burgerlijk ingenieur 2020 › studeren › toekomstige... · deelname aan een ijkingstoets kan...

2020burgerlijk ingenieur www.ijkingstoets.be

IJkingstoets burgerlijk ingenieur 1


Inhoudsopgave

1 Wat? Waarom? Hoe? 41.1 Wat is een ijkingstoets? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Wat kan een ijkingstoets mij leren? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Moet ik deelnemen aan een ijkingstoets? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Moet ik slagen voor de ijkingstoets? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Hoe verloopt de ijkingstoets? 52.1 Praktisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Meerkeuzevragen en giscorrectie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Wat mag je gebruiken? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Weet waar je staat, voor je naar de ijkingstoets gaat! 6

4 Feedback en begeleiding 74.1 Elektronische feedback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.2 Persoonlijke feedback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.3 Zomercursus wiskunde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.4 Begeleiding tijdens het academiejaar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

5 Trajectbepaling op basis van de ijkingstoets 85.1 Standaardtraject met EVK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85.2 Remediëringstrajecten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

6 Enkele statistische gegevens 10

7 Toets juli 2019 117.1 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117.2 Juiste antwoorden en histogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

8 Formuleverzameling 22



Inleiding

Beste toekomstige student,

Waarschijnlijk kwam het je al ter ore: deelname aan een ijkingstoets is een voorwaarde om te kunneninschrijven voor de opleiding bachelor in de ingenieurswetenschappen. Maar wat is die verplichte niet-bindende ijkingstoets burgerlijk ingenieur nu? Bereid je je best voor op de toets? En wat na de toets? Datzijn vragen waar we in dit boekje antwoorden op willen geven. Naast praktische informatie en tips over deijkingstoets, bevat het boekje ook vragen en oplossingen van de editie van vorig jaar. Zo kan je thuis deijkingstoets al eens uitproberen en je resultaat vergelijken met het resultaat van je voorgangers. Dat helptje alvast om in optimale conditie aan de ijkingstoets én de opleiding te starten.

We wensen je alvast veel succes!

Het team van de Dienst Studentenbegeleiding van de Faculteit Ingenieurswetenschappen KU Leuven


4 IJkingstoets burgerlijk ingenieur

1 Wat? Waarom? Hoe?

1.1 Wat is een ijkingstoets?

De ijkingstoets burgerlijk ingenieur test via meerkeuzevragen enkele belangrijke ingenieursvaardigheden.De inhoud van de vragen bouwt verder op de leerstof van de richtingen uit het secundair onderwijs metzes uur wiskunde. De leerinhouden wiskunde van zowel eerste, tweede als derde graad komen aan bod.De competenties die je nodig hebt om de ingenieursstudies aan te vatten, gaan echter verder dan hetbeheersen van wiskundige rekenregels. Kan je ook verschillende wiskundige technieken combineren? Kanje een toegepast probleem interpreteren en opsplitsen in deelproblemen? Vind je de juiste wiskundigetechnieken om de deelproblemen op te lossen? Kan je ten slotte je deelresultaten combineren om zo eenantwoord te formuleren op de oorspronkelijke vraagstelling?

1.2 Wat kan een ijkingstoets mij leren?

De ijkingstoets kan je helpen bij je definitieve studiekeuze, omdat de toets je een duidelijk beeld zal gevenover je wiskundevaardigheden en -kennis, in relatie tot het verwachte instapniveau voor de opleiding. Detoets is afgestemd op vooropleidingen uit het secundair onderwijs met minstens zes uur wiskunde per weekin de derde graad. Toch kunnen ook leerlingen die minder wiskunde volgden eraan deelnemen. Het isnamelijk belangrijk dat elke geïnteresseerde student zich kan ‘ijken’: je niveau kan immers hoger zijn danje vooropleiding laat vermoeden.Als na de toets van juli blijkt dat je kennis nog onvoldoende is, raden we je aan om deze tijdens de zomer-maanden bij te spijkeren. Vervolgens kan je een tweede keer eind augustus deelnemen aan de toets en zonagaan of je voldoende vooruitgang maakte. Ook wie niet kon deelnemen aan de eerste sessie, kan aandeze tweede sessie deelnemen.

1.3 Moet ik deelnemen aan een ijkingstoets?

Je kan enkel inschrijven voor de opleiding bachelor in de ingenieurswetenschappen als je een bewijs vandeelname aan een ijkingstoets kan voorleggen. Een bewijs van deelname aan een andere ijkingstoets isook geldig, al stimuleren we je uiteraard om deel te nemen aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur. Let op:het bewijs van deelname is enkel geldig voor het daaropvolgende academiejaar.

1.4 Moet ik slagen voor de ijkingstoets?

Iedereen die deelneemt aan een ijkingstoets, mag het daaropvolgende academiejaar inschrijven voor deopleiding bachelor in de ingenieurswetenschappen, ook wie niet geslaagd is. Scoor je lager dan verwacht,dan raden we je aan om te analyseren waarom het minder goed ging. Hiervoor kan je gebruik maken vanhet begeleidingsaanbod van de Dienst Studentenbegeleiding Ingenieurswetenschappen en/of de DienstStudieadvies. Studenten die niet slaagden voor de ijkingstoets burgerlijk ingenieur en toch inschrijven voorde opleiding bachelor in de ingenieurswetenschappen volgen aan de KU Leuven een remediëringstrajectmet aansluitend examen midden oktober. Informatie over de remediëringstrajecten vind je verder in ditboekje.



1 Wat? Waarom? Hoe?

1.1 Wat is een ijkingstoets?

De ijkingstoets burgerlijk ingenieur test via meerkeuzevragen enkele belangrijke ingenieursvaardigheden.De inhoud van de vragen bouwt verder op de leerstof van de richtingen uit het secundair onderwijs metzes uur wiskunde. De leerinhouden wiskunde van zowel eerste, tweede als derde graad komen aan bod.De competenties die je nodig hebt om de ingenieursstudies aan te vatten, gaan echter verder dan hetbeheersen van wiskundige rekenregels. Kan je ook verschillende wiskundige technieken combineren? Kanje een toegepast probleem interpreteren en opsplitsen in deelproblemen? Vind je de juiste wiskundigetechnieken om de deelproblemen op te lossen? Kan je ten slotte je deelresultaten combineren om zo eenantwoord te formuleren op de oorspronkelijke vraagstelling?

1.2 Wat kan een ijkingstoets mij leren?

De ijkingstoets kan je helpen bij je definitieve studiekeuze, omdat de toets je een duidelijk beeld zal gevenover je wiskundevaardigheden en -kennis, in relatie tot het verwachte instapniveau voor de opleiding. Detoets is afgestemd op vooropleidingen uit het secundair onderwijs met minstens zes uur wiskunde per weekin de derde graad. Toch kunnen ook leerlingen die minder wiskunde volgden eraan deelnemen. Het isnamelijk belangrijk dat elke geïnteresseerde student zich kan ‘ijken’: je niveau kan immers hoger zijn danje vooropleiding laat vermoeden.Als na de toets van juli blijkt dat je kennis nog onvoldoende is, raden we je aan om deze tijdens de zomer-maanden bij te spijkeren. Vervolgens kan je een tweede keer eind augustus deelnemen aan de toets en zonagaan of je voldoende vooruitgang maakte. Ook wie niet kon deelnemen aan de eerste sessie, kan aandeze tweede sessie deelnemen.

1.3 Moet ik deelnemen aan een ijkingstoets?

Je kan enkel inschrijven voor de opleiding bachelor in de ingenieurswetenschappen als je een bewijs vandeelname aan een ijkingstoets kan voorleggen. Een bewijs van deelname aan een andere ijkingstoets isook geldig, al stimuleren we je uiteraard om deel te nemen aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur. Let op:het bewijs van deelname is enkel geldig voor het daaropvolgende academiejaar.

