1. Bijeenkomst2 2. Dewe%envanDeMorgan Ontkenningvaneenconjunc3e. Ontkenningvaneendisjunc3e. (P Q) = (P) (Q) (P Q) = (P) (Q) 3. 6.3Implica7e Aantonendateenimplica3ewaariskanoptweemanieren: 1. rechtstreeks(NeemaandatbeweringAwaarisenbedenkeenredenering waaruitvolgtdatbeweringBdanookwaaris) 2. mbvdecontraposi3e. Bewijsipv debewering Datbeidebeweringenequivalentzijn,toonjeaanmetwaarheidstabellen. Wenoemendeimplica3e decontraposi3evan Hetiseigenlijknietsandersdaneenherformuleringvan Eenherformuleringdiesomsmakkelijkertebewijzenisdandeimplica3ezelf. A BA B W W W W O O O W W O O W A B B A A B A B B A 4. 6.3Implica7e-contraposi7e Hieronderstaatopnieuwdewaarheidstabelvandeimplica3e.Wegaandeze waarheidstabeluitbreiden. Daarmeetonenweaandatgeldt: isequivalentmet A BA B 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 B A B AA B 5. 6.3.2 e) Als32geendelerisvan danis4geendelervan Doordecontraposi3etebewijzen,bewijzenwebeweringe) Contraposi3e: Aanname(gaervanuit): Laatnuziendatdangeldt: Omdat geldt Nuis Dus,omdat iseven,geldt 4 | (m 2) 4 | (m 2) 32 | (m2 4) m2 4 = (m 2)(m + 2) = 4v(m + 2) = m2 4 m 2 32 | (m2 4) 4 | (m 2) (m 2) = 4v 4v(4v + 4) = 16v(v +1) v(v +1) 32 | (m2 4) 6. 6.3.5b Sundaramgetallenzijnnatuurlijkegetallenvandevorm Dus16en27zijnSundaramgetallen. Bewijsdevolgendebewering: Als danis Mbvdecontraposi3eproberentebewijzen.Dustebewijzen: Dusneemaan: Dangeldt: Datbetekent: Dus 2n +1Pn S n = m + k + 2km 2n +1 = cd = 2n +1P n S k m n 1 5 16 2 5 27 (2k +1)(2m +1) n = m + k + 2km S 2n +1 priem = 4km + 2k + 2m +1 2n = 2m + 2k + 4km cd=onevenals c=onevenend=oneven. 7. 6.3.7 Toonaandatvoorallenatuurlijkegetallenngeldt: Wegebruikendecontraposi3e,dustebewijzen: Bewijs: Kieseenwillekeurignatuurlijkgetaln dateenkwadraatis,dus voor eenzekeregehelek Danzijnervoork devolgendemogelijkheden: Datbetekentvoorn: Duscontraposi3eiswaar,dusbeweringiswaar. n 2(mod4) n 3(mod4) n k2 k n = k2 k 0(mod4) k 1(mod4) k 2(mod4) k 3(mod4) n = k2 n 0(mod4) n 1(mod4) n 02 (mod4) 0(mod4) n 12 (mod4) 1(mod4) n 22 (mod4) 0(mod4) k 32 (mod4) 1(mod4) 8. 6.4Bi-implica7e Aantonendateenbi-implica3ewaarisgaatalsvolgt: Toonaandatdeimplica3es en allebeiwaarzijn. Datvraagtdustweeverschillendebewijzen! Somsishethandigomnvandetweeimplica3esofzelfsallebeitebewijzen metbehulpvancontraposi3e. A B A B B A W W W W O O O W O O O W A B 9. 6.4.5 Toonaandatvoorallegehelegetallenkenmgeldt: kenmzijneven k+menkmzijneven Bewijs: Logisch. Tebewijzen: k +m=even km=even k=even m=even Wegebruiken: k+m=2v km=2u Dankrijgje: k=2vmenduskm=(2vm)m=2vmm2=2u Dusm2=2vm2u=2(vmu)=2s Dusm2=evenmaardanm=even. 10. 6.4.3 a) b) (a + b)2 = a2 + b2 a = 0 b = 0 (a + b)2 = 2a2 + 2b2 a = b 11. 12. 7.2Omgekeerdebewijzen Toonaandatvooralleposi3everelegetallenaenbgeldtdat: Strategieomgekeerdebewijzen: Neemaan(hoeweljenognietzekerbent)datdebeweringdiejemoet bewijzenWAARis. Herschrijfdebeweringtoteenuitdrukkingwaarvanjewelzekerweetdat dezejuistis. Controleerofhetmogelijkisdeberedeneringomtedraaienzodatje uitgaandevandeuitdrukkingwaarvanjezekerbent,uitkomtbijdete bewijzenbewering.(LETOP:nietvanzelfsprekend!) 2ab (a + b) ab 13. 7.2.1 Toonaandatvooralleposi3everelegetallenaenbgeldtdat: Endatiszekerjuist! Destappenterugzijntoegestaandusisdebeweringwaar!Omgekeerdnoteren! 2ab (a + b) ab 2ab (a + b) ab 2ab ab (a + b) 2 ab (a + b) 4ab (a + b)2 4ab a2 + 2ab + b2 0 a2 2ab + b2 0 (a b)2 14. 7.2.5 7.2.5 Toonaandatvooralleposi3everelegetallenaenbgeldtdat Endatiszekerjuist! Dus,nacontroleomgekeerderoute,conclusiedatdebeweringinderdaadwaaris. Omhetbewijsvolledigennetjestemaken:Schrijfhetvanondernaarboven opnieuwop! (a + b)(1 a + 1 b ) > 2 (a + b)(1 a + 1 b ) > 2 1+ a b + b a +1 > 2 2 + a b + b a > 2 15. 7.3Bewijzenuithetongerijmde Toonaan: Strategiebewijzenuithetongerijmde: JewiltlatenziendateenbeweringAwaaris. DoealsofdebeweringAnietwaaris.Dus: Neemaandatdeontkenningwaaris Laatziendatdezeaannameleidttoteentegenstrijdigheid,ietswatduidelijk onwaaris. Omdatdietegenstrijdigheideenrechtstreeksgevolgisvandeaanname, moetjeconcluderendatdeontkenningnietwaaris. Deoorspronkelijkebeweringisduswelwaar. 5 3 3 2 16. 7.3.8 Toonaandat Bewijsuithetongerijmde. Veronderstelvanwl,dusneemaan Dangeldt, Ditisduidelijknietwaar. Duseentegenspraakvolgenduitdeaanname. Waaruitweconcluderendatdeveronderstelling(=ontkenning)nietwaaris. Conclusie:Deoorspronkelijkebeweringiswaar. 5 3 3 2 5 + 2 = 2 3 5 3 = 3 2 5 + 2 10 + 2 = 12 2 10 = 5 40 = 25