erminsT - LUnms.lu.lv/wp-content/uploads/2015/12/MMU6_2014_Fraktali.pdf2 erminsT "alisfrakt " ir...
25
Transcript of erminsT - LUnms.lu.lv/wp-content/uploads/2015/12/MMU6_2014_Fraktali.pdf2 erminsT "alisfrakt " ir...
2
Termins ”fraktalis” ir radies no lat��nu valodas: darb�bas varda′frangere′ � lauzt un �pa²�bas varda ′fractus′ � dal�veida, neregulars.�o terminu izveidoja 1975.gada Benua Mandelbrots (Benoit Mandel-
brot), kur² tad ar� tiek uzskat�ts par fraktalas �geometrijas pamatliceju.
1.z�m. Benoit B. Mandelbrot, 20.11.1924. � 14.10.2010.
3
Liela terminu vardn�ca, http://www.termini.lv :Fraktalis � attela ietverta �geometriska �gura (kontura), kas prec�zisaglaba savu apveidu neatkar�gi no ta, ka tiek palielinats vai samazinatspats attels (piem., krasta l�nija, makonis, koks, u.c.).
B.Mandelbrota def.,http://astronomy.swin.edu.au/ pbourke/fractals/fracintro:Fraktalis ir neregulara vai sadrumstalota forma, kuru var sadal�tmazakas dal�as ta, ka jauniegutas dal�as ir sakotnejas formas samazinataizmera kopijas.
Formala matematiska def.:Fraktalis ir punktu kopa, kuras fraktala dimensija ir lielaka par tastopolo�gisko dimensiju.
4
Parasti ar jedzienu ”fraktalis” saprot tadu kopu F , kurai piem�tvairakas speci�skas �pa²�bas:
⋆ kopa F ir ar smalku strukturu, t.i., ta satur dal�as patval��gimaza meroga; jo vairak attels tiek palielinats, jo prec�zak redzamata struktura;
⋆ F ir parak neregulara, lai to varetu apskat�t tradicionalas �geometrijasvaloda gan globali, gan lokali;
⋆ bieºi kopai F ir kada no pa²l�dz�bas formam (stingra, dal�eja vaistatistiska);
⋆ bieºi vien kopa F tiek de�neta vienkar²a veida (piemeram, rekurs�vi).
5
Fraktal�us iedala divas lielas grupas: determinetie fraktal�i (deter-ministic fractals) un gad�juma fraktal�i (random fractals).
Determinetie fraktal�i tiek veidoti, izmantojot matematiskas kons-trukcijas. But�ba tie ir iteraciju (rekurs�va algoritma) rezultats.
Determinetie fraktal�i ir Kantora kopa, Koha l�kne, Serpinska tr�ssturisun paklajs, ar� Mandelbrota kopa un Dºulija kopas, u.c.
2.z�m. Mandelbrota kopa un viena no Dºulija kopam
6
Gad�juma fraktal�iem ir daudz lielaka praktiska noz�me nekadeterminetajiem. Gad�juma fraktal�i bieºi tiek modeleti un pec tamanalizeti tadas nozares ka k��mija, �zika, biolo�gija. Butiska gad�jumafraktal�u iez�me ir ta, ka fraktal�a veido²anas procesa ir iesaist�ts ne-jau²�bas moments. L�dz ar to viena un ta pa²a procesa rezultata vartikt ieguti at²k�ir�gi fraktal�i.
Gad�juma fraktal�i pamata ir dabas fraktal�i, tadi ka papardes lapa,zibens ²autra, krasta l�nija, kalnu konturas, asinsvadu sistema, bronhusazarojums, u.c.
7
8
9
10
KLASISKIE DETERMINETIE FRAKTAL�I
Klasiska Kantora kopa jeb Kantora putekl�i nosaukta GeorgaKantora varda, kur² ²o kopu aprakst�jis 1883.gada.
3. z�m. Kantora kopas konstrukcija
C0
C1
C2
C3
C4
11
Formali par fraktali var saukt tikai tadu objektu, kuram iteracijasir izpild�tas bezgal�gi daudzas reizes. Figuras, kuras veidojas iteracijulaika, deve par pirmsfraktal�iem lieluma k, kur k norada izpild�toiteraciju skaitu. Redzes iz²k�irtspejas del� pec zinama skaita iteracijassol�iem iegutais pirmsfraktal�a attels jau sakrit�s ar �sta fraktal�a attelu.
Izmesto intervalu garumu summa ir:
1
3+
2
32+
22
33+ ...+
2n−1
3n+ ... =
=1
3
∞∑n=0
(2
3
)n
=1
3· 1
1− 23
= 1.