1.4 Moet ik slagen voor de ijkingstoets?

Iedereen die deelneemt aan een ijkingstoets, mag het daaropvolgende academiejaar inschrijven voor deopleiding bachelor in de ingenieurswetenschappen, ook wie niet geslaagd is. Scoor je lager dan verwacht,dan raden we je aan om te analyseren waarom het minder goed ging. Hiervoor kan je gebruik maken vanhet begeleidingsaanbod van de Dienst Studentenbegeleiding Ingenieurswetenschappen en/of de DienstStudieadvies. Studenten die niet slaagden voor de ijkingstoets burgerlijk ingenieur en toch inschrijven voorde opleiding bachelor in de ingenieurswetenschappen volgen aan de KU Leuven een remediëringstrajectmet aansluitend examen midden oktober. Informatie over de remediëringstrajecten vind je verder in ditboekje.


2 Hoe verloopt de ijkingstoets?

2.1 Praktisch

De ijkingstoets wordt jaarlijks georganiseerd aan het begin en aan het einde van de zomervakantie. In 2020zijn dit de data:

� 1 juli 2020Inschrijven voor deze toets kan tot en met 7 juni 2020.

� 29 augustus 2020Inschrijven voor deze toets kan tot en met 16 augustus 2020.

Je kan de toets afleggen op verschillende locaties (Leuven, Kortrijk, Brussel, Gent). Inschrijven kan onlinevia www.ijkingstoets.be.

2.2 Meerkeuzevragen en giscorrectie

De toets bestaat uit een aantal meerkeuzevragen over diverse thema’s uit de volledige leerstof wiskundevan het secundair onderwijs. Elke vraag heeft vier mogelijke antwoordalternatieven, waarvan er maaréén het juiste is. Op het antwoordformulier zijn er telkens vijf mogelijkheden: naast de keuze voor devier antwoordalternatieven kan je er ook voor kiezen om een vraag niet te beantwoorden (blanco). Bijde berekening van je eindscore wordt giscorrectie toegepast. Het juiste antwoord levert 1 punt op, bijeen fout antwoord verlies je 1/3 punt. Een blanco antwoord levert geen punten op, maar je verliest ookgeen punten. Het eindresultaat wordt herschaald naar een score op 20, waarbij alle vragen voor eenzelfdegewicht meetellen.Het is belangrijk vooraf even stil te staan bij deze berekeningsmethode. Ze bepaalt namelijk welke strategieje het best gebruikt bij het antwoorden. De giscorrectie wil voorkomen dat je per toeval punten scoortdoor willekeurig te gokken. Zonder deze correctie zou er geen straf zijn voor het aanduiden van een foutantwoord. Dit is de achterliggende redenering: als er vier mogelijke antwoorden zijn, heb je één kans op vier(25%) dat je per toeval het juiste antwoord aanduidt, en drie kansen op vier (75%) om fout te antwoorden.Door voor elke foute gok 1/3 punt af te trekken wordt de gemiddelde score voor een groot aantal gegoktevragen 1/4−1/3×3/4 = 0. Willekeurig gokken levert dus niets op. Heb je geen idee van het juiste antwoorden gok je, dan is er dus 25% kans dat je +1 scoort, maar 75% kans dat je -1/3 scoort. Maar als je op basisvan je kennis bijvoorbeeld twee van de vier antwoorden met zekerheid kan uitsluiten, dan verhoogt dit jekans bij het gokken naar één kans op twee (50%). Dan heb je 50% kans dat je +1 scoort en 50% kans datje -1/3 scoort.

2.3 Wat mag je gebruiken?

Om een te grote nadruk op het memoriseren van formules te vermijden, kan je tijdens de toets een for-muleverzameling gebruiken. De formuleverzameling ontvang je bij aanvang van de toets en kan je nu alraadplegen achteraan in dit boekje. Alle andere hulpmiddelen (boeken, rekentoestel, gsm, passer, lat, ge-odriehoek, schaar, ...) zijn niet toegelaten. Je mag enkel een potlood, gom, balpen en markeerstift bij jehebben en eventueel een koekje en een drankje.



3 Weet waar je staat, voor je naar de ijkingstoets gaat!

Wil je dat de ijkingstoets je een beeld geeft van wat je kan? Dan ga je best voorbereid.Op https://eng.kuleuven.be/ijkingstoets vind je oefenmodules met vragen uit voorbije ijkingstoetsen. Je kaner ook inschrijven voor de oefensessie die we organiseren op 15 april 2020. De oefenmodules zijn opgedeeldin drie niveaus’s.

De eerste module bestaat uit redelijk gemakkelijke ijkingstoetsvragen - meer dan70% van de deelnemers had ze juist. Deze oefeningen zijn ideaal om kennis temaken met de ijkingstoets. Ze stellen je in staat om na te gaan welke onderwerpenje al voldoende beheerst om de volgende modules aan te vatten en van welkeonderwerpen je de theorie moet herhalen. De oefeningen uit de eerste modulezijn allemaal voorzien van een modeloplossing, en zijn dus uitermate geschikt omthuis te maken als voorbereiding op de oefensessie.

Vanaf de tweede module ga je aan de slag met oefeningen die 50 tot 70% vande deelnemers juist beantwoord hebben. Onze selectie is gesorteerd volgens ver-schillende onderwerpen, zodat je zelf kan kiezen welke je extra wil inoefenen.Dankzij deze modules kom je niet alleen vol vertrouwen aan de start van de ij-kingstoets, maar ook aan de start van de opleiding.

De uitdagingsmodules zijn een echte aanrader voor wie van uitdaging houdt. Allegeselecteerde oefeningen werden door minder dan de helft van de deelnemersjuist beantwoord. Toch bevatten ze allemaal vaardigheden en concepten die je inde loop van het eerste semester onder de knie moet krijgen.

Denk je er klaar voor te zijn? Dan kan je voor jezelf een test-ijkingstoets organiseren aan de hand van devragen van vorig jaar, die verderop in dit boekje staan.



3 Weet waar je staat, voor je naar de ijkingstoets gaat!

Wil je dat de ijkingstoets je een beeld geeft van wat je kan? Dan ga je best voorbereid.Op https://eng.kuleuven.be/ijkingstoets vind je oefenmodules met vragen uit voorbije ijkingstoetsen. Je kaner ook inschrijven voor de oefensessie die we organiseren op 15 april 2020. De oefenmodules zijn opgedeeldin drie niveaus’s.

De eerste module bestaat uit redelijk gemakkelijke ijkingstoetsvragen - meer dan70% van de deelnemers had ze juist. Deze oefeningen zijn ideaal om kennis temaken met de ijkingstoets. Ze stellen je in staat om na te gaan welke onderwerpenje al voldoende beheerst om de volgende modules aan te vatten en van welkeonderwerpen je de theorie moet herhalen. De oefeningen uit de eerste modulezijn allemaal voorzien van een modeloplossing, en zijn dus uitermate geschikt omthuis te maken als voorbereiding op de oefensessie.

Vanaf de tweede module ga je aan de slag met oefeningen die 50 tot 70% vande deelnemers juist beantwoord hebben. Onze selectie is gesorteerd volgens ver-schillende onderwerpen, zodat je zelf kan kiezen welke je extra wil inoefenen.Dankzij deze modules kom je niet alleen vol vertrouwen aan de start van de ij-kingstoets, maar ook aan de start van de opleiding.

De uitdagingsmodules zijn een echte aanrader voor wie van uitdaging houdt. Allegeselecteerde oefeningen werden door minder dan de helft van de deelnemersjuist beantwoord. Toch bevatten ze allemaal vaardigheden en concepten die je inde loop van het eerste semester onder de knie moet krijgen.

Denk je er klaar voor te zijn? Dan kan je voor jezelf een test-ijkingstoets organiseren aan de hand van devragen van vorig jaar, die verderop in dit boekje staan.


4 Feedback en begeleiding

4.1 Elektronische feedback

Uiterlijk zeven kalenderdagen na de toets zal je je punten, alsook enkele statistische gegevens, via e-mailte weten komen.

4.2 Persoonlijke feedback

Deelnemers aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur kunnen, nadat ze hun resultaat gekregen hebben, in-dividuele feedback krijgen bij een monitor van de Dienst Studentenbegeleiding Ingenieurswetenschappenaan de hand van hun notities op hun kladpapier. Ook voor informatie rond de verschillende trajectmoge-lijkheden binnen de Faculteit Ingenieurswetenschappen kan je bij deze dienst terecht. Je wordt er geholpendoor dezelfde studieloopbaanbegeleiders en monitoren die je ook zullen begeleiden tijdens het eerste jaar.

