Examenvragen Gewapend en

voorgespannen beton II

AJ 2010-2011

Wieland Wuyts

Inhoud

Voorgespannen liggers

1 Bespreek tijdsafhankelijk voorspanverliezen (relaxatie + afleiding op einde) ................................. 1

2 Rusch & Kupfer + Hoyer .................................................................................................................. 4

3 Bespreek wrijvingsverliezen bij nagerekt staal ................................................................................ 6

4 Centrische voorspanning, systeem voorgerekt staal: spanningen (H1;par7) en verband indringing - overdrachtslengte .......................................................................................................................... 9

5 Bespreek ogenblikkelijk voorspanverlies bij aanspannen meerdere kabels ................................. 12

6 Twee symmetrische voorspankrachten: bepaal de splijtkrachten. Leg eveneens de link met de equivalente symmetrische prisma's en de afwijkingen hiervan, lineaire verdeling van de voorspankrachten .......................................................................................................................... 13

7 Oefening gelijkaardig aan voorbeeld 7.2 ....................................................................................... 16

Platen

8 Pons, begrip, weerstandbiedende krachten, nazicht ..................................................................... 17

9 Bespreek de methode Leitz a.k.a drukstang voor de berekening van de wapening van platen. Bijvraag: zowel boven als onderwapening t.p.v hoek ? waarom wapenen ze niet zo ( schuin of loodrecht op bissectrice ) ............................................................................................................... 20

10 Methode dubbele buiging .............................................................................................................. 23

11 De drie randvoorwaarden bij de plaatvergelijking .......................................................................... 26

12 Bespreek de weerstandbiedende momenten in een voorgespannen betondoorsnede ................ 29

1

Voorgespannen liggers

1 Bespreek tijdsafhankelijk voorspanverliezen (relaxatie + afleiding op einde)

Tijdsafhankelijke verliezen (van de initiële waarde naar de waarde en )

Krimp- en kruip verkorting van het beton

Relaxatie van het voorspanstaal

Interactie van deze verschijnselen onderling en anderzijds met de passieve wapening

In het geval van voorgerekt staal wordt de initiële waarde reeds beïnvloed door de tijdsafhankelijke verliezen, met name relaxatie van het voorspanstaal en krimp van het beton. In het algemeen wordt er een forfaitaire waarde aangenomen voor de tijdsafhankelijke verliezen, meestal 15% of 20% van de initiële voorspankracht (respectievelijk binnen en buitenklimaat).

Kruip

De kruipverkorting (creep) wordt gegeven door:

Waarin de kruipcoëfficiënt is, is kleiner dan 0,45fck.

Krimp

De krimpvervorming is afhankelijk van de vochtigheidsgraad, hoe droger hoe meer krimp.

Relaxatie

Relaxatie1 van het voorspanstaal wordt meestal relatief uitgedrukt ten opzichte van de

aanvangsspanning .

Relaxatie kan schematisch en vereenvoudigd voorgesteld worden door een diagram zoals in

onderstaande figuur:

Curve 1 komt overeen met een kortstondige trekproef (zonder relaxatie), curve 2 stemt overeen met een langzame trekproef. Van A naar A1 zakt de spanning bij constante rek, dit is pure kruip. In realiteit treed er interactie tussen krimp en kruip op en krijgt men eerder een verloop van A naar A3. meestal verondersteld men dat na een initiële stabilisatieperiode het verloop van de relaxatie lineair verloopt in een dubbellogaritmisch diagram.

1 Het voorspanstaal wordt aan een bepaalde spanning voorgespannen en de lengte wordt constant

gehouden, dan neemt de spanning af in de tijd.

2

Men maakt onderscheid tussen relaxatieklassen op basis van de relaxatie na 1000h.

Klasse 1: normale relaxatie van draden en strengen

Klasse 2: lage relaxatie van draden en strengen

Klasse 3: relaxatie van staven

Algemeen geldt dat de mobiliteit van de dislocaties exponentieel toenemen met de temperatuur. Een kortstondige warmte-cyclus heeft in principe geen invloed op de uiteindelijke relaxatie.

Interactie tussen de tijdsafhankelijke vervormingen

In theorie zou men de spanningsafname in het voorspanstaal kunnen berekenen als:

[ ]

Maar dit zou een overschattin geven van de tijdsafhankelijke verliezen. Ten gevolge van krimp en kruip treed relaxatie niet op over een constante lengte maar over een geleidelijk afnemende lengte. En omgekeerd treed de kruipvervorming niet op onder constante spanning maar onder afnemende spanning.

Meestal neemt men voor de betonvervorming een verouderingsfactor gelijk aan 0,8.

