CREATIEF WISKUNDEONDERWIJS NVVW-REACTIE OP …Wim Laaper, secretaris Elzeline de Lange Jos Tolboom...

april2003/nr.6

jaargang 78

CREATIEF WISKUNDEONDERWIJS

NVVW-REACTIE OP RUIMTE EN KEUZES

EXAMENBESPREKINGEN

6

april 2

00

3 JA

AR

GA

NG

78

Redactie

Bram van AschKlaske BlomMarja Bos, hoofdredacteurRob BoschHans DaaleGert de Kleuver, voorzitterDick Klingens, eindredacteurWim Laaper, secretarisElzeline de LangeJos Tolboom

Artikelen/mededelingen

Artikelen en mededelingen naar:Marja BosMussenveld 137, 7827 AK Emmene-mail: [email protected]

Richtlijnen voor artikelen:

• goede afdruk met illustraties/foto’s/formules op juiste plaats of goed in de tekstaangegeven.• platte tekst op diskette of per e-mail: WP, Word of ASCII.• illustraties/foto’s/formules op aparte vellen:genummerd, zwart/wit, scherp contrast.

Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren

www.nvvw.nl

VoorzitterMarian KollenveldLeeuwendaallaan 43, 2281 GK Rijswijktel. 070-3906378e-mail: [email protected] KuipersWaalstraat 8, 8052 AE Hattemtel. 038-4447017e-mail: [email protected] van Bemmel-HendriksDe Schalm 19, 8251 LB Drontentel. 0321-312543 e-mail: [email protected]

Colofon

ontwerp Groninger Ontwerpersfoto omslag Peter Tahl, Groningenproduktie TiekstraMedia, Groningendruk Giethoorn Ten Brink, Meppel

Contributie verenigingsjaar 2002-2003

Leden: €40,00Gepensioneerden: €25,00Studentleden: €20,00Leden van de VVWL: €25,00Lidmaatschap zonder Euclides: €25,00Betaling per acceptgiro. Nieuwe leden gevenzich op bij de ledenadministratie.Opzeggingen vóór 1 juli.

Abonnementen niet-leden

Abonnementen gelden steeds vanaf heteerstvolgend nummer.Voor personen: €45,00 per jaarVoor instituten en scholen: €120,00 per jaarBetaling geschiedt per acceptgiro.Opzeggingen vóór 1 juli.Losse nummers op aanvraag leverbaar voor €15,00.

Advertenties

Informatie, prijsopgave en inzending:Leen Bozuwa, Merwekade 903311 TH Dordrecht, tel. 078-639 08 90 fax 078-6390891 e-mail: [email protected] Freek Mahieu, Dommeldal 125282 WC Boxtel, tel. 0411-67 34 68

Euclides is het orgaan van de NederlandseVereniging van Wiskundeleraren. Het bladverschijnt 8 maal per verenigingsjaar.

ISSN 0165-0394

Va n d e r e d a c t i e t a f e l[ Marja Bos ]

TechniekDeze week zat ik met een zestal meiden uit mijn atheneum-3 klas om detafel, om te praten over hun voorlopige profielkeuzes. Het profiel N&Gbleek zeer populair te zijn in dit groepje, ook bij de meiden met hoge cij-fers voor de exacte vakken. Toen ik voorzichtig opperde dat N&T toch ookeen mogelijkheid was, kwam onmiddellijk als reactie: ‘Techniek?!? Bèèèèh!’Ze trokken er een vies gezicht bij. Nee, dat leek ze maar niks. Sááái, enbovendien vast veel te moeilijk… Trouwens, ze wilden later niks technischgaan doen, ze wilden allemaal ‘iets medisch, of in de zorg of zo’. En als jeuitgeloot zou worden voor geneeskunde, kon je toch altijd nog fysiothera-pie gaan doen? Nou dan.Ik realiseerde me met een schok dat deze leerlingen niet zo zeer vielenover de inhoud van het N&T-profiel, maar aanhikten tegen de term ‘tech-niek’. Natuurlijk leidt N&T mede op voor technische vervolgstudies, maartoch ook voor ‘gewone’ exacte studies, en in de N&T-examenprogramma’sin het voortgezet onderwijs is in feite nauwelijks sprake van technischeonderdelen. Is het dan alleen de verkeerde naam voor dit meest uitgesproken bètapro-fiel, een naam die meisjes misschien al snel afstoot? Wat zou ik zelfgedaan hebben als ik destijds als 14-jarige de keuze had gehad tussen hetblijkbaar wat ‘socialer’ klinkende gezondheidsprofiel (dat klinkt bovendienzo vriendelijk, nietwaar) en het hardere techniekprofiel? In het mammoet-stelsel had ik die keuze niet, en misschien was dat voor veel meisjes weleen voordeel. Toen wiskunde I vervangen werd door wiskunde B, en daar-naast wiskunde A werd geïntroduceerd, zag je immers ineens het percenta-ge wiskunde I/B-kiezers onder de meisjes scherp afnemen (zij ‘weken uit’naar wiskunde A) – met als gevolg dat hun doorstroommogelijkheden naarbètastudies verkleind werden. Maar het is toch juist prettig om de keuze te hebben?Het blijft ingewikkeld.

Ruimte laten, keuzes biedenOp de groene Verenigingspagina’s vindt u de uitgebreide reactie van hetbestuur van de NVvW op de voorstellen uit de notitie ‘Ruimte laten en keu-zes bieden in de tweede fase havo en vwo’ zoals die begin maart naar hetministerie is verstuurd. Op 19 maart jl. liet demissionair minister Van derHoeven tijdens de jubileumdag van Getal en Ruimte alvast het volgendeweten: ‘Ik bekijk nog eens of het mogelijk is om voor wiskunde meerruimte te vinden. Maar dan met name voor alle leerlingen in het profielNatuur & Techniek. En in andere profielen meer ruimte ter keuze: we hou-den rekening met diep én breed. (…) U richt zich mede op de eisen van hethoger onderwijs, maar dat hoger onderwijs moet ook rekening houden metwat in het voortgezet onderwijs mogelijk is.’

ExamentijdDe komende periode vragen de examens weer veel tijd en aandacht. Delaatste voorbereidingen van de kandidaten, eerste en tweede correctie,… De belangstelling gaat daarbij dit jaar zeker uit naar de eerste landelijkevmbo-examens, en in het bijzonder die voor de basisberoepsgerichte leer-weg. De contacten met collega’s tijdens de NVvW-examenbesprekingenkunnen u wellicht ondersteunen; zie pagina 300. Veel zakelijke informatie over de centrale examens in het algemeen is tevinden op http://examenblad.kennisnet.nl/. Daarnaast vindt u ophttp://toetswijzer.kennisnet.nl meer specifieke achtergrondinformatie overtoetsing, examinering en evaluatie. En via www.nvvw.nl zullen de webbe-heerders van de NVvW u natuurlijk op de hoogte houden.Het wordt weer een spannende tijd.

265Van de redactietafel[Marja Bos]

266Oud en nieuw[Wim Kleijne]

26940 jaar geleden[Martinus van Hoorn]

270Creatief wiskundeonderwijs en onderwijsaan begaafde leerlingen[Jenneke Krüger]

275Boekbespreking

276Wiskunde in vazen[Rob Bosch]

277Correcties Euclides 78-5[Redactie]

278‘t Denken bevorderen[Anne van Streun]

282Basisberoepsgerichte leerweg: mag hetwat anders zijn?[Wim Kuipers]

284WisFaq: digitale vraagbaak voor wiskunde[Willem van Ravenstein]

286Wiskit[Hans Klein]

289Aankondiging: Veelvlakkenprijsvraag

290Vliegende veelvlakken[Chris Zaal]

292Leve de wiskunde! Niet alleen via websites[Dick Klingens]

294Van de bestuurstafel (Reactie op Ruimteen Keuzes)

300Examenbesprekingen 2003[Conny Gaykema]

301Nieuws van het WereldwiskundeFonds[Ger Limpens]

302Recreatie[Frits Göbel]

304Servicepagina

Aan dit nummer werkte verder mee: PeterBoonstra.

Zie bijvoorbeeld figuur 2 voor datgene wat in demaand maart zoal aan de orde moest komen.

DoelenIk werd door dat alles toch wel nieuwsgierig naar deverantwoording van de opzet en de inhoud van hetboekje. En dus bladerde ik terug naar het voorwoord:‘Hoe het boekje gebruikt moet worden’.De inhoud hiervan vormde voor mij de aanleiding omdit stukje over dit oude boekje te schrijven.De schrijvers vermelden al in de eerste regels wat hundoel is en welke methode zij hierbij gebruikt hebben.Zij wilden namelijk een boekje schrijven:- waarin leerlingen leren om op methodische wijzewiskundig getinte situaties en voorwerpen teobserveren, om het geobserveerde te vergelijken metreeds bekende zaken en om te reflecteren op hetgeobserveerde met het doel definities en regels teontwikkelen en te ontdekken;- waarmee leerlingen een goede wiskundige techniekleren;- waarmee leerlingen voorbereid kunnen worden op depraktijk van het dagelijks leven door middel van hetaanleren van exacte en moderne noties via eeninteressante presentatie.Gelet op de tijd waarin het boekje is verschenen, is dattoch wel heel verrassend. Let wel, we spreken over1923, waarin de 7e editie van dit boekje verscheen. Hetzijn dus ideeën die rond of vóór de eerste wereldoorlogontwikkeld zijn door de schrijvers.

Een oud schoolboekjeSlenterend over een zogeheten marché d’été, eenzomermarkt, in een nietig dorpje in de Corrèze inFrankrijk, werd ik tussen alle ‘bric à brac’aangetrokken door dozen met oude boeken. Toen mijnvrouw op zoek ging naar leuke aardewerken potjes,was het voor mij het grootste genoegen om door dieoude boeken te snuffelen.Aldus kwam ik afgelopen zomer een beduimeldwiskundeboekje tegen dat ik voor enkele euro’s in mijnbezit kreeg. De titel ‘Arithmétique’ en het jaartal 1923deden mij vermoeden dat het om een traditioneel,misschien wel duf en suffig, schoolboekje zou gaan(zie figuur 1). Maar toch altijd interessant om eenskennis van te nemen. ‘Arithmétique’, Cours Moyen etCertificat d’Études: een wiskundeboekje dat blijkens detitel bedoeld was voor wat wij mavo of onderbouwhavo noemen. Het werd geschreven door MauriceRoyer en Planel Court, destijds respectievelijkinspecteur primair onderwijs en directeur van eenlerarenopleiding (École Normale supérieure) waarvande eerstgenoemde schrijver ook oud-leerling was. Vol verwachting begon ik zo maar eens te bladeren enzag ik tot mijn verrassing dat het niet alleen om‘rekenen’ (en algebra) ging, zoals de titel deedvermoeden, maar dat er ook nogal wat meetkundigefiguren in stonden. Tevens sprong de indeling van hetboekje in het oog: een verdeling in (genummerde)lessen. Al bladerend bleken er 154 lessen in te staan,met een verdeling over de maanden van het schooljaar.

OUD EN NIEUWOver een oud en stoffig Frans schoolboekje met een verrassendmoderne inhoud[ Wim Kleijne ]

2 6 6euclides nr.6 / 2003

dans l’ordre même où il convient de les faire et de lesétudier’. Alles bij elkaar een behoorlijk modernebenadering van de wiskundedidactiek.

Praktische uitwerkingTussen bedoeling en werkelijkheid kan nog wel eenswat licht zitten. Daarom is het zaak, naar de inhoudvan de lessen zelf te kijken om te zien in hoeverre deverwoorde idealen in praktijk gebracht zijn. Eninderdaad begint vrijwel elke les met ‘exercicesd’observations, des images, des figures, des problèmesfamiliers, des exemples pratiques’, kortom met eenrealistisch aandoende situatieschets, ofwel met depresentatie van een wiskundige context. Bijvoorbeeldin les 87 over de omtrek van een cirkel; zie figuur 3.

Na de observatieschets, de observatieoefening, volgenenige problemen ter oplossing, verdeeld in formeelwiskundige vragen, enige praktische problemen en enigetoepassingen uit de praktijk van het dagelijks leven. Eenaantal van deze problemen heeft een min of meer openkarakter, ruimte gevend voor meerdere oplossingen; inieder geval veel opener en veel meer ruimte biedend danwe vaak denken dat het geval was in deze oude situaties.Datzelfde geldt voor het ‘doe-karakter’ van een aantalopgaven. Ook in deze punten toch weer wat modernekarakteristieken; zie de afgedrukte opgaven in figuur 4.


HerkenningHerkennen we in deze punten niet wat wij momenteelhoog in het vaandel hebben staan? Zien we hierin nietin rudimentaire zin al verwoord wat we tegenwoordig‘constructief leren’ noemen? Wij zijn er immers opgespitst om met onze leerlingen uit reële, realistischaandoende, althans voor leerlingen bekende envertrouwde situaties, wiskunde te construeren. Deopvatting ‘wiskunde is mensenwerk’ vormt toch éénvan de pijlers van modern wiskundeonderwijs! Ik vind het altijd weer prachtig om te ontdekken datwat wij tot ónze verworvenheden rekenen, al invroeger tijden aanwezig was, weliswaar in anderevorm misschien, maar toch. Het leert je bescheidenheiden het richt je aandacht op en bewondering voor hendie ons voorgingen. Wij staan ook hierin als het wareop de schouders van onze voorouders.Nieuwsgierig gemaakt las ik verder en verbaasde meeen paar regels verder opnieuw: ‘Les leçonsd’arithmétique, de calcul mental, de système métrique,de géométrie ne sont pas dans des chapitres isolésformant autant de livres distincts.’De bedoeling was dus een geïntegreerde presentatie enbehandeling van de verschillende wiskunde-onderdelente geven. Geen aparte en geïsoleerde hoofdstukkenvoor rekenen-algebra, hoofdrekenen, het metriekestelsel en meetkunde, maar ‘en parfaite concordance

FIGUUR 1 FIGUUR 2

Heden en verledenHet is natuurlijk niet mijn bedoeling om hier eenboekbespreking te schrijven. Het enige dat ik met ditartikeltje beoog, is aan te geven dat de wortels van watís al in het verleden te traceren zijn. Bewondering enrespect voor de oude schrijvers die dezelfde intentiehadden als wij nu. De keuzes die de schrijvers van ditboekje daarbij gemaakt hebben, lijken verrassend veelop de onze.Uiteraard vertoont het boekje alle tekenen van de tijdwaarin het is ontstaan en is het daardoor gedateerd.Desondanks kunnen we ook nu de schrijvers vol-mondig nazeggen:‘Notre désir serait d’avoir réussi à présenter auxenfants un livre agréable à feuilleter et à étudier, riched’enseignements et cependant simple et très clair, debon usage.’

Over de auteur

Drs. Wim Kleijne (e-mailadres: [email protected]) is wiskundige,

oud-docent wiskunde en momenteel coördinerend inspecteur van het

onderwijs.

FIGUUR 3 FIGUUR 4


Vraagstukken uit het Nieuw Tijdschrift voor Wiskunde, jaargang 50 (1962-1963)

De rubriek ‘40 jaar geleden’ wordt verzorgd door Martinus van Hoorn (e-mailadres: [email protected]),

voormalig hoofdredacteur van Euclides (1987-1996).

40 j

aar

gele

den

met name inging op het werk van de SLO en deStichting Vierkant in het kader van bovengenoemdproject.Hoewel alle bijdragen op de een of andere manier temaken hadden met ontdekken en/of stimuleren vanwiskundige creativiteit bij begaafde leerlingen, kon ertoch een onderscheid gemaakt worden. Verreweg demeeste bijdragen richtten zich op één van tweeonderwerpen. Een groep sprekers concentreerde zich opwiskundewedstrijden, een tweede, grotere groep legdede nadruk op creativiteit, vaak met voorbeelden vanonderwijs dat wiskundig begaafde leerlingen zoumoeten stimuleren. Van beide onderwerpen volgt eenaantal voorbeelden.Een aantal deelnemers probeerde creativiteit teomschrijven of voorwaarden voor creatief gedrag tegeven, ongeacht of men over wedstrijden sprak of overandere aspecten (zie figuur 1).

Olympiades en andere wedstrijdenSimplificerend kun je zeggen dat er twee groepenwiskundewedstrijden zijn: Olympiades (samen met dewedstrijden die daarvoor trainen) en ‘makkelijke’wedstrijden. Die laatste hebben als belangrijke doel-stelling een grote groep leerlingen wiskunde als eenplezierige activiteit te laten ervaren. Een voorbeeldhiervan is de Kangoeroewedstrijd, zoals die ook in onsland aangeboden wordt.

ConferentieIn juli 2002 bezocht ik de internationale conferentie‘Creativity in Mathematics Education and theEducation of Gifted Students’. Mijn deelname wasmogelijk dankzij financiële steun van de SLO inEnschedé, in het kader van een meerjarig project‘Hoogbegaafde leerlingen in de basisvorming’, waar-van wiskunde een deelproject is. De eerste conferentie over creatief wiskundeonderwijsen onderwijs aan begaafde leerlingen vond plaats inMünster in 1999, onder leiding van professor HartwigMeissner. De conferentie in Riga was de tweede, onderleiding van professor Agnis Andzans van deUniversiteit van Letland. Achter beide conferentiesstaat een programmacomité bestaand uit zes hoog-leraren uit Australië, Canada, Duitsland, Finland,Letland en de V.S. Deze conferentie was kleinschalig wat betreft hetaantal deelnemers, ongeveer 40, waardoor het mogelijkwas met iedereen in contact te komen. Omdat er bij-dragen waren uit 19 verschillende landen kregen wetoch een breed overzicht van denkbeelden overcreativiteit en werkwijzen in de verschillendeonderwijssystemen, van Estland tot Nieuw-Zeeland,van de VS tot Rusland.Mijn bijdrage was een poster waarmee ik iets verteldeover de situatie in Nederland op het gebied vanbegaafde leerlingen in het voortgezet onderwijs, en

CREATIEF WISKUNDE-ONDERWIJS EN ONDERWIJSAAN BEGAAFDE LEERLINGEN,VERSLAG VAN EENCONFERENTIEWat is creatief wiskundeonderwijs? Is creatief wiskundeonderwijsalleen van belang voor begaafde leerlingen? Twee vragen die bij mijopkwamen in een vliegtuig op weg naar een conferentie in Riga.[ Jenneke Krüger ]


Een korte bespreking van het belang dat aan wedstrijdengehecht wordt en de manier waarop er mee omgegaanwordt, volgt hier voor Letland, Finland en Australië.

In een relatief klein land als Letland (2,4 miljoeninwoners) vormen wedstrijden één van de middelen omrichting te geven aan vorm en inhoud van hetwiskundeonderwijs. Er is dan ook een uitgebreidsysteem van wiskundewedstrijden, door het jaar heenen voor bijna alle leeftijden, waarbij universiteit enscholen goed lijken samen te werken. Er zijnOlympiadewedstrijden op het niveau van school, regioen staat. Alle wedstrijdopgaven worden geproduceerddoor medewerkers van de universiteit. Volgensprofessor Andzans genieten Olympiades groot aanzien;ze worden niet alleen door leerlingen en docenten heelserieus genomen, maar ook door universiteits-medewerkers en vertegenwoordigers van de regering.Er zijn ook andere wedstrijden op verschillendeniveaus. Bovendien is er een aantal ondersteunendeactiviteiten voor leraren, meestal georganiseerd doorde universiteit. Door dit alles lijkt het inderdaadwaarschijnlijk dat de vele wedstrijden invloed hebbenop de inhoud van het onderwijs. In het kader van ditartikel voert het te ver, hierop uitgebreid in te gaan.

