fm-p2

8/18/2019 fm-p2

1/31

8/18/2019 fm-p2

2/31

2. Modeli u diskretnom vremenu - dinamički modeli 37

informaciji do trenutka t. Matematički to formuliramo tako da ćemo pret-postaviti da je slučajna varijabla S it izmjeriva u odnosu na σ-algebru F t . Toznači da za sve x ∈ R vrijedi {S it ≤ x} ∈ F t (ekvivalentno, {S it < x } ∈ F t ,{S it ≥ x} ∈ F t , {S it > x } ∈ F t ). Dakle, da li je cijena od S i u trenutkut veća (manja) od x ovisi samo o dogadajima do trenutka t. Označimosa S t := ( S 0t , S 1t , . . . , S dt ) vektor cijena svih imovina u trenutku t. Tada jeS t : Ω→ R d+1 F t -izmjeriv slučajni vektor.

Denicija 2.1 Slučajni proces S = ( S t , t = 0, 1, . . . , T ) je adaptiran u odnosu na ltraciju F = ( F t , t = 0, 1, . . . , T ) ako za je za svaki t = 0, 1, . . . , T ,slučajna varijabla (vektor) S t izmjeriva u odnosu na σ-algebru F t .

Kao i u prvom poglavlju pretpostavljamo da je 0-ta nancijska imovinanerizična (npr., novac u banci). Stavljamo S 00 = 1, te zbog jednostavnostiS 0t = (1 + r )t (ukamaćivanje po stopi r ).

Napomena 2.2 Općenito možemo pretpostaviti da je 0-ta imovina lokalnonerizična. To znači da u trenutku t − 1 znamo njenu vrijednost u trenutku t,t = 1, 2, . . . , T . Formalno, to znači da je S 0t F t − 1-izmjeriva.

Uvedimo oznaku β t := 1/S 0t . Koecijent β t interpretiramo kao diskontni

faktor od vremena t do vremena 0: ako u trenutku t = 0 uložimo u bankuβ t kuna, u trenutku t imat ćemo točno 1 kunu. Imovine indeksirane s i =1, 2, . . . , d su rizǐcne.

Nakon što smo uveli nancijski model, objasnimo kako se u modelu tr-guje. U slučaju jednoperiodnog modela, u trenutku t = 0 investirali bismou nancijske imovine tako da stvorimo portfelj φ = ( φ0, φ1, . . . , φ d). Pris- jetimo se, φi označava broj jedinica i-te imovine. Označimo sada φ saφ1: φ1 = ( φ01, φ11, . . . , φ d1). U trenutku t = 1, dopušteno nam je rebalan-sirati portefelj i zamijeniti ga nekim drugim portfeljom koji oznǎcamo sφ2 = ( φ02, φ12, . . . , φ d2). O čemu će ovisiti taj novi portfelj? O cijenama -

nancijskih imovina u trenutku t = 1. Budući da su te cijene slučajne, i totako da su F 1 izmjerive, to će općenito i portfelj φ2 biti F 1-izmjeriv slučajnivektor u R d+1 . U trenutku t = 2 saznamo nove cijene S i2, te rebalansiranoportfelj, itd.

Denicija 2.3 Slučajni proces φ = ( φt , t = 0, 1, . . . , T ) je predvidiv (u odnosu na ltraciju F = ( F t , t = 0, 1, . . . , T )) ako za je za svaki t = 1, . . . , T ,slučajna varijabla (vektor) φt izmjeriva u odnosu na σ-algebru F t − 1, te ako je φ0 izmjeriva u odnosu na F 0.

c ZV 37

8/18/2019 fm-p2

3/31


Denicija 2.4 Strategija trgovanja (ili dinamički portfelj ) je predvidiv slu-čajni proces φ = (( φ0t , φ1t , . . . , φ dt ), t = 1, 2, . . . , T ) s vrijednostima u R d+1 .

Zanima nas vrijednost portfelja u trenutku t = 1, 2, . . . , T . To je slučajnavarijabla

V t (φ) := φt · S t =d

i=0

φit S it .

Primjetimo da je V t (φ) izmjeriva u odnosu na F t . Dakle, V (φ) = ( V t (φ) , t =1, 2, . . . , T ) je adaptiran slučajni proces.

0 1 2 t-1 t[ [) ) [ [) )

φ1 · S 0 φ2 · S 1

φ1 · S 1↑

φt · S t − 1 φt +1 · S t

φt · S t↑

Po deniciji je vrijednost portfelja u trenutku t jednaka vrijednosti nakonšto se sazna ju cijene imovina u trenutku t, a prije rebalansa portfelja. Primje-timo da nismo denirali vrijednost portfelja φ u trenutku t = 0. Po deniciji

stavljamo V 0(φ) := φ1 · S 0. Ta denicija nije formalno u skladu s denicijom od V t (φ) za t = 1, 2, . . . , T . Alternativno, možemo denirati portfelj utrenutku t = 0 formulom φ0 = φ1. Tada možemo staviti V 0(φ) = φ0 · S 0 što jeu skladu s denicijom od V t (φ) za t = 1, 2, . . . , T . Od sada nadalje koristimokonvenciju da je φ0 = φ1.

Osim stvarnih vrijednosti nancijskih imovina i portfelja zanimat će nas injihove diskontirane vrijednosti (t.j., svedene na sadašnju vrijednost). Diskon-tirane vrijednosti ćemo uvijek označavati tildom˜:

S̃ it := β t S it = 1

(1 + r ) tS it .

Uočimo da je S̃ 0t = 1. Diskontirana vrijednost portfelja u trenutku t =1, 2, . . . , T je slučajna varijabla

Ṽ t (φ) := β t V t (φ) = φt · S̃ t .

Denicija 2.5 Strategija φ je samonancirajuća ako za sve t = 0, 1, . . . , T −1 vrijedi

φt · S t = φt +1 · S t . (2.1)

c ZV 38

8/18/2019 fm-p2

4/31


Interpretacija: u trenutku t saznamo cijene S 0t , S 1t , . . . , S dt . Vrijednost port-felja (strategije) postaje φt · S t . Prilagodavamo svoju nancijsku pozicijutako da biramo novi portfelj φt +1 . Sredstva za kupovinu tog novog portfeljamogu doći samo iz vrijednosti portfelja φt koja je V t (φ) = φt · S t . Dakle,vrijednost (u trenutku t) novog portfelja φt +1 , koja je φt +1 · S t , mora biti jednaka vrijednosti starog portfelja φt koja je φt · S t .

Napomena 2.6 Jednakost (2.1) ekvivalentna je sa

φt +1 · (S t+1 − S t ) = φt +1 · S t +1 − φt · S t ,

odnosnoφt +1 · (S t +1 − S t ) = V t+1 (φ) − V t (φ) . (2.2)

Desna strana je razlika vrijednosti portfelja φ u trenucima t + 1 i t. Li- jeva strana je dobitak (gubitak) ostvaren promjenom cijena od trenutka t dotrenutka t + 1. Dakle, strategija je samonancirajuća ako i samo ako je dobitak (gubitak) ostvaren samo promjenom cijena nancijskih imovina (a ne, npr., dodatnim investiranjem ili povlačenjem novca iz portfelja - konzu-macija).

Uvedimo oznaku za razliku cijena nancijskih imovina u trenucima t − 1 it: ∆ S t := S t − S t − 1, za t = 1, 2, . . . , T , te za ukupni dobitak (gubitak) dotrenutka t:

G t (φ) :=t

j =1

φ j · ∆ S j .

Tada je G = ( Gt , t = 1, 2, . . . , T ) adaptiran slučajni proces koji zovemoproces dobitka .

Propozicija 2.7 Sljedeće tvrdnje su ekvivalentne:

(i) Strategija φ je samonancirajuća.

(ii) Za sve t = 1, 2, . . . , T vrijedi

V t (φ) = V 0(φ) + Gt (φ) .

(iii) Za sve t = 1, 2, . . . , T vrijedi

Ṽ t (φ) = V 0(φ) + G̃t (φ) = V 0(φ) +t

j =1

φ j · ∆ S̃ j .

c ZV 39

8/18/2019 fm-p2

5/31


Dokaz: Iz Napomene 2.6, φ je samonancirajuća ako i samo ako vrijedi jednakost (2.2).(i)⇒ (ii) V t (φ) = V 0(φ) +

t j =1 (V j (φ) − V j − 1(φ)) = V 0(φ) +

t j =1 φ j · ∆ S j .

