143

VII. QUANTUMTHEORIE VII.1. Inleidend overzicht in de beginselen van quantumtheorie: wijsgerige problemen

Een samenvatting van The Quantum World van J.C. Polkinghorne

J.C. PolkinghorneF

1F heeft een tegelijk grondige en toegankelijke inleiding tot de

quantumtheorie geschreven en Alisdair RaeF

2F heeft in een kort boek de grote

interpretatievoorstellen voor de quantumtheorie bijeengebracht. In het eerste deel van dit hoofdstuk worden de basiswetten en basismodellen van de

quantumtheorie voorgesteld en worden de wijsgerige opties waartussen moet worden gekozen ingevoerd. Op het eerste gezicht kan men hoofdstuk VII vergelijken met hoofdstuk IV: juist zoals de thermodynamica van onomkeerbare processen de interpretatiesleutel voor de natuur die dit boek gebruikt volstrekt schijnt tegen te spreken, juist zo lijkt de EPR-paradox (zie verder) het bestaan van een veelheid van subsystemen van het heelal onmogelijk te maken en lijkt het realistisch basisbeginsel dat door dit boek wordt aanvaard, zowel als de causale ontologie, expliciet te worden weerlegd door de quantumtheorie. Dit hoofdstuk is dus niet ‘zomaar’ een commentaar op een ‘ander deel van de fysica’. Wel integendeel: de quantumtheorie is zo duidelijk van wijsgerig belang dat met het begrijpen en interpreteren ervan het gehele plan van de aanpak staat of valt.

De verzoening van quantumtheorie en relativiteit, die één van de grote onopgeloste problemen van de hedendaagse natuurkunde is, zal trouwens blijken de empirisch en mathematisch exacte tegenhanger te zijn van een wijsgerige problematiek (hoe een realiteit te denken die verder van ons afligt dan de ruimte-tijd en die haar causale realiteit - op zichzelf volledig onafhankelijk van de waarneming - actualiseert in een causale interactie met experiment en meting). Hoe tegelijk de werkelijkheid invariant te houden ten opzichte van coördinatenstelsels en experimentele interactievormen, en toch de coördinatenstelsels en interactievormen als beslissend begrijpen voor de aspecten van de werkelijkheid die verschijnen?

Dit alles klinkt duister maar wordt duidelijk in wat volgt. 1. 1. Elementaire inleiding in de quantumfeiten

A. Wanneer we het hebben over straling (radiation) bedoelen we alle elektromagnetische golven. Straling heeft twee belangrijke aspecten: de frequentie (het aantal trillingen per seconde op een plaats in de ruimte) en golflengte (de afstand tussen twee golftoppen). In de QT zal frequentie veel belangrijker blijken. De meeste lichamen nemen een deel van de straling op die op de lichamen valt. Een perfect reflecterend lichaam neemt geen straling op. Het andere uiterste is een zwart lichaam (D’Abro 1939F

3F). Een ‘zwart lichaam’ absorbeert alle straling die erop valt,

en straalt die dan volledig uit. Een ruimte waarvan de wanden ‘zwart’ zijn, zal alle straling erin aanwezig absorberen en opnieuw naar binnen uitstralen. De verdeling van die energie (een golfbeweging) kan onderzocht worden. Ze blijkt onafhankelijk van vorm en materiaal van de ‘holte’ (het gebied), en hangt alleen af (thermodynamisch) van de temperatuur. De berekening van die verdeling (Rayleig en Jeans) levert de ‘ultraviolette catastrofe’ op: de golving met hoge frequenties zijn zo overweldigend talrijk dat ze een oneindige energie opleveren. 1 Polkinghorne 1984. 2 Quantum Physics: Illusion or Reality? 3 D’Abro 1939, vol.2, pp.447.

144

Max Planck, om deze gevolgtrekking te voorkomen, postuleert dat stralende energie slechts in eindige pakketten of quanta kan worden geabsorbeerd en uitgezonden. Deze veronderstelling volstaat om de ultraviolette catastrofe te vermijden.F

4 Men weet (zie hoofdstuk III) dat de beginselen van de klassieke mechanica werden

afgeleid (gedeeltelijk) van de verwerping van het perpetuum mobile (een eindeloze beweging die de continue schepping van een eindeloze energie veronderstelt). Het is significant dat het discontinu karakter van energie of van energie-overdracht (een radicaal anti-klassiek inzicht) opnieuw volgt als voorwaarde om een oneindige energieschepping te vermijden. De werkelijkheid toont empirisch die oneindige energie niet. Er is echter meer. De werkelijkheid als werkelijkheid kan die niet tonen omdat op één bepaalde plaats in de ruimte-tijd het aanwezig zijn van die hoeveelheid energie overal het bestaan van geordende systemen en causale transacties zou uitschakelen.

Als energie continu evolueert, en als alle mogelijke frequenties in een begrensde ruimte aanwezig zijn, volgt uit de klassieke verzamelingenleer dat een hyperaftelbare hoeveelheid frequenties interageren. Dit moet noodzakelijk tot de ‘catastrofe’ leiden. Slechts de discontinuïteitsvoorwaarde en een limiet op het aantal mogelijke niveaus kan ze vermijden. Eindigheid impliceert discontinuïteit. Bovendien zal later blijken a) dat h, de maat van het elementair energiepakket uniek bepaald moet zijn en b) constant.

Nergens worden fracties van hv (v = frequentie per seconde; h = constante) gevonden, steeds hv of gehele veelvouden ervan. Terecht stipt Polkinghorne de analogie aan van de Kronecher finitisatie van de wiskunde (die later door het intuïtionisme en ultra-intuïtionisme zal worden geradicaliseerd) met de grondgedachte van Planck: elektromagnetische straling die n keer per seconde oscilleert bestaat uit een geheel aantal energiepakketten (postulaat I) die ieder de grootte hv hebben (postulaat II).

De Planck-voorstellen zijn ad hoc (waarom de energie discontinu zou zijn wordt niet verklaard) en ze beperken zich tot de ‘zwarte lichaamsstraling’ (principieel zou energie zich hier continu en elders discontinu kunnen voordoen, zoals een vloeistof).

B. Na Planck was Einstein de tweede om het discontinu karakter van de energieoverdracht te bewijzen. Ditmaal voor licht. Als licht op een metaal valt, brengt het de elektronen aan de oppervlakte van het metaal in beweging. Als het licht uit golven zou bestaan, zouden de elektronen zoals boeien op een golvende zee bewegen. Of ze zich van het metaal losmaken of niet zou essentieel afhangen van de intensiteit van de beweging (hier: van de straling). Men zou het loskomen niet zien afhangen van de frequenties van de golven. Nu toonden de feiten juist dat beneden een kritische frequentie bij willekeurig grote intensiteit van de straling, geen elektronen loskwamen.F

5 Dit ‘foto-elektrisch' effect kon door Einstein verklaard worden door het licht als een

zwerm fotonen te interpreteren. De atomen worden getroffen door fotonen. De energie waarmee de fotonen individuele elektronen treffen was afhankelijk van de frequentie van het licht en of een elektron werd uitgestoten hing af van de hoeveelheid energie (ook de korrelige kwaliteit van de stof was na Dalton - voor atomen - en na Thomson - voor elektronen - tijdens de 19de eeuw duidelijk geworden).

Terwijl een ontologische deductie van het Planck-resultaat in het verschiet ligt (relatie discontinuïteit - eindigheid voor met zichzelf interagerende energieniveaus), is dat niet het geval voor het foto-elektrisch effect. Een wereld waarin de aantallen losgeslagen elektronen niet zouden afhangen van de frequentie van het licht maar integendeel van de intensiteit lijkt a priori

4 Polkinghorne 1984, p.5. 5 Polkinghorne 1984, pp.6-7.

145

even mogelijk als de reëel bestaande. Hoogstens zou men zich kunnen afvragen of men uit het elektromagnetisch karakter van het licht, de Planck-hypothese, de Einstein-hypothese kan afleiden? Dit is zeker de weg die Einstein zelf gegaan is.

Daarmee ontstond de paradox van het licht dat zeker een discontinue zwerm fotonen moest zijn (foto-elektrisch effect) en dat zeker golf moest zijn (interferentie-effecten die later zullen besproken worden). Dirac (waarvan de Principles of Quantum Mechanics één van de bases vormt voor het tonen van de centraliteit van symmetriebeginselen in de quantummechanica) heeft getoond hoe de toepassing van de quantummechanica op de Maxwell-vergelijkingen een model van licht geeft dat de golf- en partikeleffecten zonder probleem verklaart.F

6F

C. De spectraallijnen van het licht uitgezonden door waterstof komen overeen met

verschillende trillingsfrequenties van het elektromagnetisch veld: Balmer ontdekt in 1885 de naar hem genoemde formule, die door Rydberg herschreven, de frequenties �n als volgt geeft: �n = c R ( 1/22 - 1/n2 ) (waar c de lichtsnelheid is, R een constante en n = 3,4... gehele getallen)F

7 De formule roept om verklaring. Zolang men een continu atoom postuleert, (met de elektronen in de grote kern) zocht men de verklaring van �n in de oscillatie-eigenschappen van de elektronen. Vanaf 1911 bleek het atoom discontinu. Daarmee verdween tegelijk die verklaringskans en bovendien de stabiliteit van het atoom. De rotatie van de elektronen moet ze energie doen verliezen volgens de klassieke natuurkunde (zo dat ze uiteindelijk op de kern neerstorten).

Niels Bohr zag dat als de elektronen alle mogelijke banen rond de kern konden innemen, een instorting onvermijdelijk was. Dus stelde hij voor dat elektronen a) slechts cirkelvormige banen konden beschrijven, b) waarvan de hoekmomenten één van de discrete waarden nh heeft (h = h/2 � , waar 2 � de angulaire afstand meet beschreven in de volledige cyclus van een vibratie).

Het is belangrijk te wijzen hoeveel aspecten van deze formule met invariantie en symmetrie te maken hebben. a) oppervlakkig: de banen (in eerste benadering - dit zal niet waar blijken!) hebben cirkelsymmetrie; b) de hele hypothese is - gegeven enkele wetten van de klassieke natuurkunde - voorwaarde voor stabiliteit van microsystemen: de atomen; c) vibratie is een symmetrische beweging. De discontinuïteit, voorwaarde van stabiliteit, moduleert de ‘banen’ (= hoeksymmetrieën). De energieën van de banen blijken te voldoen En = -me4 / 2h2 . 1 / n2 (m: massa van elektron; e = lading van elektron) De n herinnert aan de Balmer-formule. Als een elektron van een baan n naar een baan n = 2 overgaat is het energieverlies gelijk aan me4 / 2h2 . ( 1 / 22 - 1 / n2 ) Als � de angulaire frequentie is, blijkt de frequentie van de foton die overeenkomt met het

6 Polkinghorne 1984, p.7. 7 Polkinghorne 1984, pp.8-9.

146

energieverlies gelijk aan �n = me4 / 2h3 . ( 1 / 22 - 1 / n2 ) De Rydberg-constante kon berekend worden, de Balmer-formule was verklaard, de stabiliteit van het atoom was gewaarborgd, en de discontinuïteit van de energie toonde haar gevolgen. Wijsgerig kan men zich afvragen of er EEN deductie van de energie-discontinuïteit bestaat vanuit het causaliteitsbegrip, of vanuit het systeembegrip of vanuit de synthese van de twee. De Bohr-hypothesen waren vruchtbare ad hoc veronderstellingen die bovendien werden bijgevoegd bij een theorie die ze eigenlijk uitsloot. Dus mocht verder worden gegaan.

D. In de klassieke natuurkunde volgt de discontinuïteit (waar ze voorkomt) uit de golftheorie. De noodzaak om een geheel aantal halve golven in een interval in te passen verklaart waarom gehele getallen nodig zijn. Louis De Broglie leidt het golfkarakter van de stof af uit symmetrie-overwegingen betreffende ruimte en tijd.F

8F

Plancks formule maakt door E = hv, energie proportioneel aan frequentie (d.w.z. aantal trillingen per tijdseenheid). Door speciale relativiteit komen energie en momentum (alle twee vier-vectoren) formeel overeen: De Broglie maakt momentum omgekeerd evenredig met golflengte (of proportioneel aan inverse van de golflengte). D.w.z.: aantal trillingen per ruimte-eenheid. Dit geeft p = h/λ (p = momentum, λ = golflengte). Door deze twee vergelijkingen wordt een golf (gekarakteriseerd door frequentie en golflengte) geassocieerd aan een partikel (gekarakteriseerd door energie en momentum). De twee vergelijkingen brengen de partikel- en de golfeigenschappen met elkaar in symmetrisch verband.

Later toont elektrondiffractie dat deze formele veronderstelling ook empirisch waar blijkt. Zuiver kwalitatief blijkt de stabiliteit (1) van de stof afleidbaar uit haar dubbel golf en partikel (2) karakter. Bovendien blijkt dezelfde stabiliteit en discontinuïteit (3) te volgen uit dat dubbel karakter, dat zelf eigenlijk (geheel of gedeeltelijk) volgt uit de ruimte-tijd symmetrie (4) van de relativiteit.

Dit begripsnetwerk is buitengewoon belangrijk. Het ligt tegelijk zeer dichtbij de fundamenten van de werkelijkheid en bij de vruchtbaarste theorie: terwijl de quantumtheorie in enkele opzichten breekt met de klassieke inspiratie is ze bij De Broglie en Schrödinger er de voortzetting van. Dit is voor ons doel belangrijk.

E. Juist zoals het elektromagnetisme de inspiratie van de relativiteit is, juist zo is de optica de inspiratie van de QT. De stralen van de meetkundige optica zijn goede benaderingen tot golffronten (voor licht met korte golflengte ten opzichte van de afmetingen van de systemen) en lijken op de banen van de klassieke mechanica. De Schrödinger-vergelijking is uit deze analogie met de optica ontstaan.F

9F Dit toont waarom we een deductie van de klassieke optica

hebben ingesloten. Als men aanneemt dat de twee De Broglie-wetten gelden en een bewegende golf zich in

de richting x verplaatst dan is haar golffunctie (afhankelijk van plaats x en tijd t) ψ(x,t) = e i ( kx - �t )

8 Polkinghorne 1984, p.84. 9 Polkinghorne 1984, p.13.

147

i = �-1, e is de basis van de Neperiaanse logaritmen, de hoekfrequentie � = 2�v (zie de eerste vergelijking van De Broglie) en het golfgetal k = 2�/λ .F

10 In de vergelijking is de golffunctie dus recht evenredig met het verschil tussen kx en �t. De plaats x wordt verbonden met het golfgetal, de tijd t met de hoekfrequentie. D.w.z.: de heterogene combinaties worden gevormd. Het verschil tussen die twee is a.h.w. een schatting van het verschil tussen partieel karakter en golfkarakter. Nadat dit in detail afgeleid zal zijn moet nog afgeleid worden 1) waarom i moet verschijnen en 2) waarom e een rol speelt. Men leidt af (hoe?) dat ih �ψ / �t = Eψ en -ih�ψ / �x = pψ De E en p geassocieerd met de golf ψ zijn de eigenwaarden van de differentiële operatoren ih�/�t en -ih�/�x. Naar analogie met de De Broglie-aanpak kan men in het algemeen (dit moet worden afgeleid) E = ih�/�t. en px = -ih�/�x stellen. Als men drie dimensies tegelijk neemt, wordt p = -ih∇ (waar ∇ de vector gradiënt is, zie hoofdstuk VI). De klassieke energie E is de som van kinetische en potentiële energie. Voor een partikel met massa m bewegend in een potentiaal V wordt dit E = p2 / 2 m + V Vermits Eψ = ih ... kan men dit in de uitdrukking voor energie invoeren (de differentiële operatoren werken op de golffunctie ψ). Dit geeft de Schrödinger-vergelijking. ih �ψ / �t = ( -ih2∇2 / 2m + V(x) ) ψ F

11F

Het afleiden van de Schrödinger-vergelijking is even centraal voor de wijsbegeerte van de QM als die van de Lorentz-vergelijkingen of de Einstein-veldvergelijkingen in de relativiteit. Met deze redenering volgt ze uit de klassieke uitdrukking voor energie, uit de quantumtheoretische waarden voor E en p, die zelf op basis van de De Broglie-vergelijkingen worden begrepen.

F. De verdere ontwikkeling van de QT bestaat in de volledig discontinue matrixuitdrukking ervan door Heisenberg (die slechts inputs en outputs in interacties noteert). Deze aanpak is, als wijsgerige inspiratie, volledig onrealistisch (alhoewel de latere Heisenberg er een structuralistisch-realistische interpretatie aan geeft) en indeterministisch. Daarom staat hij in radicale tegenstrijd met die van Schrödinger. Als dan Dirac toont dat de twee gelijkwaardig zijn (in welke zin moet nog blijken) dan lijkt dit wel een bevestiging van de irrelevantie van de realisme-strijd. Dat dit niet zo was zal later nog blijken. Integendeel zal onze tekst door zijn

10 Polkinghorne 1984, p.84. 11 Polkinghorne 1984, p.85.

148

commentaar beproeven te tonen hoe het realisme triomfeert in de meerdere lagen visie van de QT.

Dat de golven die De Broglie en Schrödinger vanuit de optica hadden veralgemeend voor de ganse stof elektromagnetisme eenheid waarschijnlijkheidsgolven doen zijn (die dus een speciale interpretatie eisen) is te danken aan Max Born.

Na de essentiële stappen (Planck, Einstein, Bohr, De Broglie, Schrödinger, Heisenberg, Born) te hebben bekeken, is het nu tijd om het QT-formalisme en zijn relatie met een ‘verstaanbare werkelijkheid’ na te gaan. 1.2 Vectoren en operatoren

Een ‘toestand’ van een QT-systeem is niet - zoals bij een klassiek systeem - de concrete waarden van alle veranderlijken die nodig zijn om dat systeem volledig te bepalen (waar het begrip ‘bepalen’ geen epistemische maar een ontologische betekenis mag hebben) maar de meest volledige reeks van concrete waarden die de ‘relevante’ veranderlijken kunnen aannemen zonder contradictie (als deze contradictie niet ontologisch bepaald kan worden, kan het ‘toestandsbegrip’ in de QT niet objectief bepaald worden). Dat de ‘toestandsbepaling’ verschilt, volgt uit het superpositiebeginsel.

Als een systeem verschillende waarden van een veranderlijke kan aannemen (laten we als voorbeeld nemen twee: + en -) dan heeft het een ‘superpositie’ van waarden als het in een toestand is waar het met waarschijnlijkheid p1 + aanneemt en met waarschijnlijkheid p2, - (p1 en p2 hoeven niet gelijk te zijn aan zero of aan 1).

QT-systemen hebben naast zuivere toestanden (1 of 0-waarschijnlijkheid voor alle waarden van alle veranderlijken) ook superpositietoestanden. Essentieel is dat de superpositietoestanden niet toestanden zijn die intermediaire waarden aannemen tussen de twee extremen + en - maar wel toestanden die de extreme waarden met verschillende waarschijnlijkheden vertonen.

De reden waarom QT-toestanden soms superposities zijn volgt uit het feit dat alle stof en alle straling tegelijk uit golven en uit partikels bestaat. Als voorbeeld kan licht genomen worden. Licht is een transversale golf die golft in een richting die loodrecht op haar bewegingsrichting staat. Als x de bewegingsrichting is, dan kan licht golven in de z en y richting en in combinaties van de twee. Als het licht op een kristal valt, dat polariseert wordt alleen een proportie van het licht toegelaten dat bestaat uit de golfcomponent die loodrecht staat op de polarisatie-as van het licht (de proportie zal sin2a, als a de hoek is van de polarisatie-as van het licht met die van het kristal). Licht kan ook gezien worden als een groep fotonen. Laat het licht zo verzwakt worden dat maar een foton het kristal bereikt. Fracties van fotonen bestaan niet. Het feit dat het licht zich in een toestand bevindt waarin slechts sin2a van het licht doorgelaten wordt, wordt hier weerspiegeld door het feit dat soms het foton doorgaat en soms tegengehouden wordt (na n (n groot) fotonen zal sin2a n doorgelaten zijn). Bovendien zal de polarisatie toestand van een uniek foton discontinu gewijzigd zijn in functie van de optische as van het kristal.

Naast de deductie van de Schrödinger-vergelijking is een hoofdzaak van de wijsbegeerte van de QT de deductie van het superpositiebeginsel. Waarom moeten alle microsystemen in de werkelijkheid door superpositietoestanden, en niet door zuivere toestanden gekenmerkt zijn? Indirect volgt dit uit het feit dat ze tegelijk golven en partikels zijn (a) en dit weer uit het feit dat ze in voortdurende beweging toch stabiel zijn (b) (zie hierboven!) (Superpositie van golven die elkaar kunnen versterken of annuleren is volledig normaal en volgt uit hun bepaling. De vectoren

149

van QT komen met Schrödingers golffuncties overeen).

Kan er echter ook een directe afleiding van het systeem, de causaliteit, de zelfverklaring en het worden bestaan? Op het eerste gezicht is dit contradictorisch met de concreetheid, de systematiciteit en de causaliteit van de werkelijkheid. De paradox dat dit tegelijk een gevolg is van stabiliteit (= een vorm van invariantie en symmetrie) stelt deze tekst voor een zeer moeilijk probleem.

Dit blijft hier onopgelost. Het wordt nog eens acuut uitgedrukt door het feit dat dezelfde vector die klassiek geïntroduceerd is om de invariantie onder lineaire transformaties van de natuur uit te drukken, ook de adequate uitdrukking vormen van het superpositiebeginsel. Neem een ruimte S. Laat ze n dimensioneel zijn (n = 1, 2, ...∞). In iedere dimensie kan een eenheidsvector (gerichte grootheid) bepaald worden. Om het even welke vector uit de oorsprong kan uitgedrukt worden als een lineaire combinatie van de eenheidsvectoren.F

12 Y = x1 + x2 + …

Voor een quantumsysteem zijn de dimensies de onafhankelijke mogelijke toestanden waarin het systeem zich kan bevinden. Dit sluit in dat de quantumruimte niet de bewegingsruimte is, maar de ‘ruimte der kwaliteiten’. Een beweging in de quantumruimte is een ‘kwalitatieve verandering’. Een overgaan van een coördinatenstelsel naar een ander is hier een overgaan van een systeem basismogelijkheden naar een ander systeem basismogelijkheden. Er bestaat geen enkele reden om te veronderstellen dat een systeem invariant zou zijn onder zulke transformatie. Als er QT relativiteitsbeginselen bestaan zullen ze dus van een heel andere natuur zijn dan de relativiteitsbeginselen in de bewegingsruimte. Tweedimensionale voorbeelden zijn polarisatie van fotonen en spin van elektronen. Andere voorbeelden eisen een oneindig aantal mogelijkheden. De coëfficiënten die een vector uit de eenheidsvectoren opbouwen zijn in QT in het algemeen complexe getallen. Waarom het complexe getallen zijn volgt uit de rol die complexe getallen spelen in de uitdrukking van golfvergelijkingen (en voor ons belangrijk: van golfinvarianties).

Tot nu toe werden de nodige begrippen ingevoerd om een systeem dat voorbereid werd om zich in een bepaalde toestand te bevinden, te beschrijven door een vector in een vectorruimte. Het typisch probleem is: de superpositie van toestanden. Een tweede stap is nodig: het beschrijven van de waarneming van de grootheden of observabelen (plaats, momentum, energie, enz...). Een tweede fundamentele eigenschap van de QT is de voorstelling van waarnemingen door operatoren in een vectorruimte. Een operator is een bewerking die een vector in een andere vector omzet. Dat men daardoor waarnemingen uitdrukt komt overeen met 1. in het algemeen is een waarneming een wijziging van het waargenomene; 2. deze wijziging is echter uitdrukbaar als een proces in de werkelijke wereld en 3. zet het waargenomene om in iets dat soortgelijk is aan wat het is zonder waarneming (b.v. polariseren als meten van de polarisatie van het resultaat). Men gaat ervan uit dat iedere waarneming een meting is en daarom een reëel getal als resultaat geeft. Dit wordt uitgedrukt door: Of = ar

12 Polkinghorne 1984, p.22.

150(waar f een vector, O een operator, a een eigenwaarde die een reëel getal is en r een eigenvector). Dit is een algemener uitdrukking dan degene die gewoonlijk gebruikt wordt.

Dit is een extra postulaat: waarnemingen zouden operatoren kunnen zijn zonder dat ze

noodzakelijk reële eigenwaarden zouden moeten opleveren (net zoals de Cartesiaanse coördinaten van de Hilbert-ruimte en de lineaire operatoren erop een sterke additiviteit en lokaal-kwalitatieve onafhankelijkheid uitdrukken die niet logisch noodzakelijk is). Zoals de toestandsvectoren lineair combineren, zo eist men ook dat een operator: O : V1 → V2, lineair zal zijn zodat Als O, V1 in V'1 en V2 in V'2 omzet, dan zet O ook V1 + V2 in V'1 + V'2 om en lV1 in lV'1.

Operatoren hoeven niet lineair te zijn, en de lineariteit van de toestandsvectoren eist niet logisch de lineariteit van de operatoren. Men kan zich wel afvragen of de motieven die de lineariteit van de toestandswetten rechtvaardigen, ook de lineariteit van de vectoren rechtvaardigen. In feite eist een deductie van de QT het bewijs ervoor 1) dat de toestanden door vectoren moeten uitgedrukt worden (samengesteld uit min of meer veralgemeende getallen, en voorzien van min of meer klassieke normen); 2) dat de combinaties [niet lineaire toestandsruimte + niet lineaire operatorenruimte (zelf oneindig divers); niet lineaire toestandsruimte + lineaire operatorenruimte; lineaire toestandsruimte + niet lineaire operatorenruimte] om ontologische redenen niet reëel zijn (men denkt immers op het eerste gezicht dat het slechts eenvoudigheidsoplossingen zijn. In feite moeten de oplossingen volgen uit de golftheorie).

Als een operator O een vector V omzet in een veelvoud van zichzelf, dan, als O: V → vV, is V een eigenvector van O met eigenwaarde v. De eigenvectoren komen overeen met toestanden waarin de observeerbare grootheden één volledig bepaalde waarde heeft. Het hele formalisme drukt uit dat de basis van de superpositie gevormd blijft door klassieke toestanden (b.v. als een elektron een specifiek momentum p heeft, en niet een interval van momenta, dan is die toestand een eigentoestand van de momentum operator met eigenwaarde p.). Om zeker te zijn dat de eigenwaarden steeds reële getallen zijn, moeten de operatoren Hermiteaanse operatoren zijn. Om de Hermiteaanse operatoren te bepalen een korte voorbereiding:

Vectoren |vi > vormen een lineaire vectorruimte als iedere lineaire combinatie ervan ook in de ruimte ligt: (d.w.z. ∑i ci ⎪vi> behoort ook tot de ruimte). De ci zijn complexe getallen. De duale ruimte van bra-vectoren bestaat uit vectoren ∑i ci ⎪vi> → ∑i ci * <vi⎪ waar * de complexe conjugatie is. (Als c = x + iy, dan c* = x - iy). Het scalair product <v'| v> bestaat voor 2 bra en ket-vectoren. Het is een complex getal met de eigenschap <v | v'> = <v' | v>*. Daaruit volgt dat <v|v> een reëel getal is. Want inderdaad: de bepaling van reëel getal is <v | v> = <v | v>*. Dit reëel getal zal het kwadraat van de norm van v zijn. De lengten van vectoren hebben geen betekenis: dezelfde fysische toestand wordt uitgedrukt door |v> en c|v>.

De rechtvaardiging van dit formalisme komt nog verder aan de orde bij de bespreking

151

van Dirac. Een Hermiteaanse operator wordt als volgt bepaald: a) <a|A|b> is een matrix element, een operator A kan door inbedding in een bra-ketscalair product tot een matrix herleid worden. b) de Hermiteaans geconfigureerde A+ van een operator A heeft voor zijn matrixelementen de eigenschap <a|A+|b> = <b|A|a*>. D.w.z. de matrix elementen van een Hermiteaans geconjugeerde zijn: de getransposeerde complexe conjugaties van de matrixelementen van A. c) Als A=A+, is A Hermiteaans.

De eigenwaarden van Hermiteaanse operatoren zijn reëel. De eis dat de operatoren niet alleen lineair, maar ook Hermiteaans zouden zijn volgt dus uit het feit dat de operatoren in een werkelijkheid gestructureerd door complexe getallen slechts reële getallen kunnen meten.

Dit zou het Hermiteaans karakter moeten opleggen. Tegelijk legt dit een niet Kantiaans Kantisme op, de werkelijkheid heeft noodzakelijk een andere structuur dan de meetbare ervaring, (complexe en reële getallen), maar de twee structuren zijn uit elkaar afleidbaar.

Uit het feit dat waarneembare grootheden met operatoren overeenkomen, volgt dat niet alle waarneembare grootheden voor één zelfde toestand kunnen worden waargenomen. De operator O1 kan inderdaad de vector waarop hij ingrijpt zo veranderd hebben dat de operator O2 er niet meer op kan worden toegepast. Anders gezegd: de toestand is niet tegelijkertijd een eigentoestand van O1 en O2. Als voor een toestand t de twee operatoren O1 en O2 hetzij tegelijkertijd, hetzij na elkaar kunnen worden toegepast, en ze wijzigen de waarde van de observabele niet, dan is de orde van toepassing willekeurig. Omgekeerd, als de orde van toepassing willekeurig is, dan zullen de operaties het geobserveerde systeem niet hebben gewijzigd. Dit stelt ons, als veralgemening van QT, voor een metafysisch probleem: voor welke werkelijkheid en welke waarneming (beter: meting - te bepalen) geldt dat er noodzakelijke systemen en grootheden zijn waarvoor de operatoren niet commutatief zijn? Meer specifiek: kan men aantonen dat de QT-se niet commutatieve operatoren met noodzakelijkheid tot de klassen der niet commutatoren behoren? Uit de golftheorie kan direct (hoe?) worden afgeleid dat een momentum p dat door de differentiële operator -ihd/dx wordt voorgesteld niet commuteert met de plaats operator x. 1.3. De Schrödinger-vergelijking en het twee spleten experiment

De statica van de QT is uiteengezet in het voorafgaande. De problemen die door een metafysische deductie van de QT moeten worden opgelost, zijn daarmee gesteld. Nu moet de dynamiek van de QT worden beschreven. Men kan de ontwikkelingswetten beschouwen als wetten voor verandering van toestanden, of als wetten voor verandering van veranderlijken. Zelfs al zouden Schrödinger (die het eerste doet) en Heisenberg (die het tweede doet) gelijkwaardig zijn, dan toch is het eerste perspectief voor de realist het fundamentele.

