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8/15/2019 Expresiones Algebraicas.maxi

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Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o máscantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas oindeterminadas y se representan por letras.

Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligadas por lossignos de las operaciones adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.

!as expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, "allar áreas y volúmenes.

!ongitud de la circun#erencia $%r, donde r es el radio de la circun#erencia.&rea del cuadrado ' ( l$, donde l es el lado del cuadrado.)olumen del cubo ) ( a*, donde a es la arista del cubo.

Expresiones algebraicas comunes

El doble o duplo de un número 2x

El triple de un número 3x

El cuádruplo de un número 4x

!a mitad de un número x/2

Un tercio de un número x/3

Un cuarto de un número x/4Un número es proporcional a $, *, +... 2x, 3x, 4x...

Un número al cuadrado x²

Un número al cubo x³

Un número par 2x

Un número impar 2x + 1

os números consecutivos x y x + 1

os números consecutivos pares 2x y 2x + 2

os números consecutivos impares 2x + 1 y 2x + 3

escomponer $+ en dos partes x y 24 − x!a suma de dos números es $+ x y 24 − x

!a di#erencia de dos números es $+ x y 24 + x

El producto de dos números es $+ x y 24/x

El cociente de dos números es $+ x y 24 · x


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Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas

operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la

potencia de exponente natural.

2x2y3z

Partes de un monomio

1 Coeficiente

El coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando

a las variables.

2 Parte li teral

La parte l iteral est constituida por las letras y sus exponentes.

3 Gr ado

El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las

letras o variables.

El grado de 2x 2y3z es! 2 " 3 " # $ %

Monomios semejantes

&os monomios son seme'antes cuando tienen la misma parte

literal.

2x2y3 z es seme'ante a (x 2y3 z

Suma de monomios

)ólo podemos sumar monomios seme'antes.

La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte

literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.


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axn + bxn= (a + b)x n

Ejemplo

2x2y3z " 3x2y3z $ *2 " 3+x 2y3z $ (x 2y3z

)i los monomios no son seme'antes, al sumarlos, se obtiene un

polinomio.

Ejemplo:

2x2y3 " 3x2y3z

2. Producto de un número por un monomio

El producto de un número por un monomio es otro monomio seme'ante

cuyo coeficiente es el producto del coeficiente del monomio por el

número.

Ejemplo:

( - *2x 2y3z+ $ #x2y3z

3. Multiplicación de monomios

La multiplicación de monomios es otro monomio que tiene por

coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte l iteral se

obtiene multiplicando las potencias que tengan la misma base, es

decir, sumando los exponentes.

axn · bxm = (a · b)x n + m

Ejemplo:


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*(x2y3z+ - *2y2z2+ $ *2 - (+ x 2y3"2z#"2 $ #x2y(z3

4. División de monomios

)ólo se pueden dividir monomios cuando!

1/ienen la misma parte l iteral2El grado del dividendo es mayor o igual que el del divisor

La división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el

cociente de los coeficientes y cuya parte l iteral se obtiene dividiendo

las potencias que tengan la misma base, es decir, restando los

exponentes.

axn : bxm = (a : b)x n − m

Ejemplo:

)i el grado del divisor es mayor, obtenemos una fraccin al!ebraica .

Ejemplo:

. Potencia de un monomio

0ara realizar la potencia de un monomio se eleva, cada elemento de

este, al exponente que indique la potencia.

(axn)m = am · xn · m

Ejemplo":

*2x3+3 $ 23 - *x3+ 3$ 1x

*3x2+3 $ *3+3 - *x2+3$ 24x%


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Un polinomio es una expresión algebraica de la #orma

P(x) = an xn + an − 1 x

n − 1 + an − 2 xn − 2+ ... + a1x

1 + a0

'iendo

an, an- ... a, aonúmeros, llamados coe#icientes

n un número natural

x la variable o indeterminada

an es el coe#iciente principal

ao es el término independiente

!rado de un Polinomio

El grado de un polinomio /0x1 es el mayor exponente al que se encuentra elevada lavariable x.

'egún su grado los polinomios pueden ser de

"#P$ E%EMP&$

P'#ME' !'(D$ P(x) = 3x + 2

SE!)*D$ !'(D$ P(x) = 2x2 + 3x + 2

"E'+E' !'(D$ P(x) = x3 − 2x2 + 3x + 2


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Un polinomio está ordenado si los monomios que lo #orman están escritos de mayor a menor grado.

/0x1 ( $x* 3 4x - *

' Polinomio iguale

os polinomios son iguales si veri#ican

Los dos polinomios tienen el mismo grado.

Los coefcientes de los términos del mismo grado son iguales.

