1 RESONANTIE IN MECHANISCHE EN ELEKTRISCHE SYSTEMEN Door Caspar Boers Onder begeleiding van Bauke Rietveld NATUURKUNDIGPRACTICUM TU DELFT Inleiding InstrumentatieExperiment 6 DELFT,LABORATORIUMVOOR TECHNISCHE NATUURKUNDE 11-1-2012 NATUURKUNDIGPRACTICUM TU DELFT Inleiding InstrumentatieExperiment 6 DELFT,LABORATORIUMVOOR TECHNISCHE NATUURKUNDE 11-1-2012 NATUURKUNDIGPRACTICUM TU DELFT Inleiding InstrumentatieExperiment 6 DELFT,LABORATORIUMVOOR TECHNISCHE NATUURKUNDE 11-1-2012 NATUURKUNDIGPRACTICUM TU DELFT Inleiding InstrumentatieExperiment 6 DELFT,LABORATORIUMVOOR TECHNISCHE NATUURKUNDE 11-1-2012 NATUURKUNDIGPRACTICUM TU DELFT Inleiding InstrumentatieExperiment 6 DELFT,LABORATORIUMVOOR TECHNISCHE NATUURKUNDE 11-1-2012 NATUURKUNDIGPRACTICUM TU DELFT Inleiding InstrumentatieExperiment 6 DELFT,LABORATORIUMVOOR TECHNISCHE NATUURKUNDE 11-1-2012 NATUURKUNDIGPRACTICUM TU DELFT Inleiding InstrumentatieExperiment 6 DELFT,LABORATORIUMVOOR TECHNISCHE NATUURKUNDE 11-1-2012 2 SAMENVATTING In dit onderzoek zijn de dempingstijd in een LCR-circuit en de elasticiteitsmodulus van PVC bepaald.De dempingstijd werd berekend aan de hand van de Q-factor. Deze werd gevonden door de breedte van de resonantiepiek bij verschillende weerstanden te meten. De dempingstijd werd ook direct afgelezen van het scherm van de oscillator, deze waarde werd als referentie gebruikt bij vergelijking met de berekende waarde.Het resultaat van dit deel van het experiment is een dempingstijd bij berekening 8,4ms en bij meting 4ms. Deze resultaten zijn onverenigbaar. De elasticiteitsmodulus van PVC is bepaalt met een vastgeklemde PVC staaf die aan het trillen werd gebracht door een luidspreker. De trillingen van de staaf zijn gedetecteerd door een spoel. De resonantiefrequentie werd gevonden door de frequentie van de luidspreker te variren. Met de resonantiefrequentie kon de elasticiteitsmodulus berekend worden.De gemiddeld gemeten E is dan 3,52109Pa. Macmillan geeft een literatuurwaarde van de elasticiteitsmodulus van PVC van 3,0109Pa. Het resultaat is niet strijdig met de literatuurwaarde. 3 INHOUDSOPGAVE Inleiding5 Theorie5 Ideale resonator 5 Niet-Ideale resonator5 Q-factor5 Dempingstijd6 Resonantie-breedte7 Elasticiteitsmodulus8 Experimentele opzet9 Bepaling van de dempingstijd in een LCR-circuit9 Bepaling van de elasticiteitsmodulus van PVC10 Resultaten11 Bepaling van de dempingstijd in een LCR-circuit11 Bepaling van de elasticiteitsmodulus van PVC12 Discussie13 Conclusie14 Literatuur15 4 INLEIDING Dit experiment is uitgevoerd als onderdeel van het eerstejaarspracticum Inleiding Instrumentatie voor TNW-studenten van het Natuurkundig Practicum van de TU Delft. Het doel van dit experiment is enerzijds het verkrijgen van inzicht in het natuurkundige verschijnsel resonantie en anderzijds te begrijpen door welke invloeden of parameters het gedrag van een resonator wordt benvloed. Hierbij komen zowel elektrische als mechanische systemen aan bod. Bij de metingen wordt gebruik gemaakt van een oscilloscoop en een digitaal instelbare wisselspanningsgenerator. Uiteindelijk zal tijdens dit experiment de dempingstijd in een LCR-circuit en de elasticiteitsmodulus van PVC worden bepaald.De dempingstijd wordt op twee verschillende manieren bepaald, waarna de resultaten van de beide methoden worden vergeleken. De eerste methode maakt gebruik van een berekening aan de hand van de Q-factor. Deze Q-factor wordt gevonden door de breedte van de resonantiepiek bij verschillende weerstanden te meten. Bij de tweede methode wordt de dempingstijd direct afgelezen van het scherm van de oscillator door de inschakelingstijd van een signaal te verminderen met de verzwakkende factor.Voor het bepalen van de elasticiteitsmodulus van PVC is een eenzijdig ingeklemde staaf als mechanische resonator gebruikt. De oscillaties van de staaf zijn gedetecteerd met behulp van een spoel. Eerst wordt de resonantiefrequentie ruw benaderd. Daarna vindt een preciezere bepaling plaats door de aandrijffrequentie voorzichtig te veranderen. Vervolgens zijn de waarden zoals gevonden door Verkerk e.a. gebruikt als referentie voor de met dit experiment bepaalde waarden.Begrippen die een nadere verklaring nodig hebben zoals de Q-factor worden behandeld in de sector Theorie. 