Deel A - Universiteit Utrecht
88
Deel A Breuken vergelijken 3 9 --- 4 12 ------ =
Transcript of Deel A - Universiteit Utrecht
Deel A
Breuken vergelijken
39--- 4
12------=
-1
0
Breuken en brokken (1)
1. Kleur van elke figuur deel. Doe het zo nauwkeurig mogelijk.
2. Kleur van elke figuur deel. Doe het telkens anders.
3. Kleur steeds het deel dat is aangegeven.
16---
14---
14---1
5--- 1
3---
16--- 1
12------
1
Breuken en brokken (2)
4. Welk deel van deze figuren is gekleurd? Vul de juiste breuken in.
5. Deze twaalfhoek is in vier stukken verdeeld. Hoe groot is elk stuk?
A
B
C D E
Figuur
Breuk
A B C D E
....... deel
....... deel
....... deel
....... deel
Als je al deze breuken optelt, wat komt er dan uit?
................
2
Breuken en figuren 6. Welk deel van de figuur is niet gekleurd?
7. Bekijk dit goed, want het is fout! Maak de tekening in orde of verander de breuk.
.............. deel .............. deel .............. deel
.............. deel .............. deel .............. deel
13--- 1
2--- 1
2---
13---
3
Helen en delen 8.
14---Dit is deel van een figuur.
Maak de hele figuur.
16---Dit is deel.
Maak de hele figuur.
23---Dit is deel.
Maak de hele figuur.
34---Dit is deel.
Maak de hele figuur.
35---Dit is deel.
Maak de hele figuur.
35---Dit is deel.
Maak de hele figuur.
9. Bedenk zelf zo’n soort opgave. Geef ook het antwoord.
4
Teller en noemer (1)Twee tabletten witte chocola: het een bevat 12, het andere 24 partjes.
Je breekt vijf partjes af van tablet A. Dat is dan deel van het tablet.
10. Hoeveel partjes moet je afbreken van tablet B om van dát tablet te krijgen? ............... Welke breuk hoort daar dan bij? ................
11. Je hebt van een tablet afgebroken en wilt dat eerlijk delen met iemand.
Welk deel van het tablet krijgt ieder? ............
Een deel van een tablet chocola, noemen we nu even een ’portie’.Twee (of meer) breuken met verschillende tellers en noemers kunnen best bijeven grote porties chocola horen.
Voorbeeld: een portie van tablet is evenveel als een portie van tablet .
12. Geef zelf nu ook een aantal voorbeelden van verschillende breuken bij dezelfde portie.
A B
512------
Het getal 12 noemt het totaal aantal partjes (in het tablet)Het getal 5 telt het aantal partjes dat je eruit haalt.
Daarom heet 12 de noemer . 512------
teller
noemeren 5 de teller van de breuk.
512------
512------
13--- 4
12------
5
Teller en noemer (2)Als twee breuken met verschillende tellers en noemers gelijke porties aange-ven, dan zeggen we dat die breuken gelijkwaardig zijn.
14. Verbind de breuken met dezelfde waarde door een lijntje:
15. Bekijk de onderste vier breuken van vraag 14. Bij welke breuk(en) is er een gelijkwaardige breuk met kleinere teller en noemer?
Schrijf telkens de breuk met de kleinst mogelijke teller en noemer op.
16. Geef de breuk met de kleinst mogelijke teller en noemer die gelijkwaardig is met:
17. Van een breuk is de teller gelijk aan 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15. De noemer is gelijk aan 2 + 6 + 10 + 14 + 18 + 22 + 26 + 30. Welke breuk is hiermee gelijkwaardig ? Maak de teller en de noemer zo klein mogelijk.
13. Stel je alle breuken voor met teller tussen 1 en 10
teller1
2
3
4
5
67
8
9
noemer
10
23
4
5
67
8
9
en met noemer tussen 2 en 20.10
11
12 1314
15
16
1718
19
20
Welke van al die breuken zijn gelijkwaardig met 13--- ?
En welke breuken zijn gelijkwaardig met 35--- ?
624------ 7
24------ 8
24------ 9
24------
1040------ 3
9--- 3
8--- 28
96------
936------ =
1155------ =
1236------ = 10
34------ = 10
90------ = 20
70------ =
2255------ = 25
55------ = 50
110---------- = 11
110---------- =
6
Breuken op de klok
minuut = .......... seconden
90 seconden =
121
2
3
4
56
7
8
9
10
11 De secondewijzer op de klok heeft
.
12 seconden gelopen.
Dat is het deel van één minuut ......
......
Hoeveel seconden is 310------ minuut?
............................
121
2
3
4
56
7
8
9
10
11
Vul in:
Het deel van de wijzerplaat dat in de eerste figuur rood gekleurd is, wordt een sector genoemd.
Kleur een sector die hoort bij 4
15------ minuut.
712------
1120------ minuut = .......... seconden
......
...... minuut 54 seconden = ......
......minuut
18.
19.
20. De secondewijzer legt eerst 15--- minuut en daarna 1
6--- minuut af.
Hoeveel seconden is dat in totaal? .............................................
Welke breuk is evenveel waard als 15--- 1
6---+ ? .............................
7
Groter en kleiner 21. Kleur van de staven steeds het deel dat er onder is aangegeven.
Begin steeds onderaan met kleuren.
Schrijf onder elke breuk ook de breuk die hoort bij het niet-gekleurde deel.Wat valt je op?
22. De bovenste rij breuken met teller 1 kan naar rechts almaar worden voort-gezet, waarbij de noemer steeds groter wordt.. Het te kleuren deel wordt dan steeds ..................Bestaat er een aller-allerkleinste breuk, waarvan de teller 1 is? .............Leg uit waarom wel of waarom niet.
Let nu op de onderste rij breuken. Welke breuk hoort bij een groter deel: of ?
23. Voor ’is kleiner dan’ gebruiken we het teken < .
In plaats van staaf is kleiner dan staaf , schrijven we kort: .
Je kunt ook schrijven: . Lees: een vijfde is groter dan een zesde.
Vul het passende teken, < of > in:
12--- 1
3--- 1
4--- 1
5--- 1
6--- 1
7--- 1
8--- 1
9--- 1
10------
78--- 8
9---
16--- 1
5--- 1
6--- 1
5---<
15--- 1
6--->
14--- .... 1
5--- 1
30------ .... 1
20------3
4--- .... 4
5---
89--- .... 9
10------ 19
20------ .... 9
10------
8
Breuken op een getallenlijn (1)
01
415------
Schrijf bij elk streepje tussen 0 en 1 een passende breuk.
24. De gebogen getallenlijn is verdeeld in gelijke stukjes
Maak de teller en de noemer steeds zo klein mogelijk!
Hoe gaat het verder voorbij 1 ?
Zet een streepje precies midden tussen 715------ en 8
15------
Welke breuk hoort daarbij? .................
...............................
25. Je kunt de getallenlijn gebruiken als hulpje bij breukensommen. Vul passende breuken in (teller en noemer zo klein mogelijk!);
115------ 2
15------+ …=
715------ 1
3---+ …=
415------ 7
15------+ …=
715------ 4
15------– …=
815------ 7
15------+ …=
1115------ 1
3---+ …=
Bedenk nu zelf nog vier breukensommen waarbij je de getallenlijn kunt gebruiken. Geef ook de antwoorden.
9
Breuken op een getallenlijn (2)
Waar liggen 12--- 1
5--- 4
5--- 1
10------, , en ?
Geef de plaats nauwkeurig aan en schrijf de breuk erbij. Doe dit op drie getallenlijnen.
26.
0 1
01
1
0
10
Breuken aan de waslijn
210
0 1 2 3 4
27. Schrijf de breuken op de goede kaartjes:
14---1
2--- 3
6---11
3--- 4
3---21
2--- 10
3------ 32
3--- 25
6---
28. Hang de kaartjes zo nauwkeurig mogelijk op de goede plaatsen.
16---5
10------ 5
6---
65--- 14
5--- 15
6---
55--- 13
12------
11
Breuken tussen breuken
29. Schrijf passende breuken op de lege kaartjes. Neem teller en noemer zo klein mogelijk.
35---
45---3
5---2
5---
12--- 3
4---
12--- 3
4---
35---2
5--- 2
5--- 3
5---
35---
45---
35--- 4
5--- 3
4---1
2---
12
Breuken en helen30. 7 plakken kruidkoek eerlijk verdeeld over 3 kinderen.
Hoeveel krijgt elk? .............
11 pannenkoeken eerlijk verdeeld over 4 kinderen.
Hoeveel krijgt elk? .............
Hoe kun je uitleggen dat 165------ evenveel is als 31
5--- ?
En hoe dat leg je uit dat evenveel is als ?423--- 14
3------
31. Splits zo veel mogelijk helen af en vul in:
254
------ ……= 256
------ ……= 358
------ ……= 409
------ ……= 429
------ ……=
Maak er één breuk van:
412--- …
…------= 81
4--- …
…------= 53
4--- …
…------= 43
5--- …
…------= 71
7--- …
…------=
32.227------ 31
7---=
223
------ 713---=
Een opvallend paar! Bedenk zelf nog drie van zulke paren.
33. Een voetbalwedstrijd duurt met de pauze erbij 134--- uur.
Dat is .......... minuten.
Soms telt de scheidsrechter er nog wat extra minuten bij.
Hoeveel extra tijd is er gespeeld als de wedstrijd na 156--- uur klaar is?
13
Uitspraken over breuken34. Schrijf bij elke uitspraak of deze WAAR of ONWAAR is.
een half is evenveel een achtste is meer
zeven achtste is meer
de helft van een achtste is een kwart
drie achtste is de helft van drie kwart
Bedenk zelf nog twee ware en twee onware uitspraken:
als vier achtste dan een zevende
dan zes zevende
910------ is kleiner dan 10
9------
1133------ 12
36------=
710------ 7 2+
10 2+----------------=
710------ 7 2×
10 2×-----------------=
14
Gelijke breuken35. Vul passende getallen in op de plaats van de stippen.
12…------ 2
3---=
34--- …
100----------=
…49------ 3
7---=
1524------ 10
…------=
58--- 625
…----------=
85--- 1000
…-------------=
3048------ …
56------=
4248------ …
88------=
112--- …
12------=
212--- …
18------=
212--- 35
…------=
323--- 66
…------=
36. Vul op de twee plaatsen hetzelfde getal in. Het moet wel kloppen!
4…------ …
9------=
Als je op de twee plaatsen twee verschillende getallen mag invullen,zijn er nog acht mogelijkheden om dit goed te doen.
Probeer er zoveel mogelijk te vinden.
37. Schrijf de volgende breuk met een zo klein mogelijke teller en noemer.
37 37+37 37 37+ +---------------------------------
Neem nu voor 37 op vijf plaatsen een ander getal, maar wel weer
Verandert de breuk hierdoor van waarde? steeds hetzelfde.
15
Stroken met etiketten (1)
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1n--- 1
2--- 1
3---1 1
4--- 1
5--- 1
6--- 1
7--- 1
8--- 1
9---
110
Hoe verklaar je die 1 in het eerste vakje van de strook met
Vul breuken of helen in. Schrijf de breuken op zijn eenvoudigst (met teller en noemer zo klein mogelijk).
2n---
3n---
6n---
23---
112---
38.
Welk verband bestaat er tussen de getallen van de laatste twee stroken?
n6---
Vul weer breuken of helen in en schrijf de breuken op zijn eenvoudigst.
n12------
Welk verband bestaat er tussen de getallen van de laatste twee stroken?
1n--- op het etiket?
16
Stroken met etiketten (2)
n + 2
nn 2+-------------
3 4 5 6 7 8 9 10 11 21
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Hier is opnieuw de strook n met de getallen 1, 2, 3, ... .
Als we bij alle getallen 2 optellen krijgen we de strook met n + 2 op het etiket.
Je kunt met die twee stroken breuken maken met de teller uit de bovenste strook en de noemer uit het bijbehorende vakje van de onderste strook.
57---
39. Vul de strook verder in (schrijf de breuken weer op zijn eenvoudigst).
Kleur bij de eerste acht breuken uit de strook een bijpassende sector
27---
van de klok.
Bij de ongekleurde delen van de klok horen ook breuken. Schrijf diein de goede volgorde in onderstaande strook. Wat zou je op het etiket van de strook kunnen schrijven?
17
Breek de code
34 56468 76 1271 668 95604
3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9 voor. Zoek uit welk getal bij welke letter hoort.
3r--- 21
35------= 15
o------ 71
2---=
ss 4+------------- 1
5---=
55 n×------------- 1
8---=
e 1–e 1+------------- 5
7---=
u2--- u
3---=
k 1–18
------------ 16---=
5m 3+--------------- 1
2---=
3b--- b
27------=
i 9+12
----------- 1=
r = .... o = .... m = ....
k = .... s = ....
i = .... u = .... n = ....
40. De letters b, e, i, k, m, n, o, r, s, u stellen elk een van de getallen 0, 1, 2,
b = .... e = ....
Een vercijferde zin:
Ra ra, wat staat hier?
18
Alles bij elkaar* Als je deel van een figuur wilt kleuren,kan dat op verschillende manieren.
* deel van een hoeveelheid kun je berekenen door die hoeveelheid te delen
door 6 en de uitkomst te vermenigvuldigen met 5
van 90 = 5 × 15 = 75. We schrijven ook wel:
* Het getal of ligt op de getallenlijn zijn tussen 1 en 2.
De plaats ervan kan precies worden bepaald.
* De noemer van een breuk noemt het aantal delen waarin iets verdeeld is. De teller van een breuk telt het aantal delen (partjes) van het geheel.
Van de breuk is 8 de teller en 15 de noemer.
* Twee of meer breuken die dezelfde portie aangeven, heten gelijkwaardig.Als je de teller en noemer van een breuk met hetzelfde getal vermenigvuldigt,(of door hetzelfde getal deelt) krijg je een gelijkwaardige breuk
want 24 = 8 × 3 en 40 = 8 × 5
* Twee of meer breuken met dezelfde noemer heten gelijknamig. Wanneer breuken gelijknamig zijn, kun je ze gemakkelijk vergelijken.
is minder dan
Want en
* Tussen elke twee breuken kunnen weer nieuwe breuken worden gevonden,ook als die breuken dicht bij elkaar liggen.
Tussen en ligt bijvoorbeeld
Want en en
16---
56---
56---
56--- 90× 75=
116--- 7
6---
0 1 211
6---
815------
35--- 24
40------=
815------ 3
5---
35--- 9
15------= 8
15------ 9
15------<
3160------ 8
15------ 21
40------
3160------ 62
120----------= 8
15------ 64
120----------= 21
40------ 63
120----------=
19
Alles door elkaar1. Wat kan de breuk zoal betekenen? Schrijf drie voorbeelden op.
Je mag ook tekeningen maken.
2. Vul passende woorden in:In het rijtje wordt de ................... steeds tweemaal zo groot
en de ................. wordt streeds tweemaal zo klein.
3. Vul een passende breuk in:Voor veertig personen zijn vijf gelijke taarten gekocht. Bij een eerlijke verdeling krijgt ieder ........ deel van een taart.
4. Het stuk van een getallenlijn tussen en 1 is in drie gelijke delen verdeeld.Welke breuken horen er bij de tussenpunten?
5.Tommy denkt dat meer is dan . Klopt het wat hij denkt?Leg uit waarom.
