Hans Welleman 1

Les 11 : MODULE 1 Snedekrachten (2)

Evenwichtsrelaties (differentiaalbetrekkingen)ExtensieBuiging

Vervormingstekens

Hans Welleman 2

EXTENSIE : Evenwicht

x

nN+ N

nN

qx

x

Horizontaal evenwicht:0x

x

N q x N N

Nq

x

0

dlim

d

ddifferentiaalvergelijking

d

x

x

N N

x x

Nq

x

De verandering van de normaalkracht is in absolute zin gelijk aan de verdeelde belasting

Hans Welleman 3

VOORBEELD

5,0 m

10 2xq x 21

1

1

2

d10 2

d(één keer integreren)

( ) 10

randvoorwaarde:

5,0 0

invullen:

0 10 5,0 25,0

25,0

( ) 10 25

Nx

x

N x x x C

x N

C

C

N x x x

25,0

6,25

N [kN]

vrije randvaste rand

Hans Welleman 4

0

0

dlim

ddM

limd

x

x

V V

x xM

x x

BUIGING : Evenwicht Verticaal evenwicht:

0z

z

V q x V V

Vq

x

Momentenevenwicht om rechtersnede:

12

12

( ) 0z

z

M V x

q x x M M

Mq x V

x

0x

d

dd

d

z

Vq

xM

Vx

DIFFERENTIAAL VERGELIJKINGENqz

M +M

VM

z

x

V+V

x

Hans Welleman 5

VOORBEELD

5,0 m

z

10 kN/m

1

1 1

10

(één keer integreren)

( ) 10

randvoorwaarde:

5,0 0

invullen

0 10 5 50

dV

dx

V x x C

x V

C C

( ) 10 50V x x

22

2

2

10 50

(één keer integreren)

( ) 5 50

randvoorwaarde:

5,0 0

invullen

0 5 25 50 5

125

dMV x

dx

M x x x C

x M

C

C

2( ) 5 50 125M x x x

x

Voor grafieken zie vorige les.

Hans Welleman 6

RESULTAAT

1 differentiaalvergelijking voor extensie 2 differentiaalvergelijkingen voor buiging

en dwarskracht

d

dd

dd

d

x

z

Nextensie q

xV

qxbuigingM

Vx

Hans Welleman 7

Conclusies

Helling van de N-lijn (dN/dx) is gelijk aan min de verdeelde belasting in x-richting

Helling van de V-lijn (dV/dx) is gelijk aan min de verdeelde belasting in z-richting

Helling van de M-lijn (dM/dx) is gelijk aan de dwarskracht (V)

Hans Welleman 8

Gevolg : extensie

Geen verdeelde belasting in de richting van de staaf-as constante N-lijn

Constante verdeelde belasting in de richting van de staaf-as lineair verlopende N-lijn

Hans Welleman 9

Gevolg : buiging

Geen q-last in z-richting

constante V-lijn

lineair verlopende M-lijn

q-last constant in z-richting

lineair verlopende V-lijn

parabolisch verlopende M-lijn

Hans Welleman 10

Nadeel “wiskundige aanpak” D.V. geldt alleen voor velden waar “niets” verandert

(continue beschrijving) Bij iedere discontinuiteit eindigt een veld en begint

een nieuw veld……… “Grof geschut” in verhouding tot de complexiteit van

de problemen

T F q q

6 velden, voor ieder veld een eigen set van D.V. oplossen ???

Hans Welleman 11

Ingenieurs – aanpak (volgende hfst)

Maak zoveel mogelijk gebruik van aanwezige voorkennis (beschreven m.b.v. de wiskundige verbanden)

Construeer de M-lijn door voor een aantal karakteristieke punten m.b.v. de snede-aanpak het moment te bepalen

Verzin iets op het probleem met het assenstelsel …..

Hans Welleman 12

x

Tekenproblemen voor V- en M

N-, V- en M-lijn ?

60 kN

45 kN

FOUTGOEDy

Hans Welleman 13

Probleem ….. vele assenstelsels ?

Handig ??

Hans Welleman 14

Oplossing voor buiging

“verbuigingsteken”

Hans Welleman 15

Dwarskracht

ook wel “fietstrappers” genoemd …

Hans Welleman 16

VERVORMINGSTEKENS

Normaalkracht : “trek (+) en druk (-)” Dwarskracht : “fietstrappers” Moment : “verbuigingsteken”

VISUELE AANPAK

Hans Welleman 17

M-lijn en verbuigingstekenopen zijde naar de ligger-as gericht

Hans Welleman 18

VoorbeeldHandigheidje …

haal “fietstrapper” uit de helling van de M-lijn