7/23/2019 Demostracions FM

http://slidepdf.com/reader/full/demostracions-fm 1/42

 

7/23/2019 Demostracions FM

http://slidepdf.com/reader/full/demostracions-fm 2/42

 

 

    ∑

                        −      

  ∑

   

    ∑

−

− −  

  ∑

 

 

 

    ∑

−  

−  

−

−

 

 

−  

 

−

−

−   −  

 

− −  

  −  

  − −        

−    

 −       −  

 

7/23/2019 Demostracions FM

http://slidepdf.com/reader/full/demostracions-fm 3/42

 

    ∑

      ∑

       ∑

    

    ∑

    ∑

     

      

       

           −  

∑

 

       

7/23/2019 Demostracions FM

http://slidepdf.com/reader/full/demostracions-fm 4/42

 

       

      

       −  

∑

     −

−    

 

               ∏

              −  

7/23/2019 Demostracions FM

http://slidepdf.com/reader/full/demostracions-fm 5/42

 

 

      ∏

 ∏

      ∏

    

    ∏

    − ∏

     

∏

    

∏

   

 

7/23/2019 Demostracions FM

http://slidepdf.com/reader/full/demostracions-fm 6/42

 

   

     

⋁ ⋀ → ↔ ¬  

   ¬    →    ¬ ⋀       ¬ ⋀     ⋁   →           ¬ → ¬ ↔    ⋁ ¬  

 

      ⋁   →      ⋁   →    

 

¬  

  ⋁ ⋀ → ↔  

   

       ¬  

   

   

7/23/2019 Demostracions FM

http://slidepdf.com/reader/full/demostracions-fm 7/42

 

        ⋀     ⋁     →       ↔    

           

           

           

           

       

             ¬       → ¬      ¬ → ¬    ¬      ⋁ ¬         ¬ → ¬ ↔    ⋁ ¬  

               

                 

                 

                 

                 

                 

                 

                 

 

   

7/23/2019 Demostracions FM

http://slidepdf.com/reader/full/demostracions-fm 8/42

 

¬   ¬    

         

 

   

   

     ⋁ ¬    →       ⋀   →      →    ⋁  

    →    →      ⋀   →    →    ¬         ⋀   →    → ¬  

     ⋀ ¬  

 

     

 ≡   

 

 

7/23/2019 Demostracions FM

http://slidepdf.com/reader/full/demostracions-fm 9/42

 

  ⋀   ⋁   ≡    ⋀   ⋁   ⋀   ⋁   ⋀   ≡    ⋁   ⋀   ⋁  

¬ ⋀   ≡ ¬ ⋁ ¬   ¬ ⋁   ≡ ¬ ⋀ ¬  

  ⋀   ⋁   ≡    ⋁   ⋀   ≡   

⋀  ≡    ⋁  ≡   

⋀  ≡  ⋀   ⋁  ≡  ⋁  

  ⋀   ⋀   ≡    ⋀   ⋀   ⋁   ⋁   ≡    ⋁   ⋁  

⋀  ≡    ⋁  ≡   

⋁  ≡    ⋀  ≡   

⋁ ¬ ≡    ⋀ ¬ ≡   

¬¬ ≡   

→        →    ≡ ¬ ⋁          ¬ →    ≡  ⋀ ¬  

   →     ≡ ¬ → ¬  

     ≡ ¬ →     →    ≡  ⋀ ¬ → 

⋁     ⋁   ≡ ¬ →            →    ⋁    ≡  ⋀ ¬ →    

⋁                 ⋁    →   ≡    →    ⋀   →   

7/23/2019 Demostracions FM

http://slidepdf.com/reader/full/demostracions-fm 10/42

 

 

     

  ℤ                    

                     ≡    

    ⋁ ⋀ ¬ → ↔  

  ∀ ∃  

     ∀ →   

       ∃ ⋀   

      ∀ →    

         ∃ ⋀ ¬  

        ∀ ⋀   →    

             ∃ ⋀ ¬ ⋀ ¬  

7/23/2019 Demostracions FM

http://slidepdf.com/reader/full/demostracions-fm 11/42

 