4.3 Zomercursus wiskunde

In de maand september, tussen de tweede ijkingstoets en de start van het academiejaar, is er de moge-lijkheid om tijdens een cursus van een week een aantal belangrijke wiskundige methoden en begrippen inte oefenen. De cursus is bedoeld voor iedereen die minder dan een 14 op de ijkingstoets scoorde. Ookwie 14 of meer haalde, kan deelnemen. Je kan de zomercursus namelijk ook gebruiken om Leuven en jestudiegenoten te leren kennen.

Dagelijks komen zowel theorie als oefeningen op een actieve manier aan bod. De cursus eindigt met eendag combinatieoefeningen. Het is niet de ambitie om de volledige leerstof wiskunde van het secundaironderwijs in een week te herhalen, maar wel om te focussen op typische knelpunten. Dit betekent dat decursus ook topics behandelt die verder gaan dan de wiskunde uit het secundair onderwijs, en die dus nietin de ijkingstoets aan bod kwamen. De zomercursus is dus de ideale voorbereiding op je studie.

4.4 Begeleiding tijdens het academiejaar

Voor alle eerstejaarsstudenten is er een uitgebreid begeleidingsaanbod via de Dienst Studentenbegeleiding.Professionele monitoren en studieloopbaanbegeleiders verzorgen er individuele begeleiding en begeleidingin groep. Meer informatie over het aanbod vind je op https://eng.kuleuven.be/studentenbegeleiding.



5 Trajectbepaling op basis van de ijkingstoets

5.1 Standaardtraject met EVK

Hopelijk heb je voldoende wiskundige voorkennis om aan de opleiding te starten en slaag je voor de ijkings-toets burgerlijk ingenieur. In dit scenario vraag je een vrijstelling (of ‘eerder verworven kwalificatie’ - EVK)aan voor ‘Wiskunde voor probleemoplossen’ binnen het opleidingsonderdeel ‘Probleemoplossen en ontwer-pen, deel 1’. Vanaf dag één kan je je focussen op de vele nieuwe leerinhouden. Voel je je toch onzeker,ben je iemand die zich moeilijk aanpast aan nieuwe omgevingen of wil je gewoon na een lange vakantieje wiskunde terug opfrissen? Dan kan je starten met een zomercursus wiskunde. Tijdens de zomercursusoefenen we gekende concepten opnieuw in en brengen we al enkele nieuwe concepten aan. Op die manierkan de start aan de studies vlotter verlopen.

5.2 Remediëringstrajecten

De remediëringstrajecten zijn bedoeld voor studenten die een 8 of 9 scoorden op de ijkingstoets, of die o.w.v.individuele omstandigheden lager scoorden. Remediëring start best al voor aanvang van het academiejaar.We raden aan om de theoretische wiskundeconcepten uit het secundair onderwijs (pakket met zes uurwiskunde) eerst zelfstandig te studeren en dan verder te herhalen en in te oefenen tijdens de zomercursuswiskunde.Eens het academiejaar gestart, volg je parallel aan de andere vakken ‘Wiskunde voor probleemoplossen’,een vak van één studiepunt (30 uur studietijd). Dit vak heeft geen hoorcolleges of klassikale activiteitenwaar je de inhouden van de zomercursus herhaalt. Wie geen zomercursus volgde, dient de theorie uitenkele geselecteerde modules zelfstandig te verwerken. De niet-geselecteerde zomercursusmodules zijnook heel nuttig, maar komen aan bod in andere vakken.Tijdens de eerste twee verplichte oefensessies focussen we op oefeningen uit voorbije ijkingstoetsen die50% tot 70% juist beantwoordde. Je gaat op eigen tempo aan de slag en neemt zelf initiatief om de bege-leiders hulp te vragen waar nodig. Voor de derde verplichte sessie lichten we er twee topics speciaal uit:‘complexe getallen’ en ‘rechten en vlakken’. Bij deze modules verwachten we dat je ze meer in detail bestu-deert en vullen we de oefeningen uit voorbije ijkingstoetsen aan met extra open vragen. Ter voorbereidingop het examen raden we je aan om zelfstandig aan de slag te gaan met meer uitdagende oefeningen uitvoorbije ijkingstoetsen. Heb je extra hulp of steun hierbij nodig? Dan kan je terecht op de vrijblijvendebegeleidingssessies.Het examen ‘Wiskunde voor probleemoplossen’ vindt plaats in de eerste helft van het eerste semester, opzaterdagvoormiddag na de vierde week. Dit examen staat bewust voldoende vroeg in het academiejaar ge-pland, zodat je al snel een beeld krijgt over de progressie die je maakt. Indien deze progressie onvoldoendeis, maak je best een afspraak met een studieloopbaanbegeleider die met jou de verdere mogelijkheden zalbespreken.



5 Trajectbepaling op basis van de ijkingstoets

5.1 Standaardtraject met EVK

Hopelijk heb je voldoende wiskundige voorkennis om aan de opleiding te starten en slaag je voor de ijkings-toets burgerlijk ingenieur. In dit scenario vraag je een vrijstelling (of ‘eerder verworven kwalificatie’ - EVK)aan voor ‘Wiskunde voor probleemoplossen’ binnen het opleidingsonderdeel ‘Probleemoplossen en ontwer-pen, deel 1’. Vanaf dag één kan je je focussen op de vele nieuwe leerinhouden. Voel je je toch onzeker,ben je iemand die zich moeilijk aanpast aan nieuwe omgevingen of wil je gewoon na een lange vakantieje wiskunde terug opfrissen? Dan kan je starten met een zomercursus wiskunde. Tijdens de zomercursusoefenen we gekende concepten opnieuw in en brengen we al enkele nieuwe concepten aan. Op die manierkan de start aan de studies vlotter verlopen.

5.2 Remediëringstrajecten

De remediëringstrajecten zijn bedoeld voor studenten die een 8 of 9 scoorden op de ijkingstoets, of die o.w.v.individuele omstandigheden lager scoorden. Remediëring start best al voor aanvang van het academiejaar.We raden aan om de theoretische wiskundeconcepten uit het secundair onderwijs (pakket met zes uurwiskunde) eerst zelfstandig te studeren en dan verder te herhalen en in te oefenen tijdens de zomercursuswiskunde.Eens het academiejaar gestart, volg je parallel aan de andere vakken ‘Wiskunde voor probleemoplossen’,een vak van één studiepunt (30 uur studietijd). Dit vak heeft geen hoorcolleges of klassikale activiteitenwaar je de inhouden van de zomercursus herhaalt. Wie geen zomercursus volgde, dient de theorie uitenkele geselecteerde modules zelfstandig te verwerken. De niet-geselecteerde zomercursusmodules zijnook heel nuttig, maar komen aan bod in andere vakken.Tijdens de eerste twee verplichte oefensessies focussen we op oefeningen uit voorbije ijkingstoetsen die50% tot 70% juist beantwoordde. Je gaat op eigen tempo aan de slag en neemt zelf initiatief om de bege-leiders hulp te vragen waar nodig. Voor de derde verplichte sessie lichten we er twee topics speciaal uit:‘complexe getallen’ en ‘rechten en vlakken’. Bij deze modules verwachten we dat je ze meer in detail bestu-deert en vullen we de oefeningen uit voorbije ijkingstoetsen aan met extra open vragen. Ter voorbereidingop het examen raden we je aan om zelfstandig aan de slag te gaan met meer uitdagende oefeningen uitvoorbije ijkingstoetsen. Heb je extra hulp of steun hierbij nodig? Dan kan je terecht op de vrijblijvendebegeleidingssessies.Het examen ‘Wiskunde voor probleemoplossen’ vindt plaats in de eerste helft van het eerste semester, opzaterdagvoormiddag na de vierde week. Dit examen staat bewust voldoende vroeg in het academiejaar ge-pland, zodat je al snel een beeld krijgt over de progressie die je maakt. Indien deze progressie onvoldoendeis, maak je best een afspraak met een studieloopbaanbegeleider die met jou de verdere mogelijkheden zalbespreken.


Hieronder vind je een overzicht van de geplande activiteiten in het kader van‘Wiskunde voor probleemoplossen’.