5 THEORIE IDEALE RESONATOR In een ideale resonator treedt geen energieverlies op, waardoor deze, eenmaal in beweging gebracht, altijd zal blijven oscilleren. Voor een dergelijke resonator, die alleen in theorie bestaat, geldt dat de som van kinetische en potentiele energie constant is. Dit gegeven ziet er in formulevorm als volgt uit: ,max ,max pot kin pot kinE U U U K = + = =(1) Het principe van de ideale resonator en de bijbehorende bovengenoemde formule zijn van toepassing op zowel mechanische als elektrische systemen. Voor een lineair systeem geldt dat het verband tussen de kracht en de resulterende uitwijking wordt beschreven door de formule: (2) F: Kracht k: Constante u:In het geval van een mechanisch systeem: Uitwijking van een slinger In het geval van een elektrisch systeem:De stroom door een spoel Voor een elektrische resonator geldt dan: 221 12 2potQU CVC= = (3a) 221 12 2kindQU LI Ldt| |= = |\ .(3b) C: Condensator L: Zelfinductie Q:Kwaliteitsfactor (Q-factor) Voor de resonantiefrequentie geldt dan: 0012 2fLCet t = (4) f0: Resonantiefrequentie w0: Baansnelheid NIET-IDEALE RESONATOR In de praktijk zal er altijd sprake zijn van energieverlies, dus is een resonator nooit ideaal. Bij een mechanische resonator, zoals de snaar van een gitaar, treedt energieverlies op doordat de snaar de lucht laat trillen. Bij een elektrische resonator treedt energieverlies op door dissipatie in weerstanden van de verschillende onderdelen van de stroomkring. Door het energieverlies wordt de uitwijking van de trilling die de resonator veroorzaakt steeds kleiner. Dit verschijnsel heet demping. Demping is gedefinieerd als het energieverlies gedurende de tijd van een enkele oscillatie. Q-FACTOR Voor de LC-resonator in dit experiment wordt een weerstand R gebruikt als demping gebruikt. De potentile en kinetische energien zijn dan tijdafhankelijk met frequentie f0. Aangezien het hier om een lineair netwerk gaat, zullen ook de alle spanningen en ladingen tijdafhankelijk zijn met dezelfde frequentie. Er staat ook een spanning over weerstand R, dus zal er ook een deel van de stroom doorheen lopen en zal er sprake zijn van dissipatie. Het vermogen van weerstand R kan worden berekend met de volgende formule: 6 2max12RVPR= (5) Het energieverlies dat optreedt tijdens nenkele oscillatie wordt gegeven door: 2max,012R T RVU P TRf= = (6) De relatieve fractie van de in de resonator opgeslagen energie die in deze tijd verloren gaat is wordt dan gegeven door: 2max, ,002,max 0max112212R T R TLC potVU ULRfU U RCf RCVet = = = = (7) Deze verhouding wordt uitgedrukt in de Q-factor (kwaliteitsfactor): , 02LCR TU RQU Lte= = (8) DEMPINGSTIJD Als de stroombron wordt uitgeschakeld, dan zal de stroom die op dat moment door de stroomkring loopt gedempt worden. Figuur 1. Het tijdsgedrag van de amplitude van een aangedreven resonator, nadat de stroomtoevoer is uitgeschakeld. De amplitude neemt exponentieel af volgens vergelijking (8).Als geldt 0>>RC, dan kan de spanning berekend worden met de volgende formule: ( )120 0( ) costRCV t V e t e = + (9) V0: Initile spanning :Faseconstante De tijd die nodig is om de amplitude van een wisselspanning met factor 1/e te laten afnemen noemt men de dempingstijd (d) en wordt gegeven door: 02dQRCftt= = (10) 7 RESONANTIE-BREEDTE Als een mechanische, niet ideale resonator wordt aangedreven door een bepaalde kracht, dan wordt de maximale amplitude A0 gegeven door: A0

( ) F0m 2

02( )2+ bm

