Hoofdstuk 5 - Kwadratische formules bv -...

⁄121

Hoofdstuk 5 - Kwadratische formules


Voorkennis

V-1a Hester houdt e 15,00 – 2 3 e 1,85 – 2 3 e 3,29 = e 15,00 – e 3,70 – e 6,58 = e 4,72 over.

b e 15,00 – 2 3 (e 1,85 + e 3,29) = e 15,00 – 2 3 e 5,14 = e 15,00 – e 10,28 = e 4,72

V-2a 62 – 32 = 36 – 9 = 27

b 9 – (52 – 4) = 9 – (25 – 4) = 9 – 21 = –12

c 103 – 62 = 1000 – 36 = 964

d 12 – 42 = 12 – 16 = –4

e –7 3 –3 + 18 = 21 + 18 = 39

f 82 – 6 3 7 = 64 – 42 = 22

g (5 – 2)2 3 (2 + 3) = 32 3 5 = 9 3 5 = 45

h (9 – 13) 3 –2 = –4 3 –2 = 8

i –2 3 (–5)2 = –2 3 25 = –50

j –5 3 (6 – 32) = –5 3 (6 – 9) = –5 3 –3 = 15

V-3a

p –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4q 7 5 3 1 –1 –3 –5 –7 –9

2 41 3

6

8

10

4

2

–2

–4

–6

–8

–10

–1–3 –2 O 5p

q

q = –2p – 1

q = 4 – 2p

–4–5

b

p –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4q 12 10 8 6 4 2 0 –2 –4

Zie de tekening hierboven.

V-4a Invullen van a = 2 geeft b = 3 3 22 = 3 3 4 = 12.

b Invullen van a = 4 geeft b = 3 3 42 = 3 3 16 = 48, invullen van a = 7 geeft

b = 3 3 72 = 3 3 49 = 147 en invullen van a = 12 geeft b = 3 3 122 = 3 3 144 = 432.

c Invullen van k = 10 in de eerste formule geeft m = 102 + 2 3 10 = 100 + 20 = 120.

Invullen van k = 10 in de tweede formule geeft m = 3 3 102 = 3 3 100 = 300.

De uitkomsten zijn niet hetzelfde, dus de formules zijn niet hetzelfde.

0pm_MW9_VWO_2A-Uitw.indd 121 11-04-2008 11:32:49

© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv

Moderne wiskunde 9e editie 2A vwo © Noordhoff Uitgevers bv

⁄122


V-5a b = 9a f k = 5l + m

b t = 13s g p = 16w2 – 6

c kan niet korter h s = 5t – 4

d r = 10s2 i y = x2 + 4x – 4

e kan niet korter j r = 2p2 – 5p

V-6a q = 5p + 15 d a = 6b + 2b2

b s = 21 + 3t e w = 5z + z2

c r = 10v + 35 f y = 4x + x2

V-7a r = 2s2 + 4s + 6s + 12

r = 2s2 + 10s + 12

b k = 3p2 + 15p + 2p + 10

k = 3p2 + 17p + 10

c y = 6x2 + 12x + 3x + 6

y = 6x2 + 15x + 6

d b = 2c2 + 35c + 2,4c + 42

b = 2c2 + 37,4c + 42

e h = 15j + 35 + 3j2 + 7j

h = 3j2 + 22j + 35

f a = 6b + 24b2 + 3,5 + 14b

a = 24b2 + 20b + 3,5

V-8a De formule y = 2x2 – 1 is een kwadratische formule.

b Invullen van x = 3 geeft y = 2 3 32 –1 = 2 3 9 – 1 = 18 – 1 = 17.

c

x –3 –2 –1 0 1 2 3y 17 7 1 –1 1 7 17

5-1 Kwadratische formules

1a

nummer n 1 2 3 4

aantal driehoeken a 1 4 9 16

+3 +5 +7

b In de toenamen komt steeds 2 meer bij.

c

n = 5

Er zitten 25 driehoeken in deze figuur. Het aantal driehoeken neemt met 25 – 16 = 9 toe.

Dat is weer 2 meer dan 7. Dus het klopt.

d Bij deze rij figuren hoort de formule a n= 2 .

e In de 27e figuur zitten 272 = 729 driehoeken.


© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv


⁄123


2a Invullen van n = 1 geeft g = × + × =12

2 121 1 1 , invullen van n = 2 geeft

g = × + × =12

2 122 2 3 , invullen van n = 3 geeft g = × + × =1

22 1

23 3 6 , invullen van n = 4

geeft g = × + × =12

2 124 4 10 en dat klopt.

b Invullen van n = 1 geeft b = × − × =12

2 121 1 0 , invullen van n = 2 geeft

b = × − × =12

2 122 2 1 , invullen van n = 3 geeft b = × − × =1

22 1

23 3 3 , invullen van n = 4

geeft b = × − × =12

2 124 4 6 en dat klopt.

Voor het aantal driehoeken geldt a g b= + . Invullen van g n n= +12

2 12 en b n n= −1

22 1

2

geeft a n n n n= + + −12

2 12

12

2 12 dus a n= 2 en dat klopt.

3a Invullen van x = −1 geeft y = − = − × − =( )1 1 1 12 .

b

x –3 –2 –1 0 1 2 3y 9 4 1 0 1 4 9

c

2 41 3

6

8

10

4

2

–2

–4

–6

–1–3 –2 O 5x

y

y = x 2 – 4

y = x 2

–4–5

d

x –3 –2 –1 0 1 2 3y 5 0 –3 –4 –3 0 5


e De coördinaten van het laagste punt van de grafiek van y x= −2 4 zijn (0, –4).

