Ruimtemeetkunde deel II - wiswijs · Ruimtemeetkunde deel II Liliane Van Maldeghem Hendrik Van...

Ruimtemeetkunde deel II

Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem

Cursus voorLatijn-Wiskunde, Wetenschappen-Wiskunde

en Economie-Wiskunde

Hoofdstuk 1

De reele euclidische ruimte

1.1 De euclidische ruimte

1.1.1 Orthogonaliteit

1.1.1.1 Orthogonaliteit van richtingen — Axioma’s

Orthogonaliteit van richtingen is een bijzondere relatie over de verzameling van derichtingen van de rechten van E, genoteerd ⊥, waarvoor de volgende axioma’s gelden:

(ω) De relatie ⊥ is antireflexief.

(ω2) De relatie ⊥ is symmetrisch.

(ω3) Voor elke vlakrichting (α) van E en elke richting (a) parallel met (α) bestaat juisteen richting (b) die parallel is met (α) en tevens orthogonaal is met (a).

De eerste twee axioma’s zijn dezelfde als in de vlakke meetkunde. Omwille van het laatsteaxioma zijn in elk vlak van E de axioma’s van orthogonale richtingen en de daaruit volgendestellingen van de vlakke meetkunde geldig.

1.1.1.2 Orthogonale rechten en loodlijnen

Twee rechten van E heten orthogonale rechten als en slechts als hun richtingen ortho-gonaal zijn.

Met symbolen:a ⊥ b

3

4 HOOFDSTUK 1. DE REELE EUCLIDISCHE RUIMTE

Figuur 1.1: orthogonale rechten 1

STELLING 1.1 Als een eerste rechte orthogonaal is met een tweede dan is de tweederechte orthogonaal met de eerste rechte.

Met symbolen:a ⊥ b =⇒ b ⊥ a

STELLING 1.2 Is een rechte orthogonaal met een van twee parallelle rechten dan is zeook orthogonaal met de andere rechte.

Met symbolen:a ⊥ ba ‖ a′

}=⇒ a′ ⊥ b

STELLING 1.3 Zijn twee rechten orthogonaal dan zijn ze niet parallel.

Met symbolen:a ⊥ b =⇒ a 6‖ b

GEVOLG 1.1 : Orthogonale rechten zijn ofwel kruisend ofwel snijdend.

Een rechte is een loodlijn op een andere rechte als en slechts als de rechten orthogonaalsnijdende rechten zijn.

STELLING 1.4 Is een rechte a parallel met een vlak α dan bestaat er tenminste een rechteb parallel met α en orthogonaal met a.

1.1. DE EUCLIDISCHE RUIMTE 5


Met symbolen:

a ‖ α =⇒ ∃b :

{b ‖ αb ⊥ a

STELLING 1.5 Zijn drie rechten parallel met eenzelfde vlak en zijn twee ervan orthogo-naal met de derde rechte dan zijn de eerste twee parallel.

Met symbolen:a, b, b′ ‖ αa ⊥ ba ⊥ b′

=⇒ b ‖ b′

STELLING 1.6 Door elk punt niet gelegen op een rechte, gaat juist een loodlijn op dierechte.

Met symbolen:

P /∈ a =⇒ ∃!b :

P ∈ ba ⊥ b

a ∩ b 6= φ

STELLING 1.7 Door elk punt van een rechte gaan oneindig veel loodlijnen op die rechte,nl. juist een in elk vlak door de rechte.

Met symbolen:

P ∈ aa ⊂ α

}∃!b :

b ⊂ αP ∈ bb ⊥ a



1.1.1.3 Loodrechte projectie op een rechte (orthogonale projectie)

De loodrechte projectie van E op een rechte d is de afbeelding van E in d die met elkpunt P van E het voetpunt van de loodlijn door P op d laat corresponderen.

Opmerkingen:

* De vorige axioma’s zijn onvoldoende om te bewijzen dat de loodrechte projectie vanE op een rechte een parallelprojectie is, m.a.w. uit de axioma’s volgt niet noodzakelijkdat alle rechten door een punt loodrecht op een gegeven rechte, in een vlak liggen.

* Volgens stelling 1.5 is de loodrechte projectie van het vlak Π op een rechte van Π eenparallelprojectie.

* Met projectie bedoelen we in ’t vervolg de loodrechte projectie.

1.1.1.4 Orthogonaliteit van vectoren

Twee vectoren zijn orthogonale vectoren als en slechts als hun richtingen orthogonaalzijn.

We noteren:~v1 ⊥ ~v2

Afspraak: De nulvector is orthogonaal met elke vector.

STELLING 1.8 Zijn drie vectoren verschillend van de nulvector en twee aan twee ortho-gonaal dan zijn ze lineair onafhankelijk.


Inderdaad, zijn drie verschillende richtingen twee aan twee orthogonaal dan zijn ze niet-parallel met eenzelfde vlak. Onderstel dat de drie richtingen parallel zijn met eenzelfdevlak dan geldt volgens stelling 1.5 van orthogonale rechten dat twee van de richtingenparallel moeten zijn en dit is in strijd met het gegeven dat de drie richtingen twee aan tweeorthogonaal zijn.

1.1.2 Afstand en scalair product

1.1.2.1 Afstand van een puntenkoppel — norm van een vector

Om tot het begrip afstand van een puntenkoppel te komen zijn er in principe axioma’svereist, de zogenaamde axioma’s van congruente puntenkoppels.We beschouwen een basisvector ~e van een vectorrechte en geven die een lengte 1. Elkeandere vector ~v = ~PQ van die vectorrechte is een veelvoud van ~e. We definieren dan deabsolute waarde van dat veelvoud als de afstand tussen de punten P en Q.

~v = r~e

d(P,Q) = |r| met r =~PQ

~e

Op die manier krijgen alle vectoren parallel met die vectorrechte een lengte. De axioma’s vancongruente puntenkoppels maken het dan mogelijk het meten van lengtes in die bepaalderichting over te plaatsen naar alle richtingen van rechten in E.De afstand van het puntenkoppel (P,Q) wordt ook de lengte van het lijnstuk [PQ]

genoemd of ook nog de norm van de vector ~PQ.

We noteren: d(P,Q) = ‖ ~PQ‖ = |PQ|.Opmerkingen:

* De norm van een vector wordt ook soms lengte van de vector genoemd.

* Een vector is de nulvector als en slechts als zijn norm gelijk is aan 0.

1.1.2.2 Genormeerde vector van een vector

De genormeerde vector van een vector, verschillend van de nulvector, is gelijk aan devector gedeeld door zijn norm of lengte.

Met symbolen:

~v 6= ~o =⇒ ~v

‖~v‖is de genormeerde vector van ~v


Opmerking: De genormeerde vector van een vector is steeds een eenheidsvector.

Praktisch komt de definitie hierop neer dat de genormeerde vector van een vector de een-heidsvector is met dezelfde richting en zin als van de vector zelf.

De nulvector kan niet genormeerd worden.

1.1.2.3 Scalair product van een koppel vectoren

Het axioma (σ):

(σ) We beschouwen twee verschillende vectorrechten ao en bo, georienteerd volgens resp.

de eenheidsvectoren ~OA = ~e1 en ~OB = ~e2. Is het punt A′ de projectie van A op boen B′ de projectie van B op ao dan is de absis van A′ op de georienteerde rechte bogelijk aan de absis van B′ op de georienteerde rechte ao.

~OB′

~OA=

~OA′

~OB

We noemen de absis van die projecties het scalair product van de eenheidsvectoren ~e1.~e2 of

de cosinus van de georienteerde hoek∧

(oe1, oe2)= θ.

~e1.~e2 = cos θ

Het scalair product van twee vectoren ~v1, ~v2 is het reeel getal dat we bekomen doorhet product te maken van de normen van de beide vectoren en het scalair product van degenormeerde vectoren van ~v1 en ~v2.

Met symbolen:~v1.~v2 = ‖~v1‖‖~v2‖ cos θ

Eigenschappen

1. ~v.~v = ~v2 = ‖~v‖2 ≥ 0 en (~v2 = 0⇐⇒ ~v = ~o);√~v2 = ‖~v‖

2. ~v.~w = 0⇐⇒ ~v = ~o ∨ ~w = ~o ∨ ~v ⊥ ~w

3. ~v.~w = ~w.~v

4. ∀r ∈ R : (r.~v). ~w = ~v.(r.~w) = r(~v.~w)

5. ∀~v, ~w, ~u : ~v(~w + ~u) = ~v.~w + ~v.~u


Figuur 1.4: ~v1.~v2 = ~v1.~v3

6. (~v ± ~w)2 = ~v2 ± 2~v.~w + ~w2

7. ‖~v ± ~w‖ ≤ ‖~v‖ ± ‖~w‖ (Minkowski)

8. (~v.~w)2 ≤ ~w2~v2 en (~v.~w)2 = ~v2 ~w2 ⇐⇒ ~v ‖ ~w

9. |~v.~w| ≤ ‖~v‖‖~w‖ (Cauchy-Schwarz)

10. ∀~v, ~w, ~u ∧ ~v ‖ ~u : (~v.~w).~u = ~v(~w.~u)

Met deze eigenschappen van het scalair product kunnen we gemakkelijk bewijzen dat deafbeelding d die elk puntenkoppel afbeeldt op de afstand van het puntenkoppel een af-standsfunctie is.

STELLING 1.9 De ruimte E, d is een metrische ruimte.

Een afbeelding d : E × E −→ R : (P,Q) 7−→ d(P,Q) is een afstandsfunctie als en slechtsals

1. d(P,Q) ≥ 0 ∧ (d(P,Q) = 0⇐⇒ P = Q)

2. d(P,Q) = d(Q,P )

3. d(P,Q) ≤ d(P,R) + d(R,Q) ∧ d(P,Q) = d(P,R) + d(R,Q)⇐⇒ R ∈ [PQ]

De laatste eigenschap wordt de driehoeksongelijkheid genoemd. Ze is een andere schrijfwijzevoor de formule van Minkowski.


1.1.3 De affiene ruimte als euclidische ruimte

Als in de affiene ruimte E een scalair product gedefinieerd is dan is E een euclidischeruimte.De definitie van scalair product komt tot stand door de axioma’s voor de orthogonalerichtingen, de axioma’s van congruente puntenkoppels en het axioma σ. Dank zij dezeaxioma’s zal nu bijvoorbeeld de loodrechte projectie op een rechte wel een parallelprojectiezijn.

Alle stellingen uit de vlakke euclidische meetkunde zijn ook geldig in elk vlak van de eucli-dische ruimte.

OPGAVEN — 1 Zijn de vectoren ~v en ~u lineair onafhankelijk dan zijn de vectoren ~v en ~u − ~v.~u~v2 .~v

orthogonale vectoren. Bewijs dit.

2 Gegeven: vier punten A, B, C en D met AB en AC orthogonale rechten (A 6= B en A 6= C).Bewijs dat als

~AQ =~AD. ~AB

~AB2 . ~AB +

~AD. ~AC

~AC2 . ~AC

geldt, dan is Q de projectie van D op het vlak ABC.

3 Gegeven: vier punten A, B, C en D.

(i) Toon aan~DA. ~BC + ~DB. ~CA+ ~DC. ~AB = 0

(ii) Steun op (i) om aan te tonen dat de hoogtelijnen van een willekeurige driehoek concurrent zijn.

(iii) Als D ligt op de loodlijn in A op het vlak ABC dan geldt

~AB. ~DC = ~AC. ~DB

4 Gegeven: het viervlak ABCD; de middens M en N van resp. de ribben [AB] en [CD]; de punten P enQ op resp. de ribbe [AD] en [BC] zodanig dat [MN ] en [PQ] elkaar snijden.Stel

‖ ~AP‖‖ ~AD‖

= λ

Bereken‖ ~QC‖‖ ~BC‖

in functie van λ

5 Een willekeurig punt P wordt verbonden met de hoekpunten van een parallellepipedum en met hetsnijpunt S van de diagonalen.Toon aan dat de som van de kwadraten van de afstanden van P tot de hoekpunten, gelijk is aan hetachtvoud van het kwadraat van de afstand van P tot S vermeerderd met de halve som van de kwadratenvan de lengten van de diagonalen.

1.2. ORTHOGONALITEIT VAN RECHTE EN VLAK 11

1.2 Orthogonaliteit van rechte en vlak

STELLING 1.10 Is een rechte orthogonaal met tenminste twee snijdende rechten van hetvlak, dan is die rechte orthogonaal met elke rechte van dat vlak.

Met symbolen:l ⊥ al ⊥ b

a ∩ b = {S}x ⊂ vl(a, b)

=⇒ l ⊥ x

Deze stelling maakt de volgende definitie mogelijk:

Een rechte is orthogonaal met een vlak als en slechts als de rechte orthogonaal is metelke rechte van het vlak of met twee snijdende rechten van dat vlak.

We kunnen nu zeggen: Als een rechte loodrecht staat op een vlak dan staat ze loodrecht opelke rechte van dat vlak.

Met symbolen:l ⊥ αa ⊂ α

}=⇒ l ⊥ a

Een rechte staat loodrecht op een vlak als ze loodrecht staat op twee snijdende rechten vandat vlak.

Met symbolen:l ⊥ al ⊥ b

a ∩ b = {S}

=⇒ l ⊥ vl(a, b)

l wordt een loodlijn genoemd op het vlak α en α wordt een loodvlak op de rechtel genoemd. Het snijpunt van l en α is het voetpunt van de loodlijn l op α.

STELLING 1.11 Als een van twee parallelle rechten orthogonaal is met een vlak dan isde andere rechte ook orthogonaal met dat vlak.

Met symbolen:

l ‖ l′l ⊥ α

}=⇒ l′ ⊥ α


Figuur 1.5: orthogonaliteit van rechte en vlak 1

STELLING 1.12 Twee loodlijnen op eenzelfde vlak zijn parallel.

Met symbolen:l ⊥ αl′ ⊥ α

}=⇒ l ‖ l′

STELLING 1.13 Als een van twee parallelle vlakken orthogonaal is met een rechte danis het andere vlak ook orthogonaal met deze rechte.

Met symbolen:l ⊥ αα ‖ α′

}=⇒ l ⊥ α′

STELLING 1.14 Twee loodvlakken op eenzelfde rechte zijn parallel.

Met symbolen:l ⊥ αl ⊥ α′

}=⇒ α ‖ α′

STELLING 1.15 Door elk punt gaat juist een loodvlak op een gegeven rechte. Dat loodvlakbevat elke rechte die door dat punt gaat en orthogonaal is met de rechte.

STELLING 1.16 Door elk punt gaat juist een loodlijn op een gegeven vlak


STELLING 1.17 De loodrechte projectie van E op een rechte van E is een parallelpro-jectie.

STELLING 1.18 De loodrechte projectie van E op een vlak van E is een parallelprojectie.

STELLING 1.19 Is een rechte orthogonaal met een loodlijn van een vlak dan is de rechteparallel met dat vlak.

Met symbolen:l ⊥ αa ⊥ l

}=⇒ a ‖ α

STELLING 1.20 (De Stelling van de drie loodlijnen) Laat men uit een willekeurigpunt P van E de loodlijn l neer op een vlak α van E en laat men uit het voetpunt L van lde loodlijn m neer op een willekeurige rechte a van α, dan staat de rechte n die het punt Pmet het voetpunt M van m verbindt, loodrecht op de rechte a.

Met symbolen:l ⊥ αP ∈ la ⊂ αLM ⊥ aM ∈ a

=⇒ PM ⊥ a

Figuur 1.8: stelling van de drie loodlijnen


STELLING 1.21 (Omgekeerde stelling van de Stelling van de drie loodlijnen) Laatmen uit een willekeurig punt P de loodlijnen l en n (l 6= n) neer op resp. een willekeurig vlakα en op een willekeurige rechte a van α, dan staat de rechte m die de respectieve voetpuntenL en M verbindt, loodrecht op a.

OPGAVEN — 6 Uit een willekeurig punt A laat men de loodlijnen neer op een vlak α (A /∈ α) en opde rechten b en c van α. De voetpunten zijn drie verschillende punten A′, B en C. Bewijs dat b evenwijdigis met c als en slechts als A′, B en C collineair zijn (Toelatingsex. Ir).

7 Gegeven een rechte c, een vlak α en twee kruisende rechten a en b. Construeer een rechte x steunendop a en b en orthogonaal met c en parallel met α.

8 In een vlak α construeert men een cirkel (O, r). In een punt A van deze cirkel construeert men in hetvlak α de raaklijn, waarop men een lijnstuk [AB] afpast. Op de loodlijn in O op α past men een lijnstuk[OC] af. Bereken |BC|.

9 In het vlak α beschouwen we een driehoek ABC die rechthoekig is in A. Op de loodlijn a in A opα neemt men een variabel punt P . We noemen Q het voetpunt van de loodlijn uit C op de rechte BP .Bepaal de meetkundige plaats van de punten Q als P de rechte a doorloopt (Toelatingsex. Ir).

10 Twee rechten a en b zijn loodrecht kruisend. Uit een willekeurig punt A van a laat men de loodlijnneer op b, voetpunt B op b. Men verbindt B met een willekeurig punt C van a (C 6= A). Bewijs dat bloodrecht staat op de rechte BC (Toelatingsex. Ir).

11 In een viervlak ABCD zijn de drie ribben die samenkomen in D twee aan twee orthogonaal. In eenwillekeurig punt van ]AC[ beschouwen we het loodvlak α op AC. Dit vlak α snijdt het viervlak ABCDvolgens een ... . Vul aan en bewijs (Toelatingsex. Ir.)

RM II HUISTAAK 1 1. Gegeven twee kruisende rechten a en b en een punt P . Con-strueer door P een rechte die a snijdt en orthogonaal is met b.

2. Gegeven een vlak α, een punt P van α en een rechte a. Construeer in het vlak α eenrechte x die door P gaat en orthogonaal is met a.

3. Gegeven vier niet-coplanaire punten A, B, C en D. Construeer de rechte x door Dzodanig dat de voetpunten van de loodlijnen uit A, B en C op x samenvallen.

4. Als we uit een punt twee loodlijnen op twee elkaar snijdende vlakken neerlaten, dansnijden de loodlijnen op de snijlijn door de voetpunten van de eerste loodlijnen ge-trokken, elkaar in een punt. Bewijs.

