Wiskunde en Architectuur - wiswijs · 3 correspondeert een eigenruimte van dimensie 1...

Wiskunde en Architectuur

Liliane Van Maldeghem Annie Van Maldeghem

Cursus voor de vrije ruimte

Hoofdstuk 1

Mathematische vormen in dearchitectuur

1.1 Inleiding

In de zoektocht naar voorbeelden van mathematische vormen in de architec-tuur vinden we talrijke voorbeelden bij draagconstructiesystemen van grotekolomvrije overspanningen zoals bogen, schalen, dubbelgekromde hangdakenen tenten. Grote overspanningen worden vooral toegepast in shoppingcentra,tentoonstellingshallen, luchthavens, stations, sportstadia, enz.Daarnaast treffen we ook voorbeelden aan bij schouwen, torens, zuilen, trap-pen, massieve betonconstructie, enz.Het is nuttig eerst enige toelichting te geven bij het begrip ”structuur”van eenbouwwerk en de termen ”schaal- en hangdaken”te verduidelijken.

Structuur van een bouwwerkBogen, (dragende) wanden, zuilen, torens, massieve betonconstructies en ko-lomvrije overspanningen hebben alle tot functie de belastingen die aangrijpenop een bouwwerk te dragen en over te dragen. In de architectuur plakken wehet label “structuur” op alles wat te maken heeft met het dragen en overdra-gen van belastingen, met de krachtwerking en stabiliteit van een bouwwerk.Onder structuur van een bouwwerk verstaan we de wijze van ordenen vanconstructie-elementen die de stabiliteit bepalen.

Architectuur zonder structuur is onmogelijk: het is zinloos prachtige vormente ontwerpen zonder rekening te houden met stabiliteitsvoorwaarden. In deontwerpfase van een bouwwerk zijn vorm en structuur sterk met elkaar ver-bonden. De vorm volgt uit de krachtwerking. Voor de vorm spelen echter

3

4 HOOFDSTUK 1. MATHEMATISCHE VORMEN IN DE ARCHITECTUUR

nog andere aspecten dan de structurele een rol. In de architectuur dient menook rekening te houden met factoren bepaald door constructieve, functionele,economische, esthetische eisen, enz. Anders wordt het ”structuur zonder ar-chitectuur” en dat kan nooit de bedoeling zijn.

SchalenNaast schaaldaken bestaan er ook schaalwanden. We kunnen dus kortwegspreken van schalen. Schalen zijn enkel- of dubbelgekromde plaatconstructieswaarvan de dikte klein is t.o.v. de andere afmetingen. Ze kunnen vervaar-digd zijn uit beton, hout, staal, aluminium, baksteen enz. Schalen hebbenals specifiek kenmerk dat ze stabiel zijn omwille van hun vorm. Welnu, devorm van schalen heeft alles te maken met wiskundige oppervlakken zoals: ci-linders, conoıden, hyperboloıden, hyperbolische paraboloıden (hyparschalen),bollen (koepelschalen) en ook de minder bekende Gauss-oppervlakken (Gauss-gewelven).

Onderzoeksopdracht ~ 1 Bij de genoemde vormen zitten kwadrieken enregeloppervlakken. Welke zijn kwadrieken, welke regeloppervlakken?

HangdakenHangdaken zijn meestal dubbelgekromde constructies en bestaan uit een ka-belnetwerk van draagkabels en spankabels met daarop een dakhuid. Er zijnvoorbeelden te vinden van zware hangdaken uit de jaren 1960 waarbij de dak-huid de vorm aanneemt van een hyperbolische paraboloıde. Maar dergelijkeconstructies worden thans minder toegepast. Bij dubbelgekromde hangdakenmet zeer lichte dakhuid (textielconstructies) zijn de berekeningen voor de vormvan het membraan gebaseerd op de theorie van minimaaloppervlakken.

De mathematische vormen die we bij schalen en hangdaken kunnen ontdekkenspelen niet alleen een rol bij de structuur van gebouw . Ze dragen bovendienook bij tot de esthetische kwaliteiten ervan.

Omwille van al het bovenstaande is het duidelijk waarom kwadrieken, rege-loppervlakken, minimaaloppervlakken , alsook de minder bekende maar fasci-nerende Gauss-gewelven, in dit hoofdstuk aan bod komen

In verband met de relatie tussen architectuur en geometrie citeren we de he-dendaagse architect Santiago Calatrava (1951): ”I believe geometry is funda-mental to understanding architecture. I approach my work through geometry.In understanding the world of architecture, the language of geometry is as im-portant as the language of structure. Both are significant sources of inspirationfor me, along with the properties of materials and the world of nature”.

1.2. DE KWADRIEKEN 5

1.2 De kwadrieken

1.2.1 Definitie

Een kwadriek of kwadratisch oppervlak in de 3-dimensionale ruimte is een oppervlak datvoorgesteld wordt door een kwadratische vergelijking in x, y en z.

F (x, y, z) ≡ a11x2+a22y

2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+2a14x+2a24y+2a34z+a44 = 0

(x y z 1

).

a11 a12 a13 a14a12 a22 a23 a24a13 a23 a33 a34a14 a24 a34 a44

.

xyz1

= 0

In verkorte matrixgedaante:

X t ·B ·X = 0

In matrixgedaante (2):

F (x, y, z) ≡(x y z

).

a11 a12 a13a12 a22 a23a13 a23 a33

.

xyz

+2(a14 a24 a34

) xyz

+a44 = 0

We stellen deze matrix van de orde 3 voor door A.

STELLING 1.1 Elke doorsnede van een kwadriek met een vlak is een kegelsnede.

Bijzondere kwadrieken

• Niet-singuliere kwadriekenEen kwadriek is niet-singulier als rangB = 4.

• Singuliere kwadriekenEen kwadriek is singulier in geval rangB ≤ 3.

• Ontaarde kwadriekenWe aanvaarden zonder bewijs dat als rangB ≤ 2 de kwadriek ontaard in de unievan twee vlakken. Het eerste lid van haar vergelijking kan ontbonden worden in hetproduct van twee veeltermen van de eerste graad in x, y en z.


• OmwentelingskwadriekenEen omwentelingsoppervlak is een oppervlak dat ontstaat door een kromme te latenwentelen over een hoek van 360o rond een rechte (de as van wenteling).

STELLING 1.2 Een kwadriek is een omwentelingskwadriek als haar matrix A twee ofdrie gelijke eigenwaarden ( 6= 0) heeft.

