tuffi ffinÊtrs#ffi *##

ryff, ar nÀffi

(?c;UU1CVIUoorururTïVImÍï1ín\-

€m7,

€nVt}[Cz,U*?I

Cursus

door

zes eeuwen wiskunde

drs J.H. Derks

i

Inhoud

1. Europa tot aan de Renaissance ................................................. 1

A Van verval tot herleving ..................................................... 11) 400–1000: Germanen op de ruïnes van de Romeinse beschaving...... 12) Opkomst van de steden....................................................... 3

B Twee eeuwen van bloei ...................................................... 41) Leonardo van Pisa ............................................................. 42) Bloei van de scholastiek; opkomst van de wetenschapsleer ........... 73) Continue grootheden; de eerste grafieken................................ 94) Oneindig klein en oneindig groot; reeksen .............................. 105) Verval van de middeleeuwse wetenschap ............................... 12

2. De Renaissance .................................................................. 13

A Popularisering van rekenen en algebra; 1450-1550................... 131) Gedrukte boeken zetten beweging op gang............................. 132) Regiomontanus ............................................................... 143) Algebra leerboeken.......................................................... 14

B De doorbraak in de algebra ............................................... 161) Tartaglia bedrogen door Cardano......................................... 162) De oplossing van de derdegraads vergelijking .......................... 183) De oplossing van de vierdegraads vergelijking ......................... 194) De gevolgen van "Artis magnae"........................................... 20

C Meetkunde in de sterrenkunde, aardrijkskunde en schilderkunst.. 211) Copernicus .................................................................... 212) Cartografie.................................................................... 223) Perspectief.................................................................... 24

3. Sprong naar de moderne algebra............................................. 26

A Viète ........................................................................... 261) Viètes leven en betekenis .................................................. 262) Bijdragen aan rekenkunde en algebra ................................... 273) Prostaferese .................................................................. 274) Ontwikkeling van de vlakke driehoeksmeting .......................... 295) Viète en de derdegraads vergelijking .................................... 306) Hoekveelvoudformules...................................................... 317) De uitdaging .................................................................. 32

B Praktische methoden ....................................................... 341) Machines ...................................................................... 342) Logaritmen.................................................................... 353) Praktische bewijsvoering ................................................... 36

ii

4. Baanbrekers van de zeventiende eeuw ..................................... 38

A Nieuwe methoden en een nieuw wereldbeeld ......................... 381) Francis Bacon: kennis is macht............................................ 382) De oude mechanica.......................................................... 393) Galileo Galilei ................................................................ 394) De zon in het centrum ...................................................... 405) De geheimvolle meetkunde van het heelal.............................. 416) De harmonie van de veelvlakken.......................................... 437) Thomas Hariot................................................................ 448) Oude krommen met nieuwe toepassingen............................... 459) De methode van de ondeelbaren ......................................... 46

B René Descartes............................................................... 481) Een ambitieus denker ....................................................... 482) "Discours de la méthode" (Bespreking van de onderzoeksmethode) 503) "La Géométrie" (Meetkunde)............................................... 514) Meetkundige plaatsen....................................................... 525) Elementaire Verhandeling over veelvlakken ............................ 546) De ovalen van Descartes.................................................... 557) Wat is een bewijs? ........................................................... 56

C De projectieve meetkunde van Desargues .............................. 591) Nogmaals kegelsneden ! .................................................... 592) Invarianten op een lijn...................................................... 613) Punten in het oneindige .................................................... 624) Pool en poollijn .............................................................. 635) De stelling van Desargues .................................................. 64

D De wetenschappelijke academies ........................................ 655. De grote hobbyisten uit de zeventiende eeuw............................. 67

A Pierre de Fermat ............................................................ 681) De hobby van een bestuurder ............................................. 682) Getaltheorie .................................................................. 683) De vergelijking x2 — Ay2 = B................................................ 704) De laatste stelling van Fermat ............................................ 725) De methode van oneindige afdaling ...................................... 736) Coördinatenmeetkunde..................................................... 757) 'Functieonderzoek' ........................................................... 768) Oppervlakten onder een kromme ......................................... 779) Licht volgt de kortste weg ................................................. 77

