ATLAS3D-schets

Één van de acht stroomlussen

waar het in deze opgave om gaat

z

r

3D-aanzicht

5 mI=3.000.000 A

(a) zij-aanzicht (b) voor-aanzicht (z=0)

5m

10m

I papier in

I papier uit25 m

5 m e

MAGNETOSTATICA HUISWERK OPGAVE (DEEL I)

Inleveren uiterlijk 21 mei (op papier; geen email)

Het ATLAS experiment maakt gebruik van magneetvelden om de impuls van

geladen deeltjes te kunnen bepalen. De figuur hieronder geeft schematisch de

acht elektrische stroomkringen aan die tezamen het magneetveld in een bepaald

deel van de ATLAS detector bepalen. In elk van de acht stroomlussen loopt een

stroom van I=3.000.000 A. De dimensies zijn zoals aangegeven in de figuur.

Voor de berekeningen kunnen alle rand effecten verwaarloosd worden.

3a Schets het B-veld behorend bij deze stroom configuratie in figuur (b).

Rechterhandregel: je duim wijst in de richting van het veld, je andere vingers in de richting van de stroom. Het veld wijst dus tegen de wijzers van de klok in.

3b Voor de berekening van het B-veld gebruik je de wet van Ampère, waarbij je aanneemt dat het B-veld cilinder-symmetrisch is (d.w.z. In rz coördinaten hangt B alleen af van r; zie figuur). Pas deze toe op de drie lussen gegeven in de figuur (b) om te laten zien dat voor de grootte en r-afhankelijkheid van het B-veld geldt (alles in vacuüm):

3c Bereken de totale energie opgeslagen in het B-veld (zie figuur (a) voor de afmetingen van de magneet).

De energie van het B-veld is: We hoeven alleen te kijken naar het gebied 0<z<25, 5<r<10, 0<φ<2π, want alleen daar is het B-veld niet nul en is er dus een bijdrage aan de integraal. Met behulp van de vorige opgave vinden we

0

5 m 0

85 m 10 m

2

10 m 0

r B r

Ir B r

r

r B r

De wet van Ampere luidt: . Je moet integreren langs de lus, en I is de stroom die door de lus ‘prikt’. Voor de lussen in de figuur staat in de f-richting: . Verder staat B ook overal in de φ-richting, dus het inproduct in de integraal is altijd hetzelfde: . We hoeven nu alleen nog φ te integreren van 0 tot 2π , dus we krijgen: .

Als je nu naar de binnenste en de buitenste lussen kijkt dan zie je dat de totale stroom die daar doorheen prikt, nul is. Dus , dus B=0 (want r is niet 0).

Door de middelste lus prikt wel een netto stroom, namelijk 8I. We krijgen dus , dus

0B dl I

dl

ˆ ˆdl dl rd

| ( ) |B dl B r rd

0| ( ) | 2B r r I

| ( ) | 2 0B r r

0| ( ) | 2 8B r r I 0| ( ) | 8 / 2B r I r

2

0

1

2 ruimte

U B dV

2 2

2 02 2

16IB

r

3d Onderzoek deze bewering door de totale kracht op één stroomlus te bepalen. Bereken daarvoor eerst afzonderlijk de krachten op iedere zijde p, q , r en s (zie schets hierboven). Hoeft de ontwerp afdeling zich alleen zorgen te maken over de totale kracht?

De richting van de Lorentz-kracht vind je bijvoorbeeld met de linkerhandregel. Je vindt dan dat de kracht op q naar boven gericht is, op r naar rechts, op s naar beneden en op p naar links. Voor de grootte van de kracht gebruik je . Nu is r constant bij de stukken q en s, dus je vindt heel eenvoudig

De ontwerp afdeling van ATLAS vraagt zich af hoe sterk de ophanging van de stroomlussen moet zijn. Een beginnend ingenieur beweert dat de krachten elkaar wel zullen opheffen en alleen met de zwaartekracht rekening gehouden hoeft te worden.

I=3.000.000 A r

s

p

q

Nu invullen in de integraal:

25 2 10 102 2 2 20 0 0 0

2 2 20 0 5 5

8 8 400 4001 125 2 (ln10 ln 5) ln 2

I I I IU rdrd dz dr

r r

l

F I dl B

0 025 , 252 10 2 5q s

I IF I F I

3e Een elektron (e) vliegt vanuit het midden van de detector loodrecht omhoog. Geef in figuur (a) en (b) aan hoe de elektron baan er uit zal zien.

Voor de stukken p en r moet je integreren:

De krachten op p en r heffen elkaar wel op, maar ze hebben wel de neiging om de lus te vervormen. Verder zien we dat de krachten op q en s elkaar niet opheffen (zijn niet even groot), er is dus ook een totale kracht op de lus.

10 2 20 0 0

5

8 8 8| | | | (ln10 ln 5) ln 2

2 2 2p r

I I IF F I dr

r

e

I=3.000.000 A

In het rechter plaatje gaat het elektron het papier in.

b) voor-aanzicht (z=0)

Grafisch antwoordenbladNaam:Col. Krt. Nr.:

e

I=3.000.000 A

a) zij-aanzicht

Opgave 3a en 3e: