Analyse deel I - wiswijs · PDF filexals positief, niettegenstaande hier xook negatieve...

Analyse deel I

Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem

Cursus voorLatijn-Wiskunde, Economie-Wiskunde

en Wetenschappen-Wiskunde

Hoofdstuk 1

Reele getallen

1.1 Het geordend veld van de reele getallen

In dit deel over de reele getallen zullen we de verzameling R van de reele getallen naderbestuderen. De verzameling van de reele getallen heeft een aantal specifieke eigenschappendie bij andere verzamelingen niet voorkomen. Het is hier geenszins de bedoeling om allesstreng wiskundig te bewijzen, echter wel om een goede notie te krijgen van het begrip reeelgetal. Om reele getallen in te voeren bestaan er verschillende ingewikkelde methodes, bvb.de methode van de sneden van Dedekind en de methode van de rationale Cauchy-rijen.

De verzameling van de natuurlijke getallen N vormt een commutatieve semigroep voorde optelling (commutativiteit, inwendigheid en associativiteit) met neutraal element. Alswe aan elk natuurlijk getal n een symmetrisch element −n voor de optelling hechten endeze elementen toevoegen aan N dan verkrijgen we een nieuwe verzameling, nl. de verza-meling van de gehele getallen Z die een commutatieve groep vormt voor de optelling(semigroep en symmetrisch element).

In Z wordt er vervolgens een vermenigvuldiging gedefinieerd, maar voor deze bewerkingvormt Z maar een commutatieve semigroep met eenheidselement. De structuur Z,+, .wordt een ring met eenheidselement genoemd (Z,+ is een commutatieve groep, Z, .is een commutatieve semigroep en de distributiviteit van de vermenigvuldiging t.o.v. deoptelling is geldig).

We breiden de verzameling Z uit zodat elk element een invert element heeft voor devermenigvuldiging en zorgen er tevens voor dat de eigenschap van de inwendigheid voorde vermenigvuldiging geldig is in de nieuwe verzameling. Deze nieuwe verzameling noemenwe dan de verzameling van de rationale getallen Q. De structuur Q,+, . is een veld(Q,+ en Q0, . zijn commutatieve groepen en de distributiviteit van de vermenigvuldigingt.o.v. de optelling is geldig). We definieren vervolgens in het veld van de rationale getallen

3

4 HOOFDSTUK 1. REELE GETALLEN

het quotient. Elk rationaal getal is te schrijven als het quotient van een geheel getal eneen natuurlijk getal.

∀q ∈ Q,∃z ∈ Z, n ∈ N0|q =z

n.

STELLING 1.1 De structuur Q,+, . is een veld dat de ring van de gehele getallen omvat.

Elk rationaal getal heeft een decimale voorstelling die ofwel afbrekend is ofwel oneindigdoorlopend maar repeterend. Deze schrijfwijze bekomen we door de euclidische deling uitte voeren van de teller door de noemer van de breuk.Heeft een getal een decimale voorstelling met een slotreeks van allemaal 9es dan is dithet getal met een afbrekende decimale voorstelling, die we bekomen door de 9es te latenvallen en het cijfers juist voor de 9es met 1 te verhogen. Dit zullen we later verklaren metde theorie van de limieten.Voorbeeld: 0,58999999999999999. . . =0,59Sluiten we de decimale voorstellingen met een slotreeks van allemaal 9es uit en maken wede afbrekende decimale voorstellingen oneindig doorlopend door slotreeks van oneindigveel nullen aan toe te voegen dan kunnen we zeggen dat elk rationaal getal juist eenoneindig doorlopende repeterende decimale voorstelling heeft.

De irrationale getallen zijn de getallen waarvan de decimale voorstelling oneindig door-lopend is maar niet repeterend is.Het irrationale getal dat het eerst ontdekt werd was

√2, en de ontdekking dat het irra-

tionaal was, leidde tot iets wat men een crisis zou kunnen noemen in de vroeg-Grieksewiskunde.

Voorbeelden:√

2 = 1, 414213562...;√

3 = 1, 73205...; π = 3, 141592...; het getal e =2, 7182818..., het gulden getal 1, 618033989.., het getal van Liouville 0,01001000100001...meteen gelijkmatig toenemend aantal nullen tussen de enen, het ’getal getal‘ 0,12345678910111213...met achter elkaar alle natuurlijke getallen.

De irrationale getallen kunnen niet geschreven worden in de vorm van een breuk, waarvanteller en noemer gehele getallen zijn. De verzameling van de reele getallen is de unie vande verzameling van de rationale getallen en de verzameling van de irrationale getallen.

Elk reeel getal heeft een oneindig doorlopende decimale voorstelling.

1.1. HET GEORDEND VELD VAN DE REELE GETALLEN 5

STELLING 1.2 De structuur R,+, . is een veld dat het veld van de rationale getallenQ,+, . omvat.

D.m.v. de decimale voorstelling van de reele getallen kunnen we nu gemakkelijk de ver-zameling van de reele getallen ordenen volgens de relatie “is kleiner dan of gelijk aan”.

Om te ordenen vergelijken we de gelijkstandige decimalen in de relatie “≤”. Elke tweereele getallen zijn op die manier met elkaar te vergelijken in de relatie “≤”.De velden R,+, . en Q,+, . worden totaal geordende velden genoemd.

De volgende stellingen zijn in de meeste axiomastelsels voor reele getallen onmiddellijkegevolgen van de axioma’s of zijn soms zelf axioma’s:

STELLING 1.3 1. Elk reeel getal ligt tussen twee opeenvolgende gehele getallen.

2. Tussen twee verschillende reele getallen ligt steeds een ander reeel getal (R is eendichte verzameling).

GEVOLG 1.1 1. Bij elk strikt positief getal bestaat er steeds een kleiner strikt positiefgetal.

2. Als een positief getal kleiner is dan elk strikt positief getal dan is het gelijk aan 0.

3. Tussen twee verschillende reele getallen ligt steeds een ander rationaal getal alsookeen ander irrationaal getal.

Het geheel gedeelte van een reeel getal is het grootste geheel getal dat niet groter isdan het reeel getal zelf.We noteren brcVoorbeeld: b2, 135 . . .c = 2; b−3, 456 . . .c = −4.

De meeste getallen waarmee men in het dagelijks leven te maken heeft zijn rationaal.Toch drijven rationale getallen, net zoals het leven zelf, in een zee van irrationaliteit rond,en in een belangrijke en goed gedefinieerde betekenis van deze woorden, te danken aan dewiskundige Georg Cantor, zijn er meer irrationale getallen dan rationale getallen.

OPGAVEN — 1 Bepaal n als b 4√

1c+ b 4√

2c+ b 4√

3c+ b 4√

4c+ · · ·+ b 4√nc = 2n.

Oplossing: n = 95


1.2 Absolute waarde in R

1.2.1 Eigenschappen van de absolute waarde

* x > 0⇐⇒ |x| = x en x < 0⇐⇒ |x| = −x;

* De bestaansvoorwaarde van een vergelijking is de voorwaarde opdat de vergelijkingminstens een oplossing zou hebben.De bestaansvoorwaarde van |x| = r is r ≥ 0.

* ∀r ∈ R+ : |x| = r ⇐⇒ x = −r ∨ x = r;∀r ∈ R+ : |x| < r ⇐⇒ −r < x < r;∀r ∈ R+ : |x| > r ⇐⇒ x < −r ∨ x > r;

* ||a| − |b|| ≤ |a± b| ≤ |a|+ |b|;

* |a.b| = |a|.|b|;

* |ab| = |a|

|b| .

Voorbeelden:

•

x2− | 3x2 − 4 |= 0⇐⇒ |3x2 − 4| = x2 ⇐⇒ 3x2 − 4 = x2 ∨ 3x2 − 4 = −x2

⇐⇒ 2x2 − 4 = 0 ∨ 4x2 − 4 = 0⇐⇒ x2 = 1 ∨ x2 = 2

⇐⇒ x = ±1 ∨ x = ±√

2

Deze oplossingen stemmen overeen met de nulpunten van de functiey = x2− | 3x2 − 4 |.

•

| − x2 − 3x+ 4| = x+5

4=⇒ −x2 − 3x+ 4 = x+ 5

4∨ −x2 − 3x+ 4 = −x− 5

4

⇐⇒ x2 + 4x− 114

= 0 ∨ x2 + 2x− 214

= 0

⇐⇒ x = −2± 3√

32∨ x = 3

2∨ x = −7

2

⇐⇒ x = 0, 598 · · · ∨ x = −4, 598 · · · ∨ x = 1, 5 ∨ x = −3, 5

Enkel de oplossingen x = 1, 5 en x = 0, 598 · · · stemmen overeen met de nulpuntenvan de functie y = | − x2 − 3x+ 4| − x− 5

4

1.2. ABSOLUTE WAARDE IN R 7

Figuur 1.1: de grafiek van y = x2− | 3x2 − 4 |. Opgave: Teken hier de grafieken vany = |3x2 − 4| en y = x2. Wat merk je op?

Twee oplossingen werden door de berekeningen ingevoerd. Het eerste lid van degegeven vergelijking is positief dus moet het tweede lid eveneens positief zijn. Ditgeeft aanleiding tot de zogenaamde bestaansvoorwaarde van de vergelijking.We kunnen enkel oplossingen toelaten waarvoor x+ 5

4≥ 0⇐⇒ x ≥ −1, 25

Figuur 1.2: de grafiek van y = | −x2− 3x+ 4| − (x+ 54). Opgave: Teken hier de grafieken

van y = | − x2 − 3x+ 4| en y = x+ 54. Wat is de betekenis van de snijpunten?


•| x | +x+ | x− 1 |≤ 3 (1.1)

Omdat we hier verschillende uitdrukkingen hebben met een absolute waarde gaanwe best in een tabel het tekenverloop maken van de verschillende uitdrukkingenbinnen de absolute waardetekens.

x 0 1x − 0 + + +

x− 1 − − − 0 +

We onderscheiden voor de x-waarden drie gevallen:

1. x ≤ 0 dan volgt uit 13 dat −x+ x− (x− 1) ≤ 3⇐⇒ x ≥ −2.In dit geval is de oplossingenverzameling: [−2, 0].

2. 0 ≤ x ≤ 1 dan volgt uit 13 dat x+ x− (x− 1) ≤ 3⇐⇒ x ≤ 2.In dit geval is de oplossingenverzameling: [0, 1]

3. x ≥ 1 dan volgt uit 13 dat x+ x+ (x− 1) ≤ 3⇐⇒ x ≤ 43.

In dit geval is de oplossingenverzameling: [1, 43]

Besluit: We voegen de 3 oplossingengverzamelingen samen. De ongelijkheid heeftals oplossingenverzameling [−2, 4

3].

We controleren deze oplossingen grafisch. We tekenen met de computer de grafiekvan de functie y =| x | +x+ | x− 1 | en van de constante functie y = 3.

Figuur 1.3: | x | +x+ | x− 1 |≤ 3⇐⇒ −2 ≤ x ≤ 43

1.2. ABSOLUTE WAARDE IN R 9

1.2.2 Afstand in R

De gewone afstand van twee reele getallen a en b is gelijk aan |a− b|.

1.2.3 Basisomgeving van een reeel getal

De basisomgeving van een punt a ∈ R met straal ε is de verzameling van alle reele getallendie op een afstand liggen van a kleiner dan ε.

{x ∈ R : |x− a| < ε} = {x ∈ R : −ε < x− a < ε}

= {x ∈ R : a− ε < x < a+ ε} =]a− ε, a+ ε[.

Een basisomgeving van een reeel getal is een open interval.Een gereduceerde basisomgeving van een getal a is een basisomgeving van dat getalwaaruit we dat getal weglaten.

]a− ε, a+ ε[\{a}.

AN I HUISTAAK 1 1. Los op in R en controleer je oplossingen aan de hand vaneen grafische voorstelling met de computer:

a. |(|x| − 1)| < 1;

b. | x2 + 2x | −x2 + 3 = 0.

c. |x− 2|+ |x− 3| = 1.

2. Bepaal x+ y als | x | +x+ y = 10 en x+ | y | −y = 12.Stel de twee vergelijkingen voor in het vlak t.o.v. een coordinatenstelsel en duid deoplossing(en) aan. (Tip: Maak onderscheid tussen de verschillende kwadranten: I:x > 0 en y > 0, II: x < 0 en y > 0, .III: x < 0 en <> 0, II: >< 0 en y < 0.)


1.3 Machten in R

1.3.1 Gehele machten

We herhalen de definitie van een gehele macht van een reeel getal.

∀n ∈ N,∀a ∈ R0 : a−n =1

an.

1.3.2 Rationale machten

1.3.2.1 Definitie

∀z ∈ Z, n ∈ N0, ∀a ∈ R+0 : a

zn = n√az.

Opmerking:LET OP:

• Elk positief reeel getal verschillend van nul heeft twee verschillende reele evenmachts-wortels.

x2 = a⇐⇒ x = ±√a = a

12 met a ∈ R+

In de notatie a12 en

√a beschouwen we dus enkel de positieve wortel uit het positief

getal a. We kennen dan ook de andere wortel die gewoon het tegengestelde getal is,nl. −a 1

2 en −√a

• Elk reeel getal heeft slechts een onevenmachtswortel die positief is als het getalpositief is en negatief is als het getal negatief is.

x3 = a⇐⇒ x = 3√a = a

13

• Als we met Derive 3√x willen invoeren, moeten we schrijven x1/3. Derive beschouwt

x als positief, niettegenstaande hier x ook negatieve waarden mag aannemen.Willen we de grafiek van de functie y = 3

√x tekenen dan moeten we twee voorschrif-

ten invoeren, nl. y = x1/3 en y = −(−x)1/3. Het eerste voorschrift geeft de takwaarvoor x > 0, het tweede voor x < 0.

1.3. MACHTEN IN R 11

1.3.2.2 Rekenregels met evenmachtsswortels

Deze eigenschappen van de vierkantswortel zijn eveneens geldig voor elke andere even-machtswortel.

STELLING 1.4 � ∀a, b ∈ R+ :√a.b =

√a.√b;

� ∀a, b ∈ R− :√a.b =

√−a.√−b;

� ∀a ∈ R+, b ∈ R+0 :√

ab

=√a√b;

� ∀a ∈ R−, b ∈ R−0 :√

ab

=√−a√−b ;

Deze vier formules kunnen we in twee formules samenvatten.

� ∀a, b ∈ R :√a.b =

√| a |.

√| b |;

� ∀a ∈ R, b ∈ R0 :√

ab

=

√|a|√|b|

;

1.3.2.3 Rekenregels met onevenmachtsswortels

Deze eigenschappen van de derdemachtswortel zijn eveneens geldig voor elke andere one-venmachtswortel.

STELLING 1.5 � ∀a, b ∈ R : 3√a.b = 3

√a. 3√b;

� ∀a ∈ R, b ∈ R0 : 3√

ab

=3√a3√b;


1.3.2.4 Rekenregels met rationale machten

De vorige eigenschappen kunnen samengevat worden als we gebruik maken van rationalemachten.

∀a ∈ R+0 ,∀p, q ∈ Q : ap.aq = ap+q

∀a ∈ R+0 ,∀p, q ∈ Q :

ap

aq= ap−q

∀a, b ∈ R+0 ,∀p ∈ Q : ap.bp = (a.b)p

∀a, b ∈ R+0 , ∀p ∈ Q :

ap

bp= (

a

b)p

∀a ∈ R+0 ,∀p, q ∈ Q : (ap)q = apq

1.4 Logaritmen

1.4.1 Definitie

De logaritmische functie met grondtal 10 beeldt elk positief getal af op zijn exponentals je dat getal schrijft als een macht van 10.Notatie: log10 = logVoorbeelden:

• log 10 = 1

• log 100 = log 102 = 2

• log 0, 1 = log 10−1 = −1

• log√

10 = log 1012 = 1

2

• log 2 ≈ 0.301⇐⇒ 2 ≈ 100.301 = 103011000 = 1000

√10

301

Algemeen:∀x ∈ R+

0 : log x = r ⇐⇒ x = 10r

De logaritmische functie met grondtal 2 beeldt elk positief getal af op zijn exponentals je dat getal schrijft als een macht van 2.Notatie: log2

Voorbeelden:

• log2 2 = 1

1.4. LOGARITMEN 13

• log2 4 = log 22 = 2

• log2 64 = log2 26 = 6

• log2 0, 125 = log2 2−3 = −3

• log2 10 ≈ 3, 322⇐⇒ 10 ≈ 23,322

Algemeen:∀x ∈ R+

0 : log2 x = s⇐⇒ x = 2s

1.4.2 Rekenregels met logaritmen

∀a ∈ R+0 \ {1}, ∀x, y ∈ R+

0 : loga x.y = loga x+ loga y

∀a ∈ R+0 \ {1},∀x, y ∈ R+

0 : logax

y= loga x− loga y

∀a ∈ R+0 \ {1},∀x, y ∈ R−0 : loga x.y = loga(−x) + loga(−y)

∀a ∈ R+0 \ {1},∀x, y ∈ R−0 : loga

x

y= loga(−x)− loga(−y)

∀a ∈ R+0 \ {1},∀x ∈ R+

0 , ∀r ∈ R : loga xr = r loga x

∀a ∈ R+0 \ {1}, ∀x ∈ R−0 ,∀r ∈ R : loga x

r = r loga(−x)

(De laatste regel geldt voor alle x-waarde waarvoor xr bestaat.)We kunnen bovenstaande regels nog als volgt samenvatten. Zij zijn analoog met derekenregels voor evenmachtswortels.

∀a ∈ R+0 \ {1},∀x, y ∈ R0 : loga x.y = loga |x|+ loga |y|

∀a ∈ R+0 \ {1},∀x, y ∈ R0 : loga

x

y= loga |x| − loga |y|

∀a ∈ R+0 \ {1},∀x ∈ R0,∀r ∈ R : loga x

r = r loga |x|

Deze rekenregels volgen onmiddellijk uit de rekenregels met reele exponenten. We geveneen bewijs van bvb. de rekenregel:

∀a ∈ R+0 \ {1},∀x ∈ R+

0 , ∀r ∈ R : loga xr = r loga x

Bewijs: Stel s = loga x, hieruit volgt x = as. Uit de rekenregel

(as)r = ars

volgt datloga x

r = loga(as)r = loga a

rs = rs = r. loga x.

Bewijs zelf op analoge wijze de andere rekenregels. �

Voorbeeld: log 2216091 = 216091 · log 2 ≈ 216091 · 0, 301 = 65049, 6


1.4.3 Verband tussen twee verschillende logaritmen

log x = r ⇐⇒ x = 10r

enlog2 x = s⇐⇒ x = 2s

We combineren deze twee betrekkingen:

log x = log 2s

= s. log 2

= log2 x · log 2

Op de rekenmachine vinden we de logaritme met grondtal 10. We kunnen de logaritmemet grondtal 2 berekenen met de volgende formule:

log2 x = log xlog 2 (1.2)

1.4.4 Aantal cijfers van een natuurlijk getal in de decimale enbinaire schrijfwijze

Het getal 2347990 kunnen we schrijven als 2, 347990 · 106.Dit getal heeft in de decimale schrijfwijze 7 cijfers.

log 2347990 = 6, 37069⇐⇒ 2347990 = 106,37069

Het getal 210 = 1024 heeft 4 cijfers want log 210 = 10 · log 2 = 10 · 0, 301 = 3, 01

Besluit : Het aantal cijfers van een getal in de decimale schrijfwijze is gelijk aan dlog xe.

Het getal 73 kunnen we schrijven als 1, 14062 ·26. Het getal 73 is in de binaire schrijfwijzegelijk aan 1001001 en heeft dus 7 cijfers in de binaire schrijfwijze.

73 = 26,18982 ⇐⇒ log2 73 = 6, 18982

Besluit : Het aantal cijfers van een getal in de binaire schrijfwijze is gelijk aan dlog2 xe.Opmerking: In de voorbeelden hebben we bijvoorbeeld 2 geschreven als een rationalemacht van 10. Maar eigenlijk is 2 een reele macht van 10. Reele machten van een getalworden echter pas volgend schooljaar gedefinieerd. De bedoeling van deze beschouwingenomtrent logaritmen heeft enkel als doel deze functie op de rekenmachine vanaf nu tekunnen gebruiken.

OPGAVEN — 2 Bepaal zonder gebruik te maken van een rekenmachine als je weet dat log 2 = 0, 301:1. log 20 3. log 0, 5 5. log 46 7. log 502. log2 10 4. log2

√8 6. log2 20 8. log2 50

3 Bepaal het aantal cijfers van 32010.

1.5. WISKUNDE-CULTUUR 15

1.5 Wiskunde-Cultuur

1.5.1 Over getallen en Oneindigheid

In de zesde eeuw voor Christus, de tijd van PYTHAGORAS, werden de getallen be-schouwd als het wezen van alle dingen. Getallen belichaamden zekere specifieke abstractebegrippen zoals de geest (1), het oordeel (2), de volledigheid (3), de gerechtigheid (4), hethuwelijk (5=2+3 met 2 als even en vrouwelijk en 3 als oneven en mannelijk). In een laterstelsel werden 1, 2, 3 en 4 vereenzelvigd met punt, lijn, vlak en lichaam. Het getal 10 werdeen specifieke waarde toegekend en zou de volmaaktheid symboliseren. De mens heeft 10vingers en 10 = 1 + 2 + 3 + 4. De pythagoreeers erkenden geen andere verhoudingen dandie tussen natuurlijke getallen. De verhouding van de lengte van de diagonaal en de zijdevan een vierkant werd dan ook alogos genoemd, dat “onuitdrukbaar” betekent en kon dusniet in een getal worden uitgedrukt.

Hoe kunnen we zeker zijn dat de kunstmatig gevormde decimale ontwikkelingen zoals hetgetal van LIOUVILLE (1809-1882) en het “getal getal” echte getallen zijn. Een eeuwgeleden werd dit probleem opgelost door CANTOR (1845-1918) en DEDEKIND (1831-1916). Cantor definieerde een reeel getal als een reeks of een oneindige som zoals

0, 123456789101112... = 1/10 + 2/100 + 3/1000 + 4/10000 + ...

Met behulp van definities kan men deze reeksen dan bij elkaar optellen en met elkaarvermenigvuldigen. Dedekind definieerde de reele getallen ook als oneindige verzamelingen.Hij karakteriseerde een reeel getal als een snede [L,M ], een partitie van R d.w.z. datieder rationaal getal ofwel in L ofwel in M voorkomt en ieder element van L kleineris dan ieder element van M . Zo wordt

√2 weergegeven door de snede [{a/b|a2/b2 <

2}, {a/b|a2/b2 > 2}]. Dedekind beschouwde de feitelijk oneindige verzamelingen van desnede als fundamenteel en het doet er niet toe of men beschikt over een bepaalde trucvoor het construeren van een lengte waarmee je een punt kunt plaatsen in het gat van desnede.

Toen men eenmaal inzag dat reele getallen kunnen worden uitgedrukt in termen vanoneindige verzamelingen was het tien jaar na de dood van Cantor al vanzelfsprekend datieder wiskundig object kan worden weergegeven als een verzameling.

Liouville maakte het verschil tussen algebraısche en transcendente getallen duidelijken bewees in 1844 dat e noch e2 wortels kunnen zijn van een vierkantsvergelijking metrationale coefficienten. Dit was een eerste stap vooruit in een reeks van onderzoekingenover de natuur van e en π, die in 1761 tot LAMBERT’s bewijs gevoerd hadden dat πirrationaal is, en later voerde tot het bewijs van HERMITE (1873) dat e en dat vanLINDEMANN (1882) dat π transcendent is.


1.5.2 Het onbenoembare

Voor het benoemen van grote getallen gebruiken wij het vernuftig systeem gebaseerd opde machten van 10. In principe is er voor elk getal een naam. De naam voor het getal datwe schrijven als een 1 met 3(n + 1) nullen is in het Amerikaans een -“illion”. Een 1 mettwaalf nullen heet dus “trillion”. Het getal dat bestaat uit een 1 met 100 nullen wordtvaak “googol” genoemd, maar zou evengoed “duotrentillion” kunnen worden genoemd,want 100 = 1 + 3(32 + 1). De hogere “-illion” namen worden eigenlijk zelden gebruikt engetallen met meer dan dertig cijfers worden gelezen als een opsomming van de cijfers, metdien verstande dat deze cijfers worden geınterpreteerd in termen van het getalstelsel vande machten van 10. Voor grote getallen is de notatie met exponenten handiger. Googolwordt dan geschreven als 10100 en het is gemakkelijk over te gaan naar “googolplex”,

gedefinieerd als 10googol = 1010100. Merk op dat een googolplex niet benoembaar is

in minder dan een miljard woorden, tenminste als we de gebruikelijke -“illion”-notatietoepassen. Er zijn natuurlijk getallen dicht bij googolplex die zo onregelmatig zijn dat ergeen kortere manier bestaat om ze te benoemen als door de cijfers ervan op te noemen.Deze getallen zijn voor een mens echt onbenoembaar, want een getal met googol cijferszou, uitgeschreven op vellen papier, met gemak de hele ruimte tot de verst afgelegenzichtbare ster vullen: als we tien miljard kubieke lichtjaren zouden vullen met boekendie de cijfers bevatten, zou daarin, slechts ruimte zijn voor ongeveer 1062 cijfers. VolgensARCHIMEDES (287-212 v.C.) zijn er minder dan 1063 zandkorrels nodig om een bol tevullen met straal gelijk aan de afstand van de aarde tot de zon.

Wat is het grootst mogelijke natuurlijk getal dat ik kan bedenken of het natuurlijk getaldat ikzelf kan beschrijven? Misshien kan ik een keer een getal G beschrijven, maar ga ikdood voordat ik zover ben G + 1 te noemen; dus is het toch niet waar dat je, als je overG kunt spreken, ook altijd over G+ 1 kunt spreken. Hoe kunnen we over dingen sprekenwaarover we niet kunnen spreken? Deze vraag geeft aanleiding tot de paradox van Berry:Het kleinste natuurlijk getal niet benoembaar in minder dan vijfentwintig lettergrepen iszelf een naam bestaande uit vierentwintig lettergrepen, dus het kleinste natuurlijk getalniet benoembaar in vijfentwintig lettergrepen kan in vierentwintig lettergrepen wordenbenoemd, wat een contradictie is.

Een wereld zonder paradoxen is niet denkbaar, aangezien een paradox eigen is aan hetrationele denken zelf. In plaats van te stellen dat de paradoxen aangeven dat de wereld“onwaar” is, kunnen we beter stellen dat ze aangeven dat de wereld onvolledig is of datde werkelijkheid meer is dan wat je op het eerste gezicht zou zeggen.

Hoofdstuk 2

Functies

2.1 Relaties

Inleiding: Het begrip functie is bijzonder belangrijk in de wiskunde omdat het idee dat er een verbandtussen twee bepaalde grootheden bestaat er op een formele wijze door vastgelegd wordt. De wereld isvol zaken die afhankelijk zijn van, een functie zijn van, of een bepaalde relatie hebben met andere zaken.Men zou zelfs kunnen stellen dat de wereld eenvoudigweg geheel uit zulke verbanden is opgebouwd. Wezijn genoodzaakt afhankelijkheid te formaliseren. Door het in een wiskundig bruikbare vorm te gieten,zullen we deze fenomenen beter kunnen beschrijven, en vooral begrijpen. Op die manier ontwikkelenwe wiskundige modellen voor natuurlijke (en ook door de mens in het leven geroepene) fenomenen. Ditstelt ons in staat niet alleen dingen te begrijpen, maar soms zelfs voorspellingen te doen, vb: het weer,economie, enz... Wij worden geconfronteerd met het probleem een bruikbare schrijfwijze voor wiskundigeafhankelijkheid te ontwerpen. De schrijfwijze om functionele afhankelijkheid weer te geven is onmisbaar.Het stelt ons in staat verbanden in een notedop weer te geven. Zonder een schrijfwijze zou het bijzondermoeilijk zijn de flexibiliteit en de kracht van de wiskundige analyse toegankelijk te maken. In de loopvan de geschiedenis van de wiskunde is het heel duidelijk dat het vinden van schrijfwijzen en notaties hetwiskundig denken grote sprongen vooruit helpt.

2.1.1 Definitie

Een relatie van een verzameling A naar een verzameling B is een verzameling vankoppels (x, y) waarbij x een element is van A en y een element is van B.

Uit de definitie volgt onmiddellijk:Elke relatie van A naar B is een deelverzameling van de productverzameling A×B.

We zeggen ‘y staat in relatie met x? of ‘y correspondeert met x in de relatie’.

17

18 HOOFDSTUK 2. FUNCTIES

2.1.2 Triviale relaties

* De groots mogelijke relatie.De productverzameling A × B is een relatie van A naar B, die alle koppels (x, y)bevat waarbij x een element is van A en y een element is van B.

* De kleinst mogelijke relatieDe ledige relatie ∅ bevat geen enkel koppel.

2.1.3 Analytisch voorstelling van een relatie

Zijn x en y reele getallen dan kan het verband tussen x en y meestal voorgesteld wordendoor een vergelijking (eventueel ongelijkheid) die we algemeen noteren door R(x, y) = 0.Alle koppels (x, y) van de relatie zijn oplossing van R(x, y) = 0.in dit geval is de relatie een deelverzameling van R× R.

2.1.4 Voorstelling van een relatie

1. Op Venn-diagram: Als y in relatie staat met x dan trekken we een pijl van x ∈ Anaar y ∈ B.

2. Grafisch d.i. in een (x, y)-vlak als x en y reele getallen zijn. Alle koppels van derelatie vormen dan een figuur in het (x, y)-vlak.Het (x, y)-vlak zelf is de grafische voorstelling van R× R.

2.1.5 Voorbeelden

• De relatie ’y is ouder van x’ in een familie is een relatie van de familie naar defamilie. Stel deze relatie voor op Venn-diagram (zie figuur 2.1). Het tekenen vandie relatie in het Venn-diagram geeft juist de stamboom weer van de familie.

• De relatie ’y is een deelverzameling van x’ in de verzameling D(A) van de deelver-zamelingen van A = {1, 2, 3} is een relatie van D(A) naar D(A). Stel deze relatievoor op Venn-diagram (zie figuur 2.2).

2.1. RELATIES 19

Figuur 2.1: de relatie ’y is ouder van x’

Figuur 2.2: de relatie ’y is deelverzameling van x’


Figuur 2.3: de relatie ’y is het dubbel van x’ in Z

Figuur 2.4: de relatie ’y is kleiner dan x’ in N

• De relatie ’y is het dubbel van x’ in de verzameling van de gehele getallen is eenrelatie van Z naar Z.

R(x, y) = 0⇐⇒ y = 2x⇐⇒ y − 2x = 0⇐⇒ 2x− y = 0

Stel deze relatie voor op Venn-diagram en geef ook een grafische voorstelling (ziefiguur 2.3).

• De relatie ’y is kleiner dan x’ in de verzameling van de natuurlijke getallen is eenrelatie van N naar N.

y < x⇐⇒ y − x < 0⇐⇒ x− y > 0

Stel deze relatie voor op Venn-diagram en geef ook een grafische voorstelling (ziefiguur 2.4).

2.2. FUNCTIES - REELE FUNCTIES 21

2.2 Functies - reele functies

2.2.1 Definities

Een functie van A in B is een relatie van A naar B, waarbij elk element xvan A overeenkomt met hoogstens een element y van B.

We zeggen: y is functie van x.

We zeggen: y is het beeld van x.

We noemen x de onafhankelijk veranderlijke en y de afhankelijk veran-derlijke en

Een functie van A in B is een reele functie als en slechts als de verzamelingenA en B twee deelverzamelingen zijn van R.We schrijven:

f : A −→ B, x 7→ f(x)

(x, f(x)) is een koppel van de functie.

We zeggen: f(x) is de functiewaarde van f voor x.

Er geldtR(x, y) = 0⇐⇒ y = f(x)

y = f(x) wordt het voorschrift van de reele functie genoemd.

De grafische voorstelling van een relatie die een functie is, wordt de grafiekvan de functie f genoemd.

Belangrijke opmerking: Een functie is volledig bepaald door zijn voorschrift en doorde verzamelingen A en B. Enkel het voorschrift geven is onvoldoende. Twee reele functiesmet hetzelfde voorschrift kunnen gedefinieerd zijn in verschillende deelverzamelingen vanR.

In het vervolg vermelden we enkel het voorschrift van de functie als A = B = R.Zijn A of B echte deelverzamelingen van R dan vermelden we dat er expliciet bij.

Voorbeeld: De relatie ‘y is het kwadraat van x’ is een functie omdat elk getal x maar eenkwadraat heeft.

y = x2

Tegenvoorbeeld: De relatie ‘y is een vierkantswortel uit x’ is geen functie omdat elk striktpositief getal x twee vierkantswortels heeft.

y2 = x⇐⇒ y = ±√x


Figuur 2.5: Venn-diagram

Figuur 2.6: Grafische voorstelling

OPGAVEN — 4 Welke van alle voorgaande relaties zijn functies en welke niet?

2.2.2 Praktische voorbeelden

:

• De oppervlakte van een cirkel is functie van de straal:

Opp. = πR2.

De grafiek is een halve parabool.

• De afgelegde weg bij de valbeweging is functie van de tijd :

x =1

2gt2 (g = 9, 81...m/sec2).


De grafiek is een halve parabool.Ook snelheid en versnelling zijn functies van de tijd.De kinetische energie is een functie van de snelheid.De potentiele energie is een functie van de afstand.De barometerdruk is een functie in van de hoogte.

• In de economie: Het aantal eenheden dat de consument bereid is te kopen is afhan-kelijk van de prijs (vraagfunctie, vraagkurve, collectieve vraagkurve). Het aantaleenheden dat de producent bereid is te verkopen wordt bepaald door de prijs dat hijer kan voor krijgen (aanbodfunctie, aanbodkurve). Het aantal verkochte eenhedenvan een product is een functie van de eenheidsprijs (omzetkurve, prijsafzetfunctie).De totale kosten zijn functie van het geproduceerde en verkochte eenheden.

• In de scheikunde: De snelheid van een chemische reactie is een functie van de tijden de radioaktiviteit is een functie van de tijd.

• In de geneeskunde: De hoeveelheid bacterien is een functie van de tijd, evenals hetaantal geboorten en sterften.

2.2.3 Verdere begrippen en zegswijzen

De verzameling A wordt de bron van de functie genoemd.

De verzameling B wordt het doel van de functie genoemd.

De verzameling van alle x van A die een beeld hebben wordt het domein vande functie of het definitiegebied van de functie genoemd.We noteren domf .

domf ⊂ A.

De verzameling van alle beelden wordt de beeldverzameling f(A) genoemd.We noteren f(x).

f(A) ⊂ B.

Stel al deze begrippen voor op Venn-diagram en op grafiek (zie figuur 2.7).


Figuur 2.7: voorbeeld: ‘y is het omgekeerde van x’

2.2.4 Bijzondere functies

AfbeeldingEen functie van A in B is een afbeelding van A in B als elk element van A juist eenbeeld heeft in B (zie figuur 2.8).

domf = A

Figuur 2.8: voorbeeld van afbeelding: ‘y is het kwadraat van x’

InjectieEen injectie van een verzameling A in een verzameling B is een afbeelding van Ain B waarbij elk element van B het beeld is van hoogstens een element van A (zie figuur2.9).Met symbolen:

∀x1, x2 ∈ A : f(x1) = f(x2) =⇒ x1 = x2

m

∀x1, x2 ∈ A : x1 6= x2 =⇒ f(x1) 6= f(x2).

SurjectieEen surjectie van een verzameling A op een verzameling B is een afbeelding van


Figuur 2.9: voorbeeld van injectie: ‘y is een reele macht van 10’

Figuur 2.10: voorbeeld van surjectie: ‘y is de som van de derde macht van x en hetkwadraat van x’

A in B waarbij elk element van B het beeld is van ten minste een element van A, m.a.w.f(A) = B (zie figuur 2.10).

BijectieEen bijectie van een verzameling A in een verzameling B is een afbeelding van Ain B waarbij elk element van B het beeld is van juist een element van A. Een bijectie iseen afbeelding die t.z.t. een injectie en een surjectie is (zie figuur 2.11).

Figuur 2.11: voorbeeld van bijectie: ‘y is de derdemachtswortel uit x’


2.2.5 Restrictie en uitbreiding van een functie

De restrictie van een functie f : A → B tot een deelverzameling D van A en eendeelverzameling E van B is de functie g : D → E waarvoor ∀x ∈ D : g(x) = f(x).

Belangrijke opmerkingen :

* Het verschil tussen het begrip functie en het begrip afbeelding hangt enkel af van hoede bron gedefinieerd is. Als we van een functie de restrictie nemen tot zijn domeindan verkrijgen we een afbeelding. Zo kunnen we van elke functie een afbeeldingmaken.Voorbeeld:

f : R −→ R : x 7→ 1

x

is geen afbeelding omdat 0 ∈ R geen beeld heeft. Maar

f1 : R0 −→ R : x 7→ 1

x

is een afbeelding omdat elk element van R0 een beeld heeft.

Figuur 2.12: functie en afbeelding

* Het verschil tussen het begrip injectie en het begrip bijectie hangt enkel af van hoehet doel gekozen werd. Beperken we het doel B van een injectie tot de beeldverza-meling dan wordt de injectie een bijectie. Zo kunnen we van elke injectie een bijectie


maken.Voorbeeld: De afbeelding

f1 : R0 −→ R : x 7→ 1

x

is een injectie maar geen surjectie. Maar de injectie

f2 : R0 −→ R0 : x 7→ 1

x

is een surjectie en dus een bijectie.

Figuur 2.13: injectie en bijectie

Een uitbreiding van een functie f : A → B in een punt d ∈ A met d 6∈ domf is eenfunctie f : A→ B waarvoor

∀x ∈ A \ {d} : f(x) = f(x)

Voorbeeld: De functie f : y = x2−1x+1

is een functie die geen beeld heeft in x = −1 omdatvoor deze waarde de noemer dan nul is.De functie f : y = x− 1 is een uitbreiding van f in −1 omdat

∀x ∈ R \ {−1} :x2 − 1

x+ 1= x− 1


Figuur 2.14: uitbreiding van een functie

OPGAVEN — 5 Gegeven is de relatie xy − x+ 3 = 0

1. Toon aan dat de gegeven relatie een functie?

2. Geef het voorschrift van de functie;

3. Ga na of de functie een afbeelding is;

4. Bestaat er een restrictie van deze functie die een bijectie is zodat er geen koppels van de functieverloren gaan. Bepaal deze restrictie;

5. Teken de grafiek met de computer en verifieer alles op grafiek.

6 Gegeven is de relatie x2 + y2 = 4.

1. Is de gegeven relatie een functie? Leg uit;

2. Teken de grafische voorstelling.

7 Gegeven is de relatie ux+ vy + w = 0. met (u, v, w) ∈ R3. In welk geval is de gegeven relatie

1. geen functie? Hoe ziet de grafische voorstelling eruit?

2. een functie? Hoe ziet de grafiek eruit?

3. een functie die geen injectie is? Hoe ziet de grafiek eruit?

8 Gegeven is de functie y =√x.

1. Geef het domein van de gegeven functie;

2. Is de gegeven functie een afbeelding?

3. Bestaat er een restrictie van deze functie die een bijectie is zodat er geen koppels van de functieverloren gaan. Bepaal deze restrictie;

4. Teken de grafiek van de functie.

9 Gegeven is de kwadratische functie y = (x− 1)(x− 5).

1. Is de functie een afbeelding?

2. Is deze functie een injectie? Leg uit;

3. Is deze functie een surjectie? Leg uit;

10 Is de volgende vergelijking het voorschrift van een functie.1) x2 + 2y = 0 2) 4x2 − 9y2 = 36 3) y3 = x

2.3. BEWERKINGEN MET FUNCTIES 29

2.2.5.1 Lineaire afbeeldingen

Een afbeelding f : A −→ B is een lineaire afbeelding of een homomorfisme als enslechts als het beeld van een lineaire combinatie van elementen van A gelijk is aan de lineairecombinatie van de beelden. De verzamelingen A en B zijn reele vectorruimten. In het gevalvan reele functies is A = B = R. De verzameling van de reele getallen vormt eveneens eenreele vectorruimte.

∀x1, x2 ∈ A,∀r, s ∈ R : f(r.x1 + s.x2) = r.f(x1) + s.f(x2).

We zien gemakkelijk in dat bij een lineaire afbeelding de nulvector van A afgebeeld wordt opde nulvector van B.Voor lineaire reele functies wordt 0 op zichzelf afgebeeld. De enige reele functies die lineairzijn, zijn de functies

f : x 7→ ax met a ∈ R.Deze functies zijn eerstegraadsfuncties waarvoor de grafiek een rechte is door de oorsprong(verschillend van de y-as).

2.3 Bewerkingen met functies

Bewerkingen zoals som, verschil, scalaire vermenigvuldiging, product en quotient van functies kunnenvoor functies van A naar B enkel gedefinieerd worden als deze bewerkingen ook gedefinieerd zijn in deverzamelingen A en B. Deze bewerkingen zijn gedefinieerd in R, dus kunnen ze gedefinieerd worden voorreele functies.In een reele vectorruimte is de som en de scalaire vermenigvuldiging van vectoren gedefinieerd, maar hetproduct en het quotient van twee vectoren definieren wij daar niet. Voor homomorfismen zullen we dus enkelde som, het verschil en de scalaire vermenigvuldiging beschouwen.De definities van som, verschil, scalaire vermenigvuldiging, product en quotient van functies zijn enkelgeldig waar de gelijknamige bewerkingen in het doel gedefinieerd zijn.

2.3.1 Samenstelling van twee relaties

De samenstelling van de relatie R1(x, y) van A naar B en de relatie R2(y, z) van B naarC is een relatie van A naar C.We illustreren met voorbeelden.

• De samenstelling van de relatie ’y is moeder van x’ gevolgd door de relatie ’z iszus van y’ is de relatie ’z is een tante van x’. Stel deze samenstelling voor opVenn-diagram (zie figuur 2.15)

y is moeder van xz is zus van y

}−→ z is zus van de moeder van x⇐⇒ z is tante van x


• De samenstelling van de relatie ’y is een vierkantswortel uit x’ gevolgd door derelatie ’z is de derdemachtswortel uit y’ is de relatie ’z is een zesdemachtswortel uitx’.

y = ±√x

z = 3√y

}⇐⇒ y2 = x

z3 = y

}⇐⇒ (z3)2 = y2 = x⇐⇒ z6 = x −→ z = ± 6

√x

Stel deze samenstelling voor op Venn-diagram en geef ook een grafische voorstelling(zie figuur 2.15).

Figuur 2.15: de samenstelling van relaties - Venndiagrammen

2.3.2 Samenstelling van twee functies

De samenstelling van twee functies f : A −→ B, x 7→ y en g : B −→ C, y 7→ z is derelatie g ◦ f : A −→ C, x 7→ z (We lezen g na f of f wordt gevolgd door g). Er geldt

(g ◦ f)(x) = g(f(x)).

Voorbeeld: We beschouwen de functies f : y = x2 en g : y = x+ 1.In de samenstelling g ◦ f werkt de functie g in op de beelden y van f . Daarom is y deonafhankelijk veranderlijke van g en schrijven we g : z = y+ 1 voor het voorschrift van g.

f : y = x2

g : z = y + 1=⇒ g ◦ f : z = x2 + 1


In de samenstelling f ◦ g werkt de functie f in op de beelden y van g. Daarom is y deonafhankelijk veranderlijke van f en schrijven we f : z = y2 voor het voorschrift van f .

g : y = x+ 1f : z = y2 =⇒ f ◦ g : z = (x+ 1)2

We zien dat de samenstelling van twee functies niet commutatief is. Dit komt overeenmet het product van matrices dat eveneens niet commutatief is.Teken enkele punten van de twee samenstellingen g ◦ f en f ◦ g aan de hand van degrafieken van f en g in de figuur 2.16.

Figuur 2.16: g ◦ f : y = x2 + 1 en f ◦ g : y = (x+ 1)2

2.3.3 Inverse relatie

De inverse relatie van een relatie R(x, y) = 0 van A naar B is de relatie R(y, x) = 0van B naar A die de verzameling is van alle koppels (y, x) waarvoor (x, y) een koppel isvan de relatie R(x, y) = 0.

Zijn x en y van een relatie reele getallen dan liggen de grafische voorstellingen van relatieen haar inverse relatie symmetrisch t.o.v. de rechte x = y.


Voorbeelden:

• De inverse relatie van de relatie ’y is ouder van x’ is de relatie ’x is ouder van y’wat hetzelfde is als ’y is kind van x’. Stel de inverse relatie voor op Venn-diagram(zie figuur 2.17).

Figuur 2.17: ‘y is ouder van x’ en ‘y is kind van x’ zijn inverse relaties

• De inverse relatie van de relatie ’y is strikt kleiner dan x’ is de relatie ’y is striktgroter dan x’.

y < x −→ x < y ⇐⇒ y > x

Stel de inverse relatie voor op Venn-diagram (zie figuur 2.18).

Figuur 2.18: ‘y is kleiner dan x’ en ‘y is groter dan x’ zijn inverse relaties

• De inverse relatie van ’y is het kwadraat van x’ is de relatie ’y is een vierkantwortelvan x’.

y = x2 −→ x = y2 ⇐⇒ y = ±√x⇐⇒ y2 = x

Stel de inverse relatie voor op Venn-diagram (zie figuur 2.19).


Figuur 2.19: ’y is kwadraat van x’ en ‘y is een vierkantswortel van x’ zijn inverse relaties

2.3.4 Inverse functie

In voorgaande voorbeelden zagen we dat de inverse relatie van een functie niet altijd eenfunctie is. De volgende stelling geeft de voorwaarden opdat de inverse relatie van eenfunctie een functie zou zijn.

STELLING 2.1 De inverse relatie van een functie is een functie op voorwaarde dat derestrictie tot het domein van de functie een injectie is. Beperken we het doel van eeninjectie tot zijn beeldverzameling dan wordt deze injectie een bijectie. De inverse functievan een bijectie is weer een bijectie.

Bewijs: Wat in de definitie van functie gezegd wordt over de bron, wordt in de definitievan injectie gezegd over het doel. �

We noteren: f−1 is de inverse functie van f .

Restrictie tot het domein is een injectie.Voorbeelden:

• De inverse relatie van ’y is het dubbel van x’ is de relatie ’y is de helft van x’.f : y = 2x is een bijectie daaruit volgt dat f−1 : y = x

2een functie en tevens een

bijectie is.

y = 2x −→ x = 2y ⇐⇒ y =x

2

Stel de inverse relatie voor op Venn-diagram en geef ook een grafische voorstelling(zie figuur 2.20).

• De functie y = ax+ b met a 6= 0 is een bijectie. De inverse functie is

x = ay + b⇐⇒ y =1

a(x− b).

Merk op dat de richtingscoefficienten van de rechten elkaars omgekeerden zijn.


Figuur 2.20: ‘y is dubbel van x’ en ‘y is de helft van x’ zijn inverse relaties

• Gegeven zijn de functies f : y = 3x + 5 en h : y = 6x + 15. Bepaal de functie gzodat g ◦ f = h.Oplossing: Aangezien f een eerstegraadsfunctie is bestaat de inverse functie f−1 :y = 1

3(x− 5). We gaan beide leden van de gelijkheid g ◦ f = h rechts samenstellen

met f−1.

(g ◦ f) ◦ f−1 = h ◦ f−1 ⇔ (g ◦ (f ◦ f−1) = h ◦ f−1 ⇔ g = h ◦ f−1

f−1 : y = 13(x− 5)

h : y = 6x+ 15=⇒ g : z = 6(

1

3(x− 5)) + 15⇔ g : z = 2x+ 5

De gevraagde functie is g : y = 2x+ 5.

• De restrictie van de functie f : y = 1x

f : R0 −→ R0 : x 7→ 1

x

is een bijectie.Bijgevolg is de inverse relatie van deze restrictie een bijectie.

y =1

x−→ x =

1

y⇐⇒ y =

1

x

De inverse functie is de functie zelf. De grafiek van deze functie moet dus noodza-kelijk symmetrisch liggen t.o.v. de rechte y = x.


De restrictie tot het domein is geen injectie

Voorbeeld: De restrictie van de functie y = x2 tot zijn domein is geen injectie. Bijgevolgis de inverse relatie y2 = x geen functie. De grafische voorstelling van deze relatie bestaatechter wel uit de unie van de grafieken van de twee functies y =

√x en y = −

√x. Duid

deze functies aan op de grafische voorstelling van y2 = x in de figuur 2.21.

We kunnen twee restricties van f beschouwen die injecties zijn, nl.

f1 : R+ −→ R : x 7→ x2 en f2 : R− −→ R : x 7→ x2

Beperken we de doelen van f1 en f2 tot hun beeldverzamelingen dan verkrijgen we debijecties:

g1 : R+ −→ R+ : x 7→ x2 en g2 : R− −→ R+ : x 7→ x2

De inverse functies van g1 en g2 zijn resp.:

g−11 : R+ −→ R+ : x 7→

√x en g−1

2 : R+ −→ R− : x 7→ −√x

Praktisch kunnen we kort schrijven:

y = x2 met x ≥ 0 en y > 0 −→ x = y2 met y ≥ 0 en x > 0⇔ y = +√x met y ≥ 0 en x > 0

y = x2 met x ≤ 0 en y > 0 −→ x = y2 met y ≤ 0 en x > 0⇔ y = −√x met y ≤ 0 en x > 0

Figuur 2.21: de inverse relatie y2 = x is geen functie


2.3.5 Som van twee functies

De som van twee functies f en g van A in B is de functie f + g van A in B dieelke x waarvoor de beelden f(x) en g(x) bestaan, afbeeldt op de som van de beelden nl.f(x) + g(x).Met symbolen:

∀x ∈ domf ∩ domg : (f + g)(x) = f(x) + g(x).

Voorbeelden:

• In de economie is de collectieve vraagfunctie de som van de individuele vraagfuncties.

• De som van de functies f : y = 1x

en g : y =√x is de functie f + g : y = 1

x+√x.

Het domein van deze som is de doorsnede van het domein R0 van f en het domeinR+ van g, nl. R+

0 . Teken enkele punten van f + g in figuur 2.22 aan de hand van degrafieken van f en g.

Figuur 2.22: y = 1x

+√x


STELLING 2.2 De som van functies van A naar B is commutatief in de verzamelingvan de functies van A naar B.

Bewijs: Deze eigenschap is geldig voor reele functies omdat de som van reele getallencommutatief is.De eigenschap is ook geldig voor lineaire afbeeldingen omdat de som van vectoren in eenvectorruimte commutatief is.

De tegengestelde functie van de functie f : A −→ B is de functie −f , die elke x-waardevan domf ⊂ A afbeeldt op −f(x).

Voor reele functies is −f(x) het tegengesteld reeel getal van f(x). De grafieken liggensymmetrisch t.o.v. de x-as.Voor lineaire afbeeldingen tussen vectorruimten is −f(x) de tegengestelde vector van de vectorf(x).

Voorbeeld: De tegengestelde functie van de functie f : y = 2x2 + 1 is de functie−f : −2x2 − 1. Teken enkele punten van de grafiek van −f in figuur 2.23 aan de handvan de grafiek van f .

Figuur 2.23: y = 2x2 + 1 en y = −2x2 − 1


2.3.6 Het verschil van twee functies

Elke functie heeft een tegengestelde functie. We kunnen nu het verschil van twee functiesdefinieren.Het verschil van twee functies f en g is de functie f − g die we bekomen door bij fde tegengestelde functie van g op te tellen. Het komt er op neer de beelden van de tweefuncties van elkaar af te trekken. Voor reele functies is dit volgens de definitie van verschilvan twee reele getallen.Voor lineaire afbeeldingen tussen vectorruimten is dit volgens de definitie van verschil vanvectoren.

(f − g)(x) = (f + (−g))(x) = f(x) + (−g(x)) = f(x)− g(x).

Voorbeeld: In de economie is de winst of het verlies (positief en negatief resultaat) hetverschil van de omzetfunctie en de totale kostenfunctie.

2.3.7 De scalaire vermenigvuldiging van functies

Het product van de functies f en het reeel getal r is de functie r.f die elke x ∈ domfafbeeldt op het product van r en het beeld f(x) nl. rf(x).Met symbolen:

∀r ∈ R,∀x ∈ domf : (r.f)(x) = rf(x).

Voor reele functies steunt deze definitie op het product van reele getallen.

Voor lineaire afbeeldingen steunt ze op de scalaire vermenigvuldiging van vectoren.

Voorbeelden:

• Het product van de functie f : y =√x en het reeel getal 3

2is de functie 3

2f : y = 3

2

√x.

• Het product van de functie y = bxc met het reeel getal 12

is de functie y = 12bxc.


Figuur 2.24: scalaire vermenigvuldiging van functies op grafiek

Figuur 2.25: y = 32

√x


Figuur 2.26: grafiek van y = bxc en y = 12bxc

2.3.8 Het product van twee functies

Het product van twee functies f en g is de reele functie f.g die elke x-waarde waarvoorde beelden f(x) en g(x) bestaan, afbeeldt op het product van de beelden nl. f(x)g(x).Met symbolen:

∀x ∈ domf ∩ domg : (f.g)(x) = f(x)g(x).

Voorbeeld: Het product van de functies f : y = x en g : y =√x is de functie f ·g : y = x

√x.

Het domein van dit product is de doorsnede van het domein R van f en het domein R+

van g, nl. R+. Teken enkele punten van f · g in de figuur aan de hand van de grafiekenvan f en g.


De omgekeerde functie van een functie f is de functie 1f, die elke x-waarde waarvoor

het beeld f(x) bestaat en verschillend is van nul, afbeeldt op 1f(x)

.

De omgekeerde functie 1f

heeft hetzelfde domein als f op de nulpunten van f na.

Het product van y = f(x) en haar omgekeerde 1f(x)

is gelijk aan de constante functiey = 1.Voorbeeld: De omgekeerde functies van de functie f : y = x+ 1 is de functie 1

f: y = 1

x+1.

Het domein van de omgekeerde is R \ {−1}.Teken enkele punten van 1

fin de figuur aan de hand van de grafiek van f .


2.3.9 Quotient van twee functies

De omgekeerde functie van de nulfunctie, dit is de functie die elke x op 0 afbeeldt, is deledige functie. Voor elke andere functie bestaat de omgekeerde functie.Het quotient van twee functies f en g is het product van de eerste functie f met deomgekeerde functie van de tweede functie g op voorwaarde dat g niet de nulfunctie is.

Het quotient van twee functies f en g beeldt elke x-waarde van domf ∩domg en waarvoorg(x) 6= 0, af op het quotient van de beelden.Met symbolen:

∀x ∈ domf ∩ domg ∧ g(x) 6= 0 :f

g(x) =

f(x)

g(x).

Het quotient van twee functies is niet commutatief in de verzameling van de functies vanA in B.Voorbeeld: Het quotient van de functies f : y =

√x en g : y = x + 2 en is de functie

fg

: y =√x

x+2. Het domein van dit quotent is de doorsnede van het domein R+ van f en

het domein R van g en waar we x = −2 moeten uitsluiten omdat het een nulpunt is vang, nl. R+ \ {−2}. Teken enkele punten van f

gin de figuur aan de hand van de grafieken

van f en g.


AN I groepswerk 1 1. Gegeven de functies f : y = 3x+ 5 en h : y = 3x2 + 3x+ 2.Bepaal de functie g zodat f ◦ g = h.

2. Gegeven is de functie f : y = 2x3 − 16.

(a) Teken de grafiek van f met de computer;

(b) Is f een injectie, een bijectie? Bekijk dit op het voorschrift en op grafiek vanf ;

(c) Bepaal de inverse relatie van f en teken de grafiek a.h.v. de grafiek van f .