          ⋀ ¬ ⋀ ¬  

          ∃ ⋀   ⋀ ¬  

∀  ∃ ¬¬ ≡  ∃  ∀ ¬¬ ≡ 

 ∀  ∀ ∀ ∀ ≡   ∃  ∃ ∃ ∃ ≡ 

  ∀    ∀ ∀ ⋀   ≡  ⋀     ∃    ∃ ∃ ⋁   ≡  ⋁  

∀       ∃        ¬ →    ≡  ⋀ ¬  

       ∀       ∃ →    ≡  → ∃  

∀       ∃    ∃       ¬ ↔    ≡         ⋀ ¬ ⋁   ⋀ ¬  

7/23/2019 Demostracions FM

http://slidepdf.com/reader/full/demostracions-fm 12/42

 

⇒  ⇔  

  ¬ ⋀   ⋁  →   ↔  

 

                  ⇒    

⇒  

  ⇒    

     

      ⇒        

    

   

            ⇒ 

        ⇒ 

     ¬         ⇒           ⇒    ⇒ 

         ¬  ¬   ⇒    ⇒ 

           ⇒     ⇒     ⇒  ⇒   

 

7/23/2019 Demostracions FM

http://slidepdf.com/reader/full/demostracions-fm 13/42

 

      ⋀   →   

      →    ⋁  

        ⋁   ⋀ ¬ →   

      ⋀   →    →   

¬         ⋀   →    → ¬  

              →    ⋀   →     →    →   

       ⇒          

         ⇒          

         ⇒                     ⇒     

        ≤     ≥    ⇒  ≤   

              ⇒ 

     ′  ′  ⇒    ′    ′  

     ′  ′  ⇒      ′     ′  

    ⇒   ⇔  

 

              

 

     ⇒ 

           

 

             ⇒  ′   ⇒  ′′   ⇒  ⇒ 

7/23/2019 Demostracions FM

http://slidepdf.com/reader/full/demostracions-fm 14/42

 

 

    −  

  ¬       →     ≡  → ¬  

  ⇒    

   ¬   ¬   ⇒  ⇒ 

 

 

 

   

         ≤ √   ≤ √  

     ≤    ≤    ≤   

          

        

7/23/2019 Demostracions FM

http://slidepdf.com/reader/full/demostracions-fm 15/42

 

      ≡ ¬ →   

    

   ¬   ⇒  ⇒ 

√  

       

   

       

        

     

   

      →     ≡    ⋀ ¬ →   

  ⇒    

        ¬   ⇒  ⇒ 

7/23/2019 Demostracions FM

http://slidepdf.com/reader/full/demostracions-fm 16/42

 

        √     

       

 

            

       ≤ √   ≤ √  

         

 

 ⋁   ⋁  

    ≡   →    ⋀   ⋀    →   

           

       

     ⇒  ⇒ 

       

      ⇒  ⇒ 

7/23/2019 Demostracions FM

http://slidepdf.com/reader/full/demostracions-fm 17/42

 

 

≥     

     ∣ ∣    ∣ ∣   ∣ ∣  

 

         

      ⋁     ⇒   

            ⋁    →    ≡  →    ⋀   →   

 

 

     

   

   

 

  ¬     ⋁     ≡  →   

  ⋁   

     ¬   ⇒  ⇒ 

 

 

7/23/2019 Demostracions FM

http://slidepdf.com/reader/full/demostracions-fm 18/42

 

          →    ⋁     ≡  ⋀ ¬ →   

      ⇒    ⋁   

          ¬   ⇒  ⇒ 

     ≤    ≤    ≤   

         ≤ √  

 ≤ √  

           

     

             ≤ √

  

 ≤ √

    ≤ √

  

 

            ↔    ≡  →    ⋀   →   

  ⇔   

  ⇒   

   ⇒   

7/23/2019 Demostracions FM

http://slidepdf.com/reader/full/demostracions-fm 19/42

 