1.2.2 Middelpunt van een kwadriek

Bij een kegelsnede is de coordinaat van een middelpunt oplossing van het stelsel{∂ϕ∂x

= 0∂ϕ∂y

= 0.(1.1)

Bij een kwadriek is de coordinaat van een middelpunt oplossing van het stelsel∂F∂x

= 0∂F∂y

= 0∂F∂z

= 0

⇐⇒

a11x+ a12y + a13z + a14 = 0a12x+ a22y + a23z + a24 = 0a13x+ a23y + a33z + a34 = 0

(1.2)

1.2.3 Hoofdrichtingen van een kwadriek

Zoals voor de kegelsneden worden de hoofdrichtingen opgeleverd door de eigenvectorenvan de matrix A. Omdat A een symmetrische matrix is, zijn de eigenwaarden steeds reeelen de eigenvectoren die behoren bij verschillende eigenwaarden zijn orthogonaal.We onderscheiden drie gevallen:

1. A heeft drie twee aan twee verschillende eigenwaarden λ1, λ2 en λ3. Met elkeeigenwaarde correspondeert een eigenruimte van dimensie 1 (vectorrechte).

2. A heeft een eigenwaarde met multipliciteit 2 nl. λ1 = λ2 en een enkelvoudige eigen-waarde λ3. Met λ1 = λ2 correspondeert een eigenruimte van dimensie 2 (vectorvlak)en met λ3 correspondeert een eigenruimte van dimensie 1 (vectorrechte).Indien λ1 6= 0 dan is de kwadriek een omwentelingskwadriek.

3. A heeft slechts een eigenwaarde met multipliciteit 3 nl. λ1 = λ2 = λ3 6= 0.In dit geval is de kwadriek een boloppervlak, een imaginaire bol of een isotrope kegel(straal gelijk aan nul - ontaarde kwadriek). De kwadriek is een omwentelingskwa-driek.


1.2.4 Dubbelpunt van een kwadriek

Bij een kegelsnede is de coordinaat van een dubbelpunt van de kegelsnede oplossingvan het stelsel:

∂ϕ∂x

= 0∂ϕ∂y

= 0∂ϕ∂z

= 0

⇐⇒

a11x+ a12y + a13z = 0a12x+ a22y + a23z = 0a13x+ a23y + a33z = 0

(1.3)

Bij een kwadriek is de coordinaat van een dubbelpunt van de kwadriek oplossing van hetstelsel (daartoe moeten we de vergelijking van de kwadriek homogeen maken met eenvierde onbekende u):

∂F∂x

= 0∂F∂y

= 0∂F∂z

= 0∂F∂u

= 0

⇐⇒

a11x+ a12y + a13z + a14u = 0a12x+ a22y + a23z + a24u = 0a13x+ a23y + a33z + a34u = 0a14x+ a24y + a34z + a44u = 0

(1.4)

Aantal dubbelpunten

1. Als detB 6= 0 dan heeft het stelsel enkel de nuloplossing en dit stelt geen punt voor.Een niet-singuliere kwadriek heeft geen dubbelpunten.

2. Als rangB = 3 dan heeft het stelsel∞1-oplossingen die overeenkomen met een punt.Een singuliere niet-ontaarde kwadriek heeft juist een dubbelpunt.

3. Als rangB = 2 dan heeft het stelsel ∞2-oplossingen die overeenkomen met rechtevan punten.Een kwadriek die ontaardt in twee verschillende vlakken heeft een rechte van dubbel-punten.

4. Als rangB = 1 dan heeft het stelsel ∞3-oplossingen die overeenkomen met een vlakvan punten.Een ontaarde kwadriek in twee samenvallende vlakken bestaat volledig uit dubbel-punten.

Een dubbelpunt is steeds een middelpunt van de kwadriek.


1.2.5 Classificatie van de niet-ontaarde kwadrieken

Zoals we de classificatie kunnen maken van de kegelsneden, kunnen we dat ook voor dekwadrieken.Al naar gelang de eigenwaarden en eigenvectoren van de matrix A, eigenlijk of oneigenlijkzijn van de middelpunt(en) verkrijgen we de verschillende soorten kegelsneden.

We geven de classificatie d.m.v. de standaardvergelijkingen.

1. De niet-singuliere kwadrieken of kwadrieken zonder dubbelpunt

(a) De imaginaire ellipsoıde:

x2

a2+y2

b2+z2

c2= −1

(b) De ellipsoıde en in het bijzonder een omwentelingsellipsoıde (bvb. a = b) ende bol (a = b = c):

x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1

(c) De tweebladige hyperboloıde in het bijzonder de tweebladige omwentelingshy-perboloıde (a = c):

x2

a2− y2

b2+z2

c2= −1


(d) De eenbladige hyperboloıde en in het bijzonder de eenbladige omwentelingshy-perboloıde (a = b):

x2

a2+y2

b2− z2

c2= 1

(e) De elliptische paraboloıde en in het bijzonder de omwentelingsparaboıde (a =b):

x2

a2+y2

b2− 2z = 0


(f) De hyperbolische paraboloıde:

x2

a2− y2

b2+ 2z = 0

2. De singuliere kwadrieken of kwadrieken met een dubbelpunt

(a) De imaginaire kegel:

x2

a2+y2

b2+z2

c2= 0

(b) De elliptische kegel en in het bijzonder de omwentelingskegel (bvb. a = b):

x2

a2+y2

b2− z2

c2= 0


(c) De imaginaire elliptische cilinder:

x2

a2+y2

b2+ 1 = 0

(d) De elliptische cilinder en in het bijzonder de omwentelingscilinder (a = b):

x2

a2+y2

b2− 1 = 0

(e) De hyperbolische cilinder:

x2

a2− y2

b2+ 1 = 0


(f) De parabolische cilinder:x2

a2− 2py = 0

1.2.6 Symmetrievlakken en symmetrieassen van kwadrieken

• Een rechte is een symmetrieas van een kwadriek als bij spiegeling van de kwadriekom die as volgens de orthogonale vlakrichting de kwadriek afgebeeld wordt op zich-zelf.Voor een orthogonale spiegeling om de z-as zijn de transformatieformules:

x′ = −xy′ = −y′z′ = z

De z-as is een symmetrieas voor alle kwadrieken uit de classificatie uitgezonderd deparabolische cilinder 2f.De x-as is symmetrieas voor alle kwadrieken uit de classificatie uitgezonderd voor deelliptische paraboloıde 1e, de hyperbolische paraboloıde 1f en de parabolische cilin-der 2f. De y-as is symmetrieas voor alle kwadrieken uit de classificatie uitgezonderd


voor de elliptische paraboloıde 1e, de hyperbolische paraboloıde 1f.De bol als speciaal geval van de ellipsoıde heeft elke rechte door de oorsprong alssymmetrie as.

• Een vlak is een symmetrievlak van een kwadriek als bij spiegeling van de kwadriekom dat vlak volgens de richting van de loodlijnen op dat vlak de kwadriek afgebeeldwordt op zichzelf.Voor een orthogonale spiegeling om het (x, y)-vlak zijn de transformatieformules:

x′ = xy′ = y′

z′ = −z

Het (x, y)-vlak is een symmetrievlak voor alle kwadrieken van de classificatie uitge-zonderd de elliptische paraboloıde 1e en de hyperbolische paraboloıde 1f.Het (y, z)-vlak is een symmetrievlak voor alle kwadrieken van de classificatie.Het (x, z)-vlak is een symmetrievlak voor alle kwadrieken van de classificatie uitge-zonderd de parabolische cilinder 2f.

