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7/29/2019 vitutorExpresiones algebraicas

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Expresiones algebraicas

Trabajar en lgebra cons iste en manejar relaciones numricas en las que una o ms cant idades son desconocidas . Estas

cant idades se l laman variables, incgnitas o indeterminadas y se representan por letras .

Una expresin algebraica es una combinac in de le tras y nmeros l igadas por los s ignos de las operac iones: ad ic in,

sustracc in, mul t ip l i cac in, d iv i s in y potenc iac in.

Las expresiones algebraicas nos permi ten, por e jemplo, ha l lar reas y vo lmenes.

L ongi t ud de l a c i r cun f er e n ci a : L = 2 r , d onde r e s e l r a d io d e l a c i rc un fe r e nc i a .

rea de l cuadrado: S = l 2 , donde l es e l lado de l cuadrado.

Volumen de l cubo: V = a 3 , donde a es la ar i s ta de l cubo.

Expresiones algebraicas comunes

El doble o duplo de un nmero: 2x

E l t r ip le de un nmero: 3x

El cudruplo de un nmero: 4x

La mitad de un nmero: x/2.

Un tercio de un nmero: x/3.

Un cuarto de un nmero: x/4.


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Un nmero es proporcional a 2 , 3 , 4 , . . . : 2x, 3x, 4x, . .

Un nmero a l cuadrado : x 2

Un nmero a l cubo : x3

Dos nmeros consecutivos : x y x + 1.

Dos nmeros consecutivos pares : 2x y 2x + 2 .

Dos nmeros consecutivos impares : 2x + 1 y 2x + 3 .

Descomponer 24 en dos partes : x y 24 x.

La suma de dos nmeros es 24: x y 24 x.

La diferencia de dos nmeros es 24: x y 24 + x .

El producto de dos nmeros es 24: x y 24/x.

El cociente de dos nmeros es 24; x y 24 x.

Valor numrico de una expresin algebraica

El valor nmerico de una expresin algebraica, para un determinado valor, es e l nmero que se obtiene al susti tuir

en sta por valor numrico dado y real izar las operaciones indicadas.

L(r ) = 2 r


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r = 5 cm. L (5)= 2 5 = 10 cm

S(l ) = l 2

l = 5 cm A(5) = 5 2 = 25 cm 2

V(a) = a3

a = 5 cm V(5) = 5 3 = 125 cm 3

Tipos de expresiones algebraicas

Monomio

Un monomio es una expresin algebraica formada por un solo trmino.

Binomio

Un binomio es una expresin algebraica formada por dos trminos.

Trinomio

Un tr inomio es una expresin algebraica formada por tres trminos.

Pol inomio

Un pol inomio es una expresin algebraica formada por ms de un trmino.


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Un monomio es una expresin algebraica en la que las nicas operaciones que aparecen entre las var iab les son e l

producto y la potencia de exponente natural .

2x 2 y 3 z

Partes de un monomio

Coef iciente

El coef iciente de l monomio es e l nmero que aparece mul t ip l i cando a las var iab les.

Parte l i teral

La parte l i teral est const i tu ida por las le tras y sus exponentes.

Grado

El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las le tras o var iab les.

E l grado de 2x 2 y 3 z es: 2 + 3 + 1 = 6

Monomios semejantes

Dos monomios son semejantes cuando t ienen la misma parte l i teral .

2x 2 y 3 z es semejante a 5x 2 y 3 z

Suma de monomios


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Slo podemos sumar monomios semejantes .

La suma de los monomios es otro monomio que t iene la misma parte l i teral y cuyo coef iciente es la suma de los

coef icientes.

ax n + bx n = (a + b)x n

2x 2 y 3 z + 3x 2 y 3 z = 5x 2 y 3 z

S i los monomios no son semejantes se obt iene un pol inomio .

2x 2 y 3 + 3x 2 y 3 z

Producto de un nmero por un monomio

El producto de un nmero por un monomio es otro monomio semejante cuyo coef iciente es e l producto del coef iciente

de monomio por el nmero .

5 (2x 2 y 3 z) = 10x 2 y 3 z

Multip l icacin de monomios

La multipl icacin de monomios es otro monomio que t iene por coef iciente el producto de los coef icientes y cuya parte

l i teral se obtiene mult ipl icando las potencias que tenga la misma base.

ax n bx m = (a b)x n + m

(5x 2 y 3 z) (2 y 2 z 2 ) = 10 x 2 y 5 z 3


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Divisin de monomios

Slo se pueden dividir monomios con l a misma parte l i teral y con e l grado del dividendo mayor o igual que e l grado de

la var iab le correspondiente de l div isor.

