‘Houtje-touwtje’-wiskunde · de Nationale Wiskunde Dagen 2013) werden eisen gesteld aan de...

14 ‘Houtje-touwtje’-wiskunde

InleidingDe leukste praktische opdrachten zijn die waarbij deleerlingen verrast worden door de wiskunde en trotszijn op een tastbaar eindresultaat. Vorig schooljaarkregen de 5- en 6-VWO wiskunde D-klassen op hetMaurick College in Vught van ons een praktischeopdracht over tensegrities. Het begon als een lastigte begrijpen stukje droge wiskunde, totdat de leer-lingen daadwerkelijk aan de slag konden met hetmaken van een eenvoudige tensegrity. Toen ze desmaak eenmaal te pakken hadden, werd er met veelenthousiasme gewerkt aan de eindopdracht: hetbedenken, berekenen én maken van een eigen tense-grity (figuren 1 tot en met 3). De resultaten overtrof-fen onze verwachtingen, en niet alleen de leerlingen,maar ook wij leerden veel bij. Daarom hier eenintroductie in de wondere wereld van tensegrities ende bijbehorende ‘houtje-touwtje’-wiskunde.We leggen eerst uit wat tensegrities zijn. Daarnavolgt een beschrijving van de opzet van de prakti-

sche opdracht. Bij het begeleiden daarvan is hetwenselijk om enig inzicht te hebben in de gebruikteformules. Daarom wordt, na een korte besprekingvan vormbepaling in het algemeen, dieper ingegaanop de vormbepaling van icosaëder-tensegrities,trommel-tensegrities (met als varianten gestapeldetrommel-tensegrities en ellipsvormige trommel-ten-segrities) en tetraëder-tensegrities. Het artikel ein-digt met een evaluatie van de praktische opdracht.

TensegritiesTensegrity is een samentrekking van de woorden‘tensional’ (door trek) en ‘structural integrity’ (con-structieve integriteit). De naam geeft aan dat eentensegrity één geheel is door een evenwicht tussentrek- en drukkrachten. De trekkrachten wordenopgenomen door trekelementen, zoals touwtjes,elastiekjes of kabels, en de drukkrachten door druk-elementen, zoals houten stokjes of metalen buizen.Daarom worden tensegrities ook wel houtje-touw-

1) 2) 3)

‘Houtje-touwtje’-wiskundeVormbepaling van tensegrities als praktische opdracht voor wiskunde D

Praktische opdrachten in de wiskundeles, ze lijken soms wat uit de mode te raken. Tochbieden dergelijke projecten de mogelijkheid om de gewone sleur te doorbreken en omleerlingen echt uit te dagen. In dit artikel beschrijven Monique Bakker, MaschaKlerkx en Hans Sterk een bijzondere praktische opdracht rond tensegrities,vormvaste houtje-touwtjeconstructies die niet alleen het hoofd, maar ook de handen aanhet werk zetten.

fig. 1 Ellipsvormige trommel-tensegrity met dertig stokjes (Timo Gielgens & Mark van Iersel).

fig. 2 Tetraëder-tensegrity met magnetische verbindingen (Peter Martens & Sam van Gaal).

fig. 3 Trommel-tensegrity van mikado-stokjes (Kristel Kuijpers & Fenna Philipse).

Nieuwe Wiskrant 32-4/juni 2013 15

tje-constructies genoemd. Een bijzonder kenmerk isdat elk drukelement alleen verbonden is met trekele-menten en niet met andere drukelementen. Buck-minster Fuller, de Amerikaanse ingenieur, architect,uitvinder, dichter en bedenker van het woord ‘tense-grity’ sprak daarom over ‘islands of compression ina sea of tension’. De meest zuivere tensegrities heb-ben geen touwtje te veel en verliezen hun vormvast-heid als ook maar één touwtje wordt doorgeknipt.Dit maakt dat het nog niet zo eenvoudig is om eentensegrity in elkaar te zetten: pas als het laatstetouwtje vastzit, heb je iets dat blijft staan.

