Bijeenkomst  3    

               6.3.6    Toon  de  volgende  bewering  aan  over  natuurlijke  getallen  n  die  groter  zijn  dan  2:        We  gebruiken  de  contraposi=e  dus  te  bewijzen:  We  nemen  een  willekeurig  even  getal  n,  dus      Dan  geldt  voor      het  volgende:          Dus  de  contraposi=e  is  waar!    Daarmee  heb  je  aangetoond  dat  de  oorspronkelijke  bewering  waar  is.        

 

                 

n = 2k k ∈

2n −1 = priem ⇒ n = oneven

2n −1

2n −1 = 22k −1 =

n = even ⇒ 2n −1 ≠ priem

(2k −1)(2k +1) = cd c,d ∈ En dus 2n −1≠ priem

6.4.4    

 6.4.4  Toon  aan  dat  voor  alle  niet  nega=eve  reële  getallen  a  en  b  geldt:    

                 

12(a + b) = ab ⇔ a = b

               6.4.6      Toon  aan  dat  voor  alle  gehele  getallen  m  geldt:   m  is  niet  deelbaar  door  3              is  deelbaar  door  3    Bewijs:  

 m  is  niet  deelbaar  door  3  dus,              dan              dan  

   Neem  nu  aan:                Laat  zien:   m  is  niet  deelbaar  door  3          Gebruik  de  contraposi=e.  Dus  bewijs  de  implica=e    

               

⇔

⇒

⇐

m2 −1

m ≡ 1(mod3) ∨ m ≡ 2(mod3)m ≡ 1(mod3) m2 −1 ≡ 12(mod3) −1 ≡ 0(mod3)m ≡ 2(mod3) m2 −1 ≡ 22(mod3) −1 ≡ 1(mod3) −1 ≡ 0(mod3)

m2 −1 ≡ 0(mod3)

3 | m⇒ m2 −1 ≠ 0(mod3)

             

             

7.2.6  Toon  aan  dat  er  een  reëel  getal  x  bestaat  waarvoor  geldt  dat    

           Strategie  omgekeerde  bewijzen:  •  Neem  aan  (hoewel  je  nog  niet  zeker  bent)  dat  de  bewering  die  je  moet  

bewijzen  WAAR  is.  •  Herschrijf  de  bewering  tot  een  uitdrukking  waarvan  je  wel  zeker  weet  dat  

deze  juist  is.  •  Controleer  of  het  mogelijk  is  de  beredenering  om  te  draaien  zodat  je  

uitgaande  van  de  uitdrukking  waarvan  je  zeker  bent,  uitkomt  bij  de  te  bewijzen  bewering.  (LET  OP:  niet  vanzelfsprekend!)  

                                     

5 + x + 7 = x

7.2.2+7.2.3  

7.2.3  Toon  aan:  Voor  alle  posi=eve  reële  getallen  x    geldt  dat          7.2.2        

                                                               

xx +1

<x +1x + 2

∀

x,y∈!x,y>1

xy +1> x + y

             

         §7.3  Bewijzen  uit  het  ongerijmde            Toon  aan:  dat    geen  ra=onaal  getal  is.          Strategie  bewijzen  uit  het  ongerijmde:  •  Je  wilt  laten  zien  dat  een  bewering  A  waar  is.  •  Neem  aan  dat  de  ontkenning  waar  is  •  Laat  zien  dat  deze  aanname  leidt  tot  een  tegenstrijdigheid,  iets  wat  duidelijk  

onwaar  is.  •  Omdat  die  tegenstrijdigheid  een  rechtstreeks  gevolg  is  van  de  aanname,  

moet  je  concluderen  dat  de  ontkenning  niet  waar  is.    •  De  oorspronkelijke  bewering  is  dus  wel  waar.                                      

7

7.3.1      

Toon  aan  dat    geen  ra=onaal  getal  is.    Bewijs  uit  het  ongerijmde.  Stel      is  wèl  een  ra=onaal  getal,  dus            .          p  en  q  hebben  geen  gemeenschappelijke  delers.  Dan  geldt:                          (  p2  =  deelbaar  door  7  dan  p  =  deelbaar  door  7 )  Als  echter          dan  geldt      Maar  dat  is  in  tegenspraak  met  onze  veronderstelling.  Immers  gezegd  dat  p  en  qgeen  gemeenschappelijke  delers  hebben.  Dus  veronderstelling  onjuist,  oYewel  oorspronkelijke  bewering  is  waar.                                                                  

7

7 7 =

pq

p,q ∈

7 =pq

⇒ 7 = pq

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

⇒ 7 = p2

q2⇒ 7q2 = p2 ⇒

p2 = 7v ⇒ p = 7wp = 7w 7q2 = (7w)2 ⇒ 7q2 = 49w2

q2 = 7w2 ⇒ q2 = 7u ⇒ q = 7z

7.3.3      

Van  een  tweedegraadsvergelijking          is  gegeven  dat  de  coëfficiënten  a,  b  en  c  oneven  gehele  getallen  zijn.    Toon  aan  dat  deze  vergelijking  geen  ra=onale  oplossingen  heeY.    Bewijs  uit  het  ongerijmde.  Stel  de  vergelijking  heeY  wèl  een  ra=onale  oplossing,  zeg        met            zover  mogelijk  vereenvoudigd!    Dan  krijg  je:      Er  drie  mogelijke  situa=es:        In  alle  drie  de  gevallen  is  het  linkerlid  oneven  en  dus  ongelijk  aan  0.  Je  krijgt  dus  drie  beweringen  die  tengevolge  van  de  aanname  overduidelijk  niet  waar  zijn!  Dus  de  ontkenning  in  onwaar,  wat  betekent  dat  de  oorspronkelijke  bewering  waar  is.                                                              

ax2 + bx + c = 0

x =pq

p = even, q = onevenp = oneven, q = onevenp = oneven, q = even

⎧⎨⎪

⎩⎪

a( pq )2 + b( pq ) + c = 0 ⇒ ap2 + bpq + cq2 = 0

pq

7.3.2+7.3.4  

7.3.2  Toon  aan  dat                geen  ra=onaal  getal  is.          7.3.4        

                                                               

∀

a,b∈!+a + b ≠ a + b

2 log(3)

De  Toren  van  Hanoi