4a Invullen van x = −1 geeft y = − − = − − × − = −( )1 1 1 12 .

b

x –3 –2 –1 0 1 2 3y –9 –4 –1 0 –1 –4 –9

c

2 41 3

4

2

–2

–4

–6

–10

–1–3 –2 O 5x

y

y = –x 2 + 1

y = –x 2

–4–5

–8

d

x –3 –2 –1 0 1 2 3y –8 –3 0 1 0 –3 –8


e De y-as of de lijn x = 0 is in beide gevallen de symmetrieas.


© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv


⁄124


5a Bij een stapgrootte van bijvoorbeeld 1 zou het assenstelsel veel te hoog worden.

b De coördinaten van de top zijn (0, 0).

c

x –3 –2 –1 0 1 2 3y 13 3 –3 –5 –3 3 13

d Het kwadraat van een getal en het kwadraat van het tegengestelde getal zijn altijd gelijk,

bijvoorbeeld 3 3 92 2= − =( ) .

e

2 41 3

25

15

10

5

40

35

–5–1–3 –2 O 5

x

y

y = 2x 2 – 5

y = 2x 2

–4–5

20

30

f De coördinaten van de top zijn (0, –5).

6a

200

4

20

40

60

100

120

140

160

180

200

80

61 3 5 7t in seconden

s in

met

ers

b Je krijgt een ‘halve’ parabool omdat je voor de tijd geen negatieve getallen kunt invullen.

c Bij de tabel hoort de formule s t= 5 2 .

7a/b

2 41 3

6

8

10

4

2

–2

–4

–6

–8

–10

–1–3 –2 O 5x

y

y = 9 – 2x 2

y = 8 – x 2

–4–5


© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv


⁄125


5-2 Haakjes wegwerken met negatieve getallen

8 A x x= +2 32

9a r t t= +( )9

3 t +9t t2 +9t

r t t= +2 9 b h a a= +( )6 2

3 6 +2aa 6a +2a2

h a a= +6 2 2

c y x x= +3 5 2( )

3 5x +23x 15x2 +6x

y x x= +15 62

d b q= +7 6 412 ( )

3 6 +4q

7 1

2 45 +30q

b q= +45 30

e w t= +0 5 0 4 3, ( , )

3 0,4t +30,5 0,2t +1,5

w t= +0 2 1 5, , f a k= +1

412

2 5( )

3

12

2k +5

14

18

2k

+1 14

a k= +18

2 141

g h m m= +12 18 1( )

3 18m +1

12

m 9m2

+ 1

2m

h m m= +9 2 12

h q t t= +( )3

3 3 +tt 3t +t2

q t t= +3 2

10a

x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4y 8 3 0 –1 0 3 8 15 24

b/c

2 41 3

2

6

–2–1–2–3–4–5–6 O

y

4

12

x

14

18

16

20

24

22

8

10

y = x (x + 2)

d De coördinaten van de top van de parabool zijn (–1, –1).

e Het is een dalparabool.

f De snijpunten van de grafiek met de horizontale as zijn (–2, 0) en (0, 0).

11a p b= − +5 3( )

3 b +3–5 –5b –15

p b= − −5 15 b p b= − −5 3( )

3 b –3–5 –5b +15


© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv


⁄126


p b= − +5 15 c k m= − −1 4 7( )

3 4m –7–1 –4m +7

k m= − +4 7

v w= − +1 8( )

3 8 +w–1 –8 –1w

v w= − −8 1

12a De oppervlakte van de boomgaard is 70 3 50 = 3500 m2.

De oppervlakte van het weiland zonder weg is 120 60× −( )b m2.

Voor de overblijvende oppervlakte A in m2 geldt dan A b= + × −3500 120 60( ) .

b Je moet eerst vermenigvuldigen en dan pas optellen.

c

3 60 –b120 7200 –120b

A b= + −3500 7200 120 d A b= −10 700 120 e Invullen van b = 6 in de formule van Ruben geeft

A = + × − = + × = + =3500 120 60 6 3500 120 54 3500 6480 998( ) 00 .

Invullen van b = 6 in de formule van opdracht d geeft

A = − × = − =10 700 120 6 10 700 720 9980 .

Ja, je krijgt dezelfde uitkomst.

13a h t= − −2 5( )

3 t –5–2 –2t +10

h t= − +2 10

b y x= − − +3 3 4( )

3 –3x +4–3 9x –12

y x= −9 12

c k t= − −( )6

3 t –6–1 –t +6

k t= − + 6 d j a a= − −5 5 5( )

3 5a –5–1 –5a +5

j a a= − +5 5 5

j = 5

e b r r r= + +14 2 6( )

3 r +62r 2r2 +12r

b r r r= + +14 2 122

b r r= +2 262

f p q= − +2 4 312 ( )

3 4q +3

−2 1

2 –10q −7 1

2

p q= − −10 7 12

g h x x= − − +8 2 3 4( )

3 –3x +4–2x 6x2 –8x

h x x= + −8 6 82

h y t= + −2 6 1213 ( )

3 6t –12

13 2t –4

y t= + −2 2 4

y t= −2 2


© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv


⁄127


14a b f f= − +4 3 7 16( )