6. Welke breuk ligt op een getallenlijn precies midden tussen en ?
7. Als je bij teller en noemer van een breuk 1 optelt, krijg je een gelijkwaardigebreuk. Klopt dit? Leg uit waarom.
8. Op het etiket van een strook staat n. In de vakjes staan de getallen 1, 2, 3, 4, 5, 6, enzovoort.Vul nu de vakjes van de volgende twee stroken in:
9. a en b staan voor twee hele getallen. Welke getallen zijn dat?
10. Bedenk zelf een vraag of een opdracht die in dit deel (A) van het boek zoupassen. Schrijf ook de oplossing op.
512------
12--- 1
4--- 1
8--- 1
16------ 1
32------, , , ,
12---
112---
117------ 1
16------
13--- 1
5---
n 1+n n+----------
nn n+----------
8a 10+---------------- 1
3---= en b 3–
12------------ 1
4---=
20
Deel B
Breuken optellen en aftrekken
15--- 1
20------+ 1
4---=
19
20
Parten optellen
tablet chocola
13--- 1
4---uur + uur = ........ minuten
121
2
3
4
56
7
8
9
10
11
klok
= ……------ uur
13--- 1
4---tablet + tablet = ........ stukjes
= ……------ tablet
1. Vul in:
Vul passende breuken in. Schrijf de breuken op zijn eenvoudigst.
13--- 1
6---tablet + tablet = ........ tablet
16--- 1
8---tablet + tablet = ........ tablet
58--- 5
12------tablet + tablet = ........ tablet
23--- 1
6---uur + uur = ........ uur
23--- 1
5---uur + uur = ........ uur
310------ 5
12------uur + uur = ........ uur
2. De koek bestaat uit 40 even dikke plakjes.
110------ 1
5--- koek + koek = ........ koek
110------ 1
4--- koek + koek = ........ koek
18--- 1
5---koek + koek = ........ koek
38--- 3
5---koek + koek = ........ koek
Vul passende breuken in.Schrijf de breuken op zijn eenvoudigst.
3. Bedenk nu zelf ook vier van zulke sommen (met de antwoorden).
21
Aanvullen en verkleinen
59--- + ...... = 1
19--- 1
3---+ + ...... = 1
4. Vul aan tot 1:
18--- 1
4---+ + ...... = 1
5. Vul aan tot het dichtstbijzijnde gehele getal:
234--- + ...... = 3
357--- + ...... = ......
738--- + ...... = ......
837--- + ...... = ......
269------ + ...... = 3
298------ + ...... = ......
227------ + ...... = ......
9811------ + ...... = ......
6. Verklein tot het dichtstbijzijnde gehele getal:
269
------ − ...... = 2
298
------ − ...... = ......
227
------ − ...... = ......
9811------ − ...... = ......
178------ − ...... = ......
179------ − ...... = ......
779------ − ...... = ......
997------ − ...... = ......
58--- + ...... = 1
712------ + ...... = 1
712------ 1
3---+ + ...... = 1
22
Kies gelijke noemers
34--- 1
5---+
68--- 9
12------
1216------
1520------
1824------
2128------
2432------
210------ 3
15------
420------
525------
630------
735------
840------
1520------ 4
20------+ = 19
20------
27---
38---+
414------ 6
21------
828------
1035------
1242------
1449------
1656------
616------ 9
24------
1232------
2156------
1540------
1848------
2464------
+ =
7. Vul passende breuken in:
8. Vul passende breuken in:
12--- 2
7---+ … …+ …= =
12--- 2
7---– … …– …= =
38--- 1
5---+ … …+ …= =
38--- 1
5---– … …– …= =
34--- 1
7---+ … …+ …= =
34--- 3
7---– … …– …= =
58--- 2
5---+ … …+ …= =
58--- 3
5---– … …– …= =
23
Breukenmuurtjes
1
14---
112------
114---
112------
1
19---
115---
115------
29---
112------ 1
4---
13---
112------ 1
4---+ 1
3---=
9. Vul de ontbrekende breuken of helen op de stenen in.
Spelregel: tel de getallen op twee ’buurstenen’ bij elkaar op en schrijf het antwoord op de steen die op die twee stenen rust.
34--- 3
8---1
4--- 1
12------ 1
3--- 1
2---
10. Maak nu zelf een breukenmuurtje met een heel getal in de bovenstesteen.
24
Op een getallenlijn11. De twee rode lijnstukken zijn steeds even lang.
0
1 2
13--- 3
4---
Welke breuk past er in het lege vakje? Welke som past daar bij?
1 2
14---
0 1 2
16--- 3
4---
0 1 2
23---
4445------
0 1 2
79---
59---
1
12---1
25
Opteltabellen
+12---
23---
34---
45---
12--- 1
3--- 1
4--- 1
5---
56---
+16---
17---
18---
19---
12--- 1
3--- 1
4--- 1
5---
12. Schrijf passende breuken in de vakjes.
+310------
+18---
38---5
6---
+ +
45--- 1 7
10------
1120------
910------
720------
18---
1
18---2
2 1
2 1
13. Maak zelf twee opteltabellen met breuken.
26
Sliert van sommenBij een ’sliert’ van sommen kun je de uitkomst van elke som ook vinden door de uitkomst van een vorige som te gebruiken.
14. Vul de antwoorden in:
12--- 1
3---+ 5
6---=
14--- 1
6---+ …=
14--- 1
6---
112------–+ …=
14--- 1
6--- 1
12------+ + …=
114--- 21
6--- 3 1
12------+ + …=
54--- 13
6------ 37
12------+ + …=
58--- 13
12------ 37
24------+ + …=
158
------ 3912------ 111
24----------+ + …=
14--- 15
8------ 39
12------ 111
24----------+ + …=+
27
De helft van de helft van de helft van ...
12--- 1
4---+ 3
4---=
12--- 1
4--- 1
8---+ + …=
12--- 1
4--- 1
8--- 1
16------+ + + …=
12--- 1
4--- 1
8--- 1
16------ 1
32------+ + + + …=
12--- 1
4--- 1
8--- 1
16------ 1
32------ 1
64------ 1
128---------- 1
256---------- 1
512---------- 1
1024-------------+ + + + + + + + + …=
15. Vul passende breuken in:
28
Vind de letterwaarden16. De letters a, b, c, d, e, f, g, h staan elk voor een heel getal.
a + b + c + d + e + f + g + h = 100
15--- 1
13------+ a
65------=
25--- 3
8---– b
40------=
47--- d
8---+ 53
56------=
1120------
e30------– 1
60------=
f100----------
125------– 1
50------=
3g--- 4
g---+ 7
11------=
h5--- h
10------+ 9
10------=
a = .......
514------ 2
21------+ 19
c------=
b = .......
c = .......
d = .......
e = .......
f = .......
g = .......
h = .......
Vind die acht getallen.
Als je het goed hebt gedaan, geldt:
29
Breuken in Egypte (1)
19. a. Ga na of de Egyptische splitsing van goed is.
17. Verklaar dat deze oplossing overeenkomt met de som:
In het Egypte van 4000 jaar geleden kondenze al heel goed rekenen met breuken. Datblijkt wel uit vraagstukken op papyrusrollen uitdie tijd. Een voorbeeld van zo’n vraagstuk is: Hoe moeten 7 broden eerlijk worden verdeeldonder 12 werkers ? De oplossing was als volgt:Breek alle broden in tweeën. Geef ieder eenhalf brood en verdeel de twee halve brodendie overblijven in zessen.
712------ 1
2--- 1
12------+=
18. Los op met de Egyptische methode: verdeel 8 broden over 15 werkers.
Schrijf ook de breukensom op die daarbij past.
De Egyptenaren gebruikten alleen breuken met teller 1, dus: 12--- 1
3--- 1
4--- 1
5--- enzovoort, , , ,
We noemen dit stambreuken.De enige uitzondering was de breuk 2
3--- die ze ’de twee delen’ noemden.
Alle andere breuken werden door de Egyptenaren gesplitst in twee of meer De noemers van die stambreuken waren dan verschillend.
Voorbeeld: wèl 27--- 1
4--- 1
28------+= 2
7--- 1
7--- 1
7---+=
27---
38--- … …+=
49--- … …+=
29--- … …+=
512------ … …+=
47--- … …+=
310------ … …+=
35--- … …+=
1118------ … …+=
1322------ … …+=
stambreuken. , maar niet
b. Splits nu in twee verschillende stambreuken:
30
Breuken in Egypte (2)20. Soms bestaan er verschillende splitsingen voor dezelfde breuk.
Voorbeeld: 712------ 1
2--- 1
12------+= , maar ook 7
12------ 1
3--- 1
4---+=
Controleer die twee splitsingen.
Geef nu twee splitsingen voor1130------
724------·
Ook voor
21. Bedenk zelf nog een andere breuk die je op twee manieren kunt splitsen.
22. Vaak zijn er meer dan twee stambreuken nodig bij een splitsing.
Voorbeeld: 45--- 1
2--- 1
5--- 1
10------+ +=
Geef de Egyptische splitsingen in drieën van:
78--- … … …+ +=
89--- … … …+ +=
1112------ … … …+ +=
2324------ … … …+ +=
Waarom zouden ze dat niet ook voor even noemers hebben gedaan?
van splitsingen van breuken met teller 2. Voor de noemers van de te splitsen breuken beperkten ze zich daarbij tot oneven getallen.
In de oudste van zulke lijsten zijn de noemers oneven en deelbaar door 3.Hiernaast zie je het begin van zo’n lijst.
29--- 1
6--- 1
18------+=
215------ 1
10------ 1
30------+=
221------ 1
14------ 1
42------+=
227------ 1
18------ 1
54------+=
........................
Probeer de volgende drie splitsingen te vinden.
23. De Egyptenaren maakten bij hun berekening vaak gebruik van het verdubbelen van de getallen. Daarom hadden ze lange lijsten gemaakt
31
De erfenis24. Een oude indiaan in het Andesgebergte schrijft in zijn testament hoe na zijn dood zijn kudde lama’s verdeeld wordt over zijn vier zonen.
Volgens dit testament zal de oudste zoon een derde deel van de kuddekrijgen, de tweede zoon een kwart en de jongste twee zonen (een tweeling) elk een vijfde van de kudde.
Een half jaar later sterft de indiaan en in de kudde zijn op dat moment59 lama’s. De vier zonen zitten met hun handen in het haar, want hoe moeten zij die nu verdelen?Ze vragen raad aan een indiaan die als zeer wijs bekend staat.Die zegt: ik heb 1 lama, die kun je van mij lenen en gebruiken bij deverdeling.Nu zijn er 60 lama’s en de oudste zoon krijgt dus 20 lama’s, de tweedezoon 15 en de jongste twee zonen elk 12 lama’s. Samen zijn dat er 59en zo krijgt de wijze indiaan zijn lama terug.
Een raar verhaal, maar met breuken kun je uitleggen hoe dat kan.Probeer het maar.
25. Bedenk zelf net zo’n verhaal maar nu over een vrouw met drie dochters.
32
Uitspraken over breuken26. Schrijf bij elke uitspraak of deze WAAR of ONWAAR is.
Bedenk zelf nog twee ware en twee onware uitspaken
25--- 3
7---+ 5
12------= 1 28
57------– 29
57------=
56--- 1
7---+ is kleiner dan 1
114--- 1
3---+ 3
4--- 5
6---+=
2 + 3 = 5 5 + 7 = 12
dus
58--- en 8
13------ liggen op de getallenlijn minder
van elkaar 1100----------dan
iedere niet-stambreuk tussen 0 en 1 is gelijkaan de som van twee stambreuken
17--- 2
7--- 3
7--- 4
7--- 5
7--- 6
7---+ + + + +
de uitkomst van
is een heel getal
18--- 2
8--- 3
8--- 4
8--- 5
8--- 6
8--- 7
8---+ + + + + +
de uitkomst van
is een heel getal
33
Samen één27. In een magisch breukenvierkant is de som van de breuken in elke
815------
13---
25---
horizontale rij, elke verticale rij en elke diagonaal gelijk aan 1.
Drie breuken zijn al ingevuld. Maak het magische vierkant af.
28. 12--- 1
6--- 1
8--- 1
10------ 1
12------ 1
40------+ + + + + 1=
Dat moet je natuurlijk niet zo maar geloven, maar narekenen!
Je kunt nu, bijna zonder rekenwerk, direct de uitkomst geven van 14--- 1
12------ 1
16------ 1
20------ 1
24------ 1
80------+ + + + +
Verklaar hoe dat kan.
Bedenk nu zelf een som van zeven verschillende stambreuken waar 1
Doe dit ook voor acht verschillende stambreuken.
29. Vul breuken in de ’optelboom’ in. Ze moeten allemaal verschillend zijn.
+
+
+
+
+ +
1
+
tel op
uit- komst
uitkomt.
34
Een zwembad vullen
Er zijn twee kranen waarmee men het badvol kan laten lopen. Met de ene kraanduurt het 3 uur voor het bad vol is,met de andere 5 uur.
30. Het water in het zwembad wordt regelmatig ververst.
Als beide kranen tegelijkertijd helemaal worden opengezet en precies1 uur lopen, is het zwembad voor iets meer dan de helft vol.
Leg dit uit met behulp van breuken.
Als na dit uur de kranen nog een half uur openstaan, is het bad voorviervijfde gevuld.
Leg dit ook uit.
Hoeveel minuten zijn er dan nog nodig om het bad geheel vol te krijgen?
35
Kringsommen12---
13---
56---
14---
34---
712------
31. Wat is het verband tussen de breukenin de rondjes en die in de vierkanten?
Tel de drie breuken in de rondjes bij elkaar op.Doe hetzelfde met de breuken in de vierkantjes.Vergelijk de beide uitkomsten. Wat voor bijzonders is daarmee?Hoe had je dat kunnen voorspellen zonder te rekenen?
Vul passende breuken (met zo klein mogelijke teller en noemer) in:
23---
15---
215------
316------
34---
1
821------
23---
914------
512------
13---
14---
36
De som van twee stambreuken (1)
1a--- 1
b---+
1a--- 1
b---+
32. a en b staan voor hele getallen die samen 17 zijn. Het getal a is kleiner dan b, maar groter dan 1.Kort opgeschreven: a + b = 17, a < b en a > 1.
Vul onderstaande tabel verder in:
a b a + b a × b
2
3
4
5
6
7
8
15 17
17
17
17
17
17
17
30 12--- 1
15------+ 17
30------=
33. a en b staan voor hele getallen die met elkaar vermenigvuldigd 210 alsHet getal a is weer kleiner dan b, maar groter dan 1. uitkomst geven.
Kort opgeschreven: a × b = 210, a < b en a > 1.
Vul onderstaande tabel verder in:
a b a + b a × b
2
3
5
6
7
10
14
105 107
210
210
210
210
210
210
210 12--- 1
105----------+ 107
210----------=
37
De som van twee stambreuken (2)34. Kijk nog eens goed naar de tabellen van de opgaven 32 en 33.
In alle gevallen is bij de som van de breuken 1b---1
a--- en
* de teller gelijk aan a + b en
* de noemer gelijk aan a × b
Dit kan op een korte manier zó in een formule worden opgeschreven:
1a--- 1
b---+ a b+
a b×-------------=
14--- 1
6---+ 5
12------=
Als bijvoorbeeld a = 3 en b = 5, dan staat er 13--- 1
5---+ 3 5+
3 5×------------- 8
15------= =
Bedenk nu zelf drie andere voorbeelden en controleer steeds of de
Klopt dit wel met de formule? Waarom?
a en b kunnen ook dezelfde waarde krijgen.
formule de goede uitkomst geeft.