La divisin de monomios es otro monomio que t iene por coef iciente el cociente de los coef icientes y cuya parte l i teral

se obtiene dividiendo las potencias que tenga la misma base.

ax n : bx m = (a : b)x n m

S i e l grado del divisor es mayor , obtenemos una f raccin algebraica .

Potencia de un monomio

Para rea l i zar la potencia de un monomio se e leva, cada e lemento de ste , a l exponente de la potenc ia .

(axn )m = a m xn m

(2x 3 ) 3 = 2 3 (x 3 ) 3 = 8x 9

(3x2 ) 3 = (3) 3 (x 2 ) 3 = 27x 6


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Un pol inomio es una expres in a lgebra ica de la forma:

P(x) = a n x n + an - 1 xn - 1 + an - 2 xn - 2 + . . . + a 1 x1 + a 0

S iendo an , an - 1 . . . a 1 , a o nmeros, l l amados coef icientes .

n un nmero natural .

x la variable o indeterminada.

an es el coef iciente principal .

a o es el trmino independiente.

Grado de un pol inomio

El grado de un pol inomio P(x) es e l mayor exponente a l que se encuentra e levada la variable x.

Clasi f icacin de un pol inomio segn su grado

Primer grado

P(x) = 3x + 2

Segundo grado


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P(x) = 2x 2 + 3x + 2

Tercer grado

P(x) = x 3 2x 2+ 3x + 2

Tipos de polinomios

Pol inomio nulo

Es aque l pol inomio que t iene todos sus coef i c ientes nulos.

Pol inomio homogneo

Es aque l pol inomio en e l to d o s s u s t r m i n o s o m o n o m i o s s o n d e l m i s m o g r a d o .

P(x) = 2x 2 + 3xy

Pol inomio heterogneo

Es aque l pol inomio en e l que sus trminos no son de l miso grado.

P(x) = 2x 3 + 3x 2 - 3

Pol inomio completo

Es aque l pol inomio que t iene todos los trminos desde e l t rmino independiente hasta e l t rmino de mayor grado.


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P(x) = 2x 3 + 3x 2 + 5x - 3

Pol inomio ordenado

Un pol inomio est ordenado s i los monomios que lo forman estn escr i tos de mayor a menor grado .

P(x) = 2x 3 + 5x - 3

Pol inomios iguales

Dos pol inomios son igua les s i ver i f i can:

1Los dos pol inomios t ienen e l mismo grado .

2Los coef icientes de los trminos de l mismo grado son i guales .

P(x) = 2x 3 + 5x 3

Q(x) = 5x 3 + 2x 3

Pol inomios semejantes

Dos pol inomios son semejantes s i ver i f i can que t ienen la misma parte l i teral .

P(x) = 2x 3 + 5x 3

Q(x) = 5x 3 2x 7


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Valor numrico de un pol inomio

Es e l resul tado que obtenemos a l sust i tu i r la var iab le x por un nmero cua lquiera.

P(x) = 2x 3 + 5x 3 ; x = 1

P(1) = 2 1 3 + 5 1 3 = 2 + 5 - 3 = 4

Suma de polinomios

Para sumar dos pol inomios se suman los coef icientes de los trminos del mismo grado.

P(x) = 2x 3 + 5x 3 Q(x) = 4x 3x 2 + 2x 3

1Ordenamos l o s pol inomios , s i no lo estn.

Q(x) = 2x 3 3x 2 + 4x

P(x) + Q(x) = (2x 3 + 5x 3) + (2x 3 3x 2 + 4x)

2Agrupamos l os monomios de l mismo grado .

P(x) + Q(x) = 2x 3 + 2x 3 3 x 2 + 5x + 4x 3

3Sumamos los monomios semejantes .

P(x) + Q(x) = 4x 3 3x 2 + 9x 3


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Tambin podemos sumar po l inomios escr ib iendo uno debajo de l otro, de forma que los monomios semejantes queden en

columnas y se puedan sumar.

P(x) = 7x 4 + 4x 2 + 7x + 2 Q(x) = 6x 3 + 8x +3

P(x) + Q(x) = 7x 4 + 6x 3 + 4x 2 + 15x + 5

Resta de pol inomios

La resta de pol inomios cons iste en sumar el opuesto del sustraendo .

