FaculteitWiskunde enInformaticawsgbjvdm/2WA15/aanvulling42007.pdf · 4.3 Coördinaatvrije...

12Faculteit Wiskundeen Informatica

Aanvulling 4

VECTORANALYSE

2WA15

2006/2007

Hoofdstuk 4

De stelling van Gauss

(divergentie-stelling)

4.1 Inleiding

Dit hoofdstuk is gewijd aan slechts één stelling. De stelling van Gauss1. Deze stelling

legt een verband tussen de begrippen flux en divergentie. In dit verband kun je ook

denken aan de wet van Gauss uit de elektriciteitsleer. De stelling van Gauss speelt

een grote rol in berekeningen maar vooral in het afleiden en interpreteren van allerlei

fysische principes.

4.2 De stelling van Gauss

Gegeven een gesloten begrensd gebied R in E3 (≡ R3) met randoppervlak S dat stuks-

gewijs glad en oriënteerbaar is; de naar buiten gerichte normaal n op S; een open

verzameling D in R3 met R ⊂ D; vectorvelden v en scalarvelden ϕ die continu diffe-

rentieerbaar zijn op D.

1Carl Friedrich Gauss (1777-1855), Duits wiskundige verbonden aan de universteit van Göttingen

1

Er is een assenstelsel zo dat ϕ(P ) = ϕ(x) en v(P ) = v1(x)e1 + v2(x)e2 + v3(x)e3 met

P ≡ x en n(P ) = n1(x)e1 + n2(x)e2 + n3(x)e3 voor P ∈ S.

Er zijn twee relevante uitspraken

STELLING 4.1∫∫∫

R

grad ϕdτ = ©∫∫

S

ϕndσ , ofwel

∫∫∫

R

∂ϕ

∂xj

dτ = ©∫∫

S

ϕnjdσ , j = 1, 2, 3

voor al dergelijke ϕ.

STELLING 4.2 (Divergentiestelling van Gauss)∫∫∫

R

divv dτ = ©∫∫

S

(v, n)dσ , ofwel

∫∫∫

R

(∂v1

∂x1

+∂v2

∂x2

+∂v3

∂x3

)dτ = ©

∫∫

S

(v1n1 + v2n2 + v3n3)dσ

voor al dergelijke v.

Bovenstaande stellingen zijn equivalent. Dit is eenvoudig te verifiëren.

Eén van beide stellingen moeten we dus nog bewijzen. De opbouw van het bewijs is

als volgt

Stap 1: Bewijs van stelling 4.1 voor j = 3 voor een rechthoekig blok B van de vorm

B = {x ∈ R3 | ak ≤ xk ≤ bk , k = 1, 2, 3}

Het bewijs van stelling 4.1 voor j = 1, 2 voor B gaat op dezelfde manier.

Stap 2: Uit stap 1 volgt dat stelling 4.1 geldt voor R = B en daarom is stelling 4.2

waar voor R = B.

2

n=(1,0,0)_

n=(0,0,1)_

n=(0,1,0)_

Figuur 4.1: Het blok B met de normaalvectoren.

Stap 3: Stelling 4.2 bewijzen voor een blokstapeling en tevens onafhankelijkheid van

de stapeling.

Stap 4: Stelling 4.2 bewijzen voor algemene R met een limietproces.

Stap 1 Beschouw een blok B in de R3 (zie fig.4.1). De rand van B wordt gevormd

door zes gladde oppervlakken waarvan slechts twee (boven- en onderkant) een normaal

hebben met n3 6= 0.

©∫∫

S

ϕn3dσ =

∫∫

Sboven

ϕdσ −∫∫

Sonder

ϕdσ =

=

b1∫

a1

b2∫

a2

[ϕ(x1, x2, b3)− ϕ(x1, x2, a3)]dx1dx2

=

b1∫

a1

b2∫

a2

b3∫

a3

∂ϕ

∂x3

dx1dx2dx3 =

∫∫∫

B

∂ϕ

∂x3

dτ .

Evenzo,

©∫∫

S

ϕn1dσ =

∫∫∫

B

∂ϕ

∂x1

dτ , ©∫∫

S

ϕn2dσ =

∫∫∫

B

∂ϕ

∂x2

dτ

3

Stap 2 Beschouw rechthoekig blok B, dan (Stap 1):

©∫∫

S

vjnjdσ =

∫∫∫

B

∂vj

∂xj

dτ , j = 1, 2, 3

en dus

©∫∫

S

(v, n)dσ =

∫∫∫

B

divv dτ .