Wiskundig gezien kan elke tensegrity gemodelleerdworden als een verzameling punten. Twee puntenkunnen verbonden zijn door een trek- of drukele-ment, dat randvoorwaarden stelt aan de mogelijkeafstanden tussen de punten. In het eenvoudigstegeval, waarin aangenomen wordt dat de trek- endrukelementen niet kunnen vervormen (oneindigstijf zijn), kunnen punten die verbonden zijn dooreen trekelement zich niet van elkaar verwijderen enpunten die verbonden zijn door een drukelementelkaar niet naderen. In de praktijk zijn trek- en druk-elementen altijd vervormbaar, ook al is dit met hetblote oog meestal niet te zien en gaat een verlengingof verkorting gepaard met de ontwikkeling van eentrek- of drukkracht. Denk aan een elastiekje: als jedit langer wilt maken, zul je er aan moeten trekken.In een echte tensegrity ontstaan altijd krachten doorhet eigen gewicht van de stokjes, maar in kleinemodellen hebben deze krachten veelal een verwaar-loosbare invloed op de vormbepaling. (Een uitzon-dering is de toren van gestapelde trommel-tensegrities die verderop aan de orde komt). Eentensegrity kan ook voorgespannen worden: de trek-elementen passen dan alleen tussen de drukelemen-ten als ze wat uitgerekt worden. Dit biedt

constructieve voordelen, maar daarmee komen wemeer op het gebied van de mechanica en construc-tief ontwerpen.

Tensegrities fascineren zowel kunstenaars, wiskundi-gen als constructief ontwerpers en zijn nog steedsonderwerp van wetenschappelijk onderzoek: wat zijntensegrities precies, waarom zijn ze vormvast, hoekan de vorm bepaald worden en hoe kunnen zegeclassificeerd worden1. Voor leerlingen is het aar-dige van tensegrities dat er ook met middelbareschoolwiskunde op een zinvolle manier aan de vorm-bepaling gerekend kan worden (alleen kennis vangoniometrie en de stelling van Pythagoras en wathandigheid in het manipuleren van formules zijn ver-eist), dat ze met stokjes en touwtjes vrij eenvoudiggemaakt kunnen worden en dat er veel informatieover op internet te vinden is2. Tensegrities hebbeninteressante toepassingen in de biologie3, 4, 5, maar hetmeest inspirerend zijn de kunstwerken van MarceloPars6 en de tensegrity-uitvinder Kenneth Snelson7.

Opzet van praktische opdrachtDe praktische opdracht is in februari in zowel een 5-als een 6-VWO wiskunde D-klas uitgevoerd. De leer-lingen werkten in groepjes van twee (figuur 4). Naeen inleidende presentatie gingen ze aan de slag meteen mapje met uitleg en opdrachten over het reke-nen aan een trommel-tensegrity met drie stokjes.Een verbeterde versie hiervan is gebruikt alsopdracht bij een werkgroep op de Nationale Wis-kunde Dagen 20138. Als afsluiting hiervan moesteen tensegrity berekend en gemaakt worden, meteen gegeven stokjeslengte en voor ieder groepje ver-schillende verhoudingen tussen de touwtjeslengten(figuur 13). Wij zorgden hierbij voor het materiaal:drie ronde grenen stokjes (lengte 25 cm, doorsnede9 mm, gratis op maat gezaagd in de winkel) met

4) 5) 6)

fig. 4 Leerlingen aan het werk in de klas.

fig. 5 Het naaien van lusjes (één keer doorsteken en dan vastknopen, draadeindjes niet te kort afknippen).

fig. 6 Lusjes gemaakt met knijpkraaltjes.


draadnagels in de kopse einden (lengte 25 mm,doorsnede 1,5 mm). Omdat het nauwkeurig knopenvan lusjes in de touwtjes lastig is, hebben we de leer-lingen een alternatief voorgesteld: het naaien vanlusjes (figuur 5). De materialen hiervoor, gevloch-ten metseldraad met een doorsnede van 1,2 mm,naaigaren en naalden kregen de leerlingen ook vanons. Een leerlinge ontdekte nog een andere handigemanier om lusjes te maken, met behulp van knijp-kraaltjes, kleine metalen kralen die worden dichtge-knepen met een platbektang (figuur 6). Als hulp bijhet in elkaar zetten van de tensegrities hadden weverder nog gezorgd voor elastiekjes, wel waarschu-wend voor het gevaar van wegschietende stokjes.Een spijkertje in een oog is niet fijn. Met een spread-sheet konden we de berekeningen van elk groepjesnel controleren voordat ze begonnen aan het makenvan de touwtjes.