(ii)⇒ (i) Iz V t (φ) = V 0(φ) + t j =1 φ j · ∆ S j za sve t = 1, 2, . . . , T , slijedi

V t (φ) − V t − 1(φ) = φt · ∆ S t .(i)⇔ (iii) Vrijedi φt · S t = φt +1 · S t ako i samo ako je φt · S̃ t = φt+1 · S̃ t . Sada je dokaz isti kao dokaz ekvivalencije (i) i (ii).

Propozicija 2.8 Za svaki predvidiv proces ((φ1t , . . . , φ

dt ), 0 ≤ t ≤ T ) i za svaku F 0-izmjerivu slučajnu varijablu V 0 postoji jedinstven predvidiv proces

(φ0t , 0 ≤ t ≤ T ) takav da je strategija φ = ( φ0, φ1, . . . , φ d) samonancirajuća i vrijedi V 0(φ) = V 0.

Dokaz: Pretpostavimo da je φ samonancirajuća i vrijedi V 0(φ) = V 0. Tadaiz Propozicije 2.7 i jednakosti ∆ S̃ 0 j = 1 − 1 = 0 slijedi

Ṽ t (φ) = V 0 +t

j =1

φ j · ∆ S̃ j

= V 0 +t

j =1

(φ1 j ∆ S̃ 1 j + · · · φd j ∆ S̃ d j ) .

S druge strane vrijedi

Ṽ t (φ) = φ0t + φ1t S̃ 1t + · · · + φdt S̃ dt .

Iz te dvije jednakosti slijedi da je φ0t jedinstveno odreden formulom

φ0t = V 0 +t

j =1

(φ1 j ∆ S̃ 1 j + · · · φd j ∆ S̃ d j ) − φ1t S̃ 1t − · · · − φdt S̃ dt

= V 0 +t − 1

j =1

(φ1 j ∆ S̃ 1 j + · · · φd j ∆ S̃ d j ) − φ1t − 1 S̃ 1t − 1 − · · · − φdt − 1

S̃ dt − 1 .

Deniramo li φ0t , t = 1, . . . , T , gornjom formulom, (i dodatno φ00 = φ01),odmah se vidi da je strategija φ samonancirajuća, te da je proces ( φ0t , 0 ≤t ≤ T ) predvidiv.

c ZV 40

8/18/2019 fm-p2

6/31


Gornja propozicija nam omogućava da samonancira juće strategije zada- jemo predvidim nizom slučajnih vektora (( φ1t , . . . , φ dt ) , 0 ≤ t ≤ T ). Za danupočetnu vrijednost portfelja V 0, taj predvidiv niz na jedinstven način denirasamonancirajuću strategiju.

Denicija 2.9 Strategija φ je dopustiva , ako je φ samonancirajuća i vrijedi V t (φ) ≥ 0 za sve t = 0, 1, . . . , T .

Uočimo da za za t ∈ {0, 1, . . . , T }, te i ∈ {0, 1, . . . , d} može vrijediti φit < 0.

U sluča ju φ0t < 0 u trenutku t smo “kratki” nultu nancijsku imovinu (t.j.,dužni smo banci novac), dok φit < 0, i = 1, 2 . . . , d, znači da smo “kratki” za i-

tu nancijsku imovinu (short selling of stock). Medutim, bez obzira na takvumogućnost, vrijednost portfelja (dopustive strategije) u svakom trenutku tmora biti nenegativna, odnosno investitor u svakom trenutku t mora moćiisplatiti svoje eventualne dugove.

Denicija 2.10 Dopustiva strategija φ je arbitraža (arbitražna strategija) ,ako je V 0(φ) = 0 i P (V T (φ) > 0) > 0.

Uočimo da iz dopustivosti od φ imamo V T (φ) ≥ 0. Interpretacija arbitražeista je kako i u jednoperiodnom modelu: bez rizika od gubitka, arbitražnastrategija s pozitivnom vjerojatnošću donosi pozitivan prot.

Kao i u prvom poglavlju, ekonomski razlozi nalažu nam da promatramosamo modele nancijskih tržišta koji ne dopuštaju arbitražu. Za nancijskotržište kažemo da ne dopušta arbitražu ako niti jedna dopustiva strategijanije arbitraža. To možemo izreći na sljedeći ekvivalentan način: neka je Γkonveksni konus svih pozitivnih varijabli ( X ∈ Γ ako je X (ω) ≥ 0 za sveω ∈ Ω, te postoji ω′ ∈ Ω takav da je X (ω′) > 0). Ako tržǐste ne dopuštaarbitražu, za svaku dopustivu strategiju φ (za koju je V 0(φ) = 0) vrijediṼ T (φ) /∈ Γ. Zaista, kada bi za dopustivu strategiju φ vrijedilo V 0(φ) = 0 i

Ṽ T (φ) ∈ Γ, tada bi bilo i V T (φ) ∈ Γ, što znači da je φ arbitraža. Naravno,vrijedi i obrat: ako za svaku dopustivu strategiju φ takvu da je V 0(φ) = 0vrijedi V T (φ) /∈Γ, tada tržǐste ne dopušta arbitražu.

Uočimo, takoder, da je V T (φ) /∈Γ ekvivalentno s Ṽ T (φ) /∈Γ.Pojam arbitraže možemo denirati i za samonancirajuće strategije koje

nisu nužno dopustive: kažemo da je samonancirajuća strategija φ arbitraža,ako je V 0(φ) = 0, V T (φ) ≥ 0 i P (V T (φ) > 0) > 0. Jasno je da ako niti jedna samonancirajuća strategija nije arbitraža, tada niti jedna dopustiva

c ZV 41

8/18/2019 fm-p2

7/31


strategija nije arbitraža. Postavlja se pitanje da li vrijedi i obrat. Naime,ako tržište ne dopušta arbitražu (t.j., niti jedna dopustiva strategija nijearbitraža), da li se može dogoditi da postoji samonancirajuća strategijakoja je arbitraža. Da bismo odgovorili na to pitanje, prisjetimo se prvoprocesa dobitka G, odnosno procesa diskontiranog dobitka G̃:

G̃t (φ) =t

j =1

φ j · ∆ S̃ j

=d

i=1

t

j =1φi j ∆ S̃ i j .

Uočimo da zbog ∆ S̃ 0t = 0, vrijednosti φ0t nisu bitne za vrijednost od G̃.

Lema 2.11 Ako tržište ne dopušta arbitražu, tada za svaki predvidiv proces (φ1, . . . , φ d) = (( φ1t , . . . , φ dt ) , 0 ≤ t ≤ T ) vrijedi

G̃T (φ) /∈Γ .

Dokaz: Pretpostavimo suprotno, t.j., G̃T (φ) ∈Γ. Tada ne može biti G̃t (φ) ≥0 za sve t = 0, 1, . . . , T − 1, jer bi tada (nadopunjena) strategija φ (kojudobijemo iz Propozicije 2.8) bila arbitraža. Dakle, postoji s ∈ {1, . . . , T − 1}takav da G̃s (φ) nije nenegativan. Deniramo

t0 = max {s : P ( G̃s (φ) < 0) > 0} .

Znamo da mora biti t0 ≤ T − 1, i vrijedi P ( G̃t 0 (φ) < 0) > 0, i G̃s (φ) ≥ 0 zat < s ≤ T . Denirajmo novu strategiju ψ na sljedeći način:

ψ j = 0 j ≤ t01

( ˜G t 0 (φ)< 0)

φ j j > t0

.

Po strategiji ψ do (uključivo) trenutka t0 uopće ne trgujemo, a od trenutkat0 nadalje ne trgujemo za one ω za koje je G̃ t 0 (φ)(ω) ≥ 0, dok za ω koje jeG̃t 0 (φ)(ω) < 0 slijedimo strategiju φ. Budući da je G̃t 0 (φ) F t 0 -izmjeriva i φ je predvidiv, dobivamo da je i slučajni niz ψ takoder predvidiv.

c ZV 42

8/18/2019 fm-p2

8/31


Izračunajmo diskontirani proces dobitka G̃(ψ) za strategiju ψ. Ako je j ≤ t0, tada je očito G̃ j (ψ) = 0 (jer ψk = 0, k = 0, . . . , j ). Za j > t 0 imamo

G̃ j (ψ) = j

k =1

(ψ1k ∆ S̃ 1k + · · · + ψdk ∆ S̃ d j )

= j

k= t 0 +1

(ψ1k ∆ S̃ 1k + · · · + ψdk ∆ S̃ d j )

= 1 ( G̃ t 0 (φ)< 0) j

k = t 0 +1(φ1k ∆ S̃ 1k + · · · + φdk ∆ S̃ d j )

= 1 ( G̃ t 0 (φ)< 0) ( j

k=1

−t 0

k=1

)

= 1 ( G̃ t 0 (φ)< 0) ( G̃ j (φ) − G̃t 0 (φ)) .