In Finland hoopt men door middel van het organiserenvan Olympiades verborgen wiskundige talenten testimuleren en belangstelling van leerlingen voorwiskunde te verhogen, met name ook van meisjes. Ookveronderstelt men dat docenten zich meer in wiskundezullen gaan verdiepen als hun leerlingen aanOlympiades meedoen, en men hoopt de inhoud van hetprogramma in het voortgezet onderwijs te beïnvloeden.Matti Lehtinen (National Defence College, Helsinki)vertelde over successen en mislukkingen sinds 1955, heteerste jaar waarin een nationale Olympiadewedstrijdgeorganiseerd werd (5 deelnemers). Wat betreftstimulering van studenten lijkt de opzet geslaagd: erzijn netwerken van wiskundig begaafde leerlingen enstudenten ontstaan, en een behoorlijk aantal van deleerlingen kiest een wiskundig georiënteerde studie. Docenten echter tonen nog steeds weinig belang-stelling voor wiskundewedstrijden. Het blijft moeilijkom ze bij organisatie en training te betrekken,misschien omdat ze veel niet-onderwijstaken hebben.Het wiskundeprogramma in het voortgezet onderwijs isnog steeds breed en tamelijk oppervlakkig, volgensprofessor Lehtinen.

In Australië worden veel relatief gemakkelijke wed-strijden georganiseerd. De opgaven worden vaak in eencontext gebracht. Voor getalenteerde leerlingen is ergelegenheid mee te doen aan Olympiades. Zowel dewedstrijden als de trainingen daarvoor wordengeorganiseerd met behulp van docenten. Peter Taylor,voorzitter van de Wereld Federatie van NationaleWiskunde Wedstrijden (WFNMC), noemde een aantalvoordelen van wiskundewedstrijden.- Iedereen kan meedoen, aangezien er verschillendeniveaus van moeilijkheid zijn.

- Er is niet de druk om een goed cijfer te moeten halen.- Leerlingen krijgen met een ander type wiskunde-problemen te maken dan ze in hun schoolboekenvinden; dat stimuleert creativiteit.- Vooral de wedstrijden met contextrijke opgavenvormen een bron van materiaal voor docenten.

Waar ‘makkelijke’ wedstrijden het idee van wiskundeals een leuke bezigheid voor iedereen zoudenstimuleren, kunnen Olympiades een hulpmiddel zijnom begaafde leerlingen op te sporen. Deelname is,voor zover ik kan nagaan, overal vrijwillig. Watverschilt per land is de ‘cultuur’. Daarmee bedoel ikzaken als: hoe vanzelfsprekend en/of belangrijk is hetvoor leerlingen, hun leeftijdsgroep, de volwassenen omhen heen om met wedstrijden mee te doen, welkefaciliteiten worden geboden, welke aandacht wordt erbuiten school aan besteed?De vraag hoe succesvol wiskundewedstrijden zijn inhet opsporen en aanmoedigen van wiskundig begaafdejongeren is moeilijk te beantwoorden.Niet alle (hoog)begaafde leerlingen vinden het mee-doen aan Olympiade-achtige wedstrijden zo leuk dat zezich daarvoor inzetten. Wel lijkt een grote mate vancreativiteit kenmerkend voor begaafde leerlingen.

CreativiteitEen groot aantal sprekers legde de nadruk op anderezaken dan wedstrijden. Ik geef enkele voorbeelden uitNieuw-Zeeland, Letland, Duitsland en Japan.

Vanuit Nieuw-Zeeland (University of Otago) wasCoralie Daniel aanwezig om te vertellen over haaronderzoek van en met tien begaafde leerlingen,gekozen uit een groep die trainde voor de Inter-nationale Wiskunde Olympiade. Zij heeft ervaren dat een belangrijke hinderpaal voor goedfunctioneren van deze hoogbegaafden wordt gevormddoor het verschil dat de laatste eeuwen is ontstaan tussenwiskundige taal en dagelijkse omgangstaal. In veelwesterse landen is het sociaal acceptabel je er op voor telaten staan dat je van wiskunde niets begrijpt. Als gevolghiervan kunnen wiskundig hoogbegaafden het gevoelkrijgen dat ze heel afwijkend zijn en zich daardoorgeïsoleerd voelen. Coralie wees er op dat:- mensen in hun leven de wiskunde ontwikkelen die zenodig hebben;- ook eenvoudige wiskunde kan leiden tot creatieve enfilosofisch waardevolle ideeën;- het uitdrukken van wiskundige ideeën niet alleen inwiskundige symbolen maar ook door visuele beeldenkan leiden tot een enorme verbetering van hetcognitieve begrip.Ze pleitte ervoor de resultaten van onderzoek metwiskundig hoogbegaafde leerlingen niet alleen tepubliceren in wetenschappelijke tijdschriften, inwetenschappelijke taal, maar deze ook op een minderacademische, meer aansprekende manier onder deaandacht van een wijder publiek te brengen, zodat ookniet-wiskundigen zich aangesproken voelen. Coralievoegde de daad bij het woord door wat van haar andere


samenwerkende leerlingen. Een prachtig voorbeeld vangeschiedenis van de wiskunde als lesmateriaal, maarook van samenwerkend leren en van zelfstandig leren.

Shin Watanabe (Tokai Universitu, Japan) vindt dat metde handen bezig zijn de ontwikkeling van wiskundigdenken kan bevorderen. Hij voegde de daad bij hetwoord door iedereen aan het werk te zetten met papieren schaar. Het doel was, een model van een voetbal temaken met behulp van 20 papieren zeshoeken (devijfhoeken worden gevormd door de lege ruimte tussenzeshoeken; zie figuur 3). Heel motiverend om te doen,er ontstaat spontaan samenwerking, vooral tussen deminder handvaardigen, en er zit behoorlijk watwiskunde in.

Tests en creativiteitKunnen landelijk afgenomen tests creativiteit onderleerlingen bevorderen? John Threlfall en Peter Pool (University of Leeds, UK)vinden van wel. Ze ontwikkelen sinds kort toetsenbinnen het project World Class Tests, met als doel detop 10% van wiskundige talenten in school teontdekken. De opgaven worden zo ontworpen datbekende wiskunde op een nieuwe manier toegepastmoet worden om tot een oplossing te komen.Leerlingen moeten dus creativiteit vertonen om totoplossingen te komen. Deelname is niet verplicht. De toetsen wordenafgenomen sinds november 2001, bij 9- en 13-jarigen.De deelnemers hebben een uur voor ongeveer 15opgaven (zie figuur 4). De test wordt aangeboden inGroot-Brittannië, V.S., Australië en Hongkong[1].

werk te laten zien en enkele verhalen erachter te vertellen,ervaringen met wiskundig hoogbegaafde jonge mensen.Dat andere werk bestaat uit textiele kunstwerken.Coralie ontwerpt en maakt ‘scarves’, met als voor-naamste technieken breien, haken en applicatie. Haarwerk is gebaseerd op wiskundige thema’s. Een aantalwerkstukken was geïnspireerd door de leerlingen metwie ze gewerkt heeft en over wie ze vertelde.

Er was uiteraard een aantal sprekers namens deUniversiteit van Letland, ook docenten. Een van diesprekers was Ilze France. Er wordt in Letland veel aandacht besteed aan meet-kunde, waarbij men dwarsverbindingen wil leggen metonderwerpen zoals combinatoriek, verzamelingenleeren rekenen. Ilze liet een aantal voorbeelden zien vanopgaven voor begaafde leerlingen van 12 en 13 jaar. Wiskundig en didactisch goed doordacht lesmateriaal,waarbij systematisch aandacht besteed wordt aan hetontwikkelen van begrip en aanonderzoeksvaardigheden (zie figuur 2).

Karin Richter (University of Halle, Duitsland) gaf eenmooi voorbeeld van een serie lessen gebaseerd op oudemeetinstrumenten, met een open vraagstelling. Naaraanleiding van afbeeldingen van oude meet-instrumenten stelde ze simpele vragen, zoals:- Hoe werkt het?- Op welke manier werd het gebruikt?- Zijn er andere oude meetinstrumenten waarmee je hetkunt vergelijken?Dit resulteerde in onderzoekjes waarbij nieuwe vragenopkwamen en beantwoord werden, door groepjes


FIGUUR 2 Voorbeelden van Ilze France, voor 12- en13-jarigen

FIGUUR 1 Uitspraken van deelnemers over creativiteiten wiskunde

Hoewel de tests nog maar kort op de markt zijn, is ereen groeiende vraag van docenten naar de opgaven -niet in de eerste plaats als testmateriaal, maar alslesmateriaal. Dit vanwege het uitdagende, creatiefdenken bevorderende karakter van veel van de opgaven.

Bovenstaande voorbeelden vormen een bescheidenselectie uit het aanbod op de conferentie. Ik heb niets verteld over samenwerking tussenuniversiteiten en docenten in Israël, over wiskundigecreativiteit bij studenten basisschoolleraar in Duitsland,over uitbeelden van vormen in hyperspace, over CCG-visualisatie, over het gebruik van computeralgebra bijopen meetkundige problemen, enzovoorts. Wie meer wilweten over het aanbod kan mij altijd een mailtje sturen.

De situatie in NederlandHoe is het in Nederland gesteld met creativiteit enwiskundeonderwijs en met het signaleren enstimuleren van wiskundig begaafde leerlingen? In het kader van dit artikel is een grondige vergelijkingvan landen en onderwijssystemen niet mogelijk. Hetblijft bij indrukken.

Wiskundewedstrijden kennen we ook in Nederland,zowel Olympiades als andere wedstrijden. Voor allescholen zijn de Olympiade, de Kangoeroewedstrijd, deAlympiade en de Wiskunde B-dag. Er zijn universitairecompetities en de Pythagoras Olympiade. Dat lijkt heelwat, maar voor zover ik weet trekken met name deOlympiades niet zoveel belangstelling. Het is zeker nietzo dat het voor de meerderheid van scholen vanzelf-sprekend is dat leerlingen meedoen. Ondersteuning van

docenten die zich binnen school hiervoor willeninzetten is geen vanzelfsprekende zaak.

Creativiteit in het wiskundeonderwijs - daarbij kun jedenken aan docenten, materiaal, lesvormen, sfeer ineen school.Veel goede voordrachten kwamen uit landen waar eengoede samenwerking lijkt te bestaan tussen universiteitenen docenten. Ik denk dat een goede samenwerking in ditgeval wederzijdse beïnvloeding inhoudt. In Nederland lijkt weer meer contact te groeien tussenuniversiteiten en scholen, vooral de scholen in denaaste omgeving van een universiteit. In hoeverre ersprake is van wederzijdse beïnvloeding is niet duidelijk.

Wat betreft docenten is in ons land de basisvorminghet domein van docenten met een tweedegraadsopleiding, niet het gebied waar universiteiten geneigdzijn zich mee te bemoeien. Juist in die leeftijdsgroep ishet belangrijk wiskundige begaafdheid te signaleren,of, als dat al in het basisonderwijs gebeurd is, er goedop in te spelen. In de tweedegraads lerarenopleidingenzou meer aandacht besteed moeten worden aancreativiteit en begaafde leerlingen. Zoals HartwigMeissner (Universiteit van Münster) in zijn betoogopmerkte: ‘We need creative teachers and teachers whostimulate and further creative thinking in theirclassroom. But creativity cannot be taught… We onlycan help future teachers to become consciously awareof creativity. We can enhance motivation, curiosity,self-confidence and thus flexible modes of thinking’.(Cursivering van mij.) Docentenopleidingen schietenhier in het algemeen tekort.


FIGUUR 3 De workshop van Shin Wanatabe FIGUUR 4 Twee voorbeelden van testvragen voor 13-jarigen (World Class Test)

besteden aan creativiteit, aan het signaleren van enomgaan met begaafde leerlingen. Het ministerie vanOCenW en eventueel dat van Economische Zakenzouden er verstandig aan doen in woord en daad telaten merken dat ze meer aandacht voor begaafdeleerlingen belangrijk vinden.

Ik ben dit artikel begonnen met het stellen van tweevragen. - Wat is creatief wiskundeonderwijs? In ieder geval moet dat onderwijs mijns inziens deindividuele leerling aanzetten tot zelf nadenken overwiskunde, gebruiken van wiskunde en ontwikkelen van(voor de leerling) nieuwe ideeën.- Is creatief wiskundeonderwijs vooral van belang voorbegaafde leerlingen?Ik wens alle leerlingen creatief wiskundeonderwijs toe.Maar om begaafdheid tot zijn recht te laten komen iscreatief wiskundeonderwijs broodnodig.

NaschriftIn 2003 wordt deze conferentie in Bulgarije gehouden.De organisator zou graag zien dat deze keer ookstudenten, met name van lerarenopleidingen,deelnemen. Informatie bij mrs. E. Velikova, e-mailadres: [email protected]

Websites

[1] www.worldclassarena.org

[2] http://listserv.slo.nl/mailman/listinfo/wisenslim

[3] www.vierkantvoorwiskunde.nl/wiskundeclubs

[4] www.ivlos.uu.nl

[5] www.slo.nl/vo/hoogbegaafdheid

[6] www.wiskids.nl

Over de auteur

Jenneke Krüger (e-mailadres: [email protected]) werkt sinds 2001 bij

de afdeling Voortgezet Onderwijs van de SLO, Enschedé. Daarnaast

geeft ze lessen wiskunde en ANW in de Tweede Fase afdeling van een

brede scholengemeenschap in Zwolle. Ze is o.a. lid van de werkgroep

havo/vwo van de NVvW.

Er zijn gelukkig docenten die, al dan niet aan-gemoedigd en gefaciliteerd door de schoolleiding,aandacht besteden aan begaafde leerlingen. Dat kan invele vormen: projecten, versnellen en verdieping,compacten en verrijken, keuzelessen, of welke anderevorm dan ook. Vaak zijn die docenten nogal geïsoleerd bezig. De SLOheeft daarom een begin gemaakt met een netwerk vanen voor docenten die met (hoog)begaafde kinderen inhun school werken. Men kan zich opgeven voordeelname aan het netwerk via een website[2].

Materiaal voor extra activiteiten is er wel te vinden,maar verspreid. De Stichting Vierkant voor Wiskunde biedt op haar sitemateriaal aan voor gebruik door wiskundeclubs[3],maar ook voor gebruik in de klas, als materiaal voorleerlingen die iets extra’s met wiskunde willen doen.Een paar jaar geleden is in het kader van Compactenen Verrijken door de stichting Perdix (VoortgezetOnderwijs aan Hoogbegaafde Leerlingen, IVLOS,Universiteit van Utrecht) wiskundig lesmateriaalontwikkeld voor gebruik in de eerste leerjaren van hetvoortgezet onderwijs[4].Er is een aantal wedstrijden, o.a. de Kangoeroe-wedstrijd, A-lympiade en Olympiade. De SLO heeft op haar site een aantal pagina’s metmateriaal en ideeën voor begaafde leerlingen[5]; ditonderdeel is nog in opbouw. Een aantal activiteiten is gebundeld in Wiskids[6], een(tijdelijk) project waarin meerdere instellingen enpersonen actief zijn en dat als doelstellingen heeft hetbevorderen van enthousiasme voor wiskunde bijjongeren van 10 jaar en ouder en het verbeteren vanhet imago van wiskunde.Er zijn veel websites, vaak Engelstalig, waarinteressant wiskundig materiaal te vinden is.

Er zijn dus allerlei activiteiten waar een docent deleerlingen aan mee kan laten doen, er is het een enander aan materiaal te vinden, er bestaat gelegenheidaan wedstrijden mee te doen. In welke mate initieert en ondersteunt de regeringaandacht voor begaafde leerlingen? Het blijft over hetalgemeen bij een beetje subsidie voor een project hier,een project daar. Het wekt niet de indruk dat men bijhet ministerie veel belang hecht aan het signaleren enstimuleren van (hoog)begaafde leerlingen.

Creatief wiskundeonderwijsVan het grootste belang is mijns inziens nog steeds dedocent, de creativiteit van de docent in dewiskundelessen, de houding van de docent tenopzichte van begaafde leerlingen. Is de docent in staatbegaafde leerlingen te signaleren, zowel de lastigeleerling als de rustige, onopvallende? Daarnaast is vanbelang wat de houding van het schoolmanagement isin deze. Hoe belangrijk vindt het schoolmanagementaandacht voor begaafde leerlingen, welke faciliteitenbiedt de school aan docenten en leerlingen? Docentenopleidingen zouden meer aandacht dienen te


InleidingIn mijn zoektocht naar werkvormen geschikt voor hetstudiehuis in de bovenbouw van havo en vwo stuitte ikop het boek ‘Werken aan academische vorming’. Deideeën in dit boek bleken zeer bruikbaar in mijn lessen,vandaar deze boekbespreking. Het boek geeft veelpraktijkvoorbeelden afkomstig van verschillendefaculteiten van de Universiteit van Utrecht. Het doelvan het boek is deze voorbeelden beschikbaar stellenvoor een breed onderwijspubliek. Het boek isopgesplitst in drie delen.

WerkvormenIn deel 1 worden voorbeelden van verschillendeonderwijsvormen gegeven die passen bij de didactiekvan actief leren, bijvoorbeeld van werkvormen om eendoceergedeelte van een les te onderbreken. Voorbeeldendaarvan zijn: aantekeningen doornemen van een ander,noteren van vragen, stellen van vragen, maken vancontrolevragen, etc.Een andere werkvorm heet ‘plussen en minnen’. Dezewerkvorm is geschikt voor de start van een praktischeopdracht of eventueel profielwerkstuk, maar kan ookgebruikt worden voor een vragenles voorafgaand aaneen toets. De leerlingen noteren dan op een kaartjehun dringendste vraag en op een tweede kaart datwaar ze het meest tegenop zien of waar ze het meestmoeite mee denken te hebben. Tot slot noteren ze opeen nieuw kaartje waar ze het minst tegenop zien.Deze kaartjes plakken de leerlingen in drie kolommenop het bord. In de beschreven werkvorm gaanstudenten de kaartjes in tweetallen zelf ordenen. Vooreen eerste keer zou ik dat overigens zelf iets andersaanpakken, en wel door de eerste twee soorten kaartjesklassikaal te ordenen.Maar ook het idee van rondschrijven is – wellicht metwat veranderingen – toepasbaar in een wiskundeles.Rondschrijven is een werkvorm waarbij de docent eenveelomvattend en complex probleem schetst mettheoretische en maatschappelijke achtergronden.Leerlingen bedenken hierbij zelf een onderzoeksvraag.Vervolgens schrijft een leerling drie ideeën over hetonderzoek op. Daarna schuift hij het formulier doornaar een medeleerling die er ook drie nieuwe ideeënbijschrijft. Zo gaat dit een tijdje door. Deze werkvormkan bij wiskunde worden gebruikt als aanzet voor eenpraktische opdracht, maar ook als huiswerkbesprekingof bespreking van een complexe opgave. Een leerlingzet dan één vraag op papier. Medeleerlingen zetten er

hints op of SPA’s zonder de oplossing of het benodigdealgoritme weg te geven.Zo staat het boek vol met allerlei nuttige werkvormendie u naar eigen inzicht kunt gebruiken of aanpassen.