5. Aan de zoldering van een kamer, die 4m hoog is, bevestigt men een touw dat 5m langis. Men spant het touw en met het uiteinde ervan beschrijft men een cirkel op devloer van de kamer. Bereken de omtrek van de cirkel.


Figuur 1.9: orthogonaliteit van twee vlakken 1

1.3 Orthogonaliteit van twee vlakken

Twee verschillende niet-parallelle vlakken van E hebben een rechte gemeen. Het is bijgevolg onmogelijk datelke rechte van het ene vlak orthogonaal is met elke rechte van het andere vlak, want de gemeenschappelijkerechte zou dan orthogonaal zijn met zichzelf. Hiermee moeten we rekening houden bij het definieren vande loodrechte stand van twee vlakken.

1.3.1 Definitie en eerste eigenschappen

We definieren de loodrechte stand van twee vlakken als volgt:

Een vlak β is een loodvlak op een vlak α als en slechts als β parallel is met tenminsteeen loodlijn l op α.

Omdat alle loodlijnen op eenzelfde vlak onderling parallel zijn, is elk loodvlak β op αparallel met elke loodlijn op α.

Met symbolen:

β ⊥ α⇐⇒ ∃l :

{l ⊥ αl ‖ β

Gevolgen van de definitie:

1. Is β een loodvlak op α dan zijn α en β snijdende vlakken.

2. Is β een loodvlak op α dan is α een loodvlak op β.

1.3. ORTHOGONALITEIT VAN TWEE VLAKKEN 17

Besluit:

* De loodrechte stand van twee vlakken is een relatie over de verzameling van de vlakkenvan E die antireflexief is en symmetrisch.

* Twee vlakken staan loodrecht op elkaar als en slechts als een loodlijn op het ene vlakparallel is met het andere vlak.

* Twee vlakken staan loodrecht op elkaar als en slechts als een loodlijn op het ene vlak eneen loodlijn op het ander vlak orthogonale rechten zijn (orthogonale normaalvectoren).

Stellingen

STELLING 1.22 Zijn α en β loodrechte vlakken en trekken we door een willekeurig puntvan β de loodlijn l op α, dan ligt l in β.

Met symbolen:α ⊥ βl ⊥ α

P ∈ l ∩ β

=⇒ l ⊂ β

Nu kunnen we ook zeggen dat twee vlakken loodrecht op elkaar staan als en slechts als hetene vlak een rechte bevat die loodrecht staat op het andere vlak.

STELLING 1.23 Zijn α en β twee loodrechte vlakken, dan is elke rechte die in α loodrechtop de snijlijn s van α en β getrokken wordt, een loodlijn op β.

Met symbolen:α ⊥ β

α ∩ β = sm ⊂ αm ⊥ s

=⇒ m ⊥ β

STELLING 1.24 Staat een vlak loodrecht op twee snijdende vlakken dan staat ze loodrechtop de snijlijn van die twee vlakken.

Met symbolen:α ∩ β = sγ ⊥ αγ ⊥ β

=⇒ γ ⊥ s


Figuur 1.10: orthogonaliteit van twee vlakken 2

STELLING 1.25 Twee vlakken staan loodrecht op elkaar als en slechts als ze elkaar snij-den en tenminste een loodvlak (en dan alle loodvlakken) op hun snijlijn de beide vlakkenvolgens loodlijnen snijdt.

Met symbolen:

α ∩ β = sγ ⊥ s

γ ∩ α = aγ ∩ β = ba ⊥ b

=⇒ α ⊥ β ∧

α ⊥ βγ ⊥ s

γ ∩ α = aγ ∩ β = b

=⇒ a ⊥ b

STELLING 1.26 Staat een rechte b niet loodrecht op een vlak α, dan gaat door b juisteen loodvlak β op α; de snijlijn van α en β is de projectie b′ van b op α.

Met symbolen:

b 6⊥ α =⇒ ∃β :

{β ⊥ αb ⊂ β

OPGAVEN — 12 Breng door een punt P een vlak aan, dat parallel is met een rechte l en orthogonaalis met een vlak α.

13 Gegeven een viervlak waarvan twee paren overstaande ribben orthogonaal zijn. Bewijs dat het derdepaar overstaande ribben tevens orthogonaal zijn. Het viervlak wordt een orthogonaal viervlak genoemd.

14 Is een rechte parallel met een vlak dan staat elk loodvlak op de rechte loodrecht op het vlak. Bewijsdat.


Figuur 1.11: projectie van een rechte hoek

15 Als men door een gegeven punt twee vlakken α en β aanbrengt, resp. loodrecht op twee snijdenderechten van een vlak γ, dan staat de snijlijn van α en β loodrecht op γ. Bewijs dat.

De volgende twee paragrafen zijn theoretische toepassingen van de stellingen over de ortho-gonaliteit van rechten en vlakken.

1.3.2 Projectie van een paar orthogonale rechten

STELLING 1.27 Orthogonale rechten a en b, waarvan geen enkele loodrecht staat op eenvlak α, worden volgens orthogonale rechten a′ en b′ op het vlak α geprojecteerd als en slechtsals tenminste een van de rechten a, b parallel is met het vlak α.

OPGAVEN — 16 Wanneer is de projectie van een rechthoek en een vierkant op een vlak een rechthoekresp. een vierkant?

17 Gegeven zijn twee orthogonale rechten en een rechte l. Hoeveel vlakken gaan door l, waarop de tweeorthogonale rechten zich als loodlijnen projecteren?

18 Onder welke voorwaarde is de projectie van het hoogtepunt van een driehoek ook hoogtepunt van deprojectie van de driehoek?

19 Gegeven is een viervlak ABCD, waarvoor geldt dat de drie ribben in het hoekpunt D twee aan tweeorthogonaal zijn. Bewijs dat de projectie van D op het overstaande zijvlak ABC het hoogtepunt is vandriehoek ABC.


20 Twee rechten a en b zijn loodrecht kruisend. Men brengt door a een vlak α aan dat niet loodrecht opb staat. We noemen b′ de projectie van b op α. Bewijs dat a loodrecht staat op b′ (Toelatingsex. Ir).

RM II HUISTAAK 2 1. Wanneer is de projectie van een ruit op een vlak een ruit?

2. Gegeven een kubus ; de lengte van de zijde is z. Noem α het vlak bepaald door dezijvlaksdiagonaal AD′ en het midden M van de ribbe [BB′]. Dit vlak α snijdt dekubus volgens een figuur F . Bereken de oppervlakte van dit gebied F als functie vanz. (Antw:9

8z2)

3. Staat een rechte loodrecht op een vlak, dan staat haar projectie op een ander niet-evenwijdig vlak loodrecht op de snijlijn van de twee vlakken. Bewijs dat.

1.3.3 Gemeenschappelijke loodlijn van twee kruisende rechten

Een rechte c die t.z.t. orthogonaal is met a en met b is een rechte die orthogonaal met eenvlak γ die parallel is met zowel de rechte a als met de rechte b. Er is maar een richtingvan rechten orthogonaal met een vlak (twee loodlijnen op eenzelfde vlak zijn parallel). Allerechten orthogonaal met a en met b zijn dus onderling evenwijdig.

c ⊥ a en a ‖ γc ⊥ b en b ‖ γ

}=⇒ c ⊥ γ =⇒ c 6‖ γ

Omdat c 6‖ γ bestaat er altijd juist een steunrechte l op a en b parallel met c (zie hetvraagstuk: bepalen van een steunrechte van twee kruisende rechten parallel met een derderechte).

De rechte l noemen we de gemeenschappelijke loodlijn van de kruisende rechten aen b.

1. Constructie 1Omdat c 6‖ a en c 6‖ b bestaat er juist een vlak α door a en evenwijdig met c en juisteen vlak β door b en evenwijdig met c.De vlakken α en β zijn niet parallel, anders zou c evenwijdig zijn met een vlak γ datevenwijdig is met a en b.

c ‖ αc ‖ β

α ∩ β = l

=⇒ l ‖ c ∧l ⊂ αa ⊂ αa ⊥ l

=⇒ a snijdt l ∧l ⊂ βb ⊂ βb ⊥ l

=⇒ b snijdt l

Hieruit volgt dat l de gemeenschappelijke loodlijn is van a en b.


2. Constructie 2We bepalen eerst het vlak γ door b parallel met a. Het vlak γ is een vlak vande richting van vlakken bepaald door a en b. Vervolgens bepalen we de loodrechteprojectie van a op γ. Het projecterend vlak α door a is het loodvlak door a op γ.Omdat a evenwijdig is met het projectievlak is a evenwijdig met haar projectie.

a kruist ba ‖ a′a′ ⊂ γb ⊂ γ

=⇒ a′ snijdt b =⇒ a′ ∩ b = {B}

We construeren de loodlijn l in B op γ. l is een orthogonale rechte van a en van b.

α ⊥ γB ∈ l ∩ α ⇒ l ⊂ α

l ⊥ γ a ⊂ α ⇒ a snijdt l ⇒ a ∩ l = {A}a ⊥ l b ∩ l = {B} ⇒ l is de gemeenschappelijke

a ⊥ l loodlijn van a en b.b ⊥ l

OPGAVEN — 21 Gegeven zijn twee orthogonaal kruisende rechten a en b. We noemen α het loodvlakdoor a op b en β het loodvlak door b op a. Bewijs dat de snijlijn van α en β de gemeenschappelijke loodlijnis van a en b.


1.3.4 De afstand tussen punt en rechte

De afstand tussen een punt en een rechte is de afstand van dat punt tot zijn loodrechteprojectie op die rechte.Zij P een punt en a een rechte dan is de loodrechte projectie P ′ van P op a het snijpuntvan het loodvlak door P op a.

1.3.5 De afstand tussen punt en vlak

De afstand tussen een punt en een vlak is de afstand tussen dat punt en zijn loodrechteprojectie op dat vlak.Zij P een punt en α een vlak dan is de loodrechte projectie P ′ van P op α het snijpunt vande loodlijn door P op α.

1.3.6 De afstand tussen twee strikt parallelle vlakken

De afstand tussen twee strikt parallelle vlakken is de afstand tussen een willekeurigpunt, van het ene vlak, en het andere vlak.

1.3.7 De afstand tussen twee rechten

STELLING 1.28 De afstand tussen de twee steunpunten op de gemeenschappelijke lood-lijn van twee kruisende rechten is kleiner dan de afstand tussen twee willekeurige puntenvan resp. a en b.

Het bewijs steunt hier op het feit dat in een rechthoekige driehoek een rechthoekszijdesteeds kleiner is dan de schuine zijde (zie figuur bij de gemeenschappelijke loodlijn).

We kunnen nu de afstand tussen twee kruisende definieren:De afstand tussen twee kruisende rechten is de afstand op de gemeenschappelijkeloodlijn tussen de twee steunpunten.

De afstand tussen twee snijdende rechten is gelijk aan nul.

De afstand tussen twee strikt parallelle rechten is de afstand tussen de snijpuntenvan die rechten met een loodvlak op die rechten. (alle loodvlakken zijn parallel).

Belangrijke opmerking:De afstand tussen twee kruisende rechten a en b is ook gelijk aan de afstand tussen eenpunt van a en het vlak γ door b parallel met a. De afstand tussen twee kruisende rechten aen b is ook nog gelijk aan de afstand tussen het vlak door a parallel met b en het vlak doorb parallel met a.


OPGAVEN — 22 Is een rechte a parallel met een vlak α, dan is de afstand tussen a en alle rechten vanα die niet parallel zijn met a, dezelfde. Bewijs dit.

23 Gegeven zijn twee orthogonaal kruisende rechten a en b. De rechte AB (A ∈ a en B ∈ b) is degemeenschappelijke loodlijn van a en b. Op a nemen we de punten C en C ′ zo, dat |AC| = |AC ′|. Bewijsdat voor elk punt D van b geldt dat |DC| = |DC ′|.

24 Van een viervlak hebben alle ribben dezelfde lengte λ.

(i) Bewijs dat de rechte die de middens van twee overstaande ribben verbindt, de gemeenschappelijkeloodlijn is van deze ribben.

(ii) Bereken de afstand van twee overstaande ribben (Toelatingsex. Ir.). (Antw:√

22 λ)

25 * Beschouw een orthogonaal viervlak (ABCD), d.w.z. een viervlak waarin elk paar overstaande ribbenop orthogonale rechten liggen.

(i) Bewijs dat elke hoogtelijn het overstaande zijvlak in het hoogtepunt van deze driehoek snijdt.

(ii) Bewijs dat de vier hoogtelijnen concurrent zijn. Het gemeenschappelijk snijpunt noemen we hethoogtepunt van het viervlak.

(iii) Bewijs dat de gemeenschappelijke loodlijn van twee overstaande ribben door dit hoogtepunt gaat.

(iv) Bewijs dat |AB|2 + |CD|2 = |AC|2 + |BD|2 = |AD|2 + |BC|2. (Toelatingsex. Ir.).

26 * Is AB de gemeenschappelijke loodlijn van twee kruisende rechten a en b met A ∈ a en B ∈ b. Kiesde punten M en N op resp. a en b en stel ‖ ~AB‖ = d, ‖ ~MN‖ = z, ‖ ~AM‖ = x en ‖ ~BN‖ = y.

(i) Teken een kubus en zoek rechten en punten die aan de bovenstaande uitspraken voldoen.

(ii) Druk z uit in functie van x, y en d.

(iii) Als z < 1, bepaal dan de lijnstukken [MN ] die aan de betrekking voldoen.

1.3.8 De hoek tussen twee rechten

In het vlak is de hoek tussen twee rechten steeds een scherpe hoek of een rechte hoek. Dehoek tussen twee niet-parallelle rechten is de niet-stompe hoek van de projecties vandie rechten op een vlak van de richting van vlakken bepaald door die rechten. Deze definitieis dus herleid tot de definitie van een hoek van twee snijdende rechten in een vlak.

1.3.9 De hoek tussen een rechte en een vlak

Staat de rechte b niet loodrecht op een vlak α dan is de hoek tussen de rechte b enhet vlak α gelijk aan de hoek tussen de rechte b en haar projectie b′ op het vlak α. Staatde rechte b wel loodrecht op het vlak α, dan is de hoek tussen b en α vanzelfsprekend eenrechte hoek. De hoek tussen een rechte en een vlak is ook het complement van de hoektussen de rechte en een loodlijn (normaalvector) op het vlak.


Figuur 1.12: hoeken

1.3.10 De hoek tussen twee vlakken

De hoek tussen twee snijdende vlakken α en β is de hoek tussen de snijlijnen van αen β met een vlak γ dat orthogonaal is met de snijlijn S van α en β.De hoek tussen twee vlakken is ook de hoek tussen twee loodlijnen (normaalvectoren) opresp. de twee vlakken.

OPGAVEN — 27 Een zadeldak heeft de vorm van een driezijdig prisma(A D EB C F

). Aan beide

zijden van de nok [EF ] neemt men 2 meter weg (|FH| = 2 meter). Zo ontstaat een schilddak. Bepaal dehoek tussen de vlakken BCH en ABCD, als je weet dat |BC| = 6 meter en driehoek BCF gelijkzijdig is.

28 Twee gelijke lijnstukken worden dan en slechts dan als gelijke lijnstukken geprojecteerd op een vlak,als hun dragers gelijke hoeken maken met het vlak. Bewijs dat.

29 Bewijs dat de hoek tussen een rechte a en een vlak α gelijk is aan het complement van de hoek tussende rechte a en elke rechte b loodrecht op α.

30 Bewijs dat de hoek tussen twee vlakken gelijk is aan de hoek tussen twee respectieve willekeurigeloodlijnen op die vlakken.

Oplossingen: 27.

1.4. MEETKUNDIGE PLAATSEN 25

Figuur 1.13: meetkundige plaatsen

1.4 Meetkundige plaatsen

Een meetkundige plaats in E is een verzameling van de punten van E die aan eenbepaalde meetkundige voorwaarde voldoen.

• De sfeer met middelpunt M en straal r is de meetkundige plaats van de puntendie op een afstand r van het punt M gelegen zijn.

• Het omwentelingscilinderoppervlak met as a en straal r is de meetkundigeplaats van de punten die op een afstand r van de rechte a gelegen zijn.

• Het middenloodvlak van een lijnstuk [AB] is de verzameling van de punten dieeven ver liggen van A en B.

• Het middenparallelvlak van twee parallelle vlakken α en β is de verzamelingvan de punten die even ver van α en β gelegen zijn.

• Het middenparallelloodvlak van twee parallelle rechten is de verzameling vande punten die even ver liggen van de twee parallelle rechten.

• De unie van de bissectorvlakken van twee snijdende vlakken is de verzamelingvan de punten die even ver liggen van de twee snijdende vlakken.

• De unie van de bissectriceloodvlakken van twee snijdende rechten is de verza-meling van de punten die even ver liggen van die twee rechten.

OPGAVEN — 31 Zijn a en b twee kruisende rechten met gemeenschappelijke loodlijn l = AB, met Aen B punten van resp. a en b. Bewijs dat het middenloodvlak van [AB] ook alle lijnstukken die een puntvan a verbinden met een punt van b, middendoor deelt (Toelatingsex. Ir.).


32 * Gegeven vier niet-coplanaire punten A, B, C en D, derwijze dat A op gelijke afstand ligt van C enD alsook B op gelijke afstand van C en D. Zij verder M het midden van [AB] en N het midden van [CD].Geef en bewijs een nodige en voldoende voorwaarde (in termen van afstanden tussen A, B, C en D) opdatMN de gemeenschappelijke loodlijn van de rechten AB en CD zou zijn (Toelatingsex. Ir.).

33 * Construeer een rechte die twee gegeven kruisende rechten snijdt, evenwijdig is met een gegeven vlak,en op een gegeven afstand van dit vlak ligt.

34 De punten A en B zijn twee punten van resp. twee kruisende rechten a en b. Teken een kubus en zoekrechten die aan de opgave voldoen. Bepaal de meetkundige plaats van de middens van de lijnstukken [AB].

35 * De rechten a en b staan loodrecht op een vlak α in de punten A en B. Op a kiezen we een punt A′

en op b een punt B′.Bepaal de meetkundige plaats van de punten van α van waaruit [AA′] en [BB′] onder gelijke hoek waarge-nomen worden.

36 We beschouwen een rechthoekige driehoek ABC die rechthoekig is in A. Op de loodlijn a in A ophet vlak ABC nemen we een punt P . We noemen Q het voetpunt van de loodlijn uit C op de rechte BP .Bepaal de meetkundige plaats van de punten Q als P de rechte a doorloopt.

37 Wordt een lijnstuk door een vlak middendoor gedeeld, dan liggen zijn uiteinden even ver van dit vlak.Bewijs dat. Is het omgekeerde waar?

38 * Construeer door een gegeven rechte een vlak dat even ver ligt van twee punten.

39 * Construeer door een punt A een vlak dat even ver ligt van drie punten B, C en D, als A niet in hetvlak (BCD) ligt.

40 * Construeer een rechte, die twee gegeven kruisende rechten snijdt, evenwijdig is met een gegeven vlak,en op een gegeven afstand van dit vlak ligt.

41 * Construeer een vlak, dat parallel is met een gegeven rechte en op gelijke afstand ligt van drie gegevenpunten.

42 Toon aan dat elk vlak dat door een diagonaal van een parallellogram wordt aangebracht op dezelfdeafstand ligt van de uiteinden van de andere diagonaal (Toelatingsex. Ir.).

1.5 Lichamen

1.5.1 Veelvlakken

In de affiene ruimte E hebben we reeds de definitie van een veelvlak gegeven. Een prisma, een afgeknotprisma, een piramide en een afgeknotte piramide werden hierbij gedefinieerd als speciale veelvlakken.

In de euclidische ruimte beschikken we over de begrippen van loodrechte stand en afstand. Hier zijn we inde mogelijkheid de hoogte van een prisma en van een piramide te definieren, alsook nog bijzondere prisma’s,regelmatige veelvlakken, cilinders en kegels.

1.5. LICHAMEN 27

Figuur 1.14: prisma — recht parallellepipedum — balk

1.5.1.1 Prisma’s

De hoogte van een prisma is de afstand tussen grondvlak en bovenvlak.

Soorten prisma’s in de euclidische ruimte:

• Een recht parallellepipedum is een parallellepipedum waarvan de opstaande ribbenloodrecht staan op grondvlak en bovenvlak. De opstaande zijvlakken zijn rechthoekenen grondvlak en bovenvlak zijn parallellogrammen.

• Een balk of rechthoekig parallellepipedum is een recht parallellepipedum waar-van grondvlak en bovenvlak rechthoeken zijn. Alle zijvlakken zijn rechthoeken.

De zijdelingse oppervlakte van een prisma is gelijk aan het product van een op-staande ribbe en de omtrek van een vlakke doorsnede loodrecht op de opstaande ribben. Deinhoud van een prisma is gelijk aan het product van de oppervlakte van het grondvlaken de hoogte.

OPGAVEN — 43 Bewijs dat de diagonalen van een balk en van een kubus even lang zijn.

44 * De hoogte van een driezijdig prisma is het dubbele van de middellijn van de omgeschreven cirkelvan het grondvlak. Bewijs dat de inhoud van dat prisma gelijk is aan de inhoud van het rechthoekigparallellepipedum dat de zijden van het grondvlak tot afmetingen heeft.

45 De inhoud van een driezijdig prisma is gelijk aan het product van een opstaand zijvlak en de helft vande afstand van de overstaande ribbe tot dat zijvlak.


Figuur 1.15: inhoud piramide

1.5.1.2 Piramides

De hoogte van een piramide is de afstand van de top tot het grondvlak van de piramide.

Soort piramide in de euclidische ruimte:

Een regelmatige n-zijdige piramide is een piramide waarvan het grondvlak een regel-matige n-zijdige veelhoek is en waarvan de loodlijn uit de top op het grondvlak in hetmiddelpunt van de regelmatige veelhoek valt.

Het middelpunt van een regelmatige veelhoek is het middelpunt van de cirkel be-schreven om deze regelmatige veelhoek.

Het apothema van een regelmatige piramide is de hoogte van een opstaand zijvlakvanuit de top. De zijdelingse oppervlakte van een regelmatige piramide is gelijkaan de helft van het product van het apothema en de omtrek van het grondvlak.

De inhoud van een piramide is gelijk aan een derde deel van het product van deoppervlakte van het grondvlak en de hoogte.

1.5.1.3 Afgeknotte piramide

De zijdelingse oppervlakte van een afgeknotte regelmatige piramide is gelijkaan het product van het apothema en het rekenkundig gemiddelde van de omtrekken vangrond- en bovenvlak.

1.5. LICHAMEN 29

De inhoud van een afgeknotte piramide is gelijk aan het derde deel van het productvan de hoogte en de som van de oppervlakte van het grondvlak, de oppervlakte van hetbovenvlak en het meetkundig gemiddelde van deze twee oppervlakten.

OPGAVEN — 46 Een piramide met top T wordt gesneden door twee evenwijdige vlakken die 1,5 metervan elkaar liggen, zodanig dat de opstaande ribben gesneden worden in de punten op 10 meter resp. 7,5meter van T .

(i) Bepaal de verhouding van de oppervlakten van de doorsneden.

(ii) Hoever is de top van elk van de snijvlakken verwijderd?

Oplossingen:

46 (i) 1, 777 . . .; (ii) 4,5 en 6.

RM II HUISTAAK 3 1. In een recht prisma

(D E FA B C

), met |AB| = 8, |BC| =

10 en |AC| = 6 en hoogte gelijk aan 6, brengen we door de ribbe DF een vlak aandat de ribbe BE in G snijdt zodanig dat |GE| = 3.

(i) Bepaal het volume van het lichaam

(D G FA B C

)(Antw: 120);

(ii) Bepaal de hoek tussen de vlakken DEF en DGF (Antw: 20o, 56).

2. De oppervlakten van grond- en bovenvlak van een afgeknotte piramide verhoudenzich als 9 en 4.

(i) Bepaal de hoogte van de afgeknotte piramide als de bovenpiramide 8 meter hoogis (Antw: 4).

(ii) Als de opstaande ribbe van de afgeknotte piramide 5 meter is, hoe lang is dande opstaande ribbe van de hele piramide? (Antw: 15)

1.5.1.4 Regelmatige veelvlakken

Een regelmatig veelvlak is een veelvlak waarvan de zijvlakken congruente veelhoekenzijn en door alle hoekpunten evenveel zijvlakken gaan. De hoekpunten van een regelmatigveelvlak liggen op eenzelfde sfeer.

1. Een regelmatig viervlak (tetraeder) is een driezijdige piramide waarvan de zij-vlakken gelijkzijdige driehoeken zijn. In elk hoekpunt komen drie driehoeken samen.Een regelmatig viervlak heeft 4 hoekpunten en 6 ribben.


Figuur 1.16: Kubus ingeschreven in een twaalfvlak

1.5. LICHAMEN 31

Figuur 1.17: dodecaeder — icosaeder

2. Een regelmatig zesvlak (hexaeder) is een kubus. De zijvlakken zijn vierkanten.In elk hoekpunt komen drie vierkanten samen. Een kubus heeft 8 hoekpunten en 12ribben.

3. Een regelmatig achtvlak (octaeder) is een regelmatig veelvlak waarbij in elkhoekpunt vier gelijkzijdige driehoeken samenkomen (twee vierzijdige piramides metgelijkzijdige zijvlakken en vierkantig grondvlak tegen elkaar geplaatst met gemeen-schappelijk grondvlak). Een regelmatig achtvlak heeft 6 hoekpunten en 12 ribben.

4. Een regelmatig twaalfvlak (dodecaeder) is een regelmatig veelvlak waar in elkhoekpunt drie regelmatige vijfhoeken samenkomen. Een regelmatig twaalfvlak heeft20 hoekpunten en 30 ribben.

Vervaardigen van een dodecaeder

a. Construeer nauwkeurig een regelmatige vijfhoek met zijde a en pas dan de dia-gonaal x af. Het verband tussen a en x is

x = (1 +√

5

2)a

Maak een kubus met zijde x.

b. Maak de dodecaeder met ribbe a

(i) Maak de bekleding van de kubus met 5 plooinaden met zijde x.

(ii) Maak de zes tenten waarvan het grondvlak een vierkant is met zijde x, deopstaande ribbe a en de nokribbe eveneens a.


Figuur 1.18: icosaeder beschreven in een dodecaeder

1.5. LICHAMEN 33

5. Een regelmatig twintigvlak (icosaeder) is een regelmatig veelvlak waarbij in elkhoekpunt vijf driehoeken samenkomen. Een regelmatig twintigvlak heeft 12 hoekpun-ten en 30 ribben.

Opmerking: Nemen we een willekeurig viervlak, dan is een hoogtelijn de rechte die uiteen hoekpunt loodrecht op het overstaande zijvlak kan getrokken worden. De hoogtelijnenvan een viervlak gaan niet alle door eenzelfde punt. Dit is wel het geval bij een regelmatigviervlak of tetraeder.

1.5.1.5 Halfregelmatige veelvlakken

1. Vervaardigen van de afgeknotte octaeder

a. Maak een volledige tetraeder met zijde 3a, waarop men de lijnen trekt langswaarmen zou knippen om de tetraeder af te knotten (op 1/3 van de ribbe). Dezelijnen vormen vier vierkanten.

b. De afgeknotte tetraeder:

(i) Maak een balk met als grondvlak een vierkant met zijde 2a, de zijvlakkenzijn rechthoeken met zijden 2a en

√2a.

(ii) Maak de bekleding van de balk met 5 plooinaden licht gekerfd:.

((iii) De twee poolkappen met vierkant grondvlak met zijde 2a, opstaande ribbea en vierkant bovenvlak met zijde a. De twee poolkappen moeten op debekleding gekleefd worden.

(iv) De vier tenten met rechthoekig grondvlak met afmetingen 2a en√

2a, deopstaande ribbe is a en de nokribbe is a. De vier tenten moeten op debekleding gekleefd worden.

2. Vervaardigen van het ruitentwaalfvlak

a. Maak een kubus met zijde a

b. Het ruitentwaalfvlak:

(i) Maak de bekleding van de kubus met zijde a.

(ii) Maak de zes piramiden waarvan het grondvlak een vierkant is met zijde a,

de opstaande zijden is√

32a. Om deze grootheid nauwkeurig te construeren,

tekent men een cirkel met diameter 2a. In een eindpunt van de middellijntrekt men een boog met lengte a en neemt men het snijpunt met de cirkel.De afstand van dat snijpunt tot het andere eindpunt van de middellijn is√

3a.


Figuur 1.19: Een voetbal en het ruitentwaalfvlak

1.5. LICHAMEN 35

OPGAVEN — 47 In een kubus(E F G HA B C D

)met ribbelengte r verbindt men de hoekpunten B,

D, E en G, zodat een viervlak ontstaat.

(i) Bereken het volume van het viervlak BDEG door het verschil te beschouwen van de inhoud van dekubus en de inhoud van de piramiden die ontstaan zijn.

(ii) Bepaal de oppervlakte van het viervlak.

48 Gegeven een tent in de vorm van een schilddak (zie oef. nr. 27 op p. 24) waarvan vijf ribben eenzelfdelengte a hebben, het grondvlak is een vierkant met zijde z en de afstand van het grondvlak tot de nokribis a

2 . Gevraagd:

(i) de zijde b van het grondvlak in functie van a;

(ii) de oppervlakte van de vier tentvlakken.

49 De ribben van een kubus worden met 25% verlengd. Met hoeveel % wordt de inhoud vergroot?(VWO.87-88)

50 De zes ribben van een viervlak abcd hebben lengte 7, 13, 18. 27, 36 en 41. Als je weet dat de lengtevan de ribbe [AB] 41 is, wat is dan de lengte van de ribbe [CD]? (VWO.87-88)

Oplossingen:

47 (i) r3/3; (ii) 2√

3r2;48 (i) b = a.φ (φ = 1+

√5

2 ); (ii)√

2a2

8 ((1 +√

5)√

5−√

5 + (3 +√

5)√

5 +√

5);49 95,3%;50 13;

RM II HUISTAAK 4 1. Op de zijvlakken van een kubus met ribbelengte r bouwtmen rechte piramiden waarvan de zijvlakken de helft van de zijvlakken van de kubuszijn. Zo ontstaat een nieuw lichaam V .

(i) Bepaal de oppervlakte van V (Antw: 12r2).

(ii) Bepaal de inhoud van V (Antw: (1 +√

3)r3).

(iii) Bepaal de hoek tussen een zijvlak en het grondvlak van zo’n piramide.(Antw: 60o).

2. In de kubus

(E F G HA B C D

)met ribbelengte r beschouwt men de

piramiden (E,ABCD) en (H,ABCD).Bepaal de inhoud van het lichaam dat de doorsnede is van deze twee piramiden.(Antw: 5

24r3).

3. Een octaeder en een tetraeder hebben dezelfde oppervlakte. Bepaal de verhoudingvan hun inhouden (Antw:

√2).


Figuur 1.20: cilinder — kegel

1.5.2 Omwentelingslichamen

1.5.2.1 Omwentelingsoppervlakken

Een omwentelingsoppervlak is een oppervlak dat ontstaat door het wentelen van eenvlakke kromme om een rechte die met de kromme in eenzelfde vlak gelegen is. De rechtewordt de as van het omwentelingsoppervlak genoemd. Elk punt van de kromme beschrijftbij wenteling een cirkel, die gelegen is in een vlak loodrecht op de as. Bijgevolg is elkevlakke doorsnede van het omwentelingsoppervlak loodrecht op de as van het omwentelings-oppervlak een cirkel.

Bijzondere omwentelingsoppervlakken:

Een cilinderoppervlak is een omwentelingsoppervlak dat onstaat door het wentelen vaneen rechte parallel met de as. Alle vlakke doorsneden van een cilinderoppervlak loodrechtop de as zijn cirkels met dezelfde straal nl. de afstand van de beschrijvende tot de as. Dezestraal wordt de straal van het cilinderoppervlak genoemd.

Een kegeloppervlak is een omwentelingsoppervlak dat onstaat door het wentelen van eenrechte die de as snijdt. Het snijpunt wordt de top van het kegeloppervlak genoemd.

1.5.2.2 Omwentelingslichamen

Een omwentelingslichaam is een lichaam dat begrensd is door een omwentelingsop-pervlak en twee verschillende parallelle vlakken die de as van het omwentelingsoppervlakloodrecht snijden. Deze vlakke doorsneden worden grond- en bovenvlak van het omwente-lingslichaam genoemd.

1.5. LICHAMEN 37

Figuur 1.21: kegeloppervlak

Bijzondere omwentelingslichamen

Een rechte omwentelingscilinder of een cilinder met straal r en hoogte h is een om-wentelingslichaam dat begrensd is door een cilinderoppervlak met straal r en twee parallellevlakken loodrecht op de as op een afstand h van elkaar. Het grond- en bovenvlak zijn tweecongruente cirkels. We kunnen ook zeggen dat de cilinder ontstaat door het wentelen vaneen rechthoek om een van zijn zijden.

De zijdelingse oppervlakte van een cilinder is gelijk aan het product van de omtrekvan het grondvlak en de hoogte.

Z.O.cil. = 2πrh

De inhoud van een cilinder is gelijk aan het product van de oppervlakte van hetgrondvlak en de hoogte.

Inh.cil. = πr2h

OPGAVEN — 51 Wat is de verhouding van de inhoud van een cilinder en de inhoud van het regelmatigzeszijdig prisma in die cilinder beschreven?

52 Bewijs dat de inhoud van een cilinder gelijk is aan de zijdelingse oppervlakte vermenigvuldigd met dehelft van de straal.


Oplossingen:

51. 2√

3π9 = 1, 21

Een rechte omwentelingskegel of een kegel is een omwentelingslichaam dat begrensdis door een kegeloppervlak en twee parallelle vlakken loodrecht op de as, waarbij een vande vlakken door de top van het kegeloppervlak gaat. De vlakke doorsnede niet door detop wordt het grondvlak van de kegel genoemd. De straal van het grondvlak wordt destraal r van de kegel genoemd. De hoogte van een kegel is de afstand van de top tothet grondvlak. We kunnen ook zeggen dat een kegel ontstaat door het wentelen van eenrechthoekige driehoek om een rechthoekszijde. De lengte van de andere rechthoekszijde isde straal r van de kegel en de lengte van de schuine zijde wordt het apothema a van dekegel genoemd.

De zijdelingse oppervlakte van een kegel is gelijk aan het halve product van deomtrek van het grondvlak en het apothema.

Z.O.keg. =1

22πra = πra

(d.i. de oppervlakte van een cirkelsector met straal a)

De inhoud van een kegel is gelijk aan het derde deel van het product van de oppervlaktevan het grondvlak en de hoogte.

Inh.keg. =1

3πr2h

OPGAVEN — 53 In een kegel, waarvan de hoogte 3m bedraagt, wordt, evenwijdig met het grondvlak,een doorsnede aangebracht waarvan de oppervlakte gelijk is aan het vierde deel van de oppervlakte van hetgrondvlak. Op welke afstand van de top werd die doorsnede aangebracht?

54 Van een kegel is de tophoek gelijk aan 60o. Bereken de middelpuntshoek van de sector die ontstaatdoor de kegel te ontwikkelen.

55 Bereken de zijdelingse oppervlakte van een kegel met tophoek θ en hoogte h.

56 Bepaal de meetkundige plaats van de snijpunten van de rechten die door een punt P gaan en een vlakα snijden onder een vaste hoek. Bewijs dit.

Oplossingen:

53. 1,5 m; 54. α = π rad of 180o;55. π.h2 sin θ

2 (tan2 θ2 + 1).

1.5. LICHAMEN 39

Figuur 1.22: afgeknotte kegel — sfeer

RM II HUISTAAK 5 1. Bereken de zijdelingse oppervlakte van een cilinder, waar-van de hoogte gelijk is aan de middellijn van het grondvlak, en die ingeschreven is ineen kegel met hoogte 6 en met straal van het grondvlak 2 (Antw: 5, 76π = 18, 1).

2. Druk de inhoud van een omwentelingskegel met manteloppervlakte gelijk aan πk2 uitin functie van de straal x van de omwentelingskegel (Antw: 1

3πx√k4 − x4).

