documentatie TG2P

7/28/2019 documentatie TG2P

1/33


2/33

Cuprins

.........................................................................................................................................................1

1. Introducere.................................................................................................................................2

2. Terminologie...............................................................................................................................3

3. Obiective didactice .....................................................................................................................7

4. Recomandri de structurare i predare.....................................................................................9

5. Structura detaliat a coninutului............................................................................................14

5.1. Grafuri neorientate......................................................................................................................145.1.1. Adiacen. Inciden. Grad........................................................................................................................145.1.2. Reprezentare..............................................................................................................................................14

5.1.3. Graf parial i subgraf................................................................................................................................15

5.1.4. Tipuri de grafuri........................................................................................................................................165.1.5. Lan. Ciclu. Arbori....................................................................................................................................17

5.2. Grafuri orientate .........................................................................................................................185.2.1. Adiacen. Inciden. Grad........................................................................................................................18

5.2.2. Graf parial i subgraf................................................................................................................................195.2.3. Matricea de adiacen................................................................................................................................19

5.2.4. Matricea vrfuri-arce.................................................................................................................................20

5.2.5. Listele vecinilor.........................................................................................................................................215.2.6. Vectorul de arce.........................................................................................................................................21

5.2.7. Lan. Drum. Circuit...................................................................................................................................225.2.8. Matricea drumurilor..................................................................................................................................23

5.3. Aplicaii.........................................................................................................................................235.3.1. Parcurgerea grafurilor................................................................................................................................23

5.3.2. Conexitate..................................................................................................................................................245.3.3. Grafuri hamiltoniene i euleriene..............................................................................................................25

5.3.5. Tare conexitate..........................................................................................................................................265.3.6. Teste gril recapitulative...........................................................................................................................27

5.3.7. Aplicaii haioase........................................................................................................................................285.3.8. Jocul spnzurtoarea..................................................................................................................................29

6. Sinteza aplicaiei.......................................................................................................................30

Bibliografie...................................................................................................................................31


3/33

Teoria grafurilor-Manual de utilizare clasa a XI-a

1. Introducere

Nimic nu se nva uor dac nu e bine explicat.

Sunt cuvintele de la care am pornit n realizarea acestui proiect care sedorete un manual electronic cu multe exemple, exerciii, observaii, algoritmi, secvenede cod, probleme rezolvate, adunate toate pentru a face mai uoar i mai plcutstudierea teoriei grafurilor.

Aplicaia v permite la bun nceput s aflai cte ceva despre realizatoriiacestui proiect sau s pornii n cutarea noiunilor din sfera grafurilor orientate ineorientate.

Am plecat de la ideea c, ntlnind lucrurile sub o form mai puin monotondect fila de manual, bazndu-ne mult pe interactivitate, elevul va putea asimilanoiunile din teoria grafurilor mai uor, mai plcut i deci mai solid.

Am grupat materialul n 3 mari capitole: Grafuri neorientate, Grafuriorientate iAplicaii.

Sperm ca dup parcurgerea acestui manual electronic ce abund n exerciiii exemple s v putei delecta cu testele gril i jocul spnzurtoarea din finalulproiectului.

pagina 2


4/33


5/33


Semnalizare exempluE X E M P L U L 1

Acesta sugereaz c urmeaz un exemplu.

Semnalizare exerciiuE X E R C I T I U L 1

Acesta precizeaz c urmeaz un exerciiu.

Semnalizare observaieO B S E R V A T I E

Precizeaz faptul c urmeaz o observaie.

Semnalizare teoremT E O R E M A

Sugereaz faptul c urmeaz enunul unei teoreme.

Semnalizare secvene de codS E C V E N T E D E C O D

Acesta indic faptul c sunt prezentate secvene de cod.

Semnalizare algoritm

M E T O D A D E P A R C U R G E R E D F ( D e p t h F i r s t )

Este folosit pentru a indica nceputul unui algoritm.

Semnalizare numr-pagin 2 / 4

Pentru c fiecare lecie are mai mult de o pagin, aceste elemente v arat norice moment cte pagini are lecia i la ce pagin suntei.

Butoanele nainte-napoi

n a i n t e

n a p o i

Navigarea n cadrul unei lecii se face cu aceste dou butoane.

Butonul de elemente de teorie EIROET

Deschide o fereastr n care sunt prezentate elemente de teorie.

Texte reper Exemplu:

Sunt cuvinte care definesc o noiune. Atunci cnd sunt accesate, deschid

ferestre n care este definit noiunea respectiv.

pagina 4


6/33


Butoane de aciuneA d a u g a n o d

Sunt butoane care au ca efect posibilitatea de a ncepe o aciune (de adugarede noduri la un graf, de tergere sau de construire de muchii/arce ale grafului, de

verificare a corectitudinii, etc.)

Simbol de marcare aciune

Arat ce aciune a fost selectat

Butoane pentru surse program

Deschid ferestre cu sursa Pascal, respectiv C++ a problemei date sau aalgoritmului la care se face referire.

Butonul Obiective

Este prezent la fiecare lecie i prezint obiectivele operaionale ale lecieirespective.

Ferestrele de detaliu

Sunt ferestre care ofer definiii sau detalii cu privire la o anumit noiuneori indicaii referitoare la utilizarea acelei componente a aplicaiei.

