OperacionesAlgebraicas

•Conceptos algebraicos•Operaciones básicas de álgebra: Adición, Resta o sustracción, Multiplicación, División•Signos de agrupación•Orden de las operaciones

Conceptos Algebraicos• Es común en matemáticas que a las cantidades

que desconocemos, o los valores que varían, se les representen con una letra.

• El carácter del álgebra considera las relaciones entre cantidades, expresando tanto las relaciones como las cantidades del modo más general posible, usando una notación basada en números, letras y signos.

• Los números se emplean para representar cantidades conocidas.

• Las letras se emplean para representar cantidades generalizadas, ya sean determinadas (constantes) o no determinadas (variables).

• De forma común las letras utilizadas son minúsculas, utilizando para las constantes las primeras letras del alfabeto, y para las variables, las últimas.

• Los signos son de tres clases:– De operación: +, -, x, ÷– De relación: <, =, >– De agrupación: ( ), [ ], { }

• A la combinación de números, letras y signos de operación o de agrupación se le llama expresión algebraica. Por ejemplo:

3t2x + 3(x – y)

• Por otro lado, el término algebraico es una expresión algebraica que puede ser un número específico, una literal, o una combinación de ellos mediante operaciones de multiplicación, división o extracción de raíz.

• Es decir, es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo, o de varios símbolos no separados entre sí por los signos de suma (+) o resta (-).

• Los términos pueden ser enteros y fraccionarios. Un término entero es el que carece de denominador con literales. El término fraccionario es el que tiene denominador con literales como 6

x

• Un término algebraico consta de factor numérico y parte literal.

• El factor numérico es el número real que multiplica a la parte literal.

• La parte literal las forman las letras o factores literales que haya en el término, incluyendo sus exponentes, ya que estos únicamente indican el número de veces que la literal afectada se repite como factor.

• Los términos algebraicos que tienen la misma parte literal reciben el nombre de términos semejantes; por ejemplo:

• 4ab , -5ab y ab , son términos semejantes, en cambio 4ab y -4ab no lo son.

5 5 5

5 8

• Por otra parte, cualquier factor de un término algebraico se llama coeficiente de los demás factores. En particular llamaremos coeficiente numérico del término al factor numérico del término, incluyendo su signo.

• Cuando el coeficiente numérico es 1 o -1 se escribe sólo el signo del mismo precediendo a la parte literal; por ejemplo, en el término –ax el coeficiente numérico es -1.

• Una característica importante del término algebraico es su grado.

• El grado de un término puede ser de dos clases: absoluto y con relación a una letra.

• El grado absoluto de un término es la suma de los exponentes de sus factores literales.

• Por ejemplo: el grado absoluto de -8ab es 4, ya que el exponente de a es 1 y de b es 3, por lo que la suma es 4.

3

• El grado de un término en relación a una letra es el exponente de dicha letra.

• Por ejemplo, el término -8ab es de grado 1 con respecto a la letra a y de grado 3 con respecto a la letra b.

3

• Las expresiones algebraicas se clasifican, de acuerdo con el número de términos que contienen, en monomios y polinomios.

• Monomio es la expresión algebraica que consta de un solo término, como 5ab

• Polinomio es la expresión algebraica que consta de más de un término, por ejemplo: 7x + 2y

• Cuando el polinomio consta de dos términos recibe el nombre de binomio, como 3x + 6y.

• Si el polinomio tiene tres términos, recibe el nombre de trinomio, como 9a + 3b – 5c

• Por otra parte, el grado de un polinomio puede ser de dos clase: absoluto y en relación a una letra.

• El grado absoluto de un polinomio es el grado de su término de mayor grado, por ejemplo en 5ax + 3ax es 6, ya que el grado del primer término es 3 y el del segundo 6, por lo que el mayor es 6.

2 5

• El grado con relación a una letra de un polinomio es el mayor exponente de dicha letra en el polinomio, así, en el polinomio 5ax + 3ax el grado es 1 con respecto a la letra a y 5 con respecto a la letra x.