Voor de berekening van de voorspanverliezen beperken we ons tot doorsneden met een verwaarloosbare passieve langswapening. De rekverandering is:

( )

*

+

1ste term is kruip, 2de krimp (GGT quasi-perm), 3de term verlenging van het beton t.g.v. de verminderde voorspankracht.

is de spanningsvariatie in de voorspanwapening t.g.v. krimp en kruip van het beton.

is de spanning in het beton ter hoogte van de voorspanwapening t.g.v. de quasi-permanente

belastingen. is de spanning in het beton ter hoogte van de voorspanwapening op tijdstip ten gevolge van de

voorspankracht (na aftrek van de ogenblikkelijke verliezen).

is de spanning in de voorspanwapening op het tijdstip (van het voorspannen) na aftrek van de

ogenblikkelijke verliezen. is de positief gerekende spanningsafname in het beton ter hoogte van de voorspanwapening

corresponderend met de verlenging van het beton t.g.v. de verminderde voorspankracht.

We bepalen nu uit de volgende vergelijkingen:

*

+

*

+

Als we dit invoeren in de vergelijking vinden we:

( )

*

+

3

We werken dit uit naar

(

*

+) ( )

En met

( )

[ ]

We zien dat de teller de afzonderlijke invloeden van krimp en kruip bevat terwijl de noemer een correctie groter dan 1 is die de wederzijdse beïnvloeding voorstelt.

Men kan benaderend rekening houden met de invloed van de relaxatie van de voorspankabels door de formule als volgt uit te breiden:

( )

[ ]

De bijgevoegde term vertegenwoordigd de relaxatie van de voorspankabels.

4

2 Rusch & Kupfer + Hoyer

Rusch & Kupfer

Volgens de korte liggeranalogie wordt de grootste dwarskracht bepaald (horizontale doorsnijding in

de verankeringszone juist boven de grootste groep voorspanwapening.

Verder bepaald men in de verticale snede aan het eind van de verankeringszone (naar het midden toe)de normaalkracht die op elk deel werkt. Deze normaalspanningen zijn gelijk aan het verschil van de staal en beton spanningsresultanten. Beide normaalkrachten zijn bovendien gelijk in richting en grootte aangezien er geen normaalkracht op de ligger aangrijpt. De normaalkrachten zijn in evenwicht met de schuifkracht en het buigend moment. Indien we dit buigend moment verwaarlozen geeft dit:

∫

∫

en zijn de resultanten van de in het onderste en bovenste deel gelegen voorspanwapening.

Indien de betonspanning is ter hoogte van het zwaartepunt van dan kan men dit

vereenvoudigen tot:

Aan de hand van deze schuifkracht wordt door de door de wapening op te nemen splijtkracht

benaderend berekend, zie onderstaande figuur.

⁄

⁄

Momentenevenwicht in A bij een horizontale doorsnijding:

helling 1/2

a

5

Momentenevenwicht in A bij een horizontale doorsnijding:

Voor tussenliggende gevallen interpoleert men tussen deze waarden. De verticale wapening wordt gelijkmatig verdeeld over:

Hoyer-effect

Ten gevolge van de spanningsafname aan het balkuiteinde gaat door het poissoneffect deze spanningsafname met een dwarse uitzetting gepaard. Hierdoor krijgt het voorspanelement een soort wigvormig verloop. Door deze dwarse uitzetting van het voorspanelement ontstaan radiale drukken tussen de streng en het beton die gunstig zijn voor de ontwikkeling van de wrijvingskrachten. Dit levert een belangrijke bijdrage aan de krachtsoverdracht van het voorspanelement naar het beton.

Men kan dan de spanning berekenen met formules die voor krimppassing gebruikt worden. Men vindt dat er theoretisch zeer hoge ringtrekspanningen optreden in het beton die aanleiding zouden geven tot dwarse scheuren in het beton. In het echt zijn de spenningen een stuk lager omdat er mirco-scheuren optreden in het beton rond de streng en er treed verbrijzeling op van het omhullende mortelmatrix. Ten gevolge van het wandeffect bezit deze zone een minder dichte structuur dan de massa.

6

3 Bespreek wrijvingsverliezen bij nagerekt staal

In het algemeen heeft men de volgende spanningsverliezen bij voorgespannen elementen.

