Wiskunde D H7

download Wiskunde D H7

of 19

  • date post

    14-Jul-2015
  • Category

    Documents

  • view

    517
  • download

    4

Embed Size (px)

Transcript of Wiskunde D H7

Netwerk 5-6 vwo wiskunde D Hoofdstuk 7 uitwerkingen

1

Hoofdstuk 7Kern 11 a = 9 + 16 = 25 = 5 en = 144 + 25 = 169 = 13 b = ( 3 + 4i )(12 5i ) = 36 + 15i + 48i + 20 = 16 + 63i = 256 + 3969 = 4225 = 65 = c = a 2 + b2 en = c 2 + d 2

= a 2 + b 2 c 2 + d 2 = a 2 c 2 + a 2 d 2 + b 2c 2 + b 2 d 2 = ( a + bi )( c + di ) = ac + adi + bci bd = ac bd + (ad + bc )i =a 2 c 2 2abcd + b2 d 2 + a 2 d 2 + 2abcd + b2 c 2 = a 2 c 2 + b2 d 2 + a 2 d 2 + b2c 2 Beide regels leveren hetzelfde op.2 a8i 6i

C8 6 4

4i

2i A2 4

B 6 8

2 O 2i 4i 6i 8i

D

b 3 + 4i = 9 + 16 = 25 = 5 c AC = = 4 + 3i = 16 + 9 = 25 = 5 en AD = = 5i = 5 3 a middelpunt i en straal 3.8i 6i 4i 2i 8 6 4 2 O A 2 2i 4i 6i 8i 4 6 8

c middelpunt 5 4i en straal 52i 2 O 2i 4i 6i 8i 10i 2 4 6 8 10 12

A

Noordhoff Uitgevers bv

Netwerk 5-6 vwo wiskunde D Hoofdstuk 7 uitwerkingen

2

b middelpunt 3 2i en straal 28i 6i 4i 2i 8 6 4 2 O 2i 4i 6i 8i 2 4 6 8

d middelpunt 3 en straal 48i 6i 4i 2i 8 6 4 2 O 2i 4i 6i 8i 2

A 4

6

8

A

4 a b 5 a

z 4 + 2i = 6 z + 6 5i = 4b Im Im

c z 5i = 3 2i = 9 + 4 = 13 d z + 2 = 2 + 4i = 4 + 16 = 20 = 2 5 c Im

2i 2 Re

2i 2 Re

2i 2 Re

6 a

z 4+i = 5

b ( x 2) 2 + ( y + 3) 2 = 9 7 a 2 en 1 of 1 en 2 b Cirkel met middelpunt O door bijv. 2 + i . Zie figuur rechts. c z + 4i = 5 Im 2i i 1 2 Re

Noordhoff Uitgevers bv

Netwerk 5-6 vwo wiskunde D Hoofdstuk 7 uitwerkingen

3

8

Im 2i i 1 2 Re

9

Im 4i 2i 2 4 Re

10 a Im i 1 Re

c Im i 1 Re

b

Im i 1 Re

d

Im 2i 2 4 Re

Noordhoff Uitgevers bv

Netwerk 5-6 vwo wiskunde D Hoofdstuk 7 uitwerkingen

4

Kern 211 a b c d

f (0) = 2 + i f (1) = 3 + i f (i ) = 2 + 2i f ( i ) = 2 f (1 + i ) = 3 + 2i f (3 + 4i ) = 5 + 5i

g (0) = 0 g (1) = 2 + i g (i ) = 1 + 2i g (i ) = 1 2i g (1 + i ) = (2 + i )(1 + i ) = 1 + 3i g (3 + 4i ) = (2 + i )(3 + 4i ) = 2 + 11i

h(0) = 0 h(1) = 1 h(i ) = 1 h(i ) = 1 h (1 + i ) = (1 + i ) 2 = 2i h (3 + 4i ) = (3 + 4i ) 2 = 7 + 24i

e f

12 a f: z + 2 + i = 0 z = 2 i g: (2 + i ) z = 0 z = 0 h: z 2 = 0 z = 0 b f: z + 2 + i = 1 z = 1 i 1 2i 2i 2 1 = = i g: (2 + i ) z = 1 z = 2+i 2i 5 5 5 2 h: z = 1 z = 1

