primerinstante en el que ya no se pulsa el boton de la lampara. Sea ahora Sb el estadode la lampara en el instante tb. Siendo el estado de una lampara de Thomson,solo puede ser encendida o apagada. Y esta conclusion no tiene nada que vercon el numero de encendidos/apagados que previamente se hayan llevado acabo. La lampara estara encendida o apagada porque, siendo una lampara deThomson, solo tiene esos dos estados.

94 Algunos infinitistas afirman, sin embargo, que en tb, despues de realizarla supertarea de Thomson, la lampara puede estar en cualquier estado des-conocido, incluso en un estado exotico. Pero una lampara que puede estar enun estado desconocido no es lampara de Thomson: los unicos estados posiblesde una lampara de Thomson son encendida y apagada. No hay otra alterna-tiva sin violar arbitrariamente la legıtima definicion formal de la lampara deThomson. Y suponemos que ninguna teorıa formal esta autorizada a violararbitrariamente una definicion formal, ni, obviamente, a cambiar de forma ar-bitraria la naturaleza del mundo. Ni que decir tiene que si ese fuera el caso,cualquier cosa se podrıa esperar de esa teorıa formal.

95 Otros piensan que el estado Sb es la consecuencia de completar la sucesionω−ordenada de pulsaciones 〈pn〉 del boton de la lampara, puesto que esa suce-sion de pulsaciones, y solo ella, se ha realizado. Pero si completar la sucesion depulsaciones 〈pn〉 significa realizar todas y cada una de las infinitas pulsacionessucesivas pi, y solo ellas, entonces tenemos un problema. El problema de queninguna pulsacion pi de 〈pn〉 origina Sb. Ninguna. Ası es, si pv es una pulsacioncualquiera de 〈pn〉, pv no puede ser la causa de Sb porque en tal caso el botonde la lampara se habrıa pulsado solo un numero finito v de veces. O en otrospalabras, si quitamos de 〈pn〉 todas las pulsaciones que no originan Sb, entonces

La lampara de Thomson —— 37

las quitarıamos a todas.

96 En esas condiciones, ¿como puede decirse que la complecion de la sucesionde pulsaciones 〈pn〉, ninguno de cuyos elementos origina Sb, origina precisamen-te Sb? ¿Es la complecion de la sucesion de pulsaciones una pulsacion adicionaldiferente a todos los elementos de 〈pn〉? Si ese fuera el caso, la sucesion depulsaciones realizadas serıa (ω + 1)-ordenada en lugar de ω−ordenada , perolas ω-supertareas son ω−ordenadas, no (ω + 1)-ordenadas.

97 En este punto algunos infinitistas proclaman que la lampara podrıa estaren el estado Sb por razones desconocidas. Pero, una vez mas, esa conclusionviola la definicion formal de la lampara: la lampara de Thomson cambia deestado exclusivamente pulsando su boton, haciendo clic en su boton. Por loque una lampara que cambia de estado por razones desconocidas no es, pordefinicion, una lampara de Thomson.

98 En cualquier caso, la pregunta relevante sobre el estado Sb es: ¿en que ins-tante adquiere la lampara de Thomson el estado Sb? Es inmediato demostrarque ese instante solo puede ser el preciso instante tb. En efecto, sabemos que lalampara esta en el estado Sb en el instante tb, pero supongamos que la lamparaadquiere el estado Sb en un instante cualquiera t anterior a tb. Puesto que tbes el lımite de la sucesion 〈tn〉, tendremos:

∃v : tv ≤ t < tv+1 (1)

lo que significa que en el instante t se han realizado solo un numero finito v depulsaciones. Por lo tanto, y teniendo en cuenta que t es un instante cualquieradel intervalo (ta, tb), el instante preciso en el que se origina Sb no perteneceal intervalo (ta, tb). En consecuencia, y siendo Sb el estado de la lampara deThomson en el preciso instante tb, el estado Sb solo puede originarse en elpreciso instante tb.

99 Pero tb no es el instante en que se completa la sucesion de pulsaciones; tb esel primer instante despues de completar esa sucesion. En realidad no existe uninstante en el que se completa la sucesion de pulsaciones5 porque esa sucesiones ω−ordenada y las sucesiones ω−ordenadas no tienen ultimo elemento. Entb la sucesion 〈pn〉 de pulsaciones, y por tanto la sucesion 〈Sn〉 de cambios deestado de la lampara, ya han sido completadas. En tb no se pulsa el boton dela lampara. En tb no ocurre nada que pueda producir un cambio estado de lalampara.

100 No tiene sentido discutir sobre el ultimo termino de una sucesion ω−or-denada sencillamente porque no existe el ultimo termino de una sucesion ω−or-denada. Por el contrario, siempre podremos argumentar sobre el lımite de esasucesion, que es un objeto bien definido aunque no forme parte de la sucesion.Del mismo modo, mientras que no tiene sentido discutir sobre el ultimo instante

5Lo que anade un problema adicional: ¿como es posible completar una sucesion de accionesen el intervalo (ta, tb) si no se puede completar en ninguno de los instantes de (ta, tb)?


en el que se pulso el boton de la lampara de Thomson, el instante tb esta llenode significado: es el lımite de la sucesion de instantes en los que se ejecutan lassucesivas pulsaciones del boton de lampara de Thomson. Es el primer instantedespues de completar la sucesion de pulsaciones del boton de la lampara deThomson; es el primer instante en el que ya no se pulsa el boton de la lampara.

101 De acuerdo con 98-100, no puede afirmarse que Sb resulte de completarla sucesion 〈pn〉 de pulsaciones: la lampara de Thomson adquiere el estado Sb

justo en el instante tb, pero en el instante tb ya se ha completado la sucesion depulsaciones; tb es posterior a la finalizacion de la sucesion de pulsaciones. Lalampara de Thomson adquiere el estado Sb en el preciso instante tb, pero nadaocurre en el preciso instante tb para que la lampara adquiera el estado Sb:

1. En el instante tb la sucesion de pulsaciones ya ha concluido.

2. En el instante tb no se pulsa el boton de la lampara.

Sb es entonces un estado imposible, es la consecuencia de suponer que se puedecompletar una sucesion incompletable de acciones, incompletable en el sentidode que no existe un ultimo elemento que complete la sucesion.

102 El hecho de que se puedan emparejar uno a uno los elementos de dossucesiones incompletables, como en el caso de las sucesiones anteriores de clics yde instantes, no prueba que ambas sucesiones existan como totalidades infinitascompletas: podrıan ser potencialmente infinitas. La posibilidad de emparejarlos elementos de dos totalidades imposibles, no las hace posibles.

103 En este punto, todo lo que uno puede esperar de los infinitistas es serdeclarado incompetente para entender el significado de la frase: ’el estado de lalampara en tb es el resultado de completar la sucesion ω−ordenada de pulsacio-nes 〈pn〉, un resultado que se manifiesta por primera vez en tb’. Pero, esperenun momento, ¿no es Sb el resultado de una pulsacion del boton de la lampara?No olvide que lampara de Thomson solo puede cambiar su estado si usted pulsasu boton, si hace clic con el. Y que ambos sucesos, la pulsacion del boton y elcorrespondiente cambio de estado, son sucesos instantaneos y simultaneos pordefinicion.

104 Entonces, si Sb aparece por primera vez en el preciso instante tb y en tbno se pulsa el boton de la lampara ¿que origina Sb? ¿de donde viene Sb?

105 En definitiva, Sb se ha de originar necesariamente en el instante tb, delo contrario solo un numero finito de pulsaciones se habrıan realizado, segun98-100. Pero, por otra parte, no puede originarse en tb porque:

1. El estado de la lampara solo cambia cuando se pulsa su boton.

2. La pulsacion del boton y el correspondiente cambio de estado de la lampa-ra son sucesos instantaneos y simultaneos que ocurren en un instantedeterminado y preciso.

3. Siendo la pulsacion del boton y el correspondiente cambio de estado su-cesos instantaneos y simultaneos, y siendo el estado Sb originado en el

La maquina de contar —— 39

preciso instante tb, el boton de la lampara tuvo que ser pulsado en esepreciso instante tb

4. Pero el boton de la lampara no se ha pulsado en tb.

106 Sb solo podrıa ser, por tanto, el imposible ultimo estado de una sucesionω−ordenada de estados en la que no existe un ultimo estado. El resultado deasumir la hipotesis del infinito actual del que se deriva la existencia de lassucesiones ω−ordenadas como totalidades completas, a pesar de que ningunelemento ultimo las complete.

107 La lampara de Thomson es un dispositivo teorico deliberadamente ideadopara facilitar una discusion formal sobre la hipotesis de infinito actual quelegitima la existencia de sucesiones ω−ordenadas como totalidades completas[37], [39, Teorema 15-A]. Las supertareas son un ejemplo de tales sucesiones, yla contradiccion 105 sugiere claramente que la hipotesis en que la que se basanpodrıa ser inconsistente.

La maquina de contar108 La maquina de contar (CM) que examinaremos en esta seccion planteaun problema similar al de la lampara de Thomson que acabamos de examinar.Como su nombre sugiere, CM cuenta numeros naturales, y lo hace contandolos sucesivos numeros 1, 2, 3. . . en cada uno de los sucesivos instantes t1, t2,t3. . . de la sucesion 〈tn〉 anterior. Cuenta cada numero n en el preciso instantetn. Ademas la maquina dispone de un LED azul que se enciende cuando, y solocuando, la maquina cuenta un numero par; y se apaga cuando, y solo cuando,la maquina cuenta un numero impar.

109 La biyeccion f :

f : 〈tn〉 7→ N (2)

f(tn) = n (3)

demuestra que en el instante tb nuestra maquina habra contado todos los nume-ros naturales. De modo que, si despues de realizar la supertarea, nuestra maqui-na de contar CM sigue siendo la misma maquina de contar que era antes decomenzar la supertarea, es decir, si la realizacion de una supertarea no cambiala naturaleza del mundo ni implica la violacion arbitraria de las definiciones for-males legıtimas, como la de nuestra CM , entonces su LED azul solo podra estarencendido o apagado, simplemente porque un LED solo puede estar encendidoo apagado, independientemente del numero de veces que haya sido encendidoy apagado.

110 Supongamos entonces que el LED azul se encuentra encendido en elinstante tb (un argumento similar se aplicarıa si estuviera apagado). Una delas dos siguientes alternativas, exhaustivas y mutuamente excluyentes, debe


cumplirse:

1. El LED azul esta encendido porque CM conto un ultimo numero par.

2. El LED azul esta encendido por cualquier otra razon conocida o descono-cida.

La primera alternativa es imposible si todos los numeros naturales se han con-tado: cada numero par tiene un inmediato sucesor impar y por tanto no existeun ultimo numero natural, ni par ni impar. La segunda alternativa implicarıaque se ha violado la definicion formal de CM : su LED azul se enciende cuan-do, y solo cuando, la maquina cuenta en numero de par, lo que excluye laposibilidad de ser encendida por cualquier otra razon, conocida o desconocida.

111 Si la lista ω−ordenada de los numeros naturales existe como una totalidadcompleta a pesar de que no existe un ultimo numero que complete la lista,entonces nuestro modesto LED azul estara y no estara encendido. De otraforma se tendrıa que violar una legıtima definicion para justificar que nuestroLED pueda encenderse por cualquier razon diferente a la de contar un numeropar. Si ese fuera el caso, cualquier cosa se podrıa esperar de la hipotesis delinfinito actual.

112 Notese de nuevo que, como en el caso de la lampara de Thomson, laconclusion anterior sobre el estado del LED una vez contados todos los numerosnaturales no se deriva de las sucesivas acciones realizadas, sino del hecho deser un LED con dos estados precisos y definidos (encendido y apagado) y detal forma el LED se enciende si, y solo si, CM cuenta un numero par.

8.-Revision del argumento de Cantor de 1874

Introduccion113 Se examinan aquı las condiciones bajo las cuales el argumento de Cantorde 1874 sobre la naturaleza incontable de los numeros reales se podrıa aplicartambien al conjunto de los numeros racionales. Sera necesario, por tanto, de-mostrar que esas condiciones nunca se cumplen si se quiere evitar la amenazade una contradiccion relacionada con la cardinalidad del conjunto de los nume-ros racionales, que el propio Cantor demostro era numerable [31]. Se incluyetambien una breve variacion del argumento de Cantor aplicado a los numerosracionales.

Argumento de Cantor de 1874114 En esta seccion se explica detalladamente la primera prueba de Cantorsobre la no numerabilidad del conjunto R de los numeros reales, publicada enel ano 1874 [31] en un breve artıculo que tambien incluıa una prueba de lanumerabilidad del conjunto A (tambien representado por Q) de los numerosalgebraicos y, por tanto, del conjunto Q de los numeros racionales, un subcon-junto de A (edicion francesa [32], edicion espanola [43]).

115 Supongamos que el conjunto R fuera numerable. En esas condicionesexistirıa una biyeccion f entre el conjunto N de los numeros naturales y R. Enconsecuencia, los elementos de R quedarıan ω−ordenados1 por f :

r1, r2, r3, . . . (1)

siendo ri = f(i), ∀i ∈ N. Obviamente, la sucesion 〈rn〉 definida por f contendrıatodos los numeros reales si R fuera en realidad numerable.

116 Consideremos ahora un intervalo real cualquiera (a, b). El argumento deCantor de 1874 consiste en probar la existencia de un numero real s en (a, b)que no esta en la sucesion ω−ordenada 〈rn〉. La existencia de s probarıa que〈rn〉 no contiene a todos los numeros reales y que, por tanto, la hipotesis de lanaturaleza contable de R es falsa. La prueba de Cantor es como sigue.

1En el ω−orden existe un primer elemento y cada elemento tienen un predecesor inmediato,excepto el primero, y un sucesor inmediato, de modo que no existe ultimo elemento.

41

42 —— Revision del argumento de Cantor de 1874

117 Empezando por r1, buscamos los dos primeros elementos de 〈rn〉 quecaigan dentro de (a, b). Llamamos a1 al menor de ellos y b1 al mayor. Definimosel intervalo real (a1, b1) (vease la Figura 8.1).

Figura 8.1: Definicion de los dos primeros intervalos (a1, b1), (a2, b2).

118 Empezando por r1, buscamos los dos primeros elementos de 〈rn〉 que cai-gan dentro de (a1, b1). Llamamos a2 al menor de ellos y b2 al mayor. Definimosel intervalo real (a2, b2). Evidentemente se verifica:

(a1, b1) ⊃ (a2, b2) (2)

119 Empezando por r1, buscamos los dos primeros elementos de 〈rn〉 que cai-gan dentro de (a2, b2). Llamamos a3 al menor de ellos y b3 al mayor. Definimosel intervalo real (a3, b3). Es evidente que se verifica:

(a1, b1) ⊃ (a2, b2) ⊃ (a3, b3). (3)

120 Continuando con este procedimiento (R-procedimiento de ahora en ade-lante) se define la sucesion de intervalos reales anidados (R-intervalos):

(a1, b1) ⊃ (a2, b2) ⊃ (a3, b3) ⊃ . . . (4)

cuyos extremos izquierdos a1, a2, a3,. . . forman una sucesion estrictamentecreciente de numeros reales, y cuyos extremos derechos b1, b2, b3,. . . formanuna sucesion estrictamente decreciente tambien de numeros reales, siendo todoelemento de la primera sucesion menor que todo elemento de la segunda.

121 Del ω−orden de 〈rn〉 y de la forma ordenada en la que el R-procedimientodefine los sucesivos R-intervalos (empezando por r1 buscamos los dos primeroselementos. . . ), se sigue inmediatamente que si rn define un extremo ai o bi,entonces se ha de verificar i ≤ n. En consecuencia, podemos asegurar que,siendo rn un elemento cualquiera de 〈rn〉, rn nunca podra caer dentro de lossucesivos R-intervalos:

(an, bn) ⊃ (an+1, bn+1) ⊃ (an+2, bn+2) ⊃ . . . (5)

122 El numero de R-intervalos podra ser finito o infinito, y las dos posibi-lidades han de ser examinadas. Supongamos, en primer lugar, que el numero

Version racional del argumento de Cantor —— 43

de R-intervalos es finito.2 En este caso habrıa un ultimo intervalo3 (an, bn) enla sucesion de intervalos. Este ultimo R-intervalo contendrıa como mucho unelemento rv de 〈rn〉, en caso contrario serıa posible definir como mınimo unnuevo R-intervalo (an+1, bn+1). Sea, por tanto, s un elemento cualquiera de(an, bn), diferente de rv en el caso de que rv exista. Evidentemente s es unnumero real que esta dentro de (a, b) y que no pertenece a la sucesion 〈rn〉. Enconsecuencia, la sucesion 〈rn〉 no contiene a todos los numeros reales, lo queprueba la falsedad de la hipotesis inicial sobre la naturaleza contable de R.

Figura 8.2: Alternativas de convergencia para 〈an〉y 〈bn〉.

123 Supongamos ahora que elnumero de R-intervalos es infinito.4

Puesto que la sucesion 〈an〉 es estric-tamente creciente y cualquier elemen-to de 〈bn〉 es una cota superior de lasucesion, ha de existir el lımite La de〈an〉. Por su parte, la sucesion 〈bn〉 esestrictamente decreciente y cualquierelemento de 〈an〉 es una cota inferior de la misma, por tanto ha de existir ellımite Lb de 〈bn〉. Teniendo ahora en cuenta que todo ai es menor que todo bise ha de verificar: La ≤ Lb.

124 Supongamos que La < Lb. En este caso cualquiera de los infinitos ele-mentos del intervalo real (La, Lb) es un numero real perteneciente a (a, b) queno pertenece a la sucesion 〈rn〉, y por tanto una prueba de la falsedad de lahipotesis inicial sobre la naturaleza numerable de R.

125 Finalmente, supongamos que La = Lb = L. Es claro que L es un elementode (a, b) que no pertenece a 〈rn〉. En efecto, supongase que L fuera un elementorv de 〈rn〉. De acuerdo con 121, rv no pertenece a ninguno de los sucesivos R-intervalos:

(av, bv) ⊃ (av+1, bv+1) ⊃ (av+2, bv+2) ⊃ . . . , (6)

mientras que L pertenece a todos ellos. Por tanto L no puede ser rv. El lımite Les un numero real perteneciente a (a, b) que no esta en 〈rn〉, y en consecuenciauna prueba de la falsedad de la hipotesis inicial sobre la numerabilidad de R.

Version racional del argumento de Cantor126 Esta seccion desarrolla un argumento completamente identico al de laseccion anterior, excepto que se aplica al conjunto Q de los numeros racionales.

127 Supongamos que el conjunto Q de los numeros racionales fuera nume-rable. En estas condiciones existirıa una biyeccion f entre el conjunto N delos numeros naturales y Q. En consecuencia, los elementos de Q se podrıan ω

2Incluyendo el caso de que el R-procedimiento no defina ningun R-intervalo.3O el intervalo completo (a, b) si el R-procedimiento no define ningun R-intervalo.4Notese que este caso implica la complecion de un proceso con infinitos pasos sucesivos.


-ordenar por f :q1, q2, q3, . . . (7)

siendo qi = f(i), ∀i ∈ N. Obviamente, la sucesion 〈qn〉 definida por f contendrıatodos los numeros racionales si Q fuera en realidad numerable.

128 Consideremos un intervalo racional cualquiera (a, b). Empezando porq1, buscamos los dos primeros elementos de 〈qn〉 que caigan dentro de (a, b).Llamamos a1 al menor de ellos y b1 al mayor. Definimos el intervalo racional(a1, b1).

5

129 Empezando por q1, buscamos los dos primeros elementos de 〈qn〉 que cai-gan dentro de (a1, b1). Llamamos a2 al menor de ellos y b2 al mayor. Definimosel intervalo racional (a2, b2). Evidentemente se verifica:

(a1, b1) ⊃ (a2, b2) (8)

130 Empezando por q1, buscamos los dos primeros elementos de 〈qn〉 que cai-gan dentro de (a2, b2). Llamamos a3 al menor de ellos y b3 al mayor. Definimosel intervalo racional (a3, b3). Es evidente que se verifica:

(a1, b1) ⊃ (a2, b2) ⊃ (a3, b3). (9)

131 Continuando con este procedimiento (Q-procedimiento de ahora en ade-lante) se define la sucesion de intervalos racionales anidados (Q-intervalos):

(a1, b1) ⊃ (a2, b2) ⊃ (a3, b3) ⊃ . . . (10)

cuyos extremos izquierdos a1, a2, a3,. . . forman una sucesion estrictamentecreciente de numeros racionales, y cuyos extremos derechos b1, b2, b3,. . . formanuna sucesion estrictamente decreciente tambien de numeros racionales, siendotodo elemento de la primera sucesion menor que todo elemento de la segunda.

132 Del ω−orden de 〈qn〉 y de la forma ordenada en la que el Q-procedimientodefine los sucesivos Q-intervalos (empezando por q1 buscamos los dos primeroselementos. . . ), se sigue inmediatamente que si qn define un extremo ai o bi,entonces se ha de verificar i ≤ n. En consecuencia, podemos asegurar que,siendo qn un elemento cualquiera de 〈qn〉, qn nunca podra caer dentro de lossucesivos Q-intervalos:

(an, bn) ⊃ (an+1, bn+1) ⊃ (an+2, bn+2) ⊃ . . . (11)

133 El numero de Q-intervalos podra ser finito o infinito, y las dos posibi-lidades han de ser examinadas. Supongamos, en primer lugar, que el numerode Q-intervalos es finito6. En este caso habrıa un ultimo Q-intervalo7 (an, bn)

5La naturaleza real o racional de los sucesivos intervalos (ai, bi) es irrelevante.6Incluyendo el caso de que el Q-procedimiento no defina ningun Q-intervalo.7O el intervalo completo (a, b) si el Q-procedimiento no define ningun Q-intervalo.

Version racional del argumento de Cantor —— 45

en la sucesion de Q-intervalos. Este ultimo Q-intervalo contendrıa como muchoun elemento qv de 〈qn〉, en caso contrario serıa posible definir como mınimoun nuevo Q-intervalo (an+1, bn+1). Sea, por tanto, s un elemento cualquierade (an, bn), diferente de qv en el caso de que qv exista. Evidentemente s es unnumero racional que esta dentro de (a, b) y que no pertenece a la sucesion 〈qn〉.En consecuencia, la sucesion 〈qn〉 no contiene a todos los numeros racionales, loque prueba la falsedad de nuestra hipotesis inicial sobre la naturaleza contablede Q.

134 Supongamos ahora que el numero de Q-intervalos es infinito.8 Puesto quela sucesion 〈an〉 es estrictamente creciente y cualquier elemento de 〈bn〉 es unacota superior de 〈an〉, ha de existir el lımite real La de 〈an〉. Por su parte, lasucesion 〈bn〉 es estrictamente decreciente y cualquier elemento de 〈an〉 es unacota inferior de 〈bn〉, por tanto ha de existir el lımite real Lb de 〈bn〉. Teniendoahora en cuenta que todo ai es menor que todo bi se ha de verificar: La ≤ Lb,siendo La y Lb dos numeros reales (racionales o irracionales).

135 Supongamos que La < Lb. En este caso cualquiera de los infinitos racio-nales del intervalo real (La, Lb) es un numero racional perteneciente a (a, b)que no pertenece a la sucesion 〈qn〉, y por tanto una prueba de la falsedad denuestra hipotesis inicial sobre la naturaleza numerable de Q.

136 Finalmente supongamos que La = Lb = L. Resulta inmediato que L esun numero real del intervalo real (a, b) que no esta en 〈qn〉. En efecto, si L esirracional entonces esta claro que no pertenece a 〈qn〉; supongamos entoncesque L es racional, y supongamos tambien que es un elemento qv de 〈qn〉. Deacuerdo con 132, qv no pertenece a ninguno de los sucesivos intervalos:

(av, bv), (av+1, bv+1), (av+2, bv+2), . . . (12)

mientras que L pertenece a todos ellos. Por tanto, L no puede ser qv. El lımiteL es un numero real (racional or irracional) en el intervalo real (a, b) que noesta en 〈qn〉. En consecuencia, si L fuera racional entonces nuestra hipotesisinicial sobre la numerabilidad de Q tendrıa que ser falsa.

137 Acabamos de probar que las alternativas del argumento de Cantor de1874 sobre la cardinalidad de los numeros reales pueden ser tambien aplicadasal conjunto Q de los numeros racionales, excepto la ultima, que solo se puedeaplicar si el lımite comun de la sucesion racional de extremos izquierdos y dela sucesion racional de extremos derechos de los Q-intervalos es un numeroracional.

138 Resulta evidente que si el argumento de Cantor de 1874 se pudiera ex-tender a los numeros racionales tendrıamos una contradiccion: el conjunto Q

serıa y no serıa numerable. En consecuencia, para asegurar la imposibilidad deesa contradiccion se tendra que demostrar que para cualquier intervalo racio-

8Notese que este caso implica la complecion de un proceso con infinitos pasos sucesivos.


nal (a, b) y para cualquier reordenamiento de 〈qn〉, el numero de Q-intervalosnunca es finito y las sucesiones de los extremos izquierdos 〈an〉 y derechos 〈bn〉siempre tienen un lımite irracional comun. Hasta entonces, la consistencia dela teorıa de conjuntos infinitos estara en juego.

Una variante del argumento de Cantor de 1874139 El siguiente argumento es una variante de la primera prueba de Cantorde la naturaleza no numerable del conjunto de los numeros reales examinadamas arriba.

140 Puesto que, de acuerdo con Cantor, el conjunto Q de los numeros racio-nales es numerable podemos considerar una biyeccion f entre este conjunto yel conjunto de los numeros naturales N. Sea 〈qn〉 la sucesion ω−ordenada denumeros racionales definida por:

qi = f(i), ∀i ∈ N (13)

Obviamente 〈qn〉 contiene a todos los numeros racionales.

141 Sea x una variable racional cuyo dominio es el intervalo racional (a, b) ycuyo valor inicial es c, un elemento cualquiera de (a, b). Sea 〈qn〉 la sucesion denumeros racionales definida por (13). Considerese ahora la siguiente sucesionde redefiniciones sucesivas 〈Di(x)〉 de x:

i = 1, 2, 3, . . .

{Si qi ∈ (a, b) y qi < x Entonces Di(x) : x = qi

En otro caso Di(x) : x no cambia(14)

que comparan x con los sucesivos elementos de 〈qn〉 que pertenecen a (a, b), yredefinen a x como el elemento comparado cada vez que el elemento comparadoes menor que el valor actual de x.

142 Aunque pueda parecer innecesaria, impondremos la siguiente restricciona las sucesivas definiciones (14):

Restriction 142.-Cada definicion sucesiva Di(x) (14) se llevara a ca-bo si, y solo si, x resulta definida como un numero racional de sudominio (a, b).

Probaremos a continuacion que para cualquier numero natural v es posiblerealizar las primeras v definiciones sucesivas (14). En lo que sigue asumiremosque cualquiera que sea el numero finito o infinito de definiciones (14) realizadas,siempre son realizadas de una forma sucesiva.

143 La primera definicion D1(x) se puede realizar porque deja a x definidacomo q1 si q1 esta en (a, b) y q1 < c, o deja a x inalterada si q1 no es menor quec. En ambos casos x queda definida dentro de su dominio (a, b). Supongamosque, siendo n un numero natural cualquiera, se pueden realizar las primeras

Una variante del argumento de Cantor de 1874 —— 47

n definiciones D1...n(x) dejando a x definida dentro de su dominio (a, b). Enestas condiciones es posible realizar la (n+1)-esima definicion Dn+1(x) puestoque deja a x definida como qn+1 si qn+1 esta dentro de (a, b) y es menor queel valor actual de x, o deja a x inalterada si qn+1 no es menor que el valoractual de x. En ambos casos x quedad definida dentro de su dominio (a, b).Hemos probado que la primera definicion D1(x) se puede realizar y que si lasn primeras definiciones D1...n(x) se pueden realizar, siendo n cualquier numeronatural, entonces tambien se pueden realizar las (n+ 1)-primeras definicionesD1...n+1(x). Esto prueba que para cualquier numero natural v es posible realizarlas primeras v definiciones (14).

144 Supongamos que mientras se puedan llevar a cabo las sucesivas defini-ciones (14) que cumplen la restriccion 142, esas sucesivas definiciones se llevana cabo. El valor de x una vez realizadas todas las posibles9 definiciones (14),cualquiera que sea el numero finito o infinito de veces que ha sido redefini-da, sera un numero racional dentro de su dominio (a, b) porque siempre fuedefinida dentro de su dominio (a, b). Ası, podemos afirmar:

Por indeterminable que pueda ser el valor de x una vez realizadas todaslas posibles redefiniciones (14), sera un cierto numero racional r dentrode su dominio (a, b).

145 Obviamente una variable puede estar adecuadamente definida en su do-minio aunque no conozcamos su valor actual. Algunos infinitistas argumentan,sin embargo, que aunque la restriccion 142 se aplica a cada una de las infi-nitas definiciones sucesivas de x, una vez completada la sucesion infinita deesas definiciones no podemos asegurar que x siga siendo una variable racio-nal apropiadamente definida dentro de su dominio (a, b), a pesar de que cadauna de esas definiciones definio correctamente a x dentro de su dominio (a, b).Como si la complecion de una sucesion infinita de definiciones tuviera efectosdesconocidos adicionales sobre el objeto definido, como perder la condicion deser una variable racional apropiadamente definida en su dominio.

146 Los mismos efectos desconocidos adicionales sobre los objetos definidoscabrıa esperar, entonces, en cualquier otro procedimiento, definicion o pruebacompuesta por infinitos pasos sucesivos, en ese caso las matematicas infinitistasno tendrıan ningun sentido. Por ejemplo, en el argumento de Cantor de 1874si el numero de R-intervalos es infinito, y debido a esos desconocidos efectosadicionales de la complecion sobre el objeto definido, no podrıamos asegurarque esos intervalos continuen siendo los intervalos reales dentro de (a, b) quefueron definidos.

147 Si completar la sucesion infinita de definiciones (14) significa realizartodas y cada una de las definiciones de la sucesion (y solo ellas), cada una delas cuales define a x dentro de su dominio (a, b), y si la complecion de la sucesionde definiciones no tiene efectos desconocidos arbitrarios sobre x, entonces, una

9Si fuera imposible realizar todas las definiciones posibles estarıamos ante la contradiccionelemental de una posibilidad imposible.


vez realizadas todas las definiciones posibles, x solo puede estar definida comoun cierto numero racional r (cualquiera que sea) dentro de su dominio (a, b).

148 Considerese el intervalo racional (a, r) y un elemento cualquiera s dentrode (a, r). Es evidente que s ∈ (a, b) y s < r. Probaremos que s no puede ser unelemento de 〈qn〉. En efecto, supongamos que s pertenece a la sucesion 〈qn〉.Habra entonces un elemento qv de 〈qn〉 tal que s = qv, y siendo s un elementode (a, r) tendremos qv ∈ (a, r) y por tanto qv < r. Pero eso es imposible porque:

1. El ındice v de qv es un numero natural.

2. De acuerdo con 143, para cada numero natural v es posible llevar a cabolas primeras v definiciones (14).

3. Se han llevado a cabo todas las posibles definiciones (14).

4. Al menos las primeras v definiciones (14) se han llevado a cabo.

5. Una vez realizadas las primeras v definiciones (14) tendremos x ≤ qv. Portanto r ≤ qv.

6. Es imposible entonces que qv < r.

En consecuencia s no puede ser un elemento de 〈qn〉.

149 El numero racional s prueba entonces la existencia de numeros raciona-les dentro de (a, b) que no estan en 〈qn〉, lo que a su vez prueba la falsedadde la hipotesis inicial sobre la naturaleza contable de Q. Ahora bien, tenien-do en cuenta que Cantor demostro la naturaleza contable del conjunto Q, laconclusion final solo puede ser que Q es y no es numerable.

Comentario 149-1.- La sucesion de definiciones (14) lleva a otros resulta-dos contradictorios que el lector podrıa facilmente encontrar. Evidentementelos resultados contradictorios no se invalidan entre sı, simplemente muestran laexistencia de contradicciones.10 Si, a partir de la misma hipotesis, dos argumen-tos independientes conducen a resultados contradictorios, ambos argumentosestan demostrando la inconsistencia de la hipotesis inicial. Un argumento no sepuede refutar con otro argumento diferente. Un argumento solo se pude refutarindicando donde y por que ese argumento falla.

10Una obviedad que es a menudo ignorada en las discusiones sobre el infinito actual.

9.-Intercambios numericos

ω -Intercambios150 Como veremos en este capıtulo, es posible hacer desaparecer un numerode una lista de numeros si la lista es ω−ordenada y el numero intercambiasucesivamente su posicion en la tabla (fila) con el numero situado en la si-guiente posicion de la tabla, mientras haya un numero en la siguiente posicionde la tabla con el que intercambiar su posicion. Este resultado absurdo esuna consecuencia inevitable de asumir que las listas ω−ordenadas existen co-mo totalidades completas. El conflicto desaparece en las listas potencialmenteinfinitas.

Figura 9.1: Intercambios numericos enla lista ordenada de los numeros natura-les.

151 Consideremos la tabla ω−ordenada Tde todos los numeros naturales en su ordennatural de precedencia, y sean r1 = 1; r2 =2; r3 = 3 . . . sus sucesivas filas. Supongamosahora que intercambiamos el numero 1 con elnumero 2, y luego el numero 1 con el numero3, y luego el numero 1 con el numero 4, yası sucesivamente (Figure 9.1). En sımbolos:

i = 1, 2, 3, . . . Ei(1) :

{ri = i+ 1

ri+1 = 1(1)

donde Ei(1) representa el intercambio entrelos numeros 1 e i+1 de la tabla T. El objetivo de la siguiente discusion es ana-lizar el destino del numero 1 una vez realizados todos los posibles intercambios〈Ei(1)〉 definidos por (1) se han llevado a cabo.

152 Los sucesivos intercambios 〈Ei(1)〉 estaran sometidos a la siguiente res-triccion:

Restriccion 152.-Para cada numero natural n, el intercambio En(1)se llevara a cabo si, y solo si, deja al numero 1 situado en rn+1 y alnumero n+1 en rn.

153 Es inmediato probar que para cada numero natural v es posible realizarlos primeros v intercambios E1,2...v(1) sin violar la Restriccion 152. Es evidente

49

50 —— Intercambios numericos

que se puede realizar E1(1) sin violar la Restriccion 152, porque ese intercam-bio deja al numero 1 en r2 y al numero 2 en r1. Supongamos que, siendo nun numero natural cualquiera, se pueden realizar los primeros n intercambiosE1,2...n(1) sin violar la Restriccion 152. Una vez realizados, el numero 1 es-tara situado en rn+1 y el numero n+1 en rn. En consecuencia se puede realizarEn+1(1), porque deja al numero 1 situado en rn+2 y al numero (n+2) en rn+1.De modo que E1(1) se puede realizar y si para cualquier numero natural nse pueden realizar los primeros intercambios E1,2...n(1), entonces tambien sepueden realizar los primeros E1,2...n+1(1) intercambios. Este razonamiento in-ductivo prueba que para todo numero natural v es posible realizar los primerosv intercambios E1,2...v(1) sin violar la Restriccion 152.

154 Examinaremos las consecuencias de esta conclusion en las dos seccionessiguientes mediante dos argumentos independientes.

Argumento de la supertarea155 La teorıa de supertareas presupone la posibilidad de realizar infinitasacciones en un tiempo finito (ver [154] para mas detalles y los Capıtulos 7 y25 de este libro). La breve discusion que sigue analiza esta hipotesis por mediode un supertarea condicionada1 elemental cuyas sucesivas acciones (tareas)consisten precisamente en la realizacion de los sucesivos intercambios Ei(1)sujetos a la Restriccion 152. Como consecuencia de esos sucesivos intercambiosel numero 1, originalmente colocado en la primera fila, sera sucesivamentecolocado en la 2a, 3a, 4a... fila de T .

156 Sea 〈tn〉 una sucesion estrictamente creciente y ω−ordenada de instantesen el intervalo real (ta, tb) cuyo lımite es tb. Supongamos que cada posibleintercambio Ei(1) se realiza en el preciso instante ti de 〈tn〉. Es evidente queen el instante tb se habran realizados todos los posibles intercambios Ei(1).El problema es: ¿en que fila estara el numero 1 en el instante tb? Si rv escualquier fila de T , esta claro que 1 no esta en rv porque en tal caso los vprimeros intercambios E1,2,...v(1) no se habrıan efectuado,2 lo que segun 153 esimposible. Por lo tanto, y siendo rv una fila cualquiera de T , debemos concluirque en el instante tb el numero 1 ha desaparecido de la tabla. En tb, por lo tanto,la Restriccion 152 ha sido violada, a pesar de que ninguno de los intercambiosrealizados la ha violado. Mientras todos los numeros mayores que 1 permanecenen la tabla, el numero 1 ha desaparecido misteriosamente en una ’bocanada dehumo infinitista’.

157 Cabe destacar que la conclusion sobre la desaparicion del numero 1 nose ha derivado de los sucesivos intercambios realizados. Simplemente hemosdemostrado que una vez completada la supertarea, el numero 1 no puede estaren ninguna de las filas de la tabla T , en caso contrario, si estuviera en una fila

1En una supertarea condicional cada tarea sucesiva se realiza si, y solo si, se cumple unadeterminada condicion, en nuestro caso la Restriccion 152.

2Ev(1) deja a 1 en la fila rv+1.

La alternativa del infinito potencial —— 51

rv, no se habrıan realizado los primeros intercambios E1,2,...v(x), lo que va encontra de 153.

Argumento Modus Tollens

158 Considerense las dos siguientes proposiciones sobre la ejecucion de todoslos posibles intercambios Ei(1):

p: Una vez realizados todos los posibles intercambios Ei(1) el numero 1permanece en T .

q: Una vez realizados todos los posibles intercambios Ei(1) el numero 1permanece en una cierta fila rv of T .

Es claro que p ⇒ q porque si una vez realizados todos los posibles intercambiosEi(1) el numero 1 esta en T , entonces estara en una de sus filas rv.

159 Probaremos ahora que q es falsa. Sea rv una fila cualquiera de T . Si unavez realizados todos los posibles intercambios Ei(1) el numero 1 esta en rventonces Ev(1) no se ha realizado. Pero esto es falso porque:

1. El ındice v de Ev(1) es un numero natural.

2. De acuerdo con 153, para cada numero natural v es posible realizar losprimeros v intercambios E1,2,...v(1).

3. Todos los posibles intercambios Ei(1) se han realizado.

4. Al menos los primeros v intercambios E1,2,...v(1) se han realizado.

5. Ev(1) coloco el numero 1 en la fila rv+1.

En consecuencia el numero 1 no esta en rv. Por tanto, y siendo rv una filacualquiera, hemos de concluir que q es falsa.

