Galoistheorie - Wiskundemlopuhaa/2015/Galois_H134.pdf · 3.De kwadratische vergelijking in u3 heeft...

Beginselen van de theorie derveeltermvergelijkingen in een onbekende

Galoistheorie

Frans Keune

voorjaar 2015

Voorwoord

Dit boek is voortgekomen uit het dictaat horend bij colleges Galoistheorie gegevenaan de Radboud Universiteit (voorheen Katholieke Universiteit Nijmegen) sinds1979. Deze colleges werden gegeven voor derdejaars studenten. De benodigdevoorkennis bestaat uit de beginselen van de groepentheorie en de theorie vanringen en lichamen. Onderwerpen uit deze theorieen die van direct belang zijnvoor de Galoistheorie worden in dit boek behandeld, ook als die onderwerpengewoonlijk gezien worden als behorend tot tweedejaars algebra.

Centraal staat het oplossen van veeltermvergelijkingen in een onbekende x: ver-gelijkingen van de vorm

xn + a1xn−1 + · · ·+ an−1x+ an = 0,

waarbij a1, . . . , an elementen van een lichaam K zijn. M.a.w. het bepalen van denulpunten van een veelterm f(X) ∈ K[X]. Die nulpunten zitten in het algemeenniet in K maar in een groter lichaam. Neem je dat grotere lichaam zo zuinigmogelijk, dan krijg je een splijtlichaam van f over K.

Tot omstreeks 1800 had men recepten voor het oplossen van vergelijkingen vangraad ≤ 4. Het gaat daarbij om algemene recepten: toegepast op een verge-lijking met willekeurige coefficienten leidt zo’n recept tot een oplossingsformule.Zulke formules zijn opgebouwd uit de coefficienten van de veelterm d.m.v. optel-len, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en worteltrekken. In 1824 liet de Noorsewiskundige Niels Henrik Abel (1802–1829) in een beknopt artikel van zes pagina’szien dat voor vijfdegraads vergelijkingen zo’n algemene oplossingsformule niet be-staat. Al in 1799 kwam de Italiaanse wiskundige Paolo Ruffini (1765–1822) meteen geschrift van 512 pagina’s waarin hij dat ook aantoonde, maar zijn bewijsbevatte wel een duidelijke lacune.

Een diep inzicht in de oplosbaarheid van vergelijkingen werd verkregen door Eva-riste Galois (1811–1832) door uit te gaan van symmetrie in de oplossingsverzame-ling: permutaties van de nulpunten van de veelterm die betrekkingen tussen denulpunten behouden. Tegenwoordig zien we die symmetrieen als automorfismenvan het splijtlichaam. Tezamen vormen ze een eindige groep, de Galoisgroep.De structuur van die groep bepaalt de oplosbaarheid van de vergelijking. Op-losbaar betekent hier: de nulpunten van de veelterm zijn uit de coefficienten vandie veelterm te verkrijgen door optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen enworteltrekken.

v

Voorwoord

In de tijd van Galois waren abstracte algebraısche structuren als ringen en groepennog niet uitgevonden. Bij Galois is het begrip groep ontstaan. Het ging daarbijom concrete groepen van permutaties.

In de Galoistheorie wordt groepentheorie toegepast op lichaamsuitbreidingen envia de splijtlichamen van veeltermen op vergelijkingen. Met het oog op die toepas-singen worden enkele onderwerpen uit de groepentheorie behandeld: de werkingvan een groep op een verzameling (in paragraaf 5.2 en deelparagraaf 8.8.1), oplos-bare groepen (in paragraaf 8.1 en deelparagraaf 8.8.2), enkelvoudige groepen encompositierijen (in paragraaf 8.2) en Sylowondergroepen (in deelparagraaf 8.8.3).De Galoistheorie wordt niet alleen gebruikt bij het oplossen van vergelijkingen,maar algemener bij onderdelen van de wiskunde waar lichaamsuitbreidingen eenrol spelen, met name de algebraısche getaltheorie en de algebraısche meetkunde.

Om in concrete gevallen conclusies te kunnen trekken, bijvoorbeeld over de oplos-baarheid van een vergelijking, is het nodig Galoisgroepen te berekenen. Daarombesteden we aandacht aan het rekenen in concrete gevallen, met name voor ver-gelijkingen over Q en over eindige lichamen. Voor vergelijkingen over Q is re-ductie modulo een priemgetal een belangrijk hulpmiddel. Voor een monischef(X) ∈ Z[X] wordt de vergelijking f(x) = 0 in verband gebracht met de vergelij-king waarbij de coefficienten modulo een priemgetal worden genomen. Belangrijkdaarbij is ook de discriminant van een veelterm. Het laatste hoofdstuk is vooralgericht op het berekenen ervan.

Een eenvoudiger toepassing van de Galoistheorie betreft constructies met passeren liniaal. Het gaat daarbij om problemen die al in de Griekse oudheid ontstonden.In hoofdstuk 2 wordt een begin gemaakt met de algebraısering van die problemen.Toepassingen van de theorie op passer-en-liniaalconstructies worden gegeven inparagraaf 3.4, paragraaf 6.3 en deelparagraaf 8.8.2.

In het najaarssemester van 2014 heeft Maarten Solleveld een eerdere versie vandeze tekst gebruikt bij een college Galoistheorie. Ik ben hem dankbaar voor hetwijzen op enkele onvolkomenheden in de tekst. Ook opmerkingen van studentenzijn voor mij waardevol geweest.

Frans KeuneNijmegen, juni 2015

vi

Notaties en terminologie

De wiskunde kent veel standaardnotaties. Die worden in wiskundeteksten alge-meen gebruikt en behoeven geen nadere uitleg. Dat geldt ook voor dit boek. Somskan een keuze worden gemaakt en volgt een auteur zijn eigen voorkeur.

Specifiek voor dit boek:

- Het gebruikte symbool voor inclusie is ⊆, terwijl ⊂ wordt gebruikt voorechte inclusie. Analoog ≤ en < voor ondergroepen en E en C voor normaleondergroepen.

- De natuurlijke getallen beginnen bij 0. De verzameling der natuurlijke ge-tallen wordt aangegeven met N. De verzameling der natuurlijke getallenzonder de 0 wordt aangegeven met N∗.

- Ringen hebben per definitie een eenheidselement en ringhomomorfismen be-houden het eenheidselement. De ring der gehele getallen modulo n wordtgenoteerd als Zn. De groep van inverteerbare elementen (of eenheden) vaneen ring R noteren we als R∗.

- Lichaamsuitbreidingen worden genoteerd als L : K. De notatie L/K is ge-bruikelijker. Ook L|K wordt wel gebruikt. De hier gemaakte keuze komtvoort uit de omstandigheid dat de eerste grondige kennismaking van de au-teur met Galoistheorie in het boek van Stewart [6] was, waarin deze notatiewerd gebezigd. Een klein voordeel ervan is de geringere suggestie dat hetom een quotientstructuur zou gaan.

Op bladzijde 165 staat een uitgebreid overzicht van de in dit boek gebruikte no-taties.

vii

Inhoudsopgave

Voorwoord v

1 Vergelijkingen en lichaamsuitbreidingen 11.1 Vergelijkingen van lage graad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Kubische vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Vierdegraads vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Veeltermen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.1 Uitbreidingen en veeltermen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2 Veeltermen en homomorfismen . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Veeltermen over een lichaam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Lichaamsuitbreidingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.1 Algebraısch en transcendent . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.2 Adjunctie en splijtlichamen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4.3 Oplosbaarheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5 Diagrammen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Passer-en-liniaalconstructies 172.1 Basisconstructies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Klassieke constructies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3 Klassieke constructieproblemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4 Passer-en-liniaalconstructies en lichaamsuitbreidingen . . . . . . . 26Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 Graden van lichaamsuitbreidingen 313.1 Veeltermen over Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2 Multiplicativiteit van de graad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3 De karakteristieke veelterm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.4 Toepassing op passer-en-liniaalconstructies . . . . . . . . . . . . . . 39Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4 Splijtlichamen 434.1 Voortzettingen van inbeddingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.2 Voortzettingen van inbeddingen tot splijtlichamen . . . . . . . . . 484.3 Normale uitbreidingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.4 Algebraısche afsluiting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

ix

Inhoudsopgave

4.5 Eindige lichamen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.5.1 Classificatie van eindige lichamen . . . . . . . . . . . . . . . 544.5.2 De algebraısche afsluiting van een eindig lichaam . . . . . . 554.5.3 De multiplicatieve groep van een eindig lichaam . . . . . . . 55

Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5 Galoisuitbreidingen 595.1 Definitie en voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.2 Werking van een groep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.3 Tussenlichamen van Galoisuitbreidingen . . . . . . . . . . . . . . . 625.4 De Hoofdstelling van de Galoistheorie . . . . . . . . . . . . . . . . 665.5 Voorbeelden over Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.6 Splijtlichamen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.7 Perfecte lichamen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.8 Samenstelling en doorsnede van Galoisuitbreidingen . . . . . . . . 805.9 Primitieve elementen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.10 Normale bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6 Speciale uitbreidingen 896.1 Worteluitbreidingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896.2 Cyclotomische uitbreidingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.3 Construeerbaarheid van regelmatige veelhoeken . . . . . . . . . . . 97Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7 De Galoisgroep van een veelterm 1037.1 Werking van de Galoisgroep op de nulpunten van een veelterm . . 1037.2 Galoisgroepen isomorf met Sp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057.3 Uitbreiding van het grondlichaam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067.4 De discriminant van een veelterm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1077.5 Reductie modulo een priemgetal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

8 Oplosbaarheid 1218.1 Oplosbare groepen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1218.2 Compositierijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1248.3 Oplosbare vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1288.4 Algemene vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1318.5 Kubische vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1358.6 Vierdegraads vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1378.7 Vergelijkingen van priem graad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1398.8 p-Groepen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

8.8.1 Een telprincipe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1438.8.2 p-Groepen en oplosbaarheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

x

Inhoudsopgave

8.8.3 Sylowondergroepen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

9 De discriminant 1519.1 Symmetrische veeltermen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1519.2 Sommen van machten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1549.3 De resultante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

Bibliografie 163

Notaties 165

Index 169

xi

1 Vergelijkingen enlichaamsuitbreidingen

In dit hoofdstuk wordt beschreven hoe een veelterm leidt tot een lichaamsuit-breiding. Oplosbaarheid van veeltermvergelijkingen wordt vertaald in termen vanlichaamsuitbreidingen.

1.1 Vergelijkingen van lage graad

Er is een recept voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen: kwadraataf-splitsen. Toepassing van dit recept op de ‘algemene’ kwadratische vergelijking

ax2 + bx+ c = 0 (met a 6= 0)

levert de bekende abc-formule:

x =−b±

√b2 − 4ac

2a.

Dit recept was in wezen al bekend bij de Babyloniers. Veel later is het systema-tisch beschreven door al-Khwarizmi (±790–±840). In die tijd waren het meerdererecepten omdat negatieve getallen niet werden gebruikt.

1.1.1 Kubische vergelijkingen

In 1535 vond Niccolo Fontana (alias Tartaglia, 1499–1557), en al eerder Scipionedel Ferro (1465–1526), een recept voor het oplossen van kubische vergelijkingen.Del Ferro had het niet gepubliceerd, maar had wel op zijn sterfbed aantekeningenaan zijn schoonzoon gegeven. Girolamo Cardano (1501–1576) heeft het Tarta-glia weten te ontfutselen en het een paar jaar daarna gepubliceerd in zijn stan-daardwerk Ars Magna. Dit zeer tegen de zin van Tartaglia die er zelf over wildeschrijven.

Lodovico Ferrari (1522–1565), een leerling van Cardano, vond al snel daarna eenrecept voor het oplossen van vierdegraads vergelijkingen. Hij was toen 18.

1

1 Vergelijkingen en lichaamsuitbreidingen

We lossen de vergelijking

x3 − 3x2 + 9x− 4 = 0

op volgens het recept van Tartaglia.

1. Met x = y+ 1 krijgen we een kubische vergelijking in y zonder kwadratischeterm:

y3 + 6y + 3 = 0.

2. We schrijven y = u+ v:

u3 + v3 + 3uv(u+ v) + 6(u+ v) + 3 = 0

en nemen u en v zodat bovendien uv = −2:

u3 + v3 + 3 = 0.

Dit levert een kwadratische vergelijking in u3:

(u3)2 + 3u3 − 8 = 0.

3. De kwadratische vergelijking in u3 heeft de oplossing

u3 =−3 +

√41

2

en dan, omdat u3 + v3 = −3:

v3 =−3−

√41

2.

We hadden ook de andere oplossing van de kwadratische vergelijking kunnenkiezen. Dan was alleen de rol van u en v verwisseld; we zijn echter alleen inhun som geınteresseerd.

4. Kies een van de drie derdemachts wortels van −3+√41

2 :

u =3

√−3 +

√41

2,

bijvoorbeeld de enige reele derdemachts wortel. Dan wordt v bepaald door

uv = −2, m.a.w. de keuze van de derdemachts wortel uit −3−√41

2 voor dewaarde van v ligt dan vast. Is u reeel, dan is v dat ook.