De dynamische Schrödinger-vergelijking is (dit is het derde voornaam punt voor deductie): -ih ∂ψ / ∂t = H ⎥ �� ⎥ �� stelt de toestand vector en tegelijk de golffunctie voor; de H is de Hamiltoniaan die de observabele van de energie voorstelt. De vergelijking is geen tweedegraads differentiaalvergelijking, maar een eerstegraads

152

vergelijking. Waarom dit het geval is (het moet verband houden met de onvolledige beschouwing van de toestand die de QT noodzakelijk maakt) eist verklaring.

De continue en deterministische Schrödinger-vergelijking beschrijft echter niet de interactie tussen observatie-instrumenten en quantumsystemen in superpositie; en evenmin de evolutie van macroscopische instrumenten. Zolang deze twee niet uit de QT kunnen worden afgeleid, en moeten worden gepostuleerd, is de QT onvolledig en intern gespleten. Men heeft de EPR niet nodig om dat te weten.

Het probleem is het volgende: een elektron is in een superpositie-toestand als er n kansen zijn om het op S1, en n-n kansen om het niet op S1 te vinden (dit sluit in dat over een bepaalde tijd het verschillende malen hier en daar is). Eens men het echter gemeten heeft, zullen volgende metingen het op dezelfde plaats (of op een baan uit die plaats) vinden. De superpositie is opgelost. Van een superpositie van eigentoestanden is het in een eigentoestand gekomen. De ogenblikkelijke transformatie die de meting oplegt wordt niet volgens een complexe Schrödinger-vergelijking uitgevoerd (het is de zgn. ‘instorting van het golfpakket’).

Waarom zou de werkelijkheid op een bepaalde grootteorde die eigenschap moeten vertonen? Deze vraag behandelt de QT realistisch. Niet alleen de wijsgerige basispremissen van dit boek doen zo spreken: het is ook de interpretatie die de practici van de QT zelf feitelijk gebruiken (alhoewel ze de consequenties van die praktijk niet zelf doordenken).

I). R. FeynmanF

13F heeft een poging gedaan om de overgang van superpositie naar vaste

waarden begrijpelijk te maken. Ze wordt in wat volgt uiteengezet: Feynman ontleedt het twee spleten experiment

Een machinegeweer schiet kogels in de richting van een scherm. Het geweer vuurt de kogels in een tamelijk brede hoek. In het scherm zijn twee spleten. Op een muurtje achter het scherm is een detector aangebracht: bijvoorbeeld een bak met zand. Na een bepaalde tijd kunnen we gaan zien hoeveel kogels in de bak zitten. Stel dat de detector op een plaats x stond, dan zal het aantal kogels in het bakje in x gedeeld door het totaal aantal kogels die de muur raakt de waarschijnlijkheid zijn dat een afgevuurde kogel in x arriveert. 1) Als de bron kogels in alle richtingen uitstuwt, is de distributie op de detector 13 The Feynman Lectures on Physics Volume III, hoofdstukken 1 en 3.

153

wanneer A gesloten is en B open wanneer B gesloten is en A open. Voor specifiek gekozen afstanden van A en B en grootte van opening wordt dit wanneer beide spleten open zijn. Vermits de kogels discontinue massa's stof zijn, raken ze de detector discontinu. als de bron golven uitzendt (akoestische of licht) zullen ze interfereren (elkaar versterken en

verzwakken) en het beeld zal er als volgt uitzien wanneer beide spleten open zijn: De detector wordt niet discontinu, maar continu geraakt. Wanneer één van de spleten open is, A of B, krijgen we hetzelfde patroon als wanneer één van de spleten open is met het eerste experiment. 3) Wanneer de bron elektronen uitzendt (quantum systemen) wordt de detector staccato getroffen. Dus zijn het deeltjes. Maar als men de frequentie van impact over een tijd uitzet blijkt interferentie te bestaan, dus zijn het golven. Als er slechts 1 spleet is, is er geen interferentie. Dus geen golfpatroon. Het geobserveerde patroon kan niet veroorzaakt zijn door elektronen die ofwel alleen door spleet A, ofwel alleen door spleet B de detector bereiken. Als men de spleten verlicht om na te gaan langs welke spleet een elektron de detector bereikt, wordt de golf interferentie vermeld en geen golfpatroon gevormd. Men kan dus (volgt deze conclusie wel?) niet zeggen dat elektronen vaste paden beschrijven. Daarom kan men ook niet zeggen van twee gelijkaardige elektronen dat ze numeriek dezelfde zijn of niet. Ik zou eerder beweren dat het niet zinloos is dat te zeggen, maar dat de beweringen niet kunnen worden getest.

154

Een golffunctie kan door het voor elkaar uitwisselen van twee gelijkaardige partikels ofwel onveranderd blijven (bosonen), ofwel negatief worden (fermionen). Elektronen zijn fermionen, fotonen bosonen. Daarom (dit moet worden verklaard) gehoorzamen elektronen aan het uitsluitingsbeginsel van Wolfgang Pauli (geen twee elektronen kunnen exact in dezelfde quantumtoestand zijn). Dit Pauli-beginsel is waar, maar volgt niet uit de rest van QT. Wijsgerig lijkt het op Leibniz' identiteit der ononderscheidbaren. Echter dit is slechts een oppervlakkige analogie omdat dit beginsel, als het waar was, ook voor bosonen zou moeten gelden. Ofwel is Leibniz' beginsel onwaar, ofwel moet getoond worden waarom het waar is onder restrictie. Als men een golffunctie ψ(x1x2) heeft met twee identische partikels op twee plaatsen x1 en x2, dan moeten ψ(x1x2) en ψ(x2x1) dezelfde fysische toestand beschrijven (een gevolg van x1 ≈ x2). Vermits toestanden door stralen worden voorgesteld kan men zeggen dat ψ(x2x1) = c ψ(x1x2) (c een complex getal). Door x2 en x1 nog eens te permuteren bekomt men c2 ψ(x1x2) = ψ(x1x2) Dus is l2 = 1. Daaruit volgt dat l = +1 of -1 (bosonen of fermionen). Een symmetrie. Terugkerend naar het dubbele spleet experiment laat ψ1 de golffunctie zijn van een plaats op de detector waar een elektron valt door spleet A gekomen, en ψ2 analoog voor spleet B. De tweede macht van de amplitude van ψ1 en ψ2 zijn de waarschijnlijkheden. (Opnieuw moeten we uit de QT en de waarschijnlijkheidsrekening afleiden waarom waarschijnlijkheden kwadraten van amplituden zijn. Op het eerste gezicht moeten ze kwadraten zijn om niet negatief te zijn, amplituden (om reëel en niet complex te zijn, en af te hangen van complexe getallen door de modulus ⎪z⎪ = √(x2+y2). Alles blijkt af te hangen van het feit dat complexe getallen nodig zijn. Dit werd nog niet verklaard. Om een partikel door spleet A (resp. B) te zien komen: P1 = ⎪ψ1⎪2 en P2 = ⎪ψ2⎪2

Als de twee spleten open zijn, dan is P12 = ⎪ψ1+ψ2⎪2 Die waarde voor P12 drukt uit dat interferentie bestaat, en dat ieder elektron door beide spleten moet gaan (als gevolg van interferentie van de golffuncties). Deze complexe weg kan (men) door de geometrische vorm van het scherm, door niet klassieke bewegingswetten voor elektronen, door de reactie van de stootimpact, of door velden tussen detector en scherm en door interacties tussen elektronen trachten te verklaren. Geen van de verklaringen slaagt tot nu toe. R. FeynmanF

14F poogt de volgende verklaring te geven: voor iedere plaats op de detector

kan men de verzameling van alle mogelijke paden die het elektron van spleet A tot die plaats kan volgen, beschouwen. Die paden zijn klassiek maar verschillen in complexiteit en snelheid. Men kan ze karakteriseren door de actie die het elektron heeft op dat pad. De actie, een klassieke

14 The Feynman Lectures on Physics Volume III. Polkinghorne 1984, pp.41-42.

155

kwantiteit, wordt als A / h gemeten. De amplitude van een pad is, volgens Feynman exp(i A / h). Als men alle amplituden samentelt krijgt men identisch dezelfde waarschijnlijkheidsamplitude als diegene die men bekomt door de Schrödinger-vergelijking op te lossen. Alhoewel deze berekening over ‘alle mogelijke paden’ zeer ingewikkeld is, en de verzameling in kwestie moeilijk natuurlijk bepaald kan worden, heeft de interpretatie twee voordelen: 1) de waarschijnlijkheden interfereren dikwijls negatief. Voor grote systemen (A groot in termen van h) zijn de enige paden die het resultaat werkelijk beïnvloeden, paden waar de actie zo traag mogelijk verandert omdat hier de interferenties verkleinen. Deze paden zijn in die zin stabiel dat kleine afwijkingen ervan kleine actieveranderingen ten gevolge hebben. Maupertuis' wet van minste actie (die hij - finalistisch - vanuit God verklaart) zegt dat klassieke banen juist die banen zijn. Dus volgt de geldigheid van de klassieke mechanica volgens deze aanzet uit de QT. 2) Wijsgerig zal een chaotische kosmologie waarin de elementaire partikels aan geen wetten onderworpen zijn of een 'volheidsbeginsel' dat alle mogelijkheden realiseert (twee totaal verschillende hypothesen) meebrengen dat het elektron inderdaad alle banen moet volgen. De onverklaarbare ‘twee spleten experimenten’ krijgen op die dubbele basis dan toch een verklaring. Voor dit boek is echter een chaotische kosmologie een onwaarschijnlijke hypothese (systeemtheorie en causaliteit sluiten ze uit) en een beginsel van volheid, waar de gerealiseerde alternatieven met elkaar interfereren veronderstelt ook een ‘egalitaire’ ontologie, naast de causaliteit van pure mogelijkheden. Alhoewel het twee spleten experiment een duidelijk beeld geeft van de interactie tussen continuïteit en discontinuïteit (waarvan de relatie tussen toestandsvectoren calculus en observabelen operatorencalculus - Schrödinger en Heisenberg - een bijzonder geval is) en een begin van begrijpen ervan voor de interpretatie bijzonder belangrijk zou zijn (de totaliteit der paden moet vergeleken worden met de totaliteit der verborgen veranderlijken van David Bohm); moet het model van de interferentie der mogelijke geschiedenissen (die voor Wheeler in de meta ruimte-tijd ook de structuur van de reële ruimte-tijd verklaart) toch tot nu als zelf ongeïnterpreteerd voorlopig tussen haakjes worden gezet. R. Feynman, die zelfs alle expliciete wijsbegeerte afwijst, doet geen poging om zijn praktisch nuttige idee te legitimeren (die ook zijn diagrammen inspireert, alhoewel zonder absolute noodzaak). Hier werd een eerste poging gedaan, alhoewel ze niet tot een volledig resultaat leidt. 1.4. Het onzekerheidsbeginsel Hoger werd vermeld dat plaats en momentum van een partikel niet tegelijkertijd exact met zekerheid konden gemeten worden (de drie voorwaarden: tegelijk, exact en zeker, zijn op verschillende manieren belangrijk - zie Krips 1987). Dit volgde uit de niet commutativiteit (dus uit een niet symmetrie) van de operatoren die met positie en momentum samenhangen (de eigen toestanden van Hermiteaanse operatoren zijn de toestandsvectoren die overeenkomen met de exacte metingen van de observabelen en het is niet steeds waar dat dezelfde eigentoestand de eigentoestand van twee verschillende operatoren is).

156

De analogie in - verschil van de Heisenberg-algebra en de Schrödinger - golfvergelijkingen (de tweede eist Fourier-analyse, de eerste niet commutatieve algebra’s) blijkt uit het verschillend bewijs van de onzekerheidsrelaties. Een unieke golf strekt zich uit over de ganse ruimte. Als een partikel gelokaliseerd is (min of meer: binnen Δx) moet het overeenkomen met een veelheid van golven met zeer verschillende golflengten die elkaar buiten Δx annuleren. Hoe kleiner Δx is, des te meer verschillende golven moeten interfereren. Fourier-analyse bewijst dit. Nu geldt De Broglie’s p=h/l. Dus een bredere band van golflengten komt overeen met een groter aantal verschillende momenta (vele l1...ln corresponderen met vele p1...pn). Het omgekeerde (hoe preciezer het momentum, des te onzekerder de plaats) volgt ook direct. Kwantitatief kan men bewijzen: Δx Δp ≥ h. Wijsgerige interpretatie van deze vergelijking is misschien direct mogelijk (uit de causaliteit): h is de energie-eenheid die als eenheid voor causale kracht kan beschouwd worden. Om een systeem toe te laten in een ander systeem in te werken, moet de plaats of het momentum van de twee systemen gedeeltelijk onzeker zijn. Immers, een volle causale relatie is een werken in en op wat de oorzaak niet is. De oorzaak moet dus tegelijk zichzelf en iets anders zijn. Alles wat bestaat veroorzaakt. Dus alles wat bestaat moet tenminste zo onzeker gesitueerd zijn dat het meer onbepaald is dan de minimale eenheid voor causale interactie. Waarschuwing: deze ‘deductie’ (metafoor) is hoogst onduidelijk. Ze kan zo niet behouden blijven. Toch mogen de natuurwetten niet als brute feiten beschouwd worden en op die manier onbegrepen blijven. Het is beter over het begin van een begrip te beschikken, waarvan men de onzekerheid beseft, dan de feiten volledig onbegrepen te laten. Men kan noteren dat deze deductie in niets afhangt van storingen door observatie-instrumenten. Dit belet niet dat het onzekerheidsbeginsel dat onafhankelijk van interacties tussen objecten en instrumenten is, toch ook gevolgen heeft voor concrete waarnemingen. Om de gevolgen te begrijpen, simplificeert men ze eerst in een zo abstract mogelijk model van de observatie. Om een observatie uit te voeren moet een lichtstraal het geobserveerde object treffen. De observatie moet tegelijk het voorwerp zo weinig mogelijk storen en toch een zo scherp mogelijk beeld op het instrument veroorzaken. De QT heeft als gevolg dat men deze twee doelen niet gelijk optimaal kan bereiken. Om een scherp beeld te hebben moet de golflengte van het licht zo klein mogelijk zijn (de graad van onzekerheid voor het object kan niet kleiner zijn dan de golflengte). Licht is in QT niet alleen een golf maar ook een bundel fotonen. Een foton met frequentie v draagt hv energie. Daarnaast geldt dat lv = c steeds geldig is (c = lichtsnelheid). Als l kleiner wordt, moet v groter worden (wil c constant zijn). Dus wordt ook de energie hv groter, en de interactie met het object meer storend. Storing als zodanig is echter niet fataal als men het effect van de storingen kan berekenen. De reden waarom QT dit niet kan is dat zij de baan van het foton dat terugkaatst van het object in de microscoop niet kan berekenen. Om die onzekerheid te verkleinen, kan men de opening van de microscoop verkleinen. Dit zal de Δp van het foton en het elektron verlagen, maar zal omgekeerd de onzekerheid van Δx verhogen. Men zou eraan kunnen denken het momentum van het elektron af te leiden van de impact op de microscoop. Als men die microscoop echter zelf als een Q-systeem behandelt, kan men p ervan slechts scherp berekenen door x ervan (positie) vager te maken. De gegevens zullen niet volstaan om het gewenste besluit te trekken. De noodzaak om een quantumtheorie van macroscopische systemen op te stellen en de meting in de QT te integreren blijkt wel uit wat hier gebeurt: zonder dat kan de discussie van de observatie niet worden gevoerd.

157 De observationele gevolgen van de onzekerheidsrelatie in deze onuitvoerbare, geïdealiseerde experimenten, leveren opnieuw de onzekerheidsrelaties.

Wijsgerig zou het de moeite lonen vast te stellen of de complementariteit ‘onberekenbare storing van object, precisie van meting’ voor bepaalde soorten systemen en meetinstrumenten direct van de meetinteractie kan afgeleid worden. De onzekerheidsrelaties moeten - als de wijsgerige deductie die hen afleidt van hun relatie met de energie door h, gelden voor alle paren van observabelen waarvan de gecombineerde dimensies die van actie zijn. Δt ΔE ≥ h is zo'n paar. Dit betekent dat een energie-overdracht en de tijd waarop ze gebeurt niet beide exact en zeker gemeten kunnen worden. Deze relatie verklaart het tuimeleffect: partikels kunnen een pad volgen dat meer kinetische energie vereist dan ze hebben als de tijd die de transfer vraagt, voldoende klein is (m.a.w. ΔE zeer groot kan voor Δt zeer klein toch mogelijk zijn zonder het behoud van energie in gevaar te brengen. Door hoofdstuk II weten we dat de constantheid van energie een symmetriebeginsel is. QT maakt van een exacte dus een benaderende symmetrie. Kan dit gerechtvaardigd worden? Nog vreemder en interessanter is dat de constante lichtsnelheid in de afleiding van de onzekerheidsrelaties duidelijk een rol speelt. 1.5. Complementariteit Een realistische QT kan vermoedelijk (in tegenstelling tot wat ik vroeger meende, zie Apostel 1974b) niet de complementariteit in QT (laat staan de complementariteit elders) als verklaringsbeginsel gebruiken. Toch staan de verschillende metafysica's of wereldbeelden (de op symmetrie en op anti-symmetrie, op orde en op chaos, op zijn en op worden, op actualiteit en op potentialiteit gesteunde) die men in verschillende delen van de wetenschap als verklaringsbeginsel gebruikt ten opzichte van elkaar als complementair. Dit passe-partout begrip moet zorgvuldig worden bepaald in zijn vele, niet direct met elkaar verbonden betekenissen.F

15 Schrödinger, De Broglie en Einstein konden het onzekerheidsbeginsel niet laten gelden voor de werkelijkheid. Men heeft dit geïnterpreteerd als een vasthouden aan determinisme. Dat is het ook. Nog meer echter is het een vasthouden aan de volledige bepaaldheid van de werkelijkheid. Wat in deze discussie bleek is dat, alhoewel QT en RT strikt genomen incompatibel zijn met elkaar, toch de consistentie van de QT van tenminste een deel van de RT afhangt (juist zoals door de constantheid van c en de De Broglie-relaties de QT zelfs gedeeltelijk volgt uit dezelfde beginselen waaruit de RT volgt).

Een voorbeeld van de interpretatie ligt in de Einstein-Bohr discussie rond Δt ΔE ≥ h. Een recipiënt vol straling wordt nu en dan kort geopend: het recipiënt is geopend gedurende Δt. Als er een onzekerheid Δt is voor de tijd moet er tenminste een onzekerheid h/Δt zijn voor de ontsnapte energie E (ΔE ≥ h/Δt volgt). Maar men kan het recipiënt wegen en daardoor ΔE; tot nul herleiden (volgens Einstein). Bohr antwoordt dat wegen een interactie teweeg brengen is met een gravitationeel veld. Einsteins RT impliceert dat klokken vertragen in een gravitationeel veld. In dit geval zouden oncompenseerbare onzekerheden over de mate van vertraging ontstaan bij openen en sluiten van recipiënt. Hoe exacter men wil wegen, des te groter die onzekerheid. Dit antwoord - hoe exact ook - lijkt ad hoc. Een dieper verstaan van de relatie ‘RT - QT’ is nodig om deze situatie wijsgerig te begrijpen. De Broglie’s en later Bohms pilootgolven geven een verklaring van de QT-effecten door

15 Zie daarvoor Apostel 1974b, Livre III.

158

niet-lokale golfinteracties (dit gaat ook voor de twee spleten experimenten) die bewijst dat dit in beginsel mogelijk is (op voorwaarde dat men niet, zoals in het von Neumann onmogelijkheidsbewijs, de observabelen additief laat afhangen van de inobservabele). De verklaring is realistisch en deterministisch. Ze wordt als artificieel ervaren en door niemand ernstig genomen. Wat nodig is, is een ‘hidden variable theory’ (consulteer Belinfante’s boek) die intrinsiek intuïtief aanvaardbaar zou zijn voor wijsgerige redenen en voor natuurkundige redenen. De theorie moet bovendien uit de interactie van KM, TD en RT ontstaan en andere, rijkere resultaten dan de QT opleveren zonder die laatste (die ongewoon vruchtbaar is) te weerleggen. Het is een enorme wijsgerige opgave zulke theorie te schetsen. Maar ze is een must, in deze context. Belangrijk is dat de quantumlogica mij onverenigbaar schijnt (weer in tegenstelling tot wat ik vroeger dacht, zie Apostel 1974b) met een realistische golfpilootheorie (en met de manier waarop volgens De Broglie hier de QT afgeleid is uit golfoptica, golfmechanica en de relativiteit). Misschien zou een regionale quantumlogica die in een globale klassieke logica ingebed zou zijn toch nog realistisch verdedigbaar zijn. Het doel van deze tekst is niet kennistheoretisch. Echter moeten in hoofdstuk I logische overwegingen een rol spelen.

Tot besluit van de onzekerheidsrelatie en het twee spleten experiment moeten we toegeven dat de relatie tussen toestandsvariabelen en operatoren (d.w.z. tussen werkelijkheid in se en lokaal of interactioneel) nog open blijft. Het is een algemeen wijsgerig vraagstuk dat hier echter in een wetenschappelijke context geactualiseerd is. 1.6. Het meetprobleem Zoals de thermodynamica een interventie van een laag van de werkelijkheid in een andere uitdrukt (de entropie is met zo een relatie verbonden), juist zo (maar in omgekeerde richting) is de QT-meting een inbreuk van de macro- in de microwereld. Een meting moet noodzakelijk met een amplificatie (versterking) gepaard gaan, die gedeeltelijk onbepaalde (volgens de ‘klassieke’ QT) grootheden in volledig bepaalde omzet. Een voorbeeld laat toe de verschillende interpretaties te ontwikkelen. Men wil de spin van een elektron in een gegeven richting bepalen. In een Stern-Gerlach experiment wordt het elektron in een magnetisch veld gebracht dat elektronen doet afwijken naar boven (als de spin opwaarts gaat) of naar beneden (als hij neerwaarts gaat). Men kan een Geiger-teller boven en onder plaatsen en uit zijn kliks afleiden wat de spin-waarden zijn. De amplificator is hier het magnetisch veld, en de amplificatie is de divergerende baan, verbonden met de macroscopisch scherpe kliks. Een observator hoort en noteert. Het probleem is: vastleggen waar de instorting van het golfpakket gebeurt. De paradox van Schrödingers kat en Wigners vriend zijn slechts twee pittoreske vormen van hetzelfde probleem. 1. In een recipiënt bevindt zich een kat in een gifgas samen met een quantumsysteem dat 1 kans op 2 heeft het gif te doen uitspreiden (en zo de kat te doden). Het globaal systeem bevindt zich in een superpositie toestand (1/2 levend + 1/2 dood). Als het recipiënt geopend wordt is de kat levend of dood. Waar is de superpositie gebroken? 2. Wigners vriend luistert naar de kliks. De elektronen zijn niet gepolariseerd. De kansen voor een boven en beneden klik zijn dus gelijk. Voor Wigner is het systeem [Stern-Gerlach + vriend] in een superpositie toestand. Als Wigner vraagt, zegt de vriend ‘boven’ of ‘beneden’. De

159

golffunctie is ingestort. Waar? Vier antwoorden worden gegeven: 1. Het eerste antwoord (Max Born) zegt dat de golffunctie geen beschrijving is van een fysisch systeem, maar slechts van mijn kennis ervan. Dit elimineert iedere 'instorting': door extra informatie kreeg ik slechts een vollediger beeld. Deze oplossing lijkt simpel. Maar ze herleidt alle kennis van de natuur tot kennis van kennis en is om deze reden onaanvaardbaar. 2. Het tweede antwoord maakt een dualistische scheiding tussen macro- en microwereld (Bohr en Copenhagen). Dit schept echter een totaal onbegrijpelijke kloof. Het is geen oplossing. Wat nodig zou zijn is a) een theorie van de vele intermediaire lagen en b) een QT van de complexe systemen die uit objecten en gebeurtenissen uit vele lagen bestaan. Dit tweede antwoord is geen antwoord. Veel werk zou nodig zijn om er een antwoord van te maken. 3. Eugene Wigner meent dat het bewustzijn de instorting veroorzaakt. Deze oplossing is niet zo radicaal als de eerste, maar laat zoals 2, een irrationele rest. Waar is de macro-Schrödinger vergelijking die uit het product van de golffunctie van bewustzijn of centraal zenuwstelsel met die van een microsysteem de collaps als een gevolg afleidt? Nog veel meer werk dan in 2 zou nodig zijn (theorie van bewustzijn en zenuwstelsel) om dit tot een antwoord te maken. Bovendien zou dan vóór het bewustzijn geen enkel golffunctie zich hebben gereduceerd? Dit kan niet. 4. Everett stelt voor dat op ieder ogenblik alle gesuperposeerde toestanden zich reëel voordoen in één wereld. Dit is opnieuw totaal onverklaarbaar. Het meetprobleem is het metafysisch probleem omdat het - volgens deze tekst - anti-reductionistisch het coëxisteren, interageren en uit elkaar ontstaan van de verschillende lagen moet begrijpelijk maken. Het meetprobleem is a.h.w. de inverse van het probleem der verborgen veranderlijken (dat ook een niveauprobleem is). De uitwerking van de tweede oplossing, in samenwerking met de theorie der verborgen veranderlijken is het enige onderzoeksprogramma dat verdedigd kan worden. De vraag is of de metafysische basis (invarianten, symmetrie en relativiteit verbonden met systeem en causaliteit) van deze tekst kan helpen bij het uitwerken (in verband!) van verborgen veranderlijken en meetprobleem. Zowel golven als partikels hebben verschillende invarianten en symmetrieën. Die invarianten en symmetrieën kunnen geanalyseerd worden en van daaruit kan worden gezocht of de symmetrietheorie een gecombineerde golf en partikeltheorie van de werkelijkheid nodig maakt. 1.7. Niet-lokaliteit: de Einstein-Podolsky-Rosen paradox in de Bohm-versie en de Bell-

ongelijkheden F

16 Men kan paren van protonen verkrijgen met totale spin zero (dus de ene +, de andere -). Laat ze zich ver van elkaar verwijderen. Men meet de spin van A langs een as (b.v. de z as). Laat SzA ‘up’ (= naar boven) gericht zijn. Dan (door de productiewijze van de protonen) moet SzB naar beneden gericht zijn. Moest men SyA gemeten hebben als ‘up’, dan zou SyB ‘down’ 16 Polkinghorne 1984, pp.70-77, Einstein, Podolsky en Rosen 1935.

160

geweest zijn. Nochtans volgt uit QT dat de spin-toestand van een proton een evenwichtige superpositie van ‘up’ en ‘down’ is. Concreet betekent dit dat als men op A niets meet, de kansen om op B ‘up’ of ‘down’ te krijgen gelijk zijn, terwijl als men op A meet, de kansen op A ofwel 1 zijn voor up ofwel 1 voor down. Dit betekent dat een ogenblikkelijke verandering in B optreedt die volledig afhangt van wat met A gebeurt (en niet van de afstand die A en B scheidt). Klassiek zouden vanaf het ogenblik van hun scheiding de spin-toestanden van A en B volledig bepaald zijn, en zou een meting slechts inlichten over wat van het begin af bestond. In QT echter bestaat die initiale bepaaldheid niet. Het verschil tussen die twee interpretaties kan empirisch worden vastgesteld als B herhaaldelijk kan worden gemeten zonder de meting op A en na de meting op A (of als ettelijke equivalenten van B kunnen worden gemeten: de spreiding van de meetresultaten duidt dan de onbepaaldheid van de spin aan). Dit effect zou verborgen variabelen nodig maken die - in totale tegenstrijd met SRT - een ogenblikkelijke krachttransmissie zou mogelijk maken. De positivistische Copenhagen-school beschouwt de meting van SzA en van SyA als twee onvergelijkbare situaties (vermits de instrumenten verschillen). Met die onvergelijkbaarheid blokkeren ze de EPR conclusie. Dit kan. Maar het positivistisch uitgangspunt is tegelijk vals (voor wetenschapsgeschiedenis) en onvruchtbaar. EPR daarentegen nemen twee vooropstellingen aan: 1. Als men de waarden van een grootheid G voor een systeem S kan voorspellen met zekerheid (of Prob = 1) zonder S te storen, dan komt met die grootheid een element in de werkelijkheid overeen. 2. Als twee systemen voor een tijd t (hoe groot?) dynamisch geïsoleerd zijn, dan kan een meting op één van hen het andere niet wijzigen. Gegeven de twee vooropstellingen kan men de werkelijkheid van SbZ en Sby bewijzen. Immers zonder B te storen (beginsel 2) kan men door meting van SAz, SBz met zekerheid bepalen. Hetzelfde geldt voor SBz. De QT staat niet toe dat SAz en SBz beide bepaald zijn. Nochtans - volgens de grondbeginselen van EPR - zijn ze beide bepaald. Dus ofwel is de QT vals, ofwel is ze onvolledig. EPR kiest voor onvolledigheid. EPR bewijst echter 1 & 2 → besluit QT → negatie van het besluit Dus kan men QT behouden als men ofwel ¬(1), ofwel ¬(2), ofwel ¬(1 & 2) verdedigt. De lokaliteitshypothese kan het gemakkelijkst (hoe moeilijk ook!) verlaten worden. Dus kan men EPR als een weerlegging van de lokaliteit beschouwen. Men heeft dus alle redenen om een directe experimentele test te zoeken van het lokaliteitsbeginsel. Om die op te zetten begint Polkinghorne 1984 met drie principes die alle drie wijsgerig legitiem lijken. 1. Regelmatigheid van processen is een teken van werkelijkheid. Deze veralgemening van EPR's eerste postulaat is eigenlijk ook een veralgemening van het symmetrie- en invariantiebeginsel van deze tekst. 2. Geen causale impact van A op B en omgekeerd kan sneller gaan dan licht. Uit hoofdstuk VI blijkt dat ook dit beginsel met de symmetriebeginselen samenhangt.

