Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Inleiding Adaptieve Systemen

De Mandelbrot Fractal

Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard VreeswijkYoutube movie: zoom Mandelbrot

Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Mandelbrot verzameling

eenheidscirkel

cardioïde

Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Mandelbrot en zelf-gelijkvormigheid

• Inzoomen op een rond uitsteeksel en schuiven naar links.

• Het display centrum uitpannen van (-1, 0) naar (-1.31, 0).

Onderwijl (volgens Feigenbaum verhouding δ) vergroten van 0,5 × 0,5 naar 0.12 × 0.12.

De constatering van gelijkvormigheid is

(vooralsnog en voor ons) empirisch!

Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Quasi-zelfgelijkvormigheid

• In het algemeen niet strikt zelf-gelijkvormig, maar quasi zelf-gelijkvormig. Kleinere varianten kunnen gevonden worden op willekeurig kleine schalen.

• Waarom niet strikt zelf-gelijkvormig? (Denk aan samenhang.)

Mandelbrot zoom avi

Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Spoedcursus complexe getallen

• i = √-1. Dus i2 = -1.• (a + bi) + (c + di) = (a+b) +

(c+d)i• (a + bi) ∙ (c + di) = a∙c + a∙di +

bi∙c + bi ∙ di = (ac – bd) + (ad + bc)i

• Complexe getallen kunnen we zien (en behandelen) als vectoren in R2.

• Alternatieve notatie: z = r ∙ ( cos(φ) + cos(φ) i )

Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Definitie Mandelbrot verzameling

• Bekijk de functie f op de complexe getallen f : z → z2 + c

• Deze functie kun je itereren, met als startwaarde nul. Zo krijg je een rij:0, c, c2 + c, (c2+c)2 + c, …

• Voor c = 0: 0, 0, 0, … constante rij, dus convergeert, dus begrenst.

• Voor c = 1: 1, 2, 5, 26, … : niet begrenst.

• Voor c = -1: 0, -1, 0, -1, 0, … alterneert, dus begrenst.

• Voor c = i: i, -1+i, -i, -1+i alterneert, dus begrenst.

Voor welke waarden van c blijft deze rij begrenst?

Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Feiten over de Mandelbrot verzameling• Is volledig bevat in de

2-schijf.• Oppervlakte

1.50659177 (zowel analytisch als door pixel count.)

• Is samenhangend (of Mandelbrot set weg-samenhangend is, is een open probleem).

Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Hoe maak je de Mandelbrot verzameling?

Voor elke pixel (p1, p2) doe:1. Vertaal (p1, p2) naar corresponderend punt c =

(c1, c2) in complexe vlak.2. Test of c vanaf 0 een begrensde rij oplevert

door 50 iteraties te doen.– Lig je er op de Ne iteratie met modulus >2 uit, dan

ligt c zeker buiten de Mandelbrot set. Kleur het pixel wit.

– Ben je na 50 iteraties nog steeds binnen de 2-cirkel, neem dan aan dat c binnen de Mandelbrot set ligt, en kleur het pixel zwart.

Engels: The Escape Time Algorithm

Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Escape Time Algoritme

Test of c vanaf 0 een begrensde rij oplevert door 50 iteraties te doen:

– Lig je er op de Ne iteratie met modulus >2 uit, dan ligt c zeker buiten de Mandelbrot set. Geef het pixel de kleur K[N].

– Blijf je 50 iteraties binnen de 2-cirkel, neem dan aan dat c binnen de Mandelbrot set ligt, en kleur het pixel zwart.

Voorbereiding: definieer een spectrum van 50 kleuren: K[1] = wit, K[2] = geel, …, k[50] = donkerblauw.

Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Escape Time Algoritme

Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Genormaliseerd aantal iteraties

)2ln())||ln(ln())2ln(2ln(Kleurgraad NzN

Idee: betrek de modulus

van zN in de kleurindex,

om stappen tussen

discrete kleurindices

te egaliseren.

Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

De Julia Set

• Bij de Mandelbrot fractal:

1. Je varieert de constante c

2. Vast startpunt voor iteratie (0, 0)

• Bij de Julia fractal:1. Je varieert het

startpunt voor iteratie

2. Vaste constante c

Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Samenvatting fractals

• Turtles klonen: elke gekloonde turtle tekent dezelfde structuur, maar dan kleiner.

• Eén turtle een recursieve tekenopdracht geven: je krijgt een fractal bestaande uit één lijn.

• MRCM / IFS: pas twee of meer lineaire contracties toe.

• “Adaptieve” fractals.• Mandelbrot: bekijk één familie van complexe

functies. Teken gebied waarvoor iteratie begrensd is.

Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Tot ziens!