Toetsen en beoordelenIn deel 2 worden toetsen beoordelingsvormenbesproken die aansluiten bij de didactiek van actiefleren.Heel nuttig voor mijn wiskundelessen vind ik zelf hetonderdeel ‘individuele beoordeling bij groepswerk’. Ookworden alternatieve toetsvormen gegeven. In plaatsvan een essay kan bijvoorbeeld gevraagd worden eenadviesbrief te schrijven aan de minister in antwoord opkamervragen, een ‘review’ over een recent verschenenboek, een ingezonden brief voor een krant, eenbecommentariëring van een artikel, etc. Samenwerkingmet de vaksectie Nederlands ligt dan voor de hand.Verder wordt ook het tentamen-met-overlegbehandeld, een toetsingsvorm die al eens beschreven isdoor Lidy Wesker in de Nieuwe Wiskrant. Hierbijmogen de studenten of leerlingen met elkaaroverleggen. In het voorbeeld van het boek gaat het ompittige meerkeuzevragen naar aanleiding van hetcollege. Ik pas het zelf wel eens toe in de vorm van eengroepstoets. Leerlingen hebben dan ruim twee wekenin een groep van vier samengewerkt en krijgen eentoets met vier complexe opgaven waarbij ze binnenhun groep mogen overleggen, en waarbij ze als groepéén antwoord moeten inleveren.

Vormen van lerenDeel 3 tot slot is een nabeschouwing van de didactiekvan ervaringsleren, beroeps- en competentiegerichtleren en cursorisch leren. Het is tevens eenverantwoording waarom de voorbeelden uit deel 1inderdaad goede voorbeelden zijn.

AanraderHet boek is een inspiratiebron voor nieuwe ideeën eneen aanrader voor iedereen met weinig tijd die meervariatie in zijn of haar lessen wil aanbrengen.

Over de auteur van deze bespreking

Lonneke Boels (e-mailadres: [email protected]) is negen jaar in het

bedrijfsleven werkzaam geweest, heeft daarnaast een aantal malen

lesgegeven (onder andere op een mts en een pabo) en is op dit moment

in opleiding voor een eerstegraads lesbevoegdheid.

Boekbespreking / Werken aan academische vorming;ideeën voor actief leren in de onderwijspraktijkAuteurs: Jaap Milius, Heinze Oost, Wes Holleman Uitgever: IVLOS, Universiteit Utrecht,

Postbus 80127, 3508 TC Utrecht (2de druk februari 2001) ISBN 90 393 2616 9 • prijs € 15,00 [ Lonneke Boels ]


Een van de moeilijkheden bij enquêtes is dat men vaakgeen eerlijk of in het geheel geen antwoord krijgt opgevoelige vragen. De mededeling dat de enquêteanoniem is, zal door de deelnemer die geen zicht heeftop de wijze waarop de gegevens worden verwerkt nietaltijd worden vertrouwd. Om op gevoelige vragen eeneerlijk antwoord te krijgen hebben sociaal-wetenschappers de methode van de zogenoemderandomized response bedacht. In zijn oorspronkelijkevorm[1] behelst deze methode het volgende.

Stel men wil antwoord op de gevoelige vraag: ‘Bezit ueen vuurwapen?’De respondent trekt alvorens de vraag te beantwoordeneen balletje uit een vaas met witte en zwarte balletjes.Als de deelnemer een witte bal trekt, antwoordt hijnaar waarheid; als hij een zwarte bal trekt, geeft hijeen onwaar antwoord.De enquêteur, die uiteraard niet weet welke kleur balde respondent getrokken heeft, kan zo uit het gegevenantwoord niet afleiden of de persoon al dan niet eenvuurwapen bezit. Hij kent echter wel de samenstellingvan de vaas en kan op basis daarvan een schattingmaken van het percentage wapenbezitters.Als namelijk de fractie van vuurwapenbezitters gelijkis aan f en de kans op een witte bal gelijk is aan p, dan is de kans dat een willekeurige respondent met‘ja’ antwoordt, gelijk aan

P ( ja)�ƒ �p� (1�ƒ ) � (1�p)

Het aantal ja’s in een groep van n personen is dan eenstochast J die binomiaal verdeeld is met parameters nen θ�ƒ �p�(1�ƒ ) � (1�p)Het gemiddeld aantal ja’s in de steekproef, θ̂ � �

nJ

�, iseen zuivere schatter voor θ.Uit deze schatter kunnen we de volgende zuivere schattervoor de fractie f van vuurwapenbezitters afleiden:

ƒ̂ �

Als in een steekproef van 100 personen 65 personen‘ja’ antwoorden terwijl de vaas zo is samengesteld datp� �

13

�, dan vinden we voor f de schatting

�nJ

� �p�1�

2p�1

�0,05.

We schatten het percentage vuurwapenbezitters in ditgeval dus op 5%. Ondanks het feit dat we vanindividuele personen niet kunnen nagaan of ze eenvuurwapen bezitten, vinden we toch een schatting vanhet percentage vuurwapenbezitters. De hiervoorgebruikte schatter is ook nog zuiver, d.w.z. gemiddeldgeeft de schatter het juiste percentage.

Hoe betrouwbaar is onze schatting? Met anderewoorden, hoe groot is de kans dat we redelijk in debuurt van het juiste percentage zitten? Om dat na tegaan kijken we naar de variantie van de schatter ƒ̂ .

Var ( ƒ̂ )�Var� �In ons voorbeeld is n�100 en p� �

13

�.Voor de variantie vinden we in dit geval

Var ( ƒ̂ )�Var� ��Var (2� �130J0

�)��100

900� Var (J )

De stochast J heeft een binomiale verdeling met debekende variantie Var (J )�nθ (1�θ)De kans geeft p� �

13

� geeft θ � �13

� ƒ� �23

�(1�ƒ ) � �23

� � �13

� ƒ.De variantie van J is dus Var (J )�100(�

23

� � �13

� ƒ )(�13

� � �13

� ƒ ).Voor de variantie van ƒ̂ vinden we

Var ( ƒ̂ )� �1900� (�

23

� � �13

� ƒ )(�13

� � �13

� ƒ )

Het uitwerken van de haakjes geeft

Var ( ƒ̂ )�

Dit kunnen we ook schrijven als

Var ( ƒ̂ )� � �1200�

De eerste term in deze uitdrukking is de variantie vaneen steekproef zonder randomized response. De

ƒ(1�ƒ)�

100

2�ƒ�ƒ 2

��100

�10J0

� � �23

�

�

��13

�

�nJ

� �p�1

�2p�1

�16050

��13

��1��

� �13

�

Randomized response[ Rob Bosch ]


randomized response methode geeft dus een extravariantie van 0,02.De lezer kan eenvoudig nagaan dat de variantie van deschatter ƒ̂ bij de randomized response methode gelijkis aan

Var (ƒ̂ )� � (*)

waarbij de tweede term weer de extra variantie van derandomized response is. In ons voorbeeld is de variantie van de schatter dusminimaal 0,02. De standaardafwijking is dus minstensgelijk aan 0,1�2� ≈ 0,14. Onze schatting van 5% voorhet aantal vuurwapenbezitters kent dus een marge vanzo’n 14%. Deze grote marge maakt de schatting hiergeheel onbruikbaar.

De extra variantieterm in (*) is groot als p ongeveergelijk is aan 0,5.Voor p�0 of p�1 is de extra variantie gelijk aan 0,maar dan zijn we uiteraard terug bij een gewonesteekproef. De kans p moet voldoende ver van 0 of 1liggen om de respondenten te kunnen overtuigen dathet niet mogelijk is met een redelijke mate vanzekerheid te raden of zij naar waarheid hebbengeantwoord. Maar de grote marges maken in dit gevalde schatting buitengewoon onbetrouwbaar.

Zoals we boven hebben gezien, is de oorspronkelijkevorm van randomized response niet goed bruikbaar.Men kan de procedure enigszins verbeteren door nahet trekken van een zwarte bal een neutrale vraag telaten beantwoorden, zoals bijvoorbeeld ‘Eindigt uwpincode op een 5?’ De lezer kan op een zelfde wijze alsboven nagaan welke consequenties dit heeft voor debetrouwbaarheid van de schatter.

Literatuur

[1] S.L. Warner: Randomized response, Journal of the American

Statistical Association, 60(309), pp.63-69 (1965).

Over de auteur

Rob Bosch (e-mailadres: [email protected]) is na zijn doctoraal

wiskunde 13 jaar werkzaam geweest als wiskundeleraar in het

middelbaar onderwijs. Sinds 1987 is hij als docent verbonden aan de

Koninklijke Militaire Academie te Breda. Zijn belangstelling gaat o.a.

uit naar de sociale keuzetheorie, op welk gebied hij aan de Katholieke

Universiteit Brabant onderzoek verricht.

p(1�p)��n(2p�1)2

ƒ(1�ƒ)�

n

Correcties Euclides 78-5 [ Redactie ]Door een technische onvolkomenheid zijn enkele correcties in de

drukproeven van het februarinummer van Euclides (78-5) helaas niet

verwerkt. Daardoor bevatte het groene overzicht op pp. 218/219 in het

artikel van Edu Wijdeveld enkele vraagtekens op de plaats waar pijltjes

hadden moeten staan. Voor de duidelijkheid volgt hier het gecorrigeerde

overzicht in zijn geheel. Enkele andere correcties vindt u op

www.nvvw.nl/euclides785.html

1958Invoering nieuw leerplan vhmo gymnasium en hbs (met o.m. analytischemeetkunde en beginselen infinitesimaalrekening; vooralsnog geen statistiek)

1959Congres Royaumont (‘A bas Euclide’)

1961Instelling CMLW Activiteiten ten aanzien van: I vwo/havo/mavovanaf 1963 Heroriënteringscursussen 1e-graads leraren vhmo (Kweekschool; HBO): verza-melingenleer, logica, groepentheorie, lineaire algebra en meetkunde, enz.vanaf 1964 Rapport aan de staatssecretaris inzake een in te richten permanent Stu-diecentrumvanaf 1965/1966 Schoolexperimenten Algebra en Analyse, Meetkunde met Vectoren(bovenbouw), Algebra en Meetkunde (onderbouw)1966 Verzoek van de minister tot opstellen concept-leerplannen t.b.v. geheleMammoetwet (brugklas, mavo, havo en vwo)vanaf 1966 Heroriënteringscursussen leraren mavo/lbo1967 Interimrapport annex discussienota’s met leerplanvoorstellen → Voor-stel ‘Leerplan wiskunde Rijksscholen’ (ingevoerd per 1-8-’68)vanaf 1968Toelichtingsnota’s CMLW t.b.v. brugklas, mavo/havo/vwo. Invoeringnieuwe methodes ‘buiten controle’ van de CMLW (bijv. Moderne wis-kunde; Van A tot Z)vanaf 1968 Meer methodisch/didactisch-gerichte heroriënteringscursussen 1e-graads leraren; idem: 3e-graads leraren via zgn. ‘Centrale CommissieBegeleiding Mavo Wiskunde’ (CCBMW)1968 Rapport over wenselijkheid/mogelijkheid van invoeringWaarschijnlijkheidsrekening en Statistiek, resp. Computer(wis)kunde inmavo/havo/vwo, gevolgd vanaf 1969/1970door schoolexperimenten

II hoger beroepsonderwijs1969 Instelling subcommissie Wiskunde in Hoger Beroeps Onderwijs (WIH-BO), met subcommissies voor o.a. hto, heao, enz.

III basisonderwijs/PA1967 Rapport werkgroep Basisonderwijs → CMLW → minister 1968‘10-jarenplan’ BO/PA (open, democratische, integrale leerplanontwikkeling);installatie regionale werkgroepen PA (leraren wiskunde en pedagogiek)1969 Eerste PA-conferentie inzake vernieuwingsmogelijkheden BO; Project‘Wiskobas’1970 ‘Wiskobasta’? → moties CMLW → audiëntie staatssecretaris Grosheide →1971 Instelling IOWO

Op p. 223 moeten links bovenaan ?-I en ?-II gewijzigd worden in β-Ien β-II.


Een jonge wiskundeleraarDe jaren 1964-1970 zijn voor een jonge wiskundeleraarboeiende tijden. Mijn eigen school experimenteert methet nieuwe schooltype havo en het CPS schoolt ons bijin nieuwe werkvormen, zoals groepswerk. In sommigejaren zijn al mijn klassen in groepjes zelfstandig aanhet werk en spreken ze per groepje het huiswerk af. Dedatum van het proefwerk ligt vast en op grote flappenwordt de voortgang van de groepjes onderlingvergeleken. Ook voor mij is dat zelfstandig groepswerkwel handig, omdat ik als schooldecaan intussen inandere klassen mijn folders en mededelingen over deberoepsoriëntatie kan slijten. Hoogtepunten zijn demassale nascholingsbijeenkomsten waarin per keerhonderden wiskundeleraren op gewone werkdagen doorwiskundigen worden bijgeschoold in modernewiskunde, zoals lineaire algebra, verzamelingenleer,kansrekening en statistiek. De relatie met het zichontwikkelende nieuwe leerplan is ver te zoeken, maarleuk was het wel.

New MathEen vergaande uitwerking van moderne wiskunde opschoolniveau is in 1968 te vinden bij onze zuider-buren. De Belgische wiskundige en senator Papyorganiseert wiskundecursussen voor leraren en wektbijvoorbeeld bij Piet Vredenduin enthousiasme voor denieuwe onderwerpen. Samen met zijn vrouwFrédérique (lerares aan een normaalschool) ontwerptPapy een full-colour (!) serie schoolboeken voor hetvoortgezet onderwijs[8], geheel in overeenstemmingmet de aanbevelingen van toonaangevende Europeseconferenties. De figuren 1, 2 en 3 uit deel 1, bestemdvoor 12- en 13-jarigen, laten zien dat de leer van deverzamelingen, relaties en vectoren uitloopt op dealgebra van groepen. Op basis van die wiskunde wordtin het volgende deel de transformatiemeetkunde metvectoren opgebouwd, waarin de klassieke meetkunde-

Mammoetwet en New Math hand in handOp 14 februari 1963 neemt het parlement de Wet op hetvoortgezet onderwijs aan (in het spraakgebruik demammoetwet genoemd), en vanaf 1968 gaat het nieuweschoolsysteem met de schooltypen mavo-havo-vwo vanstart. (Zoals wel vaker in de geschiedenis krijgt het lagerberoepsonderwijs in deze onderwijshervorming weinigaandacht.) Al in 1964 beginnen acht scholen met eenexperimentele havo, in latere jaren gevolgd dooronderwijsexperimenten in vwo en mavo. De landelijkepedagogische centra krijgen een belangrijke taak bij hetuitwerken van de algemene doelstellingen, waarbij werkwordt gemaakt van het introduceren van werkvormenzoals groepswerk, die het actief leren kunnen bevorderen.Het centrale onderwijsbeleid, de oppervlakte van deonderwijsoceaan, wil veranderingen in het schoolsysteemen een vernieuwing van het onderwijs in de klas.Parallel aan deze ontwikkeling plant zich overal in dewesterse wereld de Spoetnikschok voort, diewetenschappers de kans geeft om de leerplannen voorde exacte vakken drastisch te vernieuwen. ‘A basEuclide!’ is het credo van de Europese conferentie vanRoyaumont (1959). Vervang het onderwijs in al dieverouderde technische vaardigheden door onderwijs inde eenvoudige basisstructuren van de wiskunde, Wetenwaarom. Het wiskundeonderwijs wordt een soortmoedertaalonderwijs, voor iedereen te volgen. Bij deinstallatie van de Commissie Modernisering LeerplanWiskunde (19 juli 1961) merkt staatssecretarisStubenrouch van Onderwijs, Kunsten en Weten-schappen op dat de wiskunde een toepassingsgebiedvormt in veel bedrijven en dat ook buiten het onder-wijs een grote vraag naar competente wiskundigen isontstaan. De commissie moet gaan onderzoeken welkedelen van de moderne wiskunde in het vhmo moetenworden ingevoerd om de kloof tussen de wetenschapen de schoolwiskunde te verkleinen (zie verder WimGroen in ‘Honderd jaar wiskundeonderwijs’; [4]).


Veertig jaaronderwijs-

verandering? Dutch New Math na 1968

[ Anne van Streun ]

stellingen terloops als toepassingen van algemenestellingen in een vectorruimte tevoorschijn komen.Papy zegt het zo: ‘De slappe aftreksels van deElementen van Euclides worden eindelijk vervangendoor transformatiemeetkunde.’ Ook in het basisonderwijs wordt wereldwijd deverzamelingenleer geïntroduceerd met het optellen vankardinaalgetallen van verzamelingen en het lerenrekenen met het tweetallig stelsel en andere talstelsels.

Het nieuwe leerplan en de uitwerkingNiet zonder enige discussie kwamen inderhaast denieuwe leerplannen, voorgesteld door de CMLW, totstand. Zoals Hans Freudenthal later zou schrijven: ‘Wewerden als leerplanontwikkelaars gewoon overvallendoor de stormachtige ontwikkeling in het voortgezetonderwijs in de jaren 60-70.’ In een brief van 23augustus 1961 aan de CMLW[9], waarvan hij lid is,schrijft hij nog: ‘Ik acht het van weinig belang of deleerling verzamelingtheoretische en logische symbolenof vectoren en lineaire afbeeldingen op school leertkennen, indien hiermee op dezelfde wijze wordtomgesprongen als met de letters van de algebra. Zulkeen verrijking van de stof zou waardeloos en zelfs eennog grotere belasting zijn.’ De vastgestelde leerplannenvan 1968 zijn internationaal gezien weinigrevolutionair en leggen vooral de nadruk op hetgebruik van de taal en symbolen waarvan Freudenthalde waarde betwijfelde. De leerplannen zijn heelsummier beschreven, zodat de toelichtingengeschreven door Piet Vredenduin van beslissendeinvloed blijken te zijn op de inhoud van de nieuweschoolboeken en de examens. En Piet Vredenduinhechtte wèl sterk aan de logische taal en symbolen vande verzamelingen en de relaties, en fungeerde tien-tallen jaren als expert voor de examens (zie zijn eigenverhaal in het boek ‘Ik was wiskundeleraar’ van FredGoffree; [3]).