Week 1

herhalingsoefeningen - begeleidingssessie op woensdag voor studenten met lage score op ijkingstoets

volgende zomercursusmodules zelfstandig herhalen ter voorbereiding van oefensessie 1:4. Limieten en asymptoten van rationale functies

5. Groeimodellen, exponentiële en logaritmische functies

6. Goniometrie, vlakke meetkunde en vectorrekenen in de fysica

9. Grafieken van functies en krommen

oefensessie 1 (verplicht)

volgende zomercursusmodules zelfstandig herhalen ter voorbereiding van oefensessie 2:10. De afgeleide functie: rekenregels en toepassingen

11. Minimum-maximumproblemen

12. Integratietechnieken: substitutie en partiële integratie

16. Lineaire algebra B

Week 2


vrijblijvende begeleidingssessie alle oefeningen op woensdag

mogelijkheid tot feedback op ijkingstoets augustus (breng je kladbladen mee)

volgende zomercursusmodules zelfstandig herhalen ter voorbereiding van oefensessie 3:8. Complexe getallen (SPOC, hoofdstuk 1-6)

14. Rechten en vlakken


Week 3

zelfstandig de meer uitdagende oefeningen maken (hoofdstuk 4-5-6)


Week 4


Examen op zaterdag

Augustus

Herkansing examen



6 Enkele statistische gegevens

Heel wat van de deelnemers aan de ijkingstoets zijn aan de opleiding bachelor in de ingenieurswetenschap-pen gestart. Onderstaande figuur toont de studentenstroom van de studenten die in 2018 een ijkingstoetsafgelegd hebben en daarna gestart zijn aan de opleiding. Eén jaar na de start kijken we waar deze studentenstaan in hun studie.We zien dat meer dan de helft van wie slaagde op de ijkingstoets, alle vakken uit de eerste fase heeftafgerond (geruite pijlen). Een deel van de studenten zit nog steeds in de opleiding, maar combineert vakkenvan eerste en tweede fase. Deze studenten hernemen in hun tweede jaar een deel van de vakken uit deeerste fase. Daarnaast is er ook een aantal studenten gestopt met de opleiding. Sommige studenten in dezegroep haalden wel goede resultaten, maar kozen voor een andere opleiding binnen hun interessedomein.Wie minder dan 30% van de credits behaalde, werd geweigerd voor de opleiding. Een goede score op deijkingstoets is dus geen garantie op succes. Hard werken, een goede studieaanpak en motivatie blijven heelbelangrijk!Voor studenten die niet slaagden voor de ijkingstoets, blijkt het heel moeilijk te zijn om het bijspijkeren vande voorkennis te combineren met de nieuwe vakken. Slechts 13% van deze studenten startte in het tweedejaar zonder nog vakken van de eerste fase te moeten hernemen.Het is duidelijk dat wiskundige voorkennis een belangrijk element in studiesucces is. De ijkingstoets is echtergeen perfect meetinstrument voor deze wiskundekennis. Scoorde je niet goed op de ijkingstoets, maarkreeg je positief advies van de klassenraad voor de opleiding bachelor in de ingenieurswetenschappen? Ofben je een harde werker die in een richting met zes of meer uren wiskunde hoge percentages haalde voorwiskunde? Dan zijn dit signalen die je zeker moet meenemen in je uiteindelijke studiekeuze.

Figuur 1: Opvolging van studenten die deelnamen aan een ijkingstoets in 2018 en daarna startten aan debachelor in de ingenieurswetenschappen. Een student uit de categorie ‘volledig in 2e fase’ heeftalle vakken uit de eerste fase na het eerste jaar afgerond. Een student uit categorie ‘combineert1e en 2e fase’ moet enkele vakken uit de eerste fase hernemen, dit is enkel toegestaan indiende student in het eerste jaar minstens 30% van de credits behaalde. Een student die na éénjaar niet meer in de opleiding zit, bevindt zich in de categorie ‘gestopt/geweigerd’.



6 Enkele statistische gegevens

Heel wat van de deelnemers aan de ijkingstoets zijn aan de opleiding bachelor in de ingenieurswetenschap-pen gestart. Onderstaande figuur toont de studentenstroom van de studenten die in 2018 een ijkingstoetsafgelegd hebben en daarna gestart zijn aan de opleiding. Eén jaar na de start kijken we waar deze studentenstaan in hun studie.We zien dat meer dan de helft van wie slaagde op de ijkingstoets, alle vakken uit de eerste fase heeftafgerond (geruite pijlen). Een deel van de studenten zit nog steeds in de opleiding, maar combineert vakkenvan eerste en tweede fase. Deze studenten hernemen in hun tweede jaar een deel van de vakken uit deeerste fase. Daarnaast is er ook een aantal studenten gestopt met de opleiding. Sommige studenten in dezegroep haalden wel goede resultaten, maar kozen voor een andere opleiding binnen hun interessedomein.Wie minder dan 30% van de credits behaalde, werd geweigerd voor de opleiding. Een goede score op deijkingstoets is dus geen garantie op succes. Hard werken, een goede studieaanpak en motivatie blijven heelbelangrijk!Voor studenten die niet slaagden voor de ijkingstoets, blijkt het heel moeilijk te zijn om het bijspijkeren vande voorkennis te combineren met de nieuwe vakken. Slechts 13% van deze studenten startte in het tweedejaar zonder nog vakken van de eerste fase te moeten hernemen.Het is duidelijk dat wiskundige voorkennis een belangrijk element in studiesucces is. De ijkingstoets is echtergeen perfect meetinstrument voor deze wiskundekennis. Scoorde je niet goed op de ijkingstoets, maarkreeg je positief advies van de klassenraad voor de opleiding bachelor in de ingenieurswetenschappen? Ofben je een harde werker die in een richting met zes of meer uren wiskunde hoge percentages haalde voorwiskunde? Dan zijn dit signalen die je zeker moet meenemen in je uiteindelijke studiekeuze.

Figuur 1: Opvolging van studenten die deelnamen aan een ijkingstoets in 2018 en daarna startten aan debachelor in de ingenieurswetenschappen. Een student uit de categorie ‘volledig in 2e fase’ heeftalle vakken uit de eerste fase na het eerste jaar afgerond. Een student uit categorie ‘combineert1e en 2e fase’ moet enkele vakken uit de eerste fase hernemen, dit is enkel toegestaan indiende student in het eerste jaar minstens 30% van de credits behaalde. Een student die na éénjaar niet meer in de opleiding zit, bevindt zich in de categorie ‘gestopt/geweigerd’.


7 Toets juli 2019

Op de volgende pagina’s vind je de ijkingstoets burgerlijk ingenieur van juli 2019. Neem de opgaven bij dehand en organiseer voor jezelf een test-ijkingstoets. Kijk nog niet naar de oplossingen achteraan! Je leertveel meer door eerst zelf te proberen.

7.1 Opgaven

Oefening 1Beschouw de driedimensionale ruimte met een cartesiaans assenstelsel yz en de rechte r met volgende

parametervoorstelling:

= −2ty = −2t + 1z = 2t − 1

met t ∈ R.

Welk van onderstaande vectoren is evenwijdig met de rechte r?

(A) (0,1,1) (B) (0,1,−1) (C) (1,1,1) (D) (1,1,−1)

Oefening 2Voor een veelterm P() van graad 2 geldt: de hoogstegraadscoëfficiënt is 1, = 2 is een nulpunt en P(1) = 3.Wat is de coëfficiënt bij de eerstegraadsterm?

(A) −6 (B) −4 (C) 4 (D) 6

Oefening 3Onderstaande figuur toont een takelinstallatie die dient voor het optillen en verplaatsen van lasten in eenatelier. Een kabel loopt vanaf het uiteinde U via de katrollen A, B en C naar het punt D van de takelinstallatie.De posities van de punten U, A, B en D zijn vast. De last hangt aan katrol C. Alle relevante afmetingenstaan aangegeven op de figuur (niet op schaal). De bediening van de last gebeurt door de kabel langer ofkorter te maken. Hoe lang moet de kabel zijn opdat de onderkant van de last zich op dezelfde hoogte alshet uiteinde U bevindt?In de berekeningen mag de positie van B dezelfde genomen worden als de positie van D en mogen deafmetingen van de katrollen verwaarloosd worden en dus 0 genomen worden. Het resultaat mag afgerondworden tot op een geheel aantal meter.

