Formules en de GR

Met de GR kun je bijzonderheden van formules te weten komenbull Eerst plot je de grafiekbull Gebruik eventueel de optie ZoomFit (TI) of Auto (casio) om een geschikt venster te vindenbull Cooumlrdinaten van toppen van grafieken krijg je met de opties minimum en maximumbull Snijpunten van grafieken vind je met de optie intersectbull Bij een x-waarde krijg je de bijbehorende y-waarde op het basisscherm door de optie VARS te gebruiken

151

opgave 6 a t = 10 geeft N asymp 18 748t = 20 geeft N asymp 18 750t = 30 geeft N asymp 18 750Dus G = 18 750De derde week is van t = 2 tot t = 3t = 2 geeft N asymp 6919t = 3 geeft N asymp 12 393Er zijn 12 393 ndash 6919 = 5474 ziektegevallen bij gekomenDe vierde week is van t = 3 tot t = 4

Toename = asymp 311

Voer in y1 = en y2 = 15 000

De optie intersect geeftx asymp 36Dus voor t asymp 36

16249 12393100

12393

75000

4 76 03x

b

c

d

opgave 13 a x = 2 en y = 075 geeft

x = 4 geeft

1

32040 2 80 075 40 2 075

2 075

32040 4 80 40 4

4

80160 80 160

80160 240

80160 240 524

80160 240

K

K y yy

K y yy

K yy

yy

y xx

asymp 413 euro

Los op

Voer in

en y2 = 524

Intersect geeftx asymp 027 en x = 125De breedte van de bak is 027 m of 125 m

b

c

opgave 13 d x = 3 en K lt 500 geeft

1

32040 3 80 40 3 500

3

320120 80 120 500

3

320120 200 500

3

320120 200

3

y yy

y yy

yy

y xx

Voer in

en y2 = 500

Intersect geeftx asymp 034 en x asymp 156De breedte van de bak ligt tussen 034 m en 156 m

Evenredig

De grootheden P en Q zijn evenredig als er een getal a bestaat zodat P = aQHet getal a heet de evenredigheidsconstanteZo volgt uit y is evenredig met x038dat y = a middot x038

y is evenredig met xn betekent dat er een getal a bestaat met y = axn

151

068 6

6

068

25000 15 10

15 10

2500015330

a

a

a

opgave 18 a K = a middot P068

Bij P = 25 000 hoort K = 15 middot 106

De formule is K = 15 330 middot P068

K = 15 330 middot P068

K = 186 middot 106

Voer iny1 = 15 330x068 en y2 = 186 middot 106

De optie intersect geeftx asymp 34 297De productie was ongeveer 34 000 ton

15 330 middot P068 = 186 middot 106b

Formules in de economie

Bij veel economische problemen blijken de prijs p en de kosten K eenlineaire functie te zijn van het aantal geproduceerde artikelen qDe opbrengst R = p middot q is dan een kwadratische functie van qOok de winst W = R ndash K is in dat geval een kwadratische functie van q

152

opgave 22 a h = 0 geeftndash00018x2 + 96 = 0ndash00018x2 = ndash96x2 asymp 53 333x asymp 231 ⋁ x asymp ndash231De afstand is 231 + 231 = 462 feetAfstand asymp 145 meterPQ = 380 feetdus x = = 190

x = 190 geeft h asymp 31Het punt T ligt op een hoogte van 96 feetDus het water staat 96 ndash 31 = 65 feet onder TWater 70 feet onder Tdus h = 96 ndash 70 = 26Los opndash00018x2 + 96 = 26ndash00018x2 = ndash70x2 asymp 38 889x asymp 197 ⋁ x asymp ndash197De breedte is 197 + 197 = 394 feetBreedte asymp 1238 meter

380 2

b

c

Vergelijkingen van de vorm A middot B = 0

A middot B = 0 geeft A = 0 ⋁ B = 0

opgave 27 a001x(8 ndash 02x) = 0001x = 0 ⋁ 8 ndash 02x = 0x = 0 ⋁ ndash02x = ndash8x = 0 ⋁ x = 40

opgave 27 b3x(10 ndash x) + 5 = 53x(10 ndash x) = 03x = 0 ⋁ 10 ndash x = 0x = 0 ⋁ ndashx = ndash10x = 0 ⋁ x = 10

152

Wortelformules

Uit volgt A = B2Je hebt links en rechts gekwadrateerd

opgave 33 a

Dus a = 007 en b = 8

A B

138

21

38

2

38 8

38 8

8

8

007 8

E T

T E

T E

T E

T E

152

opgave 36 a450

100 301500

30(100 30)196 23

150082

100 205400

205(100 205)196 40

400

a

a

p = 30 en n = 1500 geeft nauwkeurigheid

dus p = 30

Het werkelijke percentage ligt tussen 205 ndash 40 = 165en205 + 40 = 245Dus maximaal 0245 middot 28 500 = 6983 mensen

b

opgave 36 c a = 4 en p = 40 geeft

Voer in en y2 = 4

Intersect geeftx asymp 576De steekproef moet een omvang hebben van 576a = 6 en n = 200 geeft

Voer in y1 = en y2 = 6

Intersect geeftx asymp 250 en x asymp 750Dit percentage is 250 of 750

40(100 40)196 4

2400196 4

n

n

2400196

x

(100 )196 6

200

p p

(100 )196

200

x x

d

2

2

2 2

2

2

2

2

(100 )196

(100 )196

(100 )38416

38416 (100 )

38416(100 )

38416( 100 )

38416 38416

p pa

n

p pa

np p

an

p p a n

a n p p

p pn

a

p pn

a

opgave 36 e

Dus d asymp ndash384 en e asymp 384

Regels bij het oplossen van gebroken vergelijkingen

153

opgave 39 a20

1 53

204

320 4( 3)

20 4 12

4 8

2

x

xx

x

x

x

Herleiden van breuken

153

opgave 42 a500

70

500 70

1500 70

500 70

100 200

100 200

100 200

a

aa

a aa

a

a bb a

ab abb a

ab

b

opgave 44 a

50

1050

105

50

10

1050

500

100

6 255

1006 25

52500

65

5006

x

x

x

x

x

x

xx

xx

xx

xx

b

c

2

2

2

4 3

34

3 6 180

1803 6

1

11

5

5

x xA

x

A xx

x xT

x

T xx

xy

x

yx

q qK

q

K q

opgave 46 a

b

c

d

opgave 50 a8

3050

830

508

5030

850

3018

3201

18320

1

181

32018

1320

Ta

Ta

aT

aT

Lq

Lq

qL

qL

b

2

62

62

6

2

6

2

5

65 6

5 6

5 6

2 3

1

2 31

31 2

31

At

At

tA

tA

yA

y A

y A

y A

AA

p

Ap

A

pA

pA

c

d

e

Toenamendiagram

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram1 Kies een stapgrootte2 Bereken voor elke stap de toename of afname3 Teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 Teken het staafje bij de rechtergrens

(bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4 )

154

voorbeeld

2-050524∆y

[3 4][2 3][1 2][0 1][-1 0]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

y

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

opgave 54 a

opgave 54 b

Gemiddelde veranderingen

N2

N1

O

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

xA a xB

b

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xA xB] is

x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b ndash a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xA xB]

= rc = hellingsgetal van de lijn AB

= =

yA

yBf(b)

f(a)

O

154

opgave 59 a Op [4 6] is(6) (4)

6 4

93 25

2

29

(5) (2)

5 2

55 25

3

10

(61) (36)

61 36

98021 30696

25

2693

K K K

q

K

q

K

q

K K K

q

K

q

K

q

K K K

q

K

q

K

q

Op [2 5] is

Op [36 61] is

De gemiddelde toename is 10 euro per stuk

De gemiddelde snelheid is euro 2693 per stuk

b

c

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voorx = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

154

dydx voor x is xA

Voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie

[ ]dy

dxx = xA

y

Ox

k

A

xA

bull rc van de raaklijn van de grafiek in Abull helling van de grafiek in Abull snelheid waarmee y verandert voor x = xA

De GR bezit een optie om dydx te berekenen

154

Hellinggrafieken

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun jeaan elke x de helling van degrafiek in het bijbehorende punttoevoegen

stijg

end dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

opgave 62 a Voer in y1 = 200(1 + 12 middot 095x)

asymp 110

De gevraagde snelheid is 11 vissen per week

asymp 220

Op t = 33 is de snelheid 22 vissen per weekDus Arjen heeft gelijk

asymp 635

Dus de snelheid op t = 100 is kleiner dan de snelheid op t = 33dus de snelheid waarmee het aantal vissen toeneemt wordt niet steeds groter

[ ]dy

dxx = 10

[ ]dy

dxx = 33

[ ]dy

dxx = 100

b

c

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

opgave 6 a t = 10 geeft N asymp 18 748t = 20 geeft N asymp 18 750t = 30 geeft N asymp 18 750Dus G = 18 750De derde week is van t = 2 tot t = 3t = 2 geeft N asymp 6919t = 3 geeft N asymp 12 393Er zijn 12 393 ndash 6919 = 5474 ziektegevallen bij gekomenDe vierde week is van t = 3 tot t = 4

Toename = asymp 311

Voer in y1 = en y2 = 15 000

De optie intersect geeftx asymp 36Dus voor t asymp 36

16249 12393100

12393

75000

4 76 03x

b

c

d

opgave 13 a x = 2 en y = 075 geeft

x = 4 geeft

1

32040 2 80 075 40 2 075

2 075

32040 4 80 40 4

4

80160 80 160

80160 240

80160 240 524

80160 240

K

K y yy

K y yy

K yy

yy

y xx

asymp 413 euro

Los op

Voer in

en y2 = 524

Intersect geeftx asymp 027 en x = 125De breedte van de bak is 027 m of 125 m

b

c

opgave 13 d x = 3 en K lt 500 geeft

1

32040 3 80 40 3 500

3

320120 80 120 500

3

320120 200 500

3

320120 200

3

y yy

y yy

yy

y xx

Voer in

en y2 = 500

Intersect geeftx asymp 034 en x asymp 156De breedte van de bak ligt tussen 034 m en 156 m

Evenredig

De grootheden P en Q zijn evenredig als er een getal a bestaat zodat P = aQHet getal a heet de evenredigheidsconstanteZo volgt uit y is evenredig met x038dat y = a middot x038

y is evenredig met xn betekent dat er een getal a bestaat met y = axn

151

068 6

6

068

25000 15 10

15 10

2500015330

a

a

a

opgave 18 a K = a middot P068

Bij P = 25 000 hoort K = 15 middot 106

De formule is K = 15 330 middot P068

K = 15 330 middot P068

K = 186 middot 106

Voer iny1 = 15 330x068 en y2 = 186 middot 106

De optie intersect geeftx asymp 34 297De productie was ongeveer 34 000 ton

15 330 middot P068 = 186 middot 106b

Formules in de economie

Bij veel economische problemen blijken de prijs p en de kosten K eenlineaire functie te zijn van het aantal geproduceerde artikelen qDe opbrengst R = p middot q is dan een kwadratische functie van qOok de winst W = R ndash K is in dat geval een kwadratische functie van q

152

opgave 22 a h = 0 geeftndash00018x2 + 96 = 0ndash00018x2 = ndash96x2 asymp 53 333x asymp 231 ⋁ x asymp ndash231De afstand is 231 + 231 = 462 feetAfstand asymp 145 meterPQ = 380 feetdus x = = 190

x = 190 geeft h asymp 31Het punt T ligt op een hoogte van 96 feetDus het water staat 96 ndash 31 = 65 feet onder TWater 70 feet onder Tdus h = 96 ndash 70 = 26Los opndash00018x2 + 96 = 26ndash00018x2 = ndash70x2 asymp 38 889x asymp 197 ⋁ x asymp ndash197De breedte is 197 + 197 = 394 feetBreedte asymp 1238 meter

380 2

b

c

Vergelijkingen van de vorm A middot B = 0

A middot B = 0 geeft A = 0 ⋁ B = 0

opgave 27 a001x(8 ndash 02x) = 0001x = 0 ⋁ 8 ndash 02x = 0x = 0 ⋁ ndash02x = ndash8x = 0 ⋁ x = 40

opgave 27 b3x(10 ndash x) + 5 = 53x(10 ndash x) = 03x = 0 ⋁ 10 ndash x = 0x = 0 ⋁ ndashx = ndash10x = 0 ⋁ x = 10

152

Wortelformules

Uit volgt A = B2Je hebt links en rechts gekwadrateerd

opgave 33 a

Dus a = 007 en b = 8

A B

138

21

38

2

38 8

38 8

8

8

007 8

E T

T E

T E

T E

T E

152

opgave 36 a450

100 301500

30(100 30)196 23

150082

100 205400

205(100 205)196 40

400

a

a

p = 30 en n = 1500 geeft nauwkeurigheid

dus p = 30

Het werkelijke percentage ligt tussen 205 ndash 40 = 165en205 + 40 = 245Dus maximaal 0245 middot 28 500 = 6983 mensen

b

opgave 36 c a = 4 en p = 40 geeft

Voer in en y2 = 4

Intersect geeftx asymp 576De steekproef moet een omvang hebben van 576a = 6 en n = 200 geeft

Voer in y1 = en y2 = 6

Intersect geeftx asymp 250 en x asymp 750Dit percentage is 250 of 750

40(100 40)196 4

2400196 4

n

n

2400196

x

(100 )196 6

200

p p

(100 )196

200

x x

d

2

2

2 2

2

2

2

2

(100 )196

(100 )196

(100 )38416

38416 (100 )

38416(100 )

38416( 100 )

38416 38416

p pa

n

p pa

np p

an

p p a n

a n p p

p pn

a

p pn

a

opgave 36 e

Dus d asymp ndash384 en e asymp 384

Regels bij het oplossen van gebroken vergelijkingen

153

opgave 39 a20

1 53

204

320 4( 3)