13 a w(0) = 2 3i w(3) = 5 3i w(3 + 2i ) = 5 i w(2i ) = 2 i b w = x + 2 + ( y 3)i u = x+2v = y 3 c translatie T (2, 3) 14 a f (0) = 0 f (3) = 3i f (3 + 2i ) = 2 + 3i f (2i ) = 2 w = i ( x + iy ) = y + ix u = y v = x Dit is een rotatie om O(0, 0) over 900. b f (0) = 0 f (3) = 6 f (3 + 2i ) = 6 + 4i f (2i ) = 4i w = 2( x + iy ) = 2 x + 2iy u = 2x v = 2 y Dit is een puntvermenigvuldiging vanuit O(0, 0) met factor 2.

y2i 2 4

v2i

x

i

2

4

u

y2i

v2i 2 4

O

x

O

2

u

y2i

v2i 2 4

O

x

O

2

4

u

Noordhoff Uitgevers bv

Netwerk 5-6 vwo wiskunde D Hoofdstuk 7 uitwerkingen

5

c w(0) = 0 w(3) = 3 w(3 + 2i ) = 3 2i w(2i ) = 2i w( x + iy ) = x iy u = x v = y Dit is een spiegeling in de rele as. d w(0) = 0 w(3) = 3 w(3 + 2i ) = 3 2i w(2i ) = 2i w( x + iy ) = x iy u = x v = y Dit is een puntspiegeling in O(0, 0) . e w(0) = 0 w(3) = 3 w(3 + 2i ) = 3 + 2i w(2i ) = 2i w( x + iy ) = x + iy u = x v = y Dit is een spiegeling in de imaginaire as. f w(0) = 0 w(3) = 3i w(3 + 2i ) = i (3 2i ) = 2 3i w(2i ) = i (2i ) = 2 w( x + iy ) = i ( x iy ) = y + ix u = y v = x Dit is een spiegeling in de lijn Im(z) = Re(z). 15 a b c d 16 a w = z 3 + 4i w= z w = z w = 4 z

y2i

v2i 2 4

O

x

O

2

4

u

y2i

v2i 2 4

O

x

O

2

u

y2i

v2i 2 4

O

x

O

2

u

y2i

v2i 2 4

O

x

O

2

4

u

e f g h

w = iz w = z w = iz w = iz

f ( x + ix) = i ( x + ix) = x + ix met x > 0 . De halve lijn arg(z) = .3 4

b

f ( x + ix) = x ix met x > 0 . De halve lijn arg(z) = .4 1

Noordhoff Uitgevers bv

Netwerk 5-6 vwo wiskunde D Hoofdstuk 7 uitwerkingen

6

17 a

f (4 + i ) = (4 i ) + 4 = i f (7 + i ) = (7 i ) + 4 = 3 + i f (5 + 4i ) = (5 4i ) + 4 = 1 + 4i yC2i

vC' B4 6 2i 2 O

A2

O

x

B'

A'2

u

b De lijn Re(z) = 2. 18 a w = i ( z ) w = i ( z ) + = i ( z 4 + i ) + 4 i = iz + 4i + 1 + 4 i = iz + 5 + 3i b w = i( z ) w = i ( z + 1) 1 = iz 1 + i c w = i ( z ) w = i ( z + 1) 1 = iz 1 i d w = i( z ) w = i ( z a bi ) + a + bi = iz ai + b + a + bi = iz + a + b + (b a )i 19 a w = ( z ) w 2i = ( z 2i ) b g ( z ) = z + + = z + 2 = z + 4i c w = z + 2a + 2bi 20 a Im 4i 2i 2 4z 3i z

w

Re

z 3i = w 3i

b w = z 3i + 3i = z + 3i + 3i = z + 6i . c w + 2i = z + 2i w = z 2i 2i = z 4i d w 3 = i ( z 3) w = iz + 3 + 3i

Noordhoff Uitgevers bv

Netwerk 5-6 vwo wiskunde D Hoofdstuk 7 uitwerkingen

7

21 a

1 1 f (1) = = 1 f (1) = = 1 1 1 1 i 1 i f (i ) = = = i f ( i ) = = = i i 1 i 1 1 1+ i 1 1 b f (1 + i ) = = = + i 1 i 2 2 2 1 1 i 1 1 f (1 i ) = = = i 1+ i 2 2 2 b c z = a + bi arg(z) = inv tan a b 2 1 a + bi a b b w= = 2 = 2 + 2 i arg(w) = inv tan a + b = inv tan =arg(z) 2 2 2 a a bi a + b a +b a +b a 2 2 a +b of 1 arg(w) = arg( ) = arg(1) arg( z ) = 0 arg(z) = arg(z) z 1 1 1 d w= = = z z z2

