Guia Expresiones Algebraicas

ALGEBRA: Conceptos algebráicos básicos

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Un término es una combinación de números y símbolos unidos por operaciones de multiplicación o división. Por ejemplo: Los elementos de un término son cuatro: el signo, el coeficiente numérico, el coeficiente literal y el grado.Por el signo, son términos positivos o negativos. El signo + se omite delante de términos positivos, así, equivale a .El coeficiente o factor numérico corresponde al número, así, en el término el coeficiente numérico es el 3.El coeficiente o factor literal lo constituyen las letras que hay en el término, es

decir, en el factor literal es y en el factor literal es

El grado de un término es la suma de los exponentes de sus factores lineales, así el término es de primer grado y es de noveno grado, ya que la suma de los exponentes de su factor literal es: .

Una expresión algebraica se le llama a toda constante, variable o combinación de constantes y potencias de variables que estén ligadas por alguno de los siguientes símbolos: Por ejemplo:

a)

b)

c)

Una expresión algebraica se clasifica en: Monomio: Consta de un solo término Binomio: Consta de dos términos Trinomio: Consta de tres términos Polinomio: Consta de más de un término

Dos términos se dice que son semejantes cuando sólo se diferencian en el coeficiente numérico, es decir, su factor literal es el mismo.

1

Para la reducción de términos semejantes se debe realizar la suma y/o resta de los factores numéricos, multiplicado por el factor literal.Por ejemplo:

a) b)

En la adición y sustracción de polinomios se reducen por separado los términos de cada clase.Por ejemplo:I

a)Solución:

La expresión cuenta con tres términos semejantes, por lo tanto se puede reducir: De la misma forma se reducen

resultando y resultando cero. Por lo tanto, el resultado final es:

b)

Solución:

Al igual que el caso anterior se reducen:

resultando

equivalente a , resultando

resultando

Por lo tanto, el resultado final es:

SIGNOS DE AGRUPACIÓN

Los signos de agrupación se emplean para indicar que las cantidades encerradas en ellas se deben considerar como un todo.

2

Se identifican varios tipos de signos de agrupación o paréntesis, los más usuales son: el paréntesis ordinario , el paréntesis angular o corchete y las llaves . Se usan estos signos, que tienen distintas forma pero igual significado, para mayor claridad en los casos en que una expresión que ya tiene uno o más signos de agrupación se incluye en otro signo de agrupación.

Las reglas generales para la eliminación de estos signos son: Para suprimir signos de agrupación precedidos del signo + se deja el

mismo signo que tenga cada término que se encuentran dentro de él. Para suprimir signos de agrupación precedidos del signo – se cambia el

signo de todos los términos que se encuentran dentro de él.

Por ejemplo:

a)Solución:

Considerando las reglas de eliminación de paréntesis recién nombradas, el resultado es:

b)Solución:

Al igual que el ejemplo anterior, se considera las reglas de eliminación de paréntesis, teniendo en consideración que el paréntesis se encuentra dentro del paréntesis de , por lo que es necesario eliminar primero el paréntesis ordinario y después el de llave, es decir:

EJERCICIOS RESUELTOS

1. De la suma de con restar la suma de con Solución:

3

2. Restar la suma de con de la suma de Solución:

3. Simplificar, eliminando los signos de agrupación y reduciendo términos semejantes de la siguiente expresión:

Solución:

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. De la suma de restar la suma de con , el resultado es:

a)b)c)

4

d)e)

2. Restar la suma de ;

de la suma de con , el resultado es:

a)

b)

c)

d)

e)

3. Al introducir los tres últimos términos de la expresión: en un paréntesis precedido de signo +, resulta:

a)

b)

c)

d)

e)

4. Al reducir el polinomio:

, resulta:

a)

b)

c)

5

d)

e)

5. Al introducir todos los términos menos el primero, de la expresión:

en un paréntesis precedido del signo - ,

resulta:

a)

b)

c)

d)

e)

6. Al simplificar la expresión:

eliminando paréntesis

y reduciendo términos semejantes, resulta:

a)

b)

c)

d)

e)

RESPUESTAS DE EJERCICIOS PROPUESTOS

1. c

2. b

3. d

4. c

5. a

6. b

6

PRODUCTOS NOTABLES

Antes de ver los productos notables, vamos a recordar que la multiplicación es una operación que tiene como objeto, dadas dos cantidades (el multiplicando y el multiplicador), hallar una tercera llamada producto. El orden de los factores no altera el producto, es decir, se puede escribir como (Ley Conmutativa de la multiplicación).