B Blaise Pascal.................................................................. 791) Leven en lijden van een genie............................................. 792) De stelling van Pascal ....................................................... 823) De 'driehoek van Pascal' en kansrekening ............................... 834) Epi-/hypocycloïden, trochoïden en de 'slaklijn' van Pascal........... 84

iii

6. Isaac Newton en zijn tijd ...................................................... 88

A Newtons voorgangers ....................................................... 881) Het begin van de differentiaal- en integraalrekening ................. 882) John Wallis en Isaac Barrow ............................................... 893) Christiaan Huygens, "beste navolger der ouden" ....................... 904) De cycloïde, weg van gelijkdurige en van kortste val ................. 935) De cycloïde, analytisch bekeken .......................................... 946) Cissoïde........................................................................ 957) De halfkubieke parabool.................................................... 968) Moderne sterrenwachten ................................................... 98

B Levensloop van Newton .................................................... 981) Achtergrond en karakter ................................................... 992) Zijn wetenschappelijk werk .............................................. 1013) De politiek ................................................................... 102

C Newtons optisch onderzoek .............................................. 103

D Newtons wiskundige theorieën .......................................... 1041) Binomiale reeksontwikkeling ............................................. 1042) Een kromme als afgeleide van de oppervlaktefunctie ............... 1063) De oppervlaktefunctie van 1/x; reeksontwikkeling van ln(1+x) ..... 1074) Impliciet differentiëren met de 'flux' ................................... 1105) 'Recht maken' van krommen .............................................. 1116) De algemene derdegraads kromme...................................... 112

E Newtons rekenmethoden ................................................. 1151) Benadering van oplossingen van n-degraads vergelijkingen......... 1152) De Newton-Raphsonmethode ............................................. 1163) Reeksontwikkeling op basis van tabellarische waarnemingen ...... 1174) Newtonse sommen.......................................................... 1205) Methode van Horner........................................................ 121

F Philosophiae naturalis principia mathematica........................ 1221) Voorgeschiedenis ........................................................... 1222) De inhoud .................................................................... 1243) De redacteuren van Newtons "Principia"................................ 125

7. Infinitesimaalrekening op het vasteland................................... 127

A Gottfried Leibniz ........................................................... 1271) Levensloop ................................................................... 1272) Wetenschappelijke voorgangers ......................................... 1283) Partiële sommatie .......................................................... 1294) Partiële integratie .......................................................... 1305) Een reeksontwikkeling voor /4.......................................... 1316) Ontwikkeling van het integraalbegrip en zijn notatie................ 1337) De integraal van 1/x ........................................................ 1358) De controverse Newton-Leibniz .......................................... 135

iv

B De kring rond Leibniz ...................................................... 1371) De familie Bernoulli ........................................................ 1372) De getallen van Bernoulli.................................................. 1403) Poolcoördinaten en cilindercoördinaten................................ 1414) Breuksplitsing ............................................................... 145

C Nieuwe krommen........................................................... 1461) Cyclometrische functies ................................................... 1462) De kettinglijn................................................................ 1463) De sleepkromme ............................................................ 1484) De Cassinische ovalen en het lemniscaat............................... 149

8. Oneindige reeksen ............................................................. 151

A Somreeksen.................................................................. 1511) De klassieke machtreeksen ............................................... 1512) Convergentie en divergentie.............................................. 1533) De constante van Euler .................................................... 155

B Nieuwe reeksen van Euler ................................................ 1551) Zetafunctie .................................................................. 1552) Gammafunctie............................................................... 1583) Betafunctie .................................................................. 1624) De afgeleide van de gammafunctie...................................... 162

9. Euler in de tijd van de verlichting .......................................... 163

A De verlichting ............................................................... 1631) De nieuwe academies en het staatsbelang............................. 1632) Frankrijk...................................................................... 1643) Pruisen........................................................................ 1664) Rusland ....................................................................... 166