Discussie over het leerplanVanaf het begin heeft het nieuwe leerplan ter discussiegestaan. Grote aantallen wiskundeleraren, mogelijker-wijs zelfs ruim 2500, sturen adhesiebetuigingen naarwiskundeleraar Dick van den Haak te Oegstgeest,initiatiefnemer van de Back-to-Basics actie WISKOBAH(zie [5], p. 259). Het bestuur van de NVvW en deCMLW zien hierin kennelijk geen aanleiding om hetnieuwe leerplan alsnog bij te stellen. Geen onrustveroorzaken was het dringend advies van hetministerie van OC&W aan de CMLW, aldus Freudenthalveel later. De wiskundige N.G. de Bruijn (TUEindhoven) beklaagt zich in Euclides (1968-43) overhet ontbreken van toepasbare wiskunde in het nieuweleerplan. Freudenthal, nu voorzitter van de CMLW, achtin zijn reactie de tijd nog niet rijp voor toegepastewiskunde. Achter de schermen fulmineert hij tegen deovermaat aan symbolen in de nieuwe schoolboeken entegen de invloed van Piet Vredenduin. Zijn vrees datdoor de invoering van onbegrepen formalismen hetwiskundeonderwijs erop achteruit zal gaan, blijktterecht.

In de achtereenvolgende drukken van de schoolboekenvoor havo-vwo wordt de formele benadering in deonderbouwboeken steeds meer teruggedrongen, omdater in de eindexamens havo-vwo weinig gebruik vanwordt gemaakt. Daarentegen moeten de mavo-leerlingen op hun eindexamen tot aan de invoeringvan de basisvorming nog heel veel decodeerwerkverrichten om de opgaven te begrijpen. De invloed vanVredenduin, adviseur van de opstellers van dieexamens, is nog tientallen jaren merkbaar (zie devoorbeelden van notaties uit de mavo-examens infiguur 4).

Beperking van de vrijheid van de leraarMet de mammoetwet kreeg ook het centrale beleid veelmeer invloed op de dagelijkse gang van zaken in descholen. Een stroom van algemene maatregelen vanbestuur met voorschriften over toelating, lessen-tabellen, aantal lessen per week, vakanties, splitsen ensamenvoegen van groepen enzovoort, enzovoort werdvoortaan vanuit Den Haag geregeld. Niet alleen hetbijzonder onderwijs protesteerde vergeefs, maarbijvoorbeeld ook de ulo-organisaties die gewend warenaan een grote mate van vrijheid. Daarmee annexprotesteerden groepen leraren tegen de dirigistischetendensen in de weten regelgeving. Ik citeer uit hetAntimammoetrapport[7]: ‘Leraar noch leerling hebben ook maar iets in tebrengen, zij hebben uitsluitend uit te voeren endomweg te doen wat elders door een hogere, nietzelden aan de directe schoolsituatie vreemde, machtbepaald wordt.’‘Binnen het mammoetpatroon moet de leerstof per vakstrak geprogrammeerd worden. Het zit er dus dik in datde lessen zullen verstarren en verarmen. Dit onderwijsheeft geen behoefte meer aan specifieke persoonlijk-heden onder de leraren.’ ‘De tegenstanders van de monsterscholen worden zoetgehouden met het idee van de “units”, verschillendeafzonderlijke eenheden waarin deze mammoet-inrichtingen zullen worden onderverdeeld. Een vagebelofte zonder werkelijke inhoud, want die units zullentoch noodzakelijkerwijs in de pas moet lopen van hetgeheel.’

Wat heeft het centrale beleid opgeleverd?De nieuwe onderwijsstructuur leidt (onbedoeld) tot eenveel grotere toestroom naar het hoger onderwijs. Metname het toen nog beperkte hoger beroepsonderwijskon de toestroom lang niet aan. De externedemocratisering is sterk gestimuleerd door hetdoorstromen van leerlingen naar een hoger schooltype,bijvoorbeeld van mavo-4 naar havo-4. Het vakwiskunde moet voor veel bredere groepen leerlingenworden onderwezen dan was voorzien. De leerplannenvoor het mavo maar ook bijvoorbeeld voor het vakwiskunde I op het vwo (toelatingseis tot veel gamma-studies) zijn daar niet op geschreven. De trend naar steeds gedetailleerdere voorschriftenheeft zich in 1968 ingezet en is tientallen jaren alleenmaar versterkt. Dat heeft de professionele vrijheid van


achterliep op de eerste lichtingen van de mammoet-wet, was er toch nog geen alternatief. Een keuze vanWolters-Noordhoff of een andere grote uitgever voorbijvoorbeeld School Mathematics Project, demarktleider in Engeland met veel meer toegepastewiskunde, had de inhoud van de schoolboeken deeerste decennia na 1968 een geheel andere kleurgegeven. Met Van Hiele en Freudenthal ben ik heteens dat de uitwerking van de nieuwe leerplannen van1968 in veel opzichten een achteruitgang betekendevoor de ontwikkeling naar betekenisvol wiskunde-onderwijs. Nieuwe leerplannen veroorzaken niet alleenop korte termijn een dip in de kwaliteit van hetwiskundeonderwijs, maar blijken ook op langeretermijn slecht uit te kunnen pakken.

Wat gebeurde er met de lespraktijk?Wat is er terechtgekomen van de onderwijsvernieuwingin de klas? Bijvoorbeeld van het groepswerk en anderenieuwe werkvormen? In de evaluatie van de WetVoortgezet Onderwijs merkt de commissie vwo-havo-mavo in haar eindverslag De mammoetexperimenten[1],het volgende op:

de leraren en de scholen steeds verder beperkt, tot enmet de PTA’s in onze tijd. Pas sinds kort begint hetinzicht te dagen dat een dergelijke voorschriftencultuurantiproductief werkt en spreekt het ministerie over‘Ruimte’ en ‘Vrijheid’ voor de scholen en de leraren.

Hoe pakten de leerplannen uit?De wiskundeprogramma’s opgesteld door de CMLWzijn heel gematigd, zeker als je ze vergelijkt met dievan landen als België, Duitsland en Frankrijk. Deuitwerking is in mijn ogen bepaald door een tweetalfactoren. Aan de ene kant is de inhoud van de school-boeken in hoge mate de formalistische kantopgestuurd door de toelichtingen op deexamenprogramma’s van Vredenduin. Ook toen alwerden programma’s door een enkeling doorgedruktzonder voldoende tegenwicht van de leraren en devakvereniging. Aan de andere kant is de keuze vanWolters-Noordhoff voor het bewerken van een nogalformele wiskundemethode uit Schotland (‘ModernMathematics for Schools’, Blacky & Chambers) tot‘Moderne wiskunde’ bepalend geweest. Hoewel hetverschijnen van die boeken soms bijna een jaar

FIGUUR 1 Niet-associativiteit van het verschil [8, p. 35] FIGUUR 2 Gelijkmachtigheid [8, p. 244]

‘Men vernieuwde het onderwijs niet fundamenteel enmaakte weinig studie van de doelstellingen,leerstofinhouden, werkvormen en evaluatie.’De commissie is van oordeel dat de overheid te weinigfaciliteiten heeft geboden om de leraren voor tebereiden op de nieuwe leerstof en nieuwe werkvormen,zoals het zelfstandig door leerlingen laten bestuderenvan onderwerpen, het zelfstandig laten uitwerken vanindividuele taken, het leiden van klasse- en groeps-gesprekken en -discussie, het organiseren van groeps-werk. En vijfentwintig jaar later concludeert deinspectie in haar evaluatie van de basisvorming[6] overdie gewenste, activerende, werkvormen exacthetzelfde! Veranderingen in de lespraktijk blijken nietsnel te worden gerealiseerd, ongeacht veranderingen inhet schoolsysteem of de leerplannen.

Bronnen en noten

[1] Commissie vwo-havo-mavo: De mammoetexperimenten,

Staatsuitgeverij (1974).

[2] H. Freudenthal: Schrijf dat op Hans.

[3] F. Goffree: Ik was wiskundeleraar, SLO (1985).

[4] F. Goffree e.a.: Honderd jaar Wiskunde-onderwijs, NVvW (2000).

[5] F. Goffree: Leren van en leren met Joop van Dormolen (interview),

Euclides 63-9, (juni-juli 1988).

[6] Inspectie van het onderwijs: Werk aan de basis, (1999).

[7] Kritiese leraren Nijmegen: Antimammoetrapport, SUN (1969).

[8] G. Papy, F. Papy: Moderne wiskunde 1, Didier (Brussel, 1968).

[9] Het eerste deel van deze brief is afgedrukt in Euclides 78-5,

p. 222, figuur 2.

Over de auteur

Anne van Streun (e-mailadres: [email protected]) is sinds

1974 werkzaam aan de Rijksuniversiteit Groningen als

wiskundedidacticus en sinds 2000 als hoogleraar in de didactiek van

de wiskunde en natuurwetenschappen.

FIGUUR 3 Groepentheorie [8, p. 454]FIGUUR 4 Voorbeelden van notaties uit het mavo-examen 1974

BASISBEROEPSGERICHTELEERWEG: MAG HET ANDERS ZIJN?Een pleidooi voor een eigen programma voor de zwakke leerling in de basisberoepsgerichte leerweg[ Wim Kuipers ]

FIGUUR 1 Opgave 1 uit het wiskunde-BB examen 2002

Haalbaarheid nuWat is het nut van de huidige wiskunde-invulling voorleerlingen uit de basisberoepsgerichte leerweg? Velen zullen wellicht zeggen dat leerlingen deze wiskundenodig hebben voor de doorstroming naar in de eersteplaats het mbo. Ook deze leerlingen hebben immers rechtop een diploma of, als dat niet tot de mogelijkhedenbehoort, toch in elk geval op een certificaat. Enuiteindelijk ligt er de verplichting om je te houden aan hetexamenprogramma zoals we het kennen uit het kerndeel.Als je echter aan docenten vraagt naar de haalbaarheid,dan zal een groot aantal zeggen dat het voor de zwakkeleerling in de beroepsgerichte leerweg te veel gevraagd is.Met zwakke leerlingen denken we aan onze vroegere A-leerlingen. En dan gaat het vooral om de moeilijkheids-graad. Moeilijk in de zin van: gebruik van de taal, wijzevan vraagstelling, onbegrepen contexten e.d.

BB-examens 2003Nu hebben we gezien dat het laatste BB-examen (ziefiguur 1) al een stuk beter is gemaakt dan het pilot-examen uit 2001. En de verwachting is dat het examenvoor 2003 perspectief voor de zwakke leerling zalbieden vanwege aanpassingen naar inhoud en lay-out.Voor het BB-examen kunnen de leerlingen namelijk deantwoorden op de vragen in hetzelfde boekje schrijven.Verder zullen de startvragen bij elke context niet al temoeilijk zijn. Het gaat dan meestal om eenvoudigeberekeningen of afleesvragen.We wachten af. Maar daarmee zijn we er niet.

Andere wegDe vraag blijft: waar dienen we de zwakke leerling hetmeest mee? Op een zodanige wijze dat deze leerlinggemotiveerd blijft, het met plezier doet en ervaart datwiskunde te maken heeft met iets uit de eigen wereld. Naarmijn mening kun je niet volhouden dat het volgen van deleerstof uit het boek daarvoor voldoende garantie biedt. Delesstof past vaak nergens bij, is vaak saai en te veel vanhetzelfde. Het boek nodigt niet voldoende uit omactiviteiten te ontwikkelen die passen bij de leerstijlen vandeze leerlingen: het doen ervaren waar en wat wiskunde is. Ik wil niet zeggen dat we morgen de huidige boeken maardirect weg moeten doen, maar toch, misschien overmorgenwel. Ik bedoel dat we tussen nu en overmorgen onsmoeten inspannen om voor deze leerlingen een andereweg te bewandelen, willen we het vak wiskunde een goedeplek in hun leven geven. In elk geval moet ons doel zijndat deze leerlingen op hun eigen niveau de gelegenheidkrijgen, zich een wiskundige basis eigen te maken. Hetgaat dan om een functionele gecijferdheid, een gevoel voorgetallen. Als je aan de kassa staat, er benul van te hebbenhoeveel je terugkrijgt of hoeveel je tekort komt, en wat jebij een bepaald bedrag te besteden hebt. En als je je kamerwilt inrichten en je beschikt over een bepaald budget, watje dan wel of niet kunt doen bij IKEA. Dit alles heeft niets te maken met een verlaging vanniveau. Ook deze leerlingen moeten leren hoe ze eenprobleem oplossen en daarbij logisch redeneren. Dan kun je natuurlijk kijken naar de overheid in deeerste plaats. Zeker ben ik van mening dat de overheid

geld beschikbaar moet stellen om deskundigen degelegenheid te geven materiaal te ontwikkelen waar wein het authentieke onderwijs mee uit de voeten kunnen.Authentiek onderwijs heeft o.a. als kenmerken dat erwordt uitgegaan van betekenisvolle leertaken,aansluiting bij de leefwereld van leerlingen, actievedeelname van leerlingen door zelf ervaren en ontdekken.

SchoolexamenIk zou overigens willen pleiten voor een geheel eigenprogramma voor deze leerlingen en een geheel eigenafsluiting. Voor mijn part geen centraal examen, maar eeneigen schoolexamen. De inspectie kan worden belast methet toezicht op de deugdelijkheid van de opleiding. Deeindtermen die aan zo’n opzet ten grond moeten liggen,zullen een sectoraal programma moeten opleveren, eenschoolexamen dat per sector verschillend is. Je zou dantevens kunnen denken aan samenwerking met het mbo enhet bedrijfsleven. Een leerling sluit het laatste jaar af meteen soort meesterwerkstuk en ontvangt een diploma.

Concreeta. Leerjaar 1 en 2 zijn verder funderend voor rekenen enwiskunde. Je kunt dan je boek gebruiken en een selectiemaken van de leerstof op grond van wat je, alsNederlander binnen de discipline van gecijferdheid,geacht mag worden te weten: hoe kan ik me redden in demaatschappij. Je zou eventueel kunnen denken aan hetbehandelen van modules, bijvoorbeeld verkeer, omgaanmet geld, passen en meten, winkelen, lezen van recepten.b. Leerjaar 3 en 4 zijn de examenjaren, de jaren waarinde leerling gericht binnen een leerweg de competentiesopdoet die nodig zijn voor het goed functioneren in eenpraktijksituatie verbonden met een sector. Je neemtbetekenisvolle situaties tot uitgangspunt. Er zal binnen de school en de praktijkafdelingen en deavo-vakken overleg moeten zijn over de invulling. Methet mbo zal er overleg dienen te zijn over een goedeaansluiting en het laten doorlopen van leerlijnen.Wat ik bepleit is een eigen programma voor de zwakkeleerling die een basisberoepsgericht programma moetvolgen, afgesloten met een schoolexamen.

Ruimte en middelenIk denk dat de school ruimte heeft om er een goedeinvulling aan te kunnen geven. Ruimte voor hetverwerven van kennis van rekenen en wiskundegekoppeld aan praktijksituaties gerelateerd aan deopleidingen binnen het mbo. Wat zou het mooi zijn alshet ministerie voor het ontwikkelen van materiaal opruime schaal middelen beschikbaar stelt. Dit nog maareen keer gezegd, want de leerling is het waard.De BB-leerling moet een betere kans geboden wordenom wiskunde als zinvol te ervaren, daarom moet hetprogramma een andere invulling en opzet krijgen.Graag reactie!

Over de auteur

Wim Kuipers (e-mailadres: [email protected]) is docent vmbo

aan het Greijdanuscollege te Zwolle.


Wat is WisFaq?WisFaq is een (digitale) vraagbaak voor het wiskunde-onderwijs in Nederland. Vanuit het overleg van‘webmasters van wiskundesites’ is het idee ontstaanom een website te maken waar (met name) leerlingenwiskundevragen kunnen stellen die door ‘deskundigen’worden beantwoord. Met steun vanuit het WisKidsConsortium zijn we in september 2001 gestart met deeerste pilot. Op dit moment (februari 2003) worden ergemiddeld 20 vragen per dag beantwoord en staan erin de database 4400 beantwoorde vragen.

Hoe werkt het?Op de website kunnen bezoekers vragen stellen,beantwoorders kunnen vragen beantwoorden en demoderator zorgt dat het allemaal werkt. De vragen ende antwoorden staan in een database, en allerleiadministratie zoals e-mailtjes sturen wordt door de sitegeregeld. Een vraag stellen kan door het invullen van eeninvulformulier. De vraag komt vervolgens in dedatabase terecht. De beantwoorder kan, nadat hij/zij isingelogd, zien welke vragen nog niet beantwoord zijn.Na beantwoording worden de vraag en het antwoordzichtbaar voor het publiek en de vragensteller krijgteen e-mailtje met de mededeling dat de vraagbeantwoord is en op de site te bekijken is.We proberen de vormgeving van de antwoorden zohelder mogelijk te houden, dus met mooie en duidelijkeformules, grafieken, plaatjes en Cabri-constructies.Daarnaast kan een beantwoorder een vraagbeantwoorden met een verwijzing naar één vanveelgestelde vragen (FAQ’s), een website, vragen om meerinformatie, een vraag verwijderen en nog veel meer.

VragenstellersDe vragenstellers geven bij de vraag aan, welk soortonderwijs ze volgen. Sinds kort zijn deze ‘profielen’uitgebreid met een aantal profielen voor leerlingen uitBelgië. De stand van zaken (voor wat betreft het aantalNederlandse vragen) van februari 2003 staat in figuur 1.

WISFAQ: DIGITALEVRAAGBAAK VOOR WISKUNDE ’Heel erg bedankt voor het antwoord, we waren al bijna hopeloosgeworden maar hebben nu weer hoop want we snappen het weer!!’ [ Willem van Ravenstein ]


FIGUUR 1

FIGUUR 2

Soorten vragenDe meeste vragen komen van leerlingen van de boven-bouw havo-vwo (zie figuur 2). Dit zien we uiteraardook terug in de onderwerpen van de vragen: vantovervierkant tot het oplossen van een vierdegraadsvergelijking, van rekenliniaal tot nummerbord, vangroeimodel tot complexe getallen, van differentiaal-vergelijking tot grafische rekenmachine. Soms gaat het om acute, échte wiskundevragen zoalshet ook in de klas gaat: een differentiatie, eenvergelijking, een bewijs, enzovoorts, maar vaak zijn webezig om praktische opdrachten te completeren, sites tezoeken of ideetjes voor werkstukken te geven. Het zoeken naar de ‘juiste’ houding t.a.v. de manierwaarop we vragen beantwoorden, blijft een punt vanzorg. Net als in de les wil je natuurlijk leerlingenstimuleren tot zelf doen, uitproberen en nadenken. InWisFaq is dat niet anders… maar hoe doe je dat digitaal?

BeantwoordersIn de pilot zijn we begonnen met de groep webmastersvan belangrijke (niet-commerciële) wiskundewebsites inNederland. In principe kan ‘iedereen’ zich opgeven ommee te helpen via de website. Inmiddels worden de vragenbeantwoord door een bonte verzameling van allerleimensen met verschillende achtergronden en leeftijden. Op dit moment bestaat de groep beantwoorders uit42 personen, waaronder verschillende docentenvoortgezet onderwijs, een natuurkundige, wiskunde-studenten, een cryptograaf, leerlingen voortgezetonderwijs, wiskundigen, een econoom, ingenieurs,hogeschooldocenten, studenten lerarenopleiding,wiskundewebmasters, studenten van verschillende anderestudierichtingen, enzovoorts… uit Nederland en België!