Se distingue tres casos de multiplicación:

7

1. Multiplicación de Monomios: Se multiplica los factores numéricos y a continuación se escribe el factor lineal en orden alfabético. El signo del producto vendrá dado por la ley de los signos.Por ejemplo:

Multiplicar =

2. Multiplicación de Polinomios por Monomios: Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos (Ley Distributiva de la multiplicación).Por ejemplo:

Multiplicar por

3. Multiplicación de Polinomios por Polinomios: se multiplican todos los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la regla de los signos y reduciendo términos semejantes.Por ejemplo:

Multiplicar por

PRODUCTOS NOTABLES

Se llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación. Dentro de los cuales, podemos nombrar:

1. Suma por su Diferencia: Por ejemplo:

8

2. Cuadrado del Binomio: Por ejemplo:

3. Cubo del Binomio: Por ejemplo:

4. Cuadrado del Trinomio:Por ejemplo:

5. Producto de dos Binomios con un término igual:

Por ejemplo:

6. Producto de un Binomio por un Trinomio

Por ejemplo:


1. Resolver los siguientes productos notables:

a) Solución:

Corresponde a un cuadrado de binomio, por lo tanto:

b)

9

Solución:

Corresponde a un cubo de binomio, por lo que resulta:

c) Solución:

Corresponde a una suma por su diferencia, resultando:

d)

Solución:

Corresponde a la multiplicación de dos sumas por su diferencia, por lo tanto:

e) Solución:

Corresponde a un cuadrado de un trinomio, resultando:

2. Desarrollar los siguientes productos notables, reduciendo términos semejantes, de las siguientes expresiones:

a)Solución:

Desarrollando cada producto notable, resulta:

10

Eliminando paréntesis y reduciendo términos, se obtiene:

b) Solución:

Desarrollando cada producto notable, resulta:


1. Al simplificar la siguiente expresión: resulta:

a)

b)

c)

d) 1

e)

2. Al desarrollar , el resultado es:

a)

b)

11

c)

d)

e)

3. Al desarrollar

a)

b)

c)

d)

e)

4. Si el antecesor de un número “x” se eleva al cubo y se le resta el cuádruple de su sucesor al cuadrado, resulta:

a)b)c)d)e)

5. Al desarrollar la siguiente expresión: se obtiene:

a)b)c)d)e)

6. El sucesor de un número “x” se disminuye en dos unidades, luego se eleva al cuadrado y al resultado se le resta el cuadrado del triple de su antecesor. ¿Cuál es el resultado final?

a)b)c)d)

12

e)


1. c

2. d

3. c

4. b

5. e

6. a

FACTORIZACIÓN

Factorizar un polinomio significa expresarlo como un producto de dos o más factores.

Existen varias formas de descomponer un polinomio, las cuales son:

1. Factor Común: El factor común de los términos es el máximo común divisor de los coeficientes multiplicado por las variables comunes elevadas al menor exponente con que aparezca en el polinomio. Por ejemplo:

a) b)c)

2. Factor Común Polinomio: Como su nombre lo señala, ahora el factor común es un polinomio.Por ejemplo:

a)b)

c)

13

3. Factor Común por Agrupación de Términos: Este caso se aplica cuando la expresión algebraica no tiene un factor común, por lo tanto, su factorización se realiza por agrupación de términos.Por ejemplo:

a)Solución:

Si agrupamos el 1° y el 2° término, el factor común es la x, por lo tanto:

Si agrupamos el 3° y el 4° término, el factor común es la x, por lo tanto:

Factorizando por el polinomio, resulta:

b)Solución:

Si agrupamos el 1° y el 3° término, el factor común es , por lo tanto:



Resumiendo:

4.- Diferencia de Cuadrados Perfectos: Para poder descomponer se debe extraer la raíz cuadrada del minuendo y del sustraendo, multiplicando la suma de estas raíces con la diferencia de estas mismas.Por ejemplo:

a)Solución:

14

Al extraer la raíz cuadrada de y la raíz cuadrada de , por lo tanto: escribe como el producto de la suma estas raíces por la diferencia de estas mismas. Es decir:

b)Solución:

Ordenando la expresión y encontrando las raíces cuadradas, se obtiene:

5. Trinomio Cuadrado Perfecto: Una cantidad se denomina cuadrado perfecto cuando es el producto de dos cantidades iguales , por ejemplo,

Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando el primero y tercer término son cuadrados perfectos y el segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas.Por ejemplo:

a)Solución:

La raíz cuadrada de y la de y el doble del producto de estas raíces es . Por lo tanto, se puede factorizar como:

b)Solución:

La raíz cuadrada de y la de y el doble del producto de estas raíces es . Por lo tanto, se puede factorizar como:

6. Trinomio de la forma : El trinomio se descompone en dos factores, cuyo primer término es la raíz cuadrada de , luego se buscan dos números que multiplicados den y sumado den Por ejemplo:

a) Solución:

Después de ordenarse el trinomio según una letra, se pregunta que pareja de números multiplicado nos da 36 ( 9 * 4 , - 9 * - 4 , 2 * 18 , - 2 * - 18 , 3 * 12 , - 3 * - 12 ) y luego la segunda pregunta es: ¿De las

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parejas de números que se encontró cuál de ellas nos da - 13 ?. La respuesta es:

7. Trinomio de la forma : Se diferencia con el caso anterior porque el primer término tiene un coeficiente distinto de 1. Por lo tanto, antes de descomponer se debe multiplicar el trinomio por el coeficiente de , dejando el 2° término como producto. Luego se descompone este trinomio al igual que el caso anterior.

