Algebra - GiG DOMACI

8172019 Algebra - GiG DOMACI

httpslidepdfcomreaderfullalgebra-gig-domaci 112

Relacije i funkcije

1 Ispitati koje od osobina (R S A T) imaju sledece relacije skupa A = 1 2 3 4

ρ1 =

983080 1 1 21 2 1

983081 ρ3 =

983080 1 2 1 22 3 4 4

983081 ρ5 =

983080 1 2 3 4 3 2 11 2 3 4 2 3 3

983081

ρ2 =983080

1 2 31 2 3

983081 ρ4 =

983080 2 3 4 3 41 4 3 3 4

983081 ρ6 =

983080 1 1 1 2 2 2 3 3 41 3 4 2 3 4 3 4 4

983081

2 Relacije iz prethodnog zadatka dopuniti do realcija poretka (ako je moguce) a zatim nacrtatinjihove Haseove dijagrame i odrediti na jveci na jmanji minimalne i maksimalne elemente (akopostoje)

3 Za date uredjene skupove nacrtati Haseov dijagram i odrediti najveci najmanji minimalne imaksimalne elemente (ako postoje)

(a) (N cup a le cup(3 a))(b) (empty a b b c a c abc abce abcdf sube)

(c) (2 3 4 6 9 36 72 |)

4 Relacije iz 1 zadatka dopuniti do realcija ekvivelencije a zatim odrediti odgovarajuce faktorskupove

5 Naci relaciju ekvivalencije ρ na skupu A = 1 2 3 4 5 6 7 ako je njen faktor skup

[A]ρ = 2 5 7 1 3 6 4

6 Za date skupove A i B i date skupove f i sube A times B ispitati da li su f i funkcije iz skupa A uskup B da li su injektivne i da li su sirjektivne funkcije iz A u B

(a) A = 1 2 3 4 B = abcde

f 1 =

983080 1 2 3 4a b b a

983081 f 2 =

983080 2 3c d

983081 f 3 =

983080 1 2 3 4a d c e

983081 f 4 =

983080 1 2 3 3 4a b c d e

983081

(b) A = 1 2 3 4 B = abcd

f 1 =983080

1 2 4a b d983081

f 2 =983080

1 2 3 4c b a d983081

f 3 =983080

1 2 3 4 1d a c d b983081

f 4 =983080

1 2 3 4b c b a983081

7 Neka je A = 1 2 3 4 5 i neka su funkcije f A rarr A i g A rarr A definisane sa

f =

983080 1 2 3 4 53 1 4 5 2

983081 i g =

983080 1 2 3 4 52 3 1 2 4

983081

Odrediti funkcije f minus1 f g g f f f g g

8 Za realne funkcije f i g definisane sa f (x) = x

1 minus x i g(x) = 1

x + 1 naci funkcije

f minus1 gminus1 f g g f f f g g f g f f 2 g



Algebarske strukture

1 Naci sve podgrupoide grupoida (G ⋆) ako je G = abcd a operacija ⋆ je data tablicom

⋆ a b c d

a d b a a

b a d c bc c a b d

d a b a d

a zatim ispitati koje osobine (komutativnost asocijativnost neutralni element inverzni ele-menti) imaju ti podgrupoidi

2 Za one od sledecih uredjenih parova koji su grupoidi ispitati koje osobine imaju (komutativnostasocijativnost neutralni element inverzni elementi)

(1) (N cup 0 +) (9) (R 0 middot) (17) (a + ai | a isin Z +)

(2) (Z +) (10) ([0infin) middot) (18) (Z7 +7)

(3) (7k | k isin Z +) (11) (C middot) (19) (Z4 0 middot4)

(4) (2k | k isin Z middot) (12) (C 0 middot) (20) (Z3 0 middot3)

(5) (3k + 1 | k isin Z +) (13) (1minus1 iminusi +) (21) (P (A)cap)

(6) (5k + 1 | k isin Z middot) (14) (1minus1 iminusi middot) (22) (P (A) )

(7) (minus1 1 middot) (15) (ai | a isin R +) (23) (f | f Rrarr R )

(8) (minus2minus1

0

1

minus2

middot) (16) (

ai |

a isinR

middot) (24) (

f |

f N

rarrN f

je bijekcija)

3 Neka su

f =

983080 a b c

c a b

983081 g =

983080 a b c

b c a

983081 h =

983080 a b c

a b c

983081

Dokazati da je (f g h ) Abelova grupa

4 Neka je ABC jednakostranican trougao u ravni α Dokazati da je (P ) grupa gde je P skupsvih transformacija podudarnosti ravni α koje trougao ABC preslikavaju u njega samog a je kompozicija funkcija

Uputstvo Svaka transformacija podudarnosti trougla ABC je potpuno odredjena slikamatacaka A B i C pa je P = ρ0 ρ2π

3

ρ 4π

3

σA σB σC gde su ρα rotacije oko centra trougla zaugao α a σX osne simetrija u odnosu na osu trougla koja sadrzi tacku X odnosno

ρ0 =

983080 A B C

A B C

983081 ρ 2π

3

=

983080 A B C

B C A

983081 ρ 4π

3

=

983080 A B C

C A B

983081

σA =

983080 A B C

A C B

983081 σB =

983080 A B C

C B A

983081 σC =

983080 A B C

B A C

983081

5 Dokazati da je (A lowast) grupa ako je A = (a b) isinR2

| a = 0 i za sve (a b) (c d) isin A operacijalowast je definisana sa (a b) lowast (c d) = (ac ad + b)



6 Ispitati da li je (abc + middot) prsten ako su operacije + i middot date tablicama

+ a b c

a b c a

b c a b

c a b c

middot a b c

a c c c

b c c c

c c c c

7 Dopuniti tablice binarnih operacija oplus i ⊙ skupa A = abcd tako da (Aoplus⊙) bude poljea zatim navesti neutralne i inverzne elemente za obe operacije

oplus a b c d

a

b

c b

d a

⊙ a b c d

a

b

c

d a

8 Neka su na R = Rtimes 1 = (a 1) | a isin R definisane sledece binarne operacije

(a 1) oplus (b 1) = (a + b 1)

(a 1) otimes (b 1) = (ab + a + b 1)

Ispitati da li je

(a) (Roplus) Abelova grupa

(b) (Rotimes) polugrupa i

(c) (Roplusotimes) prsten



KOMPLEKSNI BROJEVI

1 Izracunati vrednost izraza z 1 + z 2

1 + z 1z 2ako je z 1 = i i z 2 =

1 + iradic

2

2 Odrediti kompleksan broj z iz uslova (2 + i)3 + 2Re

983080z + 1

2

983081minus iIm

9830802 + z

1 minus i

983081+ z = 5 + 5i

3 Izracunati

1048616minus1

2 minus

radic 3

2 i

1048617536

minus3 minus 7i + 3i

+ 6

i2011

4 Naci kompleksne brojeve z za koje vazi Im

983080z + 2

2 minus i

983081 = 1 i Re (z 2 + 1) = 1 a zatim za resenje z 1

koje se nalazi u drugom kvadrantu naci z 20111 i 3

radic z 1

5 Odrediti kompleksan broj z =1048616radic

6minusradic

2i2minus2i

1048617137

u algebarskom obliku

[Uputstvo Vrednosti sinusa i kosinusa argumenta broja z odrediti koristeci stepenovanje kom-pleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku]