1.2.7 Beschrijvenden van kwadrieken

Op elke kwadriek liggen rechten die we beschrijvenden noemen. We beschouwen enkel dekwadieken met reele beschrijvenden.

1. Door elk punt van een eenbladige hyperboloıde en van een hyperbolische paraboloıdegaan twee beschrijvende. Het vlak bepaald door deze twee beschrijvenden is hetraakvlak in dat punt aan de kwadriek.

2. Door elk punt van de volgende singuliere kwadrieken gaat juist een beschrijvende: dereele kegel, de reele elliptische cilinder, de hyperbolische cilinder en de parabolische cilinder.

OPGAVEN — 2 Gegeven t.o.v. een orthonormale basis, de volgende vergelijking

F (x, y, z) ≡ 2x2 + y2 + z2 + 2hyz − 1 = 0 met h ∈ R

Voor welke waarden van h stelt deze kwadriek een omwentelingskwadriek voor? Geef dande aard van de kwadriek voor deze h-waarden.

3 Bepaal middelpunt, eventueel dubbelpunt(en) en hoofdrichtngen van de volgende kwa-drieken. Onderzoek de aard van de volgende kwadrieken eventueel al naar gelang dewaarden van h.


1. −2x2 + y2 + z2 − 2xy − 2xz − 4yz + 4x− 4y + 8z = 0

2. 2x2 + y2 + 4z2 − 4yz − 4x+ 6y + 12z + h = 0

3. 2x2 + y2 + z2 + 2yz + 4x+ 3y + h = 0

4. 3x2 + y2 + 4xz = 0

5. 4x2 + 4y2 + z2 + 8xy + 4xz + 4yz − 9x− 9y − 18z + h = 0

6. 5x2 + 2y2 + 2z2 + 6yz − 10x+ 2y − 2z + h = 0

7. 2x2 + 11y2 + 7z2 + 12xz − 22y + 22z + h = 0

8. x2 − 2y2 + z2 − 2xz − 2x+ 4y + 2z + h = 0

9. 5x2 + 3y2 − 3z2 − 8yz + 10x+ 8y + 6z + h = 0

10. x2 + 3y2 + 4z2 − 4xz + 2x + 6y + z + h = 0 (welke vlakken snijden deze kwadriekvolgens een parabool?)

11. −2x2 + y2 + z2 + 8xy + 8xz + 2yz + 2hy = 0

12. 2x2 + y2 + 2z2 + 2xz + hy = 0

13. 2x2 − 2y2 + z2 − 4yz − 4y − 4z − 5 = 0

14. −x2 + y2 + z2 − 2yz + 2x+ 1 = 0

15. x2 + y2 + 2z2 + 8xy − 4x+ 14y − 4z + h = 0

16. x2 + 2y2 + z2 − 8xz + 8x− 8y − 2z + h = 0

17. −3x2 + 3y2 + 3z2 − 2yz + 6y − 2z + 3 = 0

18. 2x2 + y2 + z2 + 2yz + 4x+ 3y + 2 = 0

Onderzoeksopdracht ~ 4 De daken van het Sydney Opera House (1957-1973) zijndubbele schalen. Het zijn segmenten van hetzelfde theoretische boloppervlak. Wie is dearchitect. Zoek nog 3 voorbeelden van bolvormige schalen.

1.3. REGELOPPERVLAKKEN 15

1.3 Regeloppervlakken

1.3.1 Definities

Een regeloppervlak is een oppervlak met de eigenschap dat door elk punt ervan eenrechte gaat die tot het oppervlak behoort. We zeggen het regeloppervlak beschreven,gegenereerd of voortgebracht wordt door een variabele rechte.

• een variabele rechte = voortbrengende rechte = generator = beschrijvende

• een richtkromme van een regeloppervlak = een vaste kromme met de eigen-schap dat door elk punt ervan een beschrijvende gaat van het regeloppervlak.

• een richtrechte = bijzonder geval van een richtkromme

• een richtvlak = vast vlak waaraan beschrijvenden evenwijdig lopen

We bespreken volgende regeloppervlakken

1. kegeloppervlakEen bijzonder geval van een kegeloppervlak is een kwadratische (of elliptische) kegel(= kwadriek) met een omwentelingskegel (of cirkelkegel) als meest bekend voorbeeld.

2. cilinderoppervlakEen bijzonder geval van een cilinderoppervlak is een kwadratische (elliptische, pa-rabolische of hyperbolische) kegel (= kwadriek) met een omwentelingscilinder (ofcirkelcilinder) als meest bekend voorbeeld.

3. rechte conoıde

4. eenbladige omwentelingshyperboloıde is een bijzonder geval van een alge-mene eenbladige hyperboloıde (= kwadriek).

5. hyperbolische paraboloıde is een kwadriek.

6. Schroefoppervlak of helicoıde


1.3.2 Kegel

Een kegeloppervlak wordt voortgebracht door een stel concurrente beschrijvende rechtendie steunen op een willekeurige richtkromme. Is de richtkromme een cirkel zoals op figuur1 dan is de kegel een cirkelkegel.

Let op: Een (algemeen) kegeloppervlak is dus niet noodzakelijk een cirkelkegel of omwen-telingskegel (zie ook 1.3.1 en bv zoekopdracht 10).

Onderzoeksopdracht ~ 5 Vind conische vormen bij minstens twee meubelontwerpers

Onderzoeksopdracht ~ 6 Op figuur 2 zie je een kegel en een conische spiraal. Zoekdecoratieve elementen met kegelvormige torentjes en conische spiralen bij de bouwwerkenvan Antoni Gaudi .

Onderzoeksopdracht ~ 7 Welke rol spelen de conische structuren in het werk ”Cityof Arts and Sciences complex” van Calatrava?

Onderzoeksopdracht ~ 8 Het Guggenheim Museum te New York is een merkwaardigbouwwerk. Wie is de architect? Bespreek de vorm van dit bouwwerk zowel interieur alsexterieur.


Onderzoeksopdracht ~ 9 Op figuur 3 staat een ontwerp te Salto (Uruguay, (1979)van Eladio Dieste afgebeeld. Wat is de functie van die toren?. Het is een schaal ingewapend metselwerk met een muurdikte van 12-14cm. De verticale, rechthoekige openin-gen versmallen naar boven toe en de stroken metselwerk behouden een constante breedtewaardoor een kegelvorm ontstaat.