Bijvoorbeeld: a = 7 en b = 7
Met de formule komt er dan: 17--- 1
7---+ 7 7+
7 7×------------- 14
49------= =
Geef commentaar.
Wat denk je van deze formule: 1a--- 1
a---+ 2
a---= ? Goed of niet ?
38
Alles bij elkaar
Breuken met dezelfde noemer tel je op door de tellers op te tellen.
Voorbeelden:
217------ 3
17------+ 5
17------=
1730------ 23
30------+ 40
30------ 4
3--- 11
3---= = =
Breuken met verschillende noemers kun je optellen door die breuken eerst gelijknamig (met gelijke noemers) te maken.Voorbeelden:
217------ 5
34------+ 4
34------ 5
34------+ 9
34------= =
1730------ 17
40------+ 68
120---------- 51
120----------+ 119
120----------= =
Breuken kun je van elkaar aftrekken door ze zo nodig eerst gelijknamig temaken en dan de tellers van elkaar af te trekken.
Voorbeelden:
1348------ 11
48------– 2
48------ 1
24------= =
1730------ 17
40------– 68
120---------- 51
120----------– 17
120----------= =
Stambreuken zijn breuken waarvan de teller gelijk is aan 1. Iedere niet-stambreuk die kleiner is dan 1 kan worden gesplitst in een serie verschillende stambreuken.
Voorbeelden:
1348------ 12
48------ 1
48------+ 1
4--- 1
48------+= =
2330------ 15
30------ 8
30------+ 1
2--- 4
15------+ 1
2--- 3
15------ 1
15------+ + 1
2--- 1
5--- 1
15------+ += = = =
39
Alles door elkaar
56--- 3
20------+ + ...... = 1
1. De koek bestaat uit 40 even dikke plakjes.
Is de koek op als 38--- deel en 3
5--- deel van
de hele koek zijn uitgedeeld?
Schrijf op hoe je je antwoord hebt gevonden.
2. Wat moet erbij? Vul aan tot het dichtstbijzijnde hele getal: 8112------ + ...... = ......
3. Vul een zo eenvoudig mogelijke breuk in:
4. Vraagstuk op een Egyptische papyrusrol:Hoe moeten 5 broden eerlijk worden verdeeld onder 8 werkers?
Schrijf de breukensom op die hoort bij deze vraag. Bedenk dat je alleen stambreuken mag gebruiken.
5. Schrijf bij elke uitspraak of deze waar of onwaar is. Leg uit waarom dat zo is.
a. 178--- 27
32------– is minder dan 1.
b. 29--- en 3
10------ zijn samen meer dan een half.
c. Als 2n--- 3
n---+ 1
2---= , dan is n gelijk aan 10.
6. Vul de opteltabel in (breuken zo eenvoudig mogelijk):
+25--- 1 8
15------
56---
116---
110------
7. Bedenk zelf een vraag of een opdracht die in dit deel (B) van het boek zou passen. Schrijf ook de oplossing op.
40
Deel C
Breuken vermenigvuldigen en delen
23--- 4
5---× 8
15------=
39
40
Sprongen op de getallenlijn
0 13---
1. De sprongen op de getallenlijn zijn even groot.Schrijf passende breuken of helen bij de deelstreepjes.
Welk eindpunt wordt bereikt na 42 sprongen vanuit 0?
En na 100 sprongen?
Dezelfde vragen, maar nu is de eerste sprong van 0 naar
0 25---
25---
2. Na hoeveel sprongen bereik je voor het eerst een heel getal?
0 37---
Welke hele getallen kun je bereiken als je almaar door blijft springen?
3. Maak de ’tafel van 49--- ’ tot je voor het eerst een hele uitkomst krijgt:
1 49---× 4
9---=
2 49---× =
3 49---× =
Maak zelf nog een andere vermenigvuldigingstafel voor een breuk totje een hele uitkomst krijgt.
41
Deel van een deel (1)
121
2
3
4
56
7
8
9
10
11
4. Vul in:
45--- uur = ..... minuten
45--- uur = ..... minuten2
3--- van
45--- uur = ..... uur2
3--- van
23--- uur = ..... minuten
23--- uur = ..... minuten4
5--- van
23--- uur = ..... uur4
5--- van
5. Vul passende breuken in:
6. Vul passende breuken in:
de helft van 815------ = .........
de helft van 115------ = .........
een derde van 15--- = .........
twee derde van 15--- = .........
van 37--- = .........
van 13--- = .........
13---
37---
van 13--- = .........
van 23--- = .........
67---
67---
16--- van 1
4--- tablet = .... tablet
18--- van 1
3--- tablet = .... tablet
58--- van 1
3--- tablet = .... tablet
56--- van 3
4--- tablet = .... tablet
42
Deel van een deel (2)7. Welk deel van elk van de zes figuren is gekleurd? Vul passende breuken in:
..... van ..... = ..... ..... van ..... = .....
..... van ..... = .......... van ..... = .....
..... van ..... = .......... van ..... = .....
14---3
4---
43
Heel maal deel en deel maal heel
4 17---× 1
7--- 1
7--- 1
7--- 1
7---+ + +=
=
17--- 4× van 4
8. Vul passende breuken in:
5 17---× …=
5 27---× …=
7 37---× …=
37--- 14× …=
67--- 28× …=
67--- 29× …=
7 15---× …=
7 25---× …=
5 45---× …=
35--- 20× …=
325------ 100× …=
325------ 105× …=
5 112------× …=
5 512------× …=
24 512------× …=
712------ 12× …=
712------ 72× …=
1112------ 144× …=
9. Vul passende hele getallen in:
… 38---× 11
2---=
… 38---× 71
2---=
… 49---× 8=
… 59---× 12
3---=
311------ …× 6=
411------ …× 32=
215------ …× 2
5---=
415------ …× 22
5---=
… 524------× 25=
1924------ …× 95=
… 1318------× 65=
518------ …× 31
3---=
47---
17---=
47---
44
Breuk maal breuk (1)
15--- 1
3---
115------van is 1
5---
13---× 1
15------=
45---
23---× …=
35---
38---× …=
59---
23---× …=
45--- 2
3--- …van is
35--- 3
8--- …van is
59--- 2
3--- …van is
10. Vul passende breuken in en licht je antwoord toe met een plaatje:
13---
23---
38---
23---
45
Breuk maal breuk (2)
12. Vul de passende hele getallen of breuken in:
81
13---× 1
9---×
…×
35
27---× 7
10------×
…×
48
512------× 3
5---×
…×
34---× …×
…×
11. Vul de passende breuken in:
75---× …×
…×
75
…× …×
…×
46
Teller maal teller en noemer maal noemer
13. Vul passende breuken of helen in:
59--- 4
7---× 5 4×
9 7×------------ 20
63------= =
59--- 4
7---× … …× 1
9---× 1
7---×=
14. Je weet natuurlijk: 5 + 8 is minder dan 5 × 8
Geldt nu ook: 513------ 8
13------+ is minder dan
513------ 8
13------× ?
15. Vul in: 1528------ …+ 1=
1528------ …× 1=
59--- … 1
9---×=
47--- … 1
7---×=
×
... × ...
Maak net zo’n schema bij:8
11------
35---×
= ……------
Licht je antwoord toe.
1528------ …– 1
2---=
1528------ …× 1
2---=
54--- 3
4---×en ook bij:
47
Vermenigvuldigtabellen
×12---
23---
34---
45---
12--- 1
3--- 1
4--- 1
5--- × 1
6--- 2
9--- 5
12------ 8
15------
16. Schrijf passende breuken of hele getallen in de vakjes.
×56---
× 25---1
7---
× ×
1
563------
17. Maak zelf twee vermenigvuldigtabellen met breuken.
12---
2
3
6
35--- 7
8---
845------
1835------
2132------
65--- 4
5---
16---
18---
18--- 1
48
Breukenbomen
×
+
×
+
×
+
16--- 2
3--- 7
30------
16--- 2
3--- 7
30------
+
×
+
38---
12---
25---
18. Vul passende breuken in:
49
Vind de letterwaarden19. De letters a, b, c, d, e, f, g, h staan elk voor een heel getal.
a + b + c + d = e + f + g + h
35--- 25× a=
35--- b× 21=
3d--- 56× 21=
221------ e
8---× 1
4---=
57--- 3
f---× 3
14------=
g24------ 8
9---× 2
3---=
16h------ 7
8---× 1=
a = .......
c6--- 24× 20=
b = .......
c = .......
d = .......
e = .......
f = .......
g = .......
h = .......
Vind die acht getallen.
Als je het goed hebt gedaan, geldt:
50
Breuken en oppervlakte
1
312---
213--- 2
3
312--- bij 21
3--- cm.
Vul in: 312--- 21
3---× 7
2--- 7
3---× …= =
Klopt je antwoord met dat van de vorige vraag?
21. De rechthoek hieronder is
Bereken de oppervlakte op twee manieren:* door de rechthoek handig in vier stukken te verdelen.* door direct lengte maal breedte uit te rekenen.En natuurlijk ga je na of de twee uitkomsten met elkaar kloppen!
314---
423---
423--- bij 31
4--- cm
22. Bedenk zelf zo’n soort opgave. Geef ook het antwoord.
20, Het gekleurde rechthoekje is 12--- cm bij 1
3--- cm. 1
Hoeveel cm2 is de oppervlakte van dat rechthoekje?
De rechthoek hiernaast is A B
DC
De rechthoek is verdeeld in de delen A, B, C en D.Vul de tabel in:
deel
oppervlakte
A B C D
Hoeveel cm2 is de oppervlakte van de gehele rechthoek?
1 cm2
51
Romeinse fontein
I IIIII IV
23---1
3---
14---
45--- 1
5---
12---
13--- 2
3---
12---3
4---
56---1
6---
23.
Uit de bovenste schaal van de Romeinse fontein gaat 13--- van het water
naar de schaal links eronder en 23--- naar de schaal rechts eronder.
Bij elke schaal is aangegeven hoe de verdeling van het water naar linksen rechts is. Van de hoeveelheid water uit de kraan gaat 1
15------ naar schaal I.
Laat met een berekening zien dat dit klopt.
Bereken welk deel van het water uit de kraan naar schaal II gaat.
Doe dat ook voor schaal III.
En voor schaal IV.
Tel de vier uitkomsten bij elkaar op.
52
Delen door een breuk (1)24. Bij een rekentest die precies 1 uur duurt, krijgt de leerling per opgave
3 minuten de tijd. Het aantal vragen is dan dus 60 : 3 = 20.
De leraar vindt bij nader inzien dat 212--- minuut per vraag voldoende
tijd is. Dan kan hij meer opgaven vragen.
Hoeveel opgaven kan hij nu geven in 60 minuten?
Leg uit hoe je je antwoord gevonden hebt.
Vul in:
60 : 212--- = .... 60 : 11
2--- = .... 60 : 1
2--- = ....
0 60313---
313--- 31
3---
Na hoeveel stappen kom je uit bij 60?
25. Op de getallenlijn hieronder worden stappen van
45 : 214---
116---
313--- gemaakt.
623---
60 : 313--- = .... Vul in:
0 45214---
214--- 21
4---
412---
Bereken
Bereken ook 42 :
53
Delen door een breuk (2)
21 : 12--- = .... 21 : 1
4--- = .... 21 : 3
4--- = ....
26. Vul in:
16 : 13--- = .... 16 : 2
3--- = .... 16 : 4
3--- = ....
18 : 15--- = .... 36 : 2
5--- = .... 36 : 4
5--- = ....
27.
5 : 19--- = ....
121
2
3
4
56
7
8
9
10
1156--- : 1
4--- = 31
3---
Leg uit dat dit klopt met behulp van de klok.
Vul passende breuken in en leg uit hoe je gerekend hebt.
56--- : 1
3--- = ........
710------ : 1
3--- = ........
1720------ : 5
12------ = ........
512------ : 1
4--- = ........
730------ : 1
5--- = ........
56--- : 7
60------= ........
54
Delen door een breuk (3)
28. Hoe vaak gaat 6 in 9 ?
Hoe vaak gaat 611------ in 9
11------ ?
Wat is de uitkomst van 931------ : 6
31------ ?
n staat voor een heel getal, maar je weet niet voor welk.
Toch kun je de uitkomst weten van 9n--- : 6
n---
Wat is die uitkomst?
29. n staat voor 1, 2, 3, 4, ....Vul zo eenvoudig mogelijke breuken of helen in:
8n---
5n---
23---
212---
8 4 2
5
Bereken:
212--- …=4 :
516------ …= :1
2---
114--- …=2 :
56--- …= : 11
3--- 5
7--- …= : 11
7---
123--- …= : 22
3---
30. Bereken:
!
25--- …= :12
25------
35--- …= :18
25------
225------ …= :2
5---
225------ …= :3
5---
45--- …= :6
7---
67--- …= :4
5---
76--- …= :5
4---
56--- …= :5
4---
17--- …= :1
3---
317--- …= :71
3---
58--- …= :3
5---
135--- …= :15
8---
55
Breedte, hoogte en oppervlakte
113---
112---
31. Bereken de oppervlakte van de rechthoek:
Vul in: 2 : 112--- = .... 2 : 11
3--- = .... en
32. Bereken de breedte van de rechthoek.
123--- 3
?
?
Hoe kun je je antwoord controleren?
33. Van een rechthoek is de oppervlakte 6 cm2.
Als je weet dat de breedte en de hoogte een heel aantal cm is, welke mogelijkheden zijn er dan?
Hieronder zie je een tabel, waarbij de breedte steeds middentussen twee hele getallen in zit.Vul de bijpassende hoogte in:
breedte hoogte
112---
212---
312---
412---
56
Vermenigvuldigen en delen
5
: 2
12---×
212---
34. Voorbeeld:
Vul in:
5
: 12---
…×5
: 32---
…×
10
: 3
…×
: 13---
…×
15
: 52---
…×
: 54---
…×
20 15
…×
: ...
10
15
20 28
…×
: ...
308×
: ... 30
…×
: 23---
57
Uitspraken over breuken35. Schrijf bij elke uitspraak of deze WAAR of ONWAAR is.
Delen door 14--- komt op hetzelfde neer
als vermenigvuldigen met 4.
Twee breuken kun je vermenigvuldigendoor ze gelijknamig te maken en dan de tellers te vermenigvuldigen.
80 : 313--- is gelijk aan 8 × 3
Als je een getal deelt door 35---
je eerst delen door 3 en daarnamet 5 vermenigvuldigen
212---41
4--- : = 2
Een vijfde van een zesde is een elfde
37--- gaat even vaak in 6
als 3 in 42
89--- 7
8---: is groter dan 1
Bedenk zelf ook 2 ware en 2 onware uitspreken over het vermenigvuldigen of delen van breuken.
kun
58
Alles bij elkaarBreuken kun je met elkaar vermenigvuldigen door zowel de tellers alsde noemers met elkaar te vermenigvuldigen.
Voorbeelden: 811------ 4
9---× 32
99------=
127------ 5
6---× 60
42------ 10
7------ 13
7---= = =
Breuken met verschillende noemers kun je op elkaar delen door ze gelijknamig te maken en daarna de tellers op elkaar te delen.
