IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 1 juli 2015 ... · IJkingstoets...

IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica1 juli 2015Oplossingen

IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 1 juli 2015 - p. 1/12

Oefening 1Welke studierichting wil je graag volgen? (vraag zonder score, wel invullen aub)

(A) fysica (B) informatica (C) wiskunde

Oplossing:

Oefening 2De vijf punten in de onderstaande druk-volume-grafiek stellen vijf verschillende toestanden voor van eenmol van een ideaal gas. Voor een ideaal gas geldt het volgende verband tussen de druk p, uitgedrukt inPascal, het volume V , uitgedrukt in m3 en de temperatuur T , uitgedrukt in Kelvin : pV = nRT ,waarbij n de hoeveelheid gas in mol voorstelt en R = 8, 31 JK−1mol−1 de gasconstante is.Voor welk van deze toestanden bevindt het gas zich op de hoogste temperatuur?

V

p

V0 2V0 3V0

p0

2p0

3p0A

B

C D E

(A) toestand A

(B) toestand B

(C) toestand C

(D) toestand D

(E) toestand E

Oplossing: B

Oefening 3Beschouw een (2× 2)-matrix

[a bc d

]. Veronderstel dat

[a bc d

] [12

]=

[12

]en[

a bc d

] [21

]=

[−2−1

]. Bereken

[a bc d

] [66

].

(A)

[66

](B)

[−6−6

](C)

[00

](D)

[2−2

](E)

[−22

]Oplossing: E

Oefening 4Gegeven f : R+

0 → R : x 7→ f(x) = cos (e1−√x).

Bepaal f ′(x).

(A) f ′(x) = − sin (e1−√x)

(B) f ′(x) = − sin (e1−√x)e1−

√x

(C) f ′(x) = sin (e1−√x)e1−

√x√x

(D) f ′(x) =sin (e1−

√x)e1−

√x

2√x

(E) f ′(x) = sin

(e1−√x

2√x

)

Oplossing: D


Oefening 5Gegeven de punten P (2, 0, 0), Q(0,−3, 0) en R(0, 0, 6) in de driedimensionale ruimte met een cartesiaansassenstelsel xyz. Het vlak v is het vlak door de punten P , Q en R.Welk van de volgende punten ligt in het vlak v?

(A) A(1, 1, 1) (B) B(1, 1, 2) (C) C(1, 1, 3) (D) D(1, 1, 4) (E) E(1, 1, 5)

Oplossing: E

Oefening 6

In de figuur hiernaast zie je 3 projecties op 3 onderlingloodrechte vlakken van eenzelfde object opgebouwd uitmeerdere identieke kubussen. In de onderstaande figurenzie je 5 objecten getekend in 3 dimensies. Slechts eenvan deze 5 objecten kan mits een passende rotatie metalle drie bovenstaande projecties tegelijk overeenkomen.Geef aan welk.

(A) (C) (E)

(B) (D)

Oplossing: E


Oefening 7Hoeveel verschillende reele nulpunten heeft de functie f : R→ R : x 7→ f(x) = (x3 − 1) ln(x2 + 1) ?

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5

Oplossing: B

Oefening 8Veronderstel dat x en y complexe getallen zijn die voldoen aan het stelsel{

(−1− i)x− 2y = 4

x+ (2− i)y = i,

waarbij i2 = −1.Bepaal x+ y.

(A) x+ y = −1 + 4i

(B) x+ y = −1 + 2i

(C) x+ y = −1

(D) x+ y = 1

(E) x+ y kan oneindig veel waarden aannemen.

Oplossing: A

Oefening 9De veeltermen f(x) en g(x) zijn veeltermen met reele coefficienten. De veelterm f(x) heeft bij deling doorx2 + 1 rest x + 1 en de veelterm g(x) heeft bij deling door x2 + 1 rest x − 1. Welke rest heeft de veeltermf(x) · g(x) bij deling door x2 + 1?