OpbrengstenZonder volledig te willen zijn, zou ik de vraag: ‘Wat levert zo’n digitale vraagbaak nu op voor hetwiskundeonderwijs?’ als volgt beantwoorden.- WisFaq is een plek waar alle leerlingen in het voortgezetonderwijs vragen kunnen stellen over wiskunde en (indienmogelijk) een ‘deskundig’ antwoord krijgen.- Door de vele vragen en antwoorden ontstaat er een soort‘kennisbank’ van voorbeelden, opgaven, oplossingen enverwijzingen naar andere bronnen. Veel vragenstellershaken aan op antwoorden uit de database en stellenvervolgvragen op eerder gegeven sites en suggesties. - Veel websites voor wiskundeonderwijs verwijzen naarWisFaq. Daardoor komen ‘wiskundevragen’ niet meerbij de webmasters van die websites terecht, maarkunnen ze in WisFaq gesteld en beantwoord worden.Omdat veel vragen steeds weer terugkomen, hoevendeze vragen niet steeds opnieuw beantwoord te worden.- Veel vragen gaan over praktische opdrachten. Je kunt jeafvragen waarom dat zo is. Zijn die opdrachten misschiente vaag? Of te moeilijk? En over welke opdrachten blijvener maar vragen komen en hoe komt dat?- Er is een groep leerlingen/studenten die alsvoorbereiding/toelating op een opleiding zelfstandigeen hoeveelheid stof moeten doorwerken. Dezeleerlingen/studenten vallen tussen wal en schip. Ze

hebben geen docent en van de toekomstige opleidingzullen ze waarschijnlijk ook geen ondersteuningkrijgen. In WisFaq kunnen ze wel terecht…- WisFaq is voor iedereen toegankelijk. Het blijkt dathier en daar ook mensen die niet studeren metwiskundige vragen zitten. Dat kan variëren van ‘Hoemaak je een ovaal terras?’ tot ‘Wat is de kans op dejackpot?’ We kwamen WisFaq al tegen bij een artikelover loterijen in de Consumentengids van januari 2003. - Voor docenten kan WisFaq een goede plek zijn om tezien wat er zoal speelt in het wiskundeonderwijs enwat er zo op Internet te vinden is. Waar zijn leerlingenmee bezig? Wat zijn de moeilijke onderwerpen? Watzijn nuttige zaken om eens een artikel over te schrijvenof materiaal voor te maken? Kan ik hier, als docent,leuke ideeën opdoen voor een toets of een opdracht?Waar vind ik goede links over bepaalde onderwerpen?

Maar u kunt natuurlijk het beste zelf eens een keerrondkijken. Hieronder vindt u de relevante webadressen.

Linkswww.wisfaq.nl - digitale vraagbaak voor wiskundewww.fi.uu.nl/wiskids/ - WisKids Consortiumwww.kennisbanktechniek.nl – Axiswww.wiswijzer.nl – homepage van Willem vanRavenstein.

Over de auteur

Willem van Ravenstein (e-mailadres: [email protected]) is moderator

van WisFaq en docent wiskunde, zowel aan de lerarenopleiding

VO/BVE van de Hogeschool Rotterdam als aan het Haags Montessori

Lyceum. Zijn homepage is www.wiswijzer.nl

Doelen van WisKids zijn:enthousiasme voor wiskundebevorderen bij jongeren, hetimago van wiskundeverbeteren, jongerenuitdagen via wiskunde, enbelangstelling bevorderenvoor de exacte vakken.

WisKids is een gezamenlijk initiatief van het WiskundigGenootschap (WG), de Nederlandse Vereniging vanWiskundeleraren (NVvW) en de Nederlandse Verenigingtot Ontwikkeling van het Reken-WiskundeOnderwijs(NVORWO).Partners in WisKids zijn Ratio (KUN), Perspectief(STW/NWO en NVvW), Vierkant voor Wiskunde,Pythagoras, Wiskunde Olympiade en het FreudenthalInstituut. WisKids werkt samen met APS en SLO.Financieel is WisKids mogelijk gemaakt door hetMinisterie van OC&W, de Stichting Axis en de StichtingArbeidsmarkt en Opleiding Metalektro.Het prijzengeld van de Wiskunde Scholen Prijs wordtmede gesponsord door NOCW en door de NVvW.Meer informatie: www.fi.uu.nl/wiskids of per email:[email protected]


WISKITHet tekenprogramma Wiskit is een gereedschapskist om allerleiillustraties van goede kwaliteit te maken die in lesmateriaal entoetsen voor het vak wiskunde kunnen worden opgenomen.[ Hans Klein ]


FIGUUR 2FIGUUR 1

InleidingSteeds meer worden illustraties bij toetsen en les-materiaal gebruikt. Een tekening kan immers deopgave of tekst erg verhelderen. Vaak is een veelheid aan programmatuur nodig om degewenste tekeningen te maken: een grafieken-tekenprogramma, een meetkundig tekenprogramma,een programma om webgrafieken te tekenen, etc.Met Wiskit is het mogelijk veel van dit soorttekeningen met een en hetzelfde programma te maken;je kunt dan ook in een tekening verschillende soortenafbeeldingen combineren.Omdat grafieken vaak als illustratie worden gegeven ishet basisscherm van Wiskit het zogenaamde grafieken-scherm (zie figuur 1). Hiermee kunnen snel grafiekenvan functies worden gemaakt. Vanuit dit venster kunnen gemaakte tekeningen ineen aantal verschillende bestandsformaten wordenopgeslagen. De volgende afbeeldingsformaten zijnmogelijk: de bitmapformaten GIF en JPG(voornamelijk geschikt voor internettoepassingen) enhet vectorformaat WMF (Windows Metafile). HetWMF-formaat is bijzonder geschikt voor afbeeldingendie in Word- of Powerpoint-bestanden moetenworden opgenomen. De afdrukkwaliteit is beduidendbeter dan die van bitmap-afbeeldingen, enafbeeldingen die in dit formaat zijn opgeslagen,kunnen met weinig tot geen verlies worden vergrootof verkleind. Het is zelfs mogelijk ze in Word achterafnog te bewerken. Voor Latex-gebruikers is ook heteepic-formaat beschikbaar.

Het programmaschermVia de menuoptie Meer… kun je naar het zogenaamdeprogrammascherm (zie figuur 2). Hierin kunnen ookandere figuren op het grafiekenscherm wordengetekend. Dat kan via een of meer korte opdrachten. Bijvoorbeeld: de opdracht cirkelmppunt(0;0;3;4) tekentde cirkel met middelpunt (0, 0) door het punt (3, 4).


Zo kan met een aantal van dit soort opdrachten sameneen figuur worden getekend. Een beginnende gebruikerkan zo vrij eenvoudig een redelijk ingewikkeldetekening maken.Naast opdrachten om figuren te tekenen is het ookmogelijk om gebruik te maken van variabelen en vanstructuren als herhaal…totdat, als…anders…eindals,enzovoort. Met andere woorden: Wiskit isprogrammeerbaar. Al met al zijn ruim honderd opdrachten beschikbaar.Welke dat zijn is te zien in het uitrolvenster links-bovenaan het programmascherm. Als een van deopdrachten in dit venster wordt gekozen, verschijnt eenkorte herinnering onder dit uitrolvenster welkeparameters de opdracht heeft. Dit is een handige steunom snel te weten te komen welke opdrachten er zijn enhoe die moeten worden gebruikt. Dit vergroot degebruiksvriendelijkheid aanzienlijk. Meer informatie overelke opdracht is te vinden in het helpbestand. Bovendienkan bij de menu-optie Documentatie een bestand metvoorbeeldprogramma’s en een bestand met een inleidingin het programmeren met Wiskit worden opgeroepen. Via de menuoptie Bestand kunnen programma’sworden opgeslagen en teruggelezen.

Voorbeeld 1 - kromme tekenenEen programmaregel die de kromme (x,y) = (sin(2t),cos(3t)) tekent ziet er als volgt uit:kromme(sin(2*t);cos(3*t);0;2*pi;0.01)Alle noodzakelijke gegevens staan achter de opdrachtkromme: de x-functie, de y-functie, de kleinste waardevan t (n.l. 0) ,de grootste waarde van t (n.l. 2*pi) en destapgrootte waarmee t verhoogd wordt (0,01).Het resultaat staat in figuur 3.Op soortgelijke manier zijn er tekenopdrachten voorcirkels, ellipsen, rechthoeken, veelhoeken, lijnen,grafieken, lijnelementenvelden, integraalkrommen,conflictlijnen, webgrafieken, etc. Ook ruimtelijketekenopdrachten in zowel parallelprojectie als centrale

FIGUUR 3 FIGUUR 4

Er zijn ook opdrachten om snijpunten van bissectrices,twee lijnen, twee cirkels of cirkel en lijn te berekenen.

Voor wie nog meer wilNaast de al genoemde mogelijkheden zijn er nog devolgende: ruimtelijke tekeningen, strings en expressies,de mogelijkheid om invoervelden, schuifbalken enuitrolvensters op het grafiekenscherm te plaatsen dievanuit een programma kunnen worden gelezen,symbolische algebra (beperkt tot substitueren,differentiëren en primitiveren). Ook kunnen punten opde tekening worden geplaatst die met de muis kunnenworden verplaatst. Deze toevoegingen maken hetmogelijk interactieve programma’s te maken die dichtin de buurt komen van veel applets. Uiteindelijk kanzo’n interactief programma nog samen met eenbegeleidende tekst in een zogenaamde presentatieworden samengenomen (zie figuur 6). In het distributiebestand van Wiskit zijn een aantalpresentaties opgenomen die op zichzelf al de moeitewaard kunnen zijn.

InformatieWiskit kan werken op een computer waarop Windows95 of hoger is geïnstalleerd. Wiskit wordt door deauteur gratis ter beschikking gesteld. Opmerkingen vangebruikers zijn welkom en hebben in het verleden totbelangrijke verbeteringen bijgedragen.Wiskit kan via internet worden opgehaald via het adreshttp://home.wxs.nl/~hklein/wiskit.htm

Over de auteur

Hans Klein (e-mailadres: [email protected]) is docent wiskunde aan het

Zernike College te Haren. Hij is tevens de maker van het in dit artikel

beschreven programma Wiskit. Zijn speciale belangstelling gaat uit

naar ICT-gebruik in de wiskunde.

Hij beheert ook een website speciaal gewijd aan wiskunde:

http://home.wxs.nl/~hklein/math.htm

projectie zijn beschikbaar. Er zijn ook opdrachten omtekst in de tekening te plaatsen.

Voorbeeld 2 - figuren combinerenHet tweede voorbeeld laat zien hoe het tekenen vanrechthoeken gecombineerd kan worden met de grafiekvan een functie (zie figuur 4).grafiek (sin(x))a:=0da:=pi/10herhaalrechthoek(a;0;a+da;sin(a+da))a:=a+datotdat(groter(a,pi-da))Het programma toont ook het gebruik van de controle-structuur herhaal…totdat, samen met het gebruik vanvariabelen.Andere controlestructuren zijn for…next en voorelke.

Voorbeeld 3 - omgeschreven cirkelHet derde programma laat zien hoe de omgeschrevencirkel van een driehoek kan worden geconstrueerd (ziefiguur 5).maakpunt(a;-4;2)maakpunt(b;4;0)maakpunt(c;0;-4)veelhoek(a1;a2;b1;b2;c1;c2)snijpuntmll(a1;a2;b1;b2;c1;c2;s1;s2)cirkelmppunt(s1;s2;a1;a2)stip(s1;s2;2)tekst(s1;s2;M)Met de opdracht maakpunt worden de coördinaten vande drie hoekpunten vastgelegd. Met de opdracht veelhoek wordt de driehoek getekend.De opdracht snijpuntmll berekent het snijpunt van dedrie middelloodlijnen van de zijden en plaatst decoördinaten van dit snijpunt in de variabelen s1 en s2.Deze worden dan gebruikt om de cirkel en zijnmiddelpunt te tekenen.


FIGUUR 6FIGUUR 5

In samenwerking met de stichting Ars & Mathesisorganiseert het wiskundetijdschrift Pythagoras in hetvoorjaar van 2003 een grote Veelvlakkenprijsvraag,waarmee vele prijzen te winnen zijn, waaronder eenhoofdprijs van 1000 euro. Opdracht is het ontwerpen van een ruimtelijke figuurmet een bijzondere en kunstzinnige symmetrie. Deelname aan de prijsvraag staat open voor iedereen:jong en oud. De inzendtermijn is van 15 april tot en met 15 juni2003. De details van de prijsvraag staan op de websitevan Pythagoras: www.science.uva.nl/misc/pythagoras

Deze prijsvraag is bedoeld voor iedereen: leerlingen,amateurs en professionele kunstenaars wordt gevraagdeen model van een veelvlak te maken, waarin uitkomt - hoe bijzonder dat veelvlak is;- hoe verrassend het in elkaar zit; - hoe het kan worden opgesplitst;- welke prachtige symmetrie het heeft;- hoe je een route over de ribben kunt maken;- welke bijzondere kleuringen van de zijvlakken ermogelijk zijn; - enzovoort, enzovoort.

Veelvlakken zijn ruimtelijke figuren die alleen plattezijvlakken hebben. Bekende voorbeelden zijn piramide,kubus en prisma. Drieduizend jaar wiskundig speur-werk hebben een eindeloze variatie opgeleverd vangulden ruitendertigvlak tot kleine sterdodecaëder, vanvoetbal tot grote romben-icosidodecaëder. Elk veelvlaklaat iets zien van de samenhang en symmetrie die inde ruimte mogelijk zijn.

Het model mag van hout, papier, plastic, steen, kurk,ijzerdraad of gips zijn, of welk duurzaam materiaaldan ook. Het model mag beweegbaar zijn zodat het inverschillende standen nog meer zichtbaar maakt vanhet veelvlak. In plaats van één veelvlak mag je ookmeerdere veelvlakken kiezen als onderwerp; in datgeval bestaat de inzending uit een serie modellen. Zelfs een virtueel model is toegestaan: een animatievan (het) veelvlak(ken) op de computer.

Er zijn vier wedstrijdcategorieën, en per categoriewordt een prijs van 500 euro uitgereikt. De allerbesteinzending wordt beloond met een extra prijs vannogmaals 500 euro. Daarnaast zijn er nog vele extraprijzen beschikbaar, waaronder een studentenversievan het wiskundeprogramma Mathematica, vier keerhet programma Mathematical Explorer (WolframResearch) en vier grafische rekenmachines TI-83 Plus

Silver Edition, en één keer het programma Rhinoceros(een 3D-pakket ter waarde van 2300 euro).

Hoe creatiever de inzending, hoe meer de jury dat zalwaarderen. De jury bestaat uit Rijkje Dekker (UvA),Thijs Notenboom (HvU), Govert Schilling(wetenschapsjournalist) en Piet van Mook (beeldendkunstenaar) en staat onder leiding van prof. F. van derBlij (emeritus UU). De winnaars worden bekend gemaakt in het eerstePythagorasnummer van het seizoen 2003-2004.

Informatie over veelvlakken is uiteraard te vinden inPythagoras en op de websitewww.science.uva.nl/misc/pythagorasHier zijn ook het inzendadres en het benodigdewedstrijdformulier te vinden. Insturen kan allééntussen 15 april en 15 juni 2003.

Nadere informatiewww.arsetmathesis.nlwww.science.uva.nl/misc/pythagorasen voor de Veelvlakkenposter:www.science.uva.nl/misc/pythagoras/poster

Aankondiging / Veelvlakkenprijsvraag [ Chris Zaal ]

FIGUUR 1 Ringvormig 12-vlak ontdekt door RinusRoelofs; houten model van Sander Neuteling (EFA)

FIGUUR 2 Een vouwmodel van een kubus

Bell gaf niet op. Hij moest een constructie bedenkendie vergroot kan worden zónder dat de verhoudingoppervlakte : gewicht toeneemt. De vergroting kon erdus niet uit bestaan, het ontwerp simpelweg in allerichtingen te vergroten. In een ontwerp op basis vaneen regelmatig viervlak kwam hij tot een constructievan een vlieger waarvan de afmetingen willekeurigvergroot konden worden. In Bells vlieger blijft deverhouding vleugeloppervlak : gewicht constant,onafhankelijk van het aantal malen dat het ontwerpvergroot wordt.

Een fractale vliegerDe basis voor de vlieger van Bell is een regelmatigviervlak (tetraëder): een piramide met een driehoekiggrondvlak. Het geraamte wordt gevormd door zes even

De lucht inAan het einde van de negentiende eeuw was er eenwereldwijde competitie gaande. Doel was een vlieg-machine te bouwen die de mens het luchtruim in konbrengen. De strijd werd beslist door de gebroedersWright, die in 1903 als eersten een korte bemandeglijvlucht maakten.Twee jaar eerder, in zijn artikel ‘Is the Air-shipComing’ (Mclure’s Magazine, september 1901),concludeert professor S. Newcomb nog dat ‘deconstructie van een vliegmachine die zelfs ook maaréén man kan vervoeren onmogelijk is zonder deontdekking van een nieuw metaal of een nieuwekracht’. Hij baseert zich op de volgende redenering:‘Laat ons twee exact gelijke vliegmachines maken, deéén precies twee keer zo groot als de andere, in allerichtingen. We weten dat de volumes, en dus degewichten, zich verhouden als de derde macht van hunafmetingen. De derde macht van twee is acht: het grotevliegtuig zal dus acht keer zo zwaar zijn als het kleinevliegtuig. Maar de oppervlaktes verhouden zich als dekwadraten van de afmetingen. Het kwadraat van tweeis vier. De zwaardere vliegmachine heeft een vier keerzo groot vleugeloppervlak om mee te vliegen als dekleinere machine, en is duidelijk in het nadeel voorwat betreft de verhouding van efficiëntie : gewicht.’

De vlieger van BellAlexander Graham Bell, tegenwoordig vooral bekendals de uitvinder van de telefoon, deed ook mee in derace om de bouw van de eerste vliegmachine. Hij hieldzich vooral met vliegers bezig. Hij liep tegen boven-staand probleem aan toen hij een Hargrave-doosvlieger(zie figuur 2) maakte op reuzenformaat, ter groottevan twee kleine huiskamers. Bell had gehoopt er eenman mee te kunnen optillen, maar om deze reuzen-vlieger zelfs ook maar te laten opstijgen bleek orkaan-kracht nodig.