Daarna moest elk groepje nog een eigen tensegrityberekenen en maken aan de hand van de trommel-,ellips- of tetraëderformules op de website van Pars.De leerlingen moesten hierbij zelf voor het beno-digde materiaal zorgen. In een bijgeleverde beoorde-lingsrubric (zie de presentatie van de werkgroep opde Nationale Wiskunde Dagen 2013) werden eisengesteld aan de wiskunde, de nauwkeurigheid van deuitvoering, het aantal gebruikte stokjes, de creativi-teit en eigen inbreng en het verslag. Ook de inlei-dende opdrachten en de uitvoering van de tensegritymet drie stokjes telden mee voor het eindcijfer.

De planning, gebaseerd op drie lessen per week, wasdat de leerlingen een week aan de inleidendeopdrachten en twee weken aan de eigen tensegrityzouden werken. Dit laatste liep iets uit, omdat veelleerlingen het moeilijk vonden om te kiezen welketensegrity ze wilden maken. Daarom werd de inle-verdatum wat verschoven, zodat ze de gelegenheidkregen om in eigen tijd de tensegrity en het verslagaf te maken.

VormbepalingBij de vormbepaling van een tensegrity gaat het omde keuze van het type – uit hoeveel stokjes bestaat detensegrity en hoe zijn deze stokjes verbonden doortouwtjes – en het bepalen van de lengte van de stok-jes en de touwtjes. Bij dit laatste kan gekozen wor-den tussen statische en kinematische methoden9. Inde statische methoden wordt gezocht naar een even-wichtsconfiguratie, waarbij er evenwicht is tussen detrek- en drukkrachten in touwtjes respectievelijkstokjes. Deze methoden vragen nogal wat kennis vanmechanica en zijn daarom voor leerlingen niet zobruikbaar. De liefhebber kan in een artikel van Tiberten Pellegrino9 een eenvoudig voorbeeld vinden. Inde kinematische methoden wordt de lengte van destokjes constant gehouden en de lengte van de touw-tjes geminimaliseerd, of andersom: wordt de lengtevan de touwtjes constant gehouden en de lengte vande stokjes gemaximaliseerd. Als de stokjes van eentensegrity willekeurig in de ruimte geplaatst worden,hebben deze, ook als ze verbonden zijn door touw-tjes, in het algemeen nog veel bewegingsmogelijkhe-den ten opzichte van elkaar. Alleen door uit te gaanvan regelmatige veelvlakken, waarbij de uiteindenvan de stokjes de hoekpunten vormen en de touwtjesde ribben, kunnen de bewegingsmogelijkheden vande stokjes ten opzichte van elkaar zover ingeperktworden dat (relatief) eenvoudige formules voor devormbepaling kunnen worden afgeleid.

Icosaëder-tensegritiesVan alle tensegrity-types die in dit artikel besprokenworden, leidt de vormbepaling van de icosaëder-tensegrity tot het eenvoudigste optimaliseringspro-bleem. Bij deze tensegrity (figuur 9) gaan we uit vaneen icosaëder (regelmatig twintigvlak) gevormddoor drie orthogonale rechthoeken met lengte enbreedte (figuren 7 en 8), waarvan de hoekpuntenverbonden zijn met touwtjes met lengte . Kijkenwe bijvoorbeeld naar het touwtje dat gespannen istussen de punten

7) 8) 9)fig. 7 Icosaëder gevormd door drie orthogonale rechthoeken.

fig. 8 Aanzicht icosaëder.

fig. 9 Aanzicht isocaëder- tensegrity.

sa

c


en

dan volgt met de stelling van Pythagoras dat

.

Omdat in een icosaëder alle ribben dezelfde lengtehebben, moet de breedte van de rechthoek, dieook een ribbe vormt, gelijk zijn aan de touwtjes-lengte , dus:

.

Hieruit volgt dat:

,

waarbij gelijk is aan de gulden-snedeverhouding.

Wanneer we elke rechthoek vervangen door tweestokjes langs de lange zijden (met lengte ) krijgenwe een tensegrity waarin elk uiteinde van een stokjeverbonden is met vier touwtjes. Tegen de intuïtieingaand is deze tensegrity echter niet vormvast.Omdat de korte zijden van de rechthoeken niet ver-vangen worden door stokjes, hebben de parallellestokken langs de lange zijden de mogelijkheid omnaar elkaar toe te bewegen. Dit kunnen we nagaandoor terug te kijken naar de formule:

.

