Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 1 van 20

PARAGRAAF 14.0 : EENHEIDSCIRKEL

DE EENHEIDSCIRKEL MET GRADEN

DEFINITIES

• Eenheidscirkel = { Cirkel met middelpunt O en straal 1 }

• sin(𝜃𝜃) = 𝑦𝑦−𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐1

→ 𝑦𝑦 = sin(𝜃𝜃)

Voorbeeld 1 : Graden en coördinaten

Kijk naar de eenheidscirkel. Bereken de y-coördinaat als

a. 𝑡𝑡 = 90 b. 𝑡𝑡 = 22

Oplossing 1

a. Dit mag gewoon op de GR : 𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(90) = 1 b. Dit mag gewoon op de GR : 𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(22) = 0,37

Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 2 van 20

DE EENHEIDSCIRKEL MET RADIALEN

DEFINITIES RADIALEN

• Radiaal = { Afstand (in cm) die iemand heeft afgelegd als hij over de rand van de cirkel loopt }

• De omtrek van de cirkel = 2π⋅ r = 2π ⋅ 1 = 2π

• 2π rad = 360 graden → π rad = 180 graden

VOORBEELD 1 : RADIALEN

Kijk naar de eenheidscirkel. Bereken de y-coördinaat als

a. 𝑡𝑡 = 1 12𝜋𝜋

b. 𝑡𝑡 = 1 13𝜋𝜋

OPLOSSING 1

a. Dit mag gewoon op de GR : y = sin �1 12π� = −1

b. Dit mag gewoon op de GR : 𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 �1 13𝜋𝜋� = −0,87

Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 3 van 20

DE GRAFIEK VAN 𝒚𝒚 = 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒙𝒙)

De grafiek van 𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥) kun je uit de eenheidscirkel halen :

(1) 𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 (𝑥𝑥) (de y-coördinaat in de eenheidscirkel)

Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 4 van 20

PARAGRAAF 14.1 : SINUSOÏDEN

LES 1 : TEKENEN VAN EEN GONIOFORMULE

DEFINITIE

Gegeven is gonioformule 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑐𝑐 (𝑥𝑥 − 𝑑𝑑)

Hierin is:

(1) a = evenwichtsstand

(2) b = amplitude

(3) 𝑐𝑐 = 2𝜋𝜋𝑝𝑝𝑝𝑝𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑝𝑝

𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑜𝑜𝑑𝑑𝑝𝑝 = 2𝜋𝜋𝑐𝑐

(4) d = verschuiving met 𝑥𝑥 + 𝑑𝑑 = verschuiving d naar links

𝑥𝑥 − 𝑑𝑑 = verschuiving d naar rechts

STAPPENPLAN TEKENEN GONIO-FORMULE 𝒚𝒚 = 𝒂𝒂 + 𝒃𝒃 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒄𝒄 (𝒙𝒙 − 𝒅𝒅)

(1) Teken eerst de formule 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑥𝑥 (dus zonder verschuiving d)

(2) Verschuif de eerste grafiek d naar links / rechts

VOORBEELD 1

Teken op domein [0 , 2π] de formule 𝑜𝑜(𝑥𝑥) = 2 + 3𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 12

(𝑥𝑥 − 1)

Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 5 van 20

OPLOSSING 1

a. (1) 𝑎𝑎 = 𝑝𝑝𝑒𝑒𝑝𝑝𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠𝑐𝑐ℎ𝑡𝑡𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡𝑎𝑎𝑠𝑠𝑑𝑑 = −2

𝑏𝑏 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑝𝑝𝑎𝑎𝑠𝑠𝑡𝑡𝑎𝑎𝑑𝑑𝑝𝑝 = 3

𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑜𝑜𝑑𝑑𝑝𝑝 = 2𝜋𝜋0,5

= 4𝜋𝜋 (≈ 12,57)

(2) −1 = verschuiving 1 naar links

Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 6 van 20

OPMERKING

Je kunt ook direct de grafiek tekenen. Je moet dan als start van de grafiek het punt (𝑒𝑒𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑐𝑐ℎ𝑎𝑎𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠𝑠𝑠𝑢𝑢, 𝑝𝑝𝑒𝑒𝑝𝑝𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠𝑐𝑐ℎ𝑡𝑡𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡𝑎𝑎𝑠𝑠𝑑𝑑) = (1,2) nemen voor de sinusgrafiek.

Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 7 van 20

PARAGRAAF 14.2 : FORMULES VAN SINUSOÏDEN OPSTELLEN

LES 1 BEPALEN VAN EEN GONIOFORMULE

VOORBEELD 1

a. Bepaal de formule van de grafiek.

b. Bereken zonder de GR het maximum en het minimum.

c. Bereken de helling in x = 1.

d. Bereken de maximale helling.

e. Bereken de minimale helling.

OPLOSSING 1

a. Begint in de evenwichtsstand dus vandaar een sinusfunctie, want dan heb je geen verschuiving nodig.

(1) a = evenwichtsstand = 7+ −12

= 62

= 3

(2) b = amplitude = 7 − 3 = 4

(3) periode = 4 – 1 = 3 (Van top tot top) dus 𝑐𝑐 = 2𝜋𝜋3

= 23𝜋𝜋

(4) Bij de sinusgrafiek start in de evenwichtsstand en dat doet deze grafiek ook dus d=0.

Dus 𝒚𝒚 = 𝟑𝟑 + 𝟒𝟒𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 (𝟐𝟐𝟑𝟑𝝅𝝅𝒙𝒙)

b. Maximum = evenwichtsstand + amplitude = a + b = 3 + 4 = 7 Minimum = evenwichtsstand – amplitude = a – b = 3 – 4 = –1.

Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 8 van 20

c. 𝑌𝑌1 = 3 + 4𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 (23𝜋𝜋𝑥𝑥)

calc > dy/dx > x=1 helling = -4,19

d. De helling is maximaal als de grafiek door de evenwichtsstand omhoog gaat !! Dat is bij x = 0. Dus

𝑌𝑌1 = 3 + 4𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 (23𝜋𝜋𝑥𝑥)

calc > dy/dx > x=0 helling = 8,38

e. De helling is minimaal als de grafiek door de evenwichtsstand omlaag gaat !! (1) Bereken het snijpunt van de formule met de evenwichtsstand (y=3) waar de grafiek

OMLAAG gaat ;

𝑌𝑌1 = 3 + 4𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 �23𝜋𝜋𝑥𝑥� 𝑝𝑝𝑠𝑠 𝑌𝑌2 = 3

calc > intersect x=1,5

(2) Bereken de helling in dit punt (In dit geval x=1,5707963)

𝑌𝑌1 = 3 + 4𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 (23𝜋𝜋𝑥𝑥)

calc > dy/dx > x=1,5 helling = -8,38

Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 9 van 20

PARAGRAAF 14.3 : RIJEN BIJ FIGUREN

DEFINITIE

Er zijn twee soorten rijen die vaak terugkomen

1. Rekenkundige rij = { Iedere keer een getal erbij tellen } 2. Meetkundige rij = { Iedere keer met een getal vermenigvuldigen }

REKENKUNDIGE RIJ

(1) De recursievergelijking : u(n) = u(n-1) + v , waarbij v een getal is. (2) De directe formule : u(n) = u0 + n⋅v.

MEETKUNDIGE RIJ

(1) De recursievergelijking : u(n) = r∙u(n-1) , waarbij r een getal is. (2) De directe formule : u(n) = u0 ⋅ rn.

SOMRIJ

𝑆𝑆𝑐𝑐 = { 𝑆𝑆𝑜𝑜𝑎𝑎 𝑒𝑒𝑎𝑎𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑡𝑡𝑝𝑝 (𝑠𝑠 + 1) 𝑡𝑡𝑝𝑝𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝𝑠𝑠 𝑒𝑒𝑎𝑎𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑠𝑠𝑟𝑟 𝑎𝑎 } = 𝑎𝑎0 + 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2+. . . +𝑎𝑎𝑐𝑐

Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 10 van 20

VOORBEELD 1

Gegeven is de recursievergelijking u(n) = u(n-1) + 4 en u(0) = 9

a. Bereken ∑ 𝑎𝑎𝑐𝑐3𝑐𝑐=0

b. Bepaal de som van de eerste 12 termen.

OPLOSSING 1

a. ∑ 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐=0 = 𝑎𝑎0 + 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎3 = 9 + 13 + 17 + 21 = 60

b. (1) De eerste 12 getallen is u(0) t/m u(11) !!

Dus we moeten 𝑆𝑆11 berekenen.

(2) De GR gebruiken. Je hebt twee recursievergelijkingen nodig : nMin = 0 u(n) = u(n-1) + 4 u(nMin) = 9 v(n) = v(n-1) + u(n-1) + 4 { v(n-1) + de recursievgl van u(n) } v(nMin) = 9 { v(0) = u(0) = 9 }

Table : v(11) = 372

Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 11 van 20

VOORBEELD 2

Gegeven zijn de volgende 3 figuren van een rij.