2 (11) F0: Aandrijfkracht b:DempingsconstanteA0:Maximale amplitude In een resonantiecurve wordt de amplitude A0 uitgezet tegen de frequentie fvan de aandrijvende kracht. In de grafiek hieronder is zon resonantiecurve weergegeven. Er is een scherpe piek te zijn bij een frequentie van ongeveer 50 Hz. Bij het benaderen van een bepaalde frequentie wordt de amplitude steeds groter. Figuur 2. De resonantiecurve van een resonator. De piekbreedte is afhankelijk van de demping: een grote demping heeft een brede piek en kleine Q-factor als gevolg.De amplitude is een maat voor de hoeveelheid energie die aanwezig is in een resonator. Een grote amplitude betekent een grote hoeveelheid opgeslagen energie. De frequentie waarbij de resonator de grootste amplitude heeft noemt men de resonantiefrequentie. De resonantiefrequentie kan worden berekend met behulp van de volgende formule: ( )0 00 0200F FAbbmmeee= =| | |\ . (12) De breedte van de piek wordt zo gedefinieerd dat de opgeslagen energie bij twee frequenties fl en fh, -met fl < f0 < fh-, de helft is van die op de resonantiefrequentie. Op zowel fl als op fh geldt dus dat de amplitude 2 keer zo klein als de amplitude op f0. Dit leidt tot het volgende kwantitatieve verband: ( ) 2 2h lbf f fme t t A A = (13) Door formule 8 en formule 13 te combineren wordt de meest bekende representatie van de Q-factor verkregen: 8 0fQf=A (14) ELASTICITEITSMODULUS De elasticiteitsmodulus wordt bepaald door de resonantiefrequentie van een aan n kant ingeklemde staaf te meten. Kwantitatief wordt de elasticiteitsmodulus als volgt gedefinieerd: FSELL= A(15) L:Lengte van de staaf. S:Doorsnede van de staaf. F:Kracht ondervonden in de Lengte richting van de staaf.L:Uitrekking ten gevolge van de kracht.De laagste resonantiefrequentie van een dergelijke staaf wordt gegeven door: 0 0 2d Ef CL = (16) C0:een constante met waarde 0,1616. d:de dikte van de staaf.L:de lengte.E:de elasticiteitsmodulus. :de dichtheid van het materiaal van de staaf. Figuur 3. Een eenzijdig ingeklemde staaf met lengte L, dikte d en breedte w. (Handleiding Natuurkundig Practicum van de Technische Universiteit Delft, 2011) 9 EXPERIMENTELE OPZET BEPALING VAN DE DEMPINGSTIJD IN EEN LCR-CIRCUIT Onderstaande opstelling zal worden gebruikt voor de bepaling van de dempingstijd in een LCR-circuit. Figuur 4. De elektrische LCR resonator. Hierin fungeert de weerstand R beide als koelelement tussen de generator en resonator, en als demping De variabelen worden ingesteld op de volgende waarden: L:6,8mH C: 4,7FR: 330Met behulp van formule 4 kan nu berekend worden dat de resonantiefrequentie f0een waarde zal hebben van 890,3Hz. Deze waarde voor de resonantiefrequentie wordt nagemeten bij een van piek tot piek spanning Vpp met een waarde van 192mV. Tussen de verbindingspunten van V in figuur 4 wordt een oscilloscoop aangesloten. Hierbij gebruikt men de eerste ingang van het apparaat. Verder wordt een Thurlby-Thander TTi TG550 Function Generator in de schakeling opgenomen als stroombron. Deze wordt via de Main Out 50-uitgang aangesloten op de weerstand R. Daarbij moet de generator als volgt worden ingesteld:| Counter:ext AM Attenuator:20dB Amplitude:0,5 DC offset:0 Uit formule 14 volgt dat voor het bepalen van de Q-factor eerst de waarden van f0, fl en fh bekend moten zijn. Deze kunnen worden gemeten met de oscilloscoop. Die moet hiertoe met ingang 2 verbonden worden aan de Main Out 600 van de generator. Vervolgens wordt de oscilloscoop met dezelfde ingang verbonden met de weerstanden van 1k en 3,3k. Het is noodzakelijk dat de instellingen wat betreft de amplitude en de gevoeligheid van de oscilloscoop op de nieuwe situatie worden aangepast. Bij de meetopstelling van met daarin de R van 3,3k wordt behalve de Q-factor ook de dempingstijd bepaald. De amplitude moet hiertoe met een factor 100 verlaagd worden, dit realiseert men door de attenuator op 40dB in te stellen. Verder moet de oscilloscoop trigger opsingle worden ingesteld. De dempingstijd kan volgens formule 10 dan bepaald worden met behulp van de inschakeltijd. Deze kan worden gemeten door de verzwakking uit te schakelen.