20 4 12

4 8

2

x

xx

x

x

x

Herleiden van breuken

153

opgave 42 a500

70

500 70

1500 70

500 70

100 200

100 200

100 200

a

aa

a aa

a

a bb a

ab abb a

ab

b

opgave 44 a

50

1050

105

50

10

1050

500

100

6 255

1006 25

52500

65

5006

x

x

x

x

x

x

xx

xx

xx

xx

b

c

2

2

2

4 3

34

3 6 180

1803 6

1

11

5

5

x xA

x

A xx

x xT

x

T xx

xy

x

yx

q qK

q

K q

opgave 46 a

b

c

d

opgave 50 a8

3050

830

508

5030

850

3018

3201

18320

1

181

32018

1320

Ta

Ta

aT

aT

Lq

Lq

qL

qL

b

2

62

62

6

2

6

2

5

65 6

5 6

5 6

2 3

1

2 31

31 2

31

At

At

tA

tA

yA

y A

y A

y A

AA

p

Ap

A

pA

pA

c

d

e

Toenamendiagram

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram1 Kies een stapgrootte2 Bereken voor elke stap de toename of afname3 Teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 Teken het staafje bij de rechtergrens

(bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4 )

154

voorbeeld

2-050524∆y

[3 4][2 3][1 2][0 1][-1 0]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

y

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

opgave 54 a

opgave 54 b

Gemiddelde veranderingen

N2

N1

O

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

xA a xB

b

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xA xB] is

x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b ndash a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xA xB]

= rc = hellingsgetal van de lijn AB

= =

yA

yBf(b)

f(a)

O

154

opgave 59 a Op [4 6] is(6) (4)

6 4

93 25

2

29

(5) (2)

5 2

55 25

3

10

(61) (36)

61 36

98021 30696

25

2693

K K K

q

K

q

K

q

K K K

q

K

q

K

q

K K K

q

K

q

K

q

Op [2 5] is

Op [36 61] is

De gemiddelde toename is 10 euro per stuk

De gemiddelde snelheid is euro 2693 per stuk

b

c

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voorx = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

154

dydx voor x is xA

Voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie

[ ]dy

dxx = xA

y

Ox

k

A

xA

bull rc van de raaklijn van de grafiek in Abull helling van de grafiek in Abull snelheid waarmee y verandert voor x = xA

De GR bezit een optie om dydx te berekenen

154

Hellinggrafieken

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun jeaan elke x de helling van degrafiek in het bijbehorende punttoevoegen

stijg

end dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

opgave 62 a Voer in y1 = 200(1 + 12 middot 095x)

asymp 110

De gevraagde snelheid is 11 vissen per week

asymp 220

Op t = 33 is de snelheid 22 vissen per weekDus Arjen heeft gelijk

asymp 635

Dus de snelheid op t = 100 is kleiner dan de snelheid op t = 33dus de snelheid waarmee het aantal vissen toeneemt wordt niet steeds groter

[ ]dy

dxx = 10

[ ]dy

dxx = 33

[ ]dy

dxx = 100

b

c

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

opgave 13 a x = 2 en y = 075 geeft

x = 4 geeft

1

32040 2 80 075 40 2 075

2 075

32040 4 80 40 4

4

80160 80 160

80160 240

80160 240 524

80160 240

K

K y yy

K y yy

K yy

yy

y xx

asymp 413 euro

Los op

Voer in

en y2 = 524

Intersect geeftx asymp 027 en x = 125De breedte van de bak is 027 m of 125 m

b

c

opgave 13 d x = 3 en K lt 500 geeft

1

32040 3 80 40 3 500

3

320120 80 120 500

3

320120 200 500

3

320120 200

3

y yy

y yy

yy

y xx

Voer in

en y2 = 500

Intersect geeftx asymp 034 en x asymp 156De breedte van de bak ligt tussen 034 m en 156 m

Evenredig

De grootheden P en Q zijn evenredig als er een getal a bestaat zodat P = aQHet getal a heet de evenredigheidsconstanteZo volgt uit y is evenredig met x038dat y = a middot x038

y is evenredig met xn betekent dat er een getal a bestaat met y = axn

151

068 6

6

068

25000 15 10

15 10

2500015330

a

a

a

opgave 18 a K = a middot P068

Bij P = 25 000 hoort K = 15 middot 106

De formule is K = 15 330 middot P068

K = 15 330 middot P068

K = 186 middot 106

Voer iny1 = 15 330x068 en y2 = 186 middot 106

De optie intersect geeftx asymp 34 297De productie was ongeveer 34 000 ton

15 330 middot P068 = 186 middot 106b

Formules in de economie

Bij veel economische problemen blijken de prijs p en de kosten K eenlineaire functie te zijn van het aantal geproduceerde artikelen qDe opbrengst R = p middot q is dan een kwadratische functie van qOok de winst W = R ndash K is in dat geval een kwadratische functie van q

152

opgave 22 a h = 0 geeftndash00018x2 + 96 = 0ndash00018x2 = ndash96x2 asymp 53 333x asymp 231 ⋁ x asymp ndash231De afstand is 231 + 231 = 462 feetAfstand asymp 145 meterPQ = 380 feetdus x = = 190

x = 190 geeft h asymp 31Het punt T ligt op een hoogte van 96 feetDus het water staat 96 ndash 31 = 65 feet onder TWater 70 feet onder Tdus h = 96 ndash 70 = 26Los opndash00018x2 + 96 = 26ndash00018x2 = ndash70x2 asymp 38 889x asymp 197 ⋁ x asymp ndash197De breedte is 197 + 197 = 394 feetBreedte asymp 1238 meter

380 2

b

c

Vergelijkingen van de vorm A middot B = 0

A middot B = 0 geeft A = 0 ⋁ B = 0

opgave 27 a001x(8 ndash 02x) = 0001x = 0 ⋁ 8 ndash 02x = 0x = 0 ⋁ ndash02x = ndash8x = 0 ⋁ x = 40

opgave 27 b3x(10 ndash x) + 5 = 53x(10 ndash x) = 03x = 0 ⋁ 10 ndash x = 0x = 0 ⋁ ndashx = ndash10x = 0 ⋁ x = 10

152

Wortelformules

Uit volgt A = B2Je hebt links en rechts gekwadrateerd

opgave 33 a

Dus a = 007 en b = 8

A B

138

21

38

2

38 8

38 8

8

8

007 8

E T

T E

T E

T E

T E

152

opgave 36 a450

100 301500

30(100 30)196 23

150082

100 205400

205(100 205)196 40

400

a

a

p = 30 en n = 1500 geeft nauwkeurigheid

dus p = 30

Het werkelijke percentage ligt tussen 205 ndash 40 = 165en205 + 40 = 245Dus maximaal 0245 middot 28 500 = 6983 mensen

b

opgave 36 c a = 4 en p = 40 geeft

Voer in en y2 = 4

Intersect geeftx asymp 576De steekproef moet een omvang hebben van 576a = 6 en n = 200 geeft

Voer in y1 = en y2 = 6

Intersect geeftx asymp 250 en x asymp 750Dit percentage is 250 of 750

40(100 40)196 4

2400196 4

n

n

2400196

x

(100 )196 6

200

p p

(100 )196

200

x x

d

2

2

2 2

2

2

2

2

(100 )196

(100 )196

(100 )38416

38416 (100 )

38416(100 )

38416( 100 )

38416 38416

p pa

n

p pa

np p

an

p p a n

a n p p

p pn

a

p pn

a

opgave 36 e

Dus d asymp ndash384 en e asymp 384

Regels bij het oplossen van gebroken vergelijkingen

153

opgave 39 a20

1 53

204

320 4( 3)

20 4 12

4 8

2

x

xx

x

x

x

Herleiden van breuken

153

opgave 42 a500

70

500 70

1500 70

500 70

100 200

100 200

100 200

a

aa

a aa

a

a bb a

ab abb a

ab

b

opgave 44 a

50

1050

105

50

10

1050

500

100

6 255

1006 25

52500

65

5006

x

x

x

x

x

x

xx

xx

xx

xx

b

c

2

2

2

4 3

34

3 6 180

1803 6

1

11

5

5

x xA

x

A xx

x xT

x

T xx

xy

x

yx

q qK

q

K q

opgave 46 a

b

c

d

opgave 50 a8

3050

830

508

5030

850

3018

3201

18320

1

181

32018

1320

Ta

Ta

aT

aT

Lq

Lq

qL

qL

b

2

62

62

6

2

6

2

5

65 6

5 6

5 6

2 3

1

2 31

31 2

31

At

At

tA

tA

yA

y A

y A

y A

AA

p

Ap

A

pA

pA

c

d

e

Toenamendiagram

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram1 Kies een stapgrootte2 Bereken voor elke stap de toename of afname3 Teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 Teken het staafje bij de rechtergrens

(bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4 )

154

voorbeeld

2-050524∆y

[3 4][2 3][1 2][0 1][-1 0]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

y

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

opgave 54 a

opgave 54 b

Gemiddelde veranderingen

N2

N1

O

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

xA a xB

b

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xA xB] is

x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b ndash a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xA xB]

= rc = hellingsgetal van de lijn AB

= =

yA

yBf(b)

f(a)

O

154

opgave 59 a Op [4 6] is(6) (4)

6 4

93 25

2

29

(5) (2)

5 2

55 25

3

10

(61) (36)

61 36

98021 30696

25

2693

K K K

q

K

q

K

q

K K K

q

K

q

K

q

K K K

q

K

q

K

q

Op [2 5] is

Op [36 61] is

De gemiddelde toename is 10 euro per stuk

De gemiddelde snelheid is euro 2693 per stuk

b

c

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voorx = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

154

dydx voor x is xA

Voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie

[ ]dy

dxx = xA

y

Ox

k

A

xA

bull rc van de raaklijn van de grafiek in Abull helling van de grafiek in Abull snelheid waarmee y verandert voor x = xA

De GR bezit een optie om dydx te berekenen

154

Hellinggrafieken

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun jeaan elke x de helling van degrafiek in het bijbehorende punttoevoegen

stijg

end dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

opgave 62 a Voer in y1 = 200(1 + 12 middot 095x)

asymp 110

De gevraagde snelheid is 11 vissen per week

asymp 220

Op t = 33 is de snelheid 22 vissen per weekDus Arjen heeft gelijk

asymp 635

Dus de snelheid op t = 100 is kleiner dan de snelheid op t = 33dus de snelheid waarmee het aantal vissen toeneemt wordt niet steeds groter

[ ]dy

dxx = 10

[ ]dy

dxx = 33

[ ]dy

dxx = 100

b

c

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

opgave 13 d x = 3 en K lt 500 geeft

1

32040 3 80 40 3 500

3

320120 80 120 500

3

320120 200 500

3

320120 200

3

y yy

y yy

yy

y xx

Voer in

en y2 = 500

Intersect geeftx asymp 034 en x asymp 156De breedte van de bak ligt tussen 034 m en 156 m

Evenredig

De grootheden P en Q zijn evenredig als er een getal a bestaat zodat P = aQHet getal a heet de evenredigheidsconstanteZo volgt uit y is evenredig met x038dat y = a middot x038

y is evenredig met xn betekent dat er een getal a bestaat met y = axn

151

068 6

6

068

25000 15 10

15 10

2500015330

a

a

a

opgave 18 a K = a middot P068

Bij P = 25 000 hoort K = 15 middot 106

De formule is K = 15 330 middot P068

K = 15 330 middot P068

K = 186 middot 106

Voer iny1 = 15 330x068 en y2 = 186 middot 106

De optie intersect geeftx asymp 34 297De productie was ongeveer 34 000 ton

15 330 middot P068 = 186 middot 106b

Formules in de economie

Bij veel economische problemen blijken de prijs p en de kosten K eenlineaire functie te zijn van het aantal geproduceerde artikelen qDe opbrengst R = p middot q is dan een kwadratische functie van qOok de winst W = R ndash K is in dat geval een kwadratische functie van q

152

opgave 22 a h = 0 geeftndash00018x2 + 96 = 0ndash00018x2 = ndash96x2 asymp 53 333x asymp 231 ⋁ x asymp ndash231De afstand is 231 + 231 = 462 feetAfstand asymp 145 meterPQ = 380 feetdus x = = 190

x = 190 geeft h asymp 31Het punt T ligt op een hoogte van 96 feetDus het water staat 96 ndash 31 = 65 feet onder TWater 70 feet onder Tdus h = 96 ndash 70 = 26Los opndash00018x2 + 96 = 26ndash00018x2 = ndash70x2 asymp 38 889x asymp 197 ⋁ x asymp ndash197De breedte is 197 + 197 = 394 feetBreedte asymp 1238 meter

380 2

b

c

Vergelijkingen van de vorm A middot B = 0

A middot B = 0 geeft A = 0 ⋁ B = 0

opgave 27 a001x(8 ndash 02x) = 0001x = 0 ⋁ 8 ndash 02x = 0x = 0 ⋁ ndash02x = ndash8x = 0 ⋁ x = 40

opgave 27 b3x(10 ndash x) + 5 = 53x(10 ndash x) = 03x = 0 ⋁ 10 ndash x = 0x = 0 ⋁ ndashx = ndash10x = 0 ⋁ x = 10

152

Wortelformules

Uit volgt A = B2Je hebt links en rechts gekwadrateerd

opgave 33 a

Dus a = 007 en b = 8

A B

138

21

38

2

38 8

38 8

8

8

007 8

E T

T E

T E

T E

T E

152

opgave 36 a450

100 301500

30(100 30)196 23

150082

100 205400

205(100 205)196 40

400

a

a

p = 30 en n = 1500 geeft nauwkeurigheid

dus p = 30

Het werkelijke percentage ligt tussen 205 ndash 40 = 165en205 + 40 = 245Dus maximaal 0245 middot 28 500 = 6983 mensen

b

opgave 36 c a = 4 en p = 40 geeft

Voer in en y2 = 4

Intersect geeftx asymp 576De steekproef moet een omvang hebben van 576a = 6 en n = 200 geeft

Voer in y1 = en y2 = 6

Intersect geeftx asymp 250 en x asymp 750Dit percentage is 250 of 750

40(100 40)196 4

2400196 4

n

n

2400196

x

(100 )196 6

200

p p

(100 )196

200

x x

d

2

2

2 2

2

2

2

2

(100 )196

(100 )196

(100 )38416

38416 (100 )