30◦

B

C

D

U

3m

5m 1

m

A

(A) 18 m (B) 19 m (C) 20 m (D) 21 m



Oefening 4Bereken volgende limiet: L = lim

→+∞e(1/).

(A) L = 0 (B) L = 1 (C) L = e (D) L = +∞

Oefening 5De grafiek van de functie ƒ : R → R is de rechte door de punten (0,1) en (7,6). De functie g is de inversefunctie van ƒ . Bepaal g(3).

(A) g(3) =14

5(B) g(3) = 3 (C) g(3) =

17

6(D) g(3) =

22

7

Oefening 6Beschouw de driedimensionale ruimte met een cartesiaans assenstelsel yz en de punten A(2,2,4), B(0,−4,2),C(0,−5,2) en D(2,−1,4). Welke van de onderstaande uitspraken is als enige waar?

(A) De rechten AB en CD zijn evenwijdig.

(B) De rechten AB en CD zijn kruisend.

(C) De rechten AB en CD snijden elkaar in het punt (−1,−7,1).

(D) De rechten AB en CD snijden elkaar in het punt (1,−3,3).

Oefening 7Zij ƒ : R→ R en g : R→ R functies. Welke van de onderstaande uitspraken is dan als enige zeker waar?

(A) Als ƒ (2) < 0 < g(2), dan is |ƒ (2)| �= |g(2)|.

(B) Als ƒ (2) ≥ g(2), dan is |ƒ (2)| ≥ |g(2)|.

(C) Als g(2) < ƒ (2) < 0, dan is |g(2)| > |ƒ (2)|.

(D) |ƒ (−2)| = |ƒ (2)| en |g(−2)| = |g(2)|.

Oefening 8Beschouw het volgende stelsel in de onbekenden , y en z met c een reëel getal.

+ y + z = 12 + 2y = 2 − 2z

y + z = c

Welke van de volgende beweringen is als enige waar?

(A) Er bestaat juist één waarde van c waarvoor dit stelsel geen oplossing heeft.

(B) Er bestaan verschillende waarden van c waarvoor dit stelsel geen oplossing heeft.

(C) Er bestaat juist één waarde van c waarvoor dit stelsel oneindig veel oplossingen heeft.

(D) Er bestaan meerdere waarden van c waarvoor dit stelsel oneindig veel oplossingen heeft.



Oefening 4Bereken volgende limiet: L = lim

→+∞e(1/).

(A) L = 0 (B) L = 1 (C) L = e (D) L = +∞

Oefening 5De grafiek van de functie ƒ : R → R is de rechte door de punten (0,1) en (7,6). De functie g is de inversefunctie van ƒ . Bepaal g(3).

(A) g(3) =14

5(B) g(3) = 3 (C) g(3) =

17

6(D) g(3) =

22

7

Oefening 6Beschouw de driedimensionale ruimte met een cartesiaans assenstelsel yz en de punten A(2,2,4), B(0,−4,2),C(0,−5,2) en D(2,−1,4). Welke van de onderstaande uitspraken is als enige waar?

(A) De rechten AB en CD zijn evenwijdig.

(B) De rechten AB en CD zijn kruisend.

(C) De rechten AB en CD snijden elkaar in het punt (−1,−7,1).

(D) De rechten AB en CD snijden elkaar in het punt (1,−3,3).

Oefening 7Zij ƒ : R→ R en g : R→ R functies. Welke van de onderstaande uitspraken is dan als enige zeker waar?

(A) Als ƒ (2) < 0 < g(2), dan is |ƒ (2)| �= |g(2)|.

(B) Als ƒ (2) ≥ g(2), dan is |ƒ (2)| ≥ |g(2)|.

(C) Als g(2) < ƒ (2) < 0, dan is |g(2)| > |ƒ (2)|.

(D) |ƒ (−2)| = |ƒ (2)| en |g(−2)| = |g(2)|.

Oefening 8Beschouw het volgende stelsel in de onbekenden , y en z met c een reëel getal.

+ y + z = 12 + 2y = 2 − 2z

y + z = c

Welke van de volgende beweringen is als enige waar?

(A) Er bestaat juist één waarde van c waarvoor dit stelsel geen oplossing heeft.

(B) Er bestaan verschillende waarden van c waarvoor dit stelsel geen oplossing heeft.

(C) Er bestaat juist één waarde van c waarvoor dit stelsel oneindig veel oplossingen heeft.

(D) Er bestaan meerdere waarden van c waarvoor dit stelsel oneindig veel oplossingen heeft.


Oefening 9Beschouw het vlak met een cartesiaans assenstelsel y en de vector �e met lengte 1. De vector �e maakteen hoek θ met de positieve y-as. Hoeken in tegenwijzerzin worden positief genomen. De hoek θ voldoet

aanπ

2< θ < π, zodat de vector �e in het derde kwadrant ligt. Wat is dan de -coördinaat van de vector �e?

(A) cosθ (B) − cosθ (C) sinθ (D) − sinθ

Oefening 10

Bereken =∫

�π

02 sin(2) d.

(A) −2 (B) −1 (C) 1 (D) 2

Oefening 11Wannes en Younes gaan fietsen op een lang recht fietspad. Ze vertrekken beiden op hetzelfde punt. Wannesfietst het eerste deel van het traject met een constante snelheid van 28 km/uur. Younes vertrekt 1 minuutlater en rijdt ook met een constante snelheid. Twee minuten nadat Younes vertrokken is, haalt hij Wannes in.Daarna fietsen ze nog 4 km samen verder aan een snelheid van 24 km/uur. Wat is de gemiddelde snelheidwaarmee Younes het gehele traject fietste?

(A) 27 km/uur (B) 30 km/uur (C) 33 km/uur (D) 36 km/uur

Oefening 12Gegeven de functie ƒ : R→ R met als grafiek onderstaande figuur.

0 2 4

1

y

y = ƒ ()

Verder is de functie g gegeven door g : R → R : �→ g() =

2. Welk van onderstaande figuren toont de

grafiek van het product p van deze functies p : R→ R : �→ p() = ƒ () · g()?

0 2 4

1

y

(A)

0 2 4

1

y

(B)

0 2 4

1

y

(C)

0 2 4

1

y

(D)



Oefening 13Op een elektronisch circuit wordt een spanningsbron aangesloten die een tijdsafhankelijke spanning V pro-duceert. Het verband tussen de tijd t uitgedrukt in seconden (s) en de spanning V wordt gegeven doorV = V0 cos (ωt), met V0 = 50 volt en ω = 100π rad/s. Hoeveel keer wisselt de spanning V van teken gedu-rende de eerste seconde?

(A) 25 keer (B) 50 keer (C) 100 keer (D) 200 keer

Oefening 14In de driedimensionale ruimte bekijken we het punt P(1,2,0) en het vlak met vergelijking + 2y − z = 1.Voor welk van volgende punten A ( = 1,2,3,4) snijdt de rechte PA het vlak niet?

(A) A1(2,2,1) (B) A2(3,1,1) (C) A3(−1,4,1) (D) A4(4,0,1)

Oefening 15Van de matrices A =

�

1 b

�

en B =

�

1 2−2

�

is gegeven dat A ·B = B ·A. Wat kun je besluiten over de reële

getallen en b?

(A) = −1 en b = −1.

(B) = −1 en b = −2.

(C) Dergelijke getallen en b bestaan niet.

(D) De getallen en b zijn beide willekeurig.

Oefening 16Welke van onderstaande figuren kan de grafiek voorstellen van de functie ƒ : R→ R : �→ ƒ () =

∫

0sin t dt ?

0

y (A)

0

y (B)

0

y (C)

0

y (D)



Oefening 13Op een elektronisch circuit wordt een spanningsbron aangesloten die een tijdsafhankelijke spanning V pro-duceert. Het verband tussen de tijd t uitgedrukt in seconden (s) en de spanning V wordt gegeven doorV = V0 cos (ωt), met V0 = 50 volt en ω = 100π rad/s. Hoeveel keer wisselt de spanning V van teken gedu-rende de eerste seconde?