Stap 3 Beschouw het deel B van de R3 gevormd door twee aaneengeschakelde blokken

B1 en B2, d.w.z.B = B1 ∪B2, zodanig dat B1 ∩B2 = PQRS (zie fig.4.2). De rand van

B1 is S1 = S̃1 ∪ PQRS en de rand van B2 is S2 = S̃2 ∪ PQRS.

S

R

P

Q

Figuur 4.2: B = B1 ∪B2, B1 ∩B2 = PQRS.

Er geldt

∫∫∫

B1

divv dτ =

∫∫

S1

(v, n)dσ =

∫∫

S̃1

(v, n(S1))dσ +

∫∫

PQRS

(v, n(S1))dσ

én

∫∫∫

B2

divv dτ =

∫∫

S2

(v, n)dσ =

∫∫

S̃2

(v, n(S2))dσ +

∫∫

PQRS

(v, n(S2))dσ .

4

Conclusie: met S̃1 ∪ S̃2 = S de rand van B èn n(S1) = −n(S2) op PQRS volgt∫∫∫

B

div v dτ =

∫∫∫

B1

div v dτ +

∫∫∫

B2

div v dτ =

=

∫∫

S̃1

(v, n)dσ +

∫∫

S̃2

(v, n)dσ =

∫∫

S

(v, n)dσ .

Veronderstel nu

R = B1 ∪B2 ∪ . . . ∪BN .

voor zekere blokken B1, . . . , BN met rand S.

Zij Sk,`, ` = 1, . . . , 6, de zes randoppervlakken van Bk, k = 1, . . . , N . We kunnen de

blokstapeling door verfijning zo kiezen dat voor elke k óf Sk,` een deel van de rand van

R is, óf Sk,` = Bk ∩Bp voor precies één blok Bp met p 6= k. Zij

D = {(k, `) | Sk,` op de rand van R} .

Dan geldt dus

∫∫∫

R

divvdτ =N∑

k=1

( ∫∫∫

Bk

divvdτ)

=N∑

k=1

6∑

`=1

( ∫∫

Sk,`

(b, n)dσ)

=

∑

(k,`)∈D

∫∫

Sk,`

(v, n)dσ = ©∫∫

S

(v, n)dσ .

Stap 4 Zij R een algemeen gebied met stuksgewijs gladde oriënteerbare rand S. Het idee

is R en S te benaderen door blokstapelingen Rm met rand Sm, dus formeel Rm → R

en Sm → S. Hieruit volgt dan

limm→∞

©∫∫

Sm

(v, n)dσ = ©∫∫

S

(v, n)dσ

én

limm→∞

∫∫∫

Rm

(v, n)dσ =

∫∫∫

R

divvdτ

en dus het gestelde.

5

4.3 Coördinaatvrije interpretatie van de divergentie

van een vectorveld

Zij v een vectorveld gedefinieerd op een open verzameling D. zij P ∈ D, en (Rn)n∈N

een rij gebieden in D met Rn → {P}, d.w.z. diam(Rn) → 0 en P ∈ Rn. Zij ∂Rn, de

rand van Rn. Dan is (onafhankelijk van de rij (Rn))

divv(P ) := limn→∞

1

τ(Rn)

∫∫

∂Rn

(v, n)dσ .

Men zegt wel: divv(x) is de flux per eenheid van volume.

4.4 Toepassing van de divergentie-stelling bij bereke-

ningen en afleidingen

De divergentiestelling kan een rol spelen bij het berekenen van oppervlakte-integralen.

Indien de vraag is:

Bepaal voor een stuksgewijs glad oriënteerbaar oppervlak S en vectorveld v op S,∫∫

S

(v, n)dσ .

Dan is een mogelijke aanpak:

Bepaal een oppervlak Sadd (disjunct) zo dat S∪Sadd een stuksgewijs glad, oriënteerbaar

oppervlak is dat de rand is van een gesloten begrensd gebied R. Veronderstel bovendien

dat v continu differentieerbaar is op R. Dan geldt∫∫∫

R

divvdτ =

∫∫

S

(v, n)dσ +

∫∫

Sadd

(v, n)dσ

waarbij verondersteld is dat de oriëntatie van S zo is dat de normaal op S wat betreft

R naar buiten wijst. Dus∫∫

S

(v, n)dσ =

∫∫∫

R

divvdτ −∫∫

Sadd

(v, n)dσ .