Een afgeknotte kegel is een omwentelingslichaam dat begrensd is door een kegeloppervlaken twee verschillende parallelle vlakken niet door de top, aan dezelfde kant van de top enloodrecht op de as. We kunnen ook zeggen dat een afgeknotte kegel ontstaat door hetwentelen van een rechthoekig trapezium om zijn rechthoekszijde. De lengte van de schuinezijde van het trapezium is het apothema a van de afgeknotte kegel, de lengte van dekleine basis is r en de lengte van de grote basis is R. Dus r en R zijn de stralen van resp.boven- en grondvlak.

De zijdelingse oppervlakte van een afgeknotte kegel is gelijk aan het productvan het apothema en het rekenkundig gemiddelde van de omtrekken van grond- en boven-vlak.

Z.O.afg.keg. = π(R + r)a

De inhoud van een afgeknotte kegel is gelijk aan het derde deel van het productvan de hoogte en de som van oppervlakte van grond- en bovenvlak en het meetkundig


gemiddelde van beide.

Inh.afg.keg. =1

3πh(R2 + r2 + rR)

OPGAVEN — 57 Om ijzeren palen met een diameter van 8 cm stevig in de grond te verankeren, wordenze gevat in betonnen sokkels, die de vorm hebben van een afgeknotte kegel met een cilindervormige uitspa-ring. De hoogte van de cilindervormige uitsparing is 12 centimeter, de hoogte van de afgeknotte kegel is16 centimeter, de diameter van het bovenvlak is 8 centimeter en van het grondvlak 24 centimeter. Hoeveeldm3 is er nodig voor een sokkel?

Oplossingen: 57. 27523 π cm3 = 2,88 dm3.

RM II HUISTAAK 6 1. Een afgeknotte kegel en een cilinder hebben dezelfde hoogteen hetzelfde grondvlak. Bereken de verhouding van de stralen grond- en bovenvlakvan de afgeknotte kegel als zijn inhoud de helft is van die van de cilinder.(Antw: R

r= 1 +

√3).

2. Op welke afstand van de top moet men een omwentelingskegel doorsnijden met eenvlak parallel met het grondvlak om twee lichamen te bekomen met dezelfde inhoud?(Antw: op afstand van de top die 20,6% is van de hoogte.)

1.5.3 De sfeer en de bol

1.5.3.1 Definitie

Een sfeer is een omwentelingslichaam dat onstaat door het wentelen van een cirkel om eenmiddellijn. De straal van de cirkel is de straal r van de sfeer.

De oppervlakte van een sfeer is gelijk aan vier keer de oppervlakte van de beschrij-vende cirkel.

Opp.sfeer = 4πr2

De inhoud van een sfeer is gelijk aan het product van de oppervlakte van de beschrij-vende cirkel en vier derden van de straal van de sfeer.

Inh.sfeer =4

3πr3

1.5. LICHAMEN 41

1.5.3.2 Het bepalen van een sfeer door vier niet-coplanaire punten

Herhaling: In de vlakke meetkunde gaat er door drie niet-collineaire punten A, B en C juist een cirkel.Het middelpunt van de cirkel ligt op gelijke afstand van de punten A, B en C. De verzameling van depunten op gelijke afstand van twee van de drie punten bvb. A en B is de middelloodlijn van het lijnstuk[AB]. De punten op gelijk afstand van B en C zijn de punten van de middlloodlijn van het lijnstuk [BC].Het punt op gelijke afstand van de drie punten is het snijpunt M van deze twee middelloodlijnen. Demiddelloodlijn van het lijnstuk [AC] gaat bijgevolg door dit punt M . De drie punten vormen een driehoek.De cirkel wordt de omgeschreven cirkel van de driehoek genoemd. Het middelpunt van de omgeschrevencirkel is het snijpunt van de middelloodlijnen van de zijden van de driehoek.

STELLING 1.29 Door vier niet-coplanaire punten gaat juist een sfeer.

Bewijs: We bepalen de verzameling van de punten, evenver gelegen van drie van de vierpunten, bvb. van de punten A, B en C. Daartoe beschouwen we de driehoek ABC. In hetvlak α van de driehoek ABC ligt het punt N dat het middelpunt is van de omgeschrevencirkel van ABC evenver van A, B en C. Het middelpunt van de omgeschreven cirkel vandriehoek ABC is het snijpunt van de middelloodlijnen van de zijden van de driehoek. Allepunten van de loodlijn l door N op het vlak α is dan de verzameling van alle punten vanE die evenver liggen van de punten A, B en C. We zien gemakkelijk in dat de rechte lde snijlijn is van de drie middenloodvlakken van resp. de zijden [AB], [BC] en [CA]. Deverzameling van alle punten van E die even ver gelegen zijn van de punten D en A is hetmiddenloodvlak β van het lijnstuk [DA].

Het punt op gelijke afstand van A, B, C en D ligt op gelijke afstand van A, B en C en opgelijke afstand van D en A. Het gevraagde punt ligt dus zowel op de middelloodlijn l alsin het middenloodvlak β. Het gevraagde punt is dus het gemeenschappelijk punt van l enβ. Opdat l en β snijdend zouden zijn mag D niet gelegen zijn in α.Vier niet-coplanaire punten A, B, C en D vormen een viervlak ABCD. De sfeer gaandedoor A, B, C en D noemen we de sfeer omgeschreven aan het viervlak ABCD.

We kunnen het middelpunt van de omgeschreven sfeer van een viervlak nog als volgt con-strueren. We bepalen het snijpunt M van drie middenloodvlakken van drie niet-coplanaireribben van het viervlak. De overblijvende drie middenloodvlakken (want een viervlak heeft6 zijden) bevatten allen het punt M .

1.5.3.3 Onderlinge ligging van een sfeer en een punt

We beschouwen een sfeer met middelpunt M en straal r. We stellen de afstand van eenpunt P tot M gelijk aan d.We definieren de uitspraken omtrent ligging van een punt t.o.v. een sfeer:


Figuur 1.23: onderlinge ligging van een sfeer en een vlak

1. Een punt P ligt op de sfeer als en slechts als d = r (definitie van sfeer).

2. Een punt P ligt buiten de sfeer als en slechts als d > r.

3. Een punt P ligt binnen de sfeer als en slechts als d < r.

1.5.3.4 Onderlinge ligging van een sfeer en een vlak

STELLING 1.30 Een vlak en een sfeer hebben geen, een punt of een cirkel van puntengemeen al naargelang de afstand van het middelpunt van de sfeer tot het vlak groter dan,gelijk aan of kleiner dan de straal is.

Bewijs:

1. De afstand d van het middelpunt M van de sfeer tot het vlak α is groter dan de straalr van de sfeer.

d > r

Het voetpunt L van de loodlijn uit M op α ligt op een afstand d van het middelpuntM . Elk ander punt van het vlak α ligt op een afstand van M groter dan d (in eenrechthoekige driehoek is de schuine zijde groter dan een rechthoekszijde). Elk puntvan het vlak α ligt dus buiten de sfeer. De sfeer heeft geen punten gemeen met hetvlak.

2. De afstand d van het middelpunt M van de sfeer tot het vlak α is gelijk aan straal rvan de sfeer.

d = r

1.5. LICHAMEN 43

Het voetpunt L van de loodlijn uit M op het vlak α ligt op de sfeer want de afstandvan L tot het middelpunt M is d en d is gelijk aan r. Elk ander punt van het vlakα ligt op een afstand van M groter dan d (in een rechthoekige driehoek is de schuinezijde groter dan een rechthoekszijde). Elk punt van het vlak α uitgezonderd het puntL ligt dus buiten de sfeer. De sfeer heeft enkel het punt L gemeen met het vlak. Hetpunt L wordt het raakpunt van de sfeer en het vlak genoemd. Het vlak zelf isdan het raakvlak in het punt aan de sfeer.

Uit het voorgaande volgt de stelling:

STELLING 1.31 De straal naar het raakpunt van een raakvlak met de sfeer staatloodrecht op dat raakvlak.

3. De afstand d van het middelpunt M van de sfeer tot het vlak α is kleiner dan destraal r van de sfeer.

d < r

Het voetpunt L van de loodlijn uit M op het vlak α ligt binnen de sfeer want deafstand van L tot het middelpunt is d en d is kleiner dan r. Nu kunnen er zowelpunten van het vlak α gelegen zijn binnen de sfeer, op de sfeer als buiten de sfeer.Onderstel dat P een punt van α dat t.z.t. op de sfeer gelegen is, dan geldt volgens destelling van Pythagoras in de rechthoekige driehoek 4 PLM dat

r2 = s2 + d2( met s = ‖ ~PL‖)

s2 = r2 − d2 > 0

Voor elk punt P van de doorsnede van de sfeer met het vlak α geldt dat de afstandvan P tot L gelijk is aan een positieve constante. Dit betekent dat P gelegen is opeen cirkel met middelpunt L en straal s. De doorsnede van de sfeer en het vlak α iseen cirkel.

De cirkel wordt groter naarmate de afstand van het middelpunt van de sfeer tot hetvlak kleiner wordt. De grootste cirkel verkrijgen we als de afstand van het middelpunttot het vlak gelijk is aan nul, m.a.w. als het vlak door het middelpunt van de sfeergaat. De straal van de cirkel is dan gelijk aan de straal van de sfeer. Zo een cirkelwordt een grote cirkel genoemd (evenaar en meridianen).

Gaat een vlak niet door het middelpunt van de sfeer en heeft ze met de sfeer eencirkel als doorsnede dan wordt de cirkel een kleine cirkel genoemd (keerkringen:steenboks- en kreeftskeerkring en poolcirkels).

Is de doorsnede een punt, dan kunnen we dit opvatten als limietgeval van het derdegeval. Het punt is dan een nulcirkel.


Figuur 1.24: onderlinge ligging van een sfeer en een rechte

1.5.3.5 Onderlinge ligging van een sfeer en een rechte

De rechte en het middelpunt van de sfeer bepalen een vlak dat de sfeer snijdt volgens eengrote cirkel. De onderlinge ligging van een sfeer en een rechte is zo herleid tot de onderlingeligging van een cirkel en een rechte.

We besluiten:

STELLING 1.32 Een rechte en een sfeer hebben geen, een punt of twee punten gemeennaargelang de afstand van het middelpunt van de sfeer tot de rechte groter dan, gelijk aanof kleiner dan de straal is.

Is de doorsnede een punt dan wordt de rechte een raaklijn in dat punt aan de sfeergenoemd, het punt wordt het raakpunt genoemd.

STELLING 1.33 De raaklijn staat loodrecht op de straal naar het raakpunt.

STELLING 1.34 In elk punt P van de sfeer zijn er oneindig veel raaklijnen die een stra-lenbundel vormen gelegen in het raakvlak in P aan de sfeer.

In de toepassingen kunnen we de afstand van het middelpunt van de sfeer tot de rechtebepalen door de afstand van het middelpunt tot zijn loodrechte projectie op de rechtete bepalen. Deze loodrechte projectie bekomen we door het snijpunt te nemen van hetloodvlak door het middelpunt op de rechte. Gaat de rechte door het middelpunt van desfeer dan snijdt ze de sfeer in twee tegenpunten van de sfeer.

1.5. LICHAMEN 45

Figuur 1.25: onderlinge ligging van twee sferen

STELLING 1.35 Twee grote cirkels snijden elkaar in twee tegenpunten.

STELLING 1.36 Door twee punten die geen tegenpunten van een sfeer zijn gaat juist eengrote cirkel van de sfeer.

1.5.3.6 Onderlinge ligging van twee sferen

De centraal van twee sferen is de verbindingslijn van de middelpunten. Een vlak α door decentraal snijdt beide sferen volgens twee grote cirkels. Laten we het vlak α wentelen omde centraal dan beschrijven de twee grote cirkels de twee sferen. De onderlinge ligging vande twee sferen herleidt zich tot de onderlinge ligging van twee cirkels. Om de verzamelingvan de gemeenschappelijke punten te kennen laten we de gemeenschappelijke punten vande twee grote cirkels in het vlak α wentelen om de centraal.

We noemen d de afstand van de twee middelpunten en r1 en r2 de stralen van de tweesferen.

1. De cirkels hebben geen punten gemeen:In dit geval hebben de sferen geen punten gemeenschappelijk:

a. De sferen liggen buiten elkaar als en slechts als de afstand van de middel-punten groter is dan de som van de stralen.

d > r1 + r2


b. De sferen liggen binnen elkaar als en slechts als de afstand van de middel-punten kleiner is dan de absolute waarde van het verschil van de stralen.

d < |r1 − r2|

2. De cirkels hebben een punt gemeenschappelijk, ze raken elkaar in dat punt en hebbenin dat punt een gemeenschappelijke raaklijn. De sferen hebben een punt gemeen-schappelijk en bij wentelen om de centraal beschrijft de raaklijn een vlak dat raaktaan beide sferen in het gemeenschappelijk punt.

a. De sferen raken elkaar uitwendig als en slechts als de afstand van de mid-delpunten gelijk is aan de som van de stralen.

d = r1 + r2

b. De sferen raken elkaar inwendig als en slechts als de afstand van de middel-punten gelijk is aan de absolute waarde van het verschil van de stralen.

d = |r1 − r2|

3. De cirkels snijden elkaar in twee punten. Laten we de snijpunten wentelen om decentraal dan beschrijven ze een cirkel. Het vlak van de cirkel staat loodrecht op decentraal. De sferen snijden elkaar volgens een cirkel als en slechts als de afstand vande middelpunten groter is dan de absolute waarde van het verschil van de stralen enkleiner dan de som van de stralen.

|r1 − r2| < d < r1 + r2

OPGAVEN — 58 Bepaal de zijde van een kubus in functie van de straal van de omgeschreven sfeer.

59 Gegeven een regelmatige piramide met als grondvlak een vierkant en waarvan de hoogte van de op-staande zijvlakken gelijk is aan de zijde van het grondvlak. Binnen de piramide wordt een halve sfeeringeschreven, waarvan het middelpunt in het grondvlak van de piramide gelegen is. Bepaal de straal vandeze sfeer in functie van de zijde van het grondvlak van de piramide.

60 Bepaal de zijde van een kubus in functie van de straal van de omgeschreven halve sfeer, waarvan hetgrondvlak samenvalt met een zijvlak van de kubus.

61 De afstand van het middelpunt van een sfeer met straal 10 tot een vlak is 8. Bereken de oppervlaktevan de snijcirkel.

62 Een sfeer is ingeschreven in een regelmatige vierzijdige piramide, waarvan de opstaande zijvlakkengelijkzijdige driehoeken zijn. Druk de straal van de sfeer uit in functie van de zijde z van de piramide.

1.5. LICHAMEN 47

63 In een regelmatige vierzijdige piramide is een halve sfeer ingeschreven, waarvan het middelpunt gelegenis in het grondvlak van de piramide. De hoogte van de piramide is gelijk aan de zijde z van het grondvlak.Bereken de verhouding van het volume van de halve sfeer en het volume van de piramide.

64 In een regelmatige zeszijdige piramide is een halve sfeer ingeschreven, waarvan het middelpunt gelegenis in het grondvlak van de piramide. De lengte van de opstaande ribbe van de piramide is gelijk aan 2× dezijde z van het grondvlak. Bereken de verhouding van het volume van de halve sfeer en het volume van depiramide.

65 In een kubus met ribbe van 4 decimeter passen precies 8 bollen met straal 1 decimeter. Om die 8bollen te schilderen heeft men 1 liter verf nodig. In de tweede kubus met ribbe 8 decimeter passen ookprecies 8 bollen maar zij hebben dan ook een straal van 2 decimeter. Een derde kubus heeft ook een ribbevan 8 decimeter maar nu liggen er zowel in de breedte, als in de hoogte, als in de diepte 4 bollen (i.v.p. 2)naast elkaar. Hoeveel liter verf heeft men nodig om de bollen van de tweede en derde kubus te schilderen?

66 Negen congruente sferen zitten opeengepakt in een kubus met zijde van lengte 1. Deze bollen zijn zogestapeld dat een ervan zijn middelpunt heeft in het middelpunt van de kubus en dat de andere raken aandeze middelste en aan telkens drie zijvlakken van de kubus. Geef de straal van deze bollen.

67∗ Een rechte omwentelingskegel is beschreven om een sfeer met straal r. Druk de inhoud van de kegeluit in functie van de straal x van de kegel.

68∗ Een rechte omwentelingskegel is beschreven om een sfeer met straal r. Druk de inhoud van de kegeluit in functie van de halve tophoek α van de kegel.

Oplossingen:

58. 2√

3r3 ; 59.

√3z4 ; 60.

√6r3 ; 61. 36π; 62. (

√3−1)z

2√

2; 63. 2π

√5

25 ; 64. 4π√

1575 ; 65. 12 liter; 66. 2

√3−32 .


RM II HUISTAAK 7 1. Toen het meer dichtvroor dreef er een bal op het water.Men haalde later de bal uit het ijs (zonder ijs te breken). De opening die in het ijsbleef had een doorsnede van 24 centimeter bovenaan en was 8 centimeter diep. Vindde straal van deze bal (in centimeter) (Antw: 13).

2. Een rechte omwentelingscilinder is beschreven in een sfeer met straal r. Druk deinhoud van de cilinder uit in functie van de hoogte h van de cilinder (Antw: πh

4(4r2−

h2)).

3. Een regelmatig achtvlak is ingeschreven in een sfeer met straal r. Bereken de verhou-ding van het volume van de sfeer en het volume van het achtvlak (Antw: π).

4. Gegeven een balk

(A B C DE F G H

)met zijden |AB| = 6, |BC| = 3 en |AE| = 4.

Gevraagd de hoek tussen enerzijds de diagonaal AG en anderzijds resp. het vlak ABC,het vlak ABF en het vlak BCG (Antw: 30o, 8, 22o, 6, 50o, 2).

5. Een driehoekige plaat ABC staat in de hoek van een rechthoekige kamer met hoekO (vlOAB is vl vd vloer), waarbij |AO| = 2, |BO| = 3 en |CO| = 4. Bereken:

(i) de lengte van de zijden van de plaat (Antw.√

13, 2√

5, 5);

(ii) de hoeken van de driehoek (Antw: 75o, 6, 60o, 1, 44o, 3);

(iii) De hoek die het vlak van de plaat maakt met vloer van de kamer (Antw: 67o, 4)

6. In een piramide brengt men een vlak aan evenwijdig met het grondvlak en zodanigdat dit vlak de inhoud in twee gelijke delen verdeelt.