Por ejemplo:

a) Solución:

Como el coeficiente que acompaña a la no es 1 sino que 2, se debe multiplicar el trinomio por 2, manteniendo el producto en el 2° término, es decir:

Como amplificamos por 2 al trinomio, se debe dividir por 2 para no alterar la expresión, por lo tanto:

Factorizando por 2 el primer factor, se tiene:

Simplificando,

8. Suma o Diferencia de Cubos: Se debe extraer las raíces cúbicas de ambos términos y reemplazar.

Por ejemplo:

a) Solución:

16

La raíz cúbica de y la de , por lo tanto:


1. Factoriza las siguientes expresiones:

a) Solución:

El factor común es , por lo tanto se obtiene:

b) Solución:

El factor común es el polinomio , por lo tanto se obtiene:

c) Solución:

El factor común es el polinomio , por lo tanto se obtiene:

d)Solución:

17

En este caso se aplica la factorización por agrupación de términos, ya que la expresión algebraica no tiene un factor común, por lo tanto:

e)Solución:

Como los dos términos tienen raíces cuadradas, se descompone como suma por su diferencia, es decir:

Pero, se puede seguir descomponiendo, ya que ambos términos poseen raíces cuadradas.

f)Solución:

Antes de descomponer se debe multiplicar el trinomio por 3, dejando el 2° término como producto.

Simplificando:

2. Simplificar al máximo las siguientes expresiones:

a)

Solución:

18

Utilizando los casos de factorización, se descompone como

y corresponde a una suma por su diferencia, por lo tanto:

Finalizando:

b)

Solución:

Utilizando los casos de factorización, se descompone como y para se descompone como .

Finalmente queda:

Simplificando:


1. ¿Cuál es el valor de la siguiente expresión?

a) 1b) a – bc) a + bd) ( a + b ) 2

e)

2. El valor que toma la siguiente expresión es?

19

a) 1 – x 2

b) 1 – 2x + x 2

c) 1d) 1 + x 2

e) 0

3. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a: ?

a) 2ab

b)

c) 0d) 1

e)

4. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) equivalentes a: ?

I II III a) Sólo Ib) Sólo IIc) Sólo IIId) II y IIIe) I y II

5. Reducir la siguiente expresión: , encontrando la mínima

expresión:

a)

b)

c)

d)

e) 1

20

6. Si x 0, y 2, entonces

a)

b) 3c) 1

d)

e)

7. Reducir las siguientes expresiones, encontrando la mínima expresión:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

21


1. c

2. b

3. b

4. b

5. c

6. d

7. a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i) 1

j)

22

ECUACIONES LINEALES

Ecuación es una igualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas llamadas incógnitas y sólo se verifica para determinados valores.Existen distintos tipos de ecuaciones, las más simple son las ecuaciones lineales, que son las que veremos en esta clase.

ECUACIONES LINEALES

Las incógnitas se representan con letras del alfabeto: Por ejemplo: es una ecuación, porque es una igualdad en la que hay una incógnita, la , y esta igualdad sólo se verifica, o sea que sólo es verdadera, para el valor

Para resolver una ecuación, se debe seguir los siguientes pasos: Se efectúan las operaciones indicadas, si las hay. Se hace la transposición de términos, reuniendo en un lado todos los

términos que contengan la incógnita y en el otro lado todas las demás cantidades.

Se reducen términos semejantes en cada lado. Se despeja la incógnita dividiendo ambos lados de la ecuación por el

coeficiente de la incógnita.

Por Ejemplo:

1. Resolver la ecuación: Solución:

Traspasando todas las incógnitas a un lado y las cantidades al otro, resulta:

Dividiendo por 2:


Traspasando todas las incógnitas a un lado y las cantidades al otro, resulta:

Reduciendo términos:

Simplificando por :

23



Resolviendo las operaciones previas, la ecuación queda:

2. Resolver la ecuación:

Solución:

Resolviendo las operaciones previas, la ecuación queda:

3. La suma de las edades de A y B es 84 años, y B tiene 8 años menos que A. Hallar ambas edades.Solución:

Sea: edad de AComo B tiene 8 años menos que a: edad de BPor lo tanto:

Luego, A tiene 46 años y B tiene 38 años.


24

1. Resolver las siguientes ecuaciones, encontrando el valor de x:a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

2.| La edad de A es el doble que la de B, y ambas edades suman 36 años. Hallar

las edades.

3. La suma de dos números es 540 y su diferencia es 32. Hallar los números

4. La edad de María es el triplo de la de Rosa más quince años y ambas edades

suman 59 años. Hallar ambas edades.

5. Si un número se multiplica por 8 el resultado es el número aumentado en 21.

Hallar el número.

RESPUESTAS A EJERCICIOS PROPUESTOS

25

1.a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

2. A tiene 24 años y B tiene 12 años

3. Los números son 286 y 254

4. María tiene 48 años y Rosa 11 años

5. El número es 3

GUÍA DE EJERCICIOS(TALLER) Clase 5

26

Resolver las siguientes ecuaciones, encontrando el valor de x:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

RESPUESTAS

1.

2.

3.

4.

5.

6.

27

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