P(x) Q(x) = (2x 3 + 5x 3) (2x 3 3x 2 + 4x)

P(x) Q(x) = 2x 3 + 5x 3 2x 3 + 3x 2 4x

P(x) Q(x) = 2x 3 2x 3 + 3x 2 + 5x 4x 3

P(x) Q(x) = 3x 2 + x 3

Multip l icacin de un nmero por un pol inomio

Es o t ro pol inomio que t iene de grado e l mismo de l po l inomio y como coef icientes e l producto de los coef icientes del

pol inomio por e l nmero .


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3 (2x 3 3 x 2 + 4x 2) = 6x 3 9x 2 + 12x 6

Multip l icacin de un monomio por un pol inomio

Se multipl ica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el pol inomio .

3x 2 (2x 3 3x 2 + 4x 2) = 6x 5 9x 4 + 12x 3 6x 2

Multip l icacin de pol inomios

P(x) = 2x 2 3 Q(x) = 2x 3 3x 2 + 4x

Se mult ipl ica cada monomio del primer pol inomio por todos los e lementos segundo pol inomio.

P(x) Q(x) = (2x 2 3) (2x 3 3x 2 + 4x) =

= 4x 5 6x 4 + 8x 3 6x 3 + 9x 2 12x =

Se suman los monomios del mismo grado.

= 4x 5 6x 4 + 2x 3 + 9x 2 12x

Se obt iene otro po l inomio cuyo grado es la suma de los grados de los pol inomios que se multipl ican .

Tambin podemos multipl icar pol inomios de s iguiente modo:


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Ejercicio

Efectuar de dos modos d ist intos la multipl icacin de los pol inomios :

P(x) = 3x 4 + 5x 3 2x + 3 y Q(x) = 2x 2 x + 3

P(x) Q(x) = (3x 4 + 5x 3 2x + 3) (2x 2 x + 3) =

= 6x 6 3x 5 + 9x 4 + 10x 5 5x 4 + 15x 3

4x 3 + 2x 2 6x + 6x 2 3x + 9 =

= 6x 6 + 7x 5 + 4x 4 + 11x 3 + 8x 2 9x + 9


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Resolver la divisin de pol inomios:

P(x) = x 5 + 2x 3 x 8 Q(x) =x 2 2x + 1

P(x) : Q(x)

A la izquierda situamos el dividendo . S i e l po l inomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

x 5 : x 2 = x 3

Multipl icamos cada trmino del pol inomio divisor por e l resultado anterior y lo restamos del pol inomio dividendo:


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Vo lvemos a div id i r e l pr imer monomio de l d iv idendo entre e l pr imer monomio de l d iv i sor . Y e l resul tado lo mul t ip l i camos por

e l d iv i sor y lo restamos a l d iv idendo.

2x 4 : x 2 = 2 x 2

Procedemos igua l que antes.

5x 3 : x 2 = 5 x

Volvemos a hacer las mismas operac iones.


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8x 2 : x 2 = 8

10x 6 es e l resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede cont inuar d iv id iendo.

x3 + 2x2 + 5x + 8 es e l cociente .

Regla de Ruffini

Paolo Ruff ini (1765, 1822) fue un matemt ico i ta l iano, que estab lec in un mtodo ms breve para hacer la div is in de

pol inomios , cuando e l divisor es un binomio de la forma x a .

Regla de Ruffini

Para exp l i car los pasos a ap l i car en la regla de Ruff ini vamos a tomar de e jemplo la d iv i s in:

(x 4 3x 2 + 2 ) : (x 3)


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1Si e l pol inomio no es completo, lo completamos aadiendo los trminos que faltan con ceros.

2Colocamos los coef icientes del dividendo en una l nea.

3Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del trmino independendiente del divisor.

4Trazamos una raya y bajamos el primer coef iciente.

5Multipl icamos ese coef iciente por e l divisor y lo colocamos debajo del siguiente trmino.

6Sumamos los dos coef icientes.

7Repetimos el proceso anterior.


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Volvemos a repet i r e l proceso.

Volvemos a repet i r .

8El lt imo nmero obtenido , 56 , es e l resto .