160 Podemos por tanto escribir:

p ⇒ q (2)

¬q (3)————

∴ ¬p (4)

lo que significa que una vez realizados todos los posibles intercambios Ei(1) elnumero 1 ya no esta en T . O, alternativamente, que es imposible realizar todoslos posible intercambios Ei(1).

La alternativa del infinito potencial161 Terminaremos este capıtulo analizando el problema de los intercambios〈Ei(1)〉 desde el punto de vista del infinito potencial. Puesto que desde esepunto de vista solo tienen sentido las totalidades finitas (tan grandes como sedesee, pero siempre finitas), consideremos un numero finito n cualquiera y latabla Tn de los primeros n numeros naturales. Los intercambios 〈Ei(1)〉 ahora

52 —— Intercambios numericos

se se definen por:

i = 1, 2, 3, . . . n− 1. Ei(1) :

{ri = i+ 1

ri+1 = 1(5)

y por tanto, solo se realizaran un numero finito n−1 de intercambios E1,2,...(n−1)(1),al final de los cuales el numero 1 estara situado en la ultima fila de Tn.

162 Ası, para todo numero natural n los intercambios (5) en Tn son consisten-tes. Solo cuando ocurren en la supuesta tabla completa de todos los numerosnaturales se vuelven inconsistentes. En sımbolos:

i = 1, 2, 3, . . . n− 1 Ei(1) :

{ri = i+ 1

ri+1 = 1(6)

es consistente, mientras que:

i = 1, 2, 3, . . . Ei(1) :

{ri = i+ 1

ri+1 = 1(7)

es inconsistente.

10.-La diagonal de Cantor

Introduccion163 El argumento de la diagonal de Cantor hace uso de una tabla hipotetica Tque se supone contiene todos los numeros reales en el intervalo real (0, 1). Dichatabla puede ser facilmente redefinida con el fin de garantizar que contiene porlo menos todos los numeros racionales de (0, 1). En estas condiciones, ¿podrıanreordenarse las filas de T de tal manera que pudiera definirse una antidiagonalracional? En ese caso, y por la misma razon que en el argumento original deCantor, se habrıa probado que el conjunto de los numeros racionales es nonumerable. Y entonces tendrıamos una contradiccion, porque como el mismoCantor tambien probo, el conjunto de los numeros racionales es numerable.¿Debe, por lo tanto, suspenderse el argumento de la diagonal de Cantor hastaque se demuestre la imposibilidad de tal reordenamiento? ¿Serıa posible esereordenamiento? La discusion que sigue aborda ambas cuestiones.

Teorema del n-esimo decimal164 Empezaremos demostrando un resultado elemental relacionado con larepresentacion decimal de los numeros racionales (la demostracion se podrıaextender facilmente a los numeros irracionales, aunque no la haremos aquı)del que haremos uso mas adelante. Para ello, sea M el conjunto de todos losnumeros reales en el intervalo real (0, 1) expresados en notacion decimal ycompletados, en los casos de un numero finito de cifras decimales, con infinitosceros a la derecha, ası en lugar de 0,25 escribiremos 0,25000. . . . El subconjuntode todos los numeros racionales del conjunto M se denotara por MQ.

165 Vamos a demostrar el siguiente:

Teorema 165 (del n-esimo decimal).-Para cada numero natural n hayinfinitos elementos diferentes en MQ con el mismo dıgito decimal dnen la misma n-esima posicion de su representacion decimal.

Demostracion.-Consideremos un elemento cualquiera r0 de MQ de la forma:

r0 = 0.d1d2 . . . dn (1)

donde cada di es una cifra decimal cualquiera (0,1,2,3. . . 9). A partir de r0

53

54 —— La diagonal de Cantor

definimos la sucesion de numeros racionales:

r1 = 0.d1d2 . . . dn1000 . . . (2)

r2 = 0.d1d2 . . . dn11000 . . . (3)

r3 = 0.d1d2 . . . dn111000 . . . (4)

. . .

rk = 0.d1d2 . . . dn1(k). . . 1000 . . . (5)

. . .

La biyeccion f entre N (el conjunto de los numeros naturales) y MQ definidapor:

f(k) = rk, ∀k ∈ N (6)

demuestra, que siendo n un numero natural cualquiera, existe un subconjuntonumerable f(N) de MQ, cada uno de cuyos elementos rk tiene una expansiondecimal finta de k + n decimales con la misma cifra decimal dn en la misman-esima posicion.

Cantor contra Cantor166 El conjunto M de Cantor es la union de dos conjuntos disjuntos: elconjunto numerable MQ de todos los numeros racionales en (0, 1) y el conjuntodeMI de todos los numeros irracionales en el mismo intervalo (0, 1). SiendoMQ

numerable, existe una biyeccion g entre N y MQ. Por otra parte supongamos,como hizo Cantor en 1891 [35], que M fuera numerable. En esas condicioneses evidente que, siendo MI infinito, tambien sera numerable, en caso contrario(si fuera no numerable) su superconjunto M no podrıa ser (solo) numerable.Sea entonces h una biyeccion entre N y MI . A partir de g y h se define unacorrespondencia uno a uno f entre N y M :

f(2n− 1) = g(n)

f(2n) = h(n)

}∀n ∈ N (7)

Podemos entonces considerar la tabla ω−ordenada T cuyas sucesivas filas r1,r2, r3 . . . son precisamente f(1), f(2), f(3) . . . . Por definicion, y siendo MQ

(supuestamente) numerable, T contiene una subtabla numerable con todos losnumeros racionales de (0, 1).

167 La diagonal de la tabla T de Cantor es el numero real D = 0.d11d22d33 . . .cuyo n-esimo decimal dnn es el n-esimo decimal de la n-esima fila rn de T . Apartir de este numero Cantor define otro numero real en M , la antidiagonal D−

de la siguiente manera: cambiese cada decimal dnn por cualquier otro decimaldiferente. Esto asegura que, siendo un numero real del conjunto M , D− esdiferente de todas las filas de T : se diferencia de cada fila rn precisamente ensu n-esimo decimal.

Antidiagonales racionales —— 55

168 En consecuencia, M no puede ser numerable, como se habıa supuesto.Este es el argumento de la diagonal de Cantor, un impecable Modus Tollens(MT)1 [35]. En efecto, si p es la proposicion:

p: M es numerable (8)

y q la proposicion:

q: T contiene todos los numeros reales de (0, 1) (9)

entonces, una vez probado que D− es un numero real del conjunto M que noesta en T tendremos:

p ⇒ q (10)

¬ q (11)————∴ ¬ p (12)

169 Ahora bien, puesto que D− es un numero real de (0, 1), sera racional oirracional. Pero si fuera racional, y por la misma razon que en el caso de M ,el subconjunto MQ de todos los numeros racionales en M tambien serıa nonumerable. El problema es que Cantor habıa demostrado ya que el conjunto Q

de todos los numeros racionales, y por lo tanto MQ, es numerable [31].

170 De acuerdo con 169, si fuera posible reordenar las filas de T de tal mane-ra que se pudiera definir una antidiagonal racional tendrıamos dos resultadoscontradictorios: el conjunto Q de los numeros racionales serıa y no serıa nume-rable. Ambos resultados podrıan considerarse demostrados por Cantor, aunqueel ultimo solo como una consecuencia inesperada (y hasta ahora desconocida)de su famoso metodo de la diagonal. En consecuencia, podemos afirmar lasiguiente:

Conclusion 170.-El argumento de la diagonal de Cantor y todas susconsecuencias formales deberıan suspenderse hasta que se demuestrela imposibilidad de reordenar las filas de T de tal manera que puedadefinirse una antidiagonal racional.

171 Sin esa demostracion, la teorıa de conjuntos esta bajo la amenaza de unacontradiccion fundamental. Resulta entonces impactante que durante mas deun siglo nadie haya planteado ese problema, incluyendo a miles de matematicosy logicos de todo el mundo.

Antidiagonales racionales172 Examinaremos ahora las posibilidades y las consecuencias de reordenarlas filas de T en el sentido indicado en 170.

1Las crıticas del argumento de la diagonal de Cantor invariablemente estan relacionados condiferentes aspectos que no guardan relacion con la estructura formal de la demostracion delCantor.


173 Una vez asumida la existencia del conjunto de todos los cardinales fini-tos como una totalidad completa, Cantor demostro la existencia de sucesionesω−ordenadas [37], [39, Th. 15-A]. En una sucesion ω−ordenada, como la an-terior tabla T, cada uno de sus elementos estara siempre precedido por unnumero finito de elementos y seguido por un numero infinito de elementos. Acontinuacion veremos una conflictiva consecuencia de esa inmensa asimetrıa.

174 Empezaremos definiendo el concepto de fila D-modular en la tabla T .En primer lugar, diremos que una fila ri de T es n-modular si su n-esima cifradecimal es (n mod 10). Esto significa que una fila es, por ejemplo, 2348-modularsi su 2348-esima cifra decimal es 8; o que es 453-modular si su 453-esima cifradecimal is 3. Si una fila rn es n-modular (siendo el mismo n en n-modular y enrn) se dira que es D-modular. Por ejemplo, las filas:

r1 = 0.1007647464749943400034577774413 . . . (13)

r2 = 0,2200045667778943000000000000000 . . . (14)

r3 = 0,0030000000000000000000000000000 . . . (15)

r9 = 0,1112223390000004340666666666333 . . . (16)

r13 = 0,1234567890003000567585843456931 . . . (17)

son todas ellas D-modulares. Una fila ri no D-modular se puede intercambiarcon cualquier fila siguiente rj que sea i-modular (el numero en rj pasa a ri,y el numero en ri pasa a rj), siempre que exista una fila siguiente i-modular.Llamaremos D-intercambios a esos intercambios de las filas de T .

175 Consideremos ahora la siguiente permutacion P de las filas 〈rn〉 de detabla T . Para cada fila sucesiva ri en T :

1. Si ri es D-modular se deja como esta.

2. Si ri no es D-modular se D-intercambia con cualquier fila siguiente quesea i-modular rj, j>i, siempre que al menos una de las filas siguientes rjsea i-modular.2

3. Si ri no es D-modular y no puede ser D-intercambiada se deja como esta.

Observese que, gracias a la condicion j > i (en rj, j>i), el D-intercambio de unafila no D-modular la convierte en D-modular y ademas permanecera D-modularsin ser afectada por los siguientes D-intercambios.

176 Es inmediato demostrar, por Modus Tollens (MT), que como consecuen-cia de la permutacion P cada fila de T se convierte en D-modular. En efecto,vamos a suponer que una fila rn no se convierte en D modular como consecuen-cia deP. Esto significa que rn no es D-modular ni pudo ser D-intercambiada conuna fila siguiente n-modular. Ahora bien, todos las filas n-modulares tienen lamisma cifra (n mod 10) en la misma n-esima posicion de su representacion de-cimal y, segun el teorema 165 de la n-esima cifra decimal, hay infinitos numerosracionales con la misma cifra en la misma posicion de su representacion deci-

2Se intercambiara ri por rj y rj por ri.

Antidiagonales racionales —— 57

Figura 10.1: Izquierda: r4 antes de ser D-intercambiada. Derecha: Una vez intercambiada,r4 es una fila D-modular.

mal, cualquiera que sea el cifra y la posicion. En consecuencia, puesto que n esfinito, la fila rn estara precedida por un numero finito y seguida por un numeroinfinito de filas n-modulares. Cualquiera de estas infinitas filas n-modulares setuvo que haber D-intercambiado con rn. Por lo tanto, resulta imposible quern no sea D-modular. En consecuencia (Modus Tollens), cada fila rn de T seconvierte en D-modular como consecuencia de P.

177 Cabe destacar que el resultado demostrado en 176 es una consecuenciaformal tanto del teorema 165 de la n-esima cifra decimal como del hecho deque toda fila rn de T siempre esta precedida por un numero finito de filas n-modulares y seguida por un numero infinito de tales filas n-modulares. Estainmensa asimetrıa es un efecto secundario e inevitable del ω−orden, que, comoel propio Cantor demostro [39, Teorema 15-A], se deriva de asumir la existen-cia del conjunto de todos los cardinales finitos (numeros naturales) como unatotalidad completa (hipotesis del infinito actual subsumida en el Axioma delInfinito).

178 Para evitar discusiones innecesarias, subrayaremos la estructura formalde la demostracion 176. Considerense las dos siguientes proposiciones q1 y q2sobre la permutacion P:

q1: Una vez completada P, no todas la filas se convierten en D-modulares.

q2: Una vez completada P, al menos una fila rk no D-modular nopudo ser D-intercambiada.

Resulta claro que q1 implica q2: si P no convierte a todas las filas de T enD-modulares, entonces al menos una fila rk no D-modular no pudo ser D-intercambiada. Ahora bien, siendo k finito y teniendo en cuenta el teorema dela n-esima cifra decimal 165, existen infinitas filas rn, n>k que siguen a rk y queson k-modulares, por tanto alguna de ellas tuvo que ser D-intercambiada conrk. En consecuencia la proposicion q2 es falsa, y por tanto tambien lo sera q1.En sımbolos:

q1 ⇒ q2 (18)

¬ q2 (19)————∴ ¬ q1 (20)


Queda claro entonces que, como en el caso del argumento de la diagonal deCantor, la demostracion anterior tambien es un simple Modus Tollens (veaseel comentario final).

179 Sea Tp la tabla resultante de la permutacion P. Puesto que todas las filasde Tp son D-modulares, su diagonal D sera el numero racional 0.1234567890.Es inmediato ahora definir infinitas antidiagonales racionales a partir de D.Veamos como. Llamemos p0 al periodo 1234567890 de la diagonal D. Esta-mos interesados en perıodos de diez dıgitos ninguno de los cuales coincida enposicion con los dıgitos de p0, como es el caso, por ejemplo, de 0123456789o 4545454545 (= 45). El numero de tales perıodos es de 910. Entre ellos va-mos a elegir, los dos ejemplos anteriores, a los que nos referiremos como p1 yp2 respectivamente (p1 = 0123456789, p2 = 4545454545). Ahora definimos lasiguiente sucesion de antidiagonales racionales 〈An〉:

∀n ∈ N : An = 0.p1p1 n. . . p1p2 (21)

cuyos elementos no pueden estar en Tp por la misma razon que la antidiagonalde Cantor: difiere de cada fila rn precisamente en su n-esima cifra decimal. Ysiendo todos ellos numeros racionales, debemos concluir que MQ y su super-conjunto Q son ambos no numerables.

180 La permutacion P nos permite desarrollar otros argumentos cuyas con-clusiones sugieren tambien la inconsistencia de la hipotesis del infinito actual.Por ejemplo, esta claro que la fila 0.21, y muchas otras, nunca pueden con-vertirse en D-modulares, y entonces tendrıamos que admitir el absurdo de queP las hace desaparecer de la tabla. En efecto, sea n cualquier numero naturaly supongamos que, por ejemplo, 0.21 es la n-esima fila de Tp. Puesto que n

es finito, 0.21 estara precedido por un numero finito de filas n-modulares yseguido por un numero infinito de filas n-modulares, de acuerdo con el teore-ma 165 del n-esimo decimal. En consecuencia, 0.21, que no es n-modular,3 seintercambio con alguna de esas filas n-modulares, y entonces no puede ser lan-esima fila de Tp. Por lo tanto, y siendo rn una fila cualquiera de Tp, debemos

concluir que 0.21 ¡ha desaparecido de la tabla!

181 El absurdo anterior 180 es la clase de cosas que uno puede esperar deuna lista en la que cada elemento tiene un numero finito de predecesores y unnumero infinito de sucesores. Una lista en la que, a pesar de tener un numeroinfinito de elementos sucesivos, es imposible alcanzar un elemento con un nume-ro infinito de predecesores (lo que, evidentemente, hace posible al argumentoanterior). Una lista, en fin, que es a la vez completa (como la hipotesis delinfinito actual requiere) e incompletable (porque no existe un ultimo elementoque complete la lista).

3Para cada n-esima cifra decimal de 0.21 se verifica (n mod 10) = 2 si n es impar, o (n mod10) = 1 si es par.

Un nota final —— 59

182 La permutacion P, se puede considerar incluso como un caso de su-pertarea (hipercomputacion): sea 〈tn〉 una sucesion estrictamente creciente yω−ordenada de instantes en un intervalo finito de tiempo (ta, tb), siendo tb ellımite de la sucesion. Supongamos que P se aplica a cada fila ri justo en elpreciso instante ti de 〈tn〉. Por lo tanto, ri se mantendra sin cambios si se tratade una fila D-modular (o si no es D-modular pero no se puede D-intercambiar)o sera D-intercambiada por cualquier fila i-modular siguiente. En el instantetb la permutacion P se habra aplicado a cada fila de T como lo demuestra labiyeccion f(ti) = ri.

183 Supongamos que en tb, una vez completada la hipercomputacion P, latabla permutada Tp contiene una fila rn que no es D-modular. Esta fila, seala que sea, estara precedida por un numero finito de filas y seguida por unnumero infinito de filas, un numero infinito de las cuales son n-modulares, ypor tanto D-intercambiables con rn. En consecuencia rn fue D-intercambiada.Por lo tanto rn solo puede ser D-modular en Tp.

184 Ser simultaneamente completo e incompletable (porque no hay ultimoelemento que complete), como ocurre con los objetos ω−ordenados, podrıa ser,despues de todo, contradictorio.

Un nota final185 Terminemos recordando que un argumento no puede ser refutado conotro argumento diferente. En palabras de W. Hodges: [101, p. 4]

¿Como puede alguien caer en un estado mental en el que se persuade ası mismo de que es posible criticar un argumento sugiriendo otro argumentodiferente que no llega a la misma conclusion?

Esta estrategia inadmisible es usada frecuentemente en los debates relaciona-dos al infinito, por ejemplo para refutar los argumentos de Cantor sobre lanaturaleza no contable de los numeros reales. Refutar un argumento significaindicar donde y por que ese argumento falla. Si dos argumentos conducen aconclusiones contradictorias, simplemente estan demostrando la existencia deuna contradiccion.

11.-Intervalos racionales

Introduccion186 En este capıtulo se desarrollan dos argumentos relacionados con la car-dinalidad del conjunto Q de los numeros racionales. En el primero de ellos sedefine una sucesion de intervalos racionales positivos cuyos sucesivos elementosse definen por medio de una sucesion ω−ordenada de numeros racionales po-sitivos que contiene a todos los numeros racionales positivos. Como veremos,estos intervalos contienen numeros racionales positivos que no son miembrosde la sucesion definidora pero que tendrıan que ser miembros de la sucesiondefinidora. En el segundo argumento redefiniremos un intervalo racional porsucesivas redefiniciones de su extremo derecho. El resultado es tambien unacontradiccion relacionada con la cardinalidad del conjunto Q de los numerosracionales.

Una particion cantoriana187 Como es sabido, el conjunto de los numeros racionales en su naturalorden de precedencia esta densamente ordenado. Por lo tanto, si a y b son dosnumeros racionales cualquiera, entonces el el intervalo (a, b) contiene infinitosnumeros racionales diferentes, independientemente de lo cerca que a este de b. Oen otras palabras (y al contrario de lo que ocurre con cualquier numero naturalde la sucesion 1, 2, 3. . . ), ningun numero racional tiene ni sucesor inmediatoen el orden natural de precedencia de los numeros racionales. Esta propiedadtrivial de los numeros racionales sera de capital importancia en argumento quesigue.

188 Sea f una correspondencia uno a uno entre el conjunto N de los numerosnaturales y el conjunto numerable Q+ de los numeros racionales positivos, yconsideremos la sucesion ω−ordenada 〈qn〉 definida por:

∀i ∈ N : qi = f(i) (1)

Puesto que f es una biyeccion, esta claro que la sucesion 〈qn〉 contiene a todoslos numeros racionales. Obviamente el ω−orden de 〈qn〉 hace posible poderconsiderar sucesivamente todos sus elementos: q1, q2, q3 . . . , lo que a su vezhace posible el siguiente procedimiento.

61

62 —— Intervalos racionales

189 Sea (a, b] cualquier intervalo cerrado por la derecha de numeros racionalespositivos. Siguiendo una estrategia similar a la del argumento de Cantor de 1874[31], definiremos ahora una sucesion de intervalos disjuntos y adyacentes pormedio de los sucesivos elementos q1, q2, q3 . . . de la sucesion 〈qn〉 de acuerdocon el siguiente procedimiento P :

Considerense los sucesivos qi de 〈qn〉 en su w-orden de precedencia q1, q2,q3,. . . . Para cada qi:

Si, y solo si, qi pertenece a un intervalo (x, y] previamente definido,incluyendo el intervalo inicial (a, b], y qi no es un extremo de (x, y],entonces divıdase (x, y] en los dos intervalos disjuntos y adyacentes(x, qi] y (qi, y]. Obviamente:

(x, y] = (x, qi] ∪ (qi, y] (2)

(x, qi] ∩ (qi, y] = ∅. (3)

Tendremos finalmente una sucesion S de intervalos disjuntos y adyacentes:

S = (a, x1](x1, x2](x2, x3] . . . (4)

donde cada xi es un cierto elemento de 〈qn〉.

190 Notese que:

1. Todo elemento qi 6= y en el interior de un intervalo previamente defini-do, incluyendo (a, b], divide a ese interval en dos intervalos disjuntos yadyacentes, siendo qi el punto de division.

2. Los sucesivos intervalos de S se definen de dos en dos, siendo cada nuevapareja de intervalos el resultado de dividir un intervalo previo, incluyendo(a, b], en dos intervalos disjuntos y adyacentes.

3. Cada extremo de un intervalo dividido continua siendo extremo en unode los nuevos intervalos.

4. Como consecuencia de los tres puntos anteriores, una vez que un elementode 〈qn〉 ha sido usado para dividir un intervalo en dos nuevos intervalosdisjuntos y adyacentes, ese elemento continuara siendo el extremo comunde dos intervalos disjuntos y adyacentes.

5. Puesto que a /∈ (a, b) y a es menor que cualquier elemento dentro de(a, b), es imposible dividir un intervalo cuyo extremo izquierdo es a endos nuevos intervalos de modo que el primero de ellos tenga un extremoizquierdo menor que a. Por lo tanto siempre habra un primer intervalocuyo extremo izquierdo es a.

191 Sea z el primer elemento de 〈qn〉 dentro de (a, b] cuando los elementosde 〈qn〉 son sucesivamente considerados en su ω-orden de precedencia q1, q2,q3, . . . El numero racional z definira por primera vez el primer intervalo (a, z]diferente de (a, b] con el extremo izquierdo a. Supongamos que este intervalo

Una particion cantoriana —— 63

contiene al menos un numero finito n de elementos de la sucesion 〈qn〉. Deacuerdo con P , y una vez considerados sucesivamente todos esos elementos,tendremos:

(a, z] = (a, y1] ∪ (y1, y2] ∪ · · · ∪ (yn, z] (5)

(a, y1] ∩ (y1, y2] ∩ · · · ∩ (yn, z] = ∅ (6)

donde cada yi es un elemento de 〈qn〉. Obviamente el orden de los ındices delas ys no es el mismo que el de las qs en 〈qn〉. Es destacable, por otra parte,que las ecuaciones (5) y (6) resultan de la ejecucion de un numero finito depasos del procedimiento P .

192 De acuerdo con 190-5, la sucesion S debe contener necesariamente unprimer intervalo cuyo extremo izquierdo es a. Sea (a, x] ese intervalo, donde xes un cierto elemento de 〈qn〉. Puesto que todos los intervalos racionales sondensamente ordenados, entre a y x existen infinitos racionales diferentes. Sea qun elemento cualquiera del intervalo (a, x] diferente de x. Como veremos ahora,q no puede ser un elemento de la sucesion 〈qn〉.

193 Supongase que q es un cierto elemento qv de 〈qn〉. Tendrıamos:

qv ∈ (a, x] ⊆ (a, z] (7)

donde (a, z] es el primer intervalo definido por P . Si qv precede a x en el ω−or-den de 〈qn〉, entonces, y de acuerdo con 191, cuando P considera qv, solo unnumero finito v−1 de elementos de 〈qn〉 habran sido considerados y tendremos:

qv ∈ (a, z] = (a, y1] ∪ (y1, y2] ∪ · · · ∪ (yk, z] (8)

(a, y1] ∩ (y1, y2] ∩ · · · ∩ (yk, z] = ∅ (9)

para un cierto numero natural k, siendo cada yi un elemento de 〈qn〉. En estascondiciones, cuando P considera qv este elemento ha de pertenecer a uno delos intervalos (8) y entonces habra sido usado para dividir ese intervalo endos nuevos intervalos disjuntos y adyacentes, siendo qv su extremo comun. Enestas condiciones, cuando P considera x sera imposible definir un intervalo(a, x] que contiene a qv porque, de acuerdo con 190-4, qv es el extremo comunde dos intervalos disjuntos y adyacentes. Por otra parte, si qv sigue a x en elω−orden de 〈qn〉, entonces P habrıa usado a qv para dividir (a, x] en (a, qv] y(qv, x].

194 De acuerdo con 193, si q es un elemento qv de 〈qn〉, entonces (a, x] noserıa el primer intervalo de S. Por lo tanto, y siendo (a, x] el primer intervalode S, ningun elemento qv de 〈qn〉 diferente de x puede pertenecer a (a, x]. Y noolvide que (a, x] esta densamente ordenado. Hemos de concluir que el numeroracional positivo q ∈ (a, x] no puede ser un elemento de 〈qn〉. Lo que pruebaque la sucesion 〈qn〉, que contiene todos los numeros racionales positivos, nocontiene todos los numeros racionales positivos.


Un intervalo racional menguante195 Siendo numerable el conjunto Q de los numeros racionales, existe unacorrespondencia uno a uno entre el conjunto N de los numeros naturales yQ. Por lo tanto la sucesion ω−ordenada 〈f(i)〉 = f(1), f(2), f(3),. . . contienetodos los numeros racionales. Definamos ahora un a-intervalo como un intervaloabierto cualquiera de numeros racionales cuyo extremo izquierdo es el numeroracional a. Sea Aa uno de esos a-intervalos. Diremos que Aa es a-redefinidosi es redefinido como un nuevo a-intervalo. Considerese entonces la siguientesucesion 〈Di(Aa)〉 de a-redefiniciones del a-intervalo Aa:

i = 1, 2, 3 . . .

{Si f(i) ∈ Aa Entonces Di(Aa) : Aa = (a, f(i))

Si f(i) /∈ Aa Entonces Di(Aa) : Aa no cambia(10)

196 Es inmediato demostrar que para todo numero natural v es posible rea-lizar las primeras v a-redefiniciones D1,2,...v(Aa) del a-intervalo Aa. En efecto,es claro que D1(Aa) se puede realizar: puesto que f(1) es un numero racionalpertenecera, o no, a Aa. En el primer caso Aa es redefinido como (a, f(1));en el segundo como (a, b). Supongamos que para cualquier numero natural nes posible realizar las primeras n a-redefiniciones D1,2,...n(Aa), de modo queAa = (a, x) y x es o bien uno de los primeros n elementos de 〈f(i)〉 o b. Puestoque f(n + 1) es un numero racional pertenecera, o no, a (a, x). En el primercaso Aa es redefinido como (a, f(n + 1)); en el segundo como (a, x). Tenemosentonces que D1(Aa) se puede realizar y que, siendo n un numero natural cual-quiera, si se pueden realizar D1,2,...n(Aa) entonces tambien se pueden realizarD1,2,...n+1(Aa). Esto prueba que para todo numero natural v es posible realizarlas primers v definiciones D1,2,...v(Aa) del a-intervalo Aa.

197 Supongamos ahora que mientras las sucesivas a-redefiniciones Di(Aa) sepueden llevar a cabo, se llevan a cabo. Una vez realizadas todas las posiblesa-redefiniciones Di(Aa), el a-intervalo Aa seguira siendo un a-intervalo, y unoque ha sido a-redefinido un cierto numero de veces. De lo contrario tendrıamosque aceptar que la ejecucion de una sucesion infinita de redefiniciones tieneconsecuencias arbitrarias e inesperadas sobre el objeto definido, y lo mismocabrıa esperar en cualquier otra definicion, procedimiento o prueba formada porun numero infinito de pasos sucesivos. Por consiguiente, una vez completadastodas las posibles a-redefiniciones del a-intervalo Aa, y por indeterminable quepueda ser su extremo derecho, Aa sera un cierto a-intervalo (a, x). Y eso estodo lo que necesitamos saber para proseguir nuestro argumento.

198 Sea q un elemento cualquiera de Aa = (a, x). Obviamente q es un numeroracional, pero no puede ser un elemento de la sucesion 〈qn〉. En efecto, supon-gamos que q es un cierto elemento qv de 〈qn〉. Puesto que qv ∈ (a, x), esto im-plicarıa que Dv(Aa) no se ha llevado a cabo porque Dv(Aa) habrıa a-redefinidoal a-intervalo Aa como (a, qv) y entonces serıa imposible que qv ∈ (a, x). Pero,por otra parte, v es un numero natural, y de acuerdo con 196, las primeras va-redefiniciones D1,2,...v(Aa) se han llevado a cabo. Esto prueba la falsedad denuestra hipotesis inicial sobre q, en consecuencia q no es un elemento de 〈qn〉.

Discusion —— 65

El problema es que, siendo Q numerable, 〈qn〉 contiene a todos los numerosracionales. Hemos de concluir, pues, que 〈qn〉 contiene y no contiene a todoslos numeros racionales.

Discusion199 Los Beitrage (’Contribuciones’)1, de Cantor publicados en 1895 (ParteI, [36]) y 1897 (Paret II, [37]) contienen los fundamentos de la teorıa de loscardinales y ordinales transfinitos. El epıgrafe 6 del primer artıculo empiezaasumiendo la existencia del conjunto de todos los cardinales finitos como unatotalidad completa (aunque mas que como una hipotesis es introducida comoun ejemplo de ’conjunto transfinito’ cuya existencia como una totalidad com-pleta Cantor dio por sentada). Esta hipotesis implıcita (equivalente al modernoAxioma del Infinito) es la unica hipotesis en la teorıa de Cantor de los numerostransfinitos. A partir de ella, Cantor dedujo la existencia de sucesiones cre-cientes de ordinales transfinitos (Teoremas §15 A-K) y cardinales transfinitos(Teoremas §16 D-F). La consistencia de la teorıa de Cantor descansa, pues, enla consistencia de esa unica hipotesis fundacional.

200 En el ano 1874 Cantor demostro por primera vez que el conjunto delos numeros reales no es numerable [31], [32], [43]. Dos de las tres alternativasfinales de la prueba de Cantor se pueden aplicar tambien al conjunto de losnumeros racionales. En consecuencia, es necesario demostrar que esas alterna-tivas nunca son satisfechas por el conjunto de los numeros raciones. En otrocaso ese conjunto serıa y no serıa numerable- Hasta ahora, y hasta donde yose, este problema ni siquiera ha sido planteado.

201 En el ano 1891 Cantor demostro por segunda vez que el conjunto de losnumeros reales no es numerable, ahora con su famoso metodo de la diagonal,un impecable Modus Tollens [35].La antidiagonal de Cantor es un numero realdel intervalo (0, 1), y siendo real sera racional o irracional. Si fuera racionaltendrıamos el mismo problema que con su argumento de 1874. Por tanto, sedeberıa demostrar formalmente que ninguna permutacion de las ℵo filas de latabla de Cantor origina una diagonal racional (las antidiagonales racionales sededucen inmediatamente de las diagonales racionales).

202 El referido argumento de Cantor de 1874 empieza demostrando que elconjunto de los numeros algebraicos (y por tanto el conjunto des los numerosracionales) es numerable. Algunos anos despues, en 1885, Cantor publico uncorolario inmediato de ese resultado: las particiones no numerables de la rectareal son imposibles, por la unica razon de que si fueran posibles entonces elconjunto de los numeros racionales serıa no numerable [34]. Por consiguiente,y como en los argumentos de Cantor de 1874 y 1891, y por las mismas razones,deberıamos demostrar la imposibilidad de las particiones no contables de larecta real mediante un argumento independiente del corolario de Cantor.

1Traduccion inglesa [39].


203 En conclusion, y para asegurar que la teorıa de conjuntos esta libre deinconsistencias relacionadas con la cardinalidad del conjunto de los numerosracionales, los argumentos de Cantor de 1784, 1885 y 1891 deberıa ser comple-tados en el sentido indicado en 200-202.

204 Por otra parte los argumentos anteriores sobre intervalos racionales de-muestran dos contradicciones relacionadas con la cardinalidad del conjunto delos numeros racionales, lo que unicamente puede significar que ese conjuntoes y no es numerable. Si ese fuera el caso, y de acuerdo con 199, la supuestaexistencia de los conjuntos infinitos como totalidades completas serıa inconsis-tente, simplemente porque esa hipotesis es la unica hipotesis de la teorıa de losnumeros transfinitos.

12.-Particiones no contables

Introduccion

205 El argumento de Cantor de 1874 y el argumento de la diagonal del mis-mo autor demostraron que el conjunto de los numeros reales no es numerable.Aunque el argumento de la diagonal ha recibido varias crıticas, creo que am-bos argumentos estan bien fundados y de hecho prueban que el conjunto delos numeros reales no puede ser numerable. Ambos argumentos, sin embargo,tambien podrıan aplicarse al conjunto de los numeros racionales, el primero deellos con ciertas limitaciones.

206 Obviamente, si fuera posible aplicar alguno de esos argumentos al con-junto Q de los numeros racionales, estarıamos frente a una contradiccion fun-damental: ese conjunto serıa y no serıa numerable. Y la causa de esta contra-diccion solo podrıa ser la hipotesis del infinito actual subsumida en el Axiomadel Infinito.

207 Por consiguiente, el Axioma del infinito estara en cuestion hasta que sepruebe la imposibilidad de satisfacer los requisitos de ambos argumentos deCantor para que puedan ser aplicados al conjunto de los numeros racionales.Y esto es un hecho, no una hipotesis mas o menos discutible. Durante mas deun siglo nadie haya hecho notar que, en efecto, sera necesario demostrar esaimposibilidad para garantizar la consistencia del Axioma del Infinito. Lo quetambien es un hecho. Y uno realmente chocante, teniendo en cuenta el elevadonumero de personas que han estudiado ambos argumentos, particularmente elargumento de la diagonal.

208 Como veremos en este capıtulo, existe un tercer argumento de Cantor[34] que implica la cardinalidad del conjunto Q de los numeros racionales, y quetambien podrıa utilizarse para poner a prueba la consistencia de la hipotesisde infinito actual.

La prueba de Cantor de 1885

209 Para resumir el argumento de Cantor de 1885 sobre la existencia departiciones no contables, supongamos que la recta real se divide en una sucesion

67

68 —— Particiones no contables

no contable Pα de intervalos adyacentes:

(xa, ya](xb, yb](xc, yc] . . . , (1)

xb = ya, xc = yb, . . . (2)

Siendo cada (xα, yα] un intervalo real, contiene infinitos numeros racionales. Ysiendo:

(xp, yp] ∩ (xu, yu] = ∅, para todo par de intervalos de Pα (3)

podrıamos seleccionar un numero racional qh dentro de cada intervalo (xh, yh]de la particion Pα y finalmente tendrıamos un conjunto no numerable de dife-rentes numeros racionales, lo cual es imposible porque el conjunto de numerosracionales es numerable.

210 Como acabamos de ver, la prueba de Cantor de 1885 se basa en un resul-tado infinitista anterior, a saber, que el conjunto Q de los numeros racionaleses numerable, un resultado que habıa sido previamente probado por el mismoCantor [31]. Por lo tanto, la prueba de Cantor de 1885 no es una prueba in-dependiente en el sentido de que no demuestra la imposibilidad de definir unaparticion no-contable en la recta real, sino una prueba de que esa particionentrarıa en conflicto con la cardinalidad numerable de los numeros racionales.Por consiguiente, si fuera posible definir una particion no-contable en la rectareal estarıamos ante una contradiccion fundamental que implica de nuevo lacardinalidad de Q, y por tanto la consistencia de la hipotesis del infinito actualde la cual se deriva esa conclusion.

211 Ası, por tercera vez, nos enfrentamos a un hecho sorprendente: ¿como esposible que durante mas de un siglo nadie haya tratado de definir una particionno numerable en la recta real, o de demostrar la imposibilidad de tal particion?Como el lector podra imaginar, en la siguiente seccion trataremos de definiruna tal particion.

Particiones en la recta real212 El Conjunto Ternario de Cantor (tambien conocido como Polvo de Can-tor) es un objeto matematico bien conocido que solemos descubrir en los cur-sos introductorios de calculo, analisis matematico o geometrıa fractal [123]. Ladefinicion del Conjunto Ternario de Cantor es un ejemplo apropiado de pro-cedimiento infinitista de infinitos pasos sucesivos que, ademas, se asemeja alprocedimiento H (vease 216) que sera usado en el siguiente argumento. Comoveremos, H permite definir una particion en la recta real con la unica ayudade los elementos del intervalo real (0, 1).

213 Pero recordemos ahora como se define el Conjunto Ternario de Cantor.Considere el intervalo real cerrado [0, 1]. Si eliminamos el tercio central abierto(1/3, 2/3) de este intervalo tendremos dos intervalos cerrados:

[0, 1/3], [2/3, 1] (4)

Particiones en la recta real —— 69

Figura 12.1: Los primeros cinco pasos de la sucesion infinita de pasos que definen el conjuntoternario de Cantor.

Si eliminamos el tercio central abierto de cada uno de estos intervalos, (1/9, 2/9)y (7/9, 8/9), obtendremos cuatro intervalos cerrados

[0, 1/9], [2/9, 1/3], [2/3, 7/9], [8/9, 1] (5)

Si ahora quitamos el tercio central abierto de cada uno de estos intervalosse obtienen ocho intervalos cerrados, cuyos tercios centrales abiertos puedende nuevo ser eliminados, y ası sucesivamente. Al seguir este procedimiento adinfinitum definiremos el Conjunto Ternario de Cantor (Figura 12.1).

214 Antes de empezar nuestra discusion, parece conveniente recordar queel procedimiento anterior de infinitos pasos sucesivos es considerado como unatotalidad completa de pasos cuyo resultado final es un conjunto completamentedefinido: el conjunto ternario de Cantor.

215 En el siguiente argumento, y para evitar discusiones innecesarias, usa-remos la notacion matematica estandar en lugar de la notacion informatica,aunque esta ultima serıa mas simple. Consideremos dos conjuntos identicos A= B = (0, 1) de numeros reales, y dos conjuntos identicos de ındices I y J cu-yos elementos seran referidos como a, b, c, d, e,. . . y cuya cardinalidad es 2ℵo .Siendo (0, 1) e I de la misma cardinalidad, los elementos de (0, 1) se puedenindexar como ra, rb, rc, rd,. . . Consideremos tambien las variables reales u e vinicialmente definidas como u = v = 0.