Voorbeelden: 611------ : 3
22------
1222------ : 3
22------ 12 : 3 4= = =
37--- : 5
6---
1842------ : 35
42------ 18 : 35 18
35------= = =
Breuken met dezelfde noemer kun je op elkaar delen door de tellers op elkaar te delen.
811------ : 4
11------ 8 : 4 2= =
127------ : 5
7--- 12 : 5 12
5------ 22
5---= = =
Voorbeelden:
Als je een heel getal door een breuk deelt, kun je een vermenigvuldiging maken van dat getal met het omgekeerde van die breuk.
Voorbeeld:
10 : 56--- 10 6
5---× 60
5------ 12= = =
Als je een breuk door een breuk deelt, kun je ook een vermenigvuldiging maken van de eerste breuk met het omgekeerde van de tweede breuk.
Voorbeelden: 1
10------ : 5
6---
110------ 6
5---× 6
50------ 3
25------= = =
56--- : 1
10------
56--- 10× 50
6------
253------ 81
3---= = = =
59
Alles door elkaar1. Vul in:
Als je van een breuk de teller met 2 vermenigvuldigt, dan wordt de breuk ..... maal zo ...... Als je van een breuk de noemer met 2 vermenigvuldigt, dan ............................................ Als je van een breuk de teller én de noemer met 2 vermenigvuldigt, dan ............................................. Als je van een breuk de teller met 3 én de noemer met 2 vermenigvuldigt, dan .............................................
2. Vul zo eenvoudig mogelijke breuken in:32--- 4
7---× …=
23--- 4
7---× …=
316------ 8
9---× …= 8
15------ 5
6---× …=
316------ 11
8---× …= 17
8--- 11
5---× …=
3. Het vierkant is verdeeld in vier rechthoeken met verschillende oppervlakte.Schrijf in elke rechthoek de breuk die bij zijn oppervlakte hoort.
38--- 5
8---
13---
23---
Tel de vier breuken die je hebt ingevuld bij elkaar op.Hoe had je de uitkomst ook direct kunnen ’zien’?
4. Je maakt vanuit het punt 0 sprongen van 49--- op de getallenlijn.
Na hoeveel sprongen bereik je het punt 20? .............
5. Vul zo eenvoudig mogelijke breuken of helen in:
36 : 49--- …=
36 : 94--- …=
316------ : 1
8--- …= 3
5--- : 3
4--- …=
18--- : 3
16------ …= 11
5--- : 3
4--- …=
60
Deel D
Breuken en
algebra
1
25 1 7
433
9 2 15 97
512
1127
25
n 2+3n
-------------
59
60
Rekenen met stroken (1)
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n staat voor een onbekend natuurlijk getal
Met 2n wordt bedoeld 2 × n en dus ook n + n
2n 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Vul in: met 3n wordt bedoeld ........ en dus ook ....................
3n
Vul ook de vakjes van de strook in:
1.
Tel de getallen van de twee laatste stroken paarsgewijs op en schrijf de uitkomsten in de ’optelstrook’:
Wat kun je op het etiket van de optelstrook schrijven?
2. Vul de getallen op de stroken in:
2n − 1 1 3 5
3n + 2 5 8 11
6 11 16
+
Wat kun je op het etiket van de optelstrook schrijven?
3. Maak zelf twee stroken met etiket 4n + 1 en 4n − 2.Maak ook de optelstrook en vul het etiket in.
61
Rekenen met stroken (2)
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2n---
4n---
23--- 1
2---2 1
4
+
6
4. Vul passende breuken (zo eenvoudig mogelijk) of helen in de vakjes in:
Wat kun je op het etiket van de derde strook schrijven?
5. Dezelfde opdracht voor:
32n-------
12n-------
+
12---
32---
14---
34---
2
Ook voor:
65n-------
1n---
-
12---
65--- 3
5---
1
15---
62
Rekenen met onbekende noemersn staat weer voor een onbekend natuurlijk getal
6. Vul passende breuken in:
2n--- 3
n---+ 5
n---= 8
n--- 1
n---– …= 5
n--- …+ 6
n---= 11
n------ …– 4
n---=
13--- 6
n---× …= 8
n--- 3
8---× …= 8
n--- …× 6
n---= 6
n--- …× 8
n---=
7. Vul passende breuken in:
3n--- 1
2n-------+ …
2n-------
12n-------+ …= =
2n--- 1
3n-------+ … …+ …= =
12n------- 1
4n-------– … – … …= =
65n------- 1
n---– … … –= …=
+
−
32n------- 5
4n------- 3
4n------- 2
n---
+
+
−
112n----------
16n------- 1
3n------- 1
4n-------
+
8. Vul passende breuken in de bomen in:
63
Een breuk met onbekende teller en noemert en n staan voor twee natuurlijke getallen, maar je weet niet welke.Wat je wel weet is dat
tn--- 8
3---=
9. Vul in:
als t = 808, dan n = .....
als t = 1000, dan n = .....
als n = 48, dan t = .....
als n = 96, dan t = .....
10. Ook al weet je niet hoe groot t en n elk zijn, toch kun je wel weten wat de waarde is van de volgende breuken.Zoek dat uit en vul de waarden in:
t3n------- …= 5t
n----- …= 3t
8n------- …=
tn--- 1+ …= t n+
n------------- …= t n–
n------------ …=
11. Leg uit waarom je niet de waarde kunt weten van de breuk t 1+
n-----------.
12. Bedenk zelf nog een paar breuken met t en n waarvan je wél en waarvan je niét de uitkomst kunt weten.
als t + n = 99, dan t = ..... en n = .....
t 8 16 24 32
n 3 6 9 12
Dus
64
Een strook met breuken
n 2+n 5+------------- 4
7---
n = 1, 2, 3, 4, ....
13. Vul op de strook zo eenvoudig mogelijke breuken in:
Als je voor n bijvoorbeeld 22 neemt, komt er n 2+n 5+------------- 24
27------ 8
9---= =
In dat geval is de breuk dus te vereenvoudigen.
Er zijn heel veel waarden van n waarbij de breuk n 2+n 5+------------- vereenvoudigd
kan worden. Die getallen vormen van klein naar groot een mooie rij. Schrijf de eerste tien getallen van die rij op.
Er zijn oneindig veel waarden van n, waarbij vereenvoudiging
van n 2+n 5+------------- mogelijk is. Waarom weten we dat zo zeker?
Hoe groot is n als n 2+n 5+------------- 17
20------= ?
14. Als een breuk kleiner dan 1 is , dan noemen we de aanvulling tot 1wel het complement van die breuk.
37---
Zo is bijvoorbeeld het complement van 47--- gelijk aan 3
7---
Vul de strook met complementen van de breuken n 2+n 5+------------- in.
Welke breuk kun je op het etiket van de strook schrijven?
En als n 2+n 5+------------- 97
100----------= ?
65
Breuken vereenvoudigen
15. Schrijf de volgende breuken zo eenvoudig mogelijk:
a, b, c en d staan op deze bladzijde voor onbekende natuurlijke getallen.
3a5a------- …= b b+
b b b+ +------------------------ …= c
c--- …= d
14d---------- …=
4a8a------- …= 12b
15b---------- …= 25c
35c---------- …= 33d
44d---------- …=
We vertellen je nu iets meer over a, b, c en d.
b is 2 keer zo groot als a, ofwel b = 2a.
Verder geldt ook: c = 5a en d = 8a.
16. Nu je dit weet, kun je de waarde geven van de volgende breuken:
bc--- …= a
d--- …= b c+
d------------- …= b a–
d c–-------------- …=
Bereken ook:
cd--- a
b---– …=
cd--- a
b---+ …= c
d--- a
b---× …=
cd--- : a
b--- …=
17. Jeffrey denkt dat a b c d+ + +4a 3b 2c d+ + +-------------------------------------------- gelijk is aan a
4a-------
b3b-------
c2c-------
dd---+ + +
Wat vind jij? Leg uit waarom je dat vindt.
66
Groter en kleiner (1)18. Welke breuk heeft de grootste waarde: 5
18------ of 1
3--- ?
Leg uit hoe je aan je antwoord komt.
Dezelfde vraag voor:
Hoe zit het dan met:
185------ en 7
2---
518------ en 2
7--- ?
19. Welke breuken liggen dichter bij elkaar: Leg uit hoe je aan je antwoord komt.
Nog een keer met:
20. n staat voor een onbekend natuurlijk getal tussen 10 en 100.
Al ken je de waarde van n niet, toch kun je zeggen welke van de twee
breuken
Welke is dat en waarom?
2n--- en 2
n 1+------------- de grootste waarde moet hebben.
Dezelfde vraag voor 3n--- en 3
n 1–-------------
Ook voor 2n--- en 4
2n 1+------------------
13--- en 2
3--- of 1
4--- en 9
16------ ?
0 01 113--- 2
3--- 1
4--- 9
16------
Dezelfde vraag met: 13--- en 3
4--- of 1
4--- en 2
3---
0 01 113---
14---
23---3
4---
38--- en 2
5--- of 1
7--- en 1
6---
0 138--- 2
5--- 0 11
6---1
7---
67
Groter en kleiner (2)
22.
De breuk 5n--- ligt ergens tussen 1
4--- en 1
2---
Welke getallen kan n zijn?
n staat voor een natuurlijk getal.
14--- 1
3---
12n------
?
14--- 1
2---
5n---
?
23--- 3
4---
24n 1+-------------
?
110------ 1
5---
32n-------
?
45--- 9
10------
nn 1+-------------
?
..............................................................
n kan zijn ..........................
n kan zijn ..........................
n kan zijn ..........................
n kan zijn ..........................
21.
Wat is de kleinste waarde die de breuk n150---------- kan hebben?
En wat is de grootste waarde?
10n 5+-------------
2526 27 28
75747372
n staat voor een natuurlijk getal, niet kleiner dan 25 en niet groter dan 75.
n
Vul passende breuken in:
n 5+150
------------- 5n 10–---------------- n
n 25+----------------
grootste waarde
kleinste waarde
n150---------- 5
n---
68
Gemiddelde snelheid
23. Bob fietst met sterke wind in de rug naar de brievenbus (1 km ver) om een brief te posten. Zijn snelheid is 24 km per uur.Hij gaat direct terug, maar nu haalt hij maar 12 km per uur.Hij beweert dat zijn gemiddelde snelheid over de hele rit gelijk is aan het gemiddelde van 24 en 12, dus 18 km per uur.
Wat vind jij van de uitspraak van Bob?
Als je niet weet hoe ver Bob van de brievenbus af woont, kun je toch zijngemiddelde snelheid over de heen- en terugweg berekenen!Stel de afstand is a km.
Hoeveel tijd heeft hij nodig voor de totale rit? ................................
Voor de heenweg heeft hij dan nodig: a24------ uur.
En hoeveel km per uur is dus zijn gemiddelde snelheid?
24 km/u
12 km/u
Om te kunnen zeggen of Bob gelijk heeft of niet moet je wel wetenwat er precies wordt bedoeld met gemiddelde snelheid.
De afspraak is dat die wordt berekend door de totale gereden afstand te delen door de totale tijd waarin dat is gebeurd.
Hoeveel tijd heeft Bob nodig voor de heenweg? .............................En voor de terugweg? ................................
Bereken nu Bob’s gemiddelde snelheid in km per uur.
69
Vazen en breuken (1)
In een vaas zitten 15 kralen.4 kralen zijn blauw de rest is wit.
+
Dus: 415------ deel van de kralen in de vaas is blauw
24.
Vul in: ……------- deel van de kralen in de vaas is nu blauw
Welke breuk is groter 415------ of 5
16------ ?
Hoe kun je dit weten zonder te rekenen?
25. In een vaas zitten 10 blauwe kralen en een helebooel witte, maar je weet niet hoeveel.
Noem het totale aantal kralen k.
Welke breuk is groter 10k------ of 11
k 1+-------------?
+
+
Welke breuk is groter 11k 1+------------- of 11
k 2+------------- ?
Kunnen 10k------ en 11
k 2+------------- dezelfde waarde hebben?
Zo ja, hoe groot moet k dan zijn?
Hoe weet je dat?
Hoe weet je dat?
70
Vazen en breuken (2)
415------ 8
15------
26.
Welk deel van de kralen in vaas C is blauw?
A B
C
De breuk die bij vaas C hoort., ligt tussen de breuken bij A en B. Hoe zit dat?
27.In elk van twee vazen A en B zitten k kralen.
Het aantal blauwe kralen in de ene vaas is 10 en in de andere vaas 15.
De kralen van de twee vazen worden bij elkaar gedaan in een nieuwe vaas C.
Bij de blauwe delen van A, B en C horen drie breuken.
De rest van de kralen is wit.
Welke breuken zijn dat?
Magali zegt: ’de breuk bij C ligt precies midden tussen de breuken bij A en B’
Zoek uit of dat klopt.
71
Op de getallenlijn
0 1n--- 2
n---
28. Geef op de getallenlijn de plaats aan van:
s 25--- 1
3---+= v 2
5--- 1
3---–= p 2
5--- 1
3---×= q 2
5--- : = 1
3---,, en
t 2 1+5 3+-------------=
Geef ook de plaats aan van s + v en van q − p
29.
0 13--- 2
5--- 1
n staat voor een groot natuurlijk getal.
3n--- 4
n--- 5
n--- 6
n--- 7
n---
8n---
Op een beginstuk van de getallenlijn zijn acht breuken met noemer n aangegeven.
Welke breuken passen bij de tussenstreepjes?
Hieronder zie je twee stukken van de getallenlijn vergroot en in gelijke stukken verdeeld.
Schrijf passende breuken bij de deelstrepen.
4n---1
n--- 2
n--- 3
n---
30. De getallenlijn van de vorige opgave is nu vanaf 1 getekend.
1 n 1+n
------------- n 2+n
------------- n 3+n
------------- n 4+n
------------- n 5+n
------------- n 6+n
------------- n 7+n
------------- n 8+n
-------------
nn---
Vul in:
1 5n---+
………n
------------------=n 3+n
------------- 1n---+
………n
------------------= n 4+n
------------- 3n---+
………n
------------------=
Tussen welke twee streepjes is de plaats van t?
72
Breuken vermenigvuldigenOp deze bladzijde staan k, m en n voor onbekende natuurlijke getallen.
31. Vul passende breuken in:
12--- 2
k---× …=
23--- 3
m-----× …=
34--- 4
n---× …=
12--- 1
2k-------× …=
23--- 1
3m---------× …=
34--- 4
3n-------× …=
k2--- 2
k---× …=
2m3
--------- 3m-----× …=
3m4
--------- 4n---× …=
Dezelfde opdracht voor:
13--- …× 2
k---=
23--- …× 3
m-----=
34--- …× 4
n---=
12--- …× 1
2k-------=
23--- …× 1
3m---------=
34--- …× 4
3n-------=
k2--- …× 2=
2m3
--------- …× 1=
3m4
--------- …× n=
32. Vul passende breuken of helen in:
kn---
start
12---×
3×
25---×1
k---×
5×
13---×
n× m×38---×
43---×
6×
nm-----×
23---×2
k---×1
4---×
einde
73
Bewerkingen door elkaar
7 12k------- × 1
2--- 23
k------× ………………=+ ……=
76--- 4
p--- × 5
2--- 4
3p-------×– ………………= ……=
k, m, n en p staan op deze bladzijde voor natuurlijke getallen.