B Euler .......................................................................... 1681) Een productief leven ....................................................... 1682) Eulers filosofische gedachten............................................. 173

C Ontwikkeling van de wiskunde........................................... 1741) Hogeregraads krommen in het platte vlak ............................. 1742) Ruimtelijke coördinatensystemen en krommen ....................... 1743) Functietypen ................................................................ 1754) Parametrische voorstellingen van ruimtelijke krommen ............ 1765) Potentiaal en andere toepassingen in drie dimensies ................ 178

10. Het kader van wetenschappelijk werk ..................................... 180

A Levensbeschouwing en verspreiding van universiteiten............. 180

B Wiskundigen en hun publicaties ......................................... 182

C Talen van publicatie ....................................................... 18511. Toegepaste wiskunde in de eeuw na Newton ............................. 188

A Mechanica.................................................................... 188

xi

VOORWOORD

In dit boek komen talloze wiskundige ontdekkingen aan de orde, dievanaf 1300 gedaan zijn door mannen als Descartes (analytischemeetkunde), Fermat (getaltheorie), Pascal (kansrekening) en Newton(differentiaalrekening), totdat de wiskunde in de achttiende eeuw,vooral dank zij het succes van de reeksontwikkeling (Euler), eenzelfstandige wetenschap werd.Het belang van de exacte wetenschappen voor de industriële ontwikke-ling nam sterk toe. Overal werden universiteiten opgericht, weten-schappelijke academies schreven regelmatig prijsvragen uit en over-heden gaven opdrachten tot wetenschappelijk onderzoek.In de negentiende eeuw groeide het aantal beoefenaren van de wis-kunde explosief en leidde het onderzoek tot vergaande specialisatie.Carl Gauss was wellicht de laatste wiskundige met een allesomvattendekennis. Er ontstonden ook scholen van wiskundigen met uiteenlopendekennisfilosofische visies op de wiskunde, van intuïtief tot speculatief.Wat nu voor het kandidaatsexamen wiskunde aan de universiteit alsstudiepakket aangeboden wordt, bestaat historisch gezien uit vele lossetheorieën en aanvullingen op theorieën, die in moeizame denkprocessenen soms hevige concurrentie tussen mensen en instituten gevormd zijn.Voor degenen die de wiskunde gewoonlijk op een abstracte, misschienwel saaie manier aangeboden hebben gekregen is het de moeite waardkennis te nemen van deze geschiedenis van zes eeuwen wiskunde. Ikhoop dat zij genieten van de herkenning of aanleiding vinden om ze alsnieuw te bestuderen.Ik probeer de grote lijnen in de zes eeuwen tussen 1300 en 1900 tedoorlopen, vandaar het woord 'cursus'. Veel wiskundigen hebben eenboeiend, soms ook dramatisch leven gehad. Ik zou niet precies kunnenverantwoorden, waarom ik juist deze wiskundigen heb uitgekozen.Daarom is dit boek niet de 'geschiedenis van de wiskunde'. Ik heb geenwetenschappelijke verhandeling willen schrijven. Dan zou ik ontelbarekeren naar literatuur hebben moeten verwijzen.Van de hogere wiskunde heb ik vooral de grondslagen proberen tebelichten. Om didactische redenen heb ik wiskundeproblemen inpopulair-wetenschappelijke taal en met gebruikmaking van de huidigenotaties uiteengezet.Voor degenen die zich verder willen verdiepen is achteraan een litera-tuurlijstje bijgevoegd.