2

1.1 Vergelijkingen van lage graad

5. Elk van de drie derdemachts wortels uit −3+√41

2 leidt tot een oplossing:

x1 = 1 +3

√−3 +

√41

2+

3

√−3−

√41

2

x2 = 1 + ζ33

√−3 +

√41

2+ ζ23

3

√−3−

√41

2

x3 = 1 + ζ233

√−3 +

√41

2+ ζ3

3

√−3−

√41

2.

1.1.2 Vierdegraads vergelijkingen

We lossen de vierdegraads vergelijking

x4 + 6x2 − 60x+ 36 = 0

op volgens het recept van Ferrari en ook op een manier die afkomstig is vanDescartes. Beide manieren leiden tot het oplossen van een kubische vergelijking.Deze vierdegraads vergelijking heeft geen term van graad 3. Is zo’n term er wel(x4+ax3+ · · · = 0 met a 6= 0), dan levert x = y− 1

4a een vierdegraads vergelijkingin y zonder een term van graad 3.

Het recept van Ferrari

1. Uitwerken van (x2 + y)2 voor willekeurige y geeft

(x2 + y)2 = x4 + 2yx2 + y2.

De vergelijking is hiermee te schrijven als

(x2 + y)2 = (2y − 6)x2 + 60x+ (y2 − 36).

Voor iedere y hebben we zo een vergelijking die equivalent is met de oor-spronkelijke.

2. We nemen y zo dat het rechterlid als veelterm in x een dubbel nulpunt heeft.Dat is het geval als de discriminant van deze kwadratische veelterm gelijk isaan 0:

602 − 4(2y − 6)(y2 − 36) = 0.

Dit is een kubische vergelijking in y. Uitwerken geeft

y3 − 3y2 − 36y − 342 = 0.

3


3. Met een y die aan deze kubische vergelijking voldoet wordt de vergelijking

(x2 + y)2 = (2y − 6)(x+

30

2y − 6

)2,

ofwel

x2 + y = ±√

2y − 6(x+

30

2y − 6

).

Dit zijn twee kwadratische vergelijkingen in x:

x2 +√

2y − 6 · x+ y +30√

2y − 6= 0

en

x2 −√

2y − 6 · x+ y − 30√2y − 6

= 0.

Deze twee kwadratische vergelijkingen geven de vier oplossingen van de oor-spronkelijke vergelijking.

4. De kubische vergelijking voor y kan worden opgelost op de manier van Tar-taglia:

y = 1 +3

√190 + 3

√3767 +

3

√190− 3

√3767.

Het recept van Descartes

1. We gaan de veelterm x4 + 6x2− 60x+ 36 schrijven als een product van tweekwadratische veeltermen. Ook hierbij is het van belang dat er geen termvan graad 3 is. We zoeken dus getallen p, q, r, s zodat

x4 + 6x2 − 60x+ 36 = (x2 + px+ q)(x2 + rx+ s),

ofwel

x4 + 6x2 − 60x+ 36 = x4 + (p+ r)x3 + (q + s+ pr)x2 + (ps+ qr)x+ qs.

2. Voor de vier onbekenden p, q, r, s hebben we vier vergelijkingen:

p+ r = 0

q + s+ pr = 6

ps+ qr = −60

qs = 36.

We hebben dus r = −p en voor de drie onbekenden p, q, s de drie vergelij-kingen

p2 + 6 = q + s

4

1.2 Veeltermen

−60

p= s− q

qs = 36.

Optellen en aftrekken van de eerste twee vergelijkingen geeft

p2 + 6− 60

p= 2s en p2 + 6 +

60

p= 2q.

Vermenigvuldigen:

(p2 + 6)2 − 602

p2= 4qs = 4 · 36.

Dit is een kubische vergelijking in p2. Voor t = p2 hebben we:

t3 + 12t2 − 108t− 602 = 0

Hebben we zo’n t, dan kunnen we p, q, r, s berekenen:

p =√t

q =p2

2+ 3 +

30

p= 3 +

t

2+

30√t

r = −p = −√t

s =p2

2+ 3− 30

p= 3 +

t

2− 30√

t

3. We hebben nu twee kwadratische vergelijkingen

x2 + px+ q = 0 en x2 + rx+ s = 0

met p, q, r, s als hierboven. Deze geven de vier oplossingen van de vergelij-king.

4. Het getal t wordt gevonden met de methode van Tartaglia:

t = −4 + 23

√190 + 3

√3767 + 2

3

√190− 3

√3767.

1.2 Veeltermen

1.2.1 Uitbreidingen en veeltermen

Is R een deelring van een commutatieve ring S, dan zeggen we ook wel dat Seen uitbreiding is van R. Evenzo bij deellichamen: is K een deellichaam van eenlichaam L, dan zien we L ook als een uitbreiding van K. We spreken dan kortwegvan de lichaamsuitbreiding L : K. Een veelgebruikte notatie is trouwens L/K.

5


1.1 Notatie. Laat S een commutatieve ring zijn, R een deelring van S en Veen deelverzameling van S. De kleinste deelring van S die zowel R als V omvatnoteren we als R[V ]. Voor V = {a1, . . . , an} schrijven we R[a1, . . . , an] in plaatsvan R[{a1, . . . , an}].

1.2 Notatie. Laat L een lichaam zijn, K een deellichaam van L en V eendeelverzameling van L. Het kleinste deellichaam van L dat zowel K als V omvatnoteren we als K(V ). Voor V = {a1, . . . , an} schrijven we K(a1, . . . , an) in plaatsvan K({a1, . . . , an}).

Bij deze definities gaan we ervan uit dat zo’n kleinste deelring of deellichaambestaat. Daar is een eenvoudig argument voor. We beperken ons hier tot dekleinste deelring; voor deellichamen gaat het op dezelfde manier. Beschouw alledeelringen T van S die zowel R als V omvatten. Een voorbeeld van zo’n deelringis S. De doorsnede van al deze deelringen T is ook weer zo’n deelring en deze isbevat in elke T afzonderlijk en daarmee dus de kleinste.

In het geval dat V uit slechts een element s bestaat schrijven we gewoonlijk R[s],respectievelijk K(s). Het is duidelijk dat alle elementen

r0 + r1s+ r2s2 + · · ·+ rns

n

met r0, . . . , rn ∈ R en n ∈ N tot R[s] behoren en omdat ze tezamen een deel-ring van S vormen, zijn dit precies de elementen van R[s]. Evenzo bestaat hetdeellichaam K(s) van L uit alle elementen

a0 + a1s+ a2s2 + · · ·+ ams

m

b0 + b1s+ b2s2 + · · ·+ bnsn

met a0, . . . , am, b0, . . . , bn ∈ K, m,n ∈ N en b0 + b1s+ b2s2 + · · ·+ bns

n 6= 0. Hetlichaam K(s) is het breukenlichaam van het integriteitsgebied K[s].

1.3 Voorbeeld. De ring Q[i] bestaat uit alle a+ bi met a, b ∈ Q. Hogere machtenvan i hoeven we niet op te schrijven, omdat we i2 = −1 kunnen gebruiken. Indit geval is Q[i] zelfs een lichaam: 1

a+bi = a−bia2+b2 (en a + bi is alleen maar 0 als

a = b = 0). Dus: Q[i] = Q(i).

Zij R een commutatieve ring. Dan is R uit te breiden tot een ring S zo dat er eenelement X in S is met S = R[X] en bovendien

n∑k=0

rkXk =

n∑k=0

r′kXk ⇐⇒ rk = r′k voor k = 0, . . . , n,

Elementen van S corresponderen dan met rijen (r0, r1, r2, . . . ) met een staart nul-len. De ring S is te construeren door op de verzameling van zulke rijen een somen een product te definieren en vervolgens de ringaxioma’s te verifieren. Deze

6

1.2 Veeltermen

ring R[X] hebben we dan verkregen met een abstracte constructie; er was geenuitbreiding van R gegeven. De elementen van R[X] heten veeltermen in de onbe-paalde X over R. De ring R[X] heet de veeltermring over R in een onbepaalde.Veeltermringen met meer onbepaalden krijg je door een rij van deze constructies:R[X1, . . . , Xn+1] = R[X1, . . . , Xn][Xn+1].

1.2.2 Veeltermen en homomorfismen

Heb je een homomorfisme van een veeltermring R[X] naar een ring S, dan is debeperking ervan tot R een homomorfisme van R naar S. De volgende stelling zegtdat ieder homomorfisme van R naar S voort te zetten is tot R[X] en wel door eenbeeldelement van X te geven. Ieder element van S kan zo’n beeldelement zijn.Dit is de belangrijkste eigenschap van veeltermringen; in feite karakteriseert hijdeze ringen.

1.4 Stelling. Laten R en S commutatieve ringen zijn, ϕ : R → S een ringho-momorfisme en s ∈ S. Dan is er een uniek ringhomomorfisme ϕ : R[X] → S,zodat {

ϕ(r) = ϕ(r) voor alle r ∈ R,

ϕ(X) = s.

Bewijs. Is er zo’n ringhomomorfisme ϕ, dan hebben we voor een f = r0+r1X+· · ·+ rnX

n ∈ R[X]:

ϕ(f) = ϕ(r0) + ϕ(r1)ϕ(X) + · · ·+ ϕ(rn)ϕ(X)n = ϕ(r0) + ϕ(r1)s+ · · ·+ ϕ(rn)sn.

Het is dus duidelijk dat er hoogstens een homomorfisme ϕ : R[X]→ S kan zijn zodat ϕ(r) = ϕ(r) voor alle r ∈ R en ϕ(X) = s. Definieren we ϕ door

ϕ(r0 + r1X + · · ·+ rnXn) = ϕ(r0) + ϕ(r1)s+ · · ·+ ϕ(rn)sn,

dan geldt in het bijzonder dat ϕ(r) = ϕ(r) voor r ∈ R en ϕ(X) = s. Dat de zogedefinieerde ϕ een ringhomomorfisme is, is een kwestie van uitschrijven.

1.5 Notatie. Zijn R, S, ϕ en s als hierboven, dan noteren we het beeld vanf =

∑rkX

k ∈ R[X] onder ϕ ook als fϕ(s). Dus:

fϕ(s) = ϕ(f) =∑

ϕ(rk)sk.

We beschouwen enkele speciale gevallen.

1. Zij R een deelring van een commutatieve ring S en zij s ∈ S. Dan is erdus een ringhomomorfisme ϕ : R[X] → S, f 7→ f(s). Het beeld van ditringhomomorfisme is juist R[s]. Het beeld van een f ∈ R[X] wordt hier dusverkregen door voor X het element s te substitueren. Het ringhomomorfismeϕ induceert een isomorfisme van R[X]/Ker(ϕ) naar R[s].

7


2. Zij ϕ : R → S een homomorfisme van commutatieve ringen. Dan is er eenuniek ringhomomorfisme R[X] → S[X] met r 7→ ϕ(r) voor alle r ∈ Ren X 7→ X, ofwel f(X) 7→ fϕ(X). Het beeld van een f ∈ R[X] is dusde veelterm fϕ ∈ S[X] die verkregen wordt door ϕ toe te passen op decoefficienten vanf : ∑

rkXk 7→

∑ϕ(rk)Xk.

Het algemene geval zoals beschreven in Stelling 1.4 kan gezien worden als eensamenstelling van deze twee bijzondere gevallen:

R[X] −→ S[X] −→ Sf 7−→ fϕ 7−→ fϕ(s).

1.6 Voorbeeld. Het unieke ringhomomorfisme Z → Zn induceert een ringhomo-morfisme Z[X] → Zn[X],

∑akX

k 7→∑akX

k. Het beeld van een f ∈ Z[X]wordt vaak genoteerd als f .

1.7 Voorbeeld. Zij α ∈ C. Dan is er een uniek ringhomomorfisme ϕ : Q[X]→ Czodat ϕ(X) = α, want er is slechts een ringhomomorfisme Q → C. Voor α = ihebben we f ∈ Ker(ϕ) ⇐⇒ f(i) = 0 ⇐⇒ X2 + 1 | f en dus induceert ϕ eenisomorfisme van Q[X]/(X2 + 1) naar Q[i](= Q(i)).

1.3 Veeltermen over een lichaam

De veeltermring K[X] over een lichaam is een Euclidische ring onder de norm

K[X] \ {0} → N, f 7→ deg(f).

In het bijzonder is K[X] een hoofdideaalring. Ieder element 6= 0 is op volgordeen vermenigvuldigen met eenheden na op unieke wijze een product van irredu-cibele elementen. Een irreducibel element van K[X] noemen we gewoonlijk eenirreducibele veelterm over K. De eenheden van K[X] zijn juist de veeltermen vangraad 0, ofwel de elementen van K∗. Door vermenigvuldigen met een eenheid iseen veelterm 6= 0 monisch te maken. Voor iedere f ∈ K[X] met f 6= 0 is er duseen op volgorde na unieke ontbinding

f = lc(f)π1π2 · · ·πr

met π1, π2, . . . , πr monische irreducibele veeltermen. Met lc(f) wordt bedoeld dekopcoefficient (= leading coefficient) van f .

1.8 Definitie. Zij K een lichaam en zij f ∈ K[X]. Een a ∈ K heet een nulpuntvan f als f(a) = 0.

8

1.4 Lichaamsuitbreidingen

1.9 Propositie. Zij K een lichaam, a ∈ K en f ∈ K[X]. Dan

X − a | f ⇐⇒ a is een nulpunt van f .

Bewijs. Delen met rest geeft:

f = (X − a)g + r

met g ∈ K[X] en r ∈ K. Omdat K[X]→ K, f 7→ f(a) een ringhomomorfisme is,volgt hieruit:

f(a) = (a− a)g(a) + r.