6 Predstaviti proizvod sin2 3x cos4x u obliku zbira trigonometrijskih funkcija

7 Ako su 2 + 3i i 4 minus i dva temena kvadrata u kompleksnoj ravni odrediti preostala dva temena inapisati jednacinu kruznice opisane oko tog kvadrata

[Napomena Razmotriti slucajeve kada su date tacke susedna i kada su naspramna temenakvadrata]

8 Neka je z 1 = 2 + i teme jednakostranicnog trougla z 1z 2z 3 i z 4 = minus2+radic 3

2 + 4+2

radic 3

2 i srediste stranice

z 2z 3 Naci preostala temena trougla



POLINOMI

1 Dat je polinom p(x) = x5minus x4

minus 11x3 + 9x2 + 18x

(a) Faktorisati polinom p nad poljem realnih brojeva(b) Napisati p po stepenima od x minus 1

(c) Rastaviti na zbir parcijalnih razlomaka racionalnu funkciju r(x) = (x2minus9)(3x2+4xminus2) p(x)

2 Dat je polinom p(x) = 2x6minus 9x5 + 2x4 + 15x3 + 17x2 + ax + b Odrediti realne parametre a

i b tako da polinom p bude deljiv polinomom q (x) = x2minus 2x minus 3 a zatim ga faktorisati nad

poljem realnih i nad poljem kompleksnih brojeva

3 (a) Napisati normiran polinom p najmanjeg stepena sa realnim koeficijentima ako se zna da je x1 = 2 dvostruki a x2 = minusi je jednostruki koren tog polinoma

(b) Rastaviti na zbir parcijalnih razlomaka racionalnu funkciju r(x) = p(x)x3(x2+1)2(xminus2)

4 Ostatak pri deljenju polinoma p(x) polinomom xminus1 je 3 a polinomom xminus2 je 4 Naci ostatakpri deljenju polinoma p(x) polinomom q (x) = x2

minus 3x + 2

5 Koristeci Euklidov algoritam odrediti najveci zajednicki delilac polinoma

p(x) = x5 + 2x4minus 2x2

minus 3xminus 1 i q (x) = x4minus x2

minus 2x minus 1

6 (a) Odrediti realne koeficijente a b i c polinoma p(x) = x5 + ax4minus 2x3

minus 6x2 + bx + c ako je pri deljenju polinoma p sa x + 2 ostatak 9 i ako su zbir i proizvod korena polinoma p

jednaki minus

3

(b) Polinom p dobijen pod (a) napisati po stepenima od x + 2



SISTEMI LINEARNIH JEDNACINA

1 Primenom Gausovog algoritma resiti sistem jednacina

minusx minus 2y + 2z + t = 12x + 3y minus z minus 3t = minus33x + y + z minus 4t = 0

minus2x minus y minus 3z + 2t = 3

2 U zavisnosti od realnog parametra a diskutovati i resiti sistem jednacina

(a)3x + ay = 5x + y = 2

ax + 2y = 4 (b)

2ax +2ay +(3a + 1)z = a

(3a minus 1)x +2ay +(3a + 1)z = 1(a + 1)x +(a + 1)y +2(a + 1)z = a2

3 U zavisnosti od realnih parametara a i b diskutovati sistem jednacina

(a)x + ay + z = 1

2bx + 2ay + 2z = 23bx minus y + 3z = 6

(b)a(a minus 1)x +y +(a + 1)u = 1a(a minus 1)x +(aminus 1)y +z +(2a minus 2)u = b + 1

(aminus 2)y +(a + 1)z +(2a minus 4)u = b + 2

4 U zavisnosti od realnih parametara a b i c diskutovati sistem jednacina

minusx +(a minus 2)y +az +(a + 1)u = 1ax +(a minus 2)y +az minusu = b

ax +(a minus 2)y minusz +au = c



MATRICE

1 Ako je f (x) = x3

minus 2x

2

+ 3x minus

4 i A =

1 0 2

minus1 minus

2 00 minus1 0

izracunati f (A)

2 Date su matrice A =

1 0

minus3 10 2

B =

983131 minus2 0 minus1

1 3 0

983133 i C =

minus4 0 2

0 minus1 35 minus2 0

Izracunati

vrednosti onih izraza koji su definisani

(a) A middot B minus C (b) C middot A + B (c) 3C + B middot A (d) B middot C minus 2B

3 Odrediti inverznu matricu za (a) A =

1 0 minus2minus

2 1 12 2 0

(b) B =

1 minus3 0 minus2minus1 2 1 3

1 0 minus

2 4minus1 3 1 1

4 Matricnim metodom resiti sistem jednacina



5 Resiti matricne jednacine

(a) X middot A + 2C = B minus X ako je

A =

minus3 1 minus1

0 0 22 0 0

B =

0 minus1 4

minus2 3 minus32 minus1 5

C =

1 minus2 2

minus1 2 00 minus1 3

(b) A middot X minus B = 3X + C ako je

A =

4 minus1 minus12 1 3

4 minus

2 6

B =

1 minus1 2minus2 3 0

minus2 4

minus2

C =


2 0 3



DETERMINANTE

1 Izracunati vrednost determinanti (a)

1 2 0 3minus2 1 3 1

1 1 2 13 0 2 minus2

(b)

1 1 0 2 31 0 1 2 minus1minus

1 minus

1 1 3 03 2 0 1 2minus2 1 1 minus2 1

2 Izracunati vrednost determinanti

(a)

a minus b minus c 2a 2a

2b b minus c minus a 2b

2c 2c c minus a minus b

(b)

a a a a

a b b b

a b c c

a b c d

(c)

1 1 1 11 a a2 a3

1 a2 a4 a6

1 a3 a6 a9

3 Resiti jednacine

(a)

1minus x

2 21 1 minus x 12 2 2 minus x

minus 2(4x minus 1) = 0 (b)

2 2 4 5

2 6minus

x2 4 53 4 2 63 4 2 6 minus x2

= 0

4 Primenom Kramerovog pravila resiti sistem jednacina



5 Primenom Kramerovog pravila u zavisnosti od realnih parametara a i b diskutovati i resiti sisteme

jednacina

(a)ax minus 3y minus z = 1minusx + ay + (a + 1)z = a

(a minus 1)x minus y + 2z = a + 1 (b)

x + ay + z = 12bx + 2ay + 2z = 23bx minus y + 3z = 6

6 Pomocu adjungovane matrice Odrediti inverznu matricu za

(a) A =

1 0 minus2minus2 1 12 2 0

(b) B =

1 minus3 0 minus2minus1 2 1 31 0 minus2 4minus1 3 1 1

7 Odrediti rang matrice (a) A =

1 2 minus

1 10 1 2 21 4 3 5

(b) B =

3 minus

1 2 12 1 1 15 0 3 2

10 0 6 4

8 U zavisnosti od realnog parametra a diskutovati rang matrice

(a) A =

a 2 3a

3a a + 4 10a

2a2 6a minus 4 7a2 + 3a

(b) B =

a a 2 02a a a minus 1 1minus3a minus3a minus3 minus a 1 minus a

9 Koristeci Kroneker-Kapelijevu teoremu u zavisnosti od realnog parametra a diskutovati sistem jednacina

(a + 1)x + y + z = 1x + (a + 1)y + z = a

x + y + (a + 1)z = a2



VEKTORSKI PROSTORI

1 (1) Dokazati da je V = (minusx 0 x) | x isin R potprostor vektorskog prostora (R3R + middot)

