Bijeenkomst  1    

•  Opgave  4.    Het  verschil  van  twee  opeenvolgende  gehele  derde  machten  is  niet  deelbaar  door  2.        

 •  Opgave  7.    

∀n∈! ,n>0[n

3 + n+1 is priem]

Zinnen  die  een  feit  constateren,  noemen  we  proposi>es  (beweringen)      Sommige  proposi>es  zijn  (door  ons)  te  bewijzen:  Het  verschil  van  twee  opeenvolgende  gehele  derde  machten  is  niet  deelbaar  door  2.        

Het  kan  zijn  dat  het  (op  dit  moment)  onduidelijk  is  of  een  proposi>e  waar  is  of  onwaar:  Ieder  even  getal  groter  dan  twee  is  te  schrijven  als  de  som  van  twee  priemgetallen.  (Vermoeden  van  Goldbach)    

       

∀n∈! ,n>0[n

3 + n+1 is priem]

Een  proposi>e  kan  dus  waar  of  onwaar  zijn.    Het  kwadraat  van  12  is  144.  Gisteren  sneeuwde  het.  Gisteren  sneeuwde  het  niet.    Priemgetallen  zijn  de  juweeltjes  onder  de  getallen.  De  som  van  twee  en  vijf  is  zes.  Voor  je  verjaardag  krijg  je  een  iPod  of  nieuwe  schoenen  Karin  gaat  alleen  mee  als  Leo  niet  mee  gaat  maar  Marieke  wel  komt.  Hoe  gaat  het?  Amsterdam  is  de  mooiste  stad  van  Nederland.  

       

Wiskundige  beweringen  worden  vaak  genoteerd  met  behulp  van  symbolen.      De  som  van  twee  en  vijf  is  zes:                  2 + 5 = 6 12345  is  een  3-­‐voud:            Karin  gaat  alleen  mee  als  Leo  niet  meegaat  maar  Marieke  wel  komt:  

   Over  de  betekenis  van  symbolen  zal  iedereen  het  eens  moeten  zijn.  In  hoofdstuk  6  gaan  we  de  betekenis  van  een  aantal  symbolen  vastleggen.        

12345 ≡ 0(mod3)¬L ∧M ⇒ K

 Enkelvoudige  beweringen.    Beweringen  worden  vaak  aangegeven  met  hoofdleUers.  Bijvoorbeeld:    A:    Gisteren  sneeuwde  het.        Zoals  we  weten,  is  een  proposi>e  waar  of  niet  waar.      Stel  dat  de  proposi>e  A  waar  is.      Dan  is  de  proposi>e      B:  Gisteren  sneeuwde  het  niet  

   niet  waar.  

       We  noemen  B  de  ontkenning  of  nega>e  van  A.  Voor  de  nega>e  van  A  spreken  we  de  volgende  nota>e  af:    

                                 

¬A

Met  behulp  van  een  waarheidstabel  spreken  we  af  wanneer  een  bewering  waarin  het  symbool    voorkomt,  waar  of  onwaar  is:                

waar   onwaar  

onwaar   waar  

A ¬A

¬A

     Samengestelde  beweringen.    

In  het  Nederlands  heeV  ‘of’  twee  betekenissen.  Kijk  maar  naar  onderstaande  voorbeelden:    Kinderen  hebben  alleen  toegang  met  hun  vader  of  hun  moeder.  Voor  je  verjaardag  krijg  je  een  iPod  of  nieuwe  schoenen.  Wil  je  suiker  of  melk  in  je  koffie?  

   Het  eerste  voorbeeld  kun  je  herformuleren  als:  Kinderen  hebben  alleen  toegang  met  vader  en/of  moeder.  Dit  ‘of’  noemen  we  het  inclusieve-­‐of.  Tenminste  één  van  beide  ouders  moet  erbij  zijn.  Het  inclusieve-­‐of  wordt  aangegeven  met  het  symbool     ∨

De  bewering(proposi>e):    is  een  voorbeeld  van  een  samengestelde  bewering.    In  de  bewering  komt  het  symbool            voor.    Met  behulp  van  een  waarheidstabel  spreken  we  precies  af  wanneer  een  disjunc>e  (=  samengestelde  bewering  van  het  type:            )  waar  of  onwaar  is.                  Er  zijn  dus  vier  gevallen  te  onderscheiden:  In  drie  van  deze  gevallen  is  de    disjunc>e  waar.                    

A ∨ B

∀n∈ 6n −1∈P ∨ 6n +1∈P

∨

waar   waar   waar  

waar   onwaar   waar  

onwaar   waar   waar  

onwaar   onwaar   onwaar  

A ∨ BBA

 Samengestelde  beweringen  zijn  uitspraken  die  uit  deelbeweringen  bestaan.      Connec>even  zijn  symbolen  die  deelbeweringen  koppelen.    Er  zijn  verschillende  connec>even:    

   

 conjunc>e  (=  én)        disjunc>e  (=  of/en)      implica>e          bi-­‐implica>e        

                                     

A⇔ BA⇒ B

A ∧ BA ∨ B

               6.2.3      Bewijs  of  weerleg  de  volgende  bewering:  Er  bestaat  een  geheel  getal  m  waarvoor  geldt:    Volgens  de  waarheidstabellen  is  een  conjunc>e  waar  als  beide  deelbeweringen  waar  zijn.      Bewijs:  

 Zeg        Dus  de  eerste  bewering  nemen  we  waar.        Omdat        geldt    Dan  geldt                en  dat  is  geen  3-­‐voud.      Dus  als  de  eerste  bewering  waar  is,  is  de  tweede  juist  niet  waar.    Dus  de  bewering  (=conjunc>e)  is  NIET  waar.  