De grafiek van als functie van is een dalpara-bool, met een minimum voor , gelijk aan:

, dus:

. Alleen als we in de icosaëder-tensegrity, die dusgeen echte icosaëder is, de afstand zo kiezen datde lengte van de touwtjes minimaal is, is de ten-segrity vormvast en blijven alle touwtjes strak staan.De les uit dit verhaal is dat het voor het rekenen aaneen tensegrity niet voldoende is om de stokjes wille-keurig in de ruimte te plaatsen en met behulp van destelling van Pythagoras de lengten van de touwtjeste bepalen. De stokjes en touwtjes moeten zo slimgeplaatst worden, dat de stokjes op geen enkelemanier meer kunnen bewegen ten opzichte vanelkaar.

De isosaëder-tensegrity biedt weinig keuzevrijheidin de vormbepaling: kies je een stokjeslengte , danligt daarmee de touwtjeslengte vast. Voor leerlin-

gen is hij daarom niet zo interessant. Dit is anders bijde trommel-tensegrities en hun varianten. De vorm-bepaling daarvan biedt veel keuzevrijheid, maarleidt ook tot een wat ingewikkelder optimaliserings-probleem.

Trommel-tensegrities Het uitgangspunt bij een trommel-tensegrity (figu-ren 10 tot en met 14) is een afgeknotte piramide metgelijkvormige regelmatige veelhoeken als boven-en ondervlak (of een recht prisma als de veelhoekencongruent zijn). De vorm van deze afgeknotte pira-mides ligt vast met de keuze van de afstand tussenonder- en bovenvlak, het aantal hoekpunten en destralen en van de omgeschreven cirkels in res-pectievelijk onder- en bovenvlak. Er geldt:

en

met (1)

Hierbij zijn en de lengten van de zijden van deveelhoeken en is de bij deze veelhoeken beho-rende middelpuntshoek. Wanneer we de stokjesschuin zetten tussen de hoekpunten van het onder- enbovenvlak en touwtjes spannen langs alle ribben ,

en , krijgen we een tensegrity waarbij elk stok-jesuiteinde verbonden is met drie touwtjes. Ook dezetensegrity is nog niet vormvast. Als het bovenvlakom de symmetrieas draait, zodanig dat de stokjesnog schuiner komen te staan gaan de touwtjes (dietussen onder- en bovenvlak lopen) slap hangen. Detouwtjeslengte waarbij de tensegrity wel vorm-vast is, kunnen we berekenen door de draaihoek te bepalen waarvoor bij vaste stokjeslengte detouwtjeslengte minimaal is. In de werkgroep-opdracht8 is afgeleid dat:

(2)

(3)

en (4)

Hierbij is de hoogte van de vormvaste tensegrityen geeft aan hoeveel hoekpunten de stokjes wor-den verschoven tussen boven- en ondervlak (figuur10). Dit aantal moet minstens 1 zijn, want als gekozen wordt, vallen de stokjes tussen onder- enbovenvlak samen met de touwtjes .

Bij een tensegrity met drie stokjes ,leiden en tot

tensegrities die alleen in draairichting verschillen:

A 12---a 0 1

2---s B 0 1

2---s 1

2---a

c2 12---a

2 12---s–

2 12---s 1

2---a–

2+ + 1

2---a2 1

2---sa– 1

2---s2+= =

a

c

c2 12---c2 1

2---cs– 1

2---s2+=

a c 12--- 5 1

2---– s s 0 618s= = =

1 5+ 2=

s

c2 12---a2 1

2---sa– 1

2---s2+=

c2 aa 1

2---s=

c2 38---s2=

c 14--- 6s 0 612 s 0 618s=

ac

sc

zn

ra rb

a 2ra12--- sin= b 2rb

12--- sin=

360 n=

a b

ab c

c

cmint

sc

t 90 12---v– 90 180 v n–= =

cmin2 s2 4rarb

12---v sin– = =

s2 4rarb 180 v n sin–

zt2 cmin

2 ra2– rb

2– 2rarb tcos+=

ztv

v 0=

c

n 3= 360 3 120 = = v 1= v 2=


geeft , en geeft .

en leiden wel tot echt verschillendetensegrities bij een tensegrity met vijf stokjes

:

geeft ,

en geeft .