216 Definimos ahora el siguiente procedimiento H que consiste en repetir elmismo paso condicional hasta que la condicion sea satisfecha:

Paso: Si A = ∅, o I = ∅ fin del procedimiento. Si no:

| Elegir como α cualquier elemento de J| I = J − {α}| J = I| Elegir como rα cualquier elemento de B| A = B − {rα}| B = A| v = u+ rα| (xα, yα] = (u, v]| Pα = {(xα, yα]}| u = v

Siguiente paso


217 Cada paso de H consiste en eliminar un ındice cualquiera α de I (ha-ciendo uso del conjunto intermediario J) que servira para indexar y eliminardel conjunto A (haciendo uso del conjunto intermediario B) uno cualquiera desus elementos rα, que se utilizara despues para definir un nuevo intervalo real(xα, yα] disjunto y adyacente al intervalo previamente definido, siempre que nosea el primer intervalo definido. Este nuevo intervalo define el conjunto Pα, cu-yo unico elemento es ese intervalo. Puesto que la suma de dos numeros reales,como u+ rα, es un numero real, el procedimiento H vacıa completamente losconjuntos I, J , A y B.

218 Definimos ahora la siguiente particion P en la recta real:

P =⋃

α

Pα =⋃

α

{(xα, yα]} = {(xa, ya], (xb, yb], (xc, yc], (xd, yd], . . . } (6)

cuyos elementos son intervalos reales adyacentes y disjuntos puesto que xb = ya,xc = yb, xd = yc. . . . Por tanto:

(xh, yh] ∩ (xs, ys] = ∅, ∀h, s ∈ I; h 6= s (7)

(xh, yh] ∪ (xi, yi] = (xhyi] (8)

siendo (xh, yh] y (xi, yi] adyacentes y disjuntos. De acuerdo con su definicion, yteniendo en cuenta que cada elemento de (0, 1) es diferente de cualquier otro,los intervalos de la particion P tambien satisfacen::

∀(xh, yh],(xs, ys] ∈ P : (9)

yh − xh = rh ∈ (0, 1) (10)

ys − xs = rs ∈ (0, 1) (11)

rh 6= rs (12)

lo que, por otro lado, significa que cada intervalo de la particion P tiene unalongitud diferente, mayor que cero.

219 Cada intervalo (xh, yh] de P define un numero real yh−xh = rp dentro delintervalo real (0, 1), que es precisamente el numero real rh usado para definir(xh, yh] y solo (xh, yh], porque rh es eliminado de A una vez definido (xh, yh].Ası, es inmediato definir una biyeccion entre P y (0, 1). En efecto, consideresela correspondencia f :

f : P ↔ (0, 1) (13)

f((xh, yh)) = yh − xh = rh (14)

Puesto que, de acuerdo con la definicion 216, cada yp − xp es un elementode (0, 1), y teniendo en cuenta (9)-(12), la correspondencia f es una funcioninyectiva. Tambien es exhaustiva porque, de acuerdo con la definicion 216,todos y cada uno de los elementos rh de (0, 1) fueron usados para definir un

Particiones en la recta real —— 71

Figura 12.2: Cada intervalo real (xh, yh] de P tiene una longitud diferente yh − xh definidapor un elemento diferente rh de (0, 1). Eligiendo un numero racional qh en cada intervalo(xh, yh] obtendremos un conjunto de numeros racionales de la misma cardinalidad que P , ypor tanto que (0, 1).

intervalo diferente (xh, yh], y solo uno, porque cada rh fue retirados de A una vezdefinido el correspondiente intervalo. Por consiguiente f es una correspondenciauno a uno (biyeccion). En consecuencia la particion P y el intervalo real (0, 1)tienen la misma cardinalidad: 2ℵo .

220 Ahora, siguiendo la sugerencia de Cantor, solo tendrıamos que elegir unnumero racional qh cualquiera dentro de cada intervalo1 (xh, yh] de la particionP y tendrıamos un conjunto no numerable de numeros racionales{qa, qb, qc,. . . }.En consecuencia, y teniendo en cuenta que se ha demostrado tambien que elconjunto de los numeros racionales Q es numerable, tendrıamos una nuevacontradiccion relacionada con la cardinalidad de Q.

221 Por tercera vez, al completar un argumento incompleto de Cantor, hemosencontrado una contradiccion fundamental que implica a la cardinalidad delconjunto Q de los numeros racionales. Como en los casos anteriores, esta nuevacontradiccion apunta hacia inconsistencia de la hipotesis del infinito actualsubsumida en el Axioma del Infinito. Es de hecho este axioma el que hacelegıtima la existencia de los conjuntos infinitos como totalidades completas y,por tanto, la completitud de los procedimientos de infinitos pasos, como eldefinido en 216, del que deriva la contradiccion.

222 Evidentemente, la afirmacion de que en realidad es imposible completaren terminos fısicos cualquier procedimiento infinito, como el procedimientoanterior H, no tiene ningun efecto sobre el argumento, sobre todo por las dosrazones siguientes:

1. Como la mayorıa de los argumentos infinitistas, el argumento 215-220tambien es una discusion conceptual no relacionada con el mundo fısico.La consistencia formal de la hipotesis de infinito actual no depende de las

1Cada intervalo real contiene un subconjunto infinito y densamente ordenado de numerosracionales.


posibilidades reales de llevar a cabo tal o cual procedimiento, sino de laexistencia de contradicciones formalmente derivadas de esa hipotesis. Losresultados contradictorios en los sistemas formales dependen exclusiva-mente de la consistencia formal de sus supuestos fundacionales, indepen-dientemente de las posibilidades de llevar fısicamente a cabo los finitos oinfinitos pasos involucrados en los correspondientes argumentos.

2. Las matematicas infinitistas dan por sentado la complecion de todas lasdefiniciones y procedimientos consistentes en una infinidad de pasos yconsideran los objetos resultantes como totalidades infinitas completas,como en el ejemplo introductorio del conjunto ternario de Cantor. Elargumento 215-220 no puede ser una excepcion.

13.-Cajas y conjuntos

Introduccion223 Desde el punto de vista platonico (la perspectiva dominante en las ma-tematicas contemporaneas), todos los intentos de definir el concepto de conjun-to han sido circulares, de modo que ahora se considera una nocion primitiva,es decir, un concepto que no puede ser definido en terminos de otros conceptosmas basicos.

224 Desde un punto de vista no platonico, sin embargo, es posible definir lanocion de conjunto como una elaboracion mental. Por ejemplo, Charles Dogson(mas conocido como Lewis Carroll) propuso el siguiente concepto [44, p. 31]:

La clasificacion, o la formacion de clases, es un proceso mental, en el queimaginamos que hemos reunido, en un grupo, ciertas cosas. Ese grupo sellama una clase.

La definicion de Carroll conduce inmediatamente a la siguiente:

Un conjunto es un objeto teorico que resulta de la agrupacion mental deelementos arbitrarios previamente definidos.

Puede demostrarse que esta definicion no es compatible con la autorreferen-cia una de las fuentes de inconsistencias en la teorıa primitiva (cantoriana) deconjuntos. Pero este tipo de definiciones no platonicas son absolutamente des-conocidos en las matematicas contemporanea. Introduciremos algunas de ellasen el Apendice B.

225 Podrıamos imaginar un conjunto como una especie de caja que contieneelementos. Y mientras que el numero de elementos sea finito la comparacionsera siempre consistente. No obstante, cuando el numero de elementos es infini-to la comparacion no es viable Como veremos en este capıtulo, la consideracionde un conjunto infinito como una caja que contiene un numero infinito de ele-mentos conduce a situaciones logicamente insostenibles.

Vaciando cajas y conjuntos226 Consideremos una caja BX que contiene una coleccion ω−ordenada debolas etiquetados como b1, b2, b3, . . . Y consideremos tambien un conjuntoω−ordenado B cuyos elementos son tambien la misma coleccion numerable de

73

74 —— Cajas y conjuntos

bolas etiquetadas como b1, b2, b3,. . . :

B = {b1, b2, b3 . . . } (1)

227 A partir de B definimos la siguiente sucesion ω−ordenada 〈Bn〉 de con-juntos:

i = 1, 2, 3, . . .

{i = 1 : Bi = B − {bi}

i > 1 : Bi = Bi−1 − {bi}(2)

〈Bn〉 es, por tanto, la sucesion de conjuntos anidados:

B1 ⊃ B2 ⊃ B3 ⊃ . . . (3)

cada uno de cuyos miembros Bn = {bn+1, bn+2, bn+3, . . . } es un conjunto nume-rable.

228 Sea ahora [ta, tb] un intervalo finito cualquiera de tiempo y 〈tn〉 unasucesion ω−ordenada y estrictamente creciente de instantes en [ta, tb], cuyolımite es tb. Supongamos que en cada instante ti de 〈tn〉 se retira de la cajaBX la bola bi. Sea BX(ti) el estado de la caja (la coleccion restante de bolasdentro de la caja) en el instantanea ti, una vez retirada la bola bi. La extraccionde las sucesivas bolas se puede expresar de una forma semejante a (2:)

i = 1, 2, 3, . . .

{i = 1 : BX(ti) = BX(ta)− bi

i > 1 : BX(ti) = BX(ti−1)− bi(4)

229 La biyeccion f(ti) = bi demuestra que en el instante tb se habran reti-rado todas las bolas de la caja y BX estara vacıa. Comparando (2) con (4)tendremos:

BX(ti) = Bi, ∀i ∈ N (5)

230 Existe, sin embargo, una diferencia fundamental entre la sucesion deconjuntos 〈Bn〉 y la sucesion de estados 〈BX(ti)〉: en cada una de las sucesivassustracciones de bolas (4) la caja BX es siempre es la misma caja BX, mientrasque los conjuntos definidos por cada una de las sucesivas sustracciones de bolas(2) son todos ellos diferentes. Como consecuencia tendremos una caja final vacıapero no un conjunto final vacıo. Abordaremos este problema en el Capıtulo 19.

231 Mientras tanto, notese que en cada instante t de [ta, tb) la caja contieneℵo bolas, y que en el instante tb esta vacıa. Veamos que ası es, puesto que tb esel lımite de la sucesion 〈tn〉, tendremos:

∀t ∈ [ta, tb) : ∃v : tv ≤ t < tv+1 (6)

y entonces en el instante t solo se han retirado de la caja las primera v bolasb1, b2, . . . bv, de modo que en el instante t la caja BX aun contiene un numero

Capturando una falacia —— 75

infinito de bolas bv+1, bv+2, bv+3, . . . Puesto que esta conclusion se aplica atodo instante t dentro de [ta, tb), la unica forma de que la caja quede vacıaen el instante tb serıa retirando simultaneamente un numero infinito de bolasen el preciso instante tb. ¿Como es esto posible si en el instante tb ya no seretira ninguna bola de la caja? ¿Como es posible si las bolas se retiran unaa una y con un intervalo de tiempo mayor que cero entre cada dos sucesivasextracciones? ¿Como es posible que en esas condiciones la caja nunca contenga. . . 5, 4, 3, 2, 1, 0 bolas?

232 Aunque no es muy habitual, es absolutamente legıtimo redefinir un con-junto cualquier numero finito o infinito de veces. Ninguna ley de la logica niaxioma fundamental de la teorıa de conjuntos se viola por la redefinicion de unconjunto, de la misma forma que no se violan cuando se redefine una variable.Ası pues, consideremos la siguiente sucesion de redefiniciones de los conjuntosde X e Y , a partir de la sucesion 〈Bn〉:

i = 1, 2, 3 . . .

{X = Bi

Y = B2

(7)

Mientras que la sucesion de redefiniciones del conjunto Y no plantea ningunproblema, y finalmente tendremos Y = B2, las sucesivas redefiniciones delconjunto X plantea el siguiente problema: las redefiniciones 7 solo pueden dejara X definido como el conjunto vacıo,1 mientras que ninguno de sus infinitasredefiniciones lo define como el conjunto vacıo, ya que todos los conjuntos Bi

son numerables.

233 En el capıtulo siguiente tendremos la oportunidad de analizar otro con-flicto mas serio relacionado con una sucesion (finita o infinita) de redefinicionesde un conjunto.

Capturando una falacia234 En el siguiente argumento conceptual haremos uso de la misma caja BXcon la misma coleccion de bolas etiquetadas 〈bn〉. Aunque la caja estara provistade siguiente:

Mechanism de cierre 234.-Un sensor de masa es regulado de formaque cerrara automaticamente la caja si contiene k bolas, siendo k unnumero natural aleatoriamente elegido por el mecanismo de cierreuna vez encendido.

Haremos tambien uso de la misma sucesion de instantes 〈tn〉 y supondremosque el mecanismo de cierre se regula antes de t1.

235 Supongamos ahora que, mientras la caja esta abierta, en cada precisoinstante ti de 〈tn〉 se extrae de la caja la bola bi. Es destacable de esta forma

1De lo contrario solo un numero finito de definiciones se habrıan realizado, porque cualquierelemento bn perteneciente a X estarıa demostrando que la n-esima redefinicion (que define aX como {bn+1, bn+2, bn+3, . . . }) no se habrıa efectuado.


Figura 13.1: 1.-Extraccion de bolas de la caja BX. 1.-La caja BX y su cierre automatico enel preciso instante t1 de extraer la primera bola b1. 2.-La caja se cierra de forma automaticacuando contiene k bolas. 3.-La caja no se cierra y esta vacıa en el instante tb porque todassus bolas se extrajeron simultaneamente.

de retirar las bolas, que entre la extraccion de la cada bola bi y la extraccionde la bola siguiente bi+1 siempre pasa un tiempo mayor que cero (ti+1 − ti).Ası pues, la extraccion de las bolas se realiza de una en una, una despues de laotra y con un intervalo no nulo de tiempo entre cada dos extracciones sucesivas.

236 Si el mecanismo de cierre 234 funciona como tiene que funcionar entonces,y teniendo en cuenta que las bolas son extraıdas una a una, y con un intervalode tiempo no nulo entre cada dos extracciones sucesivas, en el instante tb lacaja BX solo puede estar cerrada con un numero k de bolas en su interior. Apesar de ello, analizaremos tambien la posibilidad de que en el instante tb lacaja vacıa y abierta.

237 Analicemos en primer lugar el caso en el que la caja BX esta cerrada enel instante tb. Esta alternativa es posible solo si la caja contiene un numero kde bolas, pero esta conclusion plantea los siguientes problemas:

1. Teniendo en cuenta la forma ω−ordenada en la que las bolas han sidosucesivamente extraıdas una a una (b1, b2, b3, . . . ), las k bolas que quedanen la caja solo podrıan ser las imposibles ultimas k bolas de una coleccionω−ordenada de bolas etiquetadas 〈bn〉.

2. La caja BX tuvo que cerrarse en un instante t∗ anterior a tb porqueen tb todas las bolas habrıan sido extraıdas (como probarıa la biyeccionf(ti) = bi).

3. Siendo tb el lımite de la sucesion ω−ordenada 〈tn〉, existe un numeronatural v tal que tv ≤ t∗ < tv+1. Por tanto en el instante t∗ solo se hanretirado de la caja un numero v de bolas y quedan por retirar un numeroinfinito de ellas.

4. Es imposible por tanto que en el instante tb la caja BX este cerrada conun numero finito de bolas.

238 Supongamos ahora que en el instante tb la caja esta vacıa y abierta.Teniendo en cuenta que el numero k utilizado por el mecanismo de cierre paradeterminar cuando se debe cerrar la caja puede ser cualquier numero natural,esta alternativa solo es posible si la caja nunca contiene un numero k de bolaspara cualquier k en N. Ahora bien, el menor cardinal mayor que todos los

Magia infinitista —— 77

cardinales finitos es ℵo, que es tambien el cardinal de la coleccion de bolas; y elmenor ordinal infinito mayor que todo los ordinales finito es ω , precisamenteel ordinal de la sucesion ω−ordered de bolas 〈bn〉. Por lo tanto, esta alternativasolo puede ocurrir si todos bolas 〈bn〉 se retiran simultaneamente de la caja,lo que va en contra del hecho de que todas las bolas han sido sucesivamenteextraıdas, una a una y con un intervalo no nulo de tiempo entre dos extraccionessucesivas cualesquiera.

239 El argumento 234-238 parece poner en cuestion la consistencia de lahipotesis del infinito actual de la que se puede inferir que las sucesiones o listasω−ordenadas existen como totalidades completas a pesar de que ningun ultimoelemento completa la lista.

Magia infinitista240 Consideremos de nuevo la coleccion de bolas etiquetadas 〈bn〉 y, en el lugarde la caja BX, un cilindro hueco AB capaz de contener todas las bolas de lacoleccion 〈bn〉. Ahora supongamos que en cada uno de los sucesivos instantesti de 〈tn〉 cada una de las sucesivas bolas se introduce ei en AB a traves esextremo izquierdo A (Figura 13.2).

Figura 13.2: Cada una de las sucesivas bolas bi de 〈bn〉 sera sucesivamente introducida en elinterior del cilindro AB.

241 En el instante tb la coleccion completa de bolas 〈bn〉 se habra introducidoen el interior del cilindro AB, como demuestra la correspondencia uno a unof(ti) = bi.

242 Supongamos ahora que, una vez completada la supertarea anterior, elextremo izquierdo A del cilindro se eleva con respecto a su extremo derechoB. El cilindro se inclinara de tal manera que todas las bolas bi de 〈bn〉 puedenrodar libremente en la direccion de A hacia B. Como era de esperar, en estascondiciones las sucesivas bolas bi de 〈bn〉 abandonaran sucesivamente el cilindroa traves de su extremo derecho B (Figura 13.3 arriba).

243 Si, por el contrario, es el extremo derecho B del cilindro el que se elevadacon respecto a su extremo izquierdo A, las bolas en el interior del cilindro ro-daran libremente en la direccion de B hacia A. Como en 242, una primera bolasaldra del cilindro. Pero cualquiera que sea esta bola, sera una bola etiquetadabv, lo que demostrarıa que solo se introdujeron en el cilindro un numero finito vde bolas. La alternativa es que ningun bola sale del cilindro, en ese caso todaslas bolas que se introdujeron habrıan desaparecido magicamente. El problemaes que la magia no pertenece a las ciencias formales (Figure 13.3 abajo).


Figura 13.3: Al inclinar el cilindro en un sentido las sucesivas bolas bi iran abandonando elcilindro a traves de su extremo derecho B (arriba). Pero, ¿que pasara si inclinamos el cilindroen el sentido contrario? (abajo)

244 The cylinder and the labeled balls 〈bn〉 lead to other infinitist conflicts.For instance, if we introduce a rigid rod through the left end A, we wouldtraverse the entire length of the cylinder without hitting any ball, otherwisewe would hit the last ball of an ω−ordered collection of balls.

14.-Una fuente irracional de numeros racionales

Numeros n-expofactoriales245 En este capıtulo se introducen los numeros expofactoriales y n-expofac-toriales, ası como el metodo de las sucesivas expansiones decimales, con el queresulta posible definir un numero racional diferente a partir de la expansiondecimal infinita de cada numero irracional del intervalo (0, 1). Evidentemente,esta conclusion contradice otros resultados bien conocidos sobre la cardinalidaddel conjunto Q de los numeros racionales.

246 Aunque el metodo de las sucesivas expansiones decimales que usare-mos en la seccion siguiente funciona con cualquier numero natural, elegiremosnumeros naturales inimaginablemente grandes: los numeros n-expofactorialesque definiremos inmediatamente en 249.

247 El expofactorial1 de un numero natural n, escrito n! (notese que el sımbo-lo factorial ’ !’ aparece como superındice), es el factorial n! elevado a una torrede exponentes de orden n! del mismo exponente n!:

n!( n!. . .)

n!n!

n! = n!

O en la notacion de Knuth’s:

n! = n! ↑↑ n! (1)

248 Estos numeros crecen tan deprisa que mientras el expofactorial de 2(en sımbolos 2!) es 16, el expofactorial de 3 (en sımbolos 3!) es practicamenteincalculable incluso con la ayuda de los ordenadores mas potentes:

3! = 6666

666

= 6666

646656

= 6666

26591197721532267796824894043879...

1La primera vez que considere este tipo de numeros ignoraba que ya habıan sido definidos porC. A. Pickover ([148] citado en [199]) con el nombre de superfactoriales y el sımbolo n$, elmismo nombre y los mismos sımbolos usados por Sloane y Plouffe para definir n$ =

∏n

k=1 k![199]. Dicho lo cual, mantendre mi notacion y nombre original.

79

80 —— Una fuente irracional de numeros racionales

donde el exponente incompleto del ultimo termino de la parte derecha tienenada menos que 36306 cifras (unas diez paginas de texto estandar como este).El expofactorial de cualquier numero natural mayor que 2 es tan inmenso queposiblemente nunca sera calculado con exactitud (no se trata de una anodinapotencia de diez sino de una precisa sucesion de cifras diferentes).

249 Los expofactoriales son insignificantes comparados con los n-expofacto-riales, recursivamente definidos a partir de los expofactoriales de la siguienteforma: el 2-expofactorial de un numero natural n, escrito n ! 2, es el expofacto-rial n! elevado a una torre de potencias de orden n! del mismo exponente n!; el3-expofactorial de n, escrito n ! 3, es el 2-expofactorial de n elevado a una torrede potencias de orden n ! 2 del mismo exponente n ! 2; el 4-expofactorial de n,escrito n ! 4, es el 3-expofactorial de n elevado a una torre de potencias de ordenn ! 3 del mismo exponente n ! 3; y ası sucesivamente:

n! n! 2 n! 3

( n!. . .) (n

! 2. . .) (n

! 3. . .)

n! n! 2 n! 3

n! 2 = n! n! 3 = n! 2 n! 4 = n! 3 . . .

La enormidad de, por ejemplo, 9 ! 9 (9-expofactorial de 9) queda muy lejos delalcance de la imaginacion humana. Tres sımbolos de la aritmetica estandar,9 ! 9, es todo lo que necesitamos para definir un numero finito tan inmenso quela expresion escrita de su secuencia precisa de cifras requerirıa un volumen depapel trillones y trillones de veces mayor que el volumen de todo el universovisible.

250 En la discusion que sigue se hara un uso del 9-expofactorial de 9. Porsencillez, lo denotaremos con la letra ’k’. Por tanto, en lo que sigue k estara re-presentando a 9 ! 9.

Una fuente irracional de numeros racionales251 Los numeros reales del intervalo (0, 1) con una expansion decimal infinitase definen aritmeticamente como:

r = 0.d1d2d3 . . . (2)

= d1 × 10−1 + d2 × 10−2 + d3 × 10−3 + . . . (3)

donde la sucesion de dıgitos decimales d1d2d3. . . es ω−ordenada, como el con-junto N de los numeros naturales en su orden natural de precedencia 1, 2, 3,. . .

252 De acuerdo con la hipotesis del infinito actual, subsumida en el Axiomadel Infinito, la expresion decimal infinita 0.d1d2d3 . . . de cualquier numero realen el intervalo (0, 1) existe como una totalidad completa y ω−ordenada: tienesiempre una primera ccifra decimal (decimal de ahora en adelante), d1, y ca-

Una fuente irracional de numeros racionales —— 81

da decimal dn (excepto d1) tiene un predecesor inmediato dn−1 y un sucesorinmediato dn+1, de modo que no existe un ultimo decimal. Puesto que el ar-gumento que sigue solo trata con infinitos ω−ordenados, a partir de ahora nosreferiremos a ellos simplemente como infinitos.

253 Un punto destacable es que ω, el ordinal de las sucesiones ω-ordenadas,es el menor de los ordinales infinitos. Por tanto, si r y s son dos numeros realesdel intervalo (0, 1) que coinciden en sus primeras ω sucesivas cifras decimales,entonces ambos numeros son identicos. Por el contrario, y teniendo en cuentaque entre cualquier ordinal finito y ω solo existen otros ordinales finitos, si ry s son diferentes entonces solo pueden coincidir en un numero finito de susprimeras cifras decimales sucesivas.

254 Sea N el conjunto de los numeros naturales, k el 9-expofactorial de 9 (ensımbolos 9 ! 9), y mα un elemento cualquiera del conjunto M de los numerosirracionales del intervalo (0, 1). La expansion decimal de mα:

mα = 0.d1d2d3 . . . (4)

define la siguiente sucesion ω-ordenada 〈qα,nk〉 de numeros racionales:

qα,k = 0.d1d2 . . . dk (5)

qα,2k = 0.d1d2 . . . dkdk+1 . . . d2k (6)

qα,3k = 0.d1d2 . . . dkdk+1 . . . d2kd2k+1 . . . d3k (7)

. . . (8)

qα,nk = 0.d1d2 . . . dkdk+1 . . . d2kd2k+1 . . . d3kd3k+1 . . . dnk (9)

. . .

siendo qα,nk (para todo n en N) el numero racional del intervalo (0, 1) cu-ya expansion decimal finita 0.d1d2 . . . dnk coincide con las nk primeras cifrasdecimales de mα. Por esta razon, mα sera considerado como la fuente de lasucesion 〈qα,nk〉, y α aparecera en los subındices de todos los qα,nk. El racionalqα,(n+1)k es la la k-expansion de qα,nk porque qα,nk se amplıa con los siguientesk cifras sucesivas (empezando por dnk+1) de la fuente mα para definir qα,(n+1)k.No olvide la grandeza inimaginable de k = 9 ! 9.

255 Desde la perspectiva del infinito actual, el resultado de definir los infi-nitos numeros naturales mediante sucesivas adiciones de una unidad al primernumero natural 1, un numero infinito de veces, define una infinidad de numerosfinitos cada vez mayores sin llegar a un numero infinito.2. En consecuencia, ysiendo k un numero natural, el resultado de anadir k nuevas cifras decimales unnumero infinito de veces sucesivas a qα,k, origina una infinidad de expansionesdecimales finitas (numeros racionales), explosivamente crecientes pero siemprefinitas (nk para todo n ∈ N), sin llega a originar una expansion decimal infinita.

2La misma conclusion se deriva de la definicion recursiva formal de los numeros naturales enla teorıa de conjuntos.


256 Esta hipotesis infinitista sera esencial para el argumento que sigue puestoque legitimiza la existencia real de todos y cada uno de los infinitos numerosracionales en 〈qα,nk〉 todos ellos con un numero finito de decimales, nk porcada n en N. De la misma manera que el conjunto N de los numeros naturalescontienen infinitos numeros finitos, cada uno de ellos una unidad mayor quesu inmediato predecesor, 〈qα,nk〉 contiene infinitos numeros racionales con unaexpansion decimal finita (nk para cada numero natural n), cada uno con kdecimals mas que su inmediato predecesor. Pura ortodoxia infinitista.

257 Sea P el conjunto de todos los pares (mα, qα,k) cuyo primer elemento esun numero irracional diferente mα dentro del conjunto M de todos los irracio-nales del intervalo (0, 1), y cuyo segundo componente es el numero racionalqα,k del intervalo (0, 1) formado por las primeras k cifras sucesivas d1, d2, . . . dkde mα:

(mα, qα,k) ∈ P ⇔

mα = 0.d1d2 . . . dkdk+1 · · · ∈ M

y

qα,k = 0.d1d2 . . . dk

(10)

Aunque el primer elemento mα de cada par es un numero irracional diferente,el segundo qα,k estara repetido un cierto numero de veces en los pares delconjunto P .

258 Observese que si no hay numeros irracionales en (0, 1) con las mismasprimeras k cifras decimales, entonces el segundo elemento de cada par de Pserıa un numero racional diferente. En estas condiciones serıa innecesaria ladiscusion que sigue: habrıa tantos racionales como irracionales dentro de (0, 1)

259 Sea ahora qα,k uno cualquiera de los numeros racionales repetidos enP , y sea Pα el subconjunto de P de todos los pares (mϕ, qϕ,k) cuyo segundocomponente racional qϕ,k coincide con qα,k:

Pα = {(mϕ, qϕ,k) |(mϕ, qϕ,k) ∈ P ∧ qϕ,k = qα,k } (11)

Por sencillez, los racionales repetidos en Pα seran llamados Pα-repeticioes deahora en adelante.

260 Por definicion, los numeros irracionales de las parejas de Pα son todoslos irracionales del intervalo (0, 1) que tienen las mismas k primeras cifrasdecimales. Obviamente, algunos de estos numeros tambien tendran las mismas2k primeras cifras decimales, y otros no.3 De los primeros, algunos tendran losmismos 3k primeros decimales, y otros no. Y ası sucesivamente.

261 De acuerdo con 260, si reemplazamos cada racional repetido en Pα, porsu k-expansion, el numero de los racionales repetidos disminuirıa. Y si susti-tuimos los racionales repetidos que quede con su correspondiente k-expansion,

3Cambiese, por ejemplo, cualquier decimal d(k+i)0<i≤k en cualquier numero irracional en (0, 1)y obtendra un irracional con los mismos k primeros decimales pero no con los mismos 2kprimeros decimales.

Una fuente irracional de numeros racionales —— 83

el numero de numeros repetidos disminuirıa de nuevo. Y ası sucesivamente. Elproblema es que despues de cada sustitucion tendrıamos un nuevo conjuntoP ′

α, P′′α , . . . y no podrıamos demostrar si los racionales repetidos desaparecen o

no. Para evitar este problema tendremos que redefinir el conjunto Pα despuesde cada sustitucion.

262 Cada par (mϕ, qϕ,k) define una sucesion 〈qϕ,nk〉 de numeros racionalessimilar a la sucesion 〈qα,nk〉 definida en 254, solo que ahora la fuente de lasucesion es el numero irracional mϕ. Haremos uso de esas sucesiones pararealizar sucesivas k-sustituciones de los racionales repetidos en Pα. La supuestaexistencia en el acto, y como una totalidad completa, de todas las infinitascifras decimales de los numeros irracionales del intervalo (0, 1), legitima lasdefiniciones de los conjuntos P , Pα y de las sucesiones 〈qϕ,nk〉, todas ellas comototalidades completas.

263 Siendo A cualquier conjunto de pares de numeros (a, b) cuyo primercomponente a es un numero irracional del intervalo real (0, 1) y cuyo segundocomponente b es un numero racional del mismo intervalo real (0, 1). Definamoslos dos siguientes operadores de conjuntos:

1. D(A) = Conjunto de todos los pares de A cuyos componentes racionalesson diferentes, no repetidos.

2. R(A) = Conjunto de todos los pares de A cuyos componentes racionalesestan repetidos.

Evidentemente A = D(A) ∪R(A); D(A) ∩R(A) = ∅.

264 Consideremos ahora la siguiente sucesion de redefiniciones del conjuntoPα:

n = 1, 2, 3, . . .

Si R(Pα) 6= ∅ :

P dα = D(Pα)

X = {(mϕ, qϕ,(n+1)k) | (mϕ, qϕ,nk) ∈ R(Pα)}

Pα = P dα ∪X

(12)

En cada redefinicion (12) del conjunto Pα sus racionales repetidos son susti-tuidos por sus correspondientes k-expansiones. Por esta razon las definiciones(12) se llamaran k-sustituciones. De acuerdo con 260, el numero de racionalesrepetidos en Pα disminuye en cada k-sustitucion.

265 En la siguiente discusion trataremos de demostrar que, mediante sucesi-vas k-sustituciones, es posible reemplazar cada racional repetido en Pα por unracional diferente del intervalo (0, 1).

266 Supongamos que mientras R(Pα) 6= ∅ y Pα pueda ser k-sustituido, esk-sustituido. Una vez que se hayan realizado todas las k-sustituciones posibles,tendremos dos alternativas mutuamente excluyentes relacionadas con R(Pα)(el subconjunto de Pα de todos sus pares con racionales repetidos):


1. R(Pα) no esta vacıo.

2. R(Pα) esta vacıo.

Consideremos la primera alternativa: R(Pα) no esta vacıo. Sabemos que paracada elemento (mλ, qλ,vk) de R(Pα) existe una sucesion ω−ordenada 〈qλ,nk〉de racionales con una expansion decimal finita. Por lo que cada (mλ, qλ,vk) deR(Pα) pueden sustituirse con (mλ, qλ(v+1)k). En consecuencia una nueva k-sus-titucion de Pα es posible, lo que contradice el hecho de que, siendo R(Pα) 6= ∅,se han realizado todas las k-sustituciones. Por lo tanto, y por Modus Tollens,la primera alternativa es falsa, y entonces una vez realizadas todas posiblesk-sustituciones de Pα, el conjunto R(Pα) estara vacıo.

Comentario 266-1.- Notese que el argumento 266 no es un razonamientoconstructivo basado en las k-sustituciones sucesivamente realizados. Se trata deun sencillo Modus Tollens: una vez ejecutadas todas las posibles k-sustituciones,la hipotesis de que R(Pα) no esta vacıo conduce a la contradictoria conclusionde que no se realizaron todos los posibles k-sustituciones. Esa hipotesis debeser, por tanto, falsa

Figura 14.1: Las consecuencias de ser completo sin ultimo elemento que complete.

Comentario 266-2.- El argumento 266 saca ventaja del hecho de que, deacuerdo con la hipotesis del infinito actual, las sucesiones ω−ordenadas existencomo totalidades completas en las que cada elemento tiene un numero infinitode sucesores (Figura 14.1). Es, en efecto, esta hipotesis la que permite ase-gurar que mientras haya Pα-repeticioes en Pα, es decir mientras R(Pα) 6= ∅,los numeros repetidos pueden seguir siendo sustituidos por sus sucesivas k-expansiones mediante sucesivas k-sustituciones de Pα. Y que la sucesion dek-sustituciones puede ser realmente completada gracias a la completitud decada sucesion infinita 〈qϕ,nk〉. En consecuencia, solo cuando Pα no contenganumeros repetidos, es decir cuando R(Pα) = ∅, podra afirmarse que todos lasposibles k-sustituciones han sido realizadas (so pena de contradiccion).

Comentario 266-3.- Por el contrario, desde la perspectiva del infinito poten-cial las totalidades infinitas completas sin un ultimo elemento que las complete

Discusion —— 85

no tienen sentido. Desde esta perspectiva, pues, no estamos legitimados a con-siderar la complecion de la sucesion de k-sustituciones cuando esa sucesion espotencialmente infinita.

267 Una vez eliminadas todas las Pα-repeticiones, los numeros racionalesresultantes solo pueden tener un numero finito de cifras decimales, puesto quetodos los elementos de todas las sucesiones 〈qϕ,nk〉 son numeros racionales conuna expansion decimal finita.

268 De acuerdo con la definicion 259 de Pα, los numeros racionales resultantesde la eliminacion de todas las Pα-repeticioes no pueden estar repetidos en elconjunto P −Pα porque todos los numeros racionales de este conjunto difierende los racionales de Pα en al menos una de sus primeras k cifras decimales.

269 El argumento anterior 259/268 puede ser aplicado a cualquier numeroracional repetido en el conjunto P de los pares (mα, qα,nk). Por tanto, todos losracionales repetidos pueden ser sustituidos por un numero racional diferentederivado de la expansion decimal del primer componente irracional de cada par.En estas condiciones cada par del conjunto P estara formado por un numeroirracional mα diferente y por un numero racional qα diferente. La biyeccion fdefinida por:

f(mα) = qα (13)

estarıa probando que el conjunto de los racionales y el de los irracionales en(0, 1) tienen ambos la misma cardinalidad.

Discusion270 La hipotesis del infinito actual subsumida por el Axioma del Infinitolegitima la siguientes razones que fundamentan el argumento 257/269:

270-1 Las infinitas cifras decimales de cualquier numero irracional delintervalo (0, 1) existen todas en el acto, como una totalidad completa.270-2 Las expansiones decimales infinitas de los numeros irracionales delintervalo (0, 1) son ω−ordenadas, siendo ω el menor ordinal infinito.270-3 Dos numeros irracionales diferentes del intervalo (0, 1) solo puedencoincidir en un numero finito de sus primeras cifras decimales sucesivas.270-4 Las infinitas k-expansiones 〈qϕ,nk〉 definidas a partir de la expansiondecimal de cualquier irracional mϕ del intervalo real (0, 1) existen todasen el acto, como una totalidad completa.270-5 Cada una de las infinitas k-expansiones 〈qϕ,nk〉 es un numero ra-cional con un numero finito de cifras decimales: nk para cada n en N.270-6 De acuerdo con 270-4 y 270-5, los racionales repetidos en Pα pue-den ser sucesivamente sustituidos por sus correspondientes sucesivas k-expansiones racionales cualquier numero finito o infinito de veces.270-7 En estas condiciones, y por Modus Tollens 266, todas la repeticionesde racionales en los pares de Pα, y por tanto de P , pueden ser eliminadas,quedando cada par formado por un numero irracional diferente y por unnumero racional diferente derivado de su pareja irracional.


270-8 En consecuencia, cada numero irracional del intervalo (0, 1) defineun numero irracional diferente en el mismo intervalo.

271 La conclusion 270-8 contradice otros resultados bien conocidos sobre lacardinalidad del conjunto Q de los numeros racionales.

272 Definir numeros racionales, y sucesiones ω−ordenadas de numeros racio-nales, a partir de la expansion decimal de los numeros irracionales conduce aotras contradicciones de las que no nos ocuparemos aquı.

Epılogo273 Como ya se ha indicado repetidas veces, desde la perspectiva del infinitoactual las infinitas cifras decimales de un numero real con una expansion de-cimal infinita existen como una totalidad ω−ordenada y completa. Por tanto,considerar que un numero real existe con la totalidad completa de sus infinitosdecimales significa considerar que ese numero es una entidad independientede la mente humana, pues la mente humana no puede abarcar totalidades in-finitas completas (ni siquiera podemos imaginar numeros como 9 ! 9, que sonminusculos comparados con la infinitud actual de, por ejemplo, ℵo). Desde elpunto de vista infinitista, todos los numeros reales serıan entidades (platonicas)independientes de la mente humana.

274 Desde la perspectiva finitista del infinito potencial, sin embargo, unnumero irracional no es una entidad independiente de la mente humana for-mado por una sucesion completa y ω−ordenada de cifras que existen todasa la vez y por ellas mismas. Desde esa perspectiva, los numeros irracionalesresultan de procesos interminables de calculo que no se pueden sustituir poruna division de numeros enteros, aunque en cada etapa del calculo el numerocoincide con un numero racional de finitas cifras. En este sentido los numerosirracionales son tambien definibles como sucesiones (potencialmente infinitas)de numeros racionales.

