Wiskunde statistiek

Statistiekbegrippen en hoe je ze berekent!!

Welke statistiekbegrippen zijn er?

G em iddelde M odus

3e kw artiel

1e kw artie l

M ediaan

G roots te w aarnem in gsgetal

K lein s te w aarn em in gsgetal

B oxplot

Welke statistiekbegrippen zijn er?

K an s V erw ach tin g

K an sb erek en in g

Welke statistiekbegrippen zijn er?

S taa fd iag ram L ijn d iag ram C irke ld iag ram

D iag ram m en

Het gemiddelde

• Cijfers ( w ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10• Frequentie ( f ) 0 2 1 4 6 9 6 4 6 2 40

• w x f 0 4 3 16 30 54 42 32 54 20 255

• De totale frequentie is 0+2+1+4+6+9+6+4+6+2 = 40• De som van waarnemingsgetal x frequentie is:

0+4+3+16+30+54+42+32+54+20 = 255• Het gemiddelde is 255 : 40 = 6,375• Afgerond op 1 decimaal is dat 6,4

Wat is de modus?

• De modus is het waarnemingsgetal dat het meeste voorkomt, dus in dit geval het cijfer met de hoogste frequentie.

• Cijfers ( w ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10• Frequentie ( f ) 0 2 1 4 6 9 6 4 6 2

• De hoogste frequentie is 9, het cijfer dat daarbij hoort is de 6.

• De modus is dus 6.

Wat is de mediaan?• Cijfers ( w ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10• Frequentie ( f ) 0 2 1 4 6 9 6 4 6 2

• De mediaan is het middelste waarnemingsgetal• We zetten alle waarnemingsgetallen op een rijtje van

klein naar groot:

• 2 2 3 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 10 10

• Het zijn 40 getallen, dat is een even aantal dus hebben we 2 middelste getallen, nl nr 20 en 21

• De mediaan berekenen we nu als volgt (6+6) : 2 = 6

Als de frequentie groot is!

• Als we veel gegevens hebben is het handig om cumulatief op te tellen.

• W 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10• f 0 2 1 4 6 9 6 4 6 2

• nr. 1-2 3 4-7 8-13 14-22 23-28 29-32 33-38 39-40• t/m2 t/m3 t/m 7 t/m 13 t/m 22 t/m 28 t/m 32 t/m 38 t/m 40

• Totale frequentie is 40 • De middelste waarnemingsgetallen zijn dan:

– nr. 20 (40:2) en nr.21 (20 + 1) De cijfers (w) die daarbij horen zijn 6 en 6

– De mediaan is dus (6 + 6) : 2 = 6

Wat is een boxplot???

• Een boxplot is een statistisch begrip.• Het geeft een verdeling weer van een

aantal gegevens in stukken van 25%.• De verdeling wordt via een schema

weergegeven.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Wat moet je eerst bepalen?

• Het kleinste waarnemingsgetal• Het grootste waarnemingsgetal• De mediaan• Het 1e kwartiel• Het 3e kwartiel

Hoe bepaal je de mediaan??

• We zoeken het middelste waarnemingsgetal

• Wat is de frequentie?• Als die even is zijn er 2 middelste

waarnemingsgetallen• Als die oneven is, is er 1 middelste

waarnemingsgetal

Hoe bereken je het middelste getal?• Deel de frequentie

door twee• Bij een even aantal

zijn de uitkomst en de uitkomst plus 1 de middelste getallen

• Welke waarnemingsgetallen horen hierbij, tel op en deel door twee.

• Dat is de mediaan!! 02468

1012141618202224

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

frequentie

Voorbeeld• cijfers 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10• frequentie2 4 5 2 3 12 15 23 13 7• cumulatief tm2 tm6 tm11 tm13 tm16 tm28 tm43 tm66

• de totale frequentie is 2+4+5+2+3+12+15+23+13+7= 86

• even: dus 2 middelste waarnemingsgetallen,• dat is nr 43 (86 : 2) en nr 44 (43+ 1)• nr 43 hoort bij waarnemingsgetal 7 en nr 44 hoort bij

waarnemingsgetal 8 dus (8 + 7) : 2 = 7,5 is de mediaan

Hoe bereken je het 1e kwartiel??

• Dit gaat op dezelfde manier als de mediaan, alleen gebruik je nu de eerste helft van de gegevens.