Je kunt natuurlijk ook beginnen met de stokjes langsde opstaande ribben van de afgeknotte piramide, ende touwtjes één of meer hoekpunten laten versprin-gen, maar dat leidt alleen tot een vergroting van dedraaihoek met . Als je de stokjes meer danéén hoekpunt laat verschuiven, wordt het risico groterdat ze elkaar in het midden van de tensegrity raken(figuur 14). Leerlingen bedachten dat je dit met hetprogramma Google Sketch Up kunt controleren.

Met de formules (1) tot en met (4) weten we alles watwe nodig hebben voor de vormbepaling van trom-mel-tensegrities. Een paar leerlingen, die formules(1) en (3) gebruikten om bij een vrij gekozen , en de touwtjeslengten , en te bepalen,ontdekten na het op maat maken van heel veel touw-

tjes dat de tensegrity toch niet in elkaar paste. Datvonden ze niet leuk en op zo’n moment moet je alsdocent snel helpen. Het duurde even voordat we ont-dekten waar de fout zat: , en bleken zo onge-lukkig gekozen te zijn dat formule (4) (die Pars nietexpliciet geeft) resulteerde in een negatieve . Hetis daarom handiger om bij de vormbepaling van eentrommel-tensegrity uit te gaan van de hoogte inplaats van de stokjeslengte .

Als de touwtjes in het bovenvlak niet langs de zijdenvan de veelvlak, maar in stervorm gespannen wor-den, ontstaan de zogeheten ster-tensegrities (figuur15). Alleen de berekening van de lengte van detouwtjes in het bovenvlak verandert dan.

Gestapelde trommel-tensegritiesDoor trommels te stapelen, kan een tensegrity-torenworden gemaakt. Daarbij gaat het eigen gewicht vande stokjes een rol spelen. De eenvoudigste maniervan stapelen is twee trommels te maken, waarbij dehoekpunten van het ondervlak van de bovenstetrommel samen vallen met de middens van de zijdesvan het bovenvlak van de onderste trommel(figuur 18) en daarna de a touwtjes van de bovenstetrommel weg te knippen. Nu zakt een niet voorge-spannen touwtje, dat loodrecht op de touwrichting

v 1= t 90 12--- 120– 30= =

10) 11) 12)

fig. 10 Bovenaanzicht afgeknotte piramide.

fig. 11 Bovenaanzicht trommel-tensegrity met verdraaid bovenvlak.

fig. 12 Grondvlak en bovenvlak met omgeschreven cirkel.

n 3 v 1= = t 30= 120=

n 5 v 2= = t 18= 72=

v 2=t 90 1

2--- 2 120 – 30– = =

v 1= v 2=

n 5 360 5 72== =

v 1= t 90 12--- 72– 54= =

v 2= t 90 12--- 2 72 – 18= =

t v

s rarb a b cmin

s ra rb

zt2

zts


belast wordt, veel door. Denk aan een koorddanser,die om deze reden altijd op een voorgespannenkabel danst. Daarom zullen de onderkanten van destokjes van de bovenste trommel door het eigengewicht van de stokjes zich naar beneden en, na hetdoorknippen van de overtollige touwtjes, naar bui-ten verplaatsen, zoals te zien is in de figuren 16 en17. Daardoor zakt de toren iets in en vindt de tense-grity een evenwicht in voorgespannen toestand. Deleerlingen hadden hun twijfels:

Het spannendste vonden we om de touwtjes van het onder-vlak van het bovenste deel door te gaan knippen. We had-den van onze docent gehoord dat de tensegrity zou moetenblijven staan, maar zeker wisten we dit natuurlijk niet. Tochknipte Corné plotseling de touwtjes door en gelukkig bleefde tensegrity staan. Het eindresultaat was behaald en zelfsde vader van Corné, die niet geloofde dat dit mogelijk was,stond er versteld van dat dit ons gelukt was.

Ellipsvormige trommel-tensegrities Bijzonder aan de trommelformules is dat de draai-hoek (zie (2)) niet af blijkt te hangen van en

. Daardoor is het mogelijk trommelachtige tense-grities te maken met verschillende stokjeslengten :

voor elk stokje mag de straal en hoogte andersgekozen worden. In ellipsvormige trommel-tense-grities vormen de bovenkanten van de stokjes eenellips (figuur 19). Maar je zou hiervoor ook eenandere gesloten kromme kunnen kiezen, zolang je ermaar voor zorgt dat het middelpunt van hetgrondvlak binnen de kromme ligt. Omdat in deafleiding van de formule voor twee punten in hetondervlak met gelijke gebruikt zijn, moeten allepunten in het ondervlak wel dezelfde hebben (endus op een cirkel liggen).