(A) −2 (B) −1 (C) 0 (D) x− 1 (E) x+ 1

Oplossing: A


Oefening 10Gegeven de driedimensionale ruimte met een cartesiaans assenstelsel xyz met daarin het vlak v met verge-lijking x+ y + z = 1 en het vlak w met vergelijking x = 0. De rechte l is de doorsnede van de vlakken v enw. De rechte m is de rechte door de oorsprong, evenwijdig met de rechte l.Welk van de volgende punten ligt op deze rechte m?

(A) A(1, 1, 1) (B) B(0, 1, 1) (C) C(0, 1, 0) (D) D(0,−1, 0) (E) E(0, 1,−1)

Oplossing: E

Oefening 11

In de figuur hiernaast zie je een grijs object en een zwartkader. Beeld je in dat het object gesneden wordt door hetvlak waarin het kader zich bevindt. Slechts een van defiguren hieronder kan het resultaat zijn van deze snede.Geef aan welke.

(A) (C) (E)

(B) (D)

Oplossing: B


Oefening 12Gegeven een vlak met een cartesiaans assenstelsel met daarin een cirkel door de drie punten P (0, 0), Q(0, 2)en S(4, 6). Welk van onderstaande antwoorden geeft de straal r van de cirkel?

(A) r =√

23 (B) r = 2√

6 (C) r = 5 (D) r =√

26 (E) r = 3√

3

Oplossing: D

Oefening 13Beschouw een balk met lengte L. Deze is links ingeklemd en wordt rechts ondersteund. We beschrijven dedoorbuiging van de balk met een functie u : [0, L] → R. De fysische betekenis van de functiewaarde u(x)is de verticale verplaatsing van het punt op de middellijn van de balk met horizontale coordinaat x. Defysische beperkingen ten gevolge van de inklemming in x = 0 en de ondersteuning in x = L vertalen zich invijf wiskundige voorwaarden:

• het linkeruiteinde verplaatst niet: u(0) = 0,

• de helling in het linkeruiteinde is gelijk aan nul: u′(0) = 0,

• het rechteruiteinde verplaatst niet: u(L) = 0,

• de helling in het rechteruiteinde is niet gelijk aan nul: u′(L) 6= 0,

• de kromming in het rechteruiteinde is niet gelijk aan nul: u′′(L) 6= 0.

x = 0x = L

x

u(x) x

Welk van onderstaande functievoorschriften voldoet aan de fysische beperkingen van de balk? α is hierbijeen vast reeel getal verschillend van 0.

(A) u(x) = αx

L

(1− x

L

)(B) u(x) = α

(xL

)2 (1− x

L

)(C) u(x) = α

(xL

)2 (1− x

L

)2(D) u(x) = α

[3(xL

)2− 5

(xL

)3+ 2

(xL

)4](E) u(x) = α

(sin

πx

L

)2Oplossing: B

Oefening 14Wat is het product van de oplossingen van de vergelijking 5x

2−3x−12 = 0, 04 ?

(A) −14 (B) −12 (C) −10 (D) 10 (E) 12

Oplossing: C


Oefening 15De getallen α en β zijn reele getallen, i2 = −1. Als z1 = 1− 2i een nulpunt is van de complexe veeltermz2 − (α+ i)z + (7 + iβ), wat is dan het tweede nulpunt z2?

(A) z2 = 1 + 2i

(B) z2 = 1 + i

(C) z2 = 3

(D) z2 = 1 + 3i

(E) z2 = 1− 3i

Oplossing: D

Oefening 16

Van een kubus kan je een aantal ribben doorsnijden endan het oppervlak openplooien tot een aaneengeslotenvlakke figuur. De figuur hiernaast is daar een voorbeeldvan, de buitenzijde van de kubus wordt zo in een figuurzichtbaar. Slechts een van de kubussen die hieronder zijnafgebeeld kan NIET leiden tot deze vlakke figuur. Geefaan welke.

