Hoe leggen we alledaagse optimaliseringsvraagstukken voor aan

Door Louis van Duuren.

Optimaliseringsvraagstukken zijn vaak van economische aard.

• Hoe maximaliseer ik mijn winst?• Hoe minimaliseer ik mijn kosten?

Maar ook toewijzingsvraagstukken worden beschouwd alsoptimaliseringsvraagstukken.

• Welke zwemmers moeten opgesteld worden voor een estafette?• Hoe verdeel ik een erfenis?

Een voorbeeld van een optimaliseringsvraagstuk,waarbij de winst gemaximaliseerd moet worden.

Een fietsenhandelaar gaat naar de groothandel omfietsen, brommers en kinderzitjes in te kopen.Hij moet bij zijn aankoop rekening houden met:

• de winst die hij op elk artikel kan maken• zijn beschikbare opslagruimte• het bedrag dat hij uit kan geven

Hij wil zodanige aantallen van elk artikel inkopen,dat zijn winst maximaal is.

De gegevens voor de drie artikelen zijn:

Hij besluit om: minimaal 30 en hoogstens 75 fietsen,minimaal 10 en hoogstens 30 bromfietsen enminimaal 8 en hoogstens 20 kinderzitjes in te kopen.

Hij beschikt over maximaal 60 m² opslagruimte enover maximaal € 80.000,- om de artikelen aan te schaffen.

Hoeveel moet hij van elk van deze artikelen aanschaffen,om een zo hoog mogelijke winst te behalen?

Inkoop € Opslag m² Winst €

Fietsen 550 0,5 175

Bromfietsen 1900 1,2 420

Kinderzitjes 80 0,2 20

Inkoop € Opslag m² Winst €Min.

aant.Max. aant.

Fietsen 550 0,5 175 30 75

Bromfietsen 1900 1,2 420 10 30

Kinderzitjes 80 0,2 20 8 20

Maximaal 80000 60

Alle gegeven bij elkaar in tabelvorm:

Artikel AantalInkoop

/stukBedrag inkoop

Opslag m² / stuk

Totaal aant. m²

Winst/stuk

WinstMin.

aant.Max. aant.

Fietsen 550 0,5 175 30 75

Bromfietsen 1900 1,2 420 10 30

Kinderzitjes 80 0,2 20 8 20

Totaal

Maximaal 80000 60

De tabel inclusief de aantallen en bijbehorende inkoop, opslag en winst:

Deze tabel bevat alle ingrediënten, die nodig zijn om deOplosser van Excel aan het werk te zetten.

De oplosser voor het eerst gebruiken.

De oplosser van Excel is een invoegtoepassing, die niet standaard is geïnstalleerd.Je kunt hem actief maken, zodat hij een onderdeel van het Lint gaat uitmaken.Ga als volgt te werk:

• Klik in Excel op de Office-knop.• Klik onderaan op Opties voor Excel.• Klik in het linker gedeelte van het nieuwe scherm op Invoegtoepassingen.• Zoek rechts onder Niet actieve invoegtoepassingen naar Oplosser-invoegtoepassing.• Selecteer deze en klik op Start….• Vink in het vervolgscherm de optie Oplosser-invoegtoepassing aan.• Klik daarna op OK en antwoord op de vraag, of u de functie nu wilt installeren, met Ja.

Na de installatie en de configuratie staat de Oplosser rechts op het Lint onder de tab Gegevens..

* Gebaseerd op Office 2007.

Als we de Oplosser opstarten verschijnt het volgende invoerscherm:

De benodigde gegevens voor de oplosser bestaan uit 3 onderdelen:

1.Cel bepalen:2.Door verandering cel:3.Restricties:

1. Cel bepalen:

Hier komt de locatie van de cel, waarvan de inhoud geoptimaliseerd moet worden.

In het geval van de rijwielhandelaar is dat de totale winst, die in cel H8 staat.

We moeten nog wel aangeven of de cel gemaximaliseerd of geminimaliseerd moet worden,of dat de inhoud gelijk moet worden aan een bepaalde waarde.

In ons geval moet de winst gemaximaliseerd worden.

Tip:De cellen die de oplosser nodig heeft, hoef je niet in te typen.Het volstaat om ze in het werkblad aan te tikken.

2. Door verandering cel:

Hier komt de locatie van de cel of cellen, waarvan de inhouddoor de Oplosser zodanig veranderd mag worden, dat er een optimum ontstaat.

In het geval van de rijwielhandelaar zijn dat de aantallen in te kopen artikelen.Het zijn in dit geval de cellen B5, B6 en B7.

Tip:Als het Oplosser-scherm in de weg staat bij het aanduiden van de veranderlijkecellen, klik dan op het knopje . Het Oplosser-scherm wordt dan gereduceerd tot het invoerveld voorde veranderlijke cellen.Om weer terug te keren naar het volledige Oplosser-schermklik je op .

