Bijeenkomst  4    

             

         §7.3  Bewijzen  uit  het  ongerijmde                  Strategie  bewijzen  uit  het  ongerijmde:  •  Je  wilt  laten  zien  dat  een  bewering  A  waar  is.  •  Neem  aan  dat  de  ontkenning  waar  is  •  Laat  zien  dat  deze  aanname  leidt  tot  een  tegenstrijdigheid,  iets  wat  duidelijk  

onwaar  is.  •  Omdat  die  tegenstrijdigheid  een  rechtstreeks  gevolg  is  van  de  aanname,  

moet  je  concluderen  dat  de  ontkenning  niet  waar  is.    •  De  oorspronkelijke  bewering  is  dus  wel  waar.                                      

7.3.7      

Toon  aan  dat  er  geen  reële  getallen  x  bestaan  waarvoor  geldt:      Bewijs  uit  het  ongerijmde.  Veronderstel  dat  er  wèl  een  reële  x  bestaat  waarvoor  geldt:      Dan  geldt,  na  kruislings  vermenigvuldigen:      Dit  kan  nooit  omdat            en    Het  product  van  deze  beide  factoren  is  dus  maximaal  6  Dus  een  tegenspraak.  Waaruit  we  concluderen  dat  de  veronderstelling  niet  juist  is.    Dus  is  de  oorspronkelijke  bewering  waar.                                                              

1+ sin(x) = 122 + sin(x)

1+ sin(x) = 122 + sin(x)

(1+ sin(x))(2 + sin(x)) = 12

0 ≤ 1+ sin(x) ≤ 2 1 ≤ 2 + sin(x) ≤ 3

7.3.5      

Toon  aan  dat  er  geen  gehele  getallen  m  en  n  bestaan  waarvoor  geldt      Bewijs  uit  het  ongerijmde.  Veronderstel  dat  die  getallen  wèl  bestaan,  dus  neem  aan  dat  er  gehele  getallen  m  en  n  zijn  zo  dat                  Dan  geldt:        Je  krijgt  dan  vier  stelsels  van  twee  vergelijkingen.  Hieronder  bekijken  we  één  van  die  stelsels.      Optellen  van  de  vergelijkingen  geeL:        Dat  is  in  tegenspraak  met  onze  veronderstelling.  Immers  gezegd  dat  m  is    geheel.    Dus  veronderstelling  onjuist,  oLewel  oorspronkelijke  bewering  is  waar.                                                      

m2 − n2 = 2 ⇒ (m − n)(m + n) = 2 ⇒

m2 − n2 = 2

m2 − n2 = 2 (m − n) (m + n)−1 −21 2−2 −12 1

m − n = −1m + n = −2

⎧⎨⎩

2m = −3 ⇒ m = −32 m ∉

7.3.5  Opmerking.    

Toon  aan  dat  er  geen  gehele  getallen  m  en  n  bestaan  waarvoor  geldt      Bewijs  uit  het  ongerijmde.  Veronderstel  dat  die  getallen  wèl  bestaan,  dus  neem  aan  dat  er  gehele  getallen  m  en  n  zijn  zo  dat                  Dan  geldt:    Hier  gaat  het  fout!  Je  zegt                  maar  dat  geldt  enkel  als          oLewel  als              Dat  is  juist  wat  je  wilt  bewijzen:  je  bent  eigenlijk  niets  opgeschoten.                                                        

m2 − n2 = 2 ⇒ m2 = 2 + n2 ⇒

m2 − n2 = 2

m2 − n2 = 2

m = 2 + n2 ⇒ m ∉

k2 − n2 ≠ 2

m = 2 + n2 ∉

2 + n2 ≠ k2

7.3.9      

Toon  aan  dat  voor  alle  natuurlijke  getallen  k  en  m  geldt:    Bewijs  uit  het  ongerijmde.  Veronderstel  dat  de  bewering  niet  waar  is,  dus  neem  aan  dat  er  natuurlijke  getallen  k  en  m  zijn  zo  dat                  Dan  geldt:    

               Volgens  de  aanname  geldt      Wanneer  je  beiden  ongelijkheden  combineert  krijg  je:  Daaruit  volgt:                en  dat  kan  natuurlijk  niet!    Dus  veronderstelling  kan  niet  juist  zijn.  Dan  is  de  ontkenning  van  de  veronderstelling  (=  de  oorspronkelijke  bewering)  waar.  