Ogenblikkelijke verliezen (van de aanspankracht naar de initiële waarde )

Verliezen t.g.v. wrijving tussen de voorspankabel en de kabelkoker (nagerekt staal)

Slip in de vervorming van de verankeringen na de aanspanprocedure

Ogenblikkelijke verkorting van het beton t.g.v. de drukspanningen opgewekt door de voorspanning

Tijdsafhankelijke verliezen (van de initiële waarde naar de waarde en )

Krimp- en kruip verkorting van het beton

Relaxatie van het voorspanstaal

Interactie van deze verschijnselen onderling en anderzijds met de passieve wapening

In het geval van voorgerekt staal wordt de initiële waarde reeds beïnvloed door de tijdsafhankelijke verliezen, met name relaxatie van het voorspanstaal en krimp van het beton. In het algemeen wordt er een forfaitaire waarde aangenomen voor de tijdsafhankelijke verliezen, meestal 15% of 20% van de initiële voorspankracht (respectievelijk binnen en buitenklimaat).

Wrijvingsverliezen

Als een kabel aangespannen wordt aan de actieve verankering dan neemt deze kracht gaandeweg af naarmate men zich verder van de verankering verwijdert t.g.v. de wrijving tussen de kabel en de kabelkoker.

De spanningsvariatie kan bepaald worden door het uitschrijven van het evenwicht van een elementair stukje kabel :

Uitdrukking van het rotatie-evenwicht rond het krommingsmiddelpunt 0 leidt tot:

7

En met wordt dit:

Nu stellen we de wrijvingscoëfficiënt tussen de kabel en de koker gelijk aan , dan geldt er:

Hierin kunnen we de normale component nog schrijven als:

⁄

⁄

Invullen in de vergelijking geeft:

Substitueren in de vergelijking van het evenwicht geeft:

Nu integreren we deze vergelijking over een boogsegment s met openingshoek :

∫

∫

In de praktijk is het kabelverloop eerder hobbelig omdat de koker op een beperkt aantal punten is vastgemaakt aan de wapeningskorf. Men noemt dit het hobbeleffect (wobble effect) wat men in

8

rekening brengt door een parasitaire hoekafwijking k per lengte eenheid (rad/m). Voor een kromlijnig

segment kan men dus globaal schrijven:

Voor een rechtlijnig segment is de formule ook geldig, men stelt dan gelijk aan 0.

Indien de helling van de kabel t.o.v. de aslijn klein is kan men s vervangen door x. Voor een

parabolisch segment is benaderend evenredig met x zodat de vergelijking geschreven worden als:

Meestal kan men dit nog vereenvoudigen door enkel de eerste twee termen van de reeksontwikkeling van de exponentiële functie uit te voeren.

Om de wrijvingsverliezen deels te compenseren is het toegelaten om de spanning in de voorspanelementen bij het aanspannen hoger te nemen dan de uiteindelijke spanning. Men spent tijdelijk hoger aan tot 0,8fpk en vervolgens verminderd men tot 0,75fpk. Hierbij rekent men erop dat tijdens het ontlasten de wrijvingskrachten in de andere zin even groot zijn als tijdens het aanspannen. Een voorbeeld van een mogelijk aanspanprocedure is gegeven in onderstaande figuur.

9

4 Centrische voorspanning, systeem voorgerekt staal: spanningen (H1;par7) en verband indringing - overdrachtslengte

Spanningen

We beschouwen een prisma dat centrisch voorgespannen wordt tussen twee landhoofden zoals op onderstaande figuur.

Het voorspanelement wordt aangespannen tot een kracht . Dan stort men het beton en laat

dit uitharden tot dat een voldoende sterkte is bereikt. Dan knipt of brand men de strengen door. Daardoor worden de voorspanelementen buiten de betondoorsnede spanningsloos ( ). In het

betonnen element heerst vanaf een zeker afstand van de eindvlakken heerst er een betonspanning

en is de voorspanning . In de eindzones varieert de spanning van 0 tot in het beton. In deze

zones zijn de klassieke buigingsformules niet mogelijk.

We bepalen de spanningen in en de middendoorsnede. De verkorting voorspanstaal

corresponderend met het spanningsverschil moet gelijk zijn aan de verkorting van het beton

corresponderend met :

Vermenigvuldigen met geeft:

En ⁄ :

Nu schrijven we het langsevenwicht uit bij een verticale doorsnijding:

Substitueren van geeft:

( )

( )

10

De initiële betonspanning wordt dus bekomen door de aanspankracht te laten aangrijpen op de

homogene betondoorsnede. De spanningsafname in het voorspanstaal is gelijk aan :

(

)

Indringing in het eindvlak

De indringing van een streng of draad staat in rechtstreeks verband met de overdrachtslengte :

Uit het langsevenwicht van een prisma met lengte is volgt:

Waarbij een constante betonspanning over de doorsnede wordt aangenomen. De indringing in het eindvlak is gelijk aan het verschil in verkorting tussen het voorspanstaal en het beton.