275 En el caso de los numeros racionales los procesos de calculo pueden serreemplazados por una division, no necesariamente interminable, de numerosenteros. A su vez, los numeros enteros resultarıan del proceso interminable decontar. Naturalmente la existencia de procesos interminables no significa ne-cesariamente la existencia terminada de sus correspondientes resultados comototalidades completas, tal como asumen las posiciones infinitistas.

276 Tendremos que decidir cual de las dos alternativas es la mas apropiadapara fundamentar una teorıa formal de los numeros. Y la eleccion no es preci-samente irrelevante: necesitamos las matematicas para explicar la naturaleza.Piensese, por ejemplo, en los problemas que el infinito actual plantea en ciertasareas de la fısica, como la electrodinamica cuantica (renormalizacion) o la gra-vedad cuantica [182]. O el supuesto orden denso del continuum espaciotiempo4

frente a la naturaleza discontinua de la materia ordinaria, la energıa o la cargaelectrica.

4Basado en la supuesta cardinalidad no numerable 2ℵo de los numeros reales.

15.-Substraccion de cardinales

Introduccion277 Al contrario de lo que ocurre con los ordinales, la substraccion de cardina-les en la aritmetica transfinita no siempre esta definida, ni siquiera permitida.Sin embargo, se han dado algunas definiciones indirectas y se han probadoalgunos resultados sobre la substraccion de cardinales [173, pp. 161-173]. Porejemplo en ZFC1 se pueden probar, entre otros, los siguientes resultados:

Si a y b son dos cardinales, diremos que a − b existe si existe un, y soloun, cardinal c tal que a = b + c. Podemos entonces escribir: c = a − b(Teorema de Tarski-Bernstein).

Si a es un cardinal infinito y b un cardinal (finito or infinito), entoncesexiste un tercer cardinal c tal que:

b+ c = a ⇔ b ≤ a (1)

Si b = a entonces c puede tomar infinitos valores (ℵo+n = ℵo y similares).Si no, tendremos c = a.

Si ℵo ≤ m entonces 2m −m = 2m (teorema de Tarski-Sierpinski).

Si existe la diferencia a−b de los cardinales a y b, entonces para cualquierotro cardinal c tambien existe la diferencia (c+a)−b y es igual a c+(a−b)

Pero, en general, y especialmente si los cardinales implicados son alefs, nopodemos escribir cosas como:

a− c = b (2)

a− a = 0 (3)

278 Acabamos de ver algunos ejemplos que los que la sustraccion de cardi-nales esta permitida, en la ultima seccion de este capıtulo veremos un caso enel que no lo esta. El estado de la sustraccion de cardinales en la aritmeticatransfinita es realmente curioso. Aunque parece razonable declarar como inde-finida la sustraccion de dos cardinales cuando no podemos decir nada sobre elresultado de la operacion, ¿que pasa con la sustraccion de cardinales cuandoconducen a resultados contradictorios? Ser definido o indefinido podrıa ser ra-zonable, pero ser definido, indefinido o inconsistente segun el caso, parece algo

1En algunos casos sin la ayuda del Axioma de Eleccion

87

88 —— Substraccion de cardinales

incomodo desde un punto de vista formal. ¿Como diablos puede ser consistenteuna operacion aritmetica que ’en algunos casos’ conduce a contradicciones sinhaber determinado previamente cuales son esos casos y por que lo hacen?

279 En este capıtulo vamos a analizar, al nivel fundacional de la teorıa deconjuntos, las razones por la que la mayorıa de las sustracciones de cardinalestransfinitos han de ser ignoradas o prohibidas. En este nivel fundamental dela discusion la unica operacion disponible es emparejar los elementos de dosconjuntos. Hacer uso de la aritmetica transfinita serıa un razonamiento circu-lar, porque la aritmetica transfinita se deriva precisamente de las definicionesy las hipotesis fundamentales que nos ocuparan. Como veremos, esas razonesson las consecuencias inmediatas de la definicion fundacional de los conjuntosinfinitos, que, como sabemos, se basa en la violacion del Axioma del Todo yla Parte. En efecto, la sustraccion de cardinales finitos (que cumplen con elviejo axioma euclıdeo) no plantea ningun problema, el problema de la sustrac-cion de cardinales unicamente aparece cuando al menos uno de los cardinalesimplicados en la operacion es transfinito. Y como se acaba de indicar, unasveces aparece y otras no, sin que se hayan podido establecer las razones porlos cuales aparece o no aparece.

Problemas con la sustraccion de cardinales280 Si A y B son dos conjuntos finitos cualesquiera tales que |B| ≤ |A| y fes una funcion inyectiva de B en A tendremos:

A = (A− f(B)) ∪ f(B) (4)

(A− f(B)) ∩ f(B) = ∅ (5)

|A| = |A− f(B)|+ |f(B)| (6)

Se podrıa esperar, por tanto, que la sustraccion de los cardinales |A| y |B| fueraalgo ası como:

|A| − |B| = |A− f(B)| (7)

porque, siendo B y f(B) equipotentes, A − f(B) es el conjunto que resultade retirar (restar) de A un numero de elementos igual al cardinal de B. Ladefinicion (7) funciona siempre que los conjuntos A y B sean finitos, y funcionaexactamente igual a la sustraccion aritmetica usual.

281 Como veremos a continuacion, en el caso de los conjuntos infinitos ac-tuales, y debido a la violacion del axioma del todo y las partes, la definicionanterior sugiere que la sustraccion de cardinales (7) no funciona. En efecto,sean A = {a1, a2, a3, . . . } y B = {b1, b2, b3, . . . } dos conjuntos numerables yω−ordenados. Consideremos las siguientes funciones inyectivas de B en A:

∀i ∈ N

f1(bi) = ai

f2(bi) = ai+n, ∀n ∈ N

f3(bi) = a2i

(8)

Problemas con la sustraccion de cardinales —— 89

donde n as un numero natural cualquiera. Tendrıamos:

|A| − |B| = |A− f1(B)| = |∅| = 0 (9)

|A| − |B| = |A− f2(B)| = |{a1, a2, . . . an}| = n, ∀n ∈ N (10)

|A| − |B| = |A− f3(B)| = |{a1, a3, a5, . . . }| = ℵo (11)

Por lo tanto, la sustraccion de los mismos dos cardinales infinitos origina in-finitos resultados diferentes, dependiendo de la forma particular de empare-jamiento de los elementos de ambos conjuntos: los elementos de B se puedeemparejar con los elementos de A (f1, por ejemplo) o con los elementos de unaparte propia de A (f2 o f3), como si la parte y el todo fueran la misma cosa.

282 Podrıamos incluso demostrar una variante conjuntista del Teorema delas Series de Riemann: Si A y B son dos conjuntos ω−ordenados entoncesla sustraccion de sus respectivos cardinales |A| y |B| se puede hacer igual acualquier numero natural dado. Para demostrarlo, Sean A = {a1, a2, a3, . . . }y B = {b1, b2, b3, . . . } dos conjuntos ω−ordenados cualesquiera y n cualquiernumero natural. Consideremos ahora la inyeccion f de B en A:

f(bi) = an+i, ∀i ∈ N (12)

Tendremos:

f(B) = {an+1, an+2, an+3, . . . } (13)

A− f(B) = {a1, a2, . . . an} (14)

|A| − |B| = |A− f(B)| = |{a1, a2, . . . an}| = n (15)

283 Como en el caso del Teorema de Riemann que reinterpretaremos en elCapıtulo 18, la conclusion anterior tambien puede ser reinterpretada como unacontradiccion derivada de los propios fundamentos de la teorıa de conjuntos.Para ello denotemos por:

D: Definicion de Dedekind de conjunto infinito.

A: Axioma del Infinito.

Ho: Dos conjuntos tienen el mismo numero de elementos si existe unabiyeccion entre ellos.

De acuerdo con 282 podremos escribir:

D ∧A ∧Ho ⇒ (|A| − |B| = n) ∧ (|A| − |B| 6= n) (16)

que parece algo contradictorio.

284 La posibilidad de obtener el mismo resultado cuando se opera con diferen-tes operandos (como es el caso de la adicion, multiplicacion y exponenciacionde cardinales infinitos) podrıa ser admisible. Pero la posibilidad de obtener unnumero infinito de resultados diferentes cuando se opera exactamente con losmismos operandos (como en el caso anterior de la sustraccion de cardinales)parece algo incomodo. Sin embargo, la segunda posibilidad es una consecuencia


de la primera. Porque si aceptamos que:

b+ c = a (17)

b+ d = a (18)

b+ e = a (19)

. . .

tambien deberıamos aceptar que:

b− a = c (20)

b− a = d (21)

b− a = e (22)

. . .

La solucion a este problema ha sido, no obstante, la ignorancia (mas o menosexplıcita) de la sustraccion de cardinales.

El argumento de Faticoni285 En [72], paginas 150-51, podemos leer el siguiente argumento sobre laimposibilidad de la sustraccion de cardinales (por cierto un argumento tıpicosobre ese asunto):

1. H1: Supongase que es posible definir la sustraccion ℵo - ℵo (como loopuesto a la adicion) de modo que:

ℵo − ℵo = 0 (23)

2. tendrıamos:

1 + ℵo = ℵo (24)

1 + (ℵo − ℵo) = ℵo − ℵo (25)

1 + 0 = 0 (26)

1 = 0 (27)

3. En consecuencia H1 es imposible

286 Como no podıa ser de otra manera, el argumento de Faticoni assume lossupuestos de la moderna teorıa de conjuntos. Se podrıa por tanto completarde la siguiente manera:

D: Un conjunto es infinito si existe una correspondencia uno a uno entre elconjunto y uno de sus subconjuntos propios.

A: Existe un conjunto infinito2 (Axioma del Infinito).

2Notese que D y A establecen la existencia de un conjunto que viola el Axioma del Todo y lasPartes[71].

El argumento de Faticoni —— 91

H0: Dos conjuntos tienen el mismo numero de elementos si se pueden poneren correspondencia uno a uno.

H1: Supongase que es posible definir la sustraccion ℵo - ℵo (como lo opuestoa la adicion) de modo que:

ℵo − ℵo = 0 (28)

1. Tendrıamos:

1 + ℵo = ℵo (29)

1 + (ℵo − ℵo) = ℵo − ℵo (30)

1 + 0 = 0 (31)

1 = 0 (32)

2. Por tanto H1 es imposible.

Resulta ahora evidente que el absurdo (32) tambien podrıa estar ocasionadopor la inconsistencia de D y A. Podrıamos escribir:

D ∧A ∧H0 ∧H1 ⇒ (1 = 0) (33)

Figura 15.1: Anadiendo y quitando bolas de una caja.

287 Quizas la sustraccion de cardinales sea una operacion imposible. Consi-deremos, pues, la posibilidad de extraer bolas de una caja que contiene bolas,que parece estar un poco mas a mano. Sea BX una caja que contiene una co-leccion numerable de bolas rojas. Anadamos a BX una coleccion numerable debolas azules. En este momento BX tendra ℵo bolas rojas mas ℵo bolas azules,es decir, ℵo bolas (ℵo + ℵo = ℵo ). Retiremos ahora de BX todas las bolasrojas, es decir, eliminar ℵo bolas de una caja que contiene ℵo bolas. El resul-tado sera una caja que contiene ℵo bolas (todas las bolas azules). Finalmente


retiremos todas las bolas azules, es decir, retiremos ℵo bolas de una caja quecontiene ℵo bolas. El resultado sera una caja que no contiene ninguna bola.Ası, mediante la eliminacion de ℵo bolas de una caja que contiene ℵo bolas,podemos obtener ya sea una caja que contiene ℵo bolas o una caja que nocontiene ninguna bola, una conclusion que esta de acuerdo con 284.

16.-Alef-cero

Introduccion288 Para nombrar un objeto solo tenemos que elegir (o inventar) una o variaspalabras arbitrarias o sımbolo(s) que designen al objeto. Pero nombrar unobjeto no es lo mismo que definirlo en terminos de otros objetos mas basicos.En este ultimo caso tambien tendrıamos que definir esos objetos mas basicosen terminos de otros objetos mas basicos y estos ultimos objetos en terminosde otros objetos mas basicos y ası sucesivamente. Finalmente caerıamos en unaregresion potencialmente infinita de definiciones.

289 Por esta razon nos vemos obligados a aceptar conceptos primitivos queutilizamos sin haber sido previamente definidos. Los conceptos mas basicostanto en las ciencias formales como en las experimentales pertenecen a estacategorıa: numero, conjunto, espacio, punto, tiempo, masa, etc. En algunoscasos, como para el concepto de masa o el de numero, son posibles definicionesoperacionales. En otros casos (conjunto, punto, instante, etc.) ni siquiera eso.

290 Por la misma razon que en el caso de los conceptos primitivos, tam-bien necesitamos axiomas (ciencias formales) y leyes fundamentales (cienciasexperimentales). Aunque en este caso para evitar una regresion infinita de ar-gumentos. Mientras los axiomas pueden ser arbitrarios, la mayorıa de las leyesfundamentales de las ciencias experimentales son conclusiones inductivas deri-vadas de observaciones y mediciones experimentales.

291 Los Elementos de Euclides son quizas el primer sistema axiomatizadoen la historia de las matematicas. No obstante, la historia de las matematicashasta principios del siglo XX esta llena de obras no tan formalizadas comopodrıa esperarse. Este es el caso de la obra fundacional de Cantor sobre losnumeros transfinitos, sus famosos Beitrage [36], [37] (traduccion inglesa [39]).

292 Cantor no hizo ninguna suposicion acerca de la existencia de conjuntosinfinitos, simplemente dio por sentada la existencia de ’agregados transfinitos’.En particular, la existencia del ’agregado de todos los cardinales finitos’, cuyocardinal es Alef-cero. En la siguiente seccion se analizan algunos inconvenientesde la definicion de Cantor del primer cardinal transfinito.

93

94 —— Alef-cero

El menor cardinal transfinito293 La Seccion 6 de los Beitrage empieza ası:

Los ’agregados’ con numeros cardinales finitos son llamados ’agregados fini-tos,’ todos los demas seran llamados ’agregados transfinitos’ y sus numeroscardinales ’numeros cardinales transfinitos. El primer ejemplo de agregadotransfinito viene dado por la totalidad de los numeros cardinales finitosν; llamamos a su numero cardinal ’Aleph cero’ y lo denotamos por ℵo;ası definimos:

ℵo = {ν} (1)

294 Esta claro, pues, que Cantor definio ℵo como el cardinal del conjunto detodos los cardinales finitos, en notacion moderna:

ℵo = |{1, 2, 3, . . . }| = |N| (2)

295 A continuacion Cantor prueba que ℵo no es un cardinal finito. Para ellodemuestra que ℵo = ℵo + 1, mientras que para todo cardinal finito n se verifica:n 6= n+1. En consecuencia, ℵo no puede ser un cardinal finito. Como no podrıaser de otra manera la prueba de que ℵo = ℵo + 1 esta basada en una biyeccion.En efecto, considerense los conjuntos:

N = {1, 2, 3, . . . } (Cardinal ℵo) (3)

A = N ∪ {a} (Cardinal ℵo +1) (4)

La biyeccion f entre N y A definida por:

f(1) = a (5)

f(i+ 1) = i, ∀i ∈ N (6)

demuestra que ambos conjuntos son equipotentes, y por tanto que ℵo = ℵo+1.

296 Por cierto, n 6= n + 1 porque todos los conjuntos finitos satisfacen elAxioma del Todo y la Parte. Y ℵo = ℵo + 1 porque los conjuntos transfinitosviolan, por definicion, ese viejo axioma euclidiano.

297 A continuacion Cantor prueba que:1. ℵo es mayor que todos los cardinales finitos.2. ℵo es el menor de los cardinales transfinitos.

Por tanto, esas propiedades de ℵo son consecuencias formales de haber sidodefinido como el cardinal del conjunto de todos los cardinales finitos. No formanparte de la definicion de ℵo.

298 Examinaremos ahora de que manera, en su caso, la definicion de ℵo

esta relacionada con la definicion operativa de los cardinales finitos. Los car-dinales finitos se pueden definir en terminos operativos (vease el Apendice B),por ejemplo de la siguiente forma:

|{∅}| = 1 (7)

El menor cardinal transfinito —— 95

|{∅, {∅}}| = 2 (8)

|{∅, {∅}, {∅, {∅}}| = 3 (9)

|{∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}| = 4 (10)

. . .

o incluso:

|{0}| = 1 (11)

|{0, 1}| = 2 (12)

|{0, 1, 2}| = 3 (13)

|{0, 1, 2, 3}| = 4 (14)

. . .

299 La sucesion de definiciones recursivas anterior, y otras muchas similares,se considera una sucesion completa que originan la totalidad completa de losnumeros naturales de acuerdo con la hipotesis del infinito actual. No obstante,y a pesar del hecho de que consiste en un numero infinito de pasos y cada pasodefine un numero mayor que su predecesor inmediato, la secuencias no originaun numero infinito. Origina una sucesion infinita de numeros finitos, cada unouna unidad mayor que su predecesor inmediato, pero siempre finito. ℵo no esta,por tanto, relacionado con esta sucesion. ℵo no se define recursivamente a partirde los cardinales finitos en terminos operacionales.

300 Carecemos de una definicion formal de numero. Pero sabemos lo quequeremos decir cuando decimos que el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5} tiene cincoelementos: podemos contarlos; podemos considerarlos sucesivamente; dispo-nemos de instrumentos operativos para identificarlos. Pero ninguno de esosinstrumentos operativos es aplicable en el caso de ℵo.

301 Por otra parte, la definicion de Cantor de ℵo podrıa ser equivalente auna definicion circular. En efecto:

ℵo = |{1, 2, 3, . . . }| (15)

= |{1} ∪ {2} ∪ {3} ∪ . . . | (16)

= |{1}|+ |{2}|+ |{3}|+ . . . (17)

= 1 + 1 + 1 + . . . (18)

y la ultima suma esta definida solo si conocemos el numero de sumandos, quees precisamente el numero que se esta definiendo con la suma.

302 Consideremos nuevamente la definicion original de Cantor de ℵo:

ℵo = |{1, 2, 3, . . . }| (Conjunto definidor) (19)

y la siguiente supertarea condicionada: en cada uno de los sucesivos instantes

96 —— Alef-cero

ti de la sucesion ω−ordenada de instantes 〈tn〉 del intervalo real finito (ta, tb)cuyo lımite es tb, retırese el primer elemento del conjunto (19) definidor de ℵo

si, y solo si, el cardinal del conjunto definidor resultante es todavıa ℵo:

t1: Conjunto definidor {2, 3, 4, . . . } : ℵo = |{2, 3, 4, . . . }|



. . .

Sea v un cardinal finito cualquiera y supongamos que en el instante tb, una vezcompletada la supertarea, tenemos:

tb : ℵo = |{v, v + 1, v + 2, . . . }| (20)

Puesto queℵo = |{v + 1, v + 2, v + 3, . . . }| (21)

el numero v tuvo que ser retirado del conjunto definidor en el instante tv. Porlo tanto, la Definicion (20) es imposible en el instante tb. Y siendo v un cardinalfinito cualquiera tendrıamos que concluir que, en el instante tb, la Definicion(20) es imposible para todo cardinal finito v. Por tanto tendrıamos:

tb : ℵo = |∅| = 0 (22)

17.-Singularidades aritmeticas de ℵo

Introduccion303 La discusion que sigue trata con los elementos del conjunto (ω + 2)-ordenado N∗ = {1, 2, 3, . . . ,ℵo, 2

ℵo}, ası como con las operaciones aritmeticasbasicas y las relaciones de orden entre los cardinales finitos e infinitos introdu-cidas por Cantor en su trabajo fundacional sobre los numeros transfinitos [39].Definiciones que, en lo fundamental, siguen siendo aplicables en las modernasmatematicas transfinitas.

304 Una vez asumida la existencia del conjunto N de todos los cardinalesfinitos (numeros naturales) como una totalidad completa,1 Cantor definio ℵo

como su cardinal, demostrando a continuacion que ℵo es el menor el cardinalmayor que todos los cardinales finitos [39, Teoremas 10-A y 10-B].

305 La aritmetica transfinita permite definir operaciones aritmeticas con unnumero infinito de operandos. Ası, no solo los operandos, sino tambien la su-cesion de operaciones pueden ser de cualquier longitud, finita o infinita. En ladiscusion que sigue, y por razones de claridad, indexaremos a los sucesivos ope-randos de las operaciones aritmeticas para hacer explıcito, entre otras cosas, elorden de los operandos involucrados.

¿Es ℵo un numero primo?306 La teorıa axiomatica de conjuntos,2 que se aplica a todos los conjuntosfinitos e infinitos, nos permite disociar el conjunto N de los numeros naturalesde la siguiente manera:

{1, 2, 3, . . . } ={1} ∪ {2, 3, 4, . . . } (1)

{1} ∩ {2, 3, 4, . . . } = ∅ (2)

Alef-cero (ℵo) es, por definicion, el cardinal3 de N. Teniendo en cuenta que el

cardinal de la union de dos conjuntos disjuntos es la suma del cardinal de cada

1En terminos modernos: hipotesis del infinito actual subsumida por el Axioma del Infinito.2Por ejemplo la axiomatica ZFC.3Como es habitual, el cardinal de un conjunto X se denotara por |X|.

97

98 —— Singularidades aritmeticas de ℵo

conjunto, tendremos:

ℵo = |{1, 2, 3, . . . }| (3)

= |{1} ∪ {2, 3, 4, . . . }| (4)

= |{1}|+ |{2, 3, 4, . . . }| (5)

= 11 + |{2, 3, 4, . . . }| (6)

donde el numero natural 1 se escribe como 11 para indicar que representa elcardinal del conjunto {1}, y lo mismo se aplicara a los sucesivos 12, 13, 14, etc

307 Por cierto, la ecuacion (6) ℵo = 1 + |{2, 3, 4, . . . }| sirvio a Cantor parademostrar que ℵo no era un numero natural (vease el Capıtulo 16 sobre Alef-cero).

308 Mediante sucesivas disociaciones (S-disociaciones en adelante) de N ob-tendremos:

ℵo = |{1, 2, 3, . . . }| (7)

= |{1} ∪ {2, 3, 4, . . . }| (8)

= |{1}|+ |{2, 3, 4, . . . }| (9)

= 11 + |{2, 3, 4, . . . }| (10)

= 11 + |{2} ∪ {3, 4, 5, . . . }| (11)

= 11 + |{2}|+ |{3, 4, 5, . . . }| (12)

= 11 + 12 + |{3, 4, 5, . . . }| (13)

= 11 + 12 + |{3} ∪ {4, 5, 6, . . . }| (14)

= 11 + 12 + |{3}|+ |{4, 5, 6, . . . }| (15)

= 11 + 12 + 13 + |{4, 5, 6, . . . }| (16)

. . .

Vale la pena destacar que una S-disociacion simplemente disocia un conjuntoen dos subconjuntos disjuntos, (uno de ellos un singleton, un conjunto de unsolo elemento), por lo que el cardinal del conjunto original, es la suma de loscardinales de los dos conjuntos disociados.

309 Las sucesivas S-disociaciones estaran sometidos a la siguiente:

Restriccion 309.-Una S-disociacion se llevara a cabo si, y solo si, elresultado es una suma bien definida de cardinales cuyos sumandostiene todos un predecesor inmediato, excepto el primero de ellos 11.

310 Las matematicas transfinitas asumen que se pueden llevar a cabo proce-dimientos de infinitos pasos, como las S-disociaciones sucesivas anteriores. Porotro lado, es facil demostrar, por induccion o por Modus Tollens (MT), quepara cada numero natural v es posible realizar las primeras v S-disociaciones

¿Es ℵo un numero primo? —— 99

sucesivas.

311 La prueba MT es como sigue. Supongamos que fuera falso que paracada numero natural v las primeras v S-disociaciones sucesivas pueden llevarsea cabo. Si ese fuera el caso, existirıa al menos un numero natural n tal quees imposible llevar a cabo las primeras n S-disociaciones sucesivas. Es decir,existirıa un numero n tal que:

ℵo = 11 + 12 + · · ·+ 1n−1 + |{n, n+ 1, n+ 2, . . . }| (17)

y {n+ 1, n+ 1, n+ 3, . . . } ya no se puede S-disociar. Lo cual es falso porque:

ℵo = 11 + 12 + · · ·+ 1n−1 + |{n, n+ 1, n+ 2, . . . }| (18)

= 11 + 12 + · · ·+ 1n−1 + |{n} ∪ {n+ 1, n+ 2, n+ 3, . . . }| (19)

= 11 + 12 + · · ·+ 1n−1 + |{n}|+ |{n+ 1, n+ 2, n+ 3, . . . }| (20)

= 11 + 12 + · · ·+ 1n−1 + 1n + |{n+ 1, n+ 2, n+ 3, . . . }| (21)

Nuestra hipotesis de partida, debe ser, por lo tanto falsa, y entonces pode-mos confirmar que para cada numero natural v las primeras v S-disociacionessucesivas pueden llevarse a cabo.

312 La prueba inductiva es como sigue. Esta claro que la primera S-disociacionse puede realizar porque:

ℵo = |{1, 2, 3, . . . }| (22)

= |{1} ∪ {2, 3, 4, . . . }| (23)

= |{1}|+ |{2, 3, 4, . . . }| (24)

= 11 + |{2, 3, 4, . . . }| (25)

Supongamos que, siendo n un numero natural cualquiera, las primeras n S-disociaciones sucesivas se pueden realizar. Tendrıamos:

ℵo = 11 + 12 + · · ·+ 1n + |{n+ 1, n+ 2, n+ 3, . . . }| (26)

y entonces podemos escribir

ℵo = 11 + 12 + · · ·+ 1n + |{n+ 1} ∪ {n+ 2, n+ 3, . . . }| (27)

= 11 + 12 + · · ·+ 1n + |{n+ 1}|+ |{n+ 2, n+ 3, . . . }| (28)

= 11 + 12 + · · ·+ 1n + 1n+1 + |{n+ 2, n+ 3, . . . }| (29)

lo que significa que las primeras n + 1 S-disociaciones sucesivas tambien sepueden realizar. Hemos probado que la primera S-disociacion se puede realizary que si, siendo n un numero natural cualquiera, las primeras n S-disociacionessucesivas se pueden realizar, entonces las primeras n + 1 S-disociaciones su-cesivas tambien se pueden realizar. Lo que prueba que para todo v en N lasprimeras v S-disociaciones sucesivas se pueden realizar.


313 Supongamos ahora que, mientras las sucesivas S-disociaciones puedellevarse a cabo, se llevan a cabo. Una vez realizada todas las posibles S-disociaciones sucesivas tendrıamos una de las dos alternativas siguientes:

ℵo = 11 + 12 + · · ·+ 1v + |{v + 1, v + 2, v + 3, . . . }| (30)

ℵo = 11 + 12 + 13 + . . . (31)

donde v es un cierto numero natural. Puesto que v + 1 es tambien un numeronatural, la primera de las alternativas ha de ser falsa, de acuerdo con 311 y 312.En consecuencia, una vez realizadas todas las posibles S-disociaciones sucesivastendremos:

ℵo = 11 + 12 + 13 + . . . (32)

314 Vamos a probar ahora que el lado derecho de (32) es una sucesion ω−or-denada de sumas. Veamos que ası ha de ser. La sucesion no puede ser finitaporque la suma de un numero finito de cardinales finitos es tambien finita,mientras que ℵo es el primer cardinal infinito. El lado derecho de (32) ha detener, por tanto, un numero infinito de sumandos. Veamos que solo puede seruna sucesion ω−ordenada de sumandos. Si no lo fuera, serıa por lo menos (ω+ 1)-ordenada4 y, entonces podrıamos escribir:

ℵo = 11 + 12 + 13 + · · ·+ 1ω + S (33)

donde S es o bien la suma de un numero finito o infinito del mismo sumando 1,o bien 0. En cualquier caso, el sumando 1ω estara siempre presente y no tienepredecesor inmediato,5 Lo que viola la Restriccion 309. En consecuencia (32)solo puede ser ω−ordenada.

315 De acuerdo con (32), y teniendo en cuenta la asociatividad de los cardi-nales y el hecho, probado por el propio Cantor [39], de que para cualesquieratres cardinales a, x e y, se verifica ax × ay = ax+y, podemos escribir:

2ℵo = 211+12+13+... (34)

= 211+(12+13+... ) (35)

= 211 × 212+13+14+... (36)

donde todos los 11, 12, 13 . . . representan al cardinal 1. Aquı (y de ahora enadelante), los subındices simplemente denotan el orden de los sumandos.

316 Las sucesivas disociaciones de 2ℵo (P-disociaciones a partir de ahora)serıan:

2ℵo = 211+12+13+... (37)

= 211+(12+13+... ) (38)

4ω + 1 es el menor ordinal infinito mayor que ω.5Es el lımite de la sucesion de todos los ordinales finitos.

¿Es ℵo un numero primo? —— 101

= 211 × 212+13+14+... (39)

= 211 × 212+(13+14+... ) (40)

= 211 × 212 × 213+14+15+... (41)

= 211 × 212 × 213+(14+15+... ) (42)

= 211 × 212 × 213 × 214+15+16+... (43)

= 211 × 212 × 213 × 214+(15+16+... ) (44)

. . .

Observese que una P-disociacion es una simple aplicacion de una propiedadestandar del producto de potencias.

317 Las sucesivas P-disociaciones estaran sometidas a la siguiente:

Restriccion 317.-Un P-disociacion se llevara a cabo si, y solo si, elresultado es un producto bien definido de potencias cada uno decuyos factores tiene un predecesor inmediato, excepto el primero deellos 211 .

318 Probaremos ahora, por MT (tambien es posible una prueba inductiva),que para cada numero natural v las primeras v P-disociaciones sucesivas puedellevarse a cabo. Supongamos que es falso que para cada numero natural v lasprimeras v P-disociaciones sucesivas puede llevarse a cabo. Existirıa entoncesal menos un numero natural n tal que:

2ℵo = 211 × 212 × · · · × 21n−1 × 21n+1n+1+1n+2+... (45)

no puede ser P-disociado. Pero eso es falso porque:

2ℵo = 211 × 212 × · · · × 21n−1 × 21n+1n+1+1n+2+... (46)

= 211 × 212 × · · · × 21n−1 × 21n+(1n+1+1n+2+... ) (47)

= 211 × 212 × · · · × 21n−1 × 21n × 21n+1+1n+2+1n+3+... (48)

Por tanto, nuestra hipotesis inicial debe ser falsa y podemos confirmar que paracada numero natural v las primeras v P-disociaciones sucesivas puede llevarsea cabo.

319 Supongamos que mientras las sucesivas P-disociaciones puede llevarse acabo, se llevan a cabo. Una vez realizada todas las posibles P-disociacionessucesivas tendremos una de las dos alternativas siguientes:

2ℵo = 211 × 212 × · · · × 21v−1 × 21v+1v+1+1n+3+... (49)

2ℵo = 211 × 212 × 213 × . . . (50)

donde v es un cierto numero natural. De acuerdo con 318, y siendo v un nume-ro natural, la primera alternativa ha de ser falsa. En consecuencia, una vez


realizadas todas las posibles P-disociaciones sucesivas tendremos:

2ℵo = 211 × 212 × 213 × . . . (51)

que, obviamente, tambien podemos escribir como:

2ℵo = 21 × 22 × 23 × . . . (52)

320 Probemos ahora que el lado derecho de (52) es una sucesion ω−ordenadade multiplicaciones. En efecto, no puede ser finita porque el producto de unnumero finito de factores finitos es tambien finito, mientras que 2ℵo es infinitono contable. El lado derecho de (52) solo puede tener un numero infinito defactores. Ademas, debe ser una sucesion ω−ordenada de factores porque encaso contrario serıa como mınimo (ω + 1)-ordenada y podrıamos escribir:

2ℵo = 21 × 22 × 23 × . . . 2ω × P (53)

donde P es o bien el producto de un numero finito o infinito del mismo factor2, o bien 1. En cualquier caso, el factor 2ω estara siempre presente y no tienepredecesor inmediato,6 lo que viola la Restriccion 317. Por tanto el lado derechode (52) solo puede ser ω−ordenado.

321 La ecuacion (52), por otra parte, se da por sentada y, como hizo Cantor,puede ser inmediatamente deducida de la definicion original que el propio Can-tor dio de la exponenciacion de cardinales mediante la nocion de recubrimiento[39, § 4].

322 Las relaciones de orden con cardinales (’mayor que’ y ’menor que’) defi-nidas por Cantor [39] seran usadas ahora para demostrar que 2ℵo es el menorcardinal transfinito que se puede expresar como un producto de cardinales fi-nitos mayores que 1. Obviamente, el numero de factores no puede ser finitoya que 2ℵo es infinito no numerable. Por lo tanto, el numero de factores tieneque ser infinito. Sea α un ordinal transfinito cualquiera mayor que ω, y sead = a1 × a2 × a3 · · · × aω × . . . el producto de una sucesion α-ordenada de car-dinales finitos a1, a2, a3,. . . , aω,. . . todos ellos mayores que 1. Por induccion, yteniendo en cuenta que ω < α y 2k ≤ ak, para todo k, tendrıamos:

∀k < ω : 21 × 22 × · · · × 2k < a1 × a2 × · · · × ak (54)

y entonces:

21 × 22 × 23 × · · · ≤ a1 × a2 × a3 × . . . (55)

≤a1 × a2 × a3 × · · · × aω × . . . (56)

6Es el lımite de todos los 2n

Alef-cero y la potencia del continuo —— 103

Podemos entonces escribir:

2ℵo = 21 × 22 × 23 × · · · ≤ a1 × a2 × a3 × · · · × aω × . . . (57)

para toda sucesion de cardinales ai mayores que 1. Esto prueba que 2ℵo es elmenor cardinal infinito que puede expresarse como el producto de una sucesioninfinita de factores finitos mayores que 1.

323 Una consecuencia inmediata de 322 es que ℵo no se puede expresar co-mo un producto de cardinales finitos mayores que 1. Si el numero de factoreses finito el producto sera tambien finito, y si el numero de factores es infini-to sera igual o mayor que 2ℵo , que a su vez es mayor que ℵo. Ası, como enel caso de los numeros primos, ℵo siempre debe formar parte de sus propiasfactorizaciones.

Alef-cero y la potencia del continuo324 Escribamos el primer factor 21 en (52) como 11 + 12. Tendremos:

2ℵo = (11 + 12)× 22 × 23 × 24 × . . . (58)

325 Teniendo en cuenta la asociatividad de la multiplicacion de cardinalesy la propiedad distributiva de la multiplicacion sobre la adicion de cardinales,podemos duplicar sucesivamente el numero de sumandos del primer factor de(58) multiplicandolo por los sucesivos segundos factores de (58):

2ℵo = (11 + 12)× 22 × 23 × 24 × . . . (59)

= (11 + 12)× (22)× (23 × 24 × . . . ) (60)

= (11 + 12 + 13 + 14)× 23 × 24 × 25 × . . . (61)

= (11 + 12 + 13 + 14)× (23)× (24 × 25 × . . . ) (62)

= (11 + 12 + · · ·+ 18)× 24 × 25 × 26 × . . . (63)

= (11 + 12 + · · ·+ 18)× (24)× (25 × 26 × . . . ) (64)

= (11 + 12 + · · ·+ 116)× 25 × 26 × 27 × . . . (65)

= (11 + 12 + · · ·+ 116)× (25)× (26 × 27 × . . . ) (66)

= (11 + 12 + · · ·+ 132)× 26 × 27 × 28 × . . . (67)

. . .

Llamaremos F-duplicaciones a estas sucesivas duplicaciones del numero de su-mandos del primer factor de (58). Las sucesivas F-duplicaciones estaran sujetasa la siguiente:

Restriction 325.-Una F-duplicacion sera realizada si, y solo si, cadasumando 1n de la suma resultante tiene un predecesor inmediato1n−1, excepto el primero 11.


326 Demostremos, por MT (tambien es posible una prueba inductiva), quepara cada natural numero v las primeras v F-duplicaciones sucesivas puedenllevarse a cabo. Para ello, supongamos que es falso que para cada naturalnumero v los primeros v F-duplicaciones sucesivas pueden llevarse a cabo.Existira entonces al menos un numero natural n tal que es imposible realizarlas primeras n F-duplicaciones sucesivas. Es decir, un numero n tal que:

2ℵo = (11 + 12 + · · ·+ 12n−1)× (2n × 2n+1 × 2n+2 × . . . ) (68)

no se puede F-duplicar. Es inmediato probar que eso es falso porque:

2ℵo = (11 + 12 + · · ·+ 12n−1)× (2n × 2n+1 × 2n+2 × . . . ) (69)

= (11 + 12 + · · ·+ 12n−1)× (2n)× (2n+1 × 2n+2 × . . . ) (70)

= (11 + 12 + · · ·+ 12n)× (2n+1 × 2n+2 × 2n+3 × . . . ) (71)

Nuestra suposicion inicial ha de ser, por tanto, falsa, y podemos confirmar quepara cada numero natural v es posible realizar las primeras v F-duplicacionessucesivas.

327 Supongamos ahora que mientras las sucesivas F-duplicaciones puedenllevarse a cabo, se llevan a cabo. Una vez realizadas todas las posibles F-duplicaciones sucesivas tendrıamos una de las dos alternativas siguientes:

2ℵo = (11 + 12 + · · ·+ 12v−1)× (2v × 2v+1 × 2v+2 × . . . ) (72)

2ℵo = 11 + 12 + 13 + . . . (73)

donde v es un cierto numero natural. Siendo v un numero natural, la prime-ra alternativa debe ser falsa de acuerdo con 326. En consecuencia, una vezrealizada todas las F-duplicaciones sucesivas posibles, tendremos:

2ℵo = 11 + 12 + 13 + . . . (74)

328 Probaremos ahora que el lado derecho de (74) es una sucesion ω−or-denada de sumas. No puede ser finita porque la suma de un numero finito desumandos finitos es tambien finita. Por tanto el lado derecho de (74) ha de tenerun numero infinito de sumandos. Ademas ha de ser una sucesion ω−ordenadade sumas, en caso contrarıo serıa como mınimo (ω+1)-ordenada y tendrıamos:

2ℵo = 11 + 12 + 13 + · · ·+ 1ω + S (75)

donde S es o bien una suma de un numero finito o infinito del mismo sumando1, o bien 0. En cualquier caso, el sumando 1ω estarıa siempre presente y notiene predecesor inmediato, lo que viola la Restriccion 325. Se sigue entoncesque el lado derecho de (74) ha de ser ω−ordenado.