10 BEPALING VAN DE ELASTICITEITSMODULUS VAN PVC Als tweede zal in dit experiment de elasticiteitsmodulus van PVC worden bepaald. Hiertoe maakt men gebruik van twee staven van PVC, die alleen wat betreft lengte van elkaar verschillen. In tabel 1 zijn de parameters van de twee PVC staven weergegeven. Tabel 1. De parameters van de twee PVC staven.Staaf #L (cm)w(cm)d(mm) 11705,872,015 21205,872,015 Dezelfde proef wordt achtereenvolgens herhaald voor beide staven.De staaf wordt in een opstelling zoals gellustreerd in figuur 5 geplaatst, waarbij deze zich op een 1mm afstand van de PVC buis dient te bevinden. In de praktijk betekent dit dat de staaf zich zo dichtbij mogelijk bij de PVC buis moet bevinden, maar de buis niet mag aanraken. Spoel voor bewegingsdetectie PVC staaf PVC buis als luchtkolom geleider voor staafaandrijving Aansluitingspunten luidspreker Figuur 5. Opstelling voor het meten van de resonantie van een eenzijdig ingeklemde staaf. Men kan nu de resonantiefrequentie benaderen door voorzichtig met de nagel tegen de buis te tikken. Eerst wordt de resonantiefrequentie benaderd door de staaf te laten schieten met een nagel. Daarna kan de sinusgenerator ingesteld worden op de gevonden frequentie. Nu moet de frequente met kleine stappen gevarieerd worden om erachter te komen welke frequentie de maximale amplitude geeft. Door de op deze manier gevonden resonantiefrequentie en de al bekende gegevens in te vullen in formule 15 kan de elasticiteitsmodulus van PVC worden bepaald. ONZEKERHEIDSFORMULESDe onzekerheden worden berekend met de volgende formules. Voor de onzekerheid in de Q-factor geldt: Voor de onzekerheid in het verschil in frequenties tussen hoog en laag geldt: Voor de onzekerheid in de resonantiefrequentie geldt: ( )022021Q f ffu u uffA| || |= + | | |AA\ .\ . (1) ( ) ( )2 2h lf f fu u uA = + (2) 11 Voor de onzekerheid in de Elasticiteitsmodulus geldt: Voor de onzekerheid in de Dempingstijd geldt: 0 02 22 2 200 0 2 2 3 2 21 1 1 122 2f C q L EC q E E q E q qu u u C u u C uL L L L L E E | | | | ||| | | | | | ||= + + + + ||| ||| ||\ . \ . \ . ||\ . \ . (3) 2 2 2 2 2 0 00 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) (2 ) (4 ) ( 2 ) ( 2 )u f u C u u L u du E Ef L C d= + + + + (4) 02 2 2 2 0 00 0( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )d d Q f du f u f u Q u Qu D DQ f Q ft t t = + = + (5) 12 RESULTATEN BEPALING VAN DE DEMPINGSTIJD IN EEN LCR-CIRCUIT Uit het vorige hoofdstuk werd duidelijk dat de frequentie van de stroom door het circuit volgens berekening met behulp van formule 4 een waarde van 890,3Hz zou moeten hebben. De meting resulteerde in een frequentie van 872,2Hz In tabel 2 zijn de resultaten weergegeven van de metingen van de fl en fh voor de drie verschillende weerstandswaarden. Tabel 2. De frequenties bij een bepaalde Vpp, bij verschillende weerstanden R. R (k)f0 (Hz)fl (Hz) fh (Hz) f (Hz)Vpp (mV) 0,33872,2820,0936,0116,0132 1,00874,1843,7908,464,70132 3,30875,9875,9894,338,1013 In tabel 3 is voor de verschillende weerstanden de Q-factor, zoals berekend met formule 14 aan de hand van de gegevens uit tabel2.Tabel 3. De Q-factor bij de drie