∫ [ ]

∫ [ ]

∫ [ ]

Het blijkt dat de glijding gegeven wordt door de in de onderstaande figuur gearceerde oppervlakte:

11

Als is er geen glijding meer tussen het staal en het beton zodat

We kunnen de formule ook anders schrijven als:

De overdrachtlengte is dus evenredig met en , hoe hoger de aanspanning hoe kleiner de

overdrachtslengte. is afhankelijk van het verloop van en (afhankelijk van de wrijving).

12

5 Bespreek ogenblikkelijk voorspanverlies bij aanspannen meerdere kabels

In het geval van aanspannen van meerdere kabels veroorzaakt het aanspannen van kabel i een verlies in de i-1 vorige aangespande kabels. Dit gezien het betonelement telkens bijkomend verkort en alle kabels verankerd zijn aan de uiteinden van dit betonelement. Het spanningsverlies in kabel j t.g.v. de betonverkorting veroorzaakt door het aanspannen van de n-j volgende kabels kan geschreven worden als:

∑

∑

(

)

Waarin de equivalentiecoëfficiënt is op het ogenblik van het voorspannen en is de toename

van de betondrukspanning ter hoogte van kabel j ten gevolge van het aanspannen van kabel k. De vergelijking drukt uit dat het voorspanstaal evenveel verkort als het beton op hetzelfde niveau. Dit is slechts benaderend geldig voor een kabelbeloop met veranderlijke excentriciteit.

We beschouwen voor het gemak n identieke kabels met dwarsdoorsnede en gelijke excentriciteit.

We noemen het krachtsverlies in 1 kabel t.g.v. het aanspannen van een volgende kabel . Het totale

verlies in een kabel is dus gelijk aan:

∑

Nu kan geschreven worden als:

Nu geldt benaderend voor de spanningsvariatie in 1 kabel t.g.v. het aanspannen van 1 andere kabel:

(

)

Met de betonspanning ter hoogte van het zwaartepunt van de voorspankabels. Dit geeft voor :

En dit in steken geeft:

Nu kunnen we de totale gemiddelde spanningsafname definiëren als:

Voor n vindt men als limiet:

Globaal genomen blijven deze verliezen vrij beperkt tot enkele procenten. Indien nodig kan men de eerste kabel iets meer opspannen om dit te compenseren.

13

6 Twee symmetrische voorspankrachten: bepaal de splijtkrachten. Leg eveneens de link met de equivalente symmetrische prisma's en de afwijkingen hiervan, lineaire verdeling van de

voorspankrachten

Korte ligger analogie

Op onderstaande figuur is de korte ligger analogie weergegeven in het geval van twee symmetrische voorspankrachten.

Waarin:

c is de grootte van het eindblok h is de hoogte van de ligger

De buigende momenten veroorzaken scheuren zoals aangegeven op de figuur. Het maximum

moment treed op in de doorsnede opeen afstand x van de uiteinden van de korte ligger. De

waarde van x wordt bepaald door het krachtenevenwicht van het deel in figuur c uit te schrijven:

Uit het rotatie-evenwicht volgt :

Het maximum moment in de middendoorsnede wordt bepaald door het momentenevenwicht uit

te schrijven van het deel op figuur d:

(

)

De trekkracht kan benaderend berekend worden uit door als inwendige hefboomsarm

en

(

)

(

)

Op een analoge manier berekenen is niet aangewezen. De zone waarin de splijtspanningen

optreden langs de werklijn van de voorspankracht is sterk afhankelijk van de afmetingen van de verdeelplaten en van de afstand van de voorspankracht een andere voorspankracht of tot de rand van

het eindblok. bepalen door een inwendige hefboomsarm 0,5h in te voeren zou een

14

onderschatting van de trekkracht betekenen en ook de werklijn in een verkeerde zone plaatsen. Dit probleem kan opgelost worden door gebruik te maken van equivalente symmetrische prisma's.

Equivalente symmetrische prisma's

Er wordt verondersteld dat de dwarse trekspanningen in de verankeringszones dezelfde zijn als in een equivalent concentrisch belast prisma symmetrisch ten opzichte van de voorspankracht en met hoogte gelijk aan tweemaal de afstand van de werklijn tot de dichtstbijzijnde de gelegen rand van de verankeringszone. Op dit equivalente prisma kan dan de korte ligger analogie toegepast worden. Men

kan dan berekenen door als hefboomsarm in te voeren.

In het geval van meerdere voorspankrachten de hoogte van de equivalente prisma's bepaald als de kleinste waarde van:

de afstand tussen de voorspankrachten

tweemaal de afstand tot de meest nabijgelegen rand van de verankeringingszone

Lineair verdeling van de voorspankrachten

In het geval dat het aantal voorspankrachten groter is dan twee of ze in grootte niet gelijk zijn kan men een meer geschikte verdeling in equivalente prisma's bekomen door niet symmetrische prisma's in te voeren. De lijnlast om de onderrand van de korte liggers wordt verdeeld in zones waar van de resultante telkens overeenkomt met de grootte van de voorspankrachten.