9El cociente es un pol inomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coef icientes son los que hemos

obtenido.

x3 + 3 x 2 + 6x +18

Ejemplo

Divid i r por la reg la de Ruff in i :

(x 5 32) : (x 2)


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C(x) = x 4 + 2x 3 + 4x 2 + 8x + 16

R = 0

Identidades notables

Binomio al cuadrado

(a b) 2 = a2 2 a b + b 2

( x + 3) 2 = x 2 + 2 x 3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9

(2x 3) 2 = (2x) 2 2 2x 3 + 3 2 = 4x 2 12 x + 9

Suma por d i ferencia

(a + b) (a b) = a 2 b 2

(2x + 5) (2x - 5) = (2x) 2 5 2 = 4x 2 25

Binomio al cubo

(a b) 3 = a3 3 a 2 b + 3 a b2 b 3


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(x + 3) 3 = x 3 + 3 x 2 3 + 3 x 3 2 + 3 3 =

= x 3 + 9x 2 + 27x + 27

(2x 3) 3 = (2x) 3 3 (2x) 2 3 + 3 2x 3 2 3 3 =

= 8x 3 36x 2 + 54x 27

Trinomio al cuadrado

(a + b + c) 2 = a 2 + b2 + c2 + 2 a b + 2 a c + 2 b c

(x 2 x + 1) 2 =

= (x 2 ) 2 + (x) 2 + 1 2 + 2 x 2 (x) + 2 x 2 1 + 2 (x) 1=

= x 4 + x 2 + 1 2x 3 + 2x 2 2x=

= x 4 2x 3 + 3x 2 2x + 1

Suma de cubos

a3 + b 3 = (a + b) (a 2 ab + b 2 )

8x 3 + 27 = (2x + 3) (4x 2 6x + 9)

Diferencia de cubos


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a3 b 3 = (a b) (a 2 + ab + b 2 )

8x 3 27 = (2x 3) (4x 2 + 6x + 9)

Producto de dos b inomios que t ienen un trmino comn

(x + a) (x + b) = x 2 + (a + b) x + ab

(x + 2) (x + 3) =

= x 2 + (2 + 3) x + 2 3 =

= x 2 + 5x + 6

Teorema del resto

El resto de la d iv i s in de un pol inomio P(x) , ent re un pol inomio de la forma (x a) es e l va lor numr ico de d i cho

pol inomio para el valor: x = a.

Calcular por e l teorema del resto el resto de la divisin:

P(x) : Q(x)

P(x)= x 4 3x 2 + 2 Q(x) = x 3


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P(3) = 3 4 3 3 2 + 2 = 81 27 + 2 = 56

Teorema del factor

El pol inomio P(x) es d iv i s ib le por un pol inomio de la forma (x a) s i y s lo s i P(x = a) = 0 .

A l va lor x = a se le l lama ra z o cero de P(x).

Races de un pol inomio

Son los va lores que anulan e l po l inomio.

Calcular las races del pol inomio:

P(x) = x 2 5x + 6

P(2) = 2 2 5 2 + 6 = 4 10 + 6 = 0

P(3) = 3 2 5 3 + 6 = 9 15 + 6 = 0

x = 2 y x = 3 son races o ceros del pol inomio : P(x) = x

2

5x + 6, porque P(2) = 0 y P(3) = 0.


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Propiedades de las races y factores de un polinomio

1Los ceros o races enteras de un pol inomio son divisores del trmino independiente del pol inomio.

2A cada raz del t ipo x = a le corresponde un binomio del t ipo ( x a).

3 Podemos expresar un pol inomio en factores al escribir lo como producto de todos los binomios del t ipo (x a),

que se correspondan a las races, x = a, que se obtengan.

x 2 5x + 6 = (x 2) ( x 3)

4La suma de los exponentes de los binomios ha de ser igual al grado del pol inomio.

5Todo pol inomio que no tenga trmino independiente admite como raz x = 0, lo que es lo mismo, admite como

factor x.

x 2 + x = x (x + 1)

Races: x = 0 y x = 1

6Un pol inomio se l lama irreducible o primo cuando no puede descomponerse en factores.

P(x) = x 2 + x + 1

Hal lar las races y descomponer en factores el pol inomio:

Q(x) = x 2 x 6


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Los d iv i sores de l trmino independiente son: 1, 2, 3.

Q(1) = 1 2 1 6 0

Q(1) = (1) 2 (1) 6 0

Q(2) = 2 2 2 6 0

Q(2) = (2) 2 (2) 6 = 4 + 2 6 = 0

Q(3) = 3 2 3 6 = 9 3 6 = 0

Las ra ces son: x = -2 y x = 3.