Johan Derks, leraar wiskunde

xii

OVER DE AUTEUR

Johan Derks (1940), jongste van een gezin uit de Utrechtsemiddenklasse, blonk al vroeg uit in de wiskunde en volgde de studietheoretische natuurkunde aan de Universiteit van Utrecht.Vanuit missionaire bewogenheid en de drang om de wereld te verkennenvertrok hij als 25-jarige naar Oeganda om daar les te geven in dewiskunde.Na twee jaar teruggekeerd in Nederland gaf hij de stoot tot deoprichting van de Wereldwinkels. Als leraar aan een Nederlandse schoolhield hij het niet lang uit en hij vertrok opnieuw naar het zwartewerelddeel, nu naar franstalig Kameroen.Onzeker over zijn beroepskeuze studeerde Derks tussen 1973 en 1988 indeeltijd sociologie in Utrecht en Tilburg. In die laatste stad was hij eenvan de voortrekkers van de vredesbeweging. Ondertussen gaf hij korteperiodes op meerdere middelbare en hogescholen les in wiskunde enmechanica.Zijn langste werkgever in het onderwijs was het Mondriaanlyceum,tegenwoordig scholengemeenschap Esprit, in Amsterdam.In die tijd begon hij zich te interesseren voor de geschiedenis van dewiskunde en gaf in eigen beheer het boekje Van Euclides tot 'al-gabr'uit, over de periode tot 1300. Van 1997 tot 2008 studeerde en schreefhij verder aan de periode vanaf 1300.Leraar Derks verzet zich fel tegen de tendens om voor eigen gewin allesmaar meteen in het Engels te publiceren. Volgens zijn overtuigingschept dit een kenniskloof in de nationalesamenleving. Vandaar dat hij medewerker is van destichting 'Taalverdediging'.Sinds 1995 is hij ook zeer actief in de bewegingvoor de internationale taal Esperanto. Waar hetdominante Engels een symptoom is vanmaterialisme, staat het Esperanto voorgelijkwaardigheid en vriendschap.Derks is in 2005 getrouwd met de uit Serviëafkomstige Svetlana Milanović, een Esperanto-huwelijk. Sinds 2012 woont het echtpaar inBelgrado.

1

1. Europa tot aan de Renaissance

A VAN VERVAL TOT HERLEVINGvermelde personen in 1.A: Alquinus van York 735-804Aristoteles 384-322 v. Chr. al-Chwârizmî 790-840Ptolemaeus, Claudius 85-165 Adelard van Bath 1090-1160Boëthius 480-524 Gerard van Cremona 1114-1187

1) 400–1000: Germanen op de ruïnes van de Romeinsebeschaving

In de vierde eeuw verzwakte het Romeinse rijk zienderogen dooraanvallen van Germaanse stammen. De gebieden aan de overzijde vanRijn en Donau werden opgegeven, maar ook binnen de nieuwe rijks-grenzen vestigden zich Germaanse heersers die slechts in naam hetgezag van de Romeinse keizer erkenden. Germaanse koninkrijkenontstonden in Gallië en Spanje, zoals het Frankische rijk van de laterekoning Clovis en Aquitanië, het uiteindelijke land van vestiging van deWest-Goten. De Vandalen staken in 407 de Rijn over en begonnen aaneen veroveringstocht, die eindigde in Noord-Afrika, waar zij hun konink-rijk stichtten. Plotseling doemden de Hunnen, stamverwant met deTataren, op uit de Centraal-Aziatische steppen. Zij werden gelijkelijkgevreesd door Romeinen en Germanen. In 451 versloegen hun gezamen-lijke legers het leger van koning Attila. In 455 stak de Vandaalse koningGenserik, ariaan van gezindte en verklaard vijand van het christelijkeRoomse rijk, de Middellandse Zee over en plunderde Rome. In 476 zettede Germaanse koning Odoacer keizer Romulus Augustulus af. Twaalfjaar later veroverden de Oost-Goten Italië. Hun koning Theoderikhandhaafde voor zover mogelijk de bestaande religieuze en socialeorde. Sinds de vierde eeuw was de christelijke kerk goed georganiseerden ook de kerk bewaarde zo goed als ze kon de culturele traditie vanhet Romeinse rijk. Veel Germaanse stammen hadden zich met hunleiders bekeerd tot het katholieke geloof.Theoderik benoemde Boëthius (zie Ea1, 5.C2), telg uit een oudeRomeinse familie, tot minister en Cassiodorus tot hoogste rechter.Cassiodorus stichtte kloosters, waar hij de monniken manuscripten vanklassieke auteurs liet overschrijven.Boëthius stelde zich tot taak de resten van de Grieks-Romeinse be-schaving aan de nieuwe Germaanse generatie door te geven. Het Latijnbleef de taal van de Kerk en de wetenschap.