38416(100 )

38416( 100 )

38416 38416

p pa

n

p pa

np p

an

p p a n

a n p p

p pn

a

p pn

a

opgave 36 e

Dus d asymp ndash384 en e asymp 384

Regels bij het oplossen van gebroken vergelijkingen

153

opgave 39 a20

1 53

204

320 4( 3)

20 4 12

4 8

2

x

xx

x

x

x

Herleiden van breuken

153

opgave 42 a500

70

500 70

1500 70

500 70

100 200

100 200

100 200

a

aa

a aa

a

a bb a

ab abb a

ab

b

opgave 44 a

50

1050

105

50

10

1050

500

100

6 255

1006 25

52500

65

5006

x

x

x

x

x

x

xx

xx

xx

xx

b

c

2

2

2

4 3

34

3 6 180

1803 6

1

11

5

5

x xA

x

A xx

x xT

x

T xx

xy

x

yx

q qK

q

K q

opgave 46 a

b

c

d

opgave 50 a8

3050

830

508

5030

850

3018

3201

18320

1

181

32018

1320

Ta

Ta

aT

aT

Lq

Lq

qL

qL

b

2

62

62

6

2

6

2

5

65 6

5 6

5 6

2 3

1

2 31

31 2

31

At

At

tA

tA

yA

y A

y A

y A

AA

p

Ap

A

pA

pA

c

d

e

Toenamendiagram

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram1 Kies een stapgrootte2 Bereken voor elke stap de toename of afname3 Teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 Teken het staafje bij de rechtergrens

(bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4 )

154

voorbeeld

2-050524∆y

[3 4][2 3][1 2][0 1][-1 0]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

y

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

opgave 54 a

opgave 54 b

Gemiddelde veranderingen

N2

N1

O

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

xA a xB

b

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xA xB] is

x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b ndash a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xA xB]

= rc = hellingsgetal van de lijn AB

= =

yA

yBf(b)

f(a)

O

154

opgave 59 a Op [4 6] is(6) (4)

6 4

93 25

2

29

(5) (2)

5 2

55 25

3

10

(61) (36)

61 36

98021 30696

25

2693

K K K

q

K

q

K

q

K K K

q

K

q

K

q

K K K

q

K

q

K

q

Op [2 5] is

Op [36 61] is

De gemiddelde toename is 10 euro per stuk

De gemiddelde snelheid is euro 2693 per stuk

b

c

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voorx = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

154

dydx voor x is xA

Voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie

[ ]dy

dxx = xA

y

Ox

k

A

xA

bull rc van de raaklijn van de grafiek in Abull helling van de grafiek in Abull snelheid waarmee y verandert voor x = xA

De GR bezit een optie om dydx te berekenen

154

Hellinggrafieken

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun jeaan elke x de helling van degrafiek in het bijbehorende punttoevoegen

stijg

end dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

opgave 62 a Voer in y1 = 200(1 + 12 middot 095x)

asymp 110

De gevraagde snelheid is 11 vissen per week

asymp 220

Op t = 33 is de snelheid 22 vissen per weekDus Arjen heeft gelijk

asymp 635

Dus de snelheid op t = 100 is kleiner dan de snelheid op t = 33dus de snelheid waarmee het aantal vissen toeneemt wordt niet steeds groter

[ ]dy

dxx = 10

[ ]dy

dxx = 33

[ ]dy

dxx = 100

b

c

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

Evenredig

De grootheden P en Q zijn evenredig als er een getal a bestaat zodat P = aQHet getal a heet de evenredigheidsconstanteZo volgt uit y is evenredig met x038dat y = a middot x038

y is evenredig met xn betekent dat er een getal a bestaat met y = axn

151

068 6

6

068

25000 15 10

15 10

2500015330

a

a

a

opgave 18 a K = a middot P068

Bij P = 25 000 hoort K = 15 middot 106

De formule is K = 15 330 middot P068

K = 15 330 middot P068

K = 186 middot 106

Voer iny1 = 15 330x068 en y2 = 186 middot 106

De optie intersect geeftx asymp 34 297De productie was ongeveer 34 000 ton

15 330 middot P068 = 186 middot 106b

Formules in de economie

Bij veel economische problemen blijken de prijs p en de kosten K eenlineaire functie te zijn van het aantal geproduceerde artikelen qDe opbrengst R = p middot q is dan een kwadratische functie van qOok de winst W = R ndash K is in dat geval een kwadratische functie van q

152

opgave 22 a h = 0 geeftndash00018x2 + 96 = 0ndash00018x2 = ndash96x2 asymp 53 333x asymp 231 ⋁ x asymp ndash231De afstand is 231 + 231 = 462 feetAfstand asymp 145 meterPQ = 380 feetdus x = = 190

x = 190 geeft h asymp 31Het punt T ligt op een hoogte van 96 feetDus het water staat 96 ndash 31 = 65 feet onder TWater 70 feet onder Tdus h = 96 ndash 70 = 26Los opndash00018x2 + 96 = 26ndash00018x2 = ndash70x2 asymp 38 889x asymp 197 ⋁ x asymp ndash197De breedte is 197 + 197 = 394 feetBreedte asymp 1238 meter

380 2

b

c

Vergelijkingen van de vorm A middot B = 0

A middot B = 0 geeft A = 0 ⋁ B = 0

opgave 27 a001x(8 ndash 02x) = 0001x = 0 ⋁ 8 ndash 02x = 0x = 0 ⋁ ndash02x = ndash8x = 0 ⋁ x = 40

opgave 27 b3x(10 ndash x) + 5 = 53x(10 ndash x) = 03x = 0 ⋁ 10 ndash x = 0x = 0 ⋁ ndashx = ndash10x = 0 ⋁ x = 10

152

Wortelformules

Uit volgt A = B2Je hebt links en rechts gekwadrateerd

opgave 33 a

Dus a = 007 en b = 8

A B

138

21

38

2

38 8

38 8

8

8

007 8

E T

T E

T E

T E

T E

152

opgave 36 a450

100 301500

30(100 30)196 23

150082

100 205400

205(100 205)196 40

400

a

a

p = 30 en n = 1500 geeft nauwkeurigheid

dus p = 30

Het werkelijke percentage ligt tussen 205 ndash 40 = 165en205 + 40 = 245Dus maximaal 0245 middot 28 500 = 6983 mensen

b

opgave 36 c a = 4 en p = 40 geeft

Voer in en y2 = 4

Intersect geeftx asymp 576De steekproef moet een omvang hebben van 576a = 6 en n = 200 geeft

Voer in y1 = en y2 = 6

Intersect geeftx asymp 250 en x asymp 750Dit percentage is 250 of 750

40(100 40)196 4

2400196 4

n

n

2400196

x

(100 )196 6

200

p p

(100 )196

200

x x

d

2

2

2 2

2

2

2

2

(100 )196

(100 )196

(100 )38416

38416 (100 )

38416(100 )

38416( 100 )

38416 38416

p pa

n

p pa

np p

an

p p a n

a n p p

p pn

a

p pn

a

opgave 36 e

Dus d asymp ndash384 en e asymp 384

Regels bij het oplossen van gebroken vergelijkingen

153

opgave 39 a20

1 53

204

320 4( 3)

20 4 12

4 8

2

x

xx

x

x

x

Herleiden van breuken

153

opgave 42 a500

70

500 70

1500 70

500 70

100 200

100 200

100 200

a

aa

a aa

a

a bb a

ab abb a

ab

b

opgave 44 a

50

1050

105

50

10

1050

500

100

6 255

1006 25

52500

65

5006

x

x

x

x

x

x

xx

xx

xx

xx

b

c

2

2

2

4 3

34

3 6 180

1803 6

1

11

5

5

x xA

x

A xx

x xT

x

T xx

xy

x

yx

q qK

q

K q

opgave 46 a

b

c

d

opgave 50 a8

3050

830

508

5030

850

3018

3201

18320

1

181

32018

1320

Ta

Ta

aT

aT

Lq

Lq

qL

qL

b

2

62

62

6

2

6

2

5

65 6

5 6

5 6

2 3

1

2 31

31 2

31

At

At

tA

tA

yA

y A

y A

y A

AA

p

Ap

A

pA

pA

c

d

e

Toenamendiagram

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram1 Kies een stapgrootte2 Bereken voor elke stap de toename of afname3 Teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 Teken het staafje bij de rechtergrens

(bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4 )

154

voorbeeld

2-050524∆y

[3 4][2 3][1 2][0 1][-1 0]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

y

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

opgave 54 a

opgave 54 b

Gemiddelde veranderingen

N2

N1

O

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

xA a xB

b

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xA xB] is

x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b ndash a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xA xB]

= rc = hellingsgetal van de lijn AB

= =

yA

yBf(b)

f(a)

O

154

opgave 59 a Op [4 6] is(6) (4)

6 4

93 25

2

29

(5) (2)

5 2

55 25

3

10

(61) (36)

61 36

98021 30696

25

2693

K K K

q

K

q

K

q

K K K

q

K

q

K

q

K K K

q

K

q

K

q

Op [2 5] is

Op [36 61] is

De gemiddelde toename is 10 euro per stuk

De gemiddelde snelheid is euro 2693 per stuk

b

c

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voorx = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

154

dydx voor x is xA

Voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie

[ ]dy

dxx = xA

y

Ox

k

A

xA

bull rc van de raaklijn van de grafiek in Abull helling van de grafiek in Abull snelheid waarmee y verandert voor x = xA

De GR bezit een optie om dydx te berekenen

154

Hellinggrafieken

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun jeaan elke x de helling van degrafiek in het bijbehorende punttoevoegen

stijg

end dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

opgave 62 a Voer in y1 = 200(1 + 12 middot 095x)

asymp 110

De gevraagde snelheid is 11 vissen per week

asymp 220

Op t = 33 is de snelheid 22 vissen per weekDus Arjen heeft gelijk

asymp 635

Dus de snelheid op t = 100 is kleiner dan de snelheid op t = 33dus de snelheid waarmee het aantal vissen toeneemt wordt niet steeds groter

[ ]dy

dxx = 10

[ ]dy

dxx = 33

[ ]dy

dxx = 100

b

c

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

068 6

6

068

25000 15 10

15 10

2500015330

a

a

a

opgave 18 a K = a middot P068

Bij P = 25 000 hoort K = 15 middot 106

De formule is K = 15 330 middot P068

K = 15 330 middot P068

K = 186 middot 106

Voer iny1 = 15 330x068 en y2 = 186 middot 106

De optie intersect geeftx asymp 34 297De productie was ongeveer 34 000 ton

15 330 middot P068 = 186 middot 106b

Formules in de economie

Bij veel economische problemen blijken de prijs p en de kosten K eenlineaire functie te zijn van het aantal geproduceerde artikelen qDe opbrengst R = p middot q is dan een kwadratische functie van qOok de winst W = R ndash K is in dat geval een kwadratische functie van q

152

opgave 22 a h = 0 geeftndash00018x2 + 96 = 0ndash00018x2 = ndash96x2 asymp 53 333x asymp 231 ⋁ x asymp ndash231De afstand is 231 + 231 = 462 feetAfstand asymp 145 meterPQ = 380 feetdus x = = 190

x = 190 geeft h asymp 31Het punt T ligt op een hoogte van 96 feetDus het water staat 96 ndash 31 = 65 feet onder TWater 70 feet onder Tdus h = 96 ndash 70 = 26Los opndash00018x2 + 96 = 26ndash00018x2 = ndash70x2 asymp 38 889x asymp 197 ⋁ x asymp ndash197De breedte is 197 + 197 = 394 feetBreedte asymp 1238 meter

380 2

b

c

Vergelijkingen van de vorm A middot B = 0

A middot B = 0 geeft A = 0 ⋁ B = 0

opgave 27 a001x(8 ndash 02x) = 0001x = 0 ⋁ 8 ndash 02x = 0x = 0 ⋁ ndash02x = ndash8x = 0 ⋁ x = 40

opgave 27 b3x(10 ndash x) + 5 = 53x(10 ndash x) = 03x = 0 ⋁ 10 ndash x = 0x = 0 ⋁ ndashx = ndash10x = 0 ⋁ x = 10

152

Wortelformules

Uit volgt A = B2Je hebt links en rechts gekwadrateerd

opgave 33 a

Dus a = 007 en b = 8

A B

138

21

38

2

38 8

38 8

8

8

007 8

E T

T E

T E

T E

T E

152

opgave 36 a450

100 301500

30(100 30)196 23

150082

100 205400

205(100 205)196 40

400

a

a

p = 30 en n = 1500 geeft nauwkeurigheid

dus p = 30

Het werkelijke percentage ligt tussen 205 ndash 40 = 165en205 + 40 = 245Dus maximaal 0245 middot 28 500 = 6983 mensen

b

opgave 36 c a = 4 en p = 40 geeft

Voer in en y2 = 4

Intersect geeftx asymp 576De steekproef moet een omvang hebben van 576a = 6 en n = 200 geeft

Voer in y1 = en y2 = 6

Intersect geeftx asymp 250 en x asymp 750Dit percentage is 250 of 750

40(100 40)196 4

2400196 4

n

n

2400196

x

(100 )196 6

200

p p

(100 )196

200

x x

d

2

2

2 2

2

2

2

2

(100 )196

(100 )196

(100 )38416

38416 (100 )

38416(100 )

38416( 100 )

38416 38416

p pa

n

p pa

np p

an

p p a n

a n p p

p pn

a

p pn

a

opgave 36 e

Dus d asymp ndash384 en e asymp 384

Regels bij het oplossen van gebroken vergelijkingen

153

opgave 39 a20

1 53

204

320 4( 3)