                                                             

k + m < 10 ⇒ k < 10 − m

km ≤ 25 ∨ k + m ≥ 10

km > 25 ∧ k + m < 10

⇒ km < (10 − m)m ⇒ km < 10m − m2

km > 25

25 < 10m − m2

m2 −10m + 25 < 0 ⇒ (m − 5)2 < 0

             

De  Toren  van  Hanoi    

§7.4  Bewijzen  met  volledige  inducDe    

Stel  je  wilt  bewijzen  dat  een  bewering  geldt  voor  elk  natuurlijk  getal  (tot  oneindig)      Voorbeeld:  Toon  aan  dat  voor  alle  natuurlijke  getallen  n  geldt:            is  deelbaar  door  30          Met  volledige  inducUe  bedoelen  we  een  manier  van  redeneren.  Het  is  een  techniek  welke  we  gebruiken  om  de  waarheid  van  een  stelling  voor  alle  elementen  van  een  verzameling  te  bewijzen.                          

6n + 24

   

Bewijs  door  volledige  inducUe  is  een  tweestappenproces:  1.  Bewijs  dat  de  bewering  waar  is  voor  het  eerste  geval.  2.  Laat  zien  dat  de  bewering,  als  deze  waar  is  voor  een  willekeurig  geval,  ook  

waar  is  voor  het  volgende  geval.        

         of    1.  Belangrijk  is  dat  de  eerste  dominosteen  valt  2.  Wanneer  je  zeker  weet  dat  als  de  ke  steen  

   omvalt  dan  ook  de  (k +  1)e  steen  omgaat,  ben        je  klaar!  

                                                                           

7.4.1b      

Toon  aan  dat  voor  alle  natuurlijke  getallen  n  geldt:            is  deelbaar  door  30  

     We  zullen  deze  bewering  aangeven  met  B(n)    Bewijs  met  volledige  inducUe.  (kan  ook  m.b.v.  modulo-­‐rekenen.):  1.  Toon  aan:  dat  B(1)  waar  is  2.  Laat  zien:  dat      1.  

 Bewering  is  dus  waar  voor  het  eerste  geval.  B(1)  is  waar.                

                                                                 

6n + 24

B(k) ⇒ B(k +1)

B(1) = 61 + 24 = 30 = 1× 30

7.4.1b      

 2.  Neem  nu  aan  dat  de  bewering  waar  is  voor  een  zekere,  natuurlijke  k.  

 (=  inducUeveronderstelling  of  inducUehypothese)      

 Dus  neem  aan  dat    B(k)  waar  is,        dus  ga  er  van  uit  dat                                              deelbaar  is  door  30.  

   Toon  aan  dat                waar  is,    dus    dat            is  deelbaar  door  30.  

   Bekijk                    en  manipuleer  dusdanig  dat  je  B(k)  herkent  en  kunt  gebruiken.  

           B(k)  is  deelbaar  door  30,  dus  B(k +  1)  deelbaar  door  30.      Met  volledige  inducUe  is  nu  bewezen  dat  voor  ieder  natuurlijk  getal  n  geldt    dat      deelbaar  is  door  30.      

                                                             

6 ⋅6k + 24 = 6(6k + 24) − 5 ⋅24

6k+1 + 24

6k + 24

B(k +1)

B(k +1) = 6k+1 + 24

= 6B(k) − 4 ⋅ 30

6n + 24

B(k +1) = 6k+1 + 24 =

7.4.1a      

Toon  aan  dat  voor  alle  natuurlijke  getallen  n  geldt  dat      Eerste  geval  bekijken:                        is  juist.  Dus  de  eerste  dominosteen  valt.    Tweede  stap:  Kies  een  willekeurig  natuurlijk  getal  k  en  toon  aan  Dus  neem  aan  dat    B(k)  waar  is,  oLewel    Toon  aan  dat  hieruit  volgt  B(k +  1)  =  waar.    Werk  op  klad  B(k +  1)  uit  zodat  duidelijk  wordt  waar  je  ‘naartoe  wilt  werken’  

Gebruik  bij  het  redeneren  dat  B(k)  waar  is.                                                              

12 + 22 + 32 + ........+ n2 = 16 n(n +1)(2n +1)

B(1) = 12 = 1 = 16 ⋅1(1+1)(2 ⋅1+1)

B(k) ⇒ B(k +1)12 + 22 + 32 + ........+ k2 = 1

6 k(k +1)(2k +1)

7.4.1a      

Toon  aan  dat  B(k +  1)  =  waar.                        En  dus,  volgens  het  principe  van  volledige  inducUe,  is  de  bewering  voor  elk  natuurlijk  getal  waar.      