/0x1 ( $x* 3 4x - *

50x1 ( 4x - * 3 $x*

Polinomio eme*ane

os polinomios son semejantes si veri#ican que tienen la misma parte literal.

/0x1 ( $x* 3 4x - *

50x1 ( *x* 3 6x - $

,alor num-rico de un polinomio

Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.

/0x1 ( $x* 3 4x - * 7 x (

/01 ( $ 8 * 3 4 8 - * ( $ 3 4 - * ( +

0ara sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los t5rminos

del mismo grado.

0*x+ $ 2x 3 " (x 3 6*x+ $ 7x 3x2 " 2x3

18rdenamos los polinomios, si no lo estn.


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6*x+ $ 2x 3 3x2 " 7x

0*x+ " 6*x+ $ *2x 3 " (x 3+ " *2x 3 3x2" 7x+

29grupamos los monomios del mismo grado.0*x+ " 6*x+ $ 2x 3 " 2x3 3 x2 " (x " 7x 3

3)umamos los monomios seme'antes.

0*x+ " 6*x+ = 2x3

+ 2x3

− 3 x2

+ #x + $x − 3

/ambi5n podemos sumar polinomios escribiendo uno deba'o del otro,

de forma que los monomios seme'antes queden en columnas y se

puedan sumar.

0*x+ $ 4x 7 " 7x2 " 4x " 2 6*x+ $ %x3 " 1x "3

0*x+ " 6*x+ $ 4x7 " %x3 " 7x2 " #(x " (

. Multiplicación de un número por un polinomio

Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como

coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el

número y de'ando las mismas partes l iterales.

Ejemplo

3 - *2x 3 3x2 " 7x 2+ $ %x 3 x2 " #2x %

2. Multiplicación de un monomio por un polinomio

)e multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que

forman el polinomio.

Ejemplo:


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3x2 - *2x3 3x2 " 7x 2+ $

$ %x( x7 " #2x3 %x2

3. Multiplicación de polinomios

Este t ipo de operaciones se puede llevar a cabo de dos formas

distitnas.

:ira la demostración con el siguiente e'emplo!

0*x+ $ 2x 2 3 6*x+ $ 2x3 3x2 " 7x

%PC&' 1

1)e multiplica cada monomio del primer polinomio por todos loselementos del segundo polinomio.

0*x+ - 6*x+ $ *2x 2 3+ - *2x 3 3x2 " 7x+ $

$ 7x( %x7 " 1x3 %x3" x2 #2x $

2)e suman los monomios del mismo grado.

$ 7x( %x7 " 2x3 " x2 #2x

3)e obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados delos polinomios que se multiplican.

;rado del polinomio $ ;rado de 0*x+ " ;rado de 6*x+ $ 2 " 3 $ #

%PC&' 2


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0ara explicar la división de polinomios nos valdremos de un e'emplo

prctico!

0*x+ $ x( " 2x3 x 1 6*x+ $ x2 2x " #

P(x) : (x)

* la i,-ierda "it-amo" el di.idendo . )i el polinomiono e"completo de'amos /-eco" en los lugares que correspondan.

* la derec/a "it-amo" el di.i"or dentro de -na caja0

i.idimo" el primer monomio del di.idendo entre el primer

monomio del di.i"or0

x( ! x2 $ x3

-ltiplicamo" cada trmino del polinomio di.i"or por el re"-ltado

anterior 4 lo re"tamo" del polinomio di.idendo:


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acer las mismas operaciones.

1x2 ! x2 $ 1

15x − 16 es el re"to, porque su !rado e" menor ,-e el deldi.i"or y por tanto no se puede continuar dividiendo.

x3 + 2x2 + #x + 7 es el cociente.

Paolo 8-ffini *#4%(, #122+ fue un matemtico italiano, queestableción un m5todo ms breve para >acer ladi.i"in de

polinomio", cuando el di.i"or e" -n binomio de la forma x 9 a .


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'egla de 'u/ ni

0ara explicar los pasos a aplicar en la re!la de 8-ffinivamos a tomarde e'emplo la división!

*x7

3x2

" 2 + ! *x 3+

1 )i el polinomio n o es completo, lo completamos a?adiendo los

t5rminos que faltan con ceros.

2 @olocamos los coeficientes del dividendo en una lAnea.

3 9ba'o a la izquierda colocamos el opuesto del t5rmino

independendiente del divisor.

$ /razamos una raya y ba'amos el primer coeficiente.

# :ultiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos deba'o

del siguiente t5rmino.

6 )umamos los dos coeficientes.

Bepetimos el proceso anterior.


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Suma por di0erencia

(a + ) · (a − ) = a2 − 2

Ejemplo

1. (2x + !) " (2x # !) = (2x)2 − !2 = $x2 − 2!