Q(x) = (x + 2) (x 3)

Mtodos para factorizar un p olinomio

Sacar factor comn

Consiste en ap l i car la prop iedad d istr ibut iva.

a b + a c + a d = a (b + c + d)


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Descomponer en factores sacando factor comn y hal lar las races

1 x 3 + x2 = x2 (x + 1)

La races son: x = 0 y x = 1

2 2x 4 + 4x2 = 2x 2 (x2 + 2)

S lo t iene una raz X = 0; ya que e l po l inomio, x 2 + 2, no t iene ningn va lor que lo anule; deb ido a que a l estar la x a l

cuadrado s iempre dar un nmero pos i t ivo, por tanto es i r reduc ib le .

3 x2 ax bx + ab = x (x a) b (x a) = (x a ) (x b)

La races son x = a y x = b.

Igualdad notable

Diferencia de cuadrados

Una diferencia de cuadrados es igual a suma por di ferencia.

a2 b 2 = (a + b) (a b)

Descomponer en factores y hal lar las races

1 x2 4 = (x + 2) (x 2)


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Las ra ces son x = 2 y x = 2

2 x 4 16 = (x 2 + 4) (x 2 4) = (x + 2) (x 2) (x 2 + 4)

Las ra ces son x = 2 y x = 2

Trinomio cuadrado perfecto

Un tr inomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado.

a2 2 a b + b 2 = (a b) 2

Descomponer en factores los tr inomio cuadrados perfectos y hal lar sus races

La ra z es x = 3 , y se d ice que es una raz doble .

La raz es x = 2.


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Trinomio de segundo grado

Para descomponer en factores el tr inomio de segundo grado P(x) = ax 2 + bx + c , se iguala a cero y se resuelve la

ecuacin de 2 grado . S i las so luc iones a la ecuac in son x 1 y x 2 , e l po l inomio descompuesto ser:

ax 2 + bx + c = a (x x 1 ) (x x 2 )

Descomponer en factores los tr inomios de segundo grado y hal lar sus races

Las races son x = 3 y x = 2.


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Las ra ces son x = 3 y x = 2 .

Descomponer en factores los tr inomios de cuarto grado de exponentes pares y hal lar sus races

x 4 10x 2 + 9

x 2 = t

x 4 10x 2 + 9 = 0

t 2 10t + 9 = 0


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x4 10x 2 + 9 = (x + 1) (x 1) (x + 3) (x 3)

x 4 2x 2 3

x 2 = t

t 2 2t 3 = 0

x 4 2x 2 + 3 = (x 2 + 1) (x + ) (x )

Factorizacin de un polinomio de grado superior a dos

Uti l izamos el teorema del resto y la regla de Ruff ini para encontrar las races enteras.

Descomposicin de un pol inomio de grado superior a dos y clculo de sus races


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P(x) = 2x 4 + x 3 8x 2 x + 6

1Tomamos los divisores del trmino independiente: 1, 2, 3.

2Apl i cando e l teorema del resto sabremos para que va lores la d iv i s in es exacta.

P(1) = 2 1 4 + 13 8 1 2 1 + 6 = 2 + 1 8 1 + 6 = 0

3Div id imos por Ruf f in i .

4Por ser la divisin exacta , D = d c .

(x 1) (2x 3 + 3x 2 5x 6 )

Una ra z es x = 1.

Cont inuamos rea l i zando las mismas operac iones a l segundo factor .

Volvemos a probar por 1 porque e l pr imer factor podr a estar e levado a l cuadrado.

P(1) = 2 1 3 + 3 1 2 5 1 6 0

P(1) = 2 ( 1) 3 + 3 ( 1) 2 5 ( 1) 6 = 2 + 3 + 5 6 = 0


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(x 1) (x +1) (2x 2 +x 6)

Ot ra r a z es x = 1.

E l te r ce r fa c to r l o podemos encont ra r ap l i cando l a e cuac i n de 2 g rado o ta l como ven imos hac i ndo l o , aunque t i ene e l

inconveniente de que s lo podemos encontrar races enteras .

E l 1 lo descar tamos y seguimos probando por 1.

P(1) = 2 (1) 2 + (1) 6 0

P(2) = 2 2 2 + 2 6 0

P(2) = 2 (2) 2 + (2) 6 = 2 4 2 6 = 0

(x 1) (x + 1) (x + 2) (2x 3 )

Sacamos factor comn 2 en l t imo b inomio y encontramos una ra z rac iona l .