         

  ⇒ 

 

  ⇒ 

 

   ⇒  

 

 

         

         

        −  

   

 

   ∃         

7/23/2019 Demostracions FM

http://slidepdf.com/reader/full/demostracions-fm 20/42

 

        ∃ ∈ ℝ   ⋀  −  

                 ∃ ∈ ℤ   ⋀   ≡   

 

∀      ¬   ¬ ≡ ∃  

   ∀  

      

 

 

        ∀ ∈ ℝ    ⇒    ≥   

                ∀ ∈ ℤ   ≡    ⇒ 

                ∀ ∈ ℤ   ⇒ 

   

  ∀      ∃              

                ∀        ∃ ∈ ℕ   ∈ ℕ   ≤   

    

 ∃      ∀                  

              ∃        ∀ ∈ ℕ   ∈ ℕ      

7/23/2019 Demostracions FM

http://slidepdf.com/reader/full/demostracions-fm 21/42

 

       

   ∀      ∃      ∃      ∀    

    ∃        ∀ ∈ ℝ   ∈ ℝ     −  

    ∀        ∃ ∈ ℝ   ∈ ℝ     −  

    ∃        ∀ ∈ ℝ   ∈ ℝ     −  

    ∀        ∃ ∈ ℝ   ∈ ℝ     −  

         

            ⇒  ⇒     

7/23/2019 Demostracions FM

http://slidepdf.com/reader/full/demostracions-fm 22/42

 

     

 

          ε         ∀                

     ε     ∀            

                                 

 

         

        ∣   ≤      ∣  

           

   

7/23/2019 Demostracions FM

http://slidepdf.com/reader/full/demostracions-fm 23/42

 

 ∀ ≥   

      

 ≥    

    

        

∑

 

  ≥   

−  ≥   

      −     ≥   

−

−

−    

−   

  ≥   

∏

 

−    

 

 

 ≥   

   −           

 ≥   

−  ≥   

 

 

−  

     ≥   

  ≥     

 

7/23/2019 Demostracions FM

http://slidepdf.com/reader/full/demostracions-fm 24/42

 

 ∀ ≥   

     

 ≥    

          ⋀       ⋀   ⋀    

        

         

        −   −  ≥     

    ≥   

   ≥   

             

       

7/23/2019 Demostracions FM

http://slidepdf.com/reader/full/demostracions-fm 25/42

 

  ⊆    

     ∈    ⇒  ⇒  ⇒  ∈   

   ⊆    

 ∅ ⊆   

   ⊆   ⋃   

   ⋂   ⊆   

   −   ⊆   

      ⋃    ⊆       ⊆       ⊆   

      ⊆    ⋂      ⊆     ⊆   

            ∈    ⇔  ⇔  ⇔  ∈   

7/23/2019 Demostracions FM

http://slidepdf.com/reader/full/demostracions-fm 26/42

 

  ⋃      

  ⋃∅    

   ⋂ ∅ ∅  

   ⋃      ⋃    

   ⋂      ⋂    

              ⋂   ⋃      ⋂    ⋃   ⋂   

              ⋃   ⋂      ⋃    ⋂   ⋃   

      ⋂   ⋃       

      ⋃   ⋂       

      

  ⊆   

     ∈    ⇒  ⇒  ⇒  ∈   

   ⊆         ∈    ⇒  ⇒  ⇒  ∈   

      ⋂   ⋃       

      ⋃   ⋂       

  ⊆       ⋃      

  ⊆       ⋂      

7/23/2019 Demostracions FM

http://slidepdf.com/reader/full/demostracions-fm 27/42

 

   ∅  

       ∃ ∈    ⇒  ⇒  ⇒ 

   ⋂ ∅ ∅  

   −   ∅  

 ∅ −   ∅  

      −    ⋂   ∅  

  ⊆       −   ∅  

      ⊆    −      ⊆     ⋂    ∅  

 

 

