Newton vwo deel 1a Uitwerkingen Hoofdstuk 1 – Onderzoeken

1 Onderzoeken1.1 Inleiding

2 Meetinstrumenten

Grootheid meetinstrument Eenheidspanning voltmeter volt (V)stroomsterkte ampèremeter ampère (A)weerstand weerstandsmeter omega ()lengte liniaal - rolmaat meter (m)temperatuur thermometer °Celsius (°C) of Kelvin (K)massa balans kilogram (kg)tijd klok, stopwatch seconde (s)snelheid snelheidsmeter meter per seconde (m/s)kracht veerbalans newton (N)druk manometer / barometer pascal (Pa = N/m2)oppervlakte liniaal - rolmaat vierkante meter (m2)volume maatglas kubieke meter (m³); liter (dm³)

3 Formules

Grootheid Formule Eenheid

snelheid m/s (km/h)

oppervlakte van een cirkel A = r² m² (cm²)

volume (inhoud) van een bol m³ (cm³)

dichtheid van een stof kg/m³ (g/cm³)

frequentie van een trilling Hz

vermogen (elektrisch) P = U I W (= J/s)energieverbruik (elektrisch) E = P t = U I t J (kWh)

4 Meetmethode

A De lengte bepaal je door te meten hoeveel keer de lat van 1 meter geheel past en te schatten welk deel van de meter er op het laatst nog overblijft.

B Om het volume te bepalen doe je eerst water in een maatglas en je leest het volume af. Vervolgens doe je de steen erbij (voorzichtig) en lees je voor de tweede keer het volume af. De toename van het volume is dan het volume van de steen.

C De slingertijd meet je door bijvoorbeeld de tijdduur van 10 slingeringen meten. De gemeten tijdsduur deel je vervolgens door het gemeten aantal slingeringen.

D De remweg bepaal je door het aantal hele tegels te tellen en van de laatste tegel te schatten welk deel er nog bij geteld moet worden. Dit totale aantal vermenigvuldig je vervolgens met 30 cm om de remweg in cm te krijgen.

5 Centrale vraag

a en bEerst heb je de onderzoeksvraag. Daarna probeer je een geschikt experiment te bedenken waarmee je antwoord zou kunnen krijgen op je onderzoeksvraag.Vervolgens voer je het experiment uit en verwerk je de meetgegevens. Dan probeer je conclusies te trekken. De conclusie geeft daarbij een antwoord op de gestelde onderzoeksvraag.

13

Newton vwo deel 1a Uitwerkingen Hoofdstuk 1 – Onderzoeken

1.2 Soorten Onderzoek Oriënteren

6 Experimenteel onderzoek, literatuuronderzoek en ontwerpen.

1 Bevestigen of verwerpen van een theorie. 3 Effect optimaliseren.2 Theorie bijstellen. 4 Eigenschappen vaststellen.

5 Materialen zoeken.

Verwerken 7 Voorbeeld bij A

Experiment: we laten een stuiterbal van een bepaalde hoogte (m.b.v. meetlint) los en meten vervolgens het aantal keren dat de bal stuitert in 10 seconden (stopwatch).Onderzoeksvraag: Hoe verandert het aantal keren dat een bal stuitert in 10 seconden als je de hoogte varieert waarop je de bal loslaat.Hypothese: Het aantal keren stuiteren in 10 seconden neemt af naarmate de hoogte toeneemt.

Bespreek samen met één van je klasgenoten de door jullie uitgewerkte experimenten. Ga bij elkaar na of het volgens jullie ook klopt.

8 a Hypothese: De trekkracht Ft neemt evenredig met het kwadraat van de dikte d toe.

b Je moet de trekkracht Ft en de dikte d meten. Hierbij kun je de dikte van te voren kiezen. De dikte meet je met een lineaal of (nauwkeuriger) met een schuifmaat.

De trekkracht meet je met een veerunster. Tijdens het experiment gebruik je alleen de veerunster. De lineaal (of schuifmaat) gebruik je vooraf. Je zorgt natuurlijk steeds voor dezelfde beginlengte. En tijdens het experiment mogen bijvoorbeeld

de temperatuur en de vochtigheid niet veranderen. Dit meet je met een thermometer en met een vochtigheidsmeter.