3. Restricties:

In dit gedeelte voeren we de beperkingen in, waar de oplosser zich aan moet houden.

In het geval van de rijwielhandelaar zijn dat:

• Het totale oppervlak van de te kopen artikelen moet kleiner of gelijk zijnaan de beschikbare oppervlakte van 60 m².

• Zijn totale uitgaven moeten kleiner of gelijk zijn aan € 80.000,-.• De aantallen artikelen moeten binnen de opgegeven grenzen liggen.

Om een beperking toe te voegen klikken we opHet invoerscherm Toevoegen verschijnt.

Om de beperking van de uitgaven van de rijwielhandelaar in te voeren:

• Klik in het vak Celverwijzing:.• Klik in het rekenblad in de cel met het totaalbedrag van de inkopen D8.• Kies bij voor . (Kleiner dan of gelijk aan.)• Klik in het vak Restrictie:.• Klik in het rekenblad in de cel met het maximale bedrag D9.• Klik op .

Het invoerscherm Toevoegen staat hierna weer gereed voor de volgende beperking.

Vervolg Restricties

Op eenzelfde manier kan de beperking van hettotale oppervlak worden ingevoerd.

De aantallen in te kopen artikelen zijn ook aan grenzen gebonden.Deze beperkingen hoeven niet per soort artikel worden ingevoerd,maar kunnen in één beperkingsregel worden opgegeven. Dit gaat als volgt:

• Klik in het vak Celverwijzing:.• Selecteer de drie cellen voor de aantallen B5:B7.• Kies bij voor . (Groter dan of gelijk aan.)• Klik in het vak Restrictie:.• Selecteer de drie cellen met de minimumwaarden voor de aantallen, I5:I7.• Klik op .

Op eenzelfde manier kunnen we de beperking voor de maximale aantallen invoeren,maar dan niet met , maar met .

Na de laatste beperking sluiten we af door op te klikken.Heb je per ongeluk toch op geklikt,klik dan op .

Vervolg Restricties

Het invulscherm van de Oplosser ziet er nu als volgt uit:

Klik nu op om de Oplosser aan het werk te zetten.

Na een fractie van een seconde komt de Oplosser met de volgende mededeling:

Klik op om de Oplosser af te sluiten en de oplossing te behouden.

We zitten nog met een klein probleempje,17,417 brommers is niet hanteerbaar.

We moeten de Oplosser nog meegevendat hij met geheeltallige waarden voorde aantallen moet werken.

Nog een extra beperking toevoegen dus.

• Start de Oplosser weer.• Klik bij Restricties op .• Klik in het vak Celverwijzing:.• Selecteer in het rekenblad de drie cellen voor de totalen B5:B7.• Kies bij voor . (= integer = gehele getallen.)• Klik op .• Klik op om de Oplosser opnieuw te starten.

De oplossing is nu wel geheeltallig.Merk op dat deze oplossing flink afwijkt.

Nog een voorbeeld van een optimaliseringsvraagstuk,waarbij de inkomsten gemaximaliseerd moet worden.

Een landbouwer heeft een stuk landbouwgrond van 200 hectare.Hij kan er tarwe, gerst of een combinatie van beide op verbouwen.

Tarwe levert hem € 1400,- per hectare op engerst levert hem € 1150,- per hectare op.

Voor tarwe heeft hij per hectare 220 L kunstmest en 90 L insecticide nodig envoor gerst heeft hij per hectare 330 L kunstmest en 60 L insecticide nodig.

Hij mag maximaal 60.000 L kunstmest en 14.000 L insecticide toepassen.

Hoe moet hij zijn 200 hectare verdelen, zodat zijn inkomenzo hoog mogelijk is?

GewasAantal

hectarenInkomsten

/ hectareInkom-

stenKunstmest

/ hectareTotaal

kunstmestInsecticide

/ hectareTotaal

insecticide

Tarwe 1400 220 90

Gerst 1150 330 60

Totaal

Maximaal 200 60000 14000

Alle gegevens van het landbouwer probleem op een rijtje:

Deze tabel bevat alle ingrediënten, die nodig zijn om deOplosser van Excel aan het werk te zetten.

Nog een voorbeeld van een optimaliseringsvraagstuk,waarbij de kosten geminimaliseerd moeten worden.

Een groep leerlingen gaat op driedaagse schoolreis.De reis zal gemaakt worden met huurbusjes waarvantwee soorten beschikbaar zijn: Opel en Ford.

In totaal gaan er 105 personen mee en 72 koffers.

In een Opel-busje kunnen 7 personen en 6 koffers.In een Ford-busje kunnen 9 personen en 4 koffers.Een Opel-busje kost € 60,- per dag en een Ford-busje kost € 55,- per dag.