e f g

z = 1 wordt afgebeeld op w =z 1 w = 1 1 z

1 1 = =1. z 1

1 a + bi = 2 = c + di = a bi a + b 2 a b a2 b2 1 c= 2 en d = 2 , dan is c 2 + d 2 = 2 + 2 = 2 2 2 2 2 2 2 a +b a +b (a + b ) (a + b ) a + b2 1 c + di a b f ( ) = f (c + di ) = = 2 = (a 2 + b 2 )( 2 + 2 i ) = a + bi = 2 2 c di c + d a + b a + b2 of 1 f ( ) = = f ( ) = f (a + bi ) =

f ( ) =

1

=

1 1 = = 1 1 ( )

h Spiegelen in een lijn. i De dekpuntenverzameling is de cirkel zelf en uit vraag g volgt dat er sprake is van een spiegeling.

Noordhoff Uitgevers bv

Netwerk 5-6 vwo wiskunde D Hoofdstuk 7 uitwerkingen

8

Kern 322 a f '( x) = e2 x 2 = 2 f ( x)

b g '( x) = sin x + i cos x = i cos x + i 2 sin x = i (cos x + i sin x) = i g ( x) 23 a r = 4 = 0 4e0 b r = 2 = 2e3 11 i 3

Im 3i 2i1 1 i 4

c r = 3 = 3ei d r = 18 = 1 18 e4 1

i 1 i

1 2 Re

e r = 7 = 7e 22 1 6

1

1

i

f r = 2 = 2e1

1 i 6

24 a r = 3 = 3(cos + i sin ) = 3i (zie tekening rechtsboven)2 2 2

1

1

b r = 2 = 2(cos + i sin ) = 2(4 4 4 1 1 1 4 4 4

1

1

1

1 2

2 +i1 2

1 2

2) = 1 + i1 2

c r = 2 = 2(cos + i sin ) = 2( d r = 1 = 1(cos + i sin ) = 1 25 ai

2 + i

2) = 1 i

1 5

1

1

i

b wordt groter, je krijgt dan e 5 , e i , e 5 , e 5 , e5

1

3

i

7

i

9

i

1 2 i 5

. e 13, 00e 0,39i f 7, 28e1,29i c 1, 73 + i

26 a 3, 61e0,98i b 3, 61e 0,98i 27 a 2, 08 + 4,55i

c 5,10e 2,94i d 7, 21e 2,16i b 2, 08 4,55i

Noordhoff Uitgevers bv

Netwerk 5-6 vwo wiskunde D Hoofdstuk 7 uitwerkingen

9

28 a = 9 + 3 = 12 = 2 3 en = 1 = 2 3e 6 6

1

i

= 4 + 4 = 8 = 2 2 en = 1 = 2 2e 4

1 i 4

b = (3 + i 3)(2 + 2i ) = 6 + 6i + 2i 3 2 3 = 6 2 3 + (6 + 2 3)i5 = = 12 8 = 96 = 4 6 en = 1 + 1 = 12 = 4 6 e 6 45 i 12

c sin 750 = sin

5 12 5

=

6+2 3 36 + 12 6+ 2 1 = = = ( 6 + 2) 4 4 4 6 4 6 62 3 36 12 6 2 1 = = = ( 6 2) 4 4 4 6 4 6

cos 750 = cos =12

tan 750 = tan

5 6 + 2 3 6 + 2 3 6 + 2 3 36 + 24 3 + 12 48 + 24 3 = = = = 2+ 3 = 12 36 12 24 62 3 62 3 6+2 3

29 a (eix ) 2 = eix eix = e 2ix eiu = ei ( u v ) eiv c ei = (cos + i sin ) = cos i sin , e i = cos( ) + i sin( ) = cos i sin b eiv ei (u v ) = eiv +iu iv = eiu 30 a eix + e ix cos x + i sin x + cos( x) + i sin( x) cos x + i sin x + cos x i sin x = = = cos x 2 2 2 eix e ix cos x + i sin x cos( x) i sin( x) cos x + i sin x cos x + i sin x b = = = sin x 2i 2i 2i (ei ) 2 = (cos + i sin )2 = cos 2 + 2i cos sin sin 2 = cos 2 sin 2 + 2i cos sin ei2 = cos 2 + i sin 2 Hier staat twee keer hetzelfde, dan is cos 2 = cos 2 sin 2 en sin 2 = 2sin cos 32 a z 2 = ei( + k 2 ) z = e b z =e2