3. Gegeven zijn de functies f : y = −2x2 − 7x+ 4 en g : y = 1− 2x.

(a) Teken t.o.v. eenzelfde coordinatenstelsel de grafiek van f in potlood en degrafiek van g in groen;

(b) Bepaal de nulpunten x1 en x2 van f ;

(c) Leid uit de waarden van x1 en x2 de x-waarde xt af van de top van de parabooly = f(x);

(d) Bepaal grafisch de punten van de grafiek van 12f voor x = 0, x1, x2 en xt schets

in groen de grafiek van 12f ;

(e) Bepaal het voorschrift van 12f .

(f) Bepaal grafisch de punten van de grafiek van 12f + g voor x = 0, x1, x2 en xt;

(g) Welk nulpunt van 12f + g is eenvoudig grafisch te bepalen;

(h) Schat de x-waarde van de top van 12f + g. Leid hieruit de waarde af van het

ander nulpunt van 12f + g;

(i) Schets de grafiek van 12f + g aan de hand van de gevonden punten;

(j) Bepaal het voorschrift van 12f + g;

(k) Maak een andere tekening met de grafieken van f en g. Bepaal indien mogelijkgrafisch de punten van de grafiek van f

gvoor x = 0, x1, x2 en xt. Je merkt op

dat deze punten op eenzelfde rechte liggen. Wat moet de vergelijking zijn vandie rechte? Duid ook het punt aan waar f

gniet bestaat;

(l) Als je de grafiek van fg

tekent met de computer dan zie je dat de grafiekinderdaad een rechte is die een gaatje vertoont.

(m) Kan je dat verklaren a.d.v. de voorschriften van f en g en het voorschrift vanfg.

Oplossingen: 1:g : y = x2 + x− 1, 1: f−1 : y = 3√

x2 + 8


2.4 Transformaties van krommen

In deze paragraaf zullen we de invloed onderzoeken van een transformatie op de vergelij-king R(x, y) = 0 van een kromme.

2.4.1 Verschuivingen

2.4.1.1 Het beeld van een punt onder een verschuiving

We beschouwen in het vlak de verschuiving met vector ~v(x0, y0). Elk punt P (x, y) vanhet vlak wordt door de verschuiving met vector ~v(x0, y0) afgebeeld op een punt P ′(x′, y′)en de transformatieformules zijn

~op′ = ~op+ ~v

m

(x′, y′) = (x, y) + (x0, y0)

m

(x, y) = (x′, y′)− (x0, y0)

De formule in de vorm van een stelsel is{x′ = x+ x0

y′ = y + y0

m{x = x′ − x0

y = y′ − y0

Het is handig deze stelsels schematisch voor te stellen met matrices.(x′

y′

)=

(xy

)+

(x0

y0

)m(

xy

)=

(x′

y′

)−(x0

y0

)(2.1)

De matixvoorstelling van de transformatieformules in verkorte gedaante is

X ′ = X +X0 ⇐⇒ X = X ′ −X0.

2.4. TRANSFORMATIES VAN KROMMEN 45

2.4.1.2 Het beeld van een kromme onder een verschuiving

Is R(x, y) = 0 de vergelijking van de kromme K dan zoeken we de vergelijking vanhet beeld K ′ van K onder de verschuiving met vector ~v(x0, y0). Daartoe zoeken we hetverband waaraan de coordinaat (x′1, y

′1) van het beeld P ′ van het punt P (x1, y1) ∈ K moet

voldoen opdat het op K ′ zou gelegen zijn.

Voor elk beeldpunt P ′(x′1, y′1) van een punt P (x1, y1) ∈ K geldt volgens de transformatie-

formules 2.1R(x′1 − x0, y

′ − yo) = 0.

De coordinaat (x′1, y′1) van elk beeldpunt P ′ voldoet aan de vergelijking

R(x− x0, y − yo) = 0.

De kromme K ′ met vergelijking

R(x− x0, y − y0) = 0

is het beeld onder de verschuiving met vector ~v(x0, y0) van de kromme K met vergelijking

R(x, y) = 0

.

Bijzondere geval: verschuiving van de grafiek van een functie

De grafiek G′ : y − y0 = f(x − x0) is het beeld van de grafiek G : y = f(x) onder eenverschuiving over de vector (x0, y0).

De grafiek G′ : y = f(x − x0) is het beeld van de grafiek G : y = f(x) onderde verschuiving langs de x-as over de vector (x0, 0).

De grafiek G′ : y − y0 = f(x) ⇐⇒ y = f(x) + y0 is het beeld van de grafiekG : y = f(x) onder de verschuiving langs de y-as over de vector (0, y0).

De functiey − y0 = f(x)⇐⇒ y = f(x) + y0

bekomt men ook door de som te maken van de functie y = f(x) en de constante functiey = y0 (zie bladzijde 36).


Figuur 2.27: verschuiving van een grafiek langs de x-as en langs de y-as

Voorbeelden:

• Elke parabool y = ax2 + bx+ c is de verschuiving van een parabool met vergelijkingy = ax2.We herhalen de berekening die we kunnen maken om de vector van verschuiving tebepalen. De vergelijking y = ax2 + bx + c van de parabool kunnen we als volgt ineen andere gedaante brengen.

y = ax2 + bx+ c

= a(x2 +b

ax+

b2

4a2) + c− b2

4a

= a(x+b

2a)2 +

4ac− b2

4a

De parabool met vergelijking

y +b2 − 4ac

4a= a(x+

b

2a)2

is het beeld van de parabool met vergelijking

y = ax2


onder de verschuiving met vector

~v(− b

2a,−b

2 − 4ac

4a) = ~v(− b

2a,−D

4a) met D de discriminant

dit is de plaatsvector van de top van de parabool (t.o.v. een orthonormale basis).

Figuur 2.28: bepaal de vector van verschuiving die y = 12x2 afbeeldt op y = 1

2x2 + 2x+ 5

• De cirkel met vergelijking C ′ : (x − x0)2 + (y − y0)2 = R2 is de verschuiving metvector ~v(x0, y0) van de cirkel met vergelijking C : x2 + y2 = R2. De vector van deverschuiving is de plaatsvector van het middelpunt van de cirkel C ′.

Figuur 2.29: bepaal de vector van verschuiving die x2 + y2 = 1 afbeeldt op 4x2 + 4y2 +4x+ 16y + 13 = 0


Figuur 2.30: y = bxc en y = bx− 1c = bxc − 1

• Toon aan dat bx−1c = bxc−1. Dit betekent dat de grafiek van de trapfunctie y = bxcvoor een verschuiving met vector ~v(1, 0) dezelfde is als voor een verschuiving met vector~w(0,−1).

y = bx− 1c ⇐⇒ y + 1 = bxc.

2.4.1.3 Periodieke functies

Een functie f is een periodieke functie als en slechts als

∃p ∈ R : f(x− p) = f(x+ p) = f(x).

De kleinste positieve waarde p waarvoor het voorgaande geldig is wordt de periode vande functie genoemd.

Een periodieke functie met periode p is een functie waarvan de grafiek overgaat in zichzelfvoor de verschuiving met vector ~v(kp, 0) met k ∈ Z.


Figuur 2.31: grafiek van een periodieke functie

Voorbeelden:

• De functie y = x+ 1− bxc is een periodieke functie met periode p = 1.Inderdaad, vervangen we in het voorschrift van de functie x door x − 1 dan verkrijgenwe y = x− bx− 1c; dan moeten de twee voorschriften dezelfde grafiek voorstellen.

x+ 1− bxc = x− bx− 1c ⇐⇒ bx− 1c = bxc − 1

Dit laatste hebben we reeds aangetoond.

• De functie y = |x− 2bx+12c|+ 1 is een periodieke functie met periode p = 2. Bewijs dit

zelf.

Figuur 2.32: y = x+ 1− bxc y = |x− 2bx+12c|+ 1


2.4.2 Spiegelingen

2.4.2.1 Het beeld van een punt onder een spiegeling

1. Voor een spiegeling om een rechte parallel met de y-as

Is het punt P ′(x′, y′) het beeld van een punt P (x, y) onder de spiegeling om de rechtex = a volgens de x-richting dan geldt:{

x+ x′ = 2ay = y′

⇐⇒{x = 2a− x′y = y′

⇐⇒{x′ = 2a− xy′ = y

2. Voor een spiegeling om een rechte parallel met de x-as

Is het punt P ′(x′, y′) het beeld van het punt P (x, y) onder een spiegeling om derechte y = b volgens de y-richting dan geldt:{

x = x′

y + y′ = 2b⇐⇒

{x = x′

y = 2b− y′ ⇐⇒{x′ = xy′ = 2b− y

3. Voor een spiegeling om een puntEen spiegeling om een punt is de samenstelling van twee spiegelingen om twee or-thogonale rechten door dat punt (draaiing of rotatie over 180o). De spiegeling omhet punt (a, b) is de samenstelling van de spiegeling om de rechte x = a volgens dex-richting en de spiegeling om de rechte y = b volgens de y-richting (X ⊥ Y ).Is het punt P ′(x′, y′) het beeld van het punt P (x, y) onder een spiegeling om hetpunt (a, b) dan geldt:{

x+ x′ = 2ay + y′ = 2b

⇐⇒{x = 2a− x′y = 2b− y′ ⇐⇒

{x′ = 2a− xy′ = 2b− y

4. Voor een spiegeling om de rechte y = x

Is het punt P ′(x′, y′) het beeld van het punt P (x, y) onder een spiegeling om derechte y = x volgens de richting van de rechte y = −x dan geldt:{

x′ = yy′ = x

m

⇐⇒{x = y′

y = x′


2.4.2.2 Het beeld van een kromme onder een spiegeling

1. De krommen met vergelijking R(2a − x, y) = 0 is het beeld van de kromme metvergelijking R(x, y) = 0 voor de spiegeling om de rechte x = a volgens de x-richting.

2. De krommen met vergelijking R(x, 2b − y) = 0 is het beeld van de kromme metvergelijking R(x, y) = 0 voor de spiegeling om de rechte y = b volgens de y-richting.

3. De krommen met vergelijking R(2a−x, 2b−y) = 0 is het beeld van de kromme metvergelijking R(x, y) = 0 voor de spiegeling om het punt (a, b).

4. De krommen met vergelijking R(y, x) = 0 is het beeld van de kromme met verge-lijking R(x, y) = 0 voor de spiegeling om de rechte y = x volgens de richting vany = −x. Ze stellen inverse relaties voor.

Voorbeelden:

1. De cirkels x2 +y2−10x+6y+9 = 0 en x2 +y2 +10x−6y+9 = 0 liggen symmetrischt.o.v. de oorsprong.

Figuur 2.33: x2 + y2 − 10x+ 6y + 9 = 0 en x2 + y2 + 10x− 6y + 9 = 0

2. Toon aan dat de krommen K1 : 2x2 + 3y2 = 6 en K2 : 2(x − 4)2 + 3y2 = 6symmetrisch liggen t.o.v. de rechte x = 2. Bovendien is K2 het beeld van K1 onder


een verschuiving ~v(4, 0).

3. T.o.v. welke rechte liggen de krommen P1 : y2 + y = 2x en P2 : (y− 6)2− y+ 6 = 2xsymmetrisch?

Bijzonder geval: Spiegelingen van grafieken van functies.

1. De grafieken van de functies y = f(x) en y = g(x) liggen symmetrisch t.o.v. derechte y = b als

f(x) + g(x)

2= b⇔ f(x) + g(x) = 2b

In het bijzonder liggen y = f(x) en y = g(x) symmetrisch t.o.v. de x-as als

f(x) + g(x)) = 0⇐⇒ g(x) = −f(x)

Deze functies zijn tegengestelde functies (zie hoofdstuk 3 bladzijde 37).

2. De grafieken van de functies y = f(x) en y = g(x) liggen symmetrisch t.o.v. derechte x = a als

g(x) = f(2a− x)

In het bijzonder liggen y = f(x) en y = g(x) symmetrisch t.o.v. de y-as als

g(x) = f(−x)

3. De grafieken van de functies y = f(x) en y = g(x) liggen symmetrisch t.o.v. hetpunt (a, b) als

f(2a− x) + g(x) = 2b

In het bijzonder liggen y = f(x) en y = g(x) symmetrisch t.o.v. de oorsprong O als

f(−x) + g(x) = 0⇐⇒ g(x) = −f(−x)

Voorbeelden:

• De parabolen y = −(x− 1)2 en y = 2 + (x− 1)2 liggen symmetrisch t.o.v. de rechte

y = 1 want −(x−1)2+2+(x−1)2

2= 1.

• De grafieken van de functies y = x2 +1 en y = (2−x)2 +1⇐⇒ y = (x−2)2 +1⇐⇒y = x2 − 4x + 5 liggen symmetrisch t.o.v. de de rechte x = 2

2= 1. We zien dat de

tweede parabool tevens een verschuiving is van de eerste over (2, 0).


Figuur 2.34: y = −x2 + 2x− 1 en y = x2 − 2x+ 3

Figuur 2.35: y = x2 + 1 en y = x2 − 4x+ 5

• De parabolen y = x2−4x+5 en 5−y = (1+x)2−4(−1−x)+5⇐⇒ y = −x2+6x−11liggen symmetrisch t.o.v. het punt (5

2,−1

2).

• De rechten y = 2x + 1 en y = 12(x − 1) liggen symmetrisch t.o.v. de rechte y = x

volgens de richting van y = −x.


Figuur 2.36: y = −x2 − 4x+ 5 en y = −x2 + 6x− 11


2.4.2.3 Assen en punten van symmetrie

1. As van symmetrieGaat bij spiegeling om een rechte een kromme over in zichzelf dan is deze rechte eenas van symmetrie voor de kromme.

Voorbeeld: Als we x vervangen door 4 − x in het voorschrift y = (x − 2)2 + 1 dankrijgen we hetzelfde voorschrift. De grafiek van de functie ligt symmetrisch t.o.v.x = 2.

Figuur 2.37: y = x2 − 4x+ 5 ligt symmetrisch t.o.v. x = 2

2. Punt van symmetrieGaat bij spiegeling om een punt een kromme over in zichzelf dan is dat punt eenpunt van symmetrie voor de kromme.

Voorbeelden:

• Een cirkel gaat over in zichzelf als we spiegelen t.o.v. zijn middelpunt.

• De functie y = 3x+2x−5

ligt symmetrisch t.o.v. het punt (5, 3) omdat

3x+ 2

x− 5+

3(10− x) + 2

(10− x)− 5= 6


2.4.2.4 Even en oneven functies

Gaat bij een spiegeling om de y-as de grafiek van de functie over in zichzelf dan is de y-as een as van symmetrie voor de grafiek. De functie wordt dan een even functie genoemd.

y = f(x) is een even functie ⇐⇒ ∀x ∈ domf : f(−x) = f(x).

Voorbeelden:

1. De functies y = 3, y = x2 en y = 2x2 + 1 zijn even functies want als we in hetvoorschrift x vervangen door −x dan verkrijgen we hetzelfde voorschrift.

(−x)2 = x2 en 2(−x)2 + 1 = 2x2 + 1

2. y = 2x2 − x4 ligt symmetrisch t.o.v. y-as en is dus een even functie.

2(−x)2 − (−x)4 = 2x2 − x4


Gaat bij een puntspiegeling om de oorsprong de grafiek van de functie over in zichzelf danis de oorsprong een punt van symmetrie voor de grafiek van de functie. De functie wordtdan een oneven functie genoemd.

y = f(x) is een oneven functie ⇐⇒ ∀x ∈ domf : f(−x) = −f(x).

Voorbeeld: De functie y = 4x3 − x is een oneven functie want

4(−x)3 + x = −(4x3 − x)

De grafiek van y = 4x3 − x ligt symmetrisch t.o.v. O.

OPGAVEN — 11 Bewijs voor de onderstaande grafieken het even of oneven zijn van de corresponde-rende functies.


2.4.3 Uitrekkingen

2.4.3.1 Het beeld van een punt onder een uitrekking

1. Voor een uitrekking langs de x-as

Is het punt P ′(x′, y′) het beeld van een punt P (x, y) onder de uitrekking met factorr langs de x-richting dan geldt:{

x′ = rxy′ = y

⇐⇒{x = x′

r

y = y′

2. Voor een uitrekking langs de y-as

Is het punt P ′(x′, y′) het beeld van een punt P (x, y) onder de uitrekking met factorr langs de y-richting dan geldt:{

x′ = xy′ = ry

⇐⇒{x = x′

y = y′

r

3. Voor een uitrekking langs de x-as en de y-as Is het punt P ′(x′, y′) het beeld van

een punt P (x, y) onder een uitrekking langs de x-as met factor r en een uitrekkinglangs de yas met factor s dan geldt:{

x′ = rxy′ = sy

⇐⇒{x = x′

r

y = y′

s

Bijzonder geval: Indien r = s dan is deze afbeelding een homothetie met centum Oen factor r.

Opmerking: Als r < 1 dan kunnen we een uitrekking met factor r een inkrimping metfactor 1

rnoemen.

2.4.3.2 Het beeld van een kromme onder een uitrekking

1. De krommen met vergelijking R(xr, y) = 0 is een uitrekking langs de x-as met factor

r van de kromme R(x, y) = 0.

2. De kromme met vergelijking R(x, ys) = 0 is een uitrekking langs de y-as met factor

s van de kromme R(x, y) = 0.

3. De kromme met vergelijking R(xr, ys) = 0 is een uitrekking langs de x-as met factor

r en langs de y-as met factor s van de kromme R(x, y) = 0.


Voorbeelden:

• Het beeld van de cirkel met vergelijking x2 + y2 = 1 onder een uitrekking langs dex-as met factor 3 is de kromme met vergelijking x2

9+ y2 = 1. Deze kromme noemen

we een ellips met halve grote as 3 en halve kleine as 1. Duid deze ellips aan op defiguur.

• Het beeld van de cirkel met vergelijking x2 + y2 = 1 onder een inkrimping langs dex-as met factor 3 is de kromme met vergelijking 9x2 + y2 = 1. Deze kromme is eenellips met halve grote as 1 en halve kleine as 1

3. Duid deze ellips aan op de figuur.

• Het beeld van de cirkel met vergelijking x2 + y2 = 1 onder een uitrekking langs dey-as met factor 3 is de kromme met vergelijking x2 + y2

9= 1. Deze kromme is een

ellips met halve grote as 3 en halve kleine as 1. Duid deze ellips aan op de figuur.

• Het beeld van de cirkel met vergelijking x2 + y2 = 1 onder een inkrimping langs dey-as met factor 3 is de kromme met vergelijking x2 + 9y2 = 1. Deze kromme is eenellips met halve grote as 1 en halve kleine as 1

3. Duid deze ellips aan op de figuur.


• Het beeld van de cirkel met vergelijking x2 + y2 = 1 onder een uitrekking langs dex-as met factor 5 en een uitrekking langs de y-as met factor 2 is de kromme metvergelijking x2

25+ y2

4= 1. Deze kromme is een ellips met halve grote as 5 en halve

kleine as 2 (Zie figuur).

• Het beeld van de parabool met vergelijking P : y = x2 onder een inkrimping langsde x-as met factor 2 is de parabool met vergelijking y = 4x2 want

y = 4x2 ⇐⇒ y = (x

1/2)2.

We zien dat de parabool smaller geworden is (zie figuur).

We kunnen P ′ ook opvatten als het beeld van P onder een uitrekking langs de y-asmet factor 4 vermits er geldt

y = 4x2 ⇐⇒ y

4= x2.

Bijzonder geval: De kromme met vergelijking R(xr, yr) = 0 is het beeld onder een

homothetie met factor r van de kromme R(x, y) = 0.

Voorbeeld: De parabool met vergelijking y = 4x2 kunnen we ook opvatten als hetbeeld onder een homothetie met factor 1

4vermits er geldt

y = 4x2 ⇐⇒ y

1/4= (

x

1/4)2.


AN I groepswerk 2 Bij dit groepswerk is de redenering op grafieken het belangrijkst.Laat de computer de grafieken tekenen en de berekeningen uitvoeren. In principe werkenwe hier t.o.v. een orthonormale basis.

1. Gegeven is de cirkel (x+ 1)2 + (y − 2)2 = 9.

(a) Teken deze cirkel.

(b) Bepaal de vergelijking van het beeld van deze cirkel onder de uitrekking metfactor 5

2in de richting van de x-as.

(c) Teken een viertal punten van de beeldkromme en schets ze.

(d) Bepaal de vergelijking van het beeld van deze cirkel onder de inkrimping metfactor 2 in de richting van de y-as.

(e) Teken een viertal punten van de beeldkromme en schets ze.

2. Gegeven is de functie f : y = 10x2+4

.

(a) Teken de grafiek van deze functie met de computer.

(b) Bepaal het beeld van de grafiek van f onder de loodrechte spiegeling om dey-as. Wat merk je op? Hoe noem je zo een functie? Bewijs dit door berekening.

3. Gegeven is de functie f : y = 10xx2+4

.

(a) Teken de grafiek van deze functie met de computer.

(b) Bepaal het beeld van de grafiek van f onder de puntspiegeling om de oorsprongO. Wat merk je op? Hoe noem je zo een functie? Bewijs dit door berekening.

4. Toon aan door berekening dat de grafieken van de functies y = 15x(x + 5) en

y = −15(x2 + 5x− 20) symmetrisch liggen t.o.v. de rechte y = 2. Controleer dat met

de computer.

5. Toon aan door berekening dat de grafieken van de functies y = 15x(x + 5) en y =

−15(x2 + 11x + 14) symmetrisch liggen t.o.v. het punt (−4, 1). Controleer dat met

de computer.


6. Gegeven de functie f : y = x6 − 2x3 + 1

(a) Teken met de computer de grafiek van f ;

(b) Bereken het voorschrift van het beeld g1 van f onder een verschuiving metvector (−2,−1). Controleer de grafiek g met de computer;

(c) Teken g1 met de hand op de bijgevoegde figuur door gebruik te maken vangegeven transformaties. Dus niet zomaar aftekenen van de computer;

(d) Bereken het voorschrift van het beeld g2 onder een spiegeling om de rechtex = 1/2. Controleer met de computer;

(e) Teken g2 met de hand op de bijgevoegde figuur door gebruik te maken vangegeven transformaties.

(f) Bereken het voorschrift van het beeld g3 onder een puntspiegeling om het punt(1, 0). Controleer met de computer;

(g) Teken g3 met de hand op de bijgevoegde figuur door gebruik te maken vangegeven transformaties.

(h) Bereken het voorschrift van het beeld g4 onder een uitrekking langs de y-asmet factor 3/2 en een inkrimping langs de x-as met factor 3/2. Controleer metde computer.

(i) Teken g4 met de hand op de bijgevoegde figuur door gebruik te maken vangegeven transformaties.


7. Gegeven is de functie f : y = 1x. De grafiek van f heeft een zogenaamde verticale

asymptoot (VA) nl. de y-as en een horizontale asymptoot (HA) nl. de x-as. Eenasymptoot is zogezegd de raaklijn aan de grafiek in een punt op oneindig dit betekentdat de afstand tussen de grafiek en de asymptoot oneindig klein wordt naarmate wey naar oneindig gaat voor de VA en x naar oneindig gaat voor de HA.

(a) Bepaal de vergelijking van de grafiek van de functie g die het beeld is vande grafiek van f onder de verschuiving over de vector ~v(3,−3

4). Los deze

vergelijking op naar y (zo verkrijg je het voorschrift van g);

(b) Verschuif de verticale - en horizontale asymptoot van f en teken ze op de bij-gevoegde figuur. Deze rechten zijn dan de verticale - en horizontale asymptootvan de grafiek van g;

(c) Bepaal de vergelijkingen van deze asymptoten;

(d) Breng het voorschrift van g in een andere gedaante door de euclidische delinguit te voeren op g(x). Hoe kan je de vergelijkingen van de asymptoten van degrafiek van g afleiden uit dit nieuwe voorschrift van g?

(e) Maak gebruik van de verschuiving om op bijgevoegde figuur enkele punten tetekenen van de grafiek van g en zo de grafiek van g te schetsen. Hou hierbijrekening met de asymptoten.

(f) Bepaal nu ook het domein en het beeld van g.


8. Gegeven is de functie f : y = 3−2xx−4

.

(a) Bepaal het domein van f en de vergelijkingen van de horizontale en verticaleasymptoten voor de grafiek van f . Maak gebruik van wat je geleerd hebt in devorige oefening.

(b) Teken de grafiek van f met de computer en maak gebruik van de horizontaleen verticale asymptoten om de grafiek over te tekenen op je blad.

(c) Bepaal de vergelijking van de grafiek van de functie h die het beeld is van degrafiek van f onder de loodrechte spiegeling om de rechte x = 3.

(d) Teken een viertal punten van de grafiek van h door gebruik te maken van dezespiegeling en schets de grafiek van h.

(e) Bepaal de vergelijking van de grafiek van de functie k die het beeld is van degrafiek van f onder de loodrechte spiegeling om de rechte x = y. Los dezevergelijking op naar y (zo verkrijg je het voorschrift van k).

(f) Teken een viertal punten van de grafiek van k door gebruik te maken van dezespiegeling en schets de grafiek van k.

Hoofdstuk 3

Rijen: Convergentie en Divergentie

3.1 Rekenkundige en meetkundige rijen

3.1.1 Even herhalen. . .

Verleden jaar hebben jullie reeds het begrip “reele rij” gezien. Het is in feite niets andersdan een afbeelding u van de strikt positieve natuurlijke getallen N0 naar de reele getallenR, waarbij we de vreemde verkorte notatie un gebruiken voor het beeld van n onder u.Meestal laten we het adjectief “reeel” weg omdat we met geen andere dan reele rijenzullen te maken hebben. Maar wees ervan overtuigd dat er ook andere rijen bestaan,zoals complexe rijen, rijen van reele functies, rijen van punten van het vlak of de ruimte,enz. . . .

1. Een rekenkundige rij is een rij waarbij elke term bekomen wordt door bij devoorgaande term een constante op te tellen. Deze constante v wordt het verschilvan de rekenkundige rij genoemd.De algemene term van een rekenkundige rij is

un = u1 + (n− 1)v.

De algemene term is van de gedaante

un = an+ b.

De eerste term van de rij is de term die we bekomen door n = 1 te stellen, nl.u1 = a+ b en a is het verschil van de rekenkundige rij.Een rekenkundige rij un = an + b is de restrictie tot N0 van de eerstegraadsfunctiey = ax+ b.

69

70 HOOFDSTUK 3. RIJEN: CONVERGENTIE EN DIVERGENTIE

De grafische voorstelling van een rekenkundige rij is een rij punten gelegen op derechte met vergelijking y = ax+ b (zie fig. 3.11 op pagina 92). Het verschil v = a isde richtingscoefficient van de rechte. De eerste term is de functiewaarde voor x = 1.

2. Een meetkundige rij is een rij waarbij elke term bekomen wordt door de voor-gaande term met een constante te vermenigvuldigen. Deze constante q wordt dereden van de meetkundige rij genoemd.De algemene term van een meetkundige rij is van de gedaante

un = u1qn−1.

De algemene term is van de gedaante

un = k · an.

De eerste term is de term die we bekomen door n = 1 te stellen, nl. u1 = k · a en dereden is het grondtal a.

Alnaargelang het teken van a en van |a| − 1, bekomen we verschillende soortengrafische voorstellingen van de meetkundige rij (zie pagina 87, 88, 93 en 94 en ??).

De meetkundige rij un = k · an met a > 0 en a 6= 1 is de restrictie tot N0 van dezogenaamde exponentiele functie y = k · ax.

Opmerking: Al naargelang de auteur of de context sluit men wel eens v = 0 voor rekenkundige rijen,of u1 = 0, q = 0 of q = 1 voor meetkundige rijen uit. In deze gevallen bekomt men namelijk telkenseen constante rij un = c, voor alle n ∈ N0. Dit uitsluiten wordt uitsluitend gedaan om sluitende eneenvoudige formuleringen mogelijk te maken voor bepaalde stellingen. Dit geeft echter tot gevolg dat jedan soms de stelling toepast als het niet mag omdat je er niet op let dat sommige gevallen van in denbeginne uitgesloten zijn, of omgekeerd, je een stelling in feite niet mag toepassen terwijl ze wel geldtmaar je ze niet bewezen hebt voor die gevallen. Daarom zullen wij deze beperkingen niet opleggen, maarsteeds de geldigheid van een uitspraak vooraf expliciet vermelden. Een ander voordeel van onze werkwijzeis, dat je leert om steeds de precieze voorwaarden te formuleren waaronder een stelling geldig is. Dit iseen heel belangrijk aspect van wiskunde. In feite mag je stellen dat dit een van de bestaansredenen isvan wiskunde. Anders zouden we steeds op onze intuıtie kunnen blijven afgaan! Maar in de tijd vanNewton — en ook deze van Einstein — liep dat soms eens verkeerd af en had men nood aan een steviggefundeerde en strikt wiskundige theorie die precies vertelde waar en wanneer men een bepaalde stellingmocht toepassen!

3.2. NOTATIES EN TERMINOLOGIE 71

3.2 Notaties en terminologie

Niettegenstaande een rij dus gewoon een functie is, worden toch enkele speciale notatiesgebruikt, die historisch gegroeid zijn. Te beginnen met de rij zelf. De rij

u : N0 → R : n 7→ un

wordt kortweg genoteerd als

(un),

indien dit mogelijk is. Inderdaad, het is soms onmogelijk een voorschrift te vinden diealleen met symbolen kan geschreven worden. We geven een voorbeeld: de rij u waarbijun gelijk is aan het aantal uren, naar beneden afgerond, dat Mieke slaapt op de n-de dagna haar geboorte (waarbij de “eeuwige slaap” als werkelijk slapen wordt aanzien). Ditlossen we dan elegant op door te zeggen: zij (un) de rij met un gelijk aan het aantal urenenz.. . . .

Soms, als we een expliciete rij geven, is verwarring mogelijk met een gewoon getal. Bij-voorbeeld de constante rij met algemene term un = 1 moeten we noteren als (1) of derekenkundige rij met algemene term un = n als (n). Dit kan soms onduidelijk zijn en danvoegen we de index “n ∈ N0” toe. Dus de voorgaande voorbeelden worden (1)n∈N0 voorde constante rij en (n)n∈N0 voor de rekenkundige rij van daarnet.

Wanneer een rij een duidelijke en eenvoudige wetmatigheid vertoont, noteert men ze somsook alleen door de beelden (u1, u2, u3, u4, . . .). Dit is echter een intuıtieve definitie en bijvoorkeur alleen te gebruiken wanneer de rij voorheen al eens precies gedefinieerd was.Beschouw bijvoorbeeld de rij (1, 2, 3, 4, . . .). Iedere weldenkende logisch aangelegde mensmet gezond verstand zou er zeker van zijn dat hier de rekenkundige rij (n) bedoeld wordt.Maar als je het vervolg bekijkt, moet je je mening bijsturen: (1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 10, . . . ).Met deze rij wordt bedoeld un = de afronding van “n, n”, dus bijvoorbeeld u5 is 5, 5afgerond en dit is 6, of u10 is 10, 10 afgerond, wat 10 is. Dit is dus ook een eenvoudigvoorschrift, maar iets moeilijker te vinden als we slechts enkele elementen krijgen. Inintelligentietesten komen vaak zo’n vragen voor: schrijf de volgende term op van de rijwaarvan de eerste vier of vijf termen gegeven zijn. Werkelijk intelligent ben je als je eenlogisch voorschrift kunt vinden die niet hetzelfde geeft als wat in feite bedoeld wordt.

Zoals we reeds weten noemt men voor een rij (un) het element un de n-de term van derij of de term met rangnummer n. Dit is ook de reden waarvoor we een afbeeldingvan N0 nemen en niet van N zelf. Het is echter louter een afspraak, die de taal watvergemakkelijkt. Het woord “term” is in feite wat misleidend, daar er nergens een somvoorhanden is en gewoonlijk is een term een stuk dat wordt geteld bij een ander stuk.Deze terminologie komt voort uit het feit dat men met een rij een reeks kan associeren,d.i. een rij van partiele sommen (sn) waarvoor sn = u1 + u2 + · · · + un. In deze rij zijn


de ui’s werkelijk termen. Wij zullen soms ook reeksen beschouwen, maar omdat we ditniet systematisch doen, en er zeker geen deftige theorie voor opbouwen, zullen we determinologie van reeksen niet gebruiken, maar ze verder als rijen beschouwen.

3.3 Enkele bijzondere rijen

Buiten de rekenkundige en meetkundige rijen bestaan nog een reeks rijen die een bepaaldaanzien verworven hebben binnen de wiskunde, om uiteenliggende redenen: omdat zeveel gebruikt worden, omdat ze bijzondere limieten hebben (zie later), of omdat ze tegen-voorbeelden opleveren voor stellingen die vaak, maar niet altijd gelden. We geven enkelevoorbeelden.

3.3.1 De harmonische rij

De harmonische rij is de rij (1/n)n∈N0 .

(un) : 1, 1/2, 1/3, · · · , 1/n, · · ·

Uit deze rij worden twee andere belangrijke rijen (s+n ) en (s−n ) geconstrueerd als volgt:

(s+n ) : 1, 1 +

1

2︸︷︷︸, 1 +1

2+

1

3︸︷︷︸, · · · , 1 +1

2+

1

3+ · · ·+ 1

n︸︷︷︸, · · ·en

(s−n ) : 1, 1− 1

2︸︷︷︸, 1− 1

2+

1

3︸︷︷︸, 1− 1

2+

1

3− 1

4︸︷︷︸, · · · , 1− 1

2+

1

3− 1

4+ · · ·+ (−1)n+1

n︸︷︷︸, · · ·Met DERIVE kunnen we de grafische voorstelling maken van deze rijen.Om de eerste twintig termen voor te stellen, typen we:voor de harmonische rij: VECTOR([n, 1

n], n, 1, 20).

voor (s+n ) =

(∑ni=1(1

i)): VECTOR([n, sum(1

i, i, 1, n)], n, 1, 20).

voor (s−n ) =(∑n

i=1(1i(−1)i+1)

): VECTOR

([n, sum(1

i(−1)∧(i+ 1), i, 1, n)], n, 1, 20

).

3.3.2 De rij van Fibonacci

De rij van Fibonacci (un) wordt als volgt gedefinieerd:

u1 = u2 = 1 en un = un−1 + un−2, voor n ≥ 3.

3.3. ENKELE BIJZONDERE RIJEN 73

Dit noemt men een inductieve definitie. De eerste termen van deze rij zijn

(un) : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, . . . .

Laat je echter niet vangen: het is niet omdat een rij inductief gedefinieerd wordt en ze erinderdaad niet zo regelmatig uitziet, dat er geen expliciete definitie van bestaat. Berekeneens bijvoorbeeld met je rekenmachine of computer enkele termen van de rij

(1√5

[(1 +√

5

2

)n

−

(1−√

5

2

)n])n∈N0 .

De berekening van de algemene term van de rij van Fibonacci vind je achteraan hethoofdstuk bij Wiskunde Cultuur.

De rij van Fibonacci wordt verkregen als oplossing van het volgend vraagstuk: Hoeveelparen konijnen kunnen in een jaar uit een enkel paar konijnen worden gewonnen zo (a)elk paar elke maand een nieuw paar gewint dat zichzelf wederom vanaf de tweede maandbegint voort te planten, en (b) geen enkel konijn sterft.

Met DERIVE kunnen we de rij van Fibonacci grafisch voorstellen. We definieren

FIB(n) := IF(n = 1, 1, IF(n = 2, 2,FIB(n− 1) + FIB(n− 2)))

en plotten weVECTOR([n,FIB(n)], n, 1, 20).

Zie figuur op pagina 76

Een belangrijke rij afgeleid uit de rij van Fibonacci is deze gevormd door opeenvolgendequotienten te vormen. Als (un) de rij van Fibonacci voorstelt, dan vormen we de rij

(un/un+1) : 1,1

2,2

3,3

5,5

8,

8

13,13

21,21

34, · · ·

en noemen dit de gulden rij.

Plot nu met DERIVE de gulden rij. Zie figuur op pagina 101

3.3.3 Een rij van faculteiten. . .

Voor een willekeurig natuurlijk getal n definieren we n!, gelezen als “n faculteit”, als n! =1.2.3. . . . .n (het product van de eerste n strikt positieve natuurlijke getallen), wanneern 6= 0, en als 0! = 1 voor n = 0. We kunnen dan de rij (n!)n∈N0 vormen.

(n!) : 1, 2, 6, 24, 120, 720, · · ·


3.3.4 Alternerende rijen

Een alternerende rij is een rij waarvan de termen afwisselend strikt positief en striktnegatief zijn. Het schoolvoorbeeld (en aangezien we op school zijn moeten we het welgeven) is de rij ((−1)n)n∈N0 .

(un) : −1, 1,−1, 1,−1, · · ·

De alternerende harmonische rij is de rij ((−1)n+1/n)n∈N0 .

(un) : 1,−1

2,1

3,−1

4,1

5,−1

6, · · ·

Opmerking: Zoals een rekenkundige rij een restrictie is van een eerstegraadsfunctie zois het omgekeerd veelal mogelijk het definitiegebied van een rij uit te breiden naar Rof R uitgezonderd enkele elementen, door gewoon hetzelfde voorschrift over te nemen.Bijvoorbeeld de harmonische rij breidt uit naar de afbeelding

R0 → R : x 7→ 1

x.

Voor sommige andere rijen gaat dat niet, zoals voor de rij van Fibonacci, en voor nogandere rijen zijn nieuwe definities nodig.

3.4 Begrensde en monotone rijen

Een rij (un) is naar onder begrensd als er een reeel getal l bestaat dat kleiner is danelke term van de rij, m.w.s.

(un) is naar onder begrensd ⇐⇒ ∃l ∈ R,∀i ∈ N0 : l ≤ ui

l wordt een ondergrens van de verzameling van de termen genoemd.

De rij (un) is naar boven begrensd als er een reeel getal g bestaat dat groter is danelke term van de rij, m.w.s.

(un) is naar boven begrensd ⇐⇒ ∃g ∈ R,∀i ∈ N0 : g ≥ ui

g wordt een bovengrens van de verzameling van de termen genoemd.

De rij (un) wordt kortweg begrensd genoemd als ze naar onder en naar boven begrensdis, m.a.w. als er twee reele getallen l en g bestaan waartussen alle termen van de rijliggen, m.w.s.

(un) is begrensd ⇐⇒ ∃l, g ∈ R,∀i ∈ N0 : l ≤ ui ≤ g

3.4. BEGRENSDE EN MONOTONE RIJEN 75

Een rij die uitsluitend uit positieve termen bestaat, wordt een positieve rij genoemd.

Een rij (un) wordt (strikt) stijgend genoemd als vanaf een zeker rangnummer elke term(strikt) groter is dan zijn voorgaande, m.w.s.

(un) is stijgend ⇐⇒ ∃m ∈ N0 : ∀n > m : un+1 ≥ un

(un) is strikt stijgend ⇐⇒ ∃m ∈ N0 : ∀n > m : un+1 > un

Formuleer nu zelf de analoge definities voor dalend en strikt dalend.

(un) is dalend ⇐⇒ · · ·

(un) is strikt dalend ⇐⇒ · · ·

Een monotone rij is er een die ofwel dalend, ofwel stijgend is; een strikt monotone isofwel strikt dalend, ofwel strikt stijgend.

Een rij wordt een constante rij genoemd als vanaf een zeker rangnummer elke term gelijkis aan zijn voorgaande, m.w.s.

(un) is constant⇐⇒ ∃m ∈ N0 : ∀n > m : un+1 = un

Voorbeeld: De rij(−n2

20+ 2n

)is een monotoon dalende rij omdat vanaf rangnummer 20

elke term kleiner is dan zijn voorgaande.

OPGAVEN — 12 Onderzoek of de rij(n2

50 − 4n+ 200)

een monotone rij is. Ga ook het (naar bovenen/of naar boven) begrensd zijn na van de rij.

13 Onderzoek of de rij (|n− 50|+ 50) een monotone rij is. Ga ook het (naar boven en/of naar boven)begrensd zijn na van de rij.

14 Gegeven is de rij −3,−2,−1, 0, 1, 0,− 12 ,−

23 ,−

34 ,−

45 , · · ·

Bestudeer het al dan niet monotoon zijn en het al dan niet begrensd-zijn. Vertoont deze rij een regelmaat?Zoja, vind deze regelmaat aan de hand van de grafiek (zie figuur).


15 Gegeven de rij 32 ,

32 , 2, 2,

136 ,

136 ,

94 ,

94 ,

2310 ,

2310 ,

73 ,

73 , · · ·

Bestudeer het al dan niet monotoon zijn en het al dan niet begrensd-zijn. Probeer de regelmaat van derij te vinden aan de hand van de grafiek (zie figuur).

16 Welke eigenschappen heeft de rij van Mieke ? En de rij van faculteiten?

17 Bestudeer het al dan niet monotoon zijn en het al dan niet begrensd-zijn van de rij van Fibonacci.Probeer de regelmaat van de rij te vinden aan de hand van de grafiek (zie figuur).

3.5. CONVERGENTE RIJEN 77

18 Bestudeer het al dan niet monotoon zijn en het al dan niet begrensd-zijn van de gulden rij.

3.5 Convergente rijen

3.5.1 Inleiding

We komen nu tot de essentie van deze korte theorie over rijen. We zouden namelijk willenweten hoe een bepaalde rij verloopt als n zeer groot is. Bijvoorbeeld, we voelen aan datde harmonische rij naar nul nadert als n steeds maar groter wordt. De rij van Fibonaccizal zelfs onbeperkt en onbegrensd blijven stijgen voor toenemende n. Dit “onbeperkttoenemen van n” kunnen we ook formuleren als: n gaat naar plus oneindig.

3.5.2 Definitie van eindige limiet

Het probleem dat we willen behandelen is, gegeven een rij, te zoeken naar welk getalU ∈ R de rij nadert (als zo’n getal bestaat). We zullen dit formuleren als: de rij heeft alslimiet U .


* De harmonische rij ( 1n)

We maken met de computer de grafische voorstelling van de rij als functie.Met DERIVE plotten we

VECTOR([n,1

n], n, 1, 20)

De termen van de rij zijn de functiewaarden die we op de y-as terugvinden.

Figuur 3.1: de harmonische rij

– De harmonische rij is strikt dalend want vanaf n = 2 is elke term un kleinerdan zijn voorgaande term un−1;

∀n ∈ N0 \ {1} :1

n<

1

n− 1

– De termen van de harmonische rij zijn allemaal positief en kleiner dan 1. Dehamonische rij is dus begrensd want alle termen liggen tussen 0 en 1.

– Heeft de rij een limiet?We zijn geneigd om te zeggen dat deze rij “in het oneindige nul wordt”.Waarom? Omdat de termen naarmate n groter wordt steeds dichter bij 0komen. Toch moeten we even opletten. De termen van de harmonische rij(1, 1/2, 1/3, 1/4, . . .) komen ook altijd dichter bij bvb. het getal −1 naarmaten groeit. Maar −1 zien we nu niet bepaald als de limiet van de harmonische


rij, wel nul! Wat is het verschil? Wel, In het eerste geval nadert de rij welhet getal −1, maar niet onbeperkt, d.w.z. het komt er nooit dichter tegen dan1 eenheid. Er bestaat dus een basisomgeving van −1, nl. ]− 2, 0[ waarin geenenkele term van de rij zit. In het tweede geval zitten in elke basisomgeving van0 termen van de rij.Nemen bvb. de basisomgeving van ] − 0, 15; 0, 15[. We kijken op de grafiekwelke punten in de strook tussen −0, 15 en 0, 15 zitten. We zien dat vanafrangnummer 7 de corresponderende punten in de beschouwde strook zitten.Er zitten dus 6 punten buiten de strook. Dit betekent dat alle termen van derij in ]− 0, 15; 0, 15[ zitten op 6 termen na. We kunnen zeggen:Voor het straaltje ε = 0, 15 geldt dat van zodra n ≥ 7 de afstand van de term1n

tot 0 kleiner is dan 0, 15 of | 1n− 0| < 0, 15⇐⇒ | 1

n| < 0, 15.


Nemen we nog een basisomgeving van 0 met een kleinere straal, bvb. de basis-omgeving ]− 0, 0036; 0, 0036[ dan zijn er meer punten die buiten de strook vandeze omgeving vallen. Nu is het niet goed meer zo duidelijk te zien vanaf welkrangnummer al de volgende termen in die basisomgeving ] − 0, 0036; 0, 0036[zitten. Dus maken we een kleine berekening. We noemen m het onbekenderangnummer. We eisen dat

| 1n− 0| < 0, 0036

n>0⇐⇒ 1

n< 0, 0036⇐⇒ n >

1

0, 0036= 277, 8


Vanaf rangnummer m = 278 zitten alle corresponderende punten binnen destrook en zitten er 277 punten buiten de strook.Algemeen bepalen van een rangnummer m bij een vooropgestelde ε:

| 1n− 0| < ε

n>0⇐⇒ 1

n< ε⇐⇒ n >

1

ε

het rangnummer m kunnen we gelijk nemen aan een geheel getal groter dan 1ε

Uit n > m ≥ 1ε

volgt dan dat 1n< ε dus ook | 1

n− 0| < ε.

Hieruit besluiten we dat het vinden van een m mogelijk is voor elke ε.


In de basisomgeving ] − ε, ε[ met (ε ∈ R+0 ) zit steeds een term van de rij hoe

klein we het straaltje ε ook kiezen. Zo kunnen we zeggen: voor alle ε > 0bestaat er een rangnummer m ∈ N0 waarvoor geldt dat van zodra n ≥ m determ 1/n op een afstand ligt van 0 kleiner dan ε, m.w.s.,

∀ε ∈ R0,∃m ∈ N0 : n > m⇒ | 1n− 0| < ε.

Dit betekent dat de termen van de rij naarmate n groter wordt steeds dichterbij 0 liggen. We zeggen dat de rij nadert naar 0 of dat de limiet van de rij 0 is.We schrijven

limn→+∞

1

n= 0


We kunnen de betekenis van deze limiet nog eenvoudig met woorden uitdruk-ken:In een willekeurige basisomgeving van 0 zitten alle termen van de rij op eeneindig aantal na.Dit blijkt nu een bevredigende wiskundige definitie te zijn voor wat wij alslimiet intuıtief aanvoelen. Waarom we nu plots alle termen vanaf um dichtgenoeg bij 0 willen, zullen straks vlak voor stelling 3.1 uitleggen (niet te veelineens, he).

* Beschouw de rij (un) = (1 − cosnn2 ). We geven de eerste 24 termen van deze rij

in de volgende tabel en laten vervolgens de grafische voorstelling plotten door decomputer.

0, 459 1.104 1.109 1.040 0.988 0.973 0.984 1.0021.011 1.008 0.99996 0.9941 0.9946 0.9993 1.0033 1.00371.0009 0.9979 0.9972 0.9989 1.0012 1.00206 1.00100 0.999363

Figuur 3.4: de rij(

1− cosnn2

)

– Deze rij is niet alternerend en ook niet monotoon;

– Omdat geldt

| cosn| ≤ 1n6=0⇐⇒ | cosn|

n2≤ 1

n2


en omdat n een getal is groter dan 1 geldt

| cosn|n2

≤ 1

n2≤ 1

|cosn

n2| ≤ 1⇐⇒ −1 ≤ cosn

n2≤ 1⇐⇒ 0 ≤ 1− cosn

n2≤ 2

Hieruit volgt dat alle termen van de rij gelegen zijn tussen 0 en 2. Deze rij isdus begrensd.

– Heeft deze rij een limiet?In de tabel van de rij zien we dat de termen naderen naar 1. We vermoeden dusdat de limiet 1 is. Bepaal aan de hand van de grafiek vanaf welk rangnummeralle punten in bvb. de volgende stroken liggen en hoeveel punten er dan buitenliggen (Daartoe zoom je in op deze omgevingen, zie figuur 3.5). :

∗ ]1− 0, 008; 1 + 0, 008[:

∗ ]1− 0, 002, 1 + 0, 002[:

∗ ]1− 0, 0008, 1 + 0, 0008[:

Figuur 3.5: de rij(

1− cosnn2

)ingezoomd

In feite volstaat deze observatie voor de praktijk. Maar als wiskundige willenwe het nog altijd eens strikt bewijzen, om onze definitie te testen, en, om onste oefenen voor meer ingewikkelde en niet zo logische gevallen.


Algemeen bepalen van een rangnummer m voor een vooropgestelde ε:Dus gegeven ε > 0 zoeken we vanaf welke term alle volgende termen van derij in de basisomgeving ]1 − ε, 1 + ε[ zitten. We zoeken dus een rangnummerm ∈ N0 zo dat |un − 1| < ε voor alle n ≥ m.

|un − 1| = |1− cosn

n2− 1| = |cosn

n2|

Er geldt:

∀n ∈ N0 : |cosn

n2| ≤ 1

n2

We gaan nu op zoek naar een rangnummer m zodat van zodra n ≥ m geldtdat

1

n2< ε⇐⇒ n2 >

1

ε

n>0⇐⇒ n >1√ε.

We kiezen voor m het natuurlijk getal groter dan 1√ε

bv. m = d 1√εe.

Is n > m, dan is ook cosnn2 ≤ 1

n2 <1m2 ≤ ε. We hebben dan:

∀ε ∈ R+0 ,∃m ∈ N0 : n > m⇒ |cosn

n2| < ε

We zien hier opnieuw dat in een willekeurige omgeving van 1 alle termen vande rij zitten op een eindig aantal na. Onze voorspelling komt dus uit.

* De meetkundige rij (un) = (1/2n)

– De rij is strikt dalend:

– De rij is begrensd want alle termen van de rij zitten tussen 0 en 1.

– Heeft de rij een limiet?Hier zou duidelijkerwijs 0 de limiet moeten zijn. Neem als basisomgeving van0 met het straaltje 0,000005 en bepaal vanaf welk rangnummer je zeker bentdat alle termen van de rij zitten in die basisomgeving (zie figuur 3.6).

Algemeen bepalen van een rangnummer m bij een vooropgestelde ε:Nemen we een willekeurige ε dan vragen we ons af vanaf welke term van de rijalle volgende termen in de basisomgeving van 0, nl. ]− ε, ε[ zitten.

|un − 0| = | 1

2n− 0| = | 1

2n|

Er geldt:

∀n ∈ N0 : | 1

2n| ≤ 1

n


Figuur 3.6: de rij (un) = (1/2n)

We gaan nu op zoek naar een rangnummer m zodat van zodra n > m geldtdat

1

n< ε⇐⇒ n >

1

ε

We kiezen voor m het natuurlijk getal groter dan 1ε, bvb. m = d1

εe.

Is n > m dan is ook 12n ≤ 1

n< 1

m≤ ε. Er geldt dus

∀ε ∈ R+0 ,∃m ∈ N0 : n > m⇒ | 1

2n| < ε

* Wij vragen ons nu af of een rij niet meer dan een limiet kan hebben.

Beschouw even de rij (un) = ((−1)n(1− 1n)) .

Als we enkele termen uitrekenen of de grafiek maken (zie figuur 3.7) dan zien wevlug in dat dit een alternerende rij is waarvoor het positief stuk naar 1 gaat en hetnegatief stuk naar −1. Onze intuıtie zegt ons dat er dus twee limieten zullen zijn.MAAR. . . we zullen later zien dat dit een ernstig probleem zou vormen wanneer wecontinuıteit van een reele functie zouden willen definieren aan de hand van rijen.Daarom mag een rij nooit meer dan een limiet hebben. Doordat we nu alle termenvanaf um betrokken hebben in onze definitie van limiet, kunnen we bewijzen dat erhoogstens een limiet is voor elke gegeven rij.


Figuur 3.7: de rij (un) = ((−1)n(1− 1n))

STELLING 3.1 Een reele rij (un)n∈N0 bezit hoogstens een reele limiet.

Bewijs: Veronderstel dat de rij (un) ten minste twee limieten zou bezitten, bijvoorbeelda ∈ R en b ∈ R (bewijs uit het ongerijmde). Daar dit twee verschillende reele getallenzijn, is een van de twee de grootste. We mogen onderstellen dat dit a is. Aangezien a eenlimiet is van (un), geldt

∀ε ∈ R+0 ,∃m ∈ N0 : n ≥ m⇒ |un − a| < ε.

Aangezien b een limiet is van (un), geldt

∀ε ∈ R+0 ,∃m′ ∈ N0 : n ≥ m′ ⇒ |un − b| < ε.

Aangezien beide formules gelden voor alle ε > 0, nemen we eventjes ε = a−b2

. Voor eengeheel getal n die groter is dan m en groter is dan m′ geldt dan (en we gebruiken deequivalente vorm):

a− a− b2

=a+ b

2< un <

3a− b2

= a+a− b

2en

b− a− b2

=3b− a

2< un <

a+ b

2= b+

a− b2

en dit levert een contradictie op natuurlijk, want un kan niet tegelijk groter zijn en kleinerzijn dan a+b

2. Aldus is de stelling bewezen. �

Vanaf nu mogen we dus spreken van de limiet van een rij (als hij bestaat tenminste).Een rij die een reele limiet heeft noemen we vanaf nu een convergente rij, of een rij dieconvergeert (naar zijn limietwaarde).


Besluit: Een rij is convergent als en slechts als de limiet in +∞ van de rij een reeelgetal is. We zeggen dat de rij convergeert naar dat reeel getal. Zij (un) een rij en U eenreeel getal. Dan zeggen we dat U de limiet is van (un) (voor n gaande naar +∞) als

∀ε ∈ R+0 ,∃m ∈ N0 : n ≥ m⇒ |un − U | < ε.

We noteren dit als limn→+∞ un in doorlopende tekst, of

limn→+∞

un

in gecentreerde formules. Als er geen verwarring mogelijk is dan vervangen we dikwijls“n→ +∞” kortweg door “+∞” of we laten het zelfs helemaal weg.

lim+∞ un = U ⇐⇒ ∀ε ∈ R+0 ,∃m ∈ N0 : n ≥ m⇒ |un − U | < ε.

We kunnen het begrip van limiet van een rij ook met woorden formuleren:

De limiet van de rij (un) is gelijk aan U als in een willekeurige basisomgeving van Ualle termen van de rij zitten op een eindig na.

OPGAVEN — 19 Plot de gulden rij en onderzoek de convergenie aan de hand van de grafiek. Naarwelke waarde convergeert deze rij? De exacte berekening van deze limiet wordt later gegeven als toepassingvan stellingen (pagina 101)

20 Gegeven de rij un = 3n−12n+3

Gevraagd:

1. de eerste 10 termen van de rij;

2. stel de rij grafisch voor;

3. is de gegeven rij convergent? Zoja naar welke waarde?

4. welke termen van de rij zitten in het interval ]1, 499; 1, 501[, welke termen zitten erbuiten enhoeveel?

5. is de verzameling van de termen van de rij begrensd? Zoja, waarom en tussen welke waarden zijnze gelegen?


Nog enkele voorbeelden:

• De meetkundige rij(

12(12)n)

– Deze meetkundige rij is strikt dalend;

– Deze meetkundige rij is begrensd want alle termen van de rij liggen tussen 0en 6.

– Zoals de rij(

(12)n)

nadert ook deze rij naar 0 (het bewijs verloopt analoog).

Gemakkelijker is gebruik te maken van een rekenregel voor limieten (zie laterop pagina 114):

lim+∞

(12(1

2)n) = 12 lim

+∞(1

2)n = (12)(0) = 0

Figuur 3.8: de meetkundige rij(

12(12)n)

• De constante rij (2)n∈N0

– Deze rekenkundige rij is constant en dus monotoon;

– Deze constante rij is begrensd want alle termen zijn gelijk aan 2;

– Deze rij is convergent.lim+∞

2 = 2


• De meetkundige rij 6(−23)n

– Deze meetkundige rij is alternerend en dus niet (strikt) monotoon;

– De rij is dus begrensd want alle termen liggen tussen −4 en 83.

