havo A 4.4 Centrum- en spreidingsmaten

Centrummaten

gemiddelde• het gemiddelde van een serie waarnemingsgetallen is de som van die

getallen gedeeld door het aantal getallen

mediaan• eerst de waarnemingsgetallen naar grootte rangschikken• bij oneven aantal getallen is de mediaan het middelste getal• bij even aantal getallen is de mediaan het gemiddelde van de middelste

twee getallen

modus• de modus is het waarnemingsgetal met de grootste frequentie

opgave 27 (zonder GR)

a gemiddelde = (3×2 + 4×4 + 5×6 + 6×5 + 7×4 + 8×4 + 9×3 + 10×2) : 30gemiddelde = 6,330 getallen 15e en 16e getal15e getal = 6 en 16e getal = 6mediaan = ( 6 + 6 ) : 2mediaan = 6het cijfer 5 komt 6 keer voormodus = 5

b modus, mediaan, gemiddeldec totaal was 189 en het aantal ll. was 30

30 + 4 = 34 leerlingen34 × 6,5 = 221221 – 189 = 32de vierde leerling 32 – (3 × 9) = 5

cijfer frequentie

3 2

4 4

5 6

6 5

7 4

8 4

9 3

10 2

het cijfer 3 komt 2 keer voor

opgave 27 (met GR)

a voer in lijst 1 = { 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }en lijst 2 = { 2, 4, 6, 5, 4, 4, 3, 2 }optie 1-Var Stats L1,L2 (TI)of 1VAR (casio)gemiddelde = 6,3mediaan = 6modus = 5

b modus, mediaan, gemiddeldec totaal was 189 en het aantal ll. was 30

30 + 4 = 34 leerlingen34 × 6,5 = 221221 – 189 = 32de vierde leerling 32 – (3 × 9) = 5

Voordelen en nadelen centrummaten

voordeel nadeel

modus • snel op te schrijven, weinig rekenwerk

• de enige centrummaat die bij kwalitatieve gegevens te gebruiken is

• geeft weinig informatie

• is niet altijd aanwezig

• een kleine verandering kan een geheel andere modus opleveren

mediaan • niet gevoelig voor uitschieters

• weinig rekenwerk

• alleen de volgorde van de waarnemingsgetallen is van belang, niet de grootte van de waarnemingsgetallen

gemiddelde • alle gegevens worden gebruikt

• iedereen kent deze centrummaat

• gevoelig voor uitschieters

opgave 31

aantal branduren

frequentie

1600-<2000 85

2000-<2400 75

2400-<2800 63

2800-<3200 58

3200-<3600 19

a klassenmiddens zijn1800, 2200, 2600, 3000 en 3400voer in lijst1 { 1800,2200,2600,3000,3400 } en lijst2 { 85,75,63,58,19 }optie 1 Var-Stats L1,L2 of 1VARgemiddelde ≈ 2401 uur

b GR mediaan = 2200 dus de mediaan ligt in de klasse 2000-< 2400

c de modale klasse is 1600-< 2000d 300 waarnemingsgetallen 150e en 151e getal

150 – 85 = 65e getal en 151 – 85 = 66e getal in klasse 2000-< 2400er zitten 75 getallen in deze klasse2000 + (65,5 : 75) × 400 ≈ 2349, dat is dus meer dan 2200

de klasse met de grootste frequentie is de modale klasse

om het gemiddelde te berekenen moet je eerst de klassenmiddens berekenen

Hoe teken je een boxplot?