20 4 12

4 8

2

x

xx

x

x

x

Herleiden van breuken

153

opgave 42 a500

70

500 70

1500 70

500 70

100 200

100 200

100 200

a

aa

a aa

a

a bb a

ab abb a

ab

b

opgave 44 a

50

1050

105

50

10

1050

500

100

6 255

1006 25

52500

65

5006

x

x

x

x

x

x

xx

xx

xx

xx

b

c

2

2

2

4 3

34

3 6 180

1803 6

1

11

5

5

x xA

x

A xx

x xT

x

T xx

xy

x

yx

q qK

q

K q

opgave 46 a

b

c

d

opgave 50 a8

3050

830

508

5030

850

3018

3201

18320

1

181

32018

1320

Ta

Ta

aT

aT

Lq

Lq

qL

qL

b

2

62

62

6

2

6

2

5

65 6

5 6

5 6

2 3

1

2 31

31 2

31

At

At

tA

tA

yA

y A

y A

y A

AA

p

Ap

A

pA

pA

c

d

e

Toenamendiagram

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram1 Kies een stapgrootte2 Bereken voor elke stap de toename of afname3 Teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 Teken het staafje bij de rechtergrens

(bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4 )

154

voorbeeld

2-050524∆y

[3 4][2 3][1 2][0 1][-1 0]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

y

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

opgave 54 a

opgave 54 b

Gemiddelde veranderingen

N2

N1

O

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

xA a xB

b

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xA xB] is

x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b ndash a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xA xB]

= rc = hellingsgetal van de lijn AB

= =

yA

yBf(b)

f(a)

O

154

opgave 59 a Op [4 6] is(6) (4)

6 4

93 25

2

29

(5) (2)

5 2

55 25

3

10

(61) (36)

61 36

98021 30696

25

2693

K K K

q

K

q

K

q

K K K

q

K

q

K

q

K K K

q

K

q

K

q

Op [2 5] is

Op [36 61] is

De gemiddelde toename is 10 euro per stuk

De gemiddelde snelheid is euro 2693 per stuk

b

c

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voorx = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

154

dydx voor x is xA

Voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie

[ ]dy

dxx = xA

y

Ox

k

A

xA

bull rc van de raaklijn van de grafiek in Abull helling van de grafiek in Abull snelheid waarmee y verandert voor x = xA

De GR bezit een optie om dydx te berekenen

154

Hellinggrafieken

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun jeaan elke x de helling van degrafiek in het bijbehorende punttoevoegen

stijg

end dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

opgave 62 a Voer in y1 = 200(1 + 12 middot 095x)

asymp 110

De gevraagde snelheid is 11 vissen per week

asymp 220

Op t = 33 is de snelheid 22 vissen per weekDus Arjen heeft gelijk

asymp 635

Dus de snelheid op t = 100 is kleiner dan de snelheid op t = 33dus de snelheid waarmee het aantal vissen toeneemt wordt niet steeds groter

[ ]dy

dxx = 10

[ ]dy

dxx = 33

[ ]dy

dxx = 100

b

c

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

Formules in de economie

Bij veel economische problemen blijken de prijs p en de kosten K eenlineaire functie te zijn van het aantal geproduceerde artikelen qDe opbrengst R = p middot q is dan een kwadratische functie van qOok de winst W = R ndash K is in dat geval een kwadratische functie van q

152

opgave 22 a h = 0 geeftndash00018x2 + 96 = 0ndash00018x2 = ndash96x2 asymp 53 333x asymp 231 ⋁ x asymp ndash231De afstand is 231 + 231 = 462 feetAfstand asymp 145 meterPQ = 380 feetdus x = = 190

x = 190 geeft h asymp 31Het punt T ligt op een hoogte van 96 feetDus het water staat 96 ndash 31 = 65 feet onder TWater 70 feet onder Tdus h = 96 ndash 70 = 26Los opndash00018x2 + 96 = 26ndash00018x2 = ndash70x2 asymp 38 889x asymp 197 ⋁ x asymp ndash197De breedte is 197 + 197 = 394 feetBreedte asymp 1238 meter

380 2

b

c

Vergelijkingen van de vorm A middot B = 0

A middot B = 0 geeft A = 0 ⋁ B = 0

opgave 27 a001x(8 ndash 02x) = 0001x = 0 ⋁ 8 ndash 02x = 0x = 0 ⋁ ndash02x = ndash8x = 0 ⋁ x = 40

opgave 27 b3x(10 ndash x) + 5 = 53x(10 ndash x) = 03x = 0 ⋁ 10 ndash x = 0x = 0 ⋁ ndashx = ndash10x = 0 ⋁ x = 10

152

Wortelformules

Uit volgt A = B2Je hebt links en rechts gekwadrateerd

opgave 33 a

Dus a = 007 en b = 8

A B

138

21

38

2

38 8

38 8

8

8

007 8

E T

T E

T E

T E

T E

152

opgave 36 a450

100 301500

30(100 30)196 23

150082

100 205400

205(100 205)196 40

400

a

a

p = 30 en n = 1500 geeft nauwkeurigheid

dus p = 30

Het werkelijke percentage ligt tussen 205 ndash 40 = 165en205 + 40 = 245Dus maximaal 0245 middot 28 500 = 6983 mensen

b

opgave 36 c a = 4 en p = 40 geeft

Voer in en y2 = 4

Intersect geeftx asymp 576De steekproef moet een omvang hebben van 576a = 6 en n = 200 geeft

Voer in y1 = en y2 = 6

Intersect geeftx asymp 250 en x asymp 750Dit percentage is 250 of 750

40(100 40)196 4

2400196 4

n

n

2400196

x

(100 )196 6

200

p p

(100 )196

200

x x

d

2

2

2 2

2

2

2

2

(100 )196

(100 )196

(100 )38416

38416 (100 )

38416(100 )

38416( 100 )

38416 38416

p pa

n

p pa

np p

an

p p a n

a n p p

p pn

a

p pn

a

opgave 36 e

Dus d asymp ndash384 en e asymp 384

Regels bij het oplossen van gebroken vergelijkingen

153

opgave 39 a20

1 53

204

320 4( 3)

20 4 12

4 8

2

x

xx

x

x

x

Herleiden van breuken

153

opgave 42 a500

70

500 70

1500 70

500 70

100 200

100 200

100 200

a

aa

a aa

a

a bb a

ab abb a

ab

b

opgave 44 a

50

1050

105

50

10

1050

500

100

6 255

1006 25

52500

65

5006

x

x

x

x

x

x

xx

xx

xx

xx

b

c

2

2

2

4 3

34

3 6 180

1803 6

1

11

5

5

x xA

x

A xx

x xT

x

T xx

xy

x

yx

q qK

q

K q

opgave 46 a

b

c

d

opgave 50 a8

3050

830

508

5030

850

3018

3201

18320

1

181

32018

1320

Ta

Ta

aT

aT

Lq

Lq

qL

qL

b

2

62

62

6

2

6

2

5

65 6

5 6

5 6

2 3

1

2 31

31 2

31

At

At

tA

tA

yA

y A

y A

y A

AA

p

Ap

A

pA

pA

c

d

e

Toenamendiagram

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram1 Kies een stapgrootte2 Bereken voor elke stap de toename of afname3 Teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 Teken het staafje bij de rechtergrens

(bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4 )

154

voorbeeld

2-050524∆y

[3 4][2 3][1 2][0 1][-1 0]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

y

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

opgave 54 a

opgave 54 b

Gemiddelde veranderingen

N2

N1

O

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

xA a xB

b

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xA xB] is

x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b ndash a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xA xB]

= rc = hellingsgetal van de lijn AB

= =

yA

yBf(b)

f(a)

O

154

opgave 59 a Op [4 6] is(6) (4)

6 4

93 25

2

29

(5) (2)

5 2

55 25

3

10

(61) (36)

61 36

98021 30696

25

2693

K K K

q

K

q

K

q

K K K

q

K

q

K

q

K K K

q

K

q

K

q

Op [2 5] is

Op [36 61] is

De gemiddelde toename is 10 euro per stuk

De gemiddelde snelheid is euro 2693 per stuk

b

c

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voorx = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

154

dydx voor x is xA

Voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie

[ ]dy

dxx = xA

y

Ox

k

A

xA

bull rc van de raaklijn van de grafiek in Abull helling van de grafiek in Abull snelheid waarmee y verandert voor x = xA

De GR bezit een optie om dydx te berekenen

154

Hellinggrafieken

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun jeaan elke x de helling van degrafiek in het bijbehorende punttoevoegen

stijg

end dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

opgave 62 a Voer in y1 = 200(1 + 12 middot 095x)

asymp 110

De gevraagde snelheid is 11 vissen per week

asymp 220

Op t = 33 is de snelheid 22 vissen per weekDus Arjen heeft gelijk

asymp 635

Dus de snelheid op t = 100 is kleiner dan de snelheid op t = 33dus de snelheid waarmee het aantal vissen toeneemt wordt niet steeds groter

[ ]dy

dxx = 10

[ ]dy

dxx = 33

[ ]dy

dxx = 100

b

c

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

opgave 22 a h = 0 geeftndash00018x2 + 96 = 0ndash00018x2 = ndash96x2 asymp 53 333x asymp 231 ⋁ x asymp ndash231De afstand is 231 + 231 = 462 feetAfstand asymp 145 meterPQ = 380 feetdus x = = 190

x = 190 geeft h asymp 31Het punt T ligt op een hoogte van 96 feetDus het water staat 96 ndash 31 = 65 feet onder TWater 70 feet onder Tdus h = 96 ndash 70 = 26Los opndash00018x2 + 96 = 26ndash00018x2 = ndash70x2 asymp 38 889x asymp 197 ⋁ x asymp ndash197De breedte is 197 + 197 = 394 feetBreedte asymp 1238 meter

380 2

b

c

Vergelijkingen van de vorm A middot B = 0

A middot B = 0 geeft A = 0 ⋁ B = 0

opgave 27 a001x(8 ndash 02x) = 0001x = 0 ⋁ 8 ndash 02x = 0x = 0 ⋁ ndash02x = ndash8x = 0 ⋁ x = 40

opgave 27 b3x(10 ndash x) + 5 = 53x(10 ndash x) = 03x = 0 ⋁ 10 ndash x = 0x = 0 ⋁ ndashx = ndash10x = 0 ⋁ x = 10

152

Wortelformules

Uit volgt A = B2Je hebt links en rechts gekwadrateerd

opgave 33 a

Dus a = 007 en b = 8

A B

138

21

38

2

38 8

38 8

8

8

007 8

E T

T E

T E

T E

T E

152

opgave 36 a450

100 301500

30(100 30)196 23

150082

100 205400

205(100 205)196 40

400

a

a

p = 30 en n = 1500 geeft nauwkeurigheid

dus p = 30

Het werkelijke percentage ligt tussen 205 ndash 40 = 165en205 + 40 = 245Dus maximaal 0245 middot 28 500 = 6983 mensen

b

opgave 36 c a = 4 en p = 40 geeft

Voer in en y2 = 4

Intersect geeftx asymp 576De steekproef moet een omvang hebben van 576a = 6 en n = 200 geeft

Voer in y1 = en y2 = 6

Intersect geeftx asymp 250 en x asymp 750Dit percentage is 250 of 750

40(100 40)196 4

2400196 4

n

n

2400196

x

(100 )196 6

200

p p

(100 )196

200

x x

d

2

2

2 2

2

2

2

2

(100 )196

(100 )196

(100 )38416

38416 (100 )

38416(100 )

38416( 100 )

38416 38416

p pa

n

p pa

np p

an

p p a n

a n p p

p pn

a

p pn

a

opgave 36 e

Dus d asymp ndash384 en e asymp 384

Regels bij het oplossen van gebroken vergelijkingen

153

opgave 39 a20

1 53

204

320 4( 3)

20 4 12

4 8

2

x

xx

x

x

x

Herleiden van breuken

153

opgave 42 a500

70

500 70

1500 70

500 70

100 200

100 200

100 200

a

aa

a aa

a

a bb a

ab abb a

ab

b

opgave 44 a

50

1050

105

50

10

1050

500

100

6 255

1006 25

52500

65

5006

x

x

x

x

x

x

xx

xx

xx

xx

b

c

2

2

2

4 3

34

3 6 180

1803 6

1

11

5

5

x xA

x

A xx

x xT

x

T xx

xy

x

yx

q qK

q

K q

opgave 46 a

b

c

d

opgave 50 a8

3050

830

508

5030

850

3018

3201

18320

1

181

32018

1320

Ta

Ta

aT

aT

Lq

Lq

qL

qL

b

2

62

62

6

2

6

2

5

65 6

5 6

5 6

2 3

1

2 31

31 2

31

At

At

tA

tA

yA

y A

y A

y A

AA

p

Ap

A

pA

pA

c

d

e

Toenamendiagram

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram1 Kies een stapgrootte2 Bereken voor elke stap de toename of afname3 Teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 Teken het staafje bij de rechtergrens

(bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4 )

154

voorbeeld

2-050524∆y

[3 4][2 3][1 2][0 1][-1 0]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

y

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

opgave 54 a

opgave 54 b

Gemiddelde veranderingen

N2

N1

O

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

xA a xB

b

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xA xB] is

x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b ndash a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xA xB]

= rc = hellingsgetal van de lijn AB

= =

yA

yBf(b)

f(a)

O

154

opgave 59 a Op [4 6] is(6) (4)

6 4

93 25

2

29

(5) (2)

5 2

55 25

3

10

(61) (36)

61 36

98021 30696

25

2693

K K K

q

K

q

K

q

K K K

q

K

q

K

q

K K K

q

K

q

K

q

Op [2 5] is

Op [36 61] is

De gemiddelde toename is 10 euro per stuk

De gemiddelde snelheid is euro 2693 per stuk

b

c

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voorx = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

154

dydx voor x is xA

Voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie

[ ]dy

dxx = xA

y

Ox

k

A

xA

bull rc van de raaklijn van de grafiek in Abull helling van de grafiek in Abull snelheid waarmee y verandert voor x = xA