– Bewijs hieronder met de definitie van limiet dat lim+∞ 6(−23)n = 0.


6(−23)n)

AN I HUISTAAK 2 1. Onderzoek de convergentie van de rijen uit de oefeningennrs 12, 13, 14, 15, 16, 17. Formuleren een verband tussen het begrensd zijn van eenrij en het convergent zijn van een rij?

2. Gegeven de rij un = 1−√n

1+√n

Gevraagd:

(a) is de rij monotoon, begrensd (naar boven en/of naar onder?

(b) bereken de eerste 20 termen van de rij en maak met de computer een grafischevoorstelling;

(c) is de gegeven rij convergent? Zoja naar welke waarde?

(d) welke termen van de rij zitten in het interval ] − 1, 25;−0, 75[, welke termenzitten erbuiten en hoeveel? Maak zeker een berekening om dit aan te tonen.

3.6. DIVERGENTE RIJEN 89

3.6 Divergente rijen

We beschouwen nu rijen die niet convergent zijn en we gaan na of we ook over deze rijeniets zinvols kunnen vertellen.

3.6.1 +∞ en −∞

Dit zijn symbolen die geen reele getallen zijn en die we nog wiskundig moeten definieren.

Definitie van +∞ en −∞. Het symbool +∞ is per definitie een object dat strikt groteris dan elk reeel getal. Het symbool −∞ is een object dat strikt kleiner is dan elk reeelgetal.

Dus de symbolen +∞ en −∞ zijn geen getallen. We hebben deze symbolen al gebruiktom verzamelingen van reele getallen voor te stellen.

+∞ en −∞ zijn alleen symbolische hulpmiddelen om wiskundig uit te kunnen drukkendat iets onbegrensd groot wordt. Daar zullen van gebruik maken voor de definitie vandivergente rijen.

3.6.2 Definitie

Beschouwen we de rij (n2)n∈N0 . Deze rij is niet begrensd naar boven, maar wel naar bene-den, d.w.z. de verzameling der termen heeft geen bovengrens, maar wel een benedengrens,meer nog, deze rij wordt onbegrensd groter en groter. Nemen we bijvoorbeeld een grootgetal M = 9500 dan is elke term met rangnummer groter dan 100 groter dan 10000 endus ook groter dan 9500. We kunnen 100 kiezen voor m maar ook een kleinere waardenl. een getal niet kleiner dan het geheel getal groter dan

√9500 = 97, 5 dus 98.

Algemeen bepalen van een rangnummer m behorende bij een M : we nemen een wille-keurig groot positief getal M en vragen ons af vanaf welke term van de rij alle volgendetermen groter zijn dan M .

n2 > Mn>0⇐⇒ n >

√M.

Neem in ons geval namelijk m = d√Me.

Is n > m dan is ook n2 > m2 ≥M . Er geldt dus

∀M ∈ R+0 ,∃m ∈ N0 : n > m =⇒ n2 > M

In dit geval zeggen we dat de rij divergeert naar +∞ en we noteren:

limn→+∞

n2 = +∞


en noemen +∞ de limiet van de rij.

We definieren algemeen:

lim+∞ un = +∞⇐⇒ ∀M ∈ R+0 ,∃m ∈ N0 : n > m =⇒ un > M.

Wordt een rij (un) onbegrensd kleiner (onbegrensd groter in absolute waarde).Wiskundig kunnen we dat als volgt uitdrukken: voor alle positieve grote getallen Mbestaat er een rangnummer m zo dat voor de termen met een rangnummer groter dan mgeldt dat ze kleiner zijn dan −M . We zeggen dat de rij (un) divergeert naar −∞We noteren

limn→+∞

un = −∞.

We noemen −∞ de limiet van de rij (un). We definieren algemeen:

lim+∞ un = −∞⇐⇒ ∀M ∈ R+0 ,∃m ∈ N0 : n > m =⇒ un < −M.

De symbolen +∞ en −∞ voldoen dus aan

−∞ < r < +∞,∀r ∈ R.

In principe kunnen we vanaf nu +∞ en −∞ gebruiken om intervallen af te bakenen. Ditis wat we vroeger reeds deden. Bijvoorbeeld, het interval ]−∞, 0] is de verzameling vanalle negatieve getallen (inclusief 0).

STELLING 3.2 De limietwaarde van een divergente rij is uniek.

Voorbeelden van divergente rijen:

• De rekenkundige rij (−4 + 34n)

– Deze rekenkundige rij is strikt stijgend;

– Deze rekenkundige rij is niet begrensd. Maar ze is wel naar onder begrensdwant alle termen van de rij zijn groter dan −13

4.

– De termen van deze rij worden steeds groter naarmate n groter wordt. De rijdivergent naar +∞. Vanaf welk rangnummer is een term van de rij groter daneen zeer grote waarde M ∈ R+?

−4 +3

4n > M ⇐⇒ n >

4(M + 4)

3

We nemen m = d4(M+4)3e.

Uit n > m volgt dan dat n > m > 4(M+4)3

en dus −4 + 34n > M .

lim+∞

(−4 +3

4n) = +∞


• De rekenkundige rij (3− 2n)

– Deze rekenkundige rij is strikt dalend;

– Deze rekenkundige rij is niet begrensd. Maar ze is wel naar boven begrensdwant alle getallen van de rij zijn kleiner dan 3.

– De termen van deze rij worden steeds kleiner (groter in absolute waarde) naar-mate n groter wordt. De rij divergent naar −∞. Vanaf welk rangnummer iseen term van de rij kleiner dan een zeer kleine waarde −M ∈ R−?

3− 2n < −M ⇐⇒ n >M + 3

2

We nemen m = dM+32e.

Uit n > m volgt dan dat n > m > M+32

en dus 3− 2n < −M .

lim+∞

(3− 2n) = −∞

Figuur 3.10: de rekenkundige rijen (−4 + 34n) en (3− 2n)


• De rekenkundige rij (158− 3

8n)

Onderzoek hier het monotoon-zijn, begrensd-zijn en de divergentie.

– Deze rekenkundige rij is · · ·– Deze rekenkundige rij is · · ·– Deze rekenkundige rij is · · ·

Figuur 3.11: rekenkundige rij (158− 3

8n)



112

3n)

– Deze meetkundige rij is strikt stijgend;

– Deze meetkundige rij is niet begrensd. Maar ze is naar onder begrensd wantalle termen van de rij zijn groter dan 1

4.

– Neem een groot getal M en zoek een rangnummer m van een term die zekergroter is dan M en ook al de daaropvolgende termen.

Schrijf de limiet op van de rij:


112

3n)


3.7 Onbesliste rijen

Is elke rij ofwel convergent, ofwel divergent? Neen, natuurlijk niet. Neem bijvoorbeeld derij ((−1)n)n∈N0 . Wegens Stelling 3.8 is dit geen divergente rij, maar wegens Stelling 3.10is ze ook niet convergent! Zulke rij noemen we een onbesliste rij.

Voorbeelden:

• De meetkundige rij(− 1

9(−3

2)n)


– Deze meetkundige rij is niet naar boven begrensd en ook niet naar onder. Derij is dus niet begrensd.

Figuur 3.13: de meetkundige rijen(− 1

9(−3

2)n)

en(

(−1)n)


(−1)n)


– Deze meetkundige rij is naar boven begrensd door alle getallen die groter zijndan of gelijk aan 1 en naar onder begrensd door alle getallen kleiner dan ofgelijk aan −1. De rij is dus begrensd.

3.8. BESLUIT VOOR DE CONVERGENTIE EN DIVERGENTIE VAN REKENKUNDIGE EN MEETKUNDIGE RIJEN95

3.8 Besluit voor de convergentie en divergentie van

rekenkundige en meetkundige rijen

Uit de voorbeelden van rekenkundige en meetkundige rijen kunnen we de volgende be-sluiten trekken. Voor het bewijs verwijzen we naar pagina 3.15.3 na de rekenregels voorlimieten.

• Een niet-constante rekenkundige rij is nooit begrensd en is strikt dalend als hetverschil kleiner is dan nul en strikt stijgend als het verschil groter is dan nul

• Voor een meetkundige rij maken we een tabel met het gedrag al naar gelang deeerste term en de reden. In geval van convergentie is de limiet van de meetkundigerij gelijk aan 0 tenzij de rij constant is dan is de limiet gelijk aan de constantewaarde.

q q < −1 q = −1 −1 < q < 0 q = 0 0 < q < 1 q = 1 q > 1u1 > 0 Alt. Alt. Alt. Const. Dalend Const. Stijgend

Nt. Begr. Begr. Begr. Begr. Begr. Begr. Nt. Begr.onbeslist onb. conv. conv. conv. conv. divergent

u1 < 0 Alt. Alt. Alt. Const. Stijgend Const. DalendNt. Begr. Begr. Begr. Begr. Begr. Begr. Nt. Begr.onbeslist onb. conv. conv. conv. conv. divergent

3.9 Speciale bovengrenzen en ondergrenzen

Bij rijen die bvb. naar boven begrensd zijn, merken we op dat een bovengrens eventueel eenterm is van de rij of dat geen enkele bovengrens een term van de rij is. Om een onderscheidte maken tussen die verschillende soorten bovengrenzen (en ook ondergrenzen) definierenwe de begrippen van supremum (infimum) en maximum (minimum) van een verzamelingreele getallen.Is D een deelverzameling van R dan is d ∈ R supremum (infimum) van D als enslechts als d de kleinste bovengrens (grootste ondergrens) van D is.Notatie: supA, inf A.

Als een deelverzameling D een supremum (infimum) d bezit dan kunnen we twee gevallenonderscheiden:

1. ofwel is d een element van D en dan is d het grootste (kleinste) element van D ofhet maximum (minimum) van D.


2. ofwel is d geen element van D. Toch ligt d oneindig dicht tegen D vermits er geenenkele bovengrens (ondergrens) kleiner (groter) is dan d. Zo een element zullen welater ook een plakpunt van een verzameling noemen.

Merk op dat supremum en infimum en dus ook maximum en minimum reele getallen zijn.

OPGAVEN — 21 Zoek rijen waarvan de verzameling van de termen een supremum, infimum, maxi-mum of minimum bezit.

3.9.1 Eigenschappen van begrensde verzamelingen

STELLING 3.3 Heeft een deelverzameling van R een supremum (infimum) dan is datenig.

STELLING 3.4 Elke niet-ledige deelverzameling van reele getallen die naar boven (on-der) begrensd is heeft een supremum (infimum) in R.

Dit volgt uit de eigenschappen van reele getallen.

Omdat in het geordend veld R,+, .,≤ deze laatste eigenschap geldig is wordt R,+, .,≤het compleet totaal geordend veld genoemd.Voor Q,+, .,≤ geldt dit niet. We kunnen dit illustreren met het voorbeeld

{x ∈ Q : 0 < x <√

2} ⊂ Q

is een verzameling van rationale getallen die naar boven begrensd is in de verzameling vande rationale getallen. In Q heeft deze deelverzameling geen supremum. De verzamelingvan de bovengrenzen in Q is de verzameling van de rationale getallen groter dan

√2 en

deze verzameling heeft als deelverzameling van Q geen rationaal minimum in Q.

GEVOLG 3.1 Elke niet-ledige verzameling van gehele getallen die naar boven (onder)begrensd is heeft een maximum (minimum).

Voorbeeld: De verzameling {x ∈ Z : 0 < x ≤√

10} is naar boven begrensd door bvb.√

10en bezit dus een supremum. Het supremum is hier het maximum van de verzameling nl.3.

GEVOLG 3.2 Elke niet-ledige verzameling van positieve (negatieve) reele getallen heeftsteeds een positief infimum (negatief supremum) in R.

Met positief bedoelen we groter dan of gelijk aan nul, anders zeggen we strikt positief.

3.10. EIGENSCHAPPEN VAN CONVERGENTE/DIVERGENTE RIJEN 97

3.10 Eigenschappen van convergente/divergente rij-

en

We vragen ons nu af hoe we in hemelsnaam de limiet van een convergente rij berekenen. En hoe wetenwe of een rij al dan niet convergent is?

We kunnen deze vragen niet algemeen oplossen. Bijna elke rij moet afzonderlijk onderzocht worden. Erzijn wel enkele hulpmiddelen die we kunnen aanwenden.

Vooreerst is er een nodige voorwaarde voor het convergent zijn, namelijk begrensd zijn. Dus onbegrensderijen kunnen nooit convergeren.

Verder zullen we zien dat stijgende rijen begrensd kunnen zijn en bijgevolg convergent.Dat kan voor jou logisch lijken, maar dit is het niet altijd geweest! Vroeger dacht men namelijk dat ietswat steeds groter wordt automatisch onbegrensd is. Een voorbeeld daarvan is het verhaal van de haas ende schildpad. Zij gingen om ter snelst een afstand van 1000 meter lopen. Maar aangezien de haas tochtien keer sneller liep dan de schildpad, kreeg deze laatste 100 meter voorsprong. Toen de haas 100 meterafgelegd had, had de schildpad dus nog altijd tien meter voorsprong. Toen de haas ook deze 10 meterafgelegd had, was de schildpad alweer 1 meter verdergesukkeld; toen de haas deze meter overbrugd had,was de schildpad nog 10 centimeter verder, enzovoort. We zien dus dat de afgelegde weg van de haaseen strikt stijgende rij vormt, en als je nu aanneemt dat zo’n rij automatisch onbegrensd is, dan komt dehaas na 1 kilometer nog steeds achter de schildpad. Dit is een van de Oud-Griekse paradoxen. De rij vande haas 100; 110; 111; 111, 1; 111, 11; · · · is een meetkundige reeks met reden 0, 1, dit is de rij der partielesommen van de meetkundige rij 100; 10; 1; 0; 1; 0, 1; 0, 01 · · · .

STELLING 3.5 Een convergente rij is begrensd.

Bewijs: Zij (un) een convergente rij met limiet U ∈ R. Er geldt:

∀ε ∈ R+0 ,∃m ∈ N0 : n ≥ m⇒ |un − U | < ε.

Alle termen van de rij zitten in de basisomgeving van U met straal ε op een eindigaantal na. De eindige verzameling termen {u1, u2, . . . , um−1} heeft een maximum g en eenminimum l. Dus alle termen van de rij (un) zijn kleiner dan of gelijk aan g of U + ε engroter dan of gelijk aan l of U − ε. De rij (un) is dus begrensd. �

We passen het bewijs van de stelling toe op 3 rijen,(

1− (−1)n 1n

),(− 3n+2

2n

)en(

5n+7n+1

).

Kies voor elk van de voorbeelden een ε en duid op de figuren 3.14, 3.15 en 3.16 de getallenl, g, U − ε of U + ε aan.

Opmerking: Het omgekeerde van de stelling is niet geldig. Het is mogelijk dat een niet-convergente rij tevens begrensd is. Neem bvb. de alternerende rij ((−1)n), die begrensdis en onbeslist.


Figuur 3.14: de rij(

1− (−1)n 1n

)

Figuur 3.15: de rij(− 3n+2

2n

)

Figuur 3.16: de rij(

5n+7n+1

)

3.11. CRITERIA VOOR CONVERGENTE RIJEN 99

STELLING 3.6 Als een rij niet begrensd is dan is ze niet convergent.

Deze stelling is de contrapositie van stelling 3.5.

Zoals voor convergente rijen hebben we voor divergente rijen ook enkele eigenschappenwaarvan de bewijzen parallel verlopen met deze voor convergente rijen. We kunnen zedus weglaten.

STELLING 3.7 Een divergente rij is niet begrensd.

Opmerking: Het omgekeerde van de stelling geldt niet. Er zijn rijen die niet begrensdzijn en toch niet divergent zijn.

STELLING 3.8 Een alternerende rij is nooit divergent.

OPGAVEN — 22 Zoek uit alle voorgaande voorbeelden

1. de rijen die niet convergent zijn maar toch begrensd;

2. de rijen die niet begrensd zijn en divergent;

3. de rijen die niet begrensd zijn en onbeslist.

3.11 Criteria voor convergente rijen

De rij (1 − 12n ) is een strikt stijgende rij want we trekken van 1 steeds maar een kleiner

getal af. De rij is tevens begrensd want alle termen liggen tussen 0 en 1. Juist omdatdeze stijgende rij begrensd is, is ze convergent. Dit gaan we bewijzen.

STELLING 3.9 Elke stijgende (dalende) begrensde rij is convergent.De limiet is het supremum (infimum) van de verzameling van de termen van de rij.

Bewijs:We bewijzen dit voor bijvoorbeeld een stijgende rij.We tonen aan als een stijgende rij begrensd is dan is ze convergent.Onderstel dus dat de stijgende rij (un) begrensd is. Dan heeft de verzameling A = {un :n ∈ N0} een supremum U ∈ R. Nemen we nu een willekeurige basisomgeving van U , nl.]U − ε, U + ε[. In deze omgeving zit er minstens een term van de rij, want anders zouU − ε een kleinere bovengrens zijn van A en dit is in strijd met het feit dat U de kleinste


bovengrens is. Dat betekent dat er, voor elke gegeven ε > 0, er steeds een element m ∈ N0

bestaat waarvoor U − ε < um ≤ U . Maar voor elk natuurlijk getal n ≥ m geldt dan ook

U − ε < um ≤ un ≤ U < U + ε,

vermits de rij stijgend is.

∀ε ∈ R+0 ,∃m ∈ N0 : n > m⇒ |un − U | < ε

Hieruit besluiten we dat U de limiet is van (un).

Een analoog bewijs geldt voor dalende rijen. �

OPGAVEN — 23 Zoek uit alle voorgaande voorbeelden van rijen de rijen die monotoon zijn en be-grensd.

Een alternerende rij kan convergent zijn maar dan moet ze aan bijzondere voorwaardenvoldoen. Dit formuleren we in de volgende stelling:

STELLING 3.10 Een alternerende rij (un) convergeert als en slechts als de rijen(u2n)n∈N0 en (u2n−1)n∈N0 van respectievelijk de even genummerde termen en oneven ge-nummerde termen beiden convergeren naar 0. In dit geval is de limiet van de oorspron-kelijke rij (un) ook 0.

OPGAVEN — 24 Zoek uit alle voorgaande voorbeelden de rijen die alternerend zijn en tevens con-vergent zijn.

Een rij kan ook termgewijs begrensd zijn door een andere rij. In deze situatie kunnen weiets algemeen zeggen over de convergentie van een rij:

STELLING 3.11 (De gedomineerde convergentie/divergentie stelling) Zijn (un)en (vn) twee convergente/divergente rijen, en geldt dat un < vn (respectievelijk un ≤ vn),dan geldt:

lim+∞

un ≤ lim+∞

vn.

We geven het bewijs in het geval dat de twee rijen convergent zijn.Bewijs: Inderdaad, indien V < U , met V de limiet van (vn) en U deze van (un), dankunnen we ε gelijk aan U−V

2kiezen, en bestaan er dus natuurlijke getallen m1 en m2

waarvoor

n > m1 =⇒ |un − U | <U − V

2

3.12. TWEE MERKWAARDIGE LIMIETEN 101

en

n > m2 =⇒ |vn − V | <U − V

2

Van zodra n ≥max{m1,m2} = m geldt

U − U − V2

< un < U +U − V

2⇐⇒ U + V

2< un <

3U − V2

en

V − U − V2

< vn < V +U − V

2⇐⇒ 3V − U

2< vn <

U + V

2

Dit impliceert echter vn <U+V

2< un =⇒ vm < um van zodra n ≥ m, een strijdigheid. �

STELLING 3.12 (De Sandwich Regel) Zijn (un), (vn) en (wn) drie rijen waarvoorgeldt un ≤ vn ≤ wn, en zijn (un) en (wn) convergent/divergent met gemeenschappelijkelimiet r ∈ R ∪ {+∞,−∞}, dan is ook (vn) convergent/divergent en haar limiet is ookgelijk aan r.

Bewijs: Ook dit bewijs (in geval (un) en (wn) convergent zijn) is niet zo moeilijk en is eenbeetje in dezelfde stijl als het voorgaande. Alleen hoef je nu geen contrapositie te doen.Probeer het zelf eens! �

3.12 Twee merkwaardige limieten

De gulden rij.

We geven nu twee toepassingen op de voorgaande stellingen. Eerst de gulden rij (un/un+1),waarbij (un) de rij van Fibonacci voorstelt. De even termen (u2n/u2n+1) vormen eenstijgende rij (dit kan men inductief bewijzen, we laten het bewijs weg) en de oneventermen (u2n−1/u2n) vormen een dalende rij. Beide rijen zijn begrensd want alle termenliggen tussen 0 en 1. Deze rijen convergeren dus. Zij leven de limiet van de even termenrijen loneven de limiet van de oneven termenrij. Er geldt:

u2n

u2n+1

=u2n

u2n + u2n−1

=1

1 + u2n−1

u2n

.

Nemen we van beide leden de limiet (als we die leden opvatten als de even termen rij),dan bekomen we

leven =1

1 + loneven


en analoog hebben we ook

loneven =1

1 + leven.

Aldus is {loneven + levenloneven = 1leven + lonevenleven = 1

,

waaruit we vinden leven = lonevendef= l. Vullen we dat in in bovenstaande gelijkheden,

dan bekomen we l2 + l − 1 = 0, dus

l =−1±

√5

2.

Aangezien de limiet positief moet zijn (als het supremum van een stijgende positieve

verzameling reele getallen) is l =√

5−12

, een van de twee gulden snede getallen, de andere

is −√

5+12

.

Het getal e.

Beschouw de rij (un) =(

1 + 1n)n)

. Men kan bewijzen dat deze rij strikt stijgend is (met

behulp van het binomium van Newton; zie later) en naar boven begrensd door het getal3 bijvoorbeeld. Deze rij convergeert dus. We zullen de limiet voorstellen door de letter e.Dus vanaf nu is de letter e als wiskundig symbool dit bepaalde getal en mogen we e nietmeer gebruiken om een variabel getal, een parameter of een onbekende te benoemen.

lim+∞

(1 +1

n)n = e = 2, 718281828459 · · · .

Figuur 3.17: het getal e

3.13. OPHOPINGSPUNTEN, GEISOLEERDE PUNTEN EN PLAKPUNTEN 103

3.13 Ophopingspunten, geısoleerde punten en plak-

punten

3.13.1 Definities

Als toepassing op de convergente en divergente rijen zullen we nu een stukje reele topologie zien. Echteralleen de grondbegrippen die we later nog nodig zullen hebben bij limietonderzoek en continuıteit.We hebben gezien dat een monotone rij die begrensd is convergent is. De limiet van zo een rij is dansupremum of infimum van de verzameling van de termen van de rij. Er kunnen echter nog andere specialepunten zijn voor de verzameling van de termen van een rij. Bijvoorbeeld, een niet convergente rij waarvande rij van de even termen nadert naar een bepaalde waarde en de rij van de oneven termen naar eenandere waarde. Deze punten spelen in zeker opzicht dezelfde rol als de limiet van een convergente rij.Vandaar dat we zo punten wiskundig willen definieren. Deze punten zullen we ophopingspunten noemen.We definieren echter eerst het begrip geısoleerd punt.

Zij D een deelverzameling van R.Een element van D is een geısoleerd punt van D als en slechts er geen enkele rij bestaatmet termen in D \ {d} die convergeert naar d.Een element d ∈ R∪{+∞,−∞} is een ophopingspunt van D als en slechts als er een rijbestaat waarvan alle termen elementen zijn van D en die convergeert of divergeert naard en d mag geen geısoleerd punt zijn van D.Een plakpunt van D is een ophopingspunt dat geen element is van D. Een plakpunt kandus niet geısoleerd zijn.Een element d ∈ R∪ {+∞} is een linkerophopingspunt van D als en slechts als er eenstrikt stijgende rij bestaat waarvan alle termen elementen zijn van D en die convergeertof divergeert naar d (dus d is “van links bereikbaar”).

Geef nu zelf de analoge definitie voor een rechterophopingspunt.


3.13.2 Eigenschappen

We bewijzen de volgende stellingen.

STELLING 3.13 Heeft D een supremum in R dat geen maximum is dan is dat supre-mum een plakpunt van D. Eenzelfde bewering geldt voor infimum en minimum uiteraard.

Bewijs: Zij d het supremum van D. We construeren als volgt een rij (un). Daar d dekleinste bovengrens is van D, bestaat er zeker nog een element van D groter dan of gelijkaan d− 1

n, voor alle n ∈ N. Kies zo een getal en stel het gelijk aan un. De aldus gevormde

rij convergeert naar d want elke ε ∈ R+ is groter dan een zekere 1m

, m ∈ N en alle termenvan (un) vanaf um liggen per definitie tussen d− 1

men d, en dus ook tussen d− ε en d+ ε.

�

Voorbeeld: We passen de constructie van een convergente rij, in het voorgaande bewijs,toe op de verzameling

D = {(−1)n(1− 1

n) : n ∈ N0}.

Zo verkrijgen we de rij van termen in D: 0, 12, 3

4, 3

4, 5

6, 5

6, · · · . We kunnen van deze laatste

rij een strikt stijgende deelrij nemen die tevens convergeert naar 1.

Een soort omgekeerde van deze stelling is de volgende de stelling:

STELLING 3.14 Is d een ophopingspunt van D, en is d terzelfdertijd een bovengrens,dan is d het supremum van D. Eenzelfde eigenschap geldt voor infimum en ondergrens.

Bewijs: Stel dat d′ een kleinere bovengrens is dan d voor D. Zij (un) een rij met termenin D die convergeert naar d. Wegens de definitie van limiet moeten er termen van (un)gelegen zijn tussen d − ε en d, voor alle ε ∈ R. Neem nu even ε = d − d′, dan zoudener termen van (un) moeten gelegen zijn tussen d′ en d, strijdig met het feit dat d′ eenbovengrens is. Dit bewijst de stelling. �

Tenslotte een stelling die het verband legt met convergente en divergente rijen en waarvanhet bewijs onmiddellijk uit de definities volgt (vandaar dat we het weglaten).

STELLING 3.15 De limiet van een niet-constante convergente rij of divergente rij iseen ophopingspunt van de verzameling van haar termen. De limiet van een constante rijis een ge”ısoleerd punt van de verzameling van haar termen.

Merk op dat in tegenstelling met supremum en infimum van een verzameling een opho-pingspunt niet noodzakelijk een reeel getal moet zijn. Een ophopingspunt kan eventueel+∞ of −∞ zijn.


In de volgende voorbeelden gaan we van de gegeven deelverzamelingen alle speciale puntenopsporen.

Voorbeelden:

• D = {(−1)n(1− 1n) : n ∈ N0}

Ophopingspunten : Het element 1 is een ophopingspunt van D want de rij waarvan

de termen elementen zijn van D voor n even convergeert naar 1, nl. 12, 3

4, 5

6, · · · .

Het element −1 is tevens een ophopingspunt van D want de rij waarvan de termenelementen zijn van D voor n oneven convergeert naar −1, nl. 0,−2

3,−4

5,−6

7, · · · .

Linkerophopingspunt : 1 is enkel van links bereikbaar dus 1 is een linkerophopings-punt maar is geen rechterophopingspunt.Rechterophopingspunt : −1 is een rechterophopingspunt maar geen linkeropho-

pingspunt.Plakpunten Omdat het ophopingspunt 1 niet tot D behoort is het een plakpunt

van D. Ook −1 is een plakpunt van D.Geısoleerde punten : Alle elementen van D zelf zijn geısoleerde punten van D.

Neem bvb. 12

dan bestaat er geen enkele rij met elementen in D \ {12} die conver-

geert naar 12.

Supremum 1 is een ophopingspunt en tegelijk een bovengrens dus is 1 het supre-mum dat geen maximum is.Infimum −1 is een ophopingspunt en tegelijk een ondergrens dus −1 is het infimum

dat geen minimum is.

• D = { 1n

: n ∈ N0}Ophopingspunten : Het element 0 is een ophopingspunt van D want 0 is de limiet

van de niet-constante rij ( 1n) waarvan alle termen elementen zijn van D.

Rechterophopingspunt : De rij ( 1n) is een strikt dalende rij die convergeert naar 0.

0 is dus een rechterophopingspunt van D.Plakpunten : 0 is een ophopingspunt dat niet tot D behoort dus is 0 een plakpunt.

Geısoleerd punten : Alle punten van D zijn geısoleerde punten van D.

Supremum : 1 is een bovengrens die element is van de verzameling. Dus is 1 hetmaximum van D.Infimum : 0 is een ophopingspunt dat tevens een ondergrens is van D. Dus 0 is het

infimum en geen minimum omdat het niet tot D behoort.

• D = {1− cosnn2 : n ∈ N0}.

Ophopingspunten : 1 is een ophopingspunt van D want 1 is de limiet van de niet-

constante convergente rij (1− cosnn2 ) waarvan de termen elementen zijn van D.

Rechterophopuntspunt : 1 is een rechterophopingspunt van D want er bestaat een


strikt dalende deelrij van (1− cosnn2 ) die convergeert naar 1, bvb. de deelrij

u2, u4, u8, u17, u27, · · · = 1, 104; 1, 041; 1, 002; 1, 00095; 1, 0004; · · ·

Linkerophopingspunt : Toon hier nu zelf aan dat 1 tevens een linkerophopingspuntvan D is.

Plakpunten : 1 is een plakpunt van D.

Geısoleerde punten : Alle elementen van D zijn geısoleerde punten.

• D =]− 1, 3] ∪ {5}Ophopingspunten : Alle punten van [−1, 3] zijn ophopingspunten van D. Voor −1

bestaat er een strikt dalende rij bvb. de rij (−1 + 1n) die convergeert naar −1 en

waarvan de termen elementen zijn van ]− 1, 0] ⊂ D.

Rechterophopingspunten: Alle punten van [−1, 3[ zijn rechterophopingspunten.

Linkerophopingspunten : Alle elementen van ]− 1, 3] zijn linkerophopingspunt vanD.Plakpunten : −1 is een plakpunt.

Geısoleerd punten : Het punt 5 is een geısoleerd punt van D want geen enkele rij

met termen in ]− 1, 3] convergeert naar 5.

Supremum : 5 is het maximum van D.

Infimum : −1 is het infimum.

• NOphopingpunten : +∞ is een ophopingspunt van N.

Linkerophopingspunten: +∞ is een linkerophopingspunt van N omdat er een rij

bestaat met elementen in N nl. de rij (n)n∈N0 die divergeert naar +∞.

Plakpunten : +∞ is een plakpunt van N.

Geısoleerde punten : Alle elementen van N zijn geısoleerde punten van N.

Supremum : N heeft geen bovengrenzen dus ook geen supremum.

Infimum : N heeft een minimum , nl. 0.

• QOphopingspunten : Alle elementen van R zijn ophopingspunten van Q. Er bestaat

altijd een rij van rationale getallen die convergeert naar een irrationaal getal.+∞ is een ophopingspunt van Q want er bestaat een rij van rationale getallen die


divergeert naar +∞. Zo is −∞ tevens een ophopingspunt van Q.Linkerophopingspunt: Alle elementen van R ∪ {+∞} zijn linkerophopingspunten

van Q. +∞ is linkerophopingspunt want we kunnen zeker een strikt stijgende rijvinden van rationale getallen die divergeert naar +∞.rechterophopingspunt : Alle elementen van R∪{−∞} zijn rechterophopingspunten

van Q. −∞ is een rechterophopingspunt van Q want we kunnen zeker een striktdalende rij vinden van rationale getallen die divergeert naar −∞.Plakpunten : Alle irrationale getallen zijn ophopingspunten die niet tot de verza-

meling behoren en dus plakpunten van Q, alsook +∞ en −∞ zijn plakpunten.Geısoleerde punten : er zijn geen geısoleerde punten in Q.

Supremum : Q heeft geen bovengrenzen, dus ook geen supremum.

Infimum : Q heeft geen ondergrenzen dus ook geen infimum.

• D = {(x− 5)(x+ 9) : x ∈ R}Deze verzameling is de verzameling van de beelden van de functie y = (x−5)(x+9).Deze functie stelt een parabool voor en bereikt een kleinste waarde voor x = 5−9

2=

−2, di. de x-waarde van de top van de parabool. De y-waarde van de top is dekleinste waarde nl. −49.

D = {(x− 5)(x+ 9) : x ∈ R} = [−49,+∞[

Ophopingspunten : Alle punten van [−49,+∞] zijn ophopingspunten van D.

Rechterophopingspunten : Alle punten van [−49,+∞[ zijn rechterophopingspuntenvan D.Linkerophopingspunten : Alle punten van ] − 49,+∞] zijn linkerophopingspunten

van D.Plakpunten : +∞ is een plakpunt van D.

Geısoleerde punten : er zijn geen geısoleerde punten in D.

Supremum : D heeft geen bovengrenzen, dus ook geen supremum.

infimum : D heeft −49 als minimum.


AN I groepswerk 3 1. Gegeven is de verzameling D = {3− 1n

: n ∈ N0}.

(a) Geef enkele bovengrenzen van D;

(b) 3 een speciale bovengrens van D want ze is de kleinste bovengrens. Die boven-grens noemen we het supremum van D;

(c) Voor 3 bestaat er een niet constante rij met termen in D die convergeert naar3. Dit is de rij (un) : · · ·

(d) Omdat er een niet-constante rij voor 3 bestaat, noemen we 3 een ophopingspuntvan D;

(e) Omdat (un) een strikt stijgende rij is, is 3 een linkerophopingspunt van D(we naderen in D naar 3 van aan de linkerkant);

(f) Zoek in de cursus een stelling die het verband legt tussen ophopingspunt ensupremum van een verzameling. Formuleer ze.

(g) D is de verzameling van termen van een rij! Zoek in de cursus een stellingdie het verband legt tussen de limiet van een rij en ophopingspunt van deverzameling van de termen van de rij. Formuleer ze.

(h) Geef enkele ondergrenzen van D;

(i) 2 is een speciale ondergrens van D omdat 2 de grootste ondergrens is. Dieondergrens noemen we het infimum van D;

(j) Omdat 2 tevens het kleinste element is van D noemen we 2 ook het minimumvan D;

(k) Voor 2 bestaat ook een rij met termen in D die convergeert naar 2, nl. deconstante rij 2, 2, · · · ;

(l) Omdat er voor 2 geen andere rij bestaat met termen die elementen zijn van Ddan enkel een constante rij , wordt 2 een geısoleerd punt van D genoemd;

(m) Zijn er nog andere geısoleerde punten in D?

(n) Geef de verzameling van alle geısoleerde punten van D:

(o) Zijn er nog andere ophopingspunten buiten 3 in D?

(p) D als verzameling van termen van een rij is een begrende verzameling. Zoek inde cursus twee stellingen die een verband leggen tussen convergentie van eenrij en het begrensd zijn van de rij. Formuleer de twee stellingen.


2. Gegeven is de verzameling D = {(−1)n+1(5 + 1n) : n ∈ N0}

(a) Zoek de eventuele ophopingspunten (linker en/of rechter) en geısoleerde puntenvan D;

(b) Heeft D een supremum en/of een infimum?

(c) Formuleer nog eens het verband tussen ophopingspunt, supremum en infimum?

(d) D is de verzameling van de termen van een rij. Is de rij begrensd? Is de rijconvergent? Van welke stelling is de omgekeerde niet geldig? Formuleer destelling.

(e) Is een ophopingspunt van de verzameling van de termen van een rij steeds delimiet van de rij? Van welke stelling is de omgekeerde niet geldig?

3. Gegeven is de verzameling D = {−1, 1}

(a) Zoek de eventuele ophopingspunten en geısoleerde punten van D;

(b) Het supremum 1 van D is tevens het grootste element van D. We noemen 1het maximum van D;

(c) D kan beschouwd worden als de verzameling van de termen van de rij ((−1)n)n∈N0.

Is de rij begrensd? Is de rij convergent?

(d) D kan beschouwd worden als de verzameling van de termen van de rij−1, ;−1, ;−1, ;−1, 1, 1, 1 1, 1, 1 · · · .Waarom is de rij een constante rij?

(e) Zoek een stelling die het verband legt tussen de limiet van een rij en geısoleerdpunt van de verzameling van haar termen.


4. Gegeven is de verzameling D = {3 + sinnn3 : n ∈ N0}

(a) Toon aan dat D enkel bestaat uit geısoleerde punten. Is D een begrensdeverzameling? Wat kan je besluiten omtrent het supremum en het infimum?

(b) Waarom heeft D een ophopingspunt (linker en/of rechter)?

(c) Is er nu een verband tussen ophopingspunt en supremum of infimum? Welkevoorwaarde is niet vervuld?

5. Geef een voorbeeld van een verzameling die uit enkel geısoleerde punten bestaatmaar niet naar boven en niet naar onder begrensd is. Heeft zo een verzamelingophopingspunten (linker en/of rechter), supremum, infimum, maximum, minimum?

6. Geef een voorbeeld van een verzameling van de termen van een divergente rij. Bepaalvan zo een rij de speciale punten.

7. Toon aan dat in de verzameling Z van de natuurlijke getallen elk natuurlijk getal eengeısoleerd punt is in Z. Heeft Z ophopingspunten? Zoek de stelling die je daarvoorkan toepassen. Is Z begrensd?

8. Zoek in de cursus wat een plakpunt is van een verzameling. Bepaal voor alle voor-gaande verzamelingen D de plakpunten.

Opmerking: In de bovenstaande voorbeelden bestaat voor de verzameling D min-stens een rij waarvan alle elementen van D termen zijn.


In de volgende voorbeelden is het niet mogelijk een rij te vinden waarvan alle ele-menten van D termen zijn. Maar we kunnen oneindig veel rijen beschouwen waarvande termen elementen zijn van D (maar niet alle elementen).

9. Gegeven is de verzameling D =]− 4, 3] ∪ {5}

(a) Geef enkele bovengrenzen van D;

(b) 5 is een speciale bovengrens want ze is de kleinste bovengrens. Hoe noemen wedie bovengrens?

(c) 5 is ook het grootste element van D. Hoe noemen we zo een element?

(d) Ga na of er voor 5 een rij bestaat met termen in D die convergeert naar 5;

(e) Welk soort punt is 5 voor D?

(f) Geef enkele ondergrenzen van D;

(g) −4 is een speciale ondergrens, nl. · · · · · · · · · .Die speciale ondergrens noemen we · · · · · · · · ·

(h) Is −4 een speciaal infimum voor D?

(i) Maak gebruik van de voorgaande voorbeelden om aan te tonen dat 3 en 1ophopingpunten zijn van D.

(j) Zoek voor −4 een niet-constante rij met termen in D die convergeert naar −4(denk aan de rij die convergeert naar 3).

(k) Toon aan dat voor geen enkele andere ondergrens er een rij bestaat met termenin D die convergeert naar die ondergrens;

(l) Welk soort punt is −4 voor D?

(m) Zijn er nog andere elementen van D die ophopingspunten zijn van D?

(n) Geef de verzameling van alle ophopingspunten van D:

10. Gegeven de verzameling D = {−x2

20− 2x : x ∈ R}

(a) Bepaal D als deelverzameling van R;

(b) Bepaal de speciale punten van D.


11. Toon aan dat in de verzameling R \Q van de irrationale getallen elk rationaal getalen elk irrationaal getal een ophopingspunt is van R \Q.

12. Verzamel de eigenschappen voor supremum en infimum en ga die eigenschappen nain de bovenstaande verzamelingen.

AN I HUISTAAK 3 Stel de volgende verzamelingen voor op een georienteerde rechte(op de y-as of eventueel op de x-as). Bepaal de eventuele ophopingspunten, linker- enrechterophopingpunten, plakpunten, geısoleerde punten, supremum, infimum, maximumen minimum van deze deelverzamelingen van R. Zet de resultaten in een tabel (een kolomper verzameling en eventuele berekeningen apart zetten).

1. {x ∈ Z : x > π} 5. {x ∈ R \Q : x ≥ −34}

2. {12, 3

4, 7

8, . . .} 6. {x2 − 1 : x ∈ R}

3. {1,−12, 1

3,−1

4, . . .} 7. {−2x2 + 7x+ 4 : x ∈ R}

4. {12,−2

3, 3

4,−4

5, . . .} 8. {x2 + y2 : 2x+ y = 3 met x, y ∈ R}

3.14 Bewerkingen met rijen

De bewerkingen met rijen stemmen volledig overeen met de bewerkingen met functies. Zodefinieren we andere rijen. Bijvoorbeeld, onderstel dat (un) en (vn) twee rijen zijn, dankunnen we de somrij (un + vn) vormen, of de verschilrij (un − vn), of de productrij(unvn), of, indien geen enkele term van (vn) gelijk aan nul is, de quotientrij (un/vn).Zijn a en b twee willekeurige reele getallen, dan kunnen we ook een lineaire combinatie(aun + bvn) vormen.

Ook met slechts een rij kunnen we andere maken. De tegengestelde rij van de rij (un)is de rij (−un); de omgekeerde rij van de rij (un) zonder nultermen is de rij (1/un); dei-de macht van een rij (un), i ∈ N, is de rij (uin). Voor een positieve rij (un) kan menook rationale machten beschouwen en aldus een rij (uqn), q ∈ Q+, krijgen. Je kunt ookeen sinusrij vormen door van elke term de sinus te nemen, enzoverder.

3.15. REKENREGELS VOOR LIMIETEN VAN RIJEN 113

3.15 Rekenregels voor limieten van rijen

3.15.1 Stellingen – de rekenregels voor limieten

We geven nu enkele regels die het ons gemakkelijker moeten maken om, ten eerste, deconvergentie van een rij te bewijzen, en, ten tweede, de limiet effectief te berekenen. Wezullen er enkele van bewijzen om je te laten zien hoe het in zijn werk gaat. Meestal zijner ingewikkelde technische snufjes nodig en daar willen we uiteraard niet op ingaan.

We beginnen met een belangrijke opmerking.

Opmerking: Beschouw de rij van Mieke eens terug. De limiet van deze rij is duidelijkhet getal 24, want uiteindelijk slaapt Mieke 24 uren per dag. We kennen dus de limietvan deze rij zonder dat we elke term kennen van deze rij. Wat we wel kennen zijn alletermen uitgezonderd een eindig aantal. Algemeen is het zo, dat we in een rij een eindigaantal termen mogen veranderen, weglaten of bijvoegen zonder de eventuele convergentieen limietwaarde te veranderen.

STELLING 3.16 (i) Zij q ∈ Q+ en zij (un)n∈N0 een convergente rij met limiet U ∈ R+.Dan is ook (uqn)n∈N0 een convergente rij en limn→+∞ u

qn = U q.

(ii) Zij q ∈ Q− en zij (un)n∈N0 een convergente rij met limiet U ∈ R+0 . Is un 6= 0 voor alle

n ∈ N0, dan is ook (uqn)n∈N0 een convergente rij en limn→+∞ uqn = U q.

We zeggen kortweg: De limiet van een macht van een convergente rij is gelijk aan demacht van de limiet van de rij.

lim+∞

(uqn) = (lim+∞

un)q.

Bewijs: We bewijzen alleen (i) en dan nog voor q = 2. We moeten dus bewijzen dat voorelk getal ε > 0 er een natuurlijk getal m ∈ N0 bestaat zo dat |u2

n − U2| ≤ ε, voor allen ≥ m. Wel, neem zo een willekeurig getal ε > 0.

|u2n − U2| = |(un − U)(un + U)| = |un − U |.|un + U |

Daar (un) convergent is, is ze ook begrensd en dus bestaat er een reeel getal M zo dat|un| < M , voor alle n ∈ N0. Er geldt dan ook dat

|un + U | ≤ |un|+ |U | < M + |U |.

Daar limn→+∞ un = U , kan |un−U | kleiner gemaakt worden dan het positieve getal εM+|U |

van zodra m ∈ N0 voldoende groot is.

∀n ∈ N0 : n ≥ m =⇒ |un − U | <ε

M + |U |.


Voor n > m hebben we dus:

|u2n − U2| = |un − U |.|un + U | < ε

M+|U | .(M + |U |)< ε,

hetgeen we moesten bewijzen. �

Je ziet dat er een “kunstgreep” nodig is om ons doel te bereiken. Voor andere waardenvan q, vooral dan de niet-gehele, is de kunstgreep nog ingewikkelder. Maar we hebbenopzettelijk het geval q = 2 bewezen omdat we dit geval nodig hebben voor Stelling 3.18.

Voorbeeld: De rij(

1−2nn

)convergeert naar −2. Volgens voorgaande stelling convergeert de

rij(

(1−2n)2

n2

)naar 4.

Opmerkingen: In feite hoeven in (ii) niet alle termen van (un) verschillend van nulte zijn. Maar dan moeten we in de rij (uqn) de niet-gedefinieerde termen (namelijk dezewaarvoor un = 0) vervangen door een getal naar keuze, of gewoon weglaten; wegens U 6= 0zullen dat er toch maar een eindig aantal zijn.

STELLING 3.17 Zijn (un) en (vn) twee convergente rijen met limiet U en V respectie-velijk, en zijn a en b twee reele getallen, dan is de rij (aun + bvn) convergent en heeft alslimiet aU + bV .

We zeggen kortweg: De limiet van een lineaire combinatie van twee convergente rijen isgelijk aan de lineaire combinatie van de limieten.

lim+∞

(a · un + b · vn) = a lim+∞

un + b lim+∞

vn.

Bewijs: We bewijzen de stelling voor het algemene geval a 6= 0 6= b. We moeten dusbewijzen dat voor elk getal ε > 0 er een natuurlijk getal m ∈ N0 bestaat zo dat|a.un + b.vn − a.U − b.V | ≤ ε, voor alle n ≥ m. We kiezen dus terug een willekeurig getalε > 0.

|a.un + b.vn − a.U − b.V | = |a.(un − U) + b.(vn − V )| ≤ |a|.|un − U |+ |b|.|vn − V |

We moeten het laatste lid van deze laatste betrekking proberen naar boven te begrenzendoor ε. Elke term moeten we dan kleiner kunnen maken dan ε

2.

1. De rij (un) convergeert naar U , dus voor het getal ε2|a| bestaat er een m1 ∈ N0 zo

dat voor alle n ≥ m1 er geldt:

|un − U | ≤ε

2|a|.


2. De rij (vn) convergeert naar V , dus voor het getal ε2|b| bestaat er een m2 ∈ N0 zo

dat voor alle n ≥ m2 er geldt:

|vn − V | ≤ε

2|b|.

Neem m = max{m1,m2} dan geldt van zodra n groter is dan m dat

|a.un + b.vn − a.U − b.V | ≤ |a|.|un − U |+ |b|.|vn − V |< |a|. ε

2|a| + |b|. ε2|b|

< ε2

+ ε2

< ε

Hetgeen we moesten aantonen. �

STELLING 3.18 Zij (un) en (vn) twee rijen met limiet respectievelijk U en V . Dangeldt:

(i) de rij (unvn) convergeert naar UV ;

(ii) als vn 6= 0 voor alle n ∈ N0 en V 6= 0, dan convergeert (un/vn) naar U/V .

We zeggen kortweg:De limiet van een product van twee convergente rijen is gelijk aan het product van delimieten.

lim+∞

(un · vn) = lim+∞

un · lim+∞

vn.

De limiet van een quotient van twee convergente rijen is gelijk aan het quotient van delimieten.

lim+∞

unvn

=lim+∞ unlim+∞ vn

.

Bewijs: (i) Onderstel dat de rijen (un) en (vn) convergeren naar U en V respectievelijkzoals in de opgave. Wegens Stelling 3.17 convergeert (un+vn) naar U+V . Wegens Stelling3.16 convergeren ((un + vn)2)n∈N0 , (u2

n) en (v2n) naar (U + V )2, U2 en V 2 respectievelijk.

We passen dan Stelling 3.17 drie maal toe om te bekomen dat (unvn), wat kan geschrevenworden als (1

2((un + vn)2 − u2

n − v2n)), convergeert naar 1

2((U + V )2 − U2 − V 2) = UV .

(ii) Als (vn) convergeert naar V , dan convergeert (1/vn) naar 1/V (wegens Stelling 3.16voor q = −1), en wegens (i) convergeert (un/vn) dan naar U/V . �

Het is opnieuw niet nodig dat alle vn verschillend van nul zijn. Daar V 6= 0, zullen er tochmaar een eindig aantal zijn, en deze mogen we altijd vervangen door niet-nul elementen,of gewoon weglaten.


We zien dus dat de algebraısche bewerkingen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, de-len, machtsverheffing en worteltrekking) de convergentie van een rij niet storen en opdezelfde manier inwerken op de limiet(en) als op de corresponderende rij(en). Dit maakthet eenvoudig om sommige limieten te berekenen. Bijvoorbeeld, neem de rij (un) met

un =n2 + n+ 1

3n2 − 2n+ 1.

We kunnen un ook nog schrijven als

un =n2(1 + 1

n+ 1

n2 )

n2(3− 2n

+ 1n2 )

=1 + 1

n+ 1

n2

3− 2n

+ 1n2

.

Daar de rij (1/n) naar 0 convergeert (zoals vroeger aangetoond), zullen ook (2/n) en(1/n2) naar 0 convergeren wegens de bovenstaande stellingen. Dus de rij(

1 +1

n+

1

n2

)n∈N0

convergeert naar 1 en de rij (3− 2

n+

1

n2

)n∈N0

convergeert naar 3. Aldus convergeert de rij(1 + 1

n+ 1

n2

3− 2n

+ 1n2

)n∈N0

wegens Stelling 3.18(ii) naar 1/3.

3.15.2 Rekenregels in R ∪ {−∞,+∞}

Er zijn nu terug een hele reeks rekenregels met convergente en divergente rijen. Om onshet leven wat gemakkelijker te maken, voert men een nieuwe korte notatie in. We zullendeze notatie niet formeel definieren, doch met een sprekend voorbeeld illustreren.

Beschouw daarvoor de rij (un) = (n2) van daarnet en de rij (vn) = (1 − 1/n). Je kanopnieuw zeer gemakkelijk controleren dat de rij (un+vn) = (n2 +1−1/n) divergeert naar+∞. Men kan zelfs bewijzen dat, voor elke willekeurige rij (un) die naar +∞ divergeert,en elke willekeurige rij die convergeert, zegge naar het reele getal r ∈ R, de rij (un + vn)ALTIJD naar +∞ zal divergeren. Deze uitspraak noteren we kort door:

(+∞) + r = +∞

en we noemen het een rekenregel in R ∪ {−∞,+∞}.We hebben nu de volgende rekenregels:


(+∞) + r = +∞ = r + (+∞)(−∞) + r = −∞ = r + (−∞)(+∞)− r = +∞ = r − (−∞)(−∞)− r = −∞ = r − (+∞)

(+∞) + (+∞) = +∞ = (+∞)− (−∞)(−∞) + (−∞) = −∞ = (−∞)− (+∞)

r · (+∞) = +∞ = (+∞) · r (r > 0)r · (+∞) = −∞ = (+∞) · r (r < 0)r · (−∞) = −∞ = (−∞) · r (r > 0)r · (−∞) = +∞ = (−∞) · r (r < 0)

(+∞) · (+∞) = +∞ = (−∞) · (−∞)(+∞) · (−∞) = −∞ = (−∞) · (+∞)

+∞r

= +∞ (r > 0)+∞r

= −∞ (r < 0)−∞r

= −∞ (r > 0)−∞r

= +∞ (r < 0)r

+∞ = 0 = r−∞

|10| = +∞

n√

+∞ = +∞ (n ∈ N0)n√−∞ = −∞ (n ∈ N0

en oneven)r+∞ = +∞ = (+∞)+∞ (r > 1)r+∞ = 0 (−1 < r < 1)r−∞ = 0 (|r| > 1)

(+∞)−∞ = 0 = (−∞)−∞

r−∞ = +∞ (0 < r < 1)

Tabel 3.1: Rekenregels voor limieten van convergente/divergente rijen.

STELLING 3.19 De rekenregels van tabel 3.1 gelden voor de limieten van convergenteen divergente rijen (voor alle r ∈ R).


We gaan dit niet allemaal bewijzen, daar temeer we deze rekenregels gemakkelijk intuıtiefkunnen aanvoelen. We merken wel op dat voor de voorlaatste en derde laatste regel decorresponderende rijen moeten gedefinieerd zijn! Bijvoorbeeld de rij (uvn

n ) met un = vn =−n is goed gedefinieerd, maar neem un = −n en vn = n/2, dan is dit niet meer het geval,want vierkantswortels van negatieve getallen bestaan niet in R! Dus alle regels gelden,als de corresponderende rijen bestaan!

We kunnen dus heel wat algebraısch rekenwerk verrichten in de verzameling R∪{+∞,−∞}.Doch enkele bewerkingen zijn niet gedefinieerd. Neem bijvoorbeeld de rijen (n2) en (n3).De rij (n2−n3) divergeert naar −∞ (inderdaad, n2−n3 = n3( 1

n−1) en dit geeft aanleiding

tot (+∞) · (−1) = −∞), dus we zijn geneigd om te zeggen (+∞)− (+∞) = −∞. Maarde rij (n3 − n2) divergeert duidelijkerwijs naar +∞ en daar gaat onze “rekenregel”!De tabel 3.2 geeft een lijstje van de uitdrukkingen waarover we niets algemeen kunnenzeggen en waarvoor we dus de betreffende rijen zelf moeten bekijken om de limiet te wetente komen.

(+∞)− (+∞), (+∞) + (−∞), (−∞) + (+∞), (−∞)− (−∞)

0 · (+∞), (+∞) · 0, 0 · (−∞), (−∞) · 0

+∞0, −∞

0, r

0

+∞+∞ ,

+∞−∞ ,

−∞+∞ ,

−∞−∞

(+∞)0, (−∞)0, 0−∞

1+∞, 1−∞ , r+∞(r ≤ −1), r−∞(r ≤ −1)

Tabel 3.2: Rekenregels voor limieten van convergente/divergente rijen.

Deze uitdrukkingen noemen we onbepaaldheden.

Als we bewerkingen willen uitvoeren met +∞ en −∞ bevinden we ons meteen op gladijs. Inderdaad, het symbool +∞ kan ons vaak verleiden tot valse uitspraken omdat wegeneigd zijn een conclusie te trekken die wel geldt voor reele getallen, maar niet voor +∞of −∞. We geven een voorbeeld aan de hand van een verhaal.

Er was eens een land waar iedereen die wat verdiende de helft moest afstaan aan de koning (in modernetermen dus ‘belastingen’). Maar iedereen had er het eeuwige leven (hier is +∞ dan!). Zo ook de driemeisjes Tom, Linde en Louise die aan het hof werkten. Zij verdienden elk per week 20 goudstukken. Zekregen die uitbetaald op vrijdag en moesten op zaterdag de belasting betalen. Alle drie nummerden zijvoortdurend de goudstukken die ze kregen om goed te kunnen bijhouden hoeveel ze nu precies verdiendhadden. Tom deed dat als volgt. De eerste keer dat ze betaald werd, nummerde ze alle goudstukken van


1 tot 20. Op zaterdag gaf ze dan de nummers 11 tot 20 terug. De volgende week kreeg ze de nummers11 tot 20 terug en nummerde de andere tien goudstukken van 21 tot 30. Deze laatste gaf ze dan terug opzaterdag. De volgende keer hield ze dan nummers 21 tot 30, daarna 31 tot 40, enzoverder. Uiteindelijkheeft ze dan alle goudstukken te pakken (want ze bezit elk nummer) en de koning niets. Slim bekekenvan Tom! Linde deed het anders. Zij nummerde ook de eerste twintig goudstukken die ze kreeg van 1tot 20, maar gaf de even nummers terug. De volgende goudstukken die ze kreeg nummerde ze verdervan 21 tot 40 en gaf terug de even nummers weer. Zo verder gaande zien we dus dat Linde alle onevengenummerde goudstukken zal bezitten en de koning de even genummerde. Elk even veel dus. Eerlijkbekeken van Linde! Louise daarentegen legde het nog anders aan boord. De eerste twintig goudstukkenwerden weer van 1 tot 20 genummerd, maar zij gaf de nummers 1 tot en met 10 terug. Het volgendweekloon werd van 21 tot 40 genummerd en Louise gaf op zaterdag de oude nummers 11 tot 20 terug.De volgende keer gaf ze dan de nummers 21 tot 30, enzovoort, tot wanneer ze dus alles teruggeven had.Zij hield niets over, alles was voor de koning! “Geld maakt toch niet gelukkig”, zei Tom tot Louise .