VLIEGENDE VEELVLAKKEN[ Chris Zaal ]


FIGUUR 1 Een 16-cel in de lucht (foto: Tony Broad)

lange stokken (de ribben) van 50 centimeter, waarvaner steeds drie in de hoekpunten samenkomen. Twee vande vier zijvlakken worden bespannen met vliegerstof,de andere twee zijvlakken blijven open (zie figuur 3).Dit viervlak is de basiscel voor het vliegerontwerp. Voorconstructietips zie de internetadressen aan het eind vandit artikel. Vier van deze cellen kunnen worden samengevoegd toteen twee keer zo groot veelvlak (zie figuur 4). De viertetraëders op de hoeken laten in het midden een gat inde vorm van een regelmatig achtvlak, een octaëder. Ditgat werkt gunstig op de vliegeigenschappen van devlieger: het vergroot de stabiliteit. Deze 4-cel, met ribbenvan één meter, is al geschikt om mee te vliegeren. Vier 4-cellen vormen samen een 16-cel (zie figuur 5en figuur 1). Deze 16-cel is in alle richtingen vier zogroot als de basiscel. De oppervlakte is zestien keer zogroot, en het gewicht idem dito. De verhoudingoppervlakte : gewicht is dus niet veranderd. Dat blijftzo als de vlieger verder vergroot wordt.Als we deze constructie in gedachten doorzetten,krijgen we een fractal: een object dat zelfgelijkvormigis. De grote tetraëder is gelijkvormig met een van devier kleinere viervlakken waaruit hij is samengesteld.Vergroten we zo’n kleinere tetraëder met factor 2, dankrijgen we het originele veelvlak terug. Per definitieheeft de (ideële) constructie van Bell de volgendefractale dimensie D:

D��lloogg

ab

��lloogg

42

��2

Hierin isa = aantal gelijkvormige delen bij de gegevenvergrotingsfactor;b = de vergrotingsfactor zelf.

De (ideële) vlieger van Bell is dus een driedimensionalefractal met D = 2.

Oude toepassingen…In 1906 contrueerde Bell de Cygnet, een vliegerbestaande uit 3393 tetraëder-cellen met ribben van25 centimeter. Met deze vlieger werd een passagier,luitenant Thomas E. Selfridge, tot een hoogte van60 meter boven de baai van Baddeck opgetild. Op de tetraëdervlieger van Bell zijn heel veel variatiesmogelijk: de 10-cel, de 20-cel, de 7-cel, de 34-cel,enzovoort. De constructie van bijvoorbeeld een 100-celis een fantastisch onderwerp voor een klassenwerkstuk(zie de website van Anthony Thyssen).

… en nieuwe, voor de prijsvraag?Hoeveel veelkleurige fractals waaien er deze zomer aande Hollandse stranden? Nieuwe variaties op dit idee zijn van harte welkom alsinzending op de Veelvlakkenprijsvraag van het tijdschriftPythagoras (zie pagina 289 in dit nummer van Euclides).

Bron

Alexander Graham Bell (president van de National Geographic

Society): Tetrahedral Principle in Kite Structure, National Geographic

Magazine, Vol. XIV, No. 6 (June 1903).

Websites

- http://home.snafu.de/thomiru/bell_eng.htm

- www.robsplace.f9.co.uk/kitestuff/bell.htm (met bouwaanwijzigingen)

- www.sct.gu.edu.au/~anthony/kites/tetra (veel variaties en een

prachtig klassenproject)

Over de auteur

Drs. C.G. Zaal (e-mailadres: [email protected]) is medewerker van het

Freudenthal Instituut. Namens het Wiskundig Genootschap is hij

uitgever van Pythagoras.


FIGUUR 2 De doosvlieger van HargraveFIGUUR 3 De basiscel voor de tetraëdervlieger van Bell

FIGUUR 4 De 4-cel FIGUUR 5 De 16-cel

mathematics programs has been declining at all levelsof the American educational system. Yet theapplication of mathematics is indispensable in suchdiverse fields as medicine, computer sciences, spaceexploration, the skilled trades, business, defense, andgovernment. To help encourage the study andutilization of mathematics, it is appropriate that allAmericans be reminded of the importance of this basicbranch of science to our daily lives.’(Hoort u mevrouw Van der Hoeven iets dergelijkszeggen?)

De activiteiten in de VS zijn velerlei, meestalgeorganiseerd door de wiskundefaculteiten van deverschillende universiteiten, maar ook door instellingenuit de publieke sector en studentenorganisaties:workshops, wiskundecompetities, tentoonstellingen,festivals, lezingen en symposia.Op de MAM-website[1] vinden we (o.a.) enkele korteinleidende, leesbare, artikelen (essays). We noemen zemaar allemaal:- Annalisa Crannell: Math and Baseball and Art- Douglas Dunham: Hyperbolic Art and the PosterPattern (zie figuur 1)- Marc Frantz: Drawing with Awareness- Nathaniel Friedman: Fractals Bounding Negative Space- George Hart: Mathematical Awareness via GeometricSculpture- Doris Schattschneider: Mathematics and Art - SoMany Connections - Clifford Singer: The Conceptual Mechanics ofExpression in Non-Euclidean Fields.

Ars et MathesisHet is natuurlijk toevallig dat ook dit jaar deNederlandse stichting Ars et Mathesis (AetM) – waarkunst (ars) en wiskunde (mathesis) samenkomen,ontstaan boeiende resultaten – 20 jaar bestaat. AetMwerd in 1983 opgericht door F. van der Blij en H. deRijk (Bruno Ernst). Jaarlijks organiseert de stichtingeen ‘art and math awareness day’; dit jaar is dat opzaterdag 22 november. Maar natuurlijk wordt er ookaandacht aan het vierde lustrum besteed.

April 2003: Math Awareness MonthDat men zich niet alleen in Nederland zorgen maaktover de tanende belangstelling voor de wiskunde,moge blijken uit de al enkele jaren geleden in de VS inhet leven geroepen Math Awareness Month (MAM). De American Mathematical Society, de MathematicalAssociation of America, en de Society for Industrialand Applied Mathematics willen daarmee het belangvan de wiskunde, ontwikkelingen in de wiskunde entoepassingen van wiskunde onderstrepen en tevensonder de aandacht brengen van een breed (niet alleenwiskundig geschoold) publiek.Het MAM-thema voor april 2003 is Mathematics andArt.In het begeleidend persbericht lezen we:‘The connection between mathematics and art goesback thousands of years. The ancient Greeks andRomans used mathematics in sculptures and toaesthetically design buildings. In the 15th centuryLeonardo da Vinci wrote: “Let no one read me who isnot a mathematician.” In the 16th century Düreremployed mathematics to introduce perspective indrawings. In the 18th and 19th centuries mathematicswas extensively used in the design of Gothiccathedrals, Rose windows, mosaics and tilings. In the20th century geometric forms were fundamental to thecubists and many abstract expressionists. In recentdecades several award winning sculptors have usedtopology as the basis for their pieces. The closeconnection between mathematics and art is mostreadily seen in the works of the Dutch artist M. C.Escher. Among the mathematical ideas represented inhis work are: infinity, Möbius bands, tessellations,deformations, reflections, Platonic solids, spirals,symmetry, and the hyperbolic plane.’

Het begon in de VS allemaal in 1986 (!). In dat jaarwerd de eerste Math Awareness Week - toen nog eenweek - gehouden. Ja, zelfs aankondigd door detoenmalige president van de VS, Ronald Reagan, metonder meer de woorden:‘Despite the increasing importance of mathematics tothe progress of our economy and society, enrollment in

LEVE DE WISKUNDE! NIET ALLEEN VIA WEBSITES[ Dick Klingens ]


Op de AetM-website[2] staat een overzicht van deactiviteiten in dat kader (een en ander wel ondervoorbehoud).- Van 21 juni tot 27 juli 2003 - Bomen van PythagorasI, Geconstrueerde GroeiIn het Mondriaanhuis in Amersfoort: ‘Historisch’ werkvan kunstenaars die onder invloed van Mondriaan enDe Stijl werkten, maar die - in tegenstelling totMondriaan - zelf wel wiskunde toepasten; o.a. MarlowMoss, Joost Baljeu, Ad Dekkers, vroeg werk van PeterStruyken en Ewerdt Hilgerman.- Van 31 mei tot 27 juli 2003 - In het Mondriaanhuisis bovendien werk te zien van de 80-jarige AlfonsKunen (zie figuur 2). Kunen werkt vanuit vastomlijnde

wiskundige regels die soms zeer zichtbaar zijn, maarmeestal een verborgen leidraad vormen. De laatstejaren maakt Kunen schilderijen die op fractalestructuren steunen.- Van 6 september tot 22 november 2003 - Bomen vanPythagoras II, Geconstrueerde GroeiGrote tentoonstelling in het Mondriaanhuis met ruim35 kunstenaars uit diverse Europese landen dieConcrete Kunst maken. Er is permanent een specialeArs et Mathesis-zaal, waarin ook computeranimaties tezien zijn.- Een speciaal zomernummer van Arthesis (het tweekeer per jaar verschijnend periodiek van AetM), aan-sluitend bij de tentoonstelling.- Een onderwijsproject gericht op basis- en voortgezetonderwijs, aansluitend bij de exposities.- In oktober 2003 wordt er een internationaal symposiumin het Mondriaanhuis gehouden over het thema ConcreteKunst en Wiskunde; kunstenaars en deskundigen uitverschillende disciplines leveren daaraan een bijdrage.

Ook doen?Zou het niet mooi zijn als we iets als de MathAwareness Month hier in Nederland breed opzetten,eventueel in aansluiting op de activiteiten van AetM?Wie ‘we’ dan (zouden moeten/kunnen) zijn? NVvW,Wiskundig Genootschap, FI, KNAW, alle wiskunde-faculteiten, …Misschien wel alle organisaties (en mensen) die zich deafgelopen maanden boos hebben gemaakt op mevrouwVan der Hoeven!Welke organisatie neemt het initiatief?

Websites

[1] MAM: http://mathforum.org/mam/03/

[2] AetM: www.arsetmathesis.nl

Over de auteur

Dick Klingens (e-mailadres: [email protected]) is als

wiskundeleraar verbonden aan het Krimpenerwaard College en onder

meer bestuurslid van de Stichting Ars et Mathesis.


FIGUUR 1 De MAM-poster

FIGUUR 2 Alfons Kunen: Kubus-sculptuur

is niet denkbeeldig dat uit maat-regelen die pogen om de problemenvan toen op te lossen, zonder datdeze maatregelen onderwijskundigonderbouwd zijn, nieuwe problemenkunnen voortvloeien.

In het volgende willen we aantonendat deze plannen de problemen nietoplossen, maar juist veel nieuweproblemen met zich mee brengen.

Inhoudelijk - De plannen komente vroegEen complexe onderwijskundigevernieuwing heeft tijd nodig. Hetgaat om nieuwe vakinhouden,

introductie van praktischeopdrachten en keuzeonderwerpen.Nieuwe technologieën, zoalsgrafische rekenmachine en gebruikvan de computer, doen bij wiskundehun intrede. Dit alles brengt denoodzaak van een nieuwe didactiekmet zich mee. Nu de organisatorischeproblemen inmiddels wat naar deachtergrond zijn verdwenen, ontstaater ruimte voor de noodzakelijkeinhoudelijke en didactischeverbetering.Op de vervolgopleidingen zijn deeerste lichtingen uit het studiehuisnet aangekomen. Er is op dit momentnog geen echt evaluatieonderzoekmogelijk geweest naar de effecten opde aansluiting op vervolg-opleidingen. Er is slechts een eersteindicatie. Het is veel te vroeg om nual grote inhoudelijke wijzigingendoor te voeren, zoals met name deverregaande reducties van de exactevakken, die forse negatieve invloedzullen hebben op de aansluiting ophet vervolgonderwijs.

Wij adviseren u om eventuele nogbestaande problemen binnen debestaande structuur op te lossen.

Organisatorisch - De plannenkomen te laatMenige school heeft inmiddels dezaken organisatorisch wel op orde.Het Programma van Toetsing enAfsluiting (PTA) wordt elk jaar beter.Periodisering geeft ruimte om ookkleine vakken tot hun recht te latenkomen. Verlichtingsmaatregelen,zoals de verruiming van demogelijkheid voor het aanbieden vande deeltalen, hebben hun effect; ditprobleem is in feite opgelost.Ingrijpende veranderingen in deomvang van de vakken (metgevolgen voor de personeels-formatie) en de vergrote keuze-

InleidingDe gedachtenvorming rond deprofielen en het studiehuis was vanafhet begin vooral inhoudelijkgemotiveerd. Achteraf kan menwellicht constateren dat er daardoorminder aandacht was voor deorganisatorische kant van de zaak.Deze nota focust vooral op deorganisatorische kant en mist daar-door de inhoudelijke argumenten.

Plannen maken kost tijd. De plannenzoals geformuleerd in de nota zijngebaseerd op een situatie van enigetijd terug. Een situatie die nog volopin ontwikkeling was en is. Het gevaar

Verenigingsnieuws


Van de bestuurstafel

Geachte mevrouw Van der Hoeven,

Hierbij geven we u graag onze reactieop de notitie ‘Ruimte laten en keuzesbieden in de tweede fase havo/vwo’.- In onze reactie besteden we aller-eerst aandacht aan de algemeneuitgangspunten van de notitie en vande tweede fase. We tonen aan dat devoorgestelde plannen enerzijds somsin strijd zijn met die uitgangspuntenen anderzijds de gesignaleerdeproblemen niet alleen niet oplossen,maar zelfs nog meer problemenoproepen. - Dat mondt uit in ons advies om degemaakte keuzes in het licht van dehuidige realiteit te heroverwegen enniet meer overhoop te halen danstrikt noodzakelijk is. Handhaaf deprofielen op de huidige omvang. Hetonderwijs is gebaat bij rust; geef onsde tijd om het onderwijs in de tweedefase verder vorm te geven zonder

voortdurend met nieuwe regels teworden geconfronteerd.- Vervolgens presenteren we eenalternatief, waarbij, uitgaande van dehuidige situatie, de profielvakkenkunnen worden versterkt en tevenseen oplossing wordt geboden vooreen aantal problemen bij wiskunde,in lijn met de voorstellen in denotitie. Ook voorziet dit alternatief ineen aantrekkelijker N&T profiel, datecht voorbereidt op brederevervolgstudies.

Deze reactie wordt ondersteund doorde NVON en de bètafederatie.

We menen hierdoor een constructievebijdrage te hebben geleverd en hopenop een positieve reactie uwerzijds.

Hoogachtend,bestuur NVvW, drs. M.P. Kollenveld,voorzitter

AAN DE MINISTER

ONZE REACTIE OP DE NOTA

Verenigingsnieuws


dan een programmawijziging.Voor docenten is de werkdruk vaakonverantwoord hoog geworden. Detalendocent komt om in hetcorrectiewerk en de wiskundedocentschreeuwt om meer contacttijd. Het isniet duidelijk hoe de plannen in denota die problemen oplost. Dewiskundedocent zal vanwege devoorgestelde reducties, vergelekenmet de situatie van vóór de 2e fase,bijna het dubbele aantal groepen teverwerken krijgen: eenonaanvaardbare verzwaringwaarover de nota ten onrechtezwijgt.

Een oplossing binnen de huidigestructuur - die we vaak hebbenbepleit - is om intelligent om te gaanmet de verschillen tussen de vakkenen deze verschillen te vertalen in detoedeling van de contacttijd per vakals percentage van de studielast.

We geven hierbij als voorbeeld eenvergelijking van twee vakken meteen gelijke studielast: wiskunde eneen taal. Wiskunde is een cumulatiefvak, waarin je gemakkelijk het spoorbijster kunt raken: uit het een volgthet ander. Een taal is meer eenlateraal vak, waar gelezen wordt,woordkennis wordt opgebouwd entaalvaardigheid geoefend, passief enactief. In onze visie krijgt de leerlingde wiskundedocent vaker te zien dande talendocent. De talendocent krijgtbetaalde tijd om correctiewerk teverrichten in de tijd dat de leerlingzelfstandig boeken leest, verslagen,samenvattingen of betogen schrijften woordkennis opbouwt. Dewiskundedocent krijgt betaalde tijdom de leerlingen te helpen bij hetredeneren en abstraheren. Eenonderdeel waarbij leerlingen elkaarnauwelijks kunnen helpen. Dat ismotiverend voor alle partijen enkomt de kwaliteit van het onderwijsten goede.

Versnippering?Er is veel voor te zeggen om vakkenals gelijkwaardig te beschouwen. Deredenering dat alle vakken daaromeven groot moesten zijn in uren-aantallen, is in de geschiedenis vanhet onderwijs nog niet eerdervertoond. In de nota wordt over eenonderwijskundige onderbouwinghiervan niet gerept. Juist in eenuitgebalanceerd programma metgrote kernvakken en kleinebijvakken is een goede organisatiewel degelijk mogelijk, waarmee meerrecht wordt gedaan aan de profiel-gedachte. In de notitie is deschijnbare winst voor de leerling metN&T één klein vakje minder, maaralle grote vakken worden kleiner: deversnippering neemt daarmee juisttoe.

Aansluiting met hetvervolgonderwijs?Over de aansluiting met het vervolg-onderwijs kunnen we kort zijn. Erzijn nog geen cijfers bekend over deresultaten van de 2e fase leerlingenin het vervolgonderwijs die eeninhoudelijk besluit rechtvaardigen.Veel vervolgopleidingen beginneneigenlijk nu pas te reageren op denieuwe instroom. Het isoverduidelijk dat een forse reductievan de bètavakken de aansluitingnaar het technisch onderwijs en hetbèta-onderwijs in het algemeenonaanvaardbaar ernstig verslechtert.Het vervolgonderwijs heeft ditinmiddels op niet mis te verstanewijze duidelijk gemaakt. We sluitenons graag hierbij aan.Het is wellicht nog scherper teformuleren: de voorgesteldereducties zullen ertoe leiden dat (inde huidige systematiek van les-toedeling) er nog slechts 2 lessen perweek aan wiskunde worden besteed.Daarin is geen enkel programmagoed uitvoerbaar en zeker niet eenprogramma dat voorbereidt op eenstudie met bètacomponenten.

mogelijkheden (met gevolgen voorhet rooster) vergen weer veelorganisatorische aandacht van descholen die ten koste moet gaan vande noodzakelijke dringende aandachtvoor het verbeteren van de kwaliteitvan het onderwijs. Het demotiveerten verlamt de huidigeontwikkelingen en brengt ons voorjaren achterop.

Keuzes positief?Er is veel onderzoek gedaan dat eropwijst dat leerlingen, als ze de keuzehebben, niet in de eerste plaatsgeneigd zijn om ‘moeilijke keuzes’ temaken. De vrienden, de docent, en degepercipieerde moeilijkheid van eenvak zijn van meer invloed dan eennog verre toekomst. Kiezen is niet per se goed; het kanook teveel zijn. Voor het profiel C&Min het vwo zijn er theoretisch bij-voorbeeld wel 1260 mogelijke vakkente kiezen! Namelijk: 7 (gemeen-schappelijk deel, taal)�6 (profieldeel,cultuurvak)�3 (profieldeel, maat-schappijvak)�10 (2 vrij kiezen uitnog 5(?), schoolafhankelijk aantal).Of dat de organiseerbaarheid tengoede komt, is niet a priori duidelijk.Vervolgopleidingen krijgen minderhouvast. Scholen zullen daarom vaakde keuzeruimte voor leerlingenbeperken. Die beperking kan danbeter binnen de totale structuurgebeuren; dat geeft helderheid voorde vervolgopleiding.