De GR bezit een optie om dydx te berekenen

154

Hellinggrafieken

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun jeaan elke x de helling van degrafiek in het bijbehorende punttoevoegen

stijg

end dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

opgave 62 a Voer in y1 = 200(1 + 12 middot 095x)

asymp 110

De gevraagde snelheid is 11 vissen per week

asymp 220

Op t = 33 is de snelheid 22 vissen per weekDus Arjen heeft gelijk

asymp 635

Dus de snelheid op t = 100 is kleiner dan de snelheid op t = 33dus de snelheid waarmee het aantal vissen toeneemt wordt niet steeds groter

[ ]dy

dxx = 10

[ ]dy

dxx = 33

[ ]dy

dxx = 100

b

c

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

Vergelijkingen van de vorm A middot B = 0

A middot B = 0 geeft A = 0 ⋁ B = 0

opgave 27 a001x(8 ndash 02x) = 0001x = 0 ⋁ 8 ndash 02x = 0x = 0 ⋁ ndash02x = ndash8x = 0 ⋁ x = 40

opgave 27 b3x(10 ndash x) + 5 = 53x(10 ndash x) = 03x = 0 ⋁ 10 ndash x = 0x = 0 ⋁ ndashx = ndash10x = 0 ⋁ x = 10

152

Wortelformules

Uit volgt A = B2Je hebt links en rechts gekwadrateerd

opgave 33 a

Dus a = 007 en b = 8

A B

138

21

38

2

38 8

38 8

8

8

007 8

E T

T E

T E

T E

T E

152

opgave 36 a450

100 301500

30(100 30)196 23

150082

100 205400

205(100 205)196 40

400

a

a

p = 30 en n = 1500 geeft nauwkeurigheid

dus p = 30

Het werkelijke percentage ligt tussen 205 ndash 40 = 165en205 + 40 = 245Dus maximaal 0245 middot 28 500 = 6983 mensen

b

opgave 36 c a = 4 en p = 40 geeft

Voer in en y2 = 4

Intersect geeftx asymp 576De steekproef moet een omvang hebben van 576a = 6 en n = 200 geeft

Voer in y1 = en y2 = 6

Intersect geeftx asymp 250 en x asymp 750Dit percentage is 250 of 750

40(100 40)196 4

2400196 4

n

n

2400196

x

(100 )196 6

200

p p

(100 )196

200

x x

d

2

2

2 2

2

2

2

2

(100 )196

(100 )196

(100 )38416

38416 (100 )

38416(100 )

38416( 100 )

38416 38416

p pa

n

p pa

np p

an

p p a n

a n p p

p pn

a

p pn

a

opgave 36 e

Dus d asymp ndash384 en e asymp 384

Regels bij het oplossen van gebroken vergelijkingen

153

opgave 39 a20

1 53

204

320 4( 3)

20 4 12

4 8

2

x

xx

x

x

x

Herleiden van breuken

153

opgave 42 a500

70

500 70

1500 70

500 70

100 200

100 200

100 200

a

aa

a aa

a

a bb a

ab abb a

ab

b

opgave 44 a

50

1050

105

50

10

1050

500

100

6 255

1006 25

52500

65

5006

x

x

x

x

x

x

xx

xx

xx

xx

b

c

2

2

2

4 3

34

3 6 180

1803 6

1

11

5

5

x xA

x

A xx

x xT

x

T xx

xy

x

yx

q qK

q

K q

opgave 46 a

b

c

d

opgave 50 a8

3050

830

508

5030

850

3018

3201

18320

1

181

32018

1320

Ta

Ta

aT

aT

Lq

Lq

qL

qL

b

2

62

62

6

2

6

2

5

65 6

5 6

5 6

2 3

1

2 31

31 2

31

At

At

tA

tA

yA

y A

y A

y A

AA

p

Ap

A

pA

pA

c

d

e

Toenamendiagram

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram1 Kies een stapgrootte2 Bereken voor elke stap de toename of afname3 Teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 Teken het staafje bij de rechtergrens

(bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4 )

154

voorbeeld

2-050524∆y

[3 4][2 3][1 2][0 1][-1 0]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

y

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

opgave 54 a

opgave 54 b

Gemiddelde veranderingen

N2

N1

O

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

xA a xB

b

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xA xB] is

x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b ndash a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xA xB]

= rc = hellingsgetal van de lijn AB

= =

yA

yBf(b)

f(a)

O

154

opgave 59 a Op [4 6] is(6) (4)

6 4

93 25

2

29

(5) (2)

5 2

55 25

3

10

(61) (36)

61 36

98021 30696

25

2693

K K K

q

K

q

K

q

K K K

q

K

q

K

q

K K K

q

K

q

K

q

Op [2 5] is

Op [36 61] is

De gemiddelde toename is 10 euro per stuk

De gemiddelde snelheid is euro 2693 per stuk

b

c

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voorx = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

154

dydx voor x is xA

Voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie

[ ]dy

dxx = xA

y

Ox

k

A

xA

bull rc van de raaklijn van de grafiek in Abull helling van de grafiek in Abull snelheid waarmee y verandert voor x = xA

De GR bezit een optie om dydx te berekenen

154

Hellinggrafieken

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun jeaan elke x de helling van degrafiek in het bijbehorende punttoevoegen

stijg

end dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

opgave 62 a Voer in y1 = 200(1 + 12 middot 095x)

asymp 110

De gevraagde snelheid is 11 vissen per week

asymp 220

Op t = 33 is de snelheid 22 vissen per weekDus Arjen heeft gelijk

asymp 635

Dus de snelheid op t = 100 is kleiner dan de snelheid op t = 33dus de snelheid waarmee het aantal vissen toeneemt wordt niet steeds groter

[ ]dy

dxx = 10

[ ]dy

dxx = 33

[ ]dy

dxx = 100

b

c

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

Wortelformules

Uit volgt A = B2Je hebt links en rechts gekwadrateerd

opgave 33 a

Dus a = 007 en b = 8

A B

138

21

38

2

38 8

38 8

8

8

007 8

E T

T E

T E

T E

T E

152

opgave 36 a450

100 301500

30(100 30)196 23

150082

100 205400

205(100 205)196 40

400

a

a

p = 30 en n = 1500 geeft nauwkeurigheid

dus p = 30

Het werkelijke percentage ligt tussen 205 ndash 40 = 165en205 + 40 = 245Dus maximaal 0245 middot 28 500 = 6983 mensen

b

opgave 36 c a = 4 en p = 40 geeft

Voer in en y2 = 4

Intersect geeftx asymp 576De steekproef moet een omvang hebben van 576a = 6 en n = 200 geeft

Voer in y1 = en y2 = 6

Intersect geeftx asymp 250 en x asymp 750Dit percentage is 250 of 750

40(100 40)196 4

2400196 4

n

n

2400196

x

(100 )196 6

200

p p

(100 )196

200

x x

d

2

2

2 2

2

2

2

2

(100 )196

(100 )196

(100 )38416

38416 (100 )

38416(100 )

38416( 100 )

38416 38416

p pa

n

p pa

np p

an

p p a n

a n p p

p pn

a

p pn

a

opgave 36 e

Dus d asymp ndash384 en e asymp 384

Regels bij het oplossen van gebroken vergelijkingen

153

opgave 39 a20

1 53

204

320 4( 3)

20 4 12

4 8

2

x

xx

x

x

x

Herleiden van breuken

153

opgave 42 a500

70

500 70

1500 70

500 70

100 200

100 200

100 200

a

aa

a aa

a

a bb a

ab abb a

ab

b

opgave 44 a

50

1050

105

50

10

1050

500

100

6 255

1006 25

52500

65

5006

x

x

x

x

x

x

xx

xx

xx

xx

b

c

2

2

2

4 3

34

3 6 180

1803 6

1

11

5

5

x xA

x

A xx

x xT

x

T xx

xy

x

yx

q qK

q

K q

opgave 46 a

b

c

d

opgave 50 a8

3050

830

508

5030

850

3018

3201

18320

1

181

32018

1320

Ta

Ta

aT

aT

Lq

Lq

qL

qL

b

2

62

62

6

2

6

2

5

65 6

5 6

5 6

2 3

1

2 31

31 2

31

At

At

tA

tA

yA

y A

y A

y A

AA

p

Ap

A

pA

pA

c

d

e

Toenamendiagram

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram1 Kies een stapgrootte2 Bereken voor elke stap de toename of afname3 Teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 Teken het staafje bij de rechtergrens

(bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4 )

154

voorbeeld

2-050524∆y

[3 4][2 3][1 2][0 1][-1 0]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

y

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

opgave 54 a

opgave 54 b

Gemiddelde veranderingen

N2

N1

O

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

xA a xB

b

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xA xB] is

x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b ndash a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xA xB]

= rc = hellingsgetal van de lijn AB

= =

yA

yBf(b)

f(a)

O

154

opgave 59 a Op [4 6] is(6) (4)

6 4

93 25

2

29

(5) (2)

5 2

55 25

3

10

(61) (36)

61 36

98021 30696

25

2693

K K K

q

K

q

K

q

K K K

q

K

q

K

q

K K K

q

K

q

K

q

Op [2 5] is

Op [36 61] is

De gemiddelde toename is 10 euro per stuk

De gemiddelde snelheid is euro 2693 per stuk

b

c

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voorx = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

154

dydx voor x is xA

Voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie

[ ]dy

dxx = xA

y

Ox

k

A

xA

bull rc van de raaklijn van de grafiek in Abull helling van de grafiek in Abull snelheid waarmee y verandert voor x = xA

De GR bezit een optie om dydx te berekenen

154

Hellinggrafieken

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun jeaan elke x de helling van degrafiek in het bijbehorende punttoevoegen

stijg

end dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

opgave 62 a Voer in y1 = 200(1 + 12 middot 095x)

asymp 110

De gevraagde snelheid is 11 vissen per week

asymp 220

Op t = 33 is de snelheid 22 vissen per weekDus Arjen heeft gelijk

asymp 635

Dus de snelheid op t = 100 is kleiner dan de snelheid op t = 33dus de snelheid waarmee het aantal vissen toeneemt wordt niet steeds groter

[ ]dy

dxx = 10

[ ]dy

dxx = 33

[ ]dy

dxx = 100

b

c

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

opgave 36 a450

100 301500

30(100 30)196 23

150082

100 205400

205(100 205)196 40

400

a

a

p = 30 en n = 1500 geeft nauwkeurigheid

dus p = 30

Het werkelijke percentage ligt tussen 205 ndash 40 = 165en205 + 40 = 245Dus maximaal 0245 middot 28 500 = 6983 mensen

b

opgave 36 c a = 4 en p = 40 geeft

Voer in en y2 = 4

Intersect geeftx asymp 576De steekproef moet een omvang hebben van 576a = 6 en n = 200 geeft

Voer in y1 = en y2 = 6

Intersect geeftx asymp 250 en x asymp 750Dit percentage is 250 of 750

40(100 40)196 4

2400196 4

n

n

2400196

x

(100 )196 6

200

p p

(100 )196

200

x x

d

2

2

2 2

2

2

2

2

(100 )196

(100 )196

(100 )38416

38416 (100 )

38416(100 )

38416( 100 )

38416 38416

p pa

n

p pa

np p

an

p p a n

a n p p

p pn

a

p pn

a

opgave 36 e

Dus d asymp ndash384 en e asymp 384

Regels bij het oplossen van gebroken vergelijkingen

153

opgave 39 a20

1 53

204

320 4( 3)

20 4 12

4 8

2

x

xx

x

x

x

Herleiden van breuken

153

opgave 42 a500

70

500 70

1500 70

500 70

100 200

100 200

100 200

a

aa

a aa

a

a bb a

ab abb a

ab

b

opgave 44 a

50

1050

105

50

10

1050

500

100

6 255

1006 25

52500

65

5006

x

x

x

x

x

x

xx

xx

xx

xx

b

c

2

2

2

4 3

34

3 6 180

1803 6

1

11

5

5

x xA

x

A xx

x xT

x

T xx

xy

x

yx

q qK

q

K q

opgave 46 a

b

c

d

opgave 50 a8

3050

830

508

5030

850

3018

3201

18320

1

181

32018

1320

Ta

Ta

aT

aT

Lq

Lq

qL

qL

b

2

62

62

6

2

6

2

5

65 6

5 6

5 6

2 3

1

2 31

31 2

31

At

At

tA

tA

yA

y A

y A

y A

AA

p

Ap

A

pA

pA

c

d

e

Toenamendiagram

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram1 Kies een stapgrootte2 Bereken voor elke stap de toename of afname3 Teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 Teken het staafje bij de rechtergrens

(bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4 )

154

voorbeeld

2-050524∆y

[3 4][2 3][1 2][0 1][-1 0]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

y

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

opgave 54 a

opgave 54 b

Gemiddelde veranderingen

N2

N1

O

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

xA a xB

b

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xA xB] is

x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b ndash a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xA xB]

= rc = hellingsgetal van de lijn AB

= =

yA

yBf(b)

f(a)

O

154

opgave 59 a Op [4 6] is(6) (4)

6 4

93 25

2

29

(5) (2)

5 2

55 25

3

10

(61) (36)

61 36

98021 30696

25

2693

K K K

q

K

q

K

q

K K K

q

K

q

K

q

K K K

q

K

q

K

q

Op [2 5] is

Op [36 61] is

De gemiddelde toename is 10 euro per stuk

De gemiddelde snelheid is euro 2693 per stuk

b

c

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voorx = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

154

dydx voor x is xA

Voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie

[ ]dy

dxx = xA

y

Ox

k

A

xA

bull rc van de raaklijn van de grafiek in Abull helling van de grafiek in Abull snelheid waarmee y verandert voor x = xA

De GR bezit een optie om dydx te berekenen

154

Hellinggrafieken

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun jeaan elke x de helling van degrafiek in het bijbehorende punttoevoegen

stijg

end dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

opgave 62 a Voer in y1 = 200(1 + 12 middot 095x)

asymp 110

De gevraagde snelheid is 11 vissen per week

asymp 220

Op t = 33 is de snelheid 22 vissen per weekDus Arjen heeft gelijk

asymp 635

Dus de snelheid op t = 100 is kleiner dan de snelheid op t = 33dus de snelheid waarmee het aantal vissen toeneemt wordt niet steeds groter