(i) Op hoeveel van de top wordt dit vlak aangebracht? (Antw: op 79, 4% van hoogtevan de piramide);

(ii) In welke verhouding wordt de hoogte verdeeld? (Antw: bij benadering verhou-ding 4 op 1)

7. Als men de middens van de zijvlakken van een kubus K onderling twee aan tweeverbindt, verkrijgt men de ribben en de ruimtediagonalen van een lichaam V .

(i) Wat is V ? (Antw: achtvlak)

(ii) Welke is de verhouding van het volume van V tot het volume van K? (Antw: 16)

8. Gegeven een regelmatig viervlak met ribbe r.

a. Bereken de hoogte, de oppervlakte en de inhoud van het viervlak in functie van

r (Antw. H =√

23r) .

b. Bereken de straal van de omgeschreven sfeer (Antw:√

64r) .

c. Bereken de straal van de ingeschreven sfeer (Antw:√

612r).

1.5. LICHAMEN 49

RM II groepswerk 1 1. Waarom is ’orthogonaliteit van richtingen in de ruimte’ nietin strijd met ’orthogonaliteit van richtingen in het vlak’?

2. Wanneer zijn twee rechten orthogonaal? (def)

3. Wat betekent ’loodlijn’ voor rechten in de ruimte?

4. Is de relatie ’een rechte is orthogonaal met een andere rechte’ een equivalentierelatiein de verzameling van de rechten? Ga de 3 voorwaarden na.Voor de transitiviteit maak je een tekening van 3 rechten op een kubus. Wat kan jebesluiten in geval de 3 rechten evenwijdig zijn met eenzelfde vlak.

5. Hoeveel rechten kan men trekken door een punt orthogonaal met een gegeven rechteen hoeveel loodlijnen? Beschouw het geval waarbij het punt op de rechte ligt enwaarbij het punt niet op de rechte ligt.

6. Hoe wordt de loodrechte projectie op een rechte gedefinieerd?

7. Wanneer zijn twee vectoren orthogonaal?


RM II groepswerk 2 1. Hoe wordt de loodrechte stand van een rechte en een vlakgedefinieerd? Door welke stelling is de definitie mogelijk?

2. De loodrechte stand van een rechte en een vlak steunt op de loodrechte stand van· · · · · · · · · · · · · · ·

3. Vergelijk de 2 stellingen over wanneer een rechte evenwijdig is met een vlak en wanneereen rechte orthogonaal is met een vlak. Formuleer die 2 stellingen.

4. Als een rechte orthogonaal is met een vlak dan noemen we de rechte · · · · · · · · · · · · · · ·op het vlak en het vlak noemen we · · · · · · · · · · · · · · · op de rechte.

5. Onderzoek welke stellingen voor loodrechte stand het equivalent zijn van de stellingenvoor evenwijdigheid waarin sprake is van twee rechten evenwijdig met een vlak en tweevlakken evenwijdig met een rechte? Formuleer al deze stellingen.

6. Twee loodlijnen op eenzelfde vlak zijn evenwijdig. Zijn twee rechte evenwijdig meteenzelfde vlak orthogonale rechten?

7. Waarom is de loodrechte projectie op een rechte een parallelprojectie? Op welkestelling steunt dat?

8. Waarom is de loodrechte projectie op een vlak een parallelprojectie? Op welke stellingsteunt dat?

1.5. LICHAMEN 51

9. Bestudeer de stelling van de drie loodlijnen en maak een tekening in een kubus.

RM II groepswerk 3 1. (a) Geef de definitie van de loodrechte stand van tweevlakken.

(b) Geen stellingen die voorwaarden uitdrukken opdat twee vlakken orthogonaalzijn.

(c) Steun op 1a of 1b om te bewijzen dat de twee diagonaalvlakken van een kubusorthogonale vlakken zijn.

2. Welke stelling voor loodrechte stand van rechte en vlak is de equivalent van de stelling:als een rechte evenwijdig is met elk van twee snijdende vlakken dan is ze evenwijdigmet de snijlijn?

3. In welke stelling wordt de loodrechte stand van twee vlakken herleid tot de loodrechtestand van twee rechten? Formuleer die stelling.

4. Wanneer is de loodrechte projectie op een vlak van twee orthogonale rechten weertwee orthogonale rechten?


5. Wat is de gemeenschappelijke loodlijn van twee kruisende rechten? Toon aan datde gemeenschappelijke loodlijn van twee kruisende rechten een steunrechte is van dekruisende rechten evenwijdig met een gegeven rechte.

Hoofdstuk 2

Analytische euclidische meetkunde

2.1 Orthonormale basis

Twee vectoren zijn orthogonaal als en slechts als hun scalair product gelijk is aan nul.

We hebben gezien dat drie vectoren die twee aan twee orthogonaal zijn, lineair onafhankelijkzijn. We kiezen in de euclidische ruimte EO een basis waarvan de basisvectoren twee aantwee orthogonaal zijn. Bovendien zorgen we ervoor dat de normen van de basisvectorengelijk zijn aan 1.

Een orthonormale basis is een basis (~e1, ~e2, ~e3) waarvan de basisvectoren eenheidsvecto-ren zijn die twee aan twee orthogonaal zijn.

Met symbolen:

(~e1, ~e2, ~e3) is een orthonormale basis

⇐⇒{‖~e1‖ = ‖~e2‖ = ‖~e3‖ = 1~e1.~e2 = 0 ∧ ~e2.~e3 = 0 ∧ ~e3.~e1 = 0

of kortweg:

(~e1, ~e2, ~e3) is een orthonormale basis

⇐⇒{~ei.~ej = 1⇐⇒ i = j~ei.~ej = 0⇐⇒ i 6= j

met i, j ∈ {1, 2, 3}.

53

54 HOOFDSTUK 2. ANALYTISCHE EUCLIDISCHE MEETKUNDE

2.2 Scalair product — norm — afstand

2.2.1 Analytische uitdrukking voor het scalair product van tweevectoren

We beschouwen twee vectoren ~v1 en ~v2 met resp. coordinaten (l1,m1, n1) en (l2,m2, n2)t.o.v. een orthonormale basis (~e1, ~e2, ~e3).

~v1.~v2 = (l1.~e1 +m1.~e2 + n1.~e3).(l2.~e1 +m2.~e2 + n2.~e3)= l1l2(~e1.~e1) +m1m2(~e2.~e2) + n1n2(~e3.~e3) + l1m2(~e1.~e2)+

l1n2(~e1.~e3) +m1l2(~e2.~e1) +m1n2(~e2.~e3) + n1l2(~e3.~e1) + n1m2(~e3.~e2)

Het product van twee basisvectoren met verschillende index is gelijk aan 0; het product vantwee basisvectoren met gelijke index is gelijk aan 1.

De uitdrukking~v1.~v2 = l1l2 +m1m2 + n1n2

is de analytische uitdrukking van het scalair product van twee vectoren.

2.2.2 Analytische uitdrukking voor de norm van een vector

Is (l,m, n) de coordinaat van de vector ~v, dan is de norm van de vector ~v:

‖~v‖ =√~v.~v =

√l2 +m2 + n2.

2.2.3 Analytische uitdrukking voor de afstand tussen twee pun-ten

We beschouwen twee punten A en B met resp. coordinaten (x1, y1, z1) en (x2, y2, z2) t.o.v.een orthonormale basis (e1, e2, e3). De afstand tussen punten A en B is gelijk aan de norm

van de vector ~AB. De vector ~AB heeft coordinaat (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1).

d(A,B) = ‖ ~AB‖ =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2.

OPGAVEN — 69 Gegeven de punten A en B. Bepaal de afstand tussen de punten A en B.

a. A(1, 1, 0) en B(0, 0, 0)

b. A(2, 2, 2) en B(0, 0, 0)

c. A(0, 1, 2) en B(−1,−1, 2)

2.2. SCALAIR PRODUCT — NORM — AFSTAND 55

Figuur 2.1: afstand tussen twee punten

70 Gegeven de punten A(1,−1, 2) en B(0, 1, 0). Bepaal het middenloodvlak van [AB].

71 Bereken de lengte van de ribben van het viervlak ABCD met A(1,−1, 0), B(3, 1,−1), C(0, 3, 1) enD(−1, 2, 6).

72 Gegeven de punten A(5, 3, 6) en B(−3,−1,−2) en de rechte a :{x− 2y + z + 4 = 02x+ y − 3z + 13 = 0 .

Bereken de coordinaat van het punt, dat tot a behoort en op gelijke afstand van de punten A en B ligt.

Oplossingen:

69 a.√

2; b. 2√

3; c.√

5; 70 2x− 4y + 4z = 5; 72 (−2, 3, 4).

2.2.4 Analytische uitdrukking voor de orthogonaliteit van tweevectoren

Twee vectoren ~v1 en ~v2 met resp. coordinaten (l1,m1, n1) en (l2,m2, n3) t.o.v. een ortho-normale basis zijn orthogonaal als en slechts als de som van de producten van hun overeen-komstige coordinaatgetallen gelijk is aan 0.

Met symbolen:~v1 ⊥ ~v2 ⇐⇒ l1l2 +m1m2 + n1n2 = 0.

2.2.5 Analytische uitdrukking voor de hoek tussen twee vectoren

Om de hoek θ te bepalen tussen twee vectoren ~v1( 6= ~o) en ~v2(6= ~o) kunnen we gebruik makenvan het scalair product van de vectoren. We steunen op de definitie van scalair product


van twee vectoren, nl.~v1.~v2 = ‖~v1‖‖~v2‖ cos θ

m (~v1 6= ~o ∧ ~v2 6= ~o)

cos θ = ~v1. ~v2‖ ~v1‖.‖ ~v2‖

De cosinus van de hoek tussen de vectoren ~v1 en ~v2 met resp. coordinaten (l1,m1, n1) en(l2,m2, n3) t.o.v. een orthonormale (~e1, ~e2, ~e3) is:

cos θ =l1l2 +m1m2 + n1n2√

l21 +m21 + n2

1

√l22 +m2

2 + n22

OPGAVEN — 73 Gegeven: De coordinaten van vectoren:

a. ~v1(3,−1, 3) en ~v2(1, 9, 2);

b. ~v1(2,√

2,√

3) en ~v2(√

2, 1,√

3√2);

c. ~v1(0, 1, 2) en ~v2(2,−1, 0);

Gevraagd:

(i) Bereken ‖~v1‖, ‖~v2‖, ‖~v1‖+‖~v2‖, ‖~v1+ ~v2‖, ‖~v1‖.‖~v2‖ en |~v1. ~v2|. Wat besluit je uit deze berekeningen,rekening houdend met de eigenschappen van het scalair product?

(ii) Bereken de genormeerde vector van elke vector.

(iii) Bereken de hoek tussen de vectorenparen.

74 Gegeven de coordinaten van vectoren:

a. ~v1(2, 2, 1), ~v2(2,−1, 2) en ~v3(1,−2, 2);

b. ~v1(2,−2,−1), ~v2(2, 1,−2) en ~v3(2, 1, 2);

c. ~v1(0, 1, 2) en ~v2(2,−1, 0);

Gevraagd: bereken ~v1.(~v2 + ~v3), ~v1. ~v2 + ~v1. ~v3, (~v1. ~v2). ~v3 en ~v1.(~v2. ~v3). Wat besluit je uit deze berekeningen,rekening houdend met de eigenschappen van het scalair product?

75 Gegeven een driehoek ABC met A(1, 1, 1), B(1, 1,−1) en C(0, 2, 1). Bereken de binnenhoeken van dedriehoek ABC.

2.2. SCALAIR PRODUCT — NORM — AFSTAND 57

Oplossingen:73 (i) a.

√19,√

86; b. 3, 3/2√

2; c.√

5,√

5.(ii) a. (3,−1, 3)/

√19, (1, 2, 9)/

√86; (iii) a. 90o; b. 0o; c. 78o, 46.

74 a. 4, 4, (4,−8, 8), (16, 16, 8); b. 4, 4, (8, 4, 8), (2,−2,−1).75 A = 90o, B = 35o15′51, 8′′, C = 54o44′8, 2′′.

SUPPLEMENTAIRE OPGAVEN — 76 Gegeven de coordinaten van vectoren:

a. ~v1(−1, 0, 3) en ~v2(4, 8, 43 );

b. ~v1(1 +√

2,−1,√

2) en ~v2(1, 1−√

2, 2−√

2);

c. ~v1(1,−2, 1) en ~v2(0, 2,−3);

Gevraagd:

(i) Bereken ‖~v1‖, ‖~v2‖, ‖~v1‖+‖~v1‖, ‖~v1+ ~v1‖, ‖~v1‖.‖~v1‖ en |~v1. ~v1|. Wat besluit je uit deze berekeningen,rekening houdend met de eigenschappen van het scalair product.

(ii) Bereken de genormeerde vector van elke vector.

(iii) Bereken de hoek tussen de vectorenparen.

77 Gegeven de coordinaten van vectoren:

a. ~v1(1, 2, 2), ~v2(−2,−1, 2) en ~v3(2,−2, 1);

b. ~v1(2, 3, 4), ~v2(4, 6, 8) en ~v3(9, 0, 10);

Gevraagd: bereken ~v1.(~v2 + ~v3), ~v1. ~v2 + ~v1. ~v3, (~v1. ~v2). ~v3 en ~v1.(~v2. ~v3). Wat besluit je uit deze berekeningen,rekening houdend met de eigenschappen van het scalair product?

78 Gegeven een driehoek ABC met A(−1, 0, 2), B(2, 1,−2) en C(−1,−1,−1). Bereken de binnenhoekenvan de driehoek ABC.

79 Bepaal de verzameling van alle vectoren orthogonaal met twee lineair onafhankelijke vectoren.

80 Bepaal de verzameling van alle vectoren orthogonaal met een gegeven vector.

81 Toon aan dat een translatie het scalair product en de norm invariant laat.

82 Toon aan dat een homothetie met factor r de norm van een vector met de absolute waarde van defactor r vermenigvuldigt.


2.3 Hoek tussen twee rechten

2.3.1 Analytische uitdrukking van de loodrechte stand van tweerechten

De orthogonaliteit van rechten kunnen we analytisch uitdrukken d.m.v. het scalair productvan vectoren. Twee rechten zijn orthogonaal als en slechts als hun richtingen orthogonaalzijn. Twee richtingen van rechten zijn orthogonaal als en slechts als een richtingsvector vande ene richting orthogonaal is met een richtingsvector van de andere richting (zie definitievan orthogonaliteit van twee vectoren).

We beschouwen twee rechten a en b. De rechte a is bepaald door het punt P1(x1, y1, z1) eneen richtingsvector ~u(l1,m1, n1) en de rechte b door het punt P2(x2, y2, z2) en een richtings-vector ~v(l2,m2, n2).

a :x− x1

l1=y − y1

m1

=z − z1

n1

en b :x− x2

l2=y − y2

m2

=z − z2

n2

.

De rechte a is orthogonaal met de rechte b als en slechts als ~u en ~v orthogonale vectorenzijn.

a ⊥ b⇐⇒ l1l2 +m1m2 + n1n2 = 0

Zijn de rechten a en b gegeven door een stelsel vergelijkingen dan bepalen we eerst vanbeide rechten een richtingsvector. De coordinaat van een richtingsvector bekomen we dooreen oplossing te nemen van het corresponderend homogene stelsel.

a :

{u1x+ v1y + w1z + t1 = 0u2x+ v2y + w2z + t2 = 0

Een oplossing van het homogene stelsel:

ao :

{u1x+ v1y + w1z = 0u2x+ v2y + w2z = 0

is

(

∣∣∣∣ v1 w1

v2 w2

∣∣∣∣ , ∣∣∣∣ w1 u1

w2 u2

∣∣∣∣ , ∣∣∣∣ u1 v1

u2 v2

∣∣∣∣).b :

{u3x+ v3y + w3z + t3 = 0u4x+ v4y + w4z + t4 = 0

2.3. HOEK TUSSEN TWEE RECHTEN 59

Een oplossing van het homogene stelsel:

bo :

{u3x+ v3y + w3z = 0u4x+ v4y + w4z = 0

is

(

∣∣∣∣ v3 w3

v4 w4

∣∣∣∣ , ∣∣∣∣ w3 u3

w4 u4

∣∣∣∣ , ∣∣∣∣ u3 v3

u4 v4

∣∣∣∣).a ⊥ b⇐⇒

∣∣∣∣ v1 w1

v2 w2

∣∣∣∣ . ∣∣∣∣ v3 w3

v4 w4

∣∣∣∣+

∣∣∣∣ w1 u1

w2 u2

∣∣∣∣ . ∣∣∣∣ w3 u3

w4 u4

∣∣∣∣+

∣∣∣∣ u1 v1

u2 v2

∣∣∣∣ . ∣∣∣∣ u3 v3

u4 v4

∣∣∣∣ = 0

2.3.2 Analytische uitdrukking voor de hoek tussen twee rechten

Gegeven zijn twee rechten a en b. Op de zelfde wijze als in voorgaande paragraaf bepalenwe een richtingsvector voor elk van deze rechten, bvb. (l1,m1, n1) voor a en (l2,m2, n2)voor b. De hoek θ tussen a en b is dan ofwel dezelfde hoek als tussen hun respectieverichtingsvectoren (als die hoek niet stomp is), ofwel zijn supplement (als deze hoek welstomp is). In elk geval krijgen we de formule

cos θ =|l1l2 +m1m2 + n1n2|√

l21 +m21 + n2

1

√l22 +m2

2 + n22

OPGAVEN — 83 Ga na of de volgende rechten orthogonaal zijn:

a. a : x−36 = y−4

3 = z+1−4 en b : x+1

−4 = y−24 = 1−z

3 ;

b. a :{x− 9y + z − 8 = 0x+ 5y − z + 2 = 0 en b :

{x+ 3y + z − 5 = 02x+ 7y + z − 7 = 0 ;

c. a : 5x− 10 = −2y − 2 = −2z − 4 en b : x− 5 = 5y + 10 = 5z − 1.

84 De lengte van de ribbe van een kubus(A′ B′ C ′ D′

A B C D

)is gelijk aan 5. De punten P en Q behoren

resp. tot de ribben [AB] en [CD], zodat |AP | = |CQ| = 1. Bepaal R en S van de diagonaal [A′C ′] zodanigdat [A′C ′] en [RS] hetzelfde midden hebben en dat bovendien de rechten PR en QS orthogonaal zijn.

