12 De OnderbouwWiskundeDag

AanleidingBinnen het wiskundeonderwijs in Nederland bestaatal langere tijd de traditie om grotere opdrachten aante bieden als essentiële aanvulling op het wiskunde-curriculum uit het boek. Voorbeelden hiervan zijnde GWA’s (geïntegreerde wiskundige activiteiten),de Wiskunde A-lympiade en de Wiskunde B-dag.Ook het basisonderwijs kent een variant hiervan: deGrote Rekendag. Bij dergelijke grotere opdrachtenis de focus:– Toepassen van daarvoor geschikte opgedane

wiskundekennis en -vaardigheden in complexeauthentieke situaties;

– Inzetten van vaardigheden op het gebied vanmodelleren en probleemoplossen;

– Samenwerken in groepjes van drie à vier leerlin-gen;

– Helder verslag doen van het oplossingsproces ende eindresultaten en daarbij de gebruikte wis-kunde expliciteren.

Omdat met deze rijke opdrachten positieve ervarin-gen zijn opgedaan in zowel het basisonderwijs (Jon-ker & Van Galen, 2003) als de bovenbouw van hetvoortgezet onderwijs (De Haan & Wijers, 1999;Goris, 2005; Goddijn, 2003) heeft het FreudenthalInstituut in 2012 een pilot gehouden met een verge-lijkbare activiteit voor de onderbouw van het voort-gezet onderwijs: de OnderbouwWiskundeDag(OWD). Deze pilot is onderdeel van de activiteitendie in opdracht van OCW in het kader van de veldon-dersteuning voortgezet onderwijs worden uitge-voerd. Een van de aanleidingen voor deze pilot wasde aansluiting op het werk van cTWO:

Het doel […] is om de vernieuwingen in de onderbouw, dievoortvloeien uit de programmatische veranderingen in deTweede Fase HAVO/VWO volgens de programma’s van devernieuwingscommissie cTWO, gestalte te geven. Met namewordt aandacht besteed aan de denkactiviteiten en de ont-wikkeling van een wiskundige attitude, zoals betoogd in hetvisiedocument van cTWO (www.ctwo.nl).

Het doel van deze pilot was om op basis van deopgedane ervaringen in klas 3 HAVO/VWO te bekij-ken of dit een zinvolle en haalbare activiteit is inaanvulling op de wiskundelessen in de onderbouw.

Aanvankelijke keuzesIn mei 2011 is een groep van ontwikkelaars gestartmet de opzet van de pilot in lijn met de bovenge-noemde doelstellingen. Daarbij zijn beslissingengenomen over de aard en vorm van de opdracht, dewiskundige inhoud(en) en het wedstrijdkarakter.

– Aard en vorm van de opdrachtGekozen is voor een grote opdracht in de stijl vande Wiskunde A-lympiade en de Wiskunde B-dag.In die stijl bestaat overigens nog wel verschil: deA-lympiadeopdracht betreft een authentiek pro-bleem waarbij wiskunde wordt toegepast in deoplossing ervan, terwijl in de opdracht van de B-dag meestal een wiskundig probleem centraalstaat. Verder bevat een opdracht voor de A-lym-piade doorgaans een beperkt aantal instapop-drachten en zijn deze vooral bedoeld voor deverkenning van de context. De opdracht voor deB-dag kent vaker een groot aantal instap- endeelopdrachten die dienen om de wiskunde toe-gankelijk te maken. Voor de OWD zijn in principebeide types opdrachten mogelijk. Bij de eersteruwe voorstellen zaten dan ook aanzetten voorelk van beide soorten. Verder is besloten datvoor de opdracht circa vijf uur (van 8:30 – 14:00)beschikbaar is. In de evaluatie zal wordengevraagd of dit een goede tijdsduur is. Ten slotteis vastgesteld dat het product een werkstuk is.

– Wiskundige inhoudEnerzijds moet de gebruikte wiskunde natuurlijkaansluiten bij de stof die aan bod is gekomen inklas 1, 2 en de eerste helft van klas 3, of daaropeen kleine uitbreiding zijn. Anderzijds moet deopdracht voldoende ver afstaan van de regulierevakinhoud, om het speciale karakter van deze

De OnderbouwWiskundeDag

In navolging van de succesvolle Wiskunde A-lympiade en Wiskunde B-dag organiseerdehet Freudenthal Instituut in 2012 voor het eerst de WiskundeOnderbouwDag: een team-wedstrijd voor klas 3 H/V, waarin een groot en herkenbaar probleem centraal staat. Aandeze pilotuitvoering, waarin het probleem was om beveiligingscamera’s in een museumop te stellen, deden ongeveer 100 teams mee. Dédé de Haan, Michiel Doorman,Vincent Jonker en Monica Wijers doen verslag van het ontwerp, het verloop en deresultaten van deze activiteit.