(A) 25 keer (B) 50 keer (C) 100 keer (D) 200 keer

Oefening 14In de driedimensionale ruimte bekijken we het punt P(1,2,0) en het vlak met vergelijking + 2y − z = 1.Voor welk van volgende punten A ( = 1,2,3,4) snijdt de rechte PA het vlak niet?

(A) A1(2,2,1) (B) A2(3,1,1) (C) A3(−1,4,1) (D) A4(4,0,1)

Oefening 15Van de matrices A =

�

1 b

�

en B =

�

1 2−2

�

is gegeven dat A ·B = B ·A. Wat kun je besluiten over de reële

getallen en b?

(A) = −1 en b = −1.

(B) = −1 en b = −2.

(C) Dergelijke getallen en b bestaan niet.

(D) De getallen en b zijn beide willekeurig.

Oefening 16Welke van onderstaande figuren kan de grafiek voorstellen van de functie ƒ : R→ R : �→ ƒ () =

∫

0sin t dt ?

0

y (A)

0

y (B)

0

y (C)

0

y (D)


Oefening 17Een klein vat A en een groot vat B zijn met elkaar verbonden zoals getekend in onderstaande figuur. Beidevaten hebben een grondvlak van 25 dm2. De onderkant van de verbinding bevindt zich op een hoogte van2 dm boven het grondvlak van vat A en 10 dm boven het grondvlak van vat B. Door de verbinding kan tot30 liter per minuut stromen.

10 l/min 20 l/min

15 l/min

A

B

Aanvankelijk zijn beide vaten leeg. Vanaf een bepaald ogenblik (tijd=0) stroomt er 10 liter vloeistof perminuut in vat A en 20 liter per minuut in vat B. De vloeistof loopt ook weg uit vat B langs een leidingwaardoor 15 liter per minuut kan stromen. 5 minuten nadat vloeistof van vat A naar vat B begint te stromenwordt de rechtstreekse toevoer van de vloeistof aan vat B afgesloten, terwijl de toevoer aan vat A gelijkblijft aan 10 liter per minuut. Welke van de volgende grafieken geeft weer met welke snelheid het niveauvan de vloeistof in vat B toeneemt?

0 tijd

snelheid (A)

0 tijd

snelheid (B)

0 tijd

snelheid (C)

0 tijd

snelheid (D)

Oefening 18Gegeven de functie ƒ : R → R : �→ ƒ () = |2 − 4 + 3|. Voor de waarde = bereikt deze functie eenminimum. Bepaal ƒ ().

(A) ƒ () = 0 (B) ƒ () = 1 (C) ƒ () = 2 (D) ƒ () = 3



Oefening 19Een wijzer van een meetinstrument maakt een hoek θ met de verticale, zoals getoond op onderstaandefiguur. Een hoek in wijzerzin wordt hier positief gekozen, alle hoeken zijn uitgedrukt in radialen. Op tijdstip

t = 0 s staat de wijzer zoals aangeduid op de figuur, θ =3π

2.

θ

Het verband tussen de hoek θ en de tijd t is gegeven door θ =3π

2−ωtmet ω > 0 een constante hoeksnelheid

die zo gekozen is dat bij t = 10 s de wijzer de eerste keer een hoek θ =π

4maakt met de verticale. Welke

van onderstaande figuren toont de stand van de wijzer op t = 7 s?

(A) (B) (C) (D)

Oefening 20De matrix A is een 2 × 2-matrix die de migratie van de bevolking tussen een bepaalde stad (S) en haaromliggende landelijke omgeving (L) beschrijft op jaarbasis.

Als X =

�

SL

�

, met S het aantal inwoners in S en L het aantal inwoners in L,

dan geeft AX het respectievelijk aantal inwoners weer na één jaar.

Ga uit van volgende gegevens:

� het totaal aantal inwoners blijft constant;

� 90% van de stadsbevolking verblijft na één jaar nog steeds in de stad;

� 80% van de bevolking in de landelijke omgeving verblijft na één jaar nog steeds in deze landelijkeomgeving;

� deze migratietendens blijft enkele jaren dezelfde.

Met welk percentage is het aantal inwoners in de stad na twee jaar veranderd (toegenomen of afgenomen)wanneer de beginsituatie gegeven is door S = 200000 en L = 130000?

(A) −5,95% (B) +3% (C) +5,1% (D) +10%

Oefening 21Welk van de volgende getallen is het grootst? Alle hoeken zijn uitgedrukt in radialen.

(A) tn(4,5) (B)1

cos(3,5)(C) 3sin(3) (D) cos(6)



Oefening 19Een wijzer van een meetinstrument maakt een hoek θ met de verticale, zoals getoond op onderstaandefiguur. Een hoek in wijzerzin wordt hier positief gekozen, alle hoeken zijn uitgedrukt in radialen. Op tijdstip

t = 0 s staat de wijzer zoals aangeduid op de figuur, θ =3π

2.

θ

Het verband tussen de hoek θ en de tijd t is gegeven door θ =3π

2−ωtmet ω > 0 een constante hoeksnelheid

die zo gekozen is dat bij t = 10 s de wijzer de eerste keer een hoek θ =π

4maakt met de verticale. Welke

van onderstaande figuren toont de stand van de wijzer op t = 7 s?

(A) (B) (C) (D)

Oefening 20De matrix A is een 2 × 2-matrix die de migratie van de bevolking tussen een bepaalde stad (S) en haaromliggende landelijke omgeving (L) beschrijft op jaarbasis.

Als X =

�

SL

�

, met S het aantal inwoners in S en L het aantal inwoners in L,

dan geeft AX het respectievelijk aantal inwoners weer na één jaar.

Ga uit van volgende gegevens:

� het totaal aantal inwoners blijft constant;

� 90% van de stadsbevolking verblijft na één jaar nog steeds in de stad;

� 80% van de bevolking in de landelijke omgeving verblijft na één jaar nog steeds in deze landelijkeomgeving;

� deze migratietendens blijft enkele jaren dezelfde.

Met welk percentage is het aantal inwoners in de stad na twee jaar veranderd (toegenomen of afgenomen)wanneer de beginsituatie gegeven is door S = 200000 en L = 130000?

(A) −5,95% (B) +3% (C) +5,1% (D) +10%

Oefening 21Welk van de volgende getallen is het grootst? Alle hoeken zijn uitgedrukt in radialen.

(A) tn(4,5) (B)1

cos(3,5)(C) 3sin(3) (D) cos(6)


Oefening 22

120 m

4 m

P

De figuur toont een principetekening van een reuzenrad met één gondel. Het wiel van het reuzenrad heefteen diameter van 120 m en roteert met een constante hoeksnelheid omheen de centrale as. De gondel isscharnierend opgehangen aan de buitenkant van het wiel van het reuzenrad. Het onderste punt P van degondel hangt 4 m onder het scharnier. In de berekeningen mag je het wiebelen van de gondel verwaarlozenen veronderstellen dat het punt P zich op elk moment verticaal onder het scharnier bevindt. De lengte vanhet afgelegde pad van het punt P nadat het reuzenrad vijf volledige omwentelingen heeft gemaakt noemenwe . Welk van de volgende uitspraken is dan geldig?

(A) ≤ 600π m

(B) 600π m < ≤ 640π m

(C) 640π m < ≤ 680π m

(D) 680π m <

Oefening 23Hoeveel verschillende oplossingen (, y) heeft het volgende stelsel vergelijkingen?

�

(2x-y+3)(x+2y)=0

(x+y-3)(4x-2y-3)=0

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4



Oefening 24De rechthoek ABCD met lengte 20 en breedte 15 wordt gevouwen zodat de diagonaal BD gemeenschappe-lijk is met een ribbe van een kubus en de hoekpunten A en C in de zijvlakken van deze kubus liggen. Bepaalde afstand tussen de punten A en C nadat de rechthoek gevouwen is.

D

C

B

A

15 20

(A) |AC| =�271 (B) |AC| = 12

�2 (C) |AC| =

25

2

�2 (D) |AC| =

�337

Oefening 25Bij een vlakke spiegel wordt elke straal zo weerkaatst dat de hoek die de inkomende straal maakt met deloodrichting op de spiegel, dezelfde is als de hoek die de uitgaande straal maakt met de loodrichting op despiegel. De inkomende en de uitgaande straal bevinden zich ook steeds in eenzelfde loodvlak op de spiegel.Twee vlakke spiegels worden tegen elkaar gemonteerd zoals aangegeven op de figuur. De hoek α tussenbeide spiegels kan ingesteld worden. Bij welk van onderstaande waardes voor de hoek α zal elke straal diedoor beide spiegels weerkaatst werd, loodrecht staan op de inkomende straal?

α

straal in

straal uit na weerkaatsing

(A) α = 112,5◦ (B) α = 120◦ (C) α = 127,5◦ (D) α = 135◦



Oefening 24De rechthoek ABCD met lengte 20 en breedte 15 wordt gevouwen zodat de diagonaal BD gemeenschappe-lijk is met een ribbe van een kubus en de hoekpunten A en C in de zijvlakken van deze kubus liggen. Bepaalde afstand tussen de punten A en C nadat de rechthoek gevouwen is.

D

C

B

A

15 20

(A) |AC| =�271 (B) |AC| = 12

�2 (C) |AC| =

25

2

�2 (D) |AC| =

�337

Oefening 25Bij een vlakke spiegel wordt elke straal zo weerkaatst dat de hoek die de inkomende straal maakt met deloodrichting op de spiegel, dezelfde is als de hoek die de uitgaande straal maakt met de loodrichting op despiegel. De inkomende en de uitgaande straal bevinden zich ook steeds in eenzelfde loodvlak op de spiegel.Twee vlakke spiegels worden tegen elkaar gemonteerd zoals aangegeven op de figuur. De hoek α tussenbeide spiegels kan ingesteld worden. Bij welk van onderstaande waardes voor de hoek α zal elke straal diedoor beide spiegels weerkaatst werd, loodrecht staan op de inkomende straal?

α

straal in

straal uit na weerkaatsing

(A) α = 112,5◦ (B) α = 120◦ (C) α = 127,5◦ (D) α = 135◦


Oefening 26Het complexe getal z = r(cosθ + sinθ) met r > 0, voldoet aan 3r = 5z + 20. Bepaal sinθ.

(A) sinθ = −4

5(B) sinθ = −

3

5(C) sinθ =

3

5(D) sinθ =

4

5

Oefening 27Gegeven de functie ƒ : [,+∞[ → R : �→ ƒ () =

�2 + 3, met ∈ R de kleinste waarde waarvoor

�2 + 3

gedefinieerd is. A is het punt op de grafiek van ƒ met -coördinaat . B is het punt op de grafiek van ƒ

met -coördinaat 3. C is het snijpunt van de -as met de raaklijn in B aan de grafiek van ƒ . Bepaal deoppervlakte O van de driehoek ABC.

(A) O =27

8(B) O =

81

8(C) O =

135

8(D) O =

243

8

Oefening 28Je mag aannemen dat volgende bewering waar is:

Als minstens één deelnemer aan de ijkingstoets op ruimtereis is geweest, dan eten alle deelnemers dezenamiddag een ijsje.

Welke van onderstaande beweringen is dan zeker waar?

(A) Alle deelnemers eten deze namiddag een ijsje.

(B) Geen enkele deelnemer eet deze namiddag een ijsje.

(C) Als er een deelnemer is die deze namiddag geen ijsje eet, dan is geen enkele deelnemer op ruimtereisgeweest.

(D) Als alle deelnemers deze namiddag een ijsje eten, dan is een deelnemer op ruimtereis geweest.



Oefening 29Twee robotten bevinden zich op een lijn van 100 m lang, afgebakend met twee muren (zie onderstaandefiguur). Op tijdstip t = 0 s vertrekken beide robotten: robot A vertrekt op plaats = 0 m met een snelheidvan +10m/s en robot B vertrekt op plaats = 100mmet een snelheid van −10m/s. Een positieve snelheidbetekent dat de robot naar rechts beweegt, een negatieve snelheid komt overeen met een beweging naarlinks.Bij elke botsing van robot A (met de andere robot of met de muur op = 0 m) wordt zijn snelheid met eenfactor −2 vermenigvuldigd (m.a.w. terugkerend aan dubbele snelheid). Bij elke botsing van robot B (metde andere robot of met de muur op = 100 m) wordt zijn snelheid met een factor −1/2 vermenigvuldigd(m.a.w. terugkerend aan halve snelheid).

= 0m = 100m

AA B

Bijvoorbeeld op tijdstip t = 5 s botsen de robotten op = 50 m tegen elkaar (eerste robotbotsing), waarnarobot A met snelheid −20 m/s beweegt en dus terugkeert richting = 0 m en robot B met snelheid +5 m/sbeweegt en dus terugkeert richting = 100 m. Robot A botst even later tegen de muur op = 0 m, waarnahij zich beweegt met snelheid +40 m/s. Op welke locatie vindt de tweede robotbotsing dan plaats? Geef deafgeronde -coördinaat. De afmetingen van de robotten mogen verwaarloosd worden.

(A) 63 m (B) 71 m (C) 82 m (D) 93 m

Oefening 30Gegeven zijn een continue functie g : R → R en de functie ƒ : R → R met ƒ () = g( + 1) voor alle ∈ R.Verder zijn twee reële getallen en b gegeven met < b < 0. Welke van de volgende beweringen is alsenige altijd waar?

(A)∫ b

ƒ ()d =∫ b−1

−1g()d

(B)∫ b

ƒ ()d = 1 +

∫ b

g()d

(C)∫ b

ƒ ()d = b − +

∫ b

g()d

(D)∫ b

ƒ ()d =∫ b+1

+1g()d

IJkingstoets burgerlijk ingenieur


Oefening 29Twee robotten bevinden zich op een lijn van 100 m lang, afgebakend met twee muren (zie onderstaandefiguur). Op tijdstip t = 0 s vertrekken beide robotten: robot A vertrekt op plaats = 0 m met een snelheidvan +10m/s en robot B vertrekt op plaats = 100mmet een snelheid van −10m/s. Een positieve snelheidbetekent dat de robot naar rechts beweegt, een negatieve snelheid komt overeen met een beweging naarlinks.Bij elke botsing van robot A (met de andere robot of met de muur op = 0 m) wordt zijn snelheid met eenfactor −2 vermenigvuldigd (m.a.w. terugkerend aan dubbele snelheid). Bij elke botsing van robot B (metde andere robot of met de muur op = 100 m) wordt zijn snelheid met een factor −1/2 vermenigvuldigd(m.a.w. terugkerend aan halve snelheid).

= 0m = 100m

AA B

Bijvoorbeeld op tijdstip t = 5 s botsen de robotten op = 50 m tegen elkaar (eerste robotbotsing), waarnarobot A met snelheid −20 m/s beweegt en dus terugkeert richting = 0 m en robot B met snelheid +5 m/sbeweegt en dus terugkeert richting = 100 m. Robot A botst even later tegen de muur op = 0 m, waarnahij zich beweegt met snelheid +40 m/s. Op welke locatie vindt de tweede robotbotsing dan plaats? Geef deafgeronde -coördinaat. De afmetingen van de robotten mogen verwaarloosd worden.

(A) 63 m (B) 71 m (C) 82 m (D) 93 m

Oefening 30Gegeven zijn een continue functie g : R → R en de functie ƒ : R → R met ƒ () = g( + 1) voor alle ∈ R.Verder zijn twee reële getallen en b gegeven met < b < 0. Welke van de volgende beweringen is alsenige altijd waar?

(A)∫ b

ƒ ()d =∫ b−1

−1g()d

(B)∫ b

ƒ ()d = 1 +

∫ b

g()d

(C)∫ b

ƒ ()d = b − +

∫ b

g()d

(D)∫ b

ƒ ()d =∫ b+1

+1g()d

21


7.2 Juiste antwoorden en histogram

Onderstaande tabel toont de juiste oplossingen van de vragen uit dit boekje en het percentage van dedeelnemers die deze vraag juist heeft beantwoord. Indien je voor jezelf een test-ijkingstoets georganiseerdhebt, kan je aan de hand van onderstaande tabel je score berekenen: voor elk juist antwoord krijg je +1punt, voor elk fout antwoord trek je 1/3 punt af, deze eindscore doe je maal 20/30.

vraag opl percentage juist beantwoord1 D 802 A 903 B 714 B 955 A 736 C 617 C 928 D 729 D 3610 D 7111 A 7412 D 8213 C 6214 A 6215 B 64

vraag opl percentage juist beantwoord16 A 5917 B 7018 A 5719 A 7020 C 6821 A 5822 A 6223 C 3124 D 1825 D 3826 A 3327 B 4228 C 8329 B 7330 D 44

Met onderstaande resultatenverdeling kan je jezelf situeren.