161

3. Besluiten over alle systemen van een zekere soort K kunnen afgeleid worden uit consistente waarnemingen op een grote sub-klasse K' van K. Dit inductiebeginsel kan ontologisch worden geformuleerd als een symmetrie over transformaties op sub-klassen. Speciaal belangrijk is ook nog dat (2) een voorwaarde is voor de mogelijkheid van subsystemen (en dus verwant aan de relativiteitsbeginselen die herhaaldelijk worden besproken in hoofdstukken III en VI). Als (2) moet worden opgegeven stelt zich een centraal probleem niet alleen met het oog op de relativiteit, maar ook met het oog op de mogelijkheid van subsystemen. Langs de andere kant is dit holistisch besluit een bewijs van de eenheid van het heelal (verwant met de kosmologische grondbeginselen). Men zou echter uit elkaar de eenheid en de interne multipliciteit, juist zoals de onveranderlijkheid en de veranderlijkheid, in juist deze proporties moeten kunnen afleiden. Daarvan is men veraf. Nu terug naar de stelling van Bell die een veralgemening is van EPR. Laat A en B een paar van protonen zijn. De protonen verwijderen zich van elkaar en de spin ervan wordt door een analysator gemeten langs één van de drie assen a, b en c. De spin is + of -. De metingen op A en B gebeuren tegelijk of toch zo dat geen oorzaak die trager gaat dan lichtsnelheid tussen de metingen kan interageren. Soms wordt dezelfde component voor A en B gemeten, soms een verschillende component. Als Aa = +, dan is Ba - (en omgekeerd). Idem voor b en c. Dus volgt uit beginsel 1 (regelmatigheid = realiteit) dat a+, b+ en c+ werkelijke eigenschappen zijn van A en B. Door 3 volgt dat dit ook zo is als ze niet gemeten worden. De volgende toestanden zijn dus mogelijk voor één proton: 1. a+b+c+ 5. a-b+c+ 2. a+b+c- 6. a-b+c- 3. a+b-c+ 7. a-b-c+ 4. a+b-c- 8. a-b-c- Als men Aa meet als +, dan is Ba -; als men Bb meet als + dan is Ab -. Als die twee waarden voorliggen is Aa+ en Ab-, en kan A slechts toestand 3 of 4 hebben. Als N(+++) het aantal partikels is met a+b+c+ en N (a+b+) het aantal partikels met c vrij, en overigens a+b+ dan geldt: N(a+b-) = N(a+b-c+) + N(a+b-c-) N(a+b-) = N(a+b+c-) + N(a+b-c-) N(b-c+) = N(a+b-c+) + N(a-b-c+) Alle N zijn positief. N(a+b-) ≤ N( a+c-) + N(b-c+) (A) 2 mog. 2 mog. 2 mog. 2 ≤ 4 (als alle pos. zijn) Laat n (a+b+) het aantal keren zijn dat een proton A,a+ heeft en het andere proton b+.

162

Vermits als a+ in A, dan a- in B volgt n(a+b+) / N(a+b-) + N(a-b+) = n(a+c+) / N(a+c-) + N(a-c+) = n(b+c+) / N(b+c-) + N(b-c+) (Dit moet nog eens goed bekeken worden). Uit A en B volgt de Bell-ongelijkheid n(a+b+) ≤ n(a+c+) + n(b+c+). Deze ongelijkheid moet volgen uit de drie grondbeginselen. Maar ontkenning volgt uit de QT. Dus is de QT onverenigbaar met bijna evidente wijsgerige grondbeginselen. Dit fundamenteel holistisch aspect van de werkelijkheid is een centrale uitdaging vooral als men rekening houdt met het succes van de analytische methode. Dus moet men zich ook grondig afvragen of dat anti-lokaliteitsresultaat alle lokaliteitsresultaten opheft. Als de aanvaardbare kosmologie juist is zijn alle partikels ooit met elkaar in reële interactie geweest en is fysische onafhankelijkheid nergens gewaarborgd. Men zou dan een classificatie van soorten systemen, soorten interacties, en soorten niveaus moeten opbouwen ten opzichte waarvan een gradueel causaliteitsbeginsel waar zou zijn. Men tracht gewoonlijk de impact van EPR te verminderen door te stellen dat SRT slechts een restrictie op maximale snelheid voor informatiedragende signalen eist (die b.v. klokken zouden synchroniseren). Deze uitvlucht sluit echter een subjectivering van de c-postulaten van Einstein in die met de oorspronkelijke c-postulaten niet verenigbaar is. De contradictie blijft naar wij menen volledig. Waarom volgt uit ofwel de De Broglie-visie - ofwel uit de Feynman-interpretatie, ofwel uit de toestandsvector - golffunctie - operator calculus dualiteit, ofwel uit de onzekerheidsbeginselen, ofwel uit de superpositie de niet-lokaliteit? Kunnen die omgekeerd uit een cascade van anti-lokaliteitsbeginselen afgeleid worden? Eerst als op deze vragen antwoord kan gegeven worden zal men aan een wijsgerige interpretatie van de quantummechanica kunnen beginnen. Tot nu toe heeft men slechts op lokaal verrassende aspecten (in determinisme, dualisme, probabilisme, discontinuïteit) met globale afweer of aanvaardingsmechanismen gereageerd. Zoals wij ons hier opstellen: a) trachten in te zien waarom de objectieve werkelijkheid b) een deel van die eigenschappen heeft, terwijl een ander deel gewijzigd moet worden, hebben zeer weinigen (of zelfs niemand) beproefd. VII.2. Een algebraïsche voorstelling van de quantumtheorie: een lectuur van P.A.M. Diracs Principles of Quantum Mechanics 2.1. Intiem verband tussen quantumtheorie en symmetrietheorie In zijn voorwoord tot de eerste uitgave van zijn Principles of Quantum Mechanics zegt Dirac:

The formulation of these laws (L.Apostel = the fundamental laws of physics) requires the use of the mathematics of transformations. The important things in the world appear as

163the invariants (or more generally the nearly invariants, or quantities with simple transformation properties) of these transformations.F

17F

Vermits symmetrieën eigenschappen zijn invariant onder transformaties (zie boven hoofdstuk II) ligt het voor de hand dat een metafysica die de werkelijkheid verklaart vanuit de interactie tussen haar symmetrieën en antisymmetrieën Diracs boek als aanzet tot deductie zal gebruiken. Het ligt ook voor de hand dat Dirac Weyls boek over Gruppentheorie und Quantenmechanik als enig verwant werk in de literatuur aanhaalt (we verwijzen de lezer naar Weyls laat algemeen werk over symmetrie). Wie het centraal belang van de symmetrie voor de relativiteitstheorie heeft gezien zal wel verwonderd zijn dat een theorie als de quanta, die in veel opzichten de tegenpool is van de eerste, juist ook in dezelfde context ontstaat. Gaat het over dezelfde symmetrieën? Kunnen de basiswetten uit symmetrie-eisen worden afgeleid? Hoe komt het dat uit eenzelfde basis twee eigenlijk tegenstrijdige theorieën ontstaan? Komt Diracs partiële synthese van quanta en speciale relativiteit tot stand op basis van de gemeenschappelijke verwijzing naar symmetrieën? Op die vragen zal een antwoord worden gezocht. 2.2. Feitelijke en metafysische motivatie van de quantumtheorie Diracs eerste hoofdstuk is een pleidooi voor de noodzaak van een niet klassieke mechanica en dat op het eerste gezicht volledig om empirische redenen. (We vatten zo dadelijk het empirisch feitenmateriaal samen.) Maar opmerkelijk genoeg staan naast dit feitenmateriaal ook ‘general philosophical grounds’.F

18F

1. Als men ‘grote’ systemen verklaart vanuit de interacties van hun ‘kleinere’ delen, dan zal dit tot een regressus ad infinitum leiden (de kleinere delen moeten zelf weer op hun beurt zo worden verklaard enz... ad infinitum.) 2. Tenzij men een objectief en intrinsiek verschil kan maken tussen ‘groot’ en ‘klein’; ‘give an absolute meaning to size’.F

19F

3. Eén van de mogelijke bepalingen van ‘klein’ en ‘groot’ wordt door Dirac als de enig mogelijke voorgesteld: een systeem is groot als de observatie-interactie met dat systeem kan worden verwaarloosd, en is klein al dit niet het geval is. Niettegenstaande Dirac bepleit dat dit goed overeenkomt met de common sense betekenis van groot en klein, is het zeker niet de enige: de vele lagen ‘kleinheid’ tussen 1930 en 1990 ontdekt suggereren dat het niet voldoende is. De quark-hypothese suggereert ‘klein+’ te noemen systemen die ‘Dirac-klein’ zijn en bovendien slechts (of ook) zulke echte delen bevatten die niet buiten die systemen kunnen gebracht worden. Om het verschil ‘klein’-‘groot’ werkelijk absoluut te maken moet gesteld worden dat er een limiet voor de fijnheid van observatie-interacties bestaat (en dus ook een ondergrens voor de maat van door observatie-interactie veroorzaakte wijzigingen). Men kan dit veralgemenen: alle causale interacties veroorzaken minimale wijzigingen in hun termen. Die wijzigingen kunnen niet beneden een zekere drempel worden neergehaald. Indien deze veralgemening wordt aanvaard, kan het verschil tussen grote en kleine systemen zonder verwijzing naar observatie (slechts verwijzend naar causale interacties in het algemeen, of naar interniveau causale interacties) worden vastgelegd. 17 Dirac 1958, p.vii. 18 Dirac 1958, p.3. 19 Dirac 1958, p.3.

164

4. Resumerend: het programma van verklaring door microreductie (afleiding van de eigenschappen van gehelen uit die van delen) eist, volgens Dirac ‘een absolute laagste laag (finitisme van lagen) die door eigenschappen van haar causale interacties als zodanig bepaald moet worden. Er moet bovendien - willen wij ons programma trouw blijven - worden geëist dat deze laagste laag zichzelf verklaart, of dat haar aanwezigheid in het werkelijk heelal verklaard wordt. Om deze laatste eis bekommert Dirac zich niet. 5. Zijn wijsgerig besluit is echter in zijn eigen termen minstens paradoxaal te noemen: de laag der ‘kleine objecten’ die juist bepaald wordt door een eigenschap van haar causale interacties sluit de toepasbaarheid van causaal denken uit, volgens Dirac.F

20F Hij identificeert namelijk de

deterministische differentiaalvergelijkingen met causaliteit. Wij, die realiteit met causaliteit verbinden kunnen hem hierin niet volgen, maar vinden in ons eigen postulaat een steun voor de onderscheiding ‘groot’ - ‘klein’ op causale basis. 6. Open blijft of Diracs feitelijke QM het finitisme dat hij predikt realiseert (a) of het causaal finitisme volledig en correct uitgedrukt is (b), of het micro-reductionistisch programma een voldoende grond voor het causaal finitisme vormt (c). In ieder geval is één van de twee basisbegrippen van onze metafysica ‘causaliteit’ hier aanwezig. We zoeken nu naar ‘systeem’ en naar de interactie van ‘systeem’ en ‘oorzaak’. Het ‘systeembegrip’ vinden we op p.1 van Diracs motivatie voor QM:

The forces known in classical electrodynamics are inadequate for the explanation of the remarkable stability of atoms and molecules, which is necesarry in order that materials may have any definite physical and chemical properties at all.

Stabiliteit en systeem zijn solidair: systeem eist een minimale relatieve stabiliteit. Stabiliteit introduceert altijd een vorm van systeem. Dirac noemt dit geen filosofische eis, maar onze lezers zullen er zich rekenschap van geven dat het voor ons een fundamenteel wijsgerige eis is. Concreet blijkt de discrepantie tussen de stabiliteit van de werkelijkheid en de instabiliteit van de systemen in de klassieke elektrodynamica uit de interactie van gedestabiliseerde atomen met elektromagnetische velden. Volgens Maxwells theorie zullen de schommelingen van het veld alle fundamentele frequenties en hun harmonieken bevatten. In feite (Ritz' spectroscopische wet) blijken veel minder frequenties nodig (op een discontinue manier met elkaar verbonden). Dit belet instabiliteit maar is klassiek onverklaarbaar. Zo ook zou klassiek de specifieke warmte van de schommelingsenergie van een elektromagnetisch veld in de lege ruimte oneindig moeten zijn. Deze totaal destabiliserende gevolgtrekking blijkt gelukkig vals. Het golf- en partikelkarakter van licht en stof kan ook als een stabiliteitsvoorwaarde begrepen worden. Vanuit causaliteit en systeem werpt, volgens Dirac zelf (als men hem doordenkt) QM bezwaren op tegen de klassieke mechanica. In wat volgt tonen we dat de alternatieve QM die hij voorstelt zelf vanuit een symmetriebeginsel volgt (waarvan we de relatie met systeem en causaliteit kennen). 2.3. Superpositie en Symmetrie 1. Het superpositiebeginsel: een voorbeeld. F

21 20 Dirac 1958, p.4. 21 Dirac 1958, p.4 en Polkinghorne 1984, pp.17-19.

165

Onderstel een assenstelsel met assen x, y en z. Wanneer een transversale golf in de z richting beweegt oscilleert hij in een rechte hoek t.o.v. de bewegingsrichting z. Laat een lichtbundel op een toermalijnkristal vallen dat alleen licht doorlaat dat gepolariseerd is in het vlak rechthoekig op zijn optische as. Klassieke elektrodynamica voorspelt voor iedere polarisatierichting van een invallende bundel of (zo ja, hoe groot een percentage) fotonen van de bundel die het toermalijnkristal doorkruisen. De eenvoudigste gevallen zijn 1) bundels evenwijdig met de optische as; 2) bundels rechthoekig op die optische as. Ingewikkelder worden de zaken als men a) geïsoleerde fotonen b) afstuurt in een polarisatierichting die noch een hoek van 0, noch een hoek van 90% maakt met de optische as. Het blijkt dan dat, als men dit herhaalde malen doet, in sin2α gevallen het foton doorkomt (waar α de hoek is tussen polarisatierichting en optische as) en in het cos2α het foton er niet doorkomt. Voor een geïsoleerd foton weet men niets met zekerheid. Een deel van een foton, of een foton met een energie verschillend van die van het invallend foton, of een foton die niet gepolariseerd is loodrecht op de polarisatie-as op de optische as komt niet voor op het einde van een experiment. Niets kan gezegd worden over het mechanisme binnen het toermalijnkristal dat erover beslist wat uiteindelijk gebeurt. Het superpositiebeginsel van de QM bestaat er eigenlijk in dat men het invallend foton dat een schuine hoek maakt met de optische as van toermalijn, gedeeltelijk in een polarisatietoestand evenwijdig met de optische as, en gedeeltelijk in een polarisatietoestand rechthoekig op de optische as beschouwt: iedere polarisatietoestand kan uitgedrukt worden als een ‘superpositie’ van twee op elkaar rechthoekig staande polarisatietoestanden.F

22F De observatie duwt de superpositie in een van deze zuivere toestanden.

2. Het superpositiebeginsel: een tweede voorbeeld.F

23F

In plaats van polarisatie beschouwen we nu de dynamische grootheden positie en impuls. Men neemt een lichtstraal. Men splitst ze in twee verschillende componenten door ze door een apparaat te laten gaan. Net als in het voorgaande experiment is de toestand van het foton een superpositie van twee mogelijke toestanden: de twee componenten waarin het werd gesplitst. Later laat men die twee componenten interfereren. Als de lichtstraal uit één foton bestaat, zal de bewegingstoestand daarvan, na splitsing, een ‘superpositie’ van de twee bewegingstoestanden, eigen aan de twee componenten, zijn. Een meting van de energie zal het foton volledig in één van de twee basistoestanden dwingen. Het is onmogelijk op voorhand met zekerheid te weten in welke van de twee toestanden het foton zal zijn wanneer de meting gebeurt. Dit verklaart waarom interferentie van twee golf analoge componenten kan gebeuren als ze elkaar opnieuw ontmoeten, terwijl ze zich toch als partikels gedragen (wanneer er geen interferentie is) en als een meting van de bewegingsveranderlijken na splitsing en vóór interferentie optreedt. 3. Het superpositiebeginsel: algemene formulering.

A state of a system may be defined as an undisturbed motion that is restricted by as many conditions or data as are theoretically possible without mutual interference or contradiction. F

24

22 Dirac 1958, p.7. 23 Dirac 1958, p.7 e.v. 24 Dirac 1958, p.11.

166Men kan - in tegenstelling tot een klassiek systeem - niet alle dynamische veranderlijken (plaats en snelheid van alle delen) exact aangeven. Hoe en of men het maximum bereikt heeft (veronderstellend dat er een maximum uniek bepaald is) wordt door de voorbereiding van het systeem beslist: men onderwerpt het systeem aan een aantal selectietests, interacties waarvan men de resultaten kent. Met ‘toestand’ wordt bedoeld ofwel de toestand op één ogenblik na de voorbereiding, of de toestand tijdens de ganse tijd na de voorbereiding.

Als n toestanden mogelijk zijn, dan zegt het superpositiebeginsel dat voor iedere toestand van het systeem, deze toestand beschouwd kan worden a) op een oneindig aantal manieren; b) als een partieel in 2, 3,…, n , … ∞ toestanden zijn. Hoe een systeem op hetzelfde ogenblik tegelijk gedeeltelijk (niet in de spatiale zin bedoeld!) in vele (verschillende) toestanden kan zijn, is klassiek niet denkbaar. Laat C een superpositie van A en B zijn: C= c1A + c2 B. Dan bevindt C zich niet in een toestand x die intermediair is tussen A en B. C bevindt zich in ofwel A, ofwel B. Het gewicht dat in de superpositie aan A (resp. B) is gegeven bepaalt hoe dikwijls bij observatie C als A (resp. B) zal verschijnenF

25F.

4. Superpositie en symmetrie De formele eigenschappen van de superpositie zullen later duidelijk worden. Nu reeds zouden we er intuïtief willen op wijzen dat de ruimte van alle mogelijke toestanden van een systeem S, de faseruimte van S, die in het klassieke geval atomistisch is (iedere totaaltoestand sluit iedere andere totaaltoestand uit) hier veel sterker geïntegreerd is. Hier is iedere totaaltoestand een combinatie van andere totaaltoestanden. Een toestand is invariant onder de volgende bewerkingen: 1) C als superpositie van A en B, kan ook als superpositie van D en E, G en H (enz.) gezien worden. Zeker zijn (AB)(DE)(GH) niet willekeurig en kunnen niet alle koppels van toestanden worden gebruikt. Maar toch is C invariant onder substitutie van (DE) voor (AB) enz... 2) C, indien het een superpositie is, kan in context K1 als A, in K2 als B verschijnen en toch is C in dezelfde toestand. De verschillende contexten (al dan niet controleerbaar) die C als A of B doen verschijnen zijn compatibel met C, en kunnen voor elkaar worden gesubstitueerd. Zeker blijft C niet C (in die zin dat het gewicht van één van de superpositiecomponenten nul wordt na interactie) maar C blijft wel C in de zin dat x = ay + bz compatibel is met a = o of b = o). Het wijsgerig probleem dat zich stelt is het volgende: is de symmetrie (hier nog slechts grof aangeduid) en de integratie van de faseruimte die gewonnen wordt door het superpositiebeginsel voldoende groot en belangrijk, om het opgeven van strikt determinisme te rechtvaardigen? Als C, A en B volledig op gelijk plan worden gesteld dan kan C = Superpositie(A,B), A = Superpositie(B,C) en B = Superpositie(A,C) tot een cyclus brengen. Als men zulke cyclus wil vermijden, moeten A, B en C op verschillend plan staan (b.v. de enen diepte- de anderen oppervlaktetoestanden, of de enen potentieel de anderen actueel). De deductie van het beginsel van superpositie voor alle microtoestanden vanuit een symmetrie-eis zal een andere zijn naarmate men ene of andere interpretatie aanvaardt. Het is op dit ogenblik nog niet mogelijk tussen de interpretaties te kiezen. Daarom noteren we slechts als probleem: 1.Welke symmetrieën zijn noodzakelijk voor ‘kleine’ causale(a) systemen(b)? 2.Hoe volgt uit deze symmetrieën een bepaalde interpretatie van het superpositiebeginsel?F

26F

3.Subsidiair: volgt het superpositiebeginsel direct uit de stabiliteit en de causale ‘kleinheid’ van quantumsystemen?

25 Dirac 1958, p.13. 26 Dirac 1958, p.16 geeft direct de eerste interpretatie.

167

5. Mathematische formulering van het superpositiebeginsel: F

27 Het superpositiebeginsel drukt een combinatie van toestanden uit die zelf weer een toestand vormt. De eenvoudigste entiteiten die opgeteld kunnen worden zijn vectoren. Dus ligt het voor de hand toestanden door vectoren voor te stellen als het superpositiebeginsel erop van toepassing is. Als c1 en c2 complexe getallen zijn en als /A> en /B> twee ket-vectoren zijn (de term wordt later verklaard) dan is /R> = C1/A> + C2/B> (1) ook een vector. We kunnen ook een oneindige reeks van vectoren optellen. Gegeven dat x een variabele is voor waarden uit een bepaald interval dan is /Q> = ∫/x>dx eveneens een vector. Iedere toestand van een dynamisch systeem op een bepaald ogenblik komt met een ket-vector overeen, zo dat als de toestand de superpositie van andere toestanden is, zijn ket-vector de lineaire som (met complexe gewichten) van de ket-vectoren van die andere toestanden is. Twee belangrijke eigenschappen zijn: 1. superpositie is commutatief; 2. A, B en R spelen een volstrekt symmetrische rol in een superpositie als (1). Uit 1 en 2 volgt dat er geen volstrekt elementaire toestanden bestaan. .... 1 is dus de enig mogelijke. Als de ket-vector die met een toestand overeenkomt, vermenigvuldigd wordt met een willekeurig complex getal (verschillend van nul) zal het resultaat daarvan met dezelfde toestand overeenkomen. Dit is fundamenteel verschillend van de klassieke mechanica. De norm of lengte van de ket-vectoren heeft geen fysische betekenis, een toestand komt overeen met een oneindig aantal verschillende ket-vectoren. Slechts de relaties tussen de ket-vectoren hebben fysische betekenis. Uit dit algemeen beginsel volgt dat een superpositie van een toestand met zichzelf geen nieuwe toestand oplevert (c1 + c2)/A> = /A>). Deze mechanica is een zuiver kwalitatieve en relationele mechanica, en de rusttoestand (met ci = 0) bestaat er niet in: (c1+c2)/A> met (c1+c2)=0 is zinloos. De basissymmetrie die met een toestand een oneindig aantal vectoren doet overeenkomen, heeft gevolgen voor het superpositiebeginsel:F

28F als /B> de superpositie van /A> en /B> is, dan wordt R

bepaald door c1 en c2. Als men de twee coëfficiënten met eenzelfde complex getal vermenigvuldigt, blijft dezelfde toestand behouden (/R> wordt vermenigvuldigd door hetzelfde complex getal). Een gesuperponeerde toestand wordt bepaald door de ratio tussen de complexe coëfficiënten c1 en c2. Dit laatste is een complex getal. De algemene vorm van een complex getal is x+iy waar x en y reëel zijn. Dus wordt de toestand bepaald door twee reële getallen x en y. Met een toestand /R> komt een dubbele oneindigheid verschillende vectoren overeen. Door de superpositie geldt dan: een toestand in superpositie is invariant onder alle transformaties (een tweedimensionale oneindige verzameling) die C1/C2 constant houden. Een deductie van de QM zou bestaan in een afleiding van 1. Het superpositiebeginsel. 2. De lineariteit van vectoren en hun optelling. 3. De zuivere relationaliteit. 4. De noodzaak

27 Dirac 1958, pp.14-18. 28 Dirac 1958, p.18.

168

gebruik te maken van complexe getallen. Tot nu toe hebben we slechts enkele aanduidingen in die richting gegeven. 2.4. De tweede symmetrie: de QM is symmetrisch door een substitutie van ket-vectoren door bra-vectoren F

29 Bra-vectoren zijn duaal ten opzichte van de zojuist ingevoerde ket-vectoren. Laat met iedere ket-vector /A> een numerieke functie f overeenkomen (een functie die met /A> een getal associeert) en laat f lineair zijn: f(/A> + /A'>) = f/A> + f/A'> (a) f (c/A>) = cf/A> (b) Indien deze voorwaarden vervuld zijn, mag men het getal dat door de functie f wordt geleverd bepalen als het scalair product van de ket-vector /A> met een nieuwe vector omdat uit de f-voorwaarden volgt dat a' : <B/(/A>+/A’>) = <B/A>+<B/A’> b' : <B/(c/A>) = c<B/A>, waar c een getal is De bra-vectoren (waarvan de notatie de relatie met de ket-vectoren uitdrukt - het zijn spiegelbeelden) zijn slechts bepaald in zoverre hun scalaire producten met de ket-vectoren gegeven zijn. Volledige </> uitdrukkingen hebben getallen als waarden, onvolledige (</ of />) hebben vectoren als waarden. Intuïtief kan menF

30F de kets als input en de bra's als output vectoren en hun interactie als

de combinatie van een input met een output interpreteren. /B> is de ‘starting condition’ en <A/ de ‘final condition’ en de volledige bra-ket-uitdrukking geeft de amplitude dat een systeem dat start in toestand /A> eindigt in toestand <B/. Dit komt echter slechts gedeeltelijk met de formele eigenschappen overeen (tenslotte komen de toestanden met vectoren overeen; wat niet samengaat met deze intuïtie, maar wel met oneindige formules van vectoren die bepaald zijn door één complexe parameter. Wat wel overeenkomt.) Alhoewel de algebra's van bra's en kets dezelfde zijn blijven het toch zeer verschillende soorten vectoren. De verdubbeling kan worden afgeleid van de noodzaak microsystemen te bepalen door hun soort inputs, hun soort outputs en de soorten combinaties van inputs met outputs. De micro-systemen worden, onder die interpretatie, lineair additief vermits er een één-éénduidige overeenkomst bestaat tussen de bra's (Output) en de kets (Input) zó dat de bra (O) die overeenkomt met de kets /A> + /A'> (I), de som van de bra's is die overeenkomen met /A> en A'>, en de bra die overeenkomt met c cA , maal de bra is die overeenkomt met A (waar het complex toegevoegde is van c). c Nog onverklaard blijft, zelfs in deze interpretatie, waarom B c A =c A . Wel volgt uit deze stipulatie dat hoe verwant bra en ket ook zijn, ze toch niet met elkaar kunnen worden opgeteld. Dit belet tegelijk dat men de complexe vectoren in hun reëel en hun imaginair deel zou kunnen scheiden. Om dit te doen zou men de hoeveelheden met hun geconjugeerden moeten opstellen (en daarvan de helft nemen). 29 Dirac 1958, pp.18-22. 30 Zie Feynman 1965, deel III, hoofdstuk 3.

169 Als men zou kunnen bewijzen dat dezelfde behoefte die het noodzakelijk maakt complexe getallen te gebruiken, het ook noodzakelijk maakt om onherleidbaar complexe getallen aan te wenden, en dat bovendien slechts door de relaties tussen bra’s en kets zo te bepalen als gebeurde, deze onherleidbaarheid gewaarborgd is, terwijl toch bra en ket duaal zijn elkaars spiegelbeeld en gehoorzamend aan dezelfde algebra (alhoewel fundamenteel anders ingevoerd) dan kan men toch nog de bra-ket-relatie metafysisch rechtvaardigen (p.21 “the whole theory will be symmetrical in its essentials between bras and kets” -tussen I en O oorzaak en gevolg-).

2.5. Dynamische veranderlijken en observabelen Inleiding In wat voorafging werd reeds het belang van verschillende symmetrieën getoond. In wat volgt willen we in wezen tonen hoe de Schrödinger-vergelijking die de evolutie van quantum-systemen beschrijft, kan worden afgeleid uit symmetrieën van verplaatsingsoperatoren. Ook een fragment algemene symmetrie theorie voor kets zal worden voorgesteld.F

31F We verliezen het

unificerend beginsel van deze tekst dus niet uit het oog. Maar om de zojuist vermelde centrale doelen te bereiken zijn we verplicht nog enkele algemene formele eigenschappen van de quantumdynamica voor te stellen. Ons doel blijft: (p.25) Deplacement operators, (pp.99-103) The equations of Motion (hoofdstuk V), Symmetrical and antisymmetrical states (hoofdstuk IX, par.54-55), Permutations as dynamical variables. De bra-vector is een willekeurige lineaire functie van de ket-vector. Men kan ook ket-vectoren bestuderen die lineaire functies van ket-vectoren zijn. Een lineaire operator beeldt ze op elkaar af. Een lineair operator a werkt op een ket-vector en produceert een ket-vector. /F> = Q/A>, zo dat Q ( /A>+ /A’>) = Q /A>> + Q /A’> en Q (c /A>) = c/A> Een lineaire operator is volledig bepaald als het resultaat van zijn inwerken op iedere ket-vector gegeven is. Hij is zero als zijn resultaat overal verdwijnt, en twee operatoren zijn gelijk als hun resultaten overal dezelfde zijn. Lineaire operatoren kunnen samengeteld worden: (Q + R)/A> = Q/A> + R/A>. Ze kunnen ook vermenigvuldigd worden: (QR) /A> = Q(R/A>). Optelling en vermenigvuldiging zijn associatief en distributief. De vermenigvuldiging is echter niet commutatief in het algemeen (wel in bijzondere gevallen). Het product van twee lineaire operatoren kan zero zijn zonder dat één van hen beide zero is. Vermits kets en bra’s met toestanden van systemen overeenkomen, en lineaire operatoren kets op kets afbeelden, zullen het ook lineaire operatoren zijn (alhoewel niet alle!) die veranderingen van systemen voorstellen, wijzigingen die één toestand in een andere toestand omzetten. Daaruit volgt onmiddellijk dat niet alle vermenigvuldigingen van lineaire operatoren commutatief kunnen zijn: als Q = verbranden en R = smelten, of Q = doorsnijden en R = verbranden, dan geldt zelfs voor macrosystemen QR ≠ RQ (tweede geval: QR = 0, RQ ≠0) of QR = 0 en Q ≠ 0, R ≠ 0 (eerste geval). De rechtvaardiging van de niet-commutativiteit ligt dus voor de hand. Voor ‘kleine’ systemen die gemakkelijker gestoord of vermeld kunnen worden, volgt die door een eenvoudige veralgemening. De lineariteit van de veranderingsoperatoren veronderstelt 1) wat de additiviteit betreft, de volledige ontbindbaarheid of/en relatieve onafhankelijkheid van A en A' 2) wat de ac 31 Dirac 1958, p.208 e.v.