Deze equivalente prisma's kan men dan verder verdelen in symmetrische prisma's of een trapeziumvormige lijn last invoeren die evenwicht maakt met de voorspankrachten en de korte ligger analogie toepassen. In het algemeen bekomen en een gunstige krachtsverdeling indien de werklijnen van de krachten door de zwaartepunten van de corresponderende spanningsblokken gaan aan de onderkant van de korte liggers. Dit is de zogenaamde lineaire verdeling van de voorspankrachten. In

15

de scheidingsvakken tussen de prisma's zijn dan zowel het buigende moment als de dwarskracht gelijk aan nul. Men krijgt dus de minst verstorende krachtsindeling. Alhoewel de prisma's niet symmetrisch zijn kan men de krachten Berekening op basis van de formule voor een symmetrisch

prisma. Een lineaire verdeling van de voorspankabels wordt aanbevolen.

16

7 Oefening gelijkaardig aan voorbeeld 7.2

Hier: links inklemming, rechts eenvoudige oplegging. Overspaning is L en ecentriciteit links ter plaatse van de inklemming is es en op L/4 naar de oplegging toe is deze em gevraagd: bepaal Mp,hyp; fictieve excentriciteiten ter plaatse inklemming en op L/4 (es,f en em,f); voorwaarde zodat concorderend kabelbeloop; verhouding es,f/em,f voor die verhouding kwam ik -1/3 uit en iemand anders 1/3, terwijl het iets zou moeten zijn van 28/11 ofzo ...( gehoord van andere student ) bijvraag: wat geeft die verhouding ? ik zei uit die verhouding zie je hoeveel keer es in em kan bv es/em = 3 dan is es driemaal groter dan em wa ook logisch is dan vroeg hij, wat als es nog groter wordt, teken dan kabelbeloop. Dan gewoon es en em verschuiven volgens die verhouding maar met nog steeds zelfde snijpunten op langsas!

1ste methode

Omvormen naar een statisch systeem

Hyperstatische constructies : zelfde ligger als in toepassingsvb 7.1 maar langs beide zijden een extra uitkragend deel over een afstand l/3. De ligger is prismatisch en over volledige lengte belast met uniforme last p.

Gevraagd over gans de lengte een uniforme opwaartse belasting tgv de voorspanning :

1. Schets geidealiseerd kabelbeloop 2. Schets realistisch kabelbeloop 3. Verloop van de hyperstatische momenten tgv voorspanning

(opm. : geen berekeningen gevraagd enkel schetsen en verklaren waarom die vorm)

Vraag over hyperstatische voorgespannen liggers

Een hyperstatische ligger met 3 overspanningen alle gelijk aan L. De excentriciteitenlijn van de kabel is gegeven. e=0 op het linkersteunpunt, e=e op het 2de steunpunt, e=-e op het 3de steunpunt, e=0 op het rechtersteunpunt. Tussendoor verlopen alle momenten lineair (dit is een ingewikkelde manier om te zeggen maar bespaart me gewoon de figuur te tekenen) Vraag: bepaal Mp,hyperstatisch. ==> Dit is dus een verdekte vorm om linaire transformatie te vragen maar dat hadden een aantal van ons (onder wie ik) niet door. Mp,eff is 0 bij linaire transformatie! Dus Mp,hyperstatisch= -P.e. Zeer simpel maar je moet erop komen... Gelukkig kregen we een tweede kans om erover na te denken en toen daagde het plots...

Voor die eerste vraag misschien dit: Hoewel het systeem hyperstatisch is ken je onmiddellijk de reacties op de tussensteunpunten omdat deze identiek zijn aan de krachten die door het gebogen trace in deze punten opgewekt worden. Uit een momenten vgl om de randpunten haal je dan de reacties in de randpunten. Tegengesteld omwille van de symmetrie. En zo ken je het verloop van je hyperstatische momenten. Precies tegengesteld aan de momenten opgewekt door de excentriciteiten. Zodat overal in de ligger het moment nul is en dus de voorspanning enkel een herverdeling van de reacties over de steunpunten teweegbrengt.

17

Platen

8 Pons, begrip, weerstandbiedende krachten, nazicht

Een kritisch punt bij vlakke plaatvloeren is de draagkracht van de plaat* rondom de kolom*. De plaatselijke combinatie van zeer hoge schuifspanningen en normaaldrukspanningen (uit de buigende momenten*) kan tot bezwijken van het beton* leiden. Deze vorm van bezwijken wordt met de term “pons” aangeduid.

