Bijeenkomst 3
6.3.6 Toon de volgende bewering aan over natuurlijke getallen n die groter zijn dan 2: We gebruiken de contraposi=e dus te bewijzen: We nemen een willekeurig even getal n, dus Dan geldt voor het volgende: Dus de contraposi=e is waar! Daarmee heb je aangetoond dat de oorspronkelijke bewering waar is.
n = 2k k ∈
2n −1 = priem ⇒ n = oneven
2n −1
2n −1 = 22k −1 =
n = even ⇒ 2n −1 ≠ priem
(2k −1)(2k +1) = cd c,d ∈ En dus 2n −1≠ priem
6.4.4
6.4.4 Toon aan dat voor alle niet nega=eve reële getallen a en b geldt:
12(a + b) = ab ⇔ a = b
6.4.6 Toon aan dat voor alle gehele getallen m geldt: m is niet deelbaar door 3 is deelbaar door 3 Bewijs:
m is niet deelbaar door 3 dus, dan dan
Neem nu aan: Laat zien: m is niet deelbaar door 3 Gebruik de contraposi=e. Dus bewijs de implica=e
⇔
⇒
⇐
m2 −1
m ≡ 1(mod3) ∨ m ≡ 2(mod3)m ≡ 1(mod3) m2 −1 ≡ 12(mod3) −1 ≡ 0(mod3)m ≡ 2(mod3) m2 −1 ≡ 22(mod3) −1 ≡ 1(mod3) −1 ≡ 0(mod3)
m2 −1 ≡ 0(mod3)
3 | m⇒ m2 −1 ≠ 0(mod3)
7.2.6 Toon aan dat er een reëel getal x bestaat waarvoor geldt dat
Strategie omgekeerde bewijzen: • Neem aan (hoewel je nog niet zeker bent) dat de bewering die je moet
bewijzen WAAR is. • Herschrijf de bewering tot een uitdrukking waarvan je wel zeker weet dat
deze juist is. • Controleer of het mogelijk is de beredenering om te draaien zodat je
uitgaande van de uitdrukking waarvan je zeker bent, uitkomt bij de te bewijzen bewering. (LET OP: niet vanzelfsprekend!)
5 + x + 7 = x
7.2.2+7.2.3
7.2.3 Toon aan: Voor alle posi=eve reële getallen x geldt dat 7.2.2
xx +1
<x +1x + 2
∀
x,y∈!x,y>1
xy +1> x + y
§7.3 Bewijzen uit het ongerijmde Toon aan: dat geen ra=onaal getal is. Strategie bewijzen uit het ongerijmde: • Je wilt laten zien dat een bewering A waar is. • Neem aan dat de ontkenning waar is • Laat zien dat deze aanname leidt tot een tegenstrijdigheid, iets wat duidelijk
onwaar is. • Omdat die tegenstrijdigheid een rechtstreeks gevolg is van de aanname,
moet je concluderen dat de ontkenning niet waar is. • De oorspronkelijke bewering is dus wel waar.
7
7.3.1
Toon aan dat geen ra=onaal getal is. Bewijs uit het ongerijmde. Stel is wèl een ra=onaal getal, dus . p en q hebben geen gemeenschappelijke delers. Dan geldt: ( p2 = deelbaar door 7 dan p = deelbaar door 7 ) Als echter dan geldt Maar dat is in tegenspraak met onze veronderstelling. Immers gezegd dat p en qgeen gemeenschappelijke delers hebben. Dus veronderstelling onjuist, oYewel oorspronkelijke bewering is waar.
7
7 7 =
pq
p,q ∈
7 =pq
⇒ 7 = pq
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2
⇒ 7 = p2
q2⇒ 7q2 = p2 ⇒
p2 = 7v ⇒ p = 7wp = 7w 7q2 = (7w)2 ⇒ 7q2 = 49w2
q2 = 7w2 ⇒ q2 = 7u ⇒ q = 7z
7.3.3
Van een tweedegraadsvergelijking is gegeven dat de coëfficiënten a, b en c oneven gehele getallen zijn. Toon aan dat deze vergelijking geen ra=onale oplossingen heeY. Bewijs uit het ongerijmde. Stel de vergelijking heeY wèl een ra=onale oplossing, zeg met zover mogelijk vereenvoudigd! Dan krijg je: Er drie mogelijke situa=es: In alle drie de gevallen is het linkerlid oneven en dus ongelijk aan 0. Je krijgt dus drie beweringen die tengevolge van de aanname overduidelijk niet waar zijn! Dus de ontkenning in onwaar, wat betekent dat de oorspronkelijke bewering waar is.
ax2 + bx + c = 0
x =pq
p = even, q = onevenp = oneven, q = onevenp = oneven, q = even
⎧⎨⎪
⎩⎪
a( pq )2 + b( pq ) + c = 0 ⇒ ap2 + bpq + cq2 = 0
pq
7.3.2+7.3.4
7.3.2 Toon aan dat geen ra=onaal getal is. 7.3.4
∀
a,b∈!+a + b ≠ a + b
2 log(3)
De Toren van Hanoi
Top Related