Ab2 bijeenkomst2 2015

16
Bijeenkomst 2

Transcript of Ab2 bijeenkomst2 2015

Page 1: Ab2 bijeenkomst2 2015

Bijeenkomst  2    

Page 2: Ab2 bijeenkomst2 2015

De  we%en  van  De  Morgan  

Ontkenning  van  een  conjunc3e.    Ontkenning  van  een  disjunc3e.                                    

¬(P ∧Q) = (¬P)∨ (¬Q)

¬(P ∨Q) = (¬P)∧ (¬Q)

Page 3: Ab2 bijeenkomst2 2015

               §6.3  Implica7e      

           Aantonen  dat  een  implica3e  waar  is  kan  op  twee  manieren:  1.  rechtstreeks  (Neem  aan  dat  bewering  A  waar  is  en  bedenk  een  redenering  

waaruit  volgt  dat  bewering  B  dan  ook  waar  is)  2.  mbv  de  contraposi3e.    

 Bewijs  ipv        de  bewering      Dat  beide  beweringen  ‘equivalent’  zijn,  toon  je  aan  met  waarheidstabellen.  

 We  noemen  de  implica3e          de  ‘contraposi3e’  van          Het  is  eigenlijk  niets  anders  dan  een  herformulering  van          Een  herformulering  die  soms  makkelijker  te  bewijzen  is  dan  de  implica3e  zelf.                        

A⇒ BA BW   W   W  

W   O   O  

O   W   W  

O   O   W  

A⇒ B ¬B⇒ ¬A

A⇒ BA⇒ B

¬B⇒ ¬A

Page 4: Ab2 bijeenkomst2 2015

§6.3  Implica7e-­‐contraposi7e      

Hieronder  staat  opnieuw  de  waarheidstabel  van  de  implica3e.  We  gaan  deze  waarheidstabel  uitbreiden.    Daarmee  tonen  we  aan  dat  geldt:    

       is  equivalent  met                        

A⇒ BA B0   0   1  

0   1   1  

1   0   0  

1   1   1  

1  

1  

0  

1  

¬B⇒ ¬A

¬B⇒ ¬AA⇒ B

Page 5: Ab2 bijeenkomst2 2015

               6.3.2    e)  Als  32  geen  deler  is  van      dan  is  4  geen  deler  van  

         Door  de  contraposi3e  te  bewijzen,  bewijzen  we  bewering  e)    Contraposi3e:        Aanname  (ga  ervan  uit):    Laat  nu  zien  dat  dan  geldt:  

   Omdat        geldt      Nu  is    Dus,  omdat            is  even,    geldt                      

     

     

 

                 

4 | (m − 2)

4 | (m − 2) ⇒ 32 | (m2 − 4)

m2 − 4 = (m − 2)(m + 2) = 4v(m + 2) =

m2 − 4 m − 2

32 | (m2 − 4)

4 | (m − 2) (m − 2) = 4v

4v(4v + 4) = 16v(v +1)

v(v +1) 32 | (m2 − 4)

Page 6: Ab2 bijeenkomst2 2015

               6.3.5b      Sundaramgetallen  zijn  natuurlijke  getallen  van  de  vorm            Dus  16  en  27  zijn  Sundaramgetallen.    Bewijs  de  volgende  bewering:  Als            dan  is              Mbv  de  contraposi3e  proberen  te  bewijzen.  Dus  te  bewijzen:  Dus  neem  aan:                        Dan  geldt:  Dat  betekent:                    Dus                                

2n +1∈Pn ∉S

n = m + k + 2km

2n +1 = cd =

2n +1∉P⇒ n ∈S

k m n1   5   16  

2   5   27  

(2k +1)(2m +1)

n = m + k + 2km ∈S

2n +1 ≠ priem= 4km + 2k + 2m +1

2n = 2m + 2k + 4km

cd    =    oneven  als  c  =  oneven  en  d  =  oneven.  

Page 7: Ab2 bijeenkomst2 2015

               6.3.7     Toon  aan  dat  voor  alle  natuurlijke  getallen  n  geldt:      We  gebruiken  de  contraposi3e,  dus  te  bewijzen:      Bewijs:  Kies  een  willekeurig  natuurlijk  getal  n dat  een  kwadraat  is,  dus            voor  een  zekere  gehele  kDan  zijn  er  voor  k de  volgende  mogelijkheden:      Dat  betekent  voor  n:          Dus  contraposi3e  is  waar,  dus  bewering  is  waar.                  

 

                 

n ≡ 2(mod4) ∨ n ≡ 3(mod4) ⇒ n ≠ k2 k ∈

n = k2k ≡ 0(mod4)k ≡ 1(mod4)k ≡ 2(mod4)k ≡ 3(mod4)

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

n = k2 ⇒ n ≡ 0(mod4) ∨ n ≡ 1(mod4)

n ≡ 02(mod4) ≡ 0(mod4)n ≡ 12(mod4) ≡ 1(mod4)n ≡ 22(mod4) ≡ 0(mod4)k ≡ 32(mod4) ≡ 1(mod4)

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

Page 8: Ab2 bijeenkomst2 2015

§6.4  Bi-­‐implica7e      

           Aantonen  dat  een  bi-­‐implica3e  waar  is  gaat  als  volgt:    Toon  aan  dat  de  implica3es      en        allebei  waar  zijn.  Dat  vraagt  dus  twee  verschillende  bewijzen!    Soms  is  het  handig  om  één  van  de  twee  implica3es  of  zelfs  allebei  te  bewijzen  met  behulp  van  contraposi3e.            