Exemplu:

pagina 5


7/33


Buton de informaie

Acesta v va oferi de fiecare dat cte o indicaie. Ferestrele care se deschidla apsarea acestui buton conin informaii utile n contextul exemplului sau alexerciiului respectiv.

Buton de descriere a algoritmului

Acesta deschide ferestre de detaliu ce cuprind descrieri ale algoritmului.

Buton de reluare a algoritmului

Acesta permite reluarea algoritmului de la punctul iniial.

Buton de afiare enun problem

Deschide o fereastr de detaliu n care este prezentat enunul problemei.

Butoane pornire-continuare algoritm

Le vei ntlni n contextul execuiei pas cu pas a unui algoritm. Butonulstartpermite pornirea algoritmului i apoi se va transforma n butonul nexti acesta

v permite vizualizarea urmtorilor pai din algoritm.

Elemente de completare

Exemplu:

Sunt cuvinte sau succesiuni de cuvinte pe care n exerciii trebuie s lepoziionai n text pentru a completa o afirmaie.

Zone de efect

Sunt zone de text de genul sau un graf peste care cnddeplasai mouse-ul, vei obine un efect vizual (de exemplu: construirea unui lan ntr-un graf sau evidenierea componentelor conexe ale unui graf). Le vei gsi uor pentruc butoanele de informaie vor avea grij s v avertizeze despre existena lor.

pagina 6


8/33


3. Obiective didactice

Obiectiv Detaliere

Obiective specifice

OS1 Elaborarea de algoritmi care folosesc teoria grafurilor

OS2 Identificarea problemelor ce pot fi rezolvate cu teoria grafurilor

OS3 nsuirea noiunilor teoretice legate de teoria grafurilor

Obiective operaionale

OO1 Identificarea unor structuri de date adecvate pentru rezolvareaproblemelor din teoria grafurilor

OO2 Aplicarea algoritmilor din teoria grafurilor n rezolvarea unorprobleme practice.

OO3 Identificarea noiunilor de graf, adiacen, inciden, grad

OO4 Identificarea i deducerea proprietilor diferitelor tipuri de grafuri

OO5 Recunoaterea unui graf parial, a unui subgraf

OO6 Aplicarea teoremelor utile n rezolvarea problemelor

OO7 Furnizarea rspunsului corect i argumentarea acestuia nrezolvarea problemelor

OO8 Aplicarea modalitilor de reprezentare a unui graf

OO9 Identificarea i explicarea noiunilor legate de lan, ciclu, drum,circuit

OO10 Identificarea componentelor conexe i tare conexe ale unui graf

OO11 Determinarea unui ciclu hamilonian pentru un graf

OO12 Aplicarea condiiei necesare i suficiente pentru ca un graf s fieeulerian

OO13 Ilustrarea, exprimarea prin propriile cuvinte i aplicarea corect aalgoritmilor de parcurgere

OO14 Ilustrarea, exprimarea prin propriile cuvinte i aplicarea corect aalgoritmilor de determinare a arborelui parial de cost minim

OO15 Analiza problemei i dezvoltarea gndirii algoritmice, a capacitiide generalizare i problematizare

OO16 Transformarea algoritmului n unul din limbajele de programarePascal sau C++

OO17 Recunoaterea notaiilor fundamentale folosite n teoria grafurilor

OO18 Aplicarea algoritmului de determinare a matricei drumurilor

OO19 Alegerea variantei corecte ntr-un subiect de tip gril, argumentnd

rspunsul ales

pagina 7


9/33


OO20 Formarea unui vocabular adecvat cu noiuni din teoria grafurilor

pagina 8


10/33


4. Recomandri de structurare i predare

n cele ce urmeaz, pentru fiecare lecie vom prezenta obiectivele, timpul depredare, tipul de interaciune cu elevii, o scurt descriere i noiunile cheie prezente.

1: Grafuri neorientate -Adiacen. Inciden. Grad

Obiective OO3, OO7

Timp de predare 20 min

Tip de interaciune cuelevii

expunere, conversaie, exerciiul, nvarea prin descoperire

Descriere Prezentarea noiunilor de baz legate de grafuri neorientate

Noiuni cheie graf, grad, adiacen, inciden, nod izolat, nod terminal

2: Grafuri neorientate -Reprezentare

Obiective OO1, OO7, OO8, OO16



conversaia de consolidare, expunere, exerciiul de consolidare,nvarea prin descoperire

Descriere Prezentarea modalitilor de reprezentare a unui graf prin matricea deadiacen, liste de vecini, vector de muchii

Noiuni cheie matricea de adiacen, liste de veicni, vector de muchii

3: Grafuri neorientate - Graf parial si subgraf

Obiective OO5, OO7, OO15Timp de predare 20 min


expunere, exerciiul de consolidare, nvarea prin descoperire

Descriere Se prezint noiunile de graf parial i subgraf pentru un graf dat.