Zaključujemo da je

G̃ j (ψ) = 0 j ≤ t01( G̃ t 0 (φ)< 0) ( G̃ j (φ) − G̃t 0 (φ)) , t0 < j ≤ T .

Slijedi da je G̃ j (ψ) ≥ 0, za sve j ∈ {0, 1, . . . , T }, te

G̃T (ψ) = 1 ( G̃ t 0 (φ)< 0) ( G̃T (φ) − G̃t (φ)) > 0

na {G̃t 0 (φ) < 0}. Dakle, ψ je dopustiva strategija koja je arbitraža. Kon-tradikicija.

Pretpostavimo sada da je φ samonancirajuća strategija za koju je V 0(φ) =0. Tada je Ṽ T (φ) = G̃T (φ) i po Lemi 2.11, Ṽ T (φ) /∈ Γ. Zato vrijedi i

V T (φ) /∈Γ. Dakle, niti jedna samonancirajuća strategija ne može biti arbi-trǎza.

2.2 Martingali i mogućnost arbitraže

U ovom odjeljku podsjećamo na pojam uvjetnog očekivanja, te uvodimo fun-damentalan pojam martingala. Radit ćemo na konačnom vjerojatnosnomprostoru (Ω , F , P ), gdje je F = P (Ω), te vrijedi P ({ω}) > 0 za svaki ω ∈Ω.

c ZV 43

8/18/2019 fm-p2

9/31

8/18/2019 fm-p2

10/31


Nadalje, formula (2.3) karakterizira uvjetno očekivanje s obzirom na G : akoza G -izmjerivu slučajnu varijablu Y vrijedi

E [1A Y ] = E [1A X ] za sve A∈ G ,

tada je Y = E [X |G ].

Navedimo osnovna svojstva uvjetnog očekivanja:

(i) Ako je X G -izmjeriva slučajna varijabla, tada je E [X |G ] = X .

(ii) E [E [X |G ]] = E [X ].

(iii) Ako je Y G -izmjeriva slučajna varijabla, tada vrijedi

E [Y X |G ] = Y E [X |G ] .

(iv) Uvjetno očekivanje je linearno: za slučajne varijable X 1, X 2 i realnebrojeve a1, a2 vrijedi

E [a1X 1 + a2X 2|G ] = a1E [X 1 |G ] + a2E [X 2|G ] .

(v) Uvjetno očekivanje je nenegativno: X ≥ 0⇒ E [X |G ] ≥ 0.

(vi) |E [X |G ]| ≤ E [|X | |G ].

(vii) Ako je H⊂ G ⊂ F , tada je

E [E [X |G ]|H ] = E [X |H ] .

(viii) Ako je X nezavisna s G , tada je E [X |G ] = E [X ].

Uvjetno očekivanje možemo interpretirati na sljedeći koristan način: tra-žimo najbolju aproksimaciju slučajne varijable X ukoliko nam je poznatainformacija dana σ-algebrom G . Najbolja aproksimacija traži se u smislunajmanjih kvadrata. Dakle, želimo naći G -izmjerivu slučajnu varijablu Y koja minimizira E [(Y − X )2].

Propozicija 2.14 Vrijedi:

E [(E [X |G ] − X )2] = min{E [(Y − X )2] , Y je G -izmjeriva } .

c ZV 45

8/18/2019 fm-p2

11/31


Dokaz: Vrijedi:

E [(Y − X )2] = E [(Y − E [X |G ] + E [X |G ] − X )2]= E [(Y − E [X |G ])2] + 2E [(Y − E [X |G ])(E [X |G ] − X )]+ E [(E [X |G ] − X )2]= E [(Y − E [X |G ])2] + E [(E [X |G ] − X )2]

otkud slijedi tvrdnja. Još preosta je objasniti zašto je srednji član u drugomretku gore jednak nuli. Imamo

E [(Y − E [X |G ])(E [X |G ] − X )]= E [E [(Y − E [X |G ])(E [X |G ] − X )|G ]]= E [(Y − E [X |G ])E [(E [X |G ] − X )|G ]] zbog (iii)= E [(Y − E [X |G ])(E [X |G ] − E [X |G ])]= 0 .

Nadalje pretpostavljamo da nam je uz vjerojatnosni prostor (Ω , F , P )dana i ltracija F = ( F t , t = 0, 1, . . . , T ). Prisjetimo se da za niz slučajnihvarijabli ( M t , t = 0, 1, . . . , T ) kǎzemo da je adaptiran (s obzirom na F ) ako je M t F t -izmjeriva za svaki t ∈ {0, 1, . . . , T }.

Denicija 2.15 Adaptiran slučajni proces M = ( M t , 0 ≤ t ≤ T ) je

(a) martingal , ako je E [M t +1 |F t ] = M t , t = 0, 1, . . . , T − 1 ,

(b) supermartingal , ako je E [M t +1 |F t ] ≤ M t , t = 0, 1, . . . , T − 1 ,

(c) submartingal , ako je E [M t+1 |F t ] ≥ M t , t = 0, 1, . . . , T − 1 .

Denicija se proširuje na višedimenzionalan slučaj: niz M = ( M t , , 0 ≤ t ≤T ) slučajnih vektora u R d je martingal, ako su sve komponente martingali.

Uočimo da ako je M = ( M t , 0 ≤ t ≤ T ) martingal, tada je najbolji proc- jenitelj slučajne varijable M t +1 (neposredna budućnost) uz danu informaciju(o prošlosti i sadašnjosti) F t upravo trenutna vrijednost procesa M t .

Navedimo neka od osnovnih svojstava martingala:

c ZV 46

8/18/2019 fm-p2

12/31


(i) Slučajni proces M = ( M t , 0 ≤ t ≤ T ) je martingal ako i samo ako zasve 0 ≤ s ≤ t ≤ T vrijedi

E [M t |F s ] = M s .

(ii) Slučajni proces M = ( M t , 0 ≤ t ≤ T ) je martingal ako i samo ako zasve 0 ≤ t ≤ T vrijedi

E [M T |F t ] = M t .

(iii) Ako je M = ( M t , 0 ≤ t ≤ T ) martingal, tada je E [M t ] = E [M 0] za svet ∈ {0, 1, . . . , T }.

(iv) Zbroj dva martingala opet je martingal.

Slična svojstva vrijede i za super(sub)martingale.Kako pomoću danog martingala M možemo konstruirati nove martingale?

Vrlo koristan postupak kojim to činimo zove se martingalna transformacija.Prije denicije uvedimo oznaku ∆ M t := M t − M t − 1 za martingalnu razliku.Uočimo odmah da je E [∆ M t | F t − 1] = 0 zbog denicije martingala.

Denicija 2.16 Neka je M = ( M t , 0 ≤ t ≤ T ) martingal, te neka je H =(H t , 0 ≤ t ≤ T ) predvidiv niz slučajnih varijabli. Deniramo niz X =(X t , t = 0, 1, . . . , T ) slučajnih varijabli na sljedeći način:

X 0 = H 0M 0 ,X t = H 0M 0 + H 1∆ M 1 + · · · + H t ∆ M t , 1 ≤ t ≤ T .

Niz X naziva se martingalna transformacija . Ponekad ćemo slučajni proces X označavati kao H ◦ M = (( H ◦ M ) t , 0 ≤ t ≤ T ).

Propozicija 2.17 Martingalna transformacija X je martingal. Nadalje, ako je slučajni proces M supermartingal, te ako je H nenegativan, tada je i mar-tingalna transformacija X takoder supermartingal.