1 Met Ea wordt verwezen naar Van Euclides tot 'al-gabr', een didactischegeschiedenis van de wiskunde tot 1300, te bestellen door overschrijving van € 15,=naar rek.nr. 389642894, t.n.v. J.H. Derks.

2

Hij vertaalde enkele werken van Aristoteles in het Latijn, schreef opbasis van een gebrekkige kennis van enkele delen van Euclides' "deElementen" een (slecht) leerboek over meetkunde, een boek overgetallenleer, dat niet verder reikte dan wat al aan de Pythagoreeërsbekend was (geen breuken en negatieve of irrationale getallen), eenboek over sterrenkunde en een over muziek. Hiermee bestreek hij hetviertal 'vrije kunsten' ('quadrivium'), dat op de hogere (klooster)scholenonderwezen werd. Daarnaast bestond het op de 'lagere' scholen onder-wezen 'trivium': spraakkunst, welsprekendheid en redeneerkunst(logica).

Het verdwijnen van het centrale gezag had niettemin grote gevolgen.De grootschalige economie en het geldstelsel verdwenen. De steden

Figuur 1: Rekenwedstrijd tussen Pythagoras (575-500 v.Chr.) en Boëthiusonder toezicht van Aritmetica,één van de zeven Vrije Kunsten

(gravure uit "Margarita Philosophica", Gregor Reisch, 1508)

3

gingen achteruit en feodale landadel kwam aan de macht. In het Fran-kische rijk werd deze vanaf 751 geleid door de Karolingers.De macht in het niet-islamitische deel van Europa werd gedeeld door depaus in Rome en de Oost-Romeinse keizer. Om de Germaanse landenaan zich te binden kroonde de paus in het jaar 800 Karel de Grote tot'Keizer van het heilige Roomse rijk'. Deze wist zijn rijk uit te breidenvan Denemarken tot Italië en van de Donau tot Spanje.Aan het Karolingische hof was ook Alquinus van York verbonden. Dezestichtte op het vasteland tal van scholen en schreef "Problemen voorhet scherpen van de geest", waarin veel oosterse raadseltjesvoorkwamen zoals:"Een wolf, een geit en een kool moeten overgevaren worden naar deandere oever van een rivier. De boot kan behalve de veerman maar eenvan de drie bevatten. In welke volgorde moet de veerman hen over-varen zo dat de geit de kool niet eet en de wolf de geit niet verslindt?"Van 400 tot 1100 boekte de wiskunde in Europa geen enkele vooruit-gang. Alleen dank zij de Franse monnik Gerbert, die tussen 967 en 969Arabische scholen in Spanje bezocht, maakte men in Europa kennis methet astrolabium en de spiegel, voor het bepalen van hoogten en afstan-den (astrolabium = 'sterrennemer'. Wij zeggen nog: 'poolshoogtenemen').Terwijl men in Frankrijk nog rekende met behulp van de abacus (tel-bord), verdiepte Gerbert zich in de kennis van de Indo-Arabische cijfers.Gerbert werd al spoedig raadsman van keizer Otto III (wiens grootvaderOtto I in 962 als eerste Duitser gekroond was tot 'Keizer van het heiligeRoomse rijk') en werd in 979 tot paus gekozen onder de naam SylvesterII.Door dergelijke contacten raken de geleerden in Europa op de hoogtevan het bestaan van de bloeiende Arabische cultuur en bijv. ook van deIndo-Arabische cijfers.