Overladenheid? Leerlingen klagen niet zozeer meerover overladen programma’s maarwel over de hoeveelheid productie-werk die van ze gevraagd wordt -vaak zonder afstemming tussen devakken. Dit productiewerk is eengevolg van een nieuwe didactiek diezich nog moet ontwikkelen en waar-voor nog naar een evenwicht gezochtmoet worden. De oplossing van ditsoort overladenheid vraagt veeleerder een goede regie van de school

gemeenschappelijk deel die niet helderis; de tweede taal is kennelijk tochniet zo belangrijk - die kan vervangenworden - hoewel de omvang weerheel groot is, groter dan de heeltaalnu, en groter dan Engels.- Het zonder inhoudelijke noodzaakopblazen van kleine vakken als ckv2of lo2 kan er toe leiden dat dezevakken nog maar op weinig scholenworden aangeboden. Dit is jammer,omdat deze vakken in eenbescheidener omvang eeninteressante aanvulling van hetprogramma kunnen zijn. - Het vergroten van de vakken Latijnen Grieks is wellicht plezierig voorgymnasia, maar het kan op kleinescholengemeenschappen - met vaakmaar weinig leerlingen voor dat vak- heel duur uitpakken. De vraag is ofdat een bewuste keuze is. - Het profiel N&G is niet meer een-duidig: een leerling met het profielN&G met wiskunde A enbijvoorbeeld ckv en lo2 in de vrijeruimte, is formeel toelaatbaar totdezelfde bètaopleidingen als eenleerling met het profiel N&G metdaarin wiskunde B en in de vrijeruimte voortgezette wiskunde envoortgezette natuurwetenschappen.De leerling, noch de vervolg-opleiding, is hierbij gebaat. - Over de noodzaak om natuurkundeop te nemen in de beide bèta-profielen is ook elders veelopgemerkt. Deze inzichten onder-steunen we van harte.Samenhangend bèta-onderwijs kanniet zonder natuurkunde. In onsvoorstel is natuurkunde versterktopgenomen in het profiel N&G.- Als gevolg van het nieuwe rigidesysteem van gelijke vakken in denota zal de vwo-leerling in hetprofiel C&M veel meer urenwiskunde krijgen, namelijk evenveelals de bètaleerling (die er volgensdeze plannen veel minder zoukrijgen). De argumentatie dat dan

meer aandacht mogelijk is, kanmoeiteloos worden overgebracht opde andere wiskundevakken: meeraandacht is meestal goed.

Zonder wiskunde naar de pabo?In de nota wordt daarentegenvoorgesteld het vak wiskunde teschrappen in het profiel C&M voor dehavo, bij uitstek het profiel voor depabo. Het is niet onverstandig alsdegene die de basisscholier rekenenleert daar ook zelf wat van kan. Derekendidactiek is sterk inontwikkeling, maar als de leerkrachthet zelf niet begrijpt, is dat vrijdramatisch. In ons alternatief is indat probleem voorzien doordat elkeleerling minstens de basiswiskundeheeft gevolgd. Dat laat onverlet datwe grote zorgen hebben over derekenkwaliteit van de toekomstigeleerkrachten nu veel pabo-leerlingenvan het mbo komen met soms maareen minieme bagage aan wiskunde-kennis. Een forse inzet metbetrekking tot het rekenen op depabo is nodig, maar dat valt buitendeze nota.

Deelvakken afgeschaft?Het afschaffen van deelvakken is éénvan de uitgangspunten van de nota.Voor wiskunde geldt tot onzeverbazing dit algemene uitgangspuntniet: daar wordt het heelvakafgeschaft, het deelvak ingekrompenen tot heelvak gebombardeerd. In onsalternatief zullen ook de deelvakkenverdwijnen, maar blijft de studielastvoor wiskunde op peil, en is er meerruimte voor de andere profielvakken.

Voortgezette wiskunde envoortgezettenatuurwetenschappenDe gedachte om extra verdiependevakken aan te bieden in de vrije ruimtein het vwo is aantrekkelijk, maar datzou ook moeten gelden voor de havo.Ook daar zitten immers leerlingen met

Samenhang, afstemming?De profielstructuur is destijds medeingevoerd om meer samenhang in devakkenpakketten te krijgen; heldervoor het vervolgonderwijs en heldervoor de docenten die daardoormogelijkheden kregen om binnen deprofielvakken meer eenheid ensamenhang te bewerkstelligen. Elkeleerling binnen een bepaald profielheeft goeddeels hetzelfde pakket.Universiteiten en hogescholen zettenin toenemende mate in op bredestudies. In de nota wordt de rol vanhet profiel teruggedrongen en doorde veelheid aan vakkenkeuzes zaldaardoor de prikkel en de noodzaaktot samenwerking en integratie zogoed als verdwijnen. In onsalternatief doen we een poging zoweldie samenhang binnen de profielenals de aansluiting op vervolg-onderwijs te verbeteren.

Onbegrijpelijke keuzesWij stellen dat er een aantalonbegrijpelijke keuzes gemaaktworden in de nota. Het overzichthieronder is niet uitputtend.- Bijna dagelijks zien we in dekranten dat de noodzaak van eeninburgeringscursus voor immigrantenwordt beleden. Tegelijkertijd wordt indeze nota het vak maatschappijleer -de ‘inburgeringscursus’ van onzeeigen jeugd (een deel daarvan isallochtoon) - niet meer verplichtgesteld voor het merendeel van deleerlingen. In ons alternatief blijftmaatschappijleer verplicht in hetgemeenschappelijke deel.- In het gemeenschappelijk deel vanhet vwo wordt voor dyslectische ofbètaleerlingen het vak aardrijkskundeals alternatief geboden in plaats vaneen tweede taal. Er zijn ongetwijfeldnog meer groepen te detecteren (zoalsallochtonen?). De vraag is echter ofdeze leerlingen daar iets meeopschieten. Waarom aardrijkskunde?Het introduceert een keuze in het

Verenigingsnieuws


afgeleid van eerdere programma’s.Toch wordt er geklaagd. Hoe komtdat?De reden hiervan ligt vooral in desystematiek van lessentoedeling zoalsdeze op veel (bijna alle) scholengehanteerd wordt. Hierdoor wordt denieuwe benadering van studielast alstijd die een leerling aan een vakbesteedt, via een simpele formulevoor alle vakken omgerekend tot deoude situatie van lessen (contacttijd)door de docent gegeven. Uit onder-zoek is al vaker gebleken: leerlingenpresteren bij wiskunde het best als erin de klas veel zinvolle interactie is.Samen problemen bespreken enoplossingsmethoden vergelijkenblijken veel bij te dragen aan eenbeter begrip van soms complexe,abstracte zaken. Leerlingen krijgendaarvan nu vaak te weinig en daar-mee doe je ze tekort. De theoretischestudielast wordt zo op geen stukkenna gehaald.

Het is ook niet eerlijk: als men vindtdat iedereen wiskunde moet doen, ookde minder getalenteerden (*), moet erook voor gezorgd worden dat daarvoldoende contacttijd tegenover staat.Een netto contacttijd, minstens 50%van de studielast, is volstrekt nood-zakelijk. Dat zou, net als bij lichame-lijke opvoeding, in de regelgevingmoeten worden vastgelegd. Scholendurven immers zelf die differentiatietussen vakken vaak niet aan.

(*) Juist bij minder getalenteerdendoet zich vaak het verschijnselwiskunde-angst (math anxiety ofmath phobia) voor: een complex vanzichzelf versterkende psychischeprocessen die voor een completeblokkade, een zichzelf afsluiten voorhet vak, kunnen zorgen. Deaanwezigheid van een goede docentkan veel goedmaken. Veel zelfstandigwerken met een antwoordenboekjeversterkt dit probleem.

Grote verschillen tussen scholenMet betrekking tot contacttijd zijn deverschillen tussen scholen onaan-vaardbaar groot. Na het eindexamenin mei 2002 heeft de NVvW eenkleine enquête gehouden over derelatie tussen contacttijd en examen-resultaat. Daaruit bleek dat bij-voorbeeld voor het vwo-profiel N&T(760 slu) de contacttijd uiteenliep van3 keer 3 lesuren (in de klassen 4, 5 en6) tot 3 keer 5 lesuren. Dat betekenteen contacttijd van netto 30% tegenrespectievelijk 50%. De resultatenwaren zoals verwacht kon worden.Met 50% contacttijd was een goedresultaat mogelijk, met 30% niet.Natuurlijk zijn er meer zaken vaninvloed op het examenresultaat voorwiskunde, maar onder een bepaaldminimum aan contacttijd zadel jeook de beste docenten en leerlingenop met een onmogelijke opdracht.Leerlingen van verschillende scholenhebben hierdoor ongelijke kansenvoor het examen en dat is principieelonjuist.

Overladen? Niet te zeggenDoor het grote verschil in contacttijd(veel groter dan voor de 2e fase)tussen de verschillende scholen staatde discussie over de programmatischeoverladenheid bij wiskunde op losseschroeven. In de verslagen enmonitoringen mist tot nu toe steedsnode een duiding van waaruitmensen tot hun oordeel kwamen,gerelateerd aan de toegekendecontacttijd, want dat bepaalt hetbeeld in hoge mate. Met 50% reëlecontacttijd zouden de programma’snaar onze mening redelijkuitvoerbaar moeten zijn. Met een-zelfde percentage op alle scholen isin elk geval een echte discussiemogelijk omdat je het over hetzelfdehebt.

Los daarvan is er op basis van deervaringen van de afgelopen jaren

Verenigingsnieuws


een interesse voor exacte vakken. Datmag evenwel niet ten koste gaan vanhet niveau in het reguliere profiel. Ookeen profiel zonder verdiepende vakkenmoet voldoende voorbereiden op aan-sluitende vervolgopleidingen. Het isimmers niet zeker dat elke school instaat zal zijn die verdiepende vakkenaan te bieden. Ons alternatief voorzietdaar wel in door binnen het profielN&T al die verdieping (deels) aan tebrengen.

Dubbel kiezen?In de nota wordt de mogelijkheid totverbreding geopperd door hetaanbieden van de mogelijkheid omde vakken wiskunde A en wiskundeB beide te kiezen. Afgezien van hetroosterprobleem (veel scholenhebben die keuze nu verboden), ishet inhoudelijk niet goed mogelijk.De overlap is vrij groot omdatdaarin de basiswiskunde - voorbeide profielen noodzakelijk - isopgenomen. Gereduceerdeprogramma’s zoals aangegeven in denota, kunnen niet ontworpenworden zonder een forse overlap. Inons alternatief is de mogelijkheid erwel om wiskunde A en wiskunde Bbeide te kiezen.

Wiskunde in de huidige 2e fase,het probleem van deomrekeningsformulesWiskunde is een basisvak, misschienwel moeilijk voor sommigen, maarnuttig voor iedereen. Mede opaandrang van de Tweede Kamer ishet vak daarom verplichtopgenomen in alle profielen. Omtegemoet te komen aan deverschillende eisen per profiel,variërend van gecijferdheid totvoorbereiding op een exacte studie,is de vakinhoud bepaald. Destudielast is per profiel verschillendnaar rato van het belang van hetvak binnen een profiel. Deprogramma’s zijn grotendeels

de gemaakte keuzes in het licht vande huidige realiteit te heroverwegenen niet meer overhoop te halen danstrikt noodzakelijk is. Handhaaf deprofielen op de huidige omvang. Geefons de tijd om het onderwijs verdervorm en inhoud te geven.

In de bijlage presenteren we eenmogelijk alternatief binnen de huidigesituatie, waarbij de profielvakkenkunnen worden versterkt, de studie-last voor wiskunde gehandhaafd blijften een aantal van de problemen bijwiskunde en de exacte vakken wordtaangepakt in lijn met de voorstellenuit de notitie en eerdere reacties vanhet vervolgonderwijs.

We hopen hiermede een voorbeeldvan een werkbaar alternatief televeren dat binnen de huidigestructuur een aantal problemenaanpakt en zijn uiteraard altijdgaarne bereid in een gesprek onsstandpunt nader toe te lichten.

Dit alternatieve voorstel wordt onder-steund door de NVON, de vereniging vanleraren in de natuurwetenschappelijkevakken, met een voorbehoud wat betreftde plaats van ANW.

- In elk profiel 4 vakken vanvoldoende omvang ( mogelijkhedenvoor samenhang en integratie vanvakken)- Meer ruimte voor de profielvakkenNatuur- en scheikunde versterkt inhet profiel N&G- Beperkte keuze binnen een profielwaardoor een samenhangend pakketaangeboden kan worden dat helder isvoor vervolgopleidingen

- Geen deelvakken- Studielast voor wiskundegehandhaafd- Een attractief N&T profiel vooriedereen (helder voor vervolg)- Mogelijkheid voor verbreding:keuze wiskunde A en B- Mogelijkheid voor verdieping:WINAS2 in de vrije ruimte

VoorstelIn dit voorstel wordt ter illustratieuitgegaan van het aantal uren in hetvwo.- De studielast van het vak ANW(200 uur) in het gemeenschappelijkdeel wordt toegevoegd aannatuurkunde en scheikunde in hetprofiel N&G. Dat profiel zou dan tegroot worden. Haal daarom eenzelfdeaantal uren wiskunde eruit enverplaats dat naar hetgemeenschappelijke deel in de vormvan een basisdeel wiskunde. Dit geeftin elk profiel 200 uur ruimte en hetkan goeddeels de overlap tussenwiskunde A en B wegnemen.- In het gemeenschappelijk deel komtdan een basisdeel wiskunde (BW) van200 uur. Dit kan geheel in de vierdeklas worden geplaatst en eventueelafgesloten met een schoolexamen. Datgeeft 200 uur ruimte in het profielC&M. Het is mogelijk te besluiten datdit voldoende bagage is voor dieleerlingen in het profiel C&M vwo(en/of havo), voor wie meer wiskundein een vervolgopleiding geen rolspeelt. Elke leerling heeft op dezemanier immers het basispakketwiskunde gevolgd. In het profiel C&Mvervalt daarmee wiskunde A1, waar-door ruimte ontstaat voor de vieroverige vakken. De versnipperingwordt minder en wiskunde A12 kanaltijd nog gekozen worden. - In het profiel E&M komt het vakwiskunde A met 400 uur. Hierdoorontstaat ruimte voor de vakkengeschiedenis en aardrijkskunde. Deversnippering wordt daardoor minder.

wel grond voor enige aanpassingenvan het programma. De diverseverlichtingsmaatregelen hebben hetprogramma niet evenwichtigergemaakt, de invloed van ICT ismerkbaar. Heroverweging is nodig.

Uiteraard is de NVvW gaarne bereidom haar bijdrage te leveren aan eenhaalbaar programma in debeschikbare tijd.

N.B.Als het percentage van 50% contact-tijd in de toekomst niet gehaaldwordt, zou het wiskundeprogrammaook in de huidige situatie moetenworden gereduceerd. Met devoorgenomen reducties zal menrekening moeten houden met eenhalvering van de inhoud van hethuidige programma. Zoals eerdergezegd lijkt het ons niet mogelijk omdaarmee ook maar een illusie vanaansluiting op het vervolgonderwijste bewerkstelligen.

SamenvattendDe NVvW ziet niets in de voorstellenzoals die geformuleerd zijn in de nota‘Ruimte laten en keuzes bieden’ vanjanuari 2003. We willen u adviseren

Hieronder presenteren we eenalternatief waarbij de profielvakkenworden versterkt, de totale studielastvoor wiskunde gelijk blijft en eenaantal van de problemen bijwiskunde en de exacte vakken wordtaangepakt.

Kenmerken - Versterking van de profielen(robuuste profielen)

Verenigingsnieuws


BIJLAGE Een elegant en werkbaar alternatief

WINAS is daarbij als het warecomplementair, aan het eind van deopleiding, op een hoger niveau.We realiseren ons dat we hiermee eennieuw punt in de discussie brengen.Op deze manier is ANW nog nieteerder ter sprake gebracht. Eendiscussie over voor- en nadelen isnog niet gevoerd. Hierin ligt hetvoorbehoud van de NVON. Dit valtechter buiten het bestek van dezenotitie.

Toelichting bij de vakkenWINAS1 en WINAS2Het nieuw te ontwikkelen vakWINAS1 bevat uiteraard een forsewiskundecomponent (50%), maar hetkan breder worden ingevuld alsvoorbereiding op de brederebenadering van de bachelor in hetvervolgonderwijs. Leerlingen vindendat interessant. Te denken valt aaneen thematische invulling waarbinnen een thema diverse aspectenvan wis- en natuurwetenschappenaan de orde komen. Samenwerkingtussen verwante vakken ligt dan inde lijn. Bij de invulling van dit vak isde deskundige medewerking van hetvervolgonderwijs onontbeerlijk. Debereidheid hiertoe is herhaaldelijkgetoond. Hierdoor kunnen en passantde communicatie en de aansluitingongetwijfeld verbeterd worden.Het aantal thema’s, de variatie daarin,de keuzevrijheid en al dergelijkezaken komen later aan de orde.Belangrijk is dat een goede actueleinvulling van dit vak het profiel N&Tveel aantrekkelijker zal kunnen makenvoor de leerling én de docent. In onzevisie zal een dergelijk vak niet af-gesloten worden met een (statisch)centraal schriftelijk examen. Dat dooftde dynamiek. Het toetsen van dit vakzal onder de verantwoordelijkheid vande school vallen, waarbij voor eenkwalitatieve borging de deskundigeinbreng van het vervolgonderwijs nietuitgesloten is.

Voor het vrije deel wordt het vakvoortgezette wis- en natuur-wetenschappen 2 (WINAS2)ontwikkeld. Hierin kan de vrijheid ende onderwerpkeuze nog veel groterzijn.

Overigens passen deze nieuwevakken volgens ons ook primabinnen de gedachten die brederleven: bij vervolgopleidingen, AXISen Jet-Net.

Ten slotteIn ons voorstel zijn de verschillenmet de huidige situatie niet zo groot.Het ligt meer in de lijn van eenlogische bijstelling waarvan, integenstelling tot de plannen in denota, geen verlammende werkinguitgaat en die geen afwachtendehouding van de onderwijsgevendenuitlokt. Het demotiveert niet dedocenten exacte vakken. De school-organisatie kan goeddeels hetzelfdeblijven. Een voorbereiding op degezamenlijk vorm te gevencombinatievakken WINAS1 en 2 kanjuist stimulerend werken, mitsdaarvoor natuurlijk wat stimuliworden uitgedeeld.

Verenigingsnieuws


- In het profiel N&G komt het vakwiskunde B met 400 uur. De vrij-gekomen 200 uur kunnen wordengebruikt om het verschil tussen heel-en deelvak bij natuur- en scheikundete overbruggen.- In het profiel N&T is nog meermogelijk. Als hier dezelfde wiskundeB komt als in het profiel N&G, levertdat nog 160 uur extra op. De ruimtevan 360 uur kan worden gebruikt omhet combinatievak voortgezette wis-en natuurwetenschappen 1 (WINAS1),in die omvang een volwaardig vak,binnen het profiel te halen.

De hierboven voorgestelde constructiekan ook vertaald worden naar dehavo. Alle getallen worden danglobaal met �

23

� vermenigvuldigd.