We kijken naar het totaal aantal lucifers van deze figuren (T). Er geldt dus T1 = 4 ; T2 = 7 ; T3 = 10. Het totaal aantal lucifers wordt berekend door het aantal lucifers in de lengte (L) en het aantal lucifers dat omhoog ligt (H).

Er geldt bijvoorbeeld dat L2 = 4 en H2 = 3.

a. Stel een directe formule op van Ln en Hn. b. Stel een directe formule en een recursievergelijking op van Tn.

Je kunt m.b.v. de formules van Ln en Hn ook een nieuwe formule maken. We definiëren On = Ln × Hn.

c. Stel een directe formule op van On . d. Stel een recursievergelijking op van On .

Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 12 van 20

OPLOSSING 2

a. H1 = 2 H2 = 3 H3 = 4 > Hn = n + 1 L1 = 2 L2 = 4 L3 = 6 > Ln = 2n

b. Tn = Hn + Ln= 2n + n + 1 = 3n + 2 Tn–1 = 3(n – 1) + 2 = 3n – 3 + 2 = 3n – 1 Tn - Tn–1 = 3n + 2 – ( 3n – 1) = 3n + 2 – 3n + 1 = 3 Dus Tn = Tn–1 + 3 T1 = L1 + H1 = 2 + 2 = 4

c. On = Ln × Hn = 2n × (n + 1) = 2n2 + n

d. On–1 = 2(n – 1) 2 + n – 1 = 2(n2 – 2n + 1) + n – 1 . On–1 = 2n2 – 4n + 2 + n – 1 = 2n2 – 3n + 1 On - On–1 = 2n2 + n – (2n2 – 3n + 1) = 2n2 + n – 2n2 + 3n – 1 On - On–1 = 4n – 1 Dus On = On–1 + 4n – 1 O1 = L1 × H1 = 2 × 2 = 4

Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 13 van 20

PARAGRAAF 14.4 : VARIABELEN VRIJMAKEN

LES 1 GEBROKEN FORMULES OMWERKEN

Formules omwerken → kruiselings vermenigvuldigen of 2 = 63

VOORBEELD 1

a. Maak 𝑥𝑥 vrij bij de formule 𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥−3,2. b. Maak 𝑥𝑥 vrij bij de formule 𝑦𝑦 = 5(2𝑥𝑥 + 1)3

c. Maak 𝑥𝑥 vrij bij de formule 𝑦𝑦 = 12 √𝑥𝑥 − 14 .

OPLOSSING 1

Draai de formule eerst om :

a. 3𝑥𝑥−3,2 = 𝑦𝑦 𝑥𝑥−3,2 = 𝑦𝑦

𝑥𝑥 = 𝑦𝑦1

−3,2 = 𝑦𝑦−0,3125

b. 5(2𝑥𝑥 + 1)3 = y

(2𝑥𝑥 + 1)3 = 15𝑦𝑦

2𝑥𝑥 + 1 = (0,2𝑦𝑦)13

2𝑥𝑥 + 1 = (0,2)13 ∙ 𝑦𝑦

13

2𝑥𝑥 + 1 = 0,585 ∙ �𝑦𝑦3

2𝑥𝑥 = 0,585 ∙ �𝑦𝑦3 − 1

2𝑥𝑥 = 0,292 ∙ �𝑦𝑦3 − 0,5

c. 12 √𝑥𝑥 − 14 = 𝑦𝑦

√𝑥𝑥 − 14 = 2𝑦𝑦 𝑥𝑥 − 1 = (2𝑦𝑦)4 𝑥𝑥 − 1 = (2)4 ∙ (𝑦𝑦)4 𝑥𝑥 − 1 = 16 ∙ 𝑦𝑦4 𝑥𝑥 = 16 ∙ 𝑦𝑦4 + 1

Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 14 van 20

VOORBEELD 2

a. Gegeven is 𝑦𝑦 = 25𝑥𝑥−1

.

Druk x uit in y.

b. Gegeven is 𝐴𝐴 = 8 − 8𝑇𝑇+2

.

Schrijf T als functie van A.

c. Gegeven is 𝐴𝐴 = 𝑝𝑝+3𝑝𝑝−1

.