31

i 1 2

=iz =e =1 i 6

i1 1 2

= i3 i 4

i ( 1 + k 2 ) 2 i( 1 + k 2 ) 3 i( 2 + k 2 ) 3

z=e

i 1 4

1 2

2 1i 2 z =e 21 2 1 2

= 1 2 + 1i 2 2 2i11 6 i 11 3

c z 2 = 2e d z 2 = 2e

z = 2e

= =

6 + 1 i 2 z = 2e 2 2 + 1 i 6 z = 2e 2

= 1 6 1i 2 2 21 = 1 2 2i 6 2

z = 2e

i 1 3

33 a z 2 = 40ei .(0,32+ k 2 ) z = 2,514ei0,161 = 2, 48 + 0, 40i z = 2,514ei3,302 = 2, 48 0, 40i b z 2 = 34ei(2,601+ k 2 ) z = 2, 415ei1,301 = 1,19 + 2,10i z = 2, 415ei4,442 = 1,19 2,10i c z 2 = 50ei( 0,14 + k 2 ) z = 2, 659ei0,071 = 2, 65 0,19i z = 2, 659ei3,071 = 2, 65 + 0,19i d z 2 = 89ei(4,26 + k 2 ) z = 9, 434ei2,129 = 5 + 8i z = 9, 434ei5,271 = 5 8i e z 2 = 50ei( 0,79+ k 2 ) z = 2, 659ei0,393 = 2, 46 1, 02i z = 2, 659ei2,749 = 2, 46 + 1, 02i f z 2 = 5ei( 0,93+ k 2 ) z = 2, 336ei0,464 = 2 i z = 2,336ei2,678 = 2 + i Opmerking: Je kunt ook n van de antwoorden direct via de GRM vinden met de normale worteltoets. Het tweede antwoord is dan geen probleem meer.

Noordhoff Uitgevers bv

Netwerk 5-6 vwo wiskunde D Hoofdstuk 7 uitwerkingen

10

34 z 3 = ei + k 2 z = 3 e waarbij = arg( )

1 2 i ( + k ) 3 3

z=3 e

1 i 3

z= 3 e

1 2 i ( + ) 3 3

z= 3 e

1 4 i ( + ) 3 3

35 a z = e z=e z=e z=e 1 z = 1 z = 2 + 1 i 3 z = 1 1 i 3 (tekeningen hieronder) 2 2 23

i (0 + k 2 )

i 0

2 i 3

4 i 3

b z =e z=e z=e 1 1 1 1 z = 2 3 + 2 i z = 2 3 + 2 i z = i3 3 i ( + k 2 ) 1 2 i ( + k ) 3 3

1 i ( + k 2 ) 2

1 2 i ( + k ) 6 3

1 i 6

z=e1 i 3

5 i 6

z=ei

1 i 1 2

c z = 27e z = 3e z = 3e z = 3e z = 3e 1 1 1 1 z = 3( 2 + 2 i 3) = 1 2 + 1 2 i 3 z = 3 z = 3( 1 1 i 3) = 1 1 1 1 i 3 2 2 2 2 d z =e z=e z=e z=e z=e z=e 1 1 1 1 1 1 z = 2 2 + 2i 2 z = 2 2 + 2i 2 z = 2 2 2i 2 z = 1 2 1i 2 2 24 i ( + k 2 ) 1 1 i ( + k ) 4 2 1 i 4 3 i 4 1 i 1 4 3 i 1 4

2 i 1 3

z = 2e z = 2e z = 2e z = 2e e z = 16e 1 1 z = 2( 2 3 + 2 i ) = 3 + i z = 2( 1 + 1 i 3) = 1 + i 3 2 24