6

Deze aanpak is zinvol, als R zodanig gekozen kan worden, dat

∫∫∫

R

divvdτ en

∫∫

Sadd

(v, n)dσ

eenvoudig te berekenen zijn. Zie ook voorbeeld 4.2.

Voorbeeld 4.1 Beschouw het vectorveld gegeven door

u = x1x3e1 + x2x3e2 − x23e3

en het oppervlak S gegeven door

S = {x ∈ IR3|x3 = x1x2, 0 6 x1 6 1, 0 6 x2 6 1}

met normaal nS(0, 0, 0) = (0, 0, 1).

Bepaal∫∫S

(u, n) dσ.

Merk op: divu = 0.

Beschouw de oppervlakken:

S1 = {x|0 6 x1 6 1 , 0 6 x2 6 1 , x3 = 0} met nS1= (0, 0,−1).

S2 = {x|x1 = 1 , 0 6 x3 6 x2 6 1} met nS2= (1, 0, 0).

S3 = {x|x2 = 1 , 0 6 x3 6 x1 6 1} met nS3= (0, 1, 0).

Nu begrenst S∪S1∪S2∪S3 een gesloten en begrensd gebied R, verder is S∪S1∪S2∪S3

stuksgewijs glad. De normaal is naar buiten gericht. u is continu differentieerbaar op

R. Dus

∫∫

S

(u, nS)dσ +

∫∫

S1

(u, nS1)dσ +

∫∫

S2

(u, nS2)dσ +

∫∫

S3

(u, nS3)dσ =

=

∫∫∫

R

divudτ = 0

7

Nu is∫∫

S1

(u, nS1)dσ =

∫∫

S1

x23dσ = 0 ,

∫∫

S2

(u, nS2)dσ =

∫∫

S2

x1x3dσ =

∫ 1

0

∫ x2

0

x3dx3dx2 =1

6,

∫∫

S3

(u, nS3)dσ =

∫∫

S3

x2x3dσ =

∫ 1

0

∫ x1

0

x3dx3dx1 =1

6.

Dus∫∫

S

(u, nS)dσ = −1

3.

Voorbeeld 4.2 Zij p ∈ R3. Definieer op R3\{p} het vectorveld

v(x) =x− p

|x− p|3 , x 6= p .

Dan geldt (zie voorbeld ??) divv = 0.

Zij R een gesloten begrensd gebied in R3 met stuksgewijs gladde, oriënteerbare rand

S, n de naar buiten gerichte normaal op S met p 6∈ S. Als p 6∈ R dan volgt uit de

divergentie-stelling

©∫∫

S

(v, n)dσ =

∫∫∫

R

divvdτ = 0 .

Als p ∈ R bestaat er een r > 0 zo dat U(p, r) ⊂ R. Zij S(p, r) = {x | |x− p| = r} de

rand van U(p, r). Dan vormt S(p, r) ∪ S de rand van een gesloten begrensd gebied R1

met p 6∈ R1. Dus

©∫∫

S∪S(p,r)

(v, n)dσ =

∫∫∫

R1

divvdτ = 0

en hieruit

©∫∫

S

(v, n)dσ − ©∫∫

S(p,r)

(v, n)dσ = 0

8

met de normaal n op S(p, r) gegeven door

n =1

r(x− p)

dus af wijzend van p. Op S(p, r) geldt

v(x) =1

r3(x− p) , x ∈ S(p, r) én (v, n) =

1

r2.

Dus

©∫∫

S(p,r)

(v, n)dσ =1

r2oppS(p, r) = 4π .

Een andere aanpak is de volgende:

Definieer het vectorveld w op R3 door

w(x) =1

r3(x− p) , x ∈ R3 .

dan geldt

∫∫

S(p,r)

(v, n)dσ =

∫∫

S(p,r)

(w, n)dσ =

∫∫∫

U(p,r)

divwdτ

=3

r3

∫∫∫

U(p,r)

dτ =3

r3

4

3πr3 = 4π .

zo dat inderdaad

©∫∫

S

(v, n)dσ = ©∫∫

S(p,r)

(v, n)dσ = 4π .

Voorbeeld 4.3 De continuïteitsvergelijking.

We beschouwen de stroming van een vloeistof beschreven door een snelheidsveld v(x, t)

op een open verzameling D dat differentieerbaar wordt verondersteld. Zij ρ(x, t) voor

x ∈ D de massadichtheid ten tijde t.