• cijfers 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10• frequentie2 4 5 2 3 12 15 23 13 7• cumulatief tm2 tm6 tm11 tm13 tm16 tm28 tm43 tm66

• de totale frequentie is 2+4+5+2+3+12+15+23+13+7= 86• de helft daarvan is 43. Dus nr 22 (43:2+0,5) geeft het 1e

kwartiel. Het bijbehorende waarnemingsgetal is 6

Hoe bereken je het 3e kwartiel??

• Dit gaat op dezelfde manier als de mediaan, alleen gebruik je nu de tweede helft van de gegevens.

• cijfers 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10• frequentie2 4 5 2 3 12 15 23 13 7• cumulatief tm2 tm6 tm11 tm13 tm16 tm28 tm43 tm66

• de totale frequentie is 2+4+5+2+3+12+15+23+13+7= 86

• de helft daarvan is 43. Dus nr 22 (43:2+0,5), geteld vanaf nr 44 geeft je het 3e kwartiel. Dit is nr 65. Het bijbehorende waarnemingsgetal is de 8

Wat hebben we nu gevonden?

• Het kleinste waarnemingsgetal 1• Het grootste waarnemingsgetal 10• De mediaan 7,5• Het 1e kwartiel 6• Het 3e kwartiel 8

Maak er nu een boxplot van• Kleinste waarnemingsgetal is 1

• Het grootste waarnemingsgetal is 10

• De mediaan is 7,5

• Het 1e kwartiel is 6

• Het 3e kwartiel is 8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Welke conclusies kun je hieruit trekken??

• 25% van de cijfers is kleiner dan of gelijk aan 6• 25% van de cijfers is groter dan of gelijk aan 8• meer dan 75% van de cijfers is voldoende• minder dan 25% van de cijfers is onvoldoende• meer dan 50% van de cijfers is hoger dan 7

25% 25% 25% 25%

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Hoe bereken je het middelste getal?

• Deel de frequentie door twee

• Bij een oneven aantal is de uitkomst plus 0,5 het middelste getal

• Welk waarnemingsgetal hoort hierbij?

• Dat is de mediaan!! 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

frequentie

Voorbeeld• cijfers 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10• frequentie2 4 5 2 3 12 15 20 13 7• cumulatief tm 2 tm6 tm11 tm13 tm16 tm28 tm43

• de totale frequentie is 2+4+5+2+3+12+15+20+13+7= 83

• oneven dus 1 middelste, dat is nr 83: 2 + 0,5 = 42

• nr 42 hoort bij waarnemingsgetal 7 dus 7 is de mediaan

Kansberekening

• Er wordt vaak gevraagd: ” Hoe groot is de kans dat …….”

• Om hier een antwoord op te kunnen geven moeten we een aantal dingen weten

• Voor de berekening ervan kunnen we een aantal hulpmiddelen gebruiken

Hoe bereken je de kans?

• De kans bereken je door te tellen

• Hoeveel mogelijkheden zijn er in totaal

• Hoeveel van die mogelijkheden voldoen aan de eis?

Voorbeeld

• Je hebt 10 chocolaatjes: 3 melk, 5 puur en 2 met nootjes.

• Hoe groot is de kans op een chocolaatje met nootjes?– Totaal 10, waarvan 2 met nootjes, dus

een kans van 2 op 10– Vereenvoudigd: een kans van 1 op 5

Telmethoden

Boom diagram W egendiagram Tabel

Boomdiagram

• In een boomdiagram zijn alle mogelijkheden van een telprobleem apart te zien.

Voorbeeld• Werpen met twee

munten.• Hoe groot is de kans op

”2 keer kop”?• Er zijn 4 mogelijkheden• Daarvan is 1 tweemaal

kop• Kans dus 1 op 4

k m

k m k m 1 2 3 4

Wegendiagram

• Hierin kun je het aantal combinaties vinden door de aantallen wegen tussen de knooppunten met elkaar te vermenigvuldigen.

3 x 3 x 4 = 36

Voorbeeld

• In een vlag zitten drie banen

• Voor elke baan kun je kiezen uit 3 kleuren

• Hoeveel mogelijkheden zijn er met een gele baan in het midden?

3 x 3 x 3 = 27

r r g g g

b b

3 x 1 x 3 = 9

Totaal 27, waarvan er 9 aan de eis voldoen, dus: 9 op 27 is een kans van 1 op 3

Tabel

In een tabel kun je de mogelijkheden van een telprobleem systematisch opschrijven.

1 2 3 4 5 61 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,62 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,63 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,64 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,65 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,66 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6