170

= ca - eis betreft , een invariantie onder schaalvergroting die voor schaaleffecten geen plaats laat en dus een symmetrie is die in het algemeen niet ontologisch kan worden verondersteld. Toch moeten in de werkelijkheid in het algemeen en in de microwereld in het bijzonder noodzakelijk gevallen van autonome of/en additief ontbindbare systemen die bovendien ten opzichte van een bepaalde klasse veranderingen geen schaaleffecten tonen, bestaan. Paradoxaal is deze laatste, volgens ons, ware maar wat geldigheidsdomein betreft, beperkte uitspraak, moeilijker af te leiden dan de schijnbaar meer paradoxale, niet-commutativiteit. Comment [J1]:

Gezien de rol van lineaire operatoren in de voorstelling van veranderingen en gezien de interpretaties van bra's als output-veranderlijken zal men lineaire operatoren niet alleen voor kets maar ook voor bras moeten bepalen. Dit kan gebeuren als volgtF

32F: 1) men vormt het scalair product van een willekeurige bra <B/ met

Q/A> (een ket); 2) dit product is een getal dat lineair afhangt van /A>; 3) door de bepaling van bra kan men (2) dus beschouwen als het scalair product van /A> met een bra; 4) deze laatste bra hangt lineair van <B/ af; 5) dus kunnen we hem beschouwen als het resultaat van een lineaire operator op <B/. (5) hangt van Q af en kan beschouwd worden als Q werkend op een bra. Het product <B/a/A> is nu bepaald: ( ) B Q A = B ( )Q A Op een analoge manier kan A B bepaald worden. Gecombineerd met een ket /P> geeft het /A><B/P>, een ket vermenigvuldigd met een getal, lineair afhankelijk van /P>, en gecombineerd met een bra <A/ geeft het een getal vermenigvuldigd met een bra. De interpretatie van de zo geïntroduceerde structuur geeft Dirac:F

33F 1. de richtingen van bra en ket vectoren

komen overeen met de toestanden van systemen op één ogenblik; 2. de lineaire operatoren komen overeen met dynamische veranderlijken (coördinaten, componenten van snelheid, lineair en hoekmomentum). Wijsgerig gebeurt hier dus een scheiding van de innerlijke toestanden van systemen en de (tijd-ruimtelijke) eigenschappen waarmee ze verbonden zijn. Dit wijst op het kwalitatief karakter van de basis van de quantummechanica. De niet-commutatieve vermenigvuldiging m.b.t. operatoren onderscheidt op een tweede manier QM van klassieke mechanica. Een veralgemening van de QM zou zijn: 1) de niet volledige dualiteit van bra’s en kets; 2) het niet lineair worden van de operatoren; 3) de veralgemening van de superpositie-regels (met niet strikt lineair of additief karakter). In feite wordt door deze mogelijkheid niet één veralgemening maar een oneindig aantal aangegeven. Een interne rechtvaardiging van de QM zoals ze nu is zou de geprivilegieerde kenmerken van het huidig systeem vergeleken met de andere leden van die oneindige familie moeten aangeven. De lineaire operatoren, juist zoals de bra’s en kets, zijn complexe grootheden. De adjunct ( Q ) van een operator Q is de geconjugeerde complexe grootheid van <P/a, en wordt geschreven als …/P> (lineair afhankelijk van /P>). De relatie van complex karakter met richting blijkt uit de algemene stelling dat de geconjugeerde complex van een willekeurig product van bra’s, kets en lineaire operatoren, het product van de geconjugeerde complexen van alle termen is, in omgekeerde orde genomen. De adjunct van een operator wentelt de richting van de oorspronkelijke operator in zijn natuurlijke faseruimte (wat blijkt uit ... = a). De richtlijnen voor bra’s en kets stellen toestanden voor; het is dus te verwachten dat veranderingen, voorgesteld door lineaire operatoren, door richtingswijzigingen worden weergegeven. Richtingswijzigingen met complexe getallen. Richtings... van richtingswijzigingen worden weergegeven door adjuncten. 32 Dirac 1958, pp.24-25. 33 Dirac 1958, p.26.

171

Als systemen (ook QM) worden ingevoerd moeten ze partieel invariant zijn d.w.z.: een deel van hun eigenschappen moet door een klasse operatoren onveranderd worden gelaten). Voor resp. kets en bra’s wordt die stabiliteitseis als volgt geschreven: 1. Voor een toestand /P> van het systeem, en voor tenminste een lineaire operator a, geldt a/P> = a/P> (waar a een getal is). (Immers een ket vermenigvuldigd met een getal wijzigt zijn richting niet en blijft overeenkomen met dezelfde toestand), of geldt <Q/a = b<Q/ (waar b een getal is) (dezelfde opmerking geldt). Als 1 waar is, is a een eigenvalue van a en /P> een eigenket van a. De eigenket /P> behoort tot de eigenvalue a. Als 2 het geval is, is b een eigenvalue, en Q een eigenbra. Als men slechts reële lineaire operatoren gebruikt, zijn alle eigenvalues reëel, en worden dezelfde eigenvalues geassocieerd met eigenkets en eigenbra’s. De algemene symmetrieën van de QM verschijnen ook in de theorie van eigenvalues: meerdere verschillende eigenkets van een lineaire operator kunnen bij een eigenvalue van die operator behoren. Als dit het geval is, is iedere lineaire combinatie van die eigenkets opnieuw een eigenket die bij dezelfde eigenvalue behoort.F

34 Dirac stelt p.34 dat het vooropgestelde formalisme een aantal veronderstellingen incarneert die niet als zodanig natuurwetten zijn, maar die dat wel worden als men de theorie van een fysische interpretatie voorziet. Dat dit zo is zal reeds gebleken zijn doordat voor iedere wijsgerige rechtvaardiging die tot nu toe werd gegeven, er telkens een intuïtieve interpretatie werd bijgevoegd. In zijn par.10-12 geeft Dirac zijn interpretatie. We moeten nagaan in hoeverre ze overeenkomt met degene die we tot nu toe hebben geïmproviseerd. De basis van Diracs interpretatie is het volgende:

1. In het algemeen mag men niet veronderstellen dat twee metingen tegelijk kunnen worden uitgevoerd.

2. In het algemeen zal het resultaat van iedere meting het systeem wijzigen, zodat een meting die op de eerste volgt daardoor beïnvloed wordt (op een soms niet vaststelbare manier). Bij (1) en (2) past commentaar: een meting is een causale interactie van twee systemen S1 en S2 waardoor het meetapparaat in een stabiele toestand komt ten opzichte van zijn toestandsveranderlijken. Uit de bepaling van causaliteit, systeem en stabiliteit volgt dat niet alle causale interacties tussen S1 Sj en Sk die Sj en Sk stabiliseren (tenminste partieel) tegelijk kunnen gebeuren omdat ofwel de stabilisaties van Sj en Sk negatief interfereren, ofwel samen uitgevoerd s1 zf destabiliseren dat de resultaten in Sj en Sk geen ... meer hebben. Uit diezelfde bepalingen volgt dat een interactie al haar termen wijzigt, wat energie-uitwisselingen veronderstelt, die bij bijzonder kleine, of instabiele systemen of bij bijzonder sterke of langdurende interacties noodzakelijk de eigenschap (2) zal meebrengen. Uit de twee vorige premissen volgt dat er noodzakelijkerwijs in de natuur waarnemingen zullen bestaan die niet tegelijkertijd eenzelfde systeem en evenmin kort na elkaar op eenzelfde systeem kunnen worden uitgevoerd. De theorie van de causale interacties van systemen ligt dus volgens ons aan de basis van de QM, in zoverre ze fysisch interpreteerbaar is. Natuurlijk volgt daaruit niet dat de ganse theorie daaruit afleidbaar zou zijn. 3. Uit 1 en 2 volgt dat iedere observeerbare veranderlijke een reële veranderlijke moet zijn. Een complexe veranderlijke zou slechts gemeten kunnen worden door tegelijkertijd twee reële veranderlijken te meten (wat, zoals zo-even gezien in het algemeen niet kan). In het

34 Dirac 1958, p.30.

172formalisme is een reële lineaire operator een operator die gelijk is aan zijn eigen adjunct (pp.27-35).

4. Als een systeem in een eigentoestand x van een reële dynamische veranderlijke (= een lineaire operator!) is, die behoort bij een eigenvalue x', dan zal een meting van x zeker x' als resultaat hebben, en omgekeerd: als een meting zeker x' als resultaat geeft dan is het systeem in een eigentoestand van x die behoort bij de eigenvalue x'. Dirac geeft slechts een uiterst kort argument: deze veronderstelling is ‘redelijk’ omdat de eigenwaarden van reële lineaire operatoren steeds reële getallen zijn. Vermits hier echter de basisbegrippen dynamische veranderlijke, lineaire operator, eigentoestand, eigenvalue en getal tezamen worden gebruikt, kunnen we de wijsgerige draagwijdte van 4 slechts begrijpen als we de vijf begrippen samen interpreteren. a. Een lineaire operator stelt een verandering voor. b. Een verandering zal in het algemeen vele relaties in het systeem wijzigen. Een koppel <eigentoestand, eigenwaarde> komt overeen met een verandering die erin bestaat in één lineaire orde, de plaats van het veranderde systeem te doen verschuiven. c. Het getal komt overeen met de verschuiving in die orde. d. Een meting is zoals bij 2 beschreven een speciale soort causale interactie tussen systemen. e. Als men a - d tezamen neemt dan blijkt de interpretatieregel de volgende inhoud te hebben: als een systeem zich in een toestand bevindt, waarin een proces een vast eindresultaat x' heeft, en als men het systeem doet interageren met een zich stabiliserend meetapparaat, dan zal de eindtoestand van dat apparaat ook gekarakteriseerd worden door x' (en omgekeerd). Op het eerste gezicht is het besluit e. niet evident, tenzij men sterke restricties oplegt op het meetapparaat. Men kan dat doen door te stellen dat de lineaire operator in S1 ook werkt in S2, of door S1 sterk gelijk te stellen in bepaalde opzichten aan S2. Of men dan nog een fysische inhoud bewaart is onzeker. Toch is dit punt cruciaal: ofwel is de dynamische veranderlijke een intrinsieke karakteristiek van het object, ofwel is het een karakteristiek van de interactie tussen object en subject. In de realistische interpretatie (die hier in 4a voorligt), volgt de interpretatieregel niet; in de niet-realistische interpretatie gaat echter de objectiviteit van de theorie verloren. De discussie kan hier niet mee beëindigd worden. De eigentoestanden van een systeem zijn vast omlijnde evenwichtstoestanden ervan waarvan alle andere toestanden lineaire superposities zijn (alhoewel sommige superposities ook eigentoestanden zijn). Het postulaat dat hier besproken wordt verklaart dat een ... veranderlijke de waarde heeft, die ze in één van die basistoestanden aanneemt. Die basistoestand bepaalt volledig de interactie van het QM systeem met alle externe systemen (en zeker met het speciaal gevoelig systeem dat een meetapparaat is). De conversie van het postulaat spreekt uit dat als een interactie in het apparaat tot één en één enkele evenwichtstoestand leidt, dit slechts te wijten kan zijn aan het zich bevinden van het objectsysteem in één van zijn niet afhankelijke eigentoestanden. De relatie met superpositie wordt nog duidelijker door de volgende eigenschap: als twee of meer verschillende eigentoestanden bij dezelfde eigenwaarde van een ... horen, dan is hun superpositie ook een eigentoestand die bij die eigenwaarde hoort.F

35 Deze superposities geven dezelfde waarden van de observabelen als hun elementen, bij meting. De eigentoestanden die bij verschillende eigenwaarden horen zijn orthogonaal (het scalair product van hun eigenbra’s en kets is zero). Twee toestanden die met zekerheid

35 Dirac 1958, p.35.

173

tatie).

verschillende meetresultaten geven zijn orthogonaal. Dit toont dat in QM, P Þ een zeer sterk begrip is: ‘verschillende’ bra’s of kets heffen elkaar op. De discontinuïteit, voorwaarde van stabiliteit, en het zuiver kwalitatief en ruimtelijk karakter (tot nu toe) van de QM heeft dit tot gevolg. 5. Als een systeem gemeten wordt, springt het in een eigentoestand en blijft erin. Dirac leidt dit uit ‘fysische continuïteit’ af.F

36F Dit overtuigt ons niet, dezelfde eis tot fysische

continuïteit zou ons ... meer recht doen geloven dat een tweede herhaalde meting, het systeem in een toestand vindt zeer weinig verschillen van degene waarin de eerste meting het trof. Het postulaat van Dirac volgt eerder uit de idee dat het systeem niet in een stabiel evenwicht wordt gebracht (anders gezegd: het systeem bevatte potentialiteiten die door de meting op een bepaalde manier zijn geactualiseerd - Poppers interpre 6. Ieder meetresultaat van een reële dynamische veranderlijke is een eigenwaarde van die dynamische veranderlijke. En iedere eigenwaarde is mogelijk resultaat van een meting. Vermits metingen causale interacties zijn met meetsystemen (hoe men ze ook bepaalt), zijn eigenwaarden de resultaten van causale interacties met meetsystemen. De oorspronkelijke toestand waarin het objectsysteem voor meting zich bevond is afhankelijk van de eigentoestand na meting. Alle toestanden van S zijn afhankelijk van de eigentoestanden van lineaire operatoren op S: die laatste vormen een complexe verzameling. Dit betekent dat de toestanden van S ofwel toestanden zijn waarin de meetinteracties van soort ... (een lineaire operator) vaste resultaten geven, ofwel toestanden die door de meting in zulke toestanden overgaan. We zouden dit externe interactiestabiliteit kunnen noemen. ... is een observabele voor S als S door de ... interactie uit ieder van zijn mogelijke toestanden in een toestand stabiel voor externe interactie overgaat.F

37 7. Een observabele x is meetbaar als a) ofwel zijn eigenwaarden een eindige of oneindige verzameling van discontinue getallen vormen; b) ofwel een continue interval tussen a en b; c) ofwel beide. Wiskundiger, iedere ket /P> heeft de vorm ... De integraal is genomen over het ganse domein van de eigenwaarden, de som over willekeurige selecties uit hen) ... zijn eigenkets van ..., en c,d zijn indices die aanduiden wanneer ... en ... gelijk zijn. In een meer algemeen geval wordt de som over de discontinue som van eigenwaarden. Wiskundig is het moeilijk te bewijzen in het algemeen dat een lineair operator aan die voorwaarden voldoet. Let op: niet finitistisch, en niet ... Nochtans viseert QM discontinuïteit! [Maar ieder lineair operator met een eindig aantal eigenwaarden is een observabele. Ieder lineair operator die aan een algebraïsche vergelijking voldoet heeft een eindig aantal eigenwaarden. Als de bra's en kets eindige lengte hebben bevinden ze zich in een Hilbert-ruimte. De volle ruimte van QM is algemener].

36 Dirac 1958, p.36. 37 Boven de hierna volgende tekst staat als opmerking: vervang ... door x! Ik heb dat niet gedaan omdat ik niet precies wist waar en wanneer...

174

8. Als x observabel is, dan is iedere reële functie van x het ook. Indien niet zou de theorie tegenstrijdig zijn (we zouden x = a kunnen hebben f(a) een functie en toch f(x)3 Þ f)(a). Dit is tegenstrijdig). Als f(x) = Co + C1x + C2x2 + C3x3 + ... dan geldt de stelling ook. Bij bepaling geldt dat f(x) de functie is waarvoor f(x)+x'> = f(x')/x'> waar is voor iedere eigenket /x'> van x, f(x') zijnde een getal voor iedere eigenwaarde x' (41-42). De geconjugeerd complexe van f(x) is de geconjugeerd complexe functie f van x. Een functie van een observabele bestaat voor zover ze bestaat voor iedere eigenwaarde van de observabele. Dit betekent weer dat functies van de stabiele toestanden van de observabele afhangen. Som of product van functies is een functie; functie van functie is een functie. De reciproque van een operator a is de operator a-1 waarvor geldt dat ...; ... is waar als ... waar /a'> een eigenket van a behorend bij eigenwaarde a' is. 8. Tot nu toe werd alleen een fysische interpretatie gegeven voor eigentoestanden. Ze moet worden veralgemeend als de theorie een fysische betekenis moet hebben buiten eigentoestanden. Dit is juist wat QM van de klassieke mechanica onderscheidt. In de klassieke mechanica heeft een observabele een waarde voor iedere toestand van een systeem. Als men in QM een observabele x neemt en twee toestanden t1 en t2 waarmee vectoren ... en ... overeenkomen (een bra en een ket) dan kan men <t1/x/t2> vormen. Het verschilt van de 'klassieke' waarde van een observabele doordat 1) het naar twee toestanden verwijst 2) niet steeds een reëel getal is 3) niet volledig bepaald is door x, t1 en t2 vermits <t1/ en /t2> arbitraire numerieke factoren bevatten. Wij zouden dit wijsgerig als volgt kunnen begrijpen: in het algemeen is een toestand van een systeem in QM een transformator die aangeeft welke toestanden in welke toestanden veranderd worden door de eerste toestand, en die dit slechts relationeel aangeeft (de richting van de vectoren is bepaald, niet hun waarde). Dat naast een klassieke mechanica een quantummechanica moet bestaan volgt uit het causaal karakter van de ontologie. Dit is een zeer fundamentele opmerking. Men kan de situatie vereenvoudigen door t1 = t2 te stellen ... de twee toestanden te normaliseren (dus de numerieke factoren tot een te herleiden) en door als teken van t2 de geconjugeerd imaginaire vector van t1 te nemen. Maar deze vereenvoudiging (stel de waarde van x voor t1 = t2 gelijk aan <t1/x/t2> voor t1) geeft paradoxale eigenschappen voor het product. Als men een tweede observabele neemt (b.v. y) dan zou voor t1; de waarde <t1/y/t1> gelden. Klassiek heeft dan voor t1, x + y de waarde <t1/x + y/t2> en xy, de waarde <t1/xy/t2>. Dit klopt in QM voor de som <t1/x/t2> + <t1/y/t1> = <t1/x + y/t1> maar niet voor het product. Dit volgt fysisch uit het feit dat het product met het uitvoeren van twee metingen tegelijk overeenkomt (we hebben gezien - bij 1 en 2, p.17), dat in het algemeen twee metingen niet tegelijk kunnen worden uitgevoerd). Het feit dat de som geen problemen stelt, en het product wel brengt Dirac ertoe een grootheid te zoeken die men optellen maar niet vermenigvuldigen kan, en <t1/x/t2> met zo een grootheid gelijk te stellen. Als men de observabele x vele keren meet, dan is het gemiddelde van die meetresultaten zo'n grootheid (het gemiddelde van een som is de som van de gemiddelden maar het gemiddelde van een product is niet het product van de gemiddelden). Dit is slechts een zwak analogie argument voor een uiterst fundamenteel besluit. Voor toestanden in volle algemeenheid genomen is de waarde van een observabele niet vaststelbaar, maar slechts de gemiddelde waarde van die observabele, bij herhaalde meting. Het gemiddeld resultaat van een

175

meting van x voor t1 is proportioneel aan <t1/x/t2>. Slechts voor eigentoestanden heeft een observabele een scherpe waarde. Metafysisch kunnen we dit als volgt afleiden: als het systeem zich niet in een stabiele basistoestand bevindt, maar in een superpositie van toestanden, dan kunnen metingen niet tot unieke resultaten leiden, maar moeten van elkaar afwijken. De veelheid van resultaten kan slechts door een algemene tendensmaat (zoals een gemiddelde) worden gekarakteriseerd. Anders gezegd: als een systeem door met elkaar interfererende metingen gekarakteriseerd wordt, kan men slechts de gemiddelden van die metingen in rekening brengen. Op dit punt scheidt de statistische interpretatie van de QM zich van de deterministische. Zijn herhaalde metingen op een systeem wel mogelijk of moet men unieke metingen op verschillende met elkaar gelijkwaardige systemen uitvoeren? Als men n interfererende metingen heeft, moet men dan niet andere observabelen zoeken waarvan de meting niet interfereert? Wat is metafysisch afleidbaar? Stelling A: Er bestaan niet herleidbare observabelen waarvan slechts de gemiddelde waarden gemeten kunnen worden. Stelling B: Alle observabelen die onherleidbaar zijn, hebben vaste scherpe waarden. Dit brengt mee dat de quantumobservabelen herleidbaar zijn. In de twee gevallen (A en B) bevat de werkelijkheid echter een laag observabelen waarvan in het algemeen geval slechts de gemiddelden kunnen gemeten worden. Dit feit staat neutraal tegenover de keuze tussen stelling A en stelling B (keuze die we hier niet maken). Dat zulk een laag moet bestaan kan afgeleid worden door vergelijking van stabiele en niet-stabiele toestanden van evenwicht en flux van de objectsystemen en van de meetapparaten (1) en door het holistisch systeemkarakter van objectsystemen en meetapparaten vergeleken met hun decompositie in subsystemen (2). De volgende gevallen zijn combinatorisch mogelijk: I. II.

176

Vermits er metingen in al deze gevallen moeten gebeuren zullen noodzakelijkerwijs metingen gebeuren waarvan slechts de gemiddelden gelden (de heterogene combinaties c en b in II en de gevallen 5-8; 11-12, 13-16 en I. Hierop zal later nog worden teruggekeerd). Als men de gemiddelde waarde van een observabele voor een toestand kan vinden, kan men de waarschijnlijkheid vinden voor die toestand om een vast bepaalde waarde te vertonen. Dirac bewijst dat op p.47 als volgt: 1. Uit de interpretatie 8 volgt dat de gemiddelde waarde van x voor t1 gelijk is aan <t1/x/t2>. 2. Uit de eigenschappen van functies volgt dat de gemiddelde waarde van een functie f(x) gelijk is aan <t1/f(x)/t2>. 3. Laat f = ... (de functie die gelijk is aan 1 als x = a, en aan zero overal elders). 4. Pa = <tz/.../t1> Als a geen eigenwaarde van x is, dan ... x eigen het voor x is zero. Dus ... = 0, en Pa = O. Dit komt overeen met het feit. 5. Als x een continue verzameling van waarden heeft, kan men slechts de waarschijnlijkheid voor x om een waarde binnen een interval a; a + da (P(a)da) betekenisvol vinden. Deze waarschijnlijkheid is de gemiddelde waarde van een functie van x die een is voor x binnen a;d + da, en zero elders. Als deze functie k(x) heeft, dan is P(a)da = <t1/k(x)/t2>. De waarschijnlijkheid Pa of P(a)da die hier gebruikt wordt, stelt problemen. Ze hangt namelijk af van de functie ... die met een oneindige exactheid moet bepaald worden. Dat kan noch experimenteel, noch conceptueel. Bovendien kan P geen frequentie waarschijnlijkheid zijn (want dan moet een aantal keren de exacte waarde van niet eigentoestanden kunnen worden vastgesteld, wat niet kan bij bepaling), en evenmin een subjectieve of een logische waarschijnlijkheid (die geen fysische betekenis hebben). Maar P als een Peirce-Popper dispositie interpreteren is een lege hypothese zolang men geen fysische theorie van dispositie heeft. Deze fysische theorie van disposities zou misschien een niet-statistische theorie van quanta worden. De overgang naar gemiddelden berustte op een postulaat (alleen gemiddelden realiseren als functies van x de eigenschap van additief en niet multiplicatief te zijn) maar de overgang van gemiddelden naar waarschijnlijkheden eist een nieuw postulaat, onafhankelijk van het eerste. 9. Daareven bleek dat het met elkaar interfereren van twee metingen de theorie haar eigen karakter geeft (de wijsgerige deductie van de eigenschappen van interferentie van metingen zal dan ook één van de basissen moeten zijn van de quatummechanica.) Neem 2 observabelen x en y. Als A de ket van een eigentoestand van de twee is, dan is x/A> = x'/A> en y/A> = y'/A> (waar x' en y' eigenwaarden van x en y zijn). Uit die vooropstellingen volgt: xy/A> = xy'/A> = x'y'/A> = x'y/A> = yx'/A> = yx/A>. Dus (xy - yx)/A> = O. Als twee observabelen commuteren, dan hebben ze een gemeenschappelijke eigentoestand. Maar ze kunnen ook een gemeenschappelijke eigentoestand hebben als ze niet commuteren (maar dit uitzonderlijk). Als twee observabelen commuteren vormen hun gemeenschappelijke eigentoestanden een volledige verzameling (i.c.: al hun niet eigentoestanden zijn superposities van hun gemeenschappelijke). N commuterende observabelen kunnen als één complexe observabele beschouwd worden. De waarschijnlijkheden voor het gelijktijdig precieze waarden hebben bestaan. Voor niet commuterende observabelen bestaan die waarschijnlijkheden niet.

177 Het niet interfereren van twee metingen sluit in dat de orde waarin ze gebeuren willekeurig is. De willekeurigheid wordt ook door de commutativiteit uitgedrukt. Het sluit bovendien in dat de toestand waarin het systeem door de eerste meting gebracht is, een exacte waarde voor de tweede meting toelaat (die de eerste toestand niet vermeldt).

Uit deze twee voorwaarden volgt het belang van de commutaties. Als één toestand van een systeem twee observabelen niet doet interfereren, dan kunnen a) andere toestanden van hetzelfde systeem of b) toestanden van andere systemen in beginsel die twee observabelen nog wel doen interfereren. Die volle algemeenheid wordt in Diracs QM echter niet bereikt. Als voor twee observabelen de commutativiteit geldt door het delen van een eigentoestand, dan geldt ze zonder restricties.F

38 Onder welke metafysische voorwaarden kan deze veronderstelling worden veralgemeend? 2.6. Realisaties of representaties In de klassieke mechanica hebben we zowel de Galileïsche als de Einsteiniaanse relativiteit uitgedrukt als eigenschappen van coördinatensystemen. Vermits we naar de rol van symmetrie in de quantummechanica zoeken, zoeken we ook naar de rol van relativiteit en dus naar die van coördinatensystemen. Tot hier, is de theorie van bra’s, kets en lineaire operatoren coördinatenvrij. In QN noemt Dirac een coördinatensysteem een representatie, een methode om de abstracte grootheden te doen overeenkomen met getallen. 1. Men kiest een verzameling van bra-vectoren, zo dat iedere andere bra lineair kan worden uitgedrukt in termen van die bra's. Het zijn de bra’s (die overeenkomen - op meer abstract vlak - met de coördinatenassen). 2. Voor iedere ket /a> is zijn scalair product met ieder van de basis-bra’s, zijn representatie. Die representatie is uniek.F

39F Als er n basis-bra's zijn kunnen ze door n getallen

l1...ln worden beschreven. De representatie van getallen, één voor iedere reeks concrete waarden van l1...ln (een functie van de variabelen gebruikt om de basis-bra te benoemen). Als de onafhankelijke aspecten van een dynamisch systeem eindig in aantal zijn, zullen de basis-bra’s ook eindig zijn. In dat geval zijn de basis-bra’s volledig analoog aan de coördinaten van een gewone vector. Als de onafhankelijke aspecten onafhankelijk zijn, zijn de basis-bra’s orthogonaal. Door de uitdrukking van bra’s en kets in basis-bra’s kan men alle lineaire operatoren door matrices voorstellen. Een ... matrix heeft alle elementen in de diagonaal reëel en alle elementen buiten de diagonaal als complexe spiegelbeelden rond de diagonaal. Reële lineaire operatoren hebben een Hermiteaanse matrix. Uit de fysische interpretatie volgt: ... (waarschijnlijkheid voor variabelen k, l, m om waarde a b c ... te hebben). Als x1...xn de variabelen zijn van een commuterende verzameling dan is P...= ... = ... de waarschijnlijkheid voor de xi's om de waarden x'i te hebben is de tweede macht van de modulus van de coördinaten van de genormaliseerde ket-vector met de toestand die beschouwd wordt, overeenkomend.F

40F Als de basisvectoren allen eigenvectoren van de leden van een

commuterende verzameling zijn, dan zijn alle leden van de verzameling diagonaal in de 38 Dirac 1958, pp.49-50. 39 Dirac 1958, pp.53-54. 40 Dirac 1958, p.73.