2 i ( + k 2 ) 3

1 1 i ( + k ) 6 2

1 i 6

2 i 3

1 i 1 6

z = 2e

2 i 1 3

z = 2( 1 3 1 i ) = 3 i z = 2( 1 1 i 3) = 1 i 3 2 2 2 2f z = 729e6 i 0 i (0 + k 2 )

z = 3e1 i 3

1 i (0+ k ) 3 2 i 3

i 1 i 1 3 2 i 1 3

z = 3e z = 3e z = 3e z = 3e z = 3e z = 3e 1 1 1 1 1 1 z = 3 z = 3( 2 + 2 i 3) = 1 2 + 1 2 i 3 z = 3( 2 + 2 i 3) = 1 1 + 1 1 i 3 2 21 1 1 1 1 z = 3 z = 3( 2 2 i 3) = 1 2 1 2 i 3 z = 3( 2 1 i 3) = 1 1 1 1 i 3 2 2 2

a 1 i

bi

c 1 3

3i

1

1

3

i

i

3i

di

e 1

f 2i

1 2

2 3

3i

3

i

2i

3i

Noordhoff Uitgevers bv

Netwerk 5-6 vwo wiskunde D Hoofdstuk 7 uitwerkingen

11

Kern 436 a f (1) = 1 + i; f (i ) = i 1 = 1 + i; f (1) = 1 i; f (1 + i ) = (1 + i )2 = 1 + 2i 1 = 2i y2i

v2i

f(1 + i)

2

4

x

f(i)

f(1)2 4

f(1)

u

b

f (0) = 0; f (2 2i ) = 4i; f (4i ) = 4i + 4 = 4 4i . Zie de tekening bij vraag a.

c Een draaivermenigvuldiging ten opzichte van O met factor

2 en hoek rad.4

1

37 a Het beeld van het middelpunt is f (3) = 3 + 3i 3 en de straal wordt 2 2 = 4 . b z 3 3i 3 = 4c Het beeld van het middelpunt is f ( 3 + i ) = (1 + i 3)( 3 + i ) = 3 + i + 3i 3 = 4i en de straal wordt 2 3 = 6 . De vergelijking is z 4i = 6 38

f ( z ) = (3 + 4i ) z is een draaivermenigvuldiging ten opzichte van O met factor 5 en een 4 draaihoek van inv tan = 0,93 = 0,3 rad ofwel 530. 3 f (1) = 3 + 4i en f (1 + i ) = (3 + 4i )(1 + i ) = 3 + 3i + 4i 4 = 1 + 7i . Je kunt nu de grenzen tekenen. y2i 2 4

v2i

x

2

4

u

39 a = 2e1

i 1 4

1 = 2(cos( 1 ) + i sin( 1 )) = 2( 2 2 1 i 2 ) = 1 i ; a = 1 b = 1 4 4 2 1 2

b = e 6 = cos 1 + i sin 1 = 6 6 c = 3e1 i 2 2 i 3

3+ 1i; a = 2

1 2

3 b =

1 2

= 3i ; a = 0 b = 3 = 2(cos 2 + i sin 2 ) = 2( 1 + 1 i 3) = 1 + i 3 ; a = 1 b = 3 3 3 2 2

d = 2e

Noordhoff Uitgevers bv

Netwerk 5-6 vwo wiskunde D Hoofdstuk 7 uitwerkingen

12

40 a Een draaivermenigvuldiging met factor 1 en hoek 1 . 3 b Over 1 . 3 c Over 1 1 of over 2 . 3 3 41 a

f (0) = 1; f (2) = 4i 1 = 1 + 4i; f (3i ) = 6 1 = 7

y2i 2 4

v2i

x

2

2

u

b x + iy x 1 + iy 2ix 2i 2 y = 2ix 2 y 2i = 2i ( x + iy ) 2i = 2iz 2i De functie is f ( z ) = 2iz 2i . 42 Voor de punten A, B en C geldt: 2 + = 4

(2 + 2i ) + = 2 + 2i 2i + = 0 = 2iAls je = 2i invult in 2 + = 4 krijg je 4 2 2(1 + i ) 2 2i = 4 = = = = 1 + i , dus = 2i (1 + i ) = 2 2i . 2 2i 1 i 2 Controle van de derde vergelijking geeft (2 + 2i )(1 + i ) + 2 2i = 2 + 2i + 2i 2 + 2 2i = 2 + 2i en dat klopt. De functie is f ( z ) = (1 + i ) z + 2 2i . of f is een draaivermenigvuldiging ten opzichte van met factor 2 en een hoek van 1 4 rad. Dus is w = ( z ) met = 2(cos + i sin ) = 1 + i .1 1

f ( z ) = w = (1 + i )( z ) + = (1 + i )( z 2 2i ) + 2 + 2i = (1 + i ) z 2 2i 2i + 2 + 2 + 2i = (1 + i ) z + 2 2i43 a e2i