Figuur 2: Verdeling van de scores over de verschillende deelnemers van de ijkingstoets van juli 2019

5.7% van de deelnemers haalde 18/20 of meer.17.7% van de deelnemers haalde 16/20 of meer.31.9% van de deelnemers haalde 14/20 of meer.47.3% van de deelnemers haalde 12/20 of meer.64.1% van de deelnemers haalde 10/20 of meer.20.3% van de deelnemers haalde 7/20 of minder.



8 Formuleverzameling�2 ≈ 1,41;

�3 ≈ 1,73

Logaritmische en exponentiële functie

e = lim→∞

(1 + 1/) ≈ 2,72

log = log = y↔ = y( ∈ R+0 \ {1})ln = loge ; exp() = e

log(y) = log + log ylog

y = log − log y

log(n) = n log log b logb c = log c+y = y; y = ()y

Trigonometrische functies

tgα = tnα = sinαcosα ; cotgα = cotα = cosα

sinα =1

tnαsecα = 1

cosα ; cosecα =1

sinαBgsin = rcsin, (|| ≤ 1)Bgcos = rccos, (|| ≤ 1)Bgtn = rctg = rctn; Bgcot = rccotBgsec = rcsec, (|| ≥ 1)Bgcosec = rccosec (|| ≥ 1)sin2 α + cos2 α = 1; tn2 α + 1 = sec2 α; 1 + cot2 α = cosec 2αcos(α ± β) = cosα cosβ ∓ sinα sinβsin(α ± β) = sinα cosβ ± cosα sinβtn(α ± β) = (tnα ± tnβ)/(1 ∓ tnα tnβ)sin2α = 2sinα cosα = 2 tnα

1+tn2 α

cos2α = cos2 α − sin2 α = 1 − 2sin2 α = 2cos2 α − 1 = 1−tn2 α1+tn2 α

tn2α = 2 tnα1−tn2 α

α

cosα 1

sinα1

0

cotgα

tgα

1

1

sinα + sinβ = 2sin α+β2 cos α−β

2 ; sinα − sinβ = 2sin α−β2 cos α+β

2

cosα + cosβ = 2cos α+β2 cos α−β

2 ; cosα − cosβ = −2sin α+β2 sin α−β

22 sinα cosβ = sin(α + β) + sin(α − β)2cosα cosβ = cos(α + β) + cos(α − β)−2sinα sinβ = cos(α + β) − cos(α − β)

Sinus-en cosinusregel in een driehoek

sinα=

b

sinβ=

c

sinγc2 = 2 + b2 − 2b cosγ a

bcα

βγ

Verzamelingenleer

A ∪ B is de verzameling van alle elementen die tot A of tot B behoren.A ∩ B is de verzameling van alle elementen die tot A en tot B behoren.A \ B is de verzameling van alle elementen die tot A maar niet tot B behoren.A ⊂ B als alle elementen van A ook tot B behoren.

Partieelsom meetkundige reeks met reden q �= 1 en eerste term 1.

sn = 1 + q1 + ... + qn−11 =n∑

=1

q−11 =1 − qn

1 − q1


Afstanden en hoeken in het vlak en in de ruimte

(cartesiaans assenstelsel)

Afstand tussen twee punten p1(1, y1) en p2(2, y2) in het vlak: |p1p2| =�

(2 − 1)2 + (y2 − y1)2

Afstand van het punt p(0, y0) tot de rechte L↔ + by + c = 0 in het vlak: d(p, L) =|0 + by0 + c|�

2 + b2

Hoek α tussen twee vectoren �(1, y1) en �(2, y2) in het vlak: cosα =� · �

‖�‖ ‖ �‖=

12 + y1y2�

21 + y21

�

22 + y22Afstand tussen twee punten p1(1, y1, z1) en p2(2, y2, z2) in de ruimte:

|p1p2| =�

(2 − 1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2

Afstand van het punt p(0, y0, z0) tot het vlak γ↔ + by + cz + d = 0 in de ruimte:

d(p, γ) =|0 + by0 + cz0 + d|�

2 + b2 + c2

Hoek α tussen twee vectoren �(1, y1, z1) en �(2, y2, z2) in de ruimte:

cosα =� · �

‖�‖ ‖ �‖=

12 + y1y2 + z1z2�

21 + y21 + z21

�

22 + y22 + z22

Inhoud van enkele objecten

Kegel met hoogte h en cirkelvormig grondvlak met straal r: = πr2h/3.

Piramide met hoogte h en oppervlakte grondvlak G: = Gh/3.

Bol met straal r: = 4πr3/3.

Afgeleiden

ƒ () ƒ ′()

g() ± h() g′() ± h′()

g()h() g′()h() + g()h′()g()

h()

g′()h() − g()h′()

(h())2

q, q ∈ Q qq−1

e e

ln

sin cos

cos − sin

tn sec2

cot −cosec 2

sec tn sec

cosec − cot cosec

ƒ () ƒ ′()

g(h()) g′(h())h′()

g−1()(inverse)1

g′(g−1())

ln1

log1

ln

Bgsin1�

1 − 2(|| < 1)

Bgcos −1�

1 − 2(|| < 1)

Bgtn1

1 + 2

Bgcot −1

1 + 2

Bgsec1

||�

2 − 1, (|| > 1)

Bgcosec −1

||�

2 − 1, (|| > 1)



Primitieven

ƒ ()∫

ƒ ()d

g′() g() + C

1 , �= 0 ln || + C

ln ln − + C

ƒ ()∫

ƒ ()d

1�k2−2

Bgsin k + C

1�k2+2

ln | +�

k2 + 2| + C

12−2 , �= 0 1

2 ln�

�

�

−+

�

�

�+ C

Substitutie:∫

ƒ (g())g′() d =∫

ƒ () dPartiële integratie:

∫

()′() d = ()() −∫

()′() d

Complexe getallen

Een complex getal is een getal van de vorm + b, waarbij en b reële getallen zijn en 2 = −1De goniometrische vorm van een complex getal is r cosθ + r sinθ, waarbij r de modulus van het complexgetal genoemd wordt en θ het argument.Als + b = r cosθ + r sinθ dan geldt

r =�

2 + b2

θ = rctnb

als > 0

=�

rctnb

�

+ π als < 0

= π/2 als = 0 en b > 0

= −π/2 als = 0 en b < 0

ProductHet product van z1 = r1(cosθ1 + sinθ1) en z2 = r2(cosθ2 + sinθ2) is gegeven door

z1z2 = r1r2[cos(θ1 + θ2) + sin(θ1 + θ2)]

InverseDe inverse van een complex getal z = r(cosθ + sinθ) is gegeven door

z−1 =1

r(cos(−θ) + sin(−θ))

De formule van De MoivreVoor alle n ∈ Z geldt

[r(cosθ + sinθ)]n = rn[cos(nθ) + sin(nθ)]

Tweedegraadsvergelijkingen met reële coëfficiënten 2 + b + c = 0, �= 02 + b + c = ( − 1)( − 2) = 2 − (1 + 2) + 12D = b2 − 4cAls D > 0; 1,2 =

−b±�D

2 .

Als D = 0, 1 = 2 =−b2 .

Als D < 0, 1,2 =−b±�−D

2 .

FACULTEIT INGENIEURSWETENSCHAPPEN

Kasteelpark Arenberg 1 bus 22003001 LEUVEN, België

tel. + 32 16 32 13 50fax + 32 16 32 19 82

[email protected]

v.u.

: Rie

t Cal

lens

, Kas

teel

park

Are

nber

g 1,

300

1 Le

uven

burgerlijk ingenieur 2020 › studeren › toekomstige... · deelname aan een ijkingstoets kan...

Documents

Transcript of burgerlijk ingenieur 2020 › studeren › toekomstige... · deelname aan een ijkingstoets kan...