⊈            ∈   ∃ ∈  ⋀      

7/23/2019 Demostracions FM

http://slidepdf.com/reader/full/demostracions-fm 28/42

 

          

        ∈             ∈   

       →        →      

                       

     

     

  ∈           

  ∈   

   

 

  ℝ       → ℝ                  −  

    

  ℝ       → ℝ                −  

           

     ℝ → ℝ              

     ℤ → ℕ            ∣ ∣  

     ℚ → ℝ             

     ℚ → ℚ         

    −  

       →              

                  →    

           

7/23/2019 Demostracions FM

http://slidepdf.com/reader/full/demostracions-fm 29/42

 

 

       →                   ∀   ′ ∈         ′   →   ′  

   ∈   

    ∃         ∀ ∈    ∈           ∈   

    ∈   

    ′ ∈   

                   ′   ⇒  ⇒   ′  

  ′ ∈                  ′    ′  

   ∈      ∈               

     ∈      ∈               

   

  ∈      ∈               

   ∈                 ∈    

7/23/2019 Demostracions FM

http://slidepdf.com/reader/full/demostracions-fm 30/42

 

 

 

      ℤ → ℕ                −                   −     ≤   

       

 

        →        ∈   

            −  

             ∈   

     −    →   

      −

              

     

             −     ⇔     

     ℚ → ℚ              −        ℝ −   → ℝ −             

    − 

     ℤ → ℕ                −                −   ≤   

         ∞ →    ∞          √       −  

7/23/2019 Demostracions FM

http://slidepdf.com/reader/full/demostracions-fm 31/42

 

           −     

  −   −    

 

       →       ⊆      ⊆   

   

                      ∈    ∈                  ∈    

   

       −          ∈   ∈    

           

   

       −      

   

ℤ → ℤ             

7/23/2019 Demostracions FM

http://slidepdf.com/reader/full/demostracions-fm 32/42

 

ℕ −  −   ℤ   εℤ         εℤ       

 

ℕ  εℤ         ℤ   εℤ      ≤    εℤ       

ℤ → ℤ                             

   

ℕ −  −   ℤ   εℤ         εℤ       

 

ℕ  εℤ         ℤ   εℤ      ≤    εℤ       

        →    

      ε          ∀       

7/23/2019 Demostracions FM

http://slidepdf.com/reader/full/demostracions-fm 33/42

 

       →           →       

   ∘      

      ∘      →              ∘           

         ∘     

   ∘      

    ∘    

     ℝ → ℝ                  ℝ → ℝ             

      ℤ → ℕ                  ℕ → ℝ  

                   

       →          −

∘             ∘     −

             →            →  

       ∘     −

     − ∘    −  

       →           →       ∘          

    ∘               

7/23/2019 Demostracions FM

http://slidepdf.com/reader/full/demostracions-fm 34/42

 

         −         −  

       →     ⇔         →      ∘          

    ∘       

          −  

      ℝ →    ∞     ∞ → ℝ  

      −     → −     −   → −    

   ∘       

   ∘          ∘      

   ∘       

  ∘      ∘        

     ∘      ∘       

7/23/2019 Demostracions FM

http://slidepdf.com/reader/full/demostracions-fm 35/42

 

7/23/2019 Demostracions FM

http://slidepdf.com/reader/full/demostracions-fm 36/42

 

7/23/2019 Demostracions FM

http://slidepdf.com/reader/full/demostracions-fm 37/42

 

7/23/2019 Demostracions FM

http://slidepdf.com/reader/full/demostracions-fm 38/42

 

7/23/2019 Demostracions FM

http://slidepdf.com/reader/full/demostracions-fm 39/42

 

          −    

        −     −  

       

           

7/23/2019 Demostracions FM

http://slidepdf.com/reader/full/demostracions-fm 40/42

 

7/23/2019 Demostracions FM

http://slidepdf.com/reader/full/demostracions-fm 41/42

 

7/23/2019 Demostracions FM

http://slidepdf.com/reader/full/demostracions-fm 42/42