Zo eindigt het verhaaltje. Drie identieke situaties en afhankelijk van een eenvoudige nummering bekomje drie totaal verschillende eindes. Dit komt doordat er in feite geen einde is, want alles loopt tot in hetoneindige. Zo zie je dat je moet oppassen met de termen +∞ en −∞.

OPGAVEN — 25 Bereken de limieten van de volgende rijen door het toepassen van de stellingen ende rekenregels.

1. un = n3 5. un =√n

2. un = 1n2 6. un = 1√

n

3. un = n+22n+3 7. un = n2+3

n−1

4. un = 2n+7n2−7 8. un = (2+n)2+5

3−4n2

AN I HUISTAAK 4 1. Bereken de limieten van de volgende rijen door het toepas-sen van de stellingen en de rekenregels.

1. un = 1− 8n 3. un = (2+3n)(1−n)n(8n−7)

2. un = 2n5 − 3n3 + 9 4. un = n4−3n+23n2−5n+6

2. Gegeven de rijen (un) =(

1+3nn+1

)en (vn) = −(n

2−8n+15n2−8n+17

).Gevraagd:

(a) Bepaal de waarden U en V waarnaar de twee gegeven rijen convergeren. Naarwelke waarde W convergeert de rij (wn = un + vn). Maak hiervoor gebruik vaneen stelling. Controleer de waarde W met het voorschrift van (wn).

(b) Neem een basisomgeving met straal 0,02 van W . Vanaf welk rangnummer mben je zeker dat alle termen van de rij wn in die omgeving zitten op een eindigaantal na (maak hiervoor gebruik van hetgeen gedaan wordt om de stelling in2a te bewijzen).


3.15.3 Toepassing op meetkundige en rekenkundige rijen

Rekenkundige rijen

STELLING 3.20 De rekenkundige rij (an+ b)n∈N0 divergeert naar +∞ als a > 0, naar−∞ als a < 0, en ze convergeert naar b als a = 0.

Bewijs: We kunnen (an+ b)n∈N0 schrijven als a · (n)n∈N0 + (b)n∈N0 . Is a 6= 0, dan volgt uitde rekenregels en het feit dat de rij (n)n∈N0 naar +∞ divergeert, dat

limn→+∞

(an+ b) = a · (+∞) + b =

{+∞ als a > 0−∞ als a < 0

Is a = 0, dan hebben we de constante rij (b), die overduidelijk convergeert naar b. �

Convergentie van meetkundige rijen

STELLING 3.21 De meetkundige rij (aqn)n∈N0 divergeert naar +∞ als a > 0 en q > 1;naar −∞ als a < 0 en q > 1; ze convergeert naar a als q = 1; naar 0 als −1 < q < 1; zeis onbeslist als q ≤ −1.

De schematisch voorstelling van de stelling is:

limn→+∞

(aqn) = a · q+∞ =

+∞ als a > 0, q > 1−∞ als a < 0, q > 1a als q = 10 als − 1 < q < 1′ als q ≤ −1

Bewijs Voor q > 1 en −1 < q < 1 volgt dit uit de rekenregels q+∞ = 0 als −1 < q < 1, enq+∞ = +∞ als q > 1. Als q = 1 bebben we de constante rij (a), die naar a convergeert;als q = −1 hebben we een begrensde alternerende rij die wegens Stelling 3.10(ii) nietconvergeert, en wegens Stelling 3.8 niet divergeert; als q < −1, dan is de rij niet begrensd,dus niet convergent, en ook niet divergent wegens Stelling 3.8. �

3.16 Meetkundige reeksen

3.16.1 Inleidend praktisch voorbeeld

We nemen een voorbeeldje uit de economie. We veronderstellen een gesloten econmiezonder overheid. I is de investeringsfunctie. Uit de waarde van de productie van alle

3.16. MEETKUNDIGE REEKSEN 121

producenten samen (het nationaal product) resulteert het nationaal inkomen Y . Hetgrootste deel van het inkomen wordt geconsumeerd C, wat overblijft wordt gespaard S.Er geldt

Y = C + S

enC = 50 + 0, 75Y

is de consumptiefunctie als functie van het nationaal inkomen. Hieruit volgt dat

S = −50 +Y

4.

Een automontagebedrijf van Justine heeft goede vooruitzichten en wil uitbreiden, hetinvesteert 100 mln. Hierdoor zal de tewerkstelling in de bouwonderneming van Wouteren de constructiewerkplaats van Tom toenemen. Dit leidt tot een inkomensverhoging bijde betrokken werknemers. Ze profiteren ervan om zich eens in het nieuw te steken, zebesteden 75 mln aan nieuwe kleding en de rest van het meerinkomen sparen ze. In detextielsector wordt men nu geconfronteerd met een stijging van de vraag, de productie enhet inkomen. De ‘textielgezinnen besteden ook 0,75 % van hun meerinkomen aan nieuwvideomateriaal; de rest sparen ze. Daardoor stijgt de productie en de inkomens in devideosector enz. Dit voorbeeld veralgemenen we tot de macro-economie.

We bekijken het effect op het nationaal inkomen Y bij een toename van de investering∆I= 100mln. De marginale consumptiequote c is hier 0,75. Dit is de toename van C alshet Y stijgt met 1 eenheid.

Effect op Y (∆Y )1ste periode ∆I = 100mln 100,-mln2de periode ∆C1 = 100× 0, 75 75,-mln3de periode ∆C2 = (100× 0, 75)× 0, 75 56,25-mln4de periode ∆C3 = (100× 0, 752)× 0, 75 42,18-mln5de periode ∆C4 = (100× 0, 753)× 0, 75 31,63-mln... · · · ...

De laatste kolom geeft de rij van de toename van Y in de opeenvolgende periodes. Dezerij is een meetkundige rij met reden 0,75. De toename van het nationaal inkomen ∆Y nade n-de periode is gelijk aan de som van de toenames in de opeenvolgende periodes.

∆Y = ∆I + c ·∆I + c2 ·∆I + · · ·+ cn−1 ·∆I= ∆I(1 + c+ c2 + · · ·+ cn−1)

= ∆I(1− cn

1− c) = 100(

1− 0, 75n

1− 0, 75) = 400(1− 0, 75n)


Na onbepaalde tijd convergeert deze som, de toename van het nationaal inkomen naareen vaste waarde die we bekomen door de limiet te nemen van de bovenstaande functievoor n gaande naar +∞. Deze limiet zullen we in de volgende paragraaf berekenen.

3.16.2 Definitie

Vervolgens bekijken we eens de rij (sn), met sn = u1+u2+· · ·+un, waarbij (un) = (u1.qn−1)

een meetkundige rij voorstelt. We noemen zo een rij een meetkundige reeks.Voorbeeld: We beschouwen de meetkundige rij

(un) =

(5.(

2

3)n−1

)dan is de corresponderende meetkundige reeks

(sn) = (5 +10

3+

20

9+

40

27+ · · ·+ 5.(

2

3)n−1).

3.16.3 De algemene term van een meetkundige reeks

Zij dus un = u1qn−1 dan geldt voor de algemene term sn van de meetkundige reeks:

sn = u1 + u2 + · · ·+ un

= u1(1 + q + q2 + · · ·+ qn−1)

q 6=1=

u1(1 + q + q2 + · · ·+ qn−1)(1− q)1− q

=u1(1− qn)

1− q

=u1 − un+1

1− q.

We gebruiken deze uitdrukking om de som te bepalen van de eerste n termen van eenmeetkundige rij waarvan de reden verschillend is van 1.

Voorbeeld: Bereken de som van de eerste 100 termen van de rij

2, 6, 18, 54, . . .

De rij is een meetkundige rij met reden 3 en eerste term 2. De som is

2(1− 3100)

1− 3= 5, 1538.1047.

3.16. MEETKUNDIGE REEKSEN 123

3.16.4 Convergentie van meetkundige reeksen

We behandelen eerst de triviale gevallen.

Is q = 0 of a = 0, dan is (sn) de nulrij en die convergeert naar 0.Is q = 1, dan is (sn) de rekenkundige rij (an).Is q = −1, dan is s2n = 0 en s2n−1 = a. We bekomen dus de rij (a, 0, a, 0, a, . . .). Mengaat gemakkelijk na dat deze onbeslist is zodra a 6= 0.

Onderstel nu dus dat a 6= 0, q 6= −1, 0,+1. Uit de betrekking

sn =u1 − un+1

1− qvolgt dat als q 6= 1 is (sn) en (un) dezelfde convergentiekenmerken hebben.

1. (sn) is convergent als en slechts als −1 < q < 1 (a 6= 0, anders moeten we dit ookbeschouwen!) en de limiet is

limn→+∞

sn = limn→+∞

u1 − un+1

1− q=

u1

1− qWe noemen deze limiet de reekssom van de convergente meetkundige reeks.Voorbeeld:We hernemen het inleidend voorbeeld 3.16.1 op p. 120. Het effect naonbepaalde tijd op het nationaal inkomen Y is ∆I

1−c = 400. Het nationaal inkomenconvergeert naar 400 mln.

2. Is q > 1, dan is de rij (sn) divergent naar +∞ (voor a > 0) of −∞ (voor a < 0).

3. Is q < −1, dan is de rij (sn) onbeslist.

BESLUIT : Een meetkundige reeks is convergent als en slechts als de reden ligt tussen−1 en 1. De reekssom is dan gelijk aan de eerste term van de rij gedeeld door een min dereden. In dit geval heeft de oneindige som werkelijk de betekenis van een som.

Voorbeelden:

• Heeft de volgende reeks een reekssom?

36− 30 + 25− 125

6+ · · ·

Deze reeks is een meetkundige reeks met reden −56. Omdat de reden ligt tussen −1

en 1 is de meetkundige reeks convergent en heeft een reekssom gelijk aan 361+5/6

=21611

= 19, 636364.


• Is de volgende reeks ∑22n.31−n

convergent?We kunnen de algemene term op een andere manier schrijven

22n.31−n =4n

3n−1= 4.(

4

3)n−1.

De gegeven reeks is een meetkundige reeks met reden 43. Omdat de reden niet gelegen

is tussen −1 en 1 is de meetkundige reeks niet convergent en heeft ze bijgevolg geenreekssom.

OPGAVEN — 26 Zet de volgende repeterende decimale getallen om naar een breuk: 0,3333. . . ,0,56818181. . . , 95,2475475475. . . .

27 Beschouw de volgende rij: 4,5; 4,25; 4,125; 4,0625; Bepaal de algemene term van deze rij. Is deze rijconvergent? Leg uit waarom en bereken haar limiet. Op welke eigenschap steun je daarvoor?

28 Saqib doet graag wiskunde en het verhaal over het inhaalmanoeuvre van de haas intrigeerde haar.Woensdagnamiddag houdt ze zich bezig met het studeren van analyse. Om 19u wist ze alles af vanmeetkundige reeksen. Ze keek naar haar uurwerk en dacht: ‘Ik zal eens berekenen op welk tijdstip exactde grote wijzer van mijn uurwerk de kleine wijzer ingehaald heeft en dan neem ik een pauze. Ondertussenstudeer ik nog wat woordjes van Duits. Wanneer pauzeert Saqib?

29 We tekenen een spiraal op de volgende wijze: we tekenen een halve cirkel met straal 6cm, vervolgenseen halve cirkel met straal 3cm, een halve cirkel met straal 1,5cm enz. We laten de cirkels op elkaaraansluiten zodat we een spiraal krijgen. Bereken de lengte van de spiraal.

30 We beschouwen een rechthoekige driehoek ABC met de rechte hoek in A, de scherpe hoek in B metmaatgetal θ en de lengte van de schuine zijde is gelijk aan k. Vanuit A trekken we een loodlijn op deschuine zijde BC, vanuit dat voetpunt de loodlijn op BA, vanuit dit laatste voetpunt de loodlijn op BCenz.. Bereken de lengte van de zo bekomen gebroken lijn.

Oplossingen:

26: 1/3, 25/44, 951523/9990; ??: 49; 29: 12π; 30: k cot θ2 cos θ;


AN I HUISTAAK 5 1. Heeft de volgende reeks een reekssom 1- 0,4 + 0,16 - 0,064+ ...? Leg uit en bepaal eventueel de reekssom.

2. Een strook met lengte k wordt in 3 gelijke delen verdeeld. Een derde wordt bijge-houden, een derde wordt weggegooid en een derde wordt opnieuw in drie gedeeld,waarvan weer een derde wordt behouden, een derde wordt weggegooid en een derdeweer op dezelfde manier wordt verdeeld, enz.. Welk deel houden we uiteindelijkover?

3. Ynse doet zoals Saqib ook graag wiskunde. Maar woensdagnamiddag houdt ze zichtoch liever bezig met iets anders. Vanop haar studeerkamer laat ze een balletjevallen van een hoogte van 7m. Het balletje kaatst terug omhoog maar verliestdaarbij telkens 25% van zijn hoogte. Ynse vraagt zich af welke afstand het balletjeaflegt voor het stilvalt. Nu komt ze tot de constatatie dat ze dat kan berekenen alsze eerst de les over de meetkundige reeksen instudeert. Dat zou ze nu best doenwant ze heeft trouwens ook morgen herhaling van analyse.


In de twaalfde en dertiende eeuw ontstonden de eerste machtigen handelssteden in Italie,zoals Genua, Pisa, Venetie, Milaan en Florence. Zij hadden een bloeiend handelsverkeermet de Arabische wereld. Italiaanse kooplieden bezochten Egypte en Azie, waarvan zijook de cultuur bestudeerden.Zij poogden de wetenschap en de kunst van een oudere be-schaving niet alleen te bestuderen om ze te reproduceren, doch ook om haar te verwerkenten bate van de eigen cultuur. De eerste koopman van de Latijnse wereld, wiens wiskun-dige studies een zekere rijpheid vertonen, was LEONARDO van PISA (1180-1250), ook

FIBONACCI (lid van het huis der Bonacci) genaamd. Hij reisde als koopman naar deArabische wereld. Na zijn terugkeer schreef hij het Liber Abaci (1202), een groot handboekover het rekenen met het Hindoe-Arabisch getallensysteem, dat ook algebraısche vraag-stukken bevat. Dit boek heeft bijgedragen aan de verspreiding van het Hindoe-Arabischpositiestelsel in West Europa. Deze verspreiding is een langdurend proces geweest, waarinallerhand soort blieden moeten hebben meegeholpen: kooplui,diplomaten, soldaten, pel-grims en geleerden. Langs de Adriatische Zee bleef de Griekse schrijfwijze eeuwenlangnog in gebruik. Gewoonlijk werden rekeningen uitgevoerd op de aloude abacus, het tel-of zandbord, waarbij rekenpenningen of eenvoudige steentjes (calculi) de aantallen aanga-ven. Men denke aan de telramen die bij ons nog wel op de scholen of aan de baby-boxente zien zijn. Zo nodig werd dan het resultaat van zo een abacusrekening met behulp vansymbolen, b.v. Romeinse cijfers, opgeschreven. Gedurende de Middeleeuwen en nog wellater vindt men in vele koopmansboeken zulke Romeinse cijfers, waaruit blijkt dat op dekantoren telramen werden gebruikt. De invoering van het rekenen met de tien Indisch-Arabische symbolen stuitte zelfs op tegenstand, omdat niet iedereen uit die symbolen wijs


kon worden. In de statuten van de Florentijnse ‘Arte del Cambio, die van 1299 en laterdateren, vinden we zelfs een verbod om Arabische cijfers te gebruiken. Op den duur dronghet gebruik van zulke cijfers met hun positiewaarde toch door, maar eerst in de vijftiendeen zestiende eeuw kan men van een overwinning van het Hindoe-Arabische stelsel spreken.Bepaling van de algemene term van de rij van Fibonacci

De berekening steunt op de theorie van de vectorruimten We merken op dat bij de rij van Fibonacci devolgende betrekkingen geldig zijn tussen drie en vier opeenvolgende termen:

u2n = un−1 · un+1 − (−1)n (3.1)

un · un+1 = un−1 · un+2 − (−1)n (3.2)

We beschouwen de verzameling van alle rijen waarvan een term de som is van de twee voorgaande termen.De algemene gedaante van zo een rij is:

(un) : a, b, a+ b, a+ 2b, 2a+ 3b, 3a+ 5b . . . , un−1a+ un.b

Zo een rij is volledig bepaald door het geven van de eerste en de tweede term. We zien gemakkelijkin dat de verzameling van al deze rijen voor de som van rijen en de scalaire vermenigvuldiging eentweedimensionale reele vectorruimte vormt. We gaan na of deze verzameling meetkundige rijen bevat.Een rij is meetkundig als het kwadraat van elke term het product is van zijn voorgaande en zijn volgende(elke term is het meetkundig gemiddelde van zijn voorgaande en zijn volgende):

∀n ∈ N0 : (una+ un+1b)2 = (un−1a+ unb).(un+1a+ un+2b)

We werken beide leden uit en houden rekening met 3.1 en 3.2. We bekomen de eenvoudige betrekkingtussen a en b.

∀n ∈ N0 : b2 − ab− a2 = 0⇐⇒ ∀n ∈ N0 : b =1±√

52

a

De verzameling bevat oneindig veel meetkundige rijen, oneindig veel met reden 1+√

52 en oneindig veel met

reden 1−√

52 De rijen

(( 1+√

52 )n

)en(

( 1−√

52 )n

)zijn twee lineair onafhankelijke rijen in de tweedimensionale

vectorruimte. Ze vormen dus een basis. Elke rij kan op juist een manier geschreven worden als een lineairecombinatie van deze twee meetkundige rijen. Ook de rij van Fibonacci, die ook tot deze verzamelingbehoort.

r.(1 +√

52

)n + s.(1−√

52

)n

Voor de rij van Fibonacci moeten de eerste twee termen gelijk zijn aan 1. We verkrijgen het volgendestelsel in r en s:{

r.( 1+√

52 ) + s.( 1−

√5

2 ) = 1r.( 1+

√5

2 )2 + s.( 1−√

52 )2 = 1

⇐⇒

{r.( 1+

√5

2 ) + s.( 1−√

52 ) = 1

r.( 3+√

52 ) + s.( 3−

√5

2 ) = 1⇐⇒

{r = 1√

5

s = − 1√5

Hieruit verkrijgen we de algemene term van de rij van Fibonacci.

Hoofdstuk 4

Limieten en continuıteit van reelefuncties

4.1 Woorden wekken. . .

Bijna elk proces in de natuur is continu. Dat wil zeggen, dat elke toestandsveranderinggeleidelijk (wat niet noodzakelijk “traag” betekent!) verloopt. Bijvoorbeeld de tempe-ratuur op een bepaalde plaats op aarde. Toch kunnen er zich “sprongen” voordoen, endie geven meestal aan dat er iets speciaal gebeurt. Bijvoorbeeld bij een zonsverduisteringdaalt de temperatuur plots een tiental graden van boven de dertig graden naar 20 graden.

Je kunt je dus voorstellen dat bij het onderzoek van een bepaald natuurkundig verschijnselgrafieken van bepaalde grootheden (in bovenstaand voorbeeld de temperatuur in functievan de tijd) een belangrijke rol zullen spelen, omdat daaruit ’t een en ’t ander af telezen valt. Daarom stellen wij ons tot doel een methode te ontwikkelen een gegeven(wiskundige) functie te onderzoeken om deze dan zo goed mogelijk te kunnen schetsen.

Om het verloop van een functie te onderzoeken bepalen we vooreerst haar domein. Hetis ook nuttig te kijken of het domein samenhangend is, m.a.w. of het domein een intervalis of een unie van intervallen.

Wat verstaan we nu wiskundig onder “iets continu”? Zoals reeds aangehaald, betekentcontinuıteit in een punt, dat de functie geen sprong maakt in dit punt, m.a.w. dat defunctie rond dat punt geleidelijk verandert. Continu zijn in een punt is dus een eigenschapdie niet enkel afhangt van de functiewaarde in dat punt, maar ook van de functiewaardenrondom dat punt.

We hernemen ons voorbeeld van de temperatuursmeting. Stel dat je om juist twaalf uurexact 20 graden Celcius meet. Wat betekent het dan dat de temperatuur op dit tijdstipgeen sprong maakt? Wel, het betekent dat, als je een reeks metingen doet voor twaalf

127

128 HOOFDSTUK 4. LIMIETEN EN CONTINUITEIT VAN REELE FUNCTIES

uur, maar altijd dichter tegen twaalf uur, dan wijzen de metingen erop dat het om twaalfuur precies 20 graden zal zijn, wiskundig uitgedrukt, als de tijd nadert naar twaalf uur,dan nadert de temperatuur naar 20 graden. Wiskundig kun je nu ook naderen “vanuit detoekomst” naar twaalf uur, en we moeten dit ook doen, want het zou evengoed kunnen datde temperatuur een sprong maakt juist het moment na twaalf uur, d.w.z. alle metingenna twaalf uur wijzen erop dat de temperatuur om twaalf uur bijvoorbeeld dertig gradenwas.

We zien dus dat we continuıteit in een punt a kunnen uitdrukken door een strikt monotonerij te nemen die convergeert naar a in het domein van de functie f en vervolgens de limiette beschouwen van de rij der beelden. Is deze limiet, (d.w.z. voor elk zulke mogelijke rij)steeds de functiewaarde f(a), dan kunnen we f continu noemen in a en de limiet in a vanf is f(a). Is deze limiet steeds dezelfde, bijvoorbeeld gelijk aan het reeel getal b, maarverschillend van f(a), dan zeggen we alleen dat b de limiet is van f in a. We kunnenzeggen dat limiet b de verwachte waarde is in het punt a. En als de verwachte waardegelijk is aan de functiewaarde dan is de functie continu in a.

Je ziet dus dat we een strikt monotone rij moeten hebben die convergeert naar a in hetdomein om continuıteit in a te onderzoeken. Zo’n rijen bestaan precies wanneer a geengeısoleerd punt is.

Maar er zijn ook punten a die niet tot het domein behoren, maar waarvoor er wel striktmonotone rijen bestaan, in het domein van de beschouwde functie f , die naar a converge-ren (of divergeren, als we +∞ of −∞ beschouwen). Dit zijn precies de plakpunten. Alsde beeldrijen van al die rijen dezelfde limiet hebben, bijvoorbeeld b, dan zeggen we datb de limiet is in a van de functie f . Zijn a en b beide reele getallen, dan kunnen we defunctie uitbreiden met het koppel (a, b) en de nieuwe functie f zal dan continu zijn in a!Inderdaad, alle strikt monotone rijen in het domein van f die naar a convergeren, hebbende eigenschap dat hun beeldrij naar b = f(a) convergeert.

Dus om de continuıteit en de limieten te onderzoeken moeten we de geısoleerde puntenen de plakpunten van het domein bepalen. De eerste omdat we daarin geen continuıteithoeven te onderzoeken (we stellen per definitie dat elke functie continu is in elk geısoleerdpunt van haar domein); de tweede om mogelijke limieten op te sporen.

Het onderzoek op continuıteit en limieten is dus gebaseerd op de convergentie en diver-gentie van rijen. In het domein nemen we echter altijd strikt monotone rijen die naarhet beschouwde punt a convergeren. We zouden ons ook kunnen beperken tot de striktstijgende. Dan laten we alles van de grafiek wat rechts ligt van a links liggen. We kijkendus alleen links van a. Is a een punt van het domein van de beschouwde functie f , enconvergeren alle mogelijke beeldrijen naar f(a), dan kunnen we zeggen dat f linkscontinuis in a. Is a een plakpunt van het domein en convergeren de beeldrijen van alle bovenbe-schouwde strikt stijgende rijen naar een gemeenschappelijke limiet b, dan zeggen we datb de linkerlimiet is van f in a. Analoog definieert men rechtscontinuıteit en rechterlimiet.

4.2. DEFINITIE VAN LIMIET EN CONTINUITEIT 129

De volgende strenge wiskundige definities komen tot stand en worden overvloedig gede-monstreerd aan de hand van de functies in de hoofdstukken over de algebraısche -, deexponentiele - en de goniometrische functies, want ...VOORBEELDEN STREKKEN.

4.2 Definitie van limiet en continuıteit

We geven nu de strikt wiskundige definitie van limiet en continuıteit aan de hand van eenvoorbeeld en een tegenvoorbeeld.

DEFINITIE 1.

De limiet van een functie f in een ophopingspunt a ∈ R ∪ {−∞,+∞} van haardomein is gelijk aan b ∈ R ∪ {−∞,+∞} als en slechts als voor elke strikt monotone rij(un) die bevat is in het domein van f en die convergeert/divergeert naar a, de beeldrij(f(un)) convergeert/divergeert naar b.

We schrijven:limaf(x) = b

Voorbeeld:

We beschouwen de functie y = 12|(x + 2)(x− 4)| + 2 en het punt 3 dat ophopingspunt is

van het domein R. We zoeken de limiet in 3. De strikt stijgende rij (3 − 1n) convergeert

naar 3 en de strikt dalende rij 3 + 1n

convergeert eveneens naar 3. We onderzoeken of debeeldrijen convergeren en zoja naar welke waarde. We maken de volgende tabellen

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 · · · div−→ +∞3− 1

n2 2,5 2,67 2,75 2,8 2,83 2,86 2,88 2,89 2,93 · · · conv−→ 3

f(3− 1n) 6 5,38 5,11 4,97 4,88 4,82 4,78 4,74 4,72 4,70 · · · conv−→ · · ·

n +∞ div←− · · · 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

3 + 1n

3conv←− · · · 3,1 3,11 3,13 3,14 3,17 3,2 3,25 3,33 3,5 4

f(3 + 1n) · · · conv←− · · · 4,30 4,27 4,24 4,20 4,15 4,08 3,97 3,78 3,38 2

Voor elke rij die convergeert naar 3 geldt dat de beeldrij convergeert naar 4,5. We zeggendat de limiet in 3 van de functie gelijk is aan 4,5.

lim3

(1

2|(x+ 2)(x− 4)|+ 2) = 4, 5


Figuur 4.1: y = 12|(x+ 2)(x− 4)|+ 2

DEFINITIE 2.

De rechterlimiet van een functie f in een rechterophopingspunt a ∈ R ∪ {−∞}van haar domein is gelijk aan b ∈ R ∪ {−∞,+∞} als en slechts als voor elke striktdalende rij (un) die bevat is in het domein van f en die convergeert/divergeert naar a, debeeldrij (f(un)) convergeert/divergeert naar b.We schrijven:

lima+

f(x) = b

DEFINITIE 3.

De linkerlimiet van een functie f in een linkerophopingspunt a ∈ R∪{+∞} vanhaar domein is gelijk aan b ∈ R∪{−∞,+∞} als en slechts als voor elke strikt stijgenderij (un) die bevat is in het domein van f en die convergeert/divergeert naar a, de beeldrij(f(un)) convergeert/divergeert naar b.


We schrijven:lima−

f(x) = b

Voorbeelden:

• We beschouwen de functie y = xb(x)c. Het punt 2 is een linker- en een rechterop-hopingspunt van het domein.We beschouwen eerst de linkerlimiet in 2. We maken een tabel voor de strikt stij-gende rij (2− 1

n) die convergeert naar 2.

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 · · · div−→ +∞2− 1

n1 1,5 1,67 1,75 1,8 1,83 1,86 1,88 1,89 1,9 · · · conv−→ 2

f(2− 1n) 1 1,5 1,67 1,75 1,8 1,83 1,86 1,88 1,89 1,9 · · · conv−→ · · ·

Voor elke strikt stijgende rij die convergeert naar 2 geldt dat de beeldrij convergeertnaar 2. We zeggen dat de linkerlimiet in 2 gelijk is aan 2.

lim2−

xb(x)c = 2

Voor de rechterlimiet beschouwen we nu de strikt dalende rij (2+ 1n) die convergeert

naar 2.

n +∞ div←− · · · 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

2 + 1n

2conv←− · · · 2,1 2,11 2,13 2,14 2,16 2,2 2,25 2,33 2,5 3

f(2 + 1n) · · · conv←− · · · 4,2 4,22 4,25 4,29 4,3 4,4 4,5 4,67 5 6

Voor elke strikt dalende rij die convergeert naar 2 geldt dat de beeldrij convergeertnaar 4. We zeggen dat de rechterlimiet in 2 gelijk is aan 4.

lim2+

xb(x)c = 4

De linkerlimiet is verschillend van de rechterlimiet. De limiet in 2 bestaat niet.


Figuur 4.2: y = xbxc

• Het domein van de functie y =√x is R+. 0 is een punt van het domein dat tevens

rechterophopingspunt is van het domein. We beschouwen de strikt stijgende rij ( 1n2 )

die convergeert naar 0. We maken een tabel om de beeldrij te beschouwen.

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 · · · div−→ +∞1n2 1 1

419

116

125

136

149

164

181

1100

· · · conv−→ 0

f( 1n2 ) = ( 1

n) 1 1

213

14

15

16

17

18

19

110· · · conv−→ · · ·

Voor elke strikt stijgende rij die convergeert naar 0 geldt dat de beeldrij convergeertnaar 0. De rechterlimiet van de functie is dus gelijk aan 0.

lim0+

√x = 0


0 is geen linkerophopingspunt van het domein. Bijgevolg kunnen we geen linkerli-miet beschouwen. Het is echter zo dat voor elke rij met termen in het domein dieconvergeert naar 0 geldt dat de beeldrij convergeert naar 0. Hieruit volgt dat delimiet in 0 van de functie gelijk is aan 0.Bij deze functie is de limiet in 0 een rechterlimiet maar geen linkerlimiet.

lim0

√x = lim

0+

√x = 0

Figuur 4.3: y =√x


• De functie y = 1x

heeft geen functiewaarde in 0 dat een ophopingspunt is van hetdomein R0.We beschouwen de linkerlimiet. We nemen bvb. de strikt stijgende rij (− 1

n). We

beschouwen de volgende tabel om de rij der functiewaarden te bekijken.

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 · · · div−→ +∞− 1n−1 −1

2−1

3−1

4−1

5−1

6−1

7−1

8−1

9− 1

10· · · conv−→ 0

f(− 1n) = (−n) -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 · · · div−→ · · ·

Voor elke strikt stijgende rij die convergeert naar 0 geldt dat de beeldrij divergeertnaar −∞. De linkerlimiet in 0 is gelijk aan −∞.

lim0−

1

x= −∞

Beschouw nu zelf voor de rechterlimiet in 0 een strikt dalende rij die convergeertnaar 0 en de daarbij horende beeldrij.

Voor elke strikt dalende rij die convergeert naar nul geldt dat de beeldrij divergeertnaar +∞. De rechterlimiet in 0 is gelijk aan +∞.

lim0+

1

x= +∞

De linkerlimiet is echter verschillend van de rechterlimiet. De functie heeft geenlimiet in 0. We kunnen echter deze twee limieten samenvatten als we het symbool∞ invoeren. We schrijven:

lim0

1

x=∞


Figuur 4.4: y = 1x

DEFINITIE 4.

Een functie f is continu in een ophopingspunt a ∈ R van haar domein, als de limietin a van f bestaat en gelijk is aan f(a).

Met symbolen:f is continu in a⇐⇒ lim

af(x) = f(a).

Elke functie is continu in elk geısoleerd punt van haar domein.

Voorbeelden:

• De functie y = 12|(x + 2)(x − 4)| + 2 is continu in 3 omdat de limiet in 3 gelijk is

aan de functiewaarde in 3.

lim3

(1

2|(x+ 2)(x− 4)|+ 2) =

1

2|(3 + 2)(3− 4)|+ 2 =

5

2+ 2 =

9

2= 4, 5


• Onderzoek nu zelf of de functie y = 12|(x+ 2)(x− 4)|+ 2 continu is in 4.

• De functie y =√x is continu in 0 want er geldt:

lim0

√x =√

0 = 0.

DEFINITIE 5.

Een functie f is linkscontinu in een linkerophopingspunt a ∈ R van haar domein,als de linkerlimiet in a van f bestaat en gelijk is aan f(a).

Met symbolen:f is linkscontinu in a⇐⇒ lim

a−f(x) = f(a).

Elke functie is linkscontinu in elk punt van haar domein dat geen linkeropho-pingspunt is.

Voorbeelden:

• De functie y = 12|(x+ 2)(x− 4)|+ 2 is linkscontinu in 3 want de linkerlimiet in 3 is

gelijk aan de functiewaarde in 3.

lim3−

(1

2|(x+ 2)(x− 4)|+ 2) =

1

2|(3 + 2)(3− 4)|+ 2 = 4, 5.

• De functie y = xb(x)c is niet linkscontinu is 2 want de linkerlimiet in 2 is 2 en defunctiewarde in 2 is 4.

lim2−

xb(x)c = 2 6= 2b(2)c = 4.

• De functie y =√x is linkscontinu in 0 want 0 is geen linkerophopingspunt van het

domein van de functie.

DEFINITIE 6.

Een functie f is rechtscontinu in een rechterophopingspunt a ∈ R van haar do-mein, als de rechterlimiet in a van f bestaat en gelijk is aan f(a).

Met symbolen:f is rechtscontinu in a⇐⇒ lim

a+f(x) = f(a).

Elke functie is rechtscontinu in elk punt van haar domein dat geen rechterop-hopingspunt is.


Voorbeelden:

• De functie y = 12|(x+ 2)(x− 4)|+ 2 is rechtscontinu in 3 want de rechterlimiet in 3

is gelijk aan de functiewaarde in 3.

lim3+

(1

2|(x+ 2)(x− 4)|+ 2) =

1

2|(3 + 2)(3− 4)|+ 2 = 4, 5.

• De functie y = xb(x)c is rechtscontinu is 2 want de rechterlimiet in 2 is gelijk aan 4die de functiewaarde is in 2.

lim2+

xb(x)c = 2b(2)c = 4.

• De functie y =√x is rechtscontinu in 0 want de rechterlimiet in 0 is gelijk aan d

functiewaarde in 0.

lim0

√x =√

0 = 0.

DEFINITIE 8.

Een functie is continu over een deelverzameling D van haar domein als f continuis in elk punt van D. Een functie f wordt kortweg continu genoemd als ze continu isover haar domein.

Voorbeelden:

• De functie y = 12|(x+ 2)(x− 4)|+ 2 is continu (in R).

• De functie y =√x is continu (in R+).

• de functie y = xb(x)c is continu in open deelintervallen van haar domein, bvb. in]2, 3[.


is continu (in R0).

Tot zover de definities. We gaan ze allemaal nog nagaan op de voorbeelden van hoofdstuk6. We gaan nu, alvorens enkele techniekjes te ontwikkelen voor het berekenen van limieten,een paar eigenschappen zien van limieten en continue functies die van theoretisch enpraktisch belang zijn.


4.3 Eigenschappen van limieten en continue functies

STELLING 4.1 Een functie is continu in een punt a van haar domein als en slechtsals ze links- en rechtscontinu is in a.

Bewijs. Als a niet tergelijkertijd een linker- en rechterophopingspunt is, dan volgt ditdirect uit definitie 7. Is a wel een linker- en rechterophopingspunt, dan volgt dit onmid-dellijk uit het feit dat een strikt monotone rij ofwel strikt dalend, ofwel strikt stijgend is.�

Voorbeelden:

• De functie y = 12|(x + 2)(x − 4)| + 2 is continu in 3 want deze functie is links- en

rechtscontinu in 3.

• De functie y =√x is continu in 0 want de functie is links- en rechtscontinu in 0.

• de functie y = xb(x)c is niet continu in 2 want de functie is niet linkscontinu in 2want lim2−(xb(x)c) = 2 6= 4.


is niet continu in 0 omdat 0 niet tot het domein van de functiebehoort.

STELLING 4.2 Een functie heeft een limiet b in een punt a dat terzelfdertijd linker- enrechterophopingspunt is van haar domein als en slechts als de linker- en rechterlimietin a bestaan en beiden aan b gelijk zijn.

Bewijs. Volgt ook rechtstreeks uit de definities. Schrijf een nauwkeurig bewijs uit alsoefening. �

Voorbeelden:

• Het punt 3 is terzelfdertijd linker- en rechterophopingspunt van het domein vany = 1

2|(x+ 2)(x− 4)|+ 2. De linker- en rechterlimiet in 3 bestaan en zijn gelijk aan

4,5. De functie heeft dus een limiet in 3 die gelijk is aan 4,5.

• het punt 2 is terzelfdertijd linker- en rechterophopingspunt van het domein vany = xb(x)c. De linker- en rechterlimieten bestaan maar zijn niet gelijk aan elkaar.Hieruit volgt dat de limiet in 2 niet bestaat.

• Het punt 0 is terzelfdertijd linker- en rechterophopingspunt van het domein vany = 1

x. De linker- en rechterlimiet bestaan maar zijn niet aan elkaar gelijk. De

functie heeft geen limiet in 0. Met de notatie ∞ kunnen hier het limietbegripuitbreiden en zeggen dat de limiet bestaat.

4.3. EIGENSCHAPPEN VAN LIMIETEN EN CONTINUE FUNCTIES 139

STELLING 4.3 Als a een ophopingspunt is van het domein van een functie f , dan bezitde functie f hoogstens een limiet in het punt a.

Bewijs. Dit volgt onmiddellijk uit het feit dat een convergente/divergente rij juist eenlimiet heeft. �

Ook de gedomineerde convergentie stelling geldt hier, maar heet nu anders:

STELLING 4.4 (De gedomineerde limiet stelling) Onderstel dat f en g twee func-ties zijn, D ⊆ R een deelverzameling is van het domein van f en van g waarvoorf(x) ≤ g(x), voor alle x ∈ D, en zij a een ophopingspunt van D. Als lima f(x) enlima g(x) bestaan, dan geldt:

limaf(x) ≤ lim

ag(x).

Bewijs. Dit volgt rechtstreeks uit de gedomineerde convergentie stelling voor rijen. �

Eenzelfde stelling geldt ook voor rechter-, respectievelijk linkerlimiet. Formuleer deze zelfals oefening.

Uit de Sandwich Regel voor rijen volgt ook:

STELLING 4.5 (De Sandwich Regel) Onderstel dat f , g en h drie functies zijn ge-definieerd over een deelverzameling D van R en waarvoor geldt dat f(x) ≤ g(x) ≤ h(x),voor alle x ∈ D. Zij a een ophopingspunt van D en onderstel dat f en h een gelijke limietb ∈ R∪{+∞,−∞} in a hebben. Dan heeft ook g een limiet in a en deze is ook gelijk aanb.

Eenzelfde stelling geldt ook voor rechter-, respectievelijk linkerlimiet. Formuleer deze zelfals oefening.

Figuur 4.5: de Sandwich Regel op grafiek


STELLING 4.6 Als een functie continu is in een punt a van haar domein, dan is elkerestrictie van deze functie tot een deel van haar domein dat het punt a bevat eveneenscontinu in a.

Bewijs. Elke rij in de restrictie die naar a convergeert is ook een rij in het oorspronkelijkdomein en convergeert bijgevolg naar de functiewaarde. �

Het omgekeerde is echter niet waar. Het kan zijn dat de restrictie van een functie tot eendeel van haar domein continu is in een punt, maar dat de functie zelf niet continu is indat punt.Bijvoorbeeld nemen we de trapfunctie f(x) = xbxc. De restrictie van deze functie tot[2, 3[ is continu in 2, terwijl de functie zelf niet continu is in 2.

STELLING 4.7 Zij f een functie en a ∈ R ∪ {+∞,−∞} een ophopingspunt van hetdomein van f . Is lima f(x) = b ∈ R ∪ {+∞,−∞}, en is (un) een willekeurige rij inhet domein van f die convergeert/divergeert naar a, dan convergeert/divergeert de beeldrij(f(un)) naar b.

Het bewijs van deze stelling laten we weg.

Nu volgt een zeer opmerkelijke stelling. Uit weinig gegevens volgt het besluit dat eenfunctie continu is over een gans interval. Zonder van rijen te spreken! We zullen dezestelling later gebruiken om aan te tonen dat tal van functies continu zijn. Het is in feitezo, dat we uit deze en voorgaande stelling zelfs alle geziene rekenregels kunnen bewijzenop een eenvoudige manier, zonder steeds opnieuw te moeten werken met ε (zonder eenkringredenering te maken, want het bewijs van de stelling maakt geen gebruik van dezerekenregels!). We geven een voorbeeld achteraf.

STELLING 4.8 Elke monotone bijectie f van een interval I ⊆ R naar een intervalJ ⊆ R is continu over het interval I.


De volgende stelling is in feite een soort middelwaardestelling voor continue functies.

STELLING 4.9 (Stelling van Bolzano) Is f continu over een gesloten interval [a, b],a < b, en hebben f(a) en f(b) een verschillend teken, i.e. is f(a)f(b) < 0, dan bestaat ereen getal c ∈]a, b[ waarvoor f(c) = 0.


Deze stelling kunnen we iets meer algemeen formuleren als volgt.

4.3. EIGENSCHAPPEN VAN LIMIETEN EN CONTINUE FUNCTIES 141

Figuur 4.6: voorbeeld en tegenvoorbeeld

Figuur 4.7: stelling van Bolzano

STELLING 4.10 Is f continu over een gesloten interval [a, b], a < b, dan bestaat voorelk getal d gelegen tussen f(a) en f(b) een getal c ∈ [a, b] zo dat f(c) = d.

Het bewijs wordt gegeven, ofwel analoog aan voorgaande stelling, ofwel door op de functief(x)− d de voorgaande stelling toe te passen.

De volgende stelling is een soort omgekeerde van Stelling 4.8.


Figuur 4.8: tussenwaardestelling

STELLING 4.11 (i) Is f continu over een interval I, dan is het beeld van I over fopnieuw een interval.(ii) Is f continu en strikt monotoon over een interval I = [a, b], dan is f een bijectie vanI in het beeldinterval J = [f(a), f(b)] (of J = [f(b), f(a)]).

Bewijs. (i) volgt onmiddellijk uit voorgaande stelling daar een interval I gekenmerktwordt door de eigenschap

a, b ∈ Ia < c < b

}⇔ c ∈ I.

(ii) Injectiviteit volgt uit het strikt monotoon zijn; surjectiviteit uit deel (i) van de stelling.�

Tenslotte formuleren we nog de belangrijke stelling van Weierstrass.

STELLING 4.12 (Stelling van Weierstrass) Het beeld van een gesloten interval on-der een functie continu over dat interval, is opnieuw een gesloten interval.

Figuur 4.9: stelling van Weierstrass

De stelling van Weierstrass betekent eigenlijk dat, onder de gegeven voorwaarden, eencontinue functie in een gesloten interval steeds een absolute maximale en een absoluteminimale waarde bereikt in dat interval.

In het volgend hoofdstuk zullen we dieper ingaan op de praktische berekening van limieten.

4.4. DE REKENREGELS ALWEER 143

4.4 De rekenregels alweer

Voor de limiet van een functie in een ophopingspunt punt a ∈ R ∪ {+∞,−∞} van haardomein zullen logischerwijs dezelfde rekenregels gelden als voor de limiet van een rij.

STELLING 4.13 De limiet van een lineaire combinatie van twee functies is gelijk aande lineaire combinatie van de limieten (als die lineaire combinatie door de rekenregelsgedefinieerd is).

Met symbolen:lima

(r.f + s.g) = r limaf + s lim

ag

STELLING 4.14 De limiet van een product van twee functies is gelijk aan het productvan de limieten (als dat product door de rekenregels gedefinieerd is).

Met symbolen:lima

(f.g) = limaf. lim

ag

STELLING 4.15 De limiet van een quotient van twee functies is gelijk aan het quotientvan de limieten (als dat quotient door de rekenregels gedefinieerd is).

Met symbolen:

lima

f

g=

lima f

lima g

STELLING 4.16 De limiet van een rationale macht van een functie is gelijk aan derationale macht van de limiet (als die macht door de rekenregels gedefinieerd is).

Met symbolen:limaf q = (lim

af)q

Tabel 3.1 op pagina 117 geeft de rekenregels ook voor de limieten van functies (buiten degebruikelijke algebraısche bewerkingen met reele getallen).Deze rekenregels gelden zowel voor limieten, als voor linker- en rechterlimieten.

De zogenaamde onbepaaldheden in tabel 3.2 op pagina 118 blijven ook hier van kracht.Dus bijvoorbeeld (+∞) + (−∞) moeten we oplossen op een andere manier dan het teschrijven als som van twee limieten.

Een belangrijk gevolg van deze rekenregels is:


STELLING 4.17 Zijn f en g twee functies die continu zijn in een gemeenschappelijkpunt a van hun domein, dan is r.f + s.g, respectievelijk f.g, f/g, f q (q ∈ Q) continu ina zodra a tot het domein van deze nieuwe functie behoort.

Bewijs: We bewijzen de stelling voor de lineaire combinatie van twee functies. We on-derstellen dat de functies f en g continu zijn in a en dat a een ophopingspunt is van hetgemeenschappelijk domein van de functies.Is een functie continu in een ophopingspunt van het domein van de functie dan is de limietin dat punt gelijk aan de functiewaarde.Er geldt dus:

limaf(x) = f(a) ∧ lim

ag(x) = g(a)

Omdat de limiet van een lineaire combinatie gelijk is aan de lineaire combinaties van delimieten geldt:

lima

(r.f + s.g)(x) = r limaf(x) + s lim

ag(x) = rf(a) + sg(a) = (rf + sg)(a)

Omdat de limiet in a van de lineaire combinatie gelijk is aan de functiewaarde in a, is delineaire combinatie continu in a.

Geef zelf het bewijs voor de andere gevallen. �

Er is wel een bewerking die we met rijen niet konden doen, maar met functies wel, name-lijk, de samenstelling. Daarover de volgende stellingen:

STELLING 4.18 Als lima f(x) = b ∈ R ∪ {+∞,−∞} en limb g(x) is gedefinieerd, danis lima g(f(x)) = limb g(x). Is in het bijzonder de functie g continu in b en is b eenophopingspunt van het domein van g, dan is lima g(f(x)) = g(b), of dus lima g(f(x)) =g(lima f(x)).

STELLING 4.19 Is een functie f continu in een punt a van haar domein en is eenfunctie g gedefinieerd en continu in f(a), dan is de samenstelling van deze twee functiesg ◦ f continu in a.

De bewijzen van deze stellingen zijn echt niet moeilijk, maar we laten ze weg wegenstijdsgebrek. Merk wel op dat Stelling 4.19 in feite een gevolg is van Stelling 4.18.



1. BOLZANO Bernard is een Tsjechisch, (Oostenrijks) wijsheer van 1781 tot 1848.Zijn vader was Italiaan en zijn moeder Duitse; hij zelf sprak en schreef Duits. Hijstudeerde theologie, filosofie en wiskunde. In zijn theologie was hij ervan overtuigddat het rooms-katholicisme de meest volkomen godsdienst was. Op politiek terreinschreef hij een utopie, die hij zelf als zijn belangrijkste nalatenschap beschouwde.Zijn wiskundig werk geniet groot aanzien, omdat hij tot de pioniers van het grond-slagenonderzoek behoort samen met CAUCHY (1789-1857), GAUSS (1777-1855)en ABEL (1802-1829). Daarin heeft hij bijgedragen tot de aritmetisering van dewiskunde die met de naam Weierstrass is verbonden. Bolzano’s werk is eerst na zijndood als algemeen erkend; verscheidene van zijn geschriften zijn eerst in deze eeuwuitgegeven.

2. WEIERSTRASS KarlDe moderne theorie van het irrationaal getal werd ontwikkeld door DEDEKIND(1831-1916) en Weierstrass. Zij vertoont grote overeenkomst met die van EUDOXUS(408-355 v.C.), ondanks het feit dat de moderne theorie aritmetisch, de klassiekemeetkundig is. De aritmetische opzet van de moderne theorie heeft echter wijdereperspectieven geopend.

Hoofdstuk 5

Afgeleiden

5.1 Snelheden en raaklijnen

Saqib rijdt per fiets op een rechte baan aan 20 km per uur. Als zijn snelheid constantblijft, weten we dat hij na 1 uur 20 kilometer heeft afgelegd. Maar meestal varieert zijnsnelheid. Wat betekent het dan dat de snelheid op een zeker moment gelijk is aan 20kilometer per uur? Stel dat we om de minuut de afstand kunnen bepalen afgelegd doorSaqib. De volgende tabel geeft de resultaten:

t=tijd in min. 0 1 2 3 4 5x=afstand in m 0 132 387 778 1229 1684

De gemiddelde snelheid gedurende de eerste 5 minuten is:

∆x

∆t=

1684

5= 336, 8.

De gemiddelde snelheid gedurende de eerste 5 minuten is 336,8 meter per minuut of 20,20kilometer per uur.

Willen we nu de snelheid kennen na 2 minuten dan kunnen we de gemiddelde snelheidberekenen in het tijdsinterval [2, 4].

∆x

∆t=

1229− 387

4− 2= 421.

De gemiddelde snelheid in het tijdsinterval [2, 4] is gelijk aan 421 meter per minuut of25,26 km per uur.

147

148 HOOFDSTUK 5. AFGELEIDEN

Figuur 5.1: de afgelegde weg in functie van de tijd

We kunnen nu ook de gemiddelde snelheid berekenen in een nog kleiner tijdsinterval, bv.in [2, 3].

∆x

∆t=

778− 387

3− 2= 391.

De gemiddelde snelheid in het tijdsinterval [2, 3] is gelijk aan 391 meter per minuut of23,46 km per uur.

We zien dat we met meer nauwkeurigheid de werkelijke snelheid na 2 minuten kunnenkennen als we het interval vanaf 2 kleiner maken. We kunnen de snelheid nauwkeurigerbepalen indien we de afstanden meten vanaf 2 minuten om de 6 seconden. Hier volgt eentabel:

t in min. 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3x in meter 387 414 441 469 499 533 575 620 670 722 778

We maken een tabel waarin we de gemiddelde snelheden geven in verschillende tijdsinter-vallen beginnende bij 2.

tijdsinterval [2,3] [2;2,7] [2;2,5] [2;2,4] [2;2,3] [2;2,2] [2;2,1]gem. snelh. in km/u 23,46 19,97 17,52 16,8 16,4 16,2 16,2

We zien dat de gemiddelde snelheid in kleinere intervallen nadert naar de waarde van 16,2kilometer per uur. We zullen de snelheid op het ogenblik van 2 minuten definieren als delimiet van de gemiddelde snelheid in kleiner wordende intervallen.

Zetten we de afstanden uit in functie van de tijd dan krijgen we de grafiek van de bewegingvan Saqib.

5.1. SNELHEDEN EN RAAKLIJNEN 149

We stellen het voorschrift van de functie voor door x(t). De gemiddelde snelheid in hetinterval [2, t] is

∆x

∆t=x(t)− x(2)

t− 2

Dit is de richtingscoefficient van de verbindingslijn van de punten (2, x(2)) en (t, x(t)) opde grafiek. De snelheid na 2 minuten is de limiet van de gemiddelde snelheid als t nadertnaar 2.

v(2) = limt→2

x(t)− x(2)

t− 2.

De snelheid van een rechtlijnige beweging is de ogenblikkelijke verandering van de afge-legde weg. Deze snelheid wordt in de wiskunde gedefinieerd als de afgeleide naar de tijdvan de afgelegde weg.

Meetkundig gezien is de limietstand van een verbindingslijn van twee punten p en q voorq naderend naar p de raaklijn in p aan de kromme. De limiet van de richtingscoefficientvan de verbindingslijn is de richtingscoefficient van de raaklijn.

In verschillende wetenschappen worden veranderende processen bestudeerd. De snelheidwaarmede deze veranderingen plaatsgrijpen zullen ook met deze hierboven beschreventechniek kunnen berekend worden. De limietberekening zal ook daar zijn diensten kun-nen bewijzen.Wouter is ingenieur. Hij is geınteresseerd in de snelheid waarmee water in of uit een reser-voir stroomt. Dit wordt het debiet van het water genoemd. Linde daarentegen is geografeen wil de snelheid van de verandering van de populatiedichtheid in een stad kennen alsde afstand tot het centrum groter wordt. Mieke, een beroemde meteorologe die later hetweerbericht op T.V. zal presenteren, bestudeert de verandering van de atmosferische drukin functie van de hoogte. Tom is een psycholoog en wenst de vakkundigheid in functie vande trainingstijd te kennen. Louise, onze sociologe, onderzoekt de snelheid waarmede eengerucht, een rage of een vernieuwing zich verspreidt in de tijd. Als chemicus onderzoektJustine de reactiesnelheid en Ynse, de biologe, bekijkt de snelheid waarmede het bloed inde aders stroomt.Het abstracte begrip van afgeleide in de wiskunde kent specifieke interpretaties in de ver-schillende wetenschappen. Dit illustreert nog eens de macht van de wiskunde. De Fransewiskundige Joseph Fourier (1768-1830) zei het beknopt: “Wiskunde vergelijkt de meestdiverse fenomenen en ontdekt de geheime overeenkomsten die hen verenigt”.

We geven nog enkele praktische voorbeelden.

* In de electriciteit.We beschouwen een geleider. De vergelijking y = q(t) geeft aan hoeveel lading qer door de geleider stroomt op het ogenblik t. De gemiddelde verandering van de


lading in een tijdsinterval [a, t] is

∆q

∆t=q(t)− q(a)

t− a.

Nemen we de limiet van dit quotient voor de tijd naderend naar het tijdstip a danverkrijgen we de zogenaamde intensiteit of stroomsterkte I op het ogenblik a:

I(a) = limt→a

q(t)− q(a)

t− a.

De stroomsterkte is dus de ogenblikkelijke verandering van de lading in een geleider.

* In de biologie.We beschouwen een populatie bacterien. De vergelijking y = N(t) geeft de groottevan de populatie aan in functie van de tijd. De gemiddelde groeisnelheid van hetaantal bacterieen in een tijdsinterval [a, t] is

∆N

dt=N(t)−N(a)

t− a.

Nemen we de limiet van dit quotient voor de tijd naderend naar het tijdstip a danverkrijgen we de groeisnelheid van het aantal bacterien op het tijdstip a:

limt⇒a

N(t)−N(a)

t− a.

De groeisnelheid is dus de ogenblikkelijke verandering van de grootte van de popu-latie.

* In de economie.De totale kosten van een bedrijf voor de vervaardiging van een hoeveelheid x vaneen bepaald product wordt voorgesteld door de functie y = K(P ). Deze functie Kwordt de kostenfunctie genoemd. Als het aantal geproduceerde eenheden stijgt vaneen hoeveelheid Pa naar een hoeveelheid P dan is de gemiddelde verandering vande kosten in het interval [Pa, P ]:

∆K

dP=K(P )− C(Pa)

P − Pa.

Nemen we de limiet van dit quotient voor het aantal eenheden naderend naar Pa,dan verkrijgen we de zogenaamde marginale kosten voor de productie van de Pa-deeenheid:

Kµ = limP→Pa

K(P )−K(Pa)

P − Pa.

De marginale kosten voor de productie van de Pa-de eenheid is dus de veranderingvan de kosten bij de productie van de Pa-de eenheid.