1 bepaal de mediaan2 bepaal het eerste kwartiel (mediaan van de “1e” helft) en het derde kwartiel

(mediaan van de “2e” helft)3 teken een getallenlijn en zet het kleinste en grootste waarnemingsgetal,

de mediaan en de beide kwartielen boven de getallenlijn4 teken de boxplot

de volgende score’s zijn gehaald bij een test23 – 43 – 24 - 34 - 13 - 32 - 44 - 53 - 17 - 28 – 30 – 22 – 19schrijf de getallen van klein naar groot op13 – 17 – 19 – 22 – 23 – 24 – 28 – 30 – 32 – 34 – 43 – 44 – 53teken een getallenlijnkleinste waarnemingsgetal = 13grootste waarnemingsgetal = 53mediaan = 281e kwartiel (Q1) = (19 + 22) : 2 = 20,5

3e kwartiel (Q3) = (34 + 43) : 2 = 37,5

201510 25 30 35 40 45 50 55

voorbeeld

tussen 2 verticale streepjes altijd 25% van de waarnemingsgetallen

in de box 50%

Boxplot mbv de grafische rekenmachine

1 frequentie tabel makenstat edit 1 L1 (waarnemingsgetallen)

L2 (frequentie’s) invullen

2 boxplot berekenenstat calc 1 1 var stats L1,L2

(L1,+2 2nd 1,2)

3 boxplot tekenen2nd stat plot 1 on type ‘5e’ graph

De relatieve cumulatieve frequentiepolygoon kun je goed gebruiken om een boxplot te tekenen.

0

25

50

75

100

5 10 15 20 25

0% kleinste getal = 325% 1e kwartiel (Q1) = 10

50% mediaan = 1375% 3e kwartiel (Q3) = 20

100% grootste getal = 24

relatieve cumulatieve frequentie

0 5 10 15 20 25

3 10 13 20 24

boxplot

∙

∙

∙

∙

∙

Spreidingsmaten• vaak wordt naast een centrummaat een zogenaamde spreidingsmaat

berekend om aan te geven hoever de data in een verdeling uitelkaar liggen

• spreidingsbreedte : verschil tussen het grootste en kleinste getal

• kwartielafstand : verschil tussen het 1e en 3e kwartiel (Q3 – Q1)

opgave 35

a bij elke klas is de mediaan 3 km.b nee, de mediaan is bij elke klas hetzelfdec in klas 4A zit 50% tussen 1 en 5 km

in klas 4B zit 50% tussen 2 en 4 kmd in klas 4A is de spreiding het grootst

in klas 4C is de spreiding het kleinst

De standaardafwijking• de meest gebruikte spreidingsmaat is de standaardafwijking• om de standaardafwijking te berekenen moet je eerst van elk

waarnemingsgetal berekenen hoe ver het van het gemiddelde afligt• zo krijg je bij elk waarnemingsgetal x de deviatie d• d = x – x ( de afwijking van het gemiddelde )• standaardafwijking σ = √gemiddelde van (x – x)2 • het berekenen van σ doe je met (TI) 1-Var Stats L1,L2 σx

of (Casio) 1VAR xσn

opgave 43

a voer in lijst 1 = {4.8,4.9,5.0,5.1,5.2,5.3,5.4} en lijst 2 = {2,4,10,18,12,3,1}

optie 1-Var Stats L1,L2 of 1VAR geeftminX = 4,8 ; Q1 = 5 ; Med = 5,1 ; Q3 = 5,2 ; maxX = 5,4

mediaan = 5,1kwartielafstand = Q3 – Q1 = 5,2 – 5 = 0,2

spreidingsbreedte = maxX – minX = 5,4 – 4,8 = 0,6b schatting σ = 0,3 2σ = 0,6

2σ = spreidingsbreedte = 0,6 dat kan nietc GR x ≈ 5,09 en σ ≈ 0,12

gemiddelde ≈ 5,09 kg en de standaardafwijking ≈ 0,12 kg

gewicht 4,8 4,9 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4

freq. 2 4 10 18 12 3 1

Notaties op de GR• x : het gemiddelde• σ : de standaardafwijking• σx : de standaardafwijking (TI)• xσn : de standaardafwijking (Casio)• n : het totale aantal waarnemingen• minX : het kleinste waarnemingsgetal• maxX : het grootste waarnemingsgetal• Q1 : het eerste kwartiel

• Q3 : het derde kwartiel

• Med : de mediaan (het tweede kwartiel)