De maatregelen zijn bijvoorbeeld dat je bescherming voor je ogen draagt, en dat je niet te dicht in de buurt bent met je handen en je hoofd op het moment dat het touw breekt.

c Voorbeelden: Hoe ver rekken de touwen bij verschillende diktes uit tot het moment van breken?Wat is de invloed van de temperatuur op de treksterkte?Enz. Vergelijk je antwoord met één van je klasgenoten.

1.3 Meetresultaten Verwerken 12 Stel dat je een meting verricht waarbij de afhankelijke grootheid Y

wordt gemeten als functie van de onafhankelijke grootheid X.Je geeft de meetresultaten dan duidelijk weer in een diagram (zie figuur).

Interpoleren: vervolgens trek je tussen de meetpunten een vloeiende lijn. Je gaat ervan uit dat de lijn een vloeiend verloop heeft waardoor je vrij nauwkeurig kunt voorspellen hoe grootheid Y tussen de gemeten waarden van de grootheid X afhangt.

Extrapoleren: ook voorafgaand aan het eerste meetpunt en voorbij het laatste meetpunt kun je de lijn logisch doortrekken d.w.z. je probeert zo goed mogelijk het vloeiende verloop te handhaven. Dit is altijd minder nauwkeurig dan interpoleren.

13 a Hoogstwaarschijnlijk is hier het volume V de onafhankelijke grootheid, omdat je meestal een bepaald volume neemt waarvan je de massa bepaalt. Bij vaste stoffen hebben de te meten blokjes meestal al een bepaald volume.

b De grafiek is een rechte lijn door de oorsprong. Dit moet ook wel want als het volume V = 0 cm³ dan moet de massa ook 0 zijn!

c Dichtheid . Uit het diagram blijkt bijvoorbeeld dat bij V =10 cm³

de massa m = ca. 78 gram: = 7,8 g/cm³ = 7,8 g/cm³

Je gebruikt hier niet een meetpunt omdat meetpunten

14

Newton vwo deel 1a Uitwerkingen Hoofdstuk 1 – Onderzoeken

over het algemeen onnauwkeurigheden (meetonzekerheden) bevatten.14 a De tabel moet eerst aangevuld worden met een

kolom voor het temperatuurverschil T = Tu - Ti :md (g) Tu (oC) T (oC)

3,0 71 604,5 51 406,0 41 307,5 35 249,0 31 20

b Bij 5,0 kg/min is T = 39 °C.Bij 12 kg/min is T = 18 °C.

c Om de temperatuurstijging bij 12 kg/min te bepalenmoet je de grafiek extrapoleren. Dit is altijd onnauwkeurigerdan interpoleren omdat je minder goed kunt voorspellen hoe de grafiek zal verlopen voorbij de gemeten waarden.

15 a b Conclusie: de verschillen vallen nu meer op.

16 a De punten liggen niet precies op één lijn.Toch kun je hier een rechte lijn tekenendie zo goed mogelijk tussen alle punten door gaat.

b Je kunt deze met behulp van de grafiek bepalen (interpoleren):T = 50 °C h = 6,6 cm

c h = 8,0 cm T = 70 °C .

d Dit is een vorm van extrapoleren:teken de lijn links en rechts door.Het snijpunt, waarbij de hoogte h = 0 cm,ligt op de negatieve T-as ligt bij - 47 °C en bij 10 cm is de T = 100 °C.Dus de Tmin = - 47 °C en Tmax = 100 °C

17 a De remkracht en de massa.

b Naarmate je meer metingen doet, kun jeeen nauwkeuriger gemiddelde bepalen.Je krijgt zo een meer nauwkeurige eindwaarde.

c De waarden van de 3 meetseries worden bij elkesnelheid eerst gemiddeld. Bijvoorbeeld: de gemiddelde remweg

bij vb = 10 m/s.

Bij de andere snelheden levert dit resp. 3,0 m, 5,1 m en 8,1 m op.Zie verder diagram hiernaast.

N.B. Bedenk dat bij een vb = 0 de remweg srem = 0 m.De grafiek heeft een zogenaamde parabolischevorm en zou dus wel eens een echte parabool kunnen zijn. Dit moet nog wel nader gecontroleerd worden.