(2) Ispitati da li je V = (xy 0) isin Q3 | x y isin N potprostor vektorskog prostora (Q3Q + middot)

(3) Neka su P [x] = ax2 + bx | a b isin R i R2[x] = ax2 + bx + c | a b c isin R Dokazati da je(P [x]R + middot) potprostor vektorskog prostora (R2[x]R + middot)

2 Dokazati da vektori

a = (2 0 0 0) b = (0 minus1 2 0) c = (0 0 minus3 0) d = (minus1 0 0 1)

cine bazu vektorskog prostora R4 a zatim napisati vektor v = (1 2minus1 3) kao linearnu kombi-naciju vektora a b c i d

3 Vektorski prostror W je generisan skupom vektora A = abcde gde su

a = (minus1 0 2 1) b = (0 1 4 1) c = (minus5 minus2 2 3) d = (2 1 0minus1) e = (3 0 minus6 minus3)

Odrediti

(i) dimenziju vektorskog prostora W

(ii) linearne zavisnosti vektora iz A

(iii) bar jednu bazu vektorskog prostora W

4 Dati je skup vektora B = abcd gde su

a = (1 0 minus1 2) b = (1 minus1 2 m) c = (0 minus1 3 1) d = (1 m minus4 1)

(a) Za koje vrednosti realnog parametra m je B baza vektorskog prostora (R4R + middot)

(b) Za vrednosti parametra m za koje B nije baza za R4

odrediti dimenziju prostora generisanogsa B

5 Skup vektora A = abcd cini bazu vektorskog prostora R4 Da li skup vektora

B = a + d a + b + c a + c b + d

cini bazu tog prostora

6 U vektorskom prostoru R4 potprostor V je generisan skupom vektora A = abcd gde je

a = (4 5 minus1 3) b = (2 1 1 minus1) c = (0minus3 3 1) d = (2 minus2 4 0)

(a) Odrediti dimenziju prostora V i naci bar jednu njegovu bazu

(b) Nadjenu bazu dopuniti do baze prostora R4

7 Neka je W potprostor vrktorskog prostora C 3 nad poljem C generisan vektorima a1 = (1 0 i) ia2 = (1 + i 1 minus1)

(a) Dokazati da je A = a1 a2 baza potprostora W

(b) Dokazati da b1 = (1 1 0) isin W i b2 = (1 i 1 + i) isin W i da je B = b1 b2 takodje bazapotprostora W

(c) Izraziti vektore a1 i a2 u bazi B

8 U zavisnosti od realnog parametra a odrediti bazu i dimenziju prostora S generisanog vektorima

v1 = (aaaa) v2 = (a 2 2 2) v3 = (a 2 a a) v4 = (a 2 a 3)



KARAKTERISTICNI KORENI I VEKTORI MATRICE

1 Data je matrica A =

1 1 10 2 3

minus1 minus1 minus2

(a) Naci karaktristicne korene i vektore matrice A

(b) Izracunati Aminus1 (ako postoji)


2 0 minus1minus1 minus1 0

0 0 3


(b) Izracunati f (A) = A4 minus 3A3 minus 3A2 + 8A + 5I


b 0 minusa

0 a 0minusa 0 b

a b isinR

a = 0

(a) Naci karaktristicne korene matrice A

(b) U zavisnosti od realnog parametra b odrediti karakteristicne vektore za bar jedan odkorena

LINEARNE TRANSFORMACIJE

1 Za sledece funkcije diskutovati po realnim parametrima kada su linearne transformacije i uslucaju kada jesu naci njihove matrice i odrediti rang

(a) f R3 rarr R2 f (xy z ) = (ax+b

bx+a + y sin(bx) + az )

(b) g R2 rarr R2 g(x y) = ((ax minus b)y x + ab)

(c) h R2 rarr R3 h(x y) = (xe(aminus1)y+b (ln b)y2 ax + cy)

2 Neka su linearne transformacije f g R3 rarr R3 definisane sa

f (xy z ) = (x minus 2y y + zminus2x + y minus z ) i g(xy z ) = (x + 2y + 3z x minus z 2y + 4z )

Napisati matrice M f i M g za transformacije f i g a zatim koristeci te matrice odreditikompoziciju f g i inverzna preslikavanja f minus1 i gminus1 ako postoje

3 Za linearnu transformaciju f R3 rarr R3 vazi

f (1minus1 0) = (1 0 1) f (1 2minus4) = (0minus1minus2) i f (minus2 0 3) = (minus1 1 0)

Odrediti f (xy z ) i odgovarajucu matricu M linearne transformacije f i izracunati f (minus1 3 0)



SLOBODNI VEKTORI

1 Dokazati da su vektori a = 2 i minus j + k b = 5 i + j minus 4 k i c = i + 3 j minus 6 k koplanarniNapisati vektor c kao linearnu kombinaciju vektora a i b

2 Dati su vektori a = (4k 2 2(1minus

k)) b = (minus

1 3 0) i c = (5

minus1 8)

(a) Odrediti k isin R tako da vektor a zaklapa jednake uglove sa vektorima b i c

(b) Pokazati da je a bc baza prostora R3 i predstaviti vektor d = (minus2 2minus5) u tojnovoj bazi

(c) Uporediti zapremine paralelopipeda konstruisanih nad vektorima a b i c odnosno vek-

torima a b i d

3 Dati su vektori

m = (minus

3

minus2 a) n = (1 b 3) p = (cd

minus4) q = (

minus6

minus3

2 6) a

isinR+ b c d

isinR

(a) Odrediti parametare a i b tako da je | m | = radic 14 i m perpn i parametre c i d tako da

vektori p i q budu kolinearni

(b) Izracunati povrsinu trougla odredjenog vektorima m i n

(c) Odrediti zapreminu trostrane prizme konstruisane nad vektorima mn i p

4 Dati su vektori a = 4 m minusn b = m + 3n i c = a times b gde su m i n jedinicni vektori iang( mn ) = π

3

(a) Naci ugao izmedju vektora a i b

(b) Odrediti zapreminu paralelopipeda konstruisanog nad vektorima a b i c

(c) Odrediti zapreminu i visinu tetraedra konstruisanog nad vektorima a b i c sa bazom

odredjenom vektorima a i b

5 Naci projekciju vektora a na vektor b ako je a = 2 p minus 3q b = p + q | p | = 2 | q | = 3 iang( pq ) = π

3

6 Da li tacke A(1 2minus1) B(0 1 5) C (minus1 2 1) i D(2 1 3) pripadaju istoj ravni

7 Neka su A(0 1 2) B(1 2 1) C (minus

3 1

minus1) i B1(1 3 2) temena paralelopipeda ABCDA1B1C 1D1

Naci koordinate preostalih temena a zatim izracunati povrsinu i zapreminu paralelopipeda

