Deel 1Visies op wiskundeonderwijs

• Groepsopdracht: Positieve en negatieve elementen van huidige eindtermen/leerplan

• Teksten bij hoofdstuk 1

• Drie visies nader bekeken

• Stand-van-zaken in Vlaanderen

• Besluit

Opdracht

• Groepen vormen van 4 à 6 cursisten, bij voorkeur per niveau (kleuter, onderbouw BaO, bovenbouw BaO)

• Kritische reflectie op ontwikkelingsdoelen / eindtermen en op leerplan wiskunde– Hoe tevreden ben je over huidige eindtermen/leerplan?

– Als je lid zou zijn van de nieuwe eindtermen/leerplancommissie, welke positieve elementen zou je zeker willen behouden

– En welke aanpassingen (veranderingen, inperkingen, uitbreidingen…) zou je voorstellen?

1. Tekst bij Deel 1

• Verschaffel, L. (1995). Visies op wiskunde-onderwijs. In L. Verschaffel & E. De Corte (Red.), Naar een nieuwe reken/wiskunde-didactiek voor de basisschool en de basiseducatie (pp. 95-128). Leuven: ACCO.

2. Drie visies nader bekeken

• Mechanistische visie

• Structuralistische visie (Moderne wiskunde als voorbeeld)

• Realistische visie (soms ook: constructivistische visie)

Praktijkvoorbeeld 1

• Leren cijferend vermenigvuldigen volgens een oude rekenmethode

Leren cijferend vermenigvuldigen volgens een oude rekenmethode

Mechanistische visie: kenmerken

• Wiskunde opgevat als een geheel van losstaande elementen die stuk voor stuk (aan)geleerd moeten worden

• Veel aandacht voor memoriseren en automatiseren; weinig aandacht voor inzicht in begrippen en begripsmatige verbanden (zie vb op volgende slide)

• Informatie-overdracht en demonstratie door de leerkracht (“teaching by telling”), gevolgd door veelvuldig inoefenen

• Eén opgelegde standaardaanpak per opgaventype• Sterk prestatiegericht onderwijs• Weinig aandacht voor hogere-orde vaardigheden en voor niet-

cognitieve aspecten van wiskundeleren• Sterk individueel gericht, schriftelijk onderwijs

Een breuk delen door een breuk: een bekend geheugensteuntje in the US

« Ours is not to reason why, just invert and multiply »

« Het is niet aan ons om dit te (proberen) begrijpen; het enige wat ons te doen staat is: (de getallen uit de tweede breuk) omkeren en (beide breuken dan)

vermenigvuldigen »

Reacties op de mechanistische visie (rond 1960-70)

• Structuralistische visie (vb. Moderne Wiskunde in België)

• Realistische visie (vb. Realistisch wiskundeonderwijs in Nederland)

Praktijkvoorbeeld 2

• Werken in verschillende talstelsels: een uittreksel uit een modelles uit de brochure van de Pedagogische Week 1976, georganiseerd door het Belgisch Ministerie van Nationale Opvoeding en Cultuur, die helemaal gewijd is aan de “Moderne Wiskunde”

Opdracht

• Vorm groepjes van 2 à 4 personen

• Kies in welke basis je wil werken: basis 3, 4, of 5

• Vul de getallenas aan tot 20, voor de gekozen basis.

Basis 3

1 = 1

2 = 2

3 = 10

4 = 11

5 = 12

6 = 20

7 = 21

8 = 22

9 = 100

10 = 101

11 = 102

12 = 110

13 = 111

14 = 112

15 = 120

16 = 121

17 = 122

18 = 200

19 = 201

20 = 202

Basis 4

1 = 1

2 = 2

3 = 3

4 = 10

5 = 11

6 = 12

7 = 13

8 = 20

9 = 21

10 = 22

11 = 23

12 = 30

13 = 31

14 = 32

15 = 33

16 = 100

17 = 101

18 = 102

19 = 103

20 = 110

Basis 5

1 = 1

2 = 2

3 = 3

4 = 4

5 = 10

6 = 11

7 = 12

8 = 13

9 = 14

10 = 20

11 = 21

12 = 22

13 = 23

14 = 24

15 = 30

16 = 31

17 = 32

18 = 33

19 = 34

20 = 40

Prof. Georges Papy (1920 -)