2x 3 = 2 (x 3/2)


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La factorizacin del pol inomio queda:

P(x) = 2x 4 + x 3 8x 2 x + 6 = 2 (x 1) (x +1) (x +2) (x 3/2)

Las races son : x = 1, x = 1, x = 2 y x = 3/2

Todas las races son racionales

Puede suceder que e l po l inomio no tenga ra ces enteras y s lo tenga ra ces rac iona les.

En este caso tomamos los d iv i sores de l trmino independiente d iv id ido entre los d iv i sores de l trmino con mayor grado, y

ap l i camos e l teorema de l resto y la reg la de Ruff in i .

P(x) = 12x 3 + 8x 2 3x 2

Probamos por: .


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Sacamos factor comn 12 en e l te rcer factor .

Fracciones algebraicas

Una fraccin algebraica es el cociente de dos pol inomios y se representa por:


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P(x) es e l numerador y Q(x) e l denominador .

Fracciones algebraicas equivalentes

Dos fracciones algebraicas

son equivalentes , y lo representamos por:

si se veri f ica que P(x) S(x) = Q(x) R(x).

son equivalentes porque:

(x+2) ( x 2) = x 2 4

Dada una fracc in a lgebra ica, si mult ipl icamos el numerador y e l denominador de d icha fracc in por un mismo

pol inomio dist into de cero, la f raccin algebraica resultante es equivalente a la dada.


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Simpl i f i cacin de f racciones algebraicas

Para simpl i f icar una fraccin algebraica se divide el numerador y e l denominador de la f raccin por un pol inomio

que sea factor comn de ambos.

Ampl i f icacin de f racciones algebraicas

Para ampli f icar una f raccin algebraica se multipl ica e l numerador y e l denominador de la f racc in por un pol inomio .

Reduccin de fracciones algebraicas a comn denominador

Dadas dos f racciones algebraicas , reduc i r las a comn denominador es encontrar dos f racciones algebraicas

equivalentes con el mismo denominador.

Reducir a comn denominador las fracciones:


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1Descomponemos los denominadores en factores para hal lar les e l mnimo comn mlt iplo, que ser el comn

denominador.

x 2 1 = (x + 1) (x 1)

x 2 + 3x + 2 = (x +1 ) (x + 2)

m.c.m. (x 2 1, x 2 + 3x + 2) = (x + 1) (x 1) (x + 2)

2Dividimos el comn denominador entre los denominadores de las fracciones dadas y e l resultado lo mult ipl icamos

por el numerador correspondiente.

Suma de fracciones algebraicas


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La suma de fracciones algebraicas con el mismo denominador es otra fraccin algebraica con el mismo denominador

y cuyo numerador es la suma de los numeradores.

Sumar las fracciones algebraicas:

Fracciones algebraicas con dist into denominador

En primer lugar se ponen las fracciones algebraicas a comn denominador, posteriormente se suman los

numeradores.

Sumar las fracciones algebraicas:


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Multipl icacin de fracciones algebraicas

El producto de dos fracciones algebraicas es otra fraccin algebraica donde el numerador es el producto de los

numeradores y e l denominador es el producto de los denominadores.

Multipl icar las fracciones algebraicas:


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Divisin de fracciones algebraicas

El cociente de dos fracciones algebraicas es otra fraccin algebraica con numerador el producto del numerador de

la primera por e l denominador de la segunda, y con denominador el producto del denominador de la primera por e l

numerador de la segunda.

Dividir las fracciones algebraicas:


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Expresiones algebraicas

Trabajar en lgebra cons iste en manejar relaciones numricas en las que una o ms cant idades son desconocidas . Estas

cant idades se l laman variables , incgnitas o indeterminadas y se representan por letras .

Una expresin algebraica es una combinacin de letras y nmeros l igada por los signos de las operaciones: adicin,

sustraccin, mult ipl icacin, divisin y potenciacin.

Valor numrico

El un va lor numr ico de una expres in a lgebra ica es e l nmero que se obt iene a l sustituir las letras de la misma por

nmeros determinados y efectuar las operaciones i nd icadas en la expres in.


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Monomios

Un monomio es una expresin algebraica en la que las nicas operaciones que aparecen entre las var iab les son e l

producto y la potencia de exponente natural .

E l coef iciente de l monomio es e l nmero que aparece mul t ip l i cando a las var iab les.

La parte l i teral est const i tu ida por las le tras y sus exponentes.