Alef-cero y la potencia del continuo —— 105

329 Teniendo en cuenta (74) y (32) podemos escribir:

2ℵo = 21 × 22 × 23 × · · · = 11 + 12 + 13 + · · · = ℵo (76)

lo que contradice el teorema de Cantor:

ℵo < 2ℵo (77)

Comentario 329-1.- Conviene recordar que el argumento 324-329 se basa ex-clusivamente en definiciones operaciones y propiedades bien establecidas de laaritmetica transfinita. Simplemente hace uso de una consecuencia de la hipote-sis del infinito actual: la existencia de sucesiones ω−ordenadas como totalidadescompletas, a pesar de que ningun ultimo elemento las complete. El argumentoes, por tanto, una consecuencia formal de asumir la complecion de lo incom-pletable. Esta suposicion infinitista hace posible completar cualquier definiciono procedimiento formado por una sucesion ω−ordenada de pasos sin un ultimopaso que complete la sucesion.

18.-Reinterpretacion del teorema de la reordenacion de Rie-

mann

Definiciones330 El teorema de la reordenacion de Riemann (vease mas adelante) afirmaque es posible cambiar el orden de los sumandos de una serie condicionalmen-te convergente de tal manera que converge a cualquier numero deseado, o alinfinito. Como veremos, el teorema solo se aplica si en el reordenamiento estaninvolucrados un numero infinito de terminos. En esas condiciones converger yno converger a un numero dado se podrıa reinterpretar como una contradiccionderivada de la inconsistencia del infinito actual.

331 Una serie∑∞

i=0 ai es condicionalmente convergente si, y solo si:

1. La serie converge a un numero finito L:

lımn→∞

∞∑

i=0

ai = L (1)

2. La serie de sus terminos positivos (negativos) converge al infinito (positivoo negativo).

lımn→∞

∞∑

i=0

|ai| = ∞ (2)

332 El teorema del reordenamiento de Riemann establece que mediante elreordenamiento adecuado de sus terminos, cualquier serie condicionalmenteconvergente puede hacerse converger a cualquier numero finito dado o al infi-nito.

Discusion333 Nos ocuparemos exclusivamente de series condicionalmente convergen-tes de numeros reales que pueden converger a diferentes numeros finitos porreordenamientos basados en la aplicacion de las propiedades conmutativa, aso-ciativa y distributiva de las operaciones aritmeticas elementales en el cuerpode los numeros reales. Llamamos R-ordenamientos a estos reordenamientos.

334 Sea S =∑∞

i=0 ai una serie condicionalmente convergente cualquiera ysea v un numero natural cualquiera. Consideremos la suma de los v primeros

107

108 —— Reinterpretacion del teorema de la reordenacion de Riemann

terminos de S. Puesto que el numero v de sumandos es finito, el numero de susposibles R-ordenamientos tambien sera un numero finito n. Sea 〈Ri〉1≤i≤n unasucesion finita de R-ordenamientos de los v primeros sumandos de S, siendocada R-ordenamiento Ri, i>1 de 〈Ri〉1≤i≤n el resultado de aplicar una de laspropiedades asociativa, conmutativa o distributiva a su predecesor inmediatoRi−1. Sea 〈Sv,i〉1≤i≤n la correspondiente sucesion de sus sumas, i.e. cada Sv,i esla suma de los primeros v sumandos de S reordenados como Ri.

335 Si para un cierto ındice i tuvieramos:

Sv,i−1 6= Sv,i (3)

tendrıamos que concluir que una simple aplicacion de las propiedades conmu-tativa, asociativa o distributiva cambia el resultado de una suma, lo cual esimposible si esas propiedades se cumplen como se han de cumplir en el cuer-po de los numeros reales. La desigualdad (3) es, por tanto, imposible paracualquier numero natural (y por tanto finito) v.

336 Se verifica entonces el siguiente:

Teorema del reordenamiento consistente.-Para cualquier v enN, la suma de los primeros v terminos de cualquier serie condicio-nalmente convergente es siempre la misma, sea cual sea el reordena-miento de los operandos.

En consecuencia, podemos confirmar que solo cuando el numero de sumandos esinfinito la suma depende el reordenamiento de los sumandos. Debemos concluirentonces que es el numero infinito de sumandos la causa de esa dependencia.

337 De acuerdo con el teorema del reordenamiento de Riemann, si S es cual-quier serie condicionalmente convergente y r cualquier numero real la suma desus infinitos terminos es y no es igual a r, dependiendo del orden en el que sesumen los terminos. Este es el tipo de resultado que uno podrıa esperar si lahipotesis del infinito actual fuese inconsistente. El teorema del reordenamientode Riemann podrıa ser reinterpretado, por lo tanto, como una prueba de lainconsistencia de la hipotesis del infinito actual. Y esa posibilidad, tan legıtimacomo cualquiera otra, deberıa ser explıcitamente declarada en el enunciado delteorema.

19.-Inconsistencia de los conjuntos anidados

Teorema de la interseccion vacıa338 Sea A1 = {a1, a2, a3 . . . } un conjunto ω−ordenado cualquiera y con-siderese la siguiente definicion recursiva:

Ai+1 = Ai − {ai}; i = 1, 2, 3, . . . (1)

que origina la sucesion ω−ordenada de conjuntos anidados:

S = 〈An〉 = A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ . . . (2)

siendo cada conjunto numerable An = {an, an+1, an+2, . . . } un subconjuntopropio de todos sus predecesores y un superconjunto de todos sus sucesores.

Figura 19.1: Diagrama deVen del TIV: Todos los con-juntos estan anidados y cadauno de ellos ocupa un areaconcentrica mayor que ceroporque todos ellos son nume-rables. Sin embargo, la zonaconcentrica comun es nula.

339 El siguiente teorema es una version numerabledel llamado Teorema de los conjuntos anidados.1

Teorema de la interseccion vacıa.-Lasucesion S de conjuntos 〈An〉 definida en338 satisface: ⋂

i

Ai = ∅ (3)

La prueba es inmediata: si algun elemento ak per-teneciera a la interseccion entonces la definicion (1)solo habrıa definido un numero finito (igual o menorque k) de conjuntos, puesto que ak no pertenece aAk+1, Ak+2, Ak+3, . . . .

340 El teorema de la interseccion vacıa (TIV parabreviar) es un resultado trivial de las matematicasinfinitistas. Hasta donde yo se, nunca ha sido utiliza-do en discusiones formales sobre la naturaleza del infinito. El teorema afirmasimplemente que los conjuntos 〈An〉 no tiene ningun elemento comun. Las con-secuencias del hecho de que cada Ai es un subconjunto propio numerable detodos sus predecesores nunca han sido examinadas. En la siguiente discusion

1La version original, tambien llamada teorema de la interseccion de Cantor, trata con conjuntoscompactos y la conclusion es la contraria, es decir que la interseccion es no vacıa.

109

110 —— Inconsistencia de los conjuntos anidados

tendremos la oportunidad de examinar algunas de esas implicaciones.

Figura 19.2: Retirando una a una las bolas de una caja que contiene ℵo bolas.

341 Antes de comenzar nuestra discusion, examinemos una version fısicaelemental del TIV. Sea BX un caja que contiene una coleccion numerablede bolas etiquetadas como b1, b2, b3, . . . y sea 〈tn〉 una sucesion ω−ordenadade instantes dentro del intervalo real (ta, tb) cuyo lımite es precisamente tb.Consideremos ahora la siguiente supertarea: en cada instante ti se retira de lacaja la bola bi, y solo ella. La correspondencia uno a uno f entre 〈tn〉 y 〈bn〉definida por f(ti) = bi demuestra que en tb se habran retirado todas bolas dela caja BX.

342 De acuerdo con la forma de retirar las bolas, de una en una y de modoque entre la retirada de una bola bn y la retirada de la siguiente bn+1 siempretranscurre un intervalo de tiempo tn+1 − tn mayor que cero, se podrıa esperarque justo antes de completar la retirada de todas las bolas de la caja, la cajacontendra 5, 4, 3, 2, 1, 0 bolas. Nada mas lejos de la (infinitista) verdad: antesde estar vacıa, la caja nunca contendra un numero finito n de bolas, cualquieraque sea n, simplemente porque esas bolas serıan las imposibles ultimas n bolasde una coleccion ω−ordenada de bolas etiquetadas; y los sucesivos instantes enlos que las sucesivas bolas fueran sucesivamente retiradas, serıan los imposiblesultimos n instantes de una sucesion ω−ordenada de instantes.

343 Sea f(t) es el numero de bolas dentro de la caja en cualquier instantet del intervalo [ta, tb], es decir, el numero de bolas que quedan por retirar enel preciso instante t. Como consecuencia del ω−orden, tendremos la inevitabledicotomıa siguiente:

f(t) =

{ℵo, ∀t ∈ [ta, tb)

0 si t = tb(4)

En otro caso, si para algun t en [ta, tb) tuvieramos f(t) = n, siendo n un numeronatural cualquiera, entonces existirıan los imposible n ultimos terminos de unasucesion ω−ordenada.

344 Teniendo en cuenta la correspondencia uno a uno f(ti) = bi, todas lasbolas 〈bn〉 se retiran una a una de la caja BX, una despues de la otra y detal forma que un intervalo de tiempo ∆it = ti+1 − ti mayor que cero siempretranscurre entre la extraccion de dos bolas sucesivas bi, bi+1, ∀i ∈ N. Pero deacuerdo con la dicotomıa anterior (4), esto es imposible porque el numero de

Teorema de la interseccion vacıa —— 111

Figura 19.3: La dicotomıa Alef-cero o cero.

bolas que quedan por retirar de la caja tiene que cambiar directamente2 de ℵo

a 0, y esto solo es posible si se retiran simultaneamente ℵo bolas.

345 Evidentemente, la caja BX desempena el papel del conjunto A1 y lassucesivas eliminaciones de las bolas representan las sucesivas etapas de la de-finicion recursiva Ai+1 = Ai − {ai}. Puesto que los sucesivos elementos a1, a2,a3, . . . de A1 se retiran sucesivamente a fin de definir los sucesivos terminos A1,A2, A3, . . . de la sucesion S, podrıamos escribir:

i = 1, 2, 3, . . .

Ai+1 = Ai − {ai}

A1/ = {a/1, a/2, . . . a/i, ai+1, ai+2, . . . }(5)

donde a/1, a/2, . . . a/i simplemente indican los sucesivos elementos a1, a2, . . . ai deA1 que se han ido utilizando para definir los sucesivos miembros A2, A3, . . .Ai

de la sucesion S.

346 Como en el caso de la caja BX, y por las mismas razones, si centramosnuestra atencion en el numero de elementos que permanecen sin marcar en (5)a medida que progresa la definicion recursiva (1), entonces es inmediato llegara la conclusion de que ese numero solo puede tomar dos valores: ℵo y 0.

347 La dicotomıa ℵo o 0 implica que el numero de elementos no marcadosen (5) cambia directamente de ℵo a 0, y eso solo es posible si se marcan si-multaneamente ℵo elementos, i.e. definiendo de forma simultanea ℵo conjuntosde la sucesion S, lo que evidentemente es incompatible con la recursividad deesa definicion, de la misma manera que retirar simultaneamente ℵo bolas de lacaja es incompatible con la sucesividad de las extracciones.

348 Existe, sin embargo, una diferencia significativa entre la extraccion de lasbolas de BX y la definicion recursiva (1): mientras que la caja BX es siemprela misma caja BX a medida que las bolas se retiran de ella sucesivamente(lo que pone en evidencia la falacia de la extraccion), el conjunto A1 originauna sucesion de conjuntos: a partir de A1, cada conjunto Ai origina un nuevo

2Sin estados intermedios finitos en los que solo quede un numero finito de bolas por retirar.


conjunto Ai+1 cuando el elemento ai se retira de el para definir el terminosiguiente de la sucesion. Ası, el conjunto A1 se disuelve en una sucesion infinitay completa de conjuntos en la que no existe un ultimo conjunto que complete lasucesion, lo que esconde la falacia de que se pueden eliminar uno a uno todoslos elementos de una coleccion sin que nunca queden . . . tres, dos, uno, ceroelementos por retirar.

349 Ante la evidencia del hecho de que retirando una a una las bolas deuna caja que contienen un numero finito o infinito de bolas, inevitablementeobtendra una caja que contendra sucesivamente . . . , 5, 4, 3, 2, 1, 0 bolas,algunos infinitists dicen que mientras que se pueden agregar una a una infinitasbolas a una caja inicialmente vacıa, no se pueden retirar una a una esas mismasbolas de la caja, simplemente porque la sustraccion de cardinales transfinitosno siempre esta definida.3

350 Es evidente, sin embargo, que aquı no estamos restando cardinales, no es-tamos realizando operaciones aritmeticas sino retirando las bolas de una caja.¿Que pensar de una teorıa formal que prohıbe retirar bolas de una caja porquecon ello la teorıa queda en entredicho? Es difıcil creer que los mismos teori-cos que permite eliminar cualquier elemento de cualquier conjunto prohıbanargumentar sobre la extraccion de bolas de una caja que contiene bolas.

Inconsistencia de los conjuntos anidados

351 La discusion anterior sobre el TIV sugiere que este teorema no es tantrivial como parece. De hecho, motiva la breve discusion que sigue, cuyo prin-cipal objetivo es poner en tela de juicio la consistencia formal de la la hipotesisdel infinito actual.

352 En este punto, parece conveniente recordar que Cantor dio por sentadala existencia del conjunto de todos los cardinales finitos (numeros naturales)como una totalidad infinita completa (Axioma del Infinito en terminos moder-nos), y que de esa suposicion inicial derivo correctamente la sucesion infinitade numeros ordinales transfinitos de la segunda clase, siendo ω el menor detodos ellos [39, Theorem 15-K]. Por lo tanto cualquier resultado que afecte a laconsistencia formal de ω afectara a toda la sucesion de ordinales transfinitos,ası como a la consistencia formal de la hipotesis de infinito actual subsumidaen el Axioma del Infinito.

353 Empecemos asumiendo el Axioma del Infinito y, por tanto, la existenciade conjuntos de ω−ordenados y de sucesiones ω−ordenadas como totalidadesinfinitas completas.

354 Considerese de nuevo la sucesion anterior de conjuntos S = A1, A2, A3, . . . .

3La sustraccion de cardinales no esta siempre definida porque conduce a contradicciones.

Inconsistencia de los conjuntos anidados —— 113

A partir de S definiremos la sucesion de conjuntos S∗ mediante:

n = 1, 2, 3, . . .

n = 1 : S∗ = A1

n > 1 :i=n⋂

i=1

Ai 6= ∅ ⇒ Anadir An a S∗(6)

355 Como en anteriores argumentos en este libro, se podrıa demostrar facil-mente por induccion o por Modus Tollens, que para cualquier numero naturalv es posible llevar a cabo las primeras v definiciones sucesivas (??). La pruebainductiva es como sigue. Es claro que la primera definicion (6) S∗ = A1 se pue-de realizar. Supongase que, siendo n cualquier numero natural, las primeras ndefiniciones sucesivas (6) se pueden realizar, de modo que S∗ es definida comola sucesion A1, A1, . . .Ak≤n. puesto que An+1 es un conjunto bien definido, lasucesion:

A1, A2, . . . Ak≤n, An+1 (7)

es una sucesion bien definida de conjuntos, y por tanto la interseccion:

A1 ∩A2 ∩ · · · ∩Ak≤n ∩An+1 (8)

es un conjunto bien definido, que es todo lo que necesitamos para llevar a cabola (n + 1)-esima definicion. En consecuencia, las primeras (n + 1) definicio-nes sucesivas (6) se pueden realizar. Hemos probado entonces que la primeradefinicion (6) se puede realizar, y que si para cualquier numero natural n lasprimeras n definiciones sucesivas (6) se pueden realizar, entonces las primeras(n + 1) definiciones sucesivas (6) tambien se pueden realizar. Lo que pruebaque para cualquier numero natural v las primeras v definiciones sucesivas (6)se pueden realizar.

356 Supongamos que mientras las sucesivas definiciones (6) pueden llevarsea cabo, se llevan a cabo. Una vez que todas las posibles definiciones (6) se hanllevado a cabo, la sucesion S∗ estara formada por un numero determinado (fini-to o infinito) de conjuntos que, por definicion, tienen una interseccion no vacıa.Sea, por lo tanto, av−1 cualquier elemento de esa interseccion. Evidentemente,tendremos:

av−1 /∈ Av (9)

Y por tanto Av no es un miembro de la sucesion S∗.

357 Es inmediato demostrar, sin embargo, que Av sı es un miembro de S∗:1. El subındice v en Av es un numero natural.2. De acuerdo con 355, son posibles las primeras v definiciones3. Todas las posibles definiciones (6) se han llevado a cabo.4. Las primeras v definiciones se han llevado a cabo.5. La v-esima definicion (6) anade Av a S∗ porque:

A1 ∩A2 ∩ · · · ∩Av = Av 6= ∅ (10)


6. En consecuencia Av es un miembro de S∗.

358 Hemos deducido, por lo tanto, una contradiccion de nuestra hipotesisinicial: el conjunto Av esta y no esta en la sucesion de S∗.

359 La alternativa a la contradiccion anterior es otra contradiccion aun maselemental: despues de haber realizado todas las posibles definiciones (6), no sehan realizado todas las posibles definiciones (6).

360 Tambien se podrıa argumentar que S∗ es definida un numero infinito deveces y que aunque todas y cada una de las definiciones (6) definen a S∗ comouna sucesion de conjuntos cuya interseccion es no vacıa, la complecion de lasucesion de definiciones (6) convierte a S∗ en una sucesion de conjuntos cuyainterseccion es vacıa; o deja a S∗ indefinida. Como si la complecion de unasucesion ω−ordenada de definiciones, como tal complecion, tuviera consecuen-cias arbitrarias adicionales sobre el objeto definido. Las mismas consecuenciasarbitrarias adicionales podrıan esperarse en cualquier otra definicion, procedi-miento o prueba que consista en una sucesion ω−ordered de pasos. En esascondiciones, cualquier cosa podrıa esperarse en las matematicas infinitistas.

20.-Dicotomıas de Zenon

Definiciones introductorias361 En este capıtulo se introduce una version formal de la Dicotomıa deZenon en sus dos variantes (aquı referidas como Dicotomıa I y II) basadas enla sucesividad del ω−orden (Dicotomıa I) y del ω∗−orden (Dicotomıa II). Cadauna de las versiones formalizadas conduce a una contradiccion.

362 En la segunda mitad del siglo XX, se propusieron varias soluciones aalgunas de las paradojas de Zenon con la ayuda de la aritmetica transfinitade Cantor, la topologıa, la teorıa de la medida y mas recientemente la teorıainterna de conjuntos1 (una rama del analisis no estandar). Tambien vale la penadestacar las soluciones propuestas por P. Lynds2 en el marco de la mecanicaclasica y en el de la mecanica cuantica. Sin embargo, algunas de estas solucioneshan sido contestadas. Y en la mayorıa de los casos, las soluciones propuestasno explican donde fallan los argumentos de Zenon. Ademas, algunas de esassoluciones dieron lugar a una nueva coleccion de problemas tan excitantes comolas paradojas originales de Zenon.3 En la discusion que sigue se propone unanueva forma de discutir las dicotomıas de Zenon basada en la nocion de ω−or-den, el orden inducido por ω, el primer ordinal transfinito.

363 Como es bien sabido, en una sucesion ω−ordenada hay un primer ele-mento y cada elemento tiene un sucesor inmediato y un predecesor inmediato,excepto el primero. Segun la hipotesis del infinito actual subsumida en el Axio-ma del Infinito, una sucesion ω−ordenada es una totalidad completa a pesarde que ningun ultimo elemento la complete.4 La sucesion de numeros naturalesen su orden natural de precedencia es un ejemplo de sucesion ω−ordenada.

364 Una sucesion ω∗−ordenada se caracteriza por tener un ultimo elementoy porque cada elemento tiene un predecesor inmediato y un sucesor inmediato,excepto el ultimo. Desde la misma perspectiva infinitista, las sucesiones ω∗−or-denadas se consideran totalidades completas a pesar de que no hay un primerelemento por el que comenzar la sucesion. La sucesion creciente de los enterosnegativos, . . . , -3, -2, -1, es un ejemplo de sucesion ω∗−ordenada.

1[90], [91], [206], [92], [94], [93], [131], [130]2[117], [118]3[145], [4], [154], [165], [106] [174]4Cantor demostro la existencia de sucesiones ω−ordenadas suponiendo la existencia del con-junto de todos los cardinales finitos como una totalidad completa [39, Teorema 15-A].

115

116 —— Dicotomıas de Zenon

365 Consideremos ahora una partıcula P moviendose sobre el eje X desde elpunto -1 hasta el punto 2 a una velocidad v constante y finita (Figura 20.1).Supongamos que P se encuentra en el punto 0 en el preciso instante t0. En elinstante t1 = t0+1/v estara exactamente en el punto 1. Consideremos ahora lasiguiente sucesion ω−ordenada de Z-puntos [194] en el intervalo (0, 1) definidapor:

zn =2n − 1

2n, ∀n ∈ N (1)

y la sucesion ω∗−ordenada de Z*-puntos en el mismo intervalo definida por:

z∗n∗ =1

2n, ∀n ∈ N (2)

donde z∗n∗ representa al n-esimo elemento por la cola de la sucesion ω∗−or-denada de Z*-puntos; el ω∗−orden implica que entre dos Z*-puntos sucesivoscualesquiera no existe ningun otro Z*-punto. Lo mismo se aplica al ω−ordende los Z-puntos.

Figura 20.1: Z-puntos y Z∗-puntos.

366 Aunque los puntos del eje X estan densamente ordenados, los Z*-puntosy los Z-puntos no lo estan. Entre dos Z-puntos sucesivos cualesquiera zn, zn+1

no hay ningun otro Z-punto (ω-sucesividad), y entre ellos existe una distanciamayor que cero (ω-separacion). Lo mismo ocurre con los Z*-puntos. Debido ala ω-sucesividad, los Z-puntos y los Z*-puntos solo pueden ser atravesados enforma sucesiva, uno cada vez, uno tras otro. Y de tal manera que entre dosZ*-puntos sucesivos, o dos Z-puntos sucesivos, siempre se ha de atravesar unadistancia mayor que cero. Este tipo de sucesividad jugara un papel capital enel siguiente argumento.

367 A medida que P pasa sobre los puntos del intervalo real [0, 1] debeatravesar los sucesivos Z*-puntos y los sucesivos Z-puntos. No tiene sentidopreguntarse sobre el instante en el que se empiezan a atravesar los sucesivosZ*-puntos porque no existe un primer Z*-punto que atravesar. Lo mismo podrıadecirse del instante en el que termina la travesıa de los Z-puntos, en este casoporque no existe un ultimo Z-punto que atravesar. Por esta razon centraremosnuestra atencion en el numero de Z*-puntos que ya han sido atravesados y enel numero de puntos Z que aun quedan por atravesar en cualquier instante tdentro del intervalo [to, t1].

368 En este sentido, y siendo t un instante cualquiera de [to, t1], sea Z∗(t)

Dicotomıa II de Zenon —— 117

el numero de Z*-puntos atravesados en el instante t. Y sea Z(t) el numero deZ-puntos que aun quedan por atravesar en el instante t. La discusion que sigueexamina la evolucion de Z∗(t) y Z(t) a media que P se mueve desde el punto0 al punto 1. Ambas discusiones son versiones formales de la dicotomıa II y dela Dicotomıa I de Zenon respectivamente.5

369 La estrategia de emparejar los Z*-puntos (o los Z-puntos) con los sucesi-vos instantes de una sucesion infinita estrictamente creciente de instantes fueoriginalmente utilizada por Aristoteles [11] al intentar resolver las dicotomıasde Zenon. Aunque Aristoteles termino por rechazar su estrategia original, esaestrategia es la preferida en la actualidad para resolver ambas paradojas. Comose vera, sin embargo, la sucesividad de los Z*-puntos y de los Z-puntos lleva auna conclusion conflictiva.

Dicotomıa II de Zenon370 Comencemos analizando la forma en la que P atraviesa los Z*-puntos.Puesto que la sucesion de Z*-puntos es ω∗−ordenada no existe un primer ele-mento, y por tanto tampoco existen los n primeros elementos, para cualquiernumero finito n. En consecuencia, y teniendo cuenta que P esta en el punto 0en el instante t0 y en el punto 1 en t1, tendremos:

∀t ∈ [t0, t1]

{t = t0 : Z∗(t) = 0

t > t0 : Z∗(t) = ℵo

(3)

Por tanto, no existe ningun instante t dentro de [t0, t1] en el cual Z∗(t) = n, seacual sea el numero finito n, de otra forma existirıan los primeros n elementosde una sucesion ω∗−ordenada. Notese que Z∗(t) esta bien definida en todo elintervalo [t0, t1]. Ası, la ecuacion (3) expresa una dicotomıa: Z∗(t) solo puedetomar dos valores en todo el intervalo [t0, t1]: 0 o ℵo.

371 De acuerdo con 370 y en relacion con el numero de Z*-puntos atravesados,P puede exhibir solamente dos estados sucesivos: el estado P ∗(0) en el cual haatravesado cero Z*-puntos, y el estado P ∗(ℵo) en el cual ha atravesado ℵo Z*-puntos (ω-dicotomıa). Ahora bien, teniendo en cuenta la sucesividad de los deZ*-puntos y el hecho de que entre dos Z*-puntos sucesivos cualesquiera existesiempre una distancia mayor de cero (ω-separacion), para atravesar dos Z*-puntos, cualesquiera que sean, se ha de atravesar una distancia mayor de cero.Y atravesar una distancia mayor de cero a la velocidad finita v de P significaque la travesıa ha de durar un tiempo mayor que cero.

372 Aunque es imposible calcular ni la duracion exacta de la transicion P ∗(0)-P ∗(ℵo) ni la distancia que P ha de atravesar para alcanzar el estado P ∗(ℵo)desde P ∗(0) (no hay ni un primer momento ni un primer punto en el quecomienza la transicion), hemos probado en 371 que, por muy indeterminada

5Vease, por ejemplo,, [29], [30], [195], [165], [106], [197], [51], [129].


que sea, esa duracion tiene que ser mayor que cero. Lo mismo puede aplicarse ala distancia que P ha de recorrer dentro de [0, 1] para alcanzar el estado P ∗(ℵo)a partir del estado P ∗(0). Probaremos ahora que no pueden ser mayores quecero.

373 Sea d cualquier numero real mayor que 0 y considerese el intervalo real(0, d). De acuerdo con la dicotomıa anterior, en cualquier punto x dentro de(0, d) nuestra partıcula P ya habra atravesado ℵo Z*-puntos. En consecuenciad es mayor que la distancia que P debe atravesar para convertirse en P ∗(ℵo)desde P (0). Ahora bien, puesto que d es cualquier numero real mayor que cero,debemos concluir que la distancia que P debe atravesar para convertirse enP ∗(ℵo) a partir P (0) es menor que cualquier numero real mayor que cero. Loque solo es posible si esa distancia es nula. La misma conclusion, y por lasmismas razones, se puede deducir para la cantidad de tiempo necesaria paraque P se convierta en P ∗(ℵo) desde P ∗(0).

374 De acuerdo con 371 y con 373, P necesita recorrer una distancia mayorque cero durante un tiempo mayor que cero (ω-separacion) para convertirse enP ∗(ℵo) a partir P ∗(0), pero ni esa distancia ni ese tiempo pueden ser mayoresque cero porque han de ser menores que cualquier numero real mayor que cero(ω-dicotomıa). Notese que no esta no es una cuestion de indeterminacion sinode imposibilidad. Si se tratara de una cuestion de indeterminacion existirıa unconjunto soluciones posibles, aunque no podrıamos determinar cuales de ellases la solucion correcta. En nuestro caso ese conjunto de soluciones esta simple-mente vacıo.

Dicotomıa I de Zenon375 Examinaremos ahora la forma en la que P atraviesa los Z-puntos entreel punto 0 y el punto 1. Siendo Z(t) el numero de Z-puntos por atravesar en elpreciso instante t de [t0, t1], ese numero solo puede tomar dos valores: ℵo o 0.En efecto, supongamos que existe un instante t en [t0, t1] en el que el numero deZ-puntos que P aun ha de atravesar es un numero finito n > 0. Eso implicarıala imposible existencia de los ultimos n puntos de una sucesion ω−ordenadade puntos. En consecuencia tenemos una nueva dicotomıa:

∀t ∈ [t0, t1]

{t < t1 : Z(t) = ℵo

t = t1 : Z(t) = 0(4)

Por tanto, no existe un instante t en el cual Z(t) = n, sea cual sea el numerofinito n. Notese que Z(t) esta bien definida en todo el intervalo [t0, t1]. Ası, laecuacion (4) expresa una nueva dicotomıa: Z(t) solo puede tomar dos valores:o bien ℵo o bien 0.

376 De acuerdo con 375 y en relacion con el numero de Z-puntos que aunhan de ser atravesados, P solo puede presentar dos estados sucesivos: el estadoP (ℵo) en el que ese numero es ℵo y el estado P (0) en el que ese numero es 0.

Conclusion —— 119

El numero de Z-puntos que P ha de atravesar disminuye directamente desdeℵo hasta 0, sin estados intermedios finitos en los que solo queden un numerofinito de Z-puntos por atravesar.

377 Teniendo en cuenta la sucesividad de los de Z*-puntos y el hecho de queentre dos Z*-puntos sucesivos cualesquiera existe siempre una distancia mayorde cero (ω-separacion), para atravesar dos Z*-puntos, cualesquiera que sean, seha de atravesar una distancia mayor de cero. Y atravesar una distancia mayorde cero a la velocidad finita v de P significa que la travesıa ha de durar untiempo mayor que cero.

378 Aunque es imposible calcular la duracion exacta de la transicion P (ℵo)-P (0) (no existe un ultimo instante en el que acaba la transicion), hemos pro-bado en 377 que, por muy indeterminada que sea, esa duracion tiene que sermayor que cero. Probaremos ahora que no puede ser mayor que cero. Lo mis-mo puede decirse de la distancia que P ha de atravesar para alcanzar el estadoP (0) a partir del estado P (ℵo).

379 Sea τ cualquier numero real mayor que 0, y considerese el intervalo real detiempo (0, τ) y un instante cualquiera x dentro de (0, τ). El numero de Z-puntospor atravesar en el instante t1 − x es ℵo (ω-dicotomıa). En consecuencia, τ , esmayor que el tiempo que tarda P en alcanzar el estado P (0) a partir de P (ℵo).Ahora bien, puesto que τ es cualquier numero real mayor que cero, hemos deconcluir que el tiempo necesario para alcanzar P (0) a partir de P (ℵo) es menorque cualquier numero real mayor que cero. Lo que solo es posible si ese tiempoes nulo. La misma conclusion, y por las mismas razones, se pueden deducirpara la distancia que P ha de atravesar para convertirse en P (0) a partir deP (ℵo).

380 De conformidad con 377 y 379, el tiempo y la distancia durante la cualel numero de Z-puntos que han de ser atravesados por P disminuye desde ℵo

a 0 debe ser mayor que cero (ω-separacion), pero no puede ser mayor quecero porque son menores que cualquier numero real mayor que cero (ω-dico-tomıa). Notese de nuevo que no es una cuestion de indeterminacion sino deimposibilidad. Si se tratara de una cuestion de indeterminacion existirıa unconjunto soluciones posibles, aunque no podrıamos determinar cuales de ellases la solucion correcta. En nuestro caso ese conjunto esta simplemente vacıo.

Conclusion381 Las transiciones de P ∗(0) a P ∗(ℵo) y de P (ℵo) a P (0) solo pueden tenerlugar a lo largo de una distancia y un tiempo mayor que cero (ω-separacion),pero no pueden tener lugar a lo largo de una distancia y un tiempo mayor quecero porque esa tiempo y esa distancia es menor que cualquier numero realmayor que cero (ω-dicotomıa ).

382 Las contradicciones anteriores son consecuencias directas del ω−orden ydel ω∗−orden que, a su vez, son consecuencias directas de asumir la existen-


cia de totalidades infinitas actuales. Es entonces ese supuesto, la hipotesis deinfinito actual, la causa ultima de las dos contradicciones.

21.-La maquina de Hilbert

El Hotel de Hilbert383 En la discusion que sigue haremos uso de una supermaquina inspiradaen el emblematico hotel de Hilbert. Pero antes vamos a relatar alguna de lasprodigiosas, y sospechosas, habilidades del ilustre Hotel.

Figura 21.1: Una manera infinitista de hacer dinero.

384 Su director, por ejemplo, ha descubierto una fantastica manera de hacerserico: pide un euro a R1 (el huesped de la habitacion 1); R1 recupera su europidiendo un euro R2 (el huesped de la habitacion 2); R2 recupera su europidiendo un euro a R3 (el huesped de la habitacion 3); y ası sucesivamente.Al final, todos los huespedes recuperan sus euros, porque no hay un ultimohuesped perdiendo su dinero. El astuto director exige entonces un segundoeuro a R1, que recupera de nuevo su euro pidiendo un euro a R2, que recuperade nuevo su euro pidiendo un euro a R3, y ası sucesivamente. Miles de eurosprocedentes de la nada (infinitista) hacia el bolsillo del afortunado director.

385 El Hotel de Hilbert es incluso capaz de violar las leyes de la termodinami-ca haciendo posible el funcionamiento de un perpetuum mobile: solo tendrıaque alimentar la maquina adecuada con las calorıas obtenidas de las sucesivashabitaciones del prodigioso hotel de la misma manera que su director obtienesus euros.

386 Por increıble que parezca, los infinitistas justifican todas esas patologıasabsurdas, y muchas otras, en nombre de las peculiaridades del infinito ac-

121

122 —— La maquina de Hilbert

tual. Prefieren asumir cualquier comportamiento patologico del mundo antesde examinar la consistencia del patogeno. En la siguiente discusion, sin embar-go, obtendremos una contradiccion que no puede ser facilmente subsumida enla pintoresca naturaleza del infinito actual.

Figura 21.2: La maquina de Hilbert a punto de realizar el primer L-deslizamiento.

Definiciones387 En la siguiente discusion conceptual haremos uso de un dispositivo teori-co, inspirado en el emblematico Hotel de Hilbert, al que nos referiremos comomaquina de Hilbert, compuesto por los siguientes elementos (vease la Figura21.2):

1. Un alambre horizontal infinito dividido en dos partes infinitas, la izquierday la derecha:

a) La parte derecha se divide en una sucesion ω−ordenada de seccionesadyacentes 〈Sn〉 de igual longitud que se etiquetan de izquierda aderecha como S1, S2, S3, . . . Seran referidas como secciones derechas.

b) La parte izquierda esta tambien dividida en una sucesion ω−orde-nada de secciones adyacentes〈S′

n〉 de igual longitud que las seccionesderechas y ahora etiquetadas de derecha a izquierda como . . . , S′

3,S′2, S′

1; siendo S′1 adyacente a S1. Seran referidas como secciones

izquierdas.

2. Una sucesion ω−ordenada de bolas 〈bn〉 ensartadas en el alambre y capa-ces de deslizarse sobre el como las bolas de un abaco, estando cada bolabi inicialmente insertada en el centro de la seccion derecha Si.

3. Todas las bolas estan mecanicamente ligadas por un mecanismo de desli-zamiento que desliza simultaneamente todas las bolas la misma distanciasobre el alambre.

4. El mecanismo de deslizamiento esta ajustado de forma que desliza si-multaneamente todas las bolas exactamente una seccion hacia la izquierda(L-deslizamientos).

5. La primera bola b1 dispone de un sensor E para detectar secciones iz-quierdas vacıas.

La contradiccion de la maquina de Hilbert —— 123

388 Antes de realizar un L-deslizamiento, el sensor E detecta si existe una sec-cion izquierda adyacente a la seccion ocupada por b1, y si esta seccion esta vacıa,de modo que b1 pueda deslizarse a esta seccion vacıa y cada bola bi a la seccionanteriormente ocupada por bi−1. Este modo de funcionamiento nos permiteimponer la siguiente restriccion a los L-deslizamientos :

Restriccion 388.-Un L-deslizamiento se llevara a cabo si y solo si,todas las bolas permanecen ensartadas en el alambre.

389 Puesto que las secciones 〈S′i〉 del lado izquierdo del alambre son ω−or-

denados cada seccion S′n tiene un sucesor inmediato S′

n+1 justo a su izquierda.De acuerdo con la hipotesis del infinito actual todas esas secciones izquierdasexisten como una totalidad infinita completa, a pesar de que no hay una ultimaseccion que complete la sucesion.

390 Empecemos por demostrar que para cada numero natural v es posiblerealizar los primeros v L-deslizamientos. Es evidente que el primer L-desliza-miento puede llevarse a cabo: el sensor E detecta la seccion izquierda vacıaS′1 de modo que b1 puede moverse a S′

1 y cada bi, i>1 a Si−1. Supongamosque, siendo n un numero natural cualquiera, se pueden realizar los primeros nL-deslizamientos. Como consecuencia de esos primeros n L-deslizamientos, yteniendo en cuenta que cada uno de ellos mueve todas las bolas exactamenteuna seccion hacia la izquierda, la bola b1 estara colocada n secciones a laizquierda de su posicion inicial S1, es decir en la seccion izquierda S′

n. Por lamisma razon cada bola bi,i>1 estara colocada n secciones a la izquierda de suposicion inicial. En esas condiciones E detecta la seccion izquierda vacıa S′

n+1

de modo que b1 puede moverse a S′n+1 y cada bi, i>1 a la seccion previamente

ocupada por bi−1. Por lo tanto, el (n+1)-esimo L-deslizamiento tambien puedellevarse a cabo. Hemos demostrado, pues, que el primer L-deslizamiento puedellevarse a cabo y que si para cualquier numero natural n los n primeros L-desli-zamientos pueden llevarse a cabo, entonces los (n+1) primeros L-deslizamientostambien llevarse a cabo. Lo que finalmente demuestra que para cada numeronatural v los primeros v L-deslizamientos pueden llevarse a cabo.

La contradiccion de la maquina de Hilbert391 De acuerdo la restriccion 388, los sucesivos L-deslizamientos pueden lle-varse a cabo si y solo si, en cada uno de ellos todas las bolas permanecenensartadas en el alambre. Supongamos entonces que se realizan sucesivamentetodos los L-deslizamientos que cumplen con la Restriccion 388, y solo ellos. Enesas condiciones, probaremos los dos siguientes resultados contradictorios.

392 Teorema 392.-Una vez realizados todos los posibles L-deslizamien-tos que cumplen la Restriccion 388, y solo ellos, al menos una bolapermanece ensartada en el alambre.

Demostracion.-Es una consecuencia inmediata de la restriccion 388: puesto quesolo se ejecutan los L-deslizamientos que cumplen esa restriccion, ninguna bolasale del alambre.