Noiuni cheie graf parial, subgraf

4: Grafuri neorientate - Tipuri de grafuri

Obiective OO4, OO6, OO7, OO15, OO17


Tip de interaciune cuelevii expunere, exerciiul de consolidare, nvarea prin descoperire,conversaia de consolidare

Descriere Se prezint tipuri diferite de grafuri i proprietile acestora

Noiuni noi graf complet, graf bipartit, graf bipartit complet, graf planar, grafulPetersen

pagina 9


11/33


5: Grafuri neorientate -Lant. Ciclu. Arbori




expunere, exerciiul de consolidare, nvarea prin descoperire,conversaia de consolidare

Descriere Se prezint noiunile de lan, ciclu, conexitate, insistnd pe exerciii dedescoperire a unor astfel de lanuri/ cicluri care s respecte diversecondiii

Noiuni cheie lan elementar, lan neelementar, lan simplu, ciclu elementar, cicluneelementar, conexitate

6: Grafuri orientate -Adiacen. Inciden. Grad

Obiective OO3, OO7, OO17


Tip de interaciune cu

elevii

expunere, exerciiul de consolidare, nvarea prin descoperire,

conversaia de consolidareDescriere Se prezint noiunile de baz legate de grafuri orientate

Noiuni cheie bucl, p-graf, predecesor, succesor, grad exterior, grad interior,mulimea predecesorilor, mulimea succesorilor

7: Grafuri orientate Graf partial i subgraf




expunere, exerciiu, nvarea prin descoperire, conversaia deconsolidare

Descriere Se prezint noiunile de graf parial i subgraf, se precizeaz

modalitile de obinere a grafurilor pariale i a subgrafurilor pornindde la un graf dat

Noiuni cheie graf parial i subgraf

8: Grafuri orientate Matricea de adiacen




expunere, exerciiu, nvarea prin descoperire, conversaia

Descriere Construirea matricei de adiacen pentru grafuri orientate insistndpe faptul c ea nu mai este simetric i oferind descoperirea ei pe

msur ce graful se deseneazNoiuni cheie matrice de adiacen

pagina 10


12/33


9: Grafuri orientateMatricea vrfuri-arce





Descriere Se prezint noiunea de matrice de vrfuri arce, accentul punndu-sepe descoperirea acesteia o dat cu desenarea unui graf

Noiuni cheie matrice vrfuri-arce

10: Grafuri orientate Listele vecinilor

Obiective OO7, OO8




Descriere Construirea listelor de vecini pentru un graf orientat, exerciii de

desenare a unui graf cu liste de succesori precizateNoiuni cheie lista succesorilor, lista predecesorilor

11: Grafuri orientate Vectorul de arce

Obiective OO7, OO8



exerciiu, nvarea prin descoperire, conversaia

Descriere Exerciii de desenare a unui graf pentru care este generat vectorul dearce, modificarea vectorului de arce pe msur ce se adaug noielemente la un graf

Noiuni cheie vectorul de arce

12: Grafuri orientate Lan. Drum. Circuit




exerciiul de consolidare, nvarea prin descoperire, conversaia deconsolidare

Descriere Exerciii de desenare a unui lan ori a unui drum, ori a unui circuitcare s respecte diferite condiii

Noiuni cheie lan elementar, lan neelementar, drum elementar, drumneelementar, circuit elementar, circuit neelementar

13: Grafuri orientate Matricea drumurilor




exerciiu, nvarea prin descoperire, conversaia

Descriere Exerciii de descoperire a matricei drumurilor pentru un graf care sedeseneaz, algoritmul lui Roy-Warshall de determinare a matriceidrumurilor

Noiuni cheie matricea drumurilor

pagina 11


13/33


14: Aplicaii Parcurgerea grafurilor




nvarea prin descoperire, expunere, exerciiul de consolidare,conversaia de consolidare

Descriere Se prezint cele dou metode de parcurgere a grafurilor (n lime in adncime), insistnd pe execuia pas cu pas a algoritmului,urmrind modul n care se modific structurile de date folosite dealgoritm i succesiunea de vizitare a nodurilor.Pentru fiecare metod de parcurgere n parte, este datimplementarea algoritmului n limbajele de programare Pascal i C++

Noiuni cheie parcurgere n lime, parcurgere n adncime

15: Aplicaii Conexitate





Descriere Sunt prezentate noiunile de conexitate, component conex,algoritmul de descompunere a unui graf n componente conexe,probleme legate de conexitate.

Noiuni cheie conexitate, component conex

16: Aplicaii Grafuri hamiltoniene i euleriene

Obiective OO2, OO4, OO6, OO7, OO11, OO12


Tip de interaciune cuelevii nvarea prin descoperire, expunere, exerciiul de consolidare,conversaia de consolidare

Descriere Este prezentat Jocul Icosian, problema celor 7 poduri, se studiaz cegrafuri complete sunt euleriene, se cere desenarea de grafuri care srespecte diferite condiii referitoare la a fi sau nu hamiltoniene irespectiv euleriene

Noiuni cheie graf hamiltonian, ciclu hamiltonian, graf eulerian, ciclu eulerian

17: Aplicaii Arborele parial de cost minim

Obiective OO1, OO2, OO7, OO14, OO15, OO16




Descriere Sunt prezentai cei doi algoritmi pentru determinarea unui arboreparial de cost minim, exerciii care cer construcia unui astfel dearbore parial folosind un algoritm precizat. Se insist pe execuia pascu pas a fiecruia dintre cei doi algoritmi, punnd n acest fel neviden modul n care se modific structurile de date folosite dealgoritm i fixnd diferenele dintre cei doi algoritmi

Noiuni cheie arbore parial de cost minim, algoritmul lui Kruskal, algoritmul luiPrim

pagina 12


14/33


18: Aplicaii Tare conexitate




elevii

nvarea prin descoperire, expunere, exerciiul de consolidare,

conversaia de consolidareDescriere Se prezint noiunile de graf tare conex i component tare conex,

permitdu-se descoperirea acestora pentru orice graf desenat (princolorarea cu diferite culori a lor), se prezint algoritmul dedescompunere a unui graf n componente tare conexe