85 Gegeven de rechten a :{hx+ y − 2 = 0z = 0 en b :

{kx+ y = 0x+ z − 1 = 0

Gevraagd:

(i) Bepaal h en k zodanig dat a en b loodlijnen zijn.

(ii) Bepaal voor deze waarden van k en h het snijpunt S van a en b, het vlak α bepaald door a en b ende loodlijn in S op het vlak α (later: na normaalvectoren).


86 Bereken de hoek tussen de rechten a : x2 = y3 = −z en b : x−1

3 = −y − 1 = z+32 .

SUPPLEMENTAIRE OPGAVEN — 87 Ga na of de volgende rechten orthogonaal zijn:

a. a : x2 = y3 = z

4 en b : x−15 = −y−2

6 = z−42 ;

b. a : x = y = z en b :{x = yy + z = 0 ;

c. a :{

2x+ 2y + z − 1 = 04x+ y − 4z + 10 = 0 en b :

{3x+ y − 3z + 2 = 03x− y − z + 12 = 0 .

88 Gegeven de punten A(2, 4, 2) en B(1,−4, 0) de rechte a :{x+ y = 4z = 3

Bepaal een punt P van a waarvoor AP orthogonaal is met BP .

89 Gegeven de punten A(2k, 0, 0), B(2, 4, 0), C(−2, 4, 0) en D(0, 0, 2) en de middens P , Q, R en S vanresp. [AB], [BC], [CD] en [DA].Gevraagd:

a. Bewijs dat PR en QS elkaar snijden d.m.v. de theorie van de oplosbaarheid van stelsels. Berekende coordinaat van het snijpunt en de vergelijking van het vlak dat ze omvat.

b. Voor welke waarde van k zijn de rechten PR en QS orthogonaal?

c. Welke soort vierhoek is PQRS in respektieve gevallen a. en b.?

90 Bereken de hoek tussen de rechten

a :x− 8−4

= −y3

=1− z

4en b :

{4x− 44y + 37z − 69 = 04x+ 10y − 17z + 39 = 0

Oplossingen:

86 85o54′14′′;87 b. a 6⊥ b; c. a ⊥ b; 88 P (5,−1, 3) en P (1/2, 7/2, 3);

2.4 Normaalvector van een vlak

Een normaalvector van een vlak is een richtingsvector van de richting van rechten or-thogonaal met het vlak.

Er is maar een richting van rechten orthogonaal met een vlak. De richting van een vlak isvolkomen bepaald door twee lineair onafhankelijke richtingsvectoren. De richting van eenvlak is nu ook volkomen bepaald door een normaalvector.

2.4. NORMAALVECTOR VAN EEN VLAK 61

Figuur 2.2: normaalvector van een vlak

In de algemene vergelijking van een vlak zijn de coefficienten u, v en w van resp. x, y enz verantwoordelijk voor de richting van het vlak. Het ligt voor de hand dat de coordinaatvan een normaalvector afhankelijk zal zijn van u, v en w uit de algemene vergelijking vanhet vlak.

Is een vlak α gegeven door de algemene vergelijking ux + vy + wz + t = 0 dan kunnen weuit deze vergelijking een normaalvector bepalen. Daartoe beschouwen we het vectorvlak αoparallel met α.

αo : ux+ vy + wz = 0.

Elke oplossing (x, y, z) van deze homogene vergelijking is de coordinaat van een vector dieorthogonaal is met de vector met coordinaat (u, v, w). Hun scalair product is immers gelijkaan 0.

De vector (u, v, w) is dus orthogonaal met elke vector van het vlak αo. De vector (u, v, w)is een normaalvector van αo en dus ook van elk vlak α parallel met αo.

STELLING 2.1 Een vlak is volledig bepaald door een punt en een normaalvector.

De vergelijking van het vlak bepaald door het punt (x1, y1, z1) en met normaalvector (u, v, w)is

u(x− x1) + v(y − y1) + w(z − z1) = 0.


Figuur 2.3: Loodlijn op een vlak

2.5 Hoek tussen een rechte en een vlak

2.5.1 Analytische uitdrukking voor de loodrechte stand van eenrechte en een vlak

Een rechte staat loodrecht op een vlak als en slechts als de rechte loodrecht staat op twee snijdende rechtenvan het vlak. Een rechte staat loodrecht op een vlak als en slechts als een richtingsvector van de rechteorthogonaal is met twee lineair onafhankelijke richtingsvectoren van het vlak.

Een rechte staat loodrecht op een vlak als en slechts als een normaalvector van het vlakrichtingsvector is van de rechte. De rechte a is bepaald door een punt en een richtingsvector:a : x−x1

l= y−y1

m= z−z1

nen het vlak α door de algemene vergelijking α : ux+vy+wz+ t = 0.

De normaalvector (u, v, w) van het vlak α is een richtingsvector van a als en slechts als hijeen veelvoud is van een richtingsvector van de rechte.

a ⊥ α⇐⇒ u

l=

v

m=w

n

Zijn een of twee van de getallen l, m of n gelijk aan nul dan moeten de corresponderendetellers ook nul zijn.

Is de rechte gegeven door een stelsel vergelijkingen dan zoeken we eerst een richtingsvectorvan de rechte uit het corresponderend homogene stelsel.

2.5. HOEK TUSSEN EEN RECHTE EN EEN VLAK 63

2.5.2 Analytische uitdrukking voor de hoek tussen een rechte eneen vlak

Gegeven een rechte a en een vlak α. We bepalen eerst een richtingsvector van a, bvb.(l,m, n), en een normaalvector van α, bvb. (u, v, w). Volgens het resultaat van opgave 29is de hoek θ tussen a en α gelijk aan het complement van de hoek tussen de rechte a eneen rechte b met richtingsvector (u, v, w). Aldus is

sin θ =ul + vm+ wn√

u2 + v2 + w2√l2 +m2 + n2

.

OPGAVEN — 91 Ga de loodrechte stand na van de rechte a en het vlak α:

a. a : x3 = y2 = − z6 en α : x2 + y

3 − z = 1.

b. a :{x+ 4y + z − 4 = 02x+ 3y − 2 = 0 en α : 3x− 2y + 5z + 11 = 0

92 Gegeven het punt P (1, 3,−2) en het vlak α : x − 2y + 3z + 32 = 0. Bereken de coordinaat van deprojectie van P op α.

93 Gegeven het punt P (3,−1, 5) en de rechte a : x−43 = y−9

4 = z+22 .

Gevraagd:

(i) De coordinaat van de projectie van P op a.

(ii) De afstand van P tot a.

94 Bepaal een vector orthogonaal met de vectoren ~v1(1, 2, 3) en ~v2(1, 0,−1).

95 Bepaal de gemeenschappelijke loodlijn van de rechten a en b.

a. a :{y = x− 3z = x+ 1 en b : x+4

5 = y − 1 = 2− z.

b. a :{x− 2y − z − 10 = 02x− y + z + 1 = 0 en b :

{x+ y + 2z − 7 = 0x+ 4y − z − 7 = 0 .

96 Bepaal het middenparallelloodvlak van de parallelle rechten

a : x = −y = z − 1 en b : x− 2 = 1− y = z

97 Bepaal het vlak

a. door A(3, 0, 0) en orthogonaal met de x-as;

b. door A(1, 1, 1) en orthogonaal met OA.


98 Gegeven het punt A(0, 0, 1) en de rechte a :{x+ y = 1z = 0 .

Gevraagd:

(i) de vergelijking van het vlak door a en A;

(ii) de vergelijking van het vlak door A orthogonaal met a;

(iii) de vergelijkingen van de rechte door O, die a orthogonaal snijdt; het voetpunt en de afstand van Otot a;

(iv) analoge vraag als (iii) voor A en a.

99 Gegeven het punt A(0, 2, 0) en de rechten a :{y + z = 1x = 0 en b :

{x+ y = 0x− 2y + 6z = 0 .

Gevraagd:

(i) de vergelijkingen van de rechte c door A, orthogonaal met a en zo dat c de rechte b snijdt;

(ii) de vergelijking van het vlak α door A en parallel met b;

(iii) de coordinaat van de projectie van A op α.

100 Bepaal de hoek tussen de rechte a : x4 = y3 = z−1

2 en het vlak α : x− 2y + z − 1 = 0.

101 Gegeven de rechte a :{x+ y = 22y − z = 1

Gevraagd:

(i) de vergelijking van het vlak dat door de oorsprong gaat en loodrecht staat op a;

(ii) de afstand van de oorsprong tot a;

(iii) de vergelijking van het vlak dat door het punt P (1, 0, 0) gaat en parallel is met de x-as en met a.

102 Gegeven het punt P (1, 1, 1), de rechte a : x = y = z en het vlak α : x = y.Gevraagd: de vergelijkingen van de rechte p die door het punt P gaat, parallel is met α en orthogonaalmet a.

103 Gegeven: A(1, 1, 2), B(−1, 0, 0), C(0, 1, 1), D(1, 2,−1) en A is een punt van de rechte a die parallelis met BC en D is een punt van de rechte b die orthogonaal is met α : x+ 2y − 2z = 0.Bewijs dat a en b snijdende rechten zijn. Bepaal de coordinaat van het snijpunt van a en b en de vergelijkingvan het vlak bepaald door a en b.

Oplossingen:91 a. a ⊥ α; b. a ⊥ b; 93 P ′(− 1

2 , 6,−132 ); 93 (1, 5,−4), 11;

95 a. l : 6(x− 1) = 2(2− y) = 3(z − 1); b. 2x = 2(y + 3) = z + 7;96 2x+ y − z = 2;97 a. x = 3; b. x+ y+ z = 3; 98 (i) x+ y+ z = 1, (ii) x = y, (iii) 2x = 2y = z,

√2/2, (iv) 2x = 2y = 1− z,√

3/2;

99 (i) c :{y − z = 2x+ 2z = 0 . (ii) 3x+ 2y + 2z = 0; (iii) (−12/17, 30/17,−4/17)

102 2x = 2y = 3− z;

2.5. HOEK TUSSEN EEN RECHTE EN EEN VLAK 65

SUPPLEMENTAIRE OPGAVEN — 104 Ga de loodrechte stand na van de rechte a en het vlak α:

a. a : x− 2 = −y−12 = z−4

4 en α : 2x− 4y + 8z − 7 = 0.

b. a :{x = 02y − 3z = 0 en α : x+ 4y − 6z + 1 = 0.

105 Gegeven de punten A(p, 0, 0), B(0, q, 0) en C(0, 0, r) met pqr 6= 0.Bewijs dat de projectie D van de oorsprong op vl(ABC) het hoogtepunt is van driehoek ABC. Druk decoordinaat van D uit in termen van p, q en r.

106 Gegeven de punten A(3,−2, 5), B(0, 1,−7) en C(8, 5, 1).Gevraagd: De vergelijkingen van de drie hoogtelijnen van driehoek ABC.

107 Bepaal de gemeenschappelijke loodlijn van de rechten a en b.

a :{x = 3y + z = 3 en b :

x− 54

= −y − 4 = −3− z

108 Gegeven het punt P (1, 0, 5) en de rechte a : (x, y, z) = r.(3, 0, 4). Bepaal het loodvlak uit P op a.

109 Gegeven het punt A(1, 1,−1) en de rechten a : (x, y, z) = r.(2,−1, 1) + (1, 0, 0) en b : (x, y, z) =r(1, 2, 1) + (0, 0, 1).Bepaal de rechte door A orthogonaal met a en b.

110 Gegeven het punt C(0,−3, 0) en de rechten a :{x+ y = 1z = 0 en b :

{z − x = 1y = 0 .

Gevraagd:

(i) de vergelijking van het vlak α door C parallel met a en b;

(ii) de vergelijking van de loodlijn uit O op α;

(iii) de coordinaat van de projectie van O op α.

111 Bepaal de hoek tussen de rechte a :{x = 0y + 2z − 3 = 0 en het (x, y)-vlak.

112 Gegeven het punt P (4, 0, 5) en het vlak α : 2x− 3y + 4z − 57 = 0.Gevraagd: bepaal de projectie P ′ van P op α, alsook het punt Q dat symmetrisch ligt met P t.o.v. α.

113 Gegeven de rechten a :{

2x− y = 1y − z = 0 en b :

{x+mz = 0y − nz = 1 en het vlak α : x− y + z = 0

Gevraagd:

(i) bepaal m en n zodat a parallel is met b;


(ii) bepaal m en n zodat b orthogonaal is met α en bepaal de coordinaat van het voetpunt van de loodlijnb op α.

114 Gegeven de rechte a : x = 2y = kz en de vlakken α : x+ y + z − h = 0 en β : x+ hy + z − h = 0.Gevraagd:

(i) bepaal k en h zodat a parallel is met α;

(ii) bepaal k en h zodat a orthogonaal is met β en bepaal de coordinaat van het voetpunt van de loodlijna op β.

115 Gegeven de punten P (2, 0, 0) en Q(0, 2, 0) en de rechte a :{

2x+ z − 2 = 02x− ky = 0

Gevraagd:

(i) bespreek de doorsnede van de rechte a = PQ en de rechte b naargelang de waarde van k en berekende coordinaat van het eventuele snijpunt van a en b;

(ii) voor welke waarde van k is b een rechte van een loodvlak β op a? Stel de vergelijking op van ditloodvlak β en bereken de coordinaat van het snijpunt van S a en b.

Oplossingen:104 a. a ⊥ α; b. a 6⊥ α;107 2x = y + 5 = z + 4; 110 (i) x+ y − z + 3 = 0, (ii) x = y = −z, (iii) (−1,−1, 1);113 (i) m = −1/2, n = 1; (ii) m = n = −1, (1/3, 2/3, 1/3);114 (i) k = −2/3; (ii) k = 1, h = 1/2 en (2/9, 1/9, 2/9);115 (i) a∩ b = {s} met s(1, 1, 0) voor k = 2; voor alle andere waarden van k zijn a en b kruisend; (ii) k = 2,x = y, S(1, 1, 0).

2.6. HOEK TUSSEN TWEE VLAKKEN 67

Figuur 2.4: Loodvlakken

2.6 Hoek tussen twee vlakken

2.6.1 Analytische uitdrukking voor de loodrechte stand van tweevlakken

Twee vlakken zijn orthogonaal als en slechts als het ene vlak parallel is met een loodlijn op het andere vlak.Twee vlakken zijn dus orthogonaal als en slechts als een normaalvector van het ene vlak een richtingsvectoris van het andere vlak.

De vlakken α en β zijn gegeven door hun algemene vergelijking.

α : u1x+ v1y + w1z + t1 = 0

β : u2x+ v2y + w2z + t2 = 0

Opdat α orthogonaal zou zijn met β moet een normaalvector van α een richtingsvector zijnvan β of m.a.w. een vector van het vectorvlak βo. De normaalvector (u1, v1, w1) van α moetoplossing zijn van de vergelijking van βo : u2x+ v2y + w2z = 0:

u1u2 + v1v2 + w1w2 = 0

α ⊥ β ⇐⇒ u1u2 + v1v2 + w1w2 = 0

Dit is ook de voorwaarde opdat de normaalvectoren van beide vlakken orthogonaal zoudenzijn. Dit is rechtstreeks af te leiden uit de stelling van vroeger: twee vlakken staan loodrechtop elkaar als en slechts als ze snijdend zijn en een loodvlak op hun snijlijn de beide vlakkenvolgens orthogonale rechten snijdt. De snijlijn van het loodvlak met het ene vlak is eenloodlijn op het andere vlak. Een richtingsvector van die snijlijn is dus normaalvector vanhet andere vlak.


STELLING 2.2 Twee vlakken staan loodrecht op elkaar als en slechts als een normaal-vector van het ene vlak orthogonaal is met een normaalvector van het andere vlak.

OPGAVEN — 116 Stel de analytische uitdrukking op voor de loodrechte stand van twee rechten in hetvlak. Formuleer daarbij ook de stelling over de loodrechte stand van twee rechten in het vlak (met denormaalvectoren). Geef een voorbeeld van twee rechten in het vlak die loodrecht op elkaar staan.

2.6.2 Analytische uitdrukking voor de hoek tussen twee vlakken

Gegeven twee vlakken α en β. We bepalen eerst een normaalvector van α, resp. β, bvb.(u1, v1, w1), resp. (u2, v2, w2). Volgens de resultaten van opgave 30 van pag. 24 is de hoekθ tussen α en β gelijk aan de hoek tussen rechten evenwijdig aan hun respectieve normaal-vectoren. Aldus is

cos θ =|u1u2 + v1v2 + w1w2|√

u21 + v2

1 + w21

√u2

2 + v22 + w2

2

.

OPGAVEN — 117 Stel de analytische uitdrukking op voor de hoek tussen twee rechten in het vlak.Geef twee rechten in het vlak en bereken de hoek tussen die twee rechten. We zullen in de goniometrie eenanalytische uitdrukking voor de hoek tussen twee rechten zien aan de hand van hun richtingscoefficienten.

118 Ga na of de vlakken α : 2x+ y + z − 5 = 0 en β : −x+ y + z + 3 = 0 loodrecht op elkaar staan.

119 Gegeven de rechte a : x−12 = y − 3 = z+2

5 en het vlak α : 7x− 3y + 5z + 2 = 0.Bepaal de vergelijking van het vlak β door de rechte a en orthogonaal met α.

120 Gegeven de rechte a : x−12 = y+1

3 = z2 en het vlak α : x− y + z + 4 = 0.

Bepaal de vergelijkingen van de projectie van a op α.

121 Bepaal de hoek tussen de vlakken α : x− y − 3 = 0 en β : x− z + 1 = 0

SUPPLEMENTAIRE OPGAVEN — 122 Ga na of de vlakken α : x+ 7y+ z−4 = 0 en β : y+ 4 = 0loodrecht op elkaar staan.

123 Gegeven het punt P (1, 1,−1), de rechte a : (x, y, z) = r(1,−2, 3) en het vlak α : 2x− 3y + z − 4 = 0Bepaal de vergelijking van het vlak β door P parallel met a en orthogonaal met het vlak α.

124 Gegeven de rechten a : x = −y−1 = z+12 en b :

{x− y + z + 2 = 02x+ y − z + 1 = 0 en het vlak α : x−y+3z−29 =

0. Op a en b bepalen we resp. de punten A en B, zodanig dat hun projecties op α samenvallen. Berekende coordinaat van deze punten alsook van de gemeenschappelijke projectie.