Toetsing van de omtrekdoorsnede, de omtrek u wordt bepaald zoals op de onderstaande figuur is aangegeven. In het algemeen is een kortere omtrek meer nadelig, dan is de dwarskracht groter.

In het geval van een kolomplaat moet men 1 doorsnede controleren:

In het geval van een paddestoelvloer moet men 2 doorsneden controleren:

18

Langsheen de omtrek van de belaste kolom (loaded area) wordt nagekeken of:

Langs de omtrek u wordt de aangrijpende schuifspanning berekend door:

Waarin de aangrijpende dwarskracht is rekening houdend met het gunstige effect van P (de verticale component). kan exact berekend worden of vereenvoudigd indien de lateral stabiliteit niet

door de kolommen geleverd moet worden.

Er is geen ponswapening nodig indien:

Indien hier niet aan voldaan is kan men de ponswapening bepalen zodat voor alle omtrekken voldaan wordt aan:

Vanaf een bepaalde omtrek mag de ponswapening niet meer in rekening gebracht worden (daar is ook geen ponswapening vereist is).

19

Voorbeeld van een ponswapening met stiftdeuvels:

20

9 Bespreek de methode Leitz a.k.a drukstang voor de berekening van de wapening van platen. Bijvraag: zowel boven als onderwapening t.p.v hoek ? waarom wapenen ze niet zo ( schuin of

loodrecht op bissectrice )

We bespreken deze methode enkel voor een orthogonaal net. In onderstaande figuur beschouwen we een gewapende schijf volgens de x- en y-richting waarvan de snedevlakken onderworpen zijn aan ( ).

Er wordt verondersteld dat de wapening ( ) alleen de krachten opneemt corresponderend met

( ). Om de krachten ten gevolge van en op te nemen voegt Leitz een staafwerksysteem in

bestaande uit een trekstaaf volgens de wapeningsrichting loodrecht op de beschouwde schuifkracht ( of ) en een drukstaaf waarvan de oriëntatie (identiek voor beide ontbindingen) min of

meer arbitrair gekozen kan worden.

De krachtenontbinding geeft aanleiding tot de volgende betrekkingen:

21

De trekkracht in de wapening is dan gelijk aan de rechtstreekse trek ten gevolge van en plus de

trek afkomstig van de vervangkrachten voor en , dit zijn en

.

wordt bepaald door | | | |

wordt bepaald door

| |

| |

Keuze oriëntatie van de drukstang

De keuze van k (en dus van is min of meer vrij te kiezen zolang er in de drukstang effectief druk optreed. Indien men dit toch zou doen bekomt men dat er drie wapeningslagen nodig zijn wat natuurlijk niet de bedoeling is. Dit wordt duidelijk als we een rechthoekige maas van het wapeningsnet beschouwen. Om te vermijden dat deze maas zich als een mechanisme zou gedragen moet een bijkomende diagonaal aangebracht worden. Naargelang de oriëntatie wordt deze diagonaal op druk of trek belast.

Het totale wapeningsgebruik is proportioneel met:

| |

| |

Deze uitdrukking wordt minimaal voor:

| |

| |

Wapeningsmomenten voor platen

Door de analogie tussen de spanningen , , en de momenten kan men de volgende

dimensioneringsmomenten schrijven:

| |

| |

Met als bijzonder geval k=1.

In een opgelegde plaathoek heeft men ( :

22

| |

| |

Dit betekend dat in de opgelegde hoek er zowel onder als bovenwapening aanwezig moet zijn in de richtingen x en y. De wapening wordt bepaald door het wringmoment.

23

10 Methode dubbele buiging

Er worden afzonderlijke plaatstroken beschouwd evenwijdig met de randen van de plaat. Deze stroken worden belast met de deellasten en bepaald door de volgende voorwaarden:

De doorbuiging in het midden van de plaat is dezelfde voor de beide plaatstroken.

Algemeen kan men de uitdrukking voor de doorbuiging schrijven als:

Waarin en factoren zijn afhankelijk van de randvoorwaarden. Met kunnen we dit

schrijven als:

(

)

( )

Analoog voor . Waarden voor en voor de randvoorwaarden zijn af te lezen in grafieken

in de cursus.

Het nadeel van de methode dubbele buiging is dat men geen exact beeld geeft van het plaatgedrag, in het echt gedragen de plaatstroken zich niet onafhankelijk van elkaar. Zo heeft de doorbuiging in plaatstrook x de wringing van plaatstrook y tot het gevolg in het punt A (en omgekeerd).

24

Men kan zeggen dat de wringstijfheid van de plaatstroken y de doorbuiging van de plaatstrook x afremt. In werkelijkheid zijn de buigende momenten dus kleiner dan deze die voortvloeien uit de dubbele buiging methode. Er doen zich daarentegen wel wringmomenten voor die in de dubbele buiging niet beschouwd worden.