34. Vereenvoudig tot één breuk:
×
+
12--- 14
n------ 1
3--- 9
n---
×
33. Vul passende breuken in:
×
−
23--- 24
m------ 1
5--- 75
m------
×
kp--- p
2k------- × m
n----- n
3m---------×– ………………= ……=
9m----- m
n----- × k
n--- 11
k------× ………………=+ ……=
35.
1m----- : 1
5--- …=
4m----- : 4
5--- …=4
m-----
54---× …=4
m-----
58---× …=28
m------
58---× …=
28m------ : 8
5--- …= 56
m------ : 16
5------ …= 56
p------ : 16
5------ …= 56
3p------- : 16
5------ …=
56
3p------- : 31
5--- …=31
5--- : 56
3p------- …=62
5--- : 56
3p------- …=62
5--- : 28
3k------- …=
625---
3n28-------× …= 32
5------
3n14-------× …= 64
5------
3n28-------× …= 5
64------
283n-------× …=
564------
283n-------× 13
6------
18n-------×+ …=
start
einde
Vul zo eenvoudig mogelijke breuken in. Reken je elk blokje apart uit of kan het
handiger?
74
Een zwembad vullen
Als de kraan wordt opengezet duurt het 3 uur voordat het zwembad vol is.
36. Het water in het zwembad wordt regelmatig ververst.
Er wordt een tweede kraan bijgeplaatst zodat als beide kranen open staan, het precies 2 uur duurt voor het zwembad vol is.
In hoeveel uur kan de nieuwe kraan in zijn eentje het zwembad vullen?
In een groter zwembad wil men drie kranen gebruiken. Samen moeten ze het bad weer in precies 2 uur volkrijgen.
De kraan met de grootste capaciteit doet er x uur over om het badvol te krijgen, die met de één na grootste capaciteit doet er y uur over en die met de minste capaciteit z uur.
1x--- 1
y--- 1
z---+ + 1
2---=
Er worden drie kranen besteld met elk een andere capaciteit.
Hierbij zijn x, y en z natuurlijke getallen.
Beredeneer dat moet gelden:
Zoek uit welke zes mogelijkheden er zijn voor x, y en z.
75
Gelijkwaardige breuken
teller
noemer
10
22
11 12 13 14 159876
23 24 25 26 2721201918
37. Hieronder zijn 10 en 20 met elkaar verbonden. 1
2---
Verbind ook andere getallen die bij horen bij breuken die gelijkwaardig 12---
zijn met .
Verbind nu paren die horen bij 23---
.
teller
noemer
44
64
45 46 47 48 4943424140
65 66 67 68 6963626160
1020------ is gelijkwaardig met De breuk
Je telt 18 op bij de teller. Welk getal moet je bij de noemer optellenom weer een breuk te krijgen die gelijkwaardig is met
Vul passende getallen in:
4590------ 45 23+
90 …+--------------------- 45 …+
90 88+------------------- 45 …+
90 …+-------------------= = = 60
90------ 60 16+
90 …+------------------- 60 …–
90 33–-------------------- 60 …+
90 …+-------------------= = =
a staat voor een onbekend heel getal. Welke uitspraken zijn zeker waar, welke niet?
38. Van een breuk is de waarde gelijk aan
4590------ 45 a+
90 2a+--------------------= 60
90------ 60 a+
90 2a+--------------------= 25
75------ 25 a+
75 3a+--------------------=
4590------ a 1+
2a 1+----------------=60
90------ 6 2a+
9 3a+----------------= 21
84------ 25a
100a-------------=
.
.
12---
12--- ? ..............
.
76
Maak dat het klopt
bedek 2 + 5x
2 + 5x = 12
5x = 10
x = ?12 5x+---------------- 1
12------=
1xxxx------------ 1
12------=
Voorbeeld:
x = 2
2 + 5x = 12bedek 5x
425 2x+---------------- 2=
4x 5+18
---------------- 12---=
58 3x+---------------- 1
4---=
157x 1–---------------- 3
4---=
39. Vind de waarde voor x waarbij de gelijkheid klopt.
1003x 4+---------------- 10=
23 4x+---------------- 2
7---=
77
Uitspraken over breuken
3n--- 4
n---+ 7
n---=
12n
------ : 4n--- 3=
3n--- 4
n---× 12
n------=
5a5b------- a
b---=
5 a+5 b+-------------- a
b---=
13n------- 1
6n-------+ 1
2n-------=
6b5b------- 11
5---=
34--- 4
n---× 3
n---=
3n--- : 3
4--- 4
n---=
103n------- 3 1
3n-------+=
5 a+a
-------------- 5a--- 1+=
an--- b
n---+ a b+
2n-------------=
40. a, b, n stellen willekeurige natuurlijke getallen voor. Schrijf bij elke uitspraak of deze WAAR of ONWAAR is.
45n------- 3
4n-------– 1
n---=
7 b+42 6b+-------------------- 1
6---=
Bedenk zelf ook 2 ware en 2 onware uitspraken over ’algebrabreuken’.
78
Alles bij elkaar
Bij optellen en aftrekken van breuken kun je het beste eerst de noemers gelijk maken. Er geldt:
Op deze bladzijde staan a, b, n en m voor willekeurige natuurlijke getallen.
an--- b
n---+ a b+
n-------------=
an--- b
n---– a b–
n--------------=en
Voorbeelden:
2n--- 1
5n-------+ 10
5n------- 1
5n-------+ 11
5n-------= =
a4--- 3a
8-------+ 2a
8------- 3a
8-------+ 5a
8-------= =
2b5m--------- b
3m---------– 6b
15m------------ 5b
15m------------– b
15m------------= =
Bij vermenigvuldigen van breuken heeft het geen zin om de breuken gelijknamig te maken. Je kunt én de tellers én de noemers met elkaar vermenigvuldigen. Er geldt:
an--- b
m-----× a b×
n m×---------------=
Voorbeelden: 7
3n------- a
4---× 7a
12n----------=
73--- a
14------× 7a
42------- a
6---= =
100n
---------- 310------× 30
n------=
Bij het delen van een breuk door een andere breuk heeft het wel zin om die breuken gelijknamig te maken. Er geldt:
an--- : b
n--- a
b---=
Voorbeelden:
a2--- : b
3--- 3a
6------- : 2b
6------- 3a
2b-------= =
35n------- : 1
2n------- 6
10n---------- : 5
10n---------- 6
5--- 11
5---= = =
a5n------- : b
6n------- 6a
30n---------- : 5b
30n---------- 6a
5b-------= =
79
Alles door elkaar
4. a, b, c, d, e en f staan voor onbekende natuurlijke getallen.
Zet een kring om de breuken die gelijkwaardig zijn met
3a5a------- b b b+ +
b b b b b+ + + +--------------------------------------------
3 c+5 c+--------------- 21d
35d---------- 6e 9+
10e 15+----------------------- 30f 10+
50f 10+----------------------
5. Bedenk zelf nog een andere breuk met a in de teller en noemer die gelijkwaardig is met
6. Als je zomaar een waarde voor a kiest, dan zal aa 4+------------- waarschijnlijk niet
gelijkwaardig zijn met 35---
Er is één waarde voor a waarbij wèl geldt: aa 4+------------- 3
5---=
Welke waarde is dat?
1. Welke breuken liggen dichter bij elkaar: 56--- en 9
11------ of 8
13------ en 3
5--- ?
Leg uit hoe je het antwoord hebt gevonden.
2. Dezelfde vraag voor: 1k--- en 1
2k------- of 4
2k 1+---------------- en 3
2k 1+----------------
3. Bestaan er twee breuken die zo dicht bij elkaar liggen dat er geen enkeleandere breuk meer tussen past? Als je ja zegt, geef een voorbeeld van twee zulke breuken. Als je nee zegt, leg uit waarom niet.
Hierbij staat k voor een onbekend natuurlijk getal.
35---
35---
7. p staat voor een onbekend natuurlijk getal.
Stel dat p = 1. Klopt die gelijkheid dan?
Paul schrijft op: p3 p+------------- 2p
3 2p+-----------------+ 3p
6 3p+-----------------=
8. n en m staan voor onbekende natuurlijke getallen.
−
+
12n------- 1
6n------- 2
3--- n 1–
3n-------------
+ ×
−
25--- 10
m------ 5
6--- 18
5m---------
×
Vul passende breuken of helen in:
80
Deel B
Breuken optellen en aftrekken
15--- 1
20------+ 1
4---=
19
20
Parten optellen
tablet chocola
13--- 1
4---uur + uur = ........ minuten
121
2
3
4
56
7
8
9
10
11
klok
= ……------ uur
13--- 1
4---tablet + tablet = ........ stukjes
= ……------ tablet
1. Vul in:
Vul passende breuken in. Schrijf de breuken op zijn eenvoudigst.
13--- 1
6---tablet + tablet = ........ tablet
16--- 1
8---tablet + tablet = ........ tablet
58--- 5
12------tablet + tablet = ........ tablet
23--- 1
6---uur + uur = ........ uur
23--- 1
5---uur + uur = ........ uur
310------ 5
12------uur + uur = ........ uur
2. De koek bestaat uit 40 even dikke plakjes.
110------ 1
5--- koek + koek = ........ koek
110------ 1
4--- koek + koek = ........ koek
18--- 1
5---koek + koek = ........ koek
38--- 3
5---koek + koek = ........ koek
Vul passende breuken in.Schrijf de breuken op zijn eenvoudigst.
3. Bedenk nu zelf ook vier van zulke sommen (met de antwoorden).
21
Aanvullen en verkleinen
59--- + ...... = 1
19--- 1
3---+ + ...... = 1
4. Vul aan tot 1:
18--- 1
4---+ + ...... = 1
5. Vul aan tot het dichtstbijzijnde gehele getal:
234--- + ...... = 3
357--- + ...... = ......
738--- + ...... = ......
837--- + ...... = ......
269------ + ...... = 3
298------ + ...... = ......
227------ + ...... = ......
9811------ + ...... = ......
6. Verklein tot het dichtstbijzijnde gehele getal:
269
------ − ...... = 2
298
------ − ...... = ......
227
------ − ...... = ......
9811------ − ...... = ......
178------ − ...... = ......
179------ − ...... = ......
779------ − ...... = ......
997------ − ...... = ......
58--- + ...... = 1
712------ + ...... = 1
712------ 1
3---+ + ...... = 1
22
Kies gelijke noemers
34--- 1
5---+
68--- 9
12------
1216------
1520------
1824------
2128------
2432------
210------ 3
15------
420------
525------
630------
735------
840------
1520------ 4
20------+ = 19
20------
27---
38---+
414------ 6
21------
828------
1035------
1242------
1449------
1656------
616------ 9
24------
1232------
2156------
1540------
1848------
2464------
+ =
7. Vul passende breuken in:
8. Vul passende breuken in:
12--- 2
7---+ … …+ …= =
12--- 2
7---– … …– …= =
38--- 1
5---+ … …+ …= =
38--- 1
5---– … …– …= =
34--- 1
7---+ … …+ …= =
34--- 3
7---– … …– …= =
58--- 2
5---+ … …+ …= =
58--- 3
5---– … …– …= =
23
Breukenmuurtjes
1
14---
112------
114---
112------
1
19---
115---
115------
29---
112------ 1
4---
13---
112------ 1
4---+ 1
3---=
9. Vul de ontbrekende breuken of helen op de stenen in.
Spelregel: tel de getallen op twee ’buurstenen’ bij elkaar op en schrijf het antwoord op de steen die op die twee stenen rust.
34--- 3
8---1
4--- 1
12------ 1
3--- 1
2---
10. Maak nu zelf een breukenmuurtje met een heel getal in de bovenstesteen.
24
Op een getallenlijn11. De twee rode lijnstukken zijn steeds even lang.
0
1 2
13--- 3
4---
Welke breuk past er in het lege vakje? Welke som past daar bij?
1 2
14---
0 1 2
16--- 3
4---
0 1 2
23---
4445------
0 1 2
79---
59---
1
12---1
25
Opteltabellen
+12---
23---
34---
45---
12--- 1
3--- 1
4--- 1
5---
56---
+16---
17---
18---
19---
12--- 1
3--- 1
4--- 1
5---
12. Schrijf passende breuken in de vakjes.
+310------
+18---
38---5
6---
+ +
45--- 1 7
10------
1120------
910------
720------
18---
1
18---2
2 1
2 1
13. Maak zelf twee opteltabellen met breuken.
26
Sliert van sommenBij een ’sliert’ van sommen kun je de uitkomst van elke som ook vinden door de uitkomst van een vorige som te gebruiken.
14. Vul de antwoorden in:
12--- 1
3---+ 5
6---=
14--- 1
6---+ …=
14--- 1
6---
112------–+ …=
14--- 1
6--- 1
12------+ + …=
114--- 21
6--- 3 1
12------+ + …=
54--- 13
6------ 37
12------+ + …=
58--- 13
12------ 37
24------+ + …=
158
------ 3912------ 111
24----------+ + …=
14--- 15
8------ 39
12------ 111
24----------+ + …=+
27
De helft van de helft van de helft van ...
12--- 1
4---+ 3
4---=
12--- 1
4--- 1
8---+ + …=
12--- 1
4--- 1
8--- 1
16------+ + + …=
12--- 1
4--- 1
8--- 1
16------ 1
32------+ + + + …=
12--- 1
4--- 1
8--- 1
16------ 1
32------ 1
64------ 1
128---------- 1
256---------- 1
512---------- 1
1024-------------+ + + + + + + + + …=
15. Vul passende breuken in:
28
Vind de letterwaarden16. De letters a, b, c, d, e, f, g, h staan elk voor een heel getal.
a + b + c + d + e + f + g + h = 100
15--- 1
13------+ a
65------=
25--- 3
8---– b
40------=
47--- d
8---+ 53
56------=
1120------
e30------– 1
60------=
f100----------
125------– 1
50------=
3g--- 4
g---+ 7
11------=
h5--- h
10------+ 9
10------=
a = .......
514------ 2
21------+ 19
c------=
b = .......
c = .......
d = .......
e = .......
f = .......
g = .......
h = .......
Vind die acht getallen.
Als je het goed hebt gedaan, geldt:
29
Breuken in Egypte (1)
19. a. Ga na of de Egyptische splitsing van goed is.
17. Verklaar dat deze oplossing overeenkomt met de som:
In het Egypte van 4000 jaar geleden kondenze al heel goed rekenen met breuken. Datblijkt wel uit vraagstukken op papyrusrollen uitdie tijd. Een voorbeeld van zo’n vraagstuk is: Hoe moeten 7 broden eerlijk worden verdeeldonder 12 werkers ? De oplossing was als volgt:Breek alle broden in tweeën. Geef ieder eenhalf brood en verdeel de twee halve brodendie overblijven in zessen.
712------ 1
2--- 1
12------+=
18. Los op met de Egyptische methode: verdeel 8 broden over 15 werkers.
Schrijf ook de breukensom op die daarbij past.
De Egyptenaren gebruikten alleen breuken met teller 1, dus: 12--- 1
3--- 1
4--- 1
5--- enzovoort, , , ,
We noemen dit stambreuken.De enige uitzondering was de breuk 2
3--- die ze ’de twee delen’ noemden.
Alle andere breuken werden door de Egyptenaren gesplitst in twee of meer De noemers van die stambreuken waren dan verschillend.