4

4

e (3 4i ) 2 = 9 24i 16 = 7 24i

b 9e 2 i1

f (1 + i 2) 2 = 1 + 2i 2 2 = 1 + 2i 2i

c 64e 2 =64i d 16e 4i

g (7 i ) 2 = 49 14i 1 = 48 14i h ( + i 3) 2 = + i 3 = + i 32 2 4 2 4 2 2 1 1 1 1 3 1 1

Noordhoff Uitgevers bv

Netwerk 5-6 vwo wiskunde D Hoofdstuk 7 uitwerkingen

13

44 a Zie tekening linksonder. y 2i

8i

v

2

2i 4

x

4

2

u 4

8i

b De beelden zijn 0, 4, 4, 4, 4,8i, 8i (zie tekening rechtsboven). c De argumenten worden verdubbeld, arg(z) = en arg(z) = 2 of arg(z) = .3 3 3 2 2 2

d De modulus wordt gekwadrateerd, z = 9 e Het beeld is z = 4 met arg(z) = en arg(z) = , maar wel de rechter helft!2 2 1 1

y2i 2 4

v2i

x

2

4

u

f De modulus wordt gekwadrateerd, maar 12 = 1. De punten op de eenheidscirkel blijven op de eenheidscirkel, maar niet op hun plaats want het argument wordt verdubbeld. De cirkel wordt eigenlijk twee keer doorlopen. g Na kwadrateren moet het argument 0 + k zijn. Als je deze argumenten halveert kom je op de rele of de imaginaire as uit. h Na kwadrateren moet het argument + k zijn. Als je deze argumenten halveert kom je uit op Re(z) = Im(z). i Na verdubbeling krijg je + k 2 , dan had je + k .3 6 1 1 2 1

De originelen: arg(z) = en arg(z) = 1 .6 6

1

1

Noordhoff Uitgevers bv

Netwerk 5-6 vwo wiskunde D Hoofdstuk 7 uitwerkingen

14

45 a Zie tekening linksonder.

v8i

y 2i

2i 4

x

2

u 4

8i

b Bijvoorbeeld de volgende getallen: f (2) = 4; f (2 + i ) = 4 + 4i 1 = 3 + 4i; f (2 + 2i ) = 4 + 8i 4 = 8i; f (2 i ) = 4 4i 1 = 3 4i; f (2 2i ) = 4 8i 4 = 8i c f (2 + iy ) = 4 y 2 + i 4 y

u = 4 y2 v = 4y y = v4 1

y = v invullen geeft u = 4 4

1

1 16

v2 y

v8i

d Zie rechtsboven bij vraag a (de rode lijn). 46 a f (2 + iy ) = 4 y 2 i 4 y u = 4 y2 v = 4 y y = v4 1

2i 2 4 2i

x

2

u 4

y = v invullen geeft u = 4 4

1

1 16

v2 .

Dit is dezelfde parabool als bij som 45.8i

v b f ( x 3i ) = x 9 i 6 x2

8i

u = x2 9 v = 6 x x = v6 1

y2i1 36

2i 2 4

x = v invullen geeft u =6

1

v2 9 .

x

8

6 4

2

u

8i

Noordhoff Uitgevers bv

Netwerk 5-6 vwo wiskunde D Hoofdstuk 7 uitwerkingen

15

c

f ( x + ix) = x 2 x 2 + i 2 x 2 = i 2 x 2 u=0

y2i

v 2i2 4

v = 2 x2Het beeld is arg(w) = .2 1

x

2

4

u

(de positieve rele as) d f ( x ix) = x 2 x 2 i 2 x 2 = i 2 x 2 u=0 y2i1 2

v 2i2 4

v = 2 x 2Het beeld is arg(w) = . (de negatieve imaginaire as) 47 a f ( p + iy ) = p 2 y 2 + i 2 py

x

2

4

u

u = p2 y2 v = 2 py y = v 2py=

v v2 invullen geeft u = p 2 2 2p 4p

f ( p + iy ) = p 2 y 2 i 2 py

u = p2 y2 v = 2 py y = b

v 2p

v v2 2 y= invullen geeft u = p 2 2p 4p

f ( x + iq ) = x 2 q 2 + i 2qx

u = x2 q 2 v = 2qx x = v 2qx=

v2 v invullen geeft u = 2 q 2 2q 4q

f ( x iq ) = x 2 q 2 i 2qx

u = x2 q 2 v = 2qx x = Ja dus. 48 a Zie som 47a: u = a 2 b u = a2 v2 . 4a 2

v 2q

v v2 x= invullen geeft u = 2 q 2 2q 4q

v2 4a 2u = 4a 4 v 2 v 2 = 4a 2 (u a 2 ) 2 4a De top is (a 2 , 0) en 2 p = 4a 2 p = 2a 2 , de afstand is 1 p = a 2 . 2 c (0, 0) d Als a = 0 . Het beeld is dan arg(w) = , dus de negatieve rele as.