Nieuwe Wiskrant 32-1/september 2012 13

activiteit te benadrukken. Dit evenwicht zalsteeds een punt van aandacht zijn. Een vereiste isverder natuurlijk dat de opdracht door een teamkan worden gemaakt.

– WedstrijdelementNet als de A-lympiade en de B-dag zal ook deOWD het karakter van een wedstrijd hebben. Ditstelt specifieke eisen aan de opdracht: elk teammoet er mee aan de slag kunnen en een eindpro-duct kunnen afleveren. Tevens is het van belangdat de opdracht voldoende natuurlijke differenti-atiemogelijkheden biedt, omdat er anders geenwinnaar(s) kunnen zijn. Voor de pilot is gekozenvoor een opzet zoals bij de wiskunde B-dag: er iséén ronde op de scholen, waaraan zoveel teamsmeedoen als de school wil. Vervolgens stuurtelke school het beste werkstuk in en bepaalt eenjury de winnaar(s).

De opdracht: ‘Beveiligen is ook een kunst’Het ontwikkelteam heeft na een eerste brainstorm-ronde een vijftal ideeën voor een opdracht onder-zocht op mogelijkheden en haalbaarheid, waarondertwee ideeën gebaseerd op denkactiviteiten vancTWO, een oud voorrondeprobleem van de Wis-kunde A-lympiade en twee ideeën uit andere bron-nen. Over het hergebruik van eerdere opdrachten uitbijvoorbeeld A-lympiade en B-dag is discussiegevoerd. Uit evaluaties is bekend dat er bij de A-lympiade (voorronde, finale) opdrachten zitten diewellicht ook geschikt zijn voor de onderbouw (metenige aanpassingen). Besloten is dat in zo’n gevalhergebruik tot de mogelijkheden behoort.

Voor de pilot is de keuze uiteindelijk gevallen op hetbewerken van de al bestaande A-lympiade voorron-deopdracht ‘Beveiligen is ook een kunst’ (1996-1997)1. Uit de evaluaties bleek toentertijd dat debetrokken docenten de opdracht tevens geschiktachtten voor de onderbouw. De opdracht is na aan-passing voorgelegd aan een aantal docenten uit dewerkgroep Denkactiviteiten van cTWO. Op basis vanhun reacties is de definitieve versie ontwikkeld. Inde opdracht ontwikkelen de teams voorstellen voorde beveiliging en de herinrichting van een museum.

Een museum voor moderne kunst organiseert binnenkorteen grote expositie met het werk van een aantal grote kun-stenaars. Het museum is bezig om de voorbereidingen tetreffen voor de expositie en men stuit daarbij op een pro-bleem met betrekking tot de beveiliging. Hiervoor moet eenoplossing komen in de vorm van een beveiliging met bewa-kingscamera’s.

Doel is met zo min mogelijk camera’s een optimaalbeveiligingsplan te maken, rekening houdend methet ‘zichtgebied’ van de camera's, de voor exposi-

ties benodigde wandruimte en de kosten van zowelhet weghalen van wanden als de aanschaf vancamera’s. De eindopdracht luidt:

Een aantal architectenbureaus wordt gevraagd voorstellenvoor het beveiligingsvraagstuk in te dienen. Jullie zijn eenvan die architectenbureaus, en willen de opdracht graag bin-nenhalen. Natuurlijk versterk je je concurrentiepositie nietals je alleen voldoet aan de minimumeisen! Maak een voor-stel voor de directie van het museum, inclusief een werkte-kening met de door jullie geplaatste wanden en de camera-posities.