178

basisvectoren. Om een coördinatenstelsel in te voeren 1. zoeken we naar observabelen die we diagonaal willen omdat we geïnteresseerd zijn in hun waarschijnlijkheden; 2. we zorgen ervoor dat ze allen commuteren (anders zouden ze niet diagonaal zijn); 3. we vervolledigen ze tot een volledige verzameling; 4. we vormen een orthogonale representatie met deze volledige verzameling diagonaal.F

41 Eens we dit weten kunnen we de transformatiefuncties die één representatie in een andere omzetten (en dus essentieel zijn voor het relativiteitsbegrip, karakteriseren). Laat in een eerste representatie de verzameling X1...Xn volledig en commutatief zijn en de basis-bra’s <x'1...x'n/ en in een tweede e1...en volledig en commutatief, en de basis-bra’s ... Een ket /P> zal twee representaties hebben: <x'1/...x'n/P> en <l1...en/P> Als X1...Xn discrete eigenwaarden hebben en ... continue en als ...; discrete eigenwaarden hebben en ... continue, dan zijn de transformatievergelijkingen die een representatie in termen van een andere uitdrukken. Beide zijn lineair uitdrukbaar in termen van elkaar. Er bestaan geen geprivilegieerde coördinatenstelsels. Dit is de relativiteitsstelling (die een symmetriestelling is - dit moet nog verder worden getoond en de gevolgen ervan moeten worden uitgewerkt. Volgen de QT wetten uit de invariantie onder transformaties, dan volgen ze uit symmetrie). Vermits ... is het wederkerigheidstheorema geldig: de waarschijnlijkheid voor de x' en om de waarde x' te hebben voor de toestand waarvoor de e's zeker de waarden e' hebben is gelijk aan de waarschijnlijkheid voor de e's om de waarden e te hebben voor de toestand waarvoor de x-en zeker de waarden x' hebben. 2.7. De quantumvoorwaarden Tot nu toe werd het algemeenste deel van de QT ontwikkeld dat slechts van de KM verschilt door de bepaling van toestand, en de interactionele bepaling van metingen die niet in regel compatibel zijn. Dat dit metafysisch vroeg of laat in de natuurkunde moet optreden werd afgeleid. Zelfs op dit algemeen vlak bestaan er nog verschillende graden van algemeenheid wat de bepaling van superpositie betreft (1), wat de bepaling van de observabele betreft (2) en wat de bepaling van toestand (3) aangaat. Een deductie is slechts mogelijk als men de veralgemeningen van 1, 2 en 3 met de actuele 1, 2 en 3 vergelijkt. In hoofdstuk IV wordt Dirac nog specifieker en tracht voor niet commuterende variabelen x en y, een specifieke waarde van xy - yx te vinden. De gevolgde methode is klassieke analogie.F

42F De klassieke mechanica is correct voor voldoende

massieve lichamen, stelt Dirac. Wij hebben in hoofdstuk III ze inderdaad onder zekere voorwaarden afgeleid, zodat ze niet alleen empirisch correct maar ook ontologisch noodzakelijk is, voor bepaalde soorten systemen. De recente supergeleidingsfenomenen, en resultaten over SQUID's tonen dat strikt genomen, voor bepaalde massieve systemen (b.v. voor het heelal) ook quantumwetten gelden. De hier gevolgde methode van klassieke analogie is dus niet strikt correct. Men zou niet de quantumvoorwaarden van Bohrs correspondentiebeginsel (dat hier de klassieke analogie wordt) mogen afleiden, maar een onafhankelijke deductie ervan moeten geven. Dirac wil echter de 41 Dirac 1958, pp.74-75. 42 Dirac 1958, p.84.

179

commutatieregel afleiden als directe veralgemening van de klassieke commutatie. Wij moeten de omgekeerde weg voorbereiden, en precies uitvinden hoe Dirac de veralgemening vindt. Hij voert een dynamisch systeem in van n partikels in interactie. Ze worden gekarakteriseerd door hun Cartesiaanse coördinaten ... en door hun momenta pr. Ieder koppel van dynamische veranderlijken heeft een Poisson-haakje: … De waarde van [u,v] is onafhankelijk van de keuze van het coördinatenstelsel. De hoofdeigenschappen van PB zijn: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Dus (zie 3) [] is weer lineair (zoals de superpositie en de operatoren). Als we eisen dat de PB van de QM dezelfde eigenschappen heeft als de vorige, waar de orde van alle producten vastligt (als b.v. in 5 en 6) kan het QM, PP volledig worden afgeleid. Bewijs In deze afleiding moet 1 tot en met 5 a priori volgen als 1. de KM a priori is afgeleid en 2. als het analogiebeginsel a priori is afgeleid. Slechts 6 is empirisch. De volgende redenering is geen bewijs maar een retorisch argument:F

43F

vermits de bepaling van PB in klassieke en quantummechanica zo gelijkaardig zijn, moeten de eenvoudigste (!) QM-PB's identisch zijn van vorm aan de klassieke. Uit klassiek ... (door gebruik te maken van de zojuist gegeven bepaling). Uit deze vergelijkingen kan men de commutatoren voor functies van de basisdynamische veranderlijken afleiden. Er bestaan echter systemen in QM die geen analoge systemen hebben in de klassieke mechanica. Daarvoor geeft de methode geen PB! Om meer algemene PB te verkrijgen vertrekt Dirac van een beginsel ‘dynamische veranderlijken verwijzend naar verschillende vrijheidsgraden van commuteren’.F

44F Dit kan voor

43 Dirac 1958, p.87. 44 Dirac 1958, p.88.

180systemen zonder klassiek analogon slechts worden gepostuleerd. Als systemen geen canonieke veranderlijken hebben kunnen hun commutatoren toch worden berekend op basis van deze regel. De fysische betekenis van de regel is: de verdeling van dynamische veranderlijken in verzamelingen waarvan de elementen steeds commuteren met de elementen van andere verzamelingen spiegelt de verdeling van een systeem in subsystemen die onafhankelijk kunnen bestaan, en in connectie, het oorspronkelijke systeem uitmaken, af. We verwijzen naar de vele plaatsen in dit werk, waarin we natuurwetten hebben afgeleid van de noodzaak onafhankelijke subsystemen te waarborgen. Dezelfde soort overweging verschijnt hier, op de cruciale plaats, waar de commutatoren regel moet worden veralgemeend. Hierop moet dieper worden ingegaan.

Twee representaties: de Schrödinger-representatie en de momentumrepresentatie staan toe alle functies van canonieke veranderlijken die machtsreeksen zijn van p (Schrödinger) of van q (momentum) als differentialen te schrijven.F

45F Ieder van de representaties is gegeven door de

amplitudes van de Fourier-componenten van de andere. Door die eigenschap toe te passen op een functie die buiten een domein van breedte dq' overal zero is, en in dq' periodisch met een precieze frequentie (= een golfpaket) volgt… (Heisenbergs onzekerheidsrelatie). De afleiding hangt af van de Fourier-analyse van de periodische functie.F

46 Belangrijk is dat q en p symmetrisch zijn: het zijn twee observabelen variërend tussen - Å en + Å, waarvan de commutatie-relatie invariant blijft als men q en p verwisselt, en -i schrijft voor i in ‘qp - pq = ...’ (definitie!). 2.8. De afleiding van de Schrödinger-vergelijking uit de eigenschappen van de

verplaatingsoperator Het belang van deze relatie ligt, vanuit ons metafysisch standpunt, in het feit dat een symmetrie-eigenschap van de quantumsystemen: hun onveranderd blijven na hun verplaatsing, de basis van de afleiding vormt, samen met de causaliteitseis. De twee basissen van onze ontologie worden hier dus samen aangewend om de hoofdvergelijking van de quantumtheoretische dynamica te verkrijgen. De verplaatsing van een fysisch systeem wordt volledig bepaald door het initiaal systeem, de richting en de grootte van de verplaatsing.F

47 De verplaatsing van een ket-vector is niet zo eenvoudig. De verplaatsing van de toestand die hij vertegenwoordigt bepaalt de verplaatste ket niet uniek, maar alleen zijn richting. Zelfs als wij eisen dat de lengte dezelfde is (wat ... betekent: de lengte is irrelevant) dan mag men hem nog vermenigvuldigen met arbitraire fase vector. Men kan echter tonen dat de fasevector dezelfde is voor alle verplaatste kets op basis van de basisinvariantie (is het een postulaat of een afleidbare eigenschap?) van superpositie onder verplaatsing. Als /P> = c1/A> + c2/B> dan is ook /Rd> = c1/Ad> + c2/Bd> (waar d de verplaatsing aanduidt: d=displacement). Verplaatste kets zijn lineaire functies van de initiale kets. /Pd> = D/P> waar D onafhankelijk is van P en slechts afhangt van de verplaatsing. Verplaatsing van bra’s is daarmee ook bepaald (als geconjugeerd imaginairen van kets). Dus: iedere vergelijking die kets, bra’s en dynamische operatoren verbindt, blijft invariant onder verplaatsing van iedere term erin waarvoor verplaatsing zin heeft. 45 Dirac 1958, pp.93-94, 96. 46 Dirac 1958, p.98. 47 Dirac 1958, pp.99-100.

181

1) Uit /Pd> = D/P> volgt (... door Q vervangend) dat <Q/P> = c, <Qd/Pd> = c = <Q/P>... a + b geeft <Q/DD/P> = <Q/P>. Dus: DD = 1 (een eigenschap van D). 2) Analoog volgt: vd = D + D-1 (voor v om het even welke dynamische veranderlijke). 3) als men een zeer kleine verplaatsing naar zero doet naderen, dan als de beweging continu is (metafysisch postulaat) nadert /Pd> tot de oorspronkelijke /P>, en bestaat de ... Dan bestaat ook ... Deze limiet is een lineaire operator die de verplaatsingsoperator dx genoemd wordt. 4) Als men een apparaat om x te meten, een afstand dx verplaatst langs de x as, dan meet het x - dx. Dus xd = x - dx. Door D = 1 + d x dx (... dx klein) en vd = (1 + d x dx) v (1 - dxdx) = v + d x (dv - vdx) volgt (voor v = x): dxx - xdx = - 1. De overige grootheden nodig om een dynamisch systeem vast te leggen (... en interne dynamische veranderlijke) commuteren met dx. Rekening houdend met de fundamentele commutatieregels blijkt dat ... dx aan dezelfde quantumvoorwaarden voldoet als px. De x-component van het totaal momentum van het systeem is ... maal de verplaatsingsoperator dx. Dit fundamenteel resultaat volgt uit de invariantie onder verplaatsing, continuïteit en de basiscommunicatie relaties. Twee wijsgerige postulaten, en daarnaast nog de wijsgerige postulaten die nodig en voldoende zijn om de PB als essentiële beschrijvingen van dynamische systemen af te leiden. Verplaatsingen in verschillende richtingen commuteren (weer een eigenschap van de isotropie van de ruimte) en dus commuteren px, py en pz. Verplaatsings-operatoren drukken één symmetrie van quantumtheoretische relaties uit. Een andere symmetrie wordt uitgedrukt door unitaire transformaties. Een unitaire operator heeft de eigenschappen: ... Een unitaire operator laat optelling en vermenigvuldiging invariant. ... commuteert met alle lineaire operatoren (en is dus een getal). ... is een unitaire transformatie. De unitaire transformaties vormen een groep.F

48F Verplaatsing is een unitaire transformatie.

Unitaire transformaties in QM komen overeen met contacttransformaties in KM. Nu zijn de voorbereidingen klaar voor het afleiden van de centrale Schrödinger-vergelijking: 1. Als /Ato> de ket is die overeenkomt met de initiale toestand, en /at> de ket die overeenkomt met de latere toestand, dan eist determinisme dat /Ato>, /At> bepaalt (tot op een arbitraire numerieke factor). 2. Verandering moet superpositie relaties constant houden (als geen meting gebeurt). Uit ...volgt dus ... Deze eis is volledig analoog aan de eis geformuleerd voor D. De /Pt>'s zijn lineaire functies van de /Pto> en /Pt> = T/Pto>.

48 Dirac 1958, p.105.

182

3. Men stelt de lengten van de kets gelijk. Het is een nieuw postulaat dat 3 compatibel is met 2 en 1. 4. Uit lengte ( ...) = lengte ... voor alle c1 en c2 volgt dat <Qt/Pt> = <Qto/Pto>. 5. De relaties in 1-4 zijn voor tijdsverplaatsing volledig analoog aan de relaties voor D (ruimte verplaatsing). Door structurele gelijkheid volgt: TT = 1 en T is unitair. 6. Door continuïteit volgt dat ... bestaat. Dit is de afgeleide van /Pto> met betrekking tot to. ... De afgeleide is, zoals die van de verplaatsing, een puur imaginaire lineaire operator. 7. Laat ... gelijk zijn aan H (bepaling); dan voor willekeurige tijden, door de vergelijking in 6, langs beide kanten te vermenigvuldigen met ... bekomt men: … Elders bediscussiëren we de vergelijking geïsoleerd: waarom afgeleide eerste orde? Waarom ...? Waarom H(t)? 8. H(t) wordt geïnterpreteerd als de totale energie. Deze interpretatie wordt als volgt gerechtvaardigd: 1) analogie met klassieke mechanica, 2) H(t) is ... maal een verplaatsing in de tijd analoog aan de verplaatsingsoperatoren in de ruimte. Zo analoog aan het fundamenteel resultaat dat de x-component van het totaal momentum ... maal de verplaatsing is (px = ...) moet H(t) de totale energie zijn omdat (sic: relativiteit wordt als fundering van quanta gebruikt) door relativiteit energie/tijd = momentum/afstand. Hier is weer de verwijzing naar de verplaatsing, naast het onverwacht invoeren van de relativiteit cruciaal. Het eerste argument hebben we al bekritiseerd zodat het tweede argument centraal staat. Als H afhangt van t wordt op het systeem van buiten ingewerkt. Deze interacties breken het determinisme niet voor zover het geen observaties zijn (zolang we er niet in slagen de observaties als fysische interacties in te voeren, is de theorie ten gronde onvolledig en conceptueel incoherent!). 9. Vermits /Pto> om het even welke ket is, kan men verkort abstract schrijven: ... (waar T de tijdsverplaatsingsoperator is, analoog aan D!). Men kan ook concretiseren door een representatie met een volledige verzameling van diagonale commuterende observabelen in te voeren. Als men die k noemt, en als men <k'/Pt> gelijk stelt aan … dan wordt: /Pt> = psi(kt) en ... Dit is de Schrödinger-golfvergelijking. Iedere oplossing ervan is een bewegingstoestand en de tweede macht van zijn modules is de waarschijnlijkheid van specifieke waarden voor k op t. Uit de redenering die voorafgaat blijkt dat de dynamische wetten van de quantummechanica afleidbaar zijn van wijsgerige beginselen. Vooral de rol van de symmetrieën (uitgedrukt in de analogie van D en T) is tegelijk voor Dirac centraal en in ons wijsgerig perspectief even centraal.

183We mogen dus wel vooropstellen dat juist zoals (b.v.) de Lorentz-vergelijkingen in de speciale relativiteit uit symmetrieoverwegingen volgen, juist zo is dit het geval voor de Schrödinger-vergelijking. Ons wijsgerige standpunt wordt daardoor op een zeer diepe manier bevestigd. Blijkbaar begrijpen we iets van de werkelijkheid als we daaruit vertrekken.

We weten echter ook dat de conservatiebeginselen (voor lineair momentum, angulair momentum en energie) in de klassieke mechanica van symmetrieën afgeleid zijn. We tonen nu dat dit ook in de quantummechanica het geval is. 2.9. De conservatiebeginselen en de veralgemeende D-operatorF

49 Volgens Dirac volgen de conservatiebeginselen gemakkelijkst uit de Heisenberg-versie van de bewegingsvergelijkingen (die gelijkaardig is aan de Schrödinger-versie). In de Schrödinger-versie komt iedere beweging met een bewegende ket overeen (de dynamische variabelen blijven constant). In de Heisenberg-versie blijven de toestanden (d.w.z.: de kets) constant en bewegen de dynamische variabelen (o.a. de lineaire operatoren). De Heisenberg dynamische variabelen vt hangen unitair af van de Schrödingerse vt = T-1 v T (112). De bewegingsconstanten (dus de conservatiebeginselen) die steeds voor een geïsoleerd systeem bestaan, worden afgeleid uit de D-operator eigenschappen: 1) de totale energie is constant: ... 2) de verplaatsingsoperatoren dx, dy, dz voor het infinitesimaal geval zijn constanten der beweging en uit … volgt dat het totale momentum een bewegingsconstante is. 3) de totale energie is constant bij rotatie.F

50 Zoals de klassieke beweging de ontplooiing is van een contact transformatie, zo is de quantumbeweging de ontplooiing van een unitaire transformatie.F

51 Als L de Lagrangiaan is, dan is ... voor dynamische systemen met een klassieke analoog (een oplossing van Schrödingers golfvergelijking ... : de quantum analoog van de klassieke ... actie functie. Het beginsel van kleinste actie zegt klassiek dat S stationair is voor kleine variaties van het pad die de uiteinden constant houden. Dit wordt in QM het beginsel van alle waarden van de intermediaire q's in proportie bijdragen tot de eindintegraal.F

52 Het belang van D operator blijkt nog door het feit dat men een rotatie-operator rond de oorsprong kan bepalen die analoog is aan D. Een rotatie met hoek ... rond de z-as (met ... infinitesimaal) geeft ... rz is, analoog aan d2 een puur imaginaire lineaire operator. De verandering veroorzaakt door r2 in een dynamische veranderlijke is ...; De verandering in de drie componenten van een vector... zijn ... Analoog aan D, is Mz = ... Het spin angulair moment is een interne beweging van een partikel. Maar de componenten van het spin angulair moment staan tot de rotatie operatoren op dezelfde manier als het orbitaal angulair moment. Hieruit volgt ook dat angulair moment behouden wordt. De H wordt behouden door een rotatie. 49 Dirac 1958, p.115. 50 Dirac 1958, in par.35-36 zal de invariantie van het hoekmomentum worden bewezen. 51 Dirac 1958, p.125. 52 Dirac 1958, p.129.

184

Het moet dus een scalaire grootheid zijn en commuteren met het angulair moment. Dus is het angulair moment constant. Een toestand met zero totaal angulair moment is sfeer-symmetrisch (en omgekeerd).F

53 Als men alle coördinaten en bewegingsveranderlijken als coördinaten van een faseruimte behandelt, kan men een systeem in een toestand als een punt in de faseruimte zien. Een onvolledig gespecificeerd systeem kan men als een vloeistof in de faseruimte voorstellen waarvan de dichtheid de waarschijnlijkheid weergeeft. Als rho de dichtheid is dan geldt ... Alhoewel in quantummechanica de faseruimte geen betekenis heeft (vermits men de coördinaten en momenta niet tegelijk kan vastleggen) kan men toch een rho bepalen.F

54 ... ... geeft de bewegingsvergelijking die bovenstaande PB vervangt.F

55 De theorie van collesies, van perturbatierekening, van elementaire oscillatoren, van 1 vrij partikel of van 1 vrij partikel in een veld, hoe belangrijk en elementair ook, kunnen wij in een wijsgerige poging tot begrijpen van de QM niet behandelen. 2.10. Symmetrische en anti-symmetrische toestanden (of theorie van systemen met n

gelijkaardige deeltjes) Uit het centraal karakter van de superpositie, van D en R, en uit de afleiding van de Schrödinger-vergelijking uit de eigenschappen van D die een symmetrie operator is, blijkt al het belang van de symmetrie. Dus ligt het voor de hand dat we verder… … We veronderstellen dat we een systeem ontleden dat bestaat uit n gelijke partikels. Als ieder partikel gekarakteriseerd wordt door een reeks dynamische veranderlijken, is de Hamiltoniaan van het hele systeem een functie van al de veranderlijken. Omdat de partikels gelijk zijn moet de H onveranderlijk zijn voor willekeurige permutaties van de veranderlijken. Als we ieder partikels toestand voorstellen door een ket dan zal de toestand van het geheel voorgesteld zijn door hun product. ... dit is niet de meest algemene ket voor de verzameling. De meest algemene ket is een som of integraal over kets van de zojuist gegeven vorm (ieder partikel is gedeeltelijk in een van vele toestanden, gecorreleerd met de andere partikels, ook in één van vele toestanden). Op de reeks kets kunnen permutaties (in paar of onpaar aantal) her-ordeningen opleveren. Een ket voor de verzameling /x> is symmetrisch als P/x> = /x> voor iedere P. Hij is anti-symmetrisch als P/x> = ì/x> (+ voor P paar - voor P onpaar). De symmetrie wordt bewaard door de evolutie. De H is symmetrisch, en dus blijft een ket in tijd, symmetrisch als hij initiaal symmetrisch was. Hetzelfde geldt voor anti-symmetrie. Als alleen anti-symmetrische toestanden voorkomen dan zal ... verdwijnen als twee van de componenten identisch zijn. Dit komt dus niet voor. Twee partikels kunnen nooit dezelfde toestand innemen. Dit geldt voor fermionen. 53 Dirac 1958, p.143. 54 Dirac 1958, p.132. 55 Dirac 1958, p.133.

185Als alleen symmetrische toestanden voorkomen, kunnen twee partikels zich in dezelfde toestand bevinden. Dit leidt tot statistiek voor bosonen.F

56

Elektronen (Pauli's beginsel), protonen, neutronen, ... zijn fermionen; fotonen en a-partikels zijn bosonen. Alle partikels die reëel voorkomen zijn ofwel fermionen, ofwel bosonen en dus komen alleen symmetrische of anti-symmetrische toestanden voor, bij een verzameling van gelijke partikels. Dit zijn de eenvoudigste symmetrie-toestanden. Er zijn complexer symmetrie-toestanden denkbaar. Twee wijsgerige vragen stellen zich: 1) Waarom zijn alle collecties van gelijke partikels symmetrisch of anti-symmetrisch? 2) Waarom zijn (b.v.) elektronen fermionen en fotonen bosonen? Wij zullen trachten iets over die vragen te zeggen, nadat we permutaties in hun volle algemeenheid hebben bekeken. Permutaties zullen nu niet langer alleen symmetrisch of anti-symmetrisch zijn, en ook niet lineair uitdrukbaar op basis van symmetrische of anti-symmetrische. Iedere P is een lineair operator toepasbaar op deze ket van een verzameling. De P's vormen een dynamische veranderlijke (n! in aantal). De P's vormen een groep (een identiteit, het product van ... associativiteit) …; Permutaties kunnen cyclisch worden uitgedrukt (b.v. Pa = (143)(27)(58)(6). Pa verandert 12345678 in 47138625. P(a) heeft een partitie (3 + 2 + 2 + 1). Twee permutaties zijn gelijkaardig als ze dezelfde partitie hebben. Een partitie-klasse groepeert alle permutaties met dezelfde partitie. Iedere permutatie P is gelijkaardig aan P-2. Een symmetrische functie van de dynamische variabelen commuteert met iedere permutatie. De Hamiltoniaan is een symmetrische functie. Dus vermits PV = VP, PH = HP en iedere permutatie is een bewegingsconstante (!) (zelfs al is de Hamiltoniaan niet constant). De bewegingsconstanten P zijn niet allen commutabel. In dat geval kan men, als H constant is, een functie van de bewegingsconstanten zoeken die commuteert met iedere variabele die commuteert met H (1) en die dezelfde waarde heeft voor alle toestanden met dezelfde H-waarde (2). In het geval van de P, is dit een functie ¥, zodat voor alle P, P¥P-1 = ¥. ... is een mogelijke waarde voor ¥ (Pc zijn alle permutaties behorend tot eenzelfde partitie). De ¥c kan als een gemiddelde bepaald worden. ... (het product van ¥'s is een lineaire functie van de ¥¥ en gehoorzaamt aan de vergelijking die zojuist neergeschreven werd. ¥p = 1 is een oplossing voor de vergelijking: het geeft de symmetrische toestanden. ¥p = ì 1 is er ook een (het geeft de pare of onpare anti-symmetrische toestanden). Iedere oplossing is een karakter van de groep der permutaties. Nu we deze gegevens hebben is het niet belangrijk op dit ogenblik de permutatie operatoren toe te passen om de energieniveaus te bepalen (ª 57) of om de bewegingen van de elektronen (typische fermionen) te beschrijven. We moeten terug naar de twee wijsgerige vragen: 1) Leibniz’ theorie van de identiteit der ononderscheidbaren zou alle collecties symmetrisch maken als ze op alle partikels zou toegepast worden. Nu is er tussen symmetrie en anti-symmetrie geen belangrijk kwalitatief onderscheid. In beide gevallen zijn: de H is numeriek

56 Dirac 1958, pp.210-211.

186

dezelfde bij anti-symmetrie maar wijzigt van teken door permutatie. Men zou het feit dat alle gelijke partikels symmetrisch of anti-symmetrisch zijn kunnen uitdrukken door het feit dat hun permutaties ofwel niets wijzigen, ofwel slechts hun externe relaties wijzigen (van + naar - of van - naar +). Gelijke partikels verschillen natuurlijk steeds door hun relatieve plaatsen. De eigenschap komt dus neer op: het wijzigen van alleen relatieve plaatsen laat ofwel onveranderlijk (de ruimte is homogeen), ofwel wijzigt ze de richting van H (de ruimte is een relationele structuur, niet totaal homogeen). Dat juist de constituerende elementen van de stof (elektronen, protonen) anti-symmetrisch zijn, en die van de straling (fotonen) symmetrisch drukt een diepe destructie uit. Waarom moet de werkelijkheid deze twee ruimtestructuren hebben en alleen die twee? We kunnen nagaan wat er zou gebeuren moesten alleen symmetrische, of alleen anti-symmetrische, of noch symmetrische noch anti-symmetrische collecties voorkomen (in het laatste geval heeft men twee extremen: door permutatie wordt soms het teken niet, en soms het teken wel gewijzigd (1e extreem) en (2e extreem) door permutatie wordt de waarde van H en niet alleen het teken gewijzigd). In de twee laatste gevallen krijgt de ruimte ofwel een variabele structuur, ofwel wordt het een kwalitatief gedifferentieerd veld. De redenen die het waarschijnlijk maken dat de twee laatste gevallen niet voorkomen volgt uit de algemene theorie van de ruimte (zie hoofdstuk III). Het beginsel van de identiteit der onderscheidbaren moet echter tegelijk worden afgezwakt en afgeleid. 1. Als twee identische systemen verschillende gevolgen hebben, kan dit slechts aan hun externe relaties te wijten zijn en dan moeten de verschillen in gevolgen dus ook relationeel zijn. 2. Moest de wet 1 niet gelden, dan zouden de externe relaties van systemen direct gevolgen kunnen hebben voor hun interne eigenschappen. In dat geval zou het onderscheid tussen systeemextern en systeemintern niet kunnen volgehouden worden. Als besluit kunnen we stellen: een verzwakte versie van de identiteit der ononderscheidbaren uit de fusie van causaliteit met systeemtheorie. Dit was nodig om de P-eigenschappen van de partikels te verklaren. De theorie van permutaties van niet gelijkaardige partikels zou eigenlijk de systeemtheorie van de quantummechanica moeten zijn. Ze werd door Dirac niet ontwikkeld. Volgens D. Aerts is ze niet mogelijk. Hierop moeten we terugkomen. Op p.251 vermeldt Dirac terecht dat er een diepe analogie bestaat tussen de theorie van fermionen en van bosonen. We hadden die analogie verwacht omdat beide volgen uit een verzwakking van Leibniz' beginsel. Voor fermionen (met anti-symmetrische H-functies) geldt echter dat er een volstrekte symmetrie bestaat tussen het bezet en het onbezet zijn van een toestand.F

57F De scheppingsoperatoren van

ster-variabelen zijn de vernietigingsoperatoren van ster-variabelen en omgekeerd. ‘The holes are just as much physical things as the original particles and are also fermions’ .F

58F Dit

is de basis waarop positionen zullen worden ingevoerd. Het resultaat is niet afhankelijk van de relativiteitstheorie en het toont weer een zeer sterke symmetrie van de werkelijkheid (in haar fermionen aspect). Ondertussen hebben we nog geen verklaring ervoor dat juist elektronen fermionen en fotonen bosonen zijn. Een poging daartoe zal eerst in de quantumelektrodynamica kunnen beproefd worden. 2.11. Een synthese van quantumtheorie en speciale relativiteit 57 Dirac 1958, p.252. 58 Dirac 1958, p.252.