[ ]dy

dxx = 10

[ ]dy

dxx = 33

[ ]dy

dxx = 100

b

c

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

opgave 36 c a = 4 en p = 40 geeft

Voer in en y2 = 4

Intersect geeftx asymp 576De steekproef moet een omvang hebben van 576a = 6 en n = 200 geeft

Voer in y1 = en y2 = 6

Intersect geeftx asymp 250 en x asymp 750Dit percentage is 250 of 750

40(100 40)196 4

2400196 4

n

n

2400196

x

(100 )196 6

200

p p

(100 )196

200

x x

d

2

2

2 2

2

2

2

2

(100 )196

(100 )196

(100 )38416

38416 (100 )

38416(100 )

38416( 100 )

38416 38416

p pa

n

p pa

np p

an

p p a n

a n p p

p pn

a

p pn

a

opgave 36 e

Dus d asymp ndash384 en e asymp 384

Regels bij het oplossen van gebroken vergelijkingen

153

opgave 39 a20

1 53

204

320 4( 3)

20 4 12

4 8

2

x

xx

x

x

x

Herleiden van breuken

153

opgave 42 a500

70

500 70

1500 70

500 70

100 200

100 200

100 200

a

aa

a aa

a

a bb a

ab abb a

ab

b

opgave 44 a

50

1050

105

50

10

1050

500

100

6 255

1006 25

52500

65

5006

x

x

x

x

x

x

xx

xx

xx

xx

b

c

2

2

2

4 3

34

3 6 180

1803 6

1

11

5

5

x xA

x

A xx

x xT

x

T xx

xy

x

yx

q qK

q

K q

opgave 46 a

b

c

d

opgave 50 a8

3050

830

508

5030

850

3018

3201

18320

1

181

32018

1320

Ta

Ta

aT

aT

Lq

Lq

qL

qL

b

2

62

62

6

2

6

2

5

65 6

5 6

5 6

2 3

1

2 31

31 2

31

At

At

tA

tA

yA

y A

y A

y A

AA

p

Ap

A

pA

pA

c

d

e

Toenamendiagram

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram1 Kies een stapgrootte2 Bereken voor elke stap de toename of afname3 Teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 Teken het staafje bij de rechtergrens

(bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4 )

154

voorbeeld

2-050524∆y

[3 4][2 3][1 2][0 1][-1 0]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

y

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

opgave 54 a

opgave 54 b

Gemiddelde veranderingen

N2

N1

O

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

xA a xB

b

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xA xB] is

x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b ndash a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xA xB]

= rc = hellingsgetal van de lijn AB

= =

yA

yBf(b)

f(a)

O

154

opgave 59 a Op [4 6] is(6) (4)

6 4

93 25

2

29

(5) (2)

5 2

55 25

3

10

(61) (36)

61 36

98021 30696

25

2693

K K K

q

K

q

K

q

K K K

q

K

q

K

q

K K K

q

K

q

K

q

Op [2 5] is

Op [36 61] is

De gemiddelde toename is 10 euro per stuk

De gemiddelde snelheid is euro 2693 per stuk

b

c

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voorx = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

154

dydx voor x is xA

Voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie

[ ]dy

dxx = xA

y

Ox

k

A

xA

bull rc van de raaklijn van de grafiek in Abull helling van de grafiek in Abull snelheid waarmee y verandert voor x = xA

De GR bezit een optie om dydx te berekenen

154

Hellinggrafieken

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun jeaan elke x de helling van degrafiek in het bijbehorende punttoevoegen

stijg

end dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

opgave 62 a Voer in y1 = 200(1 + 12 middot 095x)

asymp 110

De gevraagde snelheid is 11 vissen per week

asymp 220

Op t = 33 is de snelheid 22 vissen per weekDus Arjen heeft gelijk

asymp 635

Dus de snelheid op t = 100 is kleiner dan de snelheid op t = 33dus de snelheid waarmee het aantal vissen toeneemt wordt niet steeds groter

[ ]dy

dxx = 10

[ ]dy

dxx = 33

[ ]dy

dxx = 100

b

c

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

2

2

2 2

2

2

2

2

(100 )196

(100 )196

(100 )38416

38416 (100 )

38416(100 )

38416( 100 )

38416 38416

p pa

n

p pa

np p

an

p p a n

a n p p

p pn

a

p pn

a

opgave 36 e

Dus d asymp ndash384 en e asymp 384

Regels bij het oplossen van gebroken vergelijkingen

153

opgave 39 a20

1 53

204

320 4( 3)

20 4 12

4 8

2

x

xx

x

x

x

Herleiden van breuken

153

opgave 42 a500

70

500 70

1500 70

500 70

100 200

100 200

100 200

a

aa

a aa

a

a bb a

ab abb a

ab

b

opgave 44 a

50

1050

105

50

10

1050

500

100

6 255

1006 25

52500

65

5006

x

x

x

x

x

x

xx

xx

xx

xx

b

c

2

2

2

4 3

34

3 6 180

1803 6

1

11

5

5

x xA

x

A xx

x xT

x

T xx

xy

x

yx

q qK

q

K q

opgave 46 a

b

c

d

opgave 50 a8

3050

830

508

5030

850

3018

3201

18320

1

181

32018

1320

Ta

Ta

aT

aT

Lq

Lq

qL

qL

b

2

62

62

6

2

6

2

5

65 6

5 6

5 6

2 3

1

2 31

31 2

31

At

At

tA

tA

yA

y A

y A

y A

AA

p

Ap

A

pA

pA

c

d

e

Toenamendiagram

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram1 Kies een stapgrootte2 Bereken voor elke stap de toename of afname3 Teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 Teken het staafje bij de rechtergrens

(bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4 )

154

voorbeeld

2-050524∆y

[3 4][2 3][1 2][0 1][-1 0]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

y

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

opgave 54 a

opgave 54 b

Gemiddelde veranderingen

N2

N1

O

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

xA a xB

b

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xA xB] is

x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b ndash a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xA xB]

= rc = hellingsgetal van de lijn AB

= =

yA

yBf(b)

f(a)

O

154

opgave 59 a Op [4 6] is(6) (4)

6 4

93 25

2

29

(5) (2)

5 2

55 25

3

10

(61) (36)

61 36

98021 30696

25

2693

K K K

q

K

q

K

q

K K K

q

K

q

K

q

K K K

q

K

q

K

q

Op [2 5] is

Op [36 61] is

De gemiddelde toename is 10 euro per stuk

De gemiddelde snelheid is euro 2693 per stuk

b

c

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voorx = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

154

dydx voor x is xA

Voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie

[ ]dy

dxx = xA

y

Ox

k

A

xA

bull rc van de raaklijn van de grafiek in Abull helling van de grafiek in Abull snelheid waarmee y verandert voor x = xA

De GR bezit een optie om dydx te berekenen

154

Hellinggrafieken

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun jeaan elke x de helling van degrafiek in het bijbehorende punttoevoegen

stijg

end dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

opgave 62 a Voer in y1 = 200(1 + 12 middot 095x)

asymp 110

De gevraagde snelheid is 11 vissen per week

asymp 220

Op t = 33 is de snelheid 22 vissen per weekDus Arjen heeft gelijk

asymp 635

Dus de snelheid op t = 100 is kleiner dan de snelheid op t = 33dus de snelheid waarmee het aantal vissen toeneemt wordt niet steeds groter

[ ]dy

dxx = 10

[ ]dy

dxx = 33

[ ]dy

dxx = 100

b

c

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

Regels bij het oplossen van gebroken vergelijkingen

153

opgave 39 a20

1 53

204

320 4( 3)

20 4 12

4 8

2

x

xx

x

x

x

Herleiden van breuken

153

opgave 42 a500

70

500 70

1500 70

500 70

100 200

100 200

100 200

a

aa

a aa

a

a bb a

ab abb a

ab

b

opgave 44 a

50

1050

105

50

10

1050

500

100

6 255

1006 25

52500

65

5006

x

x

x

x

x

x

xx

xx

xx

xx

b

c

2

2

2

4 3

34

3 6 180

1803 6

1

11

5

5

x xA

x

A xx

x xT

x

T xx

xy

x

yx

q qK

q

K q

opgave 46 a

b

c

d

opgave 50 a8

3050

830

508

5030

850

3018

3201

18320

1

181

32018

1320

Ta

Ta

aT

aT

Lq

Lq

qL

qL

b

2

62

62

6

2

6

2

5

65 6

5 6

5 6

2 3

1

2 31

31 2

31

At

At

tA

tA

yA

y A

y A

y A

AA

p

Ap

A

pA

pA

c

d

e

Toenamendiagram

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram1 Kies een stapgrootte2 Bereken voor elke stap de toename of afname3 Teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 Teken het staafje bij de rechtergrens

(bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4 )

154

voorbeeld

2-050524∆y

[3 4][2 3][1 2][0 1][-1 0]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

y

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

opgave 54 a

opgave 54 b

Gemiddelde veranderingen

N2

N1

O

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

xA a xB

b

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xA xB] is

x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b ndash a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xA xB]

= rc = hellingsgetal van de lijn AB

= =

yA

yBf(b)

f(a)

O

154

opgave 59 a Op [4 6] is(6) (4)

6 4

93 25

2

29

(5) (2)

5 2

55 25

3

10

(61) (36)

61 36

98021 30696

25

2693

K K K

q

K

q

K

q

K K K

q

K

q

K

q

K K K

q

K

q

K

q

Op [2 5] is

Op [36 61] is

De gemiddelde toename is 10 euro per stuk

De gemiddelde snelheid is euro 2693 per stuk

b

c

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voorx = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

154

dydx voor x is xA

Voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie

[ ]dy

dxx = xA

y

Ox

k

A

xA

bull rc van de raaklijn van de grafiek in Abull helling van de grafiek in Abull snelheid waarmee y verandert voor x = xA

De GR bezit een optie om dydx te berekenen

154

Hellinggrafieken

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun jeaan elke x de helling van degrafiek in het bijbehorende punttoevoegen

stijg

end dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

opgave 62 a Voer in y1 = 200(1 + 12 middot 095x)

asymp 110

De gevraagde snelheid is 11 vissen per week

asymp 220

Op t = 33 is de snelheid 22 vissen per weekDus Arjen heeft gelijk

asymp 635

Dus de snelheid op t = 100 is kleiner dan de snelheid op t = 33dus de snelheid waarmee het aantal vissen toeneemt wordt niet steeds groter

[ ]dy

dxx = 10

[ ]dy

dxx = 33

[ ]dy

dxx = 100

b

c

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

opgave 39 a20

1 53

204

320 4( 3)

20 4 12

4 8

2

x

xx

x

x

x

Herleiden van breuken

153

opgave 42 a500

70

500 70

1500 70

500 70

100 200

100 200

100 200

a

aa

a aa

a

a bb a

ab abb a

ab

b

opgave 44 a

50

1050

105

50

10

1050

500

100

6 255

1006 25

52500

65

5006

x

x

x

x

x

x

xx

xx

xx

xx

b

c

2

2

2

4 3

34

3 6 180

1803 6

1

11

5

5

x xA

x

A xx

x xT

x

T xx

xy

x

yx

q qK

q

K q

opgave 46 a

b

c

d

opgave 50 a8

3050

830

508

5030

850

3018

3201

18320

1

181

32018

1320

Ta

Ta

aT

aT

Lq

Lq

qL

qL

b

2

62

62

6

2

6

2

5

65 6

5 6

5 6

2 3

1

2 31

31 2

31

At

At

tA

tA

yA

y A

y A

y A

AA

p

Ap

A

pA

pA

c

d

e

Toenamendiagram

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram1 Kies een stapgrootte2 Bereken voor elke stap de toename of afname3 Teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 Teken het staafje bij de rechtergrens

(bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4 )

154

voorbeeld

2-050524∆y

[3 4][2 3][1 2][0 1][-1 0]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

y

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

opgave 54 a

opgave 54 b

Gemiddelde veranderingen

N2

N1

O

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

xA a xB

b

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xA xB] is

x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b ndash a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xA xB]

= rc = hellingsgetal van de lijn AB

= =

yA

yBf(b)

f(a)

O

154

opgave 59 a Op [4 6] is(6) (4)

6 4

93 25

2

29

(5) (2)

5 2

55 25

3

10

(61) (36)

61 36

98021 30696

25

2693

K K K

q

K

q

K

q

K K K

q

K

q

K

q

K K K

q

K

q

K

q

Op [2 5] is

Op [36 61] is

De gemiddelde toename is 10 euro per stuk

De gemiddelde snelheid is euro 2693 per stuk

b

c

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voorx = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

154

dydx voor x is xA

Voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie

[ ]dy

dxx = xA

y

Ox

k

A

xA

bull rc van de raaklijn van de grafiek in Abull helling van de grafiek in Abull snelheid waarmee y verandert voor x = xA

De GR bezit een optie om dydx te berekenen

154

Hellinggrafieken

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun jeaan elke x de helling van degrafiek in het bijbehorende punttoevoegen

stijg

end dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

opgave 62 a Voer in y1 = 200(1 + 12 middot 095x)

asymp 110

De gevraagde snelheid is 11 vissen per week

asymp 220

Op t = 33 is de snelheid 22 vissen per weekDus Arjen heeft gelijk

asymp 635

Dus de snelheid op t = 100 is kleiner dan de snelheid op t = 33dus de snelheid waarmee het aantal vissen toeneemt wordt niet steeds groter

[ ]dy

dxx = 10

[ ]dy

dxx = 33

[ ]dy

dxx = 100

b

c

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

Herleiden van breuken

153

opgave 42 a500

70

500 70

1500 70

500 70

100 200

100 200

100 200

a

aa

a aa

a

a bb a

ab abb a

ab

b

opgave 44 a

50

1050

105

50

10

1050

500

100

6 255

1006 25

52500

65

5006

x

x

x

x

x

x

xx

xx

xx

xx

b

c

2

2

2

4 3

34

3 6 180

1803 6

1

11

5

5

x xA

x

A xx

x xT

x

T xx

xy

x

yx

q qK

q

K q

opgave 46 a

b

c

d

opgave 50 a8

3050

830

508

5030

850

3018

3201

18320

1

181

32018

1320

Ta

Ta

aT

aT

Lq

Lq

qL

qL

b

2

62

62

6

2

6

2

5

65 6

5 6

5 6

2 3

1

2 31

31 2

31

At

At

tA

tA

yA

y A

y A

y A

AA

p

Ap

A

pA

pA

c

d

e

Toenamendiagram

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram1 Kies een stapgrootte2 Bereken voor elke stap de toename of afname3 Teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 Teken het staafje bij de rechtergrens

(bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4 )

154

voorbeeld

2-050524∆y

[3 4][2 3][1 2][0 1][-1 0]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

y

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

opgave 54 a

opgave 54 b

Gemiddelde veranderingen

N2

N1

O

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

xA a xB

b

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xA xB] is

x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b ndash a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xA xB]

= rc = hellingsgetal van de lijn AB

= =

yA

yBf(b)

f(a)

O

154

opgave 59 a Op [4 6] is(6) (4)

6 4

93 25

2

29

(5) (2)

5 2

55 25

3

10

(61) (36)

61 36

98021 30696

25

2693

K K K

q

K

q

K

q

K K K

q

K

q

K

q

K K K

q

K

q

K

q

Op [2 5] is

Op [36 61] is

De gemiddelde toename is 10 euro per stuk

De gemiddelde snelheid is euro 2693 per stuk

b

c

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voorx = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

154

dydx voor x is xA

Voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie

[ ]dy

dxx = xA

y

Ox

k

A

xA

bull rc van de raaklijn van de grafiek in Abull helling van de grafiek in Abull snelheid waarmee y verandert voor x = xA

De GR bezit een optie om dydx te berekenen

154

Hellinggrafieken

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun jeaan elke x de helling van degrafiek in het bijbehorende punttoevoegen

stijg

end dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

opgave 62 a Voer in y1 = 200(1 + 12 middot 095x)

asymp 110

De gevraagde snelheid is 11 vissen per week

asymp 220

Op t = 33 is de snelheid 22 vissen per weekDus Arjen heeft gelijk

asymp 635

Dus de snelheid op t = 100 is kleiner dan de snelheid op t = 33dus de snelheid waarmee het aantal vissen toeneemt wordt niet steeds groter

[ ]dy

dxx = 10

[ ]dy

dxx = 33

[ ]dy

dxx = 100

b

c

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

opgave 42 a500

70

500 70

1500 70

500 70

100 200

100 200

100 200

a

aa

a aa

a

a bb a

ab abb a

ab

b

opgave 44 a

50

1050

105

50

10

1050

500

100

6 255

1006 25

52500

65

5006

x

x

x

x

x

x

xx

xx

xx

xx

b

c

2

2

2

4 3

34

3 6 180

1803 6

1

11

5

5

x xA

x

A xx

x xT

x

T xx

xy

x

yx

q qK

q

K q

opgave 46 a

b

c

d

opgave 50 a8

3050

830

508

5030

850

3018

3201

18320

1

181

32018

1320

Ta

Ta

aT

aT

Lq

Lq

qL

qL

b

2

62

62

6

2

6

2

5

65 6

5 6

5 6

2 3

1

2 31

31 2

31

At

At

tA

tA

yA

y A

y A

y A

AA

p

Ap

A

pA

pA

c

d

e

Toenamendiagram

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram1 Kies een stapgrootte2 Bereken voor elke stap de toename of afname3 Teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 Teken het staafje bij de rechtergrens

(bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4 )

154

voorbeeld

2-050524∆y

[3 4][2 3][1 2][0 1][-1 0]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

y

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

opgave 54 a

opgave 54 b

Gemiddelde veranderingen

N2

N1

O

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

xA a xB

b

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xA xB] is

x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b ndash a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xA xB]

= rc = hellingsgetal van de lijn AB

= =

yA

yBf(b)

f(a)

O

154

opgave 59 a Op [4 6] is(6) (4)

6 4

93 25

2

29

(5) (2)

5 2

55 25

3

10

(61) (36)

61 36

98021 30696

25

2693

K K K

q

K

q

K

q

K K K

q

K

q

K

q

K K K

q

K

q

K

q

Op [2 5] is

Op [36 61] is

De gemiddelde toename is 10 euro per stuk

De gemiddelde snelheid is euro 2693 per stuk

b

c

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voorx = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

154

dydx voor x is xA

Voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie

[ ]dy

dxx = xA

y

Ox

k

A

xA

bull rc van de raaklijn van de grafiek in Abull helling van de grafiek in Abull snelheid waarmee y verandert voor x = xA

De GR bezit een optie om dydx te berekenen

154

Hellinggrafieken

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun jeaan elke x de helling van degrafiek in het bijbehorende punttoevoegen

stijg

end dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

opgave 62 a Voer in y1 = 200(1 + 12 middot 095x)

asymp 110

De gevraagde snelheid is 11 vissen per week

asymp 220

Op t = 33 is de snelheid 22 vissen per weekDus Arjen heeft gelijk

asymp 635

Dus de snelheid op t = 100 is kleiner dan de snelheid op t = 33dus de snelheid waarmee het aantal vissen toeneemt wordt niet steeds groter

[ ]dy

dxx = 10

[ ]dy

dxx = 33

[ ]dy

dxx = 100

b

c

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

opgave 44 a

50

1050

105

50

10

1050

500

100

6 255

1006 25

52500

65

5006

x

x

x

x

x

x

xx

xx

xx

xx

b

c

2

2

2

4 3

34

3 6 180

1803 6

1

11

5

5

x xA

x

A xx

x xT

x

T xx

xy

x

yx

q qK

q

K q

opgave 46 a

b

c

d

opgave 50 a8

3050

830

508

5030

850

3018

3201

18320

1

181

32018

1320

Ta

Ta

aT

aT

Lq

Lq

qL

qL

b

2

62

62

6

2

6

2

5

65 6

5 6

5 6

2 3

1

2 31

31 2

31

At

At

tA

tA

yA

y A

y A

y A

AA

p

Ap

A

pA

pA

c

d

e

Toenamendiagram

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram1 Kies een stapgrootte2 Bereken voor elke stap de toename of afname3 Teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 Teken het staafje bij de rechtergrens

(bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4 )

154

voorbeeld

2-050524∆y

[3 4][2 3][1 2][0 1][-1 0]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

y

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

opgave 54 a

opgave 54 b

Gemiddelde veranderingen

N2

N1

O

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

xA a xB

b

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xA xB] is

x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b ndash a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xA xB]

= rc = hellingsgetal van de lijn AB

= =

yA

yBf(b)

f(a)

O

154

opgave 59 a Op [4 6] is(6) (4)

6 4

93 25

2

29

(5) (2)

5 2

55 25

3

10

(61) (36)

61 36

98021 30696

25

2693

K K K

q

K

q

K

q

K K K

q

K

q

K

q

K K K

q

K

q

K

q

Op [2 5] is

Op [36 61] is

De gemiddelde toename is 10 euro per stuk

De gemiddelde snelheid is euro 2693 per stuk

b

c

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voorx = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

154

dydx voor x is xA

Voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie

[ ]dy

dxx = xA

y

Ox

k

A

xA

bull rc van de raaklijn van de grafiek in Abull helling van de grafiek in Abull snelheid waarmee y verandert voor x = xA

De GR bezit een optie om dydx te berekenen

154

Hellinggrafieken

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun jeaan elke x de helling van degrafiek in het bijbehorende punttoevoegen

stijg

end dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

opgave 62 a Voer in y1 = 200(1 + 12 middot 095x)

asymp 110

De gevraagde snelheid is 11 vissen per week

asymp 220

Op t = 33 is de snelheid 22 vissen per weekDus Arjen heeft gelijk

asymp 635

Dus de snelheid op t = 100 is kleiner dan de snelheid op t = 33dus de snelheid waarmee het aantal vissen toeneemt wordt niet steeds groter

[ ]dy

dxx = 10

[ ]dy

dxx = 33

[ ]dy

dxx = 100

b

c

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

2

2

2

4 3

34

3 6 180

1803 6

1

11

5

5

x xA

x

A xx

x xT

x

T xx

xy

x

yx

q qK

q

K q

opgave 46 a

b

c

d

opgave 50 a8

3050

830

508

5030

850

3018

3201

18320

1

181

32018

1320

Ta

Ta

aT

aT

Lq

Lq

qL

qL

b

2

62

62

6

2

6

2

5

65 6

5 6

5 6

2 3

1

2 31

31 2

31

At

At

tA

tA

yA

y A

y A

y A

AA

p

Ap

A

pA

pA

c

d

e

Toenamendiagram

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram1 Kies een stapgrootte2 Bereken voor elke stap de toename of afname3 Teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 Teken het staafje bij de rechtergrens

(bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4 )

154

voorbeeld

2-050524∆y

[3 4][2 3][1 2][0 1][-1 0]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

y

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

opgave 54 a

opgave 54 b

Gemiddelde veranderingen

N2

N1

O

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

xA a xB

b

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xA xB] is

x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b ndash a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xA xB]

= rc = hellingsgetal van de lijn AB

= =

yA

yBf(b)

f(a)

O

154

opgave 59 a Op [4 6] is(6) (4)

6 4

93 25

2

29

(5) (2)

5 2

55 25

3

10

(61) (36)

61 36

98021 30696

25

2693

K K K

q

K

q

K

q

K K K

q

K

q

K

q

K K K

q

K

q

K

q

Op [2 5] is

Op [36 61] is

De gemiddelde toename is 10 euro per stuk

De gemiddelde snelheid is euro 2693 per stuk

b

c

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voorx = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

154

dydx voor x is xA

Voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie

[ ]dy

dxx = xA

y

Ox

k

A

xA

bull rc van de raaklijn van de grafiek in Abull helling van de grafiek in Abull snelheid waarmee y verandert voor x = xA

De GR bezit een optie om dydx te berekenen

154

Hellinggrafieken

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun jeaan elke x de helling van degrafiek in het bijbehorende punttoevoegen

stijg

end dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

opgave 62 a Voer in y1 = 200(1 + 12 middot 095x)

asymp 110

De gevraagde snelheid is 11 vissen per week

asymp 220

Op t = 33 is de snelheid 22 vissen per weekDus Arjen heeft gelijk

asymp 635

Dus de snelheid op t = 100 is kleiner dan de snelheid op t = 33dus de snelheid waarmee het aantal vissen toeneemt wordt niet steeds groter

[ ]dy

dxx = 10

[ ]dy

dxx = 33

[ ]dy

dxx = 100

b

c

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

opgave 50 a8

3050

830

508

5030

850

3018

3201

18320

1

181

32018

1320

Ta

Ta

aT

aT

Lq

Lq

qL

qL

b

2

62

62

6

2

6

2

5

65 6

5 6

5 6

2 3

1

2 31

31 2

31

At

At

tA

tA

yA

y A

y A

y A

AA

p

Ap

A

pA

pA

c

d

e

Toenamendiagram

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram1 Kies een stapgrootte2 Bereken voor elke stap de toename of afname3 Teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 Teken het staafje bij de rechtergrens

(bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4 )

154

voorbeeld

2-050524∆y

[3 4][2 3][1 2][0 1][-1 0]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

y

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

opgave 54 a

opgave 54 b

Gemiddelde veranderingen

N2

N1

O

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

xA a xB

b

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xA xB] is

x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b ndash a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xA xB]

= rc = hellingsgetal van de lijn AB

= =

yA

yBf(b)

f(a)

O

154

opgave 59 a Op [4 6] is(6) (4)

6 4

93 25

2

29

(5) (2)

5 2

55 25

3

10

(61) (36)

61 36

98021 30696

25

2693

K K K

q

K

q

K

q

K K K

q

K

q

K

q

K K K

q

K

q

K

q

Op [2 5] is

Op [36 61] is

De gemiddelde toename is 10 euro per stuk

De gemiddelde snelheid is euro 2693 per stuk

b

c

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voorx = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

154

dydx voor x is xA

Voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie

[ ]dy

dxx = xA

y

Ox

k

A

xA

bull rc van de raaklijn van de grafiek in Abull helling van de grafiek in Abull snelheid waarmee y verandert voor x = xA

De GR bezit een optie om dydx te berekenen

154

Hellinggrafieken

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun jeaan elke x de helling van degrafiek in het bijbehorende punttoevoegen

stijg

end dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

opgave 62 a Voer in y1 = 200(1 + 12 middot 095x)

asymp 110

De gevraagde snelheid is 11 vissen per week

asymp 220

Op t = 33 is de snelheid 22 vissen per weekDus Arjen heeft gelijk

asymp 635

Dus de snelheid op t = 100 is kleiner dan de snelheid op t = 33dus de snelheid waarmee het aantal vissen toeneemt wordt niet steeds groter

[ ]dy

dxx = 10

[ ]dy

dxx = 33

[ ]dy

dxx = 100

b

c

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

Toenamendiagram

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram1 Kies een stapgrootte2 Bereken voor elke stap de toename of afname3 Teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 Teken het staafje bij de rechtergrens

(bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4 )

154

voorbeeld

2-050524∆y

[3 4][2 3][1 2][0 1][-1 0]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

y

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

opgave 54 a

opgave 54 b

Gemiddelde veranderingen

N2

N1

O

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

xA a xB

b

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xA xB] is

x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b ndash a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xA xB]

= rc = hellingsgetal van de lijn AB

= =

yA

yBf(b)

f(a)

O

154

opgave 59 a Op [4 6] is(6) (4)

6 4

93 25

2

29

(5) (2)

5 2

55 25

3

10

(61) (36)

61 36

98021 30696

25

2693

K K K

q

K

q

K

q

K K K

q

K

q

K

q

K K K

q

K

q

K

q

Op [2 5] is

Op [36 61] is

De gemiddelde toename is 10 euro per stuk

De gemiddelde snelheid is euro 2693 per stuk

b

c

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voorx = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