5.2. DIFFERENTIAALQUOTIENT 151

5.2 Differentiaalquotient

5.2.1 Definitie

Gegeven: Een functie y = f(x) en een punt a van haar domein. We beschouwen de functie

y =f(x)− f(a)

x− a.

Deze functie bestaat niet in het punt a.

Deze functie wordt het differentiequotient in a van f genoemd.

De teller f(x) − f(a) = ∆f = ∆y is de toename in a van de functiewaarde of dedifferentie in a van de functie f .

De noemer x− a = ∆x = h is de toename van de x-waarde in a of de differentie in avan de identieke functie.

We kunnen de differentie van de functie in a nog als volgt schrijven:

∆f = ∆y = f(a+ ∆x)− f(a) = f(a+ h)− f(a).

5.2.2 Betekenis van het differentiequotient

Het differentiequotient in a van f

f(x)− f(a)

x− a

drukt de gemiddelde verandering uit van de functie f tussen x en a.

5.2.3 Meetkundige betekenis van differentiequotient

Het differentiequotient in a van f

f(x)− f(a)

x− a

is de richtingscoefficient van de verbindingslijn van de punten (a, f(a)) en (x, f(x)).


5.3 Afgeleide in een punt van een functie

5.3.1 Definities

Is a ∈ domf een ophopingspunt van het domein van de functie

y =f(x)− f(a)

x− a

dan kunnen we de limiet van deze functie beschouwen in het punt a:

lima

f(x)− f(a)

x− a.

Als deze limiet bestaat en een reeel getal oplevert dan zeggen we dat de functie f afleid-baar is in het punt a of differentieerbaar is in het punt a. Het reeel getal wordtde afgeleide van de functie f in het punt a genoemd.

limx→a

f(x)− f(a)

x− a= lim

∆x→0

∆y

∆x= lim

h→0

f(a+ h)− f(a)

h.

Notaties voor de afgeleide in a van de functie y = f(x):

Daf = f ′(a) = limx→a

f(x)− f(a)

x− a.

df

dx= lim

∆x→0

∆f

∆x.

dy

dx= lim

∆x→0

∆y

∆x.

De symbolen D en ddx

zijn differentiatieoperators omdat ze de operatie differentierenaanduiden.De notatie dy

dxis de notatie van Leibniz.

Is a ∈ domf een linkerophopingspunt van het domein van de functie

y =f(x)− f(a)

x− adan kunnen we de linkerlimiet van deze functie beschouwen in het punt a:

lima−

f(x)− f(a)

x− a.

5.3. AFGELEIDE IN EEN PUNT VAN EEN FUNCTIE 153

Figuur 5.2: helling van de raaklijn in punt p

Als deze linkerlimiet bestaat en een reeel getal oplevert dan is dit reeel getal de linker-afgeleide in het punt a van de functie f .

Is a een rechterophopingspunt van het domein van de functie

y =f(x)− f(a)

x− a

dan kunnen we de rechterlimiet van deze functie beschouwen in het punt a:

lima+

f(x)− f(a)

x− a.

Als deze rechterlimiet bestaat en een reeel getal oplevert dan is dit reeel getal de rech-terafgeleide in het punt a van de functie f .

5.3.2 De meetkundige betekenis van afgeleide

De afgeleide van een functie f in een punt a is de richtingscoefficient van de raaklijn inhet punt (a, f(a)) aan de grafiek van de functie.


5.4 Afleidbaarheid

STELLING 5.1 De afgeleide in een punt a van het domein van een functie f dat ter-zelfdertijd een linker- en een rechterophopingspunt is van het domein is gelijk aan b ∈ Rals en slechts als de functie continu is in a en linker- en rechterafgeleide van de functiein het punt a gelijk zijn aan b

Voorbeelden:

• De functie y = |x|x

is niet continu in 0.

lim0−

|x|x

= lim0−

(−1) = −1 en lim0+

|x|x

= lim0+

1 = 1

Linker- en rechterlimiet zijn verschillend van elkaar. De afgeleide van de functie isoveral 0 uitgezonderd in 0 waar de afgeleide niet bestaat.

• De functie y = x2 + 2|x| is continu in 0 maar niet afleidbaar in 0 want de linkeraf-geleide in 0 is verschillend van de rechterafgeleide in 0.

lim0−

x2 + 2|x| − 0

x= lim

0−

x2 − 2x

x= lim

0−(x− 2) = −2

lim0+

x2 + 2|x| − 0

x= lim

0+

x2 + 2x

x= lim

0+(x+ 2) = 2

• De functie y = −x|x| is continu in 0 en afleidbaar in 0 want de linkerafgeleide in 0is gelijk aan de rechterafgeleide in 0.

lim0−

−x|x| − 0

x= lim

0−

x2

x= lim

0−x = 0

lim0+

−x|x| − 0

x= lim

0+

−x2

x= lim

0+(−x) = 0

• De functie y = 12|(x+ 2)(x− 4)|+ 2 is continu in 4 dat terzelfdertijd een linker- en

een rechterophopingspunt is van het domein. We zien op de grafiek dat er in hetpunt (4, 2) geen raaklijn bestaat. Maar de richtingscoefficienten van de raaklijntjesin de punten van de grafiek waarvoor de x groter is dan 4 naderen naar de waarde3 als x nadert naar 4 en de richtingscoefficienten van de raaklijntjes waarvoor de xkleiner is dan 4 naderen naar −3. De linker- en rechteafgeleiden bestaan maar zijnverschillend van elkaar. Hieruit volgt dan dat de functie niet afleidbaar is in 4.

5.4. AFLEIDBAARHEID 155

STELLING 5.2 Als f afleidbaar is in a dan is f continu in a.

Bewijs: Het punt a is een ophopingspunt van het domein van de functie. We moetenaantonen dat de functie continu is in a of dat de limiet in a van de functie gelijk is aande functiewaarde in a.Is x 6= a en x ∈ domf , dan kunnen we schrijven:

f(x) = f(a) +f(x)− f(a)

x− a(x− a).

Gebruikmakend van de eigenschappen van de limieten verkrijgen we

limaf(x) = lim

a[f(a) +

f(x)− f(a)

x− a(x− a)]

m

limaf(x) = lim

af(a) + lim

a

f(x)− f(a)

x− a. lim

a(x− a)

m f’bestaat

limaf(x) = f(a) + f ′(a).0

m

limaf(x) = f(a)

De limiet in a van f is de functiewaarde in a van f . Hetgeen we moesten bewijzen. �

STELLING 5.3 (De contrapositie van stelling 5.2) Is f niet continu in a dan is fniet afleidbaar in a.

Opmerking: Het omgekeerde van de stelling is niet geldig. Als een functie continu is ina dan is ze niet noodzakelijk afleidbaar in a. Om afleidbaar te zijn moet ze echter al zekercontinu zijn. Afleidbaarheid is een sterkere voorwaarde dan continuiteit.


5.5 De afgeleide functie van een functie

5.5.1 Definitie

De functie f ′ is de afgeleide functie van de functie f als en slechts als f ′ elk punt a vanhet domein van f waar f afleidbaar is afbeeldt op de afgeleide van f in a.

f ′(x) =df

dx= lim

h→0

f(x+ h)− f(x)

h.

Figuur 5.3: grafiek van een functie f en haar afgeleide functie f ′

5.6. RAAKLIJNEN AAN DE GRAFIEK VAN EEN FUNCTIE 157

5.6 Raaklijnen aan de grafiek van een functie

1. Is de functie y = f(x) afleidbaar in een punt a van haar domein, dan is de vergelijkingvan de raaklijn aan de grafiek van de functie in het punt (a, f(a)):

y − f(a) = f ′(a)(x− a).

2. Is een functie y = f(x) continu in a en geldt er dat

lima

f(x)− f(a)

x− a=∞,

dan is x = a de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van de functie y = f(x)in het punt (a, f(a)).

3. Is een functie y = f(x) continu in a en zijn de linker- en de rechterafgeleide in averschillend van elkaar of een van beide afgeleiden is ∞ dan heeft de grafiek van defunctie twee verschillende raaklijnen in het punt (a, f(a)).

Opmerkingen:

• Vermits de afgeleide de richtingscoefficient is van een raaklijn aan de grafiek vande functie, zien we dat als de afgeleide in een punt van een functie positief is datde functie stijgend is in de omgeving van dat punt en als de afgeleide negatief isde functie dalend is (positieve snelheid, groeisnelheid; negatieve snelheid, afname).Het tekenverloop van de afgeleide functie zal ons dus informatie geven omtrent hetstijgen en dalen van een functie. Dit zullen we later bewijzen, met de bijkomendeonderstelling dat de afgeleide zelf continu is.

• Beschikken we over de grafiek van functie dan kunnen we een ruwe schets makenvan de afgeleide functie (zie figuur 5.3).


5.7 Asymptoten voor de grafiek van een functie

5.7.1 Verticale asymptoten

Verticale asymptoten komen voor bij functies die naar oneindig gaan voor reele x-waarden.

Definitie : De rechte met vergelijking x = a is een verticale asymptoot voor degrafiek van een functie f als en slechts als lim

a+f(x) = ±∞ of lim

a−f(x) = ±∞.

Opsporen van verticale asymptoten : om verticale asymptoten op te sporen on-derzoeken we voor welke reele x-waarden de linker- en/of rechterlimiet van de functie ±∞wordt.

De plakpunten van het domein van een functie zijn hierbij goede kandidaten. Voor alge-braısche functies zijn dat de nulpunten van de noemer. MAAR WE MOETEN STEEDSDE LIMIET IN DEZE PUNTEN NOG EXPLICIET BEREKENEN.

In vorige paragraaf 5.6 beschouwden we punten van het domein waar de functie continuis en al dan niet afleidbaar.

We veronderdstellen dat a een plakpunt is van het domein van een functie of een punt isvan het domein waar de functie discontinu is. We beschouwen punten op de grafiek vanf waarvoor de absis nadert naar a. Als functiewaarden naderen naar oneindig dan geldt

lima+

f =∞

en/of

lima−

f =∞.

Als de functie afleidbaar is in de omgeving van a dan geldt ook dat de richtingen van deraaklijnen in deze punten aan de grafiek naderen naar de richting van de y-as (links ofrechts of aan beide kanten). De limietstand van deze raaklijnen is een verticale asymptootvoor de grafiek van de functie. Een asymptoot is dus zogezegd de raaklijn in een punt oponeindig van de grafiek. Er geldt dus ook

lima+

f ′ =∞

en/of

lima−

f ′ =∞.

De vergelijking van de verticale asymptoot is

x = a.

5.7. ASYMPTOTEN VOOR DE GRAFIEK VAN EEN FUNCTIE 159

5.7.2 Schuine - en horizontale asymptoten

Definitie : De rechte met vergelijking y = ωx+ q met ω 6= 0 is de vergelijking van eenniet-verticale asymptoot voor de grafiek van de functie f als en slechts als de verticaleafstand tussen de grafiek van de functie en de rechte naar nul nadert naarmate x nadertnaar +∞ en/of −∞.

lim+∞

(f(x)− (ωx+ q)) = 0 (en/of lim−∞

(f(x)− (ωx+ q)) = 0) (5.1)

Als x nadert naar +∞ (en/of −∞) dan naderen de raaklijnen in de overeenkomstigepunten van de grafiek naar de asymptoot aan de kant van +∞ en/of −∞. Dit betekentdat de richtingscoefficienten van de raaklijnen naderen naar ω. De richtingscoefficient ωvan de asymptoot kunnen we bijgevolg berekenen met de volgende limiet

ω = lim+∞

f ′ (en/of ω = lim−∞

f ′).

De waarde van q kunnen we bepalen door gebruik te maken van de limiet uit 5.1.

lim+∞

(f(x)− (ωx+ q)) = 0⇐⇒ lim+∞

(f(x)− ωx)− q = 0⇐⇒ q = lim+∞

(f(x)− ωx)

en/of q = lim−∞

(f(x)− ωx)

Opsporen van horizontale en schuine asymptoten :

1. Is lim+∞ f(x) = q ∈ R dan is y = q de vergelijking van de horizontale asymptoot

aan de kant van +∞. Analoog voor −∞.

2. Is lim+∞ f(x) = ∞ (en/of lim−∞ f(x) = ∞) dan is er geen horizontale asymptootaan de kant van +∞ (en/of −∞).Is er een schuine asymptoot voor +∞ (en/of −∞) dan is y = ωx+ q de vergelijkingmet {

ω = lim+∞ f′(x)

q = lim+∞(f(x)− ωx)en/of

{ω = lim−∞ f

′(x)q = lim−∞(f(x)− ωx)

Merk op dat een functie ten hoogste 2 niet-verticale asymptoten kan hebben, een voor+∞ en/of een voor −∞.


5.8 Methode van Newton voor het benaderen van

nulpunten

Figuur 5.4: methode van Newton

Voor het bepalen van de nulpunten van een kwadratische functie beschikken we over for-mules. Om de wortels te bepalen van een derde- of vierdegraadsvergelijking bestaat erook een (ingewikkelde) methode. Voor veeltermfuncties van een nog hogere graad bestaathelemaal geen methode, tenzij ze van een speciale gedaante is, bv. wederkerig of bikwa-dratisch. Hetzelfde geldt voor andere algebraısche functies en transcendente functies.

We beschikken echter wel over methodes om een benadering te vinden voor de nulpuntenvan een afleidbare functie, nl. de methode regula falsi en de methode van Newton.Voor beide methodes is het nodig dat we reeds een eerste benadering kennen van denulpunten. We bestuderen nu de methode van Newton.We noemen x1 een eerste benadering van een nulpunt r van de functie y = f(x). Webenaderen de grafiek van f in de omgeving van r door de raaklijn in (x1, f(x1)) aan degrafiek van f . De vergelijking van de raaklijn is

y − f(x1) = f ′(x1)(x− x1)

Is f ′(x1) 6= 0 dan snijdt deze raaklijn de x-as in een punt met absis x2.{y − f(x1) = f ′(x1)(x− x1)y = 0

⇐⇒{−f(x1) = f ′(x1)(x2 − x1)y = 0

Omdat f ′(x1) 6= 0 kunnen we x2 oplossen uit de eerste vergelijking van het laatste stelsel

x2 = x1 −f(x1)

f ′(x1)

5.8. METHODE VAN NEWTON VOOR HET BENADEREN VAN NULPUNTEN 161

De absis x2 van het snijpunt van de raaklijn met de x-as is in de meeste gevallen eenbetere benadering voor het nulpunt r van de functie (zie figuur 5.4). Door middel vandezelfde redenering vinden we een derde benadering x3 van r.

x3 = x2 −f(x2)

f ′(x2)

We kunnen deze werkwijze blijven volgen. Als de n-de benadering xn is en f ′(xn) 6= 0dan is de (n+ 1)-de benadering

xn+1 = xn −f(xn)

f ′(xn)(5.2)

Op de figuur 5.4 naderen de opeenvolgende benaderingen xn naar het werkelijke nulpuntr van de functie.

lim+∞

xn = r

Praktisch kunnen we de computer deze opeenvolgende benaderingen laten berekenen totwe een benadering krijgen op een vooropgegeven aantal decimalen nauwkeurig.Voeren we bvb. 5 iteraties uit dan verkrijgen we 5 opeenvolgende benaderingen.We schrijven dan in DERIVE: iterates(x− f(x)/dif(f(x), x), x, x1, 5).

Het kan gebeuren dat de rij van de opeenvolgende waarden xn niet nadert naar het beoogdenulpunt. Deze situatie zien we op figuur 5.5.

Figuur 5.5: methode van Newton in geval het niet lukt


5.9 Maximale en minimale functiewaarden

5.9.1 Absoluut maximum en absoluut minimum

Een functie f bereikt een absoluut maximum (absoluut minimum) in een puntc ∈ D ⊂ domf als en slechts als f(c) de grootste (kleinste) functiewaarde is in D of hetmaximum (minimum) is van de verzameling f(D).

f bereikt een absoluut maximum in c ∈ D ⊂ domf ⇐⇒ ∀x ∈ D : f(x) ≤ f(c)

f bereikt een absoluut minimum in c ∈ D ⊂ domf ⇐⇒ ∀x ∈ D : f(x) ≥ f(c)

Een functie bereikt een absoluut extremum in een punt c ∈ D ⊂ domf als en slechtsals de functie een absoluut maximum of een absoluut minimum bereikt in c ∈ D.

5.9.2 Relatief maximum en relatief minimum

5.9.2.1 Definitie

Figuur 5.6: relatief maximum — relatief minimum

Een functie f bereikt een relatief maximum (relatief minimum) in een punt cvan haar domein als en slechts als er ε ∈ R+

0 bestaat waarvoor de functie een absoluutmaximum (absoluut minimum) bereikt in c ∈]c− ε, c+ ε[∩ domf .

f bereikt een relatief maximum in c⇐⇒ ∃ε ∈ R+0 : |x−c| < ε∧x ∈ domf =⇒ f(x) ≤ f(c)

f bereikt een relatief minimum in c⇐⇒ ∃ε ∈ R+0 : |x−c| < ε∧x ∈ domf =⇒ f(x) ≥ f(c)

Een functie bereikt een relatief extremum in een punt c van haar domein als en slechtsals de functie een relatief maximum of een relatief minimum bereikt in c.

5.9. MAXIMALE EN MINIMALE FUNCTIEWAARDEN 163

5.9.2.2 Stellingen

STELLING 5.4 De stelling van Fermat (Fransman 1601-1665)Als een reele functie afleidbaar is in een punt c ∈]a, b[⊂ domf en in c een relatief extre-mum bereikt, dan is de afgeleide in c gelijk aan 0.

Schematisch:f is afleidbaar in c

f bereikt een relatief extremum in cc ∈]a, b[⊂ domf

⇒ f ′(c) = 0

Figuur 5.7: vwden vervuld :y = 3x2 − 5x+ 6 en vwden niet vervuld: y =√

3x− 2− 2

Bewijs: We veronderstellen dat de functie f een relatief maximum bereikt in c.

∃ε ∈ R+0 : |x− c| < ε ∧ x ∈ domf =⇒ f(x) ≤ f(c)

We kunnen deze uitspraak beschouwen voor x-waarden kleiner dan c en voor x-waardengroter dan c. Voor x-waarden kleiner dan c geldt:

∃ε ∈ R+0 : c− ε < x ≤ c =⇒ f(x)− f(c) ≤ 0

m

∃ε ∈ R+0 : c− ε < x ≤ c =⇒ f(x)− f(c)

x− c> 0


⇓ gedom. lim. stel.

limc−

f(x)− f(c)

x− c≥ 0 (5.3)

en voor x-waarden groter dan c geldt:

∃ε ∈ R+0 : c ≤ x < c+ ε =⇒ f(x)− f(c) ≤ 0

m

∃ε ∈ R+0 : c < x < c+ ε =⇒ f(x)− f(c)

x− c≤ 0

⇓ gedom. lim. stel.

limc+

f(x)− f(c)

x− c≤ 0 (5.4)

De limietovergang was mogelijk omdat de functie f afleidbaar is in c. Hierbij is linkerlimietdan ook gelijk aan de rechterlimiet. Uit 5.3 en 5.4 volgt dat

limc

f(x)− f(c)

x− c= 0

Dit betekent dat de afgeleide van de functie in c gelijk is aan 0.

f ′(c) = 0.

Het bewijs verloopt op analoge wijze als we veronderstellen dat de functie een minimumbereikt in a. �

Opmerkingen:

a. Een functie kan in een punt wel een extremum bereiken zonder dat de afgeleide indat punt noodzakelijk gelijk aan nul moet zijn;

b. Een functie kan in een punt een afgeleide gelijk aan nul hebben zonder dat in datpunt een extremum bereikt wordt.

De stelling van Fermat suggereert dat we om extreme waarden te vinden eerst kunnengaan kijken in punten van het domein waar de afgeleide gelijk is aan nul of waar deafgeleide niet bestaat. Zo een punt van het domein wordt een kritisch punt genoemd.In een kritisch punt bereikt een functie niet noodzakelijk een extremum.

5.9. MAXIMALE EN MINIMALE FUNCTIEWAARDEN 165

Figuur 5.8: extr. in c en f ′(c) bestaat niet —- geen extr. in c en f ′(c) = 0

STELLING 5.5 Is een functie continu in een gesloten interval [a, b] dan vinden we deabsolute extreme waarden van de functie

1. door de functiewaarden te bepalen in de kritische punten van [a, b];

2. door f(a) en f(b) te bepalen;

De grootste functiewaarde van 1. en 2. is het absoluut maximum, de kleinste waarde van1. en 2. is het absoluut minimum in [a, b].

Figuur 5.9: de absolute extreme waarden van y = x3 − 3x2 + 1 in het interval [−32, 5

2]


5.9.2.3 Soorten relatieve extrema

De functie f bereikt een relatief extremum in c ∈]a, b[⊂ domf . Twee mogelijkheden doenzich voor:

1. De functie f is afleidbaar in c, m.a.w. f ′(c) is een reeel getal. Volgens de stellingvan Fermat is f ′(c) = 0.In dit geval bereikt f een gewoon relatief extremum in c.

2. De functie f is niet afleidbaar in c. We vermelden twee mogelijkheden die zich vakerdan andere voordoen.

a. Is limc f′ = ∞ dan is de raaklijn in het punt (c, f(c)) een rechte parallel met

de y-as. In dit geval noemen we het punt (c, f(c)) een keerpunt voor degrafiek van de functie. We hebben een gewoon keerpunt of cuspide als deraaklijn driepuntig snijdt en een zelfaanrakingspunt of tacnode als de raaklijnvierpuntig snijdt (zie later bij de studie van algebraısche krommen).

b. Is minstens een van de limieten limc− f′ en limc+ f

′ een reeel getal (de andereeventueel ∞) en zijn ze verschillend van elkaar dan heeft de grafiek van defunctie twee verschillende raaklijnen in het punt (c, f(c)). In dit geval is hetpunt (c, f(c)) een knooppunt of crunode voor de grafiek van de functie.

Opmerking: Keerpunten en knooppunten zijn dubbelpunten voor de kromme.

Figuur 5.10: gewoon relatief extremum — keerpunt – knooppunt

5.10. STELLINGEN VAN DE DIFFERENTIAALREKENING 167

5.10 Stellingen van de differentiaalrekening

5.10.1 De stelling van Rolle

STELLING 5.6 Als een functie f continu is in een gesloten interval [a, b] en afleidbaarin het open interval ]a, b[ en is f(a) = f(b) dan bestaat er minstens een punt c van hetopen interval ]a, b[ waarvoor de afgeleide 0 is.

Met symbolen:f is continu in [a, b]

f is afleidbaar in ]a, b[f(a) = f(b)

⇒ ∃c ∈]a, b[: f ′(c) = 0

Bewijs: Aangezien de functie f continu is in [a, b] bereikt ze volgens Weierstrass in datinterval een grootste waarde M en een kleinste waarde m.

1. Is M = m dan is de functie f een constante functie in het interval [a, b]. Voor elkpunt van [a, b] is de afgeleide 0.

2. Is M 6= m dan wordt in minstens een punt c ∈]a, b[ een van de extreme waardenbereikt want f(a) = f(b).Neem bv. f(c) = M . De functie f bereikt een relatief maximum in c en c is eenpunt van het open interval ]a, b[⊂ domf . Hieruit volgt dat f ′(c) = 0.Met symbolen

f bereikt een relatief maximum in cf is afleidbaar in cc ∈]a, b[⊂ domf

⇒ f ′(c) = 0

Het bewijs verloopt analoog als f(c) = m. �

Meetkundige vertolking van de stelling van Rolle: Als een functie f continuis in [a, b] en afleidbaar in ]a, b[ en de functiewaarden in de grenspunten a en b gelijk zijnaan elkaar dan bestaat er in ]a, b[ minstens een punt c waarvoor de raaklijn in (c, f(c))parallel is met de x-as.

Fysische vertolking van de stelling van Rolle: Beweegt een voorwerp op eentraject zonder lussen en bevindt het zich op twee verschillende tijdstippen op dezelfdeplaats dan is de snelheid van het voorwerp minstens een keer gelijk aan nul tussen dietwee tijdstippen.Een goed voorbeeld daarvan is in de situatie waarbij een voorwerp omhoog gegooid wordt.


Figuur 5.11: stelling van Rolle — stelling van Lagrange

5.10.2 Stelling van Lagrange of de middelwaardestelling van dedifferentiaalrekening

STELLING 5.7 Als een functie f continu is in een gesloten interval [a, b] en afleidbaarin het open interval ]a, b[ dan bestaat er minstens een punt c van het open interval ]a, b[

waarvoor de afgeleide gelijk is aan f(b)−f(a)b−a .

Met symbolen:

f is continu in [a, b]f is afleidbaar in ]a, b[

}⇒ ∃c ∈]a, b[: f ′(c) =

f(b)− f(a)

b− a.

Bewijs: We beschouwen de verbindingslijn L van de punten (a, f(a)) en (b, f(b)). Devergelijking is

y − f(a) =f(b)− f(a)

b− a(x− a)⇐⇒ y = f(a) +

f(b)− f(a)

b− a(x− a).

De uitdrukking

f(x)− (f(a) +f(b)− f(a)

b− a(x− a)).

drukt het verschil uit van de functiewaarde voor f en van de functiewaarde van de eerste-graadsfunctie met L als grafiek (de absolute waarde ervan is de verticale afstand tussende grafiek van f en L).

5.10. STELLINGEN VAN DE DIFFERENTIAALREKENING 169

Voor x = a en x = b wordt het verschil gelijk aan nul.We beschouwen nu de functie

h(x) = f(x)− f(a)− f(b)− f(a)

b− a(x− a).

Voor deze functie geldt dath(a) = h(b) = 0.

Dit is een voorwaarde voor de stelling van Rolle. Bovendien voldoet deze functie ook nogaan de eerste twee voorwaarden van de stelling van Rolle vermits dat ook het geval isvoor de functie f en elke eerstegraadsfunctie.Volgens de stelling van Rolle geldt:

∃c ∈]a, b[: h′(c) = 0

m

∃c ∈]a, b[: f ′(c)− f(b)− f(a)

b− a= 0

m

∃c ∈]a, b[: f ′(c) =f(b)− f(a)

b− a.

�

Opmerking:De stelling van Rolle is een bijzonder geval van de stelling van Lagrange.

Meetkundige vertolking van de middelwaardestelling: Als een functie f con-tinu is in [a, b] en afleidbaar in ]a, b[ dan bestaat er in ]a, b[ minstens een punt c waarvoorde raaklijn in (c, f(c)) parallel is met de verbindingslijn van de punten van de grafiek(a, f(a)) en (b, f(b)).

Fysische vertolking van de stelling van Lagrange: De stelling van Lagrangebetekent voor een bewegend lichaam binnen een bepaald tijdsinterval dat de gemiddeldesnelheid in dat tijdsinterval minstens een maal gedurende die tijd bereikt wordt.


5.11 De regel van de l’Hospital

STELLING 5.8 Zijn de functies f en g beide afleidbaar in een gereduceerde basisomge-ving van een ophopingspunt a van het domein, en is

limaf = lim

ag = 0

dan geldt

lima

f

g= lim

a

f ′

g′

Bewijs: De afgeleiden in a van de functies f en g zijn

f ′(a) = lima

f(x)− f(a)

x− aen

g′(a) = lima

g(x)− g(a)

x− a

We vervangen de functies f en g door hun resp. continue uitbreidingen f en g tot degegeven basisomgeving van a.

f ′(a) = lima

f(x)− f(a)

x− aen

g′(a) = lima

g(x)− g(a)

x− a

Vermits

limaf = lim

af = f(a) = 0

en

limag = lim

ag = g(a) = 0

geldt

f ′(a) = lima

f(x)

x− aen

g′(a) = lima

g(x)

x− a

5.11. DE REGEL VAN DE L’HOSPITAL 171

lima

f

g=

lima f

lima g

=lima

f(x)x−a

limag(x)x−a

=f ′(a)

g′(a)

= lima

f ′

g′

Belangrijke opmerking: We kunnen eveneens het volgende bewijzen:

1. Als lima f(x) = ±∞ en lima g(x) = ±∞ dan is ook

lima

f

g= lim

a

f ′

g′

2. Als lim±∞ f(x) = 0 en lim±∞ g(x) = 0 of als lim±∞ f(x) = ∞ en lim±∞ g(x) = ∞dan is ook

lim∞

f

g= lim∞

f ′

g′

3. Soms kan de regel van de l’Hospital niet gebruikt worden omdat door het afleidende onbepaaldheid nooit verdwijnt. In dit geval zijn we aangewezen op de gewonemethodes van de limietberekening.

4. Soms kan de regel van de l’Hospital maar gebruikt worden als we de limiet eerst ineen andere gedaante brengen.


5.12 Stijgen en dalen van een functie

5.12.1 Definitie

Een functie is strikt stijgend in een interval [a, b] als en slechts als

∀x1, x2 ∈ [a, b] : x1 < x2 =⇒ f(x1) < f(x2)

Merk op dat elk differentiequotient van een strikt stijgende functie in [a, b] groter is dan0:

∀x1, x2 ∈ [a, b] :f(x2)− f(x1)

x2 − x1

> 0

Een functie is strikt dalend in een interval [a, b] als en slechts als

∀x1, x2 ∈ [a, b] : x1 < x2 =⇒ f(x1) > f(x2)

Merk op dat elk differentiequotient van een strikt dalende functie in [a, b] kleiner is dan0:

∀x1, x2 ∈ [a, b] :f(x2)− f(x1)

x2 − x1

< 0

5.12.2 Test voor stijgen en dalen

STELLING 5.9 Als een functie f continu is in een interval [a, b] en afleidbaar in ]a, b[dan geldt

1. als f ′(x) > 0 voor alle x ∈]a, b[ dan is f strikt stijgend in [a, b] ;

2. als f ′(x) < 0 voor alle x ∈]a, b[ dan is f strikt dalend in [a, b];

3. als f ′(x) = 0 voor alle x ∈]a, b[ dan is f constant in [a, b].

Bewijs: We bewijzen het eerste deel van de stelling. De twee andere delen zijn op analogewijze aan te tonen.We beschouwen twee punten x1 en x2 van [a, b] waarvoor x1 < x2. Omdat f continuis in [x1, x2] en afleidbaar in ]x1, x2[ bestaat volgens de middelwaardestelling een puntc ∈]x1, x2[ waarvoor geldt

f ′(c) =f(x2)− f(x1)

x2 − x1

.

5.12. STIJGEN EN DALEN VAN EEN FUNCTIE 173

Aangezien f ′(c) > 0 is f(x2)−f(x1)x2−x1

> 0.

Uit x1 < x2 volgt dat f(x1) < f(x2). Deze laatste implicatie is geldig voor elke tweepunten x1 en x2 waarvoor x1 < x2. De functie f is stijgend in [a, b]. �

Opmerking: In het domein van de functie y = |x|x

is de afgeleide steeds gelijk aan nul. Defunctie is echter niet constant in zijn domein. Dit is niet in tegenspraak met de voorgaandestelling omdat het domein R \ {0} van de functie geen interval is maar wel een unie vantwee intervallen. De functie is echter wel constant in de twee deelintervallen ]−∞, 0[ en]0,+∞[.

GEVOLG 5.1 Hebben twee functies f en g gedefinieerd in een interval [a, b] dezelfdeafgeleiden in ]a, b[, dan verschillen f en g slechts door een constante functie in [a, b].

Bewijs:∀x ∈]a, b[: f ′(x) = g′(x)

m∀x ∈]a, b[: f ′(x)− g′(x) = 0

m∀x ∈]a, b[: (f − g)′(x) = 0.

Uit de voorgaande stelling volgt dat de functie f − g een constante functie is in [a, b].

f − g = k ⇐⇒ f = g + k.

�

Opmerking:

* Als een functie stijgend is in een interval [a, b], dan kunnen er in dit interval eenof meerdere punten bestaan waar de afgeleide nul wordt. Het omgekeerde van devoorgaande stelling is dus niet geldig.

Inderdaad, is f stijgend en afleidbaar in [a, b] dan geldt voor elke x en elke c van[a, b] dat

f(x)− f(c)

x− c> 0.

Na limietovergang kan het gelijkheidsteken optreden.

limf(x)− f(c)

x− c≥ 0⇐⇒ f ′(c) ≥ 0.

De afgeleide kan dus ook gelijk zijn aan 0 in een punt van het interval waar defunctie strikt stijgend is.


* Het omgekeerde van het derde deel van de voorgaande stelling is wel geldig.Als een functie constant is in een interval dan is de afgeleide steeds gelijk aan nulin dat interval.

5.12.3 De eerste afgeleide test

STELLING 5.10 Is een functie f continu in het interval [a, b] en is c een kritisch puntvan f in [a, b] dan geldt

a. ∀x ∈]a, c[: f ′(x) > 0∧ ∀x ∈]c, b[: f ′(x) < 0 =⇒ f bereikt een relatief maximum in c;

b. ∀x ∈]a, c[: f ′(x) < 0 ∧ ∀x ∈]c, b[: f ′(x) > 0 =⇒ f bereikt een relatief minimum in c;

c. Als f ’ niet verandert van teken in c dan bereikt f geen relatief extremum in c.

Bewijs van a.: De functie f is stijgend in ]a, c[ omdat de afgeleide daar groter is dan nul.Er geldt

x < c =⇒ f(x) < f(c) (5.5)

De functie f is dalend in ]c, b[ omdat de afgeleide daar kleiner is dan nul. Er geldt

x > c =⇒ f(x) < f(c) (5.6)

Uit 5.5 en 5.6 besluiten we dat f een relatief maximum bereikt in c. �

5.13. CONCAVITEIT EN BUIGPUNTEN 175

5.13 Concaviteit en buigpunten

5.13.1 Concaaf naar boven en concaaf naar beneden

5.13.1.1 Definitie

* Is een functie afleidbaar in een interval I en ligt de grafiek van de functie boven alzijn raaklijnen in I dan zeggen we dat de grafiek concaaf naar boven is in I ofdat de holle kant van de grafiek naar boven ligt in I.

* Is een functie afleidbaar in een interval I en ligt de grafiek van de functie onder alzijn raaklijnen in I dan zeggen we dat de grafiek concaaf naar onder is in I ofdat de holle kant van de grafiek naar onder ligt in I.

Figuur 5.12: concaaf naar boven concaaf naar onder

5.13.1.2 Test voor concaviteit

• Holle kant naar boven in een interval I voor de grafiek van een functie f betekentdat de richtingscoefficienten van de raaklijnen aan de grafiek van links naar rechtsbekeken groter worden in I. De afgeleide functie f ′ is stijgend in I. Dit laatstebetekent dat de tweede afgeleide functie f ′′ positief is in dat interval.

• Holle kant naar onder in een interval I voor de grafiek van een functie f betekentdat de richtingscoefficienten van de raaklijnen aan de grafiek van links naar rechtsbekeken kleiner worden in I. De afgeleide functie f ′ is dalend in I. Dit laatstebetekent dat de tweede afgeleide functie f ′′ negatief is in dat interval.


STELLING 5.11 Is een functie f twee keer afleidbaar in een interval I dan geldt

a. ∀x ∈ I : f ′′(x) > 0 =⇒ f is concaaf naar boven in I;

b. ∀x ∈ I : f ′′(x) < 0 =⇒ f is concaaf naar onder in I.

5.13.2 Buigpunten

5.13.2.1 Definitie

Een buigpunt voor de grafiek van een functie is een punt van de grafiek waar degrafiek verandert van concaaf naar boven naar concaaf naar beneden of van concaaf naarbeneden naar concaaf naar boven.

Figuur 5.13: buigpunten

Opmerking: Is (c, f(c)) een buigpunt voor de grafiek van een functie f en bestaat deraaklijn in (c, f(c)) aan de grafiek (f is afleidbaar in c) dan gaat de grafiek in dit puntvan de ene kant van de raaklijn naar de andere kant van de raaklijn.

5.13.2.2 De tweede afgeleide test

STELLING 5.12 De functie f bezit een eerste afgeleide functie die continu is in [a, b] ⊂domf en afleidbaar is in ]a, b[. De tweede afgeleide is continu in een punt c ∈]a, b[.

a. Als f ′(c) = 0 en f ′′(c) > 0, dan bereikt f een relatief minimum in c;

b. Als f ′(c) = 0 en f ′′(c) < 0, dan bereikt f een relatief maximum in c.

5.13. CONCAVITEIT EN BUIGPUNTEN 177

Figuur 5.14: soorten buigpunten

Bewijs: Als f ′′(c) > 0, dan bestaat er een basisomgeving I ⊂]a, b[ van C waar f ′′(x) > 0omdat f ′′ continu is in c. Volgens de test voor concaviteit is de functie f concaaf naarboven in I. Daaruit volgt dat de grafiek van f boven zijn raaklijn ligt in het punt (c, f(c)).Maar omdat f ′(c) = 0, is deze raaklijn parallel met de x-as. Dit toont aan dat

∀x ∈ I : f(x) ≥ f(c)

waarbij I een basisomgeving is van c. Hieruit volgt dat f een relatief minimum bereiktin c.Het bewijs voor het tweede deel is analoog. �

5.13.2.3 Soorten buigpunten

Het punt (c, f(c)) is een buigpunt voor de grafiek van de functie f . We onderscheidentwee gevallen:

a. De functie f is afleidbaar in c. De buigraaklijn is dan een rechte niet parallel metde y-as en eventueel in het bijzonder parallel met de x-as.

b. De functie f is niet afleidbaar in c. Aangezien de raaklijn steeds bestaat in eenbuigpunt is de enige mogelijkheid dat limc f

′ = ∞. De buigraaklijn is parallel metde y-as.

OPGAVEN — 31 Zijn twee functies concaaf naar boven in R, is de samenstelling van de twee functiesook concaaf naar boven?

32 Bewijs dat als (c, f(c)) een buigpunt is voor de grafiek van de functie f , en f ′′ bestaat in een openinterval I dat het punt c bevat, dan is f ′′(c) = 0.


5.14 Wederom rekenregels

5.14.1 De afgeleide functie van een lineaire combinatie van tweefuncties

STELLING 5.13 Als f ′(x) en g′(x) bestaan en r en s zijn reele constanten, dan geldt

(r.f + s.g)′(x) = r.f ′(x) + s.g′(x).

D(r.f + s.g) = r.Df + s.Dg

We zeggen: De afgeleide van een lineaire combinatie is gelijk aan de lineairecombinatie van de afgeleiden.

Bewijs: Het bewijs steunt op de gelijknamige eigenschap van de limieten.

(r.f + s.g)′(x) = limh→0

(r.f + s.g)(x+ h)− (r.f + s.g)(x)

h

m def. v. lin. comb. v. funct.

(r.f + s.g)′(x) = limh→0

r.f(x+ h) + s.g(x+ h)− r.f(x)− s.g(x)

h

m

(r.f + s.g)′(x) = limh→0

r.(f(x+ h)− f(x)) + s.(g(x+ h)− g(x))

h

m

(r.f + s.g)′(x) = limh→0

(r.f(x+ h)− f(x)

h+ s.

g(x+ h)− g(x)

h

)m lim. v. lin. comb. v. funct.

(r.f + s.g)′(x) = r. limh→0

f(x+ h)− f(x)

h+ s. lim

h→0

g(x+ h)− g(x)

h

m f en g zijn afl.

(r.f + s.g)′(x) = r.f ′(x) + s.g′(x).

�

5.14. WEDEROM REKENREGELS 179

5.14.2 De afgeleide functie van het product van twee functies

STELLING 5.14 Als f ′(x) en g′(x) bestaan, dan geldt

(f.g)′(x) = f ′(x).g(x) + f(x).g′(x)

D(f.g)(x) = g(x).Df(x) + f(x).Dg(x)

We zeggen: De afgeleide van het product van twee functies is de afgeleidevan de eerste functie maal de tweede functie plus de eerste functie maalde afgeleide van de tweede functie.

Bewijs:

(f.g)′(x) = limh→0

(f.g)(x+ h)− (f.g)(x)

h

m def. v. prod. v. funct.

(f.g)′(x) = limh→0

f(x+ h).g(x+ h)− f(x).g(x)

h

m

(f.g)′(x) = limh→0

f(x+ h).g(x+ h)− f(x+ h).g(x) + f(x+ h).g(x)− f(x).g(x)

h

m

(f.g)′(x) = limh→0

f(x+ h)(g(x+ h)− g(x)

)+(f(x+ h)− f(x)

).g(x)

h

m eig. v. lim.

(f.g)′(x) = limh→0

f(x+ h). limh→0

g(x+ h)− g(x)

h+ lim

h→0

f(x+ h)− f(x)

h. limh→0

g(x)

m

(f.g)′(x) = f(x).g′(x) + f ′(x).g(x)

Merk op dat

• limh→0 f(x+ h) = f(x) omdat de functie f afleidbaar is en dus ook continu.

• limh→0 g(x) = g(x) omdat g(x) constant is t.o.v. h.


�

We kunnen deze stelling uitbreiden voor het product van een eindig aantal functies. Wegeven de uitbreiding voor drie functies:

(f.g.h)′(x) = f ′(x)g(x).h(x) + f(x)g′(x).h(x) + f(x).g(x).h′(x).

D(f.g.h)(x) = g(x).h(x).Df(x) + f(x).h(x).Dg(x) + f(x).g(x).Dh(x).

Een bijzonder geval van de regel voor het product is de regel voor een natuurlijke machtvan een functie.

GEVOLG 5.2∀n ∈ N : D(f(x))n = n(f(x))n−1Df(x)

Bewijs: We bewijzen de regel door volledige inductie.

1. De regel is geldig voor n = 1.

2. Als de regel geldt voor n dan geldt hij ook geldig is voor n+ 1.

Gegeven : D(f(x))n = n(f(x))n−1Df(x);Te bewijzen: D(f(x))n+1 = (n+ 1)(f(x))nDf(x).Bewijs:

D(f(x))n+1 = D((f(x))n.f(x))afg. prod.

= f(x).D(f(x))n + (f(x))n.Df(x)

geg.= f(x)n(f(x))n−1 + (f(x))n = (n+ 1)(f(x))n.

�


5.14.3 De afgeleide functie van het quotient van twee functies

STELLING 5.15 Als f ′(x) en g′(x) bestaan, dan is(f

g(x)

)′=g(x).f ′(x)− g′(x).f(x)

g2(x).

D

(f

g(x)

)=g(x).Df(x)− f(x).Dg(x)

g2(x).

We zeggen: De afgeleide van een quotient van twee functies is gelijk aan denoemer maal de afgeleide van de teller min de teller maal de afgeleidevan de noemer en dit alles gedeeld door het kwadraat van de noemer.

Bewijs: (f

g

)′(x) = lim

h→0

fg(x+ h)− f

g(x)

h

m def. v. quot. v. funct.(f

g

)′(x) = lim

h→0

f(x+h)g(x+h)

− f(x)g(x)

h

m(f

g

)′(x) = lim

h→0

f(x+ h).g(x)− f(x).g(x+ h)

h.g(x+ h).g(x)

m(f

g

)′(x) = lim

h→0

f(x+ h).g(x)− f(x).g(x) + f(x).g(x)− f(x).g(x+ h)

h.g(x+ h).g(x)

m(f

g

)′(x) = lim

h→0

g(x).f(x+h)−f(x)h

− f(x).g(x+h)−g(x)h

g(x+ h).g(x)

m(f

g

)′(x) =

limh→0 g(x). limh→0f(x+h)−f(x)

h− limh→0 f(x). limh→0

g(x+h)−g(x)h

limh→0 g(x+ h). limh→0 g(x)

m(f

g

)′(x) =

g(x).f ′(x)− f(x).g′(x)

g2(x)


Merk op dat

• limh→0 g(x+ h) = g(x) omdat de functie g afleidbaar is en dus ook continu.

• limh→0 g(x) = g(x) omdat g(x) constant is t.o.v. h. Hetzelfde is geldig voor f(x).

�

Bijzonder geval: (1

g

)(x) = − g

′(x)

g2(x)

Uit het bijzonder geval kunnen we de regel afleiden voor de afgeleide van een gehele macht.

GEVOLG 5.3∀n ∈ N : D(f(x))−n = −n(f(x))−n−1

Bewijs:

D(f(x))−n = D1

(f(x))n= −D(f(x))n

(f(x))2n= −n(f(x))n−1Df(x)

(f(x))2n= −n(f(x))−n−1Df(x).

Hierbij maakten we gebruik van de definitie van negatieve macht en de regel voor deafgeleide van een natuurlijke macht van een functie.

�

Besluit: De regel voor de afgeleide van een gehele macht is:

∀z ∈ Z : D(f(x))z = z(f(x))z−1Df(x).

5.14.4 De afgeleide functie van de samenstelling van twee functies—De kettingregel

STELLING 5.16 Als f ′(x) en g′(f(x)) bestaan, dan is

(gof)′(x) = g′(f(x))f ′(x).

We zeggen: De afgeleide van een samenstelling van twee functies y = f(x)en z = g(y) is de afgeleide van de tweede functie g naar y maal de afgeleidevan de eerste functie f naar x.Met de Leibniznotatie:

dz

dx=

dz

dy· dy

dx.


Bewijs:

(g ◦ f)′(x) = limh→0

(g ◦ f)(x+ h)− (g ◦ f)(x)

h

m def. v. samenst. v. funct.

(g ◦ f)′(x) = limh→0

g(f(x+ h))− g(f(x))

h

m

(g ◦ f)′(x) = limh→0

g(f(x+ h))− g(f(x))

h· f(x+ h)− f(x)

f(x+ h)− f(x)

m

(g ◦ f)′(x) = limh→0

g(f(x+ h))− g(f(x))

f(x+ h)− f(x)· f(x+ h)− f(x)

h

Omdat de functie f afleidbaar is, is ze tevens continu. Er geldt

limh→0

f(x+ h) = f(x)

We stellen f(x+ h)− f(x) = k ⇐⇒ f(x+ h) = f(x) + k = y + k

(g ◦ f)′(x) = limk→0

g(y + k)− g(y)

k· limh→0

f(x+ h)− f(x)

h

m

(g ◦ f)′(x) =dg

dy· df

dx

�

Uitbreiding van de kettingregel: De afgeleide van de samenstelling van drie functies.

Als f ′(x), g′(f(x)) en h′(g(f(x))) bestaan, dan is

(h ◦ g ◦ f)′(x) = h′(g(f(x)))g′(f(x))f ′(x) =dh

dz

dg

dy· df

dx.

Deze kettingregel kan gemakkelijk uitgebreid worden voor de afgeleide van de samenstel-ling van meer dan drie.

PRAKTISCH: Bij het afleiden van de samenstelling van meerdere functies beginnen wemet het afleiden van de functie die we het laatst toepassen, vervolgens leiden we de voor-laatste functie af enz. tot alle functies van de samenstelling afgeleid zijn.


5.14.5 Afgeleide functie van de inverse functie van een functie

STELLING 5.17 Heeft de functie y = f(x) een inverse functie y = f−1(x), dan is deafgeleide functie van y = f−1(x) gelijk aan de omgekeerde functie van de afgeleide functievan z = f(y), waarin we y vervangen door f−1(x).

Met symbolen:

(f−1(x))′ =1

f ′(y)met y = f−1(x)

m

(f−1(x))′ =1

f ′(f−1(x)).

We zeggen: De afgeleide van de inverse functie van een functie is gelijkaan de omgekeerde van de afgeleide van de functie

Met Leibniznotatie:dy

dx=

1

dxdy

Bewijs: Zijn twee functies f en f−1 elkaars inverse dan is

y = f−1(x)⇐⇒ x = f(y).

dy

dx· dx

dy=

dx

dx= 1

mdy

dx=

1

dxdy

�


Figuur 5.15: raaklijnen in corresponderende punten van inverse functies



Gottfried Wilhelm LEIBNIZ was een Duits wiskundige van de zeventiende eeuw. Hijbracht het grootste deel van zijn leven door in de buurt van het hof van Hannover enin dienst van de hertogen. Hij streefde de grootste denkers van zijn tijd voorbij in debreedte van zijn scheppend werk; zijn wijsbegeerte omvatte behalve de logica ook geschie-denis, theologie, linguistiek, biologie, geologie, wis- en natuurkunde, diplomatieen en deuitvindingskunst. Hij was een der eersten na PASCAL die een rekenmachine uitvond,hij dacht over stoomwerktuigen, studeerde Chinese filosofie en werkte aan de eenheid vanDuitsland. Zijn geheel wetenschappelijk en wijsgerig streven werd gedragen door zijnzoeken naar een universele methode, waarmee men ware kennis zou kunnen verkrijgen,uitvindingen kon verrichten en het wezen van de eenheid van het heelal kon begrijpen.Dit zoeken beheerste ook DESCARTES’ denken. De “Algemene Wetenschap”, de “Sci-entia generalis”, waarnaar Leibniz streefde, was zeer veelzijdig en bracht hem ook tot zijnwiskundige ontdekkingen. Hij hoopte de Algemene Wetenschap te kunnen uitdrukken ineen aparte symboliek, de “Characteristica Universalis” en op weg daarheen bestudeerdehij permutaties en combinaties, en zocht naar een Algemene Taal, een “Lingua Univer-salis”, waarin alle gedachtenfouten en rekenfouten zouden optreden. Dit leidde hem nietalleen tot een begin van de symbolische logica, doch ook naar de infinitesimaalrekeningmet zijn sprekende notatie. Doch niet alleen hier, maar ook op andere wiskundige ge-bieden trachtte hij de symboliek te verbeteren, en zo werd Leibniz een van de grootsteuitvinders van mathematische notaties. Hij voerde het integraalteken

∫in, onder zijn

invloed hebben tekens zoals = voor gelijkheid en · voor vermenigvuldiging algemene in-gang gevonden. Ook de uitdrukkingen “functie” en “coordinaten”, “ordinaat” en “absis”komen van Leibniz, evenals de ondeugende term “osculeren”. Hij gebruikte verschillendemanieren om het begrip “oneindige” te benaderen, zo aanvaarde hij in een van zijn brieven(aan FOURCHER, 1693) het actueel oneindige ten einde ZENO’s paradoxen (Achilles ende schildpad) te overwinnen. Er zijn weinig mensen geweest die zo diep de eenheid vanvorm en inhoud hebben trachten uit te drukken. Zijn uitvinding van de differentiaal-en integraalrekening (ook deze namen zijn van hem) was gedragen door zijn streven een“lingua universalis” van de verandering, en in het bijzonder van de beweging te scheppen,al speelde hier natuurlijk ook de liefde voor de wiskunde een belangrijke rol. Leibniz be-studeerde Descartes, Pascal en andere voorgangers. Ook stimuleerde hem het bericht uitEngeland dat daar NEWTON een algemene methode had gevonden om problemen metinfinitesimalen te beheersen. Terwijl Newtons methode kinematisch was georienteerd,was die van Leibniz allereerst van meetkundige aard; hij dacht in de taal van de zgn.karakteristieke driehoek (dx, dy, dz). Leibniz heeft een periode geopend van buitengewo-ne wiskundige productiviteit. Na 1687 werd hij vooral door de broers Jacob en JohannBERNOULLI geholpen. Nog voor 1700 hadden zij het voornaamste gevonden van watwe nu de elementaire differentiaal- en integraalrekening noemen.

Hoofdstuk 6

Algebraısche functies

6.1 Veeltermfuncties

6.1.1 Standaardveeltermfuncties

Het voorschrift van enkele standaardveeltermfuncties: y = 1, y = x, y = x2, y = x3,y = 2x4, y = x5 enz.....

Figuur 6.1: y = x2 — y = x4 — y = x6 — y = x3 — y = x5

187

188 HOOFDSTUK 6. ALGEBRAISCHE FUNCTIES

6.1.2 Voorschrift van een veeltermfunctie

6.1.2.1 Een veeltermfunctie als lineaire combinatie van standaardveelterm-functies

Een veeltermfunctie heeft een voorschrift van de algemene gedaante:

y = V (x) ≡ anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a2x2 + a1x+ a0 met an, an−1, · · · , a2, a1, a0 ∈ R.

Een veeltermfunctie kunnen we opvatten als een lineaire combinatie van de standaard-functies.

Figuur 6.2: som en scalaire vermenigvuldiging van veeltermfuncties

Bijzondere gevallen: eerste- en tweedegraadsfunctiesVorige jaren hebben jullie de eerste- en tweedegraadsfuncties grondig bestudeerd.

y = ax+ b en y = ax2 + bx+ c

6.1. VEELTERMFUNCTIES 189

6.1.2.2 Een veeltermfunctie als product van eerste- en tweedegraadsfuncties

STELLING 6.1 Elke veeltermfunctie van de graad n heeft maximaal n nulpunten in R.Is a een nulpunt van een veeltermfunctie dan is de veelterm deelbaar door x − a. Hetquotient van de deling door x− a kan dan bepaald worden met de regel van Horner.

Dit betekent dat elke veelterm ontbindbaar is in factoren van de eerste en/of de tweedegraad (zie deeltje Complexe Getallen).

Een veeltermfunctie kan geschreven worden als het product van een ofmeerdere eerste en/of tweedegraadsfuncties.

Grafisch betekent dit dat elke veeltermfunctie van de graad n hoog-stens n snijpunten heeft met de x-as.

Kent men van een veeltermfunctie een nulpunt x1 dan bevat deze veelterm de factor x−x1

. De veelterm is deelbaar door de factor x− x1.

anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a2x2 + a1x+ a0 = (x− x1)Q(x)

Q(x) is een veelterm van de graad n− 1.

Kent men van een veeltermfunctie twee nulpunten x1 en x2 dan bevat deze veelterm defactoren x− x1 en x− x2. De veelterm is deelbaar door het product:

(x− x1)(x− x2) = x2 − (x1 + x2)x+ x1x2 = x2 − Sx+ P

waarbij S = x1 + x2 en P = x1x2 resp. de som en het product zijn van de nulpunten.

anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a2x2 + a1x+ a0 = (x− x1)(x− x2)Q(x)


Kent men van een veeltermfunctie drie nulpunten x1, x2 en x3 dan bevat deze veeltermde factoren x− x1, x− x2 en x− x3. De veelterm is deelbaar door het product:

(x− x1)(x− x2)(x− x3)

= x3 − (x1 + x2 + x3)x2 + (x1x2 + x2x3 + x1x3)x− x1x2x3

= x3 − Sx2 + ax− P

waarbij S = x1+x2+x3 en P = x1x2x3 resp. de som en het product zijn van de nulpunten.

anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a2x2 + a1x+ a0 = (x− x1)(x− x2)(x− x3)Q(x)



Maak zelf de redenering voor een veelterm met vier en vijf nulpunten.

Meestal zijn de nulpunten van een veeltermfunctie niet gekend. Het is soms een heleklus om nulpunten te bepalen. Heeft een veeltermfunctie een geheel nulpunt dan is dateen deler van de constante term. De delers van de constante term zijn dus kandidaatnulpunten van de veeltermfunctie.

In de volgende voorbeelden gaan we een gegeven veelterm in factoren ontbinden metbehulp van de grafiek van de veeltermfunctie, die we kunnen verkrijgen met DERIVE.De voorschriften zijn echter geselecteerd, d.w.z. dat de veelterm minstens een geheel ofrationaal nulpunt bezit, die we gemakkelijk op de grafiek van de functie kunnen aflezen.

Voorbeelden:

• y = −2x3 + 11x2 − 4x− 5Op de grafiek van deze functie zien we het nulpunt 1. De veelterm is deelbaar doorx−1. Met de regel van Horner kunnen we het quotient bepalen. Het quotient is vande tweede graad waarvan we de eventuele nulpunten gemakkelijk kunnen bepalen.De nulpunten van deze tweedegraadsfunctie zijn -1/2 en 5. De veeltermfunctie isdus deelbaar door

(x− 1)(x+1

2)(x− 5).