We hebben dus f = (X − a)g + f(a). De propositie volgt nu eenvoudig.

1.10 Definitie. Zij K een lichaam, f ∈ K[X] en m ∈ N∗. Een a ∈ K heet eenm-voudig nulpunt van f als (X − a)m | f en (X − a)m+1 - f in K[X]. Een 1-voudig nulpunt noemen we een enkelvoudig nulpunt. Een meervoudig nulpunt iseen m-voudig nulpunt met m > 1.

1.11 Propositie. Zij f een veelterm van graad n over een lichaam K. Dan heeftf hoogstens n nulpunten in K.

Bewijs. Laat m het aantal nulpunten zijn van f in K. Dit is ook het aantalmonische delers van graad 1 van f . Dus m ≤ n.

1.12 Definitie. Zij f een veelterm over een lichaam K met deg(f) ≥ 1. We zeggendat f splijt over K als iedere irreducibele deler van f van graad 1 is.

In de volgende paragraaf tonen we aan dat er bij iedere niet-constante veeltermover een lichaam er een uitbreiding van dat lichaam bestaat waarover de veeltermsplijt.


1.4.1 Algebraısch en transcendent

1.13 Definitie. Zij L : K een lichaamsuitbreiding en zij α ∈ L. Dan heet αalgebraısch over K als er een f ∈ K[X] is met f 6= 0 en f(α) = 0. Bestaat zo’n fniet, dan heet α transcendent over K. In geval K = Q spreekt men kortweg vanalgebraısch en transcendent zonder daarbij dus het grondlichaam Q te vermelden.

1.14 Voorbeelden.

a)√

5 is algebraısch: neem f = X2 − 5.

b) ζn ∈ C is algebraısch: neem f = Xn − 1.

9


c) Iedere a ∈ K is algebraısch over K: neem f = X − a.

d) Een n-de eenheidswortel in een lichaam K is algebraısch over het priemli-chaam van K: neem f = Xn − 1. (Het priemlichaam van K is het kleinstedeellichaam van K.)

e) De getallen π en e zijn transcendent.

f)√π is algebraısch over Q(π): neem f = X2 − π.

Is L : K een lichaamsuitbreiding, dan is het lichaam L een K-vectorruimte: descalaire vermenigvuldiging K × L → L is de beperking van de vermenigvuldi-ging L × L → L van L. Dat het een vectorruimte is volgt rechtstreeks uit deringaxioma’s.

1.15 Definitie. Zij L : K een lichaamsuitbreiding. Is L als K-vectorruimteeindig-dimensionaal, dan zegt men dat L : K eindig is. De dimensie van deK-vectorruimte L noemt men de graad van L : K. Deze wordt genoteerd als[L : K]. Is L als K-vectorruimte van oneindige dimensie dan noemt men L : Koneindig.

1.16 Definitie. Een lichaamsuitbreiding L : K heet algebraısch als iedere α ∈ Lalgebraısch is over K. Een niet-algebraısche uitbreiding noemt men transcendent.

1.17 Voorbeelden.

a) C : R is eindig; 1, i is een basis, dus [C : R] = 2. Ook is C : R algebraısch:een α ∈ C is nulpunt van X2 − (α+ α)X + αα ∈ R[X].

b) C : Q is transcendent, want π is transcendent.

c) Is K een eindig lichaam van karakteristiek p, dan is Fp het priemlichaamvan K en de uitbreiding K : Fp is natuurlijk eindig.

Is L : K een lichaamsuitbreiding en α ∈ L, dan beschrijft het homomorfisme

ϕ : K[X]→ L, f 7→ f(α)

het algebraısch of transcendent zijn van α over K. Er zijn twee mogelijkheden:

1. Het homomorfisme ϕ is injectief : alleen voor f = 0 geldt dat f(α) = 0. Indit geval is α transcendent over K. Het homomorfisme ϕ induceert dan eenisomorfisme van K[X] naar K[α] en daarmee ook een isomorfisme K(X)

∼→K(α) tussen de breukenlichamen.

2. Het homomorfisme ϕ is niet injectief : er is een g 6= 0 met g(α) = 0. Indit geval is α algebraısch over K. De kern van ϕ is een ideaal (f) vande hoofdideaalring K[X] met f monisch. Het homomorfisme induceert eenisomorfisme K[X]/(f)

∼→ K[α], g + (f) 7→ g(α). Omdat K[α] een deelring

10


is van een lichaam, heeft hij geen nuldelers en is (f) dus een priemideaal6= (0). Omdat K[X] een hoofdideaalring is, is (f) een maximaal ideaal enis f een over K irreducibele veelterm. Omdat K[α] een lichaam is, hebbenwe in dit geval K(α) = K[α] en dus een isomorfisme

K[X]/(f)∼→ K(α).

1.18 Definitie. Zij L : K een lichaamsuitbreiding en zij α ∈ L algebraısch overK. Dan heet de unieke monische veelterm f ∈ K[X] met Ker(ϕ) = (f) deminimumveelterm van α over K. Het is de unieke monische irreducibele veeltermwaar α een nulpunt van is.

Graden van lichaamsuitbreidingen houden verband met graden van veeltermen.

1.19 Propositie. Zij L : K een lichaamsuitbreiding en zij α ∈ L algebraısch overK met minimumveelterm f ∈ K[X]. Dan [K(α) : K] = deg(f).

Bewijs. Het isomorfisme K[X]/(f)∼→ K(α), g+(f) 7→ g(α) is een isomorfisme

van K-vectorruimten. Men gaat eenvoudig na dat de elementen Xj + (f) metj < deg(f) een K-basis van K[X]/(f) vormen.

1.20 Propositie. Eindige lichaamsuitbreidingen zijn algebraısch.

Bewijs. Laat L : K een lichaamsuitbreiding zijn van graad n en zij α ∈ L. Danis het stelsel 1, α, α2, . . . , αn in L afhankelijk over K, want het is van lengte n+ 1.Deze afhankelijkheid levert een veelterm f ∈ K[X] met f 6= 0 en f(α) = 0.

1.4.2 Adjunctie en splijtlichamen

Zij K een lichaam en zij gegeven een algebraısche uitbreiding van het typeK(α) : K. We zagen dat, als f de minimumveelterm is van α over K, we eenisomorfisme

K[X]/(f)∼→ K(α), X + (f) 7→ α

hebben.

Zijn alleen K en de over K irreducibele monische veelterm f gegeven, dan kunnennog wel het lichaam K[T ]/(f) beschouwen. Voor de duidelijkheid hebben we hiereen nieuwe onbepaalde T genomen; dus nu f ∈ K[T ]. Het lichaam K kunnen weinbedden in K[T ]/(f) door

a 7−→ a+ (f).

Het beeld is een deellichaam van K[T ]/(f) isomorf met K. We identificeren ditbeeld met K, en vatten K[T ]/(f) dus op als een uitbreiding van K. De veeltermf(X) ∈ K[X] heeft T + (f) als nulpunt:

f(T + (f)) = f(T ) + (f) = (f).

11


Geven we T+(f) met α aan, dan hebben we K[T ]/(f) = K(α) en is α een nulpuntvan f(X). We hebben dus aangetoond:

1.21 Stelling. Zij f een monische irreducibele veelterm over een lichaam K. Danis er een lichaamsuitbreiding K(α) : K zo dat f de minimumveelterm is van αover K.

In de situatie van deze stelling spreken we van de adjunctie van een nulpunt vanf aan het lichaam K. Een belangrijk gevolg van Stelling 1.21 is:

1.22 Stelling. Zij K een lichaam en zij f een veelterm over K van graad n ≥ 1.Dan is er een lichaamsuitbreiding K(α1, . . . , αn) : K zo dat

f = lc(f)(X − α1) · · · (X − αn).

Bewijs. Met inductie naar n = deg(f) (bij een willekeurig grondlichaam). Voorn = 1 is het duidelijk.

Stel het geldt voor veeltermen van graad n. Laat f ∈ K[X] van graadn + 1 zijn. Zij g een monische irreducibele deler van f . Dan is er volgensStelling 1.21 een lichaam K(α) met g(α) = 0. Dan ook f(α) = 0. Over K(α)geldt f(X) = (X − α)h(X) met h ∈ K(α)[X] en deg(h) = deg(f) − 1 =n, dus is er een lichaamsuitbreiding K(α, α1, . . . , αn) : K(α) met h(X) =lc(h)(X − α1) · · · (X − αn), en dus ook een uitbreiding K(α, α1, . . . , αn) : Kmet f(X) = lc(f)(X − α)(X − α1) · · · (X − αn).

1.23 Definitie. Met de notatie van Stelling 1.22: het lichaam K(α1, . . . , αn) heeteen splijtlichaam van f over K.

Abstracter geformuleerd: is L : K een lichaamsuitbreiding zo dat f ∈ K[X] splijtover L en f niet splijt over tussenlichamen L′ van L : K met L′ 6= L, dan heetL een splijtlichaam van f over K. Merk op dat we spreken van een splijtlichaamen niet van het splijtlichaam. In hoofdstuk 4 zullen we zien dat splijtlichamen opisomorfie na uniek zijn, zie Stelling 4.9.

1.24 Voorbeeld. De veelterm X4 − 2 ∈ Q[X] heeft vier nulpunten in C. Zijα = 4

√2. Dan zijn deze vier nulpunten α, iα, −α en −iα. Dus X4 − 2 =

(X − α)(X − iα)(X + α)(X + iα) en is er binnen C een uniek splijtlichaam vanX4 − 2 over Q, namelijk Q(α, iα,−α,−iα) = Q(α, i).

1.25 Voorbeeld. Zij m ∈ N∗. De veelterm Xm − 1 splijt over C:

Xm − 1 = (X − 1)(X − ζm)(X − ζ2m) · · · (X − ζm−1m ).

Een splijtlichaam van Xm − 1 is het deellichaam Q(1, ζm, . . . , ζm−1m ) = Q(ζm).

12


Is L : K een uitbreiding zo dat een f ∈ K[X] splijt over L, dan is er een uniektussenlichaam van L : K dat een splijtlichaam is van f over K, namelijk hetlichaam K(α1, . . . , αn), waarbij α1, . . . αn de nulpunten zijn van f in L.

Is K een deellichaam van C, dan heeft f binnen C een uniek splijtlichaam overK. Dat volgt uit de Hoofdstelling van de Algebra: iedere veelterm over C vangraad ≥ 1 splijt over C. Met het splijtlichaam bedoelen we dan vaak dit uniekedeellichaam van C. In hoofdstuk 8 bewijzen we de Hoofdstelling van de Algebramet Galoistheorie.

1.26 Definitie. Zij m ∈ N∗. Het lichaam Q(ζm) heet het m-de cyclotomischelichaam.

Het m-de cyclotomische lichaam is dus het splijtlichaam van Xm − 1 over Q.Dat wil nog niet zeggen dat we de graad van deze uitbreiding kennen. Zowelhet eerste als het tweede cyclotomische lichaam is het lichaam Q. Het derde isvan graad 2 over Q: er geldt Q(ζ3) = Q(

√−3). Dit lichaam is ook het zesde

cyclotomische lichaam. Er is er nog een van graad 2, namelijk Q(i). De anderecyclotomische lichamen zijn van hogere graad. We komen daar nog uitvoerig opterug in hoofdstuk 6.

De coefficienten van de kubische vergelijking van deelparagraaf 1.1.1 zijn elemen-ten van het lichaam Q. In het volgende hoofdstuk zullen we zien dat de kubischeveelterm f(X) = X3 − 3X2 + 9X − 4 irreducibel over Q is. Adjunctie van eennulpunt levert dus een uitbreiding van graad 3 van Q. Over R kan de veeltermniet irreducibel zijn, want een veelterm van graad 3 over R heeft een nulpunt inR. Er is een reeel nulpunt, de andere twee zijn elkaars complex geconjugeerde.

1.4.3 Oplosbaarheid

1.27 Definitie. Zij n ∈ N∗. Een lichaamsuitbreiding L : K heet een n-de-machtsworteluitbreiding als er een α ∈ L is zodat

a) L = K(α)

b) αn ∈ K.

Is bovendien de veelterm Xn−αn ∈ K[X] irreducibel over K, dan heet L : K eenirreducibele worteluitbreiding.

1.28 Definitie. Zij f een niet-constante veelterm over een lichaam K. De veel-term f , of de vergelijking f(x) = 0, heet oplosbaar over K als er een keten vanworteluitbreidingen Lj : Lj−1 (j = 1, . . . , r) is zodat

a) L0 = K,

b) f splijt over Lr.

13


Uit de recepten voor het oplossen van kwadratische, kubische en vierdegraadsvergelijkingen volgt:

• Kwadratische vergelijkingen over een lichaam van karakteristiek 6= 2 zijnoplosbaar.

• Kubische en vierdegraads vergelijkingen over een lichaam van karakteristiek6= 2, 3 zijn oplosbaar.