15

Newton vwo deel 1a Uitwerkingen Hoofdstuk 1 – Onderzoeken

18 a Zie de figuur hiernaast.N.B. De verticale as heeft een indeling waarbijrekening gehouden is met vraag b!

b Om een schatting te geven moet je de grafieklijn extrapoleren. Omdat je ditnogal ver moet doen en de lijn enigszins gebogenverloopt is dit niet zo heel erg nauwkeurig.Schatting: bij r = 25 cm ca. I = 75 à 85 W/m² .

19 a Zie de figuur hiernaast.

b Als je een heel korte slinger neemt, krijg je een heel kleine slingertijd:je kunt aannemen dat T = 0 s als ℓ = 0 cm.De lijn moet dan door de oorsprong van degrafiek gaan.Als je zoveel mogelijk tussen de meetpunten dooreen rechte lijn zou tekenen, dan gaat deze nooitdoor de oorsprong van de grafiek.Om door het punt (T = 0 s en ℓ = 0 cm) te gaanmoet de lijn dus naar beneden worden afgebogen.

c Voorbeeld berekening:

Afgerond: T = 0,90 s

ℓ (cm) T (s)(berekend)

T (s) (gemeten)

20 0,90 0,9030 1,10 1,1140 1,27 1,2450 1,42 1,4360 1,55 1,5670 1,68 1,65

20 Het verschil in de drie metingen zit in de nauwkeurigheid waarmee gewerkt is: I = 6,00 A geeft 3 significante cijfers terwijl I = 6 A slechts één significant cijfer te zien geeft. In het eerste geval is er mogelijk gewerkt met een meetinstrument met een kleiner meetbereik.

21 Meetmethode B geeft de kleinste meetonzekerheid omdat een uiterste stand van een slinger veel gemakkelijker waar te nemen is dan de evenwichtsstand. Doordat je vrij nauwkeurig kunt zien wanneer de slinger van de heengaande beweging over gaat in de teruggaande beweging,kun je nauwkeuriger de stopwatch op tijd indrukken.

22 A: 2 B: 4 C: 2 D: 3 E: 3

23 A : ℓ = 9,3 m. Met een lat van 1 m zonder verdere schaalverdeling kun je waarschijnlijk wel de decimeters schatten, maar niet de centimeters.

B : ℓ = 9,30 m. Als de lat een centimeterverdeling kent, dan kun je de afstand op de centimeter nauwkeurig weergeven. Misschien is het iets meer of iets minder maar op de millimeter nauwkeurig schatten is dan waarschijnlijk niet mogelijk.

C : ℓ = 9 m. Het is een beetje de vraag hoe goed je oog getraind is. Als je een timmerman bent of een landmeter dan mag je aannemen dat je wel op de meter (of halve meter) nauwkeurig kunt schatten.

D : ℓ = 9 m. Bij het nemen van een aantal passen van ongeveer 1 m zal het al snel onmogelijk zijn om op de decimeter nauwkeurig te schatten. Zeker als je een aantal stappen neemt die iets meer of iets minder zijn dan die 1 m.

16

Uit de tabel blijkt dat er kleine verschillen op treden die waarschijnlijk te maken hebben met meetonnauwkeurigheden.

Newton vwo deel 1a Uitwerkingen Hoofdstuk 1 – Onderzoeken

24 figuur 11: 234 – 10 = 224 Vfiguur 12: 4,57 ± 0,2 s ≈ 4,6 s

figuur 13: ℓ = = 20,8 cm (tot aan het zwaartepunt van de massa)

figuur 14: 30,1° ± 0,6° ≈ 30°

25 a Afgerond: v = 2,69 m/s

b Afgerond: = 8,2102 kg/m3

c Afgerond: R = 0,010 of R =

1,010-2

d Afgerond: T = 1,4 s

26 Als het meetresultaat bij zowel een analoge als een digitale stroommeter I = 350 mA oplevert, dan is bij de digitale stroommeter de meetonzekerheid het grootst. Voor de analoge meter geldt dan namelijk een meetonzekerheid van ± 0,5 mA terwijl dit bij de digitale stroommeter ± 1 mA is. In het boek staat namelijk aangegeven dat “de waarde van de gemeten grootheid één laatste cijfer groter of kleiner kan zijn dan het display aangeeft".