De algemene aanpak is dat je eerst de coördinatenvan de uiteinden van elk stokje berekent. Vervol-gens kun je die gebruiken om met behulp van destelling van Pythagoras de stokjes- en touwtjesleng-ten te berekenen. De x- en y-coördinaten van deonderkanten van de stokjes hangen af van en hetaantal stokjes n. Na de keuze van v ligt de draaihoek

vast. Daarmee weet je op welke halve lijn begin-nend in de projectie van de bovenkant van hetstokje moet liggen. De vrij te kiezen bepaalt hoever dit punt van af ligt. Daarmee kunnen de x- eny-coördinaten van de bovenkant van de stokjes

13) 14) 15)

fig. 13 .Trommel-tensegrities met verschillende verhoudingen tussen de touwtjeslengten.

fig. 14 Trommel-tensegrity waarbij stokjes twee hoekpunten verspringen.

fig. 15 Mogelijke variant: ster-tensegrity.

16) 17) 18)

fig. 16 Onderste trommel-tensegrity vóór het plaatsen van de bovenste trommel-tensegrity (Philip Teeuwen & Corné Simons)

fig. 17 Gestapelde trommel-tensegrities.

fig. 18 Methode van stapeling.

t rbzt

s

rb zt

M

tra

ra

ra

tM

rbM


bepaald worden. De z-coördinaten van de onderkan-ten van de stokjes zijn gelijk aan nul, die van debovenkanten mag je zelf kiezen. Bij deze aanpakkan gebruikgemaakt worden van het feit dat de hoek

eenvoudig te construeren is met behulp van even-wijdige lijnen.

Omdat voor de hoeken in figuur 12 geldt dat (hoekensom driehoek) volgt dat

en vormen en Z-hoe-ken. De halve lijn waar de bovenkant van een stokjeop moet liggen is daarom evenwijdig aan de lijndoor de onderkanten van de twee stokjes, waarmeedeze bovenkant door middel van een stokje en touw-tje verbonden is (figuur 20).

Het moge duidelijk zijn dat deze aanpak, die handiguitgevoerd kan worden met behulp van programma’sals GeoGebra (waarmee ook de plaatjes in dit artikelgetekend zijn) en Excel, veel keuzevrijheid biedt inde vormbepaling van de tensegrity. Deze aanpak kanbovendien nog gegeneraliseerd worden naar schevetrommel-tensegrities (figuur 21), waarbij het rotatie-centrum van het bovenvlak niet meer samenvalt methet middelpunt van het ondervlak. Voor ellipsvor-mige trommel-tensegrities heeft Pars formules afge-leid waarmee je de coördinaten van de uiteinden vande stokjes kunt berekenen. Een aardige vingeroefe-ning is om met deze ellipsformules een trommel-ten-segrity te berekenen, en de uitkomsten te vergelijkenmet die van de trommelformules.

De ellipsvormige trommel-tensegrities gavenonverwachte problemen, zoals een groepje leerlin-gen beschreef:

Het enige wat jammer is, is dat onze tensegrity niet helemaalgeworden is wat we wilden maken. Toen we de tensegrity

namelijk in elkaar hadden gezet, zagen we dat hij omviel.Dit kwam doordat we niet hebben nagedacht over de liggingvan het zwaartepunt. Dit probleem zou de volgende keerverholpen kunnen worden door de verhouding tussen destralen van de cirkel en de ellips kleiner te maken, en doorde cirkel meer in het middelpunt van de ellips te plaatsen.

Maar leerlingen zijn niet voor één gat te vangen: opzijn kop bleef de tensegrity wel staan (figuur 1).

Tetraëder-tensegritiesBij het maken van een eigen tensegrity hebben ver-schillende groepjes leerlingen gekozen voor eentetraëder-tensegrity (figuren 2 en 22). Het uitgangs-punt bij deze tensegrity (figuur 23) is een afgeknottetetraëder waarvan de zijvlakken gelijkzijdige drie-hoeken en zeshoeken zijn. De tensegrity kunnen wevormen door voor elk paar driehoeken een stok (metlengte ) te plaatsen tussen twee van de verst vanelkaar verwijderde hoekpunten en verder touwtjes tespannen langs alle ribben van de afgeknotte tetraë-der. We krijgen dan een tensegrity die net als de ico-saëder-tensegrity bestaat uit zes stokken. Elkuiteinde van de stokken is nu echter met slechts drietouwtjes verbonden in plaats van met vier.