Voorbeeld: wèl 27--- 1
4--- 1
28------+= 2
7--- 1
7--- 1
7---+=
27---
38--- … …+=
49--- … …+=
29--- … …+=
512------ … …+=
47--- … …+=
310------ … …+=
35--- … …+=
1118------ … …+=
1322------ … …+=
stambreuken. , maar niet
b. Splits nu in twee verschillende stambreuken:
30
Breuken in Egypte (2)20. Soms bestaan er verschillende splitsingen voor dezelfde breuk.
Voorbeeld: 712------ 1
2--- 1
12------+= , maar ook 7
12------ 1
3--- 1
4---+=
Controleer die twee splitsingen.
Geef nu twee splitsingen voor1130------
724------·
Ook voor
21. Bedenk zelf nog een andere breuk die je op twee manieren kunt splitsen.
22. Vaak zijn er meer dan twee stambreuken nodig bij een splitsing.
Voorbeeld: 45--- 1
2--- 1
5--- 1
10------+ +=
Geef de Egyptische splitsingen in drieën van:
78--- … … …+ +=
89--- … … …+ +=
1112------ … … …+ +=
2324------ … … …+ +=
Waarom zouden ze dat niet ook voor even noemers hebben gedaan?
van splitsingen van breuken met teller 2. Voor de noemers van de te splitsen breuken beperkten ze zich daarbij tot oneven getallen.
In de oudste van zulke lijsten zijn de noemers oneven en deelbaar door 3.Hiernaast zie je het begin van zo’n lijst.
29--- 1
6--- 1
18------+=
215------ 1
10------ 1
30------+=
221------ 1
14------ 1
42------+=
227------ 1
18------ 1
54------+=
........................
Probeer de volgende drie splitsingen te vinden.
23. De Egyptenaren maakten bij hun berekening vaak gebruik van het verdubbelen van de getallen. Daarom hadden ze lange lijsten gemaakt
31
De erfenis24. Een oude indiaan in het Andesgebergte schrijft in zijn testament hoe na zijn dood zijn kudde lama’s verdeeld wordt over zijn vier zonen.
Volgens dit testament zal de oudste zoon een derde deel van de kuddekrijgen, de tweede zoon een kwart en de jongste twee zonen (een tweeling) elk een vijfde van de kudde.
Een half jaar later sterft de indiaan en in de kudde zijn op dat moment59 lama’s. De vier zonen zitten met hun handen in het haar, want hoe moeten zij die nu verdelen?Ze vragen raad aan een indiaan die als zeer wijs bekend staat.Die zegt: ik heb 1 lama, die kun je van mij lenen en gebruiken bij deverdeling.Nu zijn er 60 lama’s en de oudste zoon krijgt dus 20 lama’s, de tweedezoon 15 en de jongste twee zonen elk 12 lama’s. Samen zijn dat er 59en zo krijgt de wijze indiaan zijn lama terug.
Een raar verhaal, maar met breuken kun je uitleggen hoe dat kan.Probeer het maar.
25. Bedenk zelf net zo’n verhaal maar nu over een vrouw met drie dochters.
32
Uitspraken over breuken26. Schrijf bij elke uitspraak of deze WAAR of ONWAAR is.
Bedenk zelf nog twee ware en twee onware uitspaken
25--- 3
7---+ 5
12------= 1 28
57------– 29
57------=
56--- 1
7---+ is kleiner dan 1
114--- 1
3---+ 3
4--- 5
6---+=
2 + 3 = 5 5 + 7 = 12
dus
58--- en 8
13------ liggen op de getallenlijn minder
van elkaar 1100----------dan
iedere niet-stambreuk tussen 0 en 1 is gelijkaan de som van twee stambreuken
17--- 2
7--- 3
7--- 4
7--- 5
7--- 6
7---+ + + + +
de uitkomst van
is een heel getal
18--- 2
8--- 3
8--- 4
8--- 5
8--- 6
8--- 7
8---+ + + + + +
de uitkomst van
is een heel getal
33
Samen één27. In een magisch breukenvierkant is de som van de breuken in elke
815------
13---
25---
horizontale rij, elke verticale rij en elke diagonaal gelijk aan 1.
Drie breuken zijn al ingevuld. Maak het magische vierkant af.
28. 12--- 1
6--- 1
8--- 1
10------ 1
12------ 1
40------+ + + + + 1=
Dat moet je natuurlijk niet zo maar geloven, maar narekenen!
Je kunt nu, bijna zonder rekenwerk, direct de uitkomst geven van 14--- 1
12------ 1
16------ 1
20------ 1
24------ 1
80------+ + + + +
Verklaar hoe dat kan.
Bedenk nu zelf een som van zeven verschillende stambreuken waar 1
Doe dit ook voor acht verschillende stambreuken.
29. Vul breuken in de ’optelboom’ in. Ze moeten allemaal verschillend zijn.
+
+
+
+
+ +
1
+
tel op
uit- komst
uitkomt.
34
Een zwembad vullen
Er zijn twee kranen waarmee men het badvol kan laten lopen. Met de ene kraanduurt het 3 uur voor het bad vol is,met de andere 5 uur.
30. Het water in het zwembad wordt regelmatig ververst.
Als beide kranen tegelijkertijd helemaal worden opengezet en precies1 uur lopen, is het zwembad voor iets meer dan de helft vol.
Leg dit uit met behulp van breuken.
Als na dit uur de kranen nog een half uur openstaan, is het bad voorviervijfde gevuld.
Leg dit ook uit.
Hoeveel minuten zijn er dan nog nodig om het bad geheel vol te krijgen?
35
Kringsommen12---
13---
56---
14---
34---
712------
31. Wat is het verband tussen de breukenin de rondjes en die in de vierkanten?
Tel de drie breuken in de rondjes bij elkaar op.Doe hetzelfde met de breuken in de vierkantjes.Vergelijk de beide uitkomsten. Wat voor bijzonders is daarmee?Hoe had je dat kunnen voorspellen zonder te rekenen?
Vul passende breuken (met zo klein mogelijke teller en noemer) in:
23---
15---
215------
316------
34---
1
821------
23---
914------
512------
13---
14---
36
De som van twee stambreuken (1)
1a--- 1
b---+
1a--- 1
b---+
32. a en b staan voor hele getallen die samen 17 zijn. Het getal a is kleiner dan b, maar groter dan 1.Kort opgeschreven: a + b = 17, a < b en a > 1.
Vul onderstaande tabel verder in:
a b a + b a × b
2
3
4
5
6
7
8
15 17
17
17
17
17
17
17
30 12--- 1
15------+ 17
30------=
33. a en b staan voor hele getallen die met elkaar vermenigvuldigd 210 alsHet getal a is weer kleiner dan b, maar groter dan 1. uitkomst geven.
Kort opgeschreven: a × b = 210, a < b en a > 1.
Vul onderstaande tabel verder in:
a b a + b a × b
2
3
5
6
7
10
14
105 107
210
210
210
210
210
210
210 12--- 1
105----------+ 107
210----------=
37
De som van twee stambreuken (2)34. Kijk nog eens goed naar de tabellen van de opgaven 32 en 33.
In alle gevallen is bij de som van de breuken 1b---1
a--- en
* de teller gelijk aan a + b en
* de noemer gelijk aan a × b
Dit kan op een korte manier zó in een formule worden opgeschreven:
1a--- 1
b---+ a b+
a b×-------------=
14--- 1
6---+ 5
12------=
Als bijvoorbeeld a = 3 en b = 5, dan staat er 13--- 1
5---+ 3 5+
3 5×------------- 8
15------= =
Bedenk nu zelf drie andere voorbeelden en controleer steeds of de
Klopt dit wel met de formule? Waarom?
a en b kunnen ook dezelfde waarde krijgen.
formule de goede uitkomst geeft.
Bijvoorbeeld: a = 7 en b = 7
Met de formule komt er dan: 17--- 1
7---+ 7 7+
7 7×------------- 14
49------= =
Geef commentaar.
Wat denk je van deze formule: 1a--- 1
a---+ 2
a---= ? Goed of niet ?
38
Alles bij elkaar
Breuken met dezelfde noemer tel je op door de tellers op te tellen.
Voorbeelden:
217------ 3
17------+ 5
17------=
1730------ 23
30------+ 40
30------ 4
3--- 11
3---= = =
Breuken met verschillende noemers kun je optellen door die breuken eerst gelijknamig (met gelijke noemers) te maken.Voorbeelden:
217------ 5
34------+ 4
34------ 5
34------+ 9
34------= =
1730------ 17
40------+ 68
120---------- 51
120----------+ 119
120----------= =
Breuken kun je van elkaar aftrekken door ze zo nodig eerst gelijknamig temaken en dan de tellers van elkaar af te trekken.
Voorbeelden:
1348------ 11
48------– 2
48------ 1
24------= =
1730------ 17
40------– 68
120---------- 51
120----------– 17
120----------= =
Stambreuken zijn breuken waarvan de teller gelijk is aan 1. Iedere niet-stambreuk die kleiner is dan 1 kan worden gesplitst in een serie verschillende stambreuken.
Voorbeelden:
1348------ 12
48------ 1
48------+ 1
4--- 1
48------+= =
2330------ 15
30------ 8
30------+ 1
2--- 4
15------+ 1
2--- 3
15------ 1
15------+ + 1
2--- 1
5--- 1
15------+ += = = =
39
Alles door elkaar
56--- 3
20------+ + ...... = 1
1. De koek bestaat uit 40 even dikke plakjes.
Is de koek op als 38--- deel en 3
5--- deel van
de hele koek zijn uitgedeeld?
Schrijf op hoe je je antwoord hebt gevonden.
2. Wat moet erbij? Vul aan tot het dichtstbijzijnde hele getal: 8112------ + ...... = ......
3. Vul een zo eenvoudig mogelijke breuk in:
4. Vraagstuk op een Egyptische papyrusrol:Hoe moeten 5 broden eerlijk worden verdeeld onder 8 werkers?
Schrijf de breukensom op die hoort bij deze vraag. Bedenk dat je alleen stambreuken mag gebruiken.
5. Schrijf bij elke uitspraak of deze waar of onwaar is. Leg uit waarom dat zo is.
a. 178--- 27
32------– is minder dan 1.
b. 29--- en 3
10------ zijn samen meer dan een half.
c. Als 2n--- 3
n---+ 1
2---= , dan is n gelijk aan 10.
6. Vul de opteltabel in (breuken zo eenvoudig mogelijk):
+25--- 1 8
15------
56---
116---
110------
7. Bedenk zelf een vraag of een opdracht die in dit deel (B) van het boek zou passen. Schrijf ook de oplossing op.
40
Deel C
Breuken vermenigvuldigen en delen
23--- 4
5---× 8
15------=
39
40
Sprongen op de getallenlijn
0 13---
1. De sprongen op de getallenlijn zijn even groot.Schrijf passende breuken of helen bij de deelstreepjes.
Welk eindpunt wordt bereikt na 42 sprongen vanuit 0?
En na 100 sprongen?
Dezelfde vragen, maar nu is de eerste sprong van 0 naar
0 25---
25---
2. Na hoeveel sprongen bereik je voor het eerst een heel getal?
0 37---
Welke hele getallen kun je bereiken als je almaar door blijft springen?
3. Maak de ’tafel van 49--- ’ tot je voor het eerst een hele uitkomst krijgt:
1 49---× 4
9---=
2 49---× =
3 49---× =
Maak zelf nog een andere vermenigvuldigingstafel voor een breuk totje een hele uitkomst krijgt.
41
Deel van een deel (1)
121
2
3
4
56
7
8
9
10
11
4. Vul in:
45--- uur = ..... minuten
45--- uur = ..... minuten2
3--- van
45--- uur = ..... uur2
3--- van
23--- uur = ..... minuten
23--- uur = ..... minuten4
5--- van
23--- uur = ..... uur4
5--- van
5. Vul passende breuken in:
6. Vul passende breuken in:
de helft van 815------ = .........
de helft van 115------ = .........
een derde van 15--- = .........
twee derde van 15--- = .........
van 37--- = .........
van 13--- = .........
13---
37---
van 13--- = .........
van 23--- = .........
67---
67---
16--- van 1
4--- tablet = .... tablet
18--- van 1
3--- tablet = .... tablet
58--- van 1
3--- tablet = .... tablet
56--- van 3
4--- tablet = .... tablet
42
Deel van een deel (2)7. Welk deel van elk van de zes figuren is gekleurd? Vul passende breuken in:
..... van ..... = ..... ..... van ..... = .....
..... van ..... = .......... van ..... = .....
..... van ..... = .......... van ..... = .....
14---3
4---
43
Heel maal deel en deel maal heel
4 17---× 1
7--- 1
7--- 1
7--- 1
7---+ + +=
=
17--- 4× van 4
8. Vul passende breuken in:
5 17---× …=
5 27---× …=
7 37---× …=
37--- 14× …=
67--- 28× …=
67--- 29× …=
7 15---× …=
7 25---× …=
5 45---× …=
35--- 20× …=
325------ 100× …=
325------ 105× …=
5 112------× …=
5 512------× …=
24 512------× …=
712------ 12× …=
712------ 72× …=
1112------ 144× …=
9. Vul passende hele getallen in:
… 38---× 11
2---=
… 38---× 71
2---=
… 49---× 8=
… 59---× 12
3---=
311------ …× 6=
411------ …× 32=
215------ …× 2
5---=
415------ …× 22
5---=
… 524------× 25=
1924------ …× 95=
… 1318------× 65=
518------ …× 31
3---=
47---
17---=
47---
44
Breuk maal breuk (1)
15--- 1
3---
115------van is 1
5---
13---× 1
15------=
45---
23---× …=
35---
38---× …=
59---
23---× …=
45--- 2
3--- …van is
35--- 3
8--- …van is
59--- 2
3--- …van is
10. Vul passende breuken in en licht je antwoord toe met een plaatje:
13---
23---
38---
23---
45
Breuk maal breuk (2)
12. Vul de passende hele getallen of breuken in:
81
13---× 1
9---×
…×
35
27---× 7
10------×
…×
48
512------× 3
5---×
…×
34---× …×
…×
11. Vul de passende breuken in:
75---× …×
…×
75
…× …×
…×
46
Teller maal teller en noemer maal noemer
13. Vul passende breuken of helen in:
59--- 4
7---× 5 4×
9 7×------------ 20
63------= =
59--- 4
7---× … …× 1
9---× 1
7---×=
14. Je weet natuurlijk: 5 + 8 is minder dan 5 × 8
Geldt nu ook: 513------ 8
13------+ is minder dan
513------ 8
13------× ?
15. Vul in: 1528------ …+ 1=
1528------ …× 1=
59--- … 1
9---×=
47--- … 1
7---×=
×
... × ...
Maak net zo’n schema bij:8
11------
35---×
= ……------
Licht je antwoord toe.
1528------ …– 1
2---=
1528------ …× 1
2---=
54--- 3
4---×en ook bij:
47
Vermenigvuldigtabellen
×12---
23---
34---
45---
12--- 1
3--- 1
4--- 1
5--- × 1
6--- 2
9--- 5
12------ 8
15------
16. Schrijf passende breuken of hele getallen in de vakjes.
×56---
× 25---1
7---
× ×
1
563------
17. Maak zelf twee vermenigvuldigtabellen met breuken.
12---
2
3
6
35--- 7
8---
845------
1835------
2132------
65--- 4
5---
16---
18---
18--- 1
48
Breukenbomen
×
+
×
+
×
+
16--- 2
3--- 7
30------
16--- 2
3--- 7
30------
+
×
+
38---
12---
25---
18. Vul passende breuken in:
49
Vind de letterwaarden19. De letters a, b, c, d, e, f, g, h staan elk voor een heel getal.
a + b + c + d = e + f + g + h
35--- 25× a=
35--- b× 21=
3d--- 56× 21=
221------ e
8---× 1
4---=
57--- 3
f---× 3
14------=
g24------ 8
9---× 2
3---=
16h------ 7
8---× 1=
a = .......
c6--- 24× 20=
b = .......
c = .......
d = .......
e = .......
f = .......
g = .......
h = .......