Dokaz: Budući da je X t linearna kombinacija F t -izmjerivih slučajnih varijabli, to je i sama F t -izmjeriva. Nadalje vrijedi:

E [X t +1 − X t |F t ] = E [H t +1 ∆ M t+1 |F t ]= H t +1 E [∆ M t +1 |F t ]= 0 ,

c ZV 47

8/18/2019 fm-p2

13/31


gdje je za drugu jednakost iskorǐstena činjenica da je H t+1 F t -izmjeriva isvojstvo (iii) martingala. Tvrdnja za supermartingal slijedi iz istog računazbog H t +1 ≥ 0 i E [∆ M t +1 |F t ] ≤ 0.

Financijska interpretacija martingalne transformacije: pretpostavimo dasu diskontirane cijene ( S̃ t , 0 ≤ t ≤ T ) nancijskih imovina martingali. Ako je φ samonancirajuća strategija, tada je po Propoziciji 2.7 (iii)

Ṽ t (φ) = Ṽ 0(φ) +t

j =1

φ j ∆ S̃ j .

Dakle, diskontirane vrijednosti portfelja su martingalna transformacija φ◦ S̃ ,te takoder tvore martingal. Specijalno je E [Ṽ t (φ)] = E [V 0(φ)], za sve 0 ≤ t ≤T .

Sljedeća tvrdnja pokazuje da se martingalnost slučajnog procesa možekarakterizirati pomoću svih martingalnih transformacija.

Propozicija 2.18 Adaptiran niz slučajnih varijabli M = ( M t , 0 ≤ t ≤ T ) je martingal ako i samo ako za svaki predvidiv niz slučajnih varijabli H =(H t , 1 ≤ t ≤ T ) vrijedi

E T

t =1

H t ∆ M t = 0 .

Dokaz: Neka je M martingal i neka je H = ( H t , 1 ≤ t ≤ T ) predvidiv nizslučajnih varijabli. Stavimo H 0 = 0. Tada je martingalna transformacijaX = H ◦ M takoder martingal. Specijalno vrijedi E [X T ] = E [X 0]. Medutim,zbog H 0 = 0 imamo X 0 = 0. Dakle, 0 = E [X T ] = E [

T t=1 H t ∆ M t ].

Obratno: ksirajmo j ∈ {0, . . . , T − 1}, odaberimo A ∈ F j , i denirajmo nizslučajnih varijabli H = ( H t , 1 ≤ t ≤ T ) na sljedeći način:

H t = 0 t = j + 1 ,H j +1 = 1A

Tada je H = ( H t , 1 ≤ t ≤ T ) predvidiv niz, pa po pretpostavci vrijediE [ T t =1 H t ∆ M t ] = 0. Medutim,

T

t=1

H t ∆ M t = H j +1 (M j +1 − M j ) = 1 A (M j +1 − M j ) .

c ZV 48

8/18/2019 fm-p2

14/31


Slijedi da jeE [1A M j ] = E [1A M j +1 ] .

Budući da je A∈ F j bio proizvoljan, iz Propozicije 2.13 slijedi da je

E [M j +1 |F j ] = M j .

Tvrdnja slijedi zbog j proizvoljan.

Sada ćemo pojam martingala upotrijebiti za karakterizaciju nancijskog

tržišta bez arbitraže. Prvo nam treba denicija martingalne mjere.Denicija 2.19 Vjerojatnosna mjera P ∗ na (Ω, F ) naziva se martingalnamjera ili mjera neutralna na rizik , ako za sve t ∈ {0, 1, . . . , T − 1} vrijedi

E ∗[S̃ it+1 |F t ] = S̃ it , i = 0, 1, . . . , d .

Ekvivalentno, P ∗ je martingalna mjera ako su diskontirane cijene nancijskih imovina martingali u odnosu na P ∗. Vjerojatnosna mjera P ∗na (Ω, F ) naziva se ekvivalentna martingalna mjera , ako je martingalna mjera i vrijedi P ∗≈P .

Napomena 2.20 Uočimo da za t = 0 uvjet iz denicije daje

E ∗[S̃ i1|F 0] = S̃ i0 , i = 0, 1, . . . , d .

Uvjetno očekivanje u odnosu na trivijalnu σ-algebru F 0 je očekivanje. Budućida je S̃ i1 = S i1/ (1 + r ), gornja jednakost postaje

E ∗ S i11 + r

= S i0 , i = 0, 1, . . . , d .

To znači da je P ∗

martingalna mjera i u smislu Denicije 1.5.Sljedéci rezultat je fundamentalni teorem odredivanja cijena imovine u

kontekstu u kojem smo sada.

Teorem 2.21 Model nancijskog tržišta ne dopušta arbitražu ako i samo akopostoji ekvivalentna martingalna mjera.

c ZV 49

8/18/2019 fm-p2

15/31


Dokaz: ⇐ Pretpostavimo da postoji ekvivalentna martingalna mjera P ∗.Tada je niz ( S̃ t , 0 ≤ t ≤ T ) P ∗-martingal. Neka je φ = ( φt , , 0 ≤ t ≤ T )dopustiva (ili samonancirajuća) strategija takva da je V 0(φ) = 0. Tada jeslučajni proces diskontiranih vrijednosti

Ṽ t (φ) = V 0(φ) +t

j =1

φ j ∆ S̃ j

martingalna transformacija, pa po Propoziciji 2.16, i sam P ∗-martingal. Sli-

jedi E ∗[Ṽ T (φ)] = E ∗[V 0(φ)]. Zbog V 0(φ) = 0 slijedi E ∗[Ṽ T (φ)] = 0, a zbogdopustivosti je Ṽ T (φ) = β T V T (φ) ≥ 0. Budući da je P ∗({ω}) > 0 za sve ω, izE ∗[Ṽ T (φ)] = 0 i Ṽ T (φ) ≥ 0 slijedi da je Ṽ T (φ) ≡ 0. Tada je i V T (φ) ≡ 0, pa jei P [V T (φ) > 0] = 0. Dakle, dopustiva strategija φ nije arbitraža.⇒ Obratno, pretpostavimo da tržište ne dopušta arbitažu. Neka je V :={G̃T (φ) , φ predvidiv proces u R d}. Tada je V vektorski prostor slučajnihvarijabli na Ω i možemo ga shvatiti kao vektorski potprostor konačnodimen-zionalnog prostora R K (K = |Ω|). Po Lemi 2.11, V ∩Γ = ∅. DenirajmoK := {X ∈ Γ : ω∈Ω X (ω) = 1}. Tada je K ⊂ Γ konveksan i kompaktanskup za koji vrijedi K ∩V = ∅. Po teoremu separacije (Lema 1.7 (b)), postoji

λ = ( λ(ω) : ω ∈Ω) takav da vrijedi:(i) ω∈Ω λ(ω)X (ω) > 0 za sve X ∈K ,

(ii) ω∈Ω λ(ω) G̃T (φ)(ω) = 0 za svaki predvidiv φ.

Iz svojstva (i) slijedi da je λ(ω) > 0 za sve ω ∈Ω (zaista, dovoljno je uzeti X tako da je X (ω) = 1 i X (ω′) = 0 za sve ostale ω′). Deniramo vjerojatnostP ∗ formulom:

P ∗({ω}) := λ(ω)

ω ′∈Ω λ(ω′) .

Zbog λ(ω) > 0 za sve ω ∈ Ω slijedi P∗

≈ P . Za proizvoljni predvidiv proces

c ZV 50

8/18/2019 fm-p2

16/31

8/18/2019 fm-p2

17/31


U gornja dva primjera C je funkcija od S 1T . Općenito, C može ovisiti o svimcijenama nancijske imovine 1 do trenutka T .Azijska call opcija (na nancijsku imovinu 1) s dospijećem T . Neka je

A1T := 1T + 1

(S̃ 10 + S̃ 11 + · · · + S̃ 1T )

srednja vrijednost diskontiranih cijena prve imovine. Azijska call opcija scijenom izvršenja K je slučajni zahtjev C = ( A1T − K )+ .

Denicija 2.24 Slučajni zahtjev C je dostǐzan ako postoji dopustiva strate-gija φ takva da je V T (φ) = C . Kažemo da strategija φ replicira C .