E l grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las le tras o var iab les.

Dos monomios son semejantes cuando t ienen la misma parte l i teral .

Operaciones con monomios

Suma de Monomios

Slo podemos sumar monomios semejantes .

La suma de los monomios es otro monomio que t iene la misma parte l i teral y cuyo coef iciente es la suma de los

coef icientes.

Producto de un nmero por un monomio

El producto de un nmero por un monomio es otro monomio semejante cuyo coef iciente es e l producto del coef iciente de

monomio por el nmero .


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Producto de monomios

El producto de monomios es otro monomio que t iene por coef iciente el producto de los coef icientes y cuya parte l i teral

se obtiene mult ipl icando las potencias que tenga la misma base.

Cociente de monomios

El coc iente de monomios es otro monomio que t iene por coef iciente el cociente de los coef icientes y cuya parte l i teral

se obtiene dividiendo las potencias que tenga la misma base.

Polinomios

Un PO LI NO M I O es una expres in a lgebra ica de la forma:

P(x) = a n x n + an - 1 x n - 1 + a n - 2 x n - 2 + . . . + a 1 x 1 + a 0

S iendo an , an - 1 . . . a 1 , a o nmeros, l l amados coef icientes .

n un nmero natural .

x la variable o indeterminada.

a o es el trmino independiente.

Grado de un pol inomio

El grado de un pol inomio P(x) es e l mayor exponente a l que se encuentra e levada la variable x.


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Pol inomio completo

Es aque l que t iene todos los trminos desde e l t rmino independiente hasta e l t rmino de mayor grado

Pol inomio ordenado

Un pol inomio est ordenado s i los monomios que lo forman estn escr i tos de mayor a menor grado.

Pol inomios iguales

Dos pol inomios son igua les s i ver i f i can:

Los dos po l inomios t ienen e l mismo grado .

Los coef icientes de los trminos de l mismo grado son i guales .

Valor numrico de un pol inomio

Es e l resul tado que obtenemos a l sust i tu i r la var iab le x por un nmero cua lquiera.

Operaciones con polinomios

Suma de polinomios

Para sumar dos pol inomios se suman los coef icientes de los trminos del mismo grado.

La diferencia cons iste en sumar el opuesto del sustraendo .


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Multiplicacin de polinomios

Producto de un nmero por un pol inomio

Es o t ro pol inomio que t iene de grado e l mismo de l po l inomio y como coef icientes e l producto de los coef icientes del

pol inomio por e l nmero .

Producto de un monomio por un pol inomio

Se multipl ica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el pol inomio .

Producto de pol inomios

1 Se mult ipl ica cada monomio del primer pol inomio por todos los e lementos segundo pol inomio.

2 Se suman los monomios del mismo grado.

Divisin de polinomios

P(x) : Q(x)

A la izquierda situamos el dividendo . S i e l po l inomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.


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Multipl icamos cada trmino del pol inomio divisor por e l resultado anterior y lo restamos del pol inomio dividendo:

Volvemos a d iv id i r e l pr imer monomio de l d iv idendo entre e l pr imer monomio de l d iv i sor . Y e l resul tado lo mul t ip l i camos por

e l d iv i sor y lo restamos a l d iv idendo.

Repet imos e l proceso anter ior hasta que e l grado del resto sea menor que el grado del divisor , y por tanto no se puede

cont inuar d iv id iendo.

Para comprobar s i la operac in es correcta, ut i l i zar amos la prueba de la d iv i s in:

D = d c + r

Regla de Ruffini

Si e l divisor es un binomio de la forma x a , entonces ut i l i zamos un mtodo ms breve para hacer la divisin , l l amado

R E G L A D E RUF F I NI .

(x 4 3x 2 +2 ) : (x 3 )

1Si e l pol inomio no es completo, lo completamos aadiendo los trminos que faltan con ceros.

2Colocamos los coef icientes del dividendo en una l nea.

3Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del trmino independiente del divisor.

4Trazamos una raya y bajamos el primer coef iciente.


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5Multipl icamos ese coef iciente por e l divisor y lo colocamos debajo del siguiente trmino.

6Sumamos los dos coef icientes.

7Repetimos los pasos 5y 6 l as veces que fuera necesar ias .

8El lt imo nmero obtenido es el resto .

9El cociente es un pol inomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coef icientes son los que hemos

obtenido.