Berekening van de reacties

De berekening van de oplegreacties is belangrijk voor de berekeningen van de ondersteuningen (vaak balken) waarvan de belasting gelijk is aan de plaatreacties met het omgekeerde teken.

De plaatreactie heeft in het algemeen geen eenvoudig verloop zoals op de onderstaande figuur is gegeven.

Daarom gaat men meestal op benaderende wijze te werk volgens één van de onderstaande methodes:

De last q wordt in de x en y richting verdeeld volgens de theorie van dubbele buiging. De reacties vormen de plaatreacties, afhankelijk van het type bevestiging van de plaatranden.

Men verdeelt de plaat op te splitsen in driehoeken en trapezia volgens de voorschriften van de gebruikte norm. Zo is de hoek tussen twee gelijkaardige ondersteuningen 45° en voor twee ongelijke ondersteuningen (oplegging + inklemming) bv volgens DIN norm 30°/60° (60 met de inklemming.

25

26

11 De drie randvoorwaarden bij de plaatvergelijking

De plaatvergelijking kan slechts opgelost worden indien de vervormingstoestand langs de randen vastligt. Dit zijn:

De verticale verplaatsing langs de rand

Het raakvlak lang de rand

en

Het raakvlak wordt bepaald door de raaklijn loodrecht op de rand ( ) en parallel met de rand (rico

). Deze laatste waarde ligt feitelijk vast als zodra langs de rand vastligt. Zodat 2

voorwaarden de randvoorwaarden uitmaken voor het vervormde middenvlak.

Anderzijds kunnen voor de snedekrachten in de randdoorsnede algemeen drie grootheden (buigmoment), (wringmoment) en (dwarskracht) gedefinieerd worden. Indien in de randvoorwaarden de randbelasting opgenomen wordt dan komt men in een conflict doordat er 3 voorwaarden ingevoerd worden terwijl er slechts 2 mogelijk zijn. Men kan dit oplossen door in de opbouw van de plaatvergelijking de vervorming t.g.v. de schuifspanning in rekening te brengen. In de klassieke benadering die hier gegeven is blijft het aantal voorwaarden aan de rand tot twee beperkt. De werkwijze (Kirchhoff) wordt geïllustreed voor de sitiaties: inklemming, oplegging en vrije rand.

Een aantal formules uit een deel dat niet gekend moet zijn:

(

)

Inklemming

Men heeft de geometrische voorwaarden:

Men kan hier verder uit afleiden dat:

Daaruit volgt dat:

Er treed dus geen wringmoment op langs een ingeklemde rand.

Oplegging

Men heeft de volgende voorwaarden:

Men kan hier verder uit afleiden dat:

27

De grootheden en zijn dan gelijk aan:

Deze situatie correspondeert in feite met een plaatpaneel uit een oneindige plaat op een orthogonaal balkenrooster waarvan de velden volgens een dambordpatroon belast worden. Door de aard van de belasting is het overgangs buigmoment op de tussensteunpunten gelijk aan nul. Er treden dan wel horizontale schuifspanningen langs de rand op in tegenstelling tot een enkele opgelegde plaat waar de oplegging natuurlijk geen horizontale schuifspanningen kan opwekken, enkel verticale schuifspanningen. Om dit probleem op te lossen steld Kirchhoff het volgende voor. We beschouwen een we langs de opgelegde rand een dwarskracht en een wringmoment (theoretisch afkomstig

van de horizontale schuifspanningen ).

Op een element met lengte dt werkt een wringmoment , men verondersteld dat dit tot stand gebracht wordt door een gelijkwaardig koppel van verticale krachten die aangrijpen langs de rand van het element. Men beschouwd nu een aaneenschakeling van deze elementen zoals op onderstaande figuur.

We zien dan langs de randondersteuning een variabele opwaartse kracht werkt gelijk aan:

28

Deze verticale belasting wordt gecombineerd met de dwarskracht (de onderstaande formule kan

eventueel nog verder uitgewerkt worden.

In de plaathoek gevormd door twee opgelegde randen treden er 2 neerwaarts gerichte krachten op ( ). M.a.w. de opgelegde plaathoeken moeten verankerd worden opdat het systeem van statisch equivalente krachten beschouwd zou kunnen worden. In realiteit blijft de verstoorde zone beperkt to ongeveer een afstand van gelijk aan de helft van de plaatdikte .