Noiuni cheie tare conexitate, componente tare conexe

19: Aplicaii Texte gril recapitulative

Obiective OO7, OO19

Timp de rspuns 30 min


elevii

evaluare prin intermediul testelor gril

Descriere Sunt prezentate 3 seturi de teste cu 13-14 ntrebri fiecare n carentrebrile sunt grupate pe nivele de dificultate. De asemenea se poateparcurge i un test de 14 ntrebri alese aleator din totalul de 41 dentrebri

20: Aplicaii Aplicaii haioase




nvarea prin descoperire, exerciiul de consolidare

Descriere Sunt propuse 3 probleme rezolvabile cu ajutorul grafurilorNoiuni cheie circuit, grad, colorare noduri

21: Aplicaii Jocul spnzurtoarea

Obiective OO7,OO20

Timp de rspuns 30 min


evaluarea noiunilor cheie prin intermediul acestui joc

Descriere Se propune un cuvnt i elevul este invitat s-l gseasc. Practic joculnu are neaprat un punct de final, chiar dac spnzurtoarea a fostconstruit n ntregime

pagina 13


15/33


5. Structura detaliat a coninutului

5.1. Grafuri neorientateConine urmtoarele lecii:

5.1.1. Adiacen. Inciden. Grad

Imaginea surprinde cerina de a desena un graf care s respecte anumitecondiii. n acest sens, vei folosi butoanele: Adaug noduri, Mut noduri,Traseaz muchii, terge graful i Verific. Denumirile sunt sugestive, deci nu

vom explica ce face fiecare, dar menionm faptul c, dup ce ai selectat butonulVerific, nu mai putei face modificri asupra grafului. Putei ns s-l tergei, apoi s

ncepei desenarea unui nou graf.

5.1.2. Reprezentare

Lecia trece n revist modalitile de reprezentare ale unui graf neorientat

folosind matricea de adiacen, listele de vecini i vectorul de muchii.

pagina 14


16/33


n imagine am surprins modul n care acestea se modific pe msur ce sedeseneaz un graf.

n aceast lecie vei avea exerciii care v cer s desenai un graf carecorespunde, de exemplu, unei matrici de adiacen. Aceast matrice este regenerataleator, de fiecare dat cnd apsai butonul Generare matrice.

n seciuneaAjutor am pregtit o animaie care ilustreaz modul n care serealizeaz desenarea unui graf ce corespunde matricei de adiacen date. V indicm surmrii mai nti acest filmule.

Similar, vei ntlni exerciiu care cere desenarea unui graf care corespundeunor liste de adiacen generate.

5.1.3. Graf parial i subgraf

Sunt introduse noiunile de graf parial i subgraf. Am folosit definiii careexplic modalitatea prin care se obine un graf parial, respectiv un subgraf pentru ungraf dat. Aceste definiii v sunt oferite de fiecare dat cnd avei nevoie, printr-unsimplu click pe cuvntul definit.

n imaginea de mai sus am surprins unul din exerciii care cere obinereaunui subgraf al unui graf.

Avei la dispoziie urmtoarele opiuni:

terge noduri (activeaz modul de tergere a nodurilor; cu un simplu click pe unnod, acesta va fi ters. De fapt l vei vedea, dar vag, doar aa, ca s nu uitai c a fostcndva acolo.)

terge muchii (similar, pentru tergerea unei muchii. Imaginea de mai sussugereaz tergerea a 4 muchii.)

Reluare (graful revine la starea lui iniial i putei s rencepei tergereanodurilor i/sau a muchiilor conform cerinelor)

Verific (l folosii cnd vrei s verificai dac ai rezolvat corect problema).

Dac rspunsul furnizat este incorect, vei primi un mesaj care explic undeai greit.

n seciuneaAjutor am pregtit o animaie care ilustreaz modul n care seobine un subgraf. V indicm s urmrii mai nti acest filmule.

pagina 15


17/33


5.1.4. Tipuri de grafuri

Special n aceast lecie ar fi faptul c apar multe noiuni noi pentru c estevorba despre tipuri de grafuri. Sunt introduse astfel noiunile de graf complet, bipartit,bipartit complet, graf planar, graf regulat. Vei ntlni i graful Petersen (care are unaspect destul de interesant) ca exemplu de graf care nu este graf planar, dar esteregulat.

Pentru a v familiariza cu notaiile de tipul Kn i Kpq, avei posibilitatea svedei cum arat grafurile complete cu un numr precizat de noduri i respectivgrafurile bipartite complete cu un numr precizat de noduri n cele dou mulimi.

n acest sens vei folosi butoanele + i pentru a aduga, respectiv a eliminadin nodurile grafului.

Sunt prezente exerciii care cer s se deseneze grafuri bipartite care respectanumite condiii, dar i graful K5. Totodat, pentru a descoperi c anumite tipuri degrafuri sunt sau nu sunt grafuri planare, am inclus exerciii care v permit deplasareanodurilor spre a descoperi dac are loc sau nu aceast proprietate pentru acest graf. Ne-am oprit asupra unor grafuri consacrate precum: graful Petersen, cubul, tetraedrul,grafuri bipartite complete, grafuri complete.