3 3f –74f 12f2 –28f

b f f= − +12 28 162

b p m m= + +13 2 5 32( )

3 5m2 +32 10m2 +6

p m m= + +13 10 62

c g p p= − − +5 3 6( )

3 3 –p–5 –15 +5p

g p p= − + +15 5 6

g p= − +15 11

De formule is niet kwadratisch.

d a k= − −11 7 1012 ( )

3 7k –10

− 1

2

−3 12

k

+5

a k= − +11 3 512

a k= −16 3 12


e w m m= + − +10 2 5 3( )

3 –5m +32 –10m +6

w m m= − +10 10 6

w = 6


f k p p p= + +2 2 3 5( )

3 3p +52p 6p2 +10p

k p p p= + +2 6 102

k p p= +6 122

g t a a a= + −3 2 12 2 ( )

3 a –12a2 2a3 –2a2

t a a a= + −3 2 22 3 2

t a a= +2 3 2


h u b b b b= − + −2 53 2( )

3 b3 +b–2b –2b4 –2b2

u b b b= − − −2 2 54 2 2

u b b= − −2 74 2


5-3 Formules met dubbele haakjes

15a

2

x x 2 7x

2x 14

x 7

b A x x x= + + +2 2 7 14

A x x= + +2 9 14

16a

3 p +6

p p2 +6p

–2 –2p –12

b Samennemen van 6p en –2p geeft 4p.

c h p p= + −2 4 12


© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv


⁄128


17a y x x= + +( )( )5 2

3 x +2

x x2 +2x

+5 +5x +10

y x x= + +2 7 10 b k t t= + +( )( )2 41

2

3 t +4t t2 +4t

+2 1

2

+2 12

t

+10

k t t= + +2 126 10

c a n n= − +( )( )2 4

3 n +4

n n2 +4n

–2 –2n –8

a n n= + −2 2 8 d m e e= − −( )( )3 8

3 8 –e

e 8e –e2

–3 –24 +3e

m e e= − + −2 11 24

e q t t= − −( , )( )8 2 3 1 2

3 1 –2t

8,2 8,2 –16,4t

–3t –3t +6t2

q t t= − +6 19 4 8 22 , , f s c c= − −( )( )2 1

3 c –1

c c2 –c

–2 –2c +2

s c c= − +2 3 2

g p q q= + −( )( )2 3 5

3 q –5

2q 2q2 –10q

+3 +3q –15

p q q= − −2 7 152

h l m m= + −( )( )4 5 4 5

3 4m –5

4m 16m2 –20m

+5 +20m –25

l m= −16 252

18 Voor figuur 1 geldt A x x= −( )3 en A x x= −2 3 .

Voor figuur 2 geldt A x x= − −( )( )3 3 en A x x= − +2 6 9 .

19a y x x= + +( )( )2 5 82

3 x2 +8

2x 2x3 +16x

+5 +5x2 +40

y x x x= + + +2 5 16 403 2


b y x x= − +( )( )2 23 3

3 x2 +3

x2 x4 +3x2

–3 –3x2 –9

y x= −4 9


c y x x= + −( )( )2 4 43

3 x –4

2x3 2x4 –8x3

+4 +4x –16

y x x x= − + −2 8 4 164 3


d y x x x= + + − +3 8 42 ( )( )

3 –x +4

x –x2 +4x

+8 –8x +32

y x x x= − − +3 4 322 2

y x x= − +2 4 322

De formule is kwadratisch.

e y x x x= + + −2 3 2 6( )( )

3 2x –6

x 2x2 –6x

+3 +6x –18

y x x= + −2 22 18

y x= −3 182


f y x x x x= + − + +( )( ) ( )2 2 6 3 4

3 x –6

2x 2x2 –12x

+2 +2x –12

3 2x +43x 6x2 +12x

y x x x x= − − + +2 10 12 6 122 2

y x x= + −8 2 122



© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv


⁄129


20a

x –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3y –7 0 5 8 9 8 5 0 –7

b/c

1 3–6 2

6

8

10

4

2

–6

–4

–8

–2–1–3 –2 O 4

x

y

y = ( x + 4 )( 2 – x )

–4–5

d De coördinaten van de top zijn (–1, 9).

e De coördinaten van de snijpunten met de horizontale as zijn (–4, 0) en (2, 0).

f Invullen van x = 4 in de formule geeft y = + − = × − = −( )( )4 4 2 4 8 2 16 .

g Het punt met x = 4 ligt 5 rechts van de symmetrieas, dus het ander punt ligt 5 links van de

symmetrieas en dat is bij x = − − = −1 5 6 . Het andere punt is (–6, –16).

21a

x –3 –2 –1 0 1 2 3

y x x= + −( )( )1 1 8 3 0 –1 0 3 8

y x= 2 9 4 1 0 1 4 9

b

2 41 3

6

8

10

4

2

–2–1–3 –2 O 5

x

y

y = ( x + 1 )( x – 1)

y = x 2

–4–5

c Er zijn twee dalparabolen getekend. Dat had je aan de formule kunnen zien omdat daarin

een positief getal voor de x2 staat.

d De coördinaten van de snijpunten van de grafiek bij de formule y x x= + −( )( )1 1 met de

horizontale as zijn (–1, 0) en (1, 0). De coördinaten van het snijpunt van de grafiek bij de

formule y x= 2 met de horizontale as zijn (0, 0).

e y x= −2 1 f Je moet de grafiek bij de formule y x x= + −( )( )1 1 één naar boven verschuiven om de

grafiek bij de formule y x= 2 te krijgen.


© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv


⁄130


22a

p –3 –2 –1 0 1 2 3

q p p= − +( )( )2 2 –5 0 3 4 3 0 –5

q p= −1 2 –8 –3 0 1 0 –3 –8

b

2 43

4

6

2

–2

–8

–6

–10

–4

1–2 –1 O 5p

q

q = (2 – p)(p + 2)

–3–4–5

q = 1 – p 2

c Er zijn twee bergparabolen getekend. Dat had je aan de formule kunnen zien omdat daarin

een negatief getal voor de x2 staat.

d De coördinaten van de snijpunten van de grafiek bij de formule q p p= − +( )( )2 2 met de

horizontale as zijn (–2, 0) en (2, 0). De coördinaten van de snijpunten van de grafiek bij de

formule q p= −1 2 met de horizontale as zijn (–1, 0) en (1, 0).

e q p= −4 2

f Je moet de grafiek bij de formule q p p= − +( )( )2 2 drie naar beneden verschuiven om de

grafiek bij de formule q p= −1 2 te krijgen.

23a Invullen van x = −2 geeft y = − + − × − − = − × = − = −( ) ( , ) ,2 2 0 5 2 4 2 2 5 4 5 12 .

Invullen van x = −1 geeft y = − + − × − − = − × = − = −( ) ( , ) , , ,1 1 0 5 1 1 1 1 5 1 1 5 0 52 .

Invullen van x = 0 geeft y = + × − = − × = − =0 0 0 5 0 0 0 0 5 0 0 02 ( , ) , .

Invullen van x = 1 geeft y = + × − = + × − = − =1 1 0 5 1 1 1 0 5 1 0 5 0 52 ( , ) , , , .

Invullen van x = 2 geeft y = + × − = + × − = − =2 2 0 5 2 4 2 1 5 4 3 12 ( , ) , .

De grafiek kan bij de formule horen.

b Sacha, kijk eens wat beter naar de formule en werk de haakjes weg.

c De formule zonder haakjes schrijven geeft y x x x= + −2 20 5, oftewel y x= 0 5, en de grafiek

daarbij is een rechte lijn.

5-4 Kwadratische vergelijkingen

24a Invullen van r = 3 geeft A = × = × =6 3 6 9 542 .

b Dan moet gelden r2 4= . En dan is r = 2 .


© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv


⁄131


25a

x –3 –2 –1 0 1 2 3y 10 5 2 1 2 5 10

b

2 41 3

10

6

4

2

–1–3 –2 O 5x

y

y = x 2 + 1

–4–5

8

12

c Bij y = 5 horen x = −2 en x = 2 .

d Bij y = 10 horen x = −3 en x = 3 .

e Bij y = 1 hoort één waarde van x, namelijk x = 0 .

f Bij y = 0 hoort geen waarde van x, want de kleinste waarde hoort bij y = 1 .

26a x2 1 3− =

x2 4=

x = −2 of x = 2 b x2 1 1− = −

x2 0=

x = 0 c De horizontale lijn door y = −2 heeft geen snijpunten met de grafiek, want het laagste punt

van de grafiek is (0, –1), dus de vergelijking x2 1 2− = − heeft geen oplossingen.

27a

2 41 3

6

8

4

2

–6

–4

–2–1–3 –2 O 5

p

s

s = p 2 – 2

–4–5

b De vergelijking p2 4 5− = heeft twee oplossingen.

c De vergelijking p2 4 3− = − heeft twee oplossingen.

d De vergelijking p2 4 5− = − heeft geen oplossingen.

28a Dan moet gelden x2 49= .

b De vergelijking x2 1 48− = heeft de twee oplossingen x = −7 en x = 7 .

c Dan moet gelden x2 6= .

d De tweede oplossing is x = − 6 .

e Invullen van x = 6 geeft 6 1 6 1 52

− = − = en dat klopt.

Invullen van x = − 6 geeft ( )− − = − =6 1 6 1 52 en dat klopt.


© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv


⁄132


29a x2 16=

x = 4 of x = −4

Invullen geeft 4 162 = en ( )− =4 162 en dat klopt.

b p2 1 10+ =

p2 9=

p = 3 of p = −3

Invullen geeft 3 1 9 1 102 + = + = en ( )− + = + =3 1 9 1 102 en dat klopt.

c a2 1 3− =

a2 4=

a = 2 of a = −2

Invullen geeft 2 1 4 1 32 − = − = en ( )− − = − =2 1 4 1 32 en dat klopt.

d x2 5 7+ =

x2 2=

x = 2 of x = − 2

Invullen geeft 2 5 2 5 72

+ = + = en ( )− + = + =2 5 2 5 72 en dat klopt.

e 50 2 02− =y

2 502y =

y2 25=

y = 5 of y = −5

Invullen geeft 50 2 5 50 2 25 02− × = − × = en 50 2 5 50 2 25 02− × − = − × =( ) en dat klopt.

f 1 152− = −y

y2 16=

y = 4 of y = −4

Invullen geeft 1 4 1 16 152− = − = − en 1 4 1 16 152− − = − = −( ) en dat klopt.

g 20 232+ =x

x2 3=

x = 3 of x = − 3


+ = + = en 20 3 20 3 232+ − = + =( ) en dat klopt.

h 5 32+ =x

x2 2= −

Dit kan niet. De vergelijking heeft geen oplossing.

i ( )x + =1 252

x + =1 5 of x + = −1 5

x = 4 of x = −6

Invullen geeft ( )4 1 5 252 2+ = = en ( ) ( )− + = − =6 1 5 252 2 en dat klopt.

j 8 2 102− = −k

2 182k =

k2 9=

k = 3 of k = −3

Invullen geeft 8 2 3 8 2 9 102− × = − × = − en 8 2 3 8 2 9 102− × − = − × = −( ) en dat klopt.


© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv


⁄133


k ( )( )x x− + =3 3 16

x2 9 16− =

x2 25=

x = 5 of x = −5

Invullen geeft ( )( )5 3 5 3 2 8 16− + = × = en ( )( )− − − + = − × − =5 3 5 3 8 2 16 en dat klopt.

l ( )2 1 362x − =

2 1 6x − = of 2 1 6x − = −

2 7x = of 2 5x = −

x = 3 12 of x = −2 1

2

Invullen geeft ( ) ( )2 3 1 7 1 6 3612

2 2 2× − = − = = en ( ) ( ) ( )2 2 1 5 1 6 3612

2 2 2× − − = − − = − =

en dat klopt.

30a

1 2

6

4

2

–6

–4

–2–1 O

x

y

y = 4 – 2x 2

y = 2

–2

b Zie de tekening hierboven.

De coördinaten van de snijpunten van de twee grafieken zijn (–1, 2) en (1, 2).

c 4 2 22− =x

2 22x =

x2 1=

x = 1 of x = −1

De antwoorden kloppen met het antwoord bij opdracht b.

d Het hoogste punt van de grafiek bij de formule y x= −4 2 2 is het punt (0, 4).

De vergelijking 4 2 2− =x a heeft geen oplossingen als a groter dan 4 is.


© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv


⁄134


5-5 Gemengde opdrachten

31a 90 2 012

2− =a

2 9012

2a =

a2 36=

a = 6 (of a = −6 )

Na 6 dagen zit er geen vitamine C meer in het pak.

b

a 0 1 2 3 4 5

p 90 87 1

2 80 67 1

2 50 27 1

2

c

2 41 3

30

40

20

10

00

5 6 7 8a

p

50

60

70

80

90

100

p = 90 – 2 1–2 a 2

d De grafiek snijdt de horizontale as in het punt (6, 0) en dat klopt.

32a x q= − −( )6 7

3 6q –7–1 –6q +7

x q= − +6 7

b v d d= − − −( )14 2

3 –14 –2d–d 14d +2d2

v d d= +14 2 2

c m q q q= −9 5 2 4( )

3 5q –2q4

9q 45q2 –18q5

m q q= −45 182 5

d b y= − +17 17 1( )

3 y +1–17 –17y –17

b y= − −17 17 17

b y= −17

e m e e e= + −5 3 4 2( )

3 4 –2e3e 12e –6e2

m e e e= + −5 12 6 2

m e e= −17 6 2

f k h h= − +( )( )3 4 4 1

3 4h +1

h3 4h4 +h3

–4 –16h –4

k h h h= + − −4 16 44 3

g k d d d= − +2 5 1 72( )

3 5d2 –12d 10d3 –2d

k d d d= − +10 2 73

k d d= +10 53

h p u u u= − + + −8 4 5 2 52 ( )( )

3 2u –5

4u 8u2 –20u

+5 +10u –25

p u u u= − + − −8 8 10 252 2

p u= − −10 25

33a a x x= + +( )( )2 2


© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv


⁄135


3 x +2

x x2 +2x

+2 +2x +4 a x x= + +2 4 4

b x= −( )3 2

3 x –3

x x2 –3x

–3 –3x +9 b x x= − +2 6 9

c x x= + −( )( )4 4

3 x –4

x x2 –4x

+4 +4x –16 c x= −2 16

d x x= − +( )( )11 11

3 x +11

x x2 +11x

–11 –11x –121 d x= −2 121

b De formules c x x= + −( )( )4 4 en d x x= − +( )( )11 11 kun je als een tweeterm schrijven.

c p a a= + −( )( )3 3

3 a –3

a a2 –3a

+3 +3a –9

p a= −2 9

q a a= + +( )( )15 15

3 a +15

a a2 +15a

+15 +15a +225

q a a= + +2 30 225

r a= −( )112 2

3 a –112

a a2 –112a

–112 –112a +12 544

r a a= − +2 224 12 544

s a a= − +( , )( , )11 2 11 2

3 a +11,2

a a2 +11,2a

–11,2 –11,2a –125,44

s a= −2 125 44,

De formules p a a= + −( )( )3 3 en s a a= − +( , )( , )11 2 11 2 kun je als een tweeterm

schrijven.

d De overeenkomst van alle vier moet zijn y x getal x getal= + −( )( ) .


© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv


⁄136


34a y x x= + −( )( )2 5 2 5

3 2x –5

2x 4x2 –10x

+5 +10x –25

y x= −4 252

b y x x= + +( )( )2 25 3

3 x2 +3

x2 x4 +3x2

+5 +5x2 +15

y x x= + +4 28 15 c y x x= − −( )( )2 47 7

3 x4 –7

x2 x6 –7x2

–7 –7x4 +49

y x x x= − − +6 4 27 7 49

d y x x x= + + −2 2 2 5( )( )

3 2x –5

x 2x2 –5x

+2 +4x –10

y x x x= + − −2 22 10

y x x= − −3 102

e y x x= + −( )( )3 4 2 7

3 2x –7

x3 2x4 –7x3

+4 +8x –28

y x x x= − + −2 7 8 284 3

f y x x x= − + −( )( )10 2 20 6

3 2x +20

x 2x2 +20x

–10 –20x –200

y x x= − −2 200 62

35a 99 101 100 1 100 1 100 1 10 000 1 99992 2× = − + = − = − =( )( ) b 33 27 30 3 30 3 30 3 900 9 8912 2× = + − = − = − =( )( ) c 88 112 100 12 100 12 100 12 10 000 1442 2× = − + = − = − =( )( ) 99856 d 999 1001 1000 1 1000 1 1000 1 1000 0002 2× = − + = − = −( )( ) 11 999 999=

36a x2 36=

x = 6 of x = −6

Invullen geeft 6 362 = en ( )− =6 362 en dat klopt.

b p2 1 24− =

p2 25=

p = 5 of p = −5

Invullen geeft 5 1 25 1 242 − = − = en ( )− − = − =5 1 25 1 242 en dat klopt.

c 3 52− =c

c2 2= −

Dit kan niet. De vergelijking heeft geen oplossing.

d ( )x + + =1 5 212

( )x + =1 162

x + =1 4 of x + = −1 4

x = 3 of x = −5

Invullen geeft ( )3 1 5 4 5 16 5 212 2+ + = + = + = en ( ) ( )− + + = − + = + =5 1 5 4 5 16 5 212 2

en dat klopt.

e 48 3 02− =e

3 482e =

e2 16=

e = 4 of e = −4

Invullen geeft 48 3 4 48 3 16 02− × = − × = en 48 3 4 48 3 16 02− × − = − × =( ) en dat klopt.


© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv


⁄137


f ( )2 1 492a + =

2 1 7a + = of 2 1 7a + = −

2 6a = of 2 8a = −

a = 3 of a = −4

Invullen geeft ( ) ( )2 3 1 6 1 7 492 2 2× + = + = = en ( ) ( ) ( )2 4 1 8 1 7 492 2 2× − + = − + = − = en

dat klopt.

g 2 1 182( )+ =x

( )1 92+ =x

1 3+ =x of 1 3+ = −x

x = 2 of x = −4

Invullen geeft 2 1 2 2 3 2 9 182 2× + = × = × =( ) en 2 1 4 2 3 2 9 182 2× + − = × − = × =( ) ( ) en

dat klopt.

h 1 72+ =g

g2 6=

g = 6 of g = − 6


+ = + = en 1 6 1 6 72+ − = + =( ) en dat klopt.

i ( )x + =2 812

x + =2 9 of x + = −2 9

x = 7 of x = −11

Invullen geeft ( )7 2 9 812 2+ = = en ( ) ( )− + = − =11 2 9 812 2 en dat klopt.

j 2 3 212k + =

2 182k =

k2 9=

k = 3 of k = −3

Invullen geeft 2 3 3 2 9 3 18 3 212× + = × + = + = en 2 3 3 2 9 3 18 3 212× − + = × + = + =( )

en dat klopt.

k 2 3 502( )x + =

( )x + =3 252

x + =3 5 of x + = −3 5

x = 2 of x = −8

Invullen geeft 2 2 3 2 5 2 25 502 2× + = × = × =( ) en 2 8 3 2 5 2 25 502 2× − + = × − = × =( ) ( )

en dat klopt.

l 3 2 1 672+ − =( )x

( )2 1 642x − =

2 1 8x − = of 2 1 8x − = −

2 9x = of 2 7x = −

x = 4 12 of x = −3 1

2

Invullen geeft 3 2 4 1 3 9 1 3 8 3 64 6712

2 2 2+ × − = + − = + = + =( ) ( ) en

3 2 3 1 3 7 1 3 8 3 64 6712

2 2 2+ × − − = + − − = + − = + =( ) ( ) ( ) en dat klopt.


© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv


⁄138


37a

2 41 3

6

4

2

–2

–4

–6

–8

–10

–12

–14

–1–3 –2 O 5x

y

y = 5 – 2x 2

y = –1 – 2x 2

–4–5

y = 3

b 5 2 32− =x

2 22x =

x2 1=

x = 1 of x = −1 c Zie de tekening hierboven.

De x-coördinaten van de twee snijpunten zijn x = −1 en x = 1 en dat klopt.

d De horizontale lijn door y = 7 heeft geen snijpunten met de grafiek, want het hoogste punt

van de grafiek is (0, 5), dus de vergelijking 5 2 72− =x heeft geen oplossingen.

e Zie de tekening hierboven.

Het hoogste punt van de grafiek is (0, –1), dus de vergelijking − − =1 2 02x heeft geen

oplossingen en de bijbehorende parabool snijdt de x-as nergens.

f Invullen van x = 2 en y = 2 geeft

2 2 22= − ×a

2 2 4= − ×a

2 8= −a

a = 10

Voor a = 10 gaat de parabool door het punt (2, 2).

38a/b

1 2

5

3

2

1

–1 Ox

y

a = 1

a = 2

–2

4

c Invullen van x = 12 en y = 3 geeft

3 4 12

2= − ×a ( )

3 4 14= − a

14 1a =

a = 4 d Als a een steeds groter getal wordt, dan wordt de vorm van de poorten steeds smaller.

e Bij a = −2 hoort de formule y x= +4 2 2 en de grafiek daarvan heeft niet de vorm van een

poort, maar de vorm van een dalparabool.


© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv


⁄139


ICT Formules met dubbele haakjes

I-1a

2

x x 2 7x

2x 14

x 7

x + 7

x + 2

b A x x x= + + +2 2 7 14

A x x= + +2 9 14 c a r s s= + +2 5 32

b k n n= + +2 9 42

c y x x= + +10 9 22

d b v v= + +2 4 4

e h j j= + +4 14 122

f d c c= + +12 7 12

g z y y= + +0 2 10 6 302, ,

h p q q= + +14

2 4 12

I-2a

3 p +6

p p2 +6p

–2 –2p –12

b Samennemen van 6p en –2p geeft 4p.

c h p p= + −2 4 12

I-3a y x x= + +2 7 10 b k t t= + +2 1

26 10 c a n n= + −2 2 8 d m e e= − + −2 11 24 e q t t= − +6 19 4 8 22 , , f s c c= − +2 3 2 g p q q= − −2 7 152

h l m= −16 252


© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv


⁄140


I-4a y x x= + +( )( )2 5 82

3 x2 +8

2x 2x3 +16x

+5 +5x2 +40

y x x x= + + +2 5 16 403 2


b y x x= − +( )( )2 23 3

3 x2 +3

x2 x4 +3x2

–3 –3x2 –9

y x= −4 9


c y x x= + −( )( )2 4 43

3 x –4

2x3 2x4 –8x3

+4 +4x –16

y x x x= − + −2 8 4 164 3


d y x x x= + + − +3 8 42 ( )( )

3 –x +4

x –x2 +4x

+8 –8x +32

y x x x= − − +3 4 322 2

y x x= − +2 4 322


e y x x x= + + −2 3 2 6( )( )

3 2x –6

x 2x2 –6x

+3 +6x –18

y x x= + −2 22 18

y x= −3 182


f y x x x x= + − + +( )( ) ( )2 2 6 3 2 4

3 x –6

2x 2x2 –12x

+2 +2x –12

3 2x +4

3x 6x2 +12x

y x x x x= − − + +2 10 12 6 122 2

y x x= + −8 2 122


I-5a -

b De lijn x = 1 is de symmetrieas van de grafiek.

c De coördinaten van de top zijn (1, 1).

d De coördinaten van de snijpunten met de horizontale as zijn (0, 0) en (2, 0).

e y x x= − +2 2 f Ja, de twee grafieken vallen samen.

I-6a Je krijgt twee dalparabolen in beeld.

b De coördinaten van de snijpunten van de grafiek bij de formule y x x= + −( )( )1 1 met de

horizontale as zijn (–1, 0) en (1, 0). De coördinaten van het snijpunt van de grafiek bij de

formule y x= 2 met de horizontale as zijn (0, 0).

c y x= −2 1 Ja, de grafiek bij deze korte formule valt samen met de grafiek bij de formule

y x x= + −( )( )1 1 .

d Je moet de grafiek bij de formule y x x= + −( )( )1 1 één naar boven verschuiven om de

grafiek bij de formule y x= 2 te krijgen.


© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv


⁄141


I-7a Bij de bovenste parabool hoort de formule q p p= − +( )( )2 2 en bij de onderste parabool

hoort de formule q p= −1 2 .

b De coördinaten van de snijpunten van de grafiek bij de formule q p p= − +( )( )2 2 met de

horizontale as zijn (–2, 0) en (2, 0). De coördinaten van de snijpunten van de grafiek bij de

formule q p= −1 2 met de horizontale as zijn (–1, 0) en (1, 0).

c q p= −4 2

d Je moet de grafiek bij de formule q p p= − +( )( )2 2 drie naar beneden verschuiven om de

grafiek bij de formule q p= −1 2 te krijgen.

Om de grafieken samen te laten vallen moet op de stippen dus het getal –3 staan.

I-8a Bij de grafiek op je scherm hoort de formule y x= 2 .

b Bij deze parabool hoort de formule y x= −2 1 .

c De grafiek snijdt de horizontale as in de punten (–1, 0) en (1, 0) en dat is ook het geval

bij de grafiek bij de formule y x x= − +( )( )1 1 . Verder krijg je als je in de formule

y x x= − +( )( )1 1 de haakjes wegwerkt de formule y x= −2 1 .

d y x= −2 4 en y x x= − +( )( )2 2

I-9a Je ziet nu de grafiek bij de formule y x= 2 2 op je scherm.

b Bij deze parabool hoort de formule y x= −2 22 .

c 2 2 02x − =

2 22x =

x2 1=

x = 1 of x = −1

Test jezelf

T-1a

x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4y 10 3 –2 –5 –6 –5 –2 3 10

2 41 3

6

8

12

4

2

–2

–4

–6

–8

–1–3 –2 O 5x

y

–4–5

10

b Een grafiek als die uit opdracht a noem je een dalparabool.


© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv


⁄142


T-2a 1 De coördinaten van de top zijn (0, 3) en het is een dalparabool.

2 De coördinaten van de top zijn (0, 0) en het is dalparabool.

3 De coördinaten van de top zijn (0, 23) en het is dalparabool.

4 De coördinaten van de top zijn (0, 3) en het is bergparabool.



b Bij formule A hoort parabool 2, bij formule B hoort parabool 3, bij formule C hoort

parabool 5, bij formule D hoort parabool 4, bij formule E hoort parabool 1 en bij

formule F hoort parabool 6.