Voor een gesloten begrensd gebied R ⊂ D is de volume integraal

9

M(t) =

∫∫∫

R

ρ(x, t)dτ = massa van de vloeistof in R ten tijde t

en M(t + ∆t) = M(t)− uitstroom .

Veronderstel dat de rand S van R stuksgewijs glad en oriënteerbaar is met naar buiten

gerichte normaal n.

In het tijdsinterval [t1, t2] is de totale uitstroom gegeven doort2∫

t1

(©∫∫

S

(ρ(x, t)v(x, t), n(x))dσ)dt .

Dit leidt tot de massabalans (behoud van massa)

∫∫∫

R

ρ(x, t2)dτ =

∫∫∫

R

ρ(x, t1)dτ −t2∫

t1

(©∫∫

S

(ρ(x, t)v(x, t), n(x))dσ)dt

en dus∫∫∫

R

[ρ(x, t2)− ρ(x, t1)

t2 − t1

]dτ = − 1

t2 − t1

t2∫

t1

(©∫∫

S

(ρ(x, t)v(x, t), n(x))dσ)dt .

Door aan beide zijden de limiet t2 → t1 te nemen vinden we de continuïteitsvergelijking

in integraalvorm∫∫∫

R

∂ρ

∂t(x, t1)dτ = −

∫∫

S

(ρ(x, t1)v(x, t1), n(x))dσ

en na toepassing van de divergentie-stelling∫∫∫

R

[∂ρ

∂t(x, t1) + div(ρ(x, t1)v(x, t1))

]dτ = 0 , t1 > 0

Omdat R een willekeurig deelgebied van D is, vinden we hieruit de continuïteitsverge-

lijking in differentiaalvorm

∂ρ

∂t(x, t) + div(ρ(x, t)v(x, t)) = 0 x ∈ D , t > 0 .

Als de vloeistof homogeen en incompressibel is, geldt ρ(x, t) = ρ (constant) hetgeen

leidt tot de zogenaamde incompressibiliteit-conditie

divv = 0 .

10

Opmerking 4.1 Deze afleiding van de continuïteitsvergelijking kent een analogon in

de elektriciteitsleer. In dat geval beschouwt men niet massa maar lading. Er geldt

Q(t) =

∫∫∫

R

ρ(x, t)dτ ,

Q(t) is de lading R ten tijde t, ρ(t) is de ladingsdichtheid. De massabalans representeert

dan behoud van lading:∫∫∫

R

∂ρ

∂t(x, t)dτ = −

∫∫

S

(J(x, t), n(x))dσ ,

met J de het stroomdichtheidsvectorveld. De continuïteitsvergelijking wordt nu

∂ρ

∂t(x, t) + div(J(x, t)) = 0 x ∈ D , t > 0 .

Als ρ constant is, d.w.z. niet van t afhangt, volgt div(J) = 0. Dus de flux van J door

ieder willekeurig gesloten oppervlak is nul.

4.5 Opgaven Hoofdstuk 4

4.1. In R3 is gegeven het vectorveld

u = (z + x, z, z − x) .

Bereken∫∫S

(u, n)dσ als S de cylindermantel voorstelt, gegeven door

x2 + y2 = 1 ,

0 ≤ z ≤ 1 .

De normaal n wijst van de z-as af.

4.2. Gegeven is het vectorveld

u = (x + z − y, x− z, y − x) .

Bereken∫∫S

(u, n)dσ als S de cylindermantel voorstelt, gegeven door

x2 + y2 = 1 ,

0 ≤ z ≤ 1 .

De normaal n wijst van de oorsprong af.

11

4.3. Gegeven het vectorveld

u =( x

r3,

y

r3,

z

r3

), met r =

√x2 + y2 + z2 .

Bereken∫∫S

(u, n)dσ, waarin S de halve bol is, gegeven door

x2 + (y − 1)2 + z2 = 1 ,

y ≥ 1 .


4.4. In R3 is gegeven het veld

u =(x

z,y

z,− 2 ln z) .

Bereken∫∫S

(u, n)dσ als S de kegelmantel is gegeven door

x2 + y2 − z2 = 0 ,

1 ≤ z ≤ 2 ,

en n de van de z-as af gerichte normaal.


u =( x

x2 + y2 − 1,

y

x2 + y2 − 1,

2z

(x2 + y2 − 1)2

).