27 a De eindtijd wordt bepaald in 5 significante cijfers aangezien 1 min 57,30 s = 117,30 s.De 0 op het eind telt ook mee!

b Je kunt op twee manieren een schatting maken- door een diagram te tekenen van de afstand tegen de tijd en dan te interpoleren of- door een berekening uit te voeren.In dit laatste geval moet je dan eerst nagaan in hoeverre hier sprake is van een constante snelheid:

bij de eerste meting.

De tweede meting geeft geeft en de derde meting

.

De eindmeting levert: . Zo te zien de snelheid redelijk constant.

Dan kun je de schatting als volgt maken:

Uit . De tussentijd wordt dan geschat op 39,4 s.

N.B. Je geeft hier hooguit 3 significante cijfers omdat de snelheid slechts constant isbinnen de grenzen van 2 à 3 cijfers nauwkeurig..

1.4 Verbanden Verwerken

33 Recht evenredig verband: formule D. Uit . De evenredigheidsconstante c =

12.

Omgekeerd evenredig verband: formule A en B en C .

Uit . En uit .

Hiermee wordt duidelijk dat formule A, B en C hetzelfde zijn. De evenredigheidsconstante c = 12.

17

Newton vwo deel 1a Uitwerkingen Hoofdstuk 1 – Onderzoeken

34 a Het kwalitatieve verband is duidelijk:het verbruik neemt toe als de snelheid toeneemt.Er is geen kwantitatief verband bekend, dus je weet niet hoe de curve door de punten moet verlopen.Binnen een beperkt gebied (bijvoorbeeld tussen 70 en 100 km/h) is een lineair verband (een rechte lijndoor de punten) een redelijke benadering.Buiten dit gebied is deze benadering zeer twijfelachtig. Er is echter geen alternatief voorhanden, dus we lezen af uit het diagram met de rechte lijn:- bij 50 km/h: V = 7,8 L en- bij 140 km/h: V = 11,4 L.

b Je moet in beide gevallen extrapoleren.Je moet de lijn aflezen buiten het gebiedtussen 70 en 100 km/h.

35 a Het diagram geeft een rechte lijn te zien die door de oorsprong gaat (zie gestippelde lijn hieronder).

b 1e meting:

2e meting:

3e meting:

4e meting:

5e meting:

c Deze constante stelt de dichtheid voor, want .

d Zie het diagram hiernaast: de getrokken lijn.

36 a De grafieklijn laat zien dat de temperatuurstijging T afneemt naarmate de hoeveelheid water md toeneemt.

b In dit geval moet je bij de metingen nagaan of T md = constant.1e meting: 60 3,0 = 180 °Ckg/min.2e meting: 40 4,5 = 180 °Ckg/min.3e meting: 30 6,0 = 180 °Ckg/min.4e meting: 24 7,5 = 180 °Ckg/min.5e meting: 20 9,0 = 180 °Ckg/min.

Conclusie: De waarden stemmen zeer goed met elkaar overeen. Het verband tussen de temperatuurstijging T en de hoeveelheid water md is dus een omgekeerd evenredig verband.

18

Newton vwo deel 1a Uitwerkingen Hoofdstuk 1 – Onderzoeken

37 a Het gemakkelijkste is om eerst een grafiek te maken van de spanning U tegen de kracht F(Zie de figuur hiernaast).Uit de grafiek is te concluderen dat hier sprake is van een recht evenredig verband tussen de spanning U en de kracht F want de grafieklijn is een schuine rechte lijn die door de oorsprong gaat.

b Voor een recht evenredig verband geldt

in het algemeen:

De waarde van de evenredigheidsconstante c is af te leiden uit de helling van de lijn, bijvoorbeeld:

De formule is dus te schrijven als . Hierbij is U in V en F in

N.

38 a Kwalitatief gezien geldt dat de remweg srem kleiner is naarmate de remkracht Frem groter is.

b De massa m van de auto én de beginsnelheid vb zijn constant gehouden. Als je bijvoorbeeld de massa van de auto groter maakt en/of de beginsnelheid dan krijg je bij dezelfde remkracht een grotere remweg. Als je deze grootheden dus tijdens het experiment varieert, kun je nooit het verband tussen de remkracht en de remweg nauwkeurig onderzoeken.

c Een omgekeerd evenredig verband zou in dit geval te schrijven zijn als srem Frem = c.Voor de verschillende meetpunten zou de waarde van c steeds dezelfde moeten zijn.1e meting: 62,5 4,0103 = 250,0103 N·m. 2e meting: 41,7 6,0103 = 250,2103 N·m.3e meting: 31,3 8,0103 = 250,4103 N·m. 4e meting: 25,0 10,0103 = 250,0103 N·m.5e meting: 20,8 12,0103 = 249,6103 N·m.