Hoeveel busjes moeten er van elke merk gehuurd worden om zo goedkoop mogelijk op reis te kunnen gaan?

Merk busje

Aantal busjes

Prijs / dag / busje

Kosten / dag

Aant. Passa-giers / busje

Totaal aant. passagiers

Aant. kof-fers / busje

Totaal aant. koffers

Opel 60 7 6

Ford 55 9 4

Totaal

Maximaal 105 72

Alle gegevens van het schoolreisje probleem op een rijtje:

Een voorbeeld van een toewijzingsvraagstuk.

Een zwemcoach moet zijn ploeg opstellen voor een estafette.Hij beschikt over 5 topzwemmers, die op de 4 onderdelenrugslag, schoolslag, vlinderslag en vrije slag kunnen uitkomen.De meest recente tijden in sec. van de 5 zwemmers op de 4 onderdelen zijn:

Zwemmer 1 2 3 4 5

Rugslag 59,3 55,3 57,9 59,8 55,7

Schoolslag 64,9 64,5 66,8 63,4 65,9

Vlinderslag 57,3 54,2 55,7 56,2 55,8

Vrije slag 51,3 49,3 50,2 51,9 50,8

Welke zwemmer moet de coach op welk onderdeel laten uitkomen?

Tabel A

Er zijn 5 x 4 x 3 x 2 = 120 mogelijkheden,maar welke levert de kortste totaaltijd op?

Een oplossing van dit probleem zou kunnen zijn:

Zwemmer 1 2 3 4 5

Rugslag X

Schoolslag X

Vlinderslag X

Vrije slag X

Zwemmer 1 op rugslag, zwemmer 2 op schoolslag, zwemmer 3 op vlinderslag, zwemmer 4 op vrije slag.

Dit zou een totaaltijd van 59,3 + 64,5 + 55,7 + 51,9 = 231,4 sec. opleveren.Het is maar een willekeurige oplossing en de kans is groot dat er betere combinaties bestaan.

De toewijzing van een zwemonderdeel aan een zwemmer werd in de vorige tabel weergegeven door een X.De Oplosser werkt echter met getallen en niet met X-jes. Daarom maken we de volgende afspraak:

Als een zwemonderdeel toegewezen wordt aan een zwemmer geven we dit aan met een 1, zo niet dan komt er een 0 te staan.

De voorbeeldoplossing komt er dan als volgt uit te zien:

Zwemmer 1 2 3 4 5

Rugslag 1 0 0 0 0

Schoolslag 0 1 0 0 0

Vlinderslag 0 0 1 0 0

Vrije slag 0 0 0 1 0

Tabel B

De oplosser moet de totale tijd minimaliseren door de vier 1-tjesop de juiste plaats in tabel B te plaatsen.De 20 cellen van tabel B vormen dus de veranderlijke variabelen.

Hoe komen we nu aan de totale tijd?

Door allereerst de overeenkomstige cellen van tabel A en tabel Bmet elkaar te vermenigvuldigen. We krijgen dan tabel C,die er voor deze voorbeeldoplossing als volgt uitziet:

Zwemmer 1 2 3 4 5

Rugslag 59,3 0 0 0 0

Schoolslag 0 64,5 0 0 0

Vlinderslag 0 0 55,7 0 0

Vrije slag 0 0 0 51,9 0

Tabel C

De totaaltijd krijgen we door in tabel C de rijen te sommerenen daarna deze totalen te sommeren.

Zwemmer 1 2 3 4 5 Totaal

Rugslag 59,3 0 0 0 0 59,3

Schoolslag 0 64,5 0 0 0 64,5

Vlinderslag 0 0 55,7 0 0 55,7

Vrije slag 0 0 0 51,9 0 51,9

Totale tijd 231,4

Tabel C

Van de drie benodigdheden voor de Oplosser hebben we er nu al twee, nl.

1.Cel bepalen: de totale tijd moet geminimaliseerd worden.2.Door verandering cel: de 1 of 0 cellen van tabel B.

Nu alleen de beperkingen nog.Deze hebben in dit geval allemaal te maken met tabel B.

• Er mogen alleen maar nullen of enen worden geplaatst.• Een zwemonderdeel kan maar aan één zwemmer worden toegekend.• Een zwemmer kan maar op één zwemonderdeel uitkomen.

Om deze beperkingen te kunnen vertalen naar rekenregelsbreiden we tabel B met de volgende totalen uit:

Zwemmer 1 2 3 4 5 Totaal

Rugslag 1 0 0 0 0 1

Schoolslag 0 1 0 0 0 1

Vlinderslag 0 0 1 0 0 1

Vrije slag 0 0 0 1 0 1

Totaal 1 1 1 1 0

Tabel B

Totaal

1

1

1

1

Totaal 1 1 1 1 0

Nog een voorbeeld van een toewijzingsvraagstuk.