Vind die acht getallen.
Als je het goed hebt gedaan, geldt:
50
Breuken en oppervlakte
1
312---
213--- 2
3
312--- bij 21
3--- cm.
Vul in: 312--- 21
3---× 7
2--- 7
3---× …= =
Klopt je antwoord met dat van de vorige vraag?
21. De rechthoek hieronder is
Bereken de oppervlakte op twee manieren:* door de rechthoek handig in vier stukken te verdelen.* door direct lengte maal breedte uit te rekenen.En natuurlijk ga je na of de twee uitkomsten met elkaar kloppen!
314---
423---
423--- bij 31
4--- cm
22. Bedenk zelf zo’n soort opgave. Geef ook het antwoord.
20, Het gekleurde rechthoekje is 12--- cm bij 1
3--- cm. 1
Hoeveel cm2 is de oppervlakte van dat rechthoekje?
De rechthoek hiernaast is A B
DC
De rechthoek is verdeeld in de delen A, B, C en D.Vul de tabel in:
deel
oppervlakte
A B C D
Hoeveel cm2 is de oppervlakte van de gehele rechthoek?
1 cm2
51
Romeinse fontein
I IIIII IV
23---1
3---
14---
45--- 1
5---
12---
13--- 2
3---
12---3
4---
56---1
6---
23.
Uit de bovenste schaal van de Romeinse fontein gaat 13--- van het water
naar de schaal links eronder en 23--- naar de schaal rechts eronder.
Bij elke schaal is aangegeven hoe de verdeling van het water naar linksen rechts is. Van de hoeveelheid water uit de kraan gaat 1
15------ naar schaal I.
Laat met een berekening zien dat dit klopt.
Bereken welk deel van het water uit de kraan naar schaal II gaat.
Doe dat ook voor schaal III.
En voor schaal IV.
Tel de vier uitkomsten bij elkaar op.
52
Delen door een breuk (1)24. Bij een rekentest die precies 1 uur duurt, krijgt de leerling per opgave
3 minuten de tijd. Het aantal vragen is dan dus 60 : 3 = 20.
De leraar vindt bij nader inzien dat 212--- minuut per vraag voldoende
tijd is. Dan kan hij meer opgaven vragen.
Hoeveel opgaven kan hij nu geven in 60 minuten?
Leg uit hoe je je antwoord gevonden hebt.
Vul in:
60 : 212--- = .... 60 : 11
2--- = .... 60 : 1
2--- = ....
0 60313---
313--- 31
3---
Na hoeveel stappen kom je uit bij 60?
25. Op de getallenlijn hieronder worden stappen van
45 : 214---
116---
313--- gemaakt.
623---
60 : 313--- = .... Vul in:
0 45214---
214--- 21
4---
412---
Bereken
Bereken ook 42 :
53
Delen door een breuk (2)
21 : 12--- = .... 21 : 1
4--- = .... 21 : 3
4--- = ....
26. Vul in:
16 : 13--- = .... 16 : 2
3--- = .... 16 : 4
3--- = ....
18 : 15--- = .... 36 : 2
5--- = .... 36 : 4
5--- = ....
27.
5 : 19--- = ....
121
2
3
4
56
7
8
9
10
1156--- : 1
4--- = 31
3---
Leg uit dat dit klopt met behulp van de klok.
Vul passende breuken in en leg uit hoe je gerekend hebt.
56--- : 1
3--- = ........
710------ : 1
3--- = ........
1720------ : 5
12------ = ........
512------ : 1
4--- = ........
730------ : 1
5--- = ........
56--- : 7
60------= ........
54
Delen door een breuk (3)
28. Hoe vaak gaat 6 in 9 ?
Hoe vaak gaat 611------ in 9
11------ ?
Wat is de uitkomst van 931------ : 6
31------ ?
n staat voor een heel getal, maar je weet niet voor welk.
Toch kun je de uitkomst weten van 9n--- : 6
n---
Wat is die uitkomst?
29. n staat voor 1, 2, 3, 4, ....Vul zo eenvoudig mogelijke breuken of helen in:
8n---
5n---
23---
212---
8 4 2
5
Bereken:
212--- …=4 :
516------ …= :1
2---
114--- …=2 :
56--- …= : 11
3--- 5
7--- …= : 11
7---
123--- …= : 22
3---
30. Bereken:
!
25--- …= :12
25------
35--- …= :18
25------
225------ …= :2
5---
225------ …= :3
5---
45--- …= :6
7---
67--- …= :4
5---
76--- …= :5
4---
56--- …= :5
4---
17--- …= :1
3---
317--- …= :71
3---
58--- …= :3
5---
135--- …= :15
8---
55
Breedte, hoogte en oppervlakte
113---
112---
31. Bereken de oppervlakte van de rechthoek:
Vul in: 2 : 112--- = .... 2 : 11
3--- = .... en
32. Bereken de breedte van de rechthoek.
123--- 3
?
?
Hoe kun je je antwoord controleren?
33. Van een rechthoek is de oppervlakte 6 cm2.
Als je weet dat de breedte en de hoogte een heel aantal cm is, welke mogelijkheden zijn er dan?
Hieronder zie je een tabel, waarbij de breedte steeds middentussen twee hele getallen in zit.Vul de bijpassende hoogte in:
breedte hoogte
112---
212---
312---
412---
56
Vermenigvuldigen en delen
5
: 2
12---×
212---
34. Voorbeeld:
Vul in:
5
: 12---
…×5
: 32---
…×
10
: 3
…×
: 13---
…×
15
: 52---
…×
: 54---
…×
20 15
…×
: ...
10
15
20 28
…×
: ...
308×
: ... 30
…×
: 23---
57
Uitspraken over breuken35. Schrijf bij elke uitspraak of deze WAAR of ONWAAR is.
Delen door 14--- komt op hetzelfde neer
als vermenigvuldigen met 4.
Twee breuken kun je vermenigvuldigendoor ze gelijknamig te maken en dan de tellers te vermenigvuldigen.
80 : 313--- is gelijk aan 8 × 3
Als je een getal deelt door 35---
je eerst delen door 3 en daarnamet 5 vermenigvuldigen
212---41
4--- : = 2
Een vijfde van een zesde is een elfde
37--- gaat even vaak in 6
als 3 in 42
89--- 7
8---: is groter dan 1
Bedenk zelf ook 2 ware en 2 onware uitspreken over het vermenigvuldigen of delen van breuken.
kun
58
Alles bij elkaarBreuken kun je met elkaar vermenigvuldigen door zowel de tellers alsde noemers met elkaar te vermenigvuldigen.
Voorbeelden: 811------ 4
9---× 32
99------=
127------ 5
6---× 60
42------ 10
7------ 13
7---= = =
Breuken met verschillende noemers kun je op elkaar delen door ze gelijknamig te maken en daarna de tellers op elkaar te delen.
Voorbeelden: 611------ : 3
22------
1222------ : 3
22------ 12 : 3 4= = =
37--- : 5
6---
1842------ : 35
42------ 18 : 35 18
35------= = =
Breuken met dezelfde noemer kun je op elkaar delen door de tellers op elkaar te delen.
811------ : 4
11------ 8 : 4 2= =
127------ : 5
7--- 12 : 5 12
5------ 22
5---= = =
Voorbeelden:
Als je een heel getal door een breuk deelt, kun je een vermenigvuldiging maken van dat getal met het omgekeerde van die breuk.
Voorbeeld:
10 : 56--- 10 6
5---× 60
5------ 12= = =
Als je een breuk door een breuk deelt, kun je ook een vermenigvuldiging maken van de eerste breuk met het omgekeerde van de tweede breuk.
Voorbeelden: 1
10------ : 5
6---
110------ 6
5---× 6
50------ 3
25------= = =
56--- : 1
10------
56--- 10× 50
6------
253------ 81
3---= = = =
59
Alles door elkaar1. Vul in:
Als je van een breuk de teller met 2 vermenigvuldigt, dan wordt de breuk ..... maal zo ...... Als je van een breuk de noemer met 2 vermenigvuldigt, dan ............................................ Als je van een breuk de teller én de noemer met 2 vermenigvuldigt, dan ............................................. Als je van een breuk de teller met 3 én de noemer met 2 vermenigvuldigt, dan .............................................
2. Vul zo eenvoudig mogelijke breuken in:32--- 4
7---× …=
23--- 4
7---× …=
316------ 8
9---× …= 8
15------ 5
6---× …=
316------ 11
8---× …= 17
8--- 11
5---× …=
3. Het vierkant is verdeeld in vier rechthoeken met verschillende oppervlakte.Schrijf in elke rechthoek de breuk die bij zijn oppervlakte hoort.
38--- 5
8---
13---
23---
Tel de vier breuken die je hebt ingevuld bij elkaar op.Hoe had je de uitkomst ook direct kunnen ’zien’?
4. Je maakt vanuit het punt 0 sprongen van 49--- op de getallenlijn.
Na hoeveel sprongen bereik je het punt 20? .............
5. Vul zo eenvoudig mogelijke breuken of helen in:
36 : 49--- …=
36 : 94--- …=
316------ : 1
8--- …= 3
5--- : 3
4--- …=
18--- : 3
16------ …= 11
5--- : 3
4--- …=
60
Deel D
Breuken en
algebra
1
25 1 7
433
9 2 15 97
512
1127
25
n 2+3n
-------------
59
60
Rekenen met stroken (1)
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n staat voor een onbekend natuurlijk getal
Met 2n wordt bedoeld 2 × n en dus ook n + n
2n 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Vul in: met 3n wordt bedoeld ........ en dus ook ....................
3n
Vul ook de vakjes van de strook in:
1.
Tel de getallen van de twee laatste stroken paarsgewijs op en schrijf de uitkomsten in de ’optelstrook’:
Wat kun je op het etiket van de optelstrook schrijven?
2. Vul de getallen op de stroken in:
2n − 1 1 3 5
3n + 2 5 8 11
6 11 16
+
Wat kun je op het etiket van de optelstrook schrijven?
3. Maak zelf twee stroken met etiket 4n + 1 en 4n − 2.Maak ook de optelstrook en vul het etiket in.
61
Rekenen met stroken (2)
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2n---
4n---
23--- 1
2---2 1
4
+
6
4. Vul passende breuken (zo eenvoudig mogelijk) of helen in de vakjes in:
Wat kun je op het etiket van de derde strook schrijven?
5. Dezelfde opdracht voor:
32n-------
12n-------
+
12---
32---
14---
34---
2
Ook voor:
65n-------
1n---
-
12---
65--- 3
5---
1
15---
62
Rekenen met onbekende noemersn staat weer voor een onbekend natuurlijk getal
6. Vul passende breuken in:
2n--- 3
n---+ 5
n---= 8
n--- 1
n---– …= 5
n--- …+ 6
n---= 11
n------ …– 4
n---=
13--- 6
n---× …= 8
n--- 3
8---× …= 8
n--- …× 6
n---= 6
n--- …× 8
n---=
7. Vul passende breuken in:
3n--- 1
2n-------+ …
2n-------
12n-------+ …= =
2n--- 1
3n-------+ … …+ …= =
12n------- 1
4n-------– … – … …= =
65n------- 1
n---– … … –= …=
+
−
32n------- 5
4n------- 3
4n------- 2
n---
+
+
−
112n----------
16n------- 1
3n------- 1
4n-------
+
8. Vul passende breuken in de bomen in:
63
Een breuk met onbekende teller en noemert en n staan voor twee natuurlijke getallen, maar je weet niet welke.Wat je wel weet is dat
tn--- 8
3---=
9. Vul in:
als t = 808, dan n = .....
als t = 1000, dan n = .....
als n = 48, dan t = .....
als n = 96, dan t = .....
10. Ook al weet je niet hoe groot t en n elk zijn, toch kun je wel weten wat de waarde is van de volgende breuken.Zoek dat uit en vul de waarden in:
t3n------- …= 5t
n----- …= 3t
8n------- …=
tn--- 1+ …= t n+
n------------- …= t n–
n------------ …=
11. Leg uit waarom je niet de waarde kunt weten van de breuk t 1+
n-----------.
12. Bedenk zelf nog een paar breuken met t en n waarvan je wél en waarvan je niét de uitkomst kunt weten.
als t + n = 99, dan t = ..... en n = .....
t 8 16 24 32
n 3 6 9 12
Dus
64
Een strook met breuken
n 2+n 5+------------- 4
7---
n = 1, 2, 3, 4, ....
13. Vul op de strook zo eenvoudig mogelijke breuken in:
Als je voor n bijvoorbeeld 22 neemt, komt er n 2+n 5+------------- 24
27------ 8
9---= =
In dat geval is de breuk dus te vereenvoudigen.
Er zijn heel veel waarden van n waarbij de breuk n 2+n 5+------------- vereenvoudigd
kan worden. Die getallen vormen van klein naar groot een mooie rij. Schrijf de eerste tien getallen van die rij op.
Er zijn oneindig veel waarden van n, waarbij vereenvoudiging
van n 2+n 5+------------- mogelijk is. Waarom weten we dat zo zeker?
Hoe groot is n als n 2+n 5+------------- 17
20------= ?
14. Als een breuk kleiner dan 1 is , dan noemen we de aanvulling tot 1wel het complement van die breuk.
37---
Zo is bijvoorbeeld het complement van 47--- gelijk aan 3
7---
Vul de strook met complementen van de breuken n 2+n 5+------------- in.
Welke breuk kun je op het etiket van de strook schrijven?
En als n 2+n 5+------------- 97
100----------= ?
65
Breuken vereenvoudigen
15. Schrijf de volgende breuken zo eenvoudig mogelijk:
a, b, c en d staan op deze bladzijde voor onbekende natuurlijke getallen.
3a5a------- …= b b+
b b b+ +------------------------ …= c
c--- …= d
14d---------- …=
4a8a------- …= 12b
15b---------- …= 25c
35c---------- …= 33d
44d---------- …=
We vertellen je nu iets meer over a, b, c en d.
b is 2 keer zo groot als a, ofwel b = 2a.
Verder geldt ook: c = 5a en d = 8a.
16. Nu je dit weet, kun je de waarde geven van de volgende breuken:
bc--- …= a
d--- …= b c+
d------------- …= b a–
d c–-------------- …=
Bereken ook:
cd--- a
b---– …=
cd--- a
b---+ …= c
d--- a
b---× …=
cd--- : a
b--- …=
17. Jeffrey denkt dat a b c d+ + +4a 3b 2c d+ + +-------------------------------------------- gelijk is aan a
4a-------
b3b-------
c2c-------
dd---+ + +
Wat vind jij? Leg uit waarom je dat vindt.
66
Groter en kleiner (1)18. Welke breuk heeft de grootste waarde: 5
18------ of 1
3--- ?
Leg uit hoe je aan je antwoord komt.
Dezelfde vraag voor:
Hoe zit het dan met:
185------ en 7
2---
518------ en 2
7--- ?