8 Pokazati da vektori a = (7 6minus6) i b = (6 2 9) mogu biti ivice kocke a zatim odreditivektor c trece ivice kocke

9 Oznacimo sa minusrarrAB = a i

minusminusrarrAD = b vektore koji odredjuju paralelogram ABCD Neka je tacka

M sredina duzi BC tacka T presek duzi AM i BD i T prime pro jekcija tacke T na duz AB

IzracunatiminusminusrarrT T prime

ako je |a | = 4 | b | = 3ang(a b) = π

6



ANALITICKA GEOMETRIJA

1 Date su ravni α Ax + 3y + 4z minus 4 = 0 β x + By + Cz = 0 i γ 2x minus y + z = D

(a) Odrediti A B C i D tako da se ravni α β i γ seku u tacki T (1 0 1) i da je ravan β normalnana ravan γ

(b) Naci pravu p koja je presek ravni β i γ

2 Naci jednacinu ravni α ko ja sadrzi tazke A(minus1 2 3) i B(1 2 1) i koja je normalna na ravanβ 4x minus y minus 2z = 7 Odrediti rastojanje ravni α od koordinatnog pocetka

3 Odrediti tacku A koja je simetricna tacki B (5 5 2) u odnosu na pravu p xminus22

= y+2

3 = zminus1

1

4 Date su prave

p r = (1 + tminustminus3) q r = (1 minus u 2 + 3uminus2 + u) s r = (minus2 + 2v 2 minus 2v 0) t u v isin R

Naci jednacinu ravni α koju odredjuju prave p i q i jednacinu ravni β koju odredjuju prave p i s

5 Date su prave p r = (1 minus 2ttminus1 + at) t isin R i q r = (s b + 2sminus2 minus s) s isin R Odreditia b isin R tako da se prave p i q seku pod pravim uglom

6 Odrediti projekciju prave p r = (minus1 minus 4t 1 3 + 5t) t isin R na ravan α x + y + 2z = 0

7 Za koje vrednosti parametara a b isin R ce prava p xminusbminus4

= ya

= z+1

3 pripadati ravni α odredjenoj

pravama q x+1

4 = yminus1

1 = z

minus1 i r xminus1

minus2 = y

0 = z+2

1

8 Date su ravni α x minus 3y minus 1 = 0 i β x minus y minus 2z + 3 = 0 i tacka M (minus4 5 1) Ispitati da li je vecerastojanje tacke M od ravni α ili od presecne prave ravni α i β

9 Date su prave p x+1

1 = y+4

m = zminus1

0 i q xminus1

minus2 = y

minus1 = zminus1

1 Naci vrednost parametra m tako da

prave p i q pripadaju istoj ravni β a zatim naci tacku simetricnu tacki T (minus1 1minus2) u odnosu naravan β

10 Prave p x4

= y+2

6 = zminus2

minus2 q xminus2

2 = yminus2

2 = zminus4

minus4 i r xminus2

minus2 = yminus2

minus4 = zminus4

minus2 ogranicavaju trougao

ABC gde je A = p cap r B = p cap q C = q cap r

(a) Odrediti jednacinu prave koja sadrze visinu iz temena C

(b) Odrediti jednacinu prave koja sadrze tezisnu duz iz temena B

(c) Izracunati povrsinu trougla ABC

11 Odrediti jednacinu ravni α odredjene tackama A B i C ako su koordinate tacke A nule polinomaP (x) = x3minus2x2minusx + 2 date u opadajucem redosledu tacka B je presek pravih p r = (minus1 1 2) +(minus2 1 2)t t isin R i q r = (1 0 0) + (3minus1 1)s s isin R a tacka C projekcija tacke B na ravanβ minusx + 3y + z minus 10 = 0

12 (a) Napisati parametrizaciju vektora od A do B ako je A(1 0minus3) i B(5minus1 2)

(b) Skicirati geometrijsko mesto tacaka r(t) = (1 + 2tminustminus2 + t) t isin [minus2 3]

(c) Date su tacke A B i prava r = r A + tminusminusrarrAB Skicirati datu pravu i podebljati tacke za koje je

minus2 le t le 3

4

13 Date su tacke A(1 0 1) B(2 3 0) i C (minus1 4minus1)

(a) Odrediti parametarske jednacine ravni odredjene tackama A B i C

(b) Napisati parametrizaciju paralelograma odredjenog tackama A B i C

14 Ravan je data parametarskim jednacinamax = 1 minus 2u + v y = minus3 z = minus2 + u + 2v uv isin R

Skicirati geometrijsko mesto tacaka za koje je u isin [0 2] i v isin [minus1 3]



Algebarske strukture

1 Naci sve podgrupoide grupoida (G ⋆) ako je G = abcd a operacija ⋆ je data tablicom

⋆ a b c d

a d b a a

b a d c bc c a b d

d a b a d

a zatim ispitati koje osobine (komutativnost asocijativnost neutralni element inverzni ele-menti) imaju ti podgrupoidi

2 Za one od sledecih uredjenih parova koji su grupoidi ispitati koje osobine imaju (komutativnostasocijativnost neutralni element inverzni elementi)

(1) (N cup 0 +) (9) (R 0 middot) (17) (a + ai | a isin Z +)

(2) (Z +) (10) ([0infin) middot) (18) (Z7 +7)

(3) (7k | k isin Z +) (11) (C middot) (19) (Z4 0 middot4)

(4) (2k | k isin Z middot) (12) (C 0 middot) (20) (Z3 0 middot3)

(5) (3k + 1 | k isin Z +) (13) (1minus1 iminusi +) (21) (P (A)cap)

(6) (5k + 1 | k isin Z middot) (14) (1minus1 iminusi middot) (22) (P (A) )

(7) (minus1 1 middot) (15) (ai | a isin R +) (23) (f | f Rrarr R )

(8) (minus2minus1

0

1

minus2

middot) (16) (

ai |

a isinR

middot) (24) (

f |

f N

rarrN f

je bijekcija)

3 Neka su

f =

983080 a b c

c a b

983081 g =

983080 a b c

b c a

983081 h =

983080 a b c

a b c

983081

Dokazati da je (f g h ) Abelova grupa

4 Neka je ABC jednakostranican trougao u ravni α Dokazati da je (P ) grupa gde je P skupsvih transformacija podudarnosti ravni α koje trougao ABC preslikavaju u njega samog a je kompozicija funkcija

Uputstvo Svaka transformacija podudarnosti trougla ABC je potpuno odredjena slikamatacaka A B i C pa je P = ρ0 ρ2π

3

ρ 4π

3

σA σB σC gde su ρα rotacije oko centra trougla zaugao α a σX osne simetrija u odnosu na osu trougla koja sadrzi tacku X odnosno