Als de tensegrity op de hiervoor beschreven manierin elkaar wordt gezet, dan hebben de driehoeken nogéén onafhankelijke vrijheidsgraad: een rotatie omde as door het middelpunt van de tetraëder en hetzwaartepunt van de driehoek (voor alle driehoeken in dezelfde richting). Hierbij komt de driehoek naarbinnen. Voor een vormvaste tensegrity moeten wedaarom ofwel de touwtjeslengte verkleinen,ofwel de stokjeslengte vergroten. Pars geeft for-mules waarmee voor gegeven touwtjeslengte en

de stokjeslengte als functie van bepaald kanworden.

t

19) 20) 21)fig. 19 Bovenaanzicht van een ellipsvormige trommel-tensegrity (Daphne Visser & Mirte van der Eyden).

fig. 20 Plaatsbepaling van de bovenkanten van de stokjes (onderkant en bovenkant van een stok zijn aangegeven met een identiek merk-teken).

fig. 21 Bovenaanzicht van een scheve trommel-tensegrity.

2 v+ 180= 1

2--- 180 v– t= = t

s

cs

ac s


Deze tetraëder-formules zijn zo ingewikkeld dat eenanalytische optimalisatie niet mogelijk is. Parsgebruikt Excel om met een stapgrootte voor van0,1 graad naar de maximale stokjeslengte te zoeken.Een groepje leerlingen verraste ons met hun ontdek-king dat dit handiger kan met de grafische rekenma-chine (optie calc maximum). Om de leerlingen demogelijkheid te geven te controleren of ze de formu-les correct hadden ingevoerd, hebben we een oplos-sing in de literatuur10 gezocht: ,

, en (bij deze oplos-sing is geminimaliseerd in plaats van gemaxi-maliseerd). De tetraëder-tensegrity biedt maarweinig keuzevrijheid in de vormbepaling. Je kuntalleen variëren met de lengte van de touwtjes en

. De stokjeslengte ligt hierna vast.

EvaluatieMet de kennis van de inleidende opdrachten lukte hetde leerlingen om zelf uit te zoeken hoe ze de trom-mel-, ellips- en tetraëderformules konden gebruiken.Ze vonden daarbij zelfs enkele kleine foutjes in deformules. Alle groepjes, op één na, zijn er in geslaagdde eigen tensegrity niet alleen te berekenen, maar ookin elkaar te zetten. Leerlingen stelden zichzelf ambi-tieuze doelen. Een groepje bouwde een ellipsvormigetrommel-tensegrity met dertig stokjes (figuur 1), ter-wijl meer dan acht stokjes voldoende was voor eenmaximale score bij de beoordeling. Een andergroepje stak veel eigen geld in de aanschaf van sterkemagneten (figuur 2). Het groepje dat een tensegrity-toren wilde bouwen liet zich niet ontmoedigen toen,na een hele zondagmiddag zwoegen, bleek dat ditmet dikke rondhoutpalen niet lukte.

De creativiteit van de leerlingen kwam op heel ver-schillende manieren tot uiting: in de wiskunde,materiaalkeuze, het maken van de verbindingen of

mooie foto’s van de eigen tensegrity (figuur 16).Een groepje gebruikte het beeld van uit elkaar val-lende mikadostokjes als concept voor hun trommel-tensegrity (figuur 3) en gaf hun verslag een origineletitel geïnspireerd op de kleuren van deze stokjes:Who is afraid of red, yellow and blue. Dit groepjeschreef in hun verslag:

We zijn heel tevreden met het resultaat. Het was nog evenspannend of onze tensegrity wel zou blijven staan, maar hetis gelukt. We hebben veel plezier gehad bij het verzinnenvan, het rekenen aan en het in elkaar zetten van de tensegri-ty. Voordat we de opdracht kregen, hadden we eigenlijkgeen idee wat voor een tensegrity we moesten maken en wevonden de opdracht toen nog niet zo heel leuk. Maar achter-af vinden we het wel een leuke opdracht, vooral omdat je jecreativiteit erin kunt stoppen.