Schrijf p als functie van A.

d. Gegeven is 𝑍𝑍 = 10𝑇𝑇+203

∙ 15 + 7.

Schrijf deze formule in de vorm 𝑍𝑍 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏

OPLOSSING 2

a. 𝑦𝑦1

= 25𝑥𝑥−1

(kruiselings)

𝑦𝑦(5𝑥𝑥 − 1) = 2 ∙ 1

5𝑥𝑥 − 1 = 2𝑦𝑦

5𝑥𝑥 = 2𝑦𝑦

+ 1

𝑥𝑥 = 25𝑦𝑦

+ 15

OF

𝑦𝑦 = 25𝑥𝑥−1

(makkelijk sommetje bijv. 2 = 63)

5𝑥𝑥 − 1 = 2𝑦𝑦

5𝑥𝑥 = 2𝑦𝑦

+ 1

𝑥𝑥 = 25𝑦𝑦

+ 15

Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 15 van 20

b. 𝐴𝐴 − 8 = − 8𝑇𝑇+2

−𝐴𝐴 + 8 = 8𝑇𝑇+2

{ 𝑦𝑦 = 6𝑥𝑥

→ 𝑥𝑥 = 6𝑦𝑦

𝑎𝑎 + 2 = 8−𝐴𝐴+8

𝑎𝑎 = 8−𝐴𝐴+8

− 2

c. 𝐴𝐴

1= 𝑝𝑝+3

𝑝𝑝−1

𝐴𝐴(𝑝𝑝 − 1) = 1 ∙ (𝑝𝑝 + 3) 𝐴𝐴𝑝𝑝 − 𝐴𝐴 = 𝑝𝑝 + 3 𝐴𝐴𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 = 𝐴𝐴 + 3 𝑝𝑝(𝐴𝐴 − 1) = 𝐴𝐴 + 3

𝑝𝑝 = 𝐴𝐴+3𝐴𝐴−1

d. 𝑍𝑍 = 10𝑇𝑇+203

∙ 151

+ 7 = 150𝑇𝑇+3003

+ 7

𝑍𝑍 = 150𝑇𝑇3

+ 3003

+ 7 = 50𝑎𝑎 + 100 + 7

𝑍𝑍 = 50𝑎𝑎 + 107

Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 16 van 20

LES 2 : COMBINEREN VAN FORMULES MET MEERDERE LETTERS

VOORBEELD 1

Gegeven zijn 𝑦𝑦 = 10𝑝𝑝 + 2 en 𝑝𝑝 = −5𝑥𝑥 + 4.

a. Neem 𝑥𝑥 = 2 en bereken y. b. Druk y uit in x.

Gegeven is ook de formule 𝑄𝑄 = 𝑦𝑦 ⋅ 𝑝𝑝.

c. Schrijf Q als functie van p. d. Druk Q uit in x.

OPLOSSING 1

a. 𝑝𝑝 = −5 ⋅ 2 + 4 = −6 𝑦𝑦 = 10 ⋅ −6 + 2 = −58 b. 𝑦𝑦 = 10𝑝𝑝 + 2 = 𝑦𝑦 = 10 ⋅ (−5𝑥𝑥 + 4) + 2 = 𝑦𝑦 = −50𝑥𝑥 + 40 + 2 𝑦𝑦 = −50𝑥𝑥 + 42 c. 𝑄𝑄 = 𝑦𝑦 ⋅ 𝑝𝑝 = (10𝑝𝑝 + 2) ⋅ 𝑝𝑝 𝑄𝑄 = 10𝑝𝑝2 + 2𝑝𝑝 d. 𝑄𝑄 = 𝑦𝑦 ⋅ 𝑝𝑝 = (−50𝑥𝑥 + 42)(−5𝑥𝑥 + 4) 𝑄𝑄 = 250𝑥𝑥2 – 210𝑥𝑥 − 200𝑥𝑥 + 168 = 250𝑥𝑥2 – 410𝑥𝑥 + 168

Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 17 van 20

LES 3 : VAN MACHT NAAR LOG EN OMGEKEERD

REKENREGELS LOGARITMEN

De belangrijkste 4 regels zijn :

(1) 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢𝑔𝑔 (𝑎𝑎) + 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢𝑔𝑔 (𝑏𝑏) = 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢𝑔𝑔 (𝑎𝑎 ∙ 𝑏𝑏)

(2) 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢𝑔𝑔 (𝑎𝑎) − 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢𝑔𝑔 (𝑏𝑏) = 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢𝑔𝑔 (𝑐𝑐𝑏𝑏