Noordhoff Uitgevers bv

Netwerk 5-6 vwo wiskunde D Hoofdstuk 7 uitwerkingen

16

Kern 549 a z5 54 + 83i; z6 3928 9143i b |zn| gaat naar oneindig. c Nee, in beide gevallen gaat de baan naar 0,14 + 0,39i. 50 0, i, 1 i, i, 1 i, i, ...rij periodiek vanaf z3 met periode 2. i, 1 i, i, ..... rij periodiek met periode 2. 1, 1 i, 3i, 9 i, 80 + 17i, 6111 + 2719i, ..... termen gaan naar oneindig. 0,3 0,625i, , z10 0,3036 0,63214i, , z20 0,5154 0,5963, ... z30 1,8049 0,1586i, ... , z35 325005543 1240185818i, .... de termen gaan naar oneindig.

51 a b c d

z 2 + 0,16 = z geeft z 2 z + 0,16 = 0 ( z 0, 2)( z 0,8) = 0 De baan van z0 gaat naar 0,2 De banen van 0,5 en 0,79 gaan naar 0,2; de baan van 0,81 naar oneindig. 0,2

52 a Kies 5 cm als eenheid. 1 |z0| = 0,8 en arg(z0) = 18 rad = 20; |z1| = 0,64 en arg(z1) = 40; |z2| 0,41 en arg(z2) = 80; |z3| 0,17 en arg(z3) = 160; |z4| = 0,03 en arg(z4) = 320 b z0 = e 18 : alle moduli zijn 1, voor argumenten zie a. z0 = 1, 2e 18 ; |z1| = 1,44; |z2| 2,1; z3 Voor argumenten zie a. c z=0 z=1 d 0 is aantrekkend. e De baan ligt op de cirkel |z| = 1.1 1

i

i

4,3; |z4|

18,5

53 a Als f( ) niet op J(c) ligt, is de baan van f( ) of begrensd, maar niet op J(c), of onbegrensd. In beide gevallen geldt dat dan ook voor de baan van . Maar dan ligt niet op J(c)! b Dat spreekt nu vanzelf 54 a z2 = 1 geeft z = i v z = i 1 1 b z2 = i geeft z = 2 2 + 1 i 2 z = 1 2 2 i 2 2 2 z2 = i geeft z =1 2 1 2 1i 2 z =1 2 + 2i 2 2 2 1 2

3 55 a z 2 4 = 1 geeft z 2 = 1 , dus z = 1 z = 2 4 2

b De ouders van De ouders van De ouders van

1 2 1 2 1 2

zijn 1 5 en 2

1 2

5

5 zijn in twee decimalen nauwkeurig 1,37 en 1,37 5 zijn 0,6i en 0,6i

Noordhoff Uitgevers bv

Netwerk 5-6 vwo wiskunde D Hoofdstuk 7 uitwerkingen

17

56 a b c d e f g h i j k l 57 a

0,25 samenhangend, gaat naar 0,5 0,26 niet samenhangend 0,5 niet samenhangend 0,5 samenhangend, gaat naar 0,366.. 0,5i samenhangend, gaat naar 0,136 + 0,393i i samenhangend, want baan periodiek, dus ook begrensd 0,6i samenhangend, gaat naar 0,171 + 0,447i 0,7i niet samenhangend 1 samenhangend (periodiek) 1,1 samenhangend (tweecyclus tussen 0,09 en 1,09) 1,5 samenhangend? (lijkt begrensd) 2 begrensd1 2

vn = ( 1 vn 1 )( 1 + vn 1 ) = 1 vn 12 . Hieruit: vn = vn 12 + 1 ; c = 2 2 4 4

1 4

b vn = vn 12 ; c = 0 c d 0,75 0, 75 < c 0, 25 e In de snijpunten van het niervormige gebied met de rele as. 58 59 a b c d e |2z| < 1, dus | z | < 1 , dus binnen de cirkel met middelpunt 0 en straal 21 2

.