De ontbinding van de veelterm in factoren is

−2x3 + 11x2 − 4x− 5 = −2(x− 1)(x+1

2)(x− 5).

Deze veeltermfunctie is het product van drie eerstegraadsfuncties:

y = −2x3 + 11x2 − 4x− 5 = (x− 1)(2x+ 1)(5− x).

• y = x3 + 1Aan het voorschrift zien we gemakkelijk dat -1 een nulpunt is. Het quotient bijdeling door x+ 1 is onontbindbaar. Deze veeltermfunctie van de derde graad is hetproduct van een eerstegraadsfunctie en een onontbindbare tweedegaadsfunctie:

y = x3 + 1 = (x+ 1)(x2 − x+ 1)

• y = x4 + 1Bij deze veeltermfunctie zien we geen snijpunten met de x-as. Uit het voorschriftleiden we af dat de functie voor elke waarde van x positief is. Toch is deze veeltermontbindbaar maar dan in twee veeltermen van de tweede graad die op hun beurtonontbindbaar zijn.


y = x4 + 1

= x4 + 2x2 + 1− 2x2

= (x2 +√

2x+ 1)(x2 −√

2x+ 1)

OPGAVEN — 33 Gegeven de veeltermfuncties1. y = x4 − 1 6. y = 2x3 + x2 − 13x+ 62. y = −3x4 + 10x3 + 9x2 − 40x+ 12 7. y = −x4 − 3x3 + x+ 33. y = 8x4 + 68x3 + 210x2 + 275x+ 125 8. y = 4x3 − 12x2 + 9x− 24. y = 8x3 − 12x2 + 6x− 1 9. y = 2x4 − x2 + 1

85. y = 2x4 − x2 10. y = 2x4 − x2 − 1

1. Teken met DERIVE de grafiek van de gegeven veeltermfunctie en bepaal nulpunten die je metzekerheid van de tekening kan aflezen;

2. Bereken dan zonder computer de eventuele overige nulpunten (regel van Horner toepassen of deeuclidische staartdeling uitvoeren);

3. Geef dan de ontbinding in factoren in R (factoren van eerste en/of de tweede graad);

4. Controleer door DERIVE de ontbinding in factoren te laten uitvoeren.

Oplossingen:

1. y = (x2 + 1)(x− 1)(x+ 1) 6. y = (2x− 1)(x+ 3)(x− 2)2. y = (1− 3x)(x− 2)(x+ 2)(x− 3) 7. y = (x2 + x+ 1)(1− x)(x+ 3)3. y = (2x+ 5)3(x+ 1) 8. y = (2x− 1)2(x− 2)4. y = (2x− 1)3 9. y = 1

8 (2x− 1)2(2x+ 1)2

5. y = x2(√

2x− 1)(√

2x+ 1) 10. y = (x− 1)(x+ 1)(2x2 + 1)

6.1.2.3 Een veeltermfunctie als samenstelling van veeltermfuncties

De samenstelling van twee veeltermfuncties is weer een veeltermfunctie. Omgekeerd,kunnen we elke veeltermfunctie opvatten als de samenstelling van twee of meerdere veel-termfuncties. Merk op dat de samenstelling van twee functies NIET commutatief is.Voorbeeld: Gegeven de functies f : y = x+ 1 en g : y = x2. De samenstelling van de tweefuncties in de twee volgorden:

g ◦ f : y = (x+ 1)2;

f ◦ g : y = x2 + 1.

OPGAVEN — 34 Gegeven f : y = 9x+ 2 en g : 3x+ a. Bepaal a zodat f ◦ g = g ◦ f .

35 Schrijf de volgende functies als de samenstelling van twee of meerdere veeltermfuncties:(i) y = (x− 9)5 (iii) y = 3x2 + 3x+ 2(ii) y = 3x2 − 7x+ 9 (iv) y = x2(x2 + 4)


Oplossingen:34 a = 1

2 ;35(i) y = x− 9, z = y5; (ii) y = x− 1, z = 3y2 − y + 5 of y = x− 7

6 ;(iii) y = x+ 1

2 , z = 3y2 + 54 ; (iv) y = x2, z = y(y + 4).

6.1.3 Het domein van een veeltermfunctie

Het domein van een veeltermfunctie is gans R. Plakpunten van het domein zijn +∞ en−∞.

6.1.4 Limieten en continuıteit van een veeltermfunctie

6.1.4.1 Limiet in een reele waarde en continuıteit

In deze paragraaf maken we gebruik van de theoretische beschouwingen over limieten encontinuıteit van functies van het hoofdstuk 4.

Alle punten van het domein R van een veeltermfunctie zijn ophopingspunten van R. Wekunnen dus in elke reele waarde de limiet beschouwen.

• Voor de constante functie y = 1 geldt:

lima

1 = 1 met a ∈ R

want voor elke monotone rij die convergeert naar a geldt dat de beeldrij van defunctiewaarden de constante rij (1) is waarvan de limiet gelijk is aan 1 (zie definitie1 van p. 129).De limiet in elke reele waarde a is gelijk aan de functiewaarde in a. Hieruit volgtdat de functie y = 1 continu is in elke reele waarde (zie definitie 4 van p. 129).

• De identieke functie y = x is continu over R omdat ze een stijgende bijectie is vanhet interval ] −∞,+∞[ naar het interval ] −∞,+∞[ (zie stelling 4.8 op bladzijde140).

limax = a met a ∈ R

• De standaardfuncties y = xn met n ∈ N0 zijn continu in R vermits ze natuurlijkemachten zijn van de identieke functie die continu is over R (zie stelling 4.17 opbladzijde 144).


• Een veeltermfunctie is een lineaire combinatie is van de continue standaardfunctiesy = xn. Volgens de stelling 4.17 van bladzijde 144 kunnen we het volgend besluitformuleren:

Een veeltermfunctie is continu in elke reele waarde.

limaV (x) = V (a).

Praktische betekenis voor de grafiek van een veeltermfunctie: de grafiek van eenveeltermfunctie is een vloeiende lijn waar geen verticale sprongen voorkomen.

6.1.4.2 Limiet in ∞

Vermits +∞ en −∞ plakpunten zijn van R, die het domein is van elke veeltermfunctie, ishet zinvol de limiet te beschouwen in +∞ en in −∞. Volgens de rekenregels van limietenis de limiet in +∞ of −∞ van een veelterm een som van +∞’s en −∞’s (zie bladzijde143, 118 en ??). In de meeste gevallen is dit echter een onbepaaldheid. We lossen dit opdoor de hoogste graadsterm voorop te zetten en aldus de rekenregel voor de limiet vaneen product toe te passen, zoals we dit voor rijen ook gedaan hebben. We bekomen:

lim±∞

(anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ a0) = lim±∞

xn(an +an−1

x+ · · ·+ a1

xn−1+a0

xn)

= lim±∞

xn lim±∞

(an + · · · )

= an lim±∞

xn

= lim±∞

anxn

Dus hieruit blijkt dat de limiet in +∞ of −∞ van elke veeltermfunctie gelijkis aan de corresponderende limiet van zijn hoogstegraadsterm.

Voorbeelden:lim+∞

(0, 1x2 + x− 3) = lim+∞

(0, 1x2) = +∞

enlim−∞

(0, 1x2 + x− 3) = lim−∞

(0, 1x2) = +∞

Omdat de resultaten voor zowel +∞ en −∞ dezelfde zijn schrijven we kort:

lim∞

(0, 1x2 + x− 3) = lim∞

(0, 1x2) = +∞


GEVOLG 6.1 De limiet in +∞ van een veeltermfunctie heeft hetzelfde teken als van decoefficient van de hoogstegraadsterm an van de veelterm.

OPGAVEN — 36 Bepaal de volgende limieten en controleer op de grafiek met DERIVE:1. lim+∞(x2 + 12x− 2) = 4. lim−∞(x2 − 2x− 12) =2. lim−∞(−x2 − 2x− 12) = 5. lim+∞(−5x2 + 3x+ 65) =3. lim−∞(x3 + 5x2 + 3x− 50) = 6. lim−∞(−2x3 + x+ 100) =

We merken op dat als de graad van een veeltermfunctie oneven is, de limieten in +∞en −∞ verschillend teken hebben. Volgens de stelling van Bolzano (op bladzijde 140)kunnen we besluiten dat een veeltermfunctie van een oneven graad minstens een nulpuntheeft in R.We formuleren de volgende stelling:

STELLING 6.2 Een veeltermfunctie van een oneven graad heeft minstens een nulpuntin R. De grafiek van een veeltermfunctie met een oneven graad heeft minstens een snijpuntmet de x-as.

6.1.5 Tekenverloop van een veeltermfunctie

Komt een nulpunt a bij een veeltermfunctie k keer voor dan is de veelterm deelbaar door(x− a)k:

V (x) ≡ (x− a)k.Q(x).

We zeggen dat a een nulpunt is met multipliciteit k.Is k ≥ 2 dan raakt de grafiek van de functie aan de x-as in het punt (a, 0).

a. Is k even dan blijft de grafiek in een voldoende kleine omgeving van a aan de enekant van de xas.

b. Is k oneven dan gaat de grafiek in punt a van de ene kant naar de andere kant vande x-as ((a,O) is een buigpunt voor de grafiek van de functie).

Inderdaad, snijden we de grafiek met de x-as dan vallen minstens 2 snijpunten samen methet punt (a, 0). Later gaan we dat nog op een andere manier bewijzen.

Besluit voor het tekenverloop van een veeltermfunctie:Doorlopen we het domein van rechts naar links dan beginnen we voor de veeltermfunctiesmet hetzelfde teken van de coefficient van de hoogstegraadsterm. Verder wisselt het tekenvan de functie in de nulpunten die een oneven multipliciteit hebben en blijft het tekenbehouden in een nulpunt met een even multipliciteit.


Voorbeelden:

• de veeltermfunctie f : y = −8x4 + 84x3 − 270x2 + 351x − 162 kan men drie keerdelen door de factor (x− 3/2). De veelterm bevat de factor (x− 3/2)3 of (2x− 3)3.De ontbinding in factoren is

−8x4 + 84x3 − 270x2 + 351x− 162 = (2x− 3)3(6− x).

De veeltermfunctie verandert van teken rond 3/2 en rond 6 omdat de multipliciteitvan beide nulpunten oneven is.

lim+∞

(−8x4 + 84x3 − 270x2 + 351x− 162) = lim+∞

(−8x4) = −∞.

We starten het tekenverloop rechts met −.

x 3/2 6y − 0 + 0 −

In de figuur zien we dat de x-as raaklijn is aan de grafiek in het punt (3/2, 0).

• De veeltermfunctie y = 5x(2x+1)2(−4+3x)3 verandert van teken rond 4/3 en rond0 en verandert niet van teken rond −1/2 en

lim+∞

(5x(2x+ 1)2(−4 + 3x)3) = lim+∞

((20) · (27)x6) = +∞.

We starten het tekenverloop rechts met +.

x −1/2 0 4/3y + 0 + 0 − 0 +


In de figuur zien we dat de x-as raaklijn is aan de grafiek in het punten (−1/2, 0)en (4/3, 0).

OPGAVEN — 37 Gegeven de functie:1. y = x4 − 1 4. y = 2x3 + x2 − 13x+ 62. y = −3x4 + 10x3 + 9x2 − 40x+ 12 5. y = −x4 − 3x3 + x+ 33. y = 8x4 + 68x3 + 210x2 + 275x+ 125 6. y = 4x3 − 12x2 + 9x− 2

1. Bepaal van de functie enkele nulpunten grafisch, zoek de andere nulpunten door berekening:

2. Maak een tabel met het tekenverloop van de functie en controleer door haar grafiek te tekenenmet de computer.

AN I HUISTAAK 6 1. Gegeven de veeltermfuncties:1. y = 2x4 − 4x3 + 3x2 − 2x+ 1 3. y = 4x4 + 12x2 + 92. y = x4 + 4 4. y = 4x4 − 4x3 − 47x2 + 48x− 12

(a) Teken met DERIVE de grafiek van de gegeven veeltermfunctie en bepaal nul-punten die je met zekerheid van de tekening kan aflezen;

(b) Bereken dan zonder computer de eventuele overige nulpunten (regel van Hornertoepassen of de euclidische staartdeling uitvoeren);

(c) Geef dan de ontbinding in factoren in R (factoren van eerste en/of de tweedegraad);

(d) Controleer door DERIVE de ontbinding in factoren te laten uitvoeren.

2. Stel het voorschrift op van een even veeltermfunctie en van een oneven veelterm-functie en teken hun grafieken. Welk kenmerk vertonen de grafieken?


3. Gegeven de functie:1. y = 8x3 − 12x2 + 6x− 1 3. y = 2x4 − x2 + 1

8

2. y = 2x4 − x2 4. y = 2x4 − x2 − 1

(a) Bepaal van de functie enkele nulpunten grafisch, zoek de andere nulpunten doorberekening:

(b) Maak een tabel met het tekenverloop van de functie en controleer door haargrafiek te tekenen met de computer.

6.1.6 Afgeleide functie van een veeltermfunctie

We zouden graag zonder de grafiek van de functie te kennen, weten in welke intervallende functie stijgt of daalt. Het begrip van afgeleide (zie hoofdstuk 5) geeft ons de moge-lijkheid dat te onderzoeken. De afgeleide in een punt is immers de richtingscoefficientvan de raaklijn in het corresponderend punt op de grafiek. Is in een punt de afgeleidepositief (positieve richtingscoefficient) dan stijgt de functie en is ze negatief (negatieverichtingscoefficient) dan daalt de functie in dat punt (zie definitie 5.3.1 en meetkundigebetekenis 5.3.2 op resp. p. 152 en p.153).De afgeleide functie gedefinieerd op p. 156 geeft ons de afgeleide van de functie in elk puntwaar ze bestaat.

6.1.6.1 De afgeleide functie van een constante functie

STELLING 6.3 De afgeleide functie van een constante functie is de nulfunctie.

Dk = 0

ofdk

dx= 0

Bewijs: We beschouwen de constante functie y = k.

f ′(x) = limh→0

k − kh

= 0.

�

(zie p. 152 voor de definitie van afgeleide in een punt)

Meetkundige betekenis: De raaklijnen in de punten van de grafiek van een constantefunctie vallen samen met de grafiek van die functie, die een evenwijdige is met de x-as.De richtingcoefficient van de raaklijn is dus in elk punt gelijk aan 0.


6.1.6.2 De afgeleide functie van de identieke functie

STELLING 6.4 De afgeleide functie van de identieke functie is de constante functiey = 1.

Dx = 1

ofdx

dx= 1

Bewijs: We beschouwen de identieke functie y = x.

f ′(x) = limh→0

x+ h− xh

= limh→0

h

h= lim

h→01 = 1.

�

(zie p. 152 voor de definitie van afgeleide in een punt.)

Meetkundige betekenis: De raaklijnen in de punten van de grafiek van de identiekefunctie vallen samen met de grafiek van die functie, die een rechte is met richtingcoefficientgelijk aan 1. De richtingcoefficient van de raaklijn is dus in elk punt gelijk aan 1.

6.1.6.3 Afgeleide van een natuurlijke macht van x

Om de afgeleide van een natuurlijke macht van x is een bijzonder geval van de regel voorhet afleiden van een natuurlijke macht van een functie (zie hoofdstuk 5 op p. 180).

Omdat f(x) hier de identieke functie x is geldt de regel:

∀n ∈ N : Dxn = nxn−1.

6.1.6.4 De afgeleide functie van een veeltermfunctie

Vermits een veeltermfunctie een lineaire combinatie is van machten van x hebben we eenregel nodig voor het berekenen van de afgeleide van een lineaire combinatie van functies(zie p. 178 van hoofdstuk 5).

STELLING 6.5 De afgeleide functie van een veeltermfunctie is een veeltermfunctie vaneen graad lager.

Bewijs:

D(anxn+an−1x

n−1 + · · ·+a2x2 +a1x+a0) = nanx

n−1 +(n−1)an−1xn−2 + · · ·+2a2x+a1.

�

Voorbeelden:


• D(x3 − 9x2 + 27x+ 2) = 3x2 − 18x+ 27;

• D((3x− 2)5(5x2 + 5x+ 7)3)= 5(3x− 2)43(5x2 + 5x+ 7)3 + (3x− 2)53(5x2 + 5x+ 7)2(10x+ 5)= 15(3x− 2)4(5x2 + 5x+ 7)2 (5x2 + 5x+ 7 + (3x− 2)(2x+ 1))= 15(3x− 2)4(5x2 + 5x+ 7)2(11x2 + 4x+ 5)


Praktisch voorbeeld: Een leerling Mieke bezit een oud stereosysteem met een naald. Zijheeft een tekening van de naald gemaakt (zie figuur 6.3). De naald heeft een doorsnedein de vorm van een parabool. De vergelijking van de parabool is y = 16x2 waarin x en ygemeten zijn in millimeter. De naald zit in de groef van de plaat die een hoek θ maaktmet de horizontale richting zodat tan θ = 1, 75. Mieke is nieuwsgierig en zij wil wetenwaar de contactpunten p en q van de naald met de groef zich juist bevinden, alsook hetlaagste punt van de groef. Help Mieke!!!Oplossing: We zoeken een punt a waarin de afgeleide van y = 16x2 gelijk is aan 1,75.

f ′(a) = 32a = 1, 75.

Hieruit volgt dat

a =1, 75

32= 0, 054

De contactpunten zijn de punten met coordinaat (−0, 055; 0, 048) en (0, 055; 0, 048).Het laagste punt van de groef is de doorsnede van de raaklijn en de y-as.De vergelijking van de raaklijn is (zie 5.6 op bladzijde 157):

y − 1, 752

64= 1, 75(x− 1, 75

32)

m

1, 75x− y − 1, 752

64= 0

Het snijpunt van deze raaklijn met de y-as (x = 0) is het punt met coordinaat:

(0,−1, 752

64) = (0;−0, 048).

Figuur 6.3: naald in een groef van een plaat


OPGAVEN — 38 Bereken zonder computer de afgeleide functies van de volgende veeltermfuncties:

1. y = x5 − 5 7. y = −6x5 + 25x4 + 30x3 − 200x2 + 120x− 102. y = 16x5 + 170x4 + 700x3 + 1375x2 + 1250x− 50 8. y = 2x4 − 4x3 + 3x2 − x+ 23. y = 6x8 − 8x4 + 3x− 2 9. y = 2x5 − 5x4 + 5x3 − 5x2 + 5x− 24. y = x4 − 5x3 + 12x2 − 4x+ 1 10. y = 3x4 + 2x3 − 39x2 + 36x− 75. y = −4x5 − 15x4 + 10x2 + 60x− 15 11. y = 2x4 − 8x3 + 9x2 − 4x+ 26. y = 48x5 − 40x3 + 15x− 6 12. y = 12x5 − 15x4 − 235x3 + 360x2 − 180x+ 60

39 Bereken zonder computer de afgeleide functies van de volgende veeltermfuncties.Geef een ontbinding in factoren van het resultaat.

1. y = 6x5 − 5x3 + 1 5. y = x5 + 20x− 62. y=(x+ 1)2(x+ 2)3 6. y = x2(x+ 1)2(x− 2)4

3. y = x5(x− 2)3(x+ 3)4 7. y = (x2 + 1)3(x3 + 1)2

4. y = (x− 1)3(x2 + x+ 1)3 8. y = (x+ 1)3(x− 1)3(x2 + 1)

40 Gegeven is de functie:1. y = 2x3 + x2 − 13x+ 6 5. y = x4 + x2 − x− 12. y = 8x3 − 12x2 + 6x− 1 6. y = 1

8x3 − 1

3. y = 2x4 − x2 + 1/8 7. y = 2x4 − x2 − 14. y = 2x4 − x2

1. Laat DERIVE de grafiek van elk van de volgende veeltermfuncties tekenen en print de grafiek uit.

2. Schets door enkele punten te verbinden de grafiek van de afgeleide functie zonder hulp van decomputer.

3. Bereken zonder computer dan de afgeleide functie en controleer je resultaten met DERIVE.

41 Bereken de afgeleide functies van de volgende veeltermfuncties. Geef een ontbinding in factoren vanhet resultaat.

1. y = x(x− 1)2 3. y = x2(1 + x)3(2− x)2

2. y = (4− 3x2)7 4. y = (x2 − 1)3(1− 2x3)4

42 Gegeven is de functie:1. y = 4x3 − 12x2 + 9x− 2 3. y = x4 + 2x3 − 2x+ 12. y = 1

5x5 − 2 4. y = x4 − x3 − 7x2 + x+ 6

1. Laat DERIVE de grafiek van elk van de volgende veeltermfuncties tekenen en print de grafiek uit.

2. Teken op de uitprinting, de grafiek van de afgeleide functie zonder hulp van de computer.

3. Bereken zonder computer dan de afgeleide functie en controleer je resultaten met DERIVE.


6.1.7 Verloop van een veeltermfunctie

6.1.7.1 Stijgen, dalen en relatieve extrema

De afgeleide functie zal om iets leren over het stijgen en het dalen van de functie en danook over de punten waar we een overgang hebben van stijgen naar dalen en van dalennaar stijgen. De punten waar zo een overgang plaats vindt zijn de punten waar de functieeen relatief maximum of een relatief minimum bereikt (zie hoofdstuk 5 op p. 162, p. 172en p. 174).

OPGAVEN — 43 Bepaal de relatieve extrema van de volgende functies:1. y = x4 + x2 − 2 5. y = x3 + x2 + 12. y = x3 − x 6. y = 2x4 − 4x3 + 3x2 − x+ 23. y = x3 + 6x2 + 9x+ 2 7. y = x2 + 4x− 164. y = 6x5 − 5x3 + 1 8. y = x5 + 20x− 6

44 Onderzoek het verloop van de functie y = 2x4 − x2 + a. Leid uit het teken van de relatieve extremewaarden van de functie af, in hoeveel punten de grafiek de x-as snijdt.

Oplossingen:1. min: (0,−2) 5. max: (− 2

3 ,3127 ), min: (0, 1)

2. max: (−√

33 ,

2√

39 ), min: (

√3

3 ,−2√

39 ) 6. min: ( 1

2 ,158 )

3. max: (−3, 2), min: (−1,−2) 7. min: (−2,−20)4. max: (−

√2

2 ,√

22 + 1), min: (

√2

2 , 1−√

22 ) 8. steeds stijgend

1. Het bepalen van het beeld van gesloten interval voor een veelterm-functie

Vermits een veeltermfunctie continu is over gans R, bereikt volgens de stelling 4.12van Weierstrass op pagina 142 een veeltermfunctie minstens een maal een grootsteen een kleinste waarde in een gesloten interval of is het beeld van een gesloteninterval weer een gesloten interval. Hierbij gebruiken we het begrip van kritischpunt van een functie, dat een punt is van het domein van de functie waar deafgeleide functie nul is of niet bestaat (zie p. 164). We berekenen de functiewaardenin de kritische punten, alsook in de eindpunten van het gesloten interval. We nemenvan al deze functiewaarden de kleinste en de grootste waarde.Voorbeelden:

• Bepaal voor de functie f : y = −x3(x− 2)2 het beeld in het interval [−1, 3].Oplossing: De afgeleide functie is

y′ = −x2(x− 2)(5x− 6).

De kritische punten in het interval [−1, 3] zijn 0, 2 en 6/5.

f(−1) = 9 f(3) = −27 f(0) = 0 f(6/5) = −0.43


In [−1, 3] is het absoluut maximum 9 en het absoluut minimum −27.

f([−1, 3]) = [f(3), f(−1)] = [−27, 9].

• Zoek het beeld van het gesloten interval [−12, 4] voor de functie f : y = x3 −

3x2 + 1.Oplossing: De afgeleide functie is

f ′(x) = 3x2 − 6x = 3x(x− 2).

De kritische punten in het interval [−12, 4] zijn de punten 0 en 2.

f(0) = 1 f(2) = −3 f(−1

2) =

1

8f(4) = 17

In [−12, 4] is het absoluut maximum 17 en het absoluut minimum −3.

f([−1

2, 4]) = [f(2), f(4)] = [−3, 17].


OPGAVEN — 45 Bepaal van de volgende functies het beeld van het gesloten interval:1. y = x3 + 6x2 + 9x+ 2 in [−4, 0] 3. y = x4 − 2x2 + 1 in [−5, 5]2. y = x3 − 3x in [− 1

2 ,92 ] 4. y = −x

4

4 + x in [− 32 ,

72 ]

Oplossingen:45 1. [−2, 2], 2. [−2, 621

8 ], 3. [0, 576], 4. [− 217764 , 3

4 ].

2. Veeltermfuncties die aan bepaalde voorwaarden voldoen

In deze paragraaf gaan we op zoek naar het voorschrift van een veeltermfunctie dieaan bepaalde voorwaarden voldoet.

Voorbeeld: Voor welke waarde van p heeft de functie y = x3 + px− 1

(i) noch een maximum, noch een minimum;

(ii) een maximum, een minimum en drie verschillende nulpunten;

(iii) een maximum en een minimum en drie nulpunten waaronder twee samenval-lende?

Oplossing: We berekenen de afgeleide functie: y′ = 3x2 + p.

(i) De functie bereikt geen extrema als y′ een vast teken heeft, d.i. als 3x2 +p geennulpunten of twee samenvallende nulpunten heeft.

∀x ∈ R : 3x2 + p ≥ 0⇐⇒ p ≥ 0.


(ii) De functie bereikt twee extreme waarden als y′ twee verschillende nulpuntenheeft, waarin y′ van teken verandert. Dit gebeurt als p < 0 is.

p < 0 ∧ 3x2 + p = 0⇐⇒ x = ±√−p

3

De grafiek van deze functie heeft drie snijpunten als de twee relatief extremewaarden tegengesteld zijn van teken. De relatief extreme waarden zijn:

f(−√−p

3) = −2p

3

√−p

3− 1 en f(

√−p

3) =

2p

3

√−p

3− 1.

De laatste functiewaarde is negatief vermits p negatief is. De andere functie-waarde moet dus positief zijn.

−2p

3

√−p

3− 1 > 0⇐⇒ p < − 3

3√

4.

(iii) De grafiek van de functie raakt aan de x-as als de relatieve maximale extremefunctiewaarde gelijk is aan nul.

−2p

3

√−p

3− 1 = 0⇐⇒ p = − 3

3√

4.

Figuur 6.4: y = x3 − 3x− 1 y = x3 +− 33√4x− 1 y = x3 − 1/2x− 1 y = x3 + x− 1


OPGAVEN — 46 Bespreek de relatieve extreme waarden van een algemene veeltermfunctie vande vierde graad.

3. Extremumvraagstukken

Voorbeelden:

• Een landbouwer heeft 1200 m afsluiting. Hij wil daarmee een rechthoekigstuk grond afbakenen, gelegen aan een rivier. Langs de rivier hoeft hij geenafsluiting te plaatsen. Wat zijn de afmetingen van het weiland met de maximaleoppervlakte?Oplossing: We zoeken de afmetingen van het rechthoekig stuk grond dus kiezenwe een van de afmetingen als onafhankelijk veranderlijke x (bvb. de breedte

rechtop de rivier). De andere afmeting is dan 1200 − 2x. We bepalen steedsvooraf tussen welke waarden de onbekende x kan varieren.De uiterste waarden voor x zijn 0 en 600.

De functie waarvan we een maximum moeten zoeken, is de oppervlakte S vanhet stuk grond.

S = x(1200− 2x)

. We zoeken de extreme waarden van S door S af te leiden.

S ′ = −4x+ 1200.

We maken een tabel met het tekenverloop van S en S ′.

x 0 300 600S ′ + 0 −S 0 ↗ 180000 ↘ 0


Het rechthoekig stuk grond moet 300 meter breed zijn en 600 meter langs derivier lopen. De maximale oppervlakte is dan 180000 m2.

• Indien het draagvermogen van een balk evenredig is met de breedte en met hetkwadraat van de hoogte, vraagt men uit een cilindervormige boomstam eenbalk met maximaal draagvermogen te zagen.

Oplossing: We zoeken de afmetingen van de balk dus kiezen we voor deonafhankelijk veranderlijke x een van de twee afmetingen van de balk.

De beste keuze is de breedte. De waarde van x varieert tussen 0 en 2R . Deandere afmeting noemen we h. Omdat de balk uit een cilinder met straal Rmoet worden gezaagd, zijn breedte x en hoogte h van de balk verbonden doorde volgende betrekking:

h2 = 4R2 − x2.

De functie waarvan we het maximum moeten bepalen is het draagvermogen.

D = k.x.h2 = kx(4R2 − x2) (6.1)

D′ = k(4R2 − 3x2).

We maken de tabel met D en D′.

x 0 2√

33R 2R

D′ + 0 −D 0 ↗ 16

√3

9kR3 ↘ 0

De gevraagde breedte is

x =2√

3

3R.

De hoogte is dan

h =2√

6

3R


• Hoe verandert de oppervlakte van een rechthoek waarvan twee hoekpunten opde x-as liggen en de andere twee op het deel boven de x-as van de paraboolmet vergelijking y = 12− x2?

Oplossing: We kiezen als onafhankelijk veranderlijke x de absis van het

punt van de parabool. De ordinaat van het punt is 12− x2.De uiterste waarden voor x zijn 0 en 2

√3.

De functie is de oppervlakte S van de rechthoek met afmetingen 2x en 12−x2.

S = 2x(12− x2)

S ′ = 6(4− x2)

x 0 2 2√

3S ′ + 0 −S 0 ↗ 32 ↘ 0

De oppervlakte is maximaal voor het punt (2, 8)

Figuur 6.5: y = 2x(12− x2)


OPGAVEN — 47 Hoe verandert het product van twee getallen als hun som constant blijft?

48 Verdeel het getal 120 in twee delen zodanig dat het produkt P van het ene deel en hetkwadraat van het andere deel maximaal is.

49 De som van twee positieve getallen is 20. Zoek deze getallen als

a. het produkt maximaal is;b. de som van hun kwadraten minimaal is;c. het produkt van het kwadraat van het ene en de derde macht van het andere getal maximaal

is.

50 Zoek de minimale afstand van het punt (4, 2) tot de parabool y = 14x

2.

51 Welke rechthoekige driehoek, waarvan de som van de schuine zijde en de hoogte daarop gelijkis aan a, heeft de grootste oppervlakte?

52 Welke is de hoogte van de rechte omwentelingscilinder met een maximaal volume die kaningeschreven worden in een bol met straal R?

Oplossingen:47 als de getallen gelijk zijn, is er een maximaal product; 48 80 en 40;49 a. 10 en 10; b. 10 en 10; c. 8 en 12;50 het punt is (2 3

√4, 2 3√

2), de min. afstand is√

20− 12 3√

2 ≈ 0.9851 max. opp. vr. driehoek met hoogte = a

2 .52 de hoogte is 2R√

3

AN I HUISTAAK 7 (a) Gegeven is de functie fa : y = −3x3 + 9x− a.

i. Bespreek het aantal nulpunten met hun multipliciteit van f al naar gelangde waarden van a;

ii. Geef in elk van de gevallen de gedaante van de ontbinding in factoren inR van f(x).

iii. Als je een negatief nulpunt van fa gegeven krijgt, hoe kan je dan uit dewaarde van dat nulpunt afleiden zonder berekeningen uit te voeren of ernog andere nulpunten zijn en of ze positief of negatief zijn?

(b) Bepaal een veeltermfunctie van de derde graad, die twee extrema bereikt, eenvoor x = 1 en een voor x = 2. De functie heeft 0 als nulpunt en bereikt dewaarde −10/3 voor x = 1. Onderzoek het verloop van de veeltermfunctie enteken haar grafiek.

(c) Hoe verloopt de inhoud van een lichaam dat ontstaat door het wentelen vaneen rechthoekige driehoek om een rechthoekszijde, als de schuine zijde constantis?


4. Benaderen van de nulpunten van een veeltermfunctie

Als de veeltermfunctie geen mooie gehele of rationale nulpunten heeft dan kunnenwe de methode van Newton (zie p. 160) toepassen om de nulpunten van deveeltemfunctie bij benadering te bepalen. We illustreren met enkele voorbeelden.

• Bepaal het tekenverloop van y = x3 − 3x2 − 1.

Oplossing: We zien dat de functie geen mooie gehele of rationale nulpuntenheeft. We gaan daarom de nulpunten benaderen met de methode van Newton(zie paragraaf op p. 160). Om een idee te krijgen van hoeveel nulpunten er zijnen waar ze ergens gelegen zijn, maken we een ruwe schets van de functie.We bepalen daartoe de afgeleide functie y′ = 3x2−6x = 3x(x−2) en maken eentabel met het tekenverloop van f ′ en met de relatief extreme functiewaardenvan f .

x 0 2 4y′ + 0 − 0 +y ↗ −1 ↘ −5 ↗ 15

Nu kunnen we de functie schetsen.

Figuur 6.6: ruwe schets van de grafiek van y = x3 − 3x2 − 1

In 0 en 2 zijn de functiewaarden negatief. Op de schets zien we dat de functiepositief wordt in de omgeving van 4. We voegen 4 toe aan de tabel. In 4 is defunctiewaarde 15. Volgens de stelling van Bolzano (zie p. 140) zal de functienul worden tussen 2 en 4. We nemen bvb. 3 als eerste benadering van hetnulpunt van de functie y = x3 − 3x2 − 1. Volgens de formule 5.2 is

xn+1 = xn −x3n − 3x2

n − 1

3x2n − 6xn

.

De opeenvolgende benaderingen volgens de methode van Newton zijnx1 = 3 x2 = 3, 111111111 x3 = 3, 103835979 x4 = 3, 103803403


en x5 = 3, 103803403.Het nulpunt van de functie op 6 decimalen nauwkeurig is 3, 103803.Het tekenverloop van de functie is:

x 3, 103 · · ·y − 0 +

• Een andere opgave waarbij we een nulpunt van een veeltermfunctie moetenbepalen is de volgende opgave. Bepaal 7

√3 zonder dit rechtstreeks op je reken-

toestel te berekenen.7√

3 is een wortel van de vergelijking x7 = 3 of het nulpunt van de functiey = x7 − 3. We weten dat deze wortel in de omgeving zal liggen van 1. Wenemen 1 als eerste benadering. Volgens de formule 5.2 is

xn+1 = xn −x7n − 3

7x6n

.

De opeenvolgende benaderingen volgens de methode van Newton zijnx1 = 1 x2 = 1, 285714286 x3 = 1, 196916823 x4 = 1, 171689051x5 = 1, 169938708 x6 = 1, 169917156 x7 = 1, 169889953x8 = 1, 170001529 x9 = 1, 169930826 en x10 = 1, 169930813.Het nulpunt van de functie op 6 decimalen nauwkeurig is 1, 169931.

7√

3 = 1, 169931

OPGAVEN — 53 Bepaal met de methode van Newton de nulpunten van de volgende veelterm-functies:

1. y = x5 − x+ 3 3. y = 2x3 + x2 − 13x+ 8

54 Bepaal met de methode van Newton de nulpunten van de volgende veeltermfuncties op 10cijfers nauwkeurig:

1. y = x4 + x3 − 22x2 − 2x+ 41 in [3, 4] 2. y = x3 + x2 + x− 2

6.1.7.2 Concaviteit en buigpunten

Om een grafiek correct te tekenen is het niet voldoende het stijgen, dalen en extrema vande functie te kennen. Men moet ook weten hoe de kromming van de grafiek is en in welkepunten er een verandering is van kromming. Voor grafieken van functies maken we eenonderscheid tussen holle naar boven en holle kant naar beneden (zie p. 175 in hoofdstuk5) .

Het teken van de tweede afgeleide functie leert ons wanneer de grafiek de holle naarboven of de holle kant naar beneden heeft (zie stelling 5.11 op p. 176). Een buigpuntkomt voor daar waar de eerste afgeleide een extremum bereikt of daar waar de tweedeafgeleide van teken verandert (zie de definite op p. 176)


Voorbeelden:

• Bepaal de relatief extreme waarden, de concaviteit en de buigpunt(en) voor degrafiek van de functie f : y = x3 − 3x+ 1. Teken tenslotte de grafiek.Oplossing: De eerste en tweede afgeleide functies zijn:

f ′ = 3x2 − 3 = 3(x2 − 1) en f ′′ = 6x.

De tabel met het tekenverloop van f ′ en f ′′:

x −1 0 1y′ + 0 − −3 − 0 +y′′ − − 0 + +y ↗ 3 ↘ 1 ↘ −1 ↗⋂ ⋂ ⋃ ⋃

De functie bereikt een relatief maximum in −1, een relatief minimum in 1 en hetbuigpunt is (0, 1). Volgens de tweede afgeleide test 5.12 op p. 176 kunnen we deextrema bepalen met enkel het teken van f ′′ in de nulpunten van f ′ te bepalen.

f ′(−1) = 0 ∧ f ′′(−1) < 0 =⇒ f bereikt in -1 een maximumf ′(1) = 0 ∧ f ′′(1) > 0 =⇒ f bereikt in 1 een minimum.

Figuur 6.7: de grafiek van y = 3x2 − 3x+ 1 en haar tweede afgeleide


• Bepaal de relatieve extrema, de concaviteit en de buigpunten van de functie f : y =x4 − 4x3. Teken tenslotte de grafiek.Oplossing: De eerste en tweede afgeleide functies zijn:

y′ = 4x3 − 12x2 en y′′ = 12x2 − 24x.

Tabel met het tekenverloop van f ′ en f ′′:

x 0 2 3 4y′ − 0 − −16 − 0 + 64 +y′′ + 0 − 0 + 36 + +y + 0 − −16 − −27 − 0 +↘ ↘ ↘ ↗ ↗⋃ ⋂ ⋃ ⋃ ⋃

Omdat f ′(3) = 0 en f ′′(3) > 0 bereikt de functie een relatief minimum in 3 (tweedeafgeleide test). In 0 bereikt de functie geen extremum omdat f ′ niet van tekenverandert in 0. In 0 verandert f ′′ van teken. Het punt (0, 0) is een buigpunt van degrafiek. Dit voorbeeld illustreert dat de tweede afgeleide test (zie stelling 5.12 op p.176) geen informatie geeft als f ′′(c) = 0 is. Deze test faalt eveneens als de tweedeafgeleide niet bestaat.

Figuur 6.8: de grafiek van y = x4 − 4x3 en haar tweede afgeleide


OPGAVEN — 55 Onderzoek het stijgen, het dalen, relatieve maxima, relatieve minima, concaviteiten buigpunten van de volgende functies.

1. y = 4 + 72x− 3x2 − x3 3. y = x3(x+ 6)4

2. y = x4 − 3x3 + 3x2 − x 4. y = 3x5 − 5x3 + 3

56 Onderzoek het verloop van de volgende functies van de vierde graad, schets de grafiek en bepaaldaarna grafisch de ontbinding in factoren:

(i) y = x4 − 1 (ii) y = x4 + 1(iii) y = −3x4 + 10x3 + 9x2 − 40x+ 12; (iv) y = −x4 − 3x3 + x+ 3(v) y = 8x4 + 68x3 + 210x2 + 275x+ 125

57 Onderzoek het verloop van de volgende veeltermfuncties, teken de grafiek en geef dan de ontbindingin factoren:

1. y = x3 − 3x2 4. y = x3 + 3x2 + 3x− 72. y = x4 − 2x2 + 1 5. y = −x

4

4

3. y = −x4

4 + x 6. y = x6 − 2x3 + 1

Oplossingen:55:

1. min: (−6,−320), max: (4, 180), buigpt: (−1,−70)

2. min: ( 14 ,−

27256 ), buigptn: (1

2 ,−116 ) en (1, 0)

3. min: (− 187 , · · · ), max: (−6, 0), buigptn: (−18±6

√2

7 , · · · ) en (0, 0)

4. min: (1, 1), max: (−1, 5), buigptn: (0, 3) en (√

22 , 3±

74√

2)

56(i) y = (x2 + 1)(x− 1)(x+ 1)) (ii) y = (x2 +

√2x+ 1)(x2 −

√2x+ 1)

(iii) y = (−3x+ 1)(x+ 2)(x− 2)(x− 3) (iv) y = (x2 + x+ 1)(1− x)(3 + x)(v) y = (2x+ 5)3(x+ 1)

571. y = x3 − 3x2 : Domf = R, geen asymptoten, y′ = 3x2 − 6x, y′′ = 6x− 6,

x 0 1 2 3y′ + 0 − −3 − 0 + 9 +y′′ − − 0 + + +y − 0 − −2 − −4 − 0 +

↗ ↘ ↘ ↗ ↗⋂ ⋂ ⋃ ⋃ ⋃Extrema: max:(0, 0), min:(2,−4) Buigpunt: (1,−2)

De grafieken van de functies y = x3 − 3x2 + 1 en y = x3 − 3x2 − 1 kunnen uit de grafiek van de functiey = x3 − 3x2 afgeleid worden door een verschuiving langs de x-as.


2. y = x4 − 2x2 + 1 : Domf = R, de functie is even, de grafiek ligt symmetrisch t.o.v. de y-as, geenasymptoten, y′ = 4x3 − 4x, y′′ = 12x2 − 4,

x −1 −√

3/3 0√

3/3 1y′ − 0 + 8

√3/9 + 0 − −8

√3/9 − 0 +

y′′ + + 0 − − 0 + +y + 0 + 4/9 + 1 + 4/9 + 0 +

↘ ↗ ↗ ↘ ↘ ↗⋃ ⋃ ⋂ ⋂ ⋃ ⋃Extrema: max:(0, 1), min:(−1, 0) en (1, 0);Buigpunt: (−

√3

3 ,49 ) en (

√3

3 ,49 );

De grafieken van de functies y = x4 − 2x2, y = x4 − 2x2 + 12 en y = x4 − 2x2 − 1 bekomen we uit de

grafiek van y = x4 − 2x2 + 1 door een verschuiving uit te voeren langs de y-as.

3. y = −x4

4 + x : Domf = R, geen asymptoten, y′ = −x3 + 1, y′′ = −3x2,

x 0 1 3√

4y′ + 1 + 0 − −3 −y′′ − 0 − − −y − 0 + 3/4 + 0 −

↗ ↗ ↘ ↘⋂ ⋂ ⋂ ⋂Extrema: max:(1, 3/4);Buigpunt: geen

4. y = x3 + 3x2 + 3x− 7 : Domf = R, geen asymptoten, y′ = 3x2 + 6x+ 3, y′′ = 6x+ 6,

x −1 0 1y′ + 0 + 3 + 12 +y′′ − 0 + + +y − −8 − −7 − 0 +

↗ ↗ ↗ ↗⋂ ⋃ ⋃ ⋃Extrema: geen Buigpunt: (−1,−8), de buigraaklijn is parallel met de x-as.

5. y = −x4

4 : Domf = R, de functie is even, de grafiek ligt symmetrisch t.o.v. de y-as, geen asymptoten,

y′ = −x3, y′′ = −3x2,x −1 0 1y′ + 1 + 0 − −1 −y′′ − − 0 − −y − −1/4 − 0 − −1/4 −

↗ ↗ ↘ ↘⋂ ⋂ ⋂ ⋂Extrema: max:(0, 0);Buigpunt: geen


6. y = x6 − 2x3 + 1 : Domf = R, geen asymptoten, y′ = 6(x3 − 1)x2, y′′ = 6x(5x3 − 2),

x 0 3√

0, 4 1y′ − 0 − −1, 95 − 0 +y′′ + 0 − 0 + +y + 1 + 9/25 + 0 +

↘ ↘ ↘ ↗⋃ ⋂ ⋃ ⋃Extrema: min:(1, 0);Buigpunten: (0, 1) en ( 3

√0, 4, 9/25).

AN I HUISTAAK 8 1. Gegeven zijn de functie f : y = x4−x2−2x−7, de cirkel met middelpunt(1, 1) en straal 3 en de parabool y = x2. Gevraagd:

(a) een tabel met het tekenverloop van de eerste afgeleide functie van f ;

(b) het beeld van [−2, 2];

(c) een schets zonder computer de grafiek van f zo nauwkeurig mogelijk en leid daaruit dewaarden af van de nulpunten van f (1 cijfer na de komma);

(d) de coordinaten van de snijpunten van de cirkel en de parabool. Stel deze krommen voor bijde grafiek van f .

2. Bespreek het aantal nulpunten van de functie f : y = x3 − ax2 − 4 al naargelang de waarden vana. Geef in elk van de gevallen de tabel met het tekenverloop van f , f ′ en f ′′, de schets van degrafiek en de gedaante van de ontbinding in factoren van de veelterm.

3. Aan de vier hoeken van een vierkant blad papier snijden we gelijke vierkanten weg. Hoe verlooptde inhoud van de doos, die ontstaat door de vier rechthoeken van de boorden rechtop te zetten?Oplossing: max. inh. voor de zijde van de afgesneden vierkanten gelijk aan een zesde deel vande zijde z van het blad papier, max. inh. = 2

27z3.

PROEFHERHALINGSTOETS

1. Bespreek het aantal nulpunten van de functie f : y = x3 + ax+ 1 al naargelang de waarden van a.Geef in elk van de gevallen de tabel met het tekenverloop van f , f ′ en f ′′, de schets van de grafieken de gedaante van de ontbinding in factoren van de veelterm.

2. Onder welke voorwaarde bezit de functie y = ax4 + bx3 + cx2 + d een maximum maar geenminimum?

3. Gegeven een gelijkbenige driehoek. Noem de lengte van de basis 2a en de hoogte h. Bepaal hetpunt op de hoogtelijn uit de top waarvoor geldt dat de som van de kwadraten van de afstandenvan dit punt tot de hoekpunten van de driehoek extremaal is. Bepaal de aard van het extremum.Is dit punt een bijzonder punt van de driehoek?

6.2. RATIONALE FUNCTIES 217

6.2 Rationale functies

6.2.1 Standaardrationale functies

Standaardrationale functies zijn y = 1x, y = 1

x2 , y = 1x3 , enz.· · · .

Figuur 6.9: y = 1x

— y = 1x3 — y = 1

x5


Figuur 6.10: y = 1x2 — — y = 1

x4 — y = 1x6

6.2.2 Voorschrift van een rationale functie

6.2.2.1 Een rationale functie als quotient van twee veeltermfuncties

Een rationale functie is het quotient van twee veeltermfuncties.

Bijzondere gevallen:

• Veeltermfuncties zijn bijzondere rationale functies.

• Homografische functiesEen homografische functie is het quotient van twee eerstegraadsfuncties. Hetvoorschrift van een homografische functie is van de algemeen van de gedaante:

y =ax+ b

cx+ d.

• Even en oneven rationale functies

OPGAVEN — 58 Ga na of de volgende functies even of oneven zijn: y = x3+xx4+1 en y = x2− 1

x2 .


59 Splits de volgende functie in de som van een even en een oneven functie: y = x−1x+1

Oplossing: 59 f : y = x2+1x2−1 en g : 2x

1−x2

6.2.2.2 Een rationale functie als samenstelling van rationale functies

De samenstelling van twee rationale functies is weer een rationale functie.

OPGAVEN — 60 Schrijf de volgende functies als de samenstelling van twee of meerdere functies:(i) y = (x−1

x+1 )3 (iv) y = 2−x(x−9)5 (vii) y = x

1−x + 1

(ii) y = x2 − 1x2 + 1 (v) y = x2

x2+4 (viii) y = 1x+3

(iii) y = 1(x+1)2 (vi) y = 1

x2+1 (ix) y = (2x−3)4

(x+4)4

6.2.3 Het domein van een rationale functie

Het domein van een rationale functie is de verzameling van alle reele x-waarden waarvoorde noemer niet nul wordt. Het domein is dus het verschil van R en de verzameling van denulpunten van de veeltermfunctie bepaald door de veelterm in de noemer. Deze nulpuntenzijn plakpunten van het domein alsook −∞ en +∞.

Voorbeelden:y = 1

xdomf = R0

y = ax+bcx+d

domf = R \ (−dc)

y = x2+1x+1

domf = R \ (−1)

Opmerking: De rationale functies f : y = x2−1x−1

en f : y = x + 1 zijn twee verschillen-de rationale functies. De tweede functie is een veeltermfunctie, de eerste niet. In hungemeenschappelijk domein zijn ze aan elkaar gelijk.

∀x ∈ R \ {1} : x+ 1 =x2 − 1

x− 1.

De grafieken zijn dan ook gelijk op een punt na, nl. het punt (1, 2). De grafiek van defuntie f is een grafiek die een gaatje bevat, nl. het punt (1, 2). De tweede functie f vultdat gaatje op en is dus continue uitgebreide functie van f in het punt 1.

OPGAVEN — 61 Bepaal de eventuele gaatjes in de grafiek van de volgende functies. In geval van eengaatje, geef dan de continu uitgebreide functie in dat punt.

(i) y = −15x2+34x−15−5x2+28x−15 (ii) 2x3−5x−6

x2−3x+2


62 Geef het voorschrift van een rationale functie die in het punt (3,−2) een gaatje vertoont.

63 Bepaal het reeel getal a als gegeven is dat de functie y = ax2−16x+1x−3 in haar grafiek een gaatje heeft

met absis 3.

TAAK ♣ 64 Bepaal de reele getallen a en b als je weet dat de functie y = x3−ax2+4x+bx2−1 door het punt

(0, 2) gaat en een gaatje heeft met absis 1.

Oplossingen:61: (i) gaatje ( 3

5 ,811 ), VA: x = 5; (ii) gaatje (2, 19), VA: x = 1 63 a = 47/9;

64 a = 3 en b = −2;

6.2.4 Tekenverloop van een rationale functie

Het tekenverloop van het quotient van twee veeltermfuncties is gelijk aan het tekenverloopvan het product van de twee veeltermfuncties op de nulpunten van de noemer na. Wegaan dus voor het tekenverloop van een rationale functie dezelfde regel volgen als vooreen veeltermfunctie.

OPGAVEN — 65 Bepaal het domein en het tekenverloop van volgende rationale functies. Controleerje resultaten met de grafiek op DERIVE.

1. y = x−1x+1 4. y = x

1−4x2

2. y = x3+5x2+x+5x2+12x+35 5. y = x+1

x(x2+4)

3. y = 5x+73x3−18x2+36x+24 6. y = x4−8x3+2x2

x3+x2

Oplossingen:65 1. R \ {−1}, VA: x = −1; 2. R \ {−5,−7}, gaatje (−5, 13), VA: x = −7; 3. R \ {2− 3

√2} =≈ −0, 52,

VA: x = 2− 3√

2, 3 extrema; 4. R\{− 12 ,

12}, VA: x = ± 1

2 , buigpt: (0, 0); 5. R0, VA: x = O, max: (−2, 116 )

, buigpt: (−3, 239 ); 6. R0 \ {−1}, gaatje (0, 2), VA: x = −1, 2 extrema.

TAAK ♣ 66 Bepaal het domein, het tekenverloop van volgende rationale functie alsook de gaatjes inde grafiek. Controleer je resultaten met de grafiek op DERIVE.

y =x4 − 6x3 + 8x2 + 6x− 9

x2 − 4x+ 3

Oplossing: domf=R \ {1, 3}, gaatje (1,−4) en (3, 0);


6.2.5 Transformaties van de grafiek van een rationale functie

6.2.5.1 Transformatie van een rationale functie in een standaardrationalefunctie

Het is mogelijk om de grafiek van sommige rationale functie te transformeren in de grafiekvan een standaardrationale functie mits het toepassen van een geschikte transformatie.

Zo kunnen we grafiek van de homografische functie transformeren in de grafiek van destandaardrationale functie y = 1

x.

Het voorschrift van de homografische functie kan door het uitvoeren van de euclidischedeling in de volgende gedaante gebracht worden:

y =ax+ b

cx+ d

=a

c+

bc− adc(cx+ d)

Opmerking: Met het commando ‘EXPAND van DERIVE kunnen we ook deze gedaantevoor het voorschrift van een rationale functie bekomen.

We kunnen het voorschrift van de functie als volgt schrijven:

y − a

c=bc− adc2

· 1

x+ dc

.

De grafiek van de homografische functie y = ax+bcx+d

is de verschuiving met vector ~v(−dc, ac)

van de grafiek van de functie y = bc−adc2

. 1x.

ax+ b

cx+ d=a

c+

bc− adc(cx+ d)

Na een gepaste uitrekking in de richting van de x-as{x′ = c2

bc−adx

y′ = y

verkrijgen we de standaardrationale functie y = 1x.

OPGAVEN — 67 Bepaal de transformatie (verschuiving, spiegeling en /of uitrekking, inkrimping) dieelk van de grafieken van de volgende functies afbeeldt op een van de grafieken van de standaardrationalefuncties.

(i) g1 : y = −3(x2−2x+4)x2−2x+1 (iv) g3 : 3

√2x−7

3(x−√

2)

(ii) g2 : y = 13x

3 − 2x2 + 4x− 143 (v) g4 : y = 6x2−20x+17

(3x−5)2

Open daartoe twee grafische vensters, in het ene venster teken je een gegeven functie en in het tweedevenster teken je de mogelijke standaardrationale functies. Kijk welke standaardfunctie het best past bijde g-functie. Leid hieruit de gepaste transformatie af.


Figuur 6.11: zoek de transformatie: y = 1x−→ y = 3−x

x−2

Figuur 6.12: zoek de transformatie: y = 1x−→ y = 5x+4

3x−2


TAAK ♣ 68 Beantwoord dezelfde vraag als in opgave 67 voor de volgende functies:

f : y = 5125x3 − 75x2 + 15x− 2

(5x− 1)3en g : y =

32

16x4 + 96x3 + 216x2 + 216x+ 83(2x+ 3)4

6.2.5.2 De inverse relatie van een rationale functie

De kromme die we bekomen door de grafiek van een rationale functie te spiegelen om derechte y = x volgens de richting van de rechte y = −x is de grafische voorstelling van deinverse relatie van de rationale functie. We illustreren met enkele eenvoudige voorbeelden.

• De restrictie van elke homografische functie y = ax+bcx+d

tot haar domein en haar beeldis een bijectie. Bijgevolg is de inverse relatie van deze restrictie een bijectie.

x =ay + b

cy + d⇐⇒ y =

−dx+ b

cx− a.

We merken op dat de inverse van een homografische functie weer een homografischefunctie is.

Figuur 6.13: inverse functies van 2 homografische functies – stel de voorschriften op


Figuur 6.14: 2 homografische functies gelijk aan hun inverse – stel de voorschriften op

• Bewijs hieronder dat de functie y = ax+bcx−a gelijk is aan haar inverse functie.


6.2.6 Limieten en continuıteit van een rationale functie

In deze paragraaf steunen we op de theoretische beschouwingen van hoofdstuk 4

6.2.6.1 Limiet en continuıteit in een punt van het domein

Een rationale functie is continu in alle punten van haar domein vermits ze het quotient isvan twee veeltermfuncties, die continu zijn in R. De nulpunten van de veeltermfunctie inde noemer behoren niet tot het domein van de rationale functie. Bijgevolg kan de functieniet continu zijn in deze punten. (zie stelling 4.17 op p. 144).

Besluit: Een rationale functie is continu in elk punt van haar domein.

Bijgevolg is de limiet van een rationale functie in elk punt van haar domein gelijk aan defunciewaarde.

6.2.6.2 Limiet in en reeel plakpunt van het domein

Beschouwen we een reeel punt a dat niet tot het domein behoort dan is a een nulpuntvan de noemer van f(x). Dit betekent dat de noemer de factor x− a bevat. We kunnennu twee gevallen onderscheiden

1. Het reeel plakpunt a correspondeert met een gaatje in de grafiekvan de functie.Dit doet zich voor als a tevens een nulpunt is van de teller van f(x) met een multi-pliciteit die groter dan of gelijk is aan de multipliciteit van a in de noemer.

Passen we de rekenregel 4.15 van p. 143 dan verkrijgen we de onbepaaldheid

limaf =

0

0.