Imaginea de mai sus surprinde modul n care putei obine grafuri bipartitecomplete, precum i definiia grafului bipartit complet.

pagina 16


18/33


5.1.5. Lan. Ciclu. Arbori

Lecia introduce noiuni noi precum: lan, ciclu, conexitate, arbore.

Pentru a v familiariza cu noiunile de lan elementar/ neelementar, lansimplu, respectiv ciclu elementar/ neelementar am construit exemple care ilustreazaceste concepte noi.

n imagine putei observa c fiecare din ciclurile date ca exemplu seconstruiete atunci cnd deplasai mouse-ul deasupra acestuia.

Simbolul este cel care v va informa despre aceasta.

Acelai lucru l vei regsi pentru lanuri.

Vei avea de desenat lanuri sau cicluri care respect diverse condiii (s fieelementare sau ne-elementare, s conin anumite noduri, etc.). Desenarea se face princlick-uri succesive pe nodurile care compun lanul.

Pe msur ce un nou nod este selectat pentru a fi inclus n noul graf, acestava fi adugat la ciclul sau lanul care se cere a fi construit. Cnd considerai c aiterminat de precizat succesiunea de noduri care compun acel lan/ciclu, apsai butonulVerific i, dac lanul/ciclul este construit corect, atunci acesta se va desena. n cazcontrar, mesajul primit v explic unde este greeala.

n cazul n care construcia este eronat, vei primi mesaje care v ajut snelegei unde este greeala.

pagina 17


19/33


5.2. Grafuri orientate

Conine urmtoarele lecii:

5.2.1. Adiacen. Inciden. Grad

Lecia introduce noiunile specifice grafurilor orientate. Pentru a vfamiliariza mai uor cu noile noiuni, avei prezent un exemplu care evideniaznoiunile de grad exterior/ interior, mulimea predecesorilor/ succesorilor unui nod,mulimea arcelor care intr/ies ntr-un/ dintr-un nod.

n imaginea de mai sus putei observa cum, la deplasarea mouse-ului peelementele grafului vei identifica denumirea nodului/ arcului respectiv.

V vei ntlni ca i la grafuri neorientate cu cerina de a desena un graforientat care s respecte anumite condiii.

Desenarea nodurilor se face trecnd n modul Adaug nodurii, click-urisuccesive pe suprafaa de desenat vor avea ca efect desenarea nodurilor n punctelerespective. Acestea pot fi mutate dac trecei n modul Mut noduri. Trasarea arcelorse face ca i la grafurile orientate: click-uri pe cele dou extremiti ale arcului, evident,primul nod fiind extremitatea iniial a arcului.

La apsarea butonului Verific vei vedea dac ai construit corect sau nugraful.

pagina 18


20/33


5.2.2. Graf parial i subgraf

Sunt introduse noiunile de graf parial i subgraf n teoria grafurilor

orientate de aceast dat.Pentru a stpni mai uor noiunile, am preferat o definiie care s

accentueze modul n care se poate obine un graf parial dintr-un graf, respectiv unsubgraf dintr-un graf.

n imaginea de mai sus am surprins un exerciiu care cere obinerea unuisubgraf pentru un graf desenat.

Butoanele sunt aceleai pe care le-ai ntlnit i la leciile de grafurineorientate. Putei apela oricnd la definiia noiunii de subgraf cu un simplu click peacest cuvnt.

5.2.3. Matricea de adiacen

Lecia definete matricea de adiacen a unui graf orientat, ca modalitate dereprezentare a unui graf foarte des ntlnit.

Am insistat asupra faptului c pentru un graf neorientat, matricea deadiacen nu mai este simetric.

pagina 19


21/33


Imaginea surprinde un exerciiu n care vi se cere s desenai un graf cecorespunde unei matrici de adiacen generate.

Prin acesta testm faptul c s-a neles bine noiunea de matrice de adiaceni, trecerea de la graf la matricea de adiacen pe care am facut-o n exerciiul anterior seface acum n sens invers, adic matricea de adiacen este cea care se d i se cere s se

construiasc graful.5.2.4. Matricea vrfuri-arce

Imaginea de mai sus surprinde construcia matricei vrfuri-arce pe msurce utilizatorul introduce noi elemente n graf.

Astfel, la adugarea unui nod nou, se creeaz o linie n aceast matrice, iar la

desenarea unui arc n graf, matricei i se va mai aduga nc o coloan, cu elemente -1 i 1pentru cele dou extremiti ale arcului i cu zero n rest. n acest sens se va observa c,pentru acelai graf, matricea vrfuri arce poate s fie alta n sensul c putem permutacoloanele matricei i obinem tot o matrice de vrfuri-arce corect construit.

Avei i exerciiu care cere s desenai graful care are matricea vrfuri-arceprecizat. Butonul Generare matrice modific matricea i terge graful pe caretocmai l-ai desenat pentru a putea desena noul graf, corespunztor acestei noi matrici.

pagina 20


22/33


5.2.5. Listele vecinilor

Sunt definite mulimile )(x+ i )(x att matematic, ct i ntr-un modmai intuitiv s spunem. Ferestrele de definiie le obinei la un click pe noiunilecorespunztoare ncadrate n dreptunghiuri verzi.

Imaginea surprinde desenarea unui graf i actualizarea pas cu pas a listelorde vecini.

Vei folosi ca i pn acum butonul Adaug noduri i apoi click-urisuccesive pe suprafaa de desenat vor avea ca efect apariia a cte unui nou nod pentrugraful respectiv. Pentru trasarea arcelor folosii click-uri succesive pe cele dou noduriextremiti ale arcului pe care vrei s-l desenai. Asta doar dup ce ai apsat butonul

Traseaz arce. Putei s i mutai nodurile grafului, fie nainte de desenarea vreunuiarc, fie dup. Folosii butonul terge grafulori de cte ori vrei s reluai desenareagrafului.

5.2.6. Vectorul de arce

Alturi de matricea de adiacen, ca metod de reprezentare a unui graf

foarte des folosit, st vectorul de arce. Aceast lecie trateaz deci posibilitatea dereprezentare a unui graf folosind vectorul de arce i pentru aceasta am inclus definirea

pagina 21


23/33


tipurilor de date necesare att n limbajul Pascal ct i n C++ ntr-o seciune de teoriece se deschide la apsarea butonului de teorie.

Vei ntlni exerciiu care permite (ca i la celelalte modaliti dereprezentare a grafurilor), generarea aleatoare a unui vector de arce i cerina dedesenare a grafului corespunztor.

Imaginea surprinde desenarea unui graf ce corespunde vectorului de arce inumrului de noduri precizate.

5.2.7. Lan. Drum. Circuit

Sunt introduse noiunile de drum i circuit, dar i de lan i ciclu, de dataaceasta n cazul grafurilor orientate.

Am insistat pe diferena dintre lan i drum, respectiv dintre ciclu i circuit.

Pentru a fixa ct mai bine aceste noiuni am inclus o serie de exerciii carecer s se construiasc lanuri, drumuri, cicluri sau circuite care respect diferite condiii.

Construcia se face ca i n lecia Lan. Ciclu. Arbori de la grafuri neorientate(prin click-uri succesive pe nodurile care compun acel lan/ciclu/drum/circuit).

n cazul n care cerina este rezolvat corect, vei vedea cum acellan/ciclu/drum/circuit se deseneaz pe graf.

Dac cerina nu este rezolvat corect, atunci vei primi un mesaj care vexplic unde este greeala, aa cum putei vedea n imaginea de mai sus.

pagina 22


24/33


5.2.8. Matricea drumurilor

n aceast lecie este prezentat algoritmul lui Roy-Warshall care determinmatricea drumurilor.

O parte interesant a acestei lecii este cea n care putei vedea cum semodific matricea drumurilor n timp ce desenai graful. Imaginea de mai sus aratmatricea de adiacen i matricea drumurilor aferente grafului desenat.

Am optat pentru afiarea ambelor matrici pentru a observa mai clar cadugarea unui nou arc presupune pentru matricea de adiacen modificarea unuisingur element la valoarea 1, pe cnd n matricea drumurilor de cele mai multe ori semodific mai multe elemente 0 n 1.

Considerm c n acest fel se poate fixa mai bine modul n care aratmatricea drumurilor pentru un graf dat.

5.3. Aplicaii

Conine urmtoarele lecii:

5.3.1. Parcurgerea grafurilor

Lecia descrie cei doi algoritmi de parcurgere a grafurilor: n lime irespectiv n adncime.

pagina 23


25/33


Butonul v deschide o fereastr n care vi se spune cum procedaipentru execuia pas cu pas a algoritmului.

n imaginea de mai sus am surprins un pas intermediar din rulareaalgoritmului care parcurge graful n lime. Pe msur ce nodurile sunt vizitate, acestfapt este vizualizat i pe graf prin faptul c nodurile respective i schimb culoarea.

Tablourile folosite de algoritm se actualizeaz corespunztor, n funcie depasul din algoritm la care v aflai.

Pentru a relua algoritmul folosii butonul

Pentru a vedea sursa subprogramelor Pascal / C++ care implementeazalgorimul folosii butoanele:

5.3.2. Conexitate

Lecia reia definiia conexitii unui graf neorientat spre a continua cudefinirea noiunii de component conex i cu algoritmul de determinare acomponentelor conexe ale unui graf.

n exemplul din imagine este sugerat cum, dup desenarea unui grafoarecare, la apsarea butonului Arat, cele 3 componente conexe ale grafului suntdesenate n culori diferite.

Putei terge graful i desena un altul pentru a descoperi care sunt

componentele conexe ale acestuia.n acest fel noiunea de component conex considerm c se fixeaz foarte

uor.

Lecia dispune i de 4 probleme importante legate de conexitate, problemepentru care sunt disponibile att sursa Pascal ct i sursa C++. Este vorba despre:

verificarea conexitii unui graf, descompunerea unui graf n componente conexe,transformarea unui graf neconex ntr-un graf conex i determinarea unui nod ce poate fieliminat astfel nct noul graf obinut s rmn conex.

Alte exerciii v cer s adugai muchii la un graf astfel nct s obinei ungraf conex, respectiv s eliminai muchii pentru a obine un numr precizat de

componente conexe.

pagina 24


26/33


n ambele cazuri este vorba despre un numr minim de muchii.

5.3.3. Grafuri hamiltoniene i euleriene

Aceast lecie trateaz grafurile hamiltoniene i euleriene, fr a uita evidentde Jocul Icosian i de Problema celor 7 poduri din Konigsberg.

Pentru Jocul Icosian, avei la dispoziie posibilitatea de a desena acel cicluhamiltonian, dar i de a vedea o soluie a problemei n cazul n care nu reuii. Dac laun moment dat facei un pas greit, vei fi avertizat de cineva care va da din cap semn cnu este corect.