187

In hoofstsuk VII (?) zagen we dat de speciale relativiteit van symmetrie eisen volgde, en in dit hoofdstuk hebben wij hetzelfde gezien voor de quantummechanica. Het ligt dus voor de hand na te gaan of de twee symmetriebasissen twee theorieën samen kunnen brengen. Speciale en algemene relativiteit moeten dus met quanta worden samengebracht. Als dit niet kan ligt er ergens een contradictie in de basissymmetrietheorie. Dirac vertrekt echter niet van dit standpunt: hij ziet praktisch alleen de noodzaak om speciale relativiteit met quanta samen te brengen omdat gravitatie praktisch geen rol speelt in atomaire verschijnselen, maar partikels wel zo snel bewegen dat speciale relativiteit moet worden toegepast.F

59 Het begrip ‘superpositie’ (een volledige toestand is een combinatie van n volledige toestanden) kan relativistisch gemaakt worden door relativiteitseisen aan toestanden op te leggen. Een observabele betreft de toestand van een systeem in interactie met n systemen op willekeurige afstand. Dus is het geen relativistisch begrip. Dus kan men in quantummechanica niet tijd en ruimte als symmetrisch ten opzichte van elkaar beschouwen, en moet men een speciale representatie kiezen waarvoor de relativistische symmetrie (! sic) opgaat.F

60 In de Schrödinger-representatie kan men x1, x2 en x3 voor de coördinaten x, y en z stellen, en xo voor ct. De van de tijd afhankelijke golffunctie verschijnt als psi (xox1x2x3). De vier x'en kunnen voorgesteld worden door xm (m = O,1,2,3). Iedere tijd-ruimtelijke vector die transformeert onder de Lorentz-transformatie als dxm zal am geschreven worden: ... De am zijn contravariante componenten. Twee vectoren am en bm hebben een Lorentz-invariant product: ... De fundamentele tensor qmn wordt als volgt bepaald: ... In de Schrödinger-voorstelling is het momentum, waarvan de componenten px py pz als p1, p2, p3 geschreven worden, gelijk aan ... De vier operatoren ... zijn de co-variante componenten van een 4-vector met als contravariante componenten ... Om ... relativistisch te maken moet men het uitbreiden tot de 4-vector: ... Dit impliceert de introductie van ..., een energie gedeeld door c). Later zal nog een interne beweging van het elektron (de spin) moeten worden bijgevoegd. De golffunctie zal dus vijf componenten moeten hebben. Nota: Vermits een systeem tegelijk een interne en een externe karakteristiek moet hebben is de invoering van de spin, een essentiële wijsgerige stap voorwaarts. Alle vier andere componenten zijn extern. Dit toont aan dat de mechanica (relativiteit inbegrepen) zich tot de externe relaties beperkt. De dubbele structuur van de QM (bra - kets, en lineaire operatoren is een andere uitdrukking van het invoeren van de innerlijke structuur en de uiterlijke structuur als verbonden maar verschillend). Een klassiek vrij partikel heeft relativistisch H = ...; Dit brengt tot de golfvergelijking (hoe?) ... (waar de p's operatoren zijn zoals hierboven bepaald). Deze vergelijking is niet symmetrisch genoeg voor po! (dus is de symmetrie-eis voor de 4 termen juist weer de ... van de relativiteit voor Dirac).F

61

59 Dirac 1958, p.253. 60 Dirac 1958, p.253. 61 Dirac 1958, p.255.

188

Men vermenigvuldigt de vorige gelijkheid langs de twee kanten met ... en verkrijgt ... Dit is relativistisch invariant. Maar alleen de oplossingen van de laatste vergelijking die bepaalde positieve waarden van po horen zijn ook oplossingen van de voorlaatste. De golfvergelijking is kwadratisch in po. Nu blijkt echter uit de deductie (zie hoger) van de Schrödinger-vergelijking dat de golfvergelijking lineair in ... of po moet zijn. We zoeken dus een golfvergelijking: 1) lineair in po (volgt uit causaliteit en symmetrie) 2) grof gelijkwaardig aan X (volgt uit rel. symmetrie) 3) opdat het eenvoudig zich zou wijzigen onder een Lorentz-transformatie moet het rationeel en lineair zijn in al zijn termen (pragmatisch). Dit geeft ... (met as en b onafhankelijk van p's). Vermits er geen veld is moeten alle punten in de ruimte gelijkwaardig zijn. Dus moeten de a's en b's onafhankelijk zijn van de coördinaten en commuteren zowel met de x'en als met de p's). Dus introduceren ze een nieuwe interne vrijheidsgraad van het partikel (die de spin zal blijken). door (x + 1) te vermenigvuldigen met ... krijgt men als resultaat: ... ... zijn cyclische permutaties van 1, 2, 3. Dit resultaat is gelijk aan X - 1 als ...; Als b = ammc dan zijn die relaties samengevat in ... De vier a's anti-commuteren met elkaar en hun tweede macht is de eenheid. Nu kan x de golffunctie voor het geïsoleerd elektron zijn. De vergelijking X heeft tweemaal zoveel oplossingen als gewoon: een familie met po positief, een andere met po negatief. De a's hebben dezelfde eigenschappen als de componenten van de spin (hier voor spin = 1/2 …) ... Dat een systeem een spin moet hebben volgt - ook met het oog op deze eigenschappen - uit het feit dat het een beperkte interne activiteit moet hebben waarvan de componenten uit elkaar zijn opgebouwd en anti-commutatief zijn: .... Deze spin-componenten kunnen worden voorgesteld door 3 matrices: ... die Sx, Sy en Sz voorstellen en aan de vergelijkingen voldoen. Als we voor vier a's een voorstelling zoeken dan moeten we voor vier anti-commutatieve grootheden een voorstelling vinden. Dit eist vier rijen en vier kolommen. Men stelt de a's eenmaal in termen van S1... S3 en dan in termen van rho 1,2,3 voor. Een keuze is: ...; De rho's en s'en zijn Hermiteaans. Met die representatie zullen de a's de relaties Y (p.47) voldoen. S1 is een verdrukking van de matrix van Sx, S2 van Sy, S3 van Sz. O 1 0 0 0 -i 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 i 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 i 0 0 0 0 -1

189

rho 1 komt uit S1 door rotatie; rho 2 uit S2. rho 1 = 0 0 1 0 rho 2 0 0 -i 0 0 0 0 1 0 0 0 -i 1 0 0 0 i 0 0 0 0 1 0 0 0 i 0 0 rho 3 is diagonaal zoals S3 maar in plaats van 1 -1 1 -1 komt 1 1 -1 -1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 -1 De golfvergelijking moet een variabele met vier waarden bevatten, om de vier matrices ermee te multipliceren. Door Z kan de golfvergelijking X + 1 (p.47) in driedimensionale vector notatie geschreven worden als ... S, p zijn 3-dimensionale vectoren. Wijsgerig is deze vergelijking dus gebaseerd 1) op pragmatische eisen 2) op de basissymmetrieën van relativiteit en quanta en 3) op de analogie tussen a en spin (de spin kan zelf wijsgerig worden afgeleid). Diracs beroemde golfvergelijking voor het relativistisch quantum elektron in een veld volgt door (zoals in klassiek elektromagnetisme gebeurt) po en p te vervangen door ... en ... waar Ao en A scalaire en vectoriale potentaten zijn van het veld op de plaats van het elektron (in de paragrafen over elektromagnetisme hebben we daarover gesproken). Het eindresultaat is ... De symmetrie van de quantumtheorie blijkt nog zeer duidelijk uit de oplossingen van de Dirac vergelijking die naar toestanden verwijzen met negatieve waarden voor de kinetische energie cpo + .Ao (Ý - mc2). De mogelijkheid bestaat ook in de relativiteitstheorie, maar door continuïteit kan een partikel met positieve energie nooit overgaan in een partikel met negatieve energie. In quanta zijn discontinue sprongen wel mogelijk. De negatieve energie oplossing van de golfvergelijking is de geconjugeerde complex van een positieve energie oplossing van een golfvergelijking waar -e door +e is vervangen. De hypothese wordt gevormd dat bijna alle negatieve energie toestanden bezet zijn (1 elektron per toestand) maar enkele onbezet: om die holen te vullen moet men negatieve energie toevoegen.F

62F Dus kan men ze beschouwen als

positief geladen elektrons. Dit sluit in a) dat overal een verdeling van elektronen met oneindige dichtheid aanwezig is b) de leegte is een gebied waar alle toestanden van positieve energie onbezet zijn en alle toestanden van negatieve energie bezet. De symmetrie tussen bezette en onbezette fermionen toestanden (ª 65) heeft de symmetrie tussen elektronen en positronen ten gevolge.

62 Dirac 1958, pp.274-275.

190 Alle fysische wetten zijn invariant onder substitutie van positieve voor negatieve lading en omgekeerd. Deze basissymmetrie heeft wijsgerig iets te maken met het gebruik van complexe getallen in de quantummechanica (a) en de symmetrie voor creatie en ... operatoren voor fermionen (b).F

63

Dit volgt vermoedelijk uit het wezen van het fermion dat we wijsgerig uit het veralgemeend beginsel van Leibniz hebben afgeleid. Het laatste hoofdstuk van Dirac wordt hier niet besproken. Het zal in de quantumvelddynamica behandeld worden. In wat voorafging hebben we uit de abstracte quantummechanica de vruchtbaarheid van de wijsgerige interpretatie voor de dualiteit ket-lineaire operator, basistoestand en superpositie van toestanden, commutativiteit en niet-commutativiteit, Schrödinger-vergelijking, boson-fermion-dualiteit en Dirac-vergelijking leren kennen. Voor terug te keren tot de interpretatie van de QM zal nog de intuïtieve aanpak van David Bohm en Schiff gebruikt worden om vanuit andere wijsgerige premissen dezelfde resultaten te deduceren. Klassieke quantumtheorie als afgeleid door David Bohm … VII.3. Is de quantumtheorie realistisch interpreteerbaar? 3.1. Einstein en de realisme-problematiek in de QT Een kritische lezing van A. Fines The Shaky Game De werkelijkheid is onafhankelijk van observatie of bewustzijn, volledig bepaald, causaal, gedetermineerd en lokaal. Al de grondovertuigingen die aan de basis van deze tekst liggen worden door zekere interpretaties van de quantumtheorie tegengesproken. Daarom is de quantumtheorie wijsgerig relevant. Daarom moet naar een interpretatie ervan gezocht worden die de metafysische consequenties ervan duidelijk maakt. A. Fine heeft in The Shaky Game Einsteins interpretatie op een bepaalde manier weergegeven, waartegenover stelling genomen moet worden. De verspreide mening die aan de ouder wordende Einstein onvermogen toeschrijft om de ‘nieuwe’ QT te begrijpen en te aanvaarden is vals. Einstein werkte tot ± 1930 actief aan de QT mee waarvan zijn teksten over het foto-elektrisch effect en de Einstein-Bose gasstatistiek mede de grondslag legden. Wat hij tegen Bohr verdedigt, is de noodzaak een nieuw begrippenkader te vormen dat verder van het klassieke aflag dan de Copenhagen-school duldde. Bohr beschouwt de taal van de klassieke fysica eigenlijk als definitief in het klassiek domein en meent dat men in het microscopisch gebied niets anders kan dan fragmenten ervan (weliswaar verschillende: de p en de q taal, de golf en de partikel taal) op verschillende experimenten toepassen, zonder ooit tot een synthese te kunnen komen. Einstein daarentegen geloofde dat dit een defaitistische houding was en zocht een nieuw begrippenkader dat de eenheid zou kunnen herstellen. Bohr was conservatief (die praktisch lukte) en Einstein was een revolutionair (die tijdens zijn leven mislukte). De nieuwe formalismen (matrix mechanica zowel als statistiek) beheersten ze beiden. Einstein was enthousiast over de Bohr-theorie van het waterstofatoom en over Heisenberg en Bohrs matrix mechanica van 1925 omdat hij geloofde dat het te vroeg was om een verklarende theorie te bereiken en de zuiver pragmatische houding innam. Maar dat was nooit genoeg voor hem

63 Dirac 1958, p.252.

191(eenvoud en perfectie waren ook nodig).F

64F Het correspondentiebeginsel en de

superpositiestelling werden beide door hem her-ontdekt. Hij beschouwde de quantumtheorie als een statistische theorie over verzamelingen van gebeurtenissen en systemen, die echter omdat de werkelijkheid bepaald is (en wel volledig) niet tot de fundamentele natuurkunde kon gerekend worden. Hij zocht een ander kader. Dat hij hoopte dat dit de algemene relativiteit zou zijn was toe te schrijven aan het feit dat hij geen ander kader kon bedenken om individuele quantum-systemen te beschrijven. Dat hij mislukte in zijn pogingen was voor hem geen motief om op te geven, maar alleen een bewijs van de moeilijkheid van het vraagstuk.

Einsteins bezwaren tegen de QT, geformuleerd in 1927, anti-dateren de onzekerheidsrelaties en zijn… :F

65 1) de vergelijkingen van Heisenberg en Schrödinger zijn niet relativistisch invariant; 2) ze geven geen verklaring van de gedragingen van macroscopische lichamen; 3) ze produceren correlaties tussen systemen die niet in contact zijn; 4) ze beschrijven geen individuele systemen maar slechts statistische gemiddelden; 5) de commutatierelaties zouden niet zo universeel kunnen zijn als ze worden voorgesteld. Uit die lijst blijkt dat, anders dan Bohr of Jammer het voorstellen de onbepaaldheidsrelaties niet centraal waren voor Einsteins bezwaren. In het Solvay congres van 1927 richt hij zijn objecties vooral tegen de ‘instorting van de golffunctie’ die men moet aanvaarden als men de golffunctie als de verklaring van een individueel systeem en niet als een statistisch gemiddelde interpreteert. Daarnaast tussen 1927 en 1930 suggereert hij de noodzaak de beschrijving van dynamische systemen met behulp van de concepten positie en momentum op te geven in QT (vermits ze tot de zgn. complementariteitsvisie die onaanvaardbaar is leidt).F

66 Zijn objecties verwerkt in gedachte-experimenten worden steeds door Bohr weerlegd door op de storingen veroorzaakt door metingen te wijzen. De antwoorden zijn juist maar geven geen inzicht. Ze tonen een uiterst behendig zichzelf verdedigende coherente theorie. Daarom, eens Einstein zijn twijfel over (5) opgegeven had, hij 1 en 2 als correct maar van later zorg evalueerde, moest Einstein zich wel op 3 en 4 concentreren. De vrucht van deze concentratie was het EPR-artikel van 1935.F

67 LaatF

68F

INC = De QT beschrijving van een systeem door zijn toestandsfunctie is onvolledig. NSV= Observabelen voorgesteld door niet commutatieve operatoren kunnen niet tegelijkertijd werkelijk zijn (want ze kunnen niet tegelijk scherpe waarden hebben). Het EPR-artikel argumenteert als volgt: 1) INC v NSV 2) ~INC� ~NSV 3) uit 1 volgt ~INC� NSV (door distributiviteit van conjunctie ten opzichte van disjuncties en ~NSV � INC (terwijl uit 2: ~~ NSV � INC, ~~ NSV = NSV, dus NSV � INC)

64 Fine 1986, p.23. 65 Fine 1986, p.28. 66 Fine 1986, pp.29-30. 67 The Physical Review 47, 10. (?) 68 Fine 1986, p.32 e.v.

192

5) Nu NSV v ~NSV - uitgesloten derde 6) dus: (door [ ( p � q ) & ( ~ p � q ) ] � q ), INC - Als twee niet commutatieve observabelen tegelijk scherpe waarden hebben, is nochtans geen enkele toestandsfunctie van het systeem een eigentoestand voor de twee observabelen. Dus is QT onvolledig. (dit bewijs: ~ NSV� INC). - Moest de QT volledig zijn dan zou in twee systemen die in het verleden interageerden en hun lineair momentum bewaren, (het bestaan van zulke systemen volgt uit de theorie) de meting van de positie van het ene, de positie van het andere opleveren (storing door interactie is niet mogelijk). Dus moet een van de systemen exact tegelijk momentum en positie bezitten. Hier bewijzen EPR, v (INC) î v (NSV) eenvoudig door v (NSV) te bewijzen. Het argument is overbodig complex. Bovendien schakelen EPR naar een ander onderwerp over: ze trachten te tonen dat door het kiezen van de meting op systeem I men de postmeting toestandsfunctie van systeem BII naar believen kan wijzigen en verklaren (waarom?) dat dit feit de onvolledigheid van de theorie bewijst. Bohrs antwoord weerlegt niet langer het EPR-experiment door te verwijzen naar fysische stoornissen, maar weigert het EPR-experiment vanuit positivistisch gezichtspunt (de positieve meting maakt het semantisch absurd nog over een momentum meting te spreken. Dit is zelfs geen begin van een valabel antwoord. Einstein kritiseerde EPR, door Podolsky geschreven als overbodig geleerd en herformuleerde het als volgtF

69F. Beschouw een systeem van twee partikels die hun totaal lineair

momentum behouden. Scheiding is de eigenschap die maakt dat de reële eigenschappen van een partikel niet afhangen van metingen of interacties met het andere partikel als de twee ‘ver’ verwijderd zijn van elkaar in de ruimte. Volledigheid is de eigenschap dat als een eigenschap werkelijk bestaat voor één partikel, de gezamenlijke toestandsfunctie voor de twee waarschijnlijkheid een geeft voor het bestaan van die eigenschap (i.e.: subsysteem ‘partikel’ moet een toestandsvector hebben die een eigentoestand is voor die eigenschap). Het argument bewijst de onverenigbaarheid van scheiding en volledigheid. Bewijs: 1) als ik op tn het momentum in een bepaalde richting van A meet, dan kan ik, door conservatie van momentum, dat van B afleiden. 2) Dus heeft na tn, B een bepaald momentum. 3) Door scheiding kan echter dit momentum niet veroorzaakt zijn door die meting. Dus had voor tn B ook dat momentum (bij bepaling interageert B met geen ander systeem). 4) door volledigheid moet de toestandsfunctie van (A + B) op tn voor B met waarschijnlijkheid 1 een scherpe waarde van het momentum aanwijzen. 5) Echter die toestandsfunctie is een niet triviale lineaire superpositie van producten van eigentoestanden. 6) Door 4 en 5 is de toestandsfunctie onvolledig. In Schilpp p.682 vat Einstein juist deze redenering kort samen. Voor deze tekst is het belangrijk dat de EPR cruciaal gaat over de interactie tussen een conservatiebeginsel dat volgt uit een symmetrie (behoud van lineair momentum) en het bestaan van subsystemen, onafhankelijk van elkaar in toestanden van minimale interactie. Eén van de centrale thema's van onze natuurfilosofie wordt erdoor aangeraakt op een radicale en directe manier. De oplossingen ervan zijn metafysisch belangrijk. Einsteins besluit is

69 Fine 1986, pp.36-37.

193

niet absolute onvolledigheid, maar wel ofwel niet scheiding, ofwel onvolledigheid. De Bell-vergelijking en de Aspect-experimenten schijnen te tonen dat men scheiding moet opgeven (Fine denkt niet dat ze sterk genoeg zijn om dat aan te tonen). Men moet misschien én scheiding én volledigheid opgeven, of onvolledigheid anders bepalen (Apostel), of scheiding anders bepalen, of door een oplossing van 1 en 2 een nieuwe theorie scheppen. De fysische quantumaxiomatica is essentieel een poging een nieuwe theorie te scheppen. Einstein beschouwde zijn gedachte-experimenten als bewijzen voor de stelling dat de statistische uitspraken over gemiddelde waarden van de QT met de volledige waarheid over de individuele processen uitspreekt (Apostel: dit moet ook uit de aanspraken van deze tekst volgen: gemiddelde waarden zijn noch oorzaken, noch gevolgen). De paradoxen zouden volgens Einstein verdwijnen als men de statistische interpretatie zou toepassen. Twee vragen stellen zich: 1. Wat was Einsteins ‘ensemble’ interpretatie? 2. Hoe verduidelijkte het de situaties voorgesteld in zijn gedachte-experimenten? Van het begin af gaf Schrödinger argumenten tegen de ensemble interpretatie (quantisatie van hoekmomentum en tunneleffect) en recent weerlegt Bell het. Fine expliciteert de standaard statistische interpretatie, toont dat ze slecht met Einsteins denken overeenkwam en geeft zijn eigen prisma interpretatie die beter met Einsteins denken correspondeert. Hij toont tevens dat ze niet door Bell weerlegd werd - en dat ze tot een noch realistische, noch anti-realistische metafysica voert. Om ze uiteen te zetten zal eerst de standaard interpretatie worden beschreven. Laat S een quantumsysteem zijn in een toestand. Laat A1-An meetbare eigenschappen van S zijn (lineair momentum, hoekmomentum, plaats). Laat een ‘grote’ verzameling E een verzameling van systemen zijn die zich in een toestand bevinden, analoog aan … Laat met iedere A, een functie ... overeenkomen, die de waarde van Ai in systeem Ej aangeeft als een reëel getal. Dat reëel getal is (realistisch geïnterpreteerd) het resultaat van een eventuele ideale meting (bepaald door een counterfactual). Het oorspronkelijke systeem S wordt beschouwd als resultaat van een toevalskeuze (a - slechte keuze) in E. De waarschijnlijke waarden van de Ai worden gevonden door de gemiddelden over E te nemen volgens de regel: ... waar ¥D de karakteristieke functie is van de verzameling D. Volgens Einstein kan men geen individueel quantumsysteem geïsoleerd beschrijven, maar slechts de gemiddelde waarden van een ensemble. De vraag is echter of voor ieder quantumsysteem een ensemble representatie kan worden opgesteld. Door de onzekerheidsrelaties weet men dat niet commuterende observabelen niet tegelijk kunnen worden gemeten. De niet commuterende observabelen zijn echter operatoren op dezelfde Hilbert-ruimte. De waarschijnlijkheidsdistributie over alle waarde... van observabelen zou moeten bestaan als uberhaupt een ensemble representatie mogelijk was. Ze kan echter niet bestaan: als gevolg van de onzekerheidsrelaties. A. Fine (in Logic and Prob in QM) toonde dit aan vertrekkend vanuit een stelling van Wigner.F

70F

Vermits Einstein alle gegevens kende en statistisch vooraanstaand was, kan men niet aannemen dat hij niet zou ingezien hebben dat de klassieke ensemble interpretatie niet opging. Hij besloot tot een statistische interpretatie vanuit zijn overtuiging van QT onvolledigheid. In EPR en Physics and Reality (1936) volgt die onvolledigheid uit het feit dat met één fysische toestand

70 Zie ook The Shaky Game, pp.44-46.

194

verschillende toestandsfuncties overeenkomen. Bewijs daarvan is dat, terwijl voor Einstein, in de EPR situatie, de toestand van B na interactie niet verandert, toch met verschillende metingen op A, verschillende toestandsfuncties op B overeenkomen. Einstein brengt dus geen niet lokale interactie aan het licht in EPR maar het feit dat een functie een toestand niet volledig bepaalt (en dus wel moet overeenkomen met een ensemble). De statistische interpretatie van Einstein moet volgen uit deze oorsprong. Laten we de twee vroeger interagerende systemen A en B van EPR beschouwen. De golffunctie van B wordt gewijzigd door de keuze van metingen op A. Een meting bevat echter twee stadia: 1) het voorbereiden van de meting en 2) het uitvoeren en bekomen van een specifieke waarde. Als men 2 meerekent, dan komt men tot een eigentoestand van de observabele-operator voor B (wat Einstein duidelijk verwerpt). Men moet zich dus op 1 concentreren (wat uit de Einstein-Schrödinger correspondentie ook volgt).F

71 Fine besluitF

72F: Einstein heeft een overeenkomst tussen toestandsfuncties en ensembles

nodig die 1) voor gekoppelde systemen tot een sub-ensemble overgaat naargelang men een bepaalde soort meting voorbereidt; 2) waar dit sub-ensemble niet noodzakelijk met de eigentoestand van een observabele overeenkomt. Fines prisma representaties vervullen juist die twee voorwaarden. Onder de systemen S die een functie hebben zijn er slechts zekere waar men A1 kan meten, zekere (soms andere) waarop men A2 kan meten, enz. ... Met één toestandsfunctie komt dus een ganse verzameling van ensembles ... En overeen (alle kleiner dan E). Fine beweert bewezen te hebben dat dit model niet tegenstrijdig is met QT. In ieder geval valt de nood om gekoppelde waarschijnlijkheidsdistributies te hebben weg. Maar toch 1) blijft het probleem van de bepaling van E en 2) van de bepaling van E1, E2... enz. Men zou moeten bewijzen dat uit de QT het bestaan van niet triviale E... en E... volgt. Een statistische interpretatie die een prisma interpretatie is wordt niet weerlegd door Bell's stelling en geeft een statistisch model voor QT, maar blijft irrationeel (Apostel) zolang men niet kan aantonen waarom Ei<E (d.w.z.: waarom sommige systemen natuurlijkerwijze niet in staat zijn om de meting van ... toe te laten). Om dit te bewijzen is een niet statistische quantumtheorie nodig! Ook voor Schrödingers kat (een macrosysteem dat een amplificatie van de micro-eigenschappen van de QT bezit en daardoor nieuwe eigenschappen van de QT reveleert) kan men de prismamodellen toepassen: zekere grensgevallen zullen niet toelaten uit te maken of de kat levend of dood is. We elimineren ze. In de populatie die overblijft, hebben we vele katten waarvan de helft levend, de helft dood is terwijl de gedeeltelijke onbepaaldheid van onze preparatie ons niet toelaat uit te maken wat de specifieke oorzaken zijn die bestaan, en die het verschil in het lot der dieren bepalen. “The idea of hidden variables…; is just the idea that generally one can try to ground probalistic assertions by treating them as averages over a domain more complex than is their original home.” F

73F Dus is het prismamodel alleen een bijzondere

versie van Einsteins methodische optie - die in vele domeinen succesvol is en die erin bestaat statistische hypothesen (b.v. correlaties) vanuit causale af te leiden. Einstein dacht enkel dat De Broglie's en Bohms interne aanvullingen in de richting van een deterministische QT te ... waren. Men moest massapunt en energietaal fundamenteel overstijgen (volgens Einstein) en zover hebben de Broglie en Bohm zich nooit gewaagd (tenzij in programmatische late opmerkingen

71 Fine 1986, p.50. 72 Fine 1986, p.51. 73 Fine 198, p.57.

195

van Bohm) zie ook Schilff, p.87). Het besluit van Fine volgens hetwelk de onvolledigheid en de ensemble interpretatie elkaar impliceren en beide samen een argument vormen om de QT te overstijgen vanuit andere fundamentele veranderlijken dan degene die de QT uit de klassieke mechanica overnam, schijnt correct. Bovendien schijnt Einsteins denken hier correct. Lokaliteit: een belangrijke nota. In EPR's oorspronkelijke versie werd lokaliteit met de twee andere begrippen essentieel verbonden. Er bestaan vele verschillende begrippen van lokaliteit. L1. De resultaten van de meting van zekere veranderlijken op een systeem S1 worden niet direct beïnvloed door metingen uitgevoerd op S2, voldoende ver verwijderd van S1. L2. De waarschijnlijkheden van die meetresultaten hebben de eigenschap L1. L3. Voor gekoppelde systemen die niet meer in interactie zijn op t, kan de waarschijnlijkheid van twee gelijktijdig bekomen resultaten op t, gelijk worden gesteld aan het product van de waarschijnlijkheden van de afzonderlijke meetresultaten. L4. De werkelijke fysische toestand van een systeem wordt niet beïnvloed door de soort metingen die men uitvoert op een systeem niet in contact met het eerste. L4 kan waar zijn en L3 vals (Einstein-lokaliteit impliceert Bell-lokaliteit niet. L1 kan waar zijn en L3 vals. De Bell-stelling betreft L3 (en weerlegt ze). Dus de Bell-stelling spreekt niet over Bell-lokaliteit. Einstein-lokaliteit (L4) wordt niet weerlegd door de Bell-stelling. Einstein’s locality does not imply Bell's and Bell-locality does not imply factouzability (p.63). Deze redenering vertrekt echter uitdrukkelijk van het feit dat de quantumobservabelen niet geschikt zijn om de werkelijke toestand uit te drukken. Dit komt in tegenstrijd met iedere (ook deze van de huidige tekst) tot deductie zowel van de QT als van de KM. Hier moet expliciet stelling worden genomen rond de graad van algemeen geldigheid van begrippen als moment, plaats, energie en massapunt. Bovendien moet stelling worden genomen tegenover de QT (en onze minideductie ervan bij Polkinghorne). In ieder geval zou, moesten Fine's besluiten juist zijn, opnieuw de mogelijkheid worden geopend om reële subsystemen in het microscopisch heelal aanwezig te zien (wat onze metafysica eist). In een brief aan Schrödinger maakt Einstein de relatie tussen lokaliteit en onvolledigheid klaar die de inspiratie van EPR is. Laat een biljartbal zich in één van de twee dozen bevinden. Voor ik ze open verklaar ik dat de waarschijnlijkheid de bal in I of II te vinden telkens 1/2 bedraagt. Als de werkelijkheid bepaald is, is deze beschrijving waar en onvolledig. Als de werkelijkheid niet bepaald is, en alle informatie die ik voor de opening kon geven volledig uitgedrukt is in 1/2, dan, bij opening wordt 1/2, een in I (b.v.) en O in II. Dit sluit noodzakelijk een niet lokale actie op afstand in. Er bestaat echter nog een andere bepaling van volledigheid: met één enkele staat van zaken komt één enkele toestandsfunctie overeen. Schrödinger tracht met zijn kat-paradox, juist zoals Einstein met EPR, de QT in moeilijkheden te brengen door de interactie van systemen (Men kan begrijpen dat een in de grond niet spatiale theorie waarvan de assen eigentoestanden en niet afmetingen zijn juist in moeilijkheden geraakt als men Hilbert-ruimten met een verschillend aantal assen of met andere grondassen met elkaar in contact moet brengen). Maar bij Schrödingers kat speelt de ruimte geen rol, terwijl de overgang van micro naar macro domein een centrale rol speelt (bij EPR is de situatie omgekeerd). In de Schrödinger-Einstein briefwisseling anticipeert Einstein Schrödingers kat door een instabiele massa kruit te nemen,

196

een macroscopisch systeem dat spontaan ontbranden kan. QT kan een Schrödinger-functie daarvoor schrijven. Als men die laatste in de tijd laat evolueren, komt ze in een superpositie van reeds ontploft/nog niet ontploft terecht die volledig analoog is aan het half dood/half levend zijn van Schrödingers kat. Vermits er geen macroscopische tussentoestanden zijn, gebruikt Einstein dit als een bewijs voor de onmogelijkheid een macroscopische QT te ontwikkelen. Dit argument wordt door Einstein gebruikt tegen Schrödingers vroegere interpretatie van zijn golffunctie als een reële golf. Alhoewel de kat gewoonlijk in de context van de maattheorie besproken wordt, blijkt ze tot dezelfde formule van onvolledigheidsargumenten te behoren als EPR. Het is trouwens voor de hand liggend dat een theorie als OT die fundamentele problemen ontmoet bij de interactie van systemen ook moeilijkheden moet hebben met de meting, die een bijzonder geval van zulk een interactie is. Realisme Alhoewel de Einstein van 1905 en van de SRT dichtbij Machs positivisme stond, was de Einstein van 1915 en van de GRT realist.F

74F Meer dan door zijn opvattingen over causaliteit en

determinisme is het Einsteins realisme dat hem tegen de QT doet protesteren. Deze tekst is uiteraard realistisch. Vandaar het belang van een bespreking van de relatie tussen QT en realisme. Einstein is holist wat de betekenistheorie betreft (dus anti-operationalist) en ook wat de waarheidsvraag en theoriekeuzevraag betreft (of een hypothese aanvaardbaar is hangt van de aanvaardbaarheid van de theorieën die deze hypothese bevatten af) en transformeert de vraag naar de waarheid van hypothesen of de werkelijkheid van eigenschappen of dingen steeds in een vraag naar de aanvaardbaarheid van theorieën. Fine 1986 noemt dit ‘entheorizing’: “when asked whether such-and-so is the case, one responds by shifting the question to asking instead whether a theory in which such-and-so is the case is a viable theory.” Bijvoorbeeld wat betreft causaliteit onderschrijft Einstein de opvatting van Hume dat we geen directe kennis hebben van causaliteit, maar dat causaliteit voor ons steeds een kenmerk is van theoretische constructen. De kwestie van causaliteit is voor Einstein dus geen empirische kwestie maar een kwestie van welk soort theorie we als causaal beschouwen. Dit holisme geldt ook voor waarheid: geen correspondentie theorie voor lokale oordelen. ‘Waarheid’ hangt af van de globale organiserende kracht van de totaaltheorie. Einstein ‘entheorizes’ dus het concept waarheid. Er is verder geen speciaal concept bij hem aanwezig over wat nu een ware theorie is dan de klassieke opvatting dat de theorie zeer goed geconfirmeerd moet zijn door alle mogelijke waarnemingen. Het al dan niet aanvaarden van een realistische theorie moet, volgens FineF

75F, afhangen

van het al dan niet aanvaarden van een theorie die de wereld beschrijft zoals hij zou zijn, onafhankelijk van onze observatie ervan. Bovendien, het holisme toepassend op het object, zoals hij in zijn totaliteit zou zijn (immers, moest dit laatste criterium niet toegepast worden, dan zou de holistische methodologie niet hoeven te gelden). Bovendien, verder dan Fine, wil deze tekst zich afvragen hoe de werkelijkheid onafhankelijk van alle bewustzijn zou kunnen bestaan. We bewezen dat Einsteins werk, deze zelfde geest uitdrukt. Het realisme van Einstein is een pre-wetenschappelijk programma voor het construeren van realistische theorieën:F

76F

It is basic for physics that one assumes a real world existing independently from any act of perception. But this we do not know. We take it only as a programme in our scientific

74 wat hij zelf in brieven verklaart, Fine 1986, p.86. 75 Schilpp 1949, p.82. 76 Fine 1986, p.95.