We kunnen in het geval van deze onbepaaldheid 00

de limiet berekenen door zoveelmogelijk de factor x − a in teller en noemer weg te delen. Zodoende verkrijgen weeen continue uitgebreide functie f in a van f .

limaf = f(a) = b ∈ R

Het punt met coordinaat (a, b) is een gaatje in de grafiek van de functie f .

Voorbeeld:

lim1

x− 1

x2 − 1= lim

1

1

x+ 1=

1

2


en

lim1

(x− 1)2

x2 − 1= lim

1

x− 1

x+ 1= 0.

Een andere en gemakkelijke manier om de limiet te berekenen is met de regel vande l’Hospital (zie p. 170).

Voorbeeld:

lim1

3x7 − 3x6 + 5x5 − 5x4

x8 − x7 + x3 − x2=

0

0= lim

1

21x6 − 18x5 + 25x4 − 20x3

8x7 − 7x6 + 3x2 − 2x= 4

Figuur 6.15: een grafiek met een gaatje en de continue uitgebreide


2. Het reeel plakpunt a correspondeert met een vertikale asymptootvoor de grafiek van de functie.Dit doet zich voor als de multipliciteit van a in de teller strikt kleiner is dan demultipliciteit van a in de noemer of in het bijzonder als a een nulpunt is van denoemer en geen nulpunt van de teller.

Na toepassen van de rekenregel 4.15 op p. 143 en eventueel de regel van de l’Hospitalin geval van de onbepaaldheid 0

0, verkrijgen we:

lima±

f(x) =r

0=∞

Deze limiet is een onbepaaldheid en is de samenvatting van de linker- en rechterlimietin a (zie definitie 2 en 3 op p. 129). Deze limieten zijn ofwel gelijk aan +∞ ofwelgelijk aan −∞. Daarom schrijven we kortweg het symbool ∞. Dus ∞ staat voor+∞ of voor −∞.Omdat de grafiek van de functie naar oneindig gaat als x nadert naar de reele waardea zeggen we dat

x = a

de vergelijking is van een verticale asymptoot voor de grafiek van de functiey = f(x) (zie definitie in paragraaf 5.7.1 op p. 158).

Voorbeelden:

• Teken met DERIVE de functie y = 5x+3x2−3x+2

. De grafiek van de functie heefttwee verticale asymptoten x = 1 en x = 2, vermits de volgende limieten geldigzijn:

lim1−

5x+ 3

x2 − 3x+ 2= +∞

lim1+

5x+ 3

x2 − 3x+ 2= −∞

lim2−

5x+ 3

x2 − 3x+ 2= −∞

lim2+

5x+ 3

x2 − 3x+ 2= +∞

• Teken met DERIVE de functie y = x3+4x2−3x−18x3−4x2+4x

. De grafiek van de functieheeft twee verticale asymptoten x = 0 en x = 2, vermits de volgende limietengeldig zijn:

lim0

x3 + 4x2 − 3x− 18

x3 − 4x2 + 4x=−18

0=∞

lim2

x3 + 4x2 − 3x− 18

x3 − 4x2 + 4x=

0

0= lim

2

3x2 + 8x− 3

3x2 − 8x+ 4=

25

0=∞


OPGAVEN — 69 Ga de volgende limieten na door berekening (bij ongelijke linker- en rechterlimietschrijven we tussen haakjes eerst de linkerlimiet en dan de rechterlimiet). Wat is telkens de meetkundigebetekenis van de limiet voor de grafiek van de functie?

1. lim2−2x2+x+6

x−2 = −7 4. lim−1/36x2+11x+496x2−7x−3 =∞ (+∞,−∞)

2. lim1/44x3+13x2+2,5x−1,5

3x2+3,25x−1 = 3919 5. lim−3

xx+3 =∞ (+∞,−∞)

3. lim−2/35x+19x2−4 =∞ (−∞,+∞) 6. lim0

(x+1)3

x2 = +∞

70 Bij rationale functies is het ook mogelijk de onbepaaldheid ∞∞ te bekomen bij de berekening van eenlimiet in een reele waarde. Dit kan als het voorschrift niet als een zuiver quotient van twee veeltermengegeven wordt. Je kan dit oplossen door het voorschrift te herleiden naar wel een quotient van tweeveeltermen. Bijvoorbeeld toon door berekening aan dat

lim2

x+ 3 + x+1x−2

x+ x2

x−2

= 3/4

6.2.6.3 Limiet in oneindig

Om de limiet in ±∞ te zoeken, kunnen we hetzelfde trucje als bij veeltermen toepassen.We zetten in teller en noemer de hoogstegraadsterm voorop.

lim∞

anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0

bmxm + bm−1xm−1 + · · ·+ b1x+ b0

= lim∞

anxn(1 + an−1

anx+ · · ·+ a1

anxn−1 + a0

anxn )

bmxm(1 + bm−1

bmx+ · · ·+ b1

bmxm−1 + b0bmxm )

= lim∞

anxn

bmxm

Hierin zijn uiteraard an 6= 0 en bm 6= 0.

De limiet in +∞ of in −∞ van een quotient van twee veeltermfuncties isgelijk aan de corresponderende limiet van het quotient van de hoogste-graadstermen van beide veeltermfuncties.

Voor wat de grafiek van de rationale functie betreft onderscheiden we drie verschillendegevallen

a. De rationale functie heeft een horizontale asymptootn ≤ m

In dit geval bezit de grafiek van de functie een horizontale asymptoot omdat delimiet in oneindig van de functie een reele waarde oplevert (zie definitie 5.7.2 op p.159).

lim±∞

f(x) = b ∈ R.


en de rechte y = b is de vergelijking van de horizontale asymptoot voor de grafiekvan de functie.

Voorbeelden:

(i) De functie y = −3x2+5x−64x2+7x

heeft een horizontale asymptoot want

lim∞

−3x2 + 5x− 6

4x2 + 7x= lim∞

−3x2

4x2=−3

4.

De vergelijking van de horizontale asymptoot is y = −34.

(ii) Als de graad van de teller strikt kleiner is dan de graad van de noemer dan isde x-as steeds de horizontale asymptoot.

lim∞

7x− 3

x2 + 2x− 1= lim∞

7x

x2=

7

x=

7

∞= 0.

De functie y = 7x−3x2+2x−1

heeft y = 0 als horizontale asymptoot.

b. De rationale functie heeft een schuine asymptootn = m+ 1

In dit geval levert het quotient van de euclidische deling van teller en noemer eeneerstegraadsveelterm op.

Voorbeeld: De rationale functie y = (x+1)3

x2 kan als volgt geschreven worden(EXPAND met DERIVE):

(x+ 1)3

x2= x+ 3 +

1

x+

1

x2

Als x nadert naar oneindig gaan de laatste twee termen naar nul naderen.

lim∞

(x+ 1)3

x2= lim∞

(x+ 3 +1

x+

1

x2) = lim

∞(x+ 3).

De grafiek van de functie nadert naar de grafiek van de eerstegraadsfunctie y = x+3.De verticale afstand tussen de grafiek van de functie en de rechte met vergelijkingy = x + 3 nadert naar nul. We zeggen dat de rechte met vergelijking y = x + 3 deschuine asymptoot is voor de grafiek van de rationale functie.

c. De rationale functie heeft geen horizontale of schuine asymptotenn > m+ 1

Voorbeeld: De grafiek van de functie

y =2x5 − x4 + 6x2 + 6x− 8

6− x− x2 − 9x3

heeft geen horizontale of schuine asymptoten.


OPGAVEN — 71 Bereken de volgende limieten en bepaal de eventuele horizontale of schuine asymp-toten voor de grafiek van de functie:

1. lim−∞ x5−3x2

−5x3+1 = −∞ 2. lim±∞ 3x2−7x+32x2−4x+1 = 3

2 3. lim+∞x−3x2−3x = 0

4. lim±∞ −2x2+x+6x−2 = ∓∞ 5. lim±∞ x

3−4x = − 14 6. lim±∞

(x+1)3

x2 = ±∞

TAAK ♣ 72 Bereken de volgende limieten en bepaal de eventuele horizontale of schuine asymptotenvoor de grafiek van de functie:

1. lim±∞ 6x2+11x+496x2−7x−3 = 1 2. lim±∞ 4x3+13x2+2,5x−1,5

3x2+3,25x−1 =∞ 3. lim±∞ 5x+19x2−4 = 0

6.2.7 Afgeleide functie van een rationale functie

In deze paragraaf steunen we op de theoretische beschouwingen van hoofdstuk 5

Voorbeelden: Bij deze voorbeelden steunen we op de stelling 5.15 van p. 181 voor deafgeleide functie van een quotiıent van twee functies .

• Dax+bcx+d

= (cx+d).a−(ax+b).c(cx+d)2

= ad−bc(cx+d)2

• D 1x

= − 1x2

• Dax2+bx+cx

= x.(2ax+b)−(ax2+bx+c)x2

•

Dx2−6x+8x2−2x+1

= Dx2−6x+8(x−1)2

= (x−1)2(2x−6)−2(x−1)(x2−6x+8)(x−1)4

= (x−1)(2x−6)−2(x2−6x+8)(x−1)3

= 2(2x−5)(x−1)3

6.2.7.1 Afgeleide van een gehele macht

De regel voor de afgeleide van een gehele macht van x is een bijzonder geval van de regelvoor de afgeleide van een gehele macht van een functie (zie p. 182).

∀z ∈ Z : Dxz =dxz

dx= zxz−1.

Voorbeelden:

• D 5x7 = D(5x−7) = −35x−8 = − 35

x8 ;


•

D6x4−2x3+12x2−3x+93x10 = D(2x−6 − 2

3x−7 + 4x−8 − x−9 + 3x−10)

= −12x−7 + 143x−8 − 32x−9 + 9x−10 − 30x−11

= − 12x7 + 14

3x8 − 32x9 + 9

x10 − 30x11

OPGAVEN — 73 Bereken de afgeleide functies van de volgende rationale functies:

1. y = 11−3x2 6. y = 3−x

x

2. y = x+12x−1 7. y = 2x+1

x+3

3. y = xx2−1 8. y = x2+1

x3−1

4. y = x3−3x+2x2−x+2 9. y = x3+1

x3+3x−2

5. y = (x−1)2

x2+9x−9 10. y = (x+1)3

(x−1)2

TAAK ♣ 74 Bereken de afgeleide functies van de volgende rationale functies:

1. y = 2x+14x2+3x−1 3. y = x2+9

x2+12x+11

2. y = (2x−1)3

(x2+3)4 4. y = (x2+1)(x−2)4

(x+7)3

6.2.8 Verloop van een rationale functie

6.2.8.1 Extremumvraagstukken

• Hoe verandert de waarde van een positieve breuk als we eenzelfde reeel getal xoptellen bij teller en noemer?Oplossing: Als y = a

bmet a, b ∈ R+ de breuk is en x de waarde die we in teller

en noemer optellen dan moeten we het verloop van y = x+ax+b

nagaan.

y′ =b− a

(x+ b)2

Voor het teken van y′ onderscheiden we twee gevallen

1. Als b > a dan is de functie steeds stijgend. We tekenen de grafiek van de functieen daarop kunnen we de waarden van de breuk aflezen. De grafiek heeft tweeasymptoten, nl. x = −b en y = 1.

x −b −a 0

y′ + | + 1b−a + b−a

b2+

y + | − 0 + ab

+↗ ↗ ↗ ↗


Besluit: Van links naar rechts zien we dat de waarde van de functie groter isdan 1 (juist boven de horizontale asymptoot y = 1), stijgt naar +∞ naar matede waarde x nadert naar −b, vervolgens maakt de waarde een sprong naar −∞als x groter wordt dan −b. De waarde van de breuk is nu negatief, stijgt enwordt 0 voor −a, positief, om tenslotte te stijgen naar de waarde 1 voor groterwordende x-waarden. De waarden blijven kleiner dan 1, vermits y = 1 eenhorizontale asymptoot is.

Figuur 6.16: de functie y = x+5x+7

voor de breuk 57

2. Trek zelf de besluiten voor als b < a en teken hieronder de grafiek.


• Door een vast punt P (3, 4) trekken we een veranderlijke rechte, die de x-as en dey-as snijdt resp. in de punten A en B. Voor welke rechte is de oppervlakte van dedriehoek OAB minimaal?Oplossing: Als onafhankelijk veranderlijke van de oppervlakte kiezen we de rich-tingscoefficient ω van de veranderlijke rechte door P , nl. y − 4 = ω(x− 3).De punten A en B hebben coordinaat A(3ω−4

ω, 0) en B(0, 4− 3ω).

De functie is de oppervlakte S van driehoek AB0.

S = −(3ω − 4)2

2ωen haar afgeleide functie S ′ = −(3ω − 4)(3ω + 4)

2ω2

De nulpunten van S ′ zijn ±43.

x −43

0 43

y′ − 0 + | + 0 −y + 24 + | − 0 −↘ ↗ ↗ ↘

Besluit: De oppervlakte is minimaal voor de rechte 4x + 3y − 24 = 0. Als de rich-tingscoefficient van de rechte positief is dan wordt de oppervlakte negatief. Omdatde oppervlakte steeds een positieve grootheid is, moeten we voor ω > 0 de absolutewaarden beschouwen. Het maximum voor 4

3voor de functie is eigenlijk een minimum

voor de oppervlakte. De minimale waarde is gelijk aan nul vermits voor die waardevan ω de rechte door de oorsprong gaat en de punten A en B samenvallen met O.

Figuur 6.17: de driehoek met minimale oppervlakte — de oppervlakte in functie van ω


• Vraagstuk van de filevorming.Een rij auto’s moet door een tunnel. Bij welke snelheid passeren er zoveel mogelijkauto’s per minuut? Men dient rekening te houden met de veiligheid en dus met deremafstand. Voor de remweg van auto’s is de minimale remafstand s recht evenredigmet het kwadraat van de snelheid in m/s:

s =v2

8.

Oplossing: We noemen a de gemiddelde lengte van een auto in m.De afstand tussen twee auto’s is s+ a.Het tijdsinterval in sec. tussen twee auto’s is t = s+a

v.

De functie is het aantal auto’s per seconde dat voorbij snort:

F =1

t⇐⇒ F =

v

s+ a=

8v

8a+ v2en haar afgeleide functie

dF

dv= 8

8a− v2

(8a+ v2)2

Het aantal auto’s per seconde is maximaal als v = 2√

2a m/s. In de praktijk neemtmen 4 m voor de gemiddelde lengte a van een auto. Bij een snelheid van 4

√2 m/s of

20,36 km/u passeert een maximaal aantal auto’s per tijdseenheid. Bij deze snelheidis de remafstand gelijk aan 4 m, di. de gemiddelde lengte van een auto.We tekenen de functie voor een snelheid uitgedrukt in km/u. Daartoe vervangen wein het voorschrift v door v

3,6.

Figuur 6.18: file: de ideale snelheid in km/u – y = 720v25v2+10368


• De brandstofkosten per uur van een schip zijn evenredig met de derde macht van zijnsnelheid. Bij een snelheid van 10 km/u zijn de kosten 30 dollar/u. De andere kostenhangen niet af van de snelheid en bedragen 480 dollar/u. Wat moet de snelheidzijn om de totale kosten per km minimaal te maken? Wat bedragen in dit geval detotale kosten per uur? (toelatingsexamen Ir.)

Oplossing: We noemen B de branstofkosten per uur: B = kv3.Bij een snelheid v =10 km/u is B/u = 30. Hieruit volgt dat k = 0, 03

B = 0, 03.v3.

De totale kosten Tu per uur bedragen:

Tu = 0, 03.v3 + 480.

De totale kosten T per km zijn gelijk aan de totale kosten Tu per uur gedeeld doorde snelheid:

T =Tuv

=0, 03v3 + 480

ven haar afgeleide functie T ′ =

0, 06v3 − 480

v2.

De brandstofkosten per km worden minimaal voor een snelheid van 20 km/u. Detotale kosten per km bedraagt 720 dollar.

Figuur 6.19: de brandstofkosten per km


OPGAVEN — 75 Het produkt van twee getallen is 16. Zoek deze getallen als

a. hun som minimaal is;

b. de som van het ene getal en het kwadraat uit het andere getal minimaal is.

76 Een rechthoekig stuk weiland met een bepaalde oppervlakte ligt langs een rivier. Als er geen om-heining nodig is aan de kant van de rivier, toon dan aan dat er het minst omheining zal nodig zijn als delengte van het veld tweemaal zijn breedte is.

77 Voor welk punt in het eerste kwadrant van de grafiek van de parabool met vergelijking y = 4 − x2

vormt de raaklijn in dat punt aan de grafiek met de coordinaatassen een driehoek OAB met minimaleoppervlakte?

78 Hoe verloopt de oppervlakte van een gelijkbenige driehoek beschreven om een rechthoek met L enB als afmetingen?

79 Hoe verloopt de inhoud van een in een sfeer, met straal R, ingeschreven rechte omwentelingskegel?

80 Welke zijn de afmetingen van de rechte omwentelingskegel met minimaal volume beschreven om eenbol met een straal van acht cm.

81 Hoe verloopt de omtrek van een gelijkbenige driehoek beschreven om een gegeven cirkel?

82 Hoe verloopt de oppervlakte van een gelijkbenig trapezium beschreven om een gegeven cirkel?

Oplossingen:75 a. 4 en 4; b. 8 en 2.76 de lengte gelijk aan maatgetal vd oppervlakte maal

√2;

77 2√

33 en 8

3 78 min. opp. vr. de driehoek met hoogte = 2 keer de breedte van de rechthoek;79 max. inh. vr kegel met h = 4

3R;80 R = 8

√2 en H = 32 81: min. voor een gelijkzijdige driehoek met zijde

√3R;

82: min. voor een vierkant.

TAAK ♣ 83 Een cilindervormig blik met een cirkelvormige basis heeft een inhoud van 2 liter. Hoemoeten de afmetingen zijn van dat blik opdat het nodige metaal voor de vervaardiging van het blikminimaal zou zijn. Bereken dit in geval het blik open is en in geval het blik gesloten is.

Oplossing: open blik: Straal=hoogte; gesloten blik: hoogte= 2maal de straal.


6.2.8.2 Tekenen van de grafiek van een rationale functie

Om de grafiek van een rationale functie te tekenen, bepalen we eerst het domein vervolgensde eventuele asymptoten en de eventuele gaatjes in de grafiek. Door middel van deeerste en tweede afgeleide functies kunnen we het stijgen, dalen, extrema, kromming enbuigpunten nagaan.

OPGAVEN — 84 Bepaal het domein, de eventuele asymptoten en het tekenverloop van volgenderationale functies:

1. y = x−1x+1 5. y = x

1−4x2

2. y = x3+5x2+x+5x2+12x+35 6. y = x+1

x(x2+4)

3. y = 5x+73x3−18x2+36x+24 7. y = x4−8x3+2x2

x3+x2

4. y = x4−6x3+8x2+6x−9x2−4x+3

85 Bepaal het verloop van de volgende functies en teken hun grafiek:1. y = x−1

x2−3 4. y = x3

1+x2

2. y = x2−8x+12x2 5. y = (x+1)3

x2

3. x2y − 4y = 8 6. y = x2+6x+8x2+6x+5

Oplossingen:84

1. VA: x = −1 5. VA: x = ± 12

2. gaatje (−5, 13), VA: x = −7 6. VA: x = 0

3. VA: x = 2− 2 3√

2 7. gaatje (0, 2), VA: x = −1

4. gaatjes: (1,−4) en (3, 0)851. y = x−1

x2−3 : Domf = R \ {−√

3,√

3}, asymptoten: V.A.: x = −√

3 en x =√

3, H.A.: y = 0,

y′ = −x2+2x−3(x2−3)2 , y′′ = 2(x3−3x2+9x−3)

(x2−3)3 ,

x −√

3 0 0, 375 1√

3y′ − −∞| −∞ − −1/3 − −0, 29 − −1/2 − −∞| −∞ −y′′ − | + + 0 − − | +y − −∞|+∞ + 1/3 + 0, 22 + 0 − −∞|+∞ +

↘ ↘ ↘ ↘ ↘ ↘⋂ ⋃ ⋃ ⋂ ⋂ ⋃


2. y = x2−8x+12x2 : Domf = R0, asymptoten: V.A.: x = 0; H.A.: y = 1; y′ = 8(x−3)

x3 , y′′ = 8(9−2x)x4

x 0 2 3 9/2 6y′ + +∞| −∞ − −1 − 0 + 32/243 + 1/9 +y′′ + | + + + 0 − −y + +∞|+∞ + 0 − −1/3 − −5/27 − 0 +

↗ ↘ ↘ ↗ ↗ ↗⋃ ⋃ ⋃ ⋃ ⋂ ⋂

3. x2y − 4y = 8 Domf = R \ {−2, 2}, asymptoten: V.A.: x = −2 en x = 2; H.A.: y = 0; y′ = −16x(x2−4)2 ,

y′′ = 16(3x2+4)(x2−4)3

x −2 0 2y′ + +∞|+∞ + 0 − −∞| −∞ −y′′ + | − − | +y + +∞| −∞ − −2 − −∞|+∞ +

↗ ↗ ↘ ↘⋃ ⋂ ⋂ ⋃

4. y = x3

1+x2 : Domf = R, de functie is oneven, asymptoten: S.A.: y = x, y′ = x2(x2+3)(1+x2)2 , y′′ = 2x(3−x2)

(1+x2)3 ,

x −√

3 0√

3y′ + 9/8 + 0 + 9/8 +y′′ + 0 − 0 + 0 −y − −3

√3/4 − 0 + 3

√3/4 +

↗ ↗ ↗ ↗⋃ ⋂ ⋃ ⋂

5. y = (x+1)3

x2 : Domf = R0, V.A.: x = 0, S.A.: y = x+ 3, snijpunt met S.A.: (− 13 ,

83 ), y′ = (x+1)2(x−2)

x3 ,

y′′ = 6(x+1)x4 ,

x −1 −1/3 0 2y′ + 0 + 28 + +∞| −∞ − 0 +y′′ − 0 + + | + +y − 0 + 8/3 + +∞|+∞ + 27/4 +

↗ ↗ ↗ ↘ ↗⋂ ⋃ ⋃ ⋃ ⋃Extremum: min.(2, 27

4 );Buigpunt: (−1, 0) met de x-as als buigraaklijn.


6. y = x2+6x+8x2+6x+5 : Domf = R \ {−1,−5}, V.A.: x = −1 en x = −5; H.A.: y = 1; y′ = −6(x+3)

(x2+6x+5)2 ,

y′′ = 6(3x2+18x+31)(x2+6x+5)3

x −5 −4 −3 −2 −1 0y′ + +∞|+∞ + 2/3 + 0 − −2/3 − −∞| −∞ − −18/25 −y′′ + | − − | − − + +y + +∞| −∞ − 0 + 1/4 + 0 − −∞|+∞ + 8/5 +

↗ ↗ ↗ ↘ ↘ ↘ ↘⋃ ⋂ ⋂ ⋂ ⋂ ⋃ ⋃Extremum: (−3, 1

4 ).Buigpunten: Geen

6.2.8.3 Rationale functies die aan bepaalde voorwaarden voldoen

OPGAVEN — 86 Voor welke waarden van p en p′ heeft

y =4x2 + px− 3x2 + p′x+ 3

twee relatieve extreme waarden, de ene voor x = 0 en de andere voor x = 32? Onderzoek daarna het

verloop van de functie.

87 Voor welke waarde van p en q is 0 de relatieve maximale waarde en 4 de relatieve minimale waardevan de functie

y =x2 + px+ q2

x?

Onderzoek het verloop van de functie, na aan p en q die waarden toegekend te hebben.

88 Bepaal a zo, dat

y =ax2 + 20xx2 + 2x− 3

een relatief maximum bereikt voor x = −2. Onderzoek het verloop van de functie na a door de gevondenwaarde te hebben vervangen.

89 Hoeveel extreme waarden heeft de functie

y =x2 − x− cx2 + x− c

?

90 Hoe verandert de vorm van de krommen, die de volgende functies voorstellen, als de parameter aalle waarden aanneemt:

1. y = 1x2−2x+a 3. y = x

x2−2ax+4

2. y = xx2−2x+a2 4. y = x2 + a2

x2−1


91 Gegeven de functie

fm : y =x2 − (m− 1)x− 12

x2 + 2x− 3

Gevraagd:

(i) Bepaal m zodat de functie fm stijgend is;

(ii) Bepaal m zodat de functie fm een relatief maximum en een relatief minimum heeft;

(iii) Bepaal de coordinaat van het vaste punt P waar elke functie fm doorgaat;

(iv) Bepaal m zodat de raaklijn in P aan de grafiek van fm parallel is met de rechte y = 3x;

(v) Maak een volledig functieverloop voor m = 2.

92 Onderzoek het verloop van y = 4x2+4x−3x2−4x+3 . Leid hieruit het aantal en het teken van de wortels af van

de vierkantsvergelijking

(m− 4)x2 − 4(m+ 1)x+ 3(m+ 1)

Oplossingen:86 p = 4 en p′ = −4.87 p = 2 en q = ±1;88 a = 7;89 c ≥ 0: geen extr.; c < 0: 2 extr.;91 y′ = (m+1)x2+18x+3m+21

(x2+2x−3)2 , (i) m ≥ 2, (ii) −10 < m < 2, (iii) (0, 4), (iv) verloop van de homografischefunctie y = x−4

x−1 .


AN I HUISTAAK 9 1. Gegeven is f : y = xax2+bx+c

.

(a) Bepaal de voorwaarden voor a, b en c opdat de grafiek van f als asymptotenx = 2 en y = 0 zou hebben. Bepaal nu de waarden van a, b en c als f bovendieneen relatieve minimale waarde −1/8 bereikt voor x = −2.

(b) Bepaal de voorwaarden voor a, b en c opdat f geen rel. extrema zou hebben;

(c) Bepaal de voorwaarden voor a, b en c opdat f slechts een relatief extreme waar-de zou hebben. Wat is daarvan het gevolg voor het aantal verticale asympto-ten? Voldoen a, b en c uit 1a aan deze voorwaarden.

2. Gegeven is de functies f : y = 3x2+2x(x+4)

.

(a) Teken de grafiek van f met de computer;

(b) Gebruik de grafiek van f om het beeld f(R) te bepalen. Maak daartoe denodige berekeningen voor de exacte waarden;

(c) Leid uit de grafiek van f af voor welke waarde(n) van a de vergelijking3x2 + 2 = ax(x+ 4) een oplossing heeft met multipliciteit 2?

(d) Beantwoord dezelfde vraag als in 2c maar nu zonder dat je gebruik maakt vande grafiek van f (rechtstreeks berekenen uit de vergelijking).

3. Een poster 18 dm2 heeft bovenaan en onderaan een marge van 9 cm en links enrechts een marge van 6 cm. Welke zijn de afmetingen van de poster opdat hetbedrukte gedeelte een maximale oppervlakte zou hebben.

PROEFHERHALINGSTOETS

1. Onder welke voorwaarden is de relatieve maximale waarde van de functiey = x2+2ax+1

x2+2bx+1het tegengestelde van de relatieve minimale waarde?

2. Toon aan dat de buigpunten van de grafiek van de functie f : y = x2+3xx2+x+3

collineairzijn. Teken de grafiek van f en duid de buigpunten aan en hun verbindingslijn.

3. Een muur van een gebouw moet ondersteund worden door een balk. Een parallellemuur van vijf meter hoogte staat op vier meter afstand van de muur van het gebouw.Welke is de lengte van de kleinste balk die de tweede muur moet overbruggen?(Oplossing: 12,7 m.)

Hoofdstuk 7

Algebraısche functies

7.1 Irrationale functies

7.1.1 Standaardirrationale functies

Standaardirrationale functies zijn van de gedaante:

y =√x y = 3

√x y = 4

√x y = |x| =

√x2 enz · · ·

243


Het domein van de standaardirrationale functies

dom√x = dom 4

√x = R+ dom 3

√x = dom|x| = R

7.1.2 Samenstelling met standaardirrationale functies

Domein van een irrationale functieVoorbeeld: Gegeven de functies f : y = (x− 1)2 en g : y = 1 +

√x. De samenstelling van

de twee functies in de twee volgorden:

f : y = (x− 1)2

g : z = 1 +√y−→ g ◦ f : z = 1 +

√(x− 1)2 = 1 + |x− 1|

Het domein van g ◦ f : y = 1 + |1− x| is R omdat domf = R en g inwerkt op alle beeldeny van f vermits f(R) = R+.

g : y = 1 +√x

f : z = (y − 1)2 −→ f ◦ g : z = (1 +√x− 1)2 = (

√x)2 = x.

Het domein van f ◦g : y = x is R+ omdat domg = R+ en verder f inwerkt op alle beeldeny van g.

OPGAVEN — 93 Gegeven f : y =√

1− x en g : y =√x− 1. Bepaal f ◦ g en het domein van f ◦ g.

94 Schrijf de volgende functies als de samenstelling van twee of meerdere functies en bepaal het domein:(i) y = 1√

(x+1)2(iii) y =

√1− x2 (v) y =

√x+ 1

(ii) y = x2|x− 1|+ 1 (iv) y =√

x−1x+4 (vi) y =

√x−1√x

TAAK ♣ 95 Schrijf de volgende functies als de samenstelling van twee of meerdere functies en bepaalhet domein:y = (1−

√2x− 1)2 en y = 3

√√x− 1.

Oplossingen:

94

(i)f : y = |x+ 1|g : z = 1

y

off : y = (x+ 1)2

g : z = 1√y

(iii)f : y = 1− x2

g : z =√y

(v)f : y =

√x

g : z = y + 1

(ii)f : y = x2(x− 1)g : z = |y|+ 1 (iv)

f : y = x−1x+1

g : z =√y

(vi) geen

Grafieken van enkele eenvoudige samengestelde functies

Om de grafiek te tekenen van een samengestelde functie met een standaardirrationalefunctie, bepalen we eerst enkele speciale punten en vervolgens maken we een tabel.

7.1. IRRATIONALE FUNCTIES 245

Voorbeelden:

• De irrationale functie y =√

4− x2 is de samenstelling van de tweedegraadsfunctiey = 4− x2 en de standaardirrationale functie y =

√x.

Enkele bijzondere x-waarden voor y =√x zijn 1, 4, 9, 16 enz. We schetsen de

parabool y = 4− x2 en kijken naar het beeld.Het beeld is ]−∞, 4]. Speciale waarden die in aanmerking komen zijn 1 en 4.

4− x2 = 1⇐⇒ x = ±√

3 en 4− x2 = 4⇐⇒ x = 0.

x −2 −√

3 0√

3 2y = 4− x2 − 0 + 1 + 4 + 1 + 0 −y =√

4− x2 ||| 0 + 1 + 2 + 1 + 0 |||

We zien dat het domein van de functie y =√

4− x2 het gesloten interval [−2, 2] is.De grafiek van y =

√4− x2 is eigenlijk de bovenste helft van een cirkel.

y =√

4− x2 y≥0=⇒ y2 = 4− x2 ⇐⇒ x2 + y2 = 4.

Dit is inderdaad de vergelijking van een cirkel met straal 2 en met middelpunt O.

Figuur 7.1: y = 4− x2 en y =√

4− x2


• De irrationale functie y =√

9− 4x2.We schetsen de parabool y = 9−4x2 en kijken naar het beeld. Het beeld is ]−∞, 9].Speciale waarden die in aanmerking komen zijn 1, 4 en 9.

9− 4x2 = 1⇐⇒ x = ±√

2 9− 4x2 = 4⇐⇒ x = ±√

5/49− 4x2 = 9⇐⇒ x = 0

x −3/2 −√

2 −√

5/4 0√

5/4√

2 3/2y = 9− 4x2 − 0 + 1 + 4 + 9 + 4 + 1 + 0 −y =√

9− 4x2 ||| 0 + 1 + 2 + 3 + 2 + 1 + 0 |||

We zien dat het domein van de functie het gesloten interval [−3/2, 3/2] is.De grafiek van y =

√9− 4x2 is de bovenste helft van een ellips.

y =√

9− 4x2 y≥0=⇒ y2 = 9− 4x2 ⇐⇒ 4x2

9+y2

9= 1.

We verkrijgen inderdaad de vergelijking van een ellips met halve grote as 3 (langsde y-as) en halve kleine as 3/2 (langs de x-as).

Figuur 7.2: y = 9− 4x2 en y =√

9− 4x2


• De irrationale functie y =√x2 + 16.

We schetsen de parabool y = x2+16 en kijken naar het beeld. Het beeld is [16,+∞[.Enkele speciale waarden zijn 16, 25 en 36.

x2 + 16 = 25⇐⇒ x = ±3 x2 + 16 = 36⇐⇒ x = ±2√

5x2 + 16 = 16⇔ x = 0

x −2√

5 −3 0 3 2√

5y = x2 + 16 + 36 + 25 + 16 + 25 + 36 +

y =√

9− 4x2 + 6 + 5 + 4 + 5 + 6 +

We zien dat het domein van de functie R is.De grafiek van y =

√x2 + 16 is een van de twee takken van een hyperbool.

y =√x2 + 16

y≥0=⇒ y2 − x2 = 16

We verkrijgen de vergelijking van een zogenaamde hyperbool met hoofdas de y-asen nevenas de x-as (hoofdas is de as die snijpunten heeft met de hyperbool).

Figuur 7.3: y = x2 + 16 en y =√x2 + 16


• De irrationale functie y =√x2 − 16.

We schetsen de parabool y = x2 − 16 en kijken naar het beeld. Het beeld is[−16,+∞[. We kiezen de speciale waarden 0, 4, 9, 16.

x2 − 16 = 16⇐⇒ x = ±4√

2 x2 − 16 = 9⇐⇒ x = ±5

x2 − 16 = 4⇐⇒ ±2√

5 x2 − 16 = 0⇔ x = ±4

x −4√

2 −5 −2√

5 −4 4 2√

5 5 4√

2y = x2 − 16 + 16 + 9 + 4 + 0 − 0 + 4 + 9 + 16 +

y =√x2 − 16 + 4 + 3 + 2 + 0 || 0 + 2 + 3 + 4 +

We zien dat het domein van de functie de unie is van twee intervallen ]−∞,−4] ∪[4,+∞[.De grafiek van y =

√x2 − 16 is de unie van de helften van twee takken van een

hyperbool.

y =√x2 − 16

y≥0=⇒ x2 − y2 = 16

We verkrijgen de vergelijking van een hyperbool met hoofdas de x-as en nevenas dey-as.

Figuur 7.4: y = x2 − 16 en y =√x2 − 16


Deze functies zijn voorbeelden van veelvoorkomende eenvoudige algemene irrationale func-ties, nl.

y =√b2 − a2x2 y =

√a2x2 − b2

y =√a2x2 + b2

dom√b2 − a2x2 = [− b

a, ba] dom

√a2x2 − b2 =]−∞,− b

a] ∪ [ b

a,+∞[

dom√a2x2 + b2 = R

OPGAVEN — 96 Bepaal het domein van de volgende irrationale functies:

1. y =√

1− x2 6. y = x1+|x|

2. y = x+3√x

7√x+2x

7. y =√

x−1x+1

3. y =√x2 + 2x− 3 8. y =

√x2−9√x−1

4. y =√x−1√x+1

9. y =√x2 + 2|x| − 3

5. y = x2+|x−1||x2+x|−1 10. y =

√2x+ 1−

√8− x

97 Bepaal het domein en het tekenverloop van de volgende functies:

1. y = 1−√−x2 − 4x− 3 5. y = 3

√x3 − 3x+ 2

2. y = 2x+ |x2 − 3| 6. y = x+√x2 − 1

3. y = x+√

1− x2 7. y = x(−x2+x−5) 3√x2−9)√

3+8x−3x2

4. y =√

2x−1+x−8√9−x−2

8. y =√

3x3+12x2+12xx2−4

98 * Splits de volgende wortelvormen

1. 4(1− x)√

2x(1− x) 4.

√(x−4)(x−2)√−x2+2x+3

2.√

−2(x2+1)(2x−1) 5.

√−x(x− a)

3.√

5a2√

3b(2x− a)(x− b) met a > 2b

TAAK ♣ 99 Bepaal het domein van de volgende irrationale functies:

1. y =√x2 + x+ 1 6. y = x−1√

x3−x2−x+1

2. y =√

x+1x2−3x+2 7. y = 1√

1−x2−x

3. y =√

1−x2

2−x 8. y =√

3−x√3+x

4. y =√

3−x3+x 9. y = x

3√x2−4

5. y = 4√x2 − 5x+ 6 10. y = 6

√x4 − 13x2 + 36


Oplossingen:

96 1. [−1, 1]; 2. R+0 ; 3. ] −∞,−3] ∪ [1,+∞[; 4. [1,+∞[; 5. R \ {−φ, 1/φ} met φ = 1+

√5

2 , het guldengetal;6. R; 7. [−1, 1[∪]2,+∞[; 8. [−1, 1]∪]2,+∞[; 9. ]− 3, 3]; 10. ]−∞, 2] ∪ [3,+∞[; 11. R;13. [3,+∞[; 14. ] −∞,−1] ∪ [1,+∞[; 15. [− 1

2 , 8]; 16. ] − 1,+∞[\{1}; 17. ] − φ, 1φ [; 18. ] − 3,−3]; 19.

R \ {−2, 2}; 20. ]−∞,−3] ∪ [−2, 2] ∪ [3,+∞[.

97 1. [−3,−1] enx −3 −2 −1y ||| 1 + 0 + 1 ||| ;

2. R enx −3 −1y + 0 − 0 +

;

3. [−1, 1] en x −1 −√

2/2 1y ||| −1 − 0 + 1 ||| ;

4. [1/2, 9] \ {5} enx 1/2 5 9y |||| | − | − |||| ;

5. R enx −2 1y − 0 + 0 +

;

6. ]−∞,−1]∪ [1,+∞[ enx −1 1y − −1 ||| 1 +

. 7. ]− 1/3, 3[ enx −1/3 0 3y |||| | − 0 + |||| ;

8. ]− 2, 0[∪]2,+∞[ enx −2 0 2y |||| | + 0 |||| +

;

98 1. 4(1− x)√

2√x√

1− x; 2.√

2√x2+1

√1−2x

;

3. b > 0, x < b⇒√

5a 4√

3√b√a− 2x

√b− x,

b > 0, x > a2 ⇒

√5a 4√

3√b√

2x− a√x− b

en b < 0⇒√

5|a| 4√

3√−b√a− 2x

√x− b

4.√

4−x√

2−x√x+1√

3−x ; 5. a > 0⇒√x√a− x en a < 0⇒

√−x√x− a.

991. R 6. ]− 1,+∞\ {1}2. [−1, 1]∪]2,+∞[ 7. ]− 1

2 −√

52 ,−

12 +

√5

2 [3. [−1, 1]∪]2,+∞[ 8. ]− 3, 3]4. ]− 3, 3] 9. R \ {2,−2}5. ]−∞, 2] ∪ [3,+∞[ 10. ]−∞,−3] ∪ [−2, 2] ∪ [3,+∞[

7.1.3 Even en oneven functies

Ga na of de volgende functies even of oneven zijn: y = x3, y = x|x|, y = x√x2+1

en

y = |x− 1|+ |x+ 1|.


Figuur 7.5: y = x|x| en y = |x− 1|+ |x+ 1|

7.1.4 Inverse functie van een irrationale functie

• De restrictie van y =√x tot zijn domein R+ en het beeld R+ is een bijectie.

R+ −→ R+, x 7→√x

De inverse relatie van deze restrictie is eveneens een bijectie:

R+ −→ R+, x 7→ x2.

De grafiek is de rechterhelft van de parabool y = x2.

• De restrictie van y = −√x tot zijn domein R+ en het beeld R− is een bijectie.

R+ −→ R−, x 7→ −√x

De inverse relatie van deze restrictie is eveneens een bijectie:

R− −→ R+, x 7→ x2.

De grafiek is de linkerhelft van de parabool y = x2.


Figuur 7.6: y = x2 en y = ±√x

Opmerking: We moeten even opletten als we in een vergelijking beide leden kwadrateren.

y =√x =⇒ y2 = x

Anderzijds geldty2 = x⇐⇒ y = ±

√x

Bij de eerste uitspraak is het duidelijk dat de pijl niet terugkeert.Willen we een gelijkwaardigheid dan moeten we de bestaansvoorwaarden bijschrijven.

y =√x

y≥0⇐⇒ y2 = x

y = −√x

y≤0⇐⇒ y2 = x


7.1.5 De afgeleide functie van een irrationale functie

In tegenstelling met de rationale functies die afleidbaar zijn in alle punten van hun domeinkan het bij een irrationale functie voorkomen dat ze in sommige punten van het domeinniet afleidbaar is. We illustreren met twee voorbeelden.Voorbeelden:

• De functie y = |x| bestaat in 0 maar is niet afleidbaar in 0.De linkerafgeleide in 0:

lim0−

|x| − |0|x− 0

= lim0−

−xx

= −1

lim0+

|x| − |0|x− 0

= lim0+

x

x= 1

Linker- en rechterafgeleide bestaan maar zijn verschillend van elkaar. De functiey = |x| is dus niet afleidbaar in 0 (zie hoofdstuk 5 op p. 154.

• De functie y =√x is niet afleidbaar in 0.

Het punt 0 is een rechterophopingspunt van het domein van de functie maar geenlinkerophopingspunt. De afgeleide in 0 is de rechterafgeleide in 0, de linkerafgeleideis zinledig.

lim0

√x−√

0

x− 0= lim

0+

√x−√

0

x− 0= lim

0+

√x

x=∞.

7.1.5.1 Afgeleide functie van y = n√x

De afgeleide functie van y = n√x kunnen we bepalen uit de afgeleide van de inverse functie

y = xn. We steunen op stelling 5.16 op p. 182) en de regel voor de afgeleide van de inversefunctie (zie stelling 5.17 op p. 184.De functie y = n

√x is de inverse functie van de restrictie tot R+ van de functie

x = n√y ⇐⇒ y = xn met x ≥ 0.

d n√x

dx=

1

dyn

dy

D n√x =

1

Dyn=

1

nyn−1

waarin we y moeten vervangen door n√x.


D n√x =

1

n( n√x)n−1

=1

nxn−1

n

=1

nx

1−nn =

1

nx

1n−1

Besluit: We kunnen de regel voor het afleiden van een n-de machtswortel als volgt schrijven

∀n ∈ N0 : Dx1n =

1

nx

1n−1.

Bijzonder geval:

D√x =

1

2√x.

7.1.5.2 De afgeleide van een rationale macht

STELLING 7.1 ∀q ∈ Q : Dxq = qxq−1 en ∀q ∈ Q : D(f(x))q = q(f(x))q−1Df(x)

Bewijs: vermits q een rationaal getal is, kunnen we q schrijven als het quotient van eengeheel getal en een natuurlijk getal.

q =z

n.

Dxzn = D(x

1n )z = z(x

1n )z−1.Dx

1n afg. vd. samenst. en afg. ve. geh. macht

= zxz−1

n1nx

1n−1 afg. vd. macht 1

n

= znx

zn− 1

n+ 1

n−1

= znx

zn−1.

∀q ∈ Q : Dxq =dxq

dx= qxq−1.

Volgens de regel van de afgeleide van de samenstelling van twee functies geldt:

∀q ∈ Q : D(f(x))q = q(f(x))q−1Df(x)

�


OPGAVEN — 100 Bereken de afgeleide functies van de volgende irrationale functies:

1. y =√

2− x 9. y =√

3x2 − 5x+ 72. y = 3

√5x2 − 4x+ 1 10. y = 3x− 3

√x2 − 9

3. y =√

1 + x2 +√

1− x2 11. y = 2x− 1−√x2 + x+ 1

4. y = x√

2x2 + 1 12. y = (2x− 3)√

1− x2

5. y = (x2 + x+ 1)√

1− x2 13. y = (x− 1)2√x2 + 2x− 1

6. y = (2x− 3) 3√

(x+ 1)2 14. y = (5x2 − 6x+ 9) 3√

(x2 + 1)2

7. y = (3x− 4) 4√

(2x2 + 1)3 15. y =√|x|

8. y = |x3 − 3x+ 2| 16. y = |x− 1|+ |x2 − 1|

101 Bereken de afgeleide functies van de volgende functies:

1. y =√x+7x 6. y = x√

4−x2

2. y = x√(1+x2)3

7*. y = (1+2x2)√x2−1

3x2

3. y =√

1−x1+x 8. y = x

√x

3−x

4. y = 3+2x3√1+x

9*. y = x(3+2x2)

3√

(1+x2)3

5*. y = (x3+4)√

2−x2

3 10*. y = (3−4x)√

3+2xx√x

Oplossingen:100

1. y′ = −12√

2−x 9. y′ = 6x−52√

3x2−5x+7

2. y′ = 2(5x−2)

3 3√

(5x2−4x+1)210. y′ = 9 3

√(x2−9)2−2x

3 3√

(x2−9)2

3. y′ = x(√

1−x2−√

1+x2)√1−x4 11. y′ = 4

√x2+x+1−(2x+1)

2√x2+x+1

4. y′ = 4x2+1√2x2+1

12. y′ = −4x2+3x+2√1−x2

5. y′ = −3x3−2x2+x+1√1−x2 13. y′ = (x−1)(3x2+4x−3)√

x2+2x−1

6. y′ = 10x

3 3√

(x+1)14. y′ = 50x3−42x2+66x−18

3 3√

(x2+1)

7. y′ = 3(5x2−4x+1)4√

(2x2+1)15. y′ = x

2|x|√|x|

8. y′ = 3 (x3−3x+2)(x2−1)|x3−3x+2| 16. y′ = x−1

|x−1| + 2x(x2−1)|x2−1|

101

1. y′ = −(x+14)

2x2√x+7

6. y′ = 4√(4−x2)3

2. y′ = 1−2x2√(1+x2)5

7. y′ = 2x4−x2+23x3√x2−1

3. y′ =√

1−x2

(1+x)2(x−1) 8. y′ = (9−2x)√x(3−x)

2(3−x)2

4. y′ = 3+4x

3 3√

(1+x)49. y′ = 1√

(1+x2)5

5. y′ = −4x4+6x2−4x3√

2−x2 10. y′ = −27

2x2√x(3+2x)


TAAK ♣ 102 Bereken de afgeleide functies van de volgende irrationale functies:

1. y = 3√

(2 + x)2 3. y = (3x− 2)√

(1 + 2x)3

2. y = x3√(1−x2)3

4*. y = (x−1)3 3√x3+1(x+1)2

Oplossingen: 102 1. y′ = 2

3 3√

(2+x)2. y′ = 3x2√

(1−x2)5

3. y′ = 3(5x− 1)√

(1 + 2x) 4. y′ = (x−1)2(2x3+3x2−4x+5)

(x+1)2 3√

(x3+1)2

7.1.6 Limieten en continuıteit van irrationale functies

Het domein van een rationale functie is R waarvan we eventueel een eindig aantal puntenmoeten uitsluiten. Deze punten zijn rechter- en linkerophopingspunten en −∞ is rech-terophopingspunt en +∞ is linkerophopingspunt van het domein. In alle punten van hetdomein van een rationale functie is de limiet zinvol.We zullen zien dat het domein van een irrationale functie veelal een unie is van interval-len, zodat er in het domein ophopingspunten kunnen voorkomen die enkel rechteropho-pingspunt of linkerophopingspunt zijn. De elementen +∞ en −∞ zijn niet noodzaklijkophopingspunten van het domein. Het domein kan ook geısoleerde punten bevatten. Erzullen dus punten zijn waarvoor de limiet van een irrationale functie zinledig is.

7.1.6.1 Limiet en continuıteit in een punt van het domein

In het voorschrift van een irrationale functie komen wortels uit rationale functies voor.Volgens stelling 4.17 op p. 144 is elke rationale macht van een coninue functie weer eencontinue functie op voorwaarde dat het punt tot het domein van de functie behoort.

Besluit: Een irrationale functie is continu in elk punt van haar domein

Bijgevolg is de limiet in een punt van het domein gelijk aan de functiewaarde in dat punt.

Voor het bepalen van limieten van irrationale functies in plakpunten van het domein,gaan we gebruik maken van de rekenregels met rationale exponenten (zie stelling 4.16 opp. 143).

7.1.6.2 Limiet in een reeel plakpunt van het domein

Is het reeel punt a een plakpunt van het domein van de functie en is a een nulpunt van deteller en van de noemer dan verkrijgen we na toepassen van de eigenschap van de limietvan een quotient van twee functies de onbepaaldheid 0

0. Om zo een limiet te berekenen

gebruiken we de regel van de l’Hopital.


Enkele voorbeelden:

1. y =√x+2−x2−x . Het domein van de functie is [−2,+∞[\{2}.

lim2

√x+ 2− x2− x

=0

0= lim

2

12√x+2− 1

−1=

3

4.

Deze limiet is zowel een linker- als een rechterlimiet. De grafiek heeft een gaatje in(2, 3

4).

2. y = x−13√2x+6−2

. Het domein van de functie is R \ {1}.

lim1

x− 13√

2x+ 6− 2=

0

0= lim

1

12

3 3√

(2x+6)2

= 6.

Deze limiet is zowel een linker- als een rechterlimiet. De grafiek heeft een gaatje in(1, 6).

3. * y = x−1√x3−x . Het domein van de functie is ]− 1, 0[∪]1,+∞[.

lim1+

x− 1√x3 − x

=0

0= lim

1

13x2−1

2√x3−x

= lim1

2√x3 − x

3x2 − 1=

0

2= 0.

De grafiek bestaat uit twee takken die niet samenhangend zijn. Omdat 1 geenlinkerophopingspunt is van het domein en bijgevolg de linkerlimiet zinledig is, heeftde grafiek geen gaatje in (1, 0).

4. * y = x−1√x3−x2−x+1

. Het domein van de functie is ]− 1,+∞[. lim1x−1√

x3−x2−x+1= 0

0

Hier krijgen we de onbepaaldheid niet weg door herhaaldelijk de regel van del’Hospital toe te passen. We proberen de factor x − 1 die de onbepaaldheid ver-oorzaakt weg te delen. We ontbinden de noemer in factoren.

lim1

x− 1√x3 − x2 − x+ 1

= lim1

x− 1√(x− 1)2(x+ 1)

= lim1

x− 1

| x− 1 |√x+ 1

Nu moeten we onderscheid maken tussen de linker- en de rechterlimiet in x.

lim1+

x− 1

| x− 1 |√x+ 1

= lim1+

1√x+ 1

=1√2


en

lim1−

x− 1

| x− 1 |√x+ 1

= lim1−

−1√x+ 1

= − 1√2

De limiet in 1 van de functie bestaat niet vermits de linkerlimiet in 1 verschillendis van de rechterlimiet in 1 (zie hoofdstuk 4 op p. 138). De grafiek van de functievertoont een verticale sprong in 1.

5. * y =√x2−1−

√x−1√

x3−1−√x−1

. Het domein van de functie is ]1,+∞[. lim1+

√x2−1−

√x−1√

x3−1−√x−1

= 00

Deze limiet is weer een voorbeeld waar de regel van de l’Hospital faalt. We moetende factor die de onbepaaldheid veroorzaakt wegdelen.

lim1+

√x2 − 1−

√x− 1√

x3 − 1−√x− 1

= lim1+

√(x− 1)(x+ 1)−

√x− 1√

(x− 1)(x2 + x+ 1)−√x− 1

= lim1+

√(x− 1)

√(x+ 1)−

√x− 1√

(x− 1)√

(x2 + x+ 1)−√x− 1

= lim1+

√x+ 1− 1√

x2 + x+ 1− 1

=

√2− 1√3− 1

Vermits de linkerlimiet van de functie zinledig is, heeft de grafiek geen gaatje in(1,√

2−1√3−1

).

OPGAVEN — 103 Ga de volgende limieten na door berekening zonder computer, controleer achterafgrafisch:

1. lim13√x+7−2x−1 = 1

12 3. lim−1x+1√x+10−3

= 6

2. lim1

√x+3−2x−1 = 1

4 4. lim0

√2+x−

√2−x

x =√

22

TAAK ♣ 104 Ga de volgende limieten na:

1. lim2

√x−√

24√x− 4√2

= 2 4√

2 3. limax 3√x−a 3√a

x−a = 43

3√a

2. lim2

√x+2−

√2x√

x−2= 0


7.1.6.3 Limiet in oneindig

Voor de limieten in oneindig onderscheiden we de gevallen waarin we steunen op de reken-regel van limiet van een samenstelling (zie stelling 4.18 op p. 144) en de limieten waarbijwe de onbepaaldheid +∞−∞ verkrijgen.De limiet in +∞ of −∞ is enkel zinvol als deze elementen plakpunten zijn van het domein.Bij een functie waar in het voorschrift een evenmachtswortels optreedt, moeten we vande functies onder het wortelteken enkel het teken kennen in +∞ en −∞. Is dit tekenpositief dan is de limiet zinvol, is het negatief dan is de limiet zinledig.

1. Het voorschrift is een wortel uit een rationale functie of kan ertoeherleid worden

• lim+∞√−6x3 + 5x− 3 =

√lim+∞(−6x3 + 5x− 3) =

√lim+∞(−6x3 =

√−∞ dit is zinledig

lim−∞√−6x3 + 5x− 3 =

√lim−∞(−6x3 + 5x− 3) =

√lim−∞(−6x3) =

√+∞ =

+∞.

• lim+∞

√2x3

x2+1=√

lim+∞2x3

x2+1=√

lim+∞2x3

x2 =√

lim+∞(2x) =√

+∞ = +∞.

lim−∞

√2x3

x2+1=√

lim−∞2x3

x2+1=√

lim−∞2x3

x2 =√

lim−∞(2x) =√−∞ dit is zinledig.

• lim∞x

3√1−8x3= lim∞

3

√x3

1−8x3 = 3

√lim∞

x3

1−8x3 = 3

√−18

= −12.

De grafiek van de functie heeft een horizontale asympytoot y = −12.

• (i) lim+∞√x2−1x

= lim+∞

√x2−1x2 =

√lim+∞

x2−1x2 =

√lim+∞

x2

x2 =√

lim+∞ 1 =

1

(ii) lim−∞√x2−1x

= lim−∞

(−√

x2−1x2

)= −

√lim−∞

x2−1x2 = −1

De grafiek van de functie heeft twee horizontale asymptoten nl. y = 1 aan derechterkant en y = −1 aan de linkerkant.

• (i)

lim+∞

√2x2 + 1 +

√x2 − x

x− 1= lim

+∞

(√2x2 + 1

x− 1+

√x2 − xx− 1

)x>1= lim

+∞

√2x2 + 1

(x− 1)2+ lim

+∞

√x2 − x

(x− 1)2

=√

2 + 1


(ii)

lim−∞

√2x2 + 1 +

√x2 − x

x− 1= lim

−∞

(√2x2 + 1

x− 1+

√x2 − xx− 1

)x<1= lim

−∞

(−

√2x2 + 1

(x− 1)2

)+ lim−∞

(−

√x2 − x

(x− 1)2

)= −

√2− 1

De grafiek van de functie heeft twee horizontale asymptoten nl. y =√

2 + 1aan de rechterkant en y = −

√2− 1 aan de linkerkant.

OPGAVEN — 105 Ga met een berekening de volgende limieten na en geef de meetkundigebetekenis voor de grafiek van de functie:

1. lim−∞√

3− x = +∞ ; (de limiet in +∞ is zinledig)2. lim+∞

√5x− 67 = +∞ (de limiet in −∞ is zinledig)

3. lim±∞√x2 − 5x+ 6 = +∞

4. lim±∞√−6x2 + 7x+ 5 is zinledig

5. lim−∞(√x2 − 1− x) = +∞

6. lim+∞3√x3 − 3x+ 2 = +∞ en lim−∞

3√x3 − 3x+ 2 = −∞

106 Ga de volgende limieten na en geef de meetkundige betekenis voor de grafiek van de functie:

1. lim+∞

√(x−1)2

x+3 = +∞ (de limiet in −∞ is zinledig)

2. lim±∞ | x3

x2+1 | = +∞

3. lim−3

√(x−1)2

x+3 = +∞

4. lim−∞√

2xx2+1 is zinledig

∗5. lim−∞3√−x√1−x = 0

TAAK ♣ 107 Ga met een berekening de volgende limieten na en geef de meetkundige betekenisvoor de grafiek van de functie:

1. lim+∞√

4x2−2x+1x+3 = 2 4. lim−∞

√4x2−2x+1x+3 = −2

2. lim+∞√x2+1x = 1 5. lim−∞ x

3√1−8x3 = − 12

3. lim−∞√x2+3

2x2−1 = 0 6. lim+∞√xx = 0


2. De onbepaaldheid +∞−∞

Bij de onbepaaldheid +∞−∞ voor irrationale functies vermenigvuldigen over hetalgemeen teller en noemer met de toegevoegde term om zodoende de onbepaldheidweg te werken. Voorbeelden:

(a)

lim+∞

(x−√x2 − 1) = +∞−∞

= lim+∞

x2 − (x2 − 1)

x+√x2 − 1

= lim+∞

1

x+√x2 − 1

=1

+∞= 0

De grafiek van de functie heeft de x-as als horizontale asymptoot aan de kantvan +∞.

lim−∞

(x−√x2 − 1) = −∞−∞ = −∞

De grafiek heeft geen horizontale asymptoot aan de kant van −∞.

(b) * lim+∞(√

9x2 − 5x+ 7− 5x) berekenen we als volgt. We vervangen het voor-schrift van de functie door een product. Daartoe zetten we in beide termen dehoogstegraadsterm voorop.

lim+∞

(√

9x2 − 5x+ 7− 5x)x>0= lim

+∞(3x

√1− 5

9x+

7

9x2− 5x)

= lim+∞

x

(3

√1− 5

9x+

7

9x2− 5

)= +∞(3− 5) = −∞

lim−∞

(√

9x2 − 5x+ 7− 5x) = +∞+∞ = +∞.

De grafiek van de functie heeft geen horizontale asymptoten.


(c) *

lim+∞

(x+ 2−√x2 + x− 5) = +∞−∞

= lim+∞

(x2 − (x2 + x− 5)

x+√x2 + x− 5

+ 2

)= lim

+∞(

−x+ 5

x+√x2 + x− 5

+ 2)

= lim+∞

(1

x5−x +

√x2+x−55−x

+ 2

)

x>5= lim

+∞

1

x5−x −

√x2+x−5(5−x)2

+ 2

=

1

−1− 1+ 2 = −1

2+ 2 =

3

2

(d) *

lim±∞

(3√x3 + x2 − x) = +∞−∞

= lim±∞

(x3 + x2)− x3

3√

(x3 + x2)2 + x 3√x3 + x2 + x2

= lim±∞

x2

3√

(x3 + x2)2 + x 3√x3 + x2 + x2

= lim±∞

1

3

√(x3+x2)2

x6 + 3

√x3+x2

x3 + 1=

1

1 + 1 + 1=

1

3

Belangrijke opmerking: Bij het jongleren met functies om de limiet te bere-kenen in +∞ of −∞, moet je steeds nauwgezet de rekenregels toepassen. VervangNOOIT zomaar een veelterm door zijn hoogste graadsterm in een algebraısche func-tie.Bijvoorbeeld: lim+∞(

√x2 − x − x) 6= lim+∞(

√x2 − x) = 0. DIT IS FOUT. Deze

limiet moet zoals we geleerd hebben als volgt berekend worden:

lim+∞

(√x2 − x− x) = +∞−∞

= lim+∞

−x√x2 − x+ x

x>0= lim

+∞

−1√1− 1

x+ 1

= −1

2.


OPGAVEN — 108 Ga door een berekening de volgende limieten na en controleer grafisch:1*. lim−∞( 3

√1 + 2x− x2 + 3

√1− x) = −∞

2*. lim+∞(3x−√x2 − x+ 1) = +∞

109 Ga door een berekening de volgende limieten na en geef de vergelijkingen van de eventuelehorizontale asymptoten:

1. lim−∞(x−√

1− x2) bestaat niet

2*. lim+∞(√

18x2 + 5x− 1− x2) = −∞

3*. lim+∞(√x4 − 4x3 + 6x2 − 1− x2) = −∞

4∗. lim+∞(√x2 + 1− 3

√x3 − 1) = 0

5∗. lim+∞(2√x2 + 2x− 3

√x3 + 3x2 − 4

√x4 + 4x3) = 0

6∗. lim−∞(2√x2 + 2x− 3

√x3 + 3x2 − 4

√x4 + 4x3) = +∞

110 *Bereken en bespreeklim+∞

(√x2 + x+ 1− ax), a ∈ R.

Oplossing: a > 0 ∨ a 6= 1⇒∞, a = 1⇒ 12 , a ≤ 0⇒ +∞.

TAAK ♣ 111 Ga door een berekening de volgende limieten na en geef de vergelijkingen van deeventuele horizontale asymptoten:

1*. lim−∞(√x2 + 3x+ 2−

√x2 − 3x+ 2) = −3

2*. lim+∞(√x2 + 7x− 8− 2x) = −∞

7.1.7 Verloop van een irrationale functie

7.1.7.1 Extremumvraagstukken

Voorbeelden:

• Gegeven is een cirkel met straal R en een punt A gelegen op de cirkel. We be-schouwen koorden BC parallel met de raaklijn in A. Construeer de koorde die deoppervlakte van de driehoek ABC maximaal maakt.

Oplossing: We kiezen als onafhankelijk veranderlijke x de afstand van A tot de

koorde BC. De waarde van x varieert tussen 0 en 2R .

Als 0 < x < R geldt(|BC|

2

)2

= R2 − (R− x)2.


Als R < x < 2R geldt(|BC|

2

)2

= R2 − (x−R)2.

De koorde |BC| is afhankelijk van x volgens de betrekking:

|BC|2

=√R2 − (x2 − 2Rx+R2) =

√2Rx− x2

De functie is de oppervlakte S van driehoek ABC.

S =1

2|BC|x = x

√2Rx− x2

S ′ =3Rx− 2x2

√2Rx− x2

De tabel met S en S ′:x 0 3

2R 2R

S ′ + 0 −S 0 ↗ 32 ↘ 0

De driehoek waarvoor de afstand van A tot de koorde gelijk is aan 1,5 keer de straalR, de maximale oppervlakte is gelijk aan = 3

√3

4R2. De driehoek is gelijkzijdig.

Figuur 7.7: y = x√

2x− x2 en haar afgeleide functie


• Hoe verloopt de inhoud van een omwentelingskegel, waarvan de manteloppervlaktegelijk is aan de constante 9π(≈ 28, 3)?

Oplossing: We kiezen de straal van de kegel als onafhankelijk veranderlijke x .De hoogte van de kegel is afhankelijk van x en het apothema a van de kegel.

h2 = a2 − x2 (7.1)

We moeten ook uitdrukken dat de manteloppervlakte van de kegel gelijk is aan 9π.

9π = πxa

waaruit volgt dat

a =9

x(7.2)

Uit 7.1 en 7.2 volgt dat

h2 =81

x2− x2 =

81− x4

x2

We zien hier dat de waarde van x slechts kan varieren tussen 0 en 3.De functie is de inhoud I van de kegel.

I =1

3πx2h =

1

3πx2

√81− x4

x2=

1

3πx√

81− x4

I ′ =1

3π(√

81− x4 + x−4x3

2√

81− x4=

1

3π

81− 3x4

√81− x4

De tabel met I en I ′:

x 0 4√

27 ≈ 2.3 3I ′ + 0 −I 0 ↗ π

√6 4√

27 ≈ 17, 5 ↘ 0

De inhoud is maximaal voor de straal van de kegel gelijk aan 2,3.

• Een man in een roeiboot bevindt zich op vier kilometer van het meest nabije puntA van de kust. Hij wil een punt B bereiken dat zes kilometer van A verwijdertis langs de kust, in de zo kort mogelijke tijd. Waar moet hij aanleggen als hij zeskilometer per uur kan roeien en tien kilometer per uur kan wandelen.

Oplossing: Als onafhankelijk veranderlijke x kiezen we de afstand van plaats c

waar de man aan wal komt en het punt A. De waarde van x varieert tussen 0 en 6 .

De functie is de tijd t = t1 + t2, waarin t1 de tijd is om de afstand |ac| =√

16 + x2


Figuur 7.8: y = 13πx√

81− x4 en haar afgeleide functie

af te leggen en t2 de tijd om de afstand |cb| = 6−x af te leggen. Omdat de bewegingeenparig is geldt dat v = s

t=⇒ t = s

vmet v de snelheid en s de afgelegde weg.

t =

√16 + x2

6+

6− x10

t′ =5x− 3

√16 + x2

30√

16 + x2

De tabel met t en t′:x 0 3 6t′ − 0 +

t 1915↘ 17

15↗ 0

√133

De man moet aan wal komen op een afstand van 3 m van A. De tijd is dan minimaalen gelijk aan 1,13 u of 1 u 8 min. Indien de man recht naar A roeit dan duurt het1 u 16 min en als hij rechtstreeks naar B roeit dan duurt het 1u 12 min.

• Het vraagstuk van de lichtbreking.De punten A en B liggen in twee verschillende doorzichtige middenstoffen, waarvande scheiding een vlak Π is. Het licht plant zich in iedere middenstof volgens eenzekere lijn voort, en wel met een snelheid u in de eerste en v in de tweede; bij hetgrensvlak ondergaat het echter een breking. Volgens welke wet moet deze brekinggeschieden, als men, met Pierre Fermat (1601-1665), aanneemt dat het licht zich ineen minimale tijd van A naar B voortplant?

Oplossing: De baan door het licht beschreven zal zeker in het vlak α liggen,loodrecht op Π door AB; want lag ze daarbuiten, dan zou haar projectie op α in


Figuur 7.9: y =√

16+x2

6+ 6−x

10en haar afgeleide functie

minder tijd doorlopen worden. We nemen daarom α als vlak van de tekening aan.Men begrijpt ook dat, als AoB de baan is waarvoor de tijd minimaal is, O tussende projecties A′ en B′ van A en B op Π moet liggen. We stellen: |AA′| = m,|bB′| = n, |A′B′| = d en |A′o| = x de onbekende van het vraagstuk. Verder geldt:|OB′| = d− x, |AO| =

√x2 +m2 en |OB| =

√(d− x)2 + n2.

De tijd t die het licht nodig heeft om de baan AoB af te leggen is:

t =

√x2 +m2

u+

√(d− x)2 + n2

v.

Het minimum van deze continue functie ligt in het interval [0, d]:

t′ =x

u√x2 +m2

− d− xv√

(d− x)2 + n2.

Voor x = 0 is t′ = − dv√d2+n2 positief.

Voor x = d is t′ = du√d2+m2 negatief.

Daar t′ een continue functie van x is, zal ze nul worden voor een waarde x0 van x,gelegen tussen 0 en d (stelling van Bolzano). Voor x = x0 gaat t′ over van negatiefnaar positief, zodat t een minimum bereikt in x0.Er geldt:

x0

u√x2 +m2

− d− x0

v√

(d− x)2 + n2= 0


mx0

u√x2 +m2

=d− x0

v√

(d− x)2 + n2.

Opdat het licht in de korst mogelijke tijd de afstand van A naar B zou afleggenmoet de lichtstraal invallen op het vlak Π op een afstand x0 van A′. Noemenwe i de invalshoek en r de brekingshoek van de lichtstraal, dan kunnen we doortoepassen van de sinusregel in de rechthoekige driehoeken AAA′o en ObB′ de vorigeuitdrukking in de volgende gedaante brengen:

sin i

u=

sin r

v⇐⇒ sin i

sin r=u

v.

Dit is de wet van Snellius, 1581-1626.De sinussen van invals- en brekingshoek staan in constante verhouding, de zoge-naamde brekingsindex. De brekingsindex is ook de verhouding van de lichtsnelhedenin beide middenstoffen.

Opmerking: Dat t′ in het interval [o, d] slechts een nulpunt heeft, wordt duidelijk,als we t′ in de vorm

sin i

u− sin r

v

brengen. Als x varieert van 0 tot d, stijgt i, terwijl r daalt, zodat t′ steeds toeneemten dus maar een nulpunt kan hebben.

OPGAVEN — 112 In een cirkel trekkken we een koorde loodrecht op een middellijn. We verbinden deeindpunten van de koorde met de eindpunten van de middellijn. Onderzoek het verloop van het verschilvan de oppervlakten van de verkregen gelijkbenige driehoeken.

TAAK ♣ 113 Hoe verloopt de omtrek van een rechthoek beschreven in een gegeven cirkel?

Oplossingen:

112 max. opp. vr. de koorde op afstand√

22 R van het middelpunt van de cirkel;

113 max. omtr. vr. ingeschreven vierkant;

7.1.7.2 Tekenen van de grafiek van een irrationale functie

1. De absolute waarden van een rationale functieBij irrationale functies die de absolute waarde zijn van een rationale functie kunnenwe heel wat berekeningen uitsparen. We maken de berekeningen voor het verloopvan de rationale functie en tekenen haar grafiek. We verkrijgen de grafiek van de


irrationale functie door het gedeelte van de grafiek gelegen onder de x-as te spiegelenom de x-as en de gedeelten boven de x-as te behouden.

Voorbeeld: y = |x3 + 3x2 − 4|We onderzoeken de corresponderende rationale functie y = x3 + 3x2 − 4.

(a) Domf = R;

(b) Asymptoten: geen

(c) Afgeleide functie: y′ = 3x2 + 6x;

(d) Tweede afgeleide functie; y′′ = 6(x+ 1);

(e) Tabel van het verloop van de rationale functie y = x3 + 3x2 − 4:

x −2 −1 0 1y′ + 0 − −3 − 0 + 9 +y′′ − − 0 + + +y − 0 − −2 − −4 − 0 +

(f) Tabel van het verloop van de irrationale functie y = |x3 + 3x2 − 4|:x −2 −1 0 1y′ − 0 + 3 + 0 − −9|9 +y′′ + + 0 − − | +y + 0 + 2 + 4 + 0 +↘ ↗ ↗ ↘ ↗⋃ ⋃ ⋂ ⋂ ⋃

Extrema: minima: (−2, 0) en (1, 0); maximum: (0, 4).De functie is niet afleidbaar in 1, de linkerafgeleide is −9 en de rechterafgeleide is 9.Buigpunt: (−1, 2), de buigraaklijn heeft richtingscoefficient 3.

2. Functies waar een absolute waarde in voorkomt

Bij irrationale functies waar in het voorschrift absolute waarden voorkomen kun-nen we de berekeningen vereenvoudigen door het domein van de functie te splitsenin deelintervallen. In elk deelinterval onderzoeken we dan een functie waar geenabsolute waarden meer in voorkomen. We geven een eenvoudig voorbeeld waarbijde functie een lineaire combinaties is van absolute waarden van een eerste- en/oftweedegraadsfuncties.

Voorbeeld: y = 2|x| − 3|x− 1|We onderzoeken het teken van de functies y = x en y = x− 1:

x 0 1x − 0 + +x− 1 − − 0 +


Figuur 7.10: de grafiek van y = |x3 + 3x2 − 4|

∀x ∈]−∞, 0] : y = −x− 2

∀x ∈ [0, 1] : y = 5x− 3

∀x ∈ [1,+∞[: y = −x+ 3

De grafiek van de functie is een aaneenschakeling van een halfrechte, een lijnstuk eneen halfrechte.

Voorbeeld: * y = x3 + |3x2 − 4|We onderzoeken het teken van de functie y = 3x2 − 4:

x −2√

3/3 2√

3/3y′ + 0 − 0 +

∀x ∈]−∞,−2√

3

3[∪]

2√

3

3,+∞[: y = x3 + 3x2 − 4.

∀x ∈]− 2√

3

3,2√

3

3[: y = x3 − 3x2 + 4.

Verloop van de functie y = x3 + 3x2 − 4: y′ = 3x2 + 6x; nulpunten: 0 en -2;y′′ = 6x+ 6; nulpunt: -1


Figuur 7.11: de grafiek van y = 2|x| − 3|x− 1|

Tabel:

x −2 −2√

3/3 −1 0 1 2√

3/3

y′ + 0 − 4(1−√

3) ||| | ||| | ||| | ||| 4(1 +√

3) +y′′ − − | ||| | ||| | ||| | ||| +

y − 0 − −8√

3/9 ||| | ||| | ||| | ||| 8√

3/9 +

Verloop van de functie y = x3−3x2+4: y′ = 3x2−6x; nulpunten: 0 en 2; y′′ = 6x−6;nulpunt: 1Tabel:

x −2√

3/3 −1 0 1 2√

3/3 2

y′ ||| 4(1 +√

3) + 9 + 0 − −3 − 4(1−√

3) ||| | |||y′′ ||| − − − 0 + ||| | |||y ||| −8

√3/9 − 0 + 4 + 2 + 8

√3/9 ||| | |||

Voor het verloop van de gevraagde functie, schuiven we de twee tabellen in elkaar.


Het verloop van de functie y = x3 + |3x2 − 4|:

x −2 −2√

3/3 −1 0 1 2√

3/3y′ + 0 − −2, 9|10, 9 + 9 + 0 − −3 − −2, 9|10, 9 +y′′ − − | − − − 0 + | +

y − 0 − −8√

3/9 − 0 + 4 + 2 + 8√

3/9 +↗ ↘ ↗ ↗ ↘ ↘ ↗⋂ ⋂ ⋂ ⋂ ⋂ ⋃ ⋃

Extrema: minima: (−2√

33,−8

√3

9), (2

√3

3, 8√

33

); maxima: (0, 4), (−2, 0). De functie is

niet afleidbaar in −2√

33

en 2√

33

, in beide punten is de linkerafgeleide 4(1 −√

3) en

rechterafgeleide 4(1 +√

3).Buigpunt: (1, 2). De buigraaklijn heeft richtingscoefficient -3.

Figuur 7.12: de grafiek van y = x3 + |3x2 − 4|


3. Enkele speciale irrationale functies

(a) De niet-ontaarde hyperbool: x2

a2 − y2

b2= 1

In de vergelijking komen x en y alleen in het kwadraat voor. De kromme ligtdus symmetrisch t.o.v. de x-as, de y-as en de oorsprong. De kromme is deunie van de grafieken van twee functies. Deze functies bepalen we door devergelijking van de kromme op te lossen naar y.

y = ± ba

√x2 − a2

We onderzoeken het verloop van

f : y =b

a

√x2 − a2. (7.3)

De volledige kromme bekomen we door de grafiek van 7.13 te spiegelen t.o.v.de x-as.

i. domf =]−∞,−a] ∪ [a,+∞[

ii. De eerste en tweede afgeleide functies zijn

y′ =b

a

x√x2 − a2

y′′ = − ab

(x2 − a2)√x2 − a2

iii. De grafiek van f heeft geen verticale of horizontale asymptoten. Om deschuine asymptoten op te sporen, maken we gebruik van de formules vanhoofdstuk 5 op p. 159.

ω = lim∞y′ = lim

∞

b

a

x√x2 − a2

=∞∞

We moeten onderscheid maken tussen +∞ en −∞ vermits we x onder hetwortelteken moeten brengen.

ω = lim−∞

y′x<0= lim−∞− ba

√x2

x2 − a2= − b

a

q = lim−∞

(b

a

√x2 − a2 +

b

ax) = +∞−∞

= lim−∞

b

a(√x2 − a2 + x)

= lim−∞

b

a

x2 − a2 − x2

√x2 − a2 − x

= lim−∞

b

a

−a2

√x2 − a2 − x

=−ab+∞

= 0


De schuine asymptoot voor −∞ is de rechte met vergelijking y = − bax.

ω = lim+∞

y′x>0= lim

+∞

b

a

√x2

x2 − a2=b

a

q = lim+∞

(b

a

√x2 − a2 − b

ax) = +∞−∞

= lim+∞

b

a(√x2 − a2 − x)

= lim+∞

b

a

x2 − a2 − x2

√x2 − a2 + x

= lim+∞

b

a

−a2

√x2 − a2 + x

=−ab+∞

= 0

De schuine asymptoot voor +∞ is de rechte met vergelijking y = bax.

iv. De tabel met de tekenverlopen van y′, y′′ en y:

x −a 0 ay′ − −∞| ||| | ||| |+∞ +y′′ − | ||| | ||| | −y + 0 ||| | ||| 0 +↘ ||| | ||| ↗⋂

||| | |||⋂

De functie bereikt minima voor x = −a en x = a, er zijn geen buigpunten,de functie is concaaf naar onder. Snijpunten met de x-as zijn (−a, 0) en(a, 0).

De kromme met vergelijking

x2

a2− y2

b2= 1

stelt een hyperbool voor.


Figuur 7.13: hyperbool teken hier zelf de ellips

(b) De reele niet-ontaarde ellips: x2

a2 + y2

b2= 1 In de vergelijking x en y

alleen in het kwadraat voor. De kromme ligt dus symmetrisch t.o.v. de x-as,de y-as en de oorsprong. De kromme is de unie van de grafieken van tweefuncties. Deze functies bepalen we door de vergelijking van de kromme op telossen naar y.

y = ± ba

√a2 − x2

We zullen de grafiek tekenen van de functie f met voorschrift

y =b

a

√a2 − x2

De grafiek van de functie −f

y = − ba

√a2 − x2

is dan het spiegelbeeld van f t.o.v. de x-as. Het domein van f is [−a, a]. Degrafiek van de functie heeft geen asymptoten, hierbij zijn de limieten in −∞en +∞ zinledig. We berekenen eerste en tweede afgeleide functie van f :

y′ = − ba

x√a2 − x2


y′′ =ab

(x2 − a2)√a2 − x2

.

We maken het tekenverloop van y, y′, y′′, de besluiten voor stijgen en dalen ende concaviteit van de grafiek van de functie

x −a 0 ay′ ||| |+∞ + 0 − −∞| |||y′′ ||| | − − | |||y ||| 0 + b + 0 |||

↗ ↘⋂ ⋂De functie bereikt een maximum voor x = 0, er zijn geen buigpunten, de functieis concaaf naar onder. Het snijpunt met de y-as is (0, b) en de snijpunten metde x-as zijn (−a, 0) en (a, 0).De kromme met vergelijking

x2

a2+y2

b2= 1

stelt een ellips voor.Teken en ellips in figuur 7.13 op pagina 275.

(c) De niet-ontaarde paraboolTeken de kromme met vergelijking

y2 = 2px met p ∈ R0

Bepaal zelf het domein en de eventuelen asymptoten van de functie f metvoorschrift

y =√

2px

alsook de tabel voor stijgen, dalen en concaviteit. De kromme met vergelijkingy2 = 2px stelt een parabool voor.


Figuur 7.14: parabool p < 0 parabool p > 0

(d) De kromme y3 = x2(6− x)We schetsen de grafiek van de functie f : y = x2/3(6− x)1/3.

i. domf = R;

ii. De eerste en tweede afgeleide functies zijn:

y′ =4− x

3√x(6− x)2

en y′′ =−8

3√x4(6− x)5

iii. De grafiek van de functie heeft geen verticale of horizontale asymptoten.We onderzoeken of er schuine asymptoten zijn.

ω = lim∞

4− x3√x(6− x)2

=∞∞

= lim∞

3

√(4− x)3

x(6− x)2= −1

q = lim∞

( 3√x2(6− x) + x) = +∞−∞

= lim∞

x2(6− x) + x3

3√x4(6− x)2 − x 3

√x2(6− x) + x2

= lim∞

6x2

3√x4(6− x)2 − x 3

√x2(6− x) + x2

= lim∞

6

3

√x4(6−x)2

x6 − 3

√x2(6−x)

x3 + 1

=6

1− (−1) + 1= 2


De grafiek van de functie heeft een schuine asymptoot, nl. y = −x+ 2.

iv. We bepalen het tekenverloop van y′, y′′ en y.

x 0 4 6y′ − −∞|+∞ + 0 − −∞| −∞ −y′′ − −∞| −∞ − −0, 4 − −∞|+∞ +

y + 0 + 2 3√

4 + 0 −↘ ↗ ↘ ↘⋂ ⋂ ⋂ ⋃

De functie f bereikt een relatief maximum in 4 vermits f ′(4) = 0 is enf ′′(4) = −0, 4 < 0.De tweede afgeleide test kan niet gebruikt worden in 0, omdat f ′′ daar nietbestaat. De functie bereikt echter een relatief minimum in 0 vermits f ′ in0 verandert van teken. Het punt (0, 0) is een keerpunt met keerraaklijn derechte x = 0, dit is de y-as omdat lim0 f

′ =∞..Het punt (6, 0) is een buigpunt. De buigraaklijn is x = 6 dit is een rechteparallel met de y-as omdat lim6 f

′ =∞..

Figuur 7.15: vervolledig de grafiek van y = x2/3(6− x)1/3


(e) De kromme y5 = x5(1− x)2.We bepalen de relatieve extrema van de functie y = x(1−x)2/5 en we schetsende grafiek.

y′ =5− 7x

5(1− x)3/5en y′′ =

14x− 20

25(1− x)8/5

De kritische punten zijn 5/7 en 1. We maken het tekenverloop van y′:

x 0 5/7 1 10/7y′ + 1 + 0 − −∞|+∞ + 1, 66 +y′′ − − − − − −∞|+∞ − 0 +y − 0 + 0, 43 + 0 + 1, 14 +↗ ↗ ↘ ↗ ↗⋂ ⋂ ⋂ ⋂ ⋃

De functie bereikt een relatief maximum in 5/7 en een relatief minimum in 1.Het punt (1, 0) is een keerpunt en de keerraaklijn in (1, 0) is de rechte x = 1,omdat lim1 f

′ =∞. Het punt (107

; 1, 14) is een buigpunt.

Figuur 7.16: vervolledig de grafiek van y = x(1− x)2/5


OPGAVEN — 114 Los de volgende vergelijking op in R: |2x− 3|+ |x− 3| = |4x− 1| (VWO.86-87).

115 Teken de grafieken van de volgende functies:

1. y = |(x−3)(x2−3x+2)|x−1 8. y = |x2 + 2x| − x2 + 3

2. y = |x2 − 3x| 9. y = x2 + 2|x|

3. y = |x2 − 3| 10. y = x|x− 2|

4. y = (x− 3)|x|+ 4 11. y = |bxc|

5. y = b|x|c 12. y = x2 − 3|x|+ 2

6. y = x2 + |3x2 − 4| 13. y = 12 (|x|+ x+ |x− 1|+ x− 1)

116 Los de volgende ongelijkheden grafisch op

1. x+√x2 > 0 4. x

√(x− 2)2 < 1

2.√

(3− x)2 + 1 < 4− 25x 5.

√(x+ 1)2 +

√(x− 1)2 ≤ −(x+ 1)(x− 5)

3. 2√x2 − 3

√(x− 1)2 > 0 6. (x− 3)

√x2 + 4 > 2x

117 Bepaal de relatieve extrema van de volgende functies:1. y = |x2 + 4x− 16| 5. y = |x+ 1| − 2x+ 3− | 1x |2. y = |x3 − x| 6. y = |x2 − 16|+ 4x

3. y = | 1x | 7. y =√x2 − 3x+ 2

4. y = x2/3(x− 2)2 8. y = x2 3√

6x− 7

118 Bepaal het beeld van het interval voor de volgende functies:1. y =

√x3 − 3x2 + 2 in [−4, 0] 2. y = x−

√1− x in [−2, 1]

119 Onderzoek het stijgen, het dalen, relatieve maxima, relatieve minima, concaviteit en buigpuntenvan de volgende functies.

1. y = x√x+ 1 2. y = 3

√x− 5√x 3. y = x1/3(x+ 3)2/3

120 Bepaal het verloop en teken de grafiek van de volgende functies:1. y = | 14x

3 − 32x

2 + 94x+ 4| 4. y = | 14 (−x3 − x− 10)|

2. y = | 2x−4x+3 | 5. y = |x|

(x+3)2

3. y = |x3|x2+1 6. y2 = (x+1)2

x2

121 Bepaal het verloop en de grafiek van de volgende functies:1. y = |x+ 2|(x2 − 1) 4. y = |x+ 2|.|x+ 1|.(x− 1)2. y = (x+ |x|)2 + x2|x|+ |x| 5. y = |x− 2|3 − |2− x|3. 3ay2 = x(x− a)2 6*. y = x2+|x−1|

|x2+x|−1


122 Teken de volgende krommen:1. x2y2 − 4y2 − x2 = 0 4. y2 = x(x− 1)(x+ 1)2

2. y2 = (3− x)(x+ 2)2 5. x4y2 − (x− 2)2(x− 3) = 03. (x− 4)2y2 + x2 − 9 = 0 6. xy2 − 5y2 − (2x+ 1)2(2x− 5) = 0

123 Teken de volgende krommen:

a*. (x− y)2 = |x2 − 1|;

b. x(x2 + y2) = 2ay2 (cissoıde);

c. x4 = a2(x2 − y2) (lemniscaat van Gerono);

d. 4a2y2 = x3(2a− x) (topkromme);

e. y(a+ x2) = abx.

124 Bepaal het verloop en de grafiek van de volgende functies:1. y = x2

√x2−4

5. y =√x+ 9

2*. y = 3√x3 − 3x+ 2 6. y =

√x

x2−4

3. y =√

11+x2 7. y =

√x(x−2)x2−1

4. y =√x(x2 − 4) 8. y =

√x(x−3)x−1

125 Teken de volgende krommen:1*. xy2 + 3y3 = 4 3. x2y2 − x2 − 9y2 + 16 = 02. xy2 − x2 − y2 + 2x = 0 4. x2y2 − x3 − 4y2 + x = 0

126 Hoe verandert de vorm van de grafiek van de functie y =√x2 + ax al naargelang de waarden van

a?


Oplossingen:

116 1. x > 0; 2. ]0, 307 [; 3. 3

5 , 3[;4. ]−∞, 1 +

√2[\{1}; 5. [2−

√7, 1 +

√6]; 6. ] 1−

√17

2 , 1[∪]4,+∞[ 120

1. y = | 14x3− 3

2x2 + 9

4x+ 4|: Domf = R; geen asymptoten; y′ = 34 (x2− 4x+ 3); y′′ = 3

2 (x− 2); Tabelvan de rationale functie y = 1

4x3 − 3

2x2 + 9

4x+ 4:

x −1 0 1 2 3y′ + 6 + 9/4 + 0 − −3/4 − 0 +y′′ − − − − 0 + +y − 0 + 4 + 5 + 9/2 + 4 +

Tabel van de irrationale functie y = | 14x3 − 3

2x2 + 9

4x+ 4|:

x −1 0 1 2 3y′ − −6|6 + 9/4 + 0 − −3/4 − 0 +y′′ + | − − − 0 + +y + 0 + 4 + 5 + 9/2 + 4 +

↘ ↗ ↗ ↘ ↘ ↗⋃ ⋂ ⋂ ⋂ ⋃ ⋃Extrema: minima: (−1, 0) en (3, 4); maximum: (1, 5).De functie is niet afleidbaar in −1, de linkerafgeleide is −6 en de rechterafgeleide is 6.Buigpunt: (2, 9

2 ), de buigraaklijn heeft richtingscoefficient − 34 .

2. y = | 2x−4x+3 |: Domf = R \ {−3}; V.A.: x = −3; H.A.: y = 2; y′ = 10

(x+3)2 ; y′′ = −20(x+3)3 ; Tabel van

de rationale functie y = 2x−4x+3 :

x −3 0 2y′ + +∞|+∞ + 10/9 + 0, 4 +y′′ + | − − −y + +∞| −∞ − −4/3 − 0 +

Tabel van de irrationale functie y = | 2x−4x+3 |:

x −3 0 2y′ + +∞| −∞ − −10/9 − −0, 4|0, 4 +y′′ + | + + −y + +∞|+∞ + 4/3 + 0 +

↗ ↘ ↘ ↗⋃ ⋃ ⋃ ⋂Extrema: minimum (2, 0). De functie is niet afleidbaar in 2, de linkerafgeleide is −0, 4 en derechterafgeleide is 0, 4.Buigpunten: geen.

3. y = |x3|x2+1 : Domf = R; De functie is oneven; S.A.: y = x; y′ = x2(x2+3)

(x2+1)2 ; y′′ = 2x(3−x2)(x2+1)3 Tabel van


de rationale functie y = x3

x2+1 :

x −√

3 0√

3y′ + 9/8 + 0 + 9/8 +y′′ + 0 − 0 + 0 −y − −3

√3/4 − 0 + 3

√3/4 +

Tabel van de irrationale functie y = | x3

x2+1 |:

x −√

3 0√

3y′ − −9/8 − 0 + 9/8 +y′′ − 0 + 0 + 0 −y + 3

√3/4 + 0 + 3

√3/4 +

↘ ↘ ↗ ↗⋂ ⋃ ⋃ ⋂Extremum: minimum: (0, 0). De functie is afleidbaar in 0, de linker- en rechterafgeleide zijn 0.Buigpunten; (−

√3, 3√

34 ) en (

√3, 3√

34 ), de buigraaklijnen hebben resp. richtingscoefficienten − 9

8en 9

8 .

4. y = | 14 (−x3 − x − 10)|: Domf = R; geen asymptoten; y′ = 14 (3x2 + 1); y′′ = 3

2x Tabel van derationale functie y = 1

4 (x3 + x+ 10):

x −2 0 1y′ + 13/4 + 1/4 + 1 +y′′ − − 0 + +y − 0 + 5/2 + 3 +

Tabel van de irrationale functie y = | 14 (−x3 − x2 − 10)|:

x −2 0 1y′ − −13/4|13/4 + 1/4 + 1 +y′′ + | − 0 + +y + 0 + 5/2 + 3 +

↘ ↗ ↗ ↗⋃ ⋂ ⋃ ⋃Extremum: minimum: −2, 0). De functie is niet afleidbaar in −2, de linkerafgeleide is − 13

4 en derechterafgeleide is 13

4 .Buigpunt: (0, 5

2 ), de buigraaklijn heeft richtingscoefficient 14 .

5. y = |x|(x+3)2 : Domf = R \ {−3}, V.A.: x = −3; H.A.: y = 0; y′ = 3−x

(x+3)2 ; y′′ = 2(x−6)(x+3)3 ; Tabel van

de rationale functie y = x(x+3)2 :

x −3 0 3 6y′ − −∞|+∞ + 1/9 + 0 − −1/243 −y′′ − | − − − 0 +y − −∞| −∞ − 0 + 1/12 + 2/27 +


Tabel van de irrationale functie y = |x|(x+3)2 :

x −3 0 3 6y′ + +∞| −∞ − −1/9|1/9 + 0 − −1/243 −y′′ + | + | − − 0 +y + +∞|+∞ + 0 + 1/12 + 2/27 +

↗ ↘ ↗ ↘ ↘⋃ ⋃ ⋂ ⋂ ⋃Extrema: minimum: (0, 0); maximum: (3, 1

12 ). De functie is niet afleidbaar in 0, de linkerafgeleideis − 1

9 en de rechterafgeleide is 19 .

Buigpunt: (6, 227 ), de buigraaklijn heeft richtingscoefficient − 1

243 .

6. y2 = (x+1)2

x2 :

121

1. y = |x+ 2|(x2 − 1):∀x ∈]−∞,−2[: y1 = −(x+ 2)(x2 − 1)

∀x ∈]− 2,+∞[: y2 = (x+ 2)(x2 − 1), y′2 = 3x2 + 4x− 1, y′′2 = 6x+ 4

Tabel:

x −2 −1, 55 −1 −2/3 0 0, 22 1y′ − −3|3 + 0 − −2 − −7/3 − −1 − 0 + 6 +y′′ + | − − − 0 + + + +y + 0 + 0, 63 + 0 − −20/27 − −2 − −2, 11 − 0 +

↘ ↗ ↘ ↘ ↘ ↘ ↗ ↗⋃ ⋂ ⋂ ⋂ ⋃ ⋃ ⋃ ⋃De grafiek van de gegeven functie is dezelfde als de grafiek van de functie y = (x+ 2)(x2−1) maarhet gedeelte van de grafiek voor x-waarden kleiner dan −2 moet gespiegeld worden t.o.v. de x-as.Extrema: minima: (−2, 0) en (0, 22;−2, 11); maximum: (−1, 55; 0, 63). De functie is niet afleidbaarin −2, de linkerafgeleide is −3 en de rechterafgeleide is 3.Buigpunt: (− 2

3 ,−2027 ). De buigraaklijn heeft richtingscoefficient − 7

3 .

2. y = (x+ |x|)2 + x2|x|+ |x|:

∀x ∈ R− : y1 = −x(x2 + 1); y′1 = −3x2 − 1; y′′1 = −6x

∀x ∈ R+ : y2 = 4x2 + x3 + x; y′2 = 3x2 + 8x+ 1, y′′2 = 6x+ 8

Tabel:x 0y′ − −1|1 +y′′ + | +y + 0 +

↘ ↗⋃ ⋃Merk op dat de functie niet even is en dus niet symmetrisch ligt t.o.v. de y-as.Extremum: minimum: (0, 0). De functie is niet afleidbaar in 0, de linkerafgeleide is −1 en derechterafgeleide is 1.Buigpunten: geen.


3. 3ay2 = x(x− a)2:

∀x ∈ R− : y1 =1√3a

(a− x)√x(a > 0)

∀x ∈ R+ : y2 =1√3a

(x− a)√x

y′2 =1

2√

3a.3x− a√

x

y′′2 =1

4√

3a.3x+ a

x√x

Tabel:x 0 a/3 a

y′ ||| |+∞ + 0 − −√

3/3|√

3/3 +y′′ ||| | − − | +y ||| 0 + 2a/9 + 0 +

↗ ↘ ↗⋂ ⋂ ⋃Extrema: maximum: (a3 ,

2a9 ); minimum: (a, 0). De functie is niet afleidbaar in a, de linkerafgeleide

is −√

33 en de rechterafgeleide is

√3

3 .Buigpunten: geen.

4. y = |x+ 2|.|x+ 1|.(x− 1):

∀x ∈]−∞,−2[∪]− 1,+∞[: y1 = (x+ 2)(x2 − 1); y′1 = 3x2 + 4x− 1; y′′2 = 6x+ 4

∀x ∈]− 2,−1[: y2 = −(x+ 2)(x2 − 1)

Tabel:

x −2 −1, 55 −1 −2/3 0 0, 22 1y′ + 3| − 3 − 0 + 2| − 2 − −7/3 − −1 − 0 + 6 +y′′ − | + + − 0 + + + +y − 0 − −0, 63 − 0 − −20/27 − −2 − −2, 11 − 0 +

↗ ↘ ↗ ↘ ↘ ↘ ↗ ↗⋂ ⋃ ⋃ ⋂ ⋃ ⋃ ⋃ ⋃De grafiek van de gegeven functie is dezelfde als de grafiek van de functie y = (x+ 2)(x2−1) maarhet gedeelte van de grafiek voor x-waarden gelegen tussen −2 en −1 moet gespiegeld worden t.o.v.de x-as.Extrema: maxima: (−2, 0) en (0, 22; 0); minima: (−1, 55; 0) en (1, 0). De functie is niet afleidbaarin −2, de linkerafgeleide is 3 en de rechterafgeleide is −3. De functie is ook niet afleidbaar in 1,de linkerafgeleide is −6 en de rechterafgeleide is 6.Buigpunt: (− 2

3 ,2027 ). De buigraaklijn heeft richtingscoefficient 7

3 .

5. y = |x− 2|3 − |2− x|:∀x ∈]−∞, 2[: y1 = (x− 2)(−x2 + 4x− 3)

∀x ∈]2,+∞[: y2 = (x− 2)(x2 − 4x+ 3); y′2 = 3x2 − 12x+ 11; y′′2 = 6(x− 2)


Tabel:

x 0 1 1, 42 2 2, 58 3 4y′ − −11 − −2 − 0 + 1| − 1 − 0 + 2 + 11 +y′′ + + + + 0|0 + + + +y + 6 + 0 − −0, 38 − 0 − −0, 38 − 0 + 6 +

↘ ↘ ↘ ↗ ↘ ↗ ↗ ↗⋃ ⋃ ⋃ ⋃ ⋃ ⋃ ⋃ ⋃De grafiek van de gevraagde functie is de grafiek van de functie y = (x − 2)(x2 − 2x + 3), maarwaarbij we het deel van de grafiek kleiner dan 2 spiegelen t.o.v. de x-as.Extrema: minima: (1, 42;−0, 38) en (2, 58;−0, 38); maximum: (2, 0). De functie is niet afleidbaarin 2, de linkerafgeleide is 1 en de rechterafgeleide −1.Buigpunt: geen

6. y = x2+|x−1||x2+x|−1 :

∀x ∈]−∞,−1[∪]0, 1[: y1 =x2 − x+ 1x2 + x− 1

∀x ∈]− 1, 0[: y2 =x2 − x+ 1−x2 − x− 1

∀x ∈]1,+∞[: y3 = 1

We moeten hier twee functies onderzoeken

a.

∀x ∈]−∞,−1[∪]0, 1[: y1 =x2 − x+ 1x2 + x− 1

V.A.: x =√

5−12 en x = −

√5−12

y′ =2(x2 − 2x)

(x2 + x− 1)2

y′′ =−x3 + 3x2 + 1(x2 + x− 1)3

Tabel:

x −1, 6 −1 0 0, 6 1 2y′ + +∞|+∞ + 6 ||| 0 − −∞| −∞ − −2 ||| | |||y′′ + +∞| −∞ − ||| − −∞|+∞ + ||| | |||y + +∞| −∞ − −3 ||| −1 − −∞|+∞ + 1 ||| | |||

b.

∀x ∈]− 1, 0[: y2 =x2 − x+ 1−x2 − x− 1

y′ =2(1− x2)

(x2 + x+ 1)2

y′′ =4(x3 − 3x2 − 1)(x2 + x+ 1)3

7.2. HERHALINGSOEFENINGEN OP EXTREMUMVRAAGSTUKKEN 287

Tabel:x −1 −0, 35 0 1y′ ||| 0 + 2, 94 + 2 ||| | |||y′′ ||| + 0 − ||| | |||y ||| −3 − −1, 90 − −1 ||| | |||

Voor het verloop van de gevraagde functie, schuiven we de twee tabellen in elkaar.Tabel:

x −1, 6 −1 −0, 35 0 0, 6 1y′ + +∞|+∞ + 6|0 + 2, 94 + 2|0 − −∞| −∞ − −2|0 0y′′ + +∞| −∞ − | + 0 − | − −∞|+∞ + | 0y + +∞| −∞ − −3 − −1, 90 − −1 − −∞|+∞ + 1 1

↗ ↗ ↗ ↗ ↘ ↘⋃ ⋂ ⋃ ⋂ ⋂ ⋃

7.2 Herhalingsoefeningen op extremumvraagstukken

OPGAVEN — 127 Wat is de extremale waarde van de omtrek van een rechthoekige driehoek beschre-ven om een gegeven cirkel?

128 De punten (0, a) en (0, b) bepalen een segment op de y-as (0 < a < b). Bepaal het punt op de x-aswaar de hoek waaronder men het segment ziet, extremaal wordt.

129 Hoe verloopt de manteloppervlakte van een afgeknotte kegel in een sfeer beschreven en die eengrote cirkel tot grondvlak heeft.

130 * Bepaal de tophoek van een gelijkbenige driehoek met een gegeven oppervlakte K2 waarvan destraal van de ingeschreven cirkel extremaal is.

131 * Een kegel wordt beschreven om een gegeven halve bol met straal R. Het middelpunt van de basisvan de kegel valt samen met het middelpunt van de bol. Voor welke hoogte van de kegel is de inhoudmaximaal of minimaal? Dezelfde vraag voor de zijdelingse oppervlakte van de kegel.

132 * Een bol met straal R raakt aan een vlak α. Een omwentelingskegel met grondvlak in α wordtomgeschreven aan de bol. Druk het volume van de kegel uit in functie van de halve tophoek. Voor welkewaarde van de halve tophoek bereikt het volume een extremale waarde. Bewijs dat het volume van dekegel dan het dubbele is van het volume van de bol.

Oplossingen: 127: Driehoek is gelijkbenig, O = 6R+ 4√

2R;128: abs.=

√ab;

129: max. voor straal van bovenvlak gelijk aan 1/3 van de straal van het grondvlak. 130: 60o, H =√

43K;131: H =

√3R;

132: sinα = 1/3;


AN I HUISTAAK 10 1. Bepaal de grafiek en het beeld van het interval voor devolgende functies:1. y =

√1− x2 − x in [−1, 1] 2. y = | x

x2+1| in [−5, 5]

2. Gegeven zijn de functies f : y = x3+9x2−1

en g =√f . Gevraagd:

(a) Onderzoek het verloop van f en teken haar grafiek;

(b) Leid uit 2a het domein af van g;

(c) Geef de afgeleide van g door gebruik te maken van de afgeleide functie vanf die je reeds berekend hebt. Wat kan je hieruit besluiten voor de extremewaarde van g?

(d) Voor welke waarden van a heeft de volgende vergelijking maar een oplossing:√x3 + 9

x2 − 1= a

3. Een rechthoek met basis op de x-as ligt in het gebied begrensd door de kromme metvergelijking y = x

x2+1en de x-as. Twee hoekpunten zijn op de kromme gelegen. Zoek

de extremale inhoud van het lichaam dat ontstaat door wenteling van de rechthoekom zijn basis (x-as).

Inhoudsopgave

1 Reele getallen 3

1.1 Het geordend veld van de reele getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Absolute waarde in R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Eigenschappen van de absolute waarde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.2 Afstand in R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.3 Basisomgeving van een reeel getal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Machten in R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.1 Gehele machten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.2 Rationale machten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.2.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.2.2 Rekenregels met evenmachtsswortels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.2.3 Rekenregels met onevenmachtsswortels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.2.4 Rekenregels met rationale machten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Logaritmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.2 Rekenregels met logaritmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.3 Verband tussen de twee verschillende logaritmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.4 Aantal cijfers van een natuurlijk getal in de decimale en binaire schrijfwijze . . . . 14

1.5 Wiskunde-Cultuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5.1 Over getallen en Oneindigheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5.2 Het onbenoembare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

289

290 INHOUDSOPGAVE

2 Functies 17

2.1 Relaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.2 Triviale relaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.3 Analytisch voorstelling van een relatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.4 Voorstelling van een relatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.5 Voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 Functies - reele functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.1 Definities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.2 Praktische voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.3 Verdere begrippen en zegswijzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.4 Bijzondere functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.5 Restrictie en uitbreiding van een functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.5.1 Lineaire afbeeldingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3 Bewerkingen met functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3.1 Samenstelling van twee relaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3.2 Samenstelling van twee functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3.3 Inverse relatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3.4 Inverse functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3.5 Som van twee functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3.6 Het verschil van twee functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.3.7 De scalaire vermenigvuldiging van functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.3.8 Het product van twee functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.3.9 Quotient van twee functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.4 Transformaties van krommen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.4.1 Verschuivingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.4.1.1 Het beeld van een punt onder een verschuiving . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.4.1.2 Het beeld van een kromme onder een verschuiving . . . . . . . . . . . . . 45

2.4.1.3 Periodieke functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.4.2 Spiegelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.4.2.1 Het beeld van een punt onder een spiegeling . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.4.2.2 Het beeld van een kromme onder een spiegeling . . . . . . . . . . . . . . 51

2.4.2.3 Assen en punten van symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.4.2.4 Even en oneven functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.4.3 Uitrekkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.4.3.1 Het beeld van een punt onder een uitrekking . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.4.3.2 Het beeld van een kromme onder een uitrekking . . . . . . . . . . . . . . 58

INHOUDSOPGAVE 291

3 Rijen: Convergentie en Divergentie 69

3.1 Rekenkundige en meetkundige rijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.1.1 Even herhalen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.2 Notaties en terminologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.3 Enkele bijzondere rijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.3.1 De harmonische rij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.3.2 De rij van Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.3.3 Een rij van faculteiten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.3.4 Alternerende rijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.4 Begrensde en monotone rijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.5 Convergente rijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.5.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.5.2 Definitie van eindige limiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.6 Divergente rijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.6.1 +∞ en −∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.6.2 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.7 Onbesliste rijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3.8 Besluit voor de convergentie en divergentie van rekenkundige en meetkundige rijen . . . . 95

3.9 Speciale bovengrenzen en ondergrenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.9.1 Eigenschappen van begrensde verzamelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3.10 Eigenschappen van convergente/divergente rijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.11 Criteria voor convergente rijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.12 Twee merkwaardige limieten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.13 Ophopingspunten, geısoleerde punten en plakpunten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.13.1 Definities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.13.2 Eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.14 Bewerkingen met rijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

3.15 Rekenregels voor limieten van rijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

3.15.1 Stellingen – de rekenregels voor limieten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

3.15.2 Rekenregels in R ∪ {−∞,+∞} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

3.15.3 Toepassing op meetkundige en rekenkundige rijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

3.16 Meetkundige reeksen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

3.16.1 Inleidend praktisch voorbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

3.16.2 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

3.16.3 De algemene term van een meetkundige reeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

3.16.4 Convergentie van meetkundige reeksen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123


292 INHOUDSOPGAVE

4 Limieten en continuıteit van reele functies 127

4.1 Woorden wekken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.2 Definitie van limiet en continuıteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4.3 Eigenschappen van limieten en continue functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

4.4 De rekenregels alweer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143


5 Afgeleiden 147

5.1 Snelheden en raaklijnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

5.2 Differentiaalquotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5.2.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5.2.2 Betekenis van het differentiequotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5.2.3 Meetkundige betekenis van differentiequotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5.3 Afgeleide in een punt van een functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

5.3.1 Definities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

5.3.2 De meetkundige betekenis van afgeleide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

5.4 Afleidbaarheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

5.5 De afgeleide functie van een functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

5.5.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

5.6 Raaklijnen aan de grafiek van een functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

5.7 Asymptoten voor de grafiek van een functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

5.7.1 Verticale asymptoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

5.7.2 Schuine - en horizontale asymptoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

5.8 Methode van Newton voor het benaderen van nulpunten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

5.9 Maximale en minimale functiewaarden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

5.9.1 Absoluut maximum en absoluut minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

5.9.2 Relatief maximum en relatief minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

5.9.2.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

5.9.2.2 Stellingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

5.9.2.3 Soorten relatieve extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

5.10 Stellingen van de differentiaalrekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

5.10.1 De stelling van Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

5.10.2 Stelling van Lagrange of de middelwaardestelling van de differentiaalrekening . . . 168

5.11 De regel van de l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

INHOUDSOPGAVE 293

5.12 Stijgen en dalen van een functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

5.12.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

5.12.2 Test voor stijgen en dalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

5.12.3 De eerste afgeleide test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

5.13 Concaviteit en buigpunten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

5.13.1 Concaaf naar boven en concaaf naar beneden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

5.13.1.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

5.13.1.2 Test voor concaviteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

5.13.2 Buigpunten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

5.13.2.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

5.13.2.2 De tweede afgeleide test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

5.13.2.3 Soorten buigpunten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

5.14 Wederom rekenregels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

5.14.1 De afgeleide functie van een lineaire combinatie van twee functies . . . . . . . . . . 178

5.14.2 De afgeleide functie van het product van twee functies . . . . . . . . . . . . . . . . 179

5.14.3 De afgeleide functie van het quotient van twee functies . . . . . . . . . . . . . . . . 181

5.14.4 De afgeleide functie van de samenstelling van twee functies—De kettingregel . . . 182

5.14.5 Afgeleide functie van de inverse functie van een functie . . . . . . . . . . . . . . . . 184


6 Algebraısche functies 187

6.1 Veeltermfuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

6.1.1 Standaardveeltermfuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

6.1.2 Voorschrift van een veeltermfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

6.1.2.1 Een veeltermfunctie als lineaire combinatie van standaardveeltermfuncties 188

6.1.2.2 Een veeltermfunctie als product van eerste- en tweedegraadsfuncties . . . 189

6.1.2.3 Een veeltermfunctie als samenstelling van veeltermfuncties . . . . . . . . 191

6.1.3 Het domein van een veeltermfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

6.1.4 Limieten en continuıteit van een veeltermfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

6.1.4.1 Limiet in een reele waarde en continuıteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

6.1.4.2 Limiet in ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

6.1.5 Tekenverloop van een veeltermfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

6.1.6 Afgeleide functie van een veeltermfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

6.1.6.1 De afgeleide functie van een constante functie . . . . . . . . . . . . . . . 197

294 INHOUDSOPGAVE

6.1.6.2 De afgeleide functie van de identieke functie . . . . . . . . . . . . . . . . 198

6.1.6.3 Afgeleide van een natuurlijke macht van x . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

6.1.6.4 De afgeleide functie van een veeltermfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . 198

6.1.7 Verloop van een veeltermfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

6.1.7.1 Stijgen, dalen en relatieve extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

6.1.7.2 Concaviteit en buigpunten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

6.2 Rationale functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

6.2.1 Standaardrationale functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

6.2.2 Voorschrift van een rationale functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

6.2.2.1 Een rationale functie als quotient van twee veeltermfuncties . . . . . . . . 218

6.2.2.2 Een rationale functie als samenstelling van rationale functies . . . . . . . 219

6.2.3 Het domein van een rationale functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

6.2.4 Tekenverloop van een rationale functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

6.2.5 Transformaties van de grafiek van een rationale functie . . . . . . . . . . . . . . . . 221

6.2.5.1 Transformatie van een rationale functie in een standaardrationale functie 221

6.2.5.2 De inverse relatie van een rationale functie . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

6.2.6 Limieten en continuıteit van een rationale functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

6.2.6.1 Limiet en continuıteit in een punt van het domein . . . . . . . . . . . . . 225

6.2.6.2 Limiet in en reeel plakpunt van het domein . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

6.2.6.3 Limiet in oneindig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

6.2.7 Afgeleide functie van een rationale functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

6.2.7.1 Afgeleide van een gehele macht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

6.2.8 Verloop van een rationale functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

6.2.8.1 Extremumvraagstukken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

6.2.8.2 Tekenen van de grafiek van een rationale functie . . . . . . . . . . . . . . 237

6.2.8.3 Rationale functies die aan bepaalde voorwaarden voldoen . . . . . . . . . 239

7 Algebraısche functies 243

7.1 Irrationale functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

7.1.1 Standaardirrationale functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

7.1.2 Samenstelling met standaardirrationale functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

7.1.3 Even en oneven functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

7.1.4 Inverse functie van een irrationale functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

7.1.5 De afgeleide functie van een irrationale functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

INHOUDSOPGAVE 295

7.1.5.1 Afgeleide functie van y = n√x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

7.1.5.2 De afgeleide van een rationale macht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

7.1.6 Limieten en continuıteit van irrationale functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

7.1.6.1 Limiet en continuıteit in een punt van het domein . . . . . . . . . . . . . 256

7.1.6.2 Limiet in een reeel plakpunt van het domein . . . . . . . . . . . . . . . . 256

7.1.6.3 Limiet in oneindig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

7.1.7 Verloop van een irrationale functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

7.1.7.1 Extremumvraagstukken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

7.1.7.2 Tekenen van de grafiek van een irrationale functie . . . . . . . . . . . . . 268

7.2 Herhalingsoefeningen op extremumvraagstukken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

Analyse deel I - wiswijs · PDF filexals positief, niettegenstaande hier xook negatieve...

Documents

Transcript of Analyse deel I - wiswijs · PDF filexals positief, niettegenstaande hier xook negatieve...