Bereken∫∫S

(u, n)dσ, waarbij S de kegelmantel voorstelt gegeven door

x2 + y2 = z2 ,

0 ≤ z ≤ 12

,

en de normaal n van de z-as af wijst.

4.6. In R3 is het volgende vectorveld gegeven:

a(x) = (cos x,− z, y) .

Bepaal∫∫S

(rot a, n)dσ, waarin S het oppervlak voorstelt, gedefinieerd door

(x− 1)2 + y2 + z2 = 4 ,

x ≥ 0 ,

en n de naar (1, 0, 0) gerichte normaal op S.

12


a = (z2x2, 2x4 − 2xyz2, z − 1) .

Het oppervlak S in R3 is gegeven door

x2 + y2 + z2 = 1 ,

z ≤ 0 ,

Bereken∫∫S

(a, n)dσ. De normaal n wijst van de oorsprong af.


u = (z2, x2, y2) .

Het oppervlak S is gegeven door

4x2 + 4y2 + z2 = 1 ,

z ≥ 0 .

Bereken∫∫S

(u, n)dσ. De normaal n wijst van de oorsprong af.


u = (12x2y − xyz, xz + xz2, 1

2yz2 − xyz) .

Bereken∫∫S

(u, n)dσ, waarbij het oppervlak S is gegeven door

x2 + y2 + z2 = 2 ,

x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 1 ,

en de normaal n van de oorsprong af wijst.


u(x, y, z) = (cos z, y − z, 1− z) .

Bereken∫∫S


x2 + y2 + z2 = 1 ,

z ≥ 0 ,


13


u(x) = (x2y2, z2,−2xy2z + z + 1) .

Bereken∫∫


x2 + y2 + z2 = 4 ,

z ≥ 0 ,


4.12. Voor de punten van R3 die niet op de z-as liggen is de functie f gedefinieerd door

f(x, y, z) = ln(x2 + y2) .

C is het gedeelte van de cylinder met vergelijking x2+y2 = 1 dat gelegen is tussen

de vlakken V1 en V2 met vergelijkingen z = 1 resp. z = − 1.

B is het gedeelte van de bol met vergelijking x2 +y2 +z2 = 2 dat gelegen is tussen

de vlakken V1 en V2.

De normalen op C en B wijzen van de z-as af.

a. Bereken∫∫

C

(gradf, n)dσ .

b. Bewijs dat∫∫

B

(gradf, n)dσ =

∫∫

C

(gradf, n)dσ .


a =( x

r3− y,

y

r3+ x,

z

r3+ z

)

waarin r =√

x2 + y2 + z2, en de oppervlakken

S1 : x2 + y2 + z2 = 1, S2 : x2 + y2 + (z − 1)2 = 4 .

Bereken de beide integralen∫∫S1

(a, n)dσ en∫∫S2

(a, n)dσ, waarbij n de naar buiten

wijzende normaalvector is.

14

4.14. In het gebied, gevormd door R3 minus de z-as, is het veld v gegeven door

v(x, y, z) =( x

x2 + y2,

y

x2 + y2, 0

).


x2 + y2 + z2 = 2 ,

− 1 ≤ z ≤ 1 .

De normaal n op S wijst van de oorsprong af.

Bereken∫∫

S

(v, n)dσ .


v(x, y, z) = (− x, 0, z) .

Bereken∫∫

S

(v, n)dσ

waarbij het oppervlak S is gegeven door

x2 + y2 + z2 = 1 ,

x ≥ 12

.


4.16. In het gebied R3\{0} is het veld u gegeven door

u(x, y, z) =(y +

x

r3,−x− z +

y

r3, y +

z

r3

), r =

√x2 + y2 + z2 .

Bereken∫∫

S

(u, n)dσ

waarbij het oppervlak S is gegeven door

x2 + y2 +z2

9= 1

z ≥ 0

en de normaal n in (0, 0, 3) gelijk is aan (0, 0, 1).

15


v(x, y, z) = (yeyz,− sin(x + z) + y, x2 − z) .


x2 + y2 + z2 = 1 ,

z ≥ 0 .


Bereken∫∫

S

(v, n)dσ .


v(x, y, z) = (− x2 + 3z2, 2xy + 2zy, 3x2 − z2) .


x2 + y2 + z2 = a2 ,

z ≥ 0 ,

waarbij a een positief getal is.