Onderzoeksopdracht ~ 10 Bij Lecorbusier vinden op het dakterras van een van zijnbekende gebouwen een schouw in de vorm van een kegel. Van welk gebouw? Welke op-merking kan je maken ivm die kegelvorm?


1.3.3 Cilinder

Een cilinder is zoals een kegel een singulier kwadratisch regeloppervlak en wordt voortge-bracht door een stel evenwijdige beschrijvenden. Op figuur 4 is een cirkelcilinder afgebeeld.Maar bij een algemeen cilinderoppervlak is de richtlijn niet noodzakelijk een cirkel (zieverder bij de voorbeelden).

1.3.3.1 Cirkelcilinder

Let op: Een cirkel- of omwentelingscilinder is een bijzondere geval van een algemeencilinderoppervlak (zie ook 1.3.1).

Het is interessant op een cirkelcilinder schroeflijnen te beschouwen. Dit is de baan be-schreven door een punt (op die cilinder) dat aan 2 bewegingen wordt onderworpen: eeneenparige rotatie om de as van de cilinder in een vlak loodrecht op de as en een eenparigrechtlijnige beweging langs een rechte evenwijdig met de as.

Een cilinderschroeflijn maakt en constante hoek met de beschrijvenden van de cilinder.De afstand tussen 2 opeenvolgende windingen is ook constant.


Onderzoeksopdracht ~ 11 Als we een cilinder ontwikkelen op een vlak wat is dan hetresultaat voor een cirkelschroeflijn op die cilinder? Geef ook een paar voorbeelden vanschroeflijnen buiten de architectuur.

Onderzoeksopdracht ~ 12 Wat kan je allemaal ontdekken ivm cilinders en schroef-lijnen bij de Villa Savoye te Poissy i.v.m. de cilindervorm.

Onderzoeksopdracht ~ 13 Zoek bij Gaudi in het Colegio Teresiano (1888-1890) teBarcelona nog een voorbeeld waarop verschillende cilinderschroeflijnen te vinden zijn.

1.3.3.2 Parabolische - of andere cilinder

Als de richtlijn van een cilinderoppervlak een parabool is dan bekomen we een parabolischecilinder. Andere mogelijkheden voor een richtkromme zijn bv: ellips, kettinglijn of eengolfkromme. Zie figuur 9 voor een golfkromme. Een cilinderoppervlak is een enkelvoudiggekromd oppervlak.


Onderzoeksopdracht ~ 14 Even buiten Barcelona staan drie paviljoenen van Gaudiwaarvan het dak van een paviljoen de vorm heeft van figuur 7a. Bespreek dit gebouw.De bouwheer was een rijk industrieel die nog andere opdrachten gegeven heeft aan Gaudi

Onderzoeksopdracht ~ 15 Felix Candela mag beschouwd worden als een van de be-roemdste schalenbouwers. Zo bouwde hij cilinderschalen waarvan de richtlijn zowel eenkettinglijn als een parabool kan zijn. Zoek daarvan voorbeelden.

Onderzoeksopdracht ~ 16 Freyssenet bouwde op de luchthaven Orly te Parijs twee

vliegtuighangars (in de vorm van figuur 7b) die op het einde van W.O.II vernield werden.Zoek over deze cilindervouwschalen nog extra info (over de architect en over het bouwwerkzelf).

Onderzoeksopdracht ~ 17 Een gebouw in Parijs (CNIT) heeft de vorm van figuur 8.Bespreek dit gebouw.


Onderzoeksopdracht ~ 18 Dieste heeft verschillende cilinderschalen ontworpen in ge-wapend metselwerk. Zoek 3 voorbeelden.

Onderzoeksopdracht ~ 19 De TWA Terminal van de J. F. K. luchthaven (1962) teNew York roept het beeld op van een vliegende vogel en symboliseert het vliegen. Dit sculp-turaal bouwwerk bestaat uit 4 schalen: elke schaal rust op twee steunpunten; ze ontmoetenelkaar in een punt. De twee grootste schalen bestaan elk uit twee cilndersegmenten dietegen elkaar leunen. Wie is de architect

Onderzoeksopdracht ~ 20 Het dak van de Gare Satolas (1989-1994) te Lyon heeftde vorm van een parabolische cilinder en bestaat uit een stalen skelet van buizen waaropkunststofplaten liggen. De overspanning is stabiel omwille van het skelet en niet omwillevan de vorm van deze kunstofplaten. Het is dus geen echte schaal. We spreken daaromliever van een ”schaalachtig”dak. Zoals voorgaand voorbeeld kan dit bouwwerk met zijnsculpturaal karakter beschouwd worden als een metafoor voor het vliegen. Wie is de ar-chitect?

Onderzoeksopdracht ~ 21 Zoek nog een voorbeeld van cilindervormige overspanningvan dezelfde architect als van bovenstaande opdracht

Onderzoeksopdracht ~ 22 Bepreek de vorm van het dak van de leeszaal die een aantal

jaren geleden werd bijgebouwd aan de Ecole Anne Frank te Le Plessis-Bouchard (Frank-rijk).

Onderzoeksopdracht ~ 23 Welk bouwwerk van Calatrava heeft wanden in de vormvan figuur 9?


1.3.4 Conoıde

Een conoıde is een enkelvoudig gekromd regeloppervlak waarvan een beschrijvende

1. steunt op een vaste rechte, (richtrechte)

2. evenwijdig loopt met een vast vlak (richtvlak)

3. steunt op een vaste kromme (richtkromme).

De voorbeelden van conoıde-schalen corresponderen steeds met rechte conoıden waarvande horizontale richtrechte loodrecht staat op een verticaal richtvlak. De richtkromme is eenbehoorlijk gekozen vlakke kromme waarvan het vlak evenwijdig loopt met de richtrechte.Op figuur 10a is een rechte conoıde afgebeeld met richtlijn een parabool.

Naargelang de aard van de richtkromme onderscheiden we verschillende soorten (rechte)conoıden.

1.3.4.1 Conoıde met richtkromme een parabool of kettinglijn

Een conoıde-schaal eindigt in een vlak gedeelte dat niet meer werkt als een schaal. Omredenen van stabiliteit wordt dit vlakke gedeelte soms weggelaten zodat slechts een beperkt(meest gekromde) gedeelte van het conoıde-oppervlak (figuur 10b) gebruikt wordt. Hetplaatsen van verschillende (beperkte) conoıde-schalen achter elkaar werkt eveneens tengunste van de stabiliteit.

Onderzoeksopdracht ~ 24 Een illustratie hiervan vinden we te Dammarie-les-Lys:”Radiator Factory” en te San Bartolo in Mexico: Fernandez-fabrik. Zoek meer daaroveren wie zijn de architecten?


Onderzoeksopdracht ~ 25 Le Corbusier heeft een overspanning ontworpen die bestaat

uit een dubbele rij van naast elkaar geplaatste conoıden (figuur 11). Waar is dit te be-zichtigen?