De gehele opdracht (inclusief tussenopdrachten) iste vinden op de website van de OWD2. Kenmerkenvan deze opdracht die aansluiten bij bovenge-noemde uitgangspunten, zijn:– De toe te passen wiskunde is niet te specifiek

wiskunde A (of C) of B (of D); – De opdracht biedt mogelijkheden voor proberen,

analyseren, redeneren, rekenen en ontwerpen;– De opdracht is voldoende ‘authentiek’ zonder te

complex te zijn. De leerlingen kunnen in het laat-ste deel een rol aannemen. Tegelijkertijd is dewiskunde (meetkunde, kijklijnen, schaal) vol-doende herkenbaar;

– De opbouw is zodanig dat alle teams kunnenbeginnen, maar dat er tegelijkertijd differentia-tiemogelijkheden zijn. Met name in de resultatenvan de eindopdracht zijn er verschillen te ver-wachten in creativiteit, diepgang en het gebruikvan wiskunde;

– De opdracht kent een enigszins gesloten instap,een middendeel dat vooral gericht is op onder-zoeken en beredeneerd aanpassen van eenbestaande situatie, met ten slotte een open ont-werpopdracht, waarin ook reflectie op zijn plaatsis.

14 De OnderbouwWiskundeDag

Uitvoering en ervaringenDe wedstrijd vond plaats op 8 februari 2012. Onge-veer 25 scholen hebben informatie aangevraagd enuiteindelijk hebben elf scholen met ongeveer hon-derd teams meegedaan door hun beste werkstuk inte zenden. De docenten hebben vooraf de opdrachten de bijbehorende handreiking per e-mail ontvan-gen. De aangekondigde netwerkbijeenkomst is van-wege onvoldoende belangstelling niet doorgegaan.

Op de dag zelf komen er geen vragen over deopdracht. Blijkbaar kunnen de leerlingen er directmee aan de slag. Van Bart Habraken, docent aan hetHeerbeeck College in Best ontvingen we een ver-slagje met foto:

Eerste Onderbouw Wiskunde Dag is enthousiast ontvangen.Op woensdag 8 februari hebben alle havo-3 leerlingen deel-genomen aan de Onderbouw Wiskunde Dag. Voor het eerstin de geschiedenis werd deze dag georganiseerd. Geduren-de deze dag waren de leerlingen bezig om als architecteneen museum zo goed mogelijk te beveiligen. Daardoor werdde wiskunde die ze de afgelopen drie jaar hebben geleerdopeens heel toepasbaar. 28 enthousiaste groepen hebbenaan het einde van de dag hun ontwerpen en bevindingen in-geleverd. Het beste werkstuk wordt opgestuurd naar eenjury die zal bepalen of dit groepje de winnaar wordt van deOnderbouw Wiskunde Dag3.

Beoordeling van de inzendingenWe ontvingen de werkstukken zowel via de gewonepost (vijf) als digitaal (zes). Wat opvalt, is dat dewerkstukken er goed verzorgd uitzien. De omvangverschilt: sommige werkstukken zijn kort en krach-tig, andere zijn voorzien van uitgebreide berekenin-gen en tekeningen. Een aantal teams heeft zichingeleefd in de rol van medewerkers van een archi-tectenbureau en heeft het advies daadwerkelijk ineen brief aan de museumdirectie verwerkt. Hetwerkstuk van sg Huizermaat (tweede plaats) is vol-ledig in briefvorm uitgewerkt (zie figuur rechts).Dat is zeker een pluspunt bij de beoordeling.

Een ander aspect dat is meegewogen in de beoorde-ling is of er verschillende varianten ontworpen,geanalyseerd en doorgerekend zijn, en of de argu-mentatie en onderbouwing helder zijn. Bij de platte-gronden is erop gelet of met behulp van kijklijnenzichtbare en eventueel onzichtbare gebieden duide-lijk zijn gemarkeerd; daarnaast waren duidelijkheiden begrijpelijkheid, bijvoorbeeld de aanwezigheidvan een legenda, een factor van betekenis.

Bij de beoordeling heeft elk van de juryleden crite-ria en gewichten bepaald en op basis daarvan eenordening in de inzendingen aangebracht. Vervol-gens zijn deze rangordes samengevat in een totaleordening die gezamenlijk is besproken. Dit is deprocedure die al jaren bij de A-lympiade en B-dag

Nieuwe Wiskrant 32-1/september 2012 15

wordt gehanteerd. Het is opvallend hoezeer de volg-ordes overeenkomen. Op basis van deze rangordeszijn de drie winnaars en de categorieën voor de ove-rige werkstukken bepaald. Hieronder de volledigeuitslag die ook op de website staat vermeld.

De drie winnende teams kregen op hun school deprijs uitgereikt door een van de juryleden, waarbij zenaast een beker en een certificaat ook een beknoptjuryrapport ontvingen.

