06-Expresiones algebraicas

Nivel I: 6 Expresiones algebraicas

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6. Expresiones algebraicas 1. Expresiones algebraicas

1.1. Valor numrico de una expresin algebraica

2. Monomios 2.1. Suma algebraica de monomios 2.2. Producto de monomios 2.3. Cociente de monomios

3. Polinomios 3.1. Valor numrico de un polinomio 3.2. Suma y resta de polinomios 3.3. Producto de polinomios 3.4. Sacar factor comn

4. Soluciones de los ejercicios de la unidad

1. Expresiones algebraicas

En general, se llama expresin algebraica a toda combinacin de letras y nmeros

unidos por operaciones matemticas.

Las letras de una expresin algebraica se llaman variables y representan nmeros. Los signos + o que preceden a una letra son signos de operacin y no indican que el valor que toma la letra es positivo o negativo.

Traducir un enunciado al lenguaje algebraico consiste en expresar mediante los smbolos algebraicos un enunciado cualquiera:

Ejemplos El doble de un nmero:

El triple de un nmero:

La mitad de un nmero:

La edad de mi madre es el doble de mi edad ms cinco aos.

En primer lugar, leemos detenidamente el enunciado para elegir la variable y relacionarla con los datos que nos aporta el enunciado.

La variable ser: x Mi edad.

Como la edad de mi madre es el doble tendremos 2x, y como son 5 aos ms que el doble, la edad de mi madre es 2x +5

El precio de 1 kg de azcar es p euros y el de arroz 70 cntimos ms, entonces:

El precio de 1 kilo de arroz es: p + 0,70

La edad de Rosa es el triple que la de su hija:

Edad de la hija: x

Edad de Rosa: 3x

Un bolgrafo cuesta 20 cntimos ms que un lpiz. Mara ha comprado 10 lpices y 4

bolgrafos. Si el coste de un lpiz es p euros, escribamos en funcin de p el coste de:

a) Un bolgrafo: p + 0,20

b) 20 lpices: 20p

c) 4 bolgrafos: 4(p + 0,20)


C.E.P.A. de COSLADA - Fernando Moya

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La tercera parte de un nmero:

El siguiente de un nmero natural: El anterior de un nmero natural:

Un nmero natural par: Un nmero natural impar:

El cuadrado de la suma de dos nmeros:

La suma de los cuadrados de dos nmeros:

Ejercicios

6.1 Traduce al lenguaje algebraico las siguientes frases:

a) La suma de los habitantes de tres pueblos, si el primero tiene 15 habitantes ms que el segundo y ste la mitad que el 3.

b) El permetro de una finca rectangular si el ancho es un tercio del largo.

c) El triple de un nmero ms 5 unidades.

d) Dos nmeros pares consecutivos.

e) Dos nmeros impares consecutivos.

f) Un mltiplo de 5.

g) La dcima parte de un nmero.

h) La suma de los cuadrados de tres nmeros pares consecutivos.

1.1 Valor numrico de una expresin algebraica

Se llama valor numrico de una expresin algebraica al valor que se obtiene cuando se sustituyen las letras por nmeros y se realizan las operaciones

correspondientes.

Ejercicios

6.2 Calcula el valor numrico de la expresin para y

2. Monomios

Un monomio es una expresin algebraica formada por un nmero, llamado coeficiente, y unas letras o variables elevadas a un nmero natural, que forman la parte literal del monomio. El grado de un monomio es la suma de los exponentes de sus

La superficie de un rectngulo en el que la base es 3 unidades mayor que altura viene dada

por la expresin . Halla el valor numrico de la superficie de este rectngulo cuando

su altura es 5 cm.

Superficie = (5 cm + 3) 5 cm = 8 5 cm2 = 40 cm2


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letras.

Ejemplos:

Monomio Coeficiente Parte literal Grado

Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal.

Ejemplo: ; ;

Ejercicios

6.3 Indica el coeficiente, la parte literal y grado de los siguientes monomios:

(a) (b) (c) (d)

6.4 Escribe un monomio: a) de coeficiente 2 y parte literal ; b) de coeficiente -3 y grado 5; c) de grado 7; d) de grado 9 con variables e

6.5 Escribe un monomio semejante e indica su grado: (a) ; (b) ; (c)

6.6 Expresa mediante un monomio el rea sombreada de cada figura

6.7 Calcula el valor numrico de los siguientes monomios para los valores que se indican entre parntesis:

a) -3y (y=1) b) (x=-1)

c) (x=0) d)

6.8 Escribe el monomio opuesto a cada uno de los siguientes:

a) b) c)



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2.1 Suma algebraica de monomios

La suma algebraica de monomios semejantes es otro monomio semejante a ellos cuyo coeficiente es la suma algebraica de los coeficientes:

Si los monomios no son semejantes la suma algebraica no se puede hacer y hay que

dejarla indicada:

Si x es el precio de los bolgrafos en una papelera y Jess compra 5, y Susana, 3, cunto

dinero pagarn en total? Cunto pagar Jess ms que Susana?