1.3.4.2 Conoıde met richtkromme een golfkromme

We maken hier onderscheid tussen drie types conoıde-schalen.Type 1: begrensd door een rechte en een golfkromme (figuur 12), type 2: begrensd doortwee golfkrommen (figuur 13) en type 3: begrensd door twee rechten (dubbele conoıde)(figuur 14).


Onderzoeksopdracht ~ 26 Onderzoek de vorm van de schaalwand van de Atlantida

kerk (figuur 15 en 16- Eladio Dieste) in Uruguay.(zie ook foto figuur 45).

Onderzoeksopdracht ~ 27 Van welk type conoıde-schaal is het dak van het schoolge-

bouw nabij de Sagrada Familia te Barcelona van Gaudi? (figuur 17).


Onderzoeksopdracht ~ 28 Vind voorbeelden van een sculptuur en van wanden of over-

spanningen met een conoıde-vorm van het type 2 (figuren 17 en 18) van Calatrava.

Onderzoeksopdracht ~ 29 Identificeer de sierlijke houten sculptuur van figuur 19 diezich bevindt in de tuin van het kasteel van Zoersel.

Onderzoeksopdracht ~ 30 Onderzoek de conoıde-vorm van de wanden van de kerk

San Juan de Avila te Alcala de Henares (Spanje) alsook van die van een shoppingcenter(figuur 20) te Montevideo in Uruguay (Eladio Dieste).


1.3.5 Eenbladige hyperboloıde

Een eenbladige omwentelingshyperboloıde (EoH) (figuur 21) ontstaat als een hyperboolwentelt om zijn nevenas. Dit oppervlak kan ook gegenereerd worden door een rechte te


laten wentelen om een andere, kruisende rechte. Een EoH heeft twee sets beschrijvenden(figuur 22). Door elk punt van een EoH gaan steeds twee beschrijvenden, een van elk stel,en ze bepalen het raakvlak in dit punt.

Een bekend voorbeeld van een hyperboloıde-vorm in de bouwkunde is de vorm van eenkoeltoren. Enkel de onderste helft van een koeltoren komt overeen met een EoH. De vormvan het bovenste deel, dat zeker niet gelijk is aan het onderste, werd in 1951 empirischvastgesteld om turbulenties in de uittredende stoom te voorkomen. Nu zijn er formulesom de vorm te berekenen.

Onderzoeksopdracht ~ 31 Vind nog voorbeelden van EoH in gebouwen van Le Cor-busier en van Gaudi. Tip voor gebouw Gaudi zie je op figuur 23 en 24.


1.3.6 Hyperbolische paraboloıde

Een hyperbolische paraboloıde HP is een kwadriek die ook regeloppervlak is (niet ont-wikkelbaar).Een HP is een dubbelgekromd oppervlak en wordt omwille van haar vorm ook zadelop-pervlak genoemd.Figuur 25a stelt een HP voor begrensd door een scheve 3D-vierhoek (zie ook verder:hoe kan een HP gegenereerd worden? Methode 1). Let op: een zadeloppervlak is nietnoodzakelijk een hyperbolische paraboloıde. Er zijn nog dubbelgekromde oppervlakkendie de benaming verdienen van zadeloppervlak. Voorbeelden hiervan vinden we bij deminimaaloppervlakken. Zo is het oppervlak van Schwarz (zie figuur 25b) een minimaaloppervlak met randkromme gelijk aan een scheve 3D-vierhoek (= kromme bestaande uitvier van de zes ribben van een viervlak). Dit oppervlak is duidelijk een zadeloppervlakmaar het is geen HP !!!!


1.3.6.1 Verklaring van de benaming

1. Hyperbolische paraboloıdeEen HP kan voorgesteld worden met een netwerk van parabolen (figuur 26a).Dit netwerk bestaat uit twee verzamelingen van evenwijdige, identieke parabolen(een set staande parabolen en een set hangparabolen). Voor twee parabolen vantwee verschillende sets geldt: hun vlakken staan loodrecht op elkaar, hun zin istegengesteld en ze zijn niet noodzakelijk identiek.

Een HP kan dus beschouwd worden als een translatieoppervlak dat ontstaat dooreen parabool (= voortbrengende parabool) evenwijdig met zichzelf te verschuivenwaarbij hij steunt op een andere parabool (richtparabool), tegengesteld van zin engelegen in een loodvlak op het vlak van de verschuivende parabool (figuur 26b).

2. Hyperbolische paraboloıdeDe doorsnede van een HP waarvan de voortbrengende parabool en de richtparaboolin loodrecht op elkaar staande verticale vlakken liggen met een horizontaal vlak iseen hyperbool (figuur 26c).


Bijzonder geval: als de staande parabolen en de hangparabolen onderling gelijkzijn dan zijn de hyperbolen niets anders dan orthogonale (of gelijkzijdige) hyper-bolen. We spreken in dit geval van een orthogonale (of gelijkzijdige) hyperbolischeparaboloıde.

Een HP is een regeloppervlakEen HP kan (zoals een omwentelingshyperboloıde) voortgebracht worden door 2 ver-schillende sets rechten ((zie figuur 27a).

• Elke 2 verschillende beschrijvenden van eenzelfde stel zijn kruisend

• Door elk punt van een HP gaan twee beschrijvenden een van elk stel. Ze bepalenhet raakvlak in dit punt


• De rechten van een set steunen op 2 rechten (richtrechten) van de andere set enlopen evenwijdig met een vlak (richtvlak). Een HP is dus een conoıde en heeft 2richtvlakken een HP is niet afwikkelbaar

Opmerking: De HP figuur 27a wordt dus voorgesteld met een netwerk van rechten.Op de figuur 27b rechts is dezelfde HP voorgesteld met een netwerk van parabolen.

Hoe kan voor een HP een set rechten gegenereerd worden?: methode 1

Bijzonder geval: gelijkzijdige hyperboloıdeWe vertrekken van een kubus en vestigen de gedachte op 4 opstaande zijvlakken. Dezezijvlakken zijn 2 aan 2 evenwijdig. In 2 evenwijdige opstaande zijvlakken nemen we 2kruisende diagonalen (figuur 28a) en verdelen beide in een gelijk aantal gelijke delen. Deverbindingslijnen van overeenkomstige punten vormen een eerste set generatoren voor eengelijkzijdige HP (zie figuur 28b). De kruisende diagonalen zijn 2 richtrechten voor dezeHP . Een vlak evenwijdig aan een derde opstaand zijvlak is een richtvlak.


Onderzoeksopdracht ~ 32 Waarom moeten elk van de kruisende diagonalen in eenaantal gelijke delen verdeeld worden?

Onderzoeksopdracht ~ 33 Figuur 28c geeft een ander aanzicht van de gelijkzijdigeHP dan figuur 28b. Teken op de figuur 28d een 2de set generatoren. Welke rechten zijnnu 2 richtrechten. Welk vlak vormt een richtvlak?