Abel bewees dat algemene veeltermen van graad 5 of hoger niet oplosbaar zijn.Dat wil dus zeggen dat er geen algemene formule is vergelijkbaar met de abc-formule of de formule van Cardano: een formule opgebouwd uit de coeffienten,de elementen van het grondlichaam, optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delenen worteltrekken. We bewijzen dit in hoofdstuk 8, zie Gevolg 8.32. Dat er geenalgemene formule is wil niet zeggen dat alle vergelijkingen van graad 5 of hogeronoplosbaar zijn. Een flauw voorbeeld is x5 = 0; zie ook opgave 7 voor een iets in-teressanter voorbeeld. De theorie van Galois maakt duidelijk welke vergelijkingenoplosbaar zijn.

1.5 Diagrammen

L

K

Vaak zullen we meerdere lichaamsuitbreidingen tegelijk beschou-wen. Het is dan handig er een diagram van te maken. Een li-chaamsuitbreiding L : K geven we dan aan met het diagram hier-naast.

L

K

n

Is L : K eindig, zeg [L : K] = n, dan kunnen we dat aangevendoor er een n bij te zetten.

L

K

f

Is L een splijtlichaam van een veelterm f over K, dan kunnen wedat aangeven door er een omcirkelde f bij te zetten.

In deelparagraaf 1.1.1 berekenden we de nulpunten van de veelterm f(X) =X3 − 3X2 + 9X − 4 ∈ Q[X]. Die nulpunten zijn te beschrijven met herhaaldworteltrekken hetgeen een keten van lichaamsuitbreidingen levert met het splijtli-chaam L van f over Q binnen het grootste lichaam van deze keten. Ook met hetrekenwerk in deelparagraaf 1.1.2 vinden we een keten van worteluitbreidingen, in

14

1.5 Diagrammen

dit geval voor g(X) = X4 + 6X2 − 60X + 36. De gevonden keten is overigensniet de kortste, in Voorbeeld 8.34 kijken we nog een keer naar deze vergelijking.Laat M het splijtlichaam van g zijn over Q. We hebben nu diagrammen vanworteluitbreidingen (merk op dat Q(ζ3) = Q(

√−3)).

Q

Q(√−3)

Q(√−3,√

41)

Q(√−3, 3

√−3+

√41

2

)

L

f

Q

Q(√−3)

Q(√−3,√

3767)

Q(√−3,

3√

190 + 3√

3767)

Q(√−3,√t)

Q(√−3,

√−12− t− 120√

t

)Q(√−3,

√−12− t− 120√

t,√−12− t+ 120√

t

)

M

g

t = −4 + 23√

190 + 3√

3767 + 23√

190− 3√

3767

15


Opgaven

1. Toon aan dat Q(ζ6) = Q(ζ3) = Q(√−3) en ook dat Q(ζ8) = Q(

√2, i).

2. Zij K een lichaam van karakteristiek p 6= 0.

(i) Toon aan dat (f + g)p = fp + gp voor alle f, g ∈ K[X].

(ii) Toon aan dat (f + g)pn

= fpn

+ gpn

voor alle f, g ∈ K[X] en n ∈ N.

3. De veelterm X3 − 7X − 6 heeft drie nulpunten: −2, −1 en 3. Los de vergelijkingx3 − 7x− 6 = 0 op met de methode van Tartaglia.

4. De methode van Tartaglia voor het oplossen van een vergelijking werkt over li-chamen van karakteristiek 6= 2, 3. Wat gaat er mis in karakteristiek 2? En inkarakteristiek 3?

5. Toon aan dat Q( 4√

2, i) een splijtlichaam is over Q van elk van de volgende veel-termen

(X4 − 2)(X8 − 1), X4 + 2, X8 − 4.

6. Laat T een onbepaalde zijn en K een lichaam.

(i) Toon aan dat de veelterm X3 − T ∈ K(T )[X] irreducibel is over K(T ).

Laat L een lichaam zijn verkregen door adjunctie aan K(T ) van een nulpunt s vanX3 − T .

(ii) Laat zien dat L = K(s).

(iii) Bewijs dat L isomorf is met K(T ).

7. Laat zien dat de vergelijking x5 − 2 = 0 oplosbaar is over Q volgens de in dithoofdstuk gegeven definitie van oplosbaarheid.

8. (i) Zij K een deellichaam van C met [K : Q] = 2. Toon aan dat er een d ∈ Zis met d 6= 0, 1 en kwadraatvrij (= geen veelvoud van een kwadraat 6= 1) enK = Q(

√d).

(ii) Laten d1, d2 ∈ Z kwadraatvrij en 6= 0, 1 zijn zodat Q(√d1) = Q(

√d2). Bewijs

dat d1 = d2.

16

3 Graden van lichaamsuitbreidingen

In de tweede paragraaf wordt aangetoond dat de graad van lichaamsuitbreidingenmultiplicatief is: hebben we eindige uitbreidingen K2 : K1 en K1 : K0, dan is ookK2 : K0 eindig en de graad is het product van de graden van K2 : K1 en K1 : K0.Met deze eigenschap kan het berekenen van de graad van een eindige lichaamsuit-breiding worden teruggebracht tot het berekenen van de graad van uitbreidingenvan het type K(α) : K, en dus van de graad van minimumveeltermen van elemen-ten. Een veelterm waar een element een nulpunt van is, is vaak snel gevonden.Dat een veelterm irreducibel is, is niet altijd makkelijk in te zien. In de eersteparagraaf worden criteria behandeld voor irreducibiliteit van veeltermen over Q.De multiplicativiteit van de graad heeft gevolgen voor de construeerbaarheid vangetallen. Dat is het onderwerp van de laatste paragraaf.

3.1 Veeltermen over Q

Het ontbinden van een veelterm in Q[X] is makkelijk terug te voeren tot hetontbinden over Q van een veelterm in Z[X]. Het Lemma van Gauß zegt dat bijzo’n ontbinding er een equivalente ontbinding is waarbij de coefficienten van defactoren elementen van Z zijn.

3.1 Definitie. Zij f = anXn + an−1 + · · · + a1X + a0 ∈ Z[X] met f 6= 0. De

inhoud I(f) van f is de grootste gemene deler van de coefficienten van f :

I(f) = ggd(an, an−1, . . . , a1, a0).

(Dus I(f) ∈ N∗.)

Eenvoudige eigenschappen van de inhoud:

3.2 Lemma. Voor f ∈ Z[X] en p een priemgetal noteren we met fp de veeltermin Fp[X] met coefficienten gelijk aan de coefficienten van f modulo p. Latenf, g ∈ Z[X] met f 6= 0 en g 6= 0. Dan:

(i) I(f) = 1 ⇐⇒ fp 6= 0 voor alle priemgetallen p.

(ii) Als I(f) = I(g) = 1, dan I(fg) = 1.

(iii) I(fg) = I(f) I(g).

31


Bewijs.

(i) Dit volgt eenvoudig uit fp = 0 ⇐⇒ p | I(f).

(ii) Stel I(f) = I(g) = 1. Uit (i) volgt dat voor alle priemgetallen p geldt fp 6= 0en gp 6= 0. Omdat de ringen Fp[X] integriteitsgebieden zijn, geldt dan ookfpgp 6= 0 voor alle priemgetallen p, ofwel I(fg) = 1.

(iii) Schrijf f = I(f)f0 en g = I(g)g0. Dan I(f0) = I(g0) = 1 en dus met (ii)I(f0g0) = 1. We hebben nu I(fg) = I(f) I(g) I(f0g0) = I(f) I(g).

3.3 Stelling (Lemma van Gauß). Zij f ∈ Z[X] en stel f = gh met g, h ∈ Q[X].Dan is er een r ∈ Q∗ zodat rg, 1rh ∈ Z[X].

Bewijs. Neem m,n ∈ N∗ zo dat mg, nh ∈ Z[X]. Uit Lemma 3.2(iii) volgt

mg

I(mg)· nh

I(nh)=

mngh

I(mngh)=

mnf

mn I(f)=

f

I(f).

Neem bijvoorbeeld r = mI(mg) .

3.4 Gevolg. Zij f ∈ Z[X] met f monisch. Stel f = gh met g, h ∈ Q[X] en g enh monisch. Dan g, h ∈ Z[X].

Bewijs. Er is een r ∈ Q∗ zo dat rg, 1rh ∈ Z[X]. Omdat g en h monisch zijngeldt i.h.b. r, 1r ∈ Z, ofwel r = ±1. Dus g, h ∈ Z[X].

3.5 Gevolg. Zij f ∈ Z[X] met f monisch. Stel a ∈ Q is een nulpunt van f . Dana ∈ Z.

Bewijs. Pas Gevolg 3.4 toe op f = (X − a)g.

3.6 Voorbeeld. De veelterm X3 − 3X + 1 is irreducibel over Q, want hij is vangraad 3 en heeft geen geheel nulpunt: is n ∈ Z een nulpunt, dan n3 − 3n+ 1 = 0en dus n | 1, etc.

3.7 Stelling. Zij f ∈ Z[X] en zij p een priemgetal. Stel dat verder geldt:

a) p is geen deler van de coefficient van de hoogste macht van X in f ,

b) f is irreducibel over Fp.

Dan is f irreducibel over Q.

Bewijs. Stel f is reducibel over Q. Volgens het Lemma van Gauß zijn er dang, h ∈ Z[X] van lagere graad dan f zodat f = gh. In Fp[X] hebben we danf = gh. Uit (i) volgt deg(f) = deg(f), deg(g) = deg(g) en deg(h) = deg(h). Dusdeg(g),deg(h) < deg(f). Dit is in tegenspraak met b).

3.8 Voorbeeld. De veelterm X3− 3X + 1 is irreducibel over Q, want X3 +X + 1is irreducibel over F2.

32

3.1 Veeltermen over Q

We zullen een criterium afleiden voor het irreducibel zijn van een veelterm overQ, het Criterium van Eisenstein. Dit criterium zullen we nog vaak gebruiken.

3.9 Definitie. Zij f = anXn + an−1X

n−1 + · · · + a1X + a0 ∈ Z[X] en zij p eenpriemgetal. We noemen f een p-veelterm als

a) p - an,

b) p | ai voor i = 0, . . . , n− 1.

3.10 Lemma. Zij f = gh met g, h ∈ Z[X]. Als f een p-veelterm is, dan zijn ookg en h p-veeltermen.

Bewijs. In Fp[X] hebben we f = anXn als f een p-veelterm is met f = anX

n+· · · + a0. Er geldt f = gh. Dus g = bkX

k als g = bkXk + · · · + b0. Dus is ook g

een p-veelterm.

3.11 Stelling (Criterium van Eisenstein).Zij f = anX

n + an−1Xn−1 + · · · + a1X + a0 ∈ Z[X] met n ≥ 1. Laat er een

priemgetal p zijn zo dat

a) p | ai voor i = 0, . . . , n− 1,

b) p - an,

c) p2 - a0.

Dan is f irreducibel over Q.

Bewijs. Stel f is reducibel over Q. Dan f = gh met g, h ∈ Z[X], deg(g) ≥ 1 endeg(h) ≥ 1. Uit Lemma 3.10 volgt dat g en h evenals f p-veeltermen zijn. Dusa0 = g(0)h(0) en p | g(0), h(0), en dus p2 | a0. Tegenspraak met c).

3.12 Voorbeeld. Uit het Criterium van Eisenstein volgt dat voor iedere n ∈ N∗de veelterm Xn − 2 irreducibel is over Q.

Dit voorbeeld laat zien dat er in Q[X] irreducibele veeltermen zijn van iederegegeven graad n. In R[X] is dat bijvoorbeeld niet het geval: de graad van een overR irreducibele veelterm is 1 of 2.

We berekenen de minimumveelterm van ζp over Q voor priemgetallen p. Duidelijkis dat ζp een nulpunt is van Xp−1 en, omdat Xp−1 = (X−1)(Xp−1+· · ·+X+1)en ζp geen nulpunt is van X−1, is ζp een nulpunt van Xp−1+· · ·+X+1. We zullenaantonen dat deze veelterm irreducibel is over Q. Het Criterium van Eisensteinis duidelijk niet direct van toepassing, maar daar is wel wat op te vinden.

3.13 Lemma. Zij K een lichaam, f ∈ K[X] van graad ≥ 1 en a ∈ K. Dan geldt:

f(X) is irreducibel over K ⇐⇒ f(X + a) is irreducibel over K.

33


Bewijs. De afbeelding g(X) 7→ g(X+a) is een homomorfisme van de ring K[X]naar zichzelf met g(X) 7→ g(X − a) als inverse. Het is dus een isomorfisme. Ont-bindingen van f(X) corresponderen via dit automorfisme dus met ontbindingenvan f(X + a).

3.14 Voorbeeld. Zij f(X) = X3 − 3X2 + 9X − 4 ∈ Z[X]. In paragraaf 1.1.1losten we de kubische vergelijking f(x) = 0 op. Met het Criterium van Eisensteintoegepast op f(X + 1) = X3 + 6X + 3 leiden we af dat f irreducibel is over Q.

3.15 Propositie. Zij p een priemgetal. Dan is Xp−1 + · · ·+X + 1 de minimum-veelterm van ζp over Q. En dus [Q(ζp) : Q] = p− 1.

Bewijs. We passen Lemma 3.13 toe: in plaats van f(X) = Xp−1 + · · ·+X + 1beschouwen we g(X) = f(X+1). UitXp−1 = (X−1)f(X) volgt dat (X+1)p−1 =X · g(X). Over Fp hebben we Xp = X · g(X) en dus is g(X) een p-veelterm. Deconstante term van g(X) is g(0) = f(1) = p. Uit het Criterium van Eisensteinvolgt dat g(X) irreducibel is over Q. Dus is ook f(X) irreducibel.