Jess pagar 5x

Susana pagar 3x

La parte literal es la misma en los dos monomios. Son semejantes y podemos operar con ellos. En total pagarn:

5x + 3x = 8x

La diferencia ser: 5x 3x= 2x. Jess pagar 2x ms que Susana.

Si y es el precio de los cuadernos en esa papelera y Jess compra 2 cuadernos adems de

los bolgrafos, cunto dinero tendr que pagar?

5 bolgrafos cuestan 5x

2 cuadernos cuestan 2y

La parte literal no es la misma en los dos monomios. No son semejantes y tenemos que dejar la operacin indicada.

Jess deber pagar 5x + 2y

Cul es el valor del rea de la figura?

rea del tringulo:

rea del rectngulo: 3x

rea total:


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Ejercicios

6.9 Simplifica estas expresiones:

(a) (b) (c)

6.10 Calcula los permetros de las siguientes figuras, simplificando lo ms posible las expresiones:

2.2 Producto de monomios

El producto de dos monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y por parte literal el producto de las

partes literales de los factores:

Ejercicio

6.11 Multiplica: (a) ; (b) ; (c) ; (d)

2.3 Cociente de monomios

Para dividir monomios en la misma variable se dividen los coeficientes y se restan los exponentes de la variable. El grado del monomio cociente es la diferencia de los grados del dividendo y del divisor.

Ejercicios

6.12 Opera y reduce:

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

Si el grado del divisor es mayor que el del dividendo el cociente no es un monomio sino una

fraccin algebraica:

RECUERDA

El producto de potencias de la misma

base es otra potencia de la misma

base y cuyo exponente es la suma de

los exponentes:



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3. Polinomios

Un polinomio en la indeterminada x es una suma algebraica de dos o ms monomios no semejantes en la misma indeterminada:

Ejemplo:

Los monomios que forman el polinomio se denominan trminos. El trmino independiente es el monomio de grado cero:

TRMINO DE QUINTO GRADO

TRMINO DE CUARTO GRADO

TRMINO DE TERCER GRADO

TRMINO DE SEGUNDO

GRADO

TRMINO DE PRIMER GRADO

TRMINO DE GRADO CERO TRMINO INDEPENDIENTE

Si el polinomio tiene dos trminos se llama binomio:

El grado de un polinomio es el mayor de los grados de sus trminos. El polinomio del ejemplo es de grado 5.

Polinomio completo es aqul que tiene un trmino de cada grado desde el mayor hasta el de grado cero:

Si en un polinomio aparecen trminos semejantes hay que operar con ellos

obteniendo la forma reducida:

Ejercicios

6.13 Reduce, ordena e indica el grado y el trmino independiente:

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

(g) (h)

3.1 Valor numrico de un polinomio

El valor numrico de un polinomio es el resultado que se obtiene al sustituir la indeterminada por nmeros concretos y efectuar las operaciones indicadas.

Ejemplos

Halla el valor numrico del polinomio para y .

Ejercicios

6.14 Obtener el valor numrico del polinomio para:

a) ; b) ; c)


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3.2 Suma y resta de polinomios

Para sumar varios polinomios se agrupan los trminos semejantes y se suman sus coeficientes. Veamos un ejemplo:

Dados los polinomios y , calcular .

Para restar dos polinomios se suma al primero el opuesto del segundo. Veamos un ejemplo:


3.3 Producto de dos polinomios

Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada trmino de uno de los factores por todos los trminos del otro factor, y se suman los monomios semejantes obtenidos. Se puede efectuar el producto escribiendo un polinomio debajo del otro como se observa en

el siguiente ejemplo:


Ejercicios

6.15 Dados los polinomios y , calcular:

a) ; b) ; c)

6.16 Reduce:

a)

b)



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3.4 Factor comn

Cuando hablamos de extraer factor comn nos referimos a una transformacin a la que se pueden someter ciertas sumas o restas. Cuando en todos los trminos de un polinomio aparece un mismo factor, sea letra o nmero, se puede extraer fuera, del siguiente modo (propiedad distributiva del producto respecto de la suma):

La extraccin de factores comunes se emplea en la simplificacin de fracciones algebraicas,

como puedes comprobar en los siguientes ejemplos:

Ejercicios

6.17 Extrae factor comn en cada una de las siguientes expresiones:

a) ; b) ; c) ; d)

6.18 Saca factor comn en el numerador y en el denominador y despus simplifica:

a) b) c)

3.5 Igualdades notables

3.5.1. Cuadrado de una suma

O sea,

3.5.2. Cuadrado de una diferencia

O sea,


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El cuadrado de la suma (o diferencia) de dos monomios es igual al cuadrado del primero ms (o menos) el doble del producto de ambos, ms el cuadrado del segundo.