12
Vaclavs Serpinskis (Waclaw Sierpinski) (1882-1969): sakuma irdots regulars tr�ssturis ar 1 vien�bu garu malu. Savienojot visu maluviduspunktus, iegusim regularu tr�ssturi, kuru izgrieºam ara no sakotnejatr�sstura. Paliek tr�s mazaki tr�ssturi, kuru malu garumi ir 1
2 vien�bas.Nako²aja sol� atkartojam ²o proceduru ar katru no trim tr�ssturiem,rezultata iegusim 9 regularus tr�ssturus ar malas garumu
(12
)2. Turpinot
²o proceduru, n-taja sol� mes iegusim 3n regularus tr�ssturus, kurumalas garums ir
(12
)n. Ja piel�aujam, ka proceduru var atkartot bez-
gal�gi daudzas reizes, tad ka robeºgad�jumu iegusi Serpinska tr�ssturi.
13
4.z�m. Serpinska tr�sstura pirmas 6 iteracijas
14
Serpinska tr�ssturi var izveidot ar�, ja ka sakumkopu izvelas kvadratu.
5.z�m. Serpinska tr�ssturis ar sakumkopu kvadrats
15
Serpinskis klasisko fraktal�u galerijai ir pievienojis vel vienu ob-jektu � Serpinska paklaju (Sierpinski Carpet). �aja gad�juma0.solis ir kvadrats plakne. Tas tiek sadal�ts 9 mazos kvadrati�nos, nokuriem videjo iz�nem ara. Process tiek atkartots bezgal�gi daudzasreizes.
6.z�m. Serpinska paklaja pirmas 4 iteracijas
16
Mengera suklis (Menger Sponge), ta autors ir Karls Mengers(Karl Menger), 1926.gads.
7.z�m. Mengera sukl�a pirmas 3 iteracijas
17
Koha l�kne (Koch Curve). Zviedru matematik�is Helge fon Kohs(Helge von Koch) to izveidoja 1904.gada.
8.z�m. Koha l�knes veido²ana (pirmie £etri sol�i)Koha l�knei piem�t viena svar�ga �pa²�ba � ta ir bezgal�gi gara.
18
Savietojot kopa 3 Koha l�knes, iegust noslegtu l�kni, kuru saucpar Koha sniegparsli�nu (Koch Snow�ake). Interesants ir fakts, kasniegparsli�na ac�mredzami ierobeºo gal�gu laukumu, bet tas perimetrsir bezgal�gi liels.
9.z�m. Koha sniegparsli�na
19
Pitagora koks (Pythagorean tree), 1957.gads, ta autors ir vacumatematik�is A.E.Bosmans (Bosman) (1891-1961).
10.z�m. Pitagora koka konstrukcija
20
Dimensija
Samazinot divas reizes nogrieº�na garumu, iegusim divas ta samazinataskopijas; ja samazinasim sakotneja nogrieº�na garumu tr�s reizes, iegusimtr�s kopijas. Savukart kvadrata ietilpst £etras kopijas, kuru malasgarums ir divreiz mazaks ka sakotneja kvadrata malas garums; jakopijas malas garums tr�sreiz mazaks � bus 9 kopijas. L�dz�gi varamaplukot kubu, tan� ietilpst 8 kopijas ar divreiz mazakam malam un 27kopijas ar tr�sreiz mazakam malam.
21
11.z�m. N � kopiju skaits, r � merogo²anas konstante
22
Apz�mesim ar N kopiju skaitu un ar r skaitli, kas rada, cik reizessamazinata �gura (skat�t 11.z�mejumu), tad iegutos rezultatus varamapkopot tabula:
�gura dimensija r Nnogrieznis 1 2 2 = 21
nogrieznis 1 3 3 = 31
kvadrats 2 2 4 = 22
kvadrats 2 3 9 = 32
kubs 3 2 8 = 23
kubs 3 3 27 = 33
23
Tabula atspogul�o sakar�bu starp �guras kopiju skaitu samazinatajameroga un tas dimensiju: kopiju skaits ir vienads ar merogo²anaskonstanti kapinatu dimensijas pakape D, t.i.,
N = rD.
No ²�s formulas var izrek�inat dimensiju D, ja zinam kopiju skaitu Nun merogo²anas konstanti r:
D =lnN
ln r. (∗)
Ka redzams, ²� dimensijas noteik²anas formula (*) atrod dimensijunogrieznim, kvadratam, kubam.
Ar formulas (*) pal�dz�bu atrasto lielumu sauc par kopas fraktalodimensiju (saka ar� � l�dz�bas dimensija) (fractal dimension or simi-
larity dimension). Jedziens par fraktalo dimensiju pirmo reizi parad�jiesjau 1919.gada F.Hausdorfa darba, tomer tikai Mandelbrots apvienoja²�s idejas un uzsaka sistematisku fraktal�u pet�²anu. Jedzienu parfraktalo dimensiju Mandelbrots izveidoja 1977.gada.
24
Fraktalas dimensijas aprek�ina²ana
1. Kantora kopa - taisnes apak²kopa
C0
C1
Fraktala dimensija Kantora kopai D = ln 2ln 3 ≈ 0, 63.
2. Plaknes fraktalis
Kvadrata malas garums ir samazinajies 3 reizes (merogo²anas kon-stante) un 1.iteracija ir 4 kvadrata kopijas, tapec D = ln 4
ln 3 ≈ 1, 26.
25
PALDIES PAR UZMANIBU!