125 Bepaal de hoek tussen de vlakken α : 2x− 4y − 7z + 1 = 0 en β : x− 3y + 2z + 4 = 0

Oplossingen: 119 20x+ 25y − 12z = 121; 120 2(x− 1) = y − 5 = 2z; 123 7x+ 5y + z = 11; 125 90o.

2.7. AFSTAND VAN EEN PUNT TOT EEN VLAK 69

2.7 Afstand van een punt tot een vlak

2.7.1 Vectorieel

Gegeven is het punt P en het vlak α bepaald door een punt A en een normaalvector~n = ‖~n‖ · ~e. We noemen P ′ de loodrechte projectie van P op α.P ′ voldoet aan twee voorwaarden:

P ′ ∈ α =⇒ ∃!P ′′ ∈ αO : ~OP ′ = ~OP ′′ + ~OA~PP ′ ⊥ α =⇒ ~PP ′ ‖ ~n

De afstand van P tot α is gelijk aan de afstand tussen de punten P en P ′.

d(P, α) = |PP ′| = | ~PP ′ · ~e| = | ~PP ′ · ~n

‖~n‖| = 1

‖~n‖|( ~OP ′ − ~OP ) · ~n|

=1

‖~n‖|( ~OP ′ · ~n− ~OP · ~n)| = 1

‖~n‖|(( ~OP ′′ + ~OA) · ~n− ~OP · ~n)|

=1

‖~n‖| ~OP ′′ · ~n+ ~OA · ~n− ~OP · ~n|

=1

‖~n‖| ~OA · ~n− ~OP · ~n| = 1

‖~n‖|( ~OA− ~OP ) · ~n|

2.7.2 Analytisch

Gegeven het punt P (x1, y1, z1) en het vlak α : ux + vy + wz + k = 0. Omdat het puntA(xα, yα, zα) een punt is van α geldt uxα + vyα + wzα + k = 0

d(P, α) =1√

u2 + v2 + w2|(xα − x1)u+ (yα − y1)v + (zα − z1)w|

=1√

u2 + v2 + w2|(xαu− x1u+ yαv − y1v + zαw − z1w|

=1√

u2 + v2 + w2|xαu+ yαv + zαw − x1u− y1v − z1w|

=1√

u2 + v2 + w2| − k − x1u− y1v − z1w|

=|x1u+ y1v + z1w + k|√

u2 + v2 + w2

De formule voor de afstand van een punt tot een vlak is

d(P, α) =|ux1 + vy1 + wz1 + k|√

u2 + v2 + w2


die de analoge formule is voor de afstand van een punt tot een rechte in het vlak.

Tweede werkwijze zonder gebruik te maken van het scalair product:We berekenen de coordinaat van de projectie P ′ van P op α. Daartoe stellen we de vergelijkingen op vande loodlijn l door P op α. Een richtingsvector van l is een normaalvector van α. Een normaalvector van αis (u, v, w).

l :x− x1

u=y − y1v

=z − z1w

Om het snijpunt van het vlak α en de rechte l te bepalen werken we met de algemene vergelijking van hetvlak α en een parametervoorstelling van de rechte l.

α : ux+ vy + wz + k = 0

l :

x− x1 = ruy − y1 = rvz − z1 = rw

⇐⇒

x = x1 + ruy = y1 + rvz = z1 + rw

We bepalen de parameterwaarde waarvoor een punt van l tevens een punt is van α.

u(x1 + ru) + v(y1 + rv) + w(z1 + rw) + k = 0

m

ux1 + vy1 + wz1 + ru2 + rv2 + rw2 + k = 0

m

ux1 + vy1 + wz1 + r(u2 + v2 + w2) + k = 0

Vermits u2 + v2 + w2 6= 0 kunnen we de laatste betrekking oplossen naar r.

r = −ux1 + vy1 + wz1 + k

u2 + v2 + w2

Dit is de r-waarde van het snijpunt P ′ van de rechte l en het vlak β. Na substitutie van deze r-waarde inde parametervoorstelling van l vinden we de coordinaat (x′, y′, z′) van het snijpunt P ′.

l :

x′ = x1 − ux1+vy1+wz1+k

u2+v2+w2 .u

y′ = y1 − ux1+vy1+wz1+ku2+v2+w2 .v

z′ = z1 − ux1+vy1+wz1+ku2+v2+w2 .w

De afstand van P tot het vlak α is gelijk aan de afstand van het punt P tot het voetpunt P ′ van de loodlijndoor P op α:

‖ ~PP ′‖ =√

(x′ − x1)2 + (y′ − y1)2 + (z′ − z1)2.

m

‖ ~PP ′‖ =

√(ux1 + vy1 + wz1 + k

u2 + v2 + w2.u)2 + (

ux1 + vy1 + wz1 + k

u2 + v2 + w2.v)2 + (

ux1 + vy1 + wz1 + k

u2 + v2 + w2.w)2

m

‖ ~PP ′‖ =

√((ux1 + vy1 + wz1 + k)2

(u2 + v2 + w2)2).(u2 + v2 + w2)


Normaalvergelijking van een vlak.

Is (u, v, w) een normaalvector van het vlak α dan is de vector

1√u2 + v2 + w2

(u, v, w)

de genormeerde vector van de vector (u, v, w), d.i. de eenheidsvector met dezelfde richtingen zin als van (u, v, w).

De vergelijking van het vlak waarin het drietal uit de coefficientenmatrix van de vergelijkingde coordinaat is van een eenheidsvector wordt de normaalvergelijking van het vlak ge-noemd.

De normaalvergelijking van vlak α : ux+ vy + wz + k = 0 is

ux+ vy + wz + k√u2 + v2 + w2

= 0

De afstand van een punt tot een vlak bekomen we door in het eerste lid van de genormeerdevergelijking van het vlak de coordinaat van het punt in te vullen en van het resultaat deabsolute waarde te nemen.

OPGAVEN — 126 Bepaal de afstand van de oorsprong tot het vlak α : 2x − y + z − 1 = 0. Bepaaltevens de coordinaat van het spiegelbeeld van de oorsprong t.o.v. het vlak α.

127 Bereken de afstand van het punt P tot het vlak α:

(i) P (8, 5, 1) en α : 2x+ 3y − 6z − 4 = 0;

(ii) P (5, 2, 4) en α : 4x− 4y + 7z − 4 = 0

(ii) P (3, 1,−4) en α : 2x+ 4y − 5z = 0

128 Bepaal de afstand tussen de kruisende rechten a : x−13 = y+2

4 = z−25 en b : x+4

2 = 2 − y = z − 2zonder de gemeenschappelijke loodlijn te bepalen.

129 Bereken de afstand tussen de vlakken α : 3x− 4y + 5z − 3 = 0 en β : 3x− 4y + 5z + 17 = 0.

130 Bepaal de bissectorvlakken van α : 2x+ 3y +√

3z = 0 en β : 2x+ 2y + z = 0.

131 Bepaal het middenparallelvlak van α : x+ 2y + z = 1 en β : x+ 2y + z = 3.

132 Gegeven zijn de vlakken a2x+ 2ay + 2z = 0 met a ∈ R. Bewijs dat de afstand van P (1, 0, 1) tot dievlakken een constante is.


133 Gegeven: het punt P (1, 1, 1) en de rechte a :{x+ y − z = 3x+ 2y + 7z + 6 = 0 . Bepaal de vergelijking van het

vlak door a en op een afstand 2 van P .

134 Gegeven de piramide TOPQR met T (0, 0, 6), O(0, 0, 0), P (3, 0, 0), Q(3, 3, 0) en R(0, 3, 0).Bereken:

(i) de afstanden van O tot de zijvlakken TQR en TPQ;

(ii) de afstand van O tot de rechte TQ;

(iii) de inhoud van deze piramide.

Oplossingen:126√

6/6, (2,−1, 1)/3;127 (i) 3; (ii) 4; (iii) 2

√45/3;

128 17/√

251;129 2

√2;

130 −2x+ y + (3√

3− 4)z = 0 en 14x+ 17y + (3√

3 + 4)z = 0;131 x+ 2y + z = 2;132 1133 4x+ 3y − 12z − 21 = 0 en 2x+ 3y + 6z + 3 = 0.

SUPPLEMENTAIRE OPGAVEN — 135 Bereken de afstand van het punt P (5, 2, 4) tot het vlakα : 4x− 4y + 7z − 4 = 0.

136 Gegeven de punten A(p, 0, 0), B(0, q, 0) en C(o, o, r). Bepaal de afstand van de oorsprong tot hetvlak(ABC).

137 Bepaal de afstand tussen de kruisende rechten a en b met a = CD, waarbij C(1,−1, 1) en D(2, 1,−1),

en b :{y + 2 = 0x+ 2z − 2 = 0 zonder de gemeenschappelijke loodlijn te bepalen.

138 Bereken de afstand tussen de vlakken

α :

∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 x2 0 1 y3 1 0 z1 1 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

en

β :

∣∣∣∣∣∣0 0 x− 52 1 y − 62 3 z + 5

∣∣∣∣∣∣ = 0.

139 Bepaal de bissectorvlakken van de vlakken α en β.

(i) α : x− y = 0 en β : x+ y = 0;


(ii) α : x+ y + z = 0 en β : 2x− y = 0.

140 Bepaal het middenparallelvlak van α :√

3x+ 6y − 3z + 4 = 0 en β : x+ 2√

3y −√

3z + 4√

3 = 0.

141 Gegeven zijn de punten A(1, 0, 0), B(0, 2, 0) en C(0, 0, 3). Bereken de coordinaat van het punt dattot het binnengebied van het viervlak OABC behoort en op gelijke afstanden van de zijvlakken van datviervlak ligt.

142 Gegeven: de vlakken α : 2x − y − 4 = 0 en β : y + z = 0. Bepaal de vergelijking van een vlak datloodrecht op de vlakken α en β staat en op een afstand 4 van het punt (1, 1, 1) gelegen is.

143 Gegeven de piramide TABCD met T (0, 0, 6), A(3,−3, 0), B(3, 3, 0), C(−3, 3, 0) en D(−3,−3, 0).Het loodvlak α op TC door A verdeelt de piramide in twee lichamen. Bereken de verhouding van huninhouden.

Oplossingen: 139 (i) x = 0 en y = 0; (ii) (1−2√

15)x+(1+√

15)y+z = 0 en (1+2√

15)x+(1−√

15)y+z =0;140√

3x+ 6y − 3z + 8 = 0;


2.8 Afstand van een punt tot een rechte

2.8.1 Vectorieel

Gegeven is het punt P en de rechte a bepaald door een punt A en een richtingsvector ~u.We noemen P ′ de loodrechte projectie van P op a en Q het punt van de rechte a waarvoor~AQ = ~u.

We beschouwen het parallellogram AQQ′P (zie figuur).De oppervlakte van het parallellogram kunnen we als volgt uitdrukken:

Opp(AQQ′P ) = ‖ ~AQ‖ · ‖ ~AP‖ · sin θ = ‖~u‖ · ‖ ~AP‖ · sin θ

θ is de hoek waarvoor

cos θ =~u · ~AP‖~u‖ · ‖ ~AP‖

Hieruit volgt dat

sin θ =√

1− cos2 θ =

√1− (~u · ~AP )2

‖~u‖2 · ‖ ~AP‖2

=

√‖~u‖2 · ‖ ~AP‖2 − (~u · ~AP )2

‖~u‖ · ‖ ~AP‖

Opp(AQQ′P ) =

√‖~u‖2 · ‖ ~AP‖2 − (~u · ~AP )2

De afstand van P tot a is gelijk aan |PP ′|, gelijk aan de hoogte van het parallellogramAQQ′P , gelijk aan de oppervlakte van AQQ′P gedeeld door |AQ| die de basis is van hetparallellogram.

|PP ′| =

√‖~u‖2 · ‖ ~AP‖2 − (~u · ~AP )2

‖~u‖(2.1)

Opmerking: We kunnen bewijzen dat de oppervlakte van een parallellogram (AQQ′P )

gelijk is aan de norm van het vectorieel product van ~AQ en ~AP .De formule voor de afstand van een punt tot een rechte a is:

|PP ′| = ‖~u×~AP‖

‖~u‖(2.2)

2.8. AFSTAND VAN EEN PUNT TOT EEN RECHTE 75

2.8.2 Analytisch

Gegeven is het punt P (x1, y1, z1) en de rechte a bepaald door het punt A(x,ya, za) en eenrichtingsvector ~u(l,m, n). We kunnen de afstand van het punt P tot de rechte a op tweeverschillende manieren berekenen.

• We drukken de formule 2.1 of de formule 2.2 analytisch uit;

• We maken geen gebruik an vectoren. We bepalen het loodvlak door P op de rechtea. Het snijpunt van dit loodvlak met a is het punt P ′, de loodrechte projectie van Pop a.

OPGAVEN — 144 Bereken de afstand van het punt P ′(3,−1, 5) tot de rechte a : x−43 = y−9

4 = z+22

Oplossing:144: 11.


2.9 Vergelijking van de sfeer

Een punt P behoort tot de sfeer S met middelpunt M en straal r als en slechts als deafstand van P tot het middelpunt gelijk is aan r:

P ∈ S(M ; r)⇐⇒ ‖ ~PM‖ = r

We drukken deze meetkundige voorwaarde analytisch uit. Daartoe geven we aan het puntP die de sfeer beschrijft de lopende coordinaat (x, y, z), het middelpunt M de coordinaat(xo, yo, zo). De analytische uitdrukking voor de afstand van twee punten P en M is

‖ ~PM‖ =√

(x− xo)2 + (y − yo)2 + (z − zo)2

P ∈ S ⇐⇒ ‖ ~PM‖ =√

(x− xo)2 + (y − yo)2 + (z − zo)2 = r

P ∈ S ⇐⇒ (x− xo)2 + (y − yo)2 + (z − zo)2 = r2 ∧ r 6= 0 (2.3)

Deze laatste vergelijking is de cartesische vergelijking van de sfeer met middelpunt M enstraal r.

De algemene vergelijking van een sfeer bekomen we door de vergelijking uit te werken ente rangschikken naar de machten van de onbekenden x, y en z:

x2 + y2 + z2 − 2xox− 2yoy − 2zoz + x2o + y2

o + z2o − r2 = 0

De algemene vergelijking van een sfeer is van de gedaante

x2 + y2 + z2 + 2ax+ 2by + 2cz + d = 0

waarbij de parameters a, b, c, en d niet onafhankelijk van elkaar alle reele waarden kunnenaannemen.

Wordt de vergelijking van een sfeer gegeven door de algemene gedaante dan kunnen wede coordinaat van het middelpunt en de straal berekenen door het eerste lid te splitsen inonafhankelijke kwadraten om zodoende de gedaante 2.3 te bekomen:

(x2 + 2ax+ a2) + (y2 + 2by + b2) + (z2 + 2cz + c2) = a2 + b2 + c2 − d

m

2.9. VERGELIJKING VAN DE SFEER 77

(x+ a)2 + (y + b)2 + (z + c)2 = a2 + b2 + c2 − d

Deze vergelijking stelt een sfeer voor op voorwaarde dat het tweede lid groter is dan 0:

a2 + b2 + c2 − d > 0

De parameters a, b, c en d zijn dus verbonden door deze laatste ongelijkheid.De vergelijking

x2 + y2 + z2 + 2ax+ 2by + 2cz + d = 0

stelt een sfeer voor in de ruimte als en slechts als

a2 + b2 + c2 − d > 0.

Het middelpunt is het punt met coordinaat

M(−a,−b,−c)

en de straal is gelijk aanr =√a2 + b2 + c2 − d.

Een sfeer is volledig bepaald door het geven van zijn middelpunt en zijn straal.

OPGAVEN — 145 Bepaal middelpunt en straal van de sfeer met vergelijking x2+y2+z2+x+y+z = 0.

146 Stel de vergelijking op van het raakvlak in de snijpunten van de sfeer S(m; r) : x2 + y2 + z2 − 2x−4y + 6z − 12 = 0 met de y-as.

147 Bepaal de vergelijking van het raakvlak in het punt P (5, 2,−3) aan de sfeer S : x2 + y2 + z2 − 4x+2y − 2z − 28 = 0.

148 Stel de vergelijking op van de sfeer

a. waarvan A(3, 2, 2) en B(−1,−2, 4) tegenpunten zijn;

b. met middelpunt in het vlak α : 2x + z = 9 en door de drie niet- collineaire punten P (−2, 0, 0),Q(0, 0, 0) en R(0, 6, 0);

c. met middelpunt M(1, 2,−3) en rakend aan het vlak α : x = −1.

149 Het vlak α : 2x− 3y + z = 13 is een raakvlak aan de sferen S(M ; r) en S′(M ′; r′) met M(1, 1, 0) enM ′(5,−2, 1).

(i) Bepaal de vergelijkingen van de sferen.

(ii) Bepaal het snijpunt S van de centraal met het raakvlak.

(iii) Liggen M en M ′ aan dezelfde kant of aan weerszijden van α?


150 Onderzoek de onderlinge ligging van de sfeer S : (x−1)2 +(y−2)2 +z2 = 4 en de rechte a : (x, y, z) =r(2, 1, 3).

151 Onderzoek de onderlinge ligging van de sfeer S : (x−1)2+(y−2)2+z2 = 4 en het vlak α : x−2y+6z = 0Bepaal de straal van de snijcirkel en de coordinaat van het middelpunt van de snijcirkel.

152 Bepaal de sfeer rakend aan de x-as waarvan het middelpunt behoort tot de rechte a :{x = 5y = 5 en

gaat door het punt P (0, 5, 24).

153 Gegeven de punten A(2, 3, 4) en B(9, 0, 10) en de rechte a : x−13 = y−1

5 = z−17 . Bepaal de punten P

van a waarvoor de driehoek PAB rechthoekig is in P .

154 Gegeven het punt A(1, 3,−5) en de rechte a :{x = 52y − 3z + 5 = 0 . Bepaal de punten van a waarvoor

de afstand tot A gelijk is aan 9.

155 Gegeven is de balk(E F G HA B C D

)met A(6, 0, 0), C(0, 12, 0) en H(0, 0, 6) en de middens P en

Q van resp. [AB] en [CD].

(i) Bereken de inhoud van de piramide PCQE.

(ii) bereken de inhoud van de sfeer die door de punten P , B, C en F gaat.