gebruikte weerstanden. Grafiek 1. De Q-factor uitgezet tegen de verschillende R-waarden. De dempingstijd wordt bepaald met behulp van de schakeling met de weerstand van 3,3k. Eerst wordt het stroomsignaal verzwakt, daarna wordt het geheel uitgeschakeld. De dempingstijd is de tijd tussen het moment waarop de verzwakking wordt uitgeschakeld en het moment waarop het stroomsignaal weer op maximale sterkte is. Nu wordt op het scherm van de oscilloscoop een inschakeltijd 4ms weergeven. Aan de hand van formule 10 berekend men dan voor de dempingstijd een waarde van 8,4ms. R(k) Q-factor 0,33 7,52 1,00 13,51 3,30 22,99 13 BEPALING VAN DE ELASTICITEITSMODULUS VAN PVC Nadat de resonantiefrequentie van de aluminium staaf met een tik van de vingernagel is benaderd, wordt met behulp van de opstelling met luidspreker de staaf aan het trillen gebracht met deze benaderde frequentie. De frequentie wordt steeds met kleine tussenstappen gevarieerd. De frequentie die de hoogste amplitude geeft een goede benadering van de resonantiefrequentie van de staaf. Op deze manier wordt een resonantiefrequentie van 53,7+0,5Hz gevonden. Door deze waarde in te vullen in formule 15 wordt een elasticiteitsmodulus verkregen van 3,49109Pa. Bij het meten van staaf 2 wordt een resonantiefrequentie van 108,7+0,05Hz gevonden. Dit resulteert een elasticiteitsmodulus van 3,54109Pa. De gemiddeld gemeten E is dan 3,52109Pa. Macmillan geeft een literatuurwaarde van de elasticiteitsmodulus van PVC van 3,0109Pa. 14 DISCUSSIE BEPALING VAN DE DEMPINGSTIJD IN EEN LCR-CIRCUIT De dempingstijd die is berekend met de Q-factor, verkregen op grond van frequentiemetingen verschilt zeer van de gemeten dempingstijden. De reden voor deze grote afwijking is waarschijnlijk te vinden in de meting van de frequenties die zijn gebruikt bij het berekenen van de Q-factor. Met de grote dissipatie die optreedt in de schakeling is geen rekening gehouden in dit experiment. Hierin zal dan ook de voornaamste oorzaak liggen strijdigheid in de metingen.BEPALING VAN DE ELASTICITEITSMODULUS VAN PVC De in dit experiment bepaalde elasticiteitsmodulus is niet strijdig met de literatuurwaarde. De belangrijkste oorzaak voor de kleine afwijking die is opgetreden is de manier waarop de resonantiefrequentie uiteindelijk is bepaald. Er is met kleine stapjes gevarieerd rond de geschatte resonantiefrequentie. Deze stapjes zijn echter relatief nog erg groot, wat heeft geresulteerd in een vrij onnauwkeurige bepaling. 15 CONCLUSIE BEPALING VAN DE DEMPINGSTIJD IN EEN LCR-CIRCUIT Het resultaat van dit deel van het experiment is een dempingstijd bij bereking 8,4ms en bij meting 4ms. Deze resultaten zijn onverenigbaar. BEPALING VAN DE ELASTICITEITSMODULUS VAN PVC Het resultaat van dit deel van het experiment is een elasticiteitsmodulus van 3,52109Pa. Macmillan geeft een literatuurwaarde van de elasticiteitsmodulus van PVC van 3,0109Pa. Dit Resultaat is dus niet strijdig met de literatuurwaarde. 16 LITERATUUR 1.James, A. M. and Lord, M.P., Macmillans Chemical and Physical Data, Macmillan Press, 1992 2.Natuurkundig practicum handleiding, Technische Universiteit Delft, Technische