Juryrapport Liemers College (eerste plaats)Het werkstuk van het Liemers college valt op door het de-gelijke karakter en de zeer heldere uitleg. Het team be-schrijft de aanpak op een duidelijke manier, waardoor de le-zer inzicht krijgt in de overwegingen en afwegingen. Hetwerkstuk volgt de opdracht en bevat een goede inleiding eneen heldere reflectie. Er is goed gebruik gemaakt van bijla-gen: de plattegronden met de plaatsing van camera’s en de(on)zichtbare gebieden zijn zeer duidelijk onder anderedoor het gebruik van een legenda. Het rekenwerk is correctuitgevoerd. In het eigen ontwerp zijn de camera’s op dwarsestukjes muur geplaatst om optimaal zicht te realiseren. Almet al vindt de jury dat dit werkstuk de eerste plaats in deOnderbouwWiskundeDag verdient.

Evaluatie De docenten van de deelnemende scholen hebbenmeegewerkt aan de evaluatie van de pilot door eenonline vragenformulier in te vullen. Hieronder eensamenvatting van de reacties.

OnderbouwWiskundeDag 2013Over het algemeen is de pilot positief geëvalueerd,waaruit we de conclusie hebben getrokken dat wedoorgaan met de OnderbouwWiskundeDag. In devoorbereiding op de tweede OWD, die wordt gehou-den op woensdag 6 februari 2013, houden we reke-ning met de kritiekpunten uit 2012. Op de websiteen in de WiskundeEbrief zullen we na de zomer aan-geven wanneer u zich kunt aanmelden en wat hetverdere tijdpad is. Deelname is ook dit jaar gratis.

Vanwege de positieve ervaringen met de netwerk-bijeenkomsten bij de Wiskunde A-lympiade en de

plaats/vermelding schoolnaam

1e Liemers College

2e Huizermaat

3e Augustinuscollege

Zeer goed Goois Lyceum

Gymnasium Apeldoorn

Het 4e gymnasium

Utrechts Stedelijk Gymnasium

Willem Lodewijk Gymnasium

goed Heerbeeck College

Lorentz Casimir Lyceum

O.S.G. Willem Blaeu

Vraag Antwoord

Wat is uw meningover de opdracht

Prima. Erg leuk. Uitdagend

Wat is goed? - Goed dat er instapopdrachten bij zitten

- Goed qua omvang- Open opdracht aan het eind- Er was genoeg te ‘puzzelen’

Wat kan beter? Richting eigen school/leerlingen:- Beter gebruik van visuele on-

derdelen in het verslag.Richting organisatie/ontwikke-

laars:- Ligt het zwaartepunt in de eind-

opdracht? Niet helemaal hel-der.

- Zou wiskundig gezien iets zwaarder mogen (nu vooral kijkmeetkunde en rekenen).

Wat vonden uwleerlingen van deopdracht?

- Leuk om in groepjes te werken- Sommige teams waren snel

klaar.- Sommige leerlingen misten de

‘echte wiskunde’.- Quote van een leerling: “Me-

vrouw, dit was best te doen, een hele dag met wiskunde bezig!”

- Lastig om na het uitzoekwerk er een verslag van te maken (der-deklassers zijn nog niet zulke goede verslagschrijvers).

- Van de 28 groepen zijn er 26 de hele dag enthousiast met wis-kunde bezig geweest.

Bent u van plan vol-gend jaar weer meete doen? (+ toelichting)

- Als mijn collega’s het ook wil-len

- Als er voor betaald moet wor-den, wordt het wellicht te duur (als je ook al mee doet met A-lympiade, B-dag).

- Volgend jaar willen wij uitrol-len naar 3VWO (sloeg namelijk zeer goed aan).

- Nee, het neemt te veel tijd in het volle wiskundeprogramma

16 De OnderbouwWiskundeDag

B-dag, zullen we deze in 2013 opnieuw aanbiedenaan de docenten die deelnemen aan de Onderbouw-WiskundeDag. We hopen dat we met de deelne-mende scholen ook de OWD 2013 tot een succeskunnen maken!

Dédé de Haan, Michiel Doorman,Vincent Jonker, Monica Wijers,

Freudenthal Instituut

Noten[1] http://www.fisme.science.uu.nl/alympiade[2] http://www.fisme.science.uu.nl/nl/onderbouw

wiskundedag/[3] http://www.heerbeeck.nl/default.aspx?tabi =136

LiteratuurDe Haan, D., & Wijers, M. (1999). 10 jaar Wiskunde

Alympiade – de opstap naar de tweede fase.Utrecht: Freudenthal Instituut, Universiteit Utrecht.