2) Opkomst van de stedenIn de elfde en twaalfde eeuw nemen de steden in Europa geleidelijk inomvang toe dank zij een grotere agrarische productie door beterelandbouwmethoden. Handel en geldeconomie groeiden. Westersestudenten komen, eerst in Spanje en op Sicilië, in contact met deislamitische cultuur. Spanje is het grote culturele centrum, waar onderanderen filosofen als Averroës en de joodse geneesheer Maimonidesdoceerden. In Toledo functioneert een school van vertalers, waar jodenvaak als tolk fungeren. Adelard van Bath bezoekt Spanje, Jeruzalem,Damascus en Bagdad en vertaalt o.a. astronomische tabellen van al-Chwârizmî, "de Elementen" van Euclides en de "Almagest" vanPtolemaeus.De meest vruchtbare vertaler is echter Gerard van Cremona, die leiding

4

geeft aan de vertaling van meer dan 80 werken. Hij levert een beslis-sende bijdrage aan de opleving van de middeleeuwse wetenschap.Terwijl de natuurleer van Aristoteles in 1215 verboden was, wordt zijtwintig jaar later weer toegelaten en een eeuw later is de studie vanAristoteles zelfs voorwaarde om leermeester in de theologie te worden.In Europa heerste als filosofische stroming de 'scholastiek', de leer derkloosterscholen. Zij was er op gericht de dogma's, die in de vooraf-gaande eeuwen onder leiding van de kerkvaders waren vastgesteld,filosofisch te onderbouwen en toegankelijk te maken voor de nog nietgekerstende volken. Door de studie van uit het Arabisch vertaaldegeschriften wordt het intellectuele klimaat langzamerhand iets libe-raler. In vele steden worden universiteiten ("universitas litterarum" =geheel der wetenschappen) gesticht: Parijs, Keulen, Oxford, Bologna enPadua. Dit zijn internationale studiecentra, gericht op het ontwerpenvan een compleet wereldbeeld onder leiding van de officiële theologie.Tot dan toe werden theologie en filosofie, welke laatste alle vrijekunsten omvatte, alleen onderwezen aan hogere kloosterscholen.

B TWEE EEUWEN VAN BLOEIvermelde personen in 1.B: Grosseteste, Robert 1168-1253Aristoteles 384-322 v. Chr. Leonardo van Pisa 1170-1250Eudoxos 325-265 v. Chr. Albert de Grote 1206-1280Archimedes van Syracuse 287-212 v. Chr. Bacon, Roger 1214-1292Apollonius van Perga 262-190 v. Chr. Willem van Moerbeke 1215-1286Heron van Alexandrië 10-75 Campanus van Novara 1220-1296Diophantus van Alexandrië 200-284 Thomas van Aquino 1225-1274Augustinus van Hippo 354-430 Bradwardine, Thomas 1295-1349al-Chwârizmî 790-840 Oresme van Lisieux 1323-1382al-Karkhî 953-1029 Galilei, Galileo 1564-1642al-Samaw'al 1130-1180 Suiseth, Richard werkbloei 1350

1) Leonardo van PisaDe steden bevochten hun onafhankelijkheid van de landadel, vaak inbondgenootschap met de vorsten. Deze verleenden aan de burgersrechten, waardoor zij zelf meer macht kregen over de adel. Militaire(kruistochten) en handelscontacten kwamen tot stand met het oosten.Vanuit Genua, Pisa, Venetië, Milaan en Florence gingen handelaren naarhet oosten. Zoals 1800 jaar eerder belangstelling voor wiskunde wasontstaan bij zeevarende Griekse kooplieden, zo verzamelden nu Itali-aanse kooplieden informatie uit het Verre (Marco Polo) en het NabijeOosten (Leonardo van Pisa).Leonardo's vader was koopman en douanebeambte geweest in Algerije.Daar leert Leonardo Arabisch en wiskunde van een kruidenkoopman. Opzijn eigen handelsreizen probeert hij meer te weten te komen van deArabische wetenschap. Hij bereist Sicilië, Egypte, Syrië en Griekenland.Bij terugkeer in Italië rond 1200 schrijft hij het "Boek over het telbord",