Napomena 2.25 Pretpostavimo da tržište ne dopušta arbitražu. Ako je C slučajni zahtjev takav da je V T (φ) = C za neku samonancirajuću strategiju,tada je C dostižan slučajni zahtjev. Dovoljno je provjeriti da je u tom slučaju φ dopustiva strategija, t.j., V t (φ) ≥ 0, t = 0, 1, . . . , T . Taj uvjet je ekvivalen-tan uvjetu Ṽ t (φ) ≥ 0, t = 0, 1, . . . , T . Neka je P ∗ ekvivalentna martingalna mjera. Tada je (Ṽ t (φ) , 0 ≤ t ≤ T ) P ∗-martingal, pa je

Ṽ t (φ) = E ∗[Ṽ T (φ) | F t ] = E ∗[β T C | F t ] ≥ 0 ,

zbog β T > 0 i C ≥ 0.

Denicija 2.26 Model tržǐsta bez arbitraže je potpun ako je svaki slučajni zahtjev dostižan.

Zahtjev na potpunost tržišta je ekonomski restriktivan i često nema ekonom-sko opravdanje, za razliku od zahtjeva na nepostojanje arbitraže. Osnovnirezultat o potpunosti tržišta je sljedeći

Teorem 2.27 Model tržišta bez arbitraže je potpun ako i samo postoji jedin-stvena ekvivalentna martingalna mjera.

Dokaz: ⇒ Pretpostavimo da je model tržišta bez arbitraže potpun. Neka jeC proizvoljan slučajni zahtjev. Po pretpostavci postoji dopustiva strategijaφ koja replicira C , C = V T (φ). Specijalno vrijedi

β T C = Ṽ T (φ) = V 0(φ) +T

j =1

φ j · ∆ S̃ j .

c ZV 52

8/18/2019 fm-p2

18/31


Pretpostavimo da su P 1 i P 2 dvije ekvivalentne martingalne mjere. Tada jeproces (Ṽ t (φ) , 0 ≤ t ≤ T ) martingal u donosu na P 1 i P 2. Specijalno, toznači da je (zbog F 0 trivijalna)

E 1[Ṽ T (φ)] = E 1[V 0(φ)] = V 0(φ) ,E 2[Ṽ T (φ)] = E 2[V 0(φ)] = V 0(φ) ,

otkud E 1[Ṽ T (φ)] = E 2[Ṽ T (φ)]. Slijedi E 1[β T C ] = E 2[β T C ]. Budući da jeβ T = 1/ (1 + r )T deterministički, dobivamo

E 1[C ] = E 2[C ] .

Ta jednakost vrijedi za svaku nennegativnu F T -izmjerivu slučajnu varijabluC . Budući da je po pretpostavci F T = F , slijedi P 1 = P 2 (zaista, dovoljno jeza C uzeti 1{ω}).⇐ Pretpostavimo sada da je tržište bez arbitraže, ali nepotpuno. To značida postoji slučajni zahtjev C koji nije dostižan. Deniramo

Ṽ := {U 0 +T

t =1

φt · ∆ S̃ t : U 0 je F 0 izmjeriva,

((φ1t , . . . , φdt ) : 1 ≤ t ≤ T ) predvidiv proces } .

Uočimo da za dani d-dimenzionalni predvidiv proces (( φ1t , . . . , φ dt ) : 1 ≤ t ≤T ) postoji predvidiv proces ( φ0t : 1 ≤ t ≤ T ) takav da je strategija φ =((φ0t , φ1t , . . . , φ dt ) : 1 ≤ t ≤ T ) samonancirajuća (Propozicija 2.8). Zbog∆ S̃ 0t = 0, te budući da je U 0 konstanta ( F 0 je trivijalna), slijedi da je

Ṽ = {Ṽ T (φ) : φ samonancirajuća } .

Budući da po pretpostavci C nije dostižan zahtjev, zbog Napomene 2.25, nemože se dostići niti samonancirajućom strategijom. Slijedi: C/S 0T /∈ Ṽ . Toznači da je Ṽ pravi podskup skupa svih slučajnih varijabli. Jednostavno seprovjeri da je Ṽ vektorski podprostor.

Neka je P ∗neka ekvivalentna martingalna mjera. Na prostoru svih slučajnihvarijabli deniramo skalarni produkt

(X, Y ) := E ∗[XY ] , X, Y : Ω→ R .

Budući da je Ṽ pravi podprostor, postoji slučajna varijabla X = 0 ortogo-nalna na Ṽ , X ∈ Ṽ ⊥. Deniramo

P ∗∗({ω}) := 1 + X (ω)2 X ∞

P ∗({ω})

c ZV 53

8/18/2019 fm-p2

19/31


gdje je X ∞ = sup ω∈Ω |X (ω)| . Uočimo da je 1 ∈ Ṽ (U 0 = 1, φ ≡ 0), pa jeX ⊥1, t.j., 0 = E ∗[X ] = ω∈Ω X (ω)P

∗({ω}). Slijedi:

ω∈Ω

P ∗∗({ω}) =ω∈Ω

P ∗({ω}) + 1

2 X ∞ ω∈ΩX (ω)P ∗({ω}) = 1 .

Očito je 1 + X (ω)2 X ∞ > 0, pa je P∗∗({ω}) > 0 za sve ω ∈ Ω. Dakle, P ∗∗ je

vjerojatnost ekvivalentna s P ∗ i P ∗∗= P ∗ (zbog X = 0).Neka je φ = (( φ1t , . . . , φ dt ) : 1 ≤ t ≤ T ) predvidiv proces. Računamo

E ∗∗[T

t =1

φt · ∆ S̃ t ]

= E ∗[T

t =1

φt · ∆ S̃ t ] + 1

2 X ∞E ∗[X

T

t=1

φt · ∆ S̃ t ] = 0 .

Prvi sumand je nula, jer je ( S̃ t ) P ∗-martingal, a drugi je nula, jer je X ⊥ Ṽ .Po Propoziciji 2.18 slijedi da je (S̃ t : 0 ≤ t ≤ T ) martingal u donosu na P ∗∗.Dakle, P ∗∗ je martingalna mjera. Budući da je različita od P ∗, martingalna

mjera nije jedinstvena.

Pretpostavimo sada da je tržište bez arbitraže i potpuno. Neka je P ∗ jedinstvena ekvivalentna martingalna mjera. Cilj nam je odrediti cijenuproizvoljnog slučajnog zahtjeva C .

Neka je C ≥ 0 proizvoljna F T -izmjeriva slučajna varijabla, te neka je φdopustiva strategija koja replicira C : V T (φ) = C . Niz (Ṽ t (φ) : 0 ≤ t ≤ T ) jeP ∗-martingal, pa je

V 0(φ) = E ∗[Ṽ T (φ)] = E ∗ C S 0T

.

Općenitije,

Ṽ t (φ) = E ∗[Ṽ T (φ) | F t ] = E ∗ C S 0T

| F t , t = 0, 1, . . . , T ,

otkudV t (φ) = S 0t E ∗

C S 0T

| F t , t = 0, 1, . . . , T . (2.4)

c ZV 54

8/18/2019 fm-p2

20/31


Dakle, u trenutku t je vrijednost V t (φ) dopustive strategije φ koja repliciraC potpuno odredena s C .

Prirodno je V t (φ) zvati cijenom slučajnog zahtjeva u trenutku t. To jebogatstvo potrebno u trenutku t za repliciranje zahtjeva C slijedeći strategijuφ. Specijalno, u trenutku t = 0,

C 0 = V 0(φ) = E ∗ C S 0T

.

Pretpostavimo da investitor u trenutku t = 0 proda slučajni zahtjevC za cijenu C 0 = E ∗[C/S 0T ], te dobiveni iznos C 0 = V 0(φ) uloži u repli-cirajući portfelj φ. Budući da je φ samonancira jući, investitor može sli- jediti φ bez dodatnog ulaganja. Dakle, u svakom daljnjem vremenskomtrenutku t, redistribucija imovina po dinamičkom portfelju φ je besplatna.U trenutku T , vrijednost portfelja jednaka je V T (φ). Medutim , V T (φ) = C ,što znači da je iznos V T (φ) upravo dovoljan za pokriće obaveze dospijele poslučajnom zahtjevu C . Drugim riječima, dinamički portfelj φ je savršenazaštita (engl. hedge) za slučajni zahtjev C .

Uočite da nam je do sada za razvoj teorije bila potrebna samo egzistencijareplicirajućeg portfelja φ. Za praktične potrebe hedginga, važno je izračunati

taj portfelj. To ćemo kasnije naučiti za slučaj Cox-Ross-Rubinsteinovog (ilibinomnog) modela.