Moderne Wiskunde: kenmerken

• Nieuwe wiskundige concepten, termen, symbolen e.d. uit verzamelingenleer, relatieleer en formele logica

• Logische fundamenten van het wiskundig bouwwerk vormen tevens psychologisch vertrekpunt

• Kunstmatig materiaal om de abstracte leerstof ‘verteerbaar’ te maken (vb. logi-blokken, Cuisenaire, MAB…)

• Wiskundig inzicht is belangrijker dan rekenvaardigheid • Veel aandacht voor formalisering, abstractie, generalisering• Sterke klemtoon op zuivere wiskunde, veel minder op de

toegepaste wiskunde• Schoonheid van de wiskunde van jongsaf aan leren ervaren

Logiblokken

Neem alle gele figuren

Neem alle rode driehoeken

Neem alle figuren die niet klein zijn

Neem alle figuren die geel of groen zijn

Neem alle kleine gele vierkantjes

Cuisenaire staafjes

W + R = R + W W + R = G G – R = W

MAB materiaal

Maak 3217

Welk getal ligt hier?

Reken uit: 567 + 418

Moderne wiskunde: kritiek

• Vroegtijdige abstractie en formalisatie

• Geen inzichtelijk leren, maar verbale dikdoenerij en verbale ballast

• Achteruitgang van de klassieke componenten van rekenvaardigheid (memoriseren, automatiseren…)

• Verwaarlozing van het toepassingsaspect van de wiskunde (vraagstukken)

• Onhaalbaar voor vele leerlingen (en leerkrachten!)

Praktijkvoorbeeld 3: cijferend delen volgens methode van progressieve schematisering

• Oma heeft nog een doos knikkers op zolder staan. Ze wil al haar kleinkinderen (Sjoerd, Bauke, Bart en Jan) op haar verjaardag er evenveel geven. Als de knikkers geteld zijn, blijken het er 324 te zijn. De kleinkinderen zitten vol verwachting rond te tafel. Sjoerd denkt: “Hoeveel zou ik er krijgen?”

Realistische aanpak van het staartdelen: stap 1

• Leerlingen delen de knikkers eerst een voor een effectief uit

• Na een keer begint men meteen grotere porties te nemen (bijv. 10 ineens)

Stap 1: een per een uitdelen

Sjoerd Bouke Bart Jan

1

2

3

Stap 2: Verdeelschema wordt geïntroduceerd

Stap 3: Verdeelschema met slechts een kolom; happen

worden groter

Stap 4: Honderdtallen, tientallen en eenheden worden per uitdeel-

ronde maximaal verdeeld

Opdracht

• Los zelf de volgende deling op volgens stap 3:

• 6394 : 12 = ?

6394 : 12 = ? volgens stap 3

Prof. H. Freudenthal (1905 – 1990)

Realistische visie: kenmerken• (Rijke) contexten spelen een belangrijke rol, niet enkel bij het

leren toepassen van de geleerde begrippen en procedures, maar ook bij de vorming ervan

• Materialen, modellen, schema’s e.d. fungeren als hulpmiddel om de kloof tussen aanvankelijk intuïtief en informeel en het meer abstracte en formele handelen te overbruggen

• Leerlingen moeten kans krijgen om zelf zienswijzen, modellen, strategieën, oplossingen te construeren en daarop te reflecteren

• Constructief en reflectief wiskundeonderwijs veronderstelt veelvuldige en rijke interactie

• Belang van een goed doordachte verstrengeling van leerlijnen

Realistische visie: kritieken (Feys, 2000)

• Te veel ‘voor-wiskunde, rekenen met instap-contexten, en te weinig decontextualiseren;

• Te veel constructie van individuele leerlingen, te weinig wiskunde als cultuurproduct;

• Te weinig sturing en structurering;

• Geen ruimte voor gevarieerde leerarrangementen, ook mechanistische;

• Te veel respect voor eigen constructies bemoeilijkt begeleiding en automatisatie;

• Fixatie aan aanschouwelijke ondersteuning (modellen);

• Zwakke, maar ook betere leerlingen de dupe;

• Kloof tussen realistische theorie en werkelijkheid.