197

endeavors. This programme is, of course, prescientific and our ordinary language is already based on it. Brief aan M.Laserna, Januari 8, 1955, geciteerd in Fine 1986.

Realisme is geen kwestie die beslist wordt door het al of niet realistisch zijn van één bepaalde theorie. Dat het realistisch programma momentaan niet lukt is geen reden om het op te geven. Fine bedt Einstein in Lakatos in. Deze tekst meent (zie ons hoofdstuk I) dat theorieënevaluatie noodzakelijkerwijze op een wereldbeeld terugwijst. Einstein fundeert zijn realisme op wetenschapshistorische basis. Een Peirceaanse limiettheorie of een vast Kantiaans categorieënsysteem wijst hij o.a. om historische redenen af. Maar hoe sterk de ontologieën ook varieerden (van Newtons partikels naar Maxwells en Einsteins velden) toch heeft het realistisch programma succes. In de voorgaande hoofdstukken heeft deze tekst zowel partikels als velden vanuit het wijsgerig uitgangspunt relatief gelegitimeerd (als voor nu - en vermoedelijk altijd - noodzakelijk). Naast de (contrafactuele) voorwaarden van waarnemer-onafhankelijkheid stelt Einstein nog als voorwaarden: 1. wetmatigheid, 2. ruimte-tijd representatie, 3. causaliteit, 4. determinisme. Fine (die alleen 2 en 3 noemt naast waarnemer-onafhankelijkheid, p.98) beweert dat deze aspecten niet logisch verbonden zijn met elkaar: realistische en deterministische theorieën kunnen niet spatio-temporeel zijn; causale kunnen niet deterministisch en deterministische niet causaal zijn. Zo heeft in 1927 Einstein beproefd een realistische golfmechanica te schrijven en heeft dat project opgegeven omdat de relatie tussen systemen en subsystemen niet constructief was (1) wortel van EPR en 2) de centrale bron van de relativiteitsbeginselen in de klassieke mechanica EM en RT. Weer merken we hoe een fundamentele wijsgerige problematiek het onderzoek leidt). De bewering dat deze vier kenmerken zuiver persoonlijk bij Einstein verbonden waren met zijn realisme is ad hoc. Wie een causale theorie van de ruimte-tijd heeft (R... - Robertson, zie hoofdstuk III) ziet een verband tussen ruimte-tijd en oorzaak (wat weer problemen stelt voor de causale fragmenten van de QT); bovendien zijn de verbanden tussen wet, oorzaak en determinisme complex en open. De volgende schematische voorstelling geeft de verbanden weer: 1) 'causaliteit' � wetmatigheid, 2) determinisme� wetmatigheid, 3) ~ (wetmatigheid � causaliteit en determinisme), 4) observatie-onafhankelijkheid (= negatieve causaliteit)� causaliteit en determinisme (complex bewijs). Fine stelt dat een algebraïsche en een indeterministische realistische fysica mogelijk is. Zo ook is - als denkmogelijkheid - een zuiver positivistische à la jonge Heisenberg, geïnspireerd door Einstein 1, mogelijk. Maar deze tekst zal een poging zijn om met Einstein de solidariteit van realisme en de vier grondeigenschappen te verdedigen. Einstein is echter even sterk determinist (i.e. tegen probabilistische grondwetten in de natuur) als realist. De band tussen de twee is juist door de analyse van EPR duidelijk geworden: probabilistische wetten, die niet statistisch herleidbaar zouden zijn, moeten steeds EPR paradoxen (en dus noodzakelijk het verwerpen van de ruimte-tijd als kader!) insluiten. Pagina

198

102 maakt dit duidelijk (brief aan Solovine): als er een werkelijkheid bestaat, en ze volledig bepaald is, moet een niet statistische en in beginsel volledige beschrijving van individuele systemen en processen mogelijk zijn. Dit bereiken van bepaalde individualiteit impliceert determinisme. De wijsgeer zou er goed aan doen duidelijk te maken wat bij Einstein slechts onduidelijk aanwezig is. A. Fine zegt “causality and observer independance were primary features of Einstein's realism, whereas a space-time representation was an important but secondary feature.”F

77 Bovendien zal Einsteins realisme, als het tijd-ruimtelijk kan zijn het beginsel van scheiding inroepen: systemen van elkaar verwijderd kunnen elkaar niet direct beïnvloeden (dit is de basisintuïtie van de relativiteit die tegen de discontinuïstische basisintuïtie van de QT wordt tegengesteld). Eindelijk is Einsteins realisme monistisch: er mag slechts één categorie van reëel object bestaan (bij Einstein het veld, in overeenstemming met zijn holisme, verwant met Spinoza). Hiervoor pleit het beginsel van maximale eenvoud (dat bij Einstein een grote rol speelt maar hier niet vermeld werd). Volgt dat beginsel van eenvoud uit één van de overige realisme-postulaten? Op het eerste gezicht niet. Dit realisme wordt historisch en instrumenteel in functie van de winsten qua unificatie van ervaring en nieuwe voorspellingen gejustificeerd. Het is dus geen ‘sterke metafysica’. Toch gelooft deze tekst dat de evaluatiecriteria voor theorieën die Einstein gebruikt… Einstein 1934 onderschrijft: “it is existence and reality that one wishes to comprehend”.F

78F Dit

‘herleidt’ Einstein tot: “we are seeking for the simplest possible system of thought which will bind together the observed facts”. Deze ‘entheoretische’ herleiding is een positivistische reductie, die noch historisch waar, noch psychologisch adequaat, noch gemotiveerd is (Einsteins terugdeinzen voor woorden als ‘werkelijkheid’ en ‘verstaan’ verwaarlozen al het wijsgerig werk dat we in hoofdstuk I hebben besproken). Men kan bovendien dit ‘metafysisch realisme’ aanhangen zonder met Peirce ‘de’ werkelijkheid te bepalen als het object van een (vermoedelijk illusoire) wetenschappelijke consensus. Bas Van Fraassen bepaalt realisme als volgt:F

79F

Science aims to give us, in its theories, a literally true story of what the world is like; and acceptance of a scientific theory involves the belief that it is true.

Van Fraassen vervangt ‘what the world is like’ door ‘empirically adequate’ (en ook waarheid wordt door die term vervangen). Fine denkt dat de 'kennende Einstein' ‘dichterbij de constructieve empirist van Fraassen staat dan bij de ‘metafysische realist’. Dit lijkt ons volledig onaanvaardbaar. Het maakt Einsteins zich afzetten van positivisme en empirisme onbegrijpelijk. Het maakt ook zijn diepe en lange polemiek tegen de QT onbegrijpelijk. Bovendien is het ‘motivationeel realisme’ dat Einstein volgens Fine zelf kenmerkt, irrationeel. Einstein vergelijkt in 1928 de realistische houding met een religieus gevoel. De wereld is een ontzaglijk groot raadsel, een opgave die ons toegankelijk is. Later (1951) verklaart Einstein dit als een fundamenteel vertrouwen in de rationaliteit van de werkelijkheid en in haar toegankelijkheid. De toegankelijkheid van de werkelijkheid was een onverklaarbaar wonder.

77 Fine 1986, p.103. 78 Fine 1986, p.106. 79 Van Fraassen 1980, p.8, geciteerd in Fine 1986, p.107.

199

A. Fine verklaart dit (op een halve bladzijde) uiterst oppervlakkig psychoanalytisch. Deze tekst zou stellen dat als deze ervaring de drijfkracht voor en bron van geluk in Einsteins wetenschappelijk onderzoek was, dit leven misleid en uiteindelijk zinloos zou geweest zijn als de cognitief realistische stellingen niet waar zouden zijn. Dit verband dieper leggen en nagaan bij hoeveel en welke wetenschappers dit motivationeel realisme werkt is een opgave. Fine wijst het realisme af. De ‘dood’ van het realisme die hij proclameert wordt voor een groot deel toegeschreven aan de interpretatiestrijd rond de quantumtheorie.F

80F Daar deze tekst juist in

omgekeerde richting denkt moeten Fine's argumenten weerlegd worden. Een eerste argument voor het realisme is het volgendeF

81F: de wetenschappelijke methode

leidt tot succes en de beste verklaring ervoor is realisme.F

82F Fine vergelijkt dit meta-theoretisch

argument met wiskundige meta-theorie. Juist zoals de logici die aan de consistentie van de verzamelingenleer twijfelden ze moeten bewijzen met sterkere en betrouwbaarder middelen dan verzamelingstheoretische, juist zo moeten wetenschapsfilosofen die aan de realiteit van de referenten van wetenschappelijke constructie twijfelden meer dan gewone wetenschappelijke abductie gebruiken. Anders gezegd: realisme is de bewering dat wetenschappelijke oordelen semi/soms (?) waar zijn. De methodologische verdediging ervan gaat terug op het feit dat die semi-waarheid zelf alleen verklaarbaar is door semi-waarheid. Deze tekst antwoordt voor de vruchtbaarheid voor het verstaan van de resultaten van wetenschappen (niet van de methode) op basis van realistische argumenten. Bovendien mogen de pro-realisme argumenten even sterk of zelfs sterker (even los, of zelfs losser) zijn dan de intra-wetenschappelijke argumenten. Ze moeten het zijn (zie Gödel). Ze mogen het zijn omdat ontologisch de wetenschap tot het zijn behoort en de overgang tot de meta-theorie niet nodig en toegelaten is. Een particulier pro realistisch argument gaat als volgt: in ieder wetenschappelijk domein wordt slechts een kleine groep ± verwante theorieën als concurrenten vergeleken. De verklaring van de vruchtbaarheid van die kleine groep is de approximatieve overeenkomst met de werkelijkheid van één ervan (p.117). Als tegenvoorbeelden geeft Fine de verwerping van de ether en de introductie van het Bohr-atoom. Dit zou weerleggen dat ‘T is goed geconfirmeerd � de objecten van T zijn reëel.’ waar of waarschijnlijk is. Als die weerlegging lukt dan is onze ‘deductie’ van de natuurwetten een zinloze en doelloze onderneming. Onze methode veronderstelt slechts dat ‘objecten of/en structuren analoog aan die van T reëel zijn. De weerlegging door tegenvoorbeelden lukt niet omdat in het metrisch veld van Einstein de ethertheorie voortleeft, en in de golfmechanica de continuïteitsvisie van het vroeger atomisme. Gezien deze relatieve conservatie, is onze metafysische onderneming niet zinloos. Het is echter waar dat de meeste extensies van approximatief en niet volledig ware theorieën vals zijn. De realistische houding (en ook onze onderneming), moet daarmee rekening houden. Dit hangt af van het hiërarchisch en systematisch karakter van de werkelijkheid: slechts langs enkele wegen kan de structuur van S1 met die van S2 verbonden worden. De realist kan slechts door adoptie van een adequate ontologie zijn realisme verdedigen. Ons realisme antwoordt echter wel op Fine’s uitdaging.F

83F Fine schrijft op p.118 van zijn boek: ‘The problem

for the realist is how to explain the occasional success of a strategy that usually fails.’ In de noot waar Apostel naar verwijst zegt hij het volgende:

80 Fine 1986, p.112. 81 Fine 1986, pp.113-114. 82 Boyd 1981, p.84. 83 Fine 1986, zie nota 5, p.119.

200

I hope all the readers of this essay will take this idea to heart. For in formulating the question as how to explain why the methods of science lead to instrumental success, the realist has seriously misstated the explanandum. Overwhelmingly, the results of the conscientious pursuit of scientific inquiry are failures: failed theories, failed hypotheses, failed conjectures, inaccurate measurements, incorrect estimation of parameters, fallacious causal inferences, and so forth. If explanations are appropriate here, then what requires explaining is why the very same methods produce an overwhelming background of failures and, occassionally, also a pattern of successes. The realist literature has not yet begun to adress this question, much less to offer even a hint of how to answer it.

Het probleem der ... : als T1 dichtbij de waarheid is, en T2 ook, hoeft (T1 en T2) het niet te zijn. Nu: integendeel zien we co… dikwijls vruchtbaar. De opmerking van zojuist (systeem-werkelijkheid) verklaart reeds waarom een samenvoeging soms vruchtbaar is, en soms niet (een extra voorwaarde op verwantschap en op soort en graad van afstand tot de werkelijkheid dringt zich op). Fine's argumenten zijn belangrijk, maar ze kunnen beantwoord worden. Hijzelf geeft zich te snel de overwinning door zich in zijn tegenstander niet in te denken. Zijn toepassing van zijn anti-realisme op Einstein is des te minder overtuigend als ze in tegenstrijd komt met zijn eigen portret van Einstein. Einsteins instrumentalisme en positivisme zouden verantwoordelijk zijn voor SRT en GRT. Dit is onjuist (zie hoofdstuk VI). Verder beweert Fine dat wie nu met GRT werkt, de vierdimensionale ruimte-tijd menigvuldigheid en de tensorvelden niet als reëel beschouwt (vooral omdat dit ook de beweging opheft). Nu blijkt juist integendeel de realistische houding als inspirator van de invariantentheorie (en onze verwante symmetrie theorie) inspirator van Einsteins succes te zijn. Wat de QT betreft, heeft deze tekst reeds een inleiding ertoe gegeven die op realistische basis werkt. Fine zelf toont hoe Bohr conservatief was, en Einstein revolutionair (b.v.: p.24!) om nu, gedreven door zijn verkeerde anti-realistische ideologie op p.124, het gevecht van Bohr tegen Einstein tot een noodzakelijke bevrijdingsoorlog te maken. “QT dankt haar praktische successen aan haar anti-realistische houding” (p.125) is een bewering die we in de rest van dit hoofdstuk zullen trachten te weerleggen. Juist de kosmologie zal er grondig van afhangen of men tegelijk de Riemann-menigvuldigheid, de tensoren en de dichtheden van complexe functies met een oneindig aantal dimensies als reëel kan denken. En uiteindelijk is alle wetenschap, wetenschap van het uniek object - de kosmos. De Broglie en Bohm hebben tot Bell en Aspect geleid. Ze zijn wetenschappelijk uiteindelijk vruchtbaar geweest (zoals ook het realistische quarkmodel tegen de S-matrix aanpak won). De post-quantumtheorie is realistisch maar heeft de raadsels nog steeds niet opgelost. Fine tracht een NOA te beschrijven. De praktische houding (NOA) zou zijn dat men zowel de zintuiglijke objecten als de wetenschappelijke (b.v.: elektronen en quarks) voor werkelijk houdt (sommige meer belangrijk en centraal dan andere). De anti-realist voegt bij die kern-houding een betekenis en waarheidstheorie toe. De realist verwerpt de anti-realitische toevoegingen en versterkt de NOA. Maar - ne - volgens Fine voegt hij niets cognitiefs toe. De analyse van Einsteins realisme (als men het ernstig neemt) weerlegt dit. De realist heeft een contrafactuele werkelijkheidsopvatting (hij beschrijft de werkelijkheid ook zoals ze zou zijn zonder kenner) en bovendien een ontologisch anti-justificationele. Fine's NOA is een conservatieve minimalistische wetenschapsopvatting die in se inconsistent is. Men wil namelijk zowel de macro objecten als de wetenschappelijke objecten (Einstein + Schrödinger) tegelijk reëel beschouwen zonder het probleem op te lossen hoe ze tot elkaar staan.

201Fine gedraagt zich net alsof hij de ganse inhoud van de Einstein-quantum controverse vergeet als hij een neutralistisch-Carnapiaanse wijsgerige positie kiest. Een sterke referentiele (extentionele en intentionele) waarheidstheorie is de enige waarborg voor een onbeperkt dynamische wetenschap.

Het realisme stelt dat een volledig bepaalde wereld bestaat (1) gedeeltelijk toegankelijk is (2), zo dat wetenschap die toegang wil en ook bereikt (verder dan observeerbare eigenschappen). Het anti-realisme loochent die drie beweringen op verschillende manieren. Het algemeen vraagstuk wordt echter best naar aanleiding van een bijzonder voorbeeld bediscussieerd. Hier ligt het voor de hand QT als voorbeeld te nemen. Historisch werd de QT getekend door het realisme van de oude quantumtheorie van Planck en Einstein die de realiteit van de microwereld met moleculen en atomen vol aanvaarden. Maar ze ondergaat ook de invloed van Mach en Ostwald. Die dubbele invloed die ffk op Einstein werkt, maakt dat de hedendaagse QT bijna schizofreen de realiteit van atomen, elektronen, fotonen, quarks en mesonen bevestigt, maar tegelijkertijd verklaart (Born, post Bell) onverenigbaar te zijn met een realisme. Fine doet (k9) een poging om te tonen dat QT metafysisch neutraal is en noch realisme, noch anti-realisme impliceert. Zoals uit onze vroegere discussie blijkt is voor een bewijs van het realisme de waarheid van zekere hypothesen niet genoeg (volgens Fines waarheidsbepaling die de multi-dimensionale factoren van de aanvaarding verwijzend naar complexe relaties tussen ervaring, theorie en waarden zelf in de waarheidsbepaling invoert). Er hoeft iets meer: volgens Fine slechts een aura, volgens ons redenen om te geloven dat de objecten waarover de theorieën spreken ook in andere theorieën, en vroegere en latere, en in praktijken een causale invloed laten gelden die toelaat af te leiden dat ‘zo iets als die objecten’ invariant bestaat. Als de QT over waarschijnlijkheden voor meetresultaten handelt, en een realistische theorie de wereld onafhankelijk van metingen beschrijft (op basis van metingen) en als de collaps van de golffunctie zowel als de gedeeltelijke onbepaaldheid van de werkelijkheid onverenigbaar zijn met een precies objectbetrokken beschrijving, dan is de QT niet realistisch. Fine gebruikt eerst een modeltheoretisch argument. Iedere niet tegenstrijdige theorie heeft een model. Dus beschrijft iedere niet tegenstrijdige theorie een wereld. Dit gaat niet: a) iedere niet volledige theorie heeft vele niet isomorfe modellen. Dus beschrijft een onvolledige theorie slechts een wereld als er een niet subjectieve selectie van één of enkele modellen bij hoort; b) een theorie die in haar modellen een essentiële verwijzing naar observatie en bewustzijn, of een essentiële onafhankelijkheid (niet gesloten onder de verklaringsrelatie) toont is niet realistisch. Fine geeft zelf toe dat, moest zijn argument waar zijn, de tendens naar inconsistentie van (GR + QT) een anti-realistische consequentie zou hebben volgens zijn argument. Deze tekst die deze toestand als de wetenschappelijk normale toestand beschouwt maar - in tegenstelling tot Fine - het model niet als de beschreven werkelijkheid ziet en paraconsistente modellen als mogelijk, trekt dit besluit niet. Putnams modeltheoretisch anti-realisme argument dat uit de invariantie van de theorie T onder vervanging van isomorfe modellen door elkaar de onmogelijkheid afleidt voor een theorie om vaste referenten te hebben heeft ook geen beslissende impact tenzij men ‘model = realiteit’ stelt. Die trivialiteit van de identificatie blijkt trouwens uit het feit dat door simpele isomorfie een Copenhagen anti-realistisch model in een realistisch kan worden omgezet (verklaren!). Toch leggen de Putnam-Fine argumenten de verplichting op te specificeren waardoor het werkelijkheidsdomein waarover T spreekt en waarvan de stellingen van T de werkelijkheid attesteren meer concreet te omschrijven. Fine geeft als derde argument voor zijn modeltheoretisch realisme de realistische quantumlogica die zonder te zeggen dat de werkelijkheid een Hilbert-ruimte is, de verzameling der mogelijke toestanden van die werkelijkheid als het raster van de gesloten subruimten van een

202

Hilbert-ruimte beschouwt (of als de categorie van partiële Booleaanse algebra's). Waarvoor die mogelijkheden mogelijkheden zijn wordt niet gezegd: Fine verwerpt de quantumlogica als niet verklarend. “In Matière et Forme (Apostel 1974)F

84F heb ik ze afgeleid van

kennistheoretische postulaten en dus wel verklarend gemaakt. Maar ik ben akkoord dat quantumlogica ontologisch geen verklaring biedt en geef ze dan ook op als metafysiche optie.” Deze tekst moet dus Fines argumenten verwerpen en specifieke eisen voor een realistisch model opstellen die niet subjectief en arbitrair zijn, maar zoals Einsteins eisen, uit de natuur van de werkelijkheid volgen.F

85 Fine begint met een algemeen realistisch schema (waarin zelfs varianten voorkomen), om daarvoor later strengere restricties te eisen. Men moet aangeven wat, in dè werkelijkheid, de systemen (1), de observabelen (2), de toestanden (3) en de waarschijnlijkheden (4) zijn. In een realistische interpretatie: 1. zijn de systemen werkelijk (golven, partikels, combinaties ervan, verzamelingen, enz...). 2. De observabelen (spin, plaats, momentum) komen overeen met werkelijke eigenschappen of relaties die voor ieder systeem een eindig of oneindig aantal waarden kunnen aannemen. 3. Toestanden zijn reeksen volstrekt bepaalde waarden voor alle of een deel der observabelen (de toestanden kunnen partiële functies of n-adische functies van reële systemen zijn. 4. Voor een observabele A, is een specifieke waarde een Lebesgue waarschijnlijkheidsmaat op de reële lijn over de mogelijke waarden van A. 5. Een S heeft een toestand � als het reëel object overeenkomend met S de reeks der specifieke waarden heeft die� aan een voorwerp toeschrijft. 6. Realistische waarheidsvoorwaarde. Als S in � is, en A een observabele is van S, dan schrijft � aan het Real (S) een specifieke vorm van Real (A)¼ Als uit Q(T) volgt dat de waarschijnlijkheden overeenkomend met Real (A) gelden, dan zijn de waarschijnlijkheidsassignaties waar voor S in �. Dit realisme is minimaal. Toch kan men, voortgaand op de commentaren voorgelegd rond Polkinghorne, een ontologische deductie van dit minimaal realisme zoeken. Het bestaan van subsystemen Real (S), van bepaalde soorten K ervan, het - quasi dualistisch - bestaan van A en de Real (A), de � (volledig of onvolledig) als het toeschrijven van concrete waarden aan S, volgens waarschijnlijkheden van bepaalde soort moeten - in hun extreme algemeenheid volgen uit het bestaan van een maximaal zichzelf verklarend systeem. Men kan de Real (A) verder specificeren: als de Borel-verzamelingen over hun variatiegebied; als functies die met ieder object een verzameling en een waarschijnlijkheidsdistributie erover associëren (de particuliere waarden zijn uitbreidingen, spreidingen over (Fine en Teller trachten die opties te justificeren). Deze publicaties (ref. p.161) moeten geconsulteerd worden om te zien in hoeverre ze ontologisch kunnen worden afgeleid. Toegepast op de Bell-problematiek (die de multipele systemen problematiek is, waarvan aan de hand van Schrödinger de metafysische draagwijdte wordt uiteengezet) geeft dit het volgende schema: Een systeem S in toestand � heeft subsystemen 1 en 2. Op 1 kan men n incompatibele maximale metingen A1,�,An uitvoeren, op 2 kan men n metingen B1,�,Bn uitvoeren. Systemen 1 en 2 zijn spatiaal van elkaar gescheiden en de metingen gebeuren tegelijk. De QT geeft een waarschijnlijkheidsdistributie voor alle Ai en Bi en voor alle AiBi-paren. Maar ze geeft geen

84 Apostel 1974, deel 2, boek 3, p.233. 85 Fine 1986, p.159.

203

waarschijnlijkheidsdistributie voor Ai Aj - en BiBj-paren. Voor S in � heeft S eigenschappen a, b en ab die de waarschijnlijkheden voor A, B en A B bepalen. Dit minimaal realisme is onvolledig: 1) men zegt niet wat overeenkomt met specifieke waarden van metingen (maar slechts wat overeenkomt met waarschijnlijkheden), 2) men herleidt de waarschijnlijkheden niet tot iets dieper, 3) men heeft geen verband aangegeven tussen de complexe en de eenvoudige metingen. Om dit minimaal realisme te vervolledigen (het is nodig metafysisch af te leiden dat het vervolledigd moet worden) kan men toevoegen: Post A: ieder meetresultaat komt overeen met een scherpe eigenschap bepaald vóór de meting (dus: metingen hebben geen spreiding). Post B: alle waarschijnlijkheden zijn gemiddelden van scherpe waarden voor één populatie. Dan is de QT dubbel onvolledig: ze geeft niet de scherpe waarden die overeenkomen met twee incompatibele metingen (A) en ze geeft niet de verbonden waarschijnlijkheden van incompatibele observabelen (p.264). Als echter A en B worden aanvaard krijgt men een ensemble representatie van de QT (zie Fine)F

86F .

De stelling van Fine (p.165) houdt in dat er een ensemble-representatie voor A1,�An; B1,�,Bn bestaat dan en alleen dan als er een distributie van de B1,�,Bn bestaat ten opzichte van ieder Ai. De Bell-ongelijkheden bewijzen dat deze voorwaarde niet vervuld is omdat sommige van die distributies de QT-eigenschappen niet hebben. Men kan deze weerlegging van een reductief realisme vermijden door de factorisatie-conditie (niet de lokalisatie-conditie) op te geven (wat de stochastische onafhankelijkheid van processen scheidt van de stochastische onafhankelijkheid van hun resultaten: zie Jarret, Wessels, Earman en Fine p.166). Het probleem van de verklaring van correlaties op afstand is dat ze ofwel verklaard worden door een gemeenschappelijke oorzaak in het verleden (dit is de ensemble-representatie door A en B), ofwel door niet lokale, niet-relativistische interactie: ofwel moet men niet-lokale interactie aanvaarden en verklaren, ofwel moet men tonen dat men correlaties op afstand op een andere manier verklaren kan (b.v. door de complexe eigenschap ab die een structurele eigenschap van het systeem S is). Fine (p.168) besluit dat voor iedere realistische interpretatie moeilijkheden ontstaan: de Bell-ongelijkheden weerleggen 1, de relativiteitstheorie weerlegt 2 en 3 is even ad hoc als de quantumlogica. Mijns inziens moet uit het metafysische systeem basis 3 niet ad hoc afgeleid worden (met elders vruchtbare fysische gevolgen) en compatibel met de relativiteit en met eventuele extensies van die relativiteit die de QT absorberen kunnen. De feitelijke toestand is volgens Fine: 1) de precisie van de Aspect-experimenten is nog niet groot genoeg om Bell-ongelijkheden te weerleggen en 2) de prismamodellen laten een eliminatie van basiswaarschijnlijkheden toe, en vermijden verborgen variabelen en een ensemble-interpretatie. Deze tekst heeft de ambitie in de verwarde massa resultaten enige orde te brengen. Alles blijft echter nog te doen. Het was nodig de resultaten van Fine te bespreken omdat ze 1) het begrip realisme beginnen te ontleden, en -zelfs al is deze tekst te oppervlakking- tonen dat het nodig is een metafysische ontleding van het begrip te geven, 2) omdat de verhoudingen tussen lokaliteit, volledigheid, statistische onafhankelijkheid en het cruciale meer systemen-probleem duidelijk naar voren komen, 3) omdat, innerlijk tegenstrijdig met de historische analyse, een

86 Fine, ‘Joint distribution of quantum correlations and cimm obs’ in Journal of Mathematical Physics, 1306-1310.

204

postmodern NOA (Rorty-achtig) wordt geschetst dat moest het waar zijn het project van deze tekst zinloos zou maken. Sporadisch heeft men kunnen zien dat symmetrie en invariantie overwegingen een rol spelen. Die moet echter in de interpretatie (en vooral in de realismebepaling) van de QT het belang krijgen dat ze principieel door het belang van de groepentheorie voor de QT heeft: realisme houdt verband met ‘wet-determinisme-lokaliteit-causaliteit-relativiteit-bepaaldheid (of scherpte)’ en allen houden verband met symmetrie. In deze bespreking van Fine was de inhoud van ons eerste hoofdstuk op de inhoud van ons tweede hoofdstuk. 3.2. Twee onvolledigheidsbewijzen: Gleason en Kochen-Specker Uit: Henry Krips’ The metaphysics of Quantum Theory De quantumtheorie onderscheidt zich van de natuurkundige theorieën die we tot nu trachtten te verklaren door de onzekerheid waarin we verkeren ten opzichte van haar interpretatie. De drie ‘toegangswegen’ die we tot nog toe hebben gevolgd zijn: het vergelijken van de interpretaties; 1. Het wijsgering interpreteren van een elementaire inleiding; 2. Het wijsgerig interpreteren van basisteksten (Dirac, Bohm, Schiff). We zullen in dit hoofdstuk zien hoe we de onvolledigheid van de QM kunnen aantonen via de stelling van Gleason en de Kochen-Specker. We volgen daarbij de uiteenzetting die Henry Krips geeft in zijn boek The Metaphysics of Quantum Theory. Een realistische interpretatie van de QT houdt in:F

87 1. dat de QT waar is; 2. dat de objecten waarover zij handelt (fotonen, elektronen, etc.) bestaan; 3. dat de eigenschappen die zij aan de objecten toeschrijft reëel zijn. (Kortom: de termen die in de QT gebruikt worden verwijzen inderdaad naar reële objecten.) Een rea listische interpretatie van algemene relativiteitstheorie sluit zeker ook in het reëel bestaan van de Riemann-ruimte, en van de metrische functie die de bewegingen bepaalt en door de energiemassa-tensor bepaald wordt. Maar de tijdruimtelijke punten hoeven daarom niet reëel te zijn in de interpretatie. Het gaat dan slechts over een gedeeltelijk realistische interpretatie. In die zin is de realistische interpretatie van de QT sterker dan die van de GRT. Bohr en Cartwright aanvaarden ook slechts een partieel realistische interpretatie van de QT (elektronen zijn reëel, maar toestandsvectoren zijn het niet).F

88 Naast de bovenstaande punten 1 tot 3, sluit een realistische interpretatie nog drie bijkomende voorwaarden in: 4. Fysische grootheden hebben waarden die onafhankelijk zijn van het feit dat ze gemeten worden of niet (dat kan als een invariantie of een symmetrie-eigenschap wordt uitgedrukt: die eigenschappen zijn invariant onder de permutaties van meetinstrumenten- deze uitdrukking is echter sterker dan 4 en daarom niet steeds waar voor de QT. 5. De toestandsvector, de waarschijnlijkheden en de onbepaaldheden zijn objectief, en niet bewustzijnsafhankelijk (ook dit kan -zij het misschien (?) triviaal - als een invariantie-eigenschap worden uitgedrukt) 87 Krips 1987, p.126. 88 Krips 1987, p.126.