Conclusie: De waarden stemmen heel goed met elkaar overeen. De kleine afwijkingen zijn niet significant.Het is een omgekeerd evenredig verband.

d Maak eerst een tabel met de coördinatentransformatie .

srem (m) Frem (kN) (kN)-1

62,5 4,0 0,25041,7 6,0 0,16731,3 8,0 0,12525,0 10,0 0,10020,8 12,0 0,083

Het diagram laat duidelijk een rechte lijn zien die door de oorsprong gaat. Conclusie: het oorspronkelijke verband is omgekeerd evenredig.

e In formulevorm luidt het verband:

.

Hierbij is srem in m en Frem in N.

39 Kwadratisch evenredig verband: formule D.

Uit . De evenredigheidsconstante c = 24.

Omgekeerd kwadratisch evenredig verband: formule A en B en C. Bij formule A is dat direkt in te zien.

Bij B: . En bij C: .

Hiermee is duidelijk dat formule A en B hetzelfde zijn met als evenredigheidsconstante c = 24.

19

Newton vwo deel 1a Uitwerkingen Hoofdstuk 1 – Onderzoeken

Formule C is wel omgekeerd kwadratisch evenredig maar heeft als evenredigheidsconstante c = .

40 a Zie de figuur hiernaast.

b De grafiek is een stijgende kromme lijn:het zou dus een kwadratisch evenredig verband kunnen zijn.

c Controle: bij een kwadratisch evenredig verband

geldt: .

Het eerste meetpunt levert op: .

De andere meetwaarden leveren voor c de volgende waarden

op: .

Als je bedenkt dat je volgens de vuistregel op 2 cijfers moet afronden, dan zie je dat er een vrijwel constante waarde (van 5,7) te voorschijn komt.

Conclusie: de valafstand s is kwadratisch evenredig met de tijd t .

d Maak in de tabel eerst een kolom aan met de coördinatentransformatie .

t (s) t2 (s2) s (m)0,00 0,000 0,0000,10 0,010 0,0600,20 0,040 0,2300,30 0,090 0,5150,40 0,160 0,9100,50 0,250 1,425

Het (s,t2)-diagram laat duidelijk een rechte lijn zien die door de oorsprong gaat. Dit bevestigt de conclusie die bij vraag c getrokken is.

e In verband met de formule kun je

de evenredigheidsconstante c ook bepalen door middel van de helling van de lijn in het (s,t2)-diagram:

Dus de formule luidt: s = 5,7 t2 .

41 a De grafiek is een dalende lijn die in het begin zeer sterk daalt.Een omgekeerd kwadratisch evenredig verband daalt in het begin sterker dan een omgekeerd evenredig verband.

b Controle: als het een omgekeerd kwadratisch evenredig

verband is, geldt: .

Het eerste meetpunt levert op: 31,8 0,502 = 7,950 .De volgende meetwaarden leveren op: 12,4 0,802 = 7,936 ; 6,6 1,102 = 7,986 en 4,1 1,402 = 8,036. Als je bedenkt dat je volgens de vuistregel op 2 cijfers moet afronden, zie je dat er een vrijwel constante waarde (van 8,0) te voorschijn komt.

Conclusie: de intensiteit I is omgekeerd kwadratisch evenredig met de straal r .

20

Newton vwo deel 1a Uitwerkingen Hoofdstuk 1 – Onderzoeken

Vervolg op volgende bladzijde.

21

Newton vwo deel 1a Uitwerkingen Hoofdstuk 1 – Onderzoeken

Vervolg van opgave 41.

c Maak in de tabel eerst een kolom aan met

de coördinatentransformatie .

r (m) (m-2) I (W/m2)

0,50 4,00 31,80,80 1,56 12,41,10 0,83 6,61,40 0,51 4,1

Het (I,r -2)-diagram laat een rechte lijn zien die door de oorsprong gaat. Dit bevestigt de conclusie die bij vraag b getrokken is.

d De evenredigheidsconstante c in de formule kun je bepalen

door middel van de helling van de lijn in het (I,r -2) -diagram:

Dus de formule luidt: of I = 7,9 r - 2 .

