Analytische Meetkunde - ru.nl · Analytische Meetkunde Wiskundedialoog. Nijmegen, 13 juni 2017 ....

of 34/34
Analytische Meetkunde Wiskundedialoog Nijmegen, 13 juni 2017 Jeroen Spandaw ([email protected])
  • date post

    25-Feb-2019
  • Category

    Documents

  • view

    232
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Analytische Meetkunde - ru.nl · Analytische Meetkunde Wiskundedialoog. Nijmegen, 13 juni 2017 ....

Analytische Meetkunde

Wiskundedialoog Nijmegen, 13 juni 2017

Jeroen Spandaw ([email protected])

Samenhangende Wiskunde

Complexe Getallen

Gonio

Analyse

Vectoren

Synthetische Meetkunde

Algebra

Symmetrie

Programma

Inleiding over meetkundige technieken (15)

Aan de slag (keuze van opgaven) (30)

Afronding (15)

Meetkundige technieken

Synthetisch, axiomatisch, zonder cordinaten Analytisch, algebrasch, met cordinaten Gonio Vectoren (al dan niet met kentallen) Matrices Symmetrien Complexe getallen

Moraal

Onderzoekt alles en behoudt het goede

Keuze van methode doet ertoe!

Gegeven , bepaal . Synthetisch gemakkelijk: = Analytisch lastig: Bijvoorbeeld

A = (cos(), sin()), B = (cos(), sin()), C = (cos(), sin())

v := = cos cos ()sin sin ()

Analoog w := .

cos() =

= +

Keuze van methode doet ertoe!

Gegeven , bepaal . Synthetisch gemakkelijk: = Analytisch lastig: Bijvoorbeeld

A = (cos(), sin()), B = (cos(), sin()), C = (cos(), sin())

v := = cos cos ()sin sin ()

Analoog w := .

cos() =

= cos() ???

Speciale gevallen

Gegeven , bepaal .

Speciale gevallen zijn haalbaarder voor leerlingen:

Voorbeeld: A = (1,0), B = (-2, -2) en = 90 of 60

Goede algebra/gonio-opgaven!

Driehoek in Rechthoek

Gegeven gelijkzijdige driehoek ingeschreven in rechthoek.

Te bewijzen: opp. rode = opp. blauwe

Heel lastig met algebra (3 Pythagoras),

maar simpel met gonio.

Driehoek in Rechthoek

Z.b.d.a. driehoekzijde 1. Kunnen nu alle opper-

vlakten uitdrukken in Leidt tot een mooie, niet

te lastige gonio-identiteit. (Opgave voor workshop)

Zeshoekprobleem

Zeshoek met om-en-om rode en blauwe zijden.

De rode zijden sluiten de blauwe zijden sluiten.

sluiten: sluiten na parallelle verschuiving tot een gesloten driehoek.

Triviaal met juiste techniek

Zeshoekprobleem

Maak vectoren van de zijden (tegen de klok in)

Som van 6 vectoren = 0 Dan: Deelsom van

3 rode vectoren = 0 deelsom van 3 blauwe vectoren = 0.

Synthetisch kan ook (zie plaatje).

Zes Workshopproblemen

Ingeschreven gelijkzijdige

driehoek in rechthoek. Druk alle oppervlakten

in uit en laat zien dat blauwe opp. = rode opp.

Archimedes Kwadratuur v.d. Parabool

Gegeven parabool k en 3 punten A, B, C op k zodat BC // raaklijn aan k in A.

Dan oppervlakte tussen BC en k = 4

3 oppervlakte

van ABC Zo nodig specialiseren tot

y = x2, A = (0,0) of (1, 1), B = ,

Algemene geval?

Genie van Syracusa

Kwadratuur v.d. Cirkel (Ellips) Kwadratuur v.d. Parabool Kwadratuur v.d. Hyperbool (y = 1/x)

Iets met

Iets met 43

Iets met e

Zwaartelijnen

Zwaartelijnen door

1 punt en snijden 2 : 1. Bewijs heel eenvoudig

met juiste techniek. Hoe?

Schateiland

Loop van X = schildpad naar steen 1.

Rechte hoek naar rechts en zelfde afstand lopen: punt Y

Idem bij steen 2: punt Z Schat halverwege Z en X Wat te doen als

schildpad is verdwenen?

Y Z

X

cos( + ) en sin( + )

Gebruik plaatje om formules voor cos(+) en sin(+) af te leiden

Hint: neem |AD| = 1.

Rugbyprobleem

Rugbyprobleem

Gegeven O = (0,0), A = (a, 0) en B = (b, 0).

Welk punt P op y-as heeft maximale kijkhoek op AB?

Synthese van analytische & synthetische meetkunde?

Kies zo nodig a = 4 en b = 9.

Oplossingen

Gelijkzijdige Driehoek in Rechthoek Komt neer op: sin(2) + sin(2 + 120)

+ sin(2 120) = 0 sin(+) = , enz. Klaar. Mooier: symmetrie gebruiken

Vectorsom invar. onder 120 Kan ook met C en exp(2i/3).

Archimedes Kwadratuur v.d. Parabool

Z.b.d.a. y = x2 A = (a, a2), B = (b, b2),

C = (c, c2) Rico(BC) = b + c = 2a Lijn BC: y = (b + c)x bc Integreer (b + c)x bc x2

van b tot c: 16(c b)3

Opp() is 18(c b)3

Handig met uitproduct

Oppervlakte driehoek & Uitproduct Lengte van uitproduct a b

is gelijk aan oppervlakte parallellogram.

In 2 dimensies: oppervlakte driehoek = |12 21|.

Hier: a = 2 2 en b = 2 2 en a = (b + c), dus

opp. = (c b)(c a)(b a) = 16

3 Heerlijk symmetrische algebra!

Trafos Z.b.d.a. (Zonder Beperking der Algemeenheid)

Z.b.d.a. y = x2, want alle parabolen gelijkvormig.

Affiene trafo (x, y) (x + p, y + 2px + p2) z.b.d.a. A = (0,0). Is simpeler!

Affiene trafo (x, y) (kx, k2y) z.b.d.a. A = (0,0) en C = (1,1). Is nog simpeler!

Moraal: Meer wiskunde-kennis simpeler bewijzen!

Zwaartepunt

Plaatsvector van punt A noteren we als a, enz.

Dan u = (b + c), enz.

Dus 23 + 1

3 is gelijk

aan 13 + 1

3 + 1

3

Symmetrisch in a, b, c Dus Q.E.D.

Schateiland

Draai X naar Y om steen 1 en Y naar Z om steen 2.

Beide 90, dus samen (X Z) is rotatie over 180.

Dat is puntspiegeling om punt halverwege X en Z.

Welk punt? De schat! Die hangt dus niet van

positie X af! Dit kan ook met C of R2.

Y Z

X

cos( + ) en sin( + )

AD = 1, dus AC = cos() en CD = sin()

Dus BC = sin() cos(), AB = cos() cos() CE = cos() sin() DE = sin() sin()

sin( + ) = BC + CE cos( + ) = FE DE

Rugbyprobleem

Schrijf P = (0, p). Druk cos2() uit in de

variabele p en de constanten a en b.

Differentieer naar p om p met minimale cos2() te vinden:

2(a2 + p2)(b2 + p2) = = (ab + p2)(a2 + b2 +2p2),

dus p2 = ab.

Rugbyprobleem

Oplossing: p = (ab) Opmerkingen/controles: symmetrisch in a, b en (afstandafstand) =

afstand Speciale (limiet)gevallen?

Meetkundige interpretatie of constructie van de oplossing?

Rugbyprobleem

Teken de cirkelboog van alle punten met dezelfde kijkhoek: door A, B, P.

Rakende cirkel geeft grootste kijkhoek in P.

De hoogte p = MN van die cirkel is (ab) : zie volgende dia.

Rugbyprobleem

Rugbyprobleem = Stelling Constante (kijk)hoek + Pythagoras

Synthetische terugblik, maar gevonden door analyse (differentiren) en vectoren (inproduct) en algebra.

Samenhangende, niet-dogmatische wiskunde!

Huiswerk

Leid de formule voor de afstand van P = (p, q) tot de lijn y = ax + b af met zoveel mogelijk verschillende technieken.

Analytische Meetkunde

Wiskundedialoog Nijmegen, 13 juni 2017

Jeroen Spandaw ([email protected])

Analytische MeetkundeSamenhangende WiskundeProgrammaMeetkundige techniekenMoraalKeuze van methode doet ertoe!Keuze van methode doet ertoe!Speciale gevallenDriehoek in RechthoekDriehoek in RechthoekZeshoekprobleemZeshoekprobleemZes WorkshopproblemenArchimedes Kwadratuur v.d. ParaboolGenie van SyracusaZwaartelijnenSchateilandcos( + ) en sin( + ) RugbyprobleemRugbyprobleemOplossingenGelijkzijdige Driehoek in RechthoekArchimedes Kwadratuur v.d. ParaboolOppervlakte driehoek & UitproductTrafos Z.b.d.a.(Zonder Beperking der Algemeenheid)ZwaartepuntSchateilandcos( + ) en sin( + ) RugbyprobleemRugbyprobleemRugbyprobleemRugbyprobleemHuiswerkAnalytische Meetkunde