Napomena 2.28 Ponovimo još jednom da za računanje cijene slučajnog za-htjeva (opcije) moramo znati samo vjerojatnost P ∗, t.j., ekvivalentnu martin-galnu mjeru. Vjerojatnost P , koja može biti objektivna vjerojatnost (statistič-ki ustanovljena) ili bilo koja subjektivna vjerojatnost, potpuno je irelevantna za računanje cijena opcija. Cijena slučajnog zahtjeva jednaka je vrijednosti portfelja koji replicira taj slučajni zahtjev .

2.4 Uvod u amerǐcke opcijeDenicija 2.29 Američka call opcija s dospijećem T i cijenom izvršenja K je ugovor koji vlasniku opcije daje pravo kupiti dionicu po cijeni K u bilokojem vremenskom trenutku do datuma dospijeća T . Američka put opcija s dospijećem T i cijenom izvršenja K je ugovor koji vlasniku opcije daje pravoprodati dionicu po cijeni K u bilo kojem vremenskom trenutku do datuma dospijeća T .

c ZV 55

8/18/2019 fm-p2

21/31


Razlika amerǐckih opcija u odnosu na opcije koje smo do sada promatrali(europske opcije) je ta da se pravo na kupnju (prodaju) može ostvariti i utrenucima prije dospijeća opcije.

Pretpostavimo da je amerǐcka call opcija napisana na prvu nancijskuimovinu, te da je cijena izvršenja jednaka K . U trenutku t = 1, vrijednosttog američkog calla jednaka je ( S 11 − K )+ , u trenutku t = 2 vrijednost je(S 12 − K )+ , i tako dalje do trenutka t = T kada joj je vrijednost ( S 1T − K )+ .Stavimo Z t := ( S 1t − K )+ , t = 0, 1, . . . , T . Tada na amerǐcku call opcijumožemo gledati kao na adaptiran niz slučajnih varijabli ( Z t : t = 0, 1, . . . , T ).

To vodi na deniciju američkog slučajnog zahtjeva (opcije).Denicija 2.30 Američki slučajni zahtjev je adaptiran niz slučajnih varijabli Z = ( Z t : t = 0, 1, . . . , T ).

Označimo sa U t , t = 0, 1, . . . , T , cijenu (vrijednost) američkog slučajnogzahtjeva Z = ( Z t : t = 0, 1, . . . , T ). Uočimo da je U t općenito sluča jnavarijabla. Kako možemo odrediti cijene ( U t : t = 0, 1, . . . , T )? Uočimo da je u trenutku T vrijednost U T američkog slučajnog zahtjeva Z jednaka točnoZ T . Promotrimo trenutak T − 1. U tom trenutku vlasnik američke opcije jemože odmah iskoristiti i dobiti iznos Z T − 1, ili je može iskoristiti u trenutku

T , te dobiti iznos Z T . U trenutku T − 1 iznos Z T je nepoznat, ali znamoizračunati njegovu vrijednost (cijenu). To je vrijednost (u trenutku T − 1)opcije koja u trenutku T vrijedi Z T . Ta vrijednost je po formuli (2.4) jednaka

S 0T − 1 E∗[ Z̃ T | F T − 1] = S 0T − 1 E ∗

Z T S 0T

| F T − 1 .

Racionalni investitor odlučit će se u trenutku T − 1 za vécu od te dvijevrijednosti. Zato je

U T − 1 = max Z T − 1, S 0T − 1 E∗[ Z̃ T | F T − 1] ,

= max Z T − 1, S 0T − 1 E∗ Z T

S 0T | F T − 1 .

Primjetimo da je U T − 1 F T − 1-izmjeriva slučajna varijabla koja je vrijednostameričke opcije Z u trenutku T − 1.

Pomaknimo se jedan vremenski trenutak unatrag i promotrimo što sedogada u t = T − 2. Investitor može odmah iskoristiti opciju i dobiti iznosZ T − 2, ili je ne iskorisiti. Ako ne iskorisiti opciju, u trenutku T − 1 ona će

c ZV 56

8/18/2019 fm-p2

22/31


vrijediti U T − 1. Vrijednost (u trenutku T − 2) opcije U T − 1 s dospijećem T − 1po formuli (2.4) jednaka je

S 0T − 2 E∗

U T − 1S 0T − 1

| F T − 2 .

Slijedi da je

U T − 2 = max Z T − 2, S 0T − 2 E∗ U T − 1

S 0T − 1| F T − 2 .

Indukcijom unatrag dobivamo da je za sve t = 1, . . . , T ,

U t − 1 = max Z t− 1, S 0t − 1 E∗

U tS 0t

| F t . (2.5)

Za sluča j S 0t = (1 + r )t , iz gornje formule slijedi

U t − 1 = max Z t− 1, 11 + r

E ∗[U t | F t − 1] .

Neka je Ũ t := U t /S 0t diskontirana cijena američke opcije.

Propozicija 2.31 Niz (Ũ t : 0 ≤ t ≤ T ) je P ∗-supermartingal. To je naj-manji P ∗ supermartingal koji dominira niz ( Z̃ t : 0 ≤ t ≤ T ).

Dokaz: Iz jednakosti (2.5) slijedi

U t − 1S 0t − 1

= maxZ t − 1S 0t − 1

, E ∗U tS 0t

| F t − 1 ,

t.j.,

Ũ t − 1 = max( Z̃ t − 1, E∗

[Ũ t | F t − 1]) .Odavde čitamo:

Ũ t − 1 ≥ Z̃ t − 1 , t = 1, . . . T (Ũ dominira Z̃ ), iŨ t − 1 ≥ E ∗[Ũ t | F t − 1] , t = 1, . . . T (Ũ je supermartingal) .

Dakle, (Ũ t : 0 ≤ t ≤ T ) je P ∗-supermartingal koji dominira niz Z̃ t : 0 ≤ t ≤T ).

c ZV 57

8/18/2019 fm-p2

23/31


Sada pokazujemo da je ( Ũ t : 0 ≤ t ≤ T ) najmanji supermartingal kojidominira niz ( Z̃ t : 0 ≤ t ≤ T ). Neka je (X t : t = 0, 1, . . . , T ) supermartingalkoji dominira Z̃ , X t ≥ Z̃ t , t = 0, 1, . . . , T . Zbog Z̃ T = Ũ T vrijedi X T ≥ Ũ T .Pretpostavimo da vrijedi X t ≥ Ũ t . Tada je

X t − 1 ≥ E ∗[X t | F t − 1] ≥ E ∗[Ũ t | F t − 1] , iX t − 1 ≥ Z̃ t − 1 .

SlijediX t− 1 ≥ max( Z̃ t − 1, E ∗[Ũ t | F t − 1]) = Ũ t − 1 .

Napomena 2.32 Za razliku od europskog slučajnog zahtjeva, diskontirana cijena američkog slučajnog zahtjeva nije nužno P ∗-martingal, već samo P ∗-supermartingal.

2.5 CRR model

U ovom odjeljku ćemo detaljno proučiti Cox-Ross-Rubinsteinov model (CRR

model), koji je diskretna verzija Black-Scholesovog modela.Pretpostavke: na nancijskom tržištu imamo jednu rizičnu nancijsku

imovinu (dionica), čija je cijena jednaka S t u trenutku t, 0 ≤ t ≤ T , tenerizičnu imovinu s ksnim povratom r > 0 u jednom vremenskom trenutku:S 0t = (1 + r )t , 0 ≤ t ≤ T . Rizičnu imovinu modeliramo na sljedeći način:izmedu dva konsekutivna perioda, relativna promjena cijene je ili a ili b, gdje je − 1 < a < b . To znači da je

S t +1 =S t (1 + a)

iliS t (1 + b)

U trenutku t = 0 dana je početna cijena S 0.Konstruirajmo prostor elementarnih dogadaja. Uočimo da se u svakom

trenutku t slučajnost manifestira samo u tome da li je relativna promjenacijene jednaka a ili b. Stavimo Ω1 := {a, b}, te neka je P 1 vjerojatnost na(Ω1, P (Ω1)) dana s P 1({b}) = p, P 1({a}) = 1 − p, 0 < p < 1. Za prostorelementarnih dogadaja Ω uzeti ćemo Kartezijev produkt skupa {a, b}. Dakle,

Ω = ΩT 1 = {a, b}T .

c ZV 58

8/18/2019 fm-p2

24/31


Na primjer, za T = 4, elementarni dogadaj ( b,b,a,b) znači da je u trenucimat = 1, 2, 4 relativna promjena cijene dionice bila b, a u trenutku t = 3,relativna promjena je bila a. Uočimo da se Ω sastoji od T -torki ( ω1, . . . , ωT )gdje je za t = 1, 2, . . . , T , ωt ili a ili b. Za vjerojatnost P na (Ω, P (Ω))uzimamo produktnu vjerojatnost P T 1 . Dakle, P = P T 1 .