ρ0 =

983080 A B C

A B C

983081 ρ 2π

3

=

983080 A B C

B C A

983081 ρ 4π

3

=

983080 A B C

C A B

983081

σA =

983080 A B C

A C B

983081 σB =

983080 A B C

C B A

983081 σC =

983080 A B C

B A C

983081

5 Dokazati da je (A lowast) grupa ako je A = (a b) isinR2

| a = 0 i za sve (a b) (c d) isin A operacijalowast je definisana sa (a b) lowast (c d) = (ac ad + b)




+ a b c

a b c a

b c a b

c a b c

middot a b c

a c c c

b c c c

c c c c


oplus a b c d

a

b

c b

d a

⊙ a b c d

a

b

c

d a


(a 1) oplus (b 1) = (a + b 1)

(a 1) otimes (b 1) = (ab + a + b 1)

Ispitati da li je






KOMPLEKSNI BROJEVI


1 + z 1z 2ako je z 1 = i i z 2 =

1 + iradic

2


983080z + 1

2

983081minus iIm

9830802 + z

1 minus i

983081+ z = 5 + 5i

3 Izracunati

1048616minus1

2 minus

radic 3

2 i

1048617536


+ 6

i2011


983080z + 2

2 minus i



radic z 1


6minusradic

2i2minus2i

1048617137







2 + 4+2

radic 3





POLINOMI


minus 11x3 + 9x2 + 18x









minus 3x + 2




minus 2x minus 1



jednaki minus

3









(a)3x + ay = 5x + y = 2

ax + 2y = 4 (b)

2ax +2ay +(3a + 1)z = a



(a)x + ay + z = 1

2bx + 2ay + 2z = 23bx minus y + 3z = 6








MATRICE

1 Ako je f (x) = x3

minus 2x

2

+ 3x minus

4 i A =

1 0 2

minus1 minus

2 00 minus1 0

izracunati f (A)


1 0

minus3 10 2

B =


1 3 0

983133 i C =

minus4 0 2


Izracunati




1 0 minus2minus

2 1 12 2 0

(b) B =


1 0 minus

2 4minus1 3 1 1






A =

minus3 1 minus1

0 0 22 0 0

B =

0 minus1 4


C =

1 minus2 2



A =


4 minus

2 6

B =


minus2 4

minus2

C =


2 0 3



DETERMINANTE


1 2 0 3minus2 1 3 1

1 1 2 13 0 2 minus2

(b)

1 1 0 2 31 0 1 2 minus1minus

1 minus

1 1 3 03 2 0 1 2minus2 1 1 minus2 1


(a)




(b)

a a a a

a b b b

a b c c

a b c d

(c)

1 1 1 11 a a2 a3

1 a2 a4 a6

1 a3 a6 a9

3 Resiti jednacine

(a)

1minus x



2 2 4 5

2 6minus

x2 4 53 4 2 63 4 2 6 minus x2

= 0





jednacina





(a) A =


(b) B =



1 2 minus

1 10 1 2 21 4 3 5

(b) B =

3 minus

1 2 12 1 1 15 0 3 2

10 0 6 4


(a) A =

a 2 3a

3a a + 4 10a

2a2 6a minus 4 7a2 + 3a

(b) B =



(a + 1)x + y + z = 1x + (a + 1)y + z = a

x + y + (a + 1)z = a2



VEKTORSKI PROSTORI









Odrediti










B = a + d a + b + c a + c b + d











v1 = (aaaa) v2 = (a 2 2 2) v3 = (a 2 a a) v4 = (a 2 a 3)





1 1 10 2 3






0 0 3




b 0 minusa

0 a 0minusa 0 b

a b isinR

a = 0

















SLOBODNI VEKTORI



k)) b = (minus

1 3 0) i c = (5

minus1 8)




torima a b i d

3 Dati su vektori

m = (minus

3

minus2 a) n = (1 b 3) p = (cd

minus4) q = (

minus6

minus3

2 6) a

isinR+ b c d

isinR






3






3


7 Neka su A(0 1 2) B(1 2 1) C (minus

3 1








ako je |a | = 4 | b | = 3ang(a b) = π

6









= y+2

3 = zminus1

1

4 Date su prave






= ya

= z+1


pravama q x+1

4 = yminus1

1 = z

minus1 i r xminus1

minus2 = y

0 = z+2

1



1 = y+4

m = zminus1

0 i q xminus1

minus2 = y

minus1 = zminus1



10 Prave p x4

= y+2

6 = zminus2

minus2 q xminus2

2 = yminus2

2 = zminus4

minus4 i r xminus2

minus2 = yminus2

minus4 = zminus4










minus2 le t le 3

4









+ a b c

a b c a

b c a b

c a b c

middot a b c

a c c c

b c c c

c c c c


oplus a b c d

a

b

c b

d a

⊙ a b c d

a

b

c

d a


(a 1) oplus (b 1) = (a + b 1)

(a 1) otimes (b 1) = (ab + a + b 1)

Ispitati da li je






KOMPLEKSNI BROJEVI


1 + z 1z 2ako je z 1 = i i z 2 =

1 + iradic

2


983080z + 1

2

983081minus iIm

9830802 + z

1 minus i

983081+ z = 5 + 5i

3 Izracunati

1048616minus1

2 minus

radic 3

2 i

1048617536


+ 6

i2011


983080z + 2

2 minus i



radic z 1


6minusradic

2i2minus2i

1048617137







2 + 4+2

radic 3





POLINOMI


minus 11x3 + 9x2 + 18x









minus 3x + 2




minus 2x minus 1



jednaki minus

3









(a)3x + ay = 5x + y = 2

ax + 2y = 4 (b)

2ax +2ay +(3a + 1)z = a



(a)x + ay + z = 1

2bx + 2ay + 2z = 23bx minus y + 3z = 6








MATRICE

1 Ako je f (x) = x3

minus 2x

2

+ 3x minus

4 i A =

1 0 2

minus1 minus

2 00 minus1 0

izracunati f (A)


1 0

minus3 10 2

B =


1 3 0

983133 i C =

minus4 0 2


Izracunati




1 0 minus2minus

2 1 12 2 0

(b) B =


1 0 minus

2 4minus1 3 1 1






A =

minus3 1 minus1

0 0 22 0 0

B =

0 minus1 4


C =

1 minus2 2



A =


4 minus

2 6

B =


minus2 4

minus2

C =


2 0 3



DETERMINANTE


1 2 0 3minus2 1 3 1

1 1 2 13 0 2 minus2

(b)

1 1 0 2 31 0 1 2 minus1minus

1 minus

1 1 3 03 2 0 1 2minus2 1 1 minus2 1


(a)




(b)

a a a a

a b b b

a b c c

a b c d

(c)

1 1 1 11 a a2 a3

1 a2 a4 a6

1 a3 a6 a9

3 Resiti jednacine

(a)