Bereken∫∫

S

(v, n)dσ .

4.19. In het gebied G = {(x, y, z) ∈ R3 | z > 0} is gegeven het vectorveld v(x, y, z) =

(x.− z arctany

z, y arctan

y

z).


x2 + (y + 2)2 + (z − 2)2 = 1

y ≥ − z .

De normaal n op S wijst van (0,− 2, 2) af.

Bereken∫∫

S

(v, n)dσ .

16

4.20. In R3 minus de z-as is het vectorveld v gegeven door

v(x, y, z) =( yz

x2 + y2,− zx

x2 + y2,− 1

).


x2 + y2 = z2 + 1

0 ≤ z ≤ 1 .

De normaal n op S wijst van de z-as af.

Bereken

∫∫

S

(v, n)dσ .

4.21. Zij R een begrensd gebied in R3 met rand S; n is de naar buiten gerichte normaal

op S. Bewijs:

a.∫∫∫R

rotvdτ = 0

als op S v loodrecht staat op S;

b.∫∫∫R

ϕdivvdτ =∫∫S

(ϕv, n)dσ

als v in elk punt van R raakt aan het equiscalaire oppervlak ϕ = constant door

dat punt.

4.22. Zij R een begrensd gebied in R3 met rand S; n is de naar buiten gericht normaal

op S. Bewijs dat het volume van R gelijk is aan

∫∫

S

x dydz =

∫∫

S

y dxdz =

∫∫

S

z dxdy .

4.23. Zij R een begrensd gebied in R3 met rand S; n is de naar buiten gerichte normaal

op S. Bewijs:

17

a.∫∫S

n dσ = 0,

b.∫∫S

(x, n)dσ = 3V met V = volume van R,

c.∫∫S

|x|2(x, n)dσ = 5∫∫∫S

|x|2dτ .

4.24. Leid af de continuïteitsvergelijking uit de electriciteitsleer:

divj +∂ρ

∂t= 0 ,

waarin ρ de ladingsdichtheid en j de stroomdichtheid is.

4.25. Een vloeistof stroomt met snelheid v(x, t), waarbij de variabele t de tijd voorstelt.

Laat R een begrensd gebied zijn dat meebeweegt met de vloeistof. De positie

van R ten tijde t wordt aangegeven door R(t), en het volume van R(t) zal V (t)

zijn.

a. Bewijs dat

dV

dt=

∫∫∫

R(t)

divv dτ .

b. Zij ϕ(x, t) een scalarveld; bewijs dat

d

dt

∫∫∫

R(t)

ϕ(x, t)dτ =

∫∫∫

R(t)

[∂ϕ

∂t+ div(ϕv)

]dτ .

c. Leid de continuïteitsvergelijking uit de stromingsleer af met behulp van b.

18

Antwoorden Aanvulling 4

4.1. π.

4.2. π.

4.3. π(2−√2).

4.4. 8π ln(2).

4.5. −π3.

4.6. −6π.

4.7. 5π3.

4.8. π64.

4.9. 4√

215− 13

120.

4.10. π.

4.11. 28π3.

4.12. a) 8π.

4.13. 16π3

en 44π3.

4.14. 4π.

4.15. −3π8.

4.16. 2π.

4.17. π4.

4.18. 34πa4.

4.19. π6

+ π2

2√

2.

4.20. π.

4.21.∫∫∫R

rotv dτ =∫∫S

(n× v)dσ = 0, want n en v zijn afhankelijk.

4.22. Volgt uit div((x, 0, 0)) = div((0, y, 0)) = div((0, 0, z)) = 1 m.b.v. de stelling van

Gauss.

4.23 a. Pas stelling 4.1 toe met ϕ = 1.

b.∫∫S

(x, n)dσ =∫∫∫R

div(x)dτ = 3∫∫∫R

dτ = 3V .

c.∫∫S

|x|2(x, n)dσ =∫∫∫R

div(r2x)dτ =∫∫∫R

(r2div(x)+(grad(r2), x))dτ =∫∫∫R

(3r3+

(2x, x))dτ =∫∫∫R

5r2dτ .

19

FaculteitWiskunde enInformaticawsgbjvdm/2WA15/aanvulling42007.pdf · 4.3 Coördinaatvrije...

Documents

Transcript of FaculteitWiskunde enInformaticawsgbjvdm/2WA15/aanvulling42007.pdf · 4.3 Coördinaatvrije...