)

(3) 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢𝑔𝑔 �𝑎𝑎𝑘𝑘� = 𝑘𝑘 ∙ 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢𝑔𝑔 (𝑎𝑎)

(4) 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢𝑔𝑔 (𝑢𝑢)𝑐𝑐 = 𝑡𝑡

VOORBEELD 1

Schrijf de volgende formules als of als

a. Schrijf de formule 𝑦𝑦 = 5 ∙ 23𝑐𝑐+8 als 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢(𝑦𝑦) = 𝑎𝑎𝑡𝑡 + 𝑏𝑏

b. Schrijf de formule als 𝑡𝑡 = 𝑑𝑑 + 𝑐𝑐 𝑎𝑎𝑠𝑠(𝑦𝑦).

Gegeven is ook de formule 𝑦𝑦 = 10 ∙ 𝑥𝑥2,3

c. Schrijf deze formule als 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢(𝑦𝑦) = 𝑝𝑝 + 𝑞𝑞 ∙ 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢(𝑥𝑥)

Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 18 van 20

OPLOSSING 1

a. 𝑦𝑦 = 5 ∙ 23𝑐𝑐 ∙ 28 of 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢(𝑦𝑦) = 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢( 5 ∙ 23𝑐𝑐+8)

𝑦𝑦 = 5 ∙ (23)𝑐𝑐 ∙ 256 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢(𝑦𝑦) = 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢( 5) + 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢(23𝑐𝑐+8)

𝑦𝑦 = 1280 ∙ 8𝑐𝑐 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢(𝑦𝑦) = 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢( 5) + (3𝑡𝑡 + 8) × 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢(2)

𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢(𝑦𝑦) = 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢(1280 ∙ 8𝑐𝑐) 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢(𝑦𝑦) = 0,69897 + (3𝑡𝑡 + 8) × 0,301.. 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢(𝑦𝑦) = 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢(1280) + 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢(8𝑐𝑐) 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢(𝑦𝑦) = 0,70 + 0,90𝑡𝑡 + 2,41 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢(𝑦𝑦) = 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢(1280) + 𝑡𝑡 ∙ 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢(8) 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢(𝑦𝑦) = 0,90𝑡𝑡 + 3,11 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢(𝑦𝑦) = 3,11 + 𝑡𝑡 ∙ 0,90 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢(𝑦𝑦) = 0,90𝑡𝑡 + 3,11

b. 𝑎𝑎𝑠𝑠(𝑦𝑦) = 𝑎𝑎𝑠𝑠( 5 ∙ 23𝑐𝑐+8) 𝑎𝑎𝑠𝑠(𝑦𝑦) = 𝑎𝑎𝑠𝑠( 5) + 𝑎𝑎𝑠𝑠(23𝑐𝑐+8) 𝑎𝑎𝑠𝑠(𝑦𝑦) = 𝑎𝑎𝑠𝑠( 5) + (3𝑡𝑡 + 8) × 𝑎𝑎𝑠𝑠(2) 𝑎𝑎𝑠𝑠(𝑦𝑦) = 1,609. . +(3𝑡𝑡 + 8) × 0,693.. 𝑎𝑎𝑠𝑠(𝑦𝑦) = 1,61 + 2,08𝑡𝑡 + 5,55 𝑎𝑎𝑠𝑠(𝑦𝑦) − 7,16 = 2,08𝑡𝑡 0,48𝑎𝑎𝑠𝑠(𝑦𝑦) − 3,44 = 𝑡𝑡 → 𝑡𝑡 = 0,48𝑎𝑎𝑠𝑠(𝑦𝑦) − 3,44

c. 𝑦𝑦 = 10 ∙ 𝑥𝑥2,3

𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢(𝑦𝑦) = 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢(10 ∙ 𝑥𝑥2,3) 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢(𝑦𝑦) = 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢(10) + 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢(𝑥𝑥2,3) 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢 (𝑦𝑦) = 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢(10) + 2,3 ∙ 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢(𝑥𝑥) 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢 (𝑦𝑦) = 1 + 2,3 ∙ 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢(𝑥𝑥)

Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 19 van 20

PARAGRAAF 14.5 : OMVORMEN EXPONENTEN EN LOGARITMEN

VOORBEELD 1

a. Schrijf de formule 𝑦𝑦 = 9 ∙ 2𝑐𝑐 om in de vorm 𝑦𝑦 = 𝑏𝑏 ∙ 10𝑐𝑐𝑐𝑐

b. Schrijf de formule 𝑦𝑦 = 0,25 ∙ 𝑎𝑎𝑠𝑠(3𝑡𝑡) om in de vorm van een logaritme met grondtal 10