1minus x



2 2 4 5

2 6minus

x2 4 53 4 2 63 4 2 6 minus x2

= 0





jednacina





(a) A =


(b) B =



1 2 minus

1 10 1 2 21 4 3 5

(b) B =

3 minus

1 2 12 1 1 15 0 3 2

10 0 6 4


(a) A =

a 2 3a

3a a + 4 10a

2a2 6a minus 4 7a2 + 3a

(b) B =



(a + 1)x + y + z = 1x + (a + 1)y + z = a

x + y + (a + 1)z = a2



VEKTORSKI PROSTORI









Odrediti










B = a + d a + b + c a + c b + d











v1 = (aaaa) v2 = (a 2 2 2) v3 = (a 2 a a) v4 = (a 2 a 3)





1 1 10 2 3






0 0 3




b 0 minusa

0 a 0minusa 0 b

a b isinR

a = 0

















SLOBODNI VEKTORI



k)) b = (minus

1 3 0) i c = (5

minus1 8)




torima a b i d

3 Dati su vektori

m = (minus

3

minus2 a) n = (1 b 3) p = (cd

minus4) q = (

minus6

minus3

2 6) a

isinR+ b c d

isinR






3






3


7 Neka su A(0 1 2) B(1 2 1) C (minus

3 1








ako je |a | = 4 | b | = 3ang(a b) = π

6









= y+2

3 = zminus1

1

4 Date su prave






= ya

= z+1


pravama q x+1

4 = yminus1

1 = z

minus1 i r xminus1

minus2 = y

0 = z+2

1



1 = y+4

m = zminus1

0 i q xminus1

minus2 = y

minus1 = zminus1



10 Prave p x4

= y+2

6 = zminus2

minus2 q xminus2

2 = yminus2

2 = zminus4

minus4 i r xminus2

minus2 = yminus2

minus4 = zminus4










minus2 le t le 3

4








KOMPLEKSNI BROJEVI


1 + z 1z 2ako je z 1 = i i z 2 =

1 + iradic

2


983080z + 1

2

983081minus iIm

9830802 + z

1 minus i

983081+ z = 5 + 5i

3 Izracunati

1048616minus1

2 minus

radic 3

2 i

1048617536


+ 6

i2011


983080z + 2

2 minus i



radic z 1


6minusradic

2i2minus2i

1048617137







2 + 4+2

radic 3





POLINOMI


minus 11x3 + 9x2 + 18x









minus 3x + 2




minus 2x minus 1



jednaki minus

3









(a)3x + ay = 5x + y = 2

ax + 2y = 4 (b)

2ax +2ay +(3a + 1)z = a



(a)x + ay + z = 1

2bx + 2ay + 2z = 23bx minus y + 3z = 6








MATRICE

1 Ako je f (x) = x3

minus 2x

2

+ 3x minus

4 i A =

1 0 2

minus1 minus

2 00 minus1 0

izracunati f (A)


1 0

minus3 10 2

B =


1 3 0

983133 i C =

minus4 0 2


Izracunati




1 0 minus2minus

2 1 12 2 0

(b) B =


1 0 minus

2 4minus1 3 1 1






A =

minus3 1 minus1

0 0 22 0 0

B =

0 minus1 4


C =

1 minus2 2



A =


4 minus

2 6

B =


minus2 4

minus2

C =


2 0 3



DETERMINANTE


1 2 0 3minus2 1 3 1

1 1 2 13 0 2 minus2

(b)

1 1 0 2 31 0 1 2 minus1minus

1 minus

1 1 3 03 2 0 1 2minus2 1 1 minus2 1


(a)




(b)

a a a a

a b b b

a b c c

a b c d

(c)

1 1 1 11 a a2 a3

1 a2 a4 a6

1 a3 a6 a9

3 Resiti jednacine

(a)

1minus x



2 2 4 5

2 6minus

x2 4 53 4 2 63 4 2 6 minus x2

= 0





jednacina





(a) A =


(b) B =



1 2 minus

1 10 1 2 21 4 3 5

(b) B =

3 minus

1 2 12 1 1 15 0 3 2

10 0 6 4


(a) A =

a 2 3a

3a a + 4 10a

2a2 6a minus 4 7a2 + 3a

(b) B =



(a + 1)x + y + z = 1x + (a + 1)y + z = a

x + y + (a + 1)z = a2



VEKTORSKI PROSTORI









Odrediti










B = a + d a + b + c a + c b + d











v1 = (aaaa) v2 = (a 2 2 2) v3 = (a 2 a a) v4 = (a 2 a 3)





1 1 10 2 3






0 0 3




b 0 minusa

0 a 0minusa 0 b

a b isinR

a = 0

















SLOBODNI VEKTORI



k)) b = (minus

1 3 0) i c = (5

minus1 8)




torima a b i d

3 Dati su vektori

m = (minus

3

minus2 a) n = (1 b 3) p = (cd

minus4) q = (

minus6

minus3

2 6) a

isinR+ b c d

isinR






3






3


7 Neka su A(0 1 2) B(1 2 1) C (minus

3 1








ako je |a | = 4 | b | = 3ang(a b) = π

6









= y+2

3 = zminus1

1

4 Date su prave






= ya

= z+1


pravama q x+1

4 = yminus1

1 = z

minus1 i r xminus1

minus2 = y

0 = z+2

1



1 = y+4

m = zminus1

0 i q xminus1

minus2 = y

minus1 = zminus1



10 Prave p x4

= y+2

6 = zminus2

minus2 q xminus2

2 = yminus2

2 = zminus4

minus4 i r xminus2

minus2 = yminus2

minus4 = zminus4










minus2 le t le 3

4








POLINOMI


minus 11x3 + 9x2 + 18x









minus 3x + 2




minus 2x minus 1



jednaki minus

3









(a)3x + ay = 5x + y = 2

ax + 2y = 4 (b)

2ax +2ay +(3a + 1)z = a



(a)x + ay + z = 1

2bx + 2ay + 2z = 23bx minus y + 3z = 6








MATRICE

1 Ako je f (x) = x3

minus 2x

2

+ 3x minus

4 i A =

1 0 2

minus1 minus

2 00 minus1 0

izracunati f (A)


1 0

minus3 10 2

B =


1 3 0

983133 i C =

minus4 0 2


Izracunati




1 0 minus2minus

2 1 12 2 0

(b) B =


1 0 minus

2 4minus1 3 1 1






A =

minus3 1 minus1

0 0 22 0 0

B =

0 minus1 4


C =

1 minus2 2



A =


4 minus

2 6

B =


minus2 4

minus2

C =


2 0 3



DETERMINANTE


1 2 0 3minus2 1 3 1

1 1 2 13 0 2 minus2

(b)

1 1 0 2 31 0 1 2 minus1minus

1 minus

1 1 3 03 2 0 1 2minus2 1 1 minus2 1


(a)




(b)

a a a a

a b b b

a b c c

a b c d

(c)

1 1 1 11 a a2 a3

1 a2 a4 a6

1 a3 a6 a9

3 Resiti jednacine

(a)