A B

A⇒ B B⇒ A

W   W   W  

W   O   O  

O   W   O  

O   O   W  

A⇔ B

Page 9: Ab2 bijeenkomst2 2015

               6.4.5      Toon  aan  dat  voor  alle  gehele  getallen  k  en  m  geldt:   k  en  m  zijn  even      k  +  m    en    km    zijn  even    Bewijs:  

 Logisch.      

 Te  bewijzen:    k +  m  =  even            km  =  even    k  =  even    m  =  even    We  gebruiken:    k  +  m  =  2v    km  =  2u    

   Dan  krijg  je:  k  =  2v  –  m  en  dus  km  =  (2v  –  m)m  =  2vm  –  m2    =  2u        Dus  m2  =  2vm  –  2u  =  2(vm  –  u)  =  2s      Dus  m2  =  even  maar  dan  m  =  even.        

                 

⇒ ∧

Page 10: Ab2 bijeenkomst2 2015

               6.4.3    a)    

b)    

                 

(a + b)2 = a2 + b2 ⇔ a = 0 ∨ b = 0

(a + b)2 = 2a2 + 2b2 ⇔ a = b

Page 11: Ab2 bijeenkomst2 2015

             

Page 12: Ab2 bijeenkomst2 2015

           §7.2  Omgekeerde  bewijzen      

Toon  aan  dat  voor  alle  posi3eve  reële  getallen  a  en  b  geldt  dat:        Strategie  omgekeerde  bewijzen:  •  Neem  aan  (hoewel  je  nog  niet  zeker  bent)  dat  de  bewering  die  je  moet  

bewijzen  WAAR  is.  •  Herschrijf  de  bewering  tot  een  uitdrukking  waarvan  je  wel  zeker  weet  dat  

deze  juist  is.  •  Controleer  of  het  mogelijk  is  de  beredenering  om  te  draaien  zodat  je  

uitgaande  van  de  uitdrukking  waarvan  je  zeker  bent,  uitkomt  bij  de  te  bewijzen  bewering.  (LET  OP:  niet  vanzelfsprekend!)  

                                     

2ab(a + b)

≤ ab

Page 13: Ab2 bijeenkomst2 2015

7.2.1    

Toon  aan  dat  voor  alle  posi3eve  reële  getallen  a  en  b  geldt  dat:                      

                   En  dat  is  zeker  juist!  De  stappen  terug  zijn  toegestaan  dus  is  de  bewering  waar!    Omgekeerd  noteren!                                                            

2ab(a + b)

≤ ab

2ab(a + b)

≤ ab ⇒

2abab

≤ (a + b) ⇒

2 ab ≤ (a + b) ⇒4ab ≤ (a + b)2 ⇒4ab ≤ a2 + 2ab + b2 ⇒

0 ≤ a2 − 2ab + b2 ⇒0 ≤ (a − b)2

Page 14: Ab2 bijeenkomst2 2015

7.2.5    

7.2.5  Toon  aan  dat  voor  alle  posi3eve  reële  getallen  a    en  b  geldt  dat              

         En  dat  is  zeker  juist!      Dus,  na  controle  omgekeerde  route,  conclusie  dat  de  bewering  inderdaad  waar  is.  Om  het  bewijs  volledig  en  netjes  te  maken:  Schrijf  het  van  onder  naar  boven  opnieuw  op!  

                                                               

(a + b)( 1a +1b ) > 2

(a + b)( 1a +1b ) > 2⇒

1+ ab +

ba +1 > 2⇒

2 + ab +

ba > 2

Page 15: Ab2 bijeenkomst2 2015

         §7.3  Bewijzen  uit  het  ongerijmde            Toon  aan:      Strategie  bewijzen  uit  het  ongerijmde:  •  Je  wilt  laten  zien  dat  een  bewering  A  waar  is.  •  Doe  alsof  de  bewering  A  niet  waar  is.  Dus:                Neem  aan  dat  de  ontkenning  waar  is  •  Laat  zien  dat  deze  aanname  leidt  tot  een  tegenstrijdigheid,  iets  wat  duidelijk  

onwaar  is.  •  Omdat  die  tegenstrijdigheid  een  rechtstreeks  gevolg  is  van  de  aanname,  

moet  je  concluderen  dat  de  ontkenning  niet  waar  is.    •  De  oorspronkelijke  bewering  is  dus  wel  waar.                                      

5 − 3 ≠ 3 − 2

Page 16: Ab2 bijeenkomst2 2015

7.3.8      

Toon  aan  dat      Bewijs  uit  het  ongerijmde.  Veronderstel  van  wèl,  dus  neem  aan    Dan  geldt,        Dit  is  duidelijk  niet  waar.  Dus  een  tegenspraak  volgend  uit  de  aanname.  Waaruit  we  concluderen  dat  de  veronderstelling  (=ontkenning)  niet  waar  is.    Conclusie:  De  oorspronkelijke  bewering  is  waar.                                                              

5 − 3 ≠ 3 − 2

5 + 2 = 2 3 ⇒

5 − 3 = 3 − 2

5 + 2 10 + 2 = 12 ⇒ 2 10 = 5 ⇒ 40 = 25