42 a Als het een recht evenredig verband is

dan zou moeten gelden dat .

Reken je dit voor een aantal punten uit dan krijg je

bij het eerste meetpunt: .

De andere meetwaarden leveren achtereenvolgens de volgende waarden: 0,20; 0,17; 0,15; 0,13; 0,12; 0,11 en 0,10.

Conclusie: hier is duidelijk geen sprake van een constante waarde en dus is het verband niet recht evenredig.

b Er is wel sprake van een rechte lijn, alleen deze gaat niet door de oorsprong.Het is daarmee wel een lineair verband.

c Een lineair verband kun je algemeen schrijven als y = c x + a of in dit geval h = c T + a .De constante a is te bepalen door na te gaan waar het het snijpunt met de verticale as zich bevindt: a = 3,2 cm; c is te bepalen uit de helling van de lijn (richtingscoëfficiënt):

. Dus de volledige formule luidt: h = 0,068 T + 3,2.

43 Bij een wortel verband zou moeten gelden dat

Bij het eerste meetpunt levert dit op: .

De andere meetpunten leveren voor de constante c

de volgende waarden op: ; ;

; en .

Als je bedenkt dat je volgens de vuistregel op 2 cijfers moet afronden, dan zie je dat er een constante waarde (van 0,20) te voorschijn komt.

Conclusie: de slingertijd T is evenredig met de wortel uit de lengte ℓ.

Controleren 59 a Fw,t = Fw,r + Fw,l Bij v = 18 km/h = 5,0 m/s is Fw,r = 10 N en Fw,l = 29,5 N Fw,t = 39,5 N

b Fw,t = 25 N . Daarnaast is Fw,r constant (= 10 N) Fw,l = 25 – 10 = 15 N

22

Newton vwo deel 1a Uitwerkingen Hoofdstuk 1 – Onderzoeken

Volgens het diagram is snelheid v = 3,55 m/s = 12,8 km/h Afgerond: v = 13 km/h

60 a Je kunt een meetlat met duidelijke schaalverdeling achter de trampoline houden. De persoon die de meting verricht, moet zich met zijn ogen ongeveer ter hoogte van het hoogste punt van de voeten van de springer bevinden. Dit is nodig om te voorkomen dat je een verkeerd getal afleest als je teveel van van onderaf kijkt. De springer bevindt zich namelijk altijd een stuk voor de meetlat.Bovendien is het van belang dat de springer een aantal keren van dezelfde hoogte springt. Zo kun je een aantal meetwaarden middelen om een meer nauwkeurige eindwaarde te krijgen.

b 1e manier: De metingen worden gedaan bij verschillende hoogtes hv namelijk om de 0,40 m. Geconstateerd wordt dat de terugveer-hoogte h1 steeds met hetzelfde bedrag toeneemt er is een recht evenredig verband.

2e manier:In het diagram van de metingen zie je dat het verband wordt weergegeven door een schuine rechte lijn die door de oorsprong gaat er is een recht evenredig verband.

c Voor een recht evenredig verband geldt in het algemeen: . In dit geval wordt

de formule . De waarde van de constante bepaal je door de helling van de lijn te bepalen,

bijvoorbeeld: . (N.B. de constante heeft geen eenheid omdat je m door m deelt.)

Formule: h1 = 0,80 hv.

d De hoogte h2 = 2,40 m wordt volgens het diagram gehaald bij hv = 1,92 m.Zonder afzet werd er bij deze valhoogte een hoogte h1 = 1,54 m gehaald h = 2,40 – 1,54 = 0,86 m

61 a Maak eerst een tabel met daarin een kolom voor T en ℓ . Diagram zie hieronder.T (C) ℓ (m)

0 0,0000040 0,0018480 0,00370

120 0,00550160 0,00744200 0,00920

b Uit het diagram wordt duidelijk dat er een recht evenredig verband bestaat tussen T en ℓ . Dit verband is algemeen te schrijven als: ℓ = c T .De waarde van de constante is af te leiden door de helling van de lijn te bepalen, bijvoorbeeld:

.