(A) (C) (E)

(B) (D)

Oplossing: D


Oefening 17Een transportband, zoals geschetst in onderstaande figuur, wordt gebruikt om erts te transporteren. Delengte L van de transportband is 5 m en de breedte B is 0,5 m. De wielen van de transportband hebben eenstraal r = 0, 5m. Aan welke snelheid moeten de wielen van de transportband draaien om een gewenst debietvan 10 kg/s af te leveren, als je weet dat er per vierkante meter van de transportband 20kg erts geladenwordt?

L = 5 m

B = 0, 5 m

r = 0, 5 m

(A) 1π toeren per seconde.

(B) 5π toeren per seconde.

(C) 15π toeren per seconde.

(D) 2π toeren per seconde.

(E) 12π toeren per seconde.

Oplossing: A

Oefening 18Precies een van de volgende uitspraken is waar. Welke?Een vergelijking in x van de vorm a|x| = bx+ c met a, b, c reele parameters

(A) heeft voor alle waarden voor a, b en c precies een reele oplossing.

(B) heeft voor alle waarden voor a, b en c precies twee reele oplossingen.

(C) heeft voor alle waarden voor a, b en c een of twee reele oplossingen.

(D) heeft niet voor alle waarden voor a, b en c een reele oplossing.

(E) heeft voor geen enkele waarde voor a, b en c precies een reele oplossing.

Oplossing: D

Oefening 19Bij een auto-ongeval met vluchtmisdrijf, herinnert een getuige zich dat de nummerplaat van de gevluchteauto bestaat uit 3 verschillende letters (allen verschillend van de letter O), gevolgd door 3 cijfers waarvaner juist 2 gelijk zijn (cijfers 0 tot en met 9 zijn mogelijk). Hoeveel mogelijkheden zijn er?

(A) 23 × 35 × 52 × 23

(B) 24 × 34 × 53 × 23

(C) 25 × 34 × 53 × 23

(D) 24 × 33 × 53 × 23

(E) 22 × 58

Oplossing: B


Oefening 20Een tank wordt gevuld met 100 g zout. Er wordt via een eerste toevoerkraan zuiver water toegevoegd.Deze toevoerkraan wordt dichtgedraaid als het volume van de zoutoplossing 50 l bedraagt. Daarna wordteen tweede toevoerkraan opengedraaid en start de klok. Dit moment komt overeen met tijdstip t = 0 min.Er stroomt dan gedurende 10 minuten een oplossing met een zoutconcentratie van 10 g/l met een constantdebiet van 10 l/min in de tank. Er wordt voortdurend geroerd, zodat de concentratie in de tank op elkmoment homogeen is. Welke van onderstaande grafieken toont het verband tussen de zoutconcentratie c inde tank en de tijd t?

t[min]0 10

5

10c[g/l] (A)

t[min]0 10

10

20c[g/l] (B)

t[min]0 10

2

4

6

8c[g/l] (C)

t[min]0 10

10

20c[g/l] (D)

t[min]0 10

2

4

6

8c[g/l] (E)

Oplossing: E


Oefening 21Rangschik volgende reele getallen van klein naar groot:

a =

∫ 1

0e−(x−1)

2dx

b =

∫ 1

0e−x

2dx

c =

∫ 1

0e−(x+1)2 dx

(A) a < b < c

(B) a = b < c

(C) c < b < a

(D) c < b = a

(E) a = b = c

Oplossing: D

Oefening 22Gegeven de functie

f : R→ R : x 7→ f (x) =

∫ x+2π

0

2t

1 + sin2tdt .

Bepaal de waarde van f ′ in π2 .

(A) 0 (B)π

2(C)

5π

2(D) 5π (E) 2

Oplossing: C


De samengestelde oefeningen bestaan telkens uit 3 deelvragen.

Samengestelde oefening 1Beschouw de gelijkbenige driehoek ABC met tophoek in C. De basis AB van deze driehoek heeft lengte 2Len de hoogte van deze driehoek is L. De rechthoek DEGF is ingesloten in deze driehoek, met de zijde DEop de zijde AB, het hoekpunt F op de zijde AC en het hoekpunt G op de zijde BC. De rechthoek heefteen breedte b en een hoogte h. Door de punten F en G gaat een parabool met top in M , het midden vanhet lijnstuk AB. Het gebied S is het gebied boven de parabool dat in de rechthoek DEGF ligt.