2 5

• Un polinomio esta ordenado cuando los exponentes respecto a una letra escogida, llamada letra ordenatriz, van aumentando o disminuyendo.

• Si los exponentes de dicha letra van aumentando, el polinomio esta ordenado en forma ascendente.

• Por ejemplo: el polinomio ax + 4yx + 3ax – 13bx, está ordenado en forma ascendente con respecto a la letra x.

3 5

6

• Si los exponentes de la letra ordenatriz van disminuyendo, el polinomio está ordenado en forma descendente.

• Por ejemplo: el polinomio yx – 3x + 7ax –x, está ordenado en forma descendente con respecto a la letra x.

8 5 2

Adición• La adición es una operación cuya finalidad

es unir dos o más expresiones algebraicas llamadas sumandos, en una sola expresión llamada suma.

• En el lenguaje común esta operación puede indicarse con diferentes palabras: aumentar, sumar, añadir, incrementar, más, exceder.

Por ejemplo:Al decir:

• Un número x aumentado en 3

• A una edad n súmale 4

• Añade 5 a un número t

• Una cantidad c excedida en 8

Se escribe:• x + 3

• n + 4

• t + 5

• c + 8

Propiedades para la adición en álgebra

1. Unicidad: La suma de dos o más números es única. Por ejemplo: la suma de 2 y 6 siempre es 8.

2. Conmutativa: El orden de los sumandos no altera la suma. Por ejemplo 2 + 6= 6 + 2= 8.

Propiedades para la adición en álgebra (2)

3. Asociativa: En la suma de tres o más números los sumandos pueden agruparse de cualquier modo, obteniendo el mismo resultado. Por ejemplo: 3+4+5= (3+4)+5= 3+(4+5)= (3+5)+4=12

4. Aditiva del cero: Al sumar cero con cualquier número se obtiene el mismo número. Por ejemplo: 6 + 0= 6.

• Al cero se le llama elemento neutro de la adición

Resta o Sustracción • La sustracción o resta es la operación que

consiste en hallar la diferencia entre dos o más cantidades.

• La cantidad que se sustrae se llama sustraendo, la otra cantidad recibe el nombre de minuendo, y al resultado de la sustracción se le denomina diferencia o resto.

• Para efectuar la resta se sustituye el sustraendo por su opuesto y después se suma con el minuendo.

• El opuesto o inverso aditivo de un número es el mismo número, tomado con el signo contrario al que originalmente presenta. Por ejemplo: el opuesto de 8 es -8, y el opuesto de -125 es 125.

• En el lenguaje común la operación de sustracción puede indicarse con diferentes palabras; diferencia, menos, disminuir, menos que, menor en.

Por ejemplo:Al decir:

• La diferencia cuando a un número x se les resta 10.

• De 4 resta un número n

• El número x disminuido en 20

• Disminuir 85 de 47

Se escribe_• x – 10

• 4 – n

• X - 20• 47 - 85

Multiplicación• La multiplicación es una operación, donde

dadas dos cantidades llamadas factores, se halla una tercera cantidad llamada producto.

• Los símbolos para indicar la multiplicación son: x, ( ), ., cuando los factores son literales se emplean los dos últimos símbolos o bien ninguno. Por ejemplo: ab= (a) (b)= a . b

•

Propiedades y leyes de la multiplicación

1. Unicidad: El producto de dos o más factores es único. Por ejemplo: el producto de 5 y 4 siempre es 20.

2. Conmutativa: El orden de los factores no altera el producto. Por ejemplo: (6)(8)= (8)(6)= 48

3. Asociativa: En la multiplicación de tres o más cantidades, los factores pueden agruparse de cualquier modo, obteniéndose el mismo resultado. Por ejemplo: (2)(3)(5)= (2.3)(5)=(2)(3.5)= (2.5)(3)=30

4. Distributiva: El producto de una cantidad por la suma de otras dos es igual a la suma de los productos de la primera cantidad por cada una de las otras dos. Por ejemplo: 5 . (4+6)= (5.4)+(5.6)= 20 + 30=50

5. Neutro Multiplicativo: El producto de cualquier cantidad por uno es la misma cantidad.

6. Multiplicación por cero: El producto de cualquier cantidad por cero es cero.

7. Producto Nulo: Si el producto de dos o más cantidades es cero, por lo menos una de ellas es cero. Así, si ab= 0, entonces: a=0 o b=0, o bien a=b=0.