T-3a t w= +4 2 1( )

3 2w +14 8w +4

t w= +8 4

b r n= −13 5( )

3 5 –n13 65 –13n

r n= −65 13

c k a= − − −9 6( )

3 –a –6–9 9a +54

k a= +9 54

d f b b= − +( )4 7

3 4b +7–b –4b2 –7

f b b= − −4 72

e p g g g= + +5 4 7( )

3 g +74g 4g2 +28g

p g g g= + +5 4 282

p g g= +4 332

f y x= − + −( )5 2 412

3 5 1

2 +2x

–1 −5 1

2 –2x

y x= − − −5 2 412

y x= − −9 212

g h c c c= + +4 2 3 9 2( )

3 3 +9c2

2c 6c +18c3

h c c c= + +4 6 18 3

h c c= +10 18 3

h q e e e= − + − −16 3 5 82 2 ( )

3 –5e –83e2 –15e3 –24e2

q e e e= − − −16 15 242 3 2

q e e= − −40 152 3


© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv


⁄143


T-4a q r r= − +( )( )1 10

3 r +10

r r2 +10r

–1 –r –10

q r r= + −2 9 10

b n x x= − −( )( )12 6

3 x –6x x2 –6x

− 1

2 − 1

2x

+3

n x x= − +2 126 3

c y e e= + −( )( )5 2

3 e –2

5 5e –10

+e +e2 –2e

y e e= + −2 3 10

d v h h= − −( )( )8 8

3 h –8

h h2 –8h

–8 –8h +64

v h h= − +2 16 64

e w t t t= + + +( , )( , ) ,2 8 3 5 4 2

3 t +3,5

t t2 +3,5t

+2,8 +2,8t +9,8

w t t t= + + +2 6 3 9 8 4 2, , ,

w t t= + +2 10 5 9 8, , f g b b= + −( )( )2 4 6 7

3 6b –7

b2 6b3 –7b2

+4 +24b –28

g b b b= − + −6 7 24 283 2

g d a a a a= + − + +( )( ) ( )3 4 2 4 2 2 8

3 2 –4a

3 6 –12a

+4a +8a –16a2

3 2 +8a2a 4a +16a2

d a a a a= − − + + +16 4 6 16 42 2

d = 6 h p k k= − −( )( )4 1 42 3

3 k3 –4

4k2 4k5 –16k2

–1 –k3 +4 p k k k= − − +4 16 45 3 2

T-5a a2 49 0− =

a2 49=

a = 7 of a = −7 b e2 3 0+ =

e2 3= −

Dit kan niet.

c ( )2 1 252y + =

2 1 5y + = of 2 1 5y + = −

2 4y = of 2 6y = −

y = 2 of y = −3

d 5 52− =d

d2 0=

d = 0 e 2 982x =

x2 49=

x = 7 of x = −7 f ( )( )k k− + =2 2 12

k2 4 12− =

k2 16=

k = 4 of k = −4


© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv


⁄144


T-6a

x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4y 12 5 0 –3 –4 –3 0 5 12

b

2 41 3

6

8

14

4

2

–2

–4

–6

–1–3 –2 O 5x

y

–4–5

10

12

c De verticale as is de symmetrieas.

d (18, 320) ligt op de grafiek en dus (–18, 320) ook,

(20, 396) ligt op de grafiek en dus (–20, 396) ook

e De coördinaten van de top van de parabool zijn (0, –4).

f Het is een dalparabool.

g De coördinaten van de snijpunten van de grafiek met de x-as zijn (–2, 0) en (2, 0).

T-7a De oppervlakte van het vierkant is 10 3 10 = 100 cm2.

Elk van de vier kleine vierkantje heeft oppervlakte z 3 z = z2 cm2.

Voor de oppervlakte A in cm2 van deze figuur geldt dan A z= −100 4 2 .

b Bij de lengte van 10 cm komt links en rechts z cm bij.

Voor de lengte van die figuur geldt dan l z= +10 2 .

Voor de breedte geldt de formule b z= −10 2 .

c A z z= + −( )( )10 2 10 2 d

3 10 –2z

10 100 –20z

+2z +20z –4z2

A z= −100 4 2

Het blijkt dat de oppervlakte van figuur 4 gelijk is aan de oppervlakte van figuur 1.

Dat komt omdat figuur 4 uit figuur 1 ontstaat door te knippen te plakken.


© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv


⁄145


T-8a

2 41 3

6

8

4

2

–2

–4

–6

–8

–10

–12

–1–3 –2 O 5x

y

–4–5

10

12

b 2 7 12x − =

2 82x =

x2 4=

x = 2 of x = −2

De oplossing klopt met de grafiek, want die snijdt de horizontale as in de punten met

x = −2 en x = 2 .

c De horizontale lijn door y = −11 heeft geen snijpunten met de grafiek, want het laagste punt

van de grafiek is (0, –7), dus de vergelijking 2 7 112x − = − heeft geen oplossingen.

Of:

Oplossen van de vergelijking 2 7 112x − = − geeft 2 42x = − , dus x2 2= − en een kwadraat

kan niet gelijk zijn aan een negatief getal.


© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv


Hoofdstuk 5 - Kwadratische formules bv -...

Documents

Transcript of Hoofdstuk 5 - Kwadratische formules bv -...