Toelichting bij het voorstelAanleiding is de enigszins misluktepositionering van het vak ANW. Ooitbedoeld als enthousiasmerend vak envoorbereidend op een profielkeuze, isde huidige praktijk dat het vaktegelijk met natuur- en scheikundewordt aangeboden nadat de profiel-keuze heeft plaats gevonden. Voorbètaleerlingen is het vak ANW in dehuidige situatie vaak dubbelop,terwijl voor alfaleerlingen dit vaknou juist het vak is dat ze nietgekozen hebben. In de nota wordt deverkeerde positionering nog versterktdoor te stellen dat alleen leerlingendie géén natuurprofiel gekozenhebben verplicht ANW volgen. Hetvak krijgt daarmee een levertraan-functie, de bedoeling van het vakwordt onderuitgehaald.

De oorspronkelijke functie vanvoorbereidend, enthousiasmerend enbreed oriëntatievak zou het o.i. welkunnen krijgen als het vak ANW in deonderbouw, zeg 3e klas, gepositioneerdzou worden. Dan is het voor alleleerlingen, voor de profielkeuze. En iser nog wat te winnen.

VMBO BB maandag 26 mei 200315.00-17.00uJaarbeurs, Utrecht (Beatrixgebouw)dhr. J. AkkermansVoor vmbo BB is er één landelijkebijeenkomst. Deze bijeenkomst isalleen toegankelijk voor leden van deNVvW.Aanmelding voor deelname aan dezebijeenkomst kan plaats vinden via dewebsite van de NVvW (www.nvvw.nl).

HAVO-A12dinsdag 27 mei 200316.00-18.00u

HAVO-B1/B12donderdag 22 mei 200315.30-18.00u

AMERSFOORTSG Guido de Brès, Paladijnenweg 251(033-4792900)A: dhr. A.B. v.d. Roest (0318-543167)B: dhr. F. van den Heuvel (030-2730898)

AMSTERDAMCSG Buitenveldert, De Cuserstraat 3(020-6423902)CS tram 5; CS en Amstel sneltram 51A: dhr. H.G.J. Rozenhart (072-5716448)B: dhr. S.T. Min (0229-237756)

‘s-GRAVENHAGEHofstad Lyceum, Colijnplein 9 (070-3687670)A: dhr. J.P.C. van der MeerB: dhr. J. Remijn (070-3684525)

GRONINGENRöling College, Melisseweg 2 (050-5474141)A: mw. O. Eringa (0512-519160)B: mw. H. Lüder (0516-432889)

‘s-HERTOGENBOSCHDs. Pierson College, G. terBorchstraat 1 (073-6442929)NS Den Bosch-OOSTA: dhr. W.J.M. Laaper (040-2867720)B: dhr. C.J.M. Nienhuis (0411-611718)

ROTTERDAMGSG Randstad, Valenciadreef 15(010-4552511)NS AlexanderpolderA: dhr. R.E. Houweling (0180-315302)B: mw. A. de Jongh Swemer (010-4138432)

ROZENDAAL (bij Velp)Het Rhedens, Kleiberglaan 1 (026-3646845)A: mw. A.W.M. Tromp (026-3254829)B: dhr. A.T. Sterk (055-3666466)

ZWOLLEVan der Capellen SG, Lassuslaan 230(038-4225202)A: dhr. A. Ebbers (0341-252202)B: dhr. J.P. Scholten (053-4768791)

VWO-A1/A12maandag 2 juni 200315.30-18.00u

VWO-B1/B12maandag 26 mei 200315.30-18.00u

AMERSFOORTSG Guido de Brès, Paladijnenweg 251 ()A: dhr. F.O. van Leeuwe (0341-492843)B: dhr. F.W. Zwagers (033-4752341)

AMSTERDAMCSG Buitenveldert, De Cuserstraat 3(020-6423902)CS tram 5; CS en Amstel sneltram 51A: mw. G.W. Fokkens (020-6438447)B: dhr. R. Stolwijk (072-5325551)

Zoals gebruikelijk organiseert deNVvW ook dit jaar weer een aantalexamenbesprekingen.Hieronder staan de data, plaatsen ende voorzitters van deze regionalebesprekingen. Het telefoonnummervan de school en van de voorzitterstaat tussen haakjes.

VMBO TGK maandag 26 mei 200315.00-17.00u

ALKMAAROSG Willem Blaeu, Robonsbosweg 11(072-5122477)mw. R. Deelen–van Os (0227-602058)

BURGUMCSG Liudger, Tj.H. Haismastraat 1(0511-460260)mw. G. Tack-Althof (058-2572388)

GRONINGENNoorderpoort College, Van Schendelstraat 1 (050-5297329)dhr. J. Rijnaard (050-5254709)

ROTTERDAMGSG Randstad, Valenciadreef 15(010-4552511)NS Alexanderpolderdhr. W. de Jager (0184-683829)

ZEISTKSG De Breul, Arnhemsebovenweg 98(030-6915604)dhr. B. Nieuwenhuis (0345-558355)

ZWOLLEThorbecke SG, Dr. C.A. van Heesweg 1(038-4564540)dhr. R. Kronenberg (038-4210044)

VerenigingsnieuwsExamenbesprekingen 2003[ Conny Gaykema ]


Verenigingsnieuws


‘s-GRAVENHAGEHofstad Lyceum, Colijnplein 9 (070-3687670)A: dhr. C.D. Hendriks (0174-620131)B: dhr. R.J. Klinkenberg (070-3559938)

GRONINGENRöling College, Melisseweg 2 (050-5474141)A: dhr. I. Osinga (050-5291250)B: dhr. W.H.V. de Goede (050-5013342)

‘s-HERTOGENBOSCHDs. Pierson College, G. terBorchstraat 1 (073-6442929)NS Den Bosch-OOSTA: vervalt; geen gespreksleiderB: dhr. H.J. Kruisselbrink (073-5216386)

ROTTERDAMGSG Randstad, Valenciadreef 15(010-4552511)NS AlexanderpolderA: dhr. D.A.J. Klingens (0180-514485)B: dhr. C. Rijke (078-6194286)

ROZENDAAL (bij Velp)Het Rhedens, Kleiberglaan 1 (026-3646845)A: dhr. L.H. Rietveld (055-5419287)B: dhr. J.M. de Geus (0575-521442)

ZWOLLEVan der Capellen SG, Lassuslaan 230(038-422520)A: dhr. C.P.J. Coenen (0527-201665)B: dhr. H. Schutjes (0529-427306)

- zichtbare ondersteuning; - voorkeur voor projecten in hetvoortgezet onderwijs; - projecten die een vervolgprojectkunnen krijgen hebben een pre; - betrouwbaarheid en goedecommunicatie spelen een grote rol bijtoekenning. Bent u betrokken bij zo’n project ofkent u iemand die dat is, dan kunt ueen aanvraag indienen bij desecretaris van het WereldwiskundeFonds:Gerben van Lent, Jufferstraat 292,3011 XM Rotterdam, tel. 010 4524556 (e-mailadres:[email protected])U kunt de aanvraag het beste eersteven met hem doorspreken. Aanvragen moeten steeds vóór 15mei binnen zijn.

Nieuwe werkgroepleden gezochtVerder wil ik namens de werkgroepvan het WwF bij dezen een oproepdoen voor nieuwe werkgroepleden.Dat zouden wiskundedocentenmoeten zijn met affiniteit met of(werk)ervaring in de Derde Wereld.De investering in tijd is relatiefgering: wij hebben ongeveer viergezamenlijke bijeenkomsten per jaar,meestal in de namiddag. Verderwordt van leden verwacht dat zijcontact houden met geworvenprojecten en meewerken aanartikelen. Reiskosten worden door deNVvW vergoed. Geïnteresseerdenkunnen zich ook weer tot onzesecretaris (zie boven) wenden voorverdere informatie.

N

Nieuws van hetWereldwiskundeFonds[ Ger Limpens ]

Nieuwe aanvragenVanaf januari 2003 kunnen weernieuwe aanvragen worden ingediendvoor projecten van het Wereld-wiskunde Fonds (WwF). Het WwFstelt zich ten doel het wiskunde-onderwijs in derdewereldlanden teondersteunen door middel vanfinanciële bijdragen aan nader tebepalen projecten en tevenswiskundedocenten ‘hier’ te laten ziendat er ‘daar’ ook collega’s zijn diezich met soortgelijke maar ook metheel andere vragen en problemenbezig houden dan zij zelf. Er kunnen elk voorjaar nieuwe aan-vragen voor ondersteuning ingediendworden. Uit die aanvragen kiest dewerkgroep een of twee projecten.Criteria voor het toekennen vansubsidies zijn:- alleen projecten in derdewereld-landen;

Puzzel 6 - Paard zonder grenzen

Het paard van het schaakspel heeft al menigeentot recreatieve opgaven geïnspireerd. Denkmaar aan het probleem om een paard zó op hetschaakbord te laten rondspringen dat in 64zetten ieder veld wordt aangedaan. Fred Schuh neemt in zijn boek ‘WonderlijkeProblemen’ (1943) ook borden van andereafmetingen onder de loep. In figuur 1 zien weéén van zijn oplossingen voor een bord van 3bij 10. De velden zijn hier weergegeven doorpunten. Dit geeft meteen de mogelijkheid om,voor de niet-schakers, te vertellen hoe hetpaard zich beweegt: bij een zet gaat het steedsnaar één van de punten op (Euclidische)afstand �5� (als de roosterafstand 1 is).

Voor de variatie wil ik het nu eens hebben overeen schaakbord dat zich in alle richtingenoneindig ver uitstrekt. Het paard beweegt zichdan in de verzameling van alle roosterpuntenvan het vlak. En in plaats van rond-wandelingen bekijken we afstanden, gerekendin paardzetten. Dat wil zeggen: de afstand vantwee punten (of velden) is het kleinste aantalzetten waarin een paard van het ene naar hetandere punt kan komen.We gaan nu aan ieder roosterpunt (x, y) eengetal P (x, y) toekennen, nl. de afstand van deoorsprong (0, 0) naar (x, y). Een paar voorbeelden: P (2, 1)�1, P (1, 0)�3, P (2, 2)�4

Opgave 1Bepaal P (�17, 18).

Opgave 2Bepaal het aantal reeksen van vier zetten dathet paard van (0, 0) naar (2, 2) brengt.

Je kunt je ook afvragen hoe vaak een bepaaldewaarde van P (x, y) voorkomt. Laat f (n) het aantal roosterpunten zijn metP (x, y )�n. Dus f (0)�1, f (1)�8, f (2)�32. Ditlaatste getal is af te lezen in figuur 2 waar depunten nu weer als velden zijn getekend.

Opgave 3 Bepaal f (10).

Om enig gevoel te krijgen voor het gedrag vande functies P en f is het aan te bevelen P (x, y)te bepalen voor enkele tientallen punten.Hierbij is het handig om een sjabloon tegebruiken. Veel succes!

Oplossingen kunt u mailen [email protected] of per gewone post sturen naarF. Göbel, Schubertlaan 28, 7522 JS Enschede.Er zijn weer maximaal 20 punten te verdienenvoor goede oplossingen. De deadline is dezekeer 8 mei 2003.


Recreatie[ Frits Göbel ]

Puzzel 786

FIGUUR 1 FIGUUR 2

Recreatie

de kwadraten gelijke cijferinhoud hebben, endat geldt in ieder talstelsel (behalve hetbinaire).Opgave 4Een voorbeeld van zo’n oneindige rij is 4�(72k �1) met k�0.

Sommigen stuurden meerdere oplossingen in.Bijna iedereen gebruikte een computer.Hoe kom je op zo’n rij als je géén computerhebt? Bijvoorbeeld aldus. Als het grondtal gvan de vorm n2 �1 is, dan is n2 = g �1, dus n2 �11 in het g-tallig stelsel. Iets minder flauw:als g zodanig is dat n g-tallig wordt geschrevenals dd, dan is n2 �gd � d� (g � 1)d.Neem nu g�7. De vergelijking n2 = 8d heeft dan als enigeoplossing met 0 �d � 7: d�2, n�4. Als je nudenkt aan de gedaante van een getal als100012, dan ligt het voor de hand om n�4 � (7k�1) te proberen. Het kwadraat hiervanziet er dan, 7-tallig, zó uit:2200………04400………022Nu moeten we er alleen nog voor zorgen dathet aantal nullen even is in ieder van de tweerijtjes nullen. Nodig en voldoende hiervoor is:k is even, waarmee bovenstaande voorbeeldrijverkregen is.

De ladderstand is op dit moment:L. de Rooij 77H. Verdonk 69P. Stuut 61T. Afman 55W. Doyer 40L. v.d. Brom 32D. Buijs, S. van Dijk, H. Linders 20P. Meijer 17T. Kool 16Th. Buurman 1

Oplossing van ‘Kwadraten’

Opgave 1De oplossingen zijn (32, 49), (33, 99),(36, 54, 96), (37, 44), (42, 69) en (64, 98).

De meeste inzenders gebruikten de computer,maar de opgave is heel goed met de hand (eneen rekenapparaatje) te doen. Er zijn 99 – 32�1�68 gevallen te onderzoeken, datzijn dus 2278 paren. Maar omdat twee getallenalleen dan gelijke cijferinhoud kunnen hebbenals hun restklassen modulo 9 gelijk zijn, kun je75% op het rekenwerk besparen! Immers n2 mod 9 kan de waarden 0, 1, 4, 7 aannemen;n is in het eerste geval een drievoud (dat zijn23 waarden tussen 31 en 100), terwijl n in deandere drie gevallen 15 waarden aanneemt. Hetaantal te onderzoeken paren is dan slechts 253�3�105�568.

Opgave 2Het aantal k-de machten van c cijfers neemtexponentieel toe met c; dit geldt voor iedergrondtal. Anderzijds geldt: de cijferinhoud vaniedere macht (en trouwens ook van ieder getal)van c cijfers is een ongeordend c-tal uit deverzameling {0, 1, …, g�1}; dus het aantal‘echte’ mogelijkheden is zéker kleiner dan hetaantal herhalingscombinaties van c uit g, teweten

��g�cc

�1��

Dit aantal is slechts een veelterm in c. Dusnaarmate c groter wordt, kunnen we meeroplossingen verwachten.

Deze opgave heeft de inzenders veel hoofd-brekens gekost. Twee inzenders hebben (opbeschaafde wijze) geprotesteerd tegen de vageformulering, die ik overigens met opzet hebgekozen. De meesten beperkten zich tot eenkwalitatieve analyse, eventueel vergezeld vannumerieke resultaten. Alleen Wobien Doyerkwam tot bovenstaand asymptotisch resultaat.

Opgave 3Er zijn twee oplossingen: 157 en 913, metkwadraten van 5 respectievelijk 6 cijfers.

Ook deze opgave is heel goed met de hand tedoen, zeker als je opmerkt dat n alleen een 9-voud �4 kan zijn. Dan blijkt meteen dat erniet drie opvolgende getallen bestaan waarvan

Oplossing 784



KalenderIn deze kalender kunnen alle voor wiskunde-docenten toegankelijke en interessantebijeenkomsten worden opgenomen.Wil eenieder die relevante data heeft, deze zospoedig mogelijk doorgeven aan de hoofd-redacteur. Hieronder treft u de verschijnings-data aan van Euclides in de lopende jaargang.Achter de verschijningsdata is de deadline voorhet inzenden van mededelingen vermeld.Doorgeven kan ook via e-mail: [email protected]

nr verschijnt deadline

7 26 mei 2003 1 april 2003

8 26 juni 2003 13 mei 2003

donderdag 24 april3e Conferentie ICT in de wiskundelesAPS, UtrechtZie ook p.041 in Euclides 78-1

vrijdag 25 aprilNijmeegs Colloqium Didactiek van WiskundeKUN, NijmegenZie ook p.120 in Euclides 78-3

do. 1 mei en vr. 2 meiNederlands Mathematisch Congres 2003Organisatie KUN, NijmegenZie ook p.161 in Euclides 78-4

vrijdag 9 meiOpendag voor wiskundelerarenKorteweg-de Vries Instituut, Amsterdam

zaterdag 17 meiSymposium IX, UtrechtOrganisatie HKRWOZie ook p.161 in Euclides 78-4

vr. 22 en za. 23 augustus, Amsterdamvr. 29 en za. 30 augustus, EindhovenVakantiecursus 2003Organisatie CWI

Examensdi. 20 mei – havo B1/B12wo. 21 mei – vmbo BBdo. 22 mei – vmbo TGK, vwo B1/B12vr. 23 mei – havo A12di. 27 mei – vwo A1/A12

Regionale examenbesprekingendo. 22 mei – havo B1/B12ma. 26 mei – vmbo BB (alleen te Utrecht,alleen voor NVvW-leden)ma. 26 mei – vmbo TGK, vwo B1/B12di. 27 mei – havo A12ma. 2 juni – vwo A1/A12Zie verder pp.300-301 in dit nummer

Voor internet-adressen zie de website van deNVvW: www.nvvw.nl/Agenda2.html

Publicaties van deNederlandse Vereniging van Wiskundeleraren

* Zebra-boekjes1. Kattenaids en Statistiek2. Perspectief, hoe moet je dat zien?3. Schatten, hoe doe je dat?4. De Gulden Snede5. Poisson, de Pruisen en de Lotto6. Pi7. De laatste stelling van Fermat8. Verkiezingen, een web van paradoxen9. De Veelzijdigheid van Bollen

10. Fractals11. Schuiven met auto’s, munten en bollen12. Spelen met gehelen13. Wiskunde in de Islam14. Grafen in de praktijk

* Nomenclatuurrapport Tweede fase havo/vwoDit rapport en oude nummers van Euclides(voor zover voorradig) kunnen besteld wordenbij de ledenadministratie (zie Colofon).

* Wisforta - wiskunde, formules en tabellenFormule- en tabellenboekje met formulekaartenhavo en vwo, de tabellen van de binomiale ende normale verdeling, en toevalsgetallen.

* Honderd jaar Wiskundeonderwijs, lustrumboekvan de NVvW.Het boek is met een bestelformulier te bestellenop de website van de NVvW(http://www.nvvw.nl/lustrumboek2.html).

Voor overige NVvW-publicaties zie de website:www.nvvw.nl/Publicaties2.html

ServicepaginaServicepagina

OP WEGNAAR

LERENMET

Pascal geeft zelfstandig leren structuur en houvast

Werkschrift maakt eigen schrift leerling overbodig

Werkschrift is leermiddel en naslagwerk tegelijk

Meerdere leerroutes mogelijk

Differentiatie duidelijk zichtbaar in informatieboeken en verschillende werkschriften

Doorlopende leerlijn tweede fase en leerwegen

Meer informatie

T (0575) 59 49 94

I www.pascal-online.nl

E [email protected]

PASCALW I S K U N D E

ZELFSTANDIG

Telefoon (050) 522 63 11

Fax (050) 522 62 55

E-mail: [email protected]

www.netwerk.wolters.nl

Wolters-Noordhoff

Postbus 58

9700 MB Groningen

Neem dan contact op met onze

voorlichter Sandra Kooijstra

en reserveer alvast

beoordelingsexemplaren.

=

Kennismaken met

de 3e editie?

Netwerk

NIEUW!

een glasheldere

formule

CREATIEF WISKUNDEONDERWIJS NVVW-REACTIE OP …Wim Laaper, secretaris Elzeline de Lange Jos Tolboom...

Documents

Transcript of CREATIEF WISKUNDEONDERWIJS NVVW-REACTIE OP …Wim Laaper, secretaris Elzeline de Lange Jos Tolboom...