Vrije rand

In dit geval zijn er enkel voorwaarden voor de randbelasting gekend:

Aangezien slecht twee voorwaarden vastgelegd kunnen worden vervangen we en

door één enkele waarbij gecombineerd wordt met de statisch gelijkwaardige vervangbelasting

:

Aan de uiteinden van de vrije rand blijven wel waarden bestaan die door de aanliggende ondersteuning opgenomen kunnen worden. Maar ook deze verstoring blijft beperkt tot een smalle strook.

29

12 Bespreek de weerstandbiedende momenten in een voorgespannen betondoorsnede

Gedrag ven een voorgespannen betonelement onder toenemende belasting

In onderstaande figuur is een typisch verband moment-kromming van de kritieke doorsnede van een voorgespannen betonelement weergegeven.

1. De theoretische kromming van de gewichtsloze balk onderworpen aan de initiële voorspankracht.

2. De theoretische kromming van de gewichtsloze balk onderworpen aan de definitieve voorspankracht.

3. Eigengewicht + definitieve voorspankracht. 4. De kromming is gelijk aan nul, er treed een uniforme spanningsverdeling op. 5. De nulspanning aan de ondervezel wordt bereikt. 6. De buigtreksterkte wordt bereikt in de ondervezel, beton scheurt. 7. De wapening verlaat het elastische gebied. 8. De conventionele elasticiteitsgrens 0,2% wordt bereikt 9. Het maximum moment wordt bereikt

In het geval van niet-hechtende kabels ligt de kromme lager en zal eventueel de conventionele elasticiteitsgrens niet overschreden worden bij het bereiken van het maximum moment. Het zonet beschreven gedrag is gewenst omdat het voorgespannen element dan een grote ductiliteit bezit. Algemeen kan men drie bezwijktypes aan buiging onderscheiden:

30

A. Er treed plotse breuk op van het staal onmiddellijk na het scheuren van het beton. Dit doet zich voor bij een te lage wapeningshoeveelheid.

B. Er treed verbrijzeling van het beton op als het staal zich reeds in het plastisch gebied bevindt. Dit geval werd zonet besproken.

C. Er treed verbrijzeling op van het beton terwijl het staal zich nog in het elastisch gebied bevindt. Het bezwijken is opnieuw een plots verschijnsel zonder veel ductiliteit. Dit geval treed op bij hoge wapeningsberhoudingen.

Weerstandbiedend moment in UGT

Men verondersteld dat:

De vervormingshypothese van Navier-Bernoulli geldt.

Door de hechting ondergaat het voorspanstaal dezelfde vervorming als het beton op dezelfde hoogte.

Beton neemt geen trek op.

Men verwaarloost meestal de vervorming tot aan het punt dat het beton scheurt (kleine doorbuigingen)

Voor het beton wordt een parabolisch-rechthoekig rekendiagram gebruikt, voor het

voorspanstaal een bilineair diagram.

De spanningen en vervormingen in de bezwijkgrenstoestand zijn gegeven in onderstaande figuur:

Naargelang het geval zal één van de volgende vervormingsgrenzen bepalend zijn:

31

Momentenevenwicht rond het zwaartepunt van de voorspanwapening:

∫

( ) ( ) ( )

Langsevenwicht:

∫

We kunnen stellen, dan dient er na te gaan of waarbij de som is van het moment t.g.v. het eigengewicht en de nuttige belastingen en de hyperstatische momenten t.g.v. de voorspanning. Dan wordt de voorspanwapening als weerstandbiedend element beschouwd.

Men kan ook het effect van de voorspanning opsplitsen in aangrijpende krachtswerkingen en een weerstandbiedend element door de voorspanning als een uitwendige actie te beschouwen. Dan wordt en wordt in rekening gebracht bij . Als weerstandbiedend element blijft

enkel nog ( ) met ( is de verlenging van het staal van de voorspanwapening

t.g.v. de voorspanning).

Drukzone met constante breedte

32

Krachtenevenwicht:

Momentenevenwicht:

( ) ( ) ( )

Indien er enkel voorspanwapening aanwezig is kan men deze formules omvormen tot formules die analoog zijn met deze van enkelvoudig gewapend beton. Men kan dan met de tabellen iteratief de wapening berekenen.

Indien er wel gewone wapening aanwezig is worden de formules wat uitgebreider maar we kunnen dan ook een globale wapeningsverhouding definiëren en opnieuw de tabel gebruiken om , en te

bepalen. Daarna kan berekend worden.

Men gebruikt gewone onderwapeningwapening om:

Een bijdrage te leveren tot het draagvermogen

De scheuropeningen te beperken

Ter vervanging van korte, dure voorspankabels in zones met belangrijke buigende momenten

Men gebruikt gewone onderwapeningwapening om:

De ductiliteit te verhogen

De tijdsafhankelijk doorbuiging t.g.v. kruip van het beton te verminderen

Om samen met de beugels een stevige wapeningskorf te vormen