Oplossingen:145 (−1/2,−1/2,−1/2), R =

√3/2;

146 x− 4y − 3z + 24 = 0 en x+ 4y − 3z + 8 = 0;147 3x+ 3y − 4z − 33 = 0;148 a. (x−1)2 +y2 +(z−3)2 = 9; b. (x+1)2 +(y−3)2 +(z−11)2 = 131; c. (x−1)2 +(y−2)2 +(z+3)2 = 4;149 (i) (x− 1)2 + (y− 1)2 + z2 = 14 en (x− 5)2 + (y+ 2)2 + (z− 1)2 = 8/7; (ii) (37/9,−4/3, 7/9); (iii) aanweerskanten;150 a snijdt S, (8 + 2

√2, 4 +

√2, 12 + 3

√2)/14 en (8− 2

√2, 4−

√2, 12− 3

√2)/14;

151 α snijdt S, r = 1, 94 . . .;152 (x− 5)2 + (y − 5)2 + (z − 12)2 = 169;153 P (4, 6, 8) en P ( 1

83 (182, 246, 314));154 P (5, 2, 3) en P (5,−4,−1);155 (i) 36 is 1/12 vd inh balk, (ii) M(3, 9, 3), R = 3

√3 en INH=108

√3π.

SUPPLEMENTAIRE OPGAVEN — 156 Bepaal middelpunt en straal van de sfeer met vergelijkingx2 + y2 + z2 + x− 4y = 0.

157 Stel de vergelijking op van de raakvlakken parallel met het vlak α : 6x+ 3y− 2z− 5 = 0 aan de sfeerS : x2 + y2 + z2− 2x+ 6y− 4z− 35 = 0. Bepaal de coordinaten van de raakpunten. Hoe zijn ze op de sfeert.o.v. elkaar gelegen?

2.9. VERGELIJKING VAN DE SFEER 79

158 Bepaal de vergelijking van het raakvlak in het punt P (0, 3, 0) aan de sfeer S : x2 + y2 + z2 = 9.

159 Stel de vergelijking op van de sfeer

a. met middelpunt (2,−3, 0) en door het punt (1, 1, 2√

2);

b. door de vier niet-coplanaire punten P (1−√

3, 0, 0), Q(0,√

2− 1, 1), R(1, 0,√

3) en S(0,−1,√

3);

c. met middelpunt M(1,−1, 2) en rakend aan het vlak α : 3x− y + 2z + 6 = 0.

160 Onderzoek de onderlinge ligging van de sfeer S : 4x2 + 4y2 + 4z2 − 4x − 12y − 16z + 10 = 0 en derechte a : (x, y, z) = r(1, 0,−1) + (1, 1, 0).

161 Onderzoek de onderlinge ligging van de sfeer S : x2 + y2 + z2 = 25 en het vlak α : x − y + z = 3Bepaal in geval ze elkaar snijden de vergelijking van het vlak van de snijcirkel, de straal van de snijcirkelen de coordinaat van het middelpunt van de snijcirkel.

162 Onderzoek de onderlinge ligging van de sferen S : x2 + y2 + z2 − 4y + 2y − 12z + 32 = 0 enS′ : x2 + y2 + z2 − 4x − 6y − 18z + 90 = 0. Bepaal in geval ze elkaar snijden de vergelijking van het vlakvan de snijcirkel, de straal van de snijcirkel en de coordinaat van het middelpunt van de snijcirkel.

163 Toon aan dat de sfeer S(O; 1) en de sfeer beschreven om de kubus bepaald door de basisvectorenelkaar snijden volgens een cirkel van het vlak α : x+ y+ z = 1. Bereken de coordinaat van het middelpunt,alsook de straal van de cirkel.

164 Bepaal de verzameling van de middelpunten van de sferen die raken aan de snijdende vlakken α :x+ 2y − 2z − 5 = 0 en β : 2x+ y + 2z = 0.

165 Gegeven de punten A(2, 4, 2) en B(1,−4, 0) en de rechte a : (x, y, z) = (2, 2, 3) + k(1,−1, 0). Bepaalde punten P van a waarvoor PA orthogonaal is met PB.

166 Gegeven het punt A(3,−6,−4) en het vlak α : 2x − y + 2z + 4 = 0. Bepaal het punt dat op gelijkeafstand ligt van A en α.

167 Gegeven is de kubus(E F G HA B C D

)met ribbe 6. Bereken de inhoud van de sfeer die door de

punten A, B, C en D gaat en raakt aan het bovenvlak EFG.

Oplossingen:

166 M(1, 2, 0) en R = 2;

Dit waren dan de oefeningen op de sfeer. Maar om in de sfeer te komen volgen hier nogeen hele reeks herhalingsoefeningen.


2.10 Herhalingsoefeningen

OPGAVEN — 168 Bepaal de norm en de genormeerde vector van ~AB, de afstand tussen de punten Aen B en de hoek tussen ~OA en ~OB.

a. A( 12 , 0,−

√2

2 ) en B(1, 12 , 0);

b. A(1, 2, 3) en B(2,−1,−2);

c. A(3, 0, 0) en B(0, 2, 0).

169 Toon aan dat de rechte a : (x, y, z) = (10, 4, 17) + r(1, 4, 8) raakt aan de sfeer S : x2 + y2 + z2 = 81en bepaal ook het raakpunt.Bepaal de vergelijking van een andere raaklijn in dit raakpunt aan de sfeer en leid hieruit de vergelijkingaf van het raakvlak in dat punt aan de sfeer.

170 Bepaal de rechte l die in het vlak α : 4x − 2y + z − 3 = 0 ligt en de rechte a : x = 2y − 3 = 2z−15

loodrecht snijdt.

171 a. Bepaal de rechte a door het punt P (1, 1, 1) orthogonaal met OP en parallel met het (y, z)-vlak.

b. Bepaal de rechte b door het punt P (1, 1, 1) die orthogonaal is met OP en de rechte c : x−1 = y+1 = zsnijdt. Geef de coordinaat van het snijpunt van b en c.

c. Bepaal de hoek tussen de rechten a en b.

172 Gegeven het vlak α : 2x− 2y + z − 1 = 0 en de rechte a :{x− y = 0x− 2z + 2 = 0

Gevraagd:

(i) de coordinaat van het snijpunt A van a met α;

(ii) de coordinaat van elk punt van de rechte a waarvan de afstand tot A gelijk is aan 3;

(iii) de coordinaat van elk punt van de rechte a waarvan de afstand tot het vlak α gelijk is aan 1.

173 Gegeven het punt A(−1, 2, 1) en de vlakken α : 3x+ z = 4 en β : 2x− y = 1.Gevraagd:

(i) de vergelijking van het vlak γ door A en orthogonaal met α en β;

(ii) een stelsel vergelijkingen van de loodlijn door A op s = α ∩ β; de coordinaat van het voetpunt;

(iii) de afstand van A tot s.

174 Gegeven de punten A(0, 1, 0) en B(2, 3, 1) en de rechte c :{x+ y = 12y − z = 0 .

Gevraagd:

(i) de coordinaat van het punt C van c waarvoor AB en AC loodlijnen zijn;

2.11. WISKUNDE-CULTUUR 81

(ii) een stelsel vergelijkingen van de rechte d door A zodat d orthogonaal is met het vlak ABC;

(iii) de coordinaat van elk punt F van d waarvoor ‖ ~AF‖ = ‖ ~AC‖.

175 Gegeven de rechten a : x−4k−1a = y − 2k − 2 = − z

k en b :{x+ y + 2k − 1 = 0z + k + 3 = 0 met k ∈ R.

Gevraagd:

(i) bewijs dat a en b steeds kruisend zijn (met de theorie van de oplosbaarheid van stelsels);

(ii) bewijs dat de gemeenschappelijke loodlijn van a en b door een vast punt gaat;

(iii) voor welke waarde van k is de afstand tussen de rechten a en b minimaal? Bereken deze kleinsteafstand.

176 Bepaal de afstand tussen de evenwijdige rechten

a :x− 2

2=y − 3

3= −z

2en b :

x− 12

=y + 2

3= −z + 2

2.

RM II HUISTAAK 8 1. Onderzoek de onderlinge ligging van de sferen S : x2 + y2 +z2−4y−5 = 0 en S ′ : x2 +y2 +z2−10y+21 = 0. Bepaal in geval ze elkaar snijden devergelijking van het vlak van de snijcirkel, de straal van de snijcirkel en de coordinaatvan het middelpunt van de snijcirkel.

2. Gegeven de punten A(3, 4, 0) en B(0, 0, 5). Gevraagd:

(i) de coordinaat van het midden van [AB];

(ii) de waarde van t ∈ R waarvoor de rechte p die de punten P (t, 0, 0) en A verbindt,orthogonaal is met de rechte b = AB; verifieer ook voor die waarde van t derechten a = OA en p orthogonaal zijn; bereken ook het maatgetal van de scherpehoek tussen de rechten a en b;

(iii) stel voor die waarde van t een stelsel vergelijkingen op van de loodlijn die doorO op het vlak pb getrokken wordt en bereken de coordinaat van het voetpuntvan die loodlijn.

2.11 Wiskunde-Cultuur

1. Augustin CAUCHY is een Frans wiskundige van 1789 tot 1857. De wiskundigenvan de 19de eeuw leefden niet meer aan vorstelijke hoven en vonden slechts zeldenhun weg tot de salons van de aristocratie. Hun voornaamste beroep was niet meer


het lidmaatschap van academies, zij waren gewoonlijk hoogleraren aan universiteitenen technische instituten, waar zij onderwijs gaven en hun salaris verdienden. Som-mige leidende wiskundigen als de Bernoulli’s hadden reeds enig onderwijs gegeven.Nu namen de onderwijsverplichtingen toe met de grote uitbreiding die het schoolsys-teem kreeg, wiskunde professoren werden opvoeders en examinatoren. De geleerdenwerden daardoor nauwer met hun eigen nationale instituties verbonden, wat zich ookuitte in het feit dat hun publicaties steeds meer in de taal van hun land verschenenen steeds minder in het Latijn. Dit deed schade aan het internationalisme van devorige eeuwen, doch niet zozeer dat internationale gedachtenwisseling onderbrokenwerd. De wiskundigen werden meer en meer specialisten in een bepaald (schoon nogzeer ruim) gebied, en waar men LEIBNIZ (filosoof 1646-1716), EULER (1707-1783),D’ALEMBERT (1717-1783) (als “wiskundigen”;“geometres” in de terminologie vande 18de eeuw) kan aanduiden, vinden we in Cauchy allereerst een analyticus, in CAY-LEY (1821-1895) een algebrist, in STEINER (1796-1863) een meetkundige (zelfs eenzuiver meetkundige) en in CANTOR (1845-1918) de schepper van de leer der punt-verzamelingen. De tijd was gekomen waarin we “mathematische fysica” beginnente krijgen, en waarin er goede vakmannen in “mathematische statistiek” of “mathe-matische logica” optreden. Deze specialisatie werd alleen op het hoogste niveau vangenialiteit doorbroken en juist door het werk van de grootsten der groten, een GAUSS(1777-1855), een RIEMANN (1826-1866), een KLEIN (1849-1925) of een POINCARE (1854-1912) ontving de wiskunde in de 19de eeuw haar grootste inspiratie.Cauchy’s talrijke bijdragen tot de theorie van het licht en de mechanica zijn door hetsucces van zijn prestaties in de analyse wel wat in de vergetelheid geraakt, en tochmogen we niet uit het oog verliezen dat hij met zijn tijdgenoot Louis Navier tot degrondleggers der wiskundige elasticiteitstheorie behoort. Zijn roem berust op de eersteplaats op zijn theorie van de functies van een complexe veranderlijke. Cauchy behoortsamen met zijn tijdgenoten GAUSS (1777-1855), ABEL (1802-1829) en BOLZANO(wijsgeer 1781-1848) , tot de pioniers van de nieuwe exactheid in het wiskundig den-ken. De 18de eeuw was in wezen een eeuw van mathematisch experimenteren geweest,waarbij de resultaten zich ophoopten. Daarbij hadden de wiskundigen zich maar wei-nig bezig gehouden met de grondslagen van hun wetenschap - “allez en avant, et lafoi vous viendra” (ga maar vooruit, het geloof zal wel komen) - deze aanmoedigingwerd wel aan D’Alembert toegeschreven. Wat Eudoxus had gedaan in de tijd na deval van de Atheense democratie begonnen Cauchy en zijn exact denkende collega’sin de periode van een snel groeiende industrialisatie te voltooien. Dit grote verschilin maatschappelijke verhoudingen leidde tot grote verschillen in de wijze waarop devraagstukken werden aangepakt: waar het succes van EUDOXUS (408-355 v.C.) erop den duur toe leidde dat de wiskundige productiviteit belemmerd werd, leidde hetsucces van de moderne hervormers tot nieuwe en verhoogde productiviteit. Op Gaussen Cauchy volgden WEIERSTRASS (??-??) en CANTOR (1845-1918), en op henweer HILBERT

2.11. WISKUNDE-CULTUUR 83

(1862-1943) en LEBESGUE (1875-1941). Cauchy ontwikkelde de gronslagen van deinfinitesimaalrekening op de manier waarop ze nu algemeen in onze leerboeken wor-den uiteengezet. Na de revolutie van 1830 gaf Cauchy zijn leerstoel aan de EcolePolytechnique op. Zijn productiviteit was zo enorm dat de Academie de omvangvan alle verhandelingen voor haar “Comptes Rendus” moest beperken om Cauchy’swerk te kunnen bijhouden. Men zegt dat toen hij zijn eerste verhandeling over deconvergentie van reeksen aan de Academie voorlegde, Laplace zo ongerust werd datde grote man naar zijn kamer ijlde om de reeksen in zijn ‘Mecanique celeste’ op hunconvergentie te onderzoeken.

2. SCHARTZ is een Duits wiskundige van 1843 tot 1921.

3. Ludwig Otto HESSE was een Duits wiskundige van 1811 tot 1874. hij heeft detheorie van algebraısche krommen en oppervlakken behandeld, waarbij hij veel gebruikmaakte van homogene vormen. Otto Hesse bewees evenals Plucker hoeveel nut menin de analytische meetkunde kan trekken van een verkorte wijze van schrijven; daarbijgebruikte hij graag homogene coordinaten en determinanten.

Inhoudsopgave

1 De reele euclidische ruimte 3

1.1 De euclidische ruimte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Orthogonaliteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1.1 Orthogonaliteit van richtingen — Axioma’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1.2 Orthogonale rechten en loodlijnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1.3 Loodrechte projectie op een rechte (orthogonale projectie) . . . . . . . . . 6

1.1.1.4 Orthogonaliteit van vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.2 Afstand en scalair product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.2.1 Afstand van een puntenkoppel — norm van een vector . . . . . . . . . . . 7

1.1.2.2 Genormeerde vector van een vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.2.3 Scalair product van een koppel vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.3 De affiene ruimte als euclidische ruimte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2 Orthogonaliteit van rechte en vlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Orthogonaliteit van twee vlakken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.1 Definitie en eerste eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.2 Projectie van een paar orthogonale rechten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.3 Gemeenschappelijke loodlijn van twee kruisende rechten . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3.4 De afstand tussen punt en rechte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3.5 De afstand tussen punt en vlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3.6 De afstand tussen twee strikt parallelle vlakken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3.7 De afstand tussen twee rechten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3.8 De hoek tussen twee rechten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3.9 De hoek tussen een rechte en een vlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3.10 De hoek tussen twee vlakken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4 Meetkundige plaatsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

85

86 INHOUDSOPGAVE

1.5 Lichamen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.5.1 Veelvlakken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.5.1.1 Prisma’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.5.1.2 Piramides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.5.1.3 Afgeknotte piramide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.5.1.4 Regelmatige veelvlakken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.5.1.5 Halfregelmatige veelvlakken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.5.2 Omwentelingslichamen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.5.2.1 Omwentelingsoppervlakken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.5.2.2 Omwentelingslichamen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.5.3 De sfeer en de bol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.5.3.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.5.3.2 Het bepalen van een sfeer door vier niet-coplanaire punten . . . . . . . . . 41

1.5.3.3 Onderlinge ligging van een sfeer en een punt . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.5.3.4 Onderlinge ligging van een sfeer en een vlak . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.5.3.5 Onderlinge ligging van een sfeer en een rechte . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.5.3.6 Onderlinge ligging van twee sferen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2 Analytische euclidische meetkunde 53

2.1 Orthonormale basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.2 Scalair product — norm — afstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.2.1 Analytische uitdrukking voor het scalair product van twee vectoren . . . . . . . . . . 54

2.2.2 Analytische uitdrukking voor de norm van een vector . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.2.3 Analytische uitdrukking voor de afstand tussen twee punten . . . . . . . . . . . . . . 54

2.2.4 Analytische uitdrukking voor de orthogonaliteit van twee vectoren . . . . . . . . . . 55

2.2.5 Analytische uitdrukking voor de hoek tussen twee vectoren . . . . . . . . . . . . . . 55

2.3 Hoek tussen twee rechten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.3.1 Analytische uitdrukking van de loodrechte stand van twee rechten . . . . . . . . . . 58

2.3.2 Analytische uitdrukking voor de hoek tussen twee rechten . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.4 Normaalvector van een vlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.5 Hoek tussen een rechte en een vlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.5.1 Analytische uitdrukking voor de loodrechte stand van een rechte en een vlak . . . . 62

2.5.2 Analytische uitdrukking voor de hoek tussen een rechte en een vlak . . . . . . . . . 63

2.6 Hoek tussen twee vlakken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

INHOUDSOPGAVE 87

2.6.1 Analytische uitdrukking voor de loodrechte stand van twee vlakken . . . . . . . . . . 67

2.6.2 Analytische uitdrukking voor de hoek tussen twee vlakken . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.7 Afstand van een punt tot een vlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.7.1 Vectorieel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.7.2 Analytisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.8 Afstand van een punt tot een rechte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.8.1 Vectorieel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.8.2 Analytisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.9 Vergelijking van de sfeer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.10 Herhalingsoefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

2.11 Wiskunde-Cultuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Ruimtemeetkunde deel II - wiswijs · Ruimtemeetkunde deel II Liliane Van Maldeghem Hendrik Van...

Documents

Transcript of Ruimtemeetkunde deel II - wiswijs · Ruimtemeetkunde deel II Liliane Van Maldeghem Hendrik Van...