Andere groepjes schreven:

Ik vond het een leuk project om te doen. Vooral omdat dedingen die je uitrekent ook echt iets voorstellen. Omdat wede tensegrities ook nog zelf gemaakt hebben, snap ik de be-rekeningen beter en vind ik het ook logischer. Ik vind hetmooi om te zien hoe wiskundige berekeningen een kunst-werk kunnen vormen.

en:

We vonden het een erg leuk project. Het project was wel ergtijdrovend, maar het resultaat is dat zeker waard. De bereke-ningen waren soms wel ingewikkeld, maar dat kwam voorna-melijk door de grote aantallen formules die we nodig hadden.Ook hebben we door dit project geleerd hoe we moeten wer-ken met Excel en GeoGebra. Dit vinden wij ook erg fijn.

De leerlingen zijn niet meer toegekomen aan devraag waarom de ellipsformules correct zijn. Datwas ons in eerste instantie ook niet helemaal duide-lijk. Met de inzichten die we nu hebben, conclude-ren we dat de ellipsformules veel meermogelijkheden tot wiskundige verdieping en eigenvormgeving bieden dan de tetraëderformules. Vooreen volgende keer is het daarom een idee om depraktische opdracht te beperken tot tensegrities diemet (varianten op) de trommel- of ellipsformulesberekend kunnen worden, en de leerlingen daarbijuit te dagen om tensegrities met verschillende leng-tes en hoogtes van de stokjes te maken.

Monique Bakker,Ster College, Eindhoven

Mascha Klerx,Maurick College, Vught

Hans Sterk,Faculteit Wiskunde en Informatica, TU/e

Noten[1] Conelly, R., & Back, A. (1998). Mathematics

and tensegrity. American Scientist, 86, 142-151.

a 3=c 1 8424= 6 90= s 4=

c s

ac s

22) 23)

fig. 22 Tetraëder-tensegrity (Pascal Taudin Chabot & MauritsMulders).

fig. 23 Aanzicht tetraëder-tensegrity, met daarin aangegevende plaatsing van één stokje.


Opgehaald van http://www.math.cornell.edu/~connelly/tensegrity.copy.pdf

[2] http://tensegrity.wikispaces.com[3] http://www.tensegrityinbiology.co.uk/[4] http://www.intensiondesigns.com/[5] Ingber, D. E. (1998). The architecture of life.

Scientific American, 278(1), 48-57.Opgehaaldvan http://web1.tch.harvard.edu/research/ingber/PDF/1998/SciAmer-Ingber.pdf

[6] www.tensegriteit.nl/tensegrities.html[7] http://www.kennethsnelson.net/sculptures/[8] Bakker, M. & Klerx, M. (2013). Houtje-touwtje

wiskunde. Een werkgroep over tensegrities. Na-tionale Wiskunde Dagen 2013. Presentatie enopdracht te downloaden van: http://www.fisme.science.uu.nl/nwd/ (onder handouts NWD 2013)

[9] Tibert, A. G. & Pellegrino, S. (2011). Review ofform-finding methods for tensegrity structures.International Journal of Space Structures, 26(3),241-255. Ook te lezen op: http://www-civ.eng.cam.ac.uk/dsl/publications/tensegrity.pdf

[10]Burkhardt, R. W. (2008). A practical guide totensegrity design. Opgehaald van http://www.angelfire.com/ma4/bob_wb/tenseg.pdf

Nationale Wiskunde DagenOp vrijdag 31 januari en zaterdag 1 februari 2014worden de 20e Nationale Wiskunde Dagengehouden in Congrescentrum de Leeuwenhorst teNoordwijkerhout.

Kosten per persoon: € 395,00 bij overnachting opeen tweepersoonskamer en € 430,00 bijovernachting op een eenpersoonskamer.

Later dit jaar wordt de programmafolder metaanmeldingsformulier naar de scholen gestuurd.Meer informatie over de NWD kunt u altijd vinden op http://www.fisme.science.uu.nl/nwd.

Inlichtingen:Ank van der Heiden, telefoon: 030 253 56 54 of e-mail: [email protected].

M E D E D E L I N G

‘Houtje-touwtje’-wiskunde · de Nationale Wiskunde Dagen 2013) werden eisen gesteld aan de...

Documents

Transcript of ‘Houtje-touwtje’-wiskunde · de Nationale Wiskunde Dagen 2013) werden eisen gesteld aan de...