Na vjerojatnosnom prostoru (Ω , P (Ω), P ) deniramo niz slučajnih varijabli X 1, X 2, . . . X T na sljedeći način:

X t (ω) = ωt , ω = ( ω1, ω2, . . . , ωT ) .

Uočimo da su to nezavisne slučajne varijable, s distribucijomP (X t = a) = 1 − p , P (X t = b) = p .

Neka je S 0 ∈ R + dano. Niz slučajnih varijabli S = ( S t : t = 0, 1, . . . , T )deniramo sa

S t := S t − 1(1 + X t ) , t = 1, 2, . . . , T .Uočimo da je

S t − S t− 1S t − 1

= X t .

Prema tome, niz S = ( S t : t = 0, 1, . . . , T ) možemo interpretirati kao nizcijena dionice kod koje je u svakom trenutku t relativna promjena cijene (t.j.,povrat) jednaka ili a ili b. Te relativne promjene modelirane su slučajnimvarijablama X t , t = 1, 2, . . . , T .

Još preostaje denirati ltraciju F = ( F t : t = 0, 1, . . . , T ) na (Ω, P (Ω).Po deniciji je F 0 := {∅, Ω} Dostupna informacija u trenutku t su cijenedionice do (uključivo) trenutka t. Dakle, imamo informaciju o S 0, S 1, . . . , S t .Uočimo da je ta informacija jednaka informaciji koju možemo dobiti pomoćuX 1, . . . , X t . To je jasno: iz relativnih promjena cijena možemo rekonstru-irati cijene dionice, i obratno, iz cijena dionice možemo izračunati rela-tivne promjene. Matematǐcki se informacija dana s S 1, . . . , S t opisuje σ-algebrom F t := σ(S 1, . . . , S t ). To je najmanja σ-algebra na Ω takva da su

sve slučajne varijable S 1, . . . , S t izmjerive. Alternativno, zbog jednake infor-macije sadržane u nizu X 1, . . . , X t , vrijedi F t = σ(X 1, . . . , X t ).Primjer 2.33 Neka je T = 3. Izračunajmo eksplicitno ltraciju F tako daizračunamo atome odgovara jućih σ-algebri F t . Vrijedi:F 1 − {(a,a,a ), (a,a,b ), (a,b,a ), (a,b,b)}, {(b,a,a ), (b,a,b), (b,b,a), (b,b,b)} ,F 2 − {(a,a,a ), (a,a,b )}, {(a,b,a ), (a,b,b)}, {(b,a,a ), (b,a,b)}, {(b,b,a), (b,b,b)} ,F 3 − {(a,a,a )}, {(a,a,b )}, {(a,b,a )}, {(a,b,b)}, {(b,a,a )}, {(b,a,b)}, {(b,b,a)}, {(b,b,b)} .

c ZV 59

8/18/2019 fm-p2

25/31


Diskontirane cijene dionice denirane su kao i do sada: S̃ t = S t /S 0t .Sljedeća lema je glavni tehnički alat za rezultate ove točke.

Lema 2.34 Neka je P̂ vjerojatnost na (Ω, F ) ekvivalentna s P .

(a) Niz diskontiranih cijena (S̃ t : t = 0, 1, . . . , T ) je P̂ -martingal ako i samo ako vrijedi

Ê [X t | F t − 1] = r , t = 1, 2, . . . , T .

(b) Neka je zadovoljen uvjet (a). Tada vrijedi a < r < b i slučajne varijable X 1, X 2, . . . , X T su nezavisne i jednako distribuirane (u odnosu na P̂ ).

Dokaz: (a) Za t ∈ {1, 2, . . . , T } vrijedi sljedeći niz ekvivalencija:

Ê [ S̃ t | F t− 1] = S̃ t − 1

⇔ Ê S̃ tS̃ t − 1

| F t − 1 = 1

⇔ ÊS tS 0t

S t − 1S 0t − 1

| F t− 1 = 1

⇔ 11 + r

Ê S tS t − 1

| F t− 1 = 1

⇔ Ê [1 + X t | F t− 1] = 1 + r⇔ Ê [X t | F t − 1] = r

(b) Po pretpostavci imamo Ê [X t | F t− 1] = r. Medutim, X t ∈ {a, b}, teP̂ (X t = a) > 0 i P̂ (X t = b) > 0. Pretpostavimo da ne vrijedi r ∈ (a, b).Tada je ili r ≤ a < b ili a < b ≤ r . U prvom slučaju je tada P̂ (X t ≥ r ) = 1 iP̂

(X t > r ) > 0 otkud slijedi Ê

[X t | F t − 1] > r . Medutim, to je u kontradikcijis Ê [X t | F t − 1] = r . Slučaj a < b ≤ r na isti način daje kontradikciju.Nadalje računamo:

r = Ê [X t | F t− 1]= Ê [1(X t = a )X t | F t − 1] + Ê [1(X t = b)X t | F t − 1]= aÊ [1(X t = a ) | F t − 1] + bÊ [1(X t = b) | F t− 1]= aP̂ [X t = a | F t − 1] + bP̂ [X t = b | F t− 1]

c ZV 60

8/18/2019 fm-p2

26/31


Takoder,1 = P̂ [X t = a | F t− 1] + P̂ [X t = b | F t − 1] .

Rješavanjem po P̂ [X t = a | F t − 1] i P̂ [X t = b | F t− 1] slijedi

P̂ [X t = a | F t− 1] = b− rb− a

, P̂ [X t = b | F t− 1] = r − ab − a

. (2.6)

Deniramoˆ p :=

r − ab− a

Zbog pokazanog a < r < b slijedi 0 < ˆ p < 1. Uz ovako denirani ˆ p, (2.6)postaje

P̂ [X t = a | F t − 1] = 1 − ˆ p , P̂ [X t = b | F t− 1] = ˆ p .

Iz gornje dvije jednakosti prvo čitamo da je

P̂ [X t = a] = Ê [1(X t = a )] = Ê [Ê [1(X t = a ) | F t − 1]] = Ê [1 − ˆ p] = 1 − ˆ p ,

i slǐcno, P̂ [X t = b] = ˆ p. To pokazuje jednaku distribuiranost slučajnih va-rijabli X 1, X 2, . . . , X T . Drugo što čitamo iz (2 .6) je da je X t nezavisna odσ-algebre F t − 1, t = 1, 2, . . . , T . Budući da je F t − 1 generirana s X 1, . . . , X t − 1,slijedi da je X t nezavisna s X 1, . . . , X t − 1, t = 1, 2, . . . , T . Odavde se vidinezavisnost slučajnih varijabli X 1, X 2, . . . , X T (u odnosu na P̂ ).

Uočimo da je uz pretpostavke gornje leme, X t nezavisna od F t − 1 (uodnosu na P̂ ), pa je uvjetno očekivanje Ê [X t | F t − 1] ustvari jednako očekivanjuÊ [X t ] = (1 − ˆ p)a + ̂p b.

Lema 2.35 Ako tržǐste ne dopušta arbitražu, tada je r ∈(a, b).

Dokaz: Ako tržište ne dopušta arbitražu, tada postoji ekvivalentna martin-

galna mjera P∗

. Po Lemi 2.34 (a) (primjenjenoj na vjerojatnost P∗

), slijedida je E ∗[X t | F t − 1] = r . Sada iz Leme 2.34 (b) slijedi da je a < r < b .

Gornju lemu možemo jednostavno objasniti i ekonomskim argumentom.Pretpostavimo da r /∈ (a, b), i na primjer, r ≤ a < b. Tada je S T (ω) ≥S 0(1 + a)T ≥ S 0(1 + r )T za sve ω ∈ Ω, te postoji ω′ takav da je S T (ω′) >S 0(1+ r )T . Dakle, posudimo li iz banke S 0 kuna i investiramo u jednu dionicurizične imovine (te čekamo da dode vrijeme T ), ne možemo imati manje od

c ZV 61

8/18/2019 fm-p2

27/31


S 0(1+ r )T koliko smo u trenutku T dužni banci, a s pozitivnom vjerojatnošćućemo imati strogo više od tog iznosa.