19. Welke breuken liggen dichter bij elkaar: Leg uit hoe je aan je antwoord komt.
Nog een keer met:
20. n staat voor een onbekend natuurlijk getal tussen 10 en 100.
Al ken je de waarde van n niet, toch kun je zeggen welke van de twee
breuken
Welke is dat en waarom?
2n--- en 2
n 1+------------- de grootste waarde moet hebben.
Dezelfde vraag voor 3n--- en 3
n 1–-------------
Ook voor 2n--- en 4
2n 1+------------------
13--- en 2
3--- of 1
4--- en 9
16------ ?
0 01 113--- 2
3--- 1
4--- 9
16------
Dezelfde vraag met: 13--- en 3
4--- of 1
4--- en 2
3---
0 01 113---
14---
23---3
4---
38--- en 2
5--- of 1
7--- en 1
6---
0 138--- 2
5--- 0 11
6---1
7---
67
Groter en kleiner (2)
22.
De breuk 5n--- ligt ergens tussen 1
4--- en 1
2---
Welke getallen kan n zijn?
n staat voor een natuurlijk getal.
14--- 1
3---
12n------
?
14--- 1
2---
5n---
?
23--- 3
4---
24n 1+-------------
?
110------ 1
5---
32n-------
?
45--- 9
10------
nn 1+-------------
?
..............................................................
n kan zijn ..........................
n kan zijn ..........................
n kan zijn ..........................
n kan zijn ..........................
21.
Wat is de kleinste waarde die de breuk n150---------- kan hebben?
En wat is de grootste waarde?
10n 5+-------------
2526 27 28
75747372
n staat voor een natuurlijk getal, niet kleiner dan 25 en niet groter dan 75.
n
Vul passende breuken in:
n 5+150
------------- 5n 10–---------------- n
n 25+----------------
grootste waarde
kleinste waarde
n150---------- 5
n---
68
Gemiddelde snelheid
23. Bob fietst met sterke wind in de rug naar de brievenbus (1 km ver) om een brief te posten. Zijn snelheid is 24 km per uur.Hij gaat direct terug, maar nu haalt hij maar 12 km per uur.Hij beweert dat zijn gemiddelde snelheid over de hele rit gelijk is aan het gemiddelde van 24 en 12, dus 18 km per uur.
Wat vind jij van de uitspraak van Bob?
Als je niet weet hoe ver Bob van de brievenbus af woont, kun je toch zijngemiddelde snelheid over de heen- en terugweg berekenen!Stel de afstand is a km.
Hoeveel tijd heeft hij nodig voor de totale rit? ................................
Voor de heenweg heeft hij dan nodig: a24------ uur.
En hoeveel km per uur is dus zijn gemiddelde snelheid?
24 km/u
12 km/u
Om te kunnen zeggen of Bob gelijk heeft of niet moet je wel wetenwat er precies wordt bedoeld met gemiddelde snelheid.
De afspraak is dat die wordt berekend door de totale gereden afstand te delen door de totale tijd waarin dat is gebeurd.
Hoeveel tijd heeft Bob nodig voor de heenweg? .............................En voor de terugweg? ................................
Bereken nu Bob’s gemiddelde snelheid in km per uur.
69
Vazen en breuken (1)
In een vaas zitten 15 kralen.4 kralen zijn blauw de rest is wit.
+
Dus: 415------ deel van de kralen in de vaas is blauw
24.
Vul in: ……------- deel van de kralen in de vaas is nu blauw
Welke breuk is groter 415------ of 5
16------ ?
Hoe kun je dit weten zonder te rekenen?
25. In een vaas zitten 10 blauwe kralen en een helebooel witte, maar je weet niet hoeveel.
Noem het totale aantal kralen k.
Welke breuk is groter 10k------ of 11
k 1+-------------?
+
+
Welke breuk is groter 11k 1+------------- of 11
k 2+------------- ?
Kunnen 10k------ en 11
k 2+------------- dezelfde waarde hebben?
Zo ja, hoe groot moet k dan zijn?
Hoe weet je dat?
Hoe weet je dat?
70
Vazen en breuken (2)
415------ 8
15------
26.
Welk deel van de kralen in vaas C is blauw?
A B
C
De breuk die bij vaas C hoort., ligt tussen de breuken bij A en B. Hoe zit dat?
27.In elk van twee vazen A en B zitten k kralen.
Het aantal blauwe kralen in de ene vaas is 10 en in de andere vaas 15.
De kralen van de twee vazen worden bij elkaar gedaan in een nieuwe vaas C.
Bij de blauwe delen van A, B en C horen drie breuken.
De rest van de kralen is wit.
Welke breuken zijn dat?
Magali zegt: ’de breuk bij C ligt precies midden tussen de breuken bij A en B’
Zoek uit of dat klopt.
71
Op de getallenlijn
0 1n--- 2
n---
28. Geef op de getallenlijn de plaats aan van:
s 25--- 1
3---+= v 2
5--- 1
3---–= p 2
5--- 1
3---×= q 2
5--- : = 1
3---,, en
t 2 1+5 3+-------------=
Geef ook de plaats aan van s + v en van q − p
29.
0 13--- 2
5--- 1
n staat voor een groot natuurlijk getal.
3n--- 4
n--- 5
n--- 6
n--- 7
n---
8n---
Op een beginstuk van de getallenlijn zijn acht breuken met noemer n aangegeven.
Welke breuken passen bij de tussenstreepjes?
Hieronder zie je twee stukken van de getallenlijn vergroot en in gelijke stukken verdeeld.
Schrijf passende breuken bij de deelstrepen.
4n---1
n--- 2
n--- 3
n---
30. De getallenlijn van de vorige opgave is nu vanaf 1 getekend.
1 n 1+n
------------- n 2+n
------------- n 3+n
------------- n 4+n
------------- n 5+n
------------- n 6+n
------------- n 7+n
------------- n 8+n
-------------
nn---
Vul in:
1 5n---+
………n
------------------=n 3+n
------------- 1n---+
………n
------------------= n 4+n
------------- 3n---+
………n
------------------=
Tussen welke twee streepjes is de plaats van t?
72
Breuken vermenigvuldigenOp deze bladzijde staan k, m en n voor onbekende natuurlijke getallen.
31. Vul passende breuken in:
12--- 2
k---× …=
23--- 3
m-----× …=
34--- 4
n---× …=
12--- 1
2k-------× …=
23--- 1
3m---------× …=
34--- 4
3n-------× …=
k2--- 2
k---× …=
2m3
--------- 3m-----× …=
3m4
--------- 4n---× …=
Dezelfde opdracht voor:
13--- …× 2
k---=
23--- …× 3
m-----=
34--- …× 4
n---=
12--- …× 1
2k-------=
23--- …× 1
3m---------=
34--- …× 4
3n-------=
k2--- …× 2=
2m3
--------- …× 1=
3m4
--------- …× n=
32. Vul passende breuken of helen in:
kn---
start
12---×
3×
25---×1
k---×
5×
13---×
n× m×38---×
43---×
6×
nm-----×
23---×2
k---×1
4---×
einde
73
Bewerkingen door elkaar
7 12k------- × 1
2--- 23
k------× ………………=+ ……=
76--- 4
p--- × 5
2--- 4
3p-------×– ………………= ……=
k, m, n en p staan op deze bladzijde voor natuurlijke getallen.
34. Vereenvoudig tot één breuk:
×
+
12--- 14
n------ 1
3--- 9
n---
×
33. Vul passende breuken in:
×
−
23--- 24
m------ 1
5--- 75
m------
×
kp--- p
2k------- × m
n----- n
3m---------×– ………………= ……=
9m----- m
n----- × k
n--- 11
k------× ………………=+ ……=
35.
1m----- : 1
5--- …=
4m----- : 4
5--- …=4
m-----
54---× …=4
m-----
58---× …=28
m------
58---× …=
28m------ : 8
5--- …= 56
m------ : 16
5------ …= 56
p------ : 16
5------ …= 56
3p------- : 16
5------ …=
56
3p------- : 31
5--- …=31
5--- : 56
3p------- …=62
5--- : 56
3p------- …=62
5--- : 28
3k------- …=
625---
3n28-------× …= 32
5------
3n14-------× …= 64
5------
3n28-------× …= 5
64------
283n-------× …=
564------
283n-------× 13
6------
18n-------×+ …=
start
einde
Vul zo eenvoudig mogelijke breuken in. Reken je elk blokje apart uit of kan het
handiger?
74
Een zwembad vullen
Als de kraan wordt opengezet duurt het 3 uur voordat het zwembad vol is.
36. Het water in het zwembad wordt regelmatig ververst.
Er wordt een tweede kraan bijgeplaatst zodat als beide kranen open staan, het precies 2 uur duurt voor het zwembad vol is.
In hoeveel uur kan de nieuwe kraan in zijn eentje het zwembad vullen?
In een groter zwembad wil men drie kranen gebruiken. Samen moeten ze het bad weer in precies 2 uur volkrijgen.
De kraan met de grootste capaciteit doet er x uur over om het badvol te krijgen, die met de één na grootste capaciteit doet er y uur over en die met de minste capaciteit z uur.
1x--- 1
y--- 1
z---+ + 1
2---=
Er worden drie kranen besteld met elk een andere capaciteit.
Hierbij zijn x, y en z natuurlijke getallen.
Beredeneer dat moet gelden:
Zoek uit welke zes mogelijkheden er zijn voor x, y en z.
75
Gelijkwaardige breuken
teller
noemer
10
22
11 12 13 14 159876
23 24 25 26 2721201918
37. Hieronder zijn 10 en 20 met elkaar verbonden. 1
2---
Verbind ook andere getallen die bij horen bij breuken die gelijkwaardig 12---
zijn met .
Verbind nu paren die horen bij 23---
.
teller
noemer
44
64
45 46 47 48 4943424140
65 66 67 68 6963626160
1020------ is gelijkwaardig met De breuk
Je telt 18 op bij de teller. Welk getal moet je bij de noemer optellenom weer een breuk te krijgen die gelijkwaardig is met
Vul passende getallen in:
4590------ 45 23+
90 …+--------------------- 45 …+
90 88+------------------- 45 …+
90 …+-------------------= = = 60
90------ 60 16+
90 …+------------------- 60 …–
90 33–-------------------- 60 …+
90 …+-------------------= = =
a staat voor een onbekend heel getal. Welke uitspraken zijn zeker waar, welke niet?
38. Van een breuk is de waarde gelijk aan
4590------ 45 a+
90 2a+--------------------= 60
90------ 60 a+
90 2a+--------------------= 25
75------ 25 a+
75 3a+--------------------=
4590------ a 1+
2a 1+----------------=60
90------ 6 2a+
9 3a+----------------= 21
84------ 25a
100a-------------=
.
.
12---
12--- ? ..............
.
76
Maak dat het klopt
bedek 2 + 5x
2 + 5x = 12
5x = 10
x = ?12 5x+---------------- 1
12------=
1xxxx------------ 1
12------=
Voorbeeld:
x = 2
2 + 5x = 12bedek 5x
425 2x+---------------- 2=
4x 5+18
---------------- 12---=
58 3x+---------------- 1
4---=
157x 1–---------------- 3
4---=
39. Vind de waarde voor x waarbij de gelijkheid klopt.
1003x 4+---------------- 10=
23 4x+---------------- 2
7---=
77
Uitspraken over breuken
3n--- 4
n---+ 7
n---=
12n
------ : 4n--- 3=
3n--- 4
n---× 12
n------=
5a5b------- a
b---=
5 a+5 b+-------------- a
b---=
13n------- 1
6n-------+ 1
2n-------=
6b5b------- 11
5---=
34--- 4
n---× 3
n---=
3n--- : 3
4--- 4
n---=
103n------- 3 1
3n-------+=
5 a+a
-------------- 5a--- 1+=
an--- b
n---+ a b+
2n-------------=
40. a, b, n stellen willekeurige natuurlijke getallen voor. Schrijf bij elke uitspraak of deze WAAR of ONWAAR is.
45n------- 3
4n-------– 1
n---=
7 b+42 6b+-------------------- 1
6---=
Bedenk zelf ook 2 ware en 2 onware uitspraken over ’algebrabreuken’.
78
Alles bij elkaar
Bij optellen en aftrekken van breuken kun je het beste eerst de noemers gelijk maken. Er geldt:
Op deze bladzijde staan a, b, n en m voor willekeurige natuurlijke getallen.
an--- b
n---+ a b+
n-------------=
an--- b
n---– a b–
n--------------=en
Voorbeelden:
2n--- 1
5n-------+ 10
5n------- 1
5n-------+ 11
5n-------= =
a4--- 3a
8-------+ 2a
8------- 3a
8-------+ 5a
8-------= =
2b5m--------- b
3m---------– 6b
15m------------ 5b
15m------------– b
15m------------= =
Bij vermenigvuldigen van breuken heeft het geen zin om de breuken gelijknamig te maken. Je kunt én de tellers én de noemers met elkaar vermenigvuldigen. Er geldt:
an--- b
m-----× a b×
n m×---------------=
Voorbeelden: 7
3n------- a
4---× 7a
12n----------=
73--- a
14------× 7a
42------- a
6---= =
100n
---------- 310------× 30
n------=
Bij het delen van een breuk door een andere breuk heeft het wel zin om die breuken gelijknamig te maken. Er geldt:
an--- : b
n--- a
b---=
Voorbeelden:
a2--- : b
3--- 3a
6------- : 2b
6------- 3a
2b-------= =
35n------- : 1
2n------- 6
10n---------- : 5
10n---------- 6
5--- 11
5---= = =
a5n------- : b
6n------- 6a
30n---------- : 5b
30n---------- 6a
5b-------= =
79
Alles door elkaar
4. a, b, c, d, e en f staan voor onbekende natuurlijke getallen.
Zet een kring om de breuken die gelijkwaardig zijn met
3a5a------- b b b+ +
b b b b b+ + + +--------------------------------------------
3 c+5 c+--------------- 21d
35d---------- 6e 9+
10e 15+----------------------- 30f 10+
50f 10+----------------------
5. Bedenk zelf nog een andere breuk met a in de teller en noemer die gelijkwaardig is met
6. Als je zomaar een waarde voor a kiest, dan zal aa 4+------------- waarschijnlijk niet
gelijkwaardig zijn met 35---
Er is één waarde voor a waarbij wèl geldt: aa 4+------------- 3
5---=
Welke waarde is dat?
1. Welke breuken liggen dichter bij elkaar: 56--- en 9
11------ of 8
13------ en 3
5--- ?
Leg uit hoe je het antwoord hebt gevonden.
2. Dezelfde vraag voor: 1k--- en 1
2k------- of 4
2k 1+---------------- en 3
2k 1+----------------
3. Bestaan er twee breuken die zo dicht bij elkaar liggen dat er geen enkeleandere breuk meer tussen past? Als je ja zegt, geef een voorbeeld van twee zulke breuken. Als je nee zegt, leg uit waarom niet.
Hierbij staat k voor een onbekend natuurlijk getal.
35---
35---
7. p staat voor een onbekend natuurlijk getal.
Stel dat p = 1. Klopt die gelijkheid dan?
Paul schrijft op: p3 p+------------- 2p
3 2p+-----------------+ 3p
6 3p+-----------------=
8. n en m staan voor onbekende natuurlijke getallen.
−
+
12n------- 1
6n------- 2
3--- n 1–
3n-------------
+ ×
−
25--- 10
m------ 5
6--- 18
5m---------
×
Vul passende breuken of helen in:
80