Kritieken op realistische visie in cartoons

3. Stand-van-zaken i.v.m. het wiskundeonderwijs in

Vlaanderen

3.1 Ontwikkelingsdoelen en eindtermen

3.2 Leerplannen

3.3 Wiskundemethoden

3.4 Peilingen

3.5 Lerarenopleiding

3.1 Ontwikkelingsdoelen en eindtermen

• In 1997 decretaal vastgelegd

• Ontwikkelingsdoelen: 3 rubrieken (getallen, meten, ruimte) met 20-tal doelen in het totaal

• Eindtermen: 5 rubrieken (getallen en bewerkingen, meten, meetkunde, strategieën en probleemoplossende vaardigheden, attituden) bestaande uit een 50-tal eindtermen in het totaal

• Voorafgegaan door “achtergronden”

Zie: • http://www.ond.vlaanderen.be/curriculum/basisonderwijs/kleuteronderwijs/wi

skundige-initiatie/ontwikkelingsdoelen.htm

• http://www.ond.vlaanderen.be/dvo/basisonderwijs/lager/eindtermen/wiskunde.htm

Eindtermen: Kerngedachte“Het inventief en inzichtelijk werk van kinderen kan niet starten vanuit een opgelegd abstract raamwerk, toch niet in eerste instantie. Vandaar dat het begrippenarsenaal uit de verzamelingenleer niet meer als doel op zich in de eindtermen voorkomt, al kunnen sommige voorstellingswijzen (venndiagrammen, relatiepijlen…) interessante hulpmiddelen blijven voor het wiskundig denken van kinderen (Ministerie van de Vlaamse Gemeenschap, 1998, p. 104-105)”

3.2 Leerplannen

• In 1998 verschijnen nieuwe leerplannen van de 3 onderwijsnetten

• Leerplannen …– zijn netgebonden– zijn specifieker naar inhoud en vaardigheid toe– bevatten tussendoelen en– didactische wenken en achtergrondinfo

• Accentverschillen tussen de 3 leerplannen

• Zie: http://www.ond.vlaanderen.be/infolijn/faq/leerplannen/

3.3 Rekenmethoden

• Een nieuwe generatie Vlaamse rekenmethoden

• Accentverschillen met Nederlandse (realistische) rekenmethoden

Verschillen met Nederlandse (realistische) methoden

• Minder tijd voor informeel, intuitief werken en sneller aansturen op abstract en formeel werken;

• Meer aandacht aan inoefenen en automatiseren; • Vaker werken met vaste oplossingsmethoden en -schema’s

bij hoofdrekenen en vraagstukken; • Minder gebruikmaking van nieuwe materialen en

modellen, meer van oudere materialen en modellen;• Minder “progressieve schematisering” bij het leren

cijferen; • Veel meer meetkunde

3.4 Peilingen

• Periodieke peilingen, georganiseerd in opdracht van de Vlaamse minister van onderwijs, waarin nagegaan wordt in welke mate de eindtermen wiskunde bereikt worden

• Eerste peiling 2002

• Tweede peiling 2009

• Zie http://www.ond.vlaanderen.be/dvo/peilingen/basis/Brochure_peiling_wisk_bis.pdf

3.5 Lerarenopleiding

• Verschuivingen in het vak ‘wiskunde-(didactiek)’ in de opleiding van leraren lager onderwijs: van een sterk structuralistisch georiënteerde opleidingsdidactiek naar een meer evenwichtige/eclectische benadering