Met dezelfde redenering kunnen we algemener de minimumveelterm over Q bepa-len van een eenheidswortel van orde een priemmacht.

3.16 Propositie. Zij p een priemgetal en r ∈ N∗. Dan is

X(p−1)pr−1

+X(p−2)pr−1

+ · · ·+Xpr−1

+ 1

de minimumveelterm van ζpr over Q. En dus [Q(ζpr : Q] = pr−1(p− 1).

Bewijs. Zij f(X) = Xp−1 +Xp−2 + · · ·+X + 1. Er geldt

Xpr − 1 = (Xpr−1

− 1)f(Xpr−1

).

Hieruit volgt dat ζpr een nulpunt is van f(Xpr−1

). We tonen met het Cri-

terium van Eisenstein aan dat h(X) = f((X + 1)pr−1

) irreducibel over Q is.

Uit (X + 1)pr − 1 = ((X + 1)p

r−1 − 1)h(X) volgt dat in Fp[X] geldt: Xpr =

Xpr−1

h(X), ofwel h(X) = Xpr−1(p−1). Dus is h(X) een p-veelterm en h(0) =f(0) = p.

Later, in hoofdstuk 6, bepalen we de graad van elk cyclotomisch lichaam. Het zalblijken dat [Q(ζm) : Q] = ϕ(m), de Eulerindicator van m.

3.2 Multiplicativiteit van de graad

3.17 Stelling. Laten K2 : K1 en K1 : K0 eindige lichaamsuitbreidingen zijn metα1, . . . , αn een K1-basis van K2 en β1, . . . , βm een K0-basis van K1. Dan is

34

3.2 Multiplicativiteit van de graad

K2 : K0 ook eindig en heeft een K0-basis bestaande uit de mn producten αiβj(1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m). I.h.b. geldt:

[K2 : K0] = [K2 : K1][K1 : K0].

Bewijs. We bewijzen volledigheid en onafhankelijkheid van het stelsel der αiβj .

Volledigheid. Zij α ∈ K2. Dan zijn er γ1, . . . , γn ∈ K1 zodat

α = γ1α1 + · · ·+ γnαn,

want α1, . . . , αn is een K1-basis van K2. Omdat β1, . . . , βm een K0-basis isvan K1 zijn er aij ∈ K0 zodat

γi = ai1β1 + · · ·+ aimβm (i = 1, . . . , n).

Maar dan

α =

n∑i=1

γiαi =

n∑i=1

( m∑j=1

aijβj

)αi =

n∑i=1

m∑j=1

aijαiβj .

Onafhankelijkheid. Stel dat

n∑i=1

m∑j=1

aijαiβj = 0 voor aij ∈ K0.

Dan te bewijzen dat aij = 0 voor alle i en j. Er geldt:

0 =

n∑i=1

m∑j=1

aijαiβj =

n∑i=1

( m∑j=1

aijβj

)αi,

en dus∑nj=1 aijβj = 0 voor i = 1, . . . , n, want

∑nj=1 aijβj ∈ K1 en α1, . . . αn

is onafhankelijk over K1, maar dan ook aij = 0, want β1, . . . , βm is onaf-hankelijk over K0.

3.18 Voorbeeld. We berekenen een Q-basis van Q(i,√

2). We beschouwen deuitbreidingen Q(i,

√2) : Q(

√2) en Q(

√2) : Q. Een Q-basis van Q(

√2) : Q is 1,

√2.

Merk op dat Q(i,√

2) = Q(√

2)(i) en dat i een nulpunt is van X2 +1 ∈ Q(√

2)[X].De veelterm X2+1 is irreducibel over Q(

√2), want anders zou X2+1 een nulpunt

in Q(√

2) en dus in R hebben. Dus is 1, i een Q(√

2)-basis van Q(i,√

2). Een Q-basis van Q(i,

√2) is dus 1,

√2, i, i

√2. Dus:

35


Q

Q(√

2)

Q(i,√

2)

Q

Q(√

2)

Q(i,√

2)

Q(i) Q(√−2)

2

2

2

2

2 2

2 2

(In het laatste diagram staan trouwens alle deellichamen van Q(i,√

2). Dat zullenwe later gemakkelijk inzien.)

Q

Q(√

5) Q( 3√

2)

Q(√

5, 3√

2)

2

≤ 3

3

≤ 2

3.19 Voorbeeld. [Q(√

5, 3√

2) : Q(√

5)] ≤ 3,want 3

√2 is een nulpunt vanX3−2 ∈ Q(

√5)[X].

Dus

[Q(√

5,3√

2) : Q] =

[Q(√

5,3√

2) : Q(√

5)][Q(√

5) : Q] ≤ 3 · 2 = 6

en 2 is een deler van [Q(√

5, 3√

2) : Q]. Evenzois 3 (= [Q( 3

√2) : Q]) een deler, dus is 6 een

deler van [Q(√

5, 3√

2) : Q]. De graad is duseen 6-voud ≤ 6, ofwel hij is 6.

Q

Q(ϑ)

Q(ζp)

p−12

2

3.20 Voorbeeld. Zij p een oneven priemgetal. We latenzien dat [Q(ζp + ζ−1p ) : Q] = p−1

2 . Voor ϑ = ζp + ζ−1p geldtϑζp = ζ2p + 1. Dus is ζp een nulpunt van X2 − ϑX + 1 ∈Q(ϑ)[X]. Dus [Q(ζp) : Q(ϑ)] ≤ 2. Omdat ζp 6= R hebben wedat ζp 6= Q(ϑ), want Q(ϑ) ⊆ R. Uit Propositie 3.14 en demultiplicativiteit van de graad volgt dat [Q(ϑ) : Q] = p−1

2 .

Met behulp van de multiplicativiteit van de graad is eenvou-dig in te zien dat de som en het product van algebraıscheelementen ook algebraısch is. We hebben:

3.21 Stelling. Zij L : K een lichaamsuitbreiding. Dan vormen de elementen vanL die algebraısch zijn over K een deellichaam van L.

Bewijs. De elementen van K zijn algebraısch over K. Is α ∈ L∗ algebraıschover K, dan is K(α) : K eindig. Dus is ook K( 1

α ) : K eindig, want K( 1α ) = K(α).

Laten α, β ∈ L algebraısch zijn over K. Te bewijzen dat de elementen α + β

36

3.3 De karakteristieke veelterm

en αβ dat ook zijn. Omdat α algebraısch is over K geldt dat K(α) : K eindigis. Omdat β algebraısch is over K, is β ook algebraısch over K(α). Dus isK(α, β) : K(α) eindig. Uit Stelling 3.17 volgt dat K(α, β) : K eindig is. Omdatα+ β, αβ ∈ K(α, β) zijn α+ β en αβ algebraısch over K.

3.22 Gevolg. De algebraısche getallen vormen een deellichaam van C. (Dit li-chaam noteren we als Q.)

3.3 De karakteristieke veelterm

Is een K-basis α1, . . . , αn van een uitbreiding L van K gegeven en kunnen we den + 1 machten 1, α, α2, . . . , αn van een α ∈ L op deze basis uitschrijven, dan isdoor vegen een niet-triviale combinatie van deze machten te vinden. We hebbendan een niet-triviale veelterm in K[X] waar α een nulpunt van is. We kunnen ookde K-lineaire transformatie ξ 7→ αξ van L gebruiken:

3.23 Definitie. Zij L : K een eindige lichaamsuitbreiding. De karakteristiekeveelterm ∆L:K

α van α over K is de karakteristieke veelterm van de K-lineairetransformatie µα : ξ 7→ αξ van L. Dus:

∆L:Kα (X) = det(XI − µα),

waarbij I de identieke transformatie van L is (ofwel I = µ1).

De karakteristieke veelterm van een lineaire transformatie is de karakteristiekeveelterm van de matrix van die transformatie t.o.v. een basis. Voor L = K(α) is1, α, . . . , αn−1 een basis als n = [K(α) : K]. Is f = Xn + a1X

n−1 + · · · + an deminimumveelterm van α over K, dan is

−an1 −an−1

. . ....

1 −a21 −a1

, (3.1)

met op de leeg gelaten plaatsen een 0, de matrix van µα t.o.v. deze basis.

3.24 Definitie. De matrix (3.1) heet de gezelmatrix van de veelterm f =Xn + a1X

n−1 + · · ·+ an (ook als de veelterm reducibel is). (Engels: compan-ion matrix).

We berekenen de karakteristieke veelterm van de gezelmatrix van een veeltermf = Xn + a1X

n−1 + · · ·+ an:

37


∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

X 0 . . . 0 an−1 X . . . 0 an−10 −1 . . . 0 an−2...

.... . .

......

0 0 . . . −1 X + a1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 X . . . Xn−2 Xn−1

0 1 . . . 0 0...

.... . .

......

0 0 . . . 1 00 0 . . . 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣·

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

X 0 . . . 0 an−1 X . . . 0 an−10 −1 . . . 0 an−2...

.... . .

......

0 0 . . . −1 X + a1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 0 . . . 0 f(X)−1 X . . . 0 an−10 −1 . . . 0 an−2...

.... . .

......

0 0 . . . −1 X + a1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= f(X).

Dus:

3.25 Propositie. Iedere veelterm is de karakteristieke veelterm van z’n gezelma-trix.

3.26 Propositie. Zij L : K een lichaamsuitbreiding van graad n. Laat f de mini-mumveelterm zijn van een α ∈ L over K en zij d = deg(f). Dan

∆L:Kα = f

nd .

Bewijs. Het stelsel 1, α, α2, . . . , αd−1 is een K-basis van K(α) over K. Neemeen K(α)-basis β1, . . . , βn/d van L. Dan is volgens het bewijs van Stelling 3.17

β1, αβ1, . . . , αd−1β1, β2, αβ2, . . . , α

d−1β2, . . . . . . . . . , βn/d, αβn/d, . . . , αd−1βn/d

een K-basis van L. De matrix van de lineaire transformatie µα t.o.v. deze basis isM

M. . .

M

,

waarbij M de gezelmatrix van f is. Dus

∆L:Kα =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣XI −M

XI −M. . .

XI −M

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = det(XI −M)nd = f

nd .

38

3.4 Toepassing op passer-en-liniaalconstructies

3.27 Voorbeeld. De uitbreiding Q( 3√

2) : Q is van graad 3. De minimumveeltermvan α = 3

√2 over Q is X3− 2. Zij β = 3−α+ 2α2. We bepalen de matrix van µβ

t.o.v. de basis 1, α, α2:

β = 3− α+ 2α2

βα = 3α− α2 + 2α3 = 4 + 3α− α2

βα2 = 4α3 + 3α2 − α3 = −2 + 4α+ 3α2.

De matrix is dus(

3 4 −2−1 3 42 −1 3

). De karakteristieke veelterm van β over Q is:∣∣∣∣∣∣

X − 3 −4 21 X − 3 −4−2 1 X − 3

∣∣∣∣∣∣ = X3 − 9X2 + 39X − 93.

Omdat β /∈ Q is β van graad 3 over Q en is X3 − 9X2 + 39X − 93 de minimum-veelterm van β over Q.

3.4 Toepassing op passer-en-liniaalconstructies

3.28 Stelling. Zij W ⊆ C met W = W , en zij α ∈ KW . Dan is α algebraıschover Q(W ) en is [Q(W )(α) : Q(W )] een macht van 2.

Bewijs. Laat α1, α2, . . . , αn een constructierij voor α uit W zijn. Beschouw delichaamsuitbreidingen Q(W )(α1, . . . , αj) : Q(W )(α1, . . . , αj−1), voor j = 1, . . . , n.In paragraaf 2.4 hebben we aangetoond dat

[Q(W )(α1, . . . , αj) : Q(W )(α1, . . . , αj−1)] ≤ 2.

Uit de multipliciteit van de graad volgt dat [Q(W )(α1, . . . , αn) : Q(W )] een machtvan 2 is en tevens dat [Q(W )(α) : Q(W )] een deler van deze macht van 2 is, wantα = αn. Dus is α algebraısch over Q(W ) en is [Q(W )(α) : Q(W )] een macht van2; zie het diagram op bladzijde 28.

3.29 Gevolg. De verdubbeling van de kubus is onmogelijk.

Bewijs. [Q( 3√

2) : Q] = 3 en dit is geen macht van 2.

3.30 Gevolg. De kwadratuur van de cirkel is onmogelijk.

Bewijs. π is transcendent.

3.31 Gevolg. Er is geen constructie voor de trisectie van een hoek.

Bewijs. Als een hoek met passer en liniaal in drie gelijke delen te verdelen was,dan zou ζ9 construeerbaar zijn uit {0, 1, ζ3}, en omdat ζ3 ∈ K, ook uit {0, 1}. Dusdan zou ζ9 ∈ K. Echter [Q(ζ9) : Q] = 6 en dit is geen macht van 2.

39


We kunnen nu de construeerbaarheid van regelmatige veelhoeken terugbrengentot het geval van regelmatige p-hoeken met p een priemgetal.

3.32 Lemma.

(i) Zijn m,n ∈ N∗. Dan is ζn construeerbaar uit {0, 1, ζmn}.

(ii) Zijn m,n ∈ N∗ met ggd(m,n) = 1. Dan is ζmn construeerbaar uit{0, 1, ζm, ζn}.