Na het overlijden van hun moeder moet de inhoud van het juwelenkistjeworden verdeeld onder de drie dochters Anna, Bella en Cora.Ze laten de juwelen taxeren, wat de volgende bedragen in € oplevert:

De drie zustersbesluiten de juwelenzo eerlijk mogelijk te verdelen.

Het zou mooi zijn als elk van hen juwelen krijgt ter waarde van € 1560 / 3 = € 520.

  Waarde

Ketting 1 420

Ketting 2 300

Ketting 3 240

Ring 1 200

Ring 2 160

Oorbellen 1 80

Oorbellen 2 50

Broche 1 60

Broche 2 30

Broche 3 20

Totaal 1560

Elk juweel kan in principe aan elk van de drie zussen worden toebedeeld.We kunnen dus weer een tabel van veranderlijke cellen maken, waarinde Oplosser naar hartenlust nullen en enen kan plaatsen.

  Waarde   A B C

Ketting 1 420  0 0 1

Ketting 2 300  0 1 0

Ketting 3 240 1 0 0

Ring 1 200  0 0 1

Ring 2 160  0 1 0

Oorbellen 1 80  1 0 0

Oorbellen 2 50  0 0 1

Broche 1 60  0 1 0

Broche 2 30  1 0 0

Broche 3 20  0 0 1

Totaal 1560       

A is AnnaB is BellaC is Cora

Deze invulling met nullen en enen is weer geheel willekeurig en zal zeer waarschijnlijk niet de beste verdeling geven.

Er zijn 3x3x3x3x3x3x3x3x3x3 = 59.049 mogelijkheden.

Wat zijn in dit geval de beperkingen?

• In de veranderlijke cellen mogen alleen maar nullen of enen worden geplaatst. • Een juweel kan maar naar één van de dochters gaan.

Om de laatste beperking voor de Oplosser hanteerbaar te maken, voegen we een kolom (T) toe aan de tabel, waarin per rij (juweel) de som van de drie nullen en/of enen komt te staan.

  Waarde   A B C T

Ketting 1 420  0 0 1 1

Ketting 2 300  0 1 0 1

Ketting 3 240 1 0 0 1

Ring 1 200  0 0 1 1

Ring 2 160  0 1 0 1

Oorbellen 1 80  1 0 0 1

Oorbellen 2 50  0 0 1 1

Broche 1 60  0 1 0 1

Broche 2 30  1 0 0 1

Broche 3 20  0 0 1 1

Totaal 1560       

Nu ontbreekt alleen nog het onderdeel Cel bepalen, of anders gezegd, wat moet er geoptimaliseerd worden?

De drie zusters willen een zo eerlijk mogelijke verdeling, dat wil zeggen: ieder krijgt 1/3 van de totale waarde van de juwelen.

In deze willekeurige toewijzing krijgt Anna een waarde van € 350, Bella een waarde van € 520 en Cora een waarde van € 690.

In totaal is er een verschil met het gemiddelde (520) van € 340.

Hier zullen de dames niet tevreden mee zijn.

De Oplosser zal dit totale verschil zo klein mogelijk moeten maken.

Dit totale verschil wordt dus de te minimaliseren waarde.

  Waarde   A B C T   A B C  Ketting 1 420  0 0 1 1   0 0 420 Ketting 2 300  0 1 0 1   0 300 0 Ketting 3 240 1 0 0 1 240 0 0Ring 1 200  0 0 1 1   0 0 200 Ring 2 160  0 1 0 1   0 160 0 Oorbellen 1 80  1 0 0 1   80 0 0 Oorbellen 2 50  0 0 1 1   0 0 50 Broche 1 60  0 1 0 1   0 60 0 Broche 2 30  1 0 0 1   30 0 0 Broche 3 20  0 0 1 1   0 0 20 

Totaal 1560            350 520 690 Tot.afw.

Gemiddeld 380    Afwijking 170 0 170 340

Hoe komen we aan de totale waarde van de toegekende juwelen per dochter?

Eenvoudig door elke kolom van de Veranderlijke cellen te vermenigvuldigen met de waarden van de juwelen.

Enkele opmerkingen tot slot.

Het maximum aantal veranderlijke cellen in Excel bedraagt 200.

Om te voorkomen dat er kleine restwaarden in cellen worden weergegeven,stel je bij de Celeigenschappen van die cellen, onder de tab Getal,de Categorie in op Getal met 0 cijfers achter de komma.

De gebruikte bestanden:

• De Oplosser van Excel.ppt• Excel Oplosser.xls

Kunnen worden gedownload van de site van de HWCC:www.hwccweb.nl