Onderzoeksopdracht ~ 34 Duid op je tekening van zoekopdracht 33 het volgende aan:

1. 2 verschillende beschrijvenden van eenzelfde stel; ze zijn kruisend

2. twee beschrijvenden door een willekeurig punt van de HP , een van elk stel; ze bepalenhet raakvlak in dit punt

3. een willekeurige rechte van een set en haar steunpunten op 2 rechten van de andereset

4. 2 richtvlakken, een bij elke set generatoren

Een algemene hyperbolische paraboloıde kan ontstaan uit een willekeurige (3D) vierhoekwaarbij overeenkomstige verdeelpunten op de overstaande zijden verbonden worden. Elkezijde moet verdeeld worden in gelijke delen.


Op figuur 28e zien we een 3D-vierhoek en een HP voortgebracht door 1 schaar rechten.

Onderzoeksopdracht ~ 35 1. Waarom moet elke zijde verdeeld worden in gelijkedelen;

2. Teken op figuur 28e 2 richtrechten, alsook een richtvlak (behorend bij de getekendeschaar generatoren);

3. Teken 2 richtrechten van een 2de stel beschrijvenden;

4. Teken 3 willekeurige rechten van dit 2de stel beschrijvenden; ze steunen op allebeschrijvenden van de eerste set en zijn 2 aan 2 kruisend; deze 3 rechten kunnenbeschouwd worden als 3 richtrechten van de HP

Hoe kan voor een HP een set rechten gegenereerd worden: methode 2

Een andere manier om een algemene hyperbolische paraboloıde te genereren wordt dooronderstaande figuren 29 geıllustreerd:


Onderzoeksopdracht ~ 36 De paren overstaande parabolen zijn richtkrommen van deontstane HP.Vind voor elke set beschrijvenden een bijhorend richtvlak voor die HP

Als we vertrekken van een vierkant ipv een rechthoek dan ontstaat een gelijkzijdige HP.

Hoe kan voor een HP een set rechten gegenereerd worden: methode 3

Er bestaat nog een derde manier om een gelijkzijdige hyperboloıde te generen. Bijgaandefiguur 30a stelt een deel voor van een gelijkzijdige hyperbolische paraboloıde afgesnedendoor een (cirkel)cilinder. De snijlijn van beide oppervlakken is een ruimtekromme en wordtcilindrische sinusoıde genoemd. Deze kromme speelt voor de getekende hyperbolischeparaboloıde de rol van randkromme. Haar projectie op en horizontaal vlak is een cirkel.

De ontwikkeling van de randkromme op een plat vlak is een sinusoıde met 2 perioden (ziefiguur 30b). Vandaar de benaming cilindrische sinusoıde.


De voortbrengende rechten van de hyperbolische paraboloıde steunen op deze randkromme.Hierdoor is het mogelijk een gelijkzijdige HP te genereren door overeenkomstige verdeel-punten te verbinden aangebracht op een sinusoıde getekend op een cilinderoppervlak (ziefiguur 30c). De verdeelpunten corresponderen met punten die de cirkel in gelijke delenverdelen.

Onderzoeksopdracht ~ 37 1. Waarom moeten de verdeelpunten de cirkel op de cilin-der in gelijke delen verdelen? 2. Omschrijf 2 verschillende richtvlakken voor de HP vanfiguur 30

Opmerkingen

1. Uit het bovenstaande blijkt dus dat de doorsnede van een gelijkzijdige HP en eencilinder is een cilindrische sinusoıde (zie figuur 31a). Deze kromme verkrijgen weook als doorsnede van een parabolische cilinder en een cilinder (zie figuur 31b).

2. Vervangen we de cirkelcilinder door een elliptische cilinder dan kan een algemenehyperbolische paraboloıde gegenereerd worden. De voortbrengende beschrijvendensteunen dan op een randkromme waarvan de ontwikkeling op een plat vlak weer eensinusoıde is en waarvan de projectie een ellips is.


Wiskundig modelEen (HP ) is (zoals een eenbladige hyperboloıde) een regulier kwadratisch oppervlak metvergelijking:

x2

a2− y2

b2− cz = 0

Bijzonder geval: als a = b (cz = x2 − y2 ) dan hebben we te maken met een gelijkzijdigeHP zoals hoger beschreven.


Voorbeelden van HP in de architectuur

In de architectuur gebruikt men dikwijls de term ”hypar”. Hiermee wordt een deel vaneen HP -oppervlak bedoeld.

Er zijn vele voorbeelden van HP -schalen te geven, niet alleen van daken maar ook vanwanden. Hyparschalen zijn dubbelgekromde plaatconstructies die zeer stijf en sterk zijn.De begrippen ”stijf” en ”sterk” illustreren we met twee voorbeelden uit de natuur:

1. een eierschaal is een stijve constructie die echter niet sterk is;

2. rietstengels zijn sterk maar niet stijf.

Voor betonnen HP -schalen merken we het volgende op:

1. De bekisting bestaat uit lineaire elementen (zie figuur 33a).

2. De wapeningsstaven nemen de vorm aan van parabolen: hangparabolen en staandeparabolen (zie figuur 33b).

Ingenieur-architect Felix Candela heeft niet alleen betonnen cilinder-schalen ontworpen.Hij is vooral beroemd omwille van zijn talrijke betonnen hypar-schalen. De meeste ervanstaan in Mexico.

De voorbeelden van hypar-schalen splitsen we op in 2 delen:

1. betonnen HP -schalen van Candela;

2. HP -schalen van andere ontwerpers in chronologische volgorde.

HP -Schalen van Candela (1910 /1997)

1. Hyparschalen bestaande uit 1 unit:


(a) Paviljoen voor Kosmisch Stralingsonderzoek van de Universiteit stad Mexico(1951) Figuur 34a, die de vorm ervan illustreert, toont ook een hyperbool alsdoorsnede met een horizontaal vlak.

(b) Capilla de Nuestra Senora de la Soledad in Mexicostad (1955) en een kapelte Havana in Cuba (1958) (i.s.m. Max Borges) zijn twee voorbeelden waarbijslechts een unit gebruikt werd zoals bij figuur 34b.

2. Schalen opgebouwd uit verschillende HP -segmenten:

(a) De Iglesia de la Medalla Milagrosa (1654-1955) Mexico (figuur 34c);

(b) Talrijke HP -schermen = ?inverted umbrella? (figuur 34d) in Mexico voor b.v.de overdekking van een markt, High life Coyoacan (textielfabriek) in de stadMexico, enz.;

(c) Het woonhuis Borges te Havana in Cuba (1957)

(d) Het restaurant Los Manantiales te Xochimilco in Mexico (1958) dat opgebouwdis uit acht HP -segmenten (figuur 34e).


.