   Je  kunt  deze  bewering  ook  met  behulp  van  modulorekenen  weerleggen.                    

(3 | m) ∧ (3 | (m +1))

3 | m

m +1 = 3v +1 ∃v ∈ m = 3v3 | m

De  weUen  van  De  Morgan  

                                   

1 0

10

00

1

1

De  weUen  van  De  Morgan  

                                   

0

0

0

00

1 1

1 1

1 1 1

De  weUen  van  De  Morgan  

Ontkenning  van  een  conjunc>e.    Ontkenning  van  een  disjunc>e.                                  

¬(A ∧ B) = (¬A)∨ (¬B)

¬(A ∨ B) = (¬A)∧ (¬B)

Je  werkt  voor  het  eerst  bij  Macdonald’s.  De  bedrijfsleider  geeV  je  de  volgende  regel:          De  bedrijfsleider  staat  ter  controle  het  eerste  uur  naast  je  bij  de  balie  als  er  een  klant  iets  wil  bestellen.  Er  kunnen  zich  vier  situa>es  voordoen.  Welke?  En  wanneer  krijg  je  van  de    bedrijfsleider  de  opmerking  dat  je  de  regel  niet  in  acht  neemt?                                            

       Deelbewering  P:  Iemand  bestelt  friet  Deelbewering  Q:  Iemand  bestelt  een  hamburger  Deelbewering  R:  Je  adviseert  de  hamburgerschotel      Met  connec>even:      Deze  implica>e  is  onwaar  wanneer  de  bewering      waar      én      R  onwaar  is.                                              

P ∧Q⇒ R

P ∧Q

               §4.3  Implica@e      

           Aantonen  dat    een  implica>e  niet  waar  is  gaat  als  volgt:  Laat  zien  dat  bewering  A  waar  en  bewering  B  onwaar  is.      Aantonen  dat  een  implica>e  waar  is  kan  op  twee  manieren.                  

A⇒ BA B0   0   1  

0   1   1  

1   0   0  

1   1   1  

               §4.3  Implica@e      

     Aantonen  dat  een  implica>e  waar  is  kan  op  twee  manieren:  1.  rechtstreeks  (Neem  aan  dat  bewering  A  waar  is  en  bedenk  een  redenering  

waaruit  volgt  dat  bewering  B  dan  ook  waar  is)      2.  mbv  de  contraposi>e.    

 Bewijs  ipv        de  bewering      Dat  beide  beweringen  equivalent  zijn,  toon  je  aan  met  waarheidstabellen.  

                       

A⇒ B ¬B⇒ ¬A

               4.3.1        We  noemen  de  implica>e          de  ‘contraposi>e’  van          Het  is  eigenlijk  niets  anders  dan  een  herformulering  van          Een  herformulering  die  soms  makkelijker  te  bewijzen  is  dan  de  implica>e  zelf.      Formuleer  de  contraposi>e  van  de  volgende  bewering:        Volgens  de  WeUen  van  De  Morgan  geldt:    is  Dus  zegt  de  contraposi>e:    

                         

(x − 2)(x − 3) = 0 ⇒ x = 2 ∨ x = 3

¬B⇒ ¬A A⇒ BA⇒ B

x ≠ 2 ∧ x ≠ 3

x ≠ 2 ∧ x ≠ 3 ⇒ (x − 2)(x − 3) ≠ 0

¬B

               6.3.2    c)  Als  km  even  is,  dan  is  k  even  of  m  is  even.  

 Bewijs  mbv  de  contraposi>e.  Gebruik  de  WeUen  van  De  Morgan.        d)  Als  k  oneven  is  en  k  +  m  is  even,  dan  is  m  oneven.  

 Rechtstreeks.      

 Bewijs:    

     

 

                 

k + m = 2r +1+ m = 2v

k = oneven = 2r +1k + m = even = 2v

⎫⎬⎭

⇒ m = oneven

m = 2v − 2r −1 = 2v − 2r − 2 +1m = 2(v − r −1)+1= 2q +1= oneven

               6.3.5      Sundaramgetallen  zijn  natuurlijke  getallen  van  de  vorm            Dus  16  en  27  zijn  Sundaramgetallen.    Bewijs  de  volgende  bewering:  Als            dan  is              Idee  de  implica>e  rechtstreeks  proberen  te  bewijzen.  

     dus                Dan  geldt:    Dus  als        dan  is        samengesteld  (en  dus  idd  niet  priem)                                  

2n +1∉Pn ∈S

n = m + k + 2km

2n +1 = 2(m + k + 2km) +1 = 2m + 2k + 4km +1 =n ∈S

k m n1   5   16  

2   5   27  

n = m + k + 2km

(2k +1)(2m +1) = cd c,d ∈n ∈S 2n +1