2056. De categorieën waarin de QT wordt uitgedrukt zijn niet afleidbaar van de menselijke perceptie of de structuur van het menselijke denken, maar van de structuur van het zijn (dus -voor ons- zijn het functies van ‘causaliteit’ en ‘systeem’).

De QT kan aan de vorige zes voorwaarden voldoen zonder daarom de interactie tussen metingen en gemeten objecten te ontkennen. Immers, metingen zijn reële causale interacties, en meetinstrumenten zijn reëel bestaande voorwerpen. Meer in het bijzonder zijn de volgende beweringen niet noodzakelijk gevolgen van ieder realisme: 1. Een eigenschap heeft na de meting dezelfde waarde als de meting oplevert (voor ideale meetinstrumenten). 2. Het resultaat van een ideale meting van een eigenschap is de waarde van die eigenschap vóór de meting. 3. Geen enkele quantumeigenschap heeft ooit onbepaalde waarden. Henry Krips noemt 1, 2 en 3 achtereenvolgens (NDQ), (Pass Q) en (Det Q)F

89F. K. Popper meent

dat ‘Realisme � Det Q’, omdat voor hem ‘onbepaaldheid = onzekerheid’.F

90F Daarmee wordt een

subjectief element in de theorie geïntroduceerd. Wie dit aanvaardt moet wel, als hij de QT als een theorie over de wereld ziet, een stelling ervan die over onzekerheid handelt, verwerpen. Wie echter ‘onbepaaldheid’ zelf ontologisch ziet, hoeft dit besluit niet te trekken. Hij betaalt zeker een zware prijs (we moeten nog zien of we binnen ons kader deze prijs kunnen betalen). (Pass Q) is een lid van een bredere familie: voor alle theorieën (niet alleen QT), als ze realistisch zijn, moeten ideale metingen het gemetene onveranderd laten. a) dit sluit in dat onmiddellijk vóór en onmiddellijk na de meting, de gemeten waarden dezelfde zijn als tijdens de meting; b) bovendien dat als de meting een bepaalde waarde van de gemeten grootheid met waarschijnlijkheid 1 voorspelt, in werkelijkheid het gemeten systeem die waarde ook met waarschijnlijkheid 1 heeft (dit sluit niet in dat voor andere waarschijnlijkheden dezelfde overeenkomst geldt). Als echter in een theorie T ofwel kan bewezen worden dat a en b soms vals zijn, ofwel dat niet kan bewezen worden dat a en b waar zijn, dan belet dit de onderzoeker niet een model te ontwerpen, gedeeltelijk structuurgelijk aan de werkelijkheid. Meer specifiek; BC kan waar zijn, zonder dat a en b waar zijn. Sterker zelfs: de theorie kan zó zijn dat de waarheid van BC de valsheid van a en b insluit. Dit blijkt het geval te zijn voor QT. Het wereldbeeld van de quantumtheorie zal dus geen overal bepaald en evenmin overal structuurgelijk model van de werkelijkheid kunnen zijn, maar wel een veelal bepaald en veelal structuurgelijk model. Dit volstaat om een realistische interpretatie te geven. (Det Q) en (Pass Q) zijn onverenigbaar met sommige basiswetten van de quantumtheorie, zoals blijkt uit de stellingen van Gleason (1957) en Kochen-Specker (1967). De stelling van Gleason en haar algemene vorm zegt dat er geen eenduidige afbeelding f : {/xi>}→ {1,0} bestaat van de genormaliseerde vectoren uit een Hilbert-ruimte (voor om het even welke 89 Krips 1987, p.128. 90 Krips 1987, pp.128-129.

206volledige orthonormale verzameling van {/xi>}) van ten minste drie dimensies waarvoor geldt

�i f (/xi>) = 1 Uit dit meetkundig resultaat volgt dat (Det Q) vals moet zijn. Het is een bewijs uit het absurde. Indien (Det Q) waar zou zijn, dan zou voor ieder systeem S, ieder ogenblik t en iedere quantumgrootheid Q er een waarde q bestaan die de waarde van Q voor S op t is. Laten we dit schrijven als -Q(S,t). Als x de uniek bepaalde eigenvector van Q voor eigenwaarde q is, en Q(S,t) = q, kunnen we een afbeelding f bepalen waarvoor f (/x>) = 1. Als x de uniek bepaalde eigenvector van Q’ voor eigenwaarde q’ zou zijn, waar Q’(S,t) � q’, laat f(x) = 0. In die veronderstelling is f echter niet eenduidig omdat eenzelfde x de eigenvector van twee verschillende grootheden Q en Q’ met twee eigenwaarden q en q’ kan zijn terwijl Q(S,t) = q en Q’(S,t) � q. Dan is f (x) zowel 0 als 1. Deze mogelijkheid schakelt men uit door bij (Det Q) een nieuw postulaat te voegen: (U) Voor om het even welke (S,t) en om het even welke niet-gedegenereerde Q en Q’, als Q en Q’ dezelfde eigenvector hebben in de toestandsruimte H van S met eigenwaarden q en q’, dan is Q(S,t) = q dan en alleen dan als Q’(S,t) = q’.F

91F

Als naast (DetQ) en (U) bovendien nog wordt aanvaard dat (C) Voor iedere volledige orthonormale verzameling vectoren {xi} in H(S) bestaat een niet gedegenereerde grootheid Q voor S waarvan de xi de eigenvectoren zijn.F

92F

Dan volgt uit (Det Q), (U) en (C) dat �i(xi) = 1 voor ieder volledige orthonormale verzameling van vectoren {xi} in H van S en f (xi) = 1 of 0 voor alle i. Het bewijs gaat als volgt. Laat {xi} zulke verzameling vectoren zijn. Dan bestaat (door (C)) een Q met xi als eigenvectoren. Uit (Det Q) volgt dat voor iedere Q, Q(S,t) = q met een specifieke qi (die een van de eigenwaarden van Q is, horend bij de eigenvector xi). Dus bij bepaling f(xi) = 1. Maar vermits Q, niet gedegenereerd niet dezelfde eigenwaarden heeft voor verschillende eigenvectoren, volgt uit Q(S,t) = qi, dat Q(S,t) � qj voor iedere j � i. Dus f(xj) = 0 voor iedere j � i. Dus is �i f (xi) = 1 en f (xi) = 1 of 0 voor alle i. Het bewijs sluit alleen als we de conclusie afleiden voor iedere qi voor alle i. Dit besluit toont dat (G) onverenigbaar is met de conjunctie van de drie premissen (Det Q), (U) en (G). Nu (G) bewezen is, is ook ¬(Det Q & U & C) bewezen. De moeilijkheid kan opgelost worden ofwel door (Det Q), ofwel door (U), ofwel door (C) op te geven. (C) is controversieel. Men kan dat intuïtief begrijpen: waarom zou iedere orthonormale sub-verzameling van vectoren de eigenvectoren van een grootheid opspannen? Men zou dus C kunnen opgeven. Echter, door de stelling van Kochen-Specker (zie later) kan hetzelfde resultaat (de negatie van (G)) afgeleid worden uit (Det Q) & (U) (zonder (C)). Wil men de bepaaldheid van alle grootheden behouden zou men (U) moeten opgeven. (U) opgeven betekent bevestigen dat er niet gedegenereerde fysische grootheden Q en Q’ en een vector x in H van S bestaan die 91 Krips 1987, p.135. 92 Krips 1987, p.136.

207tegelijk eigenvector van Q is voor een eigenwaarde qi, en eigenvector van Q’ voor eigenwaarde qj

’ en Q(S,t) = qi maar Q’(S,t) � qj’. Uit deze negatie van (U) kan afgeleid worden

dat de theorie waarin men zich bevindt onvolledig is. Krips bewijst dit als volgt.F

93F Men

veronderstelt de

(Statistische grove korrel voorwaarde): Als Prob (Q heeft waarde qi in S op t) = 1, dan Prob (Qi waarde 1 in S op t) = 1 en als Prob(Q heeft waarde qj in S op t) = 1 voor een j � i, dan Prob(Qi heeft waarde 0 in S op t) = 1 en de (Extentionele grove korrel voorwaarde): als Q(S,t) = qi dan Qi (S,t) = 1 en als Q(S,t) = qj voor een j � i, dan is Qi(S,t) = 0. Voor iedere niet-gedegenereerde Q en iedere eigenwaarde qi van Q bestaat een Qi met 0 en 1 als mogelijke waarden. Wanneer een quantumsysteem in een eigentoestand is van een observabele dan heeft het systeem de eigenwaarde die bij die eigentoestand hoort met waarschijnlijkheid gelijk aan 1. Als dit gegeven is dan moet Qi als eigenvectoren voor de eigenwaarde 1 alle eigenvectoren van Q voor eigenwaarde qi bezitten (waartoe de vector x hierboven vermeld behoort). Om dezelfde redenen moet Qi als eigenvectoren voor de eigenwaarde 0 de verzameling van vectoren x’ hebben die eigenvectoren van Q voor een eigenwaarde qj (j � i) zijn. x en x’ vormen een volledige verzameling in de Hilbert-ruimte van S. Hetzelfde geldt voor Qj voor j � i). Hieruit volgt dat Qi en Qj’ identieke representaties in H hebben (ze komen beide overeen met de projectieoperator Px op x). Maar Qi(S,t) = 1, en Qj’(S,t) = 0 vermits bij hypothese Q(S,t) = qi en Q’(S,t) � qj’. Dus kunnen Qi en Qj’ niet dezelfde fysieke grootheid zijn niettegenstaande hun representaties in H identisch zijn. Dus is QT onvolledig (vermits ze twee verschillende grootheden identificeert). Hierop kan op twee manieren gereageerd worden:F

94F

ofwel bevestigt men dat Qi en Qj’ bestaande q-grootheden zijn en verwerpt men de volledigheid van QT (zoals de EPR doet); 1) ofwel ontkent men dat ze fysische grootheden zijn; 2) ofwel ontkent men dat ze fysische q-hoeveelheden zijn. In het eerste geval geeft men de onvolledigheid toe en stelt men dat een operator in H(S) méér dan een fysische grootheid voorstelt. 2 kan eigenlijk niet omdat (ExtGK) volgt uit het bestaan van Q en omdat de (SGK) uit (ExtGK) kan worden afgeleid door S over een tijdinterval te beschouwen. In het derde geval geeft men opnieuw de onvolledigheid van QT toe. Dus: als Dfet Q aanvaard wordt, is QT onvolledig. Henry Krips’ gewijzigde pilootgolf-oplossing maakt voor alle dichtheidsoperatoren Whoedje(S,t) die gelijk zijn aan de identiteitsoperator, ale q-hoeveelheden bepaald (en dus QT onvolledig). Tweede onvolledigheidsbewijs: 93 Krips 1987, pp.137-138. 94 Krips 1987, p.138.

208

Laat F(Q) een fysische quantiteit zijn waarvoor de waarde F(Q)(S,t) = Fhoedje(Q(S,t). Als eigenschappen wordt geëist: (Func)1 Als Q een q-kwantiteit is, dan is F(Q) en b F(Q) ook een q-kwantiteit. (U)1: Als Q hoedje = Q’ hoedje, dan Q= Q’ (d.w.z. Q(S,t) = Q’(S,t) voor alle S, t). Identische dichtheden voor twee grootheden bepalen identische grootheden. Men kan tonen dat (Func)1 GK fysische grootheden insluit. Bewijs. Laat F de functie Di zijn bepaald door Di(q) = 1 als q = qi Di(q) = 0 als q = qj (j � I) Bij definitie Di(Q)(S,t) = 1 als Q(S,t) = qi Di(Q)(S,t) = 0 als Q(S,t) = qj (j � i) Door (Func)1, Di hoedje(Q) = Di(Qhoedje). Dus heeft Di(Q) eigenvector f voor eigenwaarde 1, en f’ orthogonaal op f, voor eigenwaarde 0. Prob(Di(Q) heeft waarde 1 of 0 in S,t) = 1 dan en dan alleen als Prob(Q heeft waarde qi of qj respectievelijk in S,t) =1 voor j � i. Uit (Func)1 en (U)1 volgt U: immers, als de eigenvector van q voor eigenwaarde qi ook de eigenvector van Q’ voor qj’ is dan zijn Qi en Qj’ beide q-grootheden (Func)1 en Qihoedje = Qjhoedje. Dus is Qi = Qj (U?) 3.3. Prigogine’s pijl van de tijd en het probleem van de meting Uit: A.Rae’s Quantum Theory: Illusion or Reality? Vereenvoudigd en in eerste benadering kunnen de betrekkingen tussen meting en tijd als volgt worden beschreven. Een meting is een onomkeerbaar proces. Inderdaad: ze moet een spoor nalaten. Het systeem dat de meting uitvoert en dat verschillend moet zijn van het systeem waarvan men een eigenschap meet, moet als resultaat van de meting anders zijn geworden. In tegenstelling met metingen zijn gewone quantumprocessen beschreven door Schrödinger-vergelijkingen omkeerbaar en behouden het vermogen naar hun initiële toestand terug te keren. Ten minste, dit is de interpretatie die de rol van de tijd in die processen gewoonlijk krijgt.F

95F

De tweede wet van de thermodynamica gaat wel op voor alle geïsoleerde systemen, maar niet voor open systemen. In hoofdstuk IV werd voldoende gewezen op het feit dat de moleculen in een recipiënt zich, aan zichzelf overgelaten, over alle delen van het recipiënt gelijk verspreiden. Alle macroscopische processen zijn onomkeerbaar zelfs al schijnen ze omkeerbaar. Een slinger man nog zo perfect zijn, toch zal hij door wrijving met de uiteinden of de lucht, vertragen en stilvallen. Planeten en satellieten houden om analoge redenen, geen perfect gelijke banen (zelfs al gaat in beide gevallen de verandering zeer traag). Alle microscopische processen (behalve enkele zeldzame gevallen in zwakke wisselwerking) zijn echter omkeerbaar.F

96F Alle

mechanische en elektromagnetische processen kunnen omgekeerd verlopen. De T symmetrie is daarvoor de oorzaak (wel moet hier de volle CPT worden gebruikt, wat de huidige discussie onvolledig maakt.) Eén molecuul dat tegen de wanden van een vat terugstoot zal een periodieke baan 95 Rae 1986, pp.94-95. 96 Rae 1986, p.97.

209

beschrijven als de invalshoek een rationeel getal n/m is (waar n en m gehele getallen zijn), en zal een a-periodieke baan beschrijven in het veel waarschijnlijker geval waarin de invalshoek een irrationeel getal is. In die laatste omstandigheid zal het molecuul alle toestanden doorlopen die verenigbaar zijn met het behoud van energie.F

97F Dit is de ergodische (of quasi-ergodische)

hypothese. Sommige toestanden zullen willekeurig dicht komen bij de initiële toestand. Henri Poincaré heeft de recurrentiestelling (zie hoofdstuk IV) bewezen. Dit alles ‘schijnt’ erop te wijzen dat onomkeerbaarheid een illusie is. Daardoor blijkt het in verband brengen van meting met thermodynamische onomkeerbaarheid niet dadelijk een oplossing voor het meetprobleem te leveren. De meetinstrumenten mogen nog zo onderworpen zijn aan thermodynamische processen, toch blijven ze in beginsel onderworpen aan Poincaré-omkeerbaarheid. Dus blijkt er geen essentieel verschil te bestaan tussen de reversibele quantumprocessen beschreven met de Schrödingervergelijking en metingen op quantumsystemen. Om de connectie tussen onomkeerbaarheid en meting te redden tracht men -en dit is boeiend vanuit een filosofisch standpunt- een beroep te doen op de eenheid van het heelal: geen enkel systeem is perfect gesloten.F

98F De lengte van de Poincaré-recurrentie in een systeem S1 kan

grondig gewijzigd worden door een mini-proces in een ver verwijderd systeem S2. Dit is een vaststelling die in dezelfde richting gaat als de niet-lokaliteit van de EPR-processen (en -op het eerste gezicht- in tegenstrijd komt met het bestaan van relatief autonome subsystemen die zo een centrale rol spelen in KM, SR en GR door de relativiteitsbeginselen). Als de verbondenheid van systeem met totale omgeving zo groot is, dan kan geen enkel subsysteem terugkeren naar zijn initiële toestand zonder dat het ganse heelal terugkeert naar zijn initiële toestand. Vooropgesteld dat men het postulaat zou invoeren 1) dat de QT niet toepasbaar is op het ganse heelal en 2) algemener: dat de Poincaré-recurrentie stelling niet op gaat voor het ganse heelal, dan kan men besluiten dat geen enkel subsysteem terugkeert naar zijn initiële toestand. Men moet besluiten dat als het ganse heelal naar een vorige toestand terugkeert, alle waarnemers (indien die aanwezig waren) ook terugkeren naar de initiële toestand. Dus zou geen enkele waarnemer kunnen besluiten dat er tussen de eerste en tweede keer dat de initiële toestand wordt ingenomen, tijd verlopen is. Dit is echter geen argument (als men tenminste het empiristisch betekeniscriterium niet invoert) voor de onmogelijkheid of zinloosheid van recurrentie. Kosmologisch blijkt de QT echter wel toepasbaar te zijn op het totaalheelal. Bovendien is het heelal zo groot en de transmissiesnelheid van zwaartekracht en elektromagnetische krachten relatief zo klein dat het zeer moeilijk is te bewijzen dat een onomkeerbaar proces zich heeft voorgedaan op de grootteorde van het heelal. Het groot bezwaar dat tegen de oplossing van het meetprobleem door zijn karakter van onomkeerbaar proces aangevoerd kan worden is echter het volgende: de ‘instorting van de golffunctie’ is wel een onomkeerbaar proces, maar niet ieder onomkeerbaar proces is een instorten van de golffunctie. Men kan zich zeer goed een onomkeerbaar wijzigen van de golffunctie indenken zonder de reductie die gebeurt. Als nu onomkeerbaarheid reductie niet insluit, kan ze ook niet verklaren wanneer ze gebeurt. Men zou juist uit de natuur van het meetproces moeten afleiden dat het een noodzakelijk onomkeerbaar proces is (1) van die aard dat de reductie van het golfpakket uit de onomkeerbaarheid, zó bepaald, volgt. Prigogine stelt in zijn 1980 -we hebben dit boek reeds besproken in hoofstuk IV- stelt

97 Rae 1986, p.100. 98 Rae 1986, p.101.

210

zelfs voor in de klassieke mechanica de tweede wet als fundamenteel in te voeren. Dit sluit in dat het Poincaré-recurrentie beginsel vals moet worden. Men kan aantonen -klassiek- dat vanaf het drie lichamen probleem zwakke stabiliteit en sterke vermenging de regel zijn voor alle dynamische systemen. De thermodynamische variabelen (druk, volume, temperatuur) zijn dan wel bepaald maar de dynamische (plaats en snelheid der deeltjes) zijn onvoorspelbaar. In dat geval stelt Prigogine voor de dynamische als benadering en eerste-orde illusie te beschouwen (met op hetzelfde plan de erbij horende onomkeerbaarheid). Dit voorstel -we verwijzen de lezer naar hoofdstuk IV- stuit echter op twee hinderpalen: 1) Juist zoals een aanhanger van de klassieke visie moet verklaren waarom de werkelijkheid

dynamisch en omkeerbaar is, juist zo moet Prigogine het tegendeel bewijzen. Klassiek hebben -onbevredigend- Descartes, Leibniz, Spinoza en Kant het eerste beproefd, en men zou Hegel kunnen interpreteren als een poging om het tweede te doen. In de grondhypothesen uit hoofdstuk I meen ik een mengsel van beide metafysisch te hebben gefundeerd. Dit mengsel staat niet toe Prigogine’s antwoord als bevredigend te beschouwen.

2) Het toepassen van de complementariteitsgedachte op het koppel <klassieke variabelen, thermodynamische variabelen> stuit op de bezwaren die men moet inbrengen vanuit het realisme tegen de complementariteit. Deze hinderpalen beletten echter niet te erkennen dat het klassieke perspectief evenmin juist is.

Laten we even die moeilijkheden terzijde laten; dan blijft nog steeds de niet gerealiseerde eis uit precieze eigenschappen van het meetproces (a) de onomkeerbaarheid van het meetproces af te leiden (b) en uit die onomkeerbaarheid, de instorting van het golfpakket af te leiden (c). Prigogine begint met aan te nemen dat meetinstrumenten (zoals de meeste systemen in de werkelijkheid) zwak stabiel zijn. De vraag is echter of meting nog wel mogelijk is voor die variabelen die de impact van die zwakke stabiliteit zouden ondergaan. Als Object+Meetapparaat zwak stabiel is, dan mag toch de juiste waarde van een meetresultaat niet afhangen op een belangrijke manier van een infinitesimaal verschil van gemeten variabelen in het objectsysteem. Dit moet verder worden uitgewerkt! Na die eerste veronderstelling (die verschillende vormen kan aannemen: O als zwak stabiel, M als zwak stabiel, O+M als zwak stabiel) wordt een volgende veronderstelling gemaakt: de zuivere toestanden van de quantumsystemen staan tot de resultaten van metingen zoals de dynamische veranderlijken van de klassieke mechanica tot de thermodynamische grootheden. We hebben reeds gezien dat Prigogine de thermodynamische grootheden als essentieel beschouwt en de klassieke als slechts uitzonderlijk bepaalbare benaderingen. Naar analogie stelt hij voor hetzelfde te doen voor de quantumtoestanden. Hier moet -zoals reeds eerder- worden opgemerkt dat dit een breuk met het realisme veronderstelt. Als alleen de interacties met meetinstrumenten reëel zijn (zelfs als die in de eerste plaats en niet uitsluitend reëel zijn) dan heeft men eigenlijk opnieuw het subjectivisme van de Copenhagen-interpretatie. Dat metingen ook processen zijn, brengt met zich mee dat ipso facto het primaat toekennen aan wording mee zou brengen dat primaat moet toegekend worden aan de speciale wordingen die de metingen zijn, of aan de even speciale wording die de thermodynamica is (er bestaat tot nader order geen deductie van het statuut van de thermodynamische grootheden). Anderzijds volgt uit het feit dat metingen processen zijn, en aan een eventueel primaat toegekend aan metingen, niet dat het juist het proceskarakter van de meting is die dit primaat zal opeisen. Prigogine gebruikt een pro-wording argumentatie om er zich van te ontslaan zijn optie (die eigenlijk een keuze voor de Copenhagen-interpretatie, geïnterpreteerd m.b.v. de zwakke stabiliteit, is) te legitimeren.

211 Dit blijkt duidelijk als de cruciale vraag wordt gesteld of de superpositie (in quantumeffecten) van verschillende ‘zuivere toestanden’, afleidbaar is uit de zwakke stabiliteit (de sterke vermenging) eigen aan alle systemen.

Het gaat hier over in se totaal verschillende onzekerheden. Een detailontleding van de bewijsvoering in Prigogine 1980 die Prigogine gebruikt om die twee heterogene effecten te assimileren is nodig. De beweringF

99F als zou een zuiver quantumproces zich slechts kunnen voordoen in een

systeem dat volledig ontkoppeld is van de rest van het heelal, identificeert de idee van systeeminteractie (als zodanig) met de idee van meting. Die identificatie is niet aanvaardbaar. Ze gaat duidelijk in de richting van: ‘gebeurtenis = onomkeerbare gebeurtenis = interactie = meetinteractie = observatie = worden.’ Het is een ontoelaatbare vereenvoudiging aan te nemen dat ‘koppeling van systeem met heelal (= een of ander holisme), gelijk zou staan met ‘koppeling van systeem met meting’ en tevens met ‘onomkeerbaar worden’. Het is zeker waar dat de relaties tussen deze begrippen centraal staan, maar de bewering

If we identify the idea of measurement by an observer in the Copenhagen interpretation with an irreversible change in the universe brought about by the onset of strong mixing, we may have obtained a consistent solution to the measurement problem.F

100 bevestigt onze vrees. Dit is subjectivistisch: men identificeert onomkeerbare veranderingen met metingen door een waarnemer. Juist dit kan niet waar zijn. De motieven die deze tekst ertoe brengen deze oplossing van quantumtheoretisch meetprobleem niet te aanvaarden zijn dus principieel specifieker dan de twee volgende bezwaren: 1) de mogelijkheid om processen met sterke vermenging en zwakke stabiliteit als bijzondere gevallen te beschouwen van ergodische processen (deze opvatting lijkt ons -zoals reeds in hoofdstuk IV gesuggereerd- niet vals, omdat processen met sterke vermenging wel epistemologisch maar niet ontologisch verschillend zijn van ergodische); 2) de noodzaak voor iedere verandering ook een substraat te denken dat verandert, lijkt ofwel logisch ofwel ontologisch onontkoombaar. Hier lijkt ons één van de grote metafysische opties te liggen die open staat. De twee bezwaren zijn -voor ons- geldig. Ze zijn echter veel algemener dan degene die wij zelf hebben naar voor gebracht. 3. 4. Voorlopig besluit Van de verschillende interpretaties die geboden worden voor de QM kunnen twee direct worden afgewezen. De eerste onaanvaardbare interpretatie is de weigering te interpreteren die met de Copenhagen-interpretatie gepaard gaat. De tweede is Wigners identificatie van het bewustzijn als de bepalende factor in de golfinstorting. Er blijven nog vier interpretaties over: 1)De eerste wijzigt de logica; 2)De tweede voert multipele werelden in; 3)De derde leidt de instorting van het golfpakket af als een gevolg van de interacties eigen aan

een veelheid van systemen; 4)De vierde leidt ze af uit de tijd (Prigogine’s voorstel behoort tot die klasse). 99 Rae 1986, p.108. 100 Rae 1986, p.110, italics van Apostel.

212

Wij menen ook 1 en 2 te moeten verwerpen. Niettegenstaande ik in Apostel 1974 (deel II) 1 verdedigd heb, lijkt het mij nu, op een meer formele manier, het subjectivisme van de Copenhagen-interpretatie over te nemen. 2 heeft het voordeel een objectivistische interpretatie op te leveren. In hoofdstuk I hebben we er echter overtuigende argumenten tegen ingebracht. Zo-even werd tenminste de vorm die Prigogine aan 4 geeft kritisch onbevredigend gevonden. Toch lijken in beginsel de interpretatie 3 en 4, die (zoals Einstein heeft gedaan met SR en GRT) naar een herdenken van zowel ruimte als tijd moeten lijden (en op de specificiteit van de verschillende niveaus wijst) in samenwerking de oplossing moeten geven. (We hebben slechts 4 geanalyseerd; hetzelfde moet herhaald worden voor 1, 2 en 3). In Krips 1987 beweert H. Krips dat de tegenstelling tussen Einstein en Bohr (die uiteindelijk de tegenstelling wordt tussen de aanhangers van de theorieën van verborgen variabelen -Bohm, Landé, Putnam en Popper- en de orthodoxe Copenhagen-interpretatie) niet de tegenstelling is tussen realisten en anti-realisten (Bohr en Heisenberg die de toestandsvectoren van de QM niet als beschrijvingen van werkelijkheden opvatten zijn realisten) maar de tegenstelling tussen twee manieren om de buitenwerkelijkheid te beschrijven. N. Bohr beweert dat het quantumniveau slechts inexact beschreven kan worden, in klassieke termen, en dus noodzakelijkerwijze statistisch. A. Einstein leidt uit diezelfde inexactheid de noodzaak af de quantumtheorie door een meer adequate en zo meer volledige theorie te vervangen. Born en Heisenberg en vele anderen gaan echter verder dan Bohr en vullen de benaderende beschrijving door klassieke effecten aan met een beschrijving in toestandsvectoren die niet klassiek en essentieel probabilistisch is (Born ?) Krips verwerpt de complementariteitsgedachte van Bohr (die de eigenschappen van een fysisch systeem afhankelijk maakt van de proefopstelling waarmee het systeem wordt onderzocht): 1) ieder quantumsysteem is tegelijk golf en partikel volgens Krips, 2) de golven zijn waarschijnlijkheidsgolven, 3) maar waarschijnlijkheden zijn maten van objectieve tendensen (‘propensities’) die in de werkelijkheid bestaan. Zonder zich onmiddellijk uit te spreken over 1 en 2 aanvaardt deze tekst het modaal realisme van Krips. De werkelijkheid moet noodzakelijk beschreven worden op meerdere niveaus. Het formalisme van de QT (met als basis de Hilbert-ruimte met observabelen die lineaire operatoren zijn in die vectorruimte) drukt het verschil uit tussen waarneming en zijn, en tegelijk de verbinding van beide. De klassieke natuurkunde beschrijft de realiteit op één laag (tenminste KM, SR en GR) terwijl de QM de noodzakelijk volgende stap doet. Met Krips (maar over hem uitgaande) stelt deze tekst dat de eis de wetenschap tot een beschrijving van de werkelijkheid te maken tegelijk de tweelagen structuur en het modaal realisme veronderstelt.F

101 Of de details van de quantumwetten in zekere mate afleidbaar zijn van de metafysische postulaten (zie hoofdstuk I en II) wat de eigenschappen van de toestandsvectoren en de lineaire operatoren aangaat, moeten we nog zien. Of de instorting van het golfpakket kan vermeden worden door te aanvaarden dat realistisch genomen twee veranderlijken niet samen kunnen gemeten worden, toch tegelijk twee precieze waarden hebben (en of die stelling de EPR en Schrödinger-paradox oplost) moet eveneens nog worden uitgemaakt. Op het eerste gezicht lijkt deze beslissing onontkoombaar.

101 “Nous croyons … que tout le développement de la physique actuelle nous force à accepter l’existence actuelle du possible.” (Apostel 1974, deel 1, p.146).