Onderzoeksopdracht ~ 38 Zoek afbeeldingen van de bouwwerken vermeld onder ”HP-schalen van Candela”.

Onderzoeksopdracht ~ 39 Zoek voor elk van volgende architecten minstens 1 HP-schaal:Gaudi, Le Corbusier, Pier Luigi Nervi + Pietro Belluschi, Kenzo Thange, Richard Rogers(zie figuur 35).

Onderzoeksopdracht ~ 40 Het is in 2008 50 jaar geleden dat in Brussel de wereld-tentoonstellin EXPO 1958 doorging. Zoek in het kader hiervan een afbeelding van eenhouten HP-Schaal van die wereldtentoonstelling.

De afbeelding verklaart op visuele wijze de benaming hyperbolische paraboloıde precies omdat de rand-

kromme bestaat uit 2 parabolen en 1 hyperbool.

1.3.7 De helicoıde

Het onderwerp van de regeloppervlakken kunnen we niet afsluiten zonder de (rechte) he-licoıde te vermelden. De beschrijvenden van een helicoıde zijn loodlijnen uit de puntenvan een cilinderschroeflijn op de as van de cilinder (figuur 36).Een helicoıde is dus een rechte conoıde met een 3D-kromme als richtkromme. De be-schrijvenden zijn onbegrensde rechten maar voor de duidelijkheid hebben we op figuur 36


de loodlijnen beperkt tot lijnstukken met eindpunten op de schroeflijn en de as van decilinder. Figuur 36 stelt dus een helicoıde voor begrensd door een rechte (= cilinderas)en een schroeflijn. We bekomen we het ontwerp van een gewone wenteltap.

Begrenzen we een helicoıde met haar richtrechte en een schroeflijn dan bekomen we hetontwerp van een gewone wenteltap (figuur 36).

Spectaculairder zijn echter dubbele wenteltrappen die corresponderen met een helicoıdebegrensd door twee schroeflijnen die de doorsnede vormen van de helicoıde en een cilin-deroppervlak. Deze cilinderhelices zijn 1800 gedraaid ten opzichte van elkaar (figuur 37).Een voorbeeld daarvan is de dubbele wenteltrap, waarschijnlijk ontworpen door LeonardoDa Vinci, in het Kasteel van Chambord langs de Loire. Ook de structuur van DNA zieteruit als een dubbele wenteltrap begrensd door twee schroeflijnen.

Een helicoıde is (als we het platte vlak uitsluiten) het enige regeloppervlak dat ook mini-maaloppervlak is.

Een helicoıde zorgt aldus voor een vlotte overgang van regeloppervlakken naar minimaal-oppervlakken.


1.4 Minimaaloppervlakken

Een minimaaloppervlak is per definitie een oppervlak (met een of meerdere randkrommen)waarvoor in elk punt de gemiddelde kromming (H) gelijk is aan nul (H = 0). Hoewel eentheoretische studie van minimaaloppervlakken op hogere wiskunde is gebaseerd kunnensommige van deze oppervlakken op gemakkelijke wijze gerealiseerd worden met behulpvan zeepvliezen. We geven hier twee voorbeelden:

1. Een eerste eenvoudig voorbeeld is een vlak zeepvlies opgespannen door een vlakkegesloten draadconstructie. Dit zeevlies staat model voor een minimaaloppervlakwant in elk punt van een vlak is H = 0.

2. Een ander mooi voorbeeld is een catenoıde-vormig zeepvlies (figuur 39) dat eenraamwerk van twee coaxiale cirkelvormige draden overspant. Een catenoıde ontstaatdoor een kettinglijn te laten roteren om haar richtlijn (zie figuur 38). In elk puntvan een catenoıde is H = 0. Het is het enige omwentelingsoppervlak dat tevensminimaaloppervlak is.

Er bestaat echter een tweede catenoıde (figuur 40) - met een smallere ”nek” - die dezelfdecirkels overspant en waarvoor ook H = 0. De oppervlakte van de eerste catenoıde (figuur39) is kleiner dan die van de tweede (figuur 40).

Met de tweede catenoıde (figuur 40) correspondeert geen zeepvlies. Dit illustreert dat nietalle minimaaloppervlakken door een zeepvlies kunnen voorgesteld worden. Anderzijdszijn er ook zeepvliezen die overeenkomen met een oppervlak waarvoor de gemiddeldekromming niet nul is maar gelijk is aan een constante. Deze oppervlakken corresponderenwel met een minimale oppervlakte. Denken we maar aan een gewone bolvormige zeepbelof aan een cilindervormig zeepvlies tussen twee glasplaten. De gemiddelde kromming isconstant zowel voor een bol als voor een cilinder. Een oppervlak zonder randkrommen

1.4. MINIMAALOPPERVLAKKEN 43

waarvoor de oppervlakte minimaal is, is een bol. Een cilinder beantwoordt aan de eis vanminimale (gereduceerde) oppervlakte voor een oppervlak met twee dragende oppervlakken

Voorbeelden van minimaaloppervlakken in de architectuurMinimaaloppervlakken spelen ook een rol in de architectuur bij membraanstructuren. Metmembraanstructuren bedoelen we dubbelgekromde hangdaken met zeer lichte dakhuid eneigentijdse textielconstructies (velumconstructies). De vorm van het membraan speelteen actieve rol naar de stabiliteit toe. Het zijn precies minimaaloppervlakken die bijmembraanstructuren aan de basis liggen van een stabiele overspanning.

1. Voor het computertijdperk werd de vorm bepaald via experimenten met zeepvlie-zen. Zo verrichtte Frei Otto modellenonderzoek met zeepvliezen voor zijn bekendekabelnetstructuren:

(a) Het Duits Paviljoen Expo ’67 te Montreal (Canada) (Rolf Gutbrod)

(b) Het Olympisch Stadion in Munchen (1972) (Behnisch en Leonhardt)

Onderzoeksopdracht ~ 41 Zoek 2 afbeeldingen van elk van de gebouwen vermeld

in (a) en (b).

2. De hedendaagse ”textielsculpturen”bestaan uit een vervormbaar materiaal en eendraagstructuur. Voor de stabiliteit zijn er twee sleutelbegrippen: de vorm en devoorspanning. De stabiliteitsberekeningen gebeuren door computerprogramma’s diegebaseerd zijn op de theorie van minimaaloppervlakken. De software ter berekeningvan de vorm houdt rekening met verschillende parameters zoals de karakteristiekenvan het membraan en laat ook eigen inbreng van de architect toe. Hierdoor kan deuiteindelijke vorm afwijken van een zuiver wiskundig minimaaloppervlak.

Onderzoeksopdracht ~ 42 Zoek 4 voorbeelden van hedendaagse textielsculptu-ren.


1.5 Gauss-gewelven

De speurtocht naar het gebruik van geometrische oppervlakken in de architectuur brachtons op het spoor van een dubbelgekromd oppervlak dat gegenereerd wordt door eenkettinglijn: het zogenaamd ”Gauss-gewelf”.