Formule: ℓ = 0,04610-3 T .

c Lengte ℓ600 =ℓ20 + ℓ . Hierbij is ℓ = 0,04610-3 (600 - 20) = 0,02668 m.Dus ℓ600 =2,00000 + 0,02668 = 2,02668 m ℓ600 = 2,0267 m

62 Topsnelheid

a Het diagram toont een kromme grafieklijn die steeds minder sterk stijgt: dat betekent dat hier

misschien sprake is van een wortelverband. In formulevorm wordt dit: .

Controle van een aantal punten levert het volgende op:

1e meetpunt: ; 2e meetpunt: ;

3e meetpunt: ; 4e meetpunt: .

De uitkomst varieert enigszins, zoals je bij meetwaarden mag verwachten. Zo op het oog komt er een redelijk constante waarde uit en lijkt het gerechtvaardigd om aan te nemen dat het wortelverband het juiste verband is. Afgerond op twee significante cijfers krijgt de constante c de waarde:

23

Newton vwo deel 1a Uitwerkingen Hoofdstuk 1 – Onderzoeken

c = 4,5 = 4,5103 .

Vervolg op volgende bladzijde.

Vervolg opgave 62.

N.B. Je kunt het veronderstelde wortelverband ook onderzoeken m.b.v. coördinaten-transformatie .

Je gaat daarbij na in hoeverre de afgelezen meetwaarden uit het diagram tot een rechte lijn leiden in een (vm, )-diagram. De grootte van de helling geeft de waarde voor de evenredigheidsconstante c.

b Als formule kun je hier dus opschrijven: .

Bedenk wel dat deze formule zó in elkaar zit dat je L in m in moet voeren, terwijl vm er dan in km/h uitkomt !

c Bij een waarde L = 10,5 m krijg je: Afgerond: vm = 15 km/h.

63 Warmteontwikkeling

Hiernaast zie je het diagram waarbij het verband tussen Q en R is weergegeven. Het diagram laat duidelijk een dalende krommegrafieklijn zien. Om echter zeker te wetenof het een omgekeerd evenredig verband is, kun je

A m.b.v. een aantal meetpunten door berekening nagaan of Q R = constant wel echt constant is of

B je past coördinatentransformatie toe en tekent dan een bijbehorend diagram. Dit zou een schuine rechte lijndoor de oorsprong moeten weergeven.

Ad A Indien het een omgekeerd evenredig verband is dan moet gelden dat Q R = constantWe kunnen dit controleren door voor een aantal meetpunten na te gaan of dit klopt.1e meting: 240 6,0 = 1440 J2e meting: 140 10 = 1400 J3e meting: 96 15 = 1440 J4e meting: 60 24 = 1440 J

Conclusie: De waarden stemmen heel goed met elkaar overeen, alleen de tweede meting wijkt wat af. Maar als je bedenkt dat je het eindantwoord in 2 cijfers significant moet geven dan blijkt de afwijking in de tweede meting duidelijk het gevolg van meetonzekerheid. Dus er geldt: Q R = 14102 J Het is een omgekeerd evenredig verband.

Ad B In het geval van een omgekeerd evenredig verband zou hier moeten gelden:

Dit kun je ook schrijven als .

Maak in de tabel eerst een kolom aan

met de coördinatentransformatie (zie hiernaast).

Uit het diagram blijkt dat er goed een rechte schuine lijn door de punten te trekken is die bovendiendoor de oorsprong gaat.Ook nu weer kun je de conclusie trekken dat de groothedenQ en R omgekeerd evenredig zijn met elkaar.Uit de helling van de lijn kun je de evenredigheidsconstante c

bepalen

Formule: Q R = 14102 J

24

R () ( -1) Q (J)

6,0 0,17 24010 0,10 14015 0,067 9624 0,042 60

Newton vwo deel 1a Uitwerkingen Hoofdstuk 1 – Onderzoeken

64 Kracht tussen twee stroomdraden

● Aan de tabel valt op dat een toename van r leidt tot een afname van F. Dit zou kunnen betekenen dat er sprake is van een omgekeerd evenredig verband tussen F en r. Er zou dan moeten gelden dat F r = c. Je kunt dit controleren door bijvoorbeeld na te gaan of er bij de verschillende metingen sprake is van een evenredigheidscontstante c :1e meting: 6,4 5,0 = 32,0 Nmm 2e meting: 5,3 6,0 = 31,8 Nmm3e meting: 4,6 7,0 = 32,2 Nmm 4e meting: 4,0 8,0 = 32,0 Nmm

Conclusie: De waarden stemmen heel goed met elkaar overeen. Er is sprake van een omgekeerd evenredig verband met de formule: F r = 32,0 (Nmm).