(iii) Zij n ∈ N∗. Er geldt: ζ2n is construeerbaar uit {0, 1, ζn}.

(iv) Zij p een oneven priemgetal. Dan ζpm /∈ K voor alle m ≥ 2.

Bewijs.

(i) De afstand van 1 tot ζmn m keer afpassen op de eenheidscirkel.

(ii) Er zijn x, y ∈ Z zo dat xm + yn = 1, ofwel 1mn = x

n + ym . Hieruit volgt

ζmn = ζymζxn. Door herhaald afpassen van de afstanden van 1 tot ζm resp.

ζn langs de eenheidscirkel is ζmn dus te construeren.

(iii) Gebruik de tweedeling van een hoek.

(iv) Volgens Propositie 3.16 hebben we [Q(ζpm) : Q] = pm−1(p−1) en dit is vooreen oneven priemgetal p geen macht van 2 als m ≥ 2.

3.33 Stelling. Zij n ∈ N∗. Dan:

ζn ∈ K ⇐⇒ n = 2sp1 . . . pr met s ∈ N en p1, . . . , pr verschillende

oneven priemgetallen met ζpj ∈ K voor j = 1, . . . , r.

Bewijs.

⇒: Dit volgt uit de onderdelen (i) en (iv) van Lemma 3.32.

⇐: Dit volgt uit de onderdelen (ii) en (iii) van Lemma 3.32.

Het probleem van de construeerbaarheid van regelmatige veelhoeken is hiermeeteruggebracht tot het geval van regelmatige p-hoeken, waarbij p een priemgetal is.

3.34 Definitie. Een priemgetal van de vorm 2n + 1 met n ∈ N heet een Fermat-priemgetal.

Als ζp ∈ K, dan is p− 1 een macht van 2, ofwel:

3.35 Propositie. Zij p een oneven priemgetal en zij ζp ∈ K. Dan is p een Fer-matpriemgetal.

40

Opgaven

Het omgekeerde van Propositie 3.35 is door Gauß bewezen. Het bewijs gevenwe in paragraaf 6.3. Dit omgekeerde is een positief resultaat: het spreekt uitdat bepaalde getallen construeerbaar zijn. Met Stelling 3.28 verkrijgt men alleennegatieve resultaten.

Opgaven

1. Onderzoek de irreducibiliteit van

X4 + 1 over R, resp. Q;X4 + 4X2 + 2 over Q;X7 + 49X2 − 105 over Q;X3 − 5 over F11;X4 + 4X2 + 1 over Q.

2. Beschouw de veelterm f(X) = X4 −X3 − 5X2 + 1.

(i) Toon aan dat f geen nulpunt in Q heeft.

(ii) Ontbind f over F2.

(iii) Toon aan dat f irreducibel is over Q.

3. Zij α ∈ C zo dat α3 = α+ 1. Toon aan dat [Q(α) : Q] = 3.

4. Zij n ∈ N∗ met n ≥ 3. Bewijs dat

[Q(ζn) : Q] = 2 · [Q(ζn + ζ−1n ) : Q].

5. (i) Bepaal de minimumveelterm van ζ5 + ζ−15 over Q.

(ii) Schrijf ζ5 met behulp van vierkantswortels (en optellen, vermenigvuldigen,aftrekken, delen, gehele getallen).

(iii) Construeer een regelmatige vijfhoek met passer en liniaal.

6. (i) Toon aan dat Q(√

2 +√

2) = Q(√

2−√

2).

(ii) Bepaal [Q(√

2 +√

2) : Q].

7. Bereken de minimumveelterm van√

2− 2 4√

2 over Q.

8. Zij p een priemgetal. Bereken [Q(ζp,p√

2) : Q].

9. Zij L : K een lichaamsuitbreiding en f ∈ K[X] de minimumveelterm van eenα ∈ L over K.

(i) Zij n ∈ N∗. Wat is de minimumveelterm van nα over K?

(ii) Zij a ∈ K. Wat is de minimumveelterm van α− a over K?

(iii) Als α 6= 0, wat is dan de minimumveelterm van 1α

over K?

41


10. Zij f een irreducibele veelterm van graad 3 over een lichaam K en zij L hetsplijtlichaam van f over K. Bewijs dat [L : K] = 6 of [L : K] = 3.

11. Zij f een veelterm van graad n over een lichaam K en zij L het splijtlichaam vanf over K. Bewijs dat [L : K] ≤ n! . Bewijs dat zelfs [L : K] | n! .

12. Bereken de graden van alle uitbreidingen die in het linker diagram op bladzijde 15voorkomen.

13. Bepaal de graad over Q van de splijtlichamen van de volgende veeltermen

X6 − 1, X8 − 1, X4 + 5X2 + 6, X6 − 8, X17 − 2.

14. Bewijs dat een hoek van ϑ radialen met passer en liniaal in drie gelijke delen teverdelen is dan en slechts dan als cos ϑ

3∈ KW , waarbij W = {0, 1, eϑi, e−ϑi}. Toon

verder aan dat

cosϑ

3∈ KW ⇐⇒ X3 − 3

4X − cosϑ

4reducibel over Q(cosϑ).

42

4 Splijtlichamen

We gaan nauwkeurig na hoe inbeddingen van een lichaam voortgezet kunnen wor-den tot een uitbreiding van het lichaam. In het bijzonder bekijken we voortzet-tingen van inbeddingen tot splijtlichamen en leiden zo af dat splijtlichamen vaneen veelterm over een gegeven lichaam op isomorfie na uniek zijn. Als toepassinggeven we de classificatie van eindige lichamen.

Voor ieder lichaam is er een uitbreiding waarover alle veeltermen splijten: dealgebraısche afsluiting van het lichaam. Ook de algebraısche afsluiting is uniek opisomorfie na. Voor de stellingen over algebraısche afsluitingen wordt een beroepgedaan op een variant van het keuzeaxioma; in dit geval—zoals gebruikelijk inde algebra—het Lemma van Zorn. Voor het geval van eindige lichamen is eenconstructieve aanpak natuurlijk ook mogelijk.

4.1 Voortzettingen van inbeddingen

In deze paragraaf bestuderen we inbeddingen van een lichaam L in een lichaamL′ waarvan de beperking tot een gegeven deellichaam K van L een al gegeveninbedding van K in L′ is.

4.1 Definitie. Gegeven zijn een lichaamsuitbreiding L : K, een lichaam L′ en eeninbedding σ : K → L′. Een inbedding τ : L → L′ heet een voortzetting van σ totL, als de beperking van τ tot K de inbedding σ is (d.w.z. τ(a) = σ(a) voor allea ∈ K; noteren we de beperking van τ tot K als τ |K , dan kunnen we dat dus zoschrijven: τ |K = σ.)

K

L L′

σ

τ

43

4 Splijtlichamen

4.2 Propositie. Laat gegeven zijn een lichaamsuitbreiding L : K, een lichaam L′,een inbedding σ : K → L′ en een α ∈ L, algebraısch over K met minimumveeltermf ∈ K[X]. Dan is door

τ 7→ τ(α)

een bijectie gedefinieerd van de verzameling der voortzettingen van σ tot K(α)naar de verzameling der nulpunten van de veelterm fσ in L′.

Bewijs. De propositie volgt uit de volgende drie uitspraken:

(i) Zij τ een voortzetting van σ tot K(α). Dan is τ(α) een nulpunt van fσ.

(ii) Laten τ1 en τ2 voortzettingen zijn van σ tot K(α) met τ1(α) = τ2(α). Dangeldt τ1 = τ2.

(iii) Zij β een nulpunt van fσ. Dan is er een voortzetting τ van σ tot K(α) metτ(α) = β.

K

K(α)

L L′

σ

τ

We bewijzen deze drie uitspraken.

(i) Uit f(α) = 0 volgt dat fτ (τ(α)) = 0, ofwel fσ(τ(α)) = 0.

(ii) Dit is duidelijk: een inbedding van K(α) is gegeven door de beelden van deelementen van K en het beeld van α.

(iii) Beschouw het homomorfisme

σ : K[X]→ L′, g 7→ gσ(β).

Het surjectieve homomorfisme π : K[X] → K(α), gedefinieerd door π(g) =g(α), heeft het ideaal (f) als kern. Omdat σ(f) = fσ(β) = 0, is er eenhomomorfisme τ : K(α)→ L met τπ = σ:

44


K(α)

K[X] L′σ

π τ

Dan τ(a) = τ(π(a)) = σ(a) = σ(a) voor alle a ∈ K en τ(α) = τ(π(X)) =σ(X) = β.

Deze propositie zegt in het bijzonder dat het aantal voortzettingen van σ totK(α) gelijk is aan het aantal nulpunten van fσ in het lichaam L′. Het aantalvoortzettingen is dus hoogstens gelijk aan de graad van fσ, ofwel de graad van f ,ofwel [K(α) : K].

4.3 Voorbeeld. We berekenen de inbeddingen van Q( 4√

2) in C. Merk op datiedere inbedding een voortzetting is van de unieke inbedding van Q in C. Weschrijven α = 4

√2. De minimumveelterm van α over Q is X4 − 2. Deze heeft vier

nulpunten in C, nl. α, iα, −α en −iα. Er zijn dus vier inbeddingen in C:

Q

Q(α) Cσk

σk : Q(α)→ C, α 7→ ikα,

waarbij k = 0, 1, 2, 3. Hadden we niet inbeddingen in C bepaald, maar inbeddingenin Q(α), dan zouden we er twee gevonden hebben: α 7→ α en α 7→ −α. Op grondvan dimensies zijn dit tevens automorfismen van Q(α). Het lichaam Q(α) heeftdus twee automorfismen.

4.4 Voorbeeld. We berekenen de inbeddingen van Q(α, i) in C, waarbij α = 4√

2.Beperken we zo’n inbedding tot Q(α), dan verkrijgen we een inbedding van Q(α)in C. Iedere inbedding van Q(α, i) is dus een voortzetting van een inbeddingvan Q(α). Deze laatste bepaalden we in het vorige voorbeeld. Voor elk van deinbeddingen σk van Q(α) bepalen we nu de voortzettingen tot Q(α, i). Omdat ieen nulpunt is van de veelterm X2 + 1 ∈ Q(α)[X] en i /∈ Q(α), immers Q(α) ⊆ R,hebben we dat f = X2+1 de minimumveelterm is van i over Q(α). Er geldt fσk =f . Hieruit volgt dat elk van de vier inbeddingen van Q(α) twee voortzettingenheeft tot Q(α, i), nl. een met i 7→ i en een met i 7→ −i. In totaal zijn er dus achtinbeddingen in C:

45

4 Splijtlichamen

Q

Q(α)

Q(α, i) C

σk

σkl

σkl : Q(α, i)→ C, α 7→ ikα, i 7→ il,

waarbij k ∈ {0, 1, 2, 3} en l ∈ {1, 3}. Omdat σkl(α), σkl(i) ∈ Q(α, i) voor alle σklhebben we dus ook acht automorfismen van het lichaam Q(α, i).

4.5 Voorbeeld. We berekenen de inbeddingen van Q(β, ζ5) in C, waarbij β = 4√

5.De inbeddingen van Q(β) in C zijn

σk : Q(β)→ C, β 7→ ikβ,

waarbij k ∈ {0, 1, 2, 3}. Dit is analoog aan de situatie bij de inbeddingen van Q(α)hierboven. Uit

ζ5 + ζ−15 = −1+√5

2 ∈ Q(β)

en ζ5 /∈ Q(β) volgt dat de minimumveelterm van ζ5 over Q(β) is

f = (X − ζ5)(X − ζ−15 ) = X2 − −1+√5

2 X + 1.

Er geldt

fσk =

{f als k = 0, 2

X2 + 1+√5

2 X + 1 = (X − ζ25 )(X − ζ−25 ) als k = 1, 3.

Immers σk(√

5) = σk(β2) = (ikβ)2 = i2kβ2 = (−1)k√

5. Er zijn dus acht inbed-dingen:

Q

Q(β)

Q(β, ζ5) C

σk

σkl

σkl : Q(β, ζ5)→ C, β 7→ ikβ ζ5 7→ ζl5,

46


waarbij k ∈ {0, 1, 2, 3}, l ∈ {1, 4} als k = 0, 2, en l ∈ {2, 3} als k = 1, 3. Laterzullen we eenvoudig kunnen inzien dat i /∈ Q(β, ζ5). Daaruit volgt dan dat alleende vier inbeddingen σkl met k = 0, 2 automorfismen van het lichaam Q(β, ζ5)bepalen.

We hebben gezien dat het aantal voortzettingen van een inbedding van een lichaamK tot een lichaam K(α) met α algebraısch over K hoogstens gelijk is aan de graadvan de uitbreiding K(α) : K. Met de hierboven gegeven voorbeelden is het welduidelijk dat dit te generaliseren is tot willekeurige eindige uitbreidingen L : K.

4.6 Stelling. Gegeven zijn een eindige lichaamsuitbreiding L : K, een lichaam L′

en een inbedding σ van K in L′. Dan zijn er hoogstens [L : K] voortzettingen vanσ tot L.

Bewijs. We bewijzen de volgende uitspraak met inductie naar n:

Is L : K een lichaamsuitbreiding van graad n en is σ : K → L′ eeninbedding, dan zijn er hoogstens n voortzettingen van σ tot L.

K

K(α)

L L′

σ

Voor n = 1 is de uitspraak triviaal: er is precies eenvoortzetting en dat is σ zelf. Stel dat geldt n > 1 endat de uitspraak waar is voor uitbreidingen van graadkleiner dan n. Omdat n > 1 is er een α ∈ L metα /∈ K. Dan heeft σ hoogstens [K(α) : K] voortzet-tingen tot K(α). Uit [L : K] = [L : K(α)][K(α) : K]en [K(α) : K] > 1 volgt dat [L : K(α)] < n. Dusheeft elk van de voortzettingen van σ tot K(α) hoog-stens [L : K(α)] voortzettingen tot L. In totaal zijner dus hoogstens [L : K(α)][K(α) : K] = [L : K] = nvoortzettingen van σ tot L.

Het aantal voortzettingen van een inbedding is dus hoogstens de graad van deuitbreiding. Propositie 4.2 maakt duidelijk waardoor het er minder kunnen zijn.De graad van de uitbreiding K(α) : K is gelijk aan de graad van de minimum-veelterm f van α over K, terwijl het aantal voortzettingen van σ tot K(α) gelijkis aan het aantal nulpunten van fσ in L. Deze aantallen zijn gelijk dan en slechtsdan als fσ splijt over L′ als product van verschillende factoren van graad 1. Hetkan dus zijn dat fσ niet splijt over L′ of dat fσ een meervoudig nulpunt heeft inL′. Van het eerste hebben we voorbeelden gezien. Hier is een voorbeeld van hetlaatste:

4.7 Voorbeeld. We nemen K = F2(T ), het lichaam van rationale functies in deonbepaalde T met coefficienten in F2. Het is het breukenlichaam van de veelterm-ring F2[T ]. De veelterm f(X) = X2 − T heeft geen nulpunt in K: als g

h metg, h ∈ F2[T ] een nulpunt is, dan g2 = h2T en dat is in strijd met de eenduidigeontbinding in K[T ] (en 2 deg(g) = 2 deg(h) + 1 kan ook niet). Omdat f van

47

4 Splijtlichamen

graad 2 is, volgt dat f irreducibel is over K. Laat L een splijtlichaam zijn vanf over K. Dan L = K(α) met f(α) = 0, ofwel met α2 = T . Over L hebben wef = X2 − T = X2 − α2 = (X − α)2. Dus de inbedding K → L, a 7→ a heeftslechts een voortzetting tot L.

In het volgende hoofdstuk is het aantal voortzettingen van een inbedding vanbelang. In dit hoofdstuk gaat het alleen om het bestaan van een voortzetting.

4.2 Voortzettingen van inbeddingen totsplijtlichamen

In de vorige paragraaf keken we naar voortzettingen van een inbedding σ : K → L′

tot een uitbreiding L van K. We beschouwen nu het speciale geval dat L eensplijtlichaam is van een veelterm over K.

4.8 Propositie. Zij K een lichaam en f ∈ K[X] met deg(f) > 0. Zij σ : K → L′

een inbedding van lichamen zo dat fσ splijt over L′. Laat L een splijtlichaam zijnvan een f ∈ K[X] over K. Dan is er een voortzetting τ van σ tot L.

Bewijs. We bewijzen de volgende uitspraak met inductie naar n:

Is L een splijtlichaam over een lichaam K van een veelterm f vangraad n en is σ : K → L′ een inbedding waarbij fσ splijt over L′, danis er een voortzetting τ van σ tot L.

Voor veeltermen van graad 1 is het duidelijk.

K

K(α)

L L′

σ

σ′

τ Stel dat de uitspraak geldt voor veeltermen vangraad n, waarbij n ∈ N∗, en laat f een veeltermzijn van graad n + 1. Zij α een nulpunt van fin L. Dan f = (X − α)g met g ∈ K(α)[X] eenveelterm van graad n. Het is duidelijk dat L eensplijtlichaam is van g over K(α). Laat nu m deminimumveelterm zijn van α over K, dan m | f endus ook mσ | fσ. Omdat fσ splijt over L′, splijtook mσ over L′. Laat β ∈ L′ een nulpunt zijn vanmσ. Dan is er een voortzetting σ′ van σ tot K(α)met σ′(α) = β. Uit fσ = fσ

′= (X − β)gσ

′volgt

dat gσ′

splijt over L′ en omdat deg(g) = n is er een voortzetting τ van σ′ tot L.Deze is ook een voortzetting van σ.

Een belangrijk gevolg zegt dat splijtlichamen van een veelterm uniek zijn op iso-morfie na:

48

4.3 Normale uitbreidingen

4.9 Stelling. Laat f een niet-constante veelterm zijn over een lichaam K en latenL en L′ splijtlichamen zijn van f over K. Dan is er een isomorfisme τ : L→ L′

met τ(a) = a voor alle a ∈ K.

Bewijs. Pas de propositie toe op σ : K → L′, a 7→ a.

Begrijp goed wat deze stelling inhoudt. Men spreekt wel van de uniciteit van splijt-lichamen. Vergelijk de constructie van een splijtlichaam met andere constructiesin de wiskunde, zoals bijvoorbeeld de constructie van een breukenlichaam vaneen integriteitsgebied. Hebben we bij een gegeven integriteitsgebied verschillendebreukenlichamen dan is er een uniek isomorfisme tussen deze breukenlichamen datde identiteit op het integriteitsgebied induceert. We hebben in het geval van splijt-lichamen van een veelterm over een gegeven lichaam ook een isomorfisme tussende splijtlichamen, maar de eis dat deze op het gegeven grondlichaam de identiteitinduceert maakt hem niet uniek. Zijn L en L′ splijtlichamen van een f over K,dan zijn er evenveel isomorfismen van L naar L′ die op K de identiteit inducerenals er automorfismen van L : K zijn: stel deze automorfismen maar samen meteen gegeven isomorfisme van L naar L′.

4.3 Normale uitbreidingen

Is L een splijtlichaam van een f ∈ K[X] over K, dan splijten de minimumveel-termen van de nulpunten van f over L. We gaan bewijzen dat het zelfs zo is datdan alle minimumveeltermen splijten. Daar is een speciale naam voor:

4.10 Definitie. Een algebraısche lichaamsuitbreiding L : K heet normaal als allebij L : K optredende minimumveeltermen splijten over L.

4.11 Propositie. Zij f een veelterm over een lichaam K. Laat L een splijtlichaamzijn van f over K. Dan is L : K een normale uitbreiding.

K

L

L′

K(α) K(β)

L(α) L(β)

f

f f

g

Bewijs. Laat g ∈ K[X] irreducibel zijnover K en monisch. Of g optreedt als mini-mumveelterm bij L : K laten we nog evenin het midden. Laat L′ een splijtlichaamzijn van g over L, en laten α en β nulpun-ten zijn van g in L′. Omdat α en β dezelfdeminimumveelterm over K hebben, is er eenisomorfisme

σ : K(α)∼→ K(β)

met σ(α) = β en σ(a) = a voor alle a ∈ K.Het is duidelijk dat L(α) een splijtlichaam is van f over K(α) en dat L(β) een

49

4 Splijtlichamen

splijtlichaam is van f over K(β). Er is dus een isomorfisme τ : L(α)∼→ L(β) dat

σ voortzet. I.h.b geldt dat τ(a) = a voor alle a ∈ K. Dus [L(α) : K] = [L(β) : K].En dus ook [L(α) : L] = [L(β) : L]. Dus als α ∈ L, dan ook β ∈ L. Treedt g dusop als minimumveelterm van de uitbreiding L : K, dan splijt g over L.

4.12 Voorbeelden.

a) Q(i, 4√

2) is het splijtlichaam van X4 − 2 over Q. Dus is Q(i, 4√

2) : Q eennormale uitbreiding.

b) Voor m ∈ N∗ is Q(ζm) het splijtlichaam van Xm − 1 over Q, zie Voor-beeld 1.25. Dus is Q(ζm) : Q een normale uitbreiding.

Omgekeerd hebben we:

4.13 Propositie. Zij L : K een eindige normale uitbreiding. Dan is er een veel-term f ∈ K[X] zodat L een splijtlichaam is van f over K.

Bewijs. Omdat L : K eindig is, zijn er α1, . . . , αn zodat L = K(α1, . . . , αn).Laat fi de minimumveelterm zijn van αi over K. Omdat L : K normaal is,splijten de veeltermen fi over L. Dus is L een splijtlichaam van f = f1f2 · · · fnover K.

We hebben dus:

4.14 Stelling. Zij L : K een lichaamsuitbreiding. Dan zijn equivalent:

(i) L : K is eindig en normaal.

(ii) L is een splijtlichaam van een f ∈ K[X] over K.

Is een eindige lichaamsuitbreiding niet normaal, dan is het mogelijk hem verderuit te breiden tot een normale uitbreiding.

4.15 Definitie. Laat L : K een eindige lichaamsuitbreiding zijn. Een lichaams-uitbreiding L : K noemen we een normale afsluiting van L : K als

a) L een deellichaam is van L,

b) L : K een normale uitbreiding is,

c) L het enige tussenlichaam van L : L is dat over K normaal is.

4.16 Stelling. Laat L : K een eindige lichaamsuitbreiding zijn. Dan bestaat ereen normale afsluiting van L : K, en deze is uniek in de volgende zin: zijn L : Ken L : K normale afsluitingen van L : K, dan is er een isomorfisme σ : L → Lmet σ(α) = α voor alle α ∈ L.

50

4.4 Algebraısche afsluiting

Bewijs. Laten α1, . . . , αr elementen van L zijn zodat L = K(α1, . . . , αr). Zijf = f1 · · · fr, waarbij fi de minimumveelterm is van αi over K. Men gaat een-voudig na dat een uitbreiding L : K een normale afsluiting is van L : K, danen slechts dan als L een splijtlichaam is van f over L. De stelling volgt nu uitStelling 4.9.

4.17 Voorbeeld. Q(i, 4√

2) : Q is een normale afsluiting van Q( 4√

2) : Q. Hetlichaam Q(i, 4

√2) is het splijtlichaam van X4 − 2 over Q( 4

√2).


In deze paragraaf wordt het bestaan bewezen van algebraısche afsluitingen en ookde uniciteit op isomorfie na van zo’n afsluiting wordt aangetoond. Een voordeelvan het hebben van een algebraısche afsluiting van een lichaam K is dat iedereniet-constante veelterm binnen die algebraısche afsluiting een uniek splijtlichaamheeft. In dit boek maken we daar geen gebruik van, maar dat heeft wel tot gevolgdat er op gelet moet worden hoe splijtlichamen worden gekozen.

4.18 Definitie. Een lichaam L heet algebraısch gesloten als iedere niet-constanteveelterm in L[X] splijt over L.

Equivalent hiermee: iedere niet-constante veelterm over L heeft een nulpunt in L.

4.19 Voorbeeld. Het lichaam C is algebraısch gesloten. Dit is de Hoofdstellingvan de Algebra. Voor een bewijs met behulp van Galoistheorie zie Toepassing 8.58.

4.20 Definitie. Een lichaam K heet een algebraısche afsluiting van een lichaamK als

a) K een deellichaam is van K;

b) iedere niet-constante veelterm over K splijt over K;

c) K is het enige tussenlichaam van K : K waarover iedere niet-constanteveelterm over K splijt.

4.21 Propositie. Zij L : K een lichaamsuitbreiding. Dan zijn equivalent:

(i) L is een algebraısche afsluiting van K,

(ii) L : K is algebraısch en iedere niet-constante veelterm over K splijt over L

(iii) L : K is algebraısch en L is algebraısch gesloten.

51

4 Splijtlichamen

Bewijs.

(i)⇒(ii): Stel L is een algebraısche afsluiting van K. Laat K het deellichaam van Lzijn bestaande uit alle elementen die algebraısch over K zijn. (Waarom is dateen deellichaam?) Is f ∈ K[X] niet constant, dan heeft f een nulpunt α inL. Het element α is algebraısch over K, ofwel α ∈ K. Iedere niet-constanteveelterm over K splijt dus over K. Omdat er geen echt deellichaam van Lis met deze eigenschap, hebben we dus L = K. Dus is L : K algebraısch.

(ii)⇒(iii): Laat L : K algebraısch zijn en de eigenschap hebben dat iedere niet-con-stante veelterm over K splijt over L. Te bewijzen dat L algebraısch geslotenis. Is L′ een algebraısche uitbreiding van L, dan is, omdat L : K algebraıschis, ook L′ : K algebraısch. De minimumveelterm over K van een α ∈ L′

splijt over L en dus is zo’n α een element van L. Het lichaam L heeft dusgeen echte algebraısche uitbreidingen, ofwel het is algebraısch gesloten.

(iii)⇒(i): Laat L : K algebraısch zijn en L algebraısch gesloten. Iedere veelterm overKis ook een veelterm over L en splijt dus over L. Omdat L : K algebraısch is,is er geen kleiner tussenlichaam van L : K waarover ieder veelterm splijt.

4.22 Voorbeeld. Het lichaam Q der algebraısche getallen is algebraısch gesloten.Het is een algebraısche afsluiting van Q.

Voor het bestaan en de uniciteit van algebraısche afsluitingen maken we gebruikvan het Lemma van Zorn. Het bewijs is dus verre van constructief. In de volgendeparagraaf geven we een meer direct bewijs voor het geval van een eindig lichaam.