Goddijn, A. (2003). 1 + 1 en hoe nu verder? Over deopgave van de Wiskunde B-dag 2002. NieuweWiskrant. Tijdschrift voor Nederlands Wiskun-deonderwijs, 22(4), 11-16.

Goris, T. (2005). De Wiskunde A-lympiade van hetMill-Hillcollege. Nieuwe Wiskrant. Tijdschriftvoor Nederlands Wiskundeonderwijs, 25(2), 31-32.

Jonker, V., & Van Galen, F. (2003). Grote Reken-dag. Panama Praktijktip nummer 91. Panama-Post. Tijdschrift voor nascholing en onderzoekvan het reken-wiskundeonderwijs, 22(1), 46-48.

Weekend van de Wetenschap 6 en 7 oktober

André Kuipers en wiskundehelden in Museum BoerhaaveOnder het motto ‘Helden’organiseert Museum Boer-haave tijdens het Weekendvan de Wetenschap op 6 en 7

oktober een bijzonder programma. Bezoekers krijgenop zondag de unieke kans om kennis te maken met as-tronaut André Kuipers. En op zaterdag zijn JeroenHuijben en Jetze Zoethout, de twee Nederlandse gou-den medaillewinnaars van de afgelopen InternationaleWiskunde Olympiade in Argentinië, van de partij.

Zaterdag 6 oktober: Goochelen met getallenZaterdag staat Museum Boerhaave in het teken vande wiskunde. Er is dan een vrolijk programma datvoor iedereen aangenaam begrijpelijk is, ook voorwie nog nooit van pi of de stelling van Pythagorasgehoord heeft. Wetenschapper en wiskundemeisjedr. Ionica Smeets vertelt om 11.00 uur over alle-daagse verschijnselen en legt uit hoe de wiskundehelpt deze te verklaren. De Olympiade deelnemersblikken terug op de wedstrijd, die twee gouden me-dailles en drie bronzen plakken opleverde. Natuur-lijk is er ruimte voor het stellen van vragen. Hoogte-punt is een wedstrijd met alle aanwezigen.

Dr. Steven Wepster (Universiteit Utrecht) sluit om15.00 uur af met een lezing over Simon Stevin(1548-1620), toegepast wiskundige, natuurkundigeen ingenieur (zeilwagen), wiens werk is terug te vin-den in Museum Boerhaave. Bezoekers kunnen ookde nieuwe Wiskunderoute doen, een handen-uit-de-mouwen-rondgang door het museum met anekdotesen historische weetjes over wiskundige voorwerpen.

Zondag 7 oktober: Kindercollege en ontmoeting met André KuipersProf. dr. Jos van der Broek (Universiteit Leiden)start zondag om 10.30 uur met een kindercollegeover de spannende ontdekkingsreizen van zijn on-verschrokken helden Charles Darwin (1809-1882)en Maria Sibylla Merian (1647-1717). Met veelbloed, zweet, tranen en een flesje rum.

Zondagmiddag om 15.00 uur geeft André Kuipers inMuseum Boerhaave een lezing over zijn ervaringentijdens de missie naar ruimtestation ISS. Kuipersvertelt aan de hand van prachtige beelden over de ra-ketvlucht en het leven en werk aan boord. Met 193dagen heeft hij de langste ruimtemissie op zijn naamstaan van alle Europese ruimtevaarders. Natuurlijkgaat hij in op de wetenschappelijke experimentendie hij tijdens zijn ruimtereis heeft uitgevoerd. Debezoekers kunnen na afloop van Kuipers’ verhaal desterrenkundige collectie van Museum Boerhaavebewonderen, waaronder maansteentjes van de Apol-lo 11 en 17.

Goochelen met getallen: zaterdag 6 oktober (11.00-16.00 uur) reserveren is niet nodigKindercollege: zondag 7 oktober (10.30 - 11.30uur) reserveren is niet nodigOntvangst André Kuipers: zondag 7 oktober om15.00 uur (ontvangst vanaf 14.30 uur) reserveren isverplicht via www.museumboerhaave.nl

Tijdens het Weekend van de Wetenschap is de toe-gang tot het museum gratis.

Museum Boerhaave, Lange Sint Agnietenstraat 10,Leiden – www.museumboerhaave.nl

M E D E D E L I N G