Legat de grafuri euleriene, vei gsi n aceast lecie, la finalul seciunii deteorie, un detaliu legat de grafurile complete. Pentru acele grafuri complete care sunteuleriene, exemplul v permite s vedei cum se deseneaz un ciclu eulerian n acel graf.

Imaginea de mai sus surprinde aceast seciune a leciei.Vei avea de desenat grafuri care s respecte diferite condiii cu privire la a fi

sau nu hamiltoniene, respectiv euleriene.

Dac ai greit, mesajul pe care-l vei primi v va explica i cum este grafuldesenat (eulerian, respectiv hamiltonian).

5.3.4. Arborele parial de cost minim

pagina 25


27/33


Lecia descrie doi algoritmi de determinare a unui arbore parial de costminim i anume: algoritmul lui Kruskal i algoritmul lui Prim.

Pentru a genera alte costuri pentru muchiile grafului folosii butonulG e n e r a r e c o s t u r i

Butonul v va explica din nou cum procedai pentru execuia pas cu

pas a algoritmului.n imaginea de mai sus am surprins un pas intermediar din rularea

algoritmului care construiete arborele parial de cost minim cu algoritmul lui Kruskal.

Tablourile folosite de algoritm i variabila ct (cost total) se actualizeazcorespunztor, n funcie de pasul din algoritm la care v aflai.

Pentru a relua algoritmul folosii butonul

Pentru a vedea sursa subprogramelor Pascal / C++ folosii butoanele

Vei avea de construit arbori pariali de cost minim pentru anumite grafurifie respectnd ordinea de selectare a muchiilor, ordine dat de unul din cei doialgoritmi, fie neinnd cont de aceasta.

Selectarea muchiilor se face simplu, cu un click pe muchia pe care dorii s oincludei n arbore.

5.3.5. Tare conexitate

Lecia prezint conceptul de tare conexitate pentru grafuri orientate ialgoritmul de descompunere a unui graf n componente tare conexe.

Imaginea de mai sus surprinde un exemplu n care, dup desenarea unuigraf orientat oarecare, la apsarea butonului Arat, fiecare din componentele tareconexe ale grafului va fi colorat diferit.

n cazul grafului nostru, numrul de componente tare conexe este 3.

Pentru a nu aglomera suprafaa de desenare, am limitat numrul de noduri

din graf la maxim 8. Dac ncercai s desenai mai mut de 8 noduri, vei primi un mesaj

pagina 26


28/33


n acest sens. Dar 8 noduri nseamn pn la urm c putei obine chiar 8 componentetare conexe. Atunci, evident, vei avea mai mult de trei culori n imaginea final.

Arcele care rmn colorate n verde nu aparin nici unei componente tareconexe.

Vei ntlni i un exerciiu care v cere s identificai ce noduri se afl n

aceeai component tare conex cu un nod precizat i s determinai numrul decomponente tare conexe ale grafului.

5.3.6. Teste gril recapitulative

Am grupat ntrebrile pe seturi, n funcie de gradele de dificultate. Astfel,setul 1 conine cele mai simple ntrebri, iar setul 3 pe cele mai dificile.

Atunci cnd considerai c stpnii foarte bine noiunile nvate puteialege s parcurgei un test format din ntrebri alese aleator.

Dup ce ai ales unul din cele 3 seturi sau setul cu ntrebri alese aleator,apsai butonul start. n cadrul unui test nu vi se permite s trecei la ntrebareaurmtoare pn cnd nu ai ales o variant de rspuns din cele 3 disponibile. Dac aiales de exemplu varianta 2 i v dai seama apoi c prima variant ar fi cea corect,aplicaia v permite s v rzgndii deoarece rspunsul vostru este setat doar dupapsarea butonului nainte.

Prima apsare a butonului nainte v ofer informaii cu privire lacorectitudinea rspunsului dat, iar la o a doua apsare a acestui buton vei trece laurmtoarea ntrebare din set.

La finalul setului de ntrebri vei fi felicitat doar dac numrul derspunsuri corecte este mai mare dect jumtate din numrul de ntrebri la care airaspuns. Aceasta nseamn c-l vei ntlni pe smiley zmbre, personajul nostru care

bate din palme. n caz contrar vei vedea pe cineva care d din cap foarte trist de nivelulde cunotine acumulate. El v atenioneaz c trebuie s revedei exemplele iexerciiile din lecii i apoi s v ntoarcei la lecia de teste gril recapitulative.

pagina 27


29/33


5.3.7. Aplicaii haioase

Lecia adun la un loc 3 aplicaii un pic mai altfel.

Pentru a vedea enunul problemei date, apsai butonul

Folosii butonul pentru a obine indicaii cu privire la rezolvareaproblemei.

Butoanele

v permit s vedei sursa Pascal i respectiv sursa C++ a programului care rezolvaceast problem.

n imagine am surprins o rezolvare corect a problemei cu plcuele colorate

care presupune amplasarea acestora n intersecii astfel nct s nu existe strad care lacele dou capete s aib plcue de aceeai culoare.

Apsai butonul atunci cnd considerai c ai terminat derezolvat problema.

Dac dorii s reluai rezolvarea problemei, apsai butonul

pagina 28


30/33


5.3.8. Jocul spnzurtoarea

Foarte ndrgit de copii, ne-am gndit c poate reprezenta un mijloc pentrufixarea terminologiei din teoria grafurilor.