MD E

F G

A B

C

b

2L

h

L

Vraag 23Bereken de oppervlakte van het gebied S als functie van b en h.

(A) 2hb/3 (B) 3hb/4 (C) 5hb/6 (D)√

2hb/2 (E)√

3hb/2

Oplossing: A

Vraag 24Bepaal de hoogte h zodat de oppervlakte van het gebied S maximaal is.

(A) h = L/4 (B) h = L/3 (C) h = L/2 (D) h =√

2L/2 (E) h =√

3L/2

Oplossing: C

Vraag 25Bepaal deze maximale oppervlakte.(A) L2/3 (B) 2L2/5 (C) 3L2/8 (D) 4L2/9 (E) 5L2/12

Oplossing: A


Samengestelde oefening 2Een gelijkbenige driehoek met tophoek 2α is ingeschreven in een cirkel met straal 1 (zie onderstaande figuur).Door α te laten varieren in de tijd, varieert ook de omtrek L van deze driehoek.Tussen t = 0s en t = 9s is de toename van de hoek α per tijdseenheid constant. Verder weten we dat opt = 0s de hoek α = π/12 en dat op t = 9s de hoek α = π/3.

1

2α

Vraag 26Bepaal de hoek α op t = 6s.(A) α = π/10 (B) α = π/9 (C) α = π/8 (D) α = π/6 (E) α = π/4

Oplossing: E

Vraag 27Bepaal de omtrek L op t = 6s.

(A) 3√

3 (B) 32

√3 (C) 3

√2 (D) 2 + 2

√2 (E)

√3 + 2

Oplossing: D

Vraag 28Bepaal de afname van de omtrek per tijdseenheid op t = 6s.

(A) 2√

2 per seconde

(B) 3√

2 per seconde

(C)π

36per seconde

(D)

√2π

18per seconde

(E)

√3π

18per seconde

Oplossing: D


Samengestelde oefening 3Een mast met een rechthoekig uithangbord is verbonden met de muur van een gemeentehuis. Onderstaandefiguur toont een principeschets in zijaanzicht - de hoeken en de afmetingen zijn dus niet op schaal getekend.De y-as van het cartesiaans assenstelsel xy stelt de muur van het gemeentehuis voor. In het punt A is demast met een horizontale verbindingsstaaf vastgemaakt aan de muur van het gemeentehuis. De lengte vande verbindingsstaaf bedraagt 2

√3m en het punt A bevindt zich 2 m hoger dan het punt O. De totale lengte

van de mast OB bedraagt 8,5 m. Het uithangbord is loodrecht op het uiteinde van de mast verbonden enheeft zijden van 2 m en 1 m. Exact in het midden van het uithangbord staat een zwarte stip M .

y

x

2 m

2√

3 m

2 m

1 mHM

O

A

B

M

Vraag 29Welk van de onderstaande antwoorden is de beste benadering voor de hoogte HM van de stip M?

(A) 3,1 m (B) 3,5 m (C) 4,0 m (D) 6,4 m (E) 7,5 m

Oplossing: A

Vraag 30Welk van onderstaande vectoren is evenwijdig met de rechte BM?

(A)−−→OP (−1,−5− 8

√3)

(B)−−→OQ(−1,−2−

√3)

(C)−−→OR(1,−

√5)

(D)−→OS(1,−8− 5

√3)

(E)−→OT (1,−5− 8

√3)

Oplossing: D

Vraag 31Wat is het scalair product (inproduct) van de vector

−−→OB met de vector

−−→BM?

(A) 4,25 m2 (B) -4,25 m2 (C) 2,125√

5 m2 (D) -2,125√

5 m2 (E) 0

Oplossing: B

IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 1 juli 2015 ... · IJkingstoets...

Documents

Transcript of IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 1 juli 2015 ... · IJkingstoets...