Identidades notables

Binomio al cuadrado

(a b) 2 = a2 2 a b + b 2

Suma por d i ferencia

(a + b) (a b) = a 2 b 2


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Binomio al cubo

(a b) 3 = a3 3 a 2 b + 3 a b2 b 3

Factorizacin de un polinomioTeorema del resto

El resto de la divisin de un pol inomio P(x), entre un pol inomio de la forma x - a es e l valor numrico de dicho

pol inomio para el valor: x = a.

Teorema del factor

El pol inomio P(x) es divis ible por un pol inomio de la forma x - a s i y slo si P(x = a) = 0.

Al va lor x = a se le l lama RA Z o CE RO de P(x).

Observaciones

1Los ceros o races son divisores del trmino independiente del pol inomio.

2A cada ra z de l t ipo x = a l e cor responde un b inomio del t ipo (x a) .

3 Podemos expresar un pol inomio en factores al escribir lo como producto de todos los binomios del t ipo x a, que

se correspondan a las races x = a que se obtengan.


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4La suma de los exponentes de los binomios ha de ser igual al grado del pol inomio.

5Todo pol inomio que no tenga trmino independiente admite como raz x = 0, lo que es lo mismo, admite como

factor x.

6Un pol inomio se l lama irreducible o primo cuando no puede descomponerse en factores.

Mtodos para factorizar un p olinomio

Sacar factor comn

Consiste en ap l i car la prop iedad d istr ibut iva.

a b + a c + a d = a (b + c + d)

Igualdades notables

Di ferencia de cuadrados

Una diferencia de cuadrados es igual a suma por di ferencia.

a2 b 2 = (a + b) (a b)

Trinomio cuadrado perfecto


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Un tr inomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado.

a2 2 a b + b 2 = (a b) 2

Trinomio de segundo grado

a x 2 + bx +c = a (x -x1 ) (x -x 2 )

Pol inomio de grado superior a dos.

Uti l izamos el teorema del resto y la regla de Ruff ini .

1Tomamos los divisores del trmino independiente: 1, 2, 3.

2Apl i cando e l teorema del resto sabremos para que va lores la d iv i s in es exacta.

3Div id imos por Ruf f in i .

4Por ser la divisin exacta , D = d c

5Cont inuamos rea l i zando las mismas operac iones a l segundo factor , y los nuevos que obtengamos, hasta que sea de grado

uno o no se pueda descomponer en factores rea les.

Fracciones algebraicas

Una fraccin algebraica es el cociente de dos pol inomios y se representa por:


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P(x) es e l numerador y Q(x) e l denominador .

Fracciones algebraicas equivalentes

Dos fracciones algebraicas

son equivalentes , y lo representamos por:

si se veri f ica que P(x) S(x) = Q(x) R(x).

Dada una fracc in a lgebra ica, si mult ipl icamos el numerador y e l denominador de d icha fracc in por un mismo

pol inomio dist into de cero, la f raccin algebraica resultante es equivalente a la dada.

Simpl i f i cacin de f racciones algebraicas


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Para s impl i f i car una fracc in a lgebra ica se divide el numerador y e l denominador de la f raccin por un pol inomio que

sea factor comn de ambos.

Reduccin de f racciones algebraicas a comn denominador

Dadas dos fracc iones a lgebra icas, reduc i r las a comn denominador es encontrar dos f racciones algebraicas equivalentes

con el mismo denominador.

1Descomponemos los denominadores en factores para hal lar les e l mnimo comn mlt iplo, que ser el comn

denominador.

2Dividimos el comn denominador entre los denominadores de las fracciones dadas y e l resultado lo mult ipl icamos

por el numerador correspondiente.

Operaciones con fracciones algebraicas

Suma y diferencia de fracciones algebraicas

Fracciones algebraicas con igual denominador

La suma de fracciones algebraicas con el mismo denominador es otra fraccin algebraica con el mismo denominador

y cuyo numerador es la suma de los numeradores.

Fracciones algebraicas con dist into denominador


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En primer lugar se ponen las fracciones algebraica a comn denominador, posteriormente se suman los

numeradores.

Producto de fracciones algebraicas

El producto de dos fracciones algebraicas es otra fraccin algebraica donde el numerador es el producto de los

numeradores y e l denominador es el producto de los denominadores.

Cociente de fracciones algebraicas

El cociente de dos fracciones algebraicas es otra fraccin algebraica con numerador el producto del numerador de

la primera por e l denominador de la segunda, y con denominador el producto del denominador de la primera por e l

numerador de la segunda.

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