Inleiding calculus voor Lerarenopleiding Wiskunde

deeltijd

Week 3

Gerard van Alst

Spoorboekje

1. Resumé2. Huiswerk Review of Algebra (17 t/m 28)

Behandel vragen en 25, 26, 27, 28.3. Uitleg over oplossen van vergelijkingen.4. Huiswerk Stewart: behandeling.5. Grafieken van de goniometrische functies.6. Opgave 83.7. Review of Algebra (29 t/m 54)8. Afsluiting

Huiswerk bespreking Review of Algebra

• Opgaven :• Vragen?• Opgave 25 t/m 28

Verhoudingen mooie hoeken

𝜋4

𝜋4

1

1

𝜋3

𝜋611

12

12

Hoek 0

sin 0 ½ ½ ½ 1

cos 1 ½ ½ ½ 0

tan 0 1/3 1 Bestaat niet

De eenheidscirkel en hoeken daarin

1θ

𝑃 (𝑥 , 𝑦)

𝑦

𝑂

𝑥

1

−𝑥

− 𝑦

𝐻𝑜𝑒𝑘 :−Ө

𝐻𝑜𝑒𝑘 :Ө

𝐻𝑜𝑒𝑘 : π+Ө

𝐻𝑜𝑒𝑘 : π −Ө

Verhoudingen willekeurige hoek

𝑟θ

𝑃 (𝑥 , 𝑦)

𝑥

𝑦

𝑂

sin

cos

tan

y

rx

ry

x

𝑟=1θ

(

𝑥

𝑦

𝑂

sin

cos

tan

y projectie y as

x projectie x as

y

x

Formules

• cos(x+y)= cos(x) cos(y) – sin(x) sin(y)• sin(x+y)=sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y)• sin(-x) = - sin(x)• cos(-x) = cos(x)• tan(x) = sin(x) / cos(x)• cot(x) = 1 / tan(x), sec(x) = 1/cos(x), csc(x)=

1/sin(x)• cos2(x) + sin2(x) = 1 (pythagoras)

Voor wie….

• Nog meer wil weten, of nog meer achtergrond zoekt over deze stof, kan kijken in 5VWO wisB-boeken: bijvoorbeeld VWO WisB deel 2 van Getal en Ruimte. Daarin wordt een hoofdstuk gewijd aan deze stof.

Machientjes

Juwelier Parel verkoopt armbanden op maat:Schakeltjes kosten €0,70 per cm en de sluiting kost €1,20.• Dit geeft een lineair verband aan.• Om de prijs uit te rekenen moeten we het volgende

doen:

In formulevorm:• Prijs = 1,20 + 0,70 x aantal cm schakels.Dit wordt ook wel een woordformule genoemd.

Omkering

Maar je kan ook het aantal schakels uitrekenen die je voor een bedrag kan kopen• Daarvoor maak je gebruik van een

omkeermachientje (inverse bewerkingen)

Prijs- 1,20 (sluiting): 0,70Aantal cm schakels

Hoe pas je dat hier toe?• Voorbeeld:• 2 sin2(x) = 1 (opg 67)• x -> sin(x) -> (sin(x))2-> 2 x (sin(x))2 -> 1

• Dus sin(x) = + of - , x = , 1

1kwadraat)x Sin x2

x 1:2+ of - wortel

Sin-inv

Bespreking opgaven 41 t/m 71

• Algemene tips voor het oplossen van dit soort vergelijkingen:1. Kijk of de vergelijking direct op te lossen is

(machientjes): zie vorige sheet.2. Werk zoveel mogelijk toe naar sin(x) en cos(x).3. Werk zoveel mogelijk de breuken weg : bijvoorbeeld

sin(x)/cos(x) = … , dan is sin(x) = … x cos(x).4. Kijk of je iets herkent: bijvoorbeeld sin2(x)+cos2(x)=1

of iets van verdubbelingsformules sin(2x), cos(2x).

Grafieken

Sin(x)

Cos(x)

Toepassing

• Op de volgende dia een toepassing van sinus en cosinus: de daglengte.

• De grafiek is duidelijk een sinus-achtige grafiek.

Tijden van zonsopkomst (dunne kromme links) en zonsondergang (dunne kromme rechts) voor De Bilt. De tijden staan aan de bovenzijde en aan de onderzijde van het diagram; ze zijn opgegeven in onze wintertijd, de Midden-Europese tijd (MET); van 28 maart tot en met 30 oktober 2010 geldt de zomertijd en moet er dus een uur bij geteld worden. De laatste zonsopkomst vindt plaats op 29 december; de vroegste op 17 juni. De vroegste zonsondergang is op 13 december; de laatste op 24 juni. De dikke slingerlijn in het midden geeft het tijdstip waarop de zon precies in het zuiden staat. De horizontale lijnen komen overeen met de datum die aan de linkerzijde van zo'n lijn is aangegeven; de daglente staat aan de rechterzijde van een 'datumlijn'. Bron: KNMI.

Grafieken

Tan(x)

GrafiekenSin(x) en 1/sin(x)=csc(x):

GrafiekenCos(x) en sec(x):

Opgave

• Maak opgave 83. (App. D)• Dit gaat over de Cosinus-regel (Law of

Cosines).• a2 = b2 + c2 -2bc cos(α)• Dus als we de hoek tussen twee zijdes weten en de zijdes ook, dan kunnen we de lengte van de derde zijde uitrekenen. Als de hoek 90 graden is, dan volgt Pythagoras.

Huiswerk

3 Goniometrie deel 2, Appendix

D: Graphs of Trigonometric

Functions

Factoring Boek Appendix D: 73, 75, 76,

83, 84, 85, 87, 88 ,89

Review of Algebra: 29 t/m 54

week Boek

Review of Algebra Huiswerk