Regulile jocului se cunosc. n cazul nostru computerul este cel care propuneun cuvnt (evident, din domeniul studiat n aceste lecii) i utilizatorul trebuie s ncerces ghiceasc acest cuvnt.

Literele se aleg cu un simplu click pe tastatura noastr desenat. Vi sespune cte caractere are cuvntul i, pe msur ce ai ghicit litere care se afl n cuvnt,acestea sunt puse la locul lor. Dac litera selectat nu se afl n cuvnt, atunci ea va fitrecut n zona litere ce nu sunt n cuvnti vi se mai adaug o component la scheletuldin spnzurtoare.

Trecerea la un cuvnt nou se face folosind butonul Cuvnt nou. Faptul ctrecei la un cuvnt nou nu nseam c vi se terge scheletul construit pn atunci. Altfel

jocul ar fi fost mult prea uor de ctigat.

n imaginea de mai sus am surprins situaia n care utilizatorul a ghicitcuvntul, ce-i drept ncercnd i 7 litere care nu fac parte din cuvnt.

Cnd tot scheletul s-a construit, nseamn c ai pierdut i vei fi anunai icare era cuvntul pe care n-ai reuit s-l gsii.

pagina 29


31/33


6. Sinteza aplicaiei

nainte de a ncheia trebuie s trecem n revist aspectele importante carevizeaz softul realizat de noi i anume:

o aplicaia acoper aproape toat programa colar cu referire la teoriagrafurilor;

o fiecare moment de lecie este caracterizat prin interactivitate i exerciii careau rolul de a fixa noiunile noi introduse;

o toate grafurile sunt desenate dinamic ceea ce nseamn c scriptul care legenereaz poate fi modificat foarte uor;

o algoritmii care se execut pas cu pas ruleaz corect la schimbarea grafului,

fr ca aceasta s presupun schimbarea scripturilor;o testele i problemele puse la dispoziie spre rezolvare dispun de feed-back,

deci elevul se poate autoevalua i corecta, nefiind obligatorie prezenaprofesorului pentru a oferi explicaii.

pagina 30


32/33


Bibliografie

1. Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald R. Rivest, Introducere nalgoritmi, Editura Computer Libris Agora

2. Cornelia Ivac, Mona Prun, Bazele informaticii (Grafuri i elemente decombinatoric) , Editura Petrion, Bucureti

3. Cornelia Ivac, Mona Prun, Tehnici de programare- Aplicaii, Editura Petrion,Bucureti

4. Cornelia Ivac, Mona Carmen Prun, Luminia Mihaela Condurache, Doina Hrinciuc Logoftu, Informatic C++ - Manual pentru clasa a XI-a, Editura Petrion,Bucureti, 2002

5. Daniela Oprescu, Liana Bejan Ienulescu, Viorica Ptracu Informatic - Manual

pentru clasa a XI-a, Editura Niculescu, Bucureti, 20016. Cristian Cadar, Mihai Stroe, Culegere de probleme i programe Pascal, Editura

Petrion, Bucureti

7. Adrian Atanasiu, Rodica Pintea, Culegere de probleme Pascal, Editura Petrion,Bucureti

8. Tudor Sorin, Tehnici de programare Manual pentru clasa a X-a, Editura L&SInfomat, Bucureti, 1996

9. Tudor Sorin, Informatic Manual pentru clasa a XI-a, Varianta Pascal, EdituraL&S Infomat, Bucureti,

10. George Daniel Mateescu, Pavel Moraru, Informatic - Manual pentru clasa a XI-a,

Editura Niculescu, Bucureti, 200211. Cristina Dragomirescu, Laura Dora Satnoianu, Mirela Popa, Informatic Fie de

lucru pentru elevi, clasa a XI-a, Editura Donaris, Sibiu, 2002

12. Mihaela Veronica Stan si colectiv, Algoritmi Culegere de probleme, clasa a XI-a ,Editura L&S Soft, Bucureti, 2004

13. Anany Levitin, Introduction to The Design & Analysis of Algorithms, Adison Wesley,2003

14. Ioan Odgescu, Felix Furtun, Metode i tehnici de programare, Ed. Agora, 1998

15. Valentin Cristea, Irina Athanasiu, Eugenia Kalisy, Valeriu Iorga, Tehnici de

programare, Editura Teora, Bucureti, 199316. Doru Popescu Anastasiu, Maria Codrina, Bacalaureat la informatic, Editura L&S

Soft, Bucureti, 2004

17. Derek Franklin, Jobe Makar, Macromedia Flash MX 2004 ActionScript: Trainingfrom the Source, Peachpit Press, 2003

18. Robert Reinhardt and Joey Lott, Macromedia Flash MX 2004 ActionScript Bible,Wiley Publishing, Inc.,2004

19. Deke McClelland, Photoshop CS Bible, John Wiley & Sons, 2004

20. http://mathworld.wolfram.com/topics/GraphTheory.html

21. http://www.utc.edu/Faculty/Christopher-Mawata

pagina 31
http://mathworld.wolfram.com/topics/GraphTheory.htmlhttp://www.utc.edu/Faculty/Christopher-Mawatahttp://mathworld.wolfram.com/topics/GraphTheory.htmlhttp://www.utc.edu/Faculty/Christopher-Mawata


33/33


documentatie TG2P

Documents

Transcript of documentatie TG2P