393 Teorema 393.-Una vez realizados todos los posibles L-deslizamien-tos que cumplen la Restriccion 388, y solo ellos, ninguna bola quedaensartada en el alambre.

Demostracion.-Supongamos que una vez realizados todos los posibles L-desli-zamientos que cumplen la Restriccion 388, y solo ellos, una bola cualquiera bvse encuentra ensartada en la seccion derecha Sk. Debe ser k < v ya que todoslos L-deslizamientos son hacia la izquierda, en la direccion hacia la cual losındices de 〈Sn〉 disminuyen. Puesto que bv estaba inicialmente en Sv solo unnumero finito v − k de L-deslizamientos se habrıan realizado, y por tanto nohabrıa sido posible realizar los primeros v − k + 1 L-deslizamientos, lo que vaen contra de 390 porque v − k + 1 es un numero natural. Un razonamientosimilar puede aplicarse si bv se encuentra finalmente en una seccion izquierdaS′n, lo que significa que se realizaron v + n− 1 L-deslizamientos ; en este caso

los primeros v + n primeros deslizamientos no se habrıan podido realizar, loque tambien va en contra de 390. Ası, puesto que bv es una bola cualquiera,si todas los posibles L-deslizamientos que cumplen la Restriccion 388, y soloellos, se han realizado, ninguna bola permanece ensartada en el alambre.

394 Un punto a destacar del argumento anterior es que no se necesita conocersi el numero de L-deslizamientos realizados es finito o infinito. Solo hace faltaasumir que se han realizado todos los L-deslizamientos posibles.

Figura 21.3: Una maquina finita de 5secciones.

Discusion395 Compararemos el funcionamiento de lamaquina de Hilbert anterior (Hω a partir deahora) con el funcionamiento de una versionfinita de la misma (simbolicamente Hn). Estamaquina finita tiene un numero finito n tan-to de secciones derechas como de seccionesizquierda (Figura 21.3). Una sucesion finitade n bolas se encuentran inicialmente colo-cadas en el lado derecho del alambre, cadabola bi ensartada en el centro de la seccionderecha Si. Es inmediato demostrar que Hn solo puede realizar n L-desliza-mientos: como no existe una seccion de izquierda S′

n+1, el sensor E detiene lamaquina despues de los primeros n L-deslizamientos. Hn se detiene con cadaseccion izquierda S′

i ocupada por bola bn−i+1 y con todas las secciones dere-chas vacıa, y esto es todo. Ninguna contradiccion se deriva del funcionamientode Hn. Ası, para cualquier numero natural n, la correspondiente maquina Hn

es un artefacto teorico consistente. Solo la maquina infinita de Hilbert Hω esinconsistente.

396 Lo que la contradiccion 392-393 prueba no es el funcionamiento inconsis-tente de una supermaquina. Lo que demuestra es la inconsistencia del propioω−orden. Tal vez no deberıamos sorprendernos por esta conclusion. Despuesde todo, una sucesion ω−ordenada es a la vez completa (como el infinito actual

Discusion —— 125

requiere) e incompletable (no hay un ultimo elemento que la complete). Porotro lado, y como Cantor demostro [37], [39], el ω−orden es una consecuen-cia inevitable de asumir la existencia de conjuntos infinitos como totalidadescompletas. Una existencia axiomaticamente establecida en nuestros dıas por elAxioma del Infinito, en todas las teorıas axiomaticas de conjuntos, incluyendosus mas populares versiones ZFC y BNG [188], [186]. Es por tanto ese axiomala causa de la contradiccion 392-393.

22.-Curvas de Jordan infinitas

Introduccion397 La sucesion ω−ordenada 〈xn〉 de puntos en el intervalo real (0, 1) definidapor:

xn =2n − 1

2n(1)

es un ejemplo de ω-particion de un segmento finito. Cada par de puntos sucesi-vos xn, xn+1 define una parte de la particion. Las sucesivas partes son disjuntasy adyacentes, de modo que el extremo derecho de una coincide con el extremoizquierdo de la siguiente:

[x1, x2), [x2, x3), [x3, x4), . . . (2)

Figura 22.1: Particion de una recta.

398 Como es bien sabido, al menos desde el siglo XVIII, las ω-particiones desegmentos lineales finitos son posibles solo si las sucesivas partes adyacentesde la particion son de una longitud decreciente, en caso contrario la longitudde la lınea tendrıa que ser infinita [15]. Esta inevitable restriccion origina unainmensa asimetrıa en la particion. En efecto, cualquiera que sea la longituddel segmento AB ω-particionado y cualquiera que sea la ω-particion, todas suspartes, excepto un numero finito de ellas, estaran necesariamente dentro de unintervalo final CB arbitrariamente pequeno.

399 A modo de ilustracion, consideremos una ω-particion de un segmentode recta AB de longitud igual a 9,3 × 1010 anos luz, el supuesto diametro deluniverso visible. Cualquiera que sea la ω-particion de este enorme segmentolineal todas sus infinitas partes, salvo un numero finito de ellas, inevitable-mente se encuentran dentro de un intervalo final CB inconcebible menor que,por ejemplo, la longitud de Planck (∼ 10−33 cm). No hay forma de realizaruna particion mas equitativa si la particion tiene que ser ω−ordenada, la maspequena de las particiones infinitas (Figura 22.2). Ası, las ω-particiones sonω-asimetricas. Y siendo ω el menor ordinal infinito, cualquier particion infinita

127

128 —— Curvas de Jordan infinitas

ha de contener al menos una particion ω−ordenada.

Figura 22.2: ω-asimetrıa espacial en la ω -particion de un segmento AB cuya longitud es eldiametro del universo visible.

400 La consecuencia antiestetica de la asimetrıa anterior se vuelve algo mascontrovertida si el objeto particionado es una lınea cerrada como las curvas deJordan. El objetivo de la siguiente discusion sera precisamente examinar unade esas particiones.

Particion infinita de una curva de Jordan401 Sea f(x) una funcion real cuya grafica es una curva de Jordan1 J en el

plano euclıdeo R2. Sean a y b los puntos extremos del arco ab en J. Escribire-

mos L(a, b) para representar la longitud de ab:

L(a, b) =

∫ b

a

√1 + (f(x)′)2dx (3)

402 Supongase que la longitud de J es infinita. En esas condiciones sea rcualquier numero real propio mayor que 0 y supongase que J se divide a partirde un punto cualquiera x1, y en el sentido de las agujas del reloj, en un ciertonumero de partes adyacentes x1x2, x2x3, x3x4 . . . de modo que cada partexixi+1 tenga un longitud finita igual o mayor que r:

L(xi, xi+1) ≥ r, ∀i ∈ I (4)

donde I es el conjunto de los ındices de la particion.

403 Las partes de una particion son disjuntas y adyacentes, de manera queel extremo izquierdo de una cualquiera de las partes coincide con el extremoderecho de la siguiente. En estas condiciones, cada parte tiene una sucesorainmediata (excepto la ultima, si existe una ultima parte) y una predecesorainmediata (excepto la primera, si existe una primera parte). Por lo tanto, las

1Una curva de Jordan es una curva simple y cerrada que equivale topologicamente a un cırculounidad, i.e. una curva que no se corta a sı misma.

Particion infinita de una curva de Jordan —— 129

particiones tienen ordinalidad. Son α ordenadas, siendo α un ordinal finito oinfinito.

404 Evidentemente la particion 〈xi〉i∈I ha de ser infinita porque de otro modo,y siendo finita la longitud de cada parte, J tendrıa una longitud finita. Ademas,y de acuerdo con Cantor [34], 〈xi〉i∈I no puede ser infinita no numerable. Paraver que ası ha de ser, considerese la sucesion de numeros reales 〈ri〉i∈I definidapor:

r1 = x1 (5)

ri+1 = ri + L(xi, xi+1), ∀i ∈ I (6)

La biyeccion f entre 〈xi〉i∈I y 〈ri〉i∈I definida por f(xi) = ri prueba que ambassucesiones tienen la misma cardinalidad. Ası, si la primera fuera infinita nonumerable tambien lo serıa la segunda. Pero 〈ri〉i∈I no puede ser infinita nonumerable porque si ese fuera el caso podrıamos elegir un numero racional dife-rente qi en cada intervalo real [ri, ri+1) y tendrıamos un conjunto no numerablede numeros racionales distintos, lo que, de acuerdo con Cantor, es imposible.

405 En el capıtulo 12 se examinaron las posibilidades de las particiones nonumerables y se demostro que la conclusion de Cantor podrıa no ser la conclu-sion correcta. En cualquier caso, y siendo ω el menor de los ordinales infinitos,el ordinal de cualquier particion infinita tiene que ser ω o mayor que ω , lo quesignifica que contiene al menos un subparticion ω−ordenada.

406 Por consiguiente el ordinal de la particion 〈xi〉i∈I tiene que ser ω o mayorque ω. Es inmediato demostrar, sin embargo, que no puede ser ni ω ni mayorque ω.

Figura 22.3: Particion infinita de una curva de Jordan en el plano euclıdeo R2.

407 Considerese un punto y en el sentido contrario al de las agujas del relojy tal que:

L(y, x1) = r/2 (7)

De (4) deducimos que y solo puede pertenecer a la ultima parte de 〈xi〉i∈I . Portanto, esta particion no puede ser ω−ordenada porque las particiones ω−orde-

130 —— Curvas de Jordan infinitas

nadas no tienen una ultima parte.

408 Supongamos entonces que el ordinal de la particion 〈xi〉i∈I es mayor queω. En esas condiciones tendra que existir una parte xωxω+1. Ahora bien, deacuerdo de nuevo con (4), el punto z situado en el sentido contrario al de lasagujas del reloj con relacion a xω y tal que L(z, xω) = r/2 solo puede pertenecera la parte que antecede de forma inmediata a xωxω+1, lo que es imposible. Estoprueba que el ordinal de 〈xi〉i∈I no puede ser mayor que ω.

409 Acabamos de probar que el ordinal de la particion 〈xi〉i∈I ha de ser ωo mayor que ω, pero no puede ser ni ω ni mayor que ω. En consecuencia, lascurvas de Jordan de longitud infinita son objetos inconsistentes..

23.-Infinito uno a uno

El sistema de numeracion unario410 Tal vez la forma mas primitiva de representar numeros [203] es lo queahora llamamos el sistema unario de numeracion (SUN). Como su nombreindica, solo se necesita un numeral1 para representar cualquier numero natu-ral. Aquı vamos a utilizar el numeral ’1’. Los sucesivos numeros naturales seescribiran entonces:

1, 11, 111, 1111, 11111, 111111, . . . (1)

411 Aunque, por razones obvias, el SUN no es el mas adecuado para el calculocomplejo, es el sistema que mejor representa la esencia de los numeros natura-les: cada numero natural es exactamente una unidad mayor que su predecesorinmediato. En consecuencia, la expresion unaria de cada de cada numero natu-ral tiene exactamente un numeral mas que la expresion unaria de su inmediatopredecesor. El SUN sugiere, ademas, una definicion aritmetica recursiva delos numeros naturales: a partir del primero de ellos, el numero 1, anadir unaunidad para definir el siguiente.

412 De acuerdo con la hipotesis del infinito actual, los infinitos numerosnaturales existen como una totalidad completa. El resultado de la definicionde los sucesivos numeros naturales (todo ellos finitos) mediante la adicion deuna unidad al primer numero natural un numero infinito de veces sucesivas, esuna infinidad de numeros finitos cada uno una unidad mayor que su predecesorinmediato, a pesar de lo cual no se llega a alcanzar un numero infinito. O enterminos del SUN, de acuerdo con la ortodoxia infinitista es posible definirinfinitas cadenas finitas de ’1’s cada una con un ’1’ mas que la anterior, sinoriginar nunca una cadena con un numero infinito de ’1’s.

413 Pongamos a prueba la hipotesis anterior sobre la existencia de una infi-nitud actual de numeros finitos, cada uno una unidad mayor que su predecesorinmediato. Para ello, consideremos una maquina unaria de escribir (MUE) ca-paz de escribir cadenas horizontales de ’1’s de cualquier longitud finita. Ahora

1El numeral de un numero no es un numero sino el sımbolo que se utiliza para referirse alnumero. Ası, el numero ’5’ es el sımbolo para el numero 5 en el sistema normal (decimal) denumeracion.

131

132 —— Infinito uno a uno

Figura 23.1: La maquina unaria de escribir a punto de escribir el quinto numeral.

hagamos trabajar a MUE de acuerdo con las siguientes condiciones:

1. En una cinta vacıa, MUE escribe un primer numeral ’1’.

2. MUE escribe un nuevo numeral ’1’ a la derecha del ultimo ’1’ previamenteescrito si, y solo si, el resultado es una cadena finita de ’1’s, es decir, laexpresion unaria de un numero natural. De lo contrario MUE se detiene.

414 Es inmediato demostrar por induccion el siguiente:

Teorema 414.-Para todo numero natural v, MUE puede escribir unacadena finita Sv = 11 (v). . . 1 de v numerales ’1’.

Demostracion.-Dado que 1 is una cadena finita, MUE puede escribir la primeracadena S1 = 1. Supongamos que MUE puede escribir la cadena Sn = 11 (n). . . 1de n numerales ’1’, siendo n cualquier numero natural. Puesto que n + 1 estambien finito, MUE puede escribir un nuevo numeral ’1’ a la derecha de Sn,i.e. una cadena finita Sn+1 = 11 (n+1). . . 1 de n+1 numerales. Ası, MUE puedeescribir la primera cadena S1 y si para cualquier numero natural n, puedeescribir una cadena Sn = 11 (n). . . 1 de n numerales ’1’ tambien puede escribiruna cadena Sn+1 = 11 (n+1). . . 1 de n + 1 numerales. Esto prueba que para todo

numero natural v, MUE puede escribir una cadena Sv = 11 (v). . . 1de v numerales’1’.

415 Supongamos ahora que mientras MUE pueda escribir un nuevo numeral’1’ a la derecha del ultimo ’1’ previamente escrito, lo escribe. Sea S la cadenaresultante una vez que todos los numerales posibles han sido escritos. En primerlugar destaquemos que estamos asumiendo la posibilidad de llevar a cabo todaslas acciones posibles de una sucesion de acciones sucesivas, precisamente porqueson posibles. De lo contrario estarıamos ante una contradiccion basica, la deuna posibilidad imposible. Por lo tanto, estamos asumiendo la Primera Ley dela logica, segun la cual si algo es posible, entonces es posible.

416 La cadena S no puede tener un numero infinito de numerales, porqueMUE escribe un nuevo numeral si, y solo si, la cadena resultante tiene unnumero finito de numerales. Pero S tampoco puede tener un numero finito denumerales. En efecto, supongamos que S tiene v numerales, siendo v cualquiernumero natural. Esto implicarıa que MUE no escribio el (v+1)−esimo numeral,lo cual, y siendo v+1 un numero finito, es imposible de acuerdo con el Teorema414, si todos los posibles ’1’s han sido escritos.

417 El argumento anterior se puede convertir facilmente en un argumentotipo supertarea. En efecto, se 〈tn〉 una sucesion ω−ordenada y estrictamentecreciente de instantes dentro del intervalo de tiempo finito (ta, tb) cuyo lımite

El sistema de numeracion unario —— 133

es tb. Supongamos que en el instante t1 MUE escribe un primer numeral ’1’ enuna cinta vacıa y despues en cada instante sucesivo ti, i>1 de 〈tn〉 escribe unnuevo numeral a la derecha del escrito previamente si, y solo si, la cadena de 1sresultante es finita. En otro caso MUE se detiene. En el instante tb tendremosuna cadena S de numerales que no puede ser ni finita ni infinita.

418 En efecto, si fuera finita que tendrıa un numero finito n de numerales ypor tanto MUE habrıa sido detenida antes de escribir el (n+1)-esimo numeral,lo que no es imposible porque n+1 es tambien finito y por tanto MUE tambienpuede escribir el (n+1)-esimo numeral ’1’.

419 Si S es infinita, aparte de violar la condicion bajo la cual se ha de llevar acabo la supertarea, un numero infinito de numerales tuvo que ser escrito en elinstante tb, cuando la supertarea ya habıa terminado. En efecto, en cualquierinstante anterior t del intervalo (ta, tb) MUE ha escrito solo un numero finitode numerales, teniendo en cuenta que tb es el lımite de 〈tn〉 tendremos:

∃v ∈ N : tv ≤ t < tv+1 (2)

y por tanto, en el instante t MUE solo ha escrito un numero finito v de numera-les. Y ası para todo t en (ta, tb). Por tanto no existe ningun instante en (ta, tb)en el cual MUE haya escrito un numero infinito de numerales. En consecuencia,si S es infinita, en el instante tb, el primer instante en el que MUE se encuentraya detenida, MUE tiene que escribir un numero infinito de numerales.

420 Los infinitistas defienden que todos los numeros naturales se puedencontar en un intervalo finito de tiempo: contando cada numero natural n enel preciso instante tn de la sucesion de instantes 〈tn〉 (Capıtulo 2, 13). Resultacurioso que todos los numeros naturales puedan ser contados pero no escritos enel SUN, siendo ambos procesos totalmente equivalentes en terminos formales.Excepto en que la escritura deja un resultado final incomodo en la forma deuna cadena de numerales (S) que no puede ser ni finita ni infinita.

421 Este es el tipo de resultado que uno puede esperar cuando se asume quees posible anadir un numero infinito de veces un nuevo ’1’ a una cadena inicialS1 = 1 sin que la cadena se haga infinita. O lo que es lo mismo, cuando seasume la posibilidad de anadir un numero infinito de unidades sucesivas a unaprimera unidad (el primer numero natural) sin llegar a un numero infinito.

422 Hay otra manera mas explıcita de hacer evidente la falacia de agregarinfinitas unidades sucesivas a una primera unidad sin llegar nunca a un numeroinfinito. O, alternativamente, la falacia de escribir infinitos numerales ’1’ su-cesivos a la derecha de un primer numeral ’1’ sin llegar nunca a una cadenainfinita de numerales ’1’. Es la siguiente supertarea acondicionada.

423 Sea BX una caja vacıa, 〈bn〉 una coleccion ω−ordenada de bolas etique-tadas y 〈tn〉 una sucesion estrictamente creciente de instantes en el intervalo(ta, tb) cuyo lımite es tb. Ahora considerese la siguiente supertarea: En cada


Figura 23.2: Anadiendo bolas a una caja BX inicialmente vacıa.

uno de los sucesivos instantes ti de 〈tn〉 anadir la bola bi si y solo si, el numerode bolas en la caja BX es finito.

424 En el instante tb habra terminado nuestro supertarea y BX contendra uncierto numero de bolas. De acuerdo con la la hipotesis del infinito actual sub-sumida en el Axioma del Infinito, existe una totalidad completa de infinitosnumeros naturales finitos, 1, 2, 3, . . . , cada una unidad mayor que su pre-decesor inmediato. La coleccion de bolas 〈bn〉 y la sucesion de instantes 〈tn〉tambien existen como totalidades completas. Todas estas colecciones y suce-siones completas de numeros naturales, de bolas y de instantes son legitimadaspor el Axioma del Infinito. A su vez, esas colecciones y sucesiones legitiman larealizacion de nuestro supertarea en el intervalo de tiempo (ta, tb).

425 Consideremos las dos siguientes alternativas, exhaustivas y mutuamenteexcluyentes, con respecto al numero de bolas en la caja BX en el instante tb:

1. En el instante tb, la caja BX contiene un numero finito de bolas.

2. En el instante tb, la caja BX contiene un numero infinito de bolas.

426 Sea v cualquier numero natural y supongamos que en el instante tb lacaja BX contiene v bolas. Puesto que v + 1 es tambien un numero naturalfinito, la bola bv+1 tambien fue anadida a BX en el instante tv+1. Ası, en tbla caja BX no puede contener v bolas, y siendo v cualquier numero naturalfinito podemos concluir que en el instante tb la caja BX no puede contener unnumero finito de bolas.

427 En el instante tb la caja BX tampoco puede contener un numero infinitode bolas. En efecto:

1. BX contendra un numero infinito de bolas si la condicion, anadir unabola a la caja si, y solo si, la caja contiene un numero finito de bolas,ha sido violada. O si existe un numero natural finito v tal que v + 1 seainfinito, lo que obviamente no es el caso.

2. Siendo tb el lımite de la sucesion 〈tn〉, en cada instante t del intervalo(ta, tb) la caja BX contienen un numero finito v de bolas:

∃v ∈ N : tv ≤ t < tv+1 (3)

Por tanto, la unica manera de que BX contenga un numero infinito de bolasen el instante tb es anadiendo infinitas bolas precisamente en el instante tb, loque es imposible porque en el instante tb todas las bolas han sido ya anadidas

La tabla monaria de los numeros naturales —— 135

a la caja, como demuestra la biyeccion f(ti) = bi. En el instante tb ningunabola se anade a la caja BX.

428 La conclusion sobre la caja y las bolas es, por tanto, muy clara: Si lalista de los numeros naturales existe como una totalidad infinita y completa,entonces la caja BX no puede contener ni un numero finito ni un numeroinfinito de bolas .

La tabla monaria de los numeros naturales429 Consideremos ahora la siguiente tabla ω−ordenada T de los numerosnaturales en su orden natural de precedencia y escritos en el sistema unario denumeracion:

Fila F1: 1

Fila F2: 11

Fila F3: 111

Fila F4: 1111

Fila F5: 11111. . .

La n-esima fila de T , simbolicamente rn, corresponde a la representacion unariadel numero n, estando por consiguiente formada por n numerales ’1’. Segunla hipotesis del infinito actual, las infinitas filas de T , una para cada numeronatural, existen todas en el acto, como una totalidad completa.

430 El numero de filas de la tabla T es igual al numero de numeros natu-rales, es decir, ℵo, el cardinal del conjunto de los numeros naturales. Segun laortodoxia infinitista, ℵo es el menor cardinal infinito, el menor numero mayorque todos los numeros naturales finitos (veanse los Capıtulos 2 y 16 sobre elinfinito actual y alef-cero).

431 La primera columna de T tiene ℵo elementos, uno para cada fila; unopara cada numero natural. Dado que cada elemento de esta columna pertenecea una fila diferente y ninguna otra columna tiene mas elementos que ella2,podemos decir que esta primera columna define el numero de filas de T en elsentido de que el primer elemento de cada fila es un elemento diferente de laprimera columna, y por tanto es posible definir una biyeccion entre las filas deT y los elementos de su primera columna. Sin embargo, mientras que el numerode filas de T esta completamente definido por el numero de elementos de suprimera columna, el numero de columnas de T es mucho mas problematico,como veremos inmediatamente.

432 Estando cada fila rn compuesta por exactamente n numerales ’1’, y siendocada uno de esos numerales un elemento de una columna diferente de T , esafila garantiza la existencia de al menos n columnas en T . Es en este sentido

2Se podrıa demostrar facilmente que cada columna de T tiene ℵo elementos


que diremos que rn define exactamente n columnas:. . .

r4 = 1111 r4 define 4 columnas

. . .

r9 = 111111111 r9 define 9 columnas

. . .

433 Empecemos demostrando que el numero de columnas de la tabla T nopuede ser finito. En efecto, sea n cualquier numero natural. T no puede tenern columnas porque en ese caso el numero n + 1 no pertenecerıa a la tabla: larepresentacion unaria de ese numero es una cadena de n + 1 numerales ’1’ y,por tanto, una fila de T que define n+1 columnas. En consecuencia, cualquieraque sea el numero n, T no puede tener n columnas.

434 Y ahora probaremos que el numero de columnas de T no puede serinfinito tampoco. Puesto que cada fila es la expresion unaria de un numeronatural y todos los numeros naturales son finitos, cada fila rn consistira enuna cadena finita de n numerales ’1’. Por lo tanto cada fila de T define unnumero finito de columnas. O con otras palabras, ninguna fila de T define unnumero infinito de columnas. Pero si ninguna fila define un numero infinito decolumnas, T no puede tener un numero infinito de columnas, a menos que elnumero de columnas de T este definido, no por una fila, sino por un grupo defilas. Examinaremos a continuacion esa posibilidad.

435 Supongamos que el numero infinito de columnas (C de ahora en adelante)de T no esta definido por una fila en particular sino por un grupo de filas,incluso por toda la tabla. Es evidente que si hace falta un grupo de filas (otoda la tabla) para definir C, entonces al menos dos de las filas del grupocontribuiran conjuntamente a la definicion. Donde contribuir conjuntamentesignifica que cada fila define columnas que la otra no define. Sean rk y rndos cualesquiera de esas filas ’contribuyentes’. Si rk y rn contribuyen juntas adefinir C, entonces rk definira algunas columnas que rn no define, y viceversa.En otro caso solo una de ellas serıa necesaria para definir C.

436 Ahora bien, puesto que k y n son numeros naturales, tendremos o bienk < n o bien k > n. Supongamos que k < n, en este caso rk define las primerask columnas de T y rn las primeras n columnas de T de modo que, aunquern define (n− k) columnas que rk no define, todas las columnas definidas porrk tambien estan definidas por rn. Esto prueba la imposibilidad de que dosfilas diferentes de un grupo de filas (incluyendo toda la tabla) contribuyanconjuntamente a definir C.

437 Y las cosas pueden empeorar con respecto a la definicion del numero decolumnas de T . Sea 〈tn〉 una sucesion ω−ordenada creciente de instantes enel intervalo real [ta, tb) cuyo lımite es tb, y considerese la siguiente supertareacondicionada:

Supertarea 438.-En cada instante ti de 〈tn〉 elimınese de T la fila ri

La tabla monaria de los numeros naturales —— 137

si, y solo si, las filas restantes definen el mismo numero de columnasque si ri no se elimina. En otro caso termınese la supertarea.

438 En cualquier caso, en el instante tb la supertarea se habra completado,y tendremos las dos siguientes alternativas, mutuamente excluyentes:

1. En el instante tb no todos las filas han sido eliminadas.

2. En el instante tb todas las filas han sido eliminadas.

De acuerdo con la primera alternativa y teniendo en cuenta la forma sucesiva enla que se eliminaron las filas, habra una primera fila rn que no se ha eliminadoporque su eliminacion habrıa cambiado el numero de columnas de T . Peroeso es imposible porque todas las columnas definidas por rn tambien estandefinidas por rn+1. La primera alternativa es por tanto falsa. Debemos concluir,en consecuencia, que la segunda alternativa es verdadera, lo que significa que¡T tiene el mismo numero de columnas que una tabla vacıa!

439 Mientras que, de acuerdo con la hipotesis del infinito actual subsumidapor el Axioma del Infinito, T es una totalidad completa y bien definida com-puesta por infinitas filas, el argumento 433/438 demuestra que el numero desus columnas no puede ser ni finito ni infinito, lo que parece algo contradictorio

24.-Temporizando el infinito

Introduccion440 Las matematicas no suelen ocuparse de la forma en la que las infini-tos pasos sucesivos de, por ejemplo, una definicion recursiva ω−ordenada sepodrıan de hecho llevar a cabo. Simplemente supone que son llevados a cabo ensu completa totalidad. Pero las definiciones o los procedimientos matematicoscompuestos por cualquier numero finito o infinito de pasos sucesivos podrıanser facilmente temporizados mediante una sucesion de instantes de la mismaordinalidad que la sucesion de pasos y una correspondencia uno a uno entreambas sucesiones. Evidentemente, la correspondencia entre instantes y pasosno tiene ningun efecto sobre el resultado de la definicion o del procedimientotemporizado. Simplemente establece los sucesivos instantes en los que cada unode los sucesivos pasos podrıan tener lugar.

Definiciones recursivas

441 Sea 〈an〉 una sucesion ω−ordenada a1, a2, a3, . . . y considerese la siguientesucesion ω−ordenada de definiciones recursivas 〈D(Ai)〉:

n = 1, 2, 3, . . .

{n = 1 : D(An) : An = {an}

n > 1 : D(An) : An = An−1 ∪ {an}(1)

De acuerdo con la hipotesis del infinito actual, el resultado de la sucesion dedefiniciones 〈D(Ai)〉 es una sucesion ω−ordenada 〈An〉 de conjuntos anidadosA1 ⊂ A2 ⊂ A3 ⊂ . . . que existe como una totalidad completa.

442 Sea ahora (ta, tb) un intervalo de tiempo cualquiera y 〈tn〉 una sucesionω−ordenada y estrictamente creciente de instantes dentro de (ta, tb) cuyo lımitees tb, como es, por ejemplo, el caso de la sucesion clasica:

tn = ta + (tb − ta)×2n − 1

2n(2)

La definicion de 〈tn〉 supone que el tiempo es infinitamente divisible, lo quepodrıa, o no, ser el caso en el mundo fısico. Esto no es, sin embargo, un im-

139

140 —— Temporizando el infinito

pedimento para las teorıas infinitistas formales, porque podrıa suponerse quese desarrollan en un universo conceptual en que el tiempo se define arbitraria-mente como infinitamente divisible.

443 La sucesion de definiciones 〈Dn〉 puede ser temporizada por la sucesion〈tn〉 de una forma elemental: suponiendo que cada n-esimo paso tiene lugar enel preciso instante tn. La correspondencia uno a uno f definida por:

f : 〈ti〉 ↔ 〈D(Ai)〉 (3)

f(ti) = D(Ai), ∀i ∈ N (4)

demuestra que en el instante tb tendremos la misma totalidad ω−ordenada〈An〉 definida en (1).

Una definicion conflictiva444 Temporizar las definiciones matematicas compuestas por un numero in-finito de pasos pone de manifiesto algunas insuficiencias importantes en la su-puesta completitud de las totalidades ω−ordenadas implicadas. Examinaremosuna de ellas a continuacion.

445 Sean x e y de dos variables naturales (cuyo dominio es el conjunto delos numeros naturales) y considerense las siguientes sucesiones ω−ordenadasde (re)definiciones de ambas variables 〈Dn(x)〉 y 〈Dn(y)〉

En cada sucesivo instante tn de 〈tn〉

{Dn(y) = 1

Dn(x) = n(5)

siendo n la misma en tn que en Dn(x) = n. Puesto que tb es el lımite de 〈tn〉,en el instante tb las sucesiones 〈Dn(x)〉 y 〈Dn(y)〉 se habran completado. Portanto, tb es el primer instante en el cual las variables x e y ya no se vuelven aredefinir.

446 Ahora vamos a probar que x e y permanecen bien definidas en todo elintervalo [t1, tb). En efecto, sea t cualquier instante dentro de [t1, tb). Eviden-temente, se verifica t1 ≤ t < tb. Ası que, si t = t1 tendremos x = 1; y = 1. Ysi t1 < t, habra un ındice v tal que tv ≤ t < tv+1 porque 〈tn〉 es una sucesionω−ordenaday estrictamente creciente cuyo lımite es tb. En este caso tenemosx = v; y = 1. Esto demuestra que ambas variables se mantienen bien definidasen todo el intervalo [t1, tb).

447 Puesto que x e y permanecen bien definidas a lo largo del intervalocompleto [t1, tb) y ninguna otra definicion ocurre ni en tb ni despues de tb,podemos concluir que ambas variables permanecen bien definidas en todo elintervalo cerrado [t1, tb].

Una definicion conflictiva —— 141

Figura 24.1: Justo en el instant tb la variable natural x resulta indefinida, aunque nada ocurreen tb que pueda ’indefinir’ a x.

448 Es inmediato demostrar, sin embargo, que x no esta definida en tb. Aun-que siempre se definio como un numero natural, su valor actual en tb no puedeser un numero natural, de lo contrario, y teniendo en cuenta que ha sido suce-sivamente definida como los sucesivos numeros naturales en su orden naturalde precedencia, ese numero serıa el imposible ultimo numero de natural, o biensolo un numero finito de definiciones se habran realizado. Observese que estano es una cuestion de indeterminacion sino de imposibilidad: no existe ningunnumero natural v tal que el valor de x en tb fuera v. Ninguno. Por lo tanto, nosabemos nada sobre el valor actual de x en el instante tb. Despues de infinitasdefiniciones correctas, x consigue quedar indefinida en el preciso instante tb. Elproblema es que en tb no ocurre nada que pueda dejar a x indefinida.

449 De acuerdo con 447 y 448, tendremos que concluir que, como consecuenciade haber sido definida correctamente un numero infinito de veces, en el instantetb la variable x esta y no esta definida.

142 —— Temporizando el infinito

25.-Divisibilidad del espaciotiempo

El menor ordinal infinito450 El primer ordinal infinito1 ω es el menor ordinal mayor que todos losordinales finitos, es el lımite de la sucesion de todos los ordinales finitos 1, 2, 3,. . . . El ordinal ω define un tipo de buen orden llamado ω−orden:2 un conjuntoo sucesion es ω−ordenada si tiene un primer elemento y cada elemento tienenun sucesor inmediato3 y un predecesor inmediato, excepto el primero, que notiene predecesores. En consecuencia no existe ultimo elemento en una sucesiono conjunto ω−ordenado . El conjunto de los numeros naturales en su ordennatural de precedencia {1, 2, 3, . . . } es un ejemplo bien conocido de conjuntoω−ordenado.

451 El ω∗−orden es el reflejo simetrico del ω−orden: una sucesion o con-junto es ω∗−ordenado si tiene un ultimo elemento y cada elemento tiene unpredecesor inmediato y un sucesor inmediato, excepto el ultimo, que no tienesucesores. En consecuencia no existe el primer elemento:

ω∗−orden︷︸︸︷. . . t3∗ , t2∗ , t1∗ , |

ω−orden︷︸︸︷t1, t2, t3, . . . (1)

donde 1∗, 2∗, 3∗, . . . significan primero por la cola, segundo por la cola, terceropor la cola, etc. El conjunto Z− de los enteros negativos en su orden natural deprecedencia {. . . , −3,−2,−1} es un ejemplo bien conocido de conjunto ω∗−or-denado.

452 De acuerdo con la definicion 450 de ω−orden, cada elemento de un con-junto ω−ordenado tiene un numero finito de predecesores y un numero infinitode sucesores. En el caso del ω∗−orden cada elemento de una sucesion ω∗−orde-nada tiene un numero finito de sucesores y un numero infinito de predecesores.

1De acuerdo con la terminologıa clasica de Cantor [39], los ordinales finitos como 1, 2, 3,. . . ,son ordinales de la primera clase, mientras que los ordinales transfinitos, como ω , ω +1, ω+2, . . . , son de la segunda clase. Un ordinal de la segunda clase es de la segunda especie si,como ω, es el lımite de una sucesion infinita de ordinales; es de la primera especie si es dela forma α+ n, donde α es un ordinal de la segunda clase y segunda especie y n un ordinalfinito.

2En terminos formales un conjunto es ω−ordenado si esta bien ordenado y su ordinal es ω.3Entre un elemento y su sucesor inmediato no existe ningun otro elemento de la sucesion.

143

144 —— Divisibilidad del espaciotiempo

Esta inmensa asimetrıa en el numero de predecesores y sucesores (ω-asimetrıa)es un hecho bien conocido, aunque suele ser ignorado en la literatura infinitista.

453 La mayorıa de los argumentos que usaremos en este capıtulo son simila-res a los que desarrollamos en el Capıtulo sobre dicotomıas, aunque ahora elobjetivo es analizar la supuesta divisibilidad infinita del espacio y el tiempo.La discusion podrıa ser desarrollada en terminos de puntos, en terminos deinstantes, y en termino de puntos e instantes. Siendo las tres similares, soloanalizaremos el caso de los instantes. Pero antes de hacerlo, vamos a examinarun extravagante asimetrıa infinitista.

454 Sea 〈tn〉 una sucesion cualquiera estrictamente creciente y ω−ordena-da de instantes definida dentro del intervalo finito real (ta, tb) cuyo lımite estb. Y sea S una supertarea cuyas infinitas acciones 〈an〉 son realizadas en lossucesivos instantes de 〈tn〉, cada accion ai realizada en el preciso instante ti.En consecuencia, en el instante tb ya se han realizado todas las acciones 〈an〉.Notese que no hay un ultimo instante en el que la supertarea se acaba, sino unprimer instante tb en la que la supertarea ya se ha terminado.

455 Conviene recordar que el lımite tb no es el instante en el cual termina S4

sino el primer instante despues de que S haya terminado, el primer instantedespues de que se hayan realizado todas las acciones de 〈an〉. Siendo tb ellımite de 〈tn〉, en cualquier instante t anterior a tb y arbitrariamente cercanoa el, solo un numero finito de acciones se habran realizado, mientras que unnumero infinito de ellas quedan aun por realizar (ω -asimetrıa).

456 Para comprender la colosal magnitud de la ω-asimetrıa anterior, suponga-se que el intervalo [ta, tb] es trillones de veces mayor que la edad del universoy considerese, por otra parte, un intervalo de tiempo τ = 0,000 . . . 001 segun-dos tan pequeno que serıan necesarios trillones y trillones de paginas de textoestandar para escribir todos los ceros entre la coma decimal y la ultima cifra1, un numero de paginas tan inmenso que no cabrıan en el universo visible ac-tual5. Pues bien, solo un numero finito de tareas se habra realizado durante lostrillones de anos transcurridos entre ta y tb−τ , mientras que un numero infinitode acciones, practicamente todas ellas, tendran que ser realizadas durante elinimaginablemente pequeno interval de tiempo τ . Mas que antiestetica, la ω-asimetrıa es repulsiva.

457 Y las cosas pueden empeorar. Supongamos que eliminamos de [ta, tb]todos los instantes en los que aun quedan por realizar un numero infinito detareas de la supertarea S. Habrıa que eliminar todos los instantes de [ta, tb],excepto tb. En efecto, sea t un instante cualquiera de [ta, tb] diferente de tb.Puesto que tb es el lımite de 〈tn〉, tendremos:

∃v ∈ N : tv ≤ t < tv+1 (2)

4No existe un instante en el que S termina porque 〈an〉 es ω−ordenada y las sucesiones ω−or-denadas no tienen ultimo elemento.

5Una esfera de 93000 billones de anos luz.

Dicotomıas del espaciotiempo —— 145

De modo que en el instante t solo se habran realizado un numero finito v detareas de la supertarea S y entonces aun quedan por realizar un numero infinitode tales tareas. Por tanto t ha de ser eliminado de [ta, tb]. En consecuencia, ysiendo t un elemento cualquiera de [ta, tb] diferente de tb, todos los instantes de[ta, tb], excepto tb, han de ser eliminados de ese intervalo. Por lo tanto, en tb, elprimer instante despues de completar la supertarea, aun quedan por realizarun numero infinito de tareas de S.

Dicotomıas del espaciotiempo458 Considerese un intervalo finito cualquiera de tiempo [ta, tb] y dentro deel dos sucesiones de instantes, la sucesion ω−ordenada de t-instantes:

〈ti〉 : ti = ta +2i − 1

2i(tb − ta), ∀i ∈ N (3)

cuyo lımite superior es tb y la sucesion ω∗−ordenada de t∗-instantes:

〈t∗i∗〉 : t∗i∗ = ta +1

2i, ∀i ∈ N (4)

cuyo lımite inferior es ta y donde i∗ representa el i-esimo elemento por la colade la sucesion ω∗−ordenada 〈t∗i∗〉i∈N.

459 Examinaremos ahora la forma en la que transcurren los sucesivos t∗-ins-tantes de 〈t∗n∗〉 y los sucesivos t-instantes de 〈tn〉 a medida que el tiempo pasade ta a tb, para lo cual consideraremos los dos siguientes funciones:

f∗(t) = numero de t∗-instantes transcurridos en t, ∀t ∈ [ta, tb] (5)

f(t) = numero de t-instantes por transcurrir en t, ∀t ∈ [ta, tb] (6)

460 De acuerdo con las definiciones de ω∗−orden y de ω−orden, podemosescribir:

f∗(t) =

{0 if t = taℵo if t > ta

f(t) =

{ℵo if t < tb0 if t = tb

(7)

En caso contrario, si siendo n un numero natural, existiera un instante t tal quef∗(t) = n, o bien f(t) = n, entonces existirıan los imposibles n primeros termi-nos de una sucesion ω∗−ordenada, o bien los imposibles n ultimos terminos deuna sucesion ω−ordenada.

461 De acuerdo con 460, las funciones f∗ y f estan bien definidas para todot en [ta, tb]; hacen corresponder cada elemento de [ta, tb] con un elemento delconjunto {0,ℵo}:

f∗ : [ta, tb] 7→ {0,ℵo} (8)

f : [ta, tb] 7→ {0,ℵo} (9)


462 La funcion f∗ define, por tanto, una dicotomıa, (t∗-dicotomıa):

Con relacion al numero de t∗-instantes transcurridos a medida que eltiempo pasa de ta a tb solo dos valores son posibles: 0 y ℵo.

La funcion f tambien define una dicotomıa, (t-dicotomıa):

Con relacion al numero de t-instantes que quedan por transcurrir a me-dida que el tiempo pasa de ta a tb solo son posibles dos valores: ℵo y0.

Figura 25.1: t∗-dicotomıa (izquierda) y t-dicotomıa (derecha)

463 Con respecto al numero de t∗-instantes transcurridos desde ta, el paso deltiempo desde ta a tb solo puede exhibir dos estados: el estado S∗(0) en el cualno ha transcurrido todavıa ningun t∗-instante, y el estado S∗(ℵo) en el cualuna infinidad contable (ℵo) de t

∗-instantes ha transcurrido ya. No son posibleslos estados finitos intermedios S∗(n) en los cuales solo hayan transcurrido unnumero finito n de t∗-instantes. El paso del tiempo llega ser S∗(ℵo) directamentea partir S∗(0). De igual manera, con respecto al numero de t-instantes aun portranscurrir, el paso del tiempo desde ta hasta tb solo puede exhibir dos estados:S(ℵo) y S(0), sin estados finitos intermedios S(n) en los que solo quedaran portranscurrir un numero finito n de t-instantes. El paso del tiempo alcanza elestado S(0) directamente a partir de S(ℵo).

464 Si bien la transicion S∗(0) → S∗(ℵo) no plantea problemas adicionales,se podrıa argumentar que la transicion S(ℵo) → S(0) no tiene sentido por-que la resta de cardinales infinitos no siempre esta permitida en la aritmeticatransfinita. Esto es tan absurdo como decir que el tiempo no pasa porque loscardinales transfinitos no siempre se pueden restar.6 En cualquier caso, lo queno tendrıa sentido serıa el analisis aritmetico de esa transicion. Pero el analisisaritmetico no tiene nada que ver con el tipo de razonamiento que hemos usadoy que seguiremos usando en la siguiente discusion. Un razonamiento que sebasa exclusivamente en una consecuencia del ω−orden y del ω∗−orden: quesiendo n un numero natural cualquiera, no existen ni los primeros n elemen-

6La sustraccion de cardinales transfinitos puede conducir a contradicciones.

Divisibilidad del espaciotiempo —— 147

tos de una sucesion ω∗−ordenada ni los ultimos n elementos de una sucesionω−ordenada.

465 Si el tiempo pasa, como ha de pasar, de ta a tb, entonces los sucesivost-instantes tambien pasaran, y en el instante tb todos ellos habran pasado. Latransicion tiene lugar, tengamos o no una definicion apropiada de la sustraccionde cardinales. Y si tiene lugar, tendra una duracion igual o mayor que cero.Eso es todo lo que necesitaremos saber para llevar a cabo el siguiente analisislogico de la transicion S(ℵo) → S(0).

Divisibilidad del espaciotiempo466 Examinaremos ahora la duracion de las transiciones:

S∗(0) → S∗(ℵo) (10)

S(ℵo) → S(0) (11)

De acuerdo con (7) el numero de t∗-instantes transcurridos desde ta y el numerode t-instantes aun por transcurrir desde ta estan bien definidos en todo elintervalo [ta, tb]. Por otra parte, ambas transiciones han de tener lugar dentrodel mismo intervalo de tiempo [ta, tb].

467 Aunque el intervalo real [ta, tb] esta densamente ordenado, las sucesiones〈t∗i∗〉 y 〈ti〉 contenidas en el, no lo estan. Estas sucesiones son ω∗−ordenadasy ω−ordenadas respectivamente, lo que significa que los t∗-instantes y los t-instantes son estrictamente sucesivos; es decir, entre cualquier t∗-instante y suinmediato sucesor no existe ningun otro t∗-instante; y lo mismo vale para los t-instantes. De esa forma, los t∗-instantes y los t-instantes solo pueden transcurrirsucesivamente, uno cada vez, y de tal modo que entre dos cualesquiera de esossucesivos instantes t∗n, t

∗n+1 siempre transcurre un tiempo mayor que cero, t∗n+1 -

t∗n > 0 (ω-separacion). En consecuencia, el numero de t∗-instantes transcurridosdesde ta solo puede aumentar de uno en uno, desde 0 hasta ℵo. Lo mismo valepara la forma en la que el numero de t-instantes por transcurrir disminuyedesde ℵo hasta 0. Esta sucesividad jugara un papel decisivo en la discusion quesigue.

468 Como consecuencia de la t∗-dicotomıa, el numero de t∗-instantes transcu-rridos desde ta debe incrementarse uno a uno desde 0 hasta ℵo sin atravesar lasucesion creciente de numeros naturales 1, 2, 3, . . . . Analogamente, el numerode t-instantes por transcurrir debe decrecer de uno en uno, desde ℵo hasta 0sin atravesar la sucesion decreciente de numeros naturales . . . , 3, 2, 1 (veasela Figura 25.2).

469 La duracion de la transicion S∗(0) → S∗(ℵo) es, de acuerdo con 467, elintervalo de tiempo dentro de [ta, tb] durante el cual el numero de t∗-instantestranscurridos desde ta aumenta, de uno en uno y con un intervalo de tiempo nonulo entre cada aumento (ω-separacion), desde cero hasta alef-cero. De forma


Figura 25.2: A medida que el tiempo (flecha roja FR) pasa desde ta hasta tb la flecha de lost∗-instantes ha de girar en sentido de las agujas del reloj desde 0 hasta ℵo sin pasar sobre lossucesivos radios 1*, 2*, 3*, . . . . Al mismo tiempo, la flecha de los t-instantes ha de girar ensentido de las agujas del reloj desde ℵo hasta 0 sin pasar sobre los sucesivos radios . . . 3, 2, 1.

similar, la duracion de la transicion S(ℵo) → S(0) es el intervalo de tiempodentro de [ta, tb] durante el cual el numero de t-instantes que todavıa han detranscurrir disminuye, uno a uno y con un intervalo de tiempo no nulo entrecada disminucion (ω-separacion), desde alef-cero hasta cero.

470 Puesto que entre dos t∗-instantes sucesivos siempre transcurre un inter-valo de tiempo mayor que cero (ω-separacion), la transicion S∗(0) → S∗(ℵo)durara necesariamente un intervalo de tiempo mayor de cero. La misma conclu-sion, y por las mismas razones, se habra de aplicar a la transicion S(ℵo) → S(0).

471 Es importante destacar que no estamos calculando la duracion exactade las transiciones S∗(0) → S∗(ℵo) y S(ℵo) → S(0) sino demostrando queambas han de ser necesariamente mayores que cero. La duracion exacta deesas transiciones no se puede calcular porque no existen ni el primer instanteen el que se inicia la transicion S∗(0) → S∗(ℵo) ni el ultimo instante en el quetermina la transicion S(ℵo) → S(0). Pero por muy indeterminables que sean,ambas transiciones han de ser mayores que cero por las razones dada en 470.Probaremos ahora, sin embargo, que no pueden ser mayores que cero.

472 Supongamos que la transicion S∗(0) → S∗(ℵo) dura un tiempo τ , siendoτ cualquier numero real positivo. Sea τ ′ cualquier instante del intervalo real(0, τ). De acuerdo con la t∗-dicotomıa, el numero de t∗-instantes transcurridosen el instante ta + τ ′ es ℵo, y por tanto la transicion S∗(0) → S∗(ℵo) yaha terminado. En consecuencia, la transicion S∗(0) → S∗(ℵo) dura un tiempomenor que τ . Y siendo τ cualquier numero real mayor que 0, hemos de concluirque la duracion de S∗(0) → S∗(ℵo) es menor que cualquier numero real mayorque cero. Y eso solo es posible si esa duracion es nula.

473 Un argumento similar a 472 prueba que la transicion S(ℵo) → S(0) ha de

Divisibilidad del espaciotiempo —— 149

ser tambien instantanea. Se podrıa argumentar que la transicion S(ℵo) → S(0)dura un tiempo tb - ta, pero eso es imposible porque en el instante ta+τ , siendoτ cualquier numero real positivo menor que tb − ta, el numero de t-instantespor transcurrir es ℵo, y entonces la transicion S(ℵo) → S(0) no ha comenzadoaun. Por tanto tarda un tiempo menor que tb − ta.

474 De acuerdo con 472 y 473, un numero infinito de t∗-instantes sucesivos,y un numero infinito de t-instantes sucesivos han de transcurrir simultanea-mente. Pero eso es imposible porque los t∗-instantes y los t-instantes sucesivosno pueden transcurrir de forma simultanea: entre dos cualesquiera de esossucesivos t∗-instantes t∗n, t

∗n+1 (o t-instantes tn, tn+1) siempre transcurre un in-

tervalo de tiempo mayor que cero: el intervalo ∆nt∗ = t∗n+1 − t∗n (o el intervalo

∆nt = tn+1 − tn en el caso de los t-instantes). Las transiciones S∗(0) → S∗(ℵo)y S(ℵo) → S(0) han durar tiempos mayores que cero pero no pueden durartiempos mayores que cero (472-473). Tenemos pues dos contradicciones queprueban la imposibilidad de dividir cualquier intervalo finito de tiempo en unainfinitud actual de partes ω∗−ordenadas y en una infinitud actual de partesω−ordenadas (vease el Z-reloj de la Figura 25.2).

475 Como ultimo recurso, algunos infinitists afirman que no tienen sentidotratar de calcular la duracion de las transiciones S∗(0) → S∗(ℵo) y S(ℵo) →S(0) simplemente porque no hay ni primer elemento en las sucesiones ω∗−or-denadas ni ultimo elemento en las sucesiones ω−ordenadas. Pero aquı no he-mos estado tratando de calcular la duracion de esas transiciones, nos hemoslimitado a tratar de demostrar que tienen que durar un tiempo mayor quecero (ω-separacion), pero que no pueden durar un tiempo mayor que cero (ω-dicotomıa).

476 Cualquier particion numerable del tiempo ha de ser α−ordenada o α∗-ordenada, siendo α un ordinal de la segunda clase (y primera o segunda espe-cie). Ası, tendremos:

α = ω (12)

o bien:α = ω + β (13)

donde β es un ordinal de la segunda clase (primera o segunda especie). Portanto, cualquier particion transfinita del tiempo ha de contener una imposibleparticion ω−ordenada (o ω∗−ordenada). Las particiones numerables del tiem-po son, por tanto, imposibles. Y puesto que cualquier division no numerablecontiene infinitas divisiones numerables, hemos de concluir que el tiempo no esinfinitamente divisible en terminos consistentes.

477 Si en lugar del paso del tiempo y de las sucesiones de t∗-instantes yde t-instantes, hubieramos considerado el movimiento linear uniforme de unapartıcula atravesando los Z∗ puntos 〈z∗n〉 y los Z-puntos 〈zn〉 definidos en el


intervalo [0, 1] de la recta real por:

〈z∗i∗〉 : z∗i∗ =1

2i, ∀i ∈ N (14)

〈zi〉 : zi =2i − 1

2i, ∀i ∈ N (15)

habrıamos llegado a la misma conclusion, y por las mismas razones, sobre lainfinita divisibilidad del espacio que a la que hemos llegado sobre la infinitadivisibilidad del tiempo.

478 Las conclusiones anteriores sobre la divisibilidad del espacio y el tiempono solo se aplican al espacio y al tiempo, sino a la propia nocion de continuodensamente ordenado.

Apendice A

El problema del cambio

Introduccion479 El cambio es una caracterıstica omnipresente de nuestro universo en con-tinua evolucion. Pero el cambio es tambien la cuestion mas peliaguda con la queel hombre se ha enfrentado.1 Tan peliaguda que podrıa ser inconsistente, comose viene reclamando al menos desde los tiempos presocraticos.2 Evidentemente,si ese fuera el caso, la tarea de explicar el mundo en terminos consistentes serıaimposible. En este apendice probaremos que, en efecto, el cambio es inconsis-tente en el continuum espaciotiempo, aunque podrıa encontrar una solucion enciertos espaciotiempos discretos como los de los automatas celulares.

480 Por sencillez, y para evitar complicaciones innecesarias, discutiremosaquı el problema de los cambios causales en objetos fısicos macroscopicos. Ası,si Ob es uno de esos objetos macroscopicos, diremos que Ob cambia del estadoSa al estado Sb si existe un conjunto de leyes (fısicas) L tales que, bajo lasmismas condiciones C y como consecuencia de esas leyes y condiciones, elestado de Ob es Sa en el instante ta y Sb en un instante posterior tb. Ensımbolos:

Cambio causal

{Sa 7→ Sb

L(Sa, C, ta) = (Sb, tb)(1)

Puesto que unicamente trataremos con cambios causales (1), de ahora en ade-lante seran referidos simplemente como cambios.

481 El cambio Sa 7→ Sb puede ser directo, sin estados intermedios, en talcaso hablaremos de cambio canonico. Puede ser tambien el resultado de unasucesion ordenada de cambios canonicos:

{Si} : Sa ≡ S1 7→ S2 7→ S3 7→ . . . 7→ Sn ≡ Sb (2)

1Para una vision general del problema vease [139], [168] y el punto de vista particular de H.Bergson en [19], [20]

2No solo autores presocraticos como Parmenides o Zenon de Elea afirmaron la imposibilidaddel cambio, autores modernos como J.E. McTaggart tambien defendieron esa imposibilidad[132]

151

152 —— A.-El problema del cambio

Notese que cada elemento Sn de la sucesion {Si} ha de tener un predecesorinmediato Sn−1 (excepto el primero de ellos S1) de modo que Sn pueda ser elresultado causal de Sn−1:

∀Sn>1 : L(Sn−1, Cn−1, tn−1) = (Sn, tn) (3)

El objetivo de nuestra discusion seran exclusivamente los cambios canonicos,sean o no parte de una sucesion de cambios canonicos. Pero antes de centrarnuestra atencion exclusivamente en los cambios canonicos debemos analizaruna segunda posibilidad de que ocurra un cambio.

482 En efecto, segun los infinitistas un cambio tambien podrıa ser el resultadode completar una sucesion densamente ordenada de cambios no canonicos (unasucesion en la que entre dos cambios cualesquiera ocurren un numero infinitode otros cambios3.). Por esa razon antes de discutir el problema del cambiocanonico vamos a demostrar la imposibilidad de que un cambio se produzcacomo consecuencia de completar una sucesion densamente ordenada de cam-bios. Recordemos que la infinitud de una sucesion densamente ordenada puedeser numerable (como en el caso de los numeros racionales) o no numerable (co-mo en el caso de los numeros reales). La distincion es irrelevante para nuestradiscusion. En aras de la simplicidad vamos a elegir el caso del orden densonumerable, cuyo cardinal es ℵo.

483 En primer lugar, es evidente que en una sucesion densamente ordenada decambios ningun cambio puede ser canonico. En efecto, si [Sa, Sb] es una sucesiondensamente ordenada de cambios y Sλ es cualquier elemento de la sucesion,entonces es imposible que Sλ resulte del cambio canonico de un estado Sµ

predecesor inmediato de Sλ, simplemente porque en una sucesion densamenteordenada ningun elemento tiene un predecesor inmediato. Por lo tanto, Sµ nopuede preceder inmediatamente a Sλ, luego el cambio canonico:

L(Sµ, Cµ, tµ) = (Sλ, tλ) (4)

es imposible

484 Supongamos que Sa 7→ Sb ocurre a traves de una sucesion densamenteordenada de cambios [Sa, Sb]. El estado Sb resulta, por tanto, de la complecionde una sucesion densamente ordenada y numerable de cambios. Ası, el estado denuestro objeto Ob sera Sa en un cierto instante ta y Sb en otro cierto instanteposterior tb. En esas condiciones, sea f(t), para todo t en [ta, tb], el numerode cambios que, en el instante t, aun se han de realizar para alcanzar Sb. Esinmediato que f(t) solo puede tomar dos valores: o bien ℵo o bien 0. Si no fueraası, si f(t) pudiese tomar un valor finito n, entonces existirıan los imposiblesultimos n cambios de una sucesion densamente ordenada de cambios.

485 De acuerdo con 484, f(t) define una dicotomıa: el numero de cambios

3Es difıcil de explicar en terminos fısicos que diablos podrıa ser una sucesion de cambios nocanonicos.

El problema del cambio —— 153

que quedan por realizar en cada instante t de [ta, tb] para llegar a Sb solo puedeser ℵo o 0. Por tanto no existe ningun instante en [ta, tb] en el que solo quedeun numero finito de cambios por realizar para que Ob alcance el estado Sb.O con otras palabras, ese numero ha de cambiar directamente de ℵo a 0. Enconsecuencia, un numero infinito de cambios han de ocurrir simultaneamente.

486 Si un numero infinito de cambios tienen lugar simultaneamente, entoncesun numero tambien infinito de estados han de coexistir simultaneamente y en-tonces no se podrıan establecer relaciones causales entre ellos. En consecuencialos cambios causales, en el sentido dado por 1, no son posibles a traves de unasucesion densamente ordenada de cambios. Ademas, los cambios instantaneosnunca podrıan tener lugar el continuum espaciotiempo (vease 489).

El problema del cambio487 Consideremos un cambio canonico cualquiera Sa 7→ Sb de un objetocualquiera Ob. Empezaremos probando que ese cambio ha de ser instantaneo,es decir de una duracion nula. Supongamos que durara un tiempo t > 0, siendot cualquier numero real positivo. Para todo t′ en el intervalo real (0, t), el estadodel objeto Ob sera o bien Sa o bien Sb. Si fuera Sa entonces el cambio no habrıacomenzado aun y su duracion serıa menor que t. Si fuera Sb el cambio ya habrıaterminado y su duracion serıa tambien menor que t. Pero Ob ha de estar en unode esos dos estados porque Sa 7→ Sb es un cambio canonico. En consecuencia,la duracion del cambio canonico Sa 7→ Sb es menor que cualquier numero realmayor que cero. El cambio ha de ser, por tanto, instantaneo.

488 Probaremos ahora que los cambios instantaneos (de una duracion nula)son imposibles en el continuum espaciotiempo. Como veremos, la razon de esaimposibilidad es que si t es un instante cualquiera de una sucesion densamenteordenada de instantes entonces t no tiene un predecesor inmediato p(t) ni unsucesor inmediato s(t), tal que ningun tiempo pasa entre p(t) y t, ni entre t ys(t), de la misma forma que no existe ningun numero natural entre el 4 y el 5,o entre el 5 y el 6.

489 Supongase que el cambio canonico Sa 7→ Sb tiene lugar en un ciertoinstante t del continuum espaciotiempo. El cambio serıa instantaneo si el estadode Ob es Sa en el instante t y Sb en un hipotetico sucesor inmediato s(t)de t, de modo que el tiempo que transcurre entre t y s(t) fuese nulo. Peroen el continuum espaciotiempo esto es imposibles porque t no tiene sucesorinmediato s(t), de modo que entra cada dos instantes diferentes cualesquierade ese continuum espaciotiempo siempre transcurre una cantidad no nula detiempo.

490 Proponer la coexistencia de Sa y Sb en un determinado instante comouna solucion al problema de cambio Sa 7→ Sb significa plantear el problemadel cambio en terminos del cambio Sa 7→ (SaSb), donde (SaSb) representala supuesta coexistencia de estados. Y lo mismo se aplicarıa a los cambiosSa 7→ (Sa(SaSb)), Sa 7→ (Sa(Sa(SaSb))), etc.


491 Hemos probado que:

1. Los cambios causales no pueden ocurrir a traves de una sucesion densa-mente ordenada de cambios (vease 485-486).

2. Los cambios canonicos tienen lugar instantaneamente (vease 487).

3. Los cambios instantaneos son imposibles en el continuum espaciotiempo(vease 489).

Hemos de concluir por tanto:

Teorema del cambio.-El cambio es consistentemente imposible enel continuum espaciotiempo.

492 Siendo el cambio tan omnipresente en nuestro universo actual, el teore-ma del cambio podrıa estar indicando que el continuum espaciotiempo no esla mejor representacion del espacio y del tiempo. El espacio y el tiempo, dehecho, podrıan ser de caracter discreto. En la siguiente seccion analizaremos laposibilidad de que el cambio pueda ocurrir en los espaciotiempos discretos.

Figura A.1: El problema del cambio.

493 Antes de analizar la posibilidad del cambio en espaciotiempos discretos,vamos a resumir el argumento anterior 482-491 en terminos espaciales (el es-pacio esta tambien involucrado en muchos cambios fısicos, por ejemplo en elmovimiento o cambio de posicion). En el continuo espaciotiempo, los puntosdel espacio no tienen sucesor inmediato y esto plantea una dificultad adicionalal problema del cambio. En efecto, el argumento 482-491 puede ser completa-mente reescrito en terminos geometricos mediante la sustitucion del conceptode instante por el concepto de punto y del concepto de instantaneidad temporalpor el concepto de extension espacial nula.

494 Consideremos un cambio de posicion realizado por una masa puntualP a una velocidad finita v desde el punto a hasta el punto b a traves delintervalo real [a, b] del continuum espacial. Puesto que ningun punto en [a, b]tiene sucesor inmediato, el recorrido desde a y b solo puede tener lugar a travesde una sucesion densamente ordenada (y ahora no numerable) de puntos. Seaf(x) el numero de puntos que aun le quedan por atravesar a P en cualquier

Un modelo discreto: automatas celulares —— 155

punto x dentro de [a, b] para llegar a b. Esta funcion solo puede tomar dosvalores:

f(x) = 2ℵo para todo x en [a, b) (5)

f(x) = 0 en el punto b (6)

495 De acuerdo con 494, f(x) esta bien definida a lo largo de todo el intervalo[a, b] y por tanto define una dicotomıa: el numero de puntos por recorrer encada punto x de [a, b] para llegar al punto b, solo puede ser 2ℵo o 0. En conse-cuencia, no hay ningun punto x en [a, b] en el que solo quede un numero finito,o numerable infinito, de puntos por atravesar para alcanzar b. O en otras pa-labras, ese numero tiene que cambiar directamente desde 2ℵo a 0. Por lo tanto,con respecto al numero de puntos que aun ha de atravesar para alcanzar b, lamasa puntual P solo tiene dos estados: el estado P (2ℵo) en el que ese numeroes 2ℵo , y el estado P (0) en el que ese mismo numero es 0.

496 Supongamos que la transicion desde P (2ℵo) a P (0) tiene lugar a lo largode una distancia d, siendo d cualquier numero real positivo, incluyendo b−a. Encualquier x del intervalo (0, d) el numero de puntos que quedan por atravesarpara alcanzar b solo puede ser 2ℵo (dicotomıa de f(x)) y entonces la transicionno ha comenzado. Por tanto, la transicion de P (2ℵo) a P (0) ocurre a lo largode una distancia menor que d, y por consiguiente menor que cualquier numeroreal mayor que cero. En consecuencia ocurre a lo largo de una distancia nula.

497 Por la misma falta de sucesividad que en el caso de los intervalos de tiem-po, todos los intervalos de espacio entre dos puntos diferentes tienen siempreuna longitud mayor que cero. Por tanto los intervalos de extension nula entredos puntos diferentes son imposibles en el continuum espacial. Por consiguien-te, el cambio de posicion a una velocidad finita desde el punto a hasta el puntob es consistentemente imposible en el continuum espacial.

498 Notese que no hemos estado tratando de calcular la distancia exactaa lo largo de la cual ocurre la transicion de P (2ℵo) a P (0). Hemos estadotratando de demostrar que ese distancia ha de ser nula (dicotomıa 2ℵo o 0) yque los distancias nulas entre dos puntos distintos del continuum espacial sonimposibles.

Un modelo discreto: automatas celulares499 Los modelos similares a los automatas celulares (cellular automata likemodel, CALM) proporcionan una nueva e interesante perspectiva para analizarla forma en la que el universo podrıa estar evolucionando. En particular pro-porciona un espaciotiempo discreto en el que serıa posible un nuevo analisis dealgunos de los problemas aparentemente irresolubles o paradojicos de la fısicacontemporanea. Como veremos en la breve discusion que sigue, veintisiete siglosdespues de que fuera planteado, el viejo problema del cambio podrıa encontraruna primera solucion consistente en el marco discreto del espaciotiempo de los


CALMs.

Figura A.2: Espacio discreto versus espacio continuo.

500 En los CALMs el espacio esta exclusivamente formado por unidades mıni-mas indivisibles: qusits (quantum space units)). El tiempo tambien esta com-puesto por una sucesion de unidades mınimas indivisibles: qutits (quantumtime units). No existe ninguna extension espacial entre un qusit y su sucesorinmediato en cualquier direccion espacial. De forma similar, ningun tiempo pa-sa entre un qutit y su sucesor inmediato. Cada qusit puede exhibir diferentesestados, definidos cada uno de ellos por un cierto conjunto de variables. Elestado de todos los qusits cambia simultaneamente en los sucesivos qutits deacuerdo con las leyes que dirigen la evolucion del automata. Una vez cambiado,el estado de cada qusit permanece inalterado durante un qutit. En lo que sigueasumiremos que este es el caso, aunque en el lugar de un qutit el estado decada qusit podrıa mantenerse durante un cierto numero (entero) de qutits.

501 Sean u, v, c, . . . z las variables que definen el estado de los qusits deun cierto CALM A. Representemos el n-esimo estado de cada qusit σi de Apor σi(un, vn, . . . zn), donde un, vn . . . zn son los valores particulares de lasvariables de estado en el n-esimo qutit. Sea finalmente L el conjunto de leyesque controlan la evolucion del automata. L determina la forma en que el estadode cada qusit σi cambia de un qutit al siguiente, teniendo para ello en cuenta elestado previo de σi y el de cualquier otro qusit que interaccione con el, lo quepuede incluir a todos los qusits del automata. Los estados de todos los qusitsσi definen las condiciones Ci bajo las cuales operan las leyes L.

502 El ’motor’ del automata cambia simultaneamente el estado de cada unode los qusits en cada qutit sucesivo, y lo mantiene en ese estado exactamenteun qutit. Ası, para cada σi particular podremos escribir:

L(σi(ui,n . . . , zi,n), Cn, τn) = (σi(ui,n+1 . . . , zi,n+1), τn+1)

L(σi(ui,n+1 . . . , zi,n+1), Cn+1, τn+1) = (σi(ui,n+2 . . . , zi,n+2), τn+2)

L(σi(ui,n+2 . . . , zi,n+2), Cn+2, τn+2) = (σi(i, un+3 . . . , zi,n+3), τn+3)

L(σi(ui,n+3 . . . , zi,n+3), Cn+3, τn+3) = (σi(ui,n+4 . . . , zi,n+4), τn+4)

. . .

503 Siendo discretos tanto el espacio como el tiempo, cada qutit τn tiene un

Un modelo discreto: automatas celulares —— 157

predecesor inmediato τn−1 y un sucesor inmediato τn+1, de modo que ningunotro qutit pasa entre τn−1 y τn y tampoco entre τn y τn+1. O con otras palabras:ningun tiempo transcurre entre dos qutits sucesivos. Esta simple caracterısticade los CALMs es suficiente para resolver el problema del cambio: el espacio-tiempo discreto permite los cambios instantaneos, el estado An en el qutit τncambia al estado An+1 en el siguiente qutit τn+1. Y eso es posible porque elestado de cada qusit se redefine en cada qutit y es mantenido durante un qutit.Podrıamos decir, como mınimo, que en los modelos del tipo automata celular,el problema del cambio no se plantea.

Figura A.3: En el espaciotiempo discre-to de un CALM, el disco D cambia de A

a B sin pasar entre A y B (piensese, porejemplo, en un salto cuantico).

504 El caso del salto cuantico puede ser unejemplo apropiado de cambio canonico. Unelectron, por ejemplo, esta en el estado S1 enun cierto instante t1 y en el estado S2 en otroinstante posterior t2, sin pasar por estadosintermedios entre S1 y S2 debido a la natu-raleza cuantica del salto. Se trata, pues, deun cambio canonico. En el continuum espa-ciotiempo, el intervalo (t1, t2) debe ser siem-pre mayor que cero y durante ese tiempo elelectron no puede estar ni en S1 ni en S2. Du-rante ese tiempo el electron simplemente nopuede existir. Debe desaparecer en t1 y re-aparecer en t2. En el espacio-tiempo digitalde un CALM todo lo que tendrıamos que ha-cer es considerar dos qutits sucesivos, τ1 y τ2.En τ1 nuestro electron estarıa en el estado S1,y en τ2 en el estado S2.

505 A tıtulo de ejemplo, supongase que:

El universo tiene 2,66× 10185 qusits.

El universo contiene 1080 partıculas elementales.

Cada partıcula esta definida por p variables.

Cada partıcula esta, de alguna manera, presente en cada qusit.

Sea U-CALM un 3D-CALM de 2, 66 × 10185 qusits en el que el estado decada qusit se define por p× 1080 variables de estado. Si fuera posible construirU-CALM, quizas podrıamos observar la autoorganizacion y evolucion de unobjeto similar a nuestro universo.

506 El problema es que U-CALM no se puede construir dentro del universoni haciendo uso de todas sus partıculas elementales. Otra cosa serıa su analisisteorico, U-CALM serıa incomparablemente menos complejo que, por ejemplo,cualquier matriz de infinitos elementos (que son usuales en matematicas y enfısica teorica). Se podrıa modelar el universo siempre que conocieramos las leyesbasicas que lo hacen autoorganizarse y evolucionar. En estas circunstancias,simular no significa reproducir la historia exacta del universo: las interacciones


recursivas de los qusits y las dinamicas no lineales resultantes abrirıan la puertade lo inesperado y de la creatividad, como ocurre con la biosfera terrestre.

Figura A.4: Si fuera posible, un 3D-CALM podrıan servir para simular laauto-organizacion y la evolucion del uni-verso.

507 En cualquier caso, y como indicabamosen 506, podrıamos teorizar sobre U-CALM,podrıamos usarlo como un referente teoricopara comprender la esencia, la magnitud ylas posibilidades de los universos reales. Contodo lo colosal que pueda parecer, U-CALMserıa un objeto finito y por tanto formado porun numero de elementos incomparablementemenor que el numero de puntos (2ℵo) de unsimple intervalo tan pequeno como (0, 1) en elcontinuum espaciotiempo. Ademas, mientrasque los puntos de (0, 1) no tienen significa-do fısico alguno, cada elemento de U-CALMrebosarıa significacion fısica.

508 Para finalizar esta capıtulo, imagine-mos que construimos un juego de ordenadormuy avanzado en el que los personajes evolucionan hasta hacerse conscientes desu propia inteligencia. Si intentaran explicar su universo digital, seguramentetendrıan el mismo tipo de problemas que tenemos nosotros cuando pretende-mos explicar los incesantes cambios que observamos en el nuestro.

Apendice B

Sugerencias para una teorıa natural de conjuntos

Introduccion509 En mi opinion, las teorıas modernas de conjuntos son excesivamentetortuosas y complicadas principalmente gracias a las tres siguientes razones:

1. El escenario platonico donde todas ellas se han fundado y desarrollado,lo que significa que los conjuntos son considerados objetos platonicos queexisten con independencia de la mente humana.

2. Las restricciones necesarias para evitar la autorreferencia, otra asuncionplatonica de origen presocratico. Asumir la autorreferencia semantica im-plica asumir la existencia de autolenguajes, de lenguajes con la capacidadde referirse a sı mismos. Desde la perspectiva no platonica, por el contra-rio, solo el hombre puede referirse a otros objetos, incluyendose a sı mismo.Desde esta perspectiva la autorreferencia es una habilidad exclusivamentehumana y, en consecuencia, solo se consideran el lenguaje y los sucesivosmetalenguajes.

3. La hipotesis del infinito actual subsumida en el Axioma del Infinito, deacuerdo con la cual los conjuntos infinitos existen como totalidades com-pletas.

Este apendice sugiere otra alternativa fundacional lejos del escenario platonico:el escenario natural de de las actividades intencionales de la mente humana.

510 La discusion que sigue se fundamenta de hecho en una definicion natu-ral (no platonica) de conjunto. Tambien introduce el concepto de sucesionesincompletables, a traves de la definicion de conjunto sucesor. Las sucesionesincompletables de conjuntos sucesores se utilizan entonces para definir la su-cesion de cardinales finitos y la de conjuntos potencialmente infinitos.

Una definicion natural de conjunto511 Suponemos aquı que los conjuntos y los numeros naturales son objetosteoricos elementales que resultan de nuestra actividad mental intencional. Porlo tanto no tienen existencia independiente de la mente.

159

160 —— B.-Sugerencias para una teorıa natural de conjuntos

512 Tal vez el proceso intencional mas basico de nuestra mente consista enconsiderar (centrar nuestra atencion en) cualquier objeto o grupo de objetos.Existen, a su vez, dos formas basicas de considerar objetos: o sucesiva o si-multaneamente. La primera lleva al concepto de numero natural; la segunda alconcepto de conjunto.

513 Cuando consideramos sucesivamente diferentes objetos, en cierto modolos estamos contando. Un numero natural es una especie de medida de lacantidad de objetos considerados sucesivamente (vease mas abajo). Por otrolado, si consideramos esos objetos de forma simultanea los estamos agrupandoen una totalidad que es un nuevo objeto diferente de cada uno de los objetosconsiderados. En consecuencia, vamos a proponer la siguiente definicion naturalde conjunto en cierta forma sugerida por por Lewis Carroll [45]:

Definicion de conjunto.-Un conjunto es el objeto teorico que re-sulta del proceso mental de agrupamiento de elementos arbitrariospreviamente definidos.

Obviamente el mundo fısico esta lleno de grupos naturales de objetos, porejemplo el conjunto de todos los iones de un cierto cristal de pirita. La mentehumana tiene la habilidad de reconocer esos grupos naturales, pero tambientiene la capacidad de definir otros muchos conjuntos que pueden incluir objetosabstractos e imaginarios.

514 Obviamente, la Definicion 513 es de tipo constructivo: solo indica la formaen la que se construyen los conjuntos: por procesos mentales de agrupamiento.Al ser constructiva, la definicion no es semanticamente circular. Los conjuntosse definen como objetos teoricos porque la mente humana solo puede construirobjetos teoricos. Ademas, la Definicion 513 requiere que los elementos que sevan a agrupar han de estar previamente definidos (ya sea por enumeracion opor comprension). Parece un requisito razonable, de lo contrario no sabrıamosque estamos agrupando, que estamos definiendo.

515 Por otra parte, ese simple requisito (ser definidos antes de ser agrupados)invalida a los conjuntos autorreferentes. En efecto, de acuerdo con el un con-junto no puede pertenecerse a sı mismo, ya que no existe como un elemento quese pueda agrupar hasta que el conjunto se haya definido. Las paradojas como lade Cantor (conjunto de todos los cardinales), Burali-Forti (conjunto de todoslos ordinales) y Russell (conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen ası mismos) son inmediatamente descartados.

516 Comparemos ahora esta definicion constructiva de conjunto de los dossiguientes intentos platonicos de G. Cantor:

Por un ’conjunto’ o ’agregado’ por lo general entiendo una multiplicidadque puede ser pensada como una unidad, es decir, cualquier totalidad deelementos definidos que, mediante una ley, se pueden poner en una totali-dad, y creo que en esto estoy definiendo algo que esta relacionado con eleidos platonico o idea. ([40, page 93])

Por un ’conjunto’ (Menge) hemos de entender cualquier coleccion en una

Una definicion natural de conjunto —— 161

totalidad M de objetos m definidos y separados de nuestra intuicion onuestro pensamiento. ([36, p. 481], [39, . 85])

517 Puesto que ’multiplicidad’ y ’coleccion’ son sinonimo de ’conjunto’ ambasdefiniciones son circulares. La circularidad tampoco pudo evitarse en los inten-tos posteriores de definir la nocion platonica de conjuntos, que fue finalmentedeclarada como no definible, i.e. como un concepto primitivo que no puede de-finirse en terminos de otros conceptos mas basicos. La imposibilidad de definirconjuntos platonicos probablemente indica que los conjuntos no son los objetosplatonicos que se habıan supuesto, sino productos de nuestra actividad mentalintencionada.

518 Afortunadamente, la mayorıa de los sımbolos, convenciones y operacio-nes de las teorıas axiomaticas de conjuntos pueden mantenerse en las teorıasno platonicas de conjuntos. Particularmente las nociones de pertenencia, sub-conjunto, conjunto vacıo, union, interseccion, correspondencias y similares. Porel contrario, la mayorıa de los axiomas necesarios en las teorıas platonicas deconjuntos son innecesarios en las teorıas no platonicos.

519 Como veremos en este apendice, uno de los conceptos mas importantesen una teorıa constructiva de conjuntos es el de conjunto sucesor, que se derivade forma inmediata de la Definicion 513. En efecto, es inmediato demostrar elsiguiente:

Teorema del conjunto sucesor.-Cada conjunto A define un con-junto nuevo, su conjunto sucesor s(A), del cual el es un elemento.