N.B. een tweede manier is om een coördinatentransformatie toe te passen en dan

een diagram te tekenen van F tegen . Dit zou een schuine rechte lijn om moeten leveren

die door de oorsprong gaat. M.b.v. de helling van de lijn bepaal je dan de grootte van de evenredigheidsconstante c.

● Aan de kolommen F en I valt op dat een toename van I ook een toename van F te zien geeft .Het is echter duidelijk geen recht evenredig verband: de toename van F is sterker. Dit zou kunnen duiden

op een kwadratisch evenredig verband. Er moet dan gelden dat: .

Je kunt dit controleren door ook nu weer na te gaan of er bij de verschillende metingen sprake is van een evenredigheidscontstante c :

1e meting: 2e meting:

3e meting: 4e meting:

Conclusie: De waarden stemmen goed met elkaar overeen als je weet dat je de eindwaarde op 2 cijfers

nauwkeurig moet afronden: dus waarbij F in N en I in A.

N.B. Ook hier kun je als tweede manier weer een coördinatentransformatie toe te passen en dan

een diagram te tekenen van F tegen . Dit zou een schuine rechte lijn om moeten leveren die door

de oorsprong gaat. De helling van de lijn bepaalt dan de grootte van de evenredigheidsconstante c.

25

Newton vwo deel 1a Uitwerkingen Hoofdstuk 1 – Onderzoeken

65 De g-factorOm het kwantitatieve verband te vinden maakje eerst een (g,r)-diagram (Zie de figuur hiernaast.De dalende lijn is enigszins gekromd. Dit kanbetekenen dat er sprake is van een omgekeerd kwadratisch evenredig verband.

Daarvoor zou moeten gelden: .

Controle door middel van een aantal meetpunten levert op:1e meetpunt: g r = 9,80 6400 = 62,7103 Nkm/kg;2e meetpunt: 8,43 6900 = 58,2103 Nkm/kg en3e meetpunt: 6,43 7900 = 50,8103 Nkm/kg.Het is duidelijk dat dit geen constant getal oplevertén dat er dus geen sprake is van een omgekeerdevenredig verband.

Mogelijk is er sprake van een omgekeerd kwadratisch evenredig verband.

Om dit te onderzoeken kun je het beste weer een paar berekeningen uitvoeren aan de gemeten

waarden: bij een omgekeerd kwadratisch evenredig verband geldt: .

We kunnen dit controleren met de gegevens van de 2e en 3e kolom (= r2 ): voor het eerste meetpunt geldt

g r2 = 9,80 64002 = 401,41106 Nkm2/kg.De andere meetpunten leveren voor c de volgende waarden op:2e meetpunt: 8,43 69002 = 401,35106 Nkm2/kg; 3e meetpunt: 6,43 79002 = 401,30106 Nkm2/kg;4e meetpunt: 5,69 84002 = 401,49106 Nkm2/kg en 5e meetpunt: 5,07 89002 = 401,59106 Nkm2/kgAls je bedenkt dat je hier volgens de vuistregel op 3 cijfers moet afronden, dan zie je dat er een vrijwel constante waarde (c = 401106 Nkm2/kg) te voorschijn komt.

Conclusie: het verband tussen de grootheden g en r is omgekeerd kwadratisch evenredig.

N.B. Als je redelijke aanwijzingen hebt dat er sprake is van een omgekeerd kwadratisch evenredig verband zou je ook een coördinatentransformatie kunnen toepassen.

Maak in de tabel eerst een kolom aan met de coördinatentransformatie .

r(km)

(10-6 km-2)

g(N/kg)

6400 244 9,806900 210 8,437900 160 6,438400 142 5,698900 126 5,07

Het (g,r -2)-diagram laat zien dat er redelijk een rechte lijn door de punten te trekken is, die bovendien door de oorsprong gaat. Dit bevestigt de conclusie dat het verband omgekeerd kwadratisch evenredig is.

De evenredigheidsconstante c in de formule

kun je bepalen door middel van de helling van de lijn in het (g,r -2) -diagram:

Dus de formule luidt: of g = 4,010-4 r - 2 ,

waarbij g in N/kg en r in km ingevuld moet worden.

26