1minus x



2 2 4 5

2 6minus

x2 4 53 4 2 63 4 2 6 minus x2

= 0





jednacina





(a) A =


(b) B =



1 2 minus

1 10 1 2 21 4 3 5

(b) B =

3 minus

1 2 12 1 1 15 0 3 2

10 0 6 4


(a) A =

a 2 3a

3a a + 4 10a

2a2 6a minus 4 7a2 + 3a

(b) B =



(a + 1)x + y + z = 1x + (a + 1)y + z = a

x + y + (a + 1)z = a2



VEKTORSKI PROSTORI









Odrediti










B = a + d a + b + c a + c b + d











v1 = (aaaa) v2 = (a 2 2 2) v3 = (a 2 a a) v4 = (a 2 a 3)





1 1 10 2 3






0 0 3




b 0 minusa

0 a 0minusa 0 b

a b isinR

a = 0

















SLOBODNI VEKTORI



k)) b = (minus

1 3 0) i c = (5

minus1 8)




torima a b i d

3 Dati su vektori

m = (minus

3

minus2 a) n = (1 b 3) p = (cd

minus4) q = (

minus6

minus3

2 6) a

isinR+ b c d

isinR






3






3


7 Neka su A(0 1 2) B(1 2 1) C (minus

3 1








ako je |a | = 4 | b | = 3ang(a b) = π

6









= y+2

3 = zminus1

1

4 Date su prave






= ya

= z+1


pravama q x+1

4 = yminus1

1 = z

minus1 i r xminus1

minus2 = y

0 = z+2

1



1 = y+4

m = zminus1

0 i q xminus1

minus2 = y

minus1 = zminus1



10 Prave p x4

= y+2

6 = zminus2

minus2 q xminus2

2 = yminus2

2 = zminus4

minus4 i r xminus2

minus2 = yminus2

minus4 = zminus4










minus2 le t le 3

4













(a)3x + ay = 5x + y = 2

ax + 2y = 4 (b)

2ax +2ay +(3a + 1)z = a



(a)x + ay + z = 1

2bx + 2ay + 2z = 23bx minus y + 3z = 6








MATRICE

1 Ako je f (x) = x3

minus 2x

2

+ 3x minus

4 i A =

1 0 2

minus1 minus

2 00 minus1 0

izracunati f (A)


1 0

minus3 10 2

B =


1 3 0

983133 i C =

minus4 0 2


Izracunati




1 0 minus2minus

2 1 12 2 0

(b) B =


1 0 minus

2 4minus1 3 1 1






A =

minus3 1 minus1

0 0 22 0 0

B =

0 minus1 4


C =

1 minus2 2



A =


4 minus

2 6

B =


minus2 4

minus2

C =


2 0 3



DETERMINANTE


1 2 0 3minus2 1 3 1

1 1 2 13 0 2 minus2

(b)

1 1 0 2 31 0 1 2 minus1minus

1 minus

1 1 3 03 2 0 1 2minus2 1 1 minus2 1


(a)




(b)

a a a a

a b b b

a b c c

a b c d

(c)

1 1 1 11 a a2 a3

1 a2 a4 a6

1 a3 a6 a9

3 Resiti jednacine

(a)

1minus x



2 2 4 5

2 6minus

x2 4 53 4 2 63 4 2 6 minus x2

= 0





jednacina





(a) A =


(b) B =



1 2 minus

1 10 1 2 21 4 3 5

(b) B =

3 minus

1 2 12 1 1 15 0 3 2

10 0 6 4


(a) A =

a 2 3a

3a a + 4 10a

2a2 6a minus 4 7a2 + 3a

(b) B =



(a + 1)x + y + z = 1x + (a + 1)y + z = a

x + y + (a + 1)z = a2



VEKTORSKI PROSTORI









Odrediti










B = a + d a + b + c a + c b + d











v1 = (aaaa) v2 = (a 2 2 2) v3 = (a 2 a a) v4 = (a 2 a 3)





1 1 10 2 3






0 0 3




b 0 minusa

0 a 0minusa 0 b

a b isinR

a = 0

















SLOBODNI VEKTORI



k)) b = (minus

1 3 0) i c = (5

minus1 8)




torima a b i d

3 Dati su vektori

m = (minus

3

minus2 a) n = (1 b 3) p = (cd

minus4) q = (

minus6

minus3

2 6) a

isinR+ b c d

isinR






3






3


7 Neka su A(0 1 2) B(1 2 1) C (minus

3 1








ako je |a | = 4 | b | = 3ang(a b) = π

6









= y+2

3 = zminus1

1

4 Date su prave






= ya

= z+1


pravama q x+1

4 = yminus1

1 = z

minus1 i r xminus1

minus2 = y

0 = z+2

1



1 = y+4

m = zminus1

0 i q xminus1

minus2 = y

minus1 = zminus1



10 Prave p x4

= y+2

6 = zminus2

minus2 q xminus2

2 = yminus2

2 = zminus4

minus4 i r xminus2

minus2 = yminus2

minus4 = zminus4










minus2 le t le 3

4








MATRICE

1 Ako je f (x) = x3

minus 2x

2

+ 3x minus

4 i A =

1 0 2

minus1 minus

2 00 minus1 0

izracunati f (A)


1 0

minus3 10 2

B =


1 3 0

983133 i C =

minus4 0 2


Izracunati




1 0 minus2minus

2 1 12 2 0

(b) B =


1 0 minus

2 4minus1 3 1 1






A =

minus3 1 minus1

0 0 22 0 0

B =

0 minus1 4


C =

1 minus2 2



A =


4 minus

2 6

B =


minus2 4

minus2

C =


2 0 3



DETERMINANTE


1 2 0 3minus2 1 3 1

1 1 2 13 0 2 minus2

(b)

1 1 0 2 31 0 1 2 minus1minus

1 minus

1 1 3 03 2 0 1 2minus2 1 1 minus2 1


(a)




(b)

a a a a

a b b b

a b c c

a b c d

(c)

1 1 1 11 a a2 a3

1 a2 a4 a6

1 a3 a6 a9

3 Resiti jednacine

(a)

1minus x



2 2 4 5

2 6minus

x2 4 53 4 2 63 4 2 6 minus x2

= 0





jednacina





(a) A =


(b) B =



1 2 minus

1 10 1 2 21 4 3 5

(b) B =

3 minus

1 2 12 1 1 15 0 3 2

10 0 6 4


(a) A =

a 2 3a

3a a + 4 10a

2a2 6a minus 4 7a2 + 3a

(b) B =



(a + 1)x + y + z = 1x + (a + 1)y + z = a

x + y + (a + 1)z = a2



VEKTORSKI PROSTORI









Odrediti










B = a + d a + b + c a + c b + d











v1 = (aaaa) v2 = (a 2 2 2) v3 = (a 2 a a) v4 = (a 2 a 3)