3.5.3 Suma por diferencia:

O sea,

El producto de la suma de dos monomios por su diferencia es igual a la diferencia de sus cuadrados.

Ejemplos

Ejercicios

6.19 Desarrolla las siguientes expresiones:

a) ; b) ; c) ; d)

6.20 Expresa en forma de cuadrado de una suma, de una diferencia o de una suma por diferencia:

a) ; b) ; c) ; d)



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4 Soluciones de los ejercicios de la unidad

6.1 Traduce al lenguaje algebraico las siguientes frases:

a) La suma de los habitantes de tres pueblos, si el primero tiene 15 habitantes ms que el segundo y ste la mitad que el 3. Si llamamos al nmero de habitantes del tercer pueblo, el

segundo tendr y el primero . Por tanto, el enunciado se escribe de la siguiente manera:

b) El permetro de una finca rectangular si el ancho es un tercio del largo. El permetro es

igual a la suma de los lados. Si llamamos al largo, el ancho ser . Por tanto,

c) El triple de un nmero ms 5 unidades:

d) Dos nmeros pares consecutivos. Un nmero par se escribe de la forma . Dos nmeros pares consecutivos son por ejemplo:

e) Dos nmeros impares consecutivos. Un nmero impar se escribe de la forma . Dos nmeros impares consecutivos son por ejemplo:

f) Un mltiplo de 5:

g) La dcima parte de un nmero:

h) La suma de los cuadrados de tres nmeros pares consecutivos:

6.2 Calcula el valor numrico de la expresin para y

Para

Para

6.3 Indica el coeficiente, la parte literal y grado de los siguientes monomios:

Monomio Coeficiente Parte literal Grado (a) 9

(b) -5

(c) 12

(d) 9


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6.4 Escribe un monomio:

a) de coeficiente 2 y parte literal

b) de coeficiente -3 y grado 5

c) de grado 7

d) de grado 9 con variables e

6.5 Escribe un monomio semejante e indica su grado:

a) ; su grado es 7.

b) ; su grado es 3.

c) ; su grado es 2.

6.6 Expresa mediante un monomio el rea sombreada de cada figura

Rectngulo

El rea del rectngulo completo es igual a la base por la altura:

El rea sombreada es la mitad:

Cuadrado

El rea del cuadrado es lado al cuadrado:

El rea sombreada es la cuarta parte:

Tringulo

El rea del tringulo es base por altura partido de dos:

El rea sombreada es la mitad:



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6.7 Calcula el valor numrico de los siguientes monomios para los valores que se indican entre parntesis:

a) -3y (y=1)

b) (x=-1)

c) (x=0)

d)

6.8 Escribe el monomio opuesto a cada uno de los siguientes:

a)

b)

c)

6.9 Simplifica estas expresiones:

6.10 Calcula los permetros de las siguientes figuras, simplificando lo ms posible las expresiones:

El permetro de una figura geomtrica es la suma de todos sus lados:

Tringulo:

Rectngulo:

Trapecio:


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6.11 Multiplica:

c) =

d)

6.12 Opera y reduce:

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

6.13 Reduce, ordena e indica el grado y el trmino independiente:

(a) Es de 2 grado. Su trmino independiente es 5.

(b) Es de 4 grado. Su trmino independiente es -3.

(c) Es de 5 grado. Su trmino independiente es -2.

(d) Es de tercer grado. Su trmino independiente es -4.

(e)

Es de 5 grado y su trmino independiente es

(f)

Es de tercer grado y su trmino independiente es

(g)

Es de noveno grado y su trmino independiente es

(h) Es de 7 grado y su trmino independiente es



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6.14 Obtener el valor numrico del polinomio para:

a)

b)

c)

6.15 Dados los polinomios y , calcular:

6.16 Reduce:

a)

b)

6.17 Extrae factor comn en cada una de las siguientes expresiones:

6.18 Saca factor comn en el numerador y en el denominador y despus simplifica:

a) b)

c)

6.19 Desarrolla las siguientes expresiones:

a)


15

b)

c)

d)

6.20 Expresa en forma de cuadrado de una suma, de una diferencia o de una suma por diferencia:

a)

b)

c)

d)

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