= 16 k(k +1)(2k +1) + (k +1)

2

B(k +1) = 12 + 22 + 32 + ........+ k2 + (k +1)2 = B(k) + (k +1)2

= (k +1)[ 16 k(2k +1) + (k +1)]

= 16 (k +1)[k(2k +1) + 6(k +1)]

= 16 (k +1)[2k

2 + 7k + 6]

= 16 (k +1)[(k + 2)(2k + 3)]

= 16 (k +1)((k +1)+1)(2(k +1)+1)

7.4.2      

Bedenk  zelf  een  gesloten  formule  voor      en  toon  aan  dat  die  formule  juist  is  voor  alle  natuurlijke  getallen.                Wanneer  je  naar  de  elementen  kijkt,  krijg  je  het  vermoeden  dat  geldt:                

11 ⋅2

+12 ⋅ 3

+13 ⋅ 4

+ ............+ 1n(n +1)

S(1) = 11 ⋅2

= 12

S(2) = 11 ⋅2

+12 ⋅ 3

= 23

S(3) = 11 ⋅2

+12 ⋅ 3

+13 ⋅ 4

= 34

S(n) = 11 ⋅2

+12 ⋅ 3

+13 ⋅ 4

+ .......+ 1n(n +1)

=n

(n +1)

7.4.2      

Dus  aan  te  tonen  dat  voor  alle  natuurlijke  getallen  n  geldt  dat      1.  Bewering  bekijken  voor  het  eerste  natuurlijke  getal.  

               is  juist.    2.  Kies  een  willekeurig  natuurlijk  getal  k  en  toon  aan  

 S(k)  =  waar,  dus        Nu  S(k  +  1)  onderzoeken.  Gebruik  de  inducUehypothese!  

       Uit  1.  en  2.  volgt  dat  de  bewering  geldt  voor  alle  natuurlijke  getallen.                  

S(k) ⇒ S(k +1)

S(n) = 11 ⋅2

+12 ⋅ 3

+13 ⋅ 4

+ .......+ 1n(n +1)

=n

(n +1)

S(1) = 11 ⋅2

= 12 =

1(1+1)

S(k) = 11 ⋅2

+12 ⋅ 3

+13 ⋅ 4

+ .......+ 1k(k +1)

=k

(k +1)

S(k +1) = 11 ⋅2

+12 ⋅ 3

+13 ⋅ 4

+ .......+ 1k(k +1)

+1

(k +1)(k + 2)= S(k) + 1

(k +1)(k + 2)k

(k +1)+

1(k +1)(k + 2)

=k(k + 2) +1(k +1)(k + 2)

=k2 + 2k +1(k +1)(k + 2)

=(k +1)2

(k +1)(k + 2)=(k +1)(k + 2)

7.4.3      

Toon  aan  dat  het  volgende  geldt:  Het  aantal  deelverzamelingen  van        is  gelijk  aan        1.  Bewering  bekijken  voor  het  eerste  geval.  

           heeL  twee  deelverzamelingen  nl.            Dus  is  de  bewering  hiervoor  juist.  

   2.  Bekijk  de  implicaUe  

         heeL        deelverzamelingen.    Toon  aan  dat                    deelverzamelingen  heeL.  

                     

1,2,3,4,.....n{ }

B(1) : 1{ }

2n

∅ , 1{ }

B(k) ⇒ B(k +1)

1,2,3,4.....,k{ }1,2,3,4.....,k,k +1{ }

2k

2k+1

7.4.3      

   Bekijk  een  aantal  verzamelingen  en  bestudeer  de  relaUes  tussen  de  aantalen  deelverzamelingen.              Je  ziet  dat  het  aantal  deelverzamelingen  steeds  wordt  vermenigvuldigd  met  twee.    Dus          heeL    deelverzamelingen  betekent  heeL    Bewering  is  dus  waar!              

1{ } ∅ , 1{ }

1,2,3,4.....,k{ } 1,2,3,4.....,k,k +1{ }2k

2 ⋅2k = 2k+1

1,2{ } ∅ , 1{ } , 2{ } , 1,2{ }

1,2,3{ } ∅ , 1{ } , 2{ } , 1,2{ }3{ } , 1, 3{ }, 2, 3{ }, 1,2, 3{ }