Leyes de los signos1. El producto de dos cantidades del mismo

signo es positivo. Por ejemplo: (+)(+)= +, (-)(-)= +

2. El producto de dos cantidades de diferente signo es negativo. Por ejemplo: (+)(-)= -, (-)(+)= -

3. El signo del producto de varios factores es positivo cuando tiene un número par de factores negativos o ninguno. Por ejemplo: (4)(7)(6), (-3)(5)(-7)(3), (-3)(-4)(-7)(-5).

4. El signo del producto de varios factores es negativo cuando tiene un número impar de factores negativos. Por ejemplo: (2)(-8)(3), (-4)(-3)(-9)

Signos de agrupación• Es común en álgebra utilizar los signos de

agrupación para indicar con mayor claridad las operaciones que se efectúan.

• Los paréntesis se llaman signos de agrupación porque se usan para encerrar o incluir una expresión que representa un número en particular, es decir, para considerar dicha expresión como un todo.

• Algunas expresiones algebraicas pueden necesitar dos o más conjuntos de paréntesis para indicar las operaciones necesarias.

• Por tal razón además de paréntesis ordinarios ( ), se utilizan corchetes [ ] y llaves { }, para lograr mayor claridad.

División• La división es la operación inversa de la

multiplicación.

• El producto del cociente por el divisor es el dividendo, si la división es exacta.

• En caso de que la división no sea exacta, al producto del cociente por el divisor se le añade el resto o residuo de la división para obtener el dividendo.

Componentes de la división

• En el lenguaje común, la división puede indicarse con diferentes palabras: entre, dividido por, cociente o razón.

250 m 2500 m

10

0Divisor

Dividendo

Cociente

Resto

Por ejemplo:Al decir:

• Un número x entre 5

• El cociente de 8 y b• La razón de dos

números x y z• El doble del número

x dividido entre 9

Se escribe:• x/8

• 8/b• x/z

• 2x/9

• Cuando se dividen expresiones algebraicas, puede ocurrir alguno de los siguientes casos: monomio entre monomio, polinomio entre monomio, y polinomio entre polinomio.

1. Para dividir dos monomios se dividen sus coeficientes y cada una de sus literales iguales.

2. Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada uno de los términos del polinomio entre el monomio, escribiendo los cocientes como una sola expresión.

3. Para dividir un polinomio entre otro polinomio se procede de manera semejante a la división aritmética, pero siguiendo una serie de pasos.

Pasos para dividir polinomiosa. Se ordenan el dividendo y el divisor en relación

con una misma letra en forma descendente.

b. Se divide le primer término del dividendo entre el primero del divisor, para obtener el primer término del cociente.

c. El primer término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo.

d. Si en el paso anterior se obtuvo un resto cuya literal, con respecto a la que se ordenó, sea del mismo grado o mayor que el grado de la del divisor, se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, para obtener el segundo término del cociente.

e.

e. El segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del resto obtenido en el paso c.

f. El procedimiento continua hasta obtener en el resto cero o una expresión cuyo grado sea menor que el del divisor.

Orden en las operaciones• En el lenguaje matemático son

importantes los signos de operación y de agrupación para darle exactitud y claridad a las proposiciones.

• Es por eso que se tiene establecido un orden en las operaciones, para evitar ambigüedades.

Orden en las operaciones (2)1. Primero se debe simplificar la expresión

dentro de los signos de agrupación, comenzando con los más interiores.

2. Luego se realizan las multiplicaciones y divisiones en el orden que aparezcan a partir de la izquierda.

3. Finalmente se efectúan las sumas algebraicas.