OPLOSSING 1

a. 9 ∙ 2𝑐𝑐 = 9 ∙ (10𝑐𝑐)𝑐𝑐 2 = 10𝑐𝑐

𝑐𝑐 = 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢(2) = 0,30110 (en 𝑏𝑏 = 9 uiteraard)

b. We gaan gebruik maken van de regel 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢𝑔𝑔 (𝑎𝑎) = 𝑙𝑙𝑐𝑐𝑔𝑔 (𝑐𝑐)𝑙𝑙𝑐𝑐𝑔𝑔 (𝑔𝑔)

{ 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢8 (20) = 𝑙𝑙𝑐𝑐𝑔𝑔 (20)𝑙𝑙𝑐𝑐𝑔𝑔 (8)

}

𝑦𝑦 = 0,25 ∙ 𝑎𝑎𝑠𝑠(3𝑡𝑡) = 0,25 ∙ 𝑙𝑙𝑐𝑐𝑔𝑔(3𝑐𝑐)𝑙𝑙𝑐𝑐𝑔𝑔(𝑝𝑝)

= 0,25∙𝑙𝑙𝑐𝑐𝑔𝑔(3𝑐𝑐)0,434..

= 0,576 ∙ 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢(3𝑡𝑡)

Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 20 van 20

VOORBEELD 2

a. Schrijf de formule 𝑡𝑡 = 4 ∙ 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢(𝑦𝑦) – 10 om in de vorm 𝑦𝑦 = 𝑏𝑏 ∙ 𝑢𝑢𝑐𝑐

b. Schrijf de formule 𝑡𝑡 = 4 ∙ 𝑎𝑎𝑠𝑠(𝑦𝑦) – 10 om in de vorm 𝑦𝑦 = 𝑏𝑏 ∙ 𝑢𝑢𝑐𝑐

c. Schrijf de formule 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢(𝑦𝑦) = 2 + 5 ∙ 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢(𝑥𝑥) om in de vorm 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎 ∙ 𝑥𝑥𝑐𝑐

OPLOSSING 2

Maak gebruik van de regel : 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢𝑔𝑔 (𝑢𝑢)𝑐𝑐 = 𝑡𝑡

a. 𝑡𝑡 = 4 ∙ 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢(𝑦𝑦) – 10 4𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢(𝑦𝑦) = 𝑡𝑡 + 10 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢(𝑦𝑦) = 0,25𝑡𝑡 + 2,5 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢(𝑦𝑦) = 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢(100,25𝑐𝑐 + 2,5) 𝑦𝑦 = 100,25𝑐𝑐 + 2,5 𝑦𝑦 = 100,25𝑐𝑐 ∙ 10 2,5 𝑦𝑦 = 316,23 ∙ (100,25)𝑐𝑐 𝑦𝑦 = 316,23 ∙ 1,78𝑐𝑐

b. 𝑡𝑡 = 4 ∙ 𝑎𝑎𝑠𝑠(𝑦𝑦) – 10 4𝑎𝑎𝑠𝑠(𝑦𝑦) = 𝑡𝑡 + 10 𝑎𝑎𝑠𝑠(𝑦𝑦) = 0,25𝑡𝑡 + 2,5 𝑎𝑎𝑠𝑠(𝑦𝑦) = 𝑎𝑎𝑠𝑠(𝑝𝑝0,25𝑐𝑐 + 2,5) 𝑦𝑦 = 𝑝𝑝0,25𝑐𝑐 + 2,5 𝑦𝑦 = 𝑝𝑝0,25𝑐𝑐 ∙ 𝑝𝑝 2,5 𝑦𝑦 = 12,18 ∙ (𝑝𝑝0,25)𝑐𝑐 𝑦𝑦 = 12,18 ∙ 1,28𝑐𝑐

c. 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢(𝑦𝑦) = 2 + 5 ∙ 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢(𝑥𝑥) 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢(𝑦𝑦) = 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢(102) + 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢(𝑥𝑥5) 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢(𝑦𝑦) = 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑢𝑢(102 ∙ 𝑥𝑥5) 𝑦𝑦 = 102 ∙ 𝑥𝑥5 𝑦𝑦 = 100 𝑥𝑥5