4.23 Stelling. Ieder lichaam heeft een algebraısche afsluiting.

Bewijs. Zij K een lichaam. Laat VK de verzameling zijn van niet-constante mo-nische veeltermen over K. Kies bij iedere f ∈ VK een onbepaalde Xf . Beschouwde veeltermring

R = K[Xf | f ∈ VK ]

en daarin het ideaal

a = (f(Xf ) | f ∈ VK).

Dit ideaal is niet de hele ring:

Stel a = R. Dan 1 ∈ a en dus

1 = g1f1(Xf1) + · · ·+ gkfk(Xfk)

met g1, . . . , gk ∈ R en f1, . . . , fk ∈ VK . Laat L een splijtlichaam zijn vanf1 · · · fk overK en kies voor i = 1, . . . , k een nulpunt αi van fi in L. Definieereen ringhomomorfisme

ϕ : R→ L

52


door ϕ(a) = a voor alle a ∈ K,

ϕ(Xfi) = αi voor i = 1, . . . , k,

ϕ(Xh) = 0 voor h ∈ VK \ {f1, . . . , fk}.

Dan1 = ϕ(g1)f1(α1) + · · ·+ ϕ(gk)fk(αk) = 0.

Tegenspraak.

Er is dus een maximaal ideaal m van R met m ⊇ a. (Dit volgt uit het Lemma vanZorn.) Dan is R/m een lichaam en de samenstelling

σ : K → R→ R/m

is een inbedding van K in dit lichaam. Voor f ∈ VK hebben we dan

fσ(Xf + m) = f(Xf ) + m = m.

Dus heeft fσ een nulpunt in R/m. Er is dus een lichaamsuitbreiding K1 : K zodat iedere niet-constante veelterm over K een nulpunt heeft in K1. Toepassingvan het bovenstaande op K1 in plaats van K etc. levert een keten van lichamen

K ⊆ K1 ⊆ K2 ⊆ · · · ⊆ Kn ⊆ Kn+1 ⊆ · · ·

met de eigenschap dat voor iedere n niet-constante veeltermen over Kn een nul-punt hebben in Kn+1. Definieer

K =

∞⋃n=1

Kn.

Dit is een lichaam onder bewerkingen die afkomen van de bewerkingen in delichamen Kn. Deze laatste zijn dan deellichamen van K. Zij nu f een niet-constante veelterm over K. Dan is er een n ∈ N∗ zo dat f ∈ Kn[X]. De veeltermf heeft een nulpunt in Kn+1. Dus heeft f een nulpunt in K. Daaruit volgt dat Kalgebraısch gesloten is. Verder zijn de uitbreidingen Kn+1 : Kn algebraısch, dusis volgens Propositie 4.21 K een algebraısche afsluiting van K.

4.24 Stelling. Laten L en L′ algebraısche afsluitingen van K zijn. Dan is er eenisomorfisme σ : L→ L′ met σ(a) = a voor alle a ∈ K.

Bewijs. Laat Φ de collectie zijn van alle tweetallen (M, τ) bestaande uit eendeellichaam M van L en een inbedding τ : M → L′. De collectie Φ is geordenddoor

(M1, τ1) ≤ (M2, τ2) ⇐⇒ M1 ⊆M2 en τ2|M1 = τ1.

Iedere lineair geordende deelcollectie heeft duidelijk een bovengrens. Verder is Φniet leeg. Uit het Lemma van Zorn volgt dat er in Φ een maximaal element, zeg(M0, τ0), is.

53

4 Splijtlichamen

Zij α ∈ L. Dan is M0(α) : M0 algebraısch. Laat f de minimumveelterm zijnvan α over M0. Omdat L′ algebraısch gesloten is, heeft fτ0 een nulpunt inL′ en is τ0 dus voort te zetten tot een inbedding τ ′ van M0(α) in L′. Dan(M0(α), τ ′) ∈ Φ en (M0, τ) ≤ (M0(α), τ ′). Uit de maximaliteit van (M0, τ0)volgt dat M0(α) = M0, ofwel α ∈M0.

Dus L = M0 en er is een inbedding van L in L′. Het beeld van L onder dezeinbedding is ook algebraısch gesloten en dus gelijk aan L′.

4.5 Eindige lichamen

De classificatie van eindige lichamen leiden we af uit het bestaan en de uniciteitvan splijtlichamen. We geven hier een directe constructie van de algebraıscheafsluiting van een eindig lichaam. Tot slot laten we zien dat de multiplicatievegroep van een eindig lichaam cyclisch is.

4.5.1 Classificatie van eindige lichamen

Is K een een eindig lichaam, dan is de karakteristiek van K een priemgetal p.We hebben dan een eindige uitbreiding K : Fp, zeg [K : Fp] = n. Dan #(K) =pn, want K is een n-dimensionale Fp-vectorruimte. De groep K∗ heeft pn − 1elementen, dus voor iedere α ∈ K∗ geldt αp

n−1 = 1. Dus is ieder element vanK een nulpunt van de veelterm Xpn − X ∈ Fp[X]. Het lichaam K is dan eensplijtlichaam van deze veelterm over Fp.

Zij p een priemgetal en zij n ∈ N∗. We laten zien dat er een op isomorfie nauniek lichaam is met pn elementen. Laat K een splijtlichaam zijn van de veeltermXpn−X over Fp. De nulpunten van deze veelterm vormen een deellichaam van Ken dus is K gelijk aan de nulpuntenverzameling. De nulpunten zijn enkelvoudigenulpunten: is α een nulpunt, dan

Xpn−X = Xpn−αpn

−X+α = (X−α)pn

−(X−α) = (X−α)((X−α)pn−1−1).

Het nulpunt α is geen nulpunt van de tweede factor. De veelterm heeft dus pn

nulpunten, ofwel #(K) = pn.

Bij ieder priemgetal p en bij iedere n ∈ N∗ bestaat er dus een lichaam met pn

elementen. Zo’n lichaam is een splijtlichaam van Xpn−X over Fp en is dus volgensStelling 4.9 op isomorfie na bepaald. Een lichaam met pn elementen noteren weals Fpn .

We hebben nu:

54

4.5 Eindige lichamen

4.25 Stelling. Het aantal elementen van een eindig lichaam is een macht van eenpriemgetal. Bij iedere priemmacht is er een op isomorfie na uniek eindig lichaammet als aantal elementen deze priemmacht.

4.5.2 De algebraısche afsluiting van een eindig lichaam

Zij p een priemgetal. We construeren een algebraısche afsluiting van Fp. Beschouwde keten

Fp ⊂ Fp2! ⊂ Fp3! ⊂ · · · ⊂ Fpn! ⊂ Fp(n+1)! ⊂ · · ·

en definieer

Fp =

∞⋃n=1

Fpn! .

De lichaamsbewerkingen in Fp komen van de lichamen Fpn! . Het lichaam Fp is zode vereniging van deellichamen Fpn! .

4.26 Stelling. Fp is algebraısch gesloten.

Bewijs. Het is duidelijk dat Fp : Fp algebraısch is. Zij f ∈ Fp[X] niet-constant.Dan is er een n ∈ N met f ∈ Fpn! [X]. Een splijtlichaam van f over Fpn! is van devorm Fpm·n! voor een m ∈ N∗. Dus splijt f over Fp(mn)! , want m · n! | (mn)!. En

dus splijt f over Fp.

4.5.3 De multiplicatieve groep van een eindig lichaam

De multiplicatieve groep K∗ van een lichaam is een Abelse groep. Elementen vaneindige orde in deze groep noemt men eenheidswortels. Zij n ∈ N∗. Een ζ ∈ K∗met o(ζ) | n, ofwel ζn = 1, noemt men een n-de eenheidswortel. Als o(ζ) = n,dan spreekt men van een primitieve n-de eenheidswortel.

Laat K een eindig lichaam zijn. De groep K∗ is eindig, dus zijn alle elementen vandeze groep eenheidswortels van K. We bewijzen dat K∗ cyclisch is. We bewijzenin feite iets algemeners: een eindige ondergroep van de multiplicatieve groep vaneen lichaam is cyclisch.

Zij K een lichaam en A een eindige ondergroep van K∗, zeg #(A) = n en n =pk11 · · · pkrr de priemfactorontbinding van n. De n elementen van A zijn nulpuntenvan de veelterm Xn− 1 ∈ K[X]. Dus Xn− 1 splijt over K en wel als product vann verschillende lineaire factoren. Voor i = 1, . . . , r hebben we dat de veeltermen

Xpkii − 1 en Xp

ki−1

i − 1 delers zijn van Xn− 1 (de tweede is weer een deler van deeerste) en splijten dus ook over K. Neem een nulpunt ai van de eerste veelterm

die geen nulpunt is van de tweede veelterm. Voor ai geldt dan dat apkiii = 1, terwijl

55

4 Splijtlichamen

apki−1

ii 6= 1, ofwel o(ai) = pkii . Dan o(a1 · · · ar) = pk11 · · · pkrr = n. Gebruik voor

het laatste het volgende lemma:

4.27 Lemma. Laten a en b elementen zijn van een Abelse groep met o(a) = m,o(b) = n en ggd(m,n) = 1. Dan o(ab) = mn.

Bewijs. Omdat de groep Abels is, zijn voor alle k ∈ Z equivalent

(ab)k = 1,

ak = b−k,

ak = b−k = 1, (want o(ak) | m, o(b−k) | n en ggd(m,n) = 1),

m | k en n | k,mn | k (want ggd(m,n) = 1).

Dus o(ab) = mn.

We hebben dus bewezen:

4.28 Stelling. Een eindige ondergroep van de multiplicatieve groep van een li-chaam is cyclisch.

In het bijzonder hebben we:

4.29 Gevolg. De multiplicatieve groep van een eindig lichaam is cyclisch.

Opgaven

1. (i) Bepaal alle inbeddingen van Q( 3√

2, ζ3) in C. Hoeveel automorfismen heeftQ( 3√

2, ζ3)?

(ii) Complexe conjugatie is een automorfisme van C. Beperking tot Q( 3√

2, ζ3)geeft een inbedding van dit lichaam in C. Welke van de gevonden inbeddingenis het?

2. Zij p een priemgetal. Bepaal alle inbeddingen van Q(ζp,p√

2) in C.

3. Bepaal alle inbeddingen van Q(√−3, 3

√−3+

√41

2

)in C. (Zie het diagram op pa-

gina 15.)

4. Zij L : K een lichaamsuitbreiding van graad 2. Toon aan dat L : K normaal is.

5. Zij L : K een normale uitbreiding en zij K′ een tussenlichaam van L : K. Bewijsdat L : K′ een normale uitbreiding is.

6. Bepaal een voortbrenger van de multiplicatieve groep van de lichamen F17, F19 enF29.

56

Opgaven

7. Zij K een lichaam met kar(K) = p 6= 0. Toon aan dat K geen primitieve p-deeenheidswortel bevat.

8. Zij p een oneven priemgetal. Bewijs dat −1 een kwadraat is in Fp dan en slechtsdan als p ≡ 1 (mod 4).

9. Zij p een priemgetal 6= 2, 3. Bewijs dat −3 een kwadraat is in Fp dan en slechtsdan als p ≡ 1 (mod 3).

10. Construeer een lichaam met 16 elementen met behulp van een irreducibele veeltermvan graad 4. Er zijn 12 elementen van graad 4 over F2. Hoeveel van deze elementenbrengen F∗16 niet voort?

11. Zij L een eindig lichaam van karakteristiek p. Laten K en K′ deellichamen van Lzijn met #(K) = #(K′). Bewijs dat K = K′.

12. Zij p een oneven priemgetal. Bewijs dat Fp2 een primitieve 8-ste eenheidswortelbevat. Hoe volgt hieruit dat X4 + 1 reducibel over Fp is?

13. Zij K een eindig lichaam van karakteristiek p en zij f ∈ Fp[X] de minimumveeltermvan een α ∈ K over Fp.

(i) Toon aan dat f | Xpn −X, waarbij n = [K : Fp].

(ii) Laat zien dat f splijt over K en dat f geen meervoudig nulpunt heeft.

14. Zij p een priemgetal en zij n ∈ N∗. Bewijs dat Xpn −X ∈ Fp[X] het product isvan alle monische veeltermen in Fp[X] van graad een deler van n die irreducibelzijn over Fp.

15. Zij p een priemgetal en zij f ∈ Fp[X] zonder meervoudig nulpunt.

(i) Bewijs dat f niet splijt over Fp als deg(f) > p.

(ii) Zij k ∈ N∗ zo dat deg(f) > pk. Bewijs dat f een irreducibele deler heeft vangraad > k.

16. Zij p een priemgetal. Hoeveel monische over Fp irreducibele veeltermen zijn er vangraad 2? Hoeveel van graad 3? En van graad 6?

17. Zij p een priemgetal 6= 2, 5.

(i) Toon aan dat Fp4 een primitieve 5-de eenheidswortel ζ bevat.

(ii) Zij α = ζ + ζ−1. Toon aan dat α ∈ Fp2 .

(iii) Ga na dat α2 + α − 1 = 0 en laat hiermee zien dat 5 een kwadraat is in Fpdan en slechts dan als p ≡ ±1 (mod 5).

57

Galoistheorie - Wiskundemlopuhaa/2015/Galois_H134.pdf · 3.De kwadratische vergelijking in u3 heeft...

Documents

Transcript of Galoistheorie - Wiskundemlopuhaa/2015/Galois_H134.pdf · 3.De kwadratische vergelijking in u3 heeft...