Alle dwarsdoorsneden van een Gauss-gewelf (figuur 44) zijn kettinglijnen. De toppen vandie kettinglijnen beschrijven een golfkromme gelegen in een langsdoorsnede. Deze krommekan een vloeiende kromme zijn. Als echter in het gewelf ramen voorzien zijn dan wordtdeze kromme in verschillende punten onderbroken.

Dieste heeft in talrijke industriele bouwwerken Gauss-gewelven toegepast al of niet metramen. Voor die Gauss-gewelven is de spanbreedte van de kettinglijnen constant (figuur44).

Onderzoeksopdracht ~ 43 Een aantal gebouwen van Dieste hebben een overspanningin de vorm van een Gauss-gewelf. Zoek voorbeelden in Brazilie, Uruguay en Spanje vanbouwwerken met Gauss-gewelven. Identificeer de kerk op figuur nr 45.

1.6. TOT SLOT 45

1.6 Tot slot

We willen nog onderstrepen dat voor de genoemde architecten inzicht omtrent vormge-ving en krachtwerking en kennis omtrent technische uitvoering in een man verenigd zijn.Een aantal onder hen ontwikkelden hun vormen via experimenten. Zo werkte Gaudi metstructurele modellen bestaande uit zakjes gevuld met loden bolletjes voor de Colonia Gellen de Sagrada familia. Eero Saarinen boetseerde modellen in klei voor de TWA terminalvan de J.F.K. luchthaven. Frei Otto experimenteerde met zeepvliezen voor zijn kabelnet-structuren. Calatrava voert onderzoek uit met tekeningen en sculpturen. Anderen, zoalsCandela en Dieste, steunden meer op de wiskundig beschrijving van de vormen.

Onderzoeksopdracht ~ 44 Welke architect(en) heeft je het meest geboeid gedurendejouw zoektocht naar wiskundige vormen. Belicht het leven en het werk van die architect.Bij deze vraag is het niet de bedoeling een tekst over een persoon te kopieren van hetinternet. Gebruik de informatie die je vindt om een eigen reflectie te schrijven over depersoon en zijn werk. Laat de motivatie van jouw keuze duidelijk tot uiting komen.


Bibliografie

1. Willy Boesiger / Le Corbusier / Verlag fur Architectuur Artemis Zurich 1990 Mas-simo

2. Bettinotti / Kenzo Tange, 1946-96, Architecture and urban design / Milano Elacta1996

3. Colin Faber / Candela und seine schalen / Verlag Georg D.W. Callwey

4. Gaudi- groep Delft: Peter Bak, Roel van der Heide, Jan Molema en Jos Tomlow /Rationalist met perfecte materiaalbeheersing / Delftse Universitaire Pers 1979

5. Neil Levine / The architecture of F.L. Wright / Priveton University Press

6. Robert Mc Carter /F.L. Wright Architect / Phaidon Press Limited 1997

7. Jan Molema / Antoni Gaudi, een weg tot oorspronkelijkheid / Academie Delft

8. Remo Pedreschi / Eladio Dieste : the engineer’s contribution to contemporary ar-chitecture / London: Thomas Telford - RIBA, 2000

9. Frei Otto, Bodo Rasch / Finding Form: Towards an Architecture of the Minimal /Axel Menges 1996

10. Karel Peeters / Grote overspanningen / cursus 5AR Sint-Lucas Gent-Brussel 2001

11. Salvador Tarrago / Gaudi / Escudo De Oro, s.a. 1988

12. Annie Van Maldeghem / Wiskunstige Facetten / cursus 5AR Sint-Lucas Gent-Brussel 2004 Rainer Zerbst / Antoni Gaudi / Taschen Keulen 1993

13. Progressive Architecture January 1992 p. 108 Penton Publishing

1.7. PROJECT ARCHITECTUUR 47

1.7 Project Architectuur

Aanwijzingen voor het werk

1. Structuur van het werkHet werk moet een duidelijke structuur hebben met inleiding en besluit.

2. Inhoud

• Antwoorden op de vragen

De vragen worden beantwoord met volzinnen, in cursief en moetenvoorafgegaan worden van het nummer van de vraag; ook de vraag zelfdient genoteerd te worden.De volgorde van de antwoorden van de vragen speelt geen rol.Je denkt na over een originele manier om de antwoorden aan elkaar teschrijven. De antwoorden worden dus bij voorkeur geıntegreerd in eengroter geheel. Het mag zeker geen opsomming van antwoorden zijn.Beantwoord de vragen van de zoekopdrachten nadat je dit hoofdstukvolledig hebt doorgenomen.

• Eigen inbreng

Volgens jouw eigen interesse mag je andere items belichten en erinverwerken.Als je tijdens de speurtocht naar het antwoord op een vraag in anderedomeinen dan die van de wiskunde of architectuur terecht komt danmag je dit in je scriptie op een verantwoorde wijze verwerken. Ditverhoogt de eigen inbreng aanzienlijk

• Bronnen

Niet alleen internet raadplegen maar ook boeken.Opzoekingen op internet ook proberen via Engelse, Franse · · · termen.Vermeld voor een gevonden gebouw altijd naam of functie, locatie,bouwjaar en architect

3. Lay-outLet op

• de verdeling in paragrafen


• de bladverdeling met tekst en foto’s (tekeningen)

• het lettertype

• het eventueel gebruik van kleuren

4. AfwerkingHet werk moet een inhoudsopgave en een bronnenvermelding bevatten.

Inhoudsopgave

1 Mathematische vormen in de architectuur 3

1.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 De kwadrieken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.2 Middelpunt van een kwadriek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.3 Hoofdrichtingen van een kwadriek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.4 Dubbelpunt van een kwadriek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.5 Classificatie van de niet-ontaarde kwadrieken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.6 Symmetrievlakken en symmetrieassen van kwadrieken . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.7 Beschrijvenden van kwadrieken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 Regeloppervlakken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.1 Definities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.2 Kegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.3 Cilinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.3.1 Cirkelcilinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.3.2 Parabolische - of andere cilinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.4 Conoıde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3.4.1 Conoıde met richtkromme een parabool of kettinglijn . . . . . . . . . . . 23

1.3.4.2 Conoıde met richtkromme een golfkromme . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.3.5 Eenbladige hyperboloıde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.3.6 Hyperbolische paraboloıde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.3.6.1 Verklaring van de benaming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.3.7 De helicoıde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.4 Minimaaloppervlakken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.5 Gauss-gewelven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.6 Tot slot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.7 Project Architectuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

49

Wiskunde en Architectuur - wiswijs · 3 correspondeert een eigenruimte van dimensie 1...

Documents

Transcript of Wiskunde en Architectuur - wiswijs · 3 correspondeert een eigenruimte van dimensie 1...