154

dydx voor x is xA

Voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie

[ ]dy

dxx = xA

y

Ox

k

A

xA

bull rc van de raaklijn van de grafiek in Abull helling van de grafiek in Abull snelheid waarmee y verandert voor x = xA

De GR bezit een optie om dydx te berekenen

154

Hellinggrafieken

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun jeaan elke x de helling van degrafiek in het bijbehorende punttoevoegen

stijg

end dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

opgave 62 a Voer in y1 = 200(1 + 12 middot 095x)

asymp 110

De gevraagde snelheid is 11 vissen per week

asymp 220

Op t = 33 is de snelheid 22 vissen per weekDus Arjen heeft gelijk

asymp 635

Dus de snelheid op t = 100 is kleiner dan de snelheid op t = 33dus de snelheid waarmee het aantal vissen toeneemt wordt niet steeds groter

[ ]dy

dxx = 10

[ ]dy

dxx = 33

[ ]dy

dxx = 100

b

c

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

voorbeeld

2-050524∆y

[3 4][2 3][1 2][0 1][-1 0]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

y

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

opgave 54 a

opgave 54 b

Gemiddelde veranderingen

N2

N1

O

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

xA a xB

b

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xA xB] is

x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b ndash a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xA xB]

= rc = hellingsgetal van de lijn AB

= =

yA

yBf(b)

f(a)

O

154

opgave 59 a Op [4 6] is(6) (4)

6 4

93 25

2

29

(5) (2)

5 2

55 25

3

10

(61) (36)

61 36

98021 30696

25

2693

K K K

q

K

q

K

q

K K K

q

K

q

K

q

K K K

q

K

q

K

q

Op [2 5] is

Op [36 61] is

De gemiddelde toename is 10 euro per stuk

De gemiddelde snelheid is euro 2693 per stuk

b

c

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voorx = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

154

dydx voor x is xA

Voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie

[ ]dy

dxx = xA

y

Ox

k

A

xA

bull rc van de raaklijn van de grafiek in Abull helling van de grafiek in Abull snelheid waarmee y verandert voor x = xA

De GR bezit een optie om dydx te berekenen

154

Hellinggrafieken

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun jeaan elke x de helling van degrafiek in het bijbehorende punttoevoegen

stijg

end dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

opgave 62 a Voer in y1 = 200(1 + 12 middot 095x)

asymp 110

De gevraagde snelheid is 11 vissen per week

asymp 220

Op t = 33 is de snelheid 22 vissen per weekDus Arjen heeft gelijk

asymp 635

Dus de snelheid op t = 100 is kleiner dan de snelheid op t = 33dus de snelheid waarmee het aantal vissen toeneemt wordt niet steeds groter

[ ]dy

dxx = 10

[ ]dy

dxx = 33

[ ]dy

dxx = 100

b

c

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

opgave 54 a

opgave 54 b

Gemiddelde veranderingen

N2

N1

O

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

xA a xB

b

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xA xB] is

x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b ndash a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xA xB]

= rc = hellingsgetal van de lijn AB

= =

yA

yBf(b)

f(a)

O

154

opgave 59 a Op [4 6] is(6) (4)

6 4

93 25

2

29

(5) (2)

5 2

55 25

3

10

(61) (36)

61 36

98021 30696

25

2693

K K K

q

K

q

K

q

K K K

q

K

q

K

q

K K K

q

K

q

K

q

Op [2 5] is

Op [36 61] is

De gemiddelde toename is 10 euro per stuk

De gemiddelde snelheid is euro 2693 per stuk

b

c

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voorx = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

154

dydx voor x is xA

Voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie

[ ]dy

dxx = xA

y

Ox

k

A

xA

bull rc van de raaklijn van de grafiek in Abull helling van de grafiek in Abull snelheid waarmee y verandert voor x = xA

De GR bezit een optie om dydx te berekenen

154

Hellinggrafieken

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun jeaan elke x de helling van degrafiek in het bijbehorende punttoevoegen

stijg

end dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

opgave 62 a Voer in y1 = 200(1 + 12 middot 095x)

asymp 110

De gevraagde snelheid is 11 vissen per week

asymp 220

Op t = 33 is de snelheid 22 vissen per weekDus Arjen heeft gelijk

asymp 635

Dus de snelheid op t = 100 is kleiner dan de snelheid op t = 33dus de snelheid waarmee het aantal vissen toeneemt wordt niet steeds groter

[ ]dy

dxx = 10

[ ]dy

dxx = 33

[ ]dy

dxx = 100

b

c

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

opgave 54 b

Gemiddelde veranderingen

N2

N1

O

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

xA a xB

b

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xA xB] is

x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b ndash a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xA xB]

= rc = hellingsgetal van de lijn AB

= =

yA

yBf(b)

f(a)

O

154

opgave 59 a Op [4 6] is(6) (4)

6 4

93 25

2

29

(5) (2)

5 2

55 25

3

10

(61) (36)

61 36

98021 30696

25

2693

K K K

q

K

q

K

q

K K K

q

K

q

K

q

K K K

q

K

q

K

q

Op [2 5] is

Op [36 61] is

De gemiddelde toename is 10 euro per stuk

De gemiddelde snelheid is euro 2693 per stuk

b

c

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voorx = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

154

dydx voor x is xA

Voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie

[ ]dy

dxx = xA

y

Ox

k

A

xA

bull rc van de raaklijn van de grafiek in Abull helling van de grafiek in Abull snelheid waarmee y verandert voor x = xA

De GR bezit een optie om dydx te berekenen

154

Hellinggrafieken

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun jeaan elke x de helling van degrafiek in het bijbehorende punttoevoegen

stijg

end dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

opgave 62 a Voer in y1 = 200(1 + 12 middot 095x)

asymp 110

De gevraagde snelheid is 11 vissen per week

asymp 220

Op t = 33 is de snelheid 22 vissen per weekDus Arjen heeft gelijk

asymp 635

Dus de snelheid op t = 100 is kleiner dan de snelheid op t = 33dus de snelheid waarmee het aantal vissen toeneemt wordt niet steeds groter

[ ]dy

dxx = 10

[ ]dy

dxx = 33

[ ]dy

dxx = 100

b

c

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

Gemiddelde veranderingen

N2

N1

O

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

xA a xB

b

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xA xB] is

x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b ndash a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xA xB]

= rc = hellingsgetal van de lijn AB

= =

yA

yBf(b)

f(a)

O

154

opgave 59 a Op [4 6] is(6) (4)

6 4

93 25

2

29

(5) (2)

5 2

55 25

3

10

(61) (36)

61 36

98021 30696

25

2693

K K K

q

K

q

K

q

K K K

q

K

q

K

q

K K K

q

K

q

K

q

Op [2 5] is

Op [36 61] is

De gemiddelde toename is 10 euro per stuk

De gemiddelde snelheid is euro 2693 per stuk

b

c

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voorx = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

154

dydx voor x is xA

Voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie

[ ]dy

dxx = xA

y

Ox

k

A

xA

bull rc van de raaklijn van de grafiek in Abull helling van de grafiek in Abull snelheid waarmee y verandert voor x = xA

De GR bezit een optie om dydx te berekenen

154

Hellinggrafieken

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun jeaan elke x de helling van degrafiek in het bijbehorende punttoevoegen

stijg

end dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

opgave 62 a Voer in y1 = 200(1 + 12 middot 095x)

asymp 110

De gevraagde snelheid is 11 vissen per week

asymp 220

Op t = 33 is de snelheid 22 vissen per weekDus Arjen heeft gelijk

asymp 635

Dus de snelheid op t = 100 is kleiner dan de snelheid op t = 33dus de snelheid waarmee het aantal vissen toeneemt wordt niet steeds groter

[ ]dy

dxx = 10

[ ]dy

dxx = 33

[ ]dy

dxx = 100

b

c

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

xA a xB

b

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xA xB] is

x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b ndash a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xA xB]

= rc = hellingsgetal van de lijn AB

= =

yA

yBf(b)

f(a)

O

154

opgave 59 a Op [4 6] is(6) (4)

6 4

93 25

2

29

(5) (2)

5 2

55 25

3

10

(61) (36)

61 36

98021 30696

25

2693

K K K

q

K

q

K

q

K K K

q

K

q

K

q

K K K

q

K

q

K

q

Op [2 5] is

Op [36 61] is

De gemiddelde toename is 10 euro per stuk

De gemiddelde snelheid is euro 2693 per stuk

b

c

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voorx = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

154

dydx voor x is xA

Voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie

[ ]dy

dxx = xA

y

Ox

k

A

xA

bull rc van de raaklijn van de grafiek in Abull helling van de grafiek in Abull snelheid waarmee y verandert voor x = xA

De GR bezit een optie om dydx te berekenen

154

Hellinggrafieken

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun jeaan elke x de helling van degrafiek in het bijbehorende punttoevoegen

stijg

end dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

opgave 62 a Voer in y1 = 200(1 + 12 middot 095x)

asymp 110

De gevraagde snelheid is 11 vissen per week

asymp 220

Op t = 33 is de snelheid 22 vissen per weekDus Arjen heeft gelijk

asymp 635

Dus de snelheid op t = 100 is kleiner dan de snelheid op t = 33dus de snelheid waarmee het aantal vissen toeneemt wordt niet steeds groter

[ ]dy

dxx = 10

[ ]dy

dxx = 33

[ ]dy

dxx = 100

b

c

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

opgave 59 a Op [4 6] is(6) (4)

6 4

93 25

2

29

(5) (2)

5 2

55 25

3

10

(61) (36)

61 36

98021 30696

25

2693

K K K

q

K

q

K

q

K K K

q

K

q

K

q

K K K

q

K

q

K

q

Op [2 5] is

Op [36 61] is

De gemiddelde toename is 10 euro per stuk

De gemiddelde snelheid is euro 2693 per stuk

b

c

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voorx = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

154

dydx voor x is xA

Voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie

[ ]dy

dxx = xA

y

Ox

k

A

xA

bull rc van de raaklijn van de grafiek in Abull helling van de grafiek in Abull snelheid waarmee y verandert voor x = xA

De GR bezit een optie om dydx te berekenen

154

Hellinggrafieken

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun jeaan elke x de helling van degrafiek in het bijbehorende punttoevoegen

stijg

end dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

opgave 62 a Voer in y1 = 200(1 + 12 middot 095x)

asymp 110

De gevraagde snelheid is 11 vissen per week

asymp 220

Op t = 33 is de snelheid 22 vissen per weekDus Arjen heeft gelijk

asymp 635

Dus de snelheid op t = 100 is kleiner dan de snelheid op t = 33dus de snelheid waarmee het aantal vissen toeneemt wordt niet steeds groter

[ ]dy

dxx = 10

[ ]dy

dxx = 33

[ ]dy

dxx = 100

b

c

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

Snelheid en afgeleide

Ox

y

a

rc = frsquo(a)

De snelheid waarmee f(x) verandert voorx = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a f(a))rc = snelheid = frsquo(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidefrsquo(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a f(a)

A

154

dydx voor x is xA

Voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie

[ ]dy

dxx = xA

y

Ox

k

A

xA

bull rc van de raaklijn van de grafiek in Abull helling van de grafiek in Abull snelheid waarmee y verandert voor x = xA

De GR bezit een optie om dydx te berekenen

154

Hellinggrafieken

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun jeaan elke x de helling van degrafiek in het bijbehorende punttoevoegen

stijg

end dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

opgave 62 a Voer in y1 = 200(1 + 12 middot 095x)

asymp 110

De gevraagde snelheid is 11 vissen per week

asymp 220

Op t = 33 is de snelheid 22 vissen per weekDus Arjen heeft gelijk

asymp 635

Dus de snelheid op t = 100 is kleiner dan de snelheid op t = 33dus de snelheid waarmee het aantal vissen toeneemt wordt niet steeds groter

[ ]dy

dxx = 10

[ ]dy

dxx = 33

[ ]dy

dxx = 100

b

c

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

dydx voor x is xA

Voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie

[ ]dy

dxx = xA

y

Ox

k

A

xA

bull rc van de raaklijn van de grafiek in Abull helling van de grafiek in Abull snelheid waarmee y verandert voor x = xA

De GR bezit een optie om dydx te berekenen

154

Hellinggrafieken

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun jeaan elke x de helling van degrafiek in het bijbehorende punttoevoegen

stijg

end dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

opgave 62 a Voer in y1 = 200(1 + 12 middot 095x)

asymp 110

De gevraagde snelheid is 11 vissen per week

asymp 220

Op t = 33 is de snelheid 22 vissen per weekDus Arjen heeft gelijk

asymp 635

Dus de snelheid op t = 100 is kleiner dan de snelheid op t = 33dus de snelheid waarmee het aantal vissen toeneemt wordt niet steeds groter

[ ]dy

dxx = 10

[ ]dy

dxx = 33

[ ]dy

dxx = 100

b

c

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

Hellinggrafieken

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun jeaan elke x de helling van degrafiek in het bijbehorende punttoevoegen

stijg

end dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

opgave 62 a Voer in y1 = 200(1 + 12 middot 095x)

asymp 110

De gevraagde snelheid is 11 vissen per week

asymp 220

Op t = 33 is de snelheid 22 vissen per weekDus Arjen heeft gelijk

asymp 635

Dus de snelheid op t = 100 is kleiner dan de snelheid op t = 33dus de snelheid waarmee het aantal vissen toeneemt wordt niet steeds groter

[ ]dy

dxx = 10

[ ]dy

dxx = 33

[ ]dy

dxx = 100

b

c

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31

opgave 62 a Voer in y1 = 200(1 + 12 middot 095x)

asymp 110

De gevraagde snelheid is 11 vissen per week

asymp 220

Op t = 33 is de snelheid 22 vissen per weekDus Arjen heeft gelijk

asymp 635

Dus de snelheid op t = 100 is kleiner dan de snelheid op t = 33dus de snelheid waarmee het aantal vissen toeneemt wordt niet steeds groter

[ ]dy

dxx = 10

[ ]dy

dxx = 33

[ ]dy

dxx = 100

b

c

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31