5

waarin hij begint met de betekenis van de negen Indische cijfers uit teleggen en van het teken '0', 'dat in het Arabisch 'sifr' wordt genoemd'.Vandaar 'zéro' en 'chiffre' in het Frans en 'cijfer' in het Nederlands.Vervolgens doet hij de optelling, aftrekking, vermenigvuldiging, delingen het worteltrekken voor.Hij behandelt allerlei financieel-rekenkundige problemen, de oplossingvan tweedegraads vergelijkingen, onbepaalde vergelijkingen, bereke-ningen met wortels, enz. Daarbij put hij uit Euclides' "de Elementen" enuit geschriften van Heron van Alexandrië en al-Chwârizmî. Waarschijn-lijk heeft hij ook contact gehad met de school van algebra-reken-meesters al-Karkhî (of al-Karaji) en al-Samaw'al (zie Ea, 6.C4).Het boek was te moeilijk voor zijn tijdgenoten en werd op de scholenniet gebruikt. Toch heeft het op de lange duur een grote invloed gehad.Een beroemd probleem, dat in het "Liber abbaci" behandeld wordt is:"Hoeveel konijnenparen worden er iedere maand geboren, als je metéén paar begint en elk paar na de eerste levensmaand elke maand éénnieuw paar voortbrengt? Er gaan geen konijnen dood."Het eerste paar is de eerste maand nog alleen. De tweede maandbrengt het een tweede paar voort en na een maand nog een paar, zodater dan drie paren zijn. De vierde maand produceren de paren vanmaand één en twee beide een paar, zodat er dan vijf paren zijn, enz.Dit geeft de volgende reeks:

maand 1 2 3 4 5 6 7 8 9aantal paren 1 11=2 21=3 32=5 53=8 85=13 21 34 55

enz. Als je het aantal konijnenparen in de n-de maand tn noemt, geldtde betrekking tn+1 = tn tn-1, d.w.z. het aantal konijnen is gelijk aan datvan de vorige maand plus het aantal nieuwgeborenen, maar dat aantalis gelijk aan het aantal konijnen van de eervorige maand.Niet alleen gaat deze groei steeds sneller, met de groeifactor is ook ietsbijzonders aan de hand: t2/t1=2, t3/t2=1,5, t4/t3=1,667, vervolgens 1,6,1,625, 1,615, 1,619, 1,618, enz.Als je de teruglopende betrekking tn+1 = tn tn-1 aan beide zijden deeltdoor tn en de limiet neemt voor n , dan moet deze voldoen aan de

vergelijkinglim

11lim . Dus lim is het 'gulden' getal.

g = ½ ½√5 1,618 (zie Ea, 4.A5). Dit is het oudst bekende voorbeeldvan een exponentieel biologisch groeimodel.Omdat Leonardo in Europa bekend werd onder de naam Fibonacci ('zoonvan Bonaccio' of 'goedaardige zoon') wordt de getallenreeks sindsdien'reeks van Fibonacci' genoemd.Fibonacci bewees ook op aanschouwelijke manier, dat13 23 33 43 ........ n3 = (1 2 3 ..... n)2

= {½.n(n1)}2

401

19. Toegepaste wiskunde

A LANDMEETKUNDEvermelde personen in 19.A:Euler, Leonhard 1707-1783 Napoleon Bonaparte 1769-1821Lambert, Johann 1728-1777 Gauss, Carl 1777-1855Monge, Gaspard 1746-1818 Schumacher, Heinrich Christian 1780-1850Olbers, Wilhelm 1758-1840 Weber, Heinrich 1842-1913