1 1 10 2 3






0 0 3




b 0 minusa

0 a 0minusa 0 b

a b isinR

a = 0

















SLOBODNI VEKTORI



k)) b = (minus

1 3 0) i c = (5

minus1 8)




torima a b i d

3 Dati su vektori

m = (minus

3

minus2 a) n = (1 b 3) p = (cd

minus4) q = (

minus6

minus3

2 6) a

isinR+ b c d

isinR






3






3


7 Neka su A(0 1 2) B(1 2 1) C (minus

3 1








ako je |a | = 4 | b | = 3ang(a b) = π

6









= y+2

3 = zminus1

1

4 Date su prave






= ya

= z+1


pravama q x+1

4 = yminus1

1 = z

minus1 i r xminus1

minus2 = y

0 = z+2

1



1 = y+4

m = zminus1

0 i q xminus1

minus2 = y

minus1 = zminus1



10 Prave p x4

= y+2

6 = zminus2

minus2 q xminus2

2 = yminus2

2 = zminus4

minus4 i r xminus2

minus2 = yminus2

minus4 = zminus4










minus2 le t le 3

4








DETERMINANTE


1 2 0 3minus2 1 3 1

1 1 2 13 0 2 minus2

(b)

1 1 0 2 31 0 1 2 minus1minus

1 minus

1 1 3 03 2 0 1 2minus2 1 1 minus2 1


(a)




(b)

a a a a

a b b b

a b c c

a b c d

(c)

1 1 1 11 a a2 a3

1 a2 a4 a6

1 a3 a6 a9

3 Resiti jednacine

(a)

1minus x



2 2 4 5

2 6minus

x2 4 53 4 2 63 4 2 6 minus x2

= 0





jednacina





(a) A =


(b) B =



1 2 minus

1 10 1 2 21 4 3 5

(b) B =

3 minus

1 2 12 1 1 15 0 3 2

10 0 6 4


(a) A =

a 2 3a

3a a + 4 10a

2a2 6a minus 4 7a2 + 3a

(b) B =



(a + 1)x + y + z = 1x + (a + 1)y + z = a

x + y + (a + 1)z = a2



VEKTORSKI PROSTORI









Odrediti










B = a + d a + b + c a + c b + d











v1 = (aaaa) v2 = (a 2 2 2) v3 = (a 2 a a) v4 = (a 2 a 3)





1 1 10 2 3






0 0 3




b 0 minusa

0 a 0minusa 0 b

a b isinR

a = 0

















SLOBODNI VEKTORI



k)) b = (minus

1 3 0) i c = (5

minus1 8)




torima a b i d

3 Dati su vektori

m = (minus

3

minus2 a) n = (1 b 3) p = (cd

minus4) q = (

minus6

minus3

2 6) a

isinR+ b c d

isinR






3






3


7 Neka su A(0 1 2) B(1 2 1) C (minus

3 1








ako je |a | = 4 | b | = 3ang(a b) = π

6









= y+2

3 = zminus1

1

4 Date su prave






= ya

= z+1


pravama q x+1

4 = yminus1

1 = z

minus1 i r xminus1

minus2 = y

0 = z+2

1



1 = y+4

m = zminus1

0 i q xminus1

minus2 = y

minus1 = zminus1



10 Prave p x4

= y+2

6 = zminus2

minus2 q xminus2

2 = yminus2

2 = zminus4

minus4 i r xminus2

minus2 = yminus2

minus4 = zminus4










minus2 le t le 3

4








VEKTORSKI PROSTORI









Odrediti










B = a + d a + b + c a + c b + d











v1 = (aaaa) v2 = (a 2 2 2) v3 = (a 2 a a) v4 = (a 2 a 3)





1 1 10 2 3






0 0 3




b 0 minusa

0 a 0minusa 0 b

a b isinR

a = 0

















SLOBODNI VEKTORI



k)) b = (minus

1 3 0) i c = (5

minus1 8)




torima a b i d

3 Dati su vektori

m = (minus

3

minus2 a) n = (1 b 3) p = (cd

minus4) q = (

minus6

minus3

2 6) a

isinR+ b c d

isinR






3






3


7 Neka su A(0 1 2) B(1 2 1) C (minus

3 1








ako je |a | = 4 | b | = 3ang(a b) = π

6









= y+2

3 = zminus1

1

4 Date su prave






= ya

= z+1


pravama q x+1

4 = yminus1

1 = z

minus1 i r xminus1

minus2 = y

0 = z+2

1



1 = y+4

m = zminus1

0 i q xminus1

minus2 = y

minus1 = zminus1



10 Prave p x4

= y+2

6 = zminus2

minus2 q xminus2

2 = yminus2

2 = zminus4

minus4 i r xminus2

minus2 = yminus2

minus4 = zminus4










minus2 le t le 3

4










1 1 10 2 3






0 0 3




b 0 minusa

0 a 0minusa 0 b

a b isinR

a = 0

















SLOBODNI VEKTORI



k)) b = (minus

1 3 0) i c = (5

minus1 8)




torima a b i d

3 Dati su vektori

m = (minus

3

minus2 a) n = (1 b 3) p = (cd

minus4) q = (

minus6

minus3

2 6) a

isinR+ b c d

isinR






3






3


7 Neka su A(0 1 2) B(1 2 1) C (minus

3 1








ako je |a | = 4 | b | = 3ang(a b) = π

6









= y+2

3 = zminus1

1

4 Date su prave






= ya

= z+1


pravama q x+1

4 = yminus1

1 = z

minus1 i r xminus1

minus2 = y

0 = z+2

1



1 = y+4

m = zminus1

0 i q xminus1

minus2 = y

minus1 = zminus1



10 Prave p x4

= y+2

6 = zminus2

minus2 q xminus2

2 = yminus2

2 = zminus4

minus4 i r xminus2

minus2 = yminus2

minus4 = zminus4










minus2 le t le 3

4








SLOBODNI VEKTORI



k)) b = (minus

1 3 0) i c = (5

minus1 8)




torima a b i d

3 Dati su vektori

m = (minus

3

minus2 a) n = (1 b 3) p = (cd

minus4) q = (

minus6

minus3

2 6) a

isinR+ b c d

isinR






3






3


7 Neka su A(0 1 2) B(1 2 1) C (minus

3 1








ako je |a | = 4 | b | = 3ang(a b) = π

6









= y+2

3 = zminus1

1

4 Date su prave






= ya

= z+1


pravama q x+1

4 = yminus1

1 = z

minus1 i r xminus1

minus2 = y

0 = z+2

1



1 = y+4

m = zminus1

0 i q xminus1

minus2 = y

minus1 = zminus1



10 Prave p x4

= y+2

6 = zminus2

minus2 q xminus2

2 = yminus2

2 = zminus4

minus4 i r xminus2

minus2 = yminus2

minus4 = zminus4










minus2 le t le 3

4














= y+2

3 = zminus1

1

4 Date su prave






= ya

= z+1


pravama q x+1

4 = yminus1

1 = z

minus1 i r xminus1

minus2 = y

0 = z+2

1



1 = y+4

m = zminus1

0 i q xminus1

minus2 = y

minus1 = zminus1



10 Prave p x4

= y+2

6 = zminus2

minus2 q xminus2

2 = yminus2

2 = zminus4

minus4 i r xminus2

minus2 = yminus2

minus4 = zminus4










minus2 le t le 3

4






Algebra - GiG DOMACI

Documents

Transcript of Algebra - GiG DOMACI