c = 0: z = 0 (aantrekkend) en z = 1 c = 0,25: z = 0,5 (onbepaald, grensgeval) c = 0,75: z = 0,5 (onbepaald) en z = 1,5 c = 2: z = 1 en z = 2 3 c = 1 1 i : z = 4 + 1 i z = 1 1 i . De laatste is aantrekkend (|z| < 0,5). 4 8 4 4 4

3 1 3 f c = 15 i : z = 1 1 + 8 i z = 8 8 i . De laatste is aantrekkend. 32 8

60 a b c d

z = 0,75 en z = 0,25 c = 0,9: limieten: 0,8873 en0,1127 c = 1 + 0,2i: limieten: 1,0339 + 0,1873i en 0,0339 0,1873i c = 0,8+0,1i: limieten: 0,7844 + 0,1758i en 0,2156 0,1758i

Noordhoff Uitgevers bv

Netwerk 5-6 vwo wiskunde D Hoofdstuk 7 uitwerkingen

18

Kern 661 a U (t ) = 12ei100t t

b U (t ) = 120ei500

62 a U = 230 sin(200 t) b I ( t ) = 4ei(100 t + 1 ) 2

63 a Rtot = 30 b Rtot = 6 2 3 64 Bij een wisselspanning U hoort de complexe functie U (t ) = U max eit . a U (t ) = U max eit i = i U (t ) b I (t ) = C U (t ) = C i U (t ) , dus U (t ) = c ZC = i

1 i I (t ) = I (t ) . iC C

C

d arg(U (t )) = arg( I (t )) arg(

1 i) = arg( I (t )) 1 . 2 C

65 a U (t ) = L I (t ) = L I max eit i = i L I (t ) . b ZL = i L c arg(U (t )) = arg( L i) + arg( I (t )) = arg( I (t )) + 1 2 de stroom loopt een kwart periode in fase achter op de spanning 66 | Z L | = | i L | = | L | , dus L = 11000 1, 2 mH 2 1500000

67 a = 800 rad/s, f =

127 Hz 2 i 1 1 b | ZC | = | |=| | , 4000 = , dus C C 0, 000 005t

= 50 rad/s, f = 8,0 Hz

68 a U (t ) = 200ei200 b ZC =

i 53,05i 200 0,000 030 c Z L = i 200 0, 2 125,66i1 2

d Z = Z C + Z L = 53,05i + 125, 66i = 72, 61i ; |Z| = 72,6 en arg(Z) = 1 1 1 e = + 91,8i ; |Z| = 91,8 en arg(Z) = 1 2 Z 53,05i 125,66i

Noordhoff Uitgevers bv

Netwerk 5-6 vwo wiskunde D Hoofdstuk 7 uitwerkingen

19

69

U(t) = 110ei 200 t; ZC = 7957,7i; Z = 50 7957,7i; |Z| = 7957,9, arg(Z) = 1,56 | U (t ) | 110 | I (t ) | = = = 13,8mA |Z | 7957, 9 arg( I (t )) = arg(U (t )) arg( Z ) = 200 t + 1,56 I = 13,8sin(200 t + 1,56) Z = 49,998 0,314i; |Z| = 49,999, arg(Z) = 0,0063; |I(t)| = 2,2 A; arg( I (t )) = arg(U (t )) arg( Z ) = 200 t 0,0063 I = 2,2sin(200 t 0,0063)

70

71 a ZL = 10 i; Z = 15 + 10 i; |Z| = 34,81, arg(Z) = 1,1253; I = 9,3 sin(100 t +1,13) 1 1 1 b ZC = 79,58i; ZL = 12,57i; = + 0,0358 0, 0100i ; Z Z C 20 + Z L Z = 25,90 + 7,19i; |Z| = 26,878 en arg(Z) = 0,27 I = 12,1sin(100 t + 0,27) c Z = 100 6366,20i + 31,42i = 100 6334,78i; |Z| = 6335,6 en arg(Z) = 1,56; I = 6336sin(100 t 1,56) 72 a U (t ) = 325ei100 t ; ZC = 106,10i; ZL = 37,30i IR = 3,25 sin(100 t); IC(t) = 3,06i ei100 t =3,06 ei100 t i100 t 1 2 i100 t + 1 2

;

IL(t) = 8,62i e = 8,62 e IC = 3,06sin(100 t + 1 ) en IL = 8,62sin(100 t 2 b Z = 25,48 + 43,58i; |Z| = 50,48 en arg(Z) = 1,04 I = 6,44sin(100 t + 1,04).

1 2

)

Noordhoff Uitgevers bv