Demostracion.-Una vez definido un conjunto A, tendremos a nuestra dispo-sicion un nuevo objeto, el conjunto A, y segun la Definicion 513, podremosagruparlo con otros elementos arbitrarios previamente definidos. Por ejemplocon los elementos que se utilizaron para definir A. Ası podremos definir unnuevo conjunto s(A) de la forma:

s(A) = A ∪ {A} (1)

s(A) es el conjunto sucesor del conjunto A. Como veremos el concepto desucesor puede utilizarse para definir, tambien en terminos constructivos, lossucesivos numeros naturales.

520 Por incompletable entendemos aquı algo que no solo es incompleto sinoque ademas no se puede completar. En consonancia con esa idea, definiremosla nocion de sucesion incompletable de la siguiente manera:

Definicion 520.-Una sucesion incompletable es aquella que no pue-de ser considerada como una totalidad completa, en el sentido de quesiempre podemos incrementar la sucesion de elementos consideradosanadiendo nuevos elementos.

521 El concepto de conjunto sucesor permite definir sucesiones incompletablesde conjuntos. En efecto, supongamos que las sucesivas definiciones de conjuntos


sucesores de un conjunto inicial A:

A, s(A), s(s(A)), . . . s(s(s(. . . (A) . . . )) (2)

conducen a un conjunto final X:

X = s(s(s(s(s(. . . (A) . . . ))))) (3)

cuyo sucesor s(X) no se puede definir. Cualquiera que sea el conjuntoX, sera unobjeto bien definido y, de acuerdo con la Definicion 513, lo podremos agruparcon cualquier grupo de elementos previamente definidos, incluyendo los propioselementos de X, para formar un nuevo conjunto. En consecuencia, podemosdefinir:

s(X) = X ∪ {X} = s(s(s(s(s(s(. . . (A) . . . )))))) (4)

Por lo tanto, es falso que el conjunto sucesor de X no pueda ser definido. Ası,la sucesion de los sucesivos sucesores del conjuntos A es de hecho incompleta-ble porque siempre se puede aumentar la sucesion de conjuntos consideradosconsiderando un nuevo elemento, a saber, con el conjunto sucesor del ultimoconjunto definido. Podemos por tanto establecer el siguiente:

Teorema de la sucesion de sucesores.-La sucesion de conjuntossucesores de un conjunto cualquiera es incompletable.

Conjuntos y numeros522 Aunque se han llevado a cabo varios intentos constructivos y formalespara definir el concepto de numero, este concepto podrıa ser de hecho primitivo,no definible en terminos de otros conceptos mas basicos. En cualquier caso,podemos asumir que dos conjuntos tienen el mismo numero de elementos si sepuede establecer entre ellos una correspondencia uno a uno. Todos los conjuntosque se pueden poner en una correspondencia uno a uno entre sı define una clasede conjuntos, y por tanto un numero: el cardinal de todos los conjuntos de esaclase. El cardinal de un conjunto A se suele representar por |A|.

523 Contar los elementos de un conjunto A significa finalmente considerar su-cesivamente cada uno de sus elementos sucesivos. Podrıamos definir un numero(nombre, numero y caracterısticas) cada vez que consideramos un nuevo ele-mento de A como una indicacion de la cantidad de los elementos considera-dos, como una indicacion del tamano del conjunto. Aunque en este contexto,numero, cantidad y tamano son semanticamente indistinguibles, y por tantoel intento tambien de definicion tambien es circular. Despues de todo, quizassolo sean posibles las definiciones operativas del concepto de numero. Presen-taremos inmediatamente una de ellas.

524 Uno de las sucesiones incompletables mejor conocida es la siguiente,basada en la nocion de conjunto vacıo ∅:

∅ = ∅ (5)

Conjuntos y numeros —— 163

s(∅) = ∅ ∪ {∅} = {∅} (6)

s(s(∅)) = {∅} ∪ {{∅}} = {∅, {∅}} (7)

s(s(s(∅))) = {∅, {∅}} ∪ {{∅, {∅}}} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}} (8)

. . .

525 Llamamos cardinales finitos, o numeros naturales, a los cardinales de losconjuntos (definicion de Von Neumann de 1923 [142]):

|∅| = 0 (9)

|{∅}| = 1 (10)

|{∅, {∅}}| = 1 + 1 = 2 (11)

|{∅, {∅}, {∅, {∅}}| = 2 + 1 = 3 (12)

|{∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}}, | = 3 + 1 = 4 (13)

. . .

donde escribimos +1 para indicar que un nuevo elemento se ha anadido alconjunto precedente para definir el nuevo conjunto y su correspondiente nuevocardinal finito. Por claridad escribiremos la anterior sucesion de cardinalescomo:

|∅| = 0 (14)

|{∅}| = |{0}| = 1 (15)

|{∅, s1(∅)}| = |{0, 1}| = 1 + 1 = 2 (16)

|{∅, s1(∅), s2(∅)}| = |{0, 1, 2}| = 2 + 1 = 3 (17)

|{∅, s1(∅), s2(∅), s3(∅)}| = |{0, 1, 2, 3}| = 3 + 1 = 4 (18)

. . . (19)

donde s2(∅) es s(s(∅)), s3(∅) es s(s(s(∅))) y ası sucesivamente. Notese que cadacardinal n se define recursivamente en terminos del ultimo cardinal definidon− 1, excepto el primero de ellos 0.

526 Notese tambien que la definicion anterior de los sucesivos cardinalesfinitos, o numeros naturales, es solo una definicion operativa. En consecuenciaseguimos sin tener una definicion apropiada de numero. Por lo tanto, decir queel cardinal de un conjunto es el numero de sus elementos es no decir nada desdeun punto de vista estrictamente formal. Pero tenemos que definir el cardinalde un conjunto como el numero de sus elementos, aun cuando el conceptode numero no este apropiadamente definido, sino aceptado como un conceptoprimitivo.

527 De acuerdo con 520 la sucesion anterior (14)-(19) es incompletable, demodo que no existe un ultimo cardinal finito. En efecto, cualquiera que sea el


cardinal finito n que consideremos tendremos:

n = |{∅, s1(∅), s2(∅), . . . sn−1(∅)}| (20)

y puesto que la sucesion de conjuntos sucesores es incompletable de acuerdocon 521, el conjunto sucesor de sn−1(∅) existe, y entonces podemos escribir:

sn(∅) = sn−1(∅) ∪ {sn−1(∅)} (21)

= {∅, s1(∅), s2(∅), . . . sn−1(∅), sn(∅)} (22)

De acuerdo con (14)-(19) el conjunto sn(∅) define el cardinal finito n+ 1:

|sn(∅)| = |{∅, s1(∅), s2(∅), . . . sn(∅)}| = |{0, 1, 2, . . . n}| = n+ 1 (23)

Podemos por tanto afirmar que siendo n un cardinal finito (numero natural)de la sucesion incompletable (14)-(19), n + 1 es tambien un cardinal finito dela sucesion incompletable (14)-(19). Podemos, por consiguiente, escribir:

Teorema de la sucesion de cardinales.-Si n es un numero na-tural finito, y por tanto el cardinal de un conjunto de la sucesionincompletable de sucesores del conjunto vacıo, entonces n + 1 estambien un numero natural finito y el cardinal de un conjunto deesa misma sucesion de sucesores del conjunto vacıo.

528 Vale la pena senalar que esta forma constructiva de definir los numerosnaturales basada en la definicion 513 no plantea ningun problema de existen-cia y, por consiguiente, no es necesaria la ayuda de axiomas auxiliares (comolos axiomas de Peano). Esto es ası porque no estamos tratando de definir elconjunto de los numeros naturales como una totalidad completa independientede la mente, sino como una sucesion incompletable y operacional de terminossucesivos.

529 Dado que todos los conjuntos de la misma cardinalidad son equipotentes,podemos decir que un numero natural n es el sucesor inmediato de otro numeronatural m (o m el predecesor inmediato de n) si n es el cardinal del conjuntosucesor de cualquier conjunto cuyo cardinal sea m. O en otros palabras, sin = m+1. Es evidente que si n es el sucesor inmediato dem entonces es tambiensucesor (aunque no inmediato) de todos los predecesores de m. Ser ’sucesorde’ induce una relacion de orden < en el conjunto de los cardinales finitos quecoincide con el orden natural de precedencia de los numeros naturales (el ordennatural de contar): m < n si y solo si n es un sucesor de m.

530 Consideremos ahora el conjunto Nn de los primeros n numeros naturales:

Nn = {1, 2, 3, . . . n} (24)

y demostremos el siguiente:

Teorema 530.-El cardinal del conjunto Nn de los n primeros nume-ros finitos es precisamente n

Conjuntos finitos —— 165

Demostracion.-Por definicion, n es el cardinal del conjunto

A = {∅, s1(∅), s2(∅), . . . sn−1(∅)} (25)

Sea f una funcion de Nn en A definida por:

f(i) =

{∅ si i = 1

si−1(∅) if i > 1(26)

Es claro que f es una biyeccion. Por tanto Nn y A son equipotentes, i.e. elcardinal de Nn es n.

531 Como consecuencia de la forma recursiva en la que son definidos, loselementos de Nn exhiben un tipo de orden al que llamaremos orden natural yque denotaremos por n-orden, cuyas principales caracterısticas son:

1. Existe un primer elemento: el unico sin predecesores (1).

2. Existe un ultimo elemento: el unico sin sucesores (n).

3. Cada elemento k tiene un sucesor inmediato k + 1, excepto el ultimo deellos.

4. Cada elemento k tiene un predecesor inmediato k−1, excepto el primero.

Notese que el n-orden es lo mismo que el ω−orden , excepto que en el ω−ordenno hay un ultimo elemento. Ası, los conjuntos ω−ordenados son totalidadescompletas (como exige el infinito actual) aunque no exista un ultimo elementoque los complete. Evidentemente ese no es el caso de los conjuntos n-ordenadoa.

Conjuntos finitos532 Como es bien sabido, la hipotesis del infinito actual subsumida en elAxioma del Infinito afirma la existencia de un conjunto equipotente con el con-junto de todos los cardinales considerado como una totalidad completa, como sila sucesion anterior (5)-(8) pudiera, en efecto, ser realmente completada. Porel contrario, en una teorıa no-platonica de conjuntos esa sucesion es incom-pletable y entonces no puede ser considerada como una totalidad completa.Esa sucesion es un ejemplo de objeto potencialmente infinito. En la seccionsiguiente nos ocuparemos de ellos. En esta centraremos nuestra atencion en losconjuntos finitos. Para empezar, consideremos la siguiente definicion elemental,basada en las sucesiones anteriores de conjuntos sucesores y cardinales finitos:

Definicion 532.-Un conjunto es finito si y solo si, tiene un cardinalfinito.

Los teoremas y definiciones anteriores permiten demostrar los siguientes resul-tados sobre los conjuntos finitos.

533 Teorema del ordenamiento finito 1.-Todo conjunto finito puede sern-ordenado.

Demostracion.-Sea A ser un conjunto finito. De acuerdo con la Definicion 532


habra un cardinal finito n tal que |{A}| = n. Siendo A equipotente con todoslos conjuntos de la misma cardinalidad sera equipotente con el conjunto n-or-denado Nn de los n primeros cardinales finitos, cuyo cardinal es n, de acuerdocon 530. Por tanto existe una correspondencia de uno a uno f entre el conjuntoNn y A. Por consiguiente, podemos escribir:

A∗ = {f(1), f(2), f(3), . . . , f(n)} (27)

que es la version n-ordenada del conjunto A.

534 Teorema del ordenamiento finito 2.-Todo conjunto finito es n-or-denado.

Demostracion.- De acuerdo con el teorema del ordenamiento finito 1, cualquierconjunto finito A de cardinal n puede ser n-ordenado mediante una biyeccionf entre Nn y A, de modo que podemos escribir:

A∗ = {f(1), f(2), . . . , f(n)} (version n-ordenada de A) (28)

Puesto que la sucesion f(1), f(2),. . . f(n) contiene todos los elementos del con-junto A, el ordenamiento de este conjunto solo puede ser uno de los posi-bles reordenamientos de f(1), f(2),. . . f(n), i.e una de las n! permutaciones def(1), f(2),. . . f(n). Puesto que cada permutacion de f(1), f(2),. . . f(n) cambialos elementos indexados pero no el conjunto n-ordenado de ındices {1, 2, . . . n},cada permutacion sera n-ordenada. Por tanto A es un conjunto n-ordenado.

535 Teorema del siguiente cardinal.-SiA es un conjunto finito de cardinaln, entonces su conjunto sucesor S(A) = A ∪ {A} es un conjunto finito decardinal n+ 1.

Demostracion.-Puesto que el cardinal de A es n y, segun 530, el cardinal deNn tambien es n, existira una biyeccion f entre A y Nn = {1, 2, 3, . . . n}. Labiyeccion g definida por:

g : A ∪ {A} 7→ {1, 2, 3, . . . n, n+ 1} (29)

∀a ∈ A : g(a) = f(a) (30)

g(A) = n+ 1 (31)

prueba que S(A) es un conjunto finito cuyo cardinal es n+ 1.

536 Teorema de la extension finita.-Si A es un conjunto finito y b unelemento que no pertenece a A entonces el conjunto A∪ {b} es tambien finito.

Demostracion.-Sea f una correspondencia entre los conjuntos A ∪ {b} y s(A)definida por:

f(a) = a, ∀a ∈ A (32)

f(b) = A (33)

Evidentemente f es una biyeccion entre A ∪ {b} y s(A). Por tanto ambos

Conjuntos potencialmente infinitos —— 167

conjuntos tienen la misma cardinalidad. Sea n el cardinal de A, de acuerdo conel teorema 535 del siguiente cardinal, el cardinal de s(A) es el cardinal finiton+ 1. El cardinal de A ∪ {b} sera tambien n+ 1. En consecuencia A ∪ {b} esun conjunto finito.

537 Teorema de la union finita.-Si A y B son dos conjuntos finitosentonces el conjunto A ∪B es tambien finito.

Demostracion.-Es una consecuencia inmediata del teorema 536 de la extensionfinita. Siendo B finito sera n-ordenado y sus elementos se pueden escribir b1,b2, . . . bk. De acuerdo con 536 los sucesivos conjuntos:

A ∪ {b1} (34)

A ∪ {b1} ∪ {b2} (35)

... (36)

A ∪ {b1} ∪ {b2} · · · ∪ {bk} = A ∪B (37)

son todos ellos finitos.

538 Teorema del infinito.-El conjunto N de los cardinales finitos definidosegun (14)-(19) no es finito.

Demostracion.-Supongamos que es finito. De acuerdo con la Definicion 532tendra un cardinal finito n, que es tambien el cardinal del (n− 1)th conjuntosucesor sucesivo de {∅} en (5)-(8). De acuerdo con 527 esta sucesion es incom-pletable de modo que su n-esimo termino, y por tanto el cardinal finito n+ 1,tambien existen. Por tanto n no es el cardinal de N. Lo que prueba que ninguncardinal finito n puede ser el cardinal del conjunto N. Por tanto N no es finito.

Conjuntos potencialmente infinitos539 Hasta donde yo se, los conjuntos potencialmente infinitas nunca han me-recido la atencion de los matematicos. Probablemente porque las teorıas deconjuntos son teorıas infinitistas, fundadas y desarrolladas por infinitistas queasumen la hipotesis del infinito actual. Desde el punto de vista constructivoanterior podrıamos considerar la capacidad de nuestra mente para llevar a ca-bo procesos sin fin, incompletables, como el de contar o definir en terminosrecursivos. Los objetos resultantes de esos procesos incompletables podrıan serutilizados para definir conjuntos en el sentido de la Definicion 513. Pero esosconjuntos nunca podrıan ser considerados como totalidades completas y aca-badas, como es el caso de los conjuntos finitos. Esas totalidades incompletablesrepresentarıan la version teorico-conjuntista del infinito potencial introducidopor Aristoteles hace veinticuatro siglos [11, Libro VIII].

540 La siguiente, podrıa ser una definicion operativa de conjunto potencial-mente infinito:

Definicion 540.-Un conjunto X es potencialmente infinito si para


cualquier conjunto finito A existe un subconjunto B de X tal que|A| < |B|.

541 Una consecuencia inmediata de la Definicion 540 es el siguiente

Teorema 541.-Los conjuntos potencialmente infinitos no tienen car-dinal definido.

Demostracion.-Sea X es un conjunto potencialmente infinito cualquiera. Su-pongamos que tiene un cardinal finito n. Consideremos el conjunto Nn de losprimeros n cardinales finitos, cuyo cardinal es n de acuerdo con 530. De acuer-do con la Definicion 540 y siendo Nn finito, existira un subconjunto finito B deX tal que |Nn| < |B|. Por lo tanto, n no puede ser el cardinal de X. En con-secuencia, ningun cardinal finito n es el cardinal del conjunto potencialmenteinfinito X.

542 En el universo de los conjuntos no platonicos, un conjunto solo puede serfinito (con un cardinal finito) o potencialmente infinito (sin cardinal definido).El teorema del infinito prueba que el conjunto de los cardinales finitos no esfinito. Veamos ahora que es potencialmente infinito.

Teorema 542.-El conjunto de los cardinales finitos es potencial-mente infinito

Demostracion.-Sea A un conjunto finito cualquiera y sea n su cardinal. Elconjunto B de los primeros n+ 1 cardinales finitos verifica:

B = {1, 2, . . . , n, n+ 1} ⊂ {1, 2, . . . , n, n+ 1, n+ 2} (38)

es, por tanto, un subconjunto propio de N. Y evidentemente |A| < |B|. Porconsiguiente, y de acuerdo con la Definicion 540, N es potencialmente infinito.

543 Finalmente probaremos el siguiente resultado basico:

Teorema 543.-Si X es un conjunto potencialmente infinito y Acualquiera de sus subconjuntos finitos entonces el conjunto X − Atambien es potencialmente infinito.

Demostracion.-Evidentemente, tendremos:

X = A ∪ (X −A) (39)

De modo que si X −A fuera finito, y teniendo en cuenta el teorema 537 de launion finita, el conjunto X tambien serıa finito. En consecuencia X −A ha deser potencialmente infinito.

Apendice C

Platonismo y biologıa

Los seres vivos como objetos extravagantes544 En 1973, Dobzhansky publico un famoso artıculo cuyo tıtulo resume elpensamiento biologico contemporaneo[63]:

Nada en biologıa tiene sentido si no es bajo el prisma de la evolucion

Creo que hubiera sido mas apropiado escribir reproduccion en lugar de evo-lucion.1 Y no solo porque la evolucion es alimentada por la reproduccion. Esporque solo la reproduccion puede dar cuenta de las extravagancias de los seresvivos.

545 Los seres vivos son, en efecto, objetos extravagantes, es decir, objetoscon propiedades que no pueden ser derivadas exclusivamente de las leyes fısicas.Tener plumas rojas, o plumas amarillas, o saltar para moverse, o o ser devoradopor la hembra a cambio de copular con ella, son algunos ejemplos (y la listaserıa interminable) de propiedades que no pueden ser derivadas exclusivamentede las leyes fısicas, sino de la peculiar historia competitiva y reproductiva decada organismo. Ası, los seres vivos estan sometidos a una ley biologica quedomina sobre todas las leyes fısicas, la Ley de la Reproduccion: Reproducetecomo puedas.

546 La naturaleza informada de los seres vivos [113] y la ley de la reproduccionpermiten la fijacion de extravagancias arbitrarias. El exito en la reproducciondepende de ciertas caracterısticas de los seres vivos que con frecuencia nadatienen que ver con la eficacia en el cumplimiento de las leyes fısicas sino conpreferencias arbitrarias como cantar, o bailar o tener colores brillantes. Aunque,por otro lado, para lograr la reproduccion es necesario previamente estar vivo,lo que a su vez implica un monton de capacidades funcionales relacionadascon el nicho ecologico particular de cada ser vivo. Pero esto en realidad essecundario: por muy adaptado y eficaz que sea un organismo, si no se reproduce,toda su excelencia fısica sera inmediatamente eliminada de la biosfera. La Ley

1Por supuesto, la evolucion es un proceso natural y negarlo es tan estupido como negar lafotosıntesis o la glucolisis. Otra cosa es su explicacion teorica. Como cualquier teorıa cientıfica,la teorıa de la evolucion organica no esta terminada, existen, por el contrario, un buen numerode discusiones abiertas. Vease, por ejemplo [179], [24], [184], [160], [167], [125], [69], [159], [47],[86], [166], [46] etc.

169

170 —— C.-Platonismo y biologıa

de Reproduccion abre la puerta a las innovaciones en los seres vivos, y a partirde ahı se puede esperar casi cualquier cosa. Incluso escribir esto.

Conocimiento abstracto y biologıa547 Los seres vivos son invariablemente definidos como sistemas eficientemen-te adaptados a su entorno. Generalmente no se presta atencion a su naturalezaextravagante, aunque ser extravagante es una caracterıstica muy notable. No-sotros, los seres vivos, somos los unicos objetos extravagantes (conocidos) en eluniverso. Por cierto, esas extravagancias solo podrıan ser el resultado de unaevolucion caprichosa mas que de un diseno inteligente. Evolucion caprichosarestringida por las leyes fısicas que rigen el mundo. Uno de las mas recien-tes extravagancias aparecidas en la biosfera es la conciencia exhibida por lamayorıa de los seres humanos. Seguramente esa sensacion de subjetividad in-dividual es responsable de algunas formas peculiares de interpretar el mundo,como es el caso del esencialismo platonico, la creencia de que las ideas existenindependientemente de la mente que las elabora.

548 Los animales tienen la capacidad de componer representaciones abstrac-tas de su entorno, particularmente de todos aquellos objetos y procesos queintervienen en su supervivencia y reproduccion. Un leopardo, por ejemplo, tie-ne en su cerebro la idea (abstracta) de gacela, sabe que hacer con una gacela(como muy bien saben las gacelas), cualquiera que sea la gacela particular conla que se encuentre. La idea abstracta de gacela y la de cualquier otra cosa,se elabora en el cerebro por medio de diferentes componentes (los llamadosatomos de conocimiento) que no solo sirven para formar la idea de gacela, sinode muchas otras ideas abstractas. Y no solo ideas, las percepciones sensorialestambien son elaboradas en terminos atomicos y abstractos por un proceso si-milar,2 lo que seguramente tambien sirve para filtrar los detalles irrelevantes einutiles de la informacion altamente variable que llega desde el mundo fısico, yası identificar con seguridad suficiente los objetos y procesos (biologicamente)significativos que forman parte de sus nichos ecologicos.

Figura C.1: El perro conoce la logica delmundo fısico. La bola no.

549 Tener la habilidad de componer repre-sentaciones abstractas del mundo es indispen-sable para los animales a fin de sobrevivir yreproducirse, Y un error en este asunto puedecostarles el mas elevado de los precios. Unapelota rodando hacia un precipicio no se de-tendra para evitar caer; pero el perro que co-rre detras de ella sı lo hara; los perros conocengravedad y sus consecuencias. Los animalesinteractuan con su entorno y necesitan conocer sus singularidades, su formapeculiar de ser y evolucionar, es decir, su logica fısica; y aun su logica ma-

2[207], [137].

Conocimiento abstracto y biologıa —— 171

tematica.3

550 Los animales necesitan representaciones abstractas del mundo fısico, loque no es un detalle sin importancia (el mantenimiento y el funcionamientocontinuo de esta representacion interna del mundo gasta hasta el 80% de laenergıa total consumida por un cerebro humano [157].) Debe ser una represen-tacion precisa y eficiente, si no serıa imposible la vida animal. Es a traves de suspropias acciones y experiencias, incluyendo la imitacion e innovation4 como losanimales desarrollan su representacion neurobiologica del mundo en terminossimbolicos y abstractos. El funcionamiento del cortex cerebral depende mas delas conexiones neuronales desarrolladas a traves de la historia de los estımulosrecibidos por cada individuo que de la intervencion de tal o cual gen en tal ocual area de su cerebro [70], [112]. Resulta, pues, indiscutible que:

El conocimiento abstracto construido sobre la accion y experiencia de los indivi-duos es indispensable para la vida animal.

551 Percepcion y cognicion son procesos neuronales constructivos en el queparticipan unidades elementales de conocimiento abstracto. Los procesos tie-nen lugar en zonas diferentes del cerebro, como ahora estamos empezando aconocer con cierto detalle.5 Este modo de funcionamiento parece incompatiblecon el esencialismo platonico. En consecuencia, los conceptos e ideas parecenelaboraciones cerebrales mas que entidades trascendentes con las que tenemosla capacidad de contactar. A traves de nuestras acciones y experiencias cogniti-vas personales (que ademas tienen caracter acumulativo transpersonal a travesde la herencia cultural y de las redes culturales) hemos finalmente desarrolladoel gran sistema cognitivo que llamamos ciencia.

552 La consciencia de las ideas y la capacidad de pensamiento recursivo(quizas una capacidad exclusivamente humana6) podrıan haber promovido elnacimiento y la persistencia del esencialismo platonico. Pero esa forma de pen-sar es simplemente incompatible con la biologıa evolutiva [128] y con la neu-robiologıa. Parece razonable que Platon fuera platonico en tiempos de Platon,pero ciertamente sorprende la persistencia de esa vieja manera de pensar en lacomunidad de matematicos contemporaneos. Aunque, como podrıa esperarse,tambien existe un cierto nivel de desacuerdo sobre este asunto.7 Es notable elhecho de que muchos autores no platonicos, como Wittgenstein, estuviese encontra tanto del infinito actual como de la autorreferencia [126], dos conceptoscapitales en la historia de las matematicas platonicas.

553 El lector puede llegar a sus propias conclusiones sobre las consecuenciasque la anterior crıtica biologica de esencialismo platonico podrıa tener sobrela autorreferencia y el infinito actual. Aunque, evidentemente, tambien puede

3Los primates y los seres humanos podrıan disponer de redes neuronales para tratar con losnumeros [60], [61], [97].

4[108], [80], [161], [201]5[162], [53], [178], [54], [109], [55], [172]6[52], [97]7[120], [114], [121], [13]

172 —— C.-Platonismo y biologıa

mantener que no conoce a traves de redes neuronales y persistir en sus habi-tos platonicos. Pero para aquellos de nosotros que creemos en la naturalezaorganica de nuestro cerebro y en su capacidad de percibir y conocer modeladaa traves de mas de 3600 millones de anos de evolucion organica, el platonismoya no tiene sentido. El infinito actual y la autorreferencia podrıan perder todosu significado fuera del escenario platonico

554 En mi opinion, la hipotesis del infinito actual no es solo inutil paraexplicar el mundo natural, tambien es muy molesta en ciertas disciplinas co-mo la gravedad cuantica o la electrodinamica cuantica (renormalizacion8). Lafısica9 e incluso las mathematicas10 podrıan funcionar sin ella.11 Las cienciasexperimentales como la quımica, la biologıa y la geologıa nunca han estadorelacionadas con el infinito actual. El infinito potencial es suficiente.12 Inclusoel numero de sitios distinguibles en el universo podrıa ser finito [102]. La mate-ria, la energıa o la carga electrica parecen ser entidades discretas con mınimosindivisible; el espacio y el tiempo tambien podrıan ser de naturaleza discreta,como se sugiere en algunas areas de la fısica contemporanea.13

555 Mas alla de la escala de Planck la naturaleza parece perder todo su sentidofısico. Como la autorreferencia y el infinito actual, el espaciotiempo continuopodrıa ser solo un recurso retorico inutil. Finalmente, el lector puede imaginarla enorme simplificacion de las matematicas y la fısica, una vez liberada de lacarga del infinito actual y de la autorreferencia. Tal vez debieramos dar unaoportunidad a la navaja de Ockham.

8[77], [105], [116], [204], [170], [182], [8].9[175], [177]

10[141], [176]11Excepto la aritmetica transfinita y otras areas relacionadas, la mayor parte de las matematicascontemporaneas son compatibles con el infinito potencial, incluyendo conceptos clave comolos de lımite o integral

12Algunos teorıas cosmologicas contemporaneas, como la teorıa de los multiversos [57] o la teorıadel Universo cıclico [185], hacen uso del infinito, pero de una manera bastante imprecisa

13[88], [89] [193], [74], [180], [12] [181], [7], [122], [189], [16], [115], [16], [189]

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Indice alfabetico

a-Intervalo, 64Alef-cero, 12

Como un numero primo, 105Definicion, 96Propiedades, 96

Alef-cero y la potencia del continuo, 105–107Antidiagonal de Cantor, 54Antidiagonales racionales, 56–59Argumento de Faticoni, 92Argumento de la maquina de Hilbert,

125–127Argumento de Thomson, 35Argumento del siguiente racional, 29–31Argumentos inductivos

El siguiente racional, 30Intercambio de numeros, 49La maquina de escribir unaria, 134La maquina de Hilbert, 125S-Disociaciones, 101Variacion del argumento de Cantor de

1874, 46Argumentos Modus Tollens

Antidiagonales racionales, 57Diagonal de Cantor, 55F-Duplicaciones, 106Intercambio de numeros, 51P-Disociaciones, 103Permutacion P , 56S-disociaciones, 101

Aristoteles, 7, 8, 169Aristoteles y las biyecciones, 119Autorreferencia, 26, 161Axioma del Infinito, 3, 4, 11, 99Axioma del Todo y la Parte, 17, 96Axiomas, 95

Benacerraf, P., 33, 34Bergson, H., 153Black, M., 34Bolzano, B.P.J.N., 8

Prueba del infinito actual, 10Brouwer, L.E.J., 11

Los cambios instantaneos son imposibles enel continuum espaciotiempo, 155

Cambios causales, 153

Cambios en CALMs, 159Cambios instantaneos, 155Cambios instantaneos en CALMs, 158Cantor y Godel, 1Cantor, G., 8, 9

ℵo es el cardinal menor infinito, 99Argumento de 1874, 41–43Argumento de 1885, 65Argumento de la diagonal, 54Beitrage, 95Definicion de conjunto, 162Diagonal argument, 55El menor cardinal finito, 12Paradoja del maximo cardinal, 21,

23–24Prueba del infinito actual, 10Pruebas pendientes, 66Teorema 15 A, 117Teorema 16-F, 14Teorema de la interseccion, 111Teoremas sobre alef-cero, 12Totalidad de los cardinales finitos, 12

Capturando una falacia, 75–77Cardinales transfinitos, 13

Sucesiones crecientes, 14Carroll, L., 73Clark, P., 34Completo e incompletable, 59Concepcion no platonica de numero, 86Concepcion platonica de numero, 86Conceptos primitivos, 12, 95Conclusion de la antidiagonal de Cantor, 55Conjunto bien ordenado, 13Conjunto densamente ordenado, 29Conjunto sucesor, 163Conjunto universal, 24Conjuntos autorreferentes, 162Conjuntos difusos, 11Conjuntos finitos

Definicion, 167Propiedades, 167–169

Conjuntos platonicos, 73Conjuntos potencialmente infinitos, 169–170Conjuntos y cajas, 73Continuum espaciotiempo, 86Correspondencias uno a uno, 8

183


Crıtica de Benacerraf de la lampara deThomson, 35

Curvas de Jordan, 130

F-Duplicaciones de un producto infinito, 105P-Disociaciones de potencias, 102S-Disociaciones de conjuntos numerables,

100Dedekind, J.W.R., 8, 10

Definicion de conjunto infinito, 7, 8, 18,20

Prueba del infinito actual, 10Definicion de Dedekind de los conjuntos

infinitos, 10Definicion de Von Neumann de los numeros

naturales, 165Definicion natural de conjunto, 162Definicion no platonica de conjunto, 73Definicion operativa de cardinales finitos, 96Definicion recursiva de los numeros

naturales, 81, 133Definiciones circulares de conjunto, 163Definiciones operacionales, 95Diagonal de Cantor, 54Dicotomıa cero o alef-cero, 112Dicotomıas del espaciotiempo, 147–149Diferencias entre cajas y conjuntos con

infinitos elementos, 74Diogenes Laertius, 7Divisibilidad del espaciotiempo, 149–152Dobzhansky, T., 171Dogson, C., 73

¿Es Alef-cero un numero primo?, 99–105k-Expansiones de numeros racionales, 81El Hotel de Hilbert, 123

Una forma de violar las leyes fısicas,123

El problema del cambio, 1, 153Elementos de Euclides, 95Emparejando racionales con irracionales,

82–86Escala de Planck, 174Escolasticos medievales, 8Esencialismo platonico, 172Espaciotiempo continuo, 1Estado final de la lampara de Thomson,

36–39Estrategia inadmisible, 59Euclides, 17Expansion decimal infinita, 80Extension del argumento de Cantor de 1874,

43–46

Fila D-modular, 56Fila n-modular, 56Filopon, 17

Frege, G., 8Funcion inyectiva, 17

Gauss, C.F., 7Grosseteste, R., 17Guerra de los infinitos, 3

Hegel, H.W.F., 1Hegemonıa del infinito actual, 8, 10Hegemonıa del infinito potencial, 8Hilbert, D., 8Hipotesis del continuum, 15Hodges, W., 59

Inconsistencia de Galileo, 20Inconsistencia de los conjuntos anidados,

114–116Inductive arguments

Redefinitions of a rational interval, 64Infinitismo naif, 10Infinito absoluto, 24Infinito actual, 8Infinito actual y potencial, 8Infinito potencial, 9, 27, 51, 169Intervalos racionales

Primera contradiccion, 63Segunda contradiccion, 64

Inyeccion exhaustiva, 18

Kleene, S., 11Kronecker, L., 11

Lampara de Thomson, 34La maquina de contar, 39La maquina de escribir unaria, 133Ley de la Reproduccion, 171Leyes fundamentales, 95Longitud de una curva, 130Los animales y el conocimiento abstracto,

172, 173Los numeros racionales son y no son

numerables, 46–48, 85Los seres vivos como sistemas informados,

171Lynds, P., 117

Maquina de Hilbert finita, 126Magia infinitista, 77Maxwell, C., 1McTaggart, J.M.E., 1, 153Metafora del perro y la bola, 172

Numero como concepto primitivo, 164Numeros algebraicos, 41Numeros cardinales, 164Numeros expofactoriales, 79Numeros n-expofactoriales, 80

Indice alfabetico ——- 185

Numeros racionalesPrimera contradiccion, 48Segunda contradiccion, 58Tercera contradiccion, 71Cuarta contradiccion, 86

Naturaleza discreta, 3Numeral de un numero, 133

ω El primer ordinal infinito, 14, 145ω-Asimetrıa, 129, 146ω-Asimetrıa de las supertareas, 146ω-Asimetrıa espacial, 129ω-Sucesividad, 118omega-Separacion, 118Objetos ω-ordenados, 15Objetos ω∗-ordenados, 15Obra fundacional de Cantor, 95Ockham, W. of, 17Operadores de conjuntos, 83Orden denso de los numeros racionales, 61Orden inducido por el conjunto sucesor, 166Orden natural, 167Orden natural versus ω-orden, 167Ordinales de la primera clase, 13Ordinales de la segunda clase, 14Ordinales finitos, 13Ordinales transfinitos, 13–15

Primera especie, 14Segunda especie, 14

Ortodoxia infinitista, 82

Paraıso del infinito actual, 18Paraıso infinitista, 8Paradoja de Burali-Forti, 21, 23, 162Paradoja de Cantor, 24, 162Paradoja de Galileo, 17Paradoja de Richard, 2Paradoja de Russell, 26, 162Paradoja del mentiroso, 2Paradojas de la autorreferencia, 2Paradojas de la reflexividad, 17–21Parmenides, 7, 153Parmenides, 1Particion al modo de Cantor, 62Particion infinita de una curva de Jordan,

130–132Particiones ω-ordenadas, 129Particiones en la recta real, 69–71Platon, 7Platonismo y biologıa, 173Poincare, H., 11Potencia del continuum, 13Primer teorema de incompletitud de Godel,

2Problema de la parada de Turing, 27Proclus, 17Pruebas del infinito actual, 10

Qusits (quantum space units, 158Qutits (quantum time units), 158

Racionalidad de la diagonal de Cantor, 55Read, S., 34Regresion infinita, 12Regresion infinita de argumentos, 95Reinterpretacion del argumento de Faticoni,

92Renormalizacion, 86Rimini, G. of, 17, 33

Seres vivos como objetos extravagantes, 171Serie condicionalmente convergente, 109Simplicius, 7Sistema unario de numeracion, 133Soluciones a las paradojas de Zenon, 117Sucesion de cardinales infinitos, 13Sucesion de conjuntos sucesores, 163Sucesion densamente ordenada de cambios,

154Sucesiones α-ordenadas, 14Sucesiones incompletables, 163Sucesiones racionales a partir de un numero

irracional, 81Supertareas

Antidiagonales racionales, 59Capturando una falacia, 75Concepto, 33, 34Contando los numeros naturales, 9Definiendo ℵo , 97Eliminando filas de una tabla, 138Intercambio de numeros, 50La caja y las bolas, 135La maquina de contar, 39La maquina de escribir unaria, 134ω-Asimetrıa, 146permutacion P, 59Supertarea de Gregory, 33Supertarea de la lampara de Thomson,

35Vaciando cajas, 74Y el analisis no estandar, 34Y el infinito no contable, 34

Tabla unaria de los numeros naturales, 137Taylor, R., 34Temporizar procedimientos infinitos, 141Teorıa de supertareas, 34Teorıa informal de conjuntos, 24Teorıas axiomaticas de conjuntos, 26Teorema de la extension finita, 168Teorema de la interseccion vacıa, 111Teorema de la reordenacion de Riemann, 21,

109Teorema de la sucesion de cardinales, 166Teorema de la sucesion de sucesores, 164


Teorema de la union finita, 169Teorema de los conjuntos anidados, 111Teorema de Tarski-Bernstein, 89Teorema de Tarski-Sierpinski, 89Teorema del cambio, 156Teorema del infinito, 169Teorema del n-esimo decimal, 53Teorema del ordenamiento finito 1, 167Teorema del ordenamiento finito 2, 168Teorema del reordenamiento consistente, 110Teorema del reordenamiento de Riemann,

109Teorema del siguiente cardinal, 168Teoremas sobre sustraccion de cardinales, 89Thabit ibn Qurra al-Harani, 17Thomson, J.F., 33, 34Totalidades completas, 9Tragedia del infinito, 3

U-CALM, 159Un intervalo racional menguante, 64Una sospechosa diferencia, 113

Version conjuntista del teorema de Riemann,91

Version fısica del teorema de la interseccionvacıa, 112

Von Neumann, J., 12

Watling, J., 34Wittgenstein, L., 11

Z-puntos y Z*-puntos, 118Z-reloj, 150Zenon de Elea, 7, 153

Leon Antonio - El Fin Del Infinito

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