1) Veldwerk en meettheorieNa 1800 ontstond in West-Europa langzamerhand de nationale staat alsorganisatievorm. De macht van de adel was tanende, er kwam ambte-narij voor in de plaats. Het was voor veel staten belangrijk om eenduidelijk beeld te hebben van hun grondgebied en het verloop van hungrenzen. Dit gold zeker voor de Duitse staten na het verslaan vanNapoleon. Vandaar dat de landmeetkunde en de opbouw van eenlandmeetkundig net van meetpunten in die tijd in opkomst was.Daarbij gaat het in eerste instantie om meetkunde op een boloppervlak,maar de aarde is geen bol en zelfs geen ellipsoïde. Daarom is erbehoefte aan een meetkunde die afstanden over een oppervlak inter-preteert, rekening houdend met horsten en slenken in dat vlak.Dit is het onderwerp van de geodesie, een onderdeel van de differen-tiaalmeetkunde.In 1818 werd Gauss gevraagd om een geodetisch onderzoek te doen vande Duitse staat Hannover, zodat dit zou kunnen aansluiten bij hetlandmeetkundig netwerk van Denemarken (waar toentertijd ookSleeswijk-Holstein bij hoorde en dat dus tegen Hannover aan lag). Gaussaccepteerde die klus, verrichtte overdag metingen die hij 's avondsverwerkte en trok 's zomers van het ene dorp naar het andere om hetmeetwerk voor te bereiden en te controleren. Hij schreef regelmatigmet Wilhelm Olbers, Heinrich C. Schumacher en andere sterrenkundigenover zijn vorderingen en de problemen die hij tegenkwam.Als hulpmiddel vond Gauss in 1821 de heliotroop uit, een apparaat datwerkte door weerkaatsing van zonnestralen met behulp van spiegels eneen kleine telescoop.Het theoretisch onderzoek dat Gauss verrichtte in verband met zijngeodetisch project, leidde twintig jaar later tot de publicatie van'Untersuchungen über Gegenstände der Höheren Geodäsie' (1843/'46).Hij werkte vanaf 1832 samen met Wilhelm Weber376 bij onderzoek naarhet aardmagnetisme. Een jaar later nemen ze samen de door hen

376 Duits filosoof en natuurkundige, naar wie later de eenheid van magnetische fluxgenoemd is

402

ontworpen elektrische telegraaf in bedrijf.

2) cartografieEen ander probleem bij het in kaart brengen van een landstreek is demanier van afbeelden: hoe moeten de punten op een gekromd opper-vlak op een plat vlak worden weergegeven?In 1822 won Gauss een prijs in een essaywedstrijd van de universiteitvan Kopenhagen over de bepaling van alle mogelijke kaartprojectieswaarbij, aldus de uitnodiging, "het beeld tot in details gelijkvormig aanhet origineel" moest zijn.Nu zijn er drie typen van projecties: afstandsgetrouwe, vormgetrouwe(met behoud van oppervlakte) en hoekgetrouwe of conforme afbeel-dingen. Gauss' inzending ging over de laatste soort. Daarbij kon hijsteunen op voorgangers, zoals Euler, die in 1768 een methode ontwierpvoor de conforme afbeelding van een plat vlak in een ander plat vlak,en J.H. Lambert, die in 1772 onder andere conforme afbeeldingen vaneen bol op een plat vlak behandelde.Twee conforme projectiemethoden waren algemeen bekend en toe-gepast: de stereografische en de mercatorprojectie (zie 2.C2). Gaussleidde conforme afbeeldingen af van een vlak op een ander vlak, vaneen bol op een vlak en van een omwentelingsellipsoïde op een bol.De theorie van de oppervlakken was overigens al stevig ontwikkeld doorEuler in zijn "Recherches sur la courbure des surfaces" uit 1760.Verder introduceert Euler in "De Solidis Quorum Superficiem in PlanumExplicare Licet" (1771/'72, "Lichamen waarvan het oppervlak op een platvlak uitgevouwen kan worden") de biparametrische voorstelling(x(p, q), y(p, q), z(p, q)) van een gebogen oppervlak in de ruimte.De Fransman Gaspard Monge (zie 11.D1) publiceerde vervolgens tussen1775 en 1784 een aantal werken over differentiaalmeetkunde, waarinhij ver uitsteeg boven wat Euler al had bereikt.