Sadaželimo pokazati obrat Leme 2.35, t.j., ako je r ∈(a, b), tada třzǐste nedopušta arbitražu. To ćemo dokazati tako da konstruiramo ekvivalentnu mar-tingalnu mjeru P ∗. Uz P ∗, proces diskontiranih cijena ( S̃ t : t = 0, 1, . . . , T )treba biti martingal. Po Lemi 2.34, će tada vrijediti E ∗[X 1] = r. Ako je p∗ := P ∗(X 1 = b), tada je r = E ∗[X 1] = (1 − p∗)a + p∗b, otkud dobivamo

p∗= r − ab − a

.

Denirajmo sada p∗ gornjom formulom. Uz pretpostavku a < r < b vrijedi0 < p∗< 1. Neka je P ∗1 vjerojatnost na (Ω 1, P (Ω1)) dana s P ∗1({b}) = p∗, teneka je P ∗ := ( P ∗1)T . Vjerojatnost P ∗ekvivalentna je vjerojatnosti P . Štovǐse,slučajne varijable X 1, X 2, . . . , X T su nezavisne u odnosu na P ∗. Nadalje, zasve t = 1, 2, . . . , T vrijedi

P ∗(X t = a) = 1 − p∗, P ∗(X t = b) = p∗.

Budući da je E ∗[X t | F t − 1] = E ∗[X t ] = (1 − p∗)a + p∗b = r, iz Leme 2.34(a) slijedi da je ( S̃ t : t = 0, 1, . . . , T ) martingal u odnosu na P ∗. Dakle,ovako konstruirana vjerojatnost P ∗ je ekvivalentna martingalna mjera. Nataj način smo dokazali prvi dio sljedeće propozicije.

Propozicija 2.36 (a) CRR model ne dopušta arbitražu ako i samo ako je a < r < b .

(b) Ako je a < r < b , tada je CRR model potpun.

Dokaz: (b) Neka su P ∗ i P̂ dvije ekvivalentne martingalne mjere. Po Lemi2.34 (b), slučajne varijable X 1, X 2, . . . , X T su tada nezavisne, jednako dis-tribuirane (i po P ∗ i po P̂ ), te vrijedi

P ∗(X t = a) = 1 − p = P̂ (X t = a) , P ∗(X t = b) = p = P̂ (X t = b) .

Zbog

P ∗({(ω1, . . . , ωT )}) = P ∗(X 1 = ω1, . . . , X T = ωT )= P ∗(X 1 = ω1) · · · P ∗(X T = ωT ) ,

c ZV 62

8/18/2019 fm-p2

28/31


i slǐcno

P̂ ({(ω1, . . . , ωT )}) = P̂ (X 1 = ω1, . . . , X T = ωT )= P̂ (X 1 = ω1) · · · P̂ (X T = ωT ) ,

slijediP ∗({(ω1, . . . , ωT )}) = P̂ ({(ω1, . . . , ωT )})

za sve (ω1, . . . , ωT ) ∈ Ω (ovdje su ω1, . . . , ω t ∈ {a, b}). Zato je P ∗ = P̂ ,što znači da je martingalna mjera jedinstvena. Po Teoremu 2.27, tržište jepotpuno.

Označimo sa C t (odnosno P t ), t = 0, 1, . . . , T , vrijednost call opcije(odnosno put opcije) na jednu dionicu sa cijenom izvřsenja K i datumomdospijeća T . Te vrijednosti su na dan dospijeća jednake

C T = ( S T − K )+ , P T = ( K S − T )+ .

Nadalje, neka je P ∗ jedinstvena martingalna mjera. Tada po formuli (2.4)imamo

C t = S 0t E ∗C T S 0T

| F t = (1 + r )− (T − t ) E ∗[(S T − K )+ | F t ] (2.7)

P t = S 0t E ∗P T S 0T

| F t = (1 + r )− (T − t ) E ∗[(K − S T )+ | F t ] . (2.8)

Vrijednosti C t i P t zadovoljavaju sljedeći call-put paritet :

C t − P t = (1 + r )− (T − t ) E ∗[(S T − K )+ − (K − S T )+ | F t ]= (1 + r )− (T − t ) E ∗[S T − K | F t ]= (1 + r )− (T − t ) E ∗[S T | F t ] − K (1 + r )− (T − t )

= S t − K (1 + r )− (T − t )

Uočimo da je formulom (2.7) dan izraz za cijenu call opcije pomoćuočekivanja u odnosu na ekvivalentnu martingalnu mjeru P ∗. Sada ćemo toočekivanje eksplicitno izračunati.

Propozicija 2.37 Neka je c : {0, 1, . . . , T } × R → R denirana formulom

c(t, x ) := (1+ r )− (T − t )T − t

j =0

T − t j

(1− p∗) j ( p∗)T − t − j x(1 + a) j (1 + b)T − t − j − K + .

(2.9)

c ZV 63

8/18/2019 fm-p2

29/31


Tada vrijedi C t = c(t, S t ) za svaki t ∈ {0, 1, . . . , T }. Specijalno, u trenutku t = 0 cijena call opcije je

C 0 = c(0, S 0) = (1+ r )− T T

j =0

T j

(1− p∗) j ( p∗)T − j (S 0(1+ a) j (1+ b)T − j − K )+ .

(2.10)

Dokaz: Zbog S t = S t − 1(1 + X t ) vrijedi da je S T = S tT i= t +1 (1 + X i ),

t = 0, 1, . . . , T . Stoga je po formuli (2.7)

C t = (1 + r )− (T − t ) E ∗[(S tT

i= t +1

(1 + X i ) − K )+ | F t ] .

Računamo

E ∗[(S tT

i= t +1

(1 + X i ) − K )+ | S t = x]

= E ∗[(xT

i= t+1

(1 + X i ) − K )+ | S t = x]

= E ∗[(xT

i= t+1

(1 + X i ) − K )+ ] (zbog nezavisnosti X i , i ≥ t + 1 , i S t )

= E ∗[(xT − t

i=1

(1 + X i ) − K )+ ] (zbog X i su njd uz P ∗)

=T − t

j =0

T − t j

(1 − p∗) j ( p∗)T − t − j x(1 + a) j (1 + b)T − t− j − K + ,

gdje zadnja jednakost slijedi iz distribucije (uz P ∗) slučajnih varijabli X j .Tvrdnja propozicije slijedi direktno iz gornjih računa.

Budući da je model koji promatramo potpun, call opcija se može replici-rati. Sada ćemo eksplicitno izračunati replicirajuću strategiju φ = (( φ0t , φ1t ),0 ≤ t ≤ T ). Slijedimo li strategiju φ, vrijednost portfelja u trenutkut ∈ {1, . . . , T } jednaka je φ0t (1 + r ) t + φ1t S t . S druge strane, budući dastrategija replicira call opciju, vrijednost replicira jućeg portfelja u trenutku

c ZV 64

8/18/2019 fm-p2

30/31

8/18/2019 fm-p2

31/31


Kako računamo replicirajuću strategiju call opcije? U trenutku t = 0vrijednost opcije jednaka je C 0. Izračunamo φ11 = ∆(1 , S 0) što možemo, jer nam je S 0 poznato u trenutku t = 0. Vrijednost od φ01 izračunamo iz jednakosti φ01 + φ11S 0 = C 0. Riječima, u trenutku t = 0 raspolažemo iznosomC 0. Dio φ11S 0 tog iznosa uložimo u dionice, a ostatak stavimo u banku (iliposudimo iz banke u slučaju φ11S 0 > C 0). U trenutku t = 1 sazna se cijenadionice S 1. Izračunamo ∆(2 , S 1) što je φ12. Rebalansiramo portefelj takoda sadrži φ12 dionica u vrijednosti φ12S 1. Razlika ostaje u novcu. Preciznije,vrijedi

V 1(φ) = φ01(1 + r ) + φ

11S 1 = φ

02(1 + r ) + φ

12S 1 ,

otkud izračunamoφ02 =

11 + r

(V 1(φ) − φ12S 1) .

Na isti način računamo replicirajući portfelj u ostalim vremenskim trenucima.

c ZV 66

fm-p2

Documents

Transcript of fm-p2