4. Besluit

4.1 Enkele nuanceringen

4.2 Welke van de drie visies is nu de beste?

4.3 Poging tot positionering van het Vlaams wiskundeonderwijs

4.4 Waarom is het Vlaams wiskundeonderwijs niet “realistischer”?

4.1 Enkele nuanceringen

• Rekenonderwijs voor de periode van de Moderne Wiskunde was – zeker in Vlaanderen - niet overal en niet zuiver mechanistisch (zoals hierboven omschreven)

• Invloed van de Moderne Wiskunde was in de dagelijkse klaspraktijk minder groot (zowel in de breedte als in de diepte) dan vaak wordt beweerd, zeker in het Vlaams katholiek basisonderwijs

• Realistisch wiskundeonderwijs kent – zoals de andere stromingen - vele gedaanten: er is een meer gematigde en een “hardliners” variant, én er gaapt een kloof tussen concept en realisatie, tussen theorie en praktijk…

4.2 Welke van de drie visies is de beste?

• Elke visie vraagt - terecht - aandacht voor het belang van bepaald aspect van de wiskunde: – voor rekenvaardigheid (parate kennis, automatismen) – voor het formele/abstracte/algemene aspect van de wiskunde – voor haar realiteitsbetrokkenheid, toepassingsgerichtheid

• Maar elke visie leidt tot een eenzijdige en nefaste wiskundedidactiek als haar meest typische kenmerk verabsoluteerd wordt

• Vraag naar dé beste visie / aanpak is te omvattend, te complex en te ‘waarde-geladen’ om (louter) empirisch te worden beantwoord

4.3 Poging tot positionering van het Vlaams wiskundeonderwijs

Mechanisme Structuralisme

Realisme

4.4 Waarom is het wiskundeonderwijs in Vlaanderen niet ‘realistischer’?

• Allerlei historische, culturele en structurele factoren leiden tot een eerder typisch Vlaamse houding van pragmatiek en eclecticisme

• Waarschuwingen bij (uitgangspunten en onderdelen van) de realistische rekendidactiek door Vlaamse rekendidactici, vooral vanuit “Torhoutse” hoek (zie volgende slide)

• Goede scores van Vlaamse leerlingen in internationaal vergelijkend onderzoek (PISA en TIMSS), resulterend in een “passend” besef van eigenwaarde (zie volgende slide)

Feys (1997, p. 26)

“We geloven dus niet dat we bij de hervorming van ons wiskundeonderwijs het verlossingsmodel van de moderne wiskunde zomaar moeten inruilen voor het verlossingsmodel van de zgn. realistisch wiskundeonderwijs. (…) Het realistisch wiskundeonderwijs bevat veel waardevolle elementen, maar is te weinig evenwichtig, realistisch en functioneel” (Feys, 1997, p. 26)

Verschaffel (1995, p. 119-120)• “ Overigens betekent dit niet dat alles wat uit realistische hoek

komt, klakkeloos wordt overgenomen. Daarvoor zijn bepaalde aspecten van de realistische theorie te schetsmatig en te weinig empirisch onderbouwd, liggen de slechte herinneringen aan de al te zeer als een verlossing gepresenteerde vernieuwingsgolf van de moderne wiskunde nog te vers in het geheugen, en beschikt Vlaanderen zelf over een te stevige eigen traditie op het vlak van het reken/wiskundeonderwijs. Waar het nu op aankomt is de goede elementen uit deze traditie, die door de rage van de moderne wiskunde wat onder het stof zijn geraakt, te herwaarderen en te integreren met waardevolle nieuwe inzichten en voorstellen uit de realistische stroming.”

Goede scores van Vlaamse leerlingen voor wiskunde

• Vlaams wiskundeonderwijs internationaal aan de top (én m.n. voor Nederland)– TIMSS 2003: 10-jarigen: 5de plaats na 4 Aziatische landen

– PISA 2006: 15-jarigen: Vlaanderen op de 1ste plaats voor wiskunde

• Vlaams wiskundeonderwijs gepeild en (relatief) goed bevonden– 2002: “geslaagd met onderscheiding”

– 2009: “gemiddeld tot goede resultaten”