2. (2x% + &') " (2x% − &') = (2x%)2 − (&')2 = $x$ − &

1inomio al cubo

(a + )3 = a3 + 3 · a2 · + 3 · a · 2 + 3

(a − )3 = a3 − 3 · a2 · + 3 · a · 2 − 3

Ejemplos

1. (x + 3)3 =

( x* 3 * 8 x$ 8 * 3 * 8 x 8 *$ 3 ** (

( x* 3 :x$ 3 $6x 3 $6

2. (2x − 3)3 =

( 0$x1* - * 8 0$x1$ 8 * 3 * 8 $x 8 *$ - ** (

( ;x* - *9x$ 3 4+x - $6

"rinomio al cuadrado

(a + + ")2 = a2 + 2 + "2 + 2 · a · + 2 · a · " + 2 · · "

Ejemplo

(x2 − x + )2 =

( 0x$1$ 3 0-x1$ 3 $ 3 $ · x$ · 0-x1 3 $ x$ · 3 $ ·0-x1 · (

( x+ 3 x$ 3 - $x* 3 $x$ - $x(


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( x+ - $x* 3 *x$ - $x 3

Suma de cubos

a3

+ 3

= (a + ) · (a2

− a + 2

)

Ejemplo

*x3 + 2 =

( 0$x 3 *1 0+x$ - 9x 3 :1

Di0erencia de cubos

a3 − 3 = (a − ) · (a2 + a + 2)

Ejemplos

*x3 − 2 =

( 0$x - *1 0+x$ 3 9x 3 :1

Producto de dos binomios ue tienen un t-rmino común

(x + a) (x + ) = x2 + (a + ) x + a

Ejemplos

(x + 2) (x + 3) =

( x$ 3 0$ 3 *1 · x 3 $ · * (

( x$ 3 4x 3 9

"eorema del resto

•


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• Ejercicio

eo!ema &el !eo

-l !eo &e la &iiin &e un #olinomio P(x), en!e un #olinomio &e la o!ma (x

− a) e el alo! numé!i"o &e &i"ho #olinomio #a!a el alo! x = a.


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"eorema del 0actor

-l #olinomio P(x) e &iiile #o! un #olinomio &e la o!ma (x − a) i y lo i

P(x = a) = 0.

>l valor x = a se le llama !a o "e!o de /0x1.

'aces de un polinomio

'on los valores que anulan el polinomio.

jemplo

cada ra?@ del tipo x ( a le corresponde un binomio del tipo 0x - a1.

3 /odemos expresar un polinomio en #actores al escribirlo como producto de todoslos binomios del tipo 0x A a1, que se correspondan a las ra?ces, x ( a, que seobtengan.

Ejemplo

x2 − !x + = (x − 2) " (x − 3)


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4 !a suma de los exponentes de los binomios "a de ser igual al grado del

polinomio.

$ Todo polinomio que no tenga término independiente admite como ra?@ x ( 2, o lo

que es lo mismo, admite como #actor x.

Ejemplo

x2 + x = x " (x + )

=a?ces x ( 2 y x ( -

% Un polinomio se llama irreducible o primo cuando no puede descomponerse en

#actores.

Ejemplo

P(x) = x2 + x +

+5lculo de las races 0actores de un polinomio

/artimos de los divisores del término independiente, con estos valores aplicamos elteorema del resto y sabremos para que valores la división es exacta.

Ejemplo

,(x) = x2 − x −

!os divisores del término independiente son B, B$, B*.

501 ( $ - - 9 C 2

50-1 ( 0-1$ - 0-1 - 9 C 2

50$1 ( $$ - $ - 9 C 2

50-$1 ( 0-$1$ - 0-$1 - 9 ( + 3 $ - 9 ( 2

50*1 ( *$ - * - 9 ( : - * - 9 ( 2


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!as ra?ces son x = −2 y x = 3.

(x) = (x + 2) · (x − 3)

Sacar 0actor común


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!as ra?ces son x = −2 y x = 2

2. x$ − = (x2 + $) " (x2 − $) = 6x 7 28 9 6x : 28 9 6x2 7 48

!as ra?ces son x = −2 y x = 2

"rinomio cuadrado per0ecto

Un trinomio cuadrado per#ecto es igual a un binomio al cuadrado.

a2 5 2 a + 2 = (a 5 )2

Ejemplos

escomponer en #actores y "allar las ra?ces

1.

!a ra?@ es x = −3, y se dice que es una !a &ole.

2.

!a ra?@ es x = 2.

"rinomio de segundo grado

/ara descomponer en #actores el trinomio de segundo grado /0x1 ( ax $ 3 bx 3 c , se

iguala a cero y se resuelve la ecuación de $D grado. 'i las soluciones a la ecuación

son x y x$, el polinomio descompuesto será

ax2 + x + " = a · (x − x1) · (x − x2)


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Ejemplos

escomponer en #actores y "allar las ra?ces

1.

!as ra?ces son x = 3 y x = 2.

2.

!as ra?ces son x = 3 y x = −2.

"rinomios de cuarto grado de exponentes pares

/ara "allar las ra?ces se iguala a cero y se resuelve la e"ua"in i"ua&!a&a.

Ejemplos

1. x$ − -x2 +

http://www.vitutor.com/ecuaciones/2/ecu3_Contenidos.htmlhttp://www.vitutor.com/ecuaciones/2/ecu3_Contenidos.htmlhttp://www.vitutor.com/ecuaciones/2/ecu3_Contenidos.html


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x$ ( t

x+ - 2x$ 3 : ( 2

t$ - 2t 3 : ( 2

x+ - 2x$ 3 : ( (x + 1) · (x − 1) · (x + 3) · (x − 3)

2. x$ − 2x2 − 3

x$ ( t

t$ - $t - * ( 2

x+ - $x$ 3 * ( 0x$ 3 1 8 0x 3 1 8 0x - 1

;actori


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!os pasos a seguir los veremos con el polinomio

/0x1 ( $x+ 3 x* - ;x$ - x 3 9

1 Tomamos los divisores del término independiente B, B$, B*.

2 >plicando el eo!ema &el !eo sabremos para que valores la división es exacta.

/01 ( $ 8 + 3 * - ; 8 $ - 3 9 ( $ 3 - ; - 3 9 ( 2

3 ividimos por =u##ini.

4 /or ser la división exacta, 6 = & · "

0x - 1 8 0$x* 3 *x$ - 4x - 9 1

Una ra?@ es x ( .


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El tercer #actor lo podemos encontrar aplicando la ecuación de $D grado o tal como

venimos "aciéndolo, aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos

encontrar !a"e ene!a.

El lo descartamos y seguimos probando por −.

/0-1 ( $ 8 0-1$ 3 0-1 - 9 C 2

/0$1 ( $ 8 $$ 3 $ - 9 C 2

/0-$1 ( $ 8 0-$1$ 3 0-$1 - 9 ( $ 8 + - $ - 9 ( 2

0x - 1 8 0x 3 1 8 0x 3 $1 8 0$x - *1

'acamos a"o! "om7n $ en último binomio y encontramos una ra?@ racional.

$x - * ( $ 0x - *F$1

!a a"o!ia"in &el #olinomio queda

P(x) = 2x4 + x3 − x2 − x + % = 2 (x −1) · (x +1) · (x +2) · (x − 3/2)

8a !a"e on x = 1, x = − 1, x = −2 y x = 3/2

'aces racionales

/uede suceder que el polinomio no tenga ra?ces enteras y sólo tenga ra?ces

racionales.

En este caso tomamos los divisores del término independiente dividido entre los

divisores del término con mayor grado, y aplicamos el teorema del resto y la regla de

=u##ini.

/0x1 ( $x* 3 ;x$ - *x- $


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/robamos por .

'acamos #actor común $ en el tercer #actor.

9na !a""in alge!ai"a e el "o"iene &e &o #olinomio y se representa por


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/0x1 es el numerador.

50x1 es el denominador.

;racciones algebraicas euivalentes

os #racciones algebraicas

on e:uialene, y lo representamos por

si se veri#ica que P(x) · ;(x) = (x) ·


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Simpli=cación de 0racciones algebraicas

/ara simpli#icar una #racción algebraica se divide el numerador y el denominador de

la #racción por un polinomio que sea #actor común de ambos.

Ejemplo

(mpli=cación de 0racciones algebraicas

/ara ampli#icar una #racción algebraica se multiplica elnumerador y el denominadorde la #racción por un polinomio.

Ejemplo

'educción de 0racciones algebraicas a común denominador

•


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Pasos para reducir a común denominador

Gos valdremos de las #racciones siguientes

1.escomponemos los denominadores en #actores para "allarles el m?nimo común

múltiplo, que será el común denominador.

x$ - ( 0x 3 1 8 0x - 1

x$ 3 *x 3 $ ( 0x 3 1 8 0x 3 $1

m.c.m. 0x$ - , x$ 3 *x 3 $1 ( 0x 3 1 8 0x - 1 8 0x 3 $1

2.ividimos el común denominador entre los denominadores de las #racciones dadas

y el resultado lo multiplicamos por el numerador correspondiente.


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Multiplicación de 0racciones